Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

1

Függvények ábrázolása, jellemzése I.

DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)

Két nem üres 𝐴 és 𝐵 halmaz elemei közti kapcsolat (megfeleltetés, hozzárendelés, reláció), a

két halmaz elemeiből képezhető rendezett elempároknak egy nem üres részhalmaza.

DEFINÍCIÓ: (Alaphalmaz, képhalmaz)

Azt az 𝐴 halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljük egy 𝐵 halmaz elemeit,

alaphalmaznak, a 𝐵 halmazt képhalmaznak nevezzük.

DEFINÍCIÓ: (Képelem, őselem)

Ha az 𝑓 hozzárendelés az 𝐴 alaphalmaz egy 𝑥 eleméhez a 𝐵 képhalmaz egy 𝑦 elemét rendeli,

akkor az 𝑦 - t az 𝑥 képének, 𝑥 - et az 𝑦 ősének nevezzük.

DEFINÍCIÓ: (Egyértelmű hozzárendelés)

Egyértelmű a hozzárendelés, ha az alaphalmaz elemeinek legfeljebb egy képük van a

képhalmazban. Ellenkező esetben többértelmű a hozzárendelés.

DEFINÍCIÓ: (Függvény)

Legyen az 𝑈 alaphalmaznak 𝐴 egy nem üres részhalmaza. Az 𝐴 halmazon értelmezett

függvénynek nevezzük a hozzárendelést, ha az 𝐴 halmaz minden elemének pontosan egy képe

van a 𝐵 képhalmazban.

Megjegyzés:

Azt is mondhatjuk, hogy az 𝐴 halmazt leképeztük a 𝐵 halmazba. Amennyiben 𝐵 minden eleme

hozzá van rendelve 𝐴 valamely eleméhez, akkor az 𝐴 halmazt a 𝐵 halmazra képeztük le.

Egy függvény akkor adott, ha megadtuk az értelmezési tartományát, értékkészletét és

hozzárendelési szabályát. Jelölés: 𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵; 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥).

A függvények hozzárendelési szabályát megadhatjuk táblázattal, grafikonnal, képlettel,

utasítással, nyíldiagrammal, stb..

Descartes – féle derékszögű – koordinátarendszer: Két egymásra merőleges valós

számegyenes, amelyek zéruspontja (origó) közös. A vízszintes 𝑥 - tengely az értelmezési

tartomány, a függőleges 𝑦 - tengely az értékkészlet elemeit tartalmazza. Lényege, hogy a sík

pontjai és a rendezett számpárok között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelést adunk meg.

Az összetartozó értékpároknak egy pont felel meg: első koordinátája az értelmezési

tartománynak, a második az értékkészletnek az eleme, s ezek a koordináták a pontnak a

tengelyektől mért előjeles távolságát adják meg.


2

DEFINÍCIÓ: (Helyettesítési érték)

Az 𝐴 - ból 𝐵 - be képező 𝑓 függvény esetén, ha 𝑥 ∈ 𝐴, akkor az 𝑦 = 𝑓 (𝑥) ∈ 𝐵 jelöli a függvény

𝑥 helyen felvett értékét (helyettesítési értékét).

DEFINÍCIÓ: (Szám – szám függvény)

Egy függvényt szám – szám függvénynek nevezünk, ha az alaphalmaz és a képhalmaz is

számhalmaz.

Megjegyzés:

Az olyan függvényt, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete is a valós számok

részhalmaza, valós függvénynek nevezzük.

Egy pont első koordinátáját abszcisszának, a második koordinátáját ordinátának nevezzük.

DEFINÍCIÓ: (Injektív függvény)

Egy függvényt injektívnek nevezünk, ha az értelmezési tartomány különböző elemeihez az

értékkészlet különböző elemeit rendeli.

DEFINÍCIÓ: (Szürjektív függvény)

Egy függvényt szürjektívnek nevezünk, ha minden értékkészletbeli elemnek létezik őse.

Injektív, de nem szürjektív Szürjektív, de nem injektív

DEFINÍCIÓ: (Bijektív függvény)

Egy függvényt bijektívnek (kölcsönösen egyértelműnek) nevezünk, ha injektív és szürjektív.

Megjegyzés:

A kölcsönösen egyértelmű függvény értékkészlete egyenlő a képhalmazzal és különböző elemek

képe különböző.


3

Elemi függvények

DFINÍCIÓ: (Egyenes arányosság függvény)

A valós számok halmazán (vagy annak valamely részhalmazán) értelmezett 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑚𝑥

függvényt egyenes arányosságnak nevezzük.

Megjegyzés:

Ha egyenes arányosság van az 𝐴 és 𝐵 halmaz elemei között, akor az összetartozó értékpárok

aránya egy (0 – tól különböző) állandó: 𝑚 =𝑦

𝑥 (𝑥 ≠ 0).

Szemléletesen: Egyenes arányosság esetén az egyik mennyiséget valahányszorosára

változtatva a másik mennyiséget is ugyanennyiszeresére kell változni.

Az egyenes arányosság grafikonja az origón átmenő egyenes.

Az egyenes állása az 𝑚 aránytól függ, így az 𝑚 – t meredekségnek (vagy iránytényezőnek)

nevezzük.

DEFINÍCIÓ: (Lineáris függvény)

A valós számok halmazán (vagy annak valamely részhalmazán) értelmezett 𝑓 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑚𝑥 + 𝑏

függvényt lineáris függvénynek nevezzük. Jelölés: 𝑓 (𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, vagy 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.

Megjegyzés:

Szemléletesen: Az 𝑚 meredekség megmutatja, hogy egy egységet mozdulva az

𝑥 – tengely mentén jobbra, mennyi egységet kell mozdulni az 𝑦 – tengely mentén, míg a

𝑏 szám megmutatja, hogy az egyenes hol metszi az 𝑦 – tengelyt.

Ha az egyenes két pontja 𝑃 (𝑥1; 𝑦1) és 𝑄 (𝑥2; 𝑦2), akkor a meredeksége: 𝑚 =𝑦1 − 𝑦2

𝑥1 − 𝑥2.

A lineáris függvény grafikonja párhuzamos az 𝑒 ∶ 𝑥 ⟼ 𝑚𝑥 fügvénnyel.

Ha 𝑚 ≠ 0, akkor elsőfokú függvénynek nevezzük.

Ha 𝑚 = 0, akkor nulladfokú (konstans) függvénynek nevezzük.

Ha 𝑚 > 0, akkor növekvő 𝑥 értékhez növekvő 𝑦 érték tarozik, vagyis a függvény növekvő.

Ha 𝑚 < 0, akkor növekvő 𝑥 értékhez csökkenő 𝑦 érték tartozik, vagyis a függvény csökkenő.

Az egyenes arányosság olyan lineáris függvény, amelyben 𝑏 = 0.


4

Lineáris függvények: egyenes arányosság függvény (piros)

DEFINÍCIÓ: (Fordított arányosság függvény)

Ha az 𝑓 függvény értelmezési tartománya a 0 – tól különböző valós számok halmaza (vagy

annak valamely részhalmaza) és 𝑓 (𝑥) =𝑚

𝑥 (ahol 𝑚 egy 0 – tól különböző valós szám), akkor

az 𝑓 függvényt fordított arányosságnak nevezzük.

Megjegyzés:

Ha fordított arányosság van az 𝐴 és 𝐵 halmaz elemei között, akor az összetartozó értékpárok

szorzata egy (0 – tól különböző) állandó: 𝑚 = 𝑥𝑦 (𝑥 ≠ 0).

Szemléletesen: Fordított arányosság esetén az egyik mennyiséget valahányszorosára

változtatva a másik mennyiséget ugyanennyied részére kell változtatni.

A fordított arányosság képét hiperbolának nevezzük, s az 𝑥 = 0 helyen szakadása van.

Az 𝑥 ↦𝑎𝑥 + 𝑏

𝑐𝑥 + 𝑑 hozzárendelési szabályú függvényt lineáris törtfüggvénynek nevezzük, ha

ekvivalens algebrai átalakításokkal nem hozható konstans alakra (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ; 𝑐 ≠ 0).

Fordított arányosság függvény


5

DEFINÍCIÓ: (Másodfokú függvény)

A valós számok halmazán értelmezett 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 függvényt másodfokú

függvénynek nevezzük, ahol 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ és 𝑎 ≠ 0.

Megjegyzés:

Ha 𝑎 > 0, akkor a függvény képe egy felfelé nyíló, ha 𝑎 < 0, akkor egy lefelé nyíló parabola.

A teljes négyzetté alakítást elvégezve megkapjuk a parabola 𝑇 (𝑢; 𝑣) tengelypontjának

koordinátáit: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑥 − 𝑢)2 + 𝑣.

Az 𝑓 (𝑥) = 𝑥𝑛 függvényt hatványfüggvénynek nevezzük, ahol 𝑛 ∈ ℕ és 𝑛 > 1.

Másodfokú függvény

DEFINÍCIÓ: (Abszolútérték függvény)

A valós számok halmazán értelmezett 𝑓 (𝑥) = |𝑥| függvényt abszolútérték függvénynek

nevezzük.

Abszolútérték függvény


6

DEFINÍCIÓ: (Négyzetgyök függvény)

A nem negatív valós számok halmazán értelmezett 𝑓 (𝑥) = √𝑥 függvényt négyzetgyök

függvénynek nevezzük.

Megjegyzés:

A négyzetgyök függvény képe egy ,,félparabola”.

Az 𝑓 (𝑥) = √𝑥3

köbgyök függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza.

Négyzetgyök függvény

DEFINÍCIÓ: (Egészrész függvény)

Azt a függvényt, amely minden 𝑥 valós számhoz hozzá rendeli az 𝑥 egész részét, azaz azt a

legnagyobb egész számot, amely nem nagyobb 𝑥 – nél, egészrész függvénynek nevezzük.

Jelölés: 𝑓 (𝑥) = [𝑥].

Megjegyzés:

Példa: [2; 3] = 2; [5,2] = 5; [−2] = −2; [3] = 3; [−1,7] = −2; [−3,4] = −4;…

Egészrész függvény


7

DEFINÍCIÓ: (Törtrész függvény)

Ha egy számból elvesszük az egész részét, akkor meg kapjuk a szám tört részét. Azt a

függvényt, amely minden 𝑥 valós számhoz hozzárendeli a törtrészét, törtrész függvénynek

nevezzük. Jelölés: 𝑓 (𝑥) = {𝑥} = 𝑥 − [𝑥].

Megjegyzés:

Példa: {1,3} = 0,3; {6,7} = 0,7; {−3} = 0; {2} = 0; {−2,1} = 0,9; {−4,8} = 0,8;…

Törtrész függvény

DEFINÍCIÓ: (Előjelfüggvény)

Előjelfüggvénynek (vagy szignum függvénynek) nevezzük a következő eljárással

meghatározott függvényt:

𝑓 ∶ ℝ → ℝ; 𝑥 ⟼

{

1, ℎ𝑎 𝑥 > 0

0, ℎ𝑎 𝑥 = 0

−1, ℎ𝑎 𝑥 < 0

.

Jelölés: 𝑓 (𝑥) = 𝑠𝑔𝑛 (𝑥).

Előjel (szignum) függvény


8

Függvények jellemzői

DEFINÍCIÓ: (Értelmezési tartomány)

Az 𝐴 halmaz a függvény értelmezési tartománya, vagyis az a halmaz, amelynek az elemeihez

a másik halmaz egy – egy elemét rendeljük. Jelölés: 𝐷𝑓.

Megjegyzés:

Az értelmezési tartomány elemei a független változó értékek.

Szemléletesen: Egy függvény értelmezési tartománya azon 𝑥 értékek halmaza az 𝑥 tengelyen,

melyeken a függvény értelmezve van.

DEFINÍCIÓ: (Értékkészlet)

A képelemek (függvényértékek) a képhalmaznak azok az elemei, amelyeket a független változó

értékeihez rendelünk. A függvényértékek halmaza a függvény értékkészlete. Jelölés: 𝑅𝑓.

Megjegyzés:

Az 𝑅𝑓 részhalmaza 𝐵 – nek.

Az értékkészlet elemeit függő változóknak is nevezzük.

Szemléletesen: Egy függvény értékkészlete azon 𝑦 értékek halmaza az 𝑦 tengelyen, melyeket

a függvény felvesz.


9

DEFINÍCIÓ: (Zérushely)

Egy függvény zérushelyének (nullhelyének) nevezzük az értelmezési tartomány minden olyan

𝑥 értékét, amelyhez a 0 függvényérték tartozik.

Megjegyzés:

Ha a zérushelyet nem tudjuk egyértelműen leolvasni az ábráról, akkor azt megkaphatjuk az

𝑓 (𝑥) = 0 egyenlet megoldásával is.

Szemléletesen: A függvény zérushelye az a pont, ahol a függvény grafikonja metszi az

𝑥 tengelyt.

DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton növekvő függvény)

Egy függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán szigorúan monoton növekvőnek

nevezzük, ha az adott intervallumon a függvény változójának növekvő értékeihez a

függvényérték növekvő értékei tartoznak. Jelöléssel: bármely 𝑥1 < 𝑥2 esetén 𝑓 (𝑥1) < 𝑓 (𝑥2).

DEFINÍCIÓ: (Szigorúan monoton csökkenő függvény)

Egy függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán szigorúan monoton csökkenőnek

nevezzük, ha az adott intervallumon a függvény változójának növekvő értékeihez a

függvényérték csökkenő értékei tartoznak. Jelöléssel: bármely 𝑥1 < 𝑥2 esetén 𝑓 (𝑥1) > 𝑓 (𝑥2).

Megjegyzés:

Amennyiben megengedjük az egyenlőséget, akkor monoton növekvő (illetve csökkenő)

függvényről beszélünk.

DEFINÍCIÓ: (Páros függvény)

Egy függvényt párosnak nevezünk, ha bármely értelmezési tartománybeli 𝑥 elemére (−𝑥) is

eleme az értelmezési tartománynak és 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (−𝑥) teljesül.

Megjegyzés:

Szemléletesen: A függvény ellentett helyen ugyanazt az értéket veszi fel, s ilyenkor a függvény

képe az 𝑦 tengelyre szimmetrikus.

DEFINÍCIÓ: (Páratlan függvény)

Egy függvényt páratlannak nevezünk, ha bármely értelmezési tartománybeli 𝑥 elemére (−𝑥) is

eleme az értelmezési tartománynak és 𝑓 (−𝑥) = − 𝑓 (𝑥) teljesül.


10

Megjegyzés:

Szemléletesen: A függvény ellentett helyen ellentett értéket vesz fel, s ilyenkor a függvény képe

az origóra szimmetrikus.

DEFINÍCIÓ: (Globális szélsőérték: maximum)

Egy függvénynek globális (abszolút) maximuma van az értelmezési tartomány egy

𝑥0 értékénél, ha az értelmezési tartomány minden 𝑥 elemére 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑓 (𝑥0) teljesül.

Megjegyzés:

Az 𝑥0 - t a maximum helyének, az 𝑦 = 𝑓 (𝑥0) - t a maximum értékének nevezzük.

Személetesen: Maximuma van a függvénynek, ha van olyan legnagyobb pontja, ami fölé nem

halad a függvény képe.

DEFINÍCIÓ: (Globális szélsőérték: minimum)

Egy függvénynek globális (abszolút) minimuma van az értelmezési tartomány egy 𝑥0 értékénél,

ha az értelmezési tartomány minden 𝑥 elemére 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑓 (𝑥0) teljesül.

Megjegyzés:

Az 𝑥0 - t a minimum helyének, az 𝑓 (𝑥0) - t a minimum értékének nevezzük.

Személetesen: Minimuma van a függvénynek, ha van olyan legkisebb pontja, ami alá nem

halad a függvény képe.

DEFINÍCIÓ: (Lokális szélsőérték)

Egy függvénynek lokális (helyi) maximuma, illetve minimuma van az értelmezési tartomány

𝑥0 értékénél, ha az 𝑥0 - nak van olyan ]𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿[ környezete, ahol az ebbe eső 𝑥 – ekre a

függvény értelmezve van és 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓 (𝑥0), illetve 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓 (𝑥0).

DEFINÍCIÓ: (Alsó korlát)

Egy függvényt alulról korlátosnak nevezünk, ha van olyan 𝑘 valós szám, hogy bármely

értelmezési tartománybeli 𝑥 elem esetén 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑘 teljesül.

Megjegyzés:

A legnagyobb alsó korlátot pontos alsó korlátnak nevezzük.

Szemléletesen: A függvény pontos alsó korlátja az a legnagyobb szám, amelynél kisebb

értéket nem vesz fel a függvény.


11

DEFINÍCIÓ: (Felső korlát)

Egy függvény felülről korlátos, ha van olyan 𝐾 valós szám, hogy bármely értelmezési

tartománybeli 𝑥 elem esetén 𝑓 (𝑥) ≤ 𝐾 teljesül.

Megjegyzés:

A legkisebb felső korlátot pontos felső korlátnak nevezzük.

Szemléletesen: A függvény pontos felső korlátja az a legkisebb szám, amelynél nagyobb

értéket nem vesz fel a függvény.

DEFINÍCIÓ: (Korlátos függvény)

Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha alulról és felülről is korlátos.

Megjegyzés:

Alsó (felső) korlátból végtelen sok lehetséges, de pontos alsó (felső) korlátból csak egy.

A függvény szélsőértéke része a függvény képének, de az alsó (felső) korlátja nem feltétlen.

DEFINÍCIÓ: (Periodicitás)

Ha van olyan 𝑝 > 0 valós szám, hogy az értelmezési tartomány minden 𝑥 elemére (𝑥 ± 𝑝) is

eleme az értelmezési tartománynak és 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥 ± 𝑝) teljesül, akkor az 𝑓 függvényt

periodikusnak nevezzük. Ezen lehetséges 𝑝 értékek közül a legkisebbet (amennyiben létezik) a

függvény periódusának nevezzük.

Megjegyzés:

Mivel a 𝑝 értékek között nem mindig létezik legkisebb, így lehetséges, hogy egy periodikus

függvénynek nincs periódusa (pl.: konstans függvény).

Szemléletesen: Periodikus a függvény, ha van olyan távolság, mellyel bármelyik irányba,

bármennyiszer elmozdítva a grafikont önmagába megy át.

DEFINÍCIÓ: (Konvex függvény)

Egy 𝑓 függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán konvexnek nevezzük, ha az adott

intervallum bármely 𝑥1; 𝑥2 pontjaira teljesül a következő összefüggés: 𝑓 (𝑥1+𝑥2

2) ≤

𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)

2.

Megjegyzés:

Szemléletesen: Egy függvény konvex, ha a görbe feletti síktartomány konvex halmaz; érintője

mindenütt a görbe alatt halad; a görbe két pontját összekötő húr a görbe felett halad.


12

DEFINÍCIÓ: (Konkáv függvény)

Egy 𝑓 függvényt értelmezési tartománya egy intervallumán konkávnak nevezzük, ha az adott

intervallum bármely 𝑥1; 𝑥2 pontjaira teljesül a következő összefüggés: 𝑓 (𝑥1+𝑥2

2) ≥

𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)

2.

Megjegyzés:

Szemléletesen: Egy függvény konkáv, ha a görbe feletti síktartomány konkáv halmaz; érintője

mindenütt a görbe felett halad; a görbe két pontját összekötő húr a görbe alatt halad.

DEFINÍCIÓ: (Inflexiós pont)

Egy függvénynek egy pontját inflexiós pontnak nevezzük, ha az adott pontban a görbe

konvexitást vált (konvexből konkávba vagy konkávból konvexbe megy át).

DEFINÍCIÓ: (Aszimptota)

Egy függvény aszimptotája egy olyan görbe (többnyire egyenes), ami a függvény grafikonját

tetszőlegesen megközelíti, de nem éri el.

Megjegyzés:

A fordított arányosság grafikonjának aszimptotái az 𝑥 -, illetve 𝑦 – tengelyek.


13

Alapfüggvények jellemzői

Másodfokú függvény:

𝑓 (𝑥) = 𝑥2

𝒇 (𝒙)

Értelmezési tartomány 𝐷𝑓: 𝑥 ∈ ℝ

Érték készlet 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ [0;+∞[

Zérushely 𝑥 = 0

Monotonitás

𝑥 ∈ ]−∞; 0] szigorúan monoton csökkenő

𝑥 ∈ [0; +∞[ szigorúan monoton növekvő

Szélsőérték

Minimum helye: 𝑥 = 0

Minimum értéke: 𝑦 = 0

Korlátosság Pontos alsó korlát: 𝑘 = 0

Paritás Páros

Periodicitás Nem periodikus


14

Abszolútérték függvény:

𝑔 (𝑥) = |𝑥|

𝒈 (𝒙)

Értelmezési tartomány 𝐷𝑔: 𝑥 ∈ ℝ

Érték készlet 𝑅𝑔: 𝑦 ∈ [0;+∞[

Zérushely 𝑥 = 0

Monotonitás

𝑥 ∈ ]−∞; 0] szigorúan monoton csökkenő

𝑥 ∈ [0; +∞[ szigorúan monoton növekvő

Szélsőérték




Paritás Páros



15

Fordított arányosság függvény:

ℎ (𝑥) =1

𝑥

𝒉 (𝒙)

Értelmezési tartomány 𝐷ℎ: 𝑥 ∈ ℝ \ {0}

Érték készlet 𝑅ℎ: 𝑦 ∈ ℝ \ {0}

Zérushely Nincs zérushelye

Monotonitás

𝑥 ∈ ]−∞; 0[ szigorúan monoton csökkenő

𝑥 ∈ ]0; +∞[ szigorúan monoton csökkenő

Szélsőérték Nincs szélsőértéke

Korlátosság Nincs alsó és felső korlátja sem

Paritás Páratlan



16

Négyzetgyök függvény:

𝑘 (𝑥) = √𝑥

𝒌 (𝒙)

Értelmezési tartomány 𝐷𝑘: 𝑥 ∈ [0;+∞[

Érték készlet 𝑅𝑘: 𝑦 ∈ [0;+∞[

Zérushely 𝑥 = 0

Monotonitás Szigorúan monoton növekvő

Szélsőérték




Paritás Nem páros, nem páratlan



17

Egészrész függvény:

𝑚 (𝑥) = [𝑥]

𝒎 (𝒙)

Értelmezési tartomány 𝐷𝑚: 𝑥 ∈ ℝ

Érték készlet 𝑅𝑚: 𝑦 ∈ ℤ

Zérushely 𝑥 = [0;+1[

Monotonitás Monoton növekvő

Szélsőérték Nincs szélsőértéke

Korlátosság Nincs alsó és felső korlátja sem




18

Törtrész függvény:

𝑛 (𝑥) = {𝑥}

𝒏 (𝒙)

Értelmezési tartomány 𝐷𝑛: 𝑥 ∈ ℝ

Érték készlet 𝑅𝑛: 𝑦 ∈ [0; 1[

Zérushely 𝑥 = ℤ

Monotonitás

𝑥 ∈ [0; 1[ szigorúan monoton növekvő

𝑥 ∈ [1; 2[ szigorúan monoton növekvő

Szélsőérték

Minimum helye: 𝑥 ∈ ℤ


Korlátosság

Pontos alsó korlát: 𝑘 = 0

Pontos felső korlát: 𝐾 = 1

Korlátos függvény


Periodicitás Periodikus: 𝑝 = 1


19

Előjel (szignum) függvény:

𝑠 (𝑥) = 𝑠𝑔𝑛 (𝑥)

𝒔 (𝒙)

Értelmezési tartomány 𝐷𝑠: 𝑥 ∈ ℝ

Érték készlet 𝑅𝑠: 𝑦 ∈ {−1; 0; 1}

Zérushely 𝑥 = 0

Monotonitás Monoton növekvő

Szélsőérték

Minimum helye: 𝑥 ∈ ]−∞;0[

Minimum értéke: 𝑦 = −1

Maximum helye: 𝑥 ∈ ]0; +∞[

Maximum érétke: 𝑦 = 1

Korlátosság

Pontos alsó korlát: 𝑘 = −1

Pontos felső korlát: 𝐾 = 1

Korlátos függvény

Paritás Páratlan



20

Függvénytranszformációk

Az egyes függvénytípusokhoz tartozó függvényeken bizonyos fajta átalakításokat végezve a

típus nem változik meg. Ha egy koordináta – rendszerben ábrázolt függvény grafikonját

valamelyik tengely irányában eltoljuk, megnyújtjuk vagy összenyomjuk, akkor azt mondjuk,

hogy függvénytranszformációt hajtottunk végre.

Változó transzformációk (𝒙 koordináták változtatása):

𝑓 (−𝑥): az 𝑦 tengelyre való tükrözés

𝑓 (𝑥 + 𝑐): az 𝑥 tengely mentén (−𝑐) – vel való eltolás

𝑓 (𝑏 ∙ 𝑥): az 𝑦 tengelyre merőleges irányban zsugorítás / nyújtás

(az 𝑥 koordinátákat 1

𝑏 - szeresére változtatjuk, az 𝑦 koordinátákat nem változtatjuk)

𝑓 (|𝑥|): az 𝑥 ≥ 0 értékekhez tartozó görbét tükrözzük az 𝑦 tengelyre

Érték transzformációk (𝒚 koordináták változtatása):

− 𝑓 (𝑥): az 𝑥 tengelyre való tükrözés

𝑓 (𝑥) + 𝑑: az 𝑦 tengely mentén (+𝑑) – vel való eltolás

𝑎 ∙ 𝑓 (𝑥): az 𝑥 tengelyre merőleges irányban zsugorítás / nyújtás

(az 𝑦 koordinátákat 𝑎 – szorosára változtatjuk, az 𝑥 koordinátákat nem változtatjuk)

|𝑓(𝑥)|: az 𝑦 < 0 értékeket tükrözzük az 𝑥 tengelyre

Transzformációk sorrendje:

Először a változó transzformációkat, majd az érték transzformációkat végezzük el.

1. 𝑓 (𝑥)

2. 𝑓 (𝑥 + 𝑐)

3. 𝑓 (𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)

4. 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)

5. 𝑎 ∙ 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)

6. −𝑎 ∙ 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐)

7. −𝑎 ∙ 𝑓 (−𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐) + 𝑑


21

Gyakorló feladatok

K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat

1. (K) Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!

A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét.

B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét.

C: Minden természetes számhoz hozzárendeljük az osztóit.

D: Minden bolygóhoz hozzárendeljük a Nap körüli keringésének idejét.

2. (K) Az alábbi függvények közül, melyik kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés?

A: A testekhez rendeljük a felszínüket.

B: A négyzetekhez rendeljük a kerületüket.

C: A kémiai elemekhez rendeljük a rendszámukat.

D: A könyvekhez rendeljük a kiadójukat.

3. (K) Az alábbi függvényeket fogalmazzuk meg geometriai függvényként!

𝒇 (𝒙) = ℝ+ → ℝ+; 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙𝝅 𝒈 (𝒙) = ℝ+ ⨯ ℝ+ → ℝ+; 𝒉(𝒙; 𝒚) =𝒙𝒚

𝟐

4. (K) Az alábbi grafikonok közül melyik lehet egy függvény grafikonja?


22

5. (E) Döntsd el az alábbi függvényekről, hogy melyik injektív / szürjektív / bijektív!

a) 𝒆 ∶ ℝ → ℝ; 𝒙 ⟼ −𝟏𝟗

b) 𝐟 ∶ ℝ → ℝ; 𝐱 ⟼ 𝟓𝐱 − 𝟏

c) 𝐠 ∶ ℝ → ℝ; 𝐱 ⟼ 𝐱𝟐

d) 𝐡 ∶ ℝ → ℝ; 𝐱 ⟼ |𝐱|

e) 𝒌 ∶ ℝ → [𝟎; 𝟏[; 𝒙 ⟼ {𝒙}

f) 𝐬 ∶ [𝟐; 𝟕] → ℝ; 𝐱 ⟼ 𝐱𝟐

g) 𝐭 ∶ [−𝟑; 𝟓] → [𝟎; 𝟓]; 𝐱 ⟼ |𝐱|

h) 𝒛 ∶ ℝ+ → ℝ+; 𝒙 ⟼𝟏

𝒙


23

6. (K) Határozd meg a következő függvények 𝒇 (−𝟐) helyettesítési értékét!

a) 𝒇 (𝒙) = 𝒙 + 𝟏

b) 𝒇 (𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟕

c) 𝒇 (𝒙) = |𝒙 + 𝟖| − 𝟓

d) 𝒇 (𝒙) = √𝟏𝟏 + 𝒙

e) 𝒇 (𝒙) =𝟏

𝒙 − 𝟐+ 𝟔

7. (K) Határozd meg, hogy a következő függvények hol veszik fel a 𝟑 értéket!

a) 𝒇 (𝒙) = −𝒙 − 𝟓

b) 𝒈 (𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏

c) 𝒉 (𝒙) = |𝒙 − 𝟑|

d) 𝒌 (𝒙) = √𝒙 − 𝟒

e) 𝒕 (𝒙) = −𝟏

𝒙 + 𝟏𝟎

8. (K) Döntsd el ábrázolás nélkül, hogy illeszkedik - e a 𝑷 (𝟏;−𝟑) pont a következő

függvények grafikonjára!

a) 𝒇 (𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟖

b) 𝒈 (𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓

c) 𝒉 (𝒙) = |𝒙 + 𝟐| + 𝟏

d) 𝒌 (𝒙) = √𝒙 + 𝟑

e) 𝒕 (𝒙) =𝟖

𝒙 − 𝟓− 𝟏

9. (K) Határozd meg, hogy a 𝑷 (𝟐𝟎; 𝟏𝟓𝟎) és a 𝑸 (𝟏𝟎𝟎; 𝟗𝟎𝟎) pontok hogyan helyezkednek

el az 𝒇 (𝒙) = 𝟖𝒙 − 𝟕 függvény grafikonjához képest!


24

10. (K) Határozd mag a 𝑷 (𝒙; 𝟐) és 𝑸 (−𝟓; 𝒚) pontok koordinátáit úgy, hogy

illeszkedjenek a következő függvényekre!

a) 𝒇 (𝒙) = −𝟏

𝟐𝒙 + 𝟑

b) 𝒈 (𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟕

c) 𝒉 (𝒙) = 𝟐 ∙ |𝒙 − 𝟏|

d) 𝒌 (𝒙) = √𝒙 + 𝟑𝟎

e) 𝒕 (𝒙) = −𝟒

𝒙 + 𝟏

11. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül, hogy hol metszik a következő függvények a

koordináta – tengelyeket!

a) 𝒇 (𝒙) = −𝟏𝟒𝒙 + 𝟏𝟏

b) 𝒈 (𝒙) = 𝟕 ∙ (𝒙 + 𝟓)𝟐 − 𝟐𝟖

c) 𝒉 (𝒙) = 𝟑 · |𝟐𝒙 + 𝟖|

d) 𝒌 (𝒙) = √𝟓𝒙 − 𝟏𝟎

e) 𝒕 (𝒙) = −𝟐

𝒙+𝟔

12. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül a következő függvények zérushelyeit!

a) 𝒇 (𝒙) =𝟐

𝟓𝒙 − 𝟏

b) 𝒈 (𝒙) = (𝒙 + 𝟕)𝟐

c) 𝒉 (𝒙) = |𝟖𝒙 − 𝟏𝟔|

d) 𝒌 (𝒙) = −𝟔 ∙ √𝒙 + 𝟏

e) 𝒕 (𝒙) =𝟕

𝟐𝒙 + 𝟑− 𝟒

13. (K) Írd fel annak a 𝒈 (𝒙) függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelyet úgy

kapunk, hogy az adott 𝒇 (𝒙) függvényt eltoljuk az adott �⃗⃗� vektorral!

a) 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 és �⃗⃗� (𝟓; 𝟖)

b) 𝒇 (𝒙) = 𝟑 ∙ |𝒙| és �⃗⃗� (−𝟐;−𝟕)


25

14. (K) Határozd meg a következő pontokra illeszkedő egyenes egyenletét!

a) 𝑨 (𝟏; 𝟏) és 𝑩 (−𝟐;−𝟐)

b) 𝑪 (−𝟓; 𝟒) és 𝑫 (𝟖;−𝟏𝟎)

c) 𝑷 (𝟐; 𝟓) és 𝑸 (−𝟏; 𝟖)

d) 𝑹 (−𝟑; 𝟕) és 𝑺 (𝟒; 𝟏𝟏)

15. (K) Határozd meg az elsőfokú függvény hozzárendelési szabályát, ha tudjuk, hogy

𝒇 (−𝟑) = 𝟐 és 𝒇 (𝟕) = 𝟒!

16. (K) Ábrázold a következő lineáris függvényeket!

a) 𝒇 (𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏

b) 𝒈 (𝒙) = 𝟓

c) 𝒉 (𝒙) = −𝒙 + 𝟑

d) 𝒌 (𝒙) = 𝟒𝒙

e) 𝒕 (𝒙) = −𝟐

𝟑𝒙 − 𝟐

17. (K) Ábrázold a következő másodfokú függvényt: 𝒇(𝒙) = −𝟏

𝟐 ∙ (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟐!

18. (E) Ábrázold a következő másodfokú függvényt: 𝒇 (𝒙) = (𝟐𝒙 + 𝟒)𝟐 − 𝟑!

19. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝒙𝟐 − 𝟒|!

20. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =(𝟑 − 𝒙)𝟐

𝟑!

21. (K) Ábrázold és jellemezd a következő másodfokú függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑!


26

22. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟑!

23. (K) Határozd meg ábrázolás nélkül a következő másodfokú függvény szélsőértékének

(tengelypontjának) koordinátáit!

a) 𝒇 (𝒙) = (𝒙 + 𝟖)𝟐 − 𝟓

b) 𝒈 (𝒙) = −𝟑 ∙ (𝒙 − 𝟏)𝟐 + 𝟕

c) 𝒉 (𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔

d) 𝒌 (𝒙) = −𝟐𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝒙 + 𝟏𝟏

24. (E) Határozd meg az 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝒄 függvényben szerpelő 𝒄 paraméter értékét

úgy, hogy minimuma az 𝒚 = −𝟑 legyen!

25. (K) Ábrázolás nélkül add meg az 𝒇 (𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔 függvény szélsőértékeit, ha

a) 𝒙 ∈ ℝ,

b) 𝒙 ∈ [−𝟑; −𝟐],

c) 𝒙 ∈ ]𝟎; 𝟏]!

26. (K) Ábrázolás nélkül add meg az 𝒇 (𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟑 függvény szélsőértékeit, ha

a) 𝒙 ∈ ℝ,

b) 𝒙 ∈ [−𝟐; 𝟎],

c) 𝒙 ∈ ]𝟐; 𝟑]!

27. (K) Adj meg olyan 𝒇 (𝒙) másodfokú függvényt, amelynek maximuma a (𝟒; −𝟑) pont,

illetve olyan 𝒈 (𝒙) másodfokú függvényt, melynek minimuma van az (𝟏; 𝟔) pontban!

28. (E) Az 𝒇 (𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 függvény két zérushelye 𝒙𝟏 = −𝟐 és 𝒙𝟐 = 𝟒. Add meg

az 𝒂, 𝒃 és 𝒄 értékét úgy, hogy a függvény grafikonja az 𝒚 – tengelyt −𝟔 – nál metsze!

29. (E) Add meg az 𝒂, 𝒃, 𝒄 értékeket úgy, hogy az 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 függvény

tengelypontja a 𝑻 (𝟑;−𝟐) legyen és illeszkedjen rá a 𝑷 (𝟏; 𝟔) pont!


27

30. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇(𝒙) = 𝟑 ∙ |𝒙 + 𝟐| − 𝟒!

31. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = − |𝟏

𝟐𝒙 − 𝟑| + 𝟏!

32. (E) Ábrázold és jellemezd szélsőérték szempontjából az 𝒇 (𝒙) = ||𝒙| − 𝟐|−𝟑||

függvényt!

33. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝒙| − |𝒙 − 𝟑|!

34. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝒙| + |𝒙 + 𝟐|!

35. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒 ∙ |𝒙|!

36. (K) Ábrázol és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = −|𝒙 − 𝟏| + 𝟔!

37. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝟐 ∙ √𝒙 + 𝟑!

38. (E) Ábrázold a következő függvényt: f(x) = 𝟏 + √−𝒙!

39. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |√𝒙𝟑|!

40. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝟑 − √𝒙 − 𝟒!

41. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝟏

𝒙 − 𝟏+ 𝟐!

42. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = −𝟏

𝟐𝒙!

43. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝒙 + 𝟏

𝒙 − 𝟐!

44. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =|𝒙| − 𝟏

|𝒙| − 𝟐!


28

45. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝟏

− 𝒙!

46. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = |𝟐

𝒙 + 𝟑− 𝟒|!

47. (E) Hány rácsponton megy át az 𝒇 (𝒙) =𝟐𝒙 + 𝟑

𝟐 − 𝒙 függvény grafikonja!

48. (E) Egy lineáris törtfüggvény értelmezési tartománya ℝ \ {𝟑} és a grafikonja

illeszkedik a 𝑷 (𝟎; 𝟒) és 𝑸 (−𝟐; 𝟐) pontokra. Add meg a függvény hozzárendelési

szabályát!

49. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = {𝟐𝒙}!

50. (K) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝟐 ∙ [𝒙]!

51. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = 𝒔𝒈𝒏 (𝒙𝟐 − 𝟒𝒙)!

52. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇(𝒙) = [𝒙]𝟐!

53. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇(𝒙) = 𝒙 ∙ [𝒙]!

54. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = [𝒙 − 𝟑]!

55. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) = {𝒙} + 𝟒!

56. (K) Ábrázold a következő függvényeket az adott intervallumokon!

a) 𝒇 (𝒙) = 𝒙𝟑, ha 𝒙 ∈ ]−𝟏; 𝟐]

b) 𝒇 (𝒙) = √𝒙 + 𝟐, 𝒉𝒂 𝒙 ∈ [𝟏; 𝟔]

c) 𝒇: [−𝟒; 𝟓[ → ℝ; 𝒙 ⟼ ||𝒙| − 𝟑|


29

57. (K) Ábrázold a következő függvényeket!

a) 𝒇 (𝒙) =

{

𝟏

𝟐𝒙 + 𝟔, 𝒉𝒂 𝒙 < −𝟒

|𝒙|, 𝒉𝒂 − 𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟑

𝟑, 𝒉𝒂 𝒙 ≥ 𝟑

b) 𝒇 (𝒙) =

{

(𝒙 + 𝟓)𝟐 − 𝟑, 𝒉𝒂 𝒙 ≤ −𝟑

−|𝒙| + 𝟒, 𝒉𝒂 − 𝟑 < 𝒙 < 𝟐

−𝟐 ∙ √𝒙 − 𝟐 + 𝟐, 𝒉𝒂 𝒙 ≥ 𝟐

58. (E) Ábrázold a következő függvényt: 𝒇 (𝒙) =𝟐𝒙𝟐 − 𝟖

𝒙 + 𝟐!

59. (E) Állapítsd meg a következő függvények paritását!

𝒇:ℝ → ℝ; 𝒙 ↦𝟓𝒙𝟑

𝟔 + 𝒙𝟏𝟎 𝒈 (𝒙) = √|𝒙 − 𝟕| 𝒉 (𝒙) = |𝒙| − 𝟐 + 𝒙𝟖

60. (E) Igazold, hogy az 𝒇 (𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏 függvény az egész értelmezési

tartományán szigorúan monoton növekvő!

61. (E) Mennyi a periódusa az 𝒇 (𝒙) = −𝟓 · {𝒙} + 𝟐, illetve a 𝒈 (𝒙) = {𝒙

𝟕− 𝟖}

függvénynek?

62. (K) Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket!

a) 𝟐𝒙 + 𝟑 = −𝒙 + 𝟔

b) 𝒙𝟐 = 𝟒

c) |𝒙| = −𝟑𝒙

d) 𝒙𝟐 − 𝟒 = |𝒙 + 𝟐|

e) 𝒙𝟐 + 𝟑 = −|𝒙| + 𝟐


30

63. (K) Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket!

a) 𝟑

𝟒𝒙 − 𝟓 < −𝒙 + 𝟐

b) 𝒙 + 𝟒 > −𝟏

c) 𝒙𝟐 ≤ √𝒙

d) 𝟐 ≥ −|𝒙 + 𝟏|

e) |𝒙| − 𝟐 ≥ (𝟐𝒙)𝟐

64. (K) Add meg az ábrázolt függvények hozzárendelési szabályát!


31

65. (K) Milyen függvénytípusokkal lehet szemléltetni az alábbi szituációkat?

A: Egy telefontársaság perc alapú számlázása esetén fizetendő összeg, ahol az első

megkezdett perc ingyenes, majd minden további megkezdett percért (a perc nulladik

másodpercétől kezdve) 𝟐𝟎 𝑭𝒕 – ot kell fizetni.

B: Egy kerékpáros egyenletes sebességgel haladva adott idő alatt megtett útja.

C: Egy ferdén feldobott kő legmagasabb emelkedési pontjának meghatározása.

D: A nagymutató által mutatott perc 𝟔 és 𝟏𝟎 óra között.

E: Feszültség jelzése egy vezető két vége között (a két állapot megkülönböztetése).

F: A munkások és az elkészített alkatrészek száma közötti kapcsolat ábrázolása.

66. (E) Ábrázold derékszögű koordináta – rendszerben a következő halmazokat!

a) 𝑨 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝟏 < 𝒙 < 𝟒 é𝒔 − 𝟏 ≤ 𝒚 é𝒔 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ}

b) 𝑩 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝒙 ≥ 𝟐 𝒗𝒂𝒈𝒚 𝒚 > 𝟏 é𝒔 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ+}

c) 𝑪 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝒚 < 𝒙 + 𝟏 é𝒔 𝒚 ≥ 𝒙𝟐 − 𝟏 é𝒔 𝒙 ∈ ℝ−, 𝒚 ∈ ℝ}

d) 𝑫 = {𝑷(𝒙; 𝒚)|𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟐𝟓 é𝒔 |𝒚| < 𝟑 é𝒔 𝒙, 𝒚 ∈ ℝ}

67. (E) Adott az 𝒇 (𝒙 − 𝟐) = |𝒙|, 𝒙 ∈ ℝ függvény. Add meg az 𝒇 (𝒙 + 𝟏), 𝒙 ∈ ℝ függvényt!

68. (E) Add meg a valós számok megfelelő részhalmazán értelmezett 𝒇 függvényt, ha

tudjuk, hogy 𝒇 (𝒙 + 𝟑) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑!


32

Felhasznált irodalom

(1) Hajdu Sándor; 2002.; Matematika 9.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest

(2) Urbán János; 2001.; Sokszínű matematika 9; Mozaik Kiadó; Szeged

(3) Ábrahám Gábor; 2012.; Matematika 9; Maxim Könyvkiadó; Szeged

(4) Urbán János; 2014.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 9; Mozaik Kiadó; Szeged

(5) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából;

Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest

(6) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.;

Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba

(7) Fuksz Éva; 2011.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 9 − 10. évfolyam;

Maxim Kiadó; Szeged

(8) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából – emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged

(9) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html

(10) Saját anyagok

https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html

Documents

Függvények ábrázolása, jellemzése I. · Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1 Függvények ábrázolása, jellemzése I. DEFINÍCIÓ: (Hozzárendelés)