FFT : Fast Fourier Transform€¦ · Historia Series de Fourier son desarrolladas en 1807 por Jean-Baptiste Joseph Fourier. Carl Friedrich Gauss desarrolla en 1805 la transformada

FFT : Fast Fourier Transform

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Objetivo

Explicar las principales características de la Transformada Rápida de Fourier « FFT: Fast Fourier Transform » así como mencionar los principales aspectos de su implementación.

Además se mencionarán algunos de los recursos disponibles para una optima implementación en algunos dispositivos específicos.

Al final de la unidad el alumno deberá estar en la capacidad de implementar un algoritmo básico de la Transformada Rápida de Fourier «FFT» .

Historia

● Series de Fourier son desarrolladas en 1807 por Jean-Baptiste Joseph Fourier.

● Carl Friedrich Gauss desarrolla en 1805 la transformada rápida como un método para calcular series trigonométricas de frecuencia armónica para calcular la trayectoria de los planetas. Este método resultaría ser a la postre la transformada rápida de Fourier.

Transformada Rápida de Fourier «FFT»

Historia

● Se van mejorando los métodos de calculo de las series de Fourier.

● En 1958 Good I. J desarrolla un algoritmo más eficiente «Prime-factor FFT algorithm»

● En 1965 Cooley y Tukey redescubren el algoritmo de Gauss de la transformada rápida y lo aplican para series de con N a la potencia de un número primo (e.g. N², N³)


Historia

● Winograd combina todos los métodos y produce un algoritmo recursivo o anidado de la FFT el cual resultó ser el algoritmo más eficiente posible.


La matriz de la DFT● De la definición :

● Potencias de N nos dan el residuo de N (modulo N) ya que WN = 1

● DFT de NxN da la matriz :


W = [1 1 1 1 … 11 W 1 W 2 W 3 … W (N−1 )

1 W 2 W 4 W 6 … W 2 (N−1 )

…

1 W N−1 W 2 (N−1 ) W 3(N −1) … W (N−1 )2 ]

W N = e− j

2 π

N

Conjugado de cada vector en cada renglón

Matriz de la DFT con N=2


W = [1 11 −1]

e− j 2π

2 =−1



W = [1 1 11 W W 2

1 W 2 W 4]= [1 1 11 W W 2

1 W2 W ]W = [

1 1 1

1 −1− j √32

−1+ j√32

1−1+ j√3

2−1− j √3

2] Módulo

de 3



W = [1 1 11 W W 2

1 W 2 W 4]= [1 1 11 W W 2

1 W2 W ]W = [

1 1 1

1 −1− j √32

−1+ j√32

1−1+ j√3

2−1− j √3

2] e

− j 2π3

e− j 4π

3



W = [1 1 1 11 W W 2 W 3

1 W 2 W 4 W 6

1 W 3 W 6 W 9 ]= [1 1 1 11 W W 2 W3

1 W 2 1 W 2

1 W 3 W 2 W]

W = [ 1 1 1 1 1 -j -1 j 1 -1 1 -1 1 j -1 -j

]e− j

2 π4 = e

− j π2 = − j

e− j

4 π4 =−1



W = [ 1 1 1 1 1 -j -1 j 1 -1 1 -1 1 j -1 -j

]W 4 x [n ] → Sólo sumas y restas



W = [1 1 1 1 11 W W 2 W 3 W 4

1 W 2 W 4 W 6 W 8

1 W3

W6

W9

W12

1 W4

W8

W12

W16]= [

1 1 1 1 11 W W 2 W 3 W 4

1 W 2 W 4 W W 3

1 W3

W W4

W2

1 W4

W3

W2

W]



W = [1 1 1 1 1 11 W W 2 W 3 W 4 W 5

1 W 2 W 4 W 6 W 8 W10

1 W 3 W 6 W 9 W 12 W15

1 W 4 W 8 W 12 W 16 W 20

1 W 5 W 10 W 15 W 20 W 25]= [

1 1 1 1 1 11 W W 2 W 3 W 4 W5

1 W 2 W 4 1 W 2 W 4

1 W 3 1 W 3 1 W 3

1 W 4 W 2 1 W 4 W 2

1 W 5 W 4 W 3 W 2 W]

Estrategia: divide y vencerás


Problema simple Problema simple Problema simple Problema simple

Soluciónintermedia

Solución

DivisiónDivisión

Sub-problema

División DivisiónDivisión División

Sub-problema

ConjuntarConjuntarConjuntarConjuntarConjuntarConjuntar

ConjuntarConjuntar

Soluciónintermedia

Problema



Problema simple Problema simple Problema simple Problema simple

Soluciónintermedia

Solución

DivisiónDivisión

Sub-problema

División DivisiónDivisión División

Sub-problema

ConjuntarConjuntarConjuntarConjuntarConjuntarConjuntar

ConjuntarConjuntar

Soluciónintermedia

Problema x(n)

X(k)

W

Estrategia: divide y vencerás (1er paso)

● Propuesta: Tomar el problema de tamaño N y subdividirlo en pequeños problemas de tamaño N/2 cuya complejidad sea N²/4.

● Hay una complejidad adicional N relacionada con la recuperación de la solución final.

● La complejidad entonces será de N²/2 + N


X = W N x complejidad : O(N²)


Gráficamente

● Dividir la entrada de la DFT en 2 con señales de longitud N/2

● Calcular las 2 DFT de tamaño sea N/2.

● Conjutar los 2 resultados




N²

N²/4

N²/4

N

N=8 64→

N=8 16+16+8 40→


● Propuesta: Re-usar el procedimiento una y otra vez, e.g. Cortar los problemas N/2 en cuatro problemas de tamaño N/4.

● Hay una complejidad adicional N relacionada con la recuperación de la solución en cada paso.

● Lo anterior se puede hacer log2 N-1 = k-1

veces (hasta tener DFT's de tamaño 2)



● Cada vez se tiene una complejidad de orden N para hacer la conjunción.

● La solución divide y conquistarás tendrá una complejidad del orden de N log

2 N .

● Para N ≥4. esta solución es mucho mejor que una complejidad de N² .




2(N/2) 4(N/4) 8(N/8) O(N) O(N) O(N)

3N+8DFT N/8


● Dividir la señal de entrada en índices pares y nones

● Dividir la salida en la primera y segunda mitad


X [k ] = ∑n=0

N−1

x [n] e− j

2 π

Nnk

, k=0,1, ... ,N−1

x [n ] , n=0,1, ... , N−1x [2n ]

n=0,1, ... , N2

−1x [2n+1 ]

X [k ] , k=0,1, ... , N−1X [k ] k=0,1, ... , N

2−1

X [k+N / 2]


Primera mitad


X [k ] = ∑n=0

N /2−1

x [2n ]W 2nk+ ∑

n=0

N /2−1

x [2n+1]W (2n+1) k

W = e− j

2π

N

X [k ] = ∑n=0

N /2−1

x [2n ]W 2nk+ ∑

n=0

N /2−1

x [2n+1]W (2nk+k)

X [k ] = ∑n=0

N /2−1

x [2n ]W N /2nk

+W k ∑n=0

N /2−1

x [2n+1]W N /2nk

I)


Primera mitad


X [k ] = ∑n=0

N /2−1

x [2n ]W N /2nk

+W k ∑n=0

N /2−1

x [2n+1]W N /2nk

X [k ] = X k+W k Xk , k=0,1, ... , N2

−1“'

DFT Par DFT Impar

I) W = e− j

2π

N


Considerando de la 2da mitad:


X [k +N2

] = ∑n=0

N / 2−1

x [ 2n]W N / 2

n ( k + N2

)

+W( k + N

2)

∑n=0

N /2−1

x [2n+1]WN /2

n (k+ N2

)

X [k ] = X k+W k Xk , k=0,1, ... , N2

−1“'

W = e− j

2π

N → W N /2= e

− j2 π

N(N2

)

=−1

X [ k+ N2

] = ∑n=0

N /2−1

x [2n ]W N /2nk

−W k ∑n=0

N /2−1

x [2n +1 ]W N /2nk

II)


Considerando de la 2da mitad:

● La segunda mitad es similar a la primera pero con el signo cambiado


X [k+N2

] = X k−W k Xk , k=0,1, ... , N2

−1“'

X [ k+ N2

] = ∑n=0

N /2−1

x [2n ]W N /2nk

−W k ∑n=0

N /2−1

x [2n +1 ]W N /2nk

II)




Complejidad del algoritmo

● Separación de la señal de entrada en 2 mitades de tamaño N/2 : Costo = casi nulo

● Cálculo de 2 DFT's de N/2 : Costo = 2 x (N/2)² = N²/2

● Combinación de los 2 resultados: Costo = multiplicación por N/2 números complejos Wk

● Costo total : N²/2 + N/2 , más o menos la mitad del costo del problema inicial.



¿Que pasa si repetimos el proceso anterior?

● Se continua dividiendo hasta llegar a la DFT-2 ya que su resultado es trivial (sumas y diferencias)

● Requiere de log2 N-1 pasos

● Cada paso requiere de la conjunción de resultados : N/2 multiplicaciones y N adiciones.

● Costo total : N/2 (log2 N-1) multiplicaciones y N

log2 N sumas (ahorros del orden de log

2 N/N).



Una DFT de tamaño N requiere del orden de N log

2 N operaciones

!!!!


Factorización de matrices (DFT, N = 4) ● Separar la entrada en pares e impares

● Calcular 2 DFT de tamaño 2 con resultados X'[k] y X”[k]

● Calcular la suma y diferencia de X'[k] y Wk X”[k]


W 4 =[ 1 1 1 1 1 -j -1 j 1 -1 1 -1 1 j -1 -j

]=[ 1 0 1 0 0 1 0 -j 1 0 -1 0 0 1 0 j

][ 1 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 -1

][ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

]

Factorización de matrices (DFT, N = 4)


W 4 =[ 1 1 1 1 1 -j -1 j 1 -1 1 -1 1 j -1 -j

]=[ 1 0 1 0 0 1 0 -j 1 0 -1 0 0 1 0 j

][ 1 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 -1

][ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1

]

Calcular la suma y diferencia

Separar la entrada en pares e imparesCalcular 2 DFT

de tamaño 2

Utiliza 8 sumas y ninguna multiplicación



W 8 = [ 1 1 1 1 ⋯ 1 1 W 1 W 2 W 3

⋯ W 7

1 W 2 W 4 W 6⋯ W 14

⋯ 1 W 7 W 14 W21

⋯ W 49]= ⋯


Paso 1: Separar índices pares e impares


D 8 = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

]D8 : Decimación de tamaño 8


Paso 2: Cálculo de 2 DFT de tamaño N/2


[W 4 04

04 W 4]= [

1 1 1 1 0 0 0 0 1 -j -1 j 0 0 0 0 1 -1 1 -1 0 0 0 0 1 j -1 -j 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 -j -1 j 0 0 0 0 1 -1 1 -1 0 0 0 0 1 j -1 -j

]2 DFT-4 requieren de 16 sumas


Paso 3: Multiplicar la salida de la segunda 2 DFT por W k


[ I 4 04

04 Λ4]= [

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 W 0 0 0 0 0 0 0 0 W² 0 0 0 0 0 0 0 0 W³

]Λ4 : Matriz de

vectores propios


Paso 3: Multiplicar la salida de la segunda 2 DFT por W k


[ I 4 04

04 Λ4]= [

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 W 0 0 0 0 0 0 0 0 W² 0 0 0 0 0 0 0 0 W³

]W 2 = -j

W / W 3 : *


Paso 4: Recombinar X[k] y X[k+N/2] mediante sumas


S8 = [I 4 I 4

I 4 − I 4] = [

1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1

]


En total:

● Producto de 4 matrices

● Lo que requerirá 24 sumas y sólo 2 multiplicaciones


W 8 = [I 4 I 4

I 4 − I 4]⋅[I 4 04

04 Λ4]⋅[W 4 04

04 W 4]⋅D 8

2 DFT-4Eigenvectores

Decimación



FFT N = 16



Alternativas de FFT

Decimation in Time Decimation in Frecuency

Conclusiones● El algoritmo Cooley-Tukey es el más popular especialmente para N=2N

● No es necesario hacer Zero-Padding

● Para otros casos (e.g. N = números primos) existen otros algoritmos diseñados ex-profeso para esos casos.

● Existen variedad de librerías disponibles (e.g. Fast Fourier Transform in the West, SPIRAL)


www.fftw.org

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