Upload
eryk
View
38
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Függvények típusai. Gelle Csaba IV. matematika. Függvény. Az olyan hozzárendelést, ahol egy nem üres halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük egy szintén nem üres halmaz egy, de csakis egy elemét, függvény nek nevezzük. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Függvények típusai
Gelle CsabaIV. matematika
Azt a halmazt, amelynek az elemeihez a másik halmaz egy-egy elemét rendeljük, a függvény értelmezési tartományának nevezzük.
Jelölése: D (pl. jelentése: az ƒ-fel jelölt függvény értelmezési tartománya)
Az értelmezési tartomány elemeihez rendelt elemek halmazát a függvény Az értelmezési tartomány elemeihez rendelt elemek halmazát a függvény értékkészletértékkészletének nevezzük.ének nevezzük.
Jelölés: R (pl. jelentése: az Jelölés: R (pl. jelentése: az ƒƒ-fel jelölt függvény értékkészlete)-fel jelölt függvény értékkészlete)Minden olyan halmazt, amelynek részhalmaza egy függvény értékkészlete, a Minden olyan halmazt, amelynek részhalmaza egy függvény értékkészlete, a
függvény függvény képhalmazképhalmazának nevezzük.ának nevezzük.
Függvény
fR
Az olyan hozzárendelést, ahol egy nem üres halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük egy szintén nem üres halmaz egy, de csakis egy elemét,
függvénynek nevezzük.
fD
Függvény megadása
Egy függvényt akkor tekintünk adottnak, ha ismerjük az
• értelmezési tartományát
• egy képhalmazát (lehetőleg az értékkészletét)
• azt az utasítást, amely megmondja, hogy az értelmezési tartomány elemeihez milyen módon rendeljük hozzá az értékkészlet elemeit.
A függvény megadása leggyakrabban történhet:
a) értéktáblázattal:
b) nyíldiagrammal:
c) képlettel:
x
f(x)
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
9 4 1 1 4 90 25
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ƒ: R→R x 2x + 1ƒ: R→R ƒ(x) 2x + 1ƒ: R→R y = 2x + 1
A függvény megadása történhet még:
d) grafikonnal
e) utasítással, körülírással,
f) különböző formulákkal
Függvénytípusok
Lineáris függvények: • konstans függvény
• elsőfokú függvény
Nem lineáris függvények:
• másodfokú függvény (parabola)
• abszolútérték függvény
• 1/x függvény (hiperbola)
• exponenciális függvény
• négyzetgyök-függvény
• logaritmus függvény
• trigonometrikus függvények
A lineáris függvény
Az ff matematikai függvényt lineáris függvénynek nevezzük, ha az nulladfokú, vagy elsőfokú.
A hozzárendelés szabálya a következő alakban adható meg:
Ha a értéke 0, akkor konstans függvényről beszélünk, és a grafikonja párhuzamos lesz az x tengellyel. Minden más esetben
metszi azt.A „lineáris” szó arra utal, hogy a függvény grafikonja egyenes.A „lineáris” szó arra utal, hogy a függvény grafikonja egyenes.
(Nem lehet párhuzamos az y tengellyel!!!)
bxaxf
bxaxf
)(
:
A konstans függvény
Az ff matematikai függvényt konstans függvénynek nevezzük, ha az értelmezési taromány minden elméhez az értékkészletnek ugyanazt az elemét rendeljük hozzá. Szokás nulladfokú függvénynek is nevezni.
A függvény grafikonja ekkor az x tengellyel párhuzamos egyenes.
f :f :4x
Például: minden f(x) képelem 4-gyel egyenlő a következő függvényben:
Az elsőfokú függvény
Egy a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvény
elsőfokú, ha van olyan a,b R , a≠0, hogy:
Az „elsőfokú” elnevezés azt jelzi, hogy az x változó az első
hatványon fordul elő.
)(
)(
:
0
aahol
bxaxf
bxaxf
Például:
22
xx
f :f :
A másodfokú függvény
cxbxaxf
cxbxax
RRf
2
2
)(
:
Egy a valós számok halmazán értelmezett f f függvény másodfokú, ha van olyan a,b,c R, a≠0, hogy:
A függvény képe parabola.
x
f(x)
-3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
9 4 1 1 4 90 25
A négyzetgyök-függvény
Egy a nem negatív valós számok halamazán értelmezett ƒ függvény négyzetgyök-függvény, ha
A függvény képe egy félparabola.
xxf
xx
RRf
)(
:
y
x
Abszolútérték függvény
Egy a valós számok halmazán értelmezett f f függvényt abszolútérték függvénynek nevezzük, ha
A függvény képe egy „v” alakbanmegtört egyenes.
Az értékkészletben a képhalmaznak csak a pozitív elemei, illetve a 0 szerepelnek.
0,
:)(
0,
xhax
xxf
xhax
Az 1/x függvény
Az f f függvényt reciprok illetve 1/x függvénynek nevezzük, ha a függvény hozzárendelése a következő:
f :f :
xx
RR
1
A függvény képe hiperbola. A tengelyeket nem éri el sehol!
Az exponenciális függvény
Legyen adott a>0, a≠1 valós szám. Egy
a valós számok halmazán értelmezett
szigorúan monoton ƒ függvényt a-alapú
exponenciális függvénynek nevezünk, ha
minden x racionális szám esetén.
A grafikon az y-tengelyt a (0;1) pontban
metszi.
xaxf
RRf
)(
:
)1()( aaxf x
)10()( aaxf x
xaxf )(
A logaritmus függvény
Legyen adott a>0, a≠1 valós szám. Azt
a valós számok halamazán értelmezett
ƒ függvényt, amely az a-alapú
exponenciális függvény inverz
függvénye a-alapú logaritmus
függvénynek nevezzük, és
módon jelöljük.
A grafikon az x-tengelyt az (1;0)
pontban metszi.
)1(log)( axxf a
)10(
log)(
a
xxf a
)1(
log)(
a
xxf a
xxf alog)(
Trigonometrikus függvények
Azt a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugynennyi radián ívmértékű szög sinusát rendeli sinusfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=sin x módon jelöljük.
Azt a valós számok halmazán értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugyanennyi radián ívmértékű szög cosinusát rendeli cosinusfüggvénynek nevezzük,és ƒ(x)=cos x módon jelöljük.
Trigonometrikus függvények
Azt a intervallumon értelmezett ƒ függvényt, amely minden
valós számhoz az ugyanannyi radián ívmértékű szög tangensét rendeli
tangensfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=tg x módon jelöljük.
2;
2
Azt a intervallumon értelmezett ƒ függvényt, amely minden valós számhoz az ugyanannyi radián ívmértékű szög cotangensét rendeli cotangensfüggvénynek nevezzük, és ƒ(x)=ctg x módon jelöljük.
;0
3D függvények
Térben elhelyezkedő függvények, jelenleg felsőfokú anyag!