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1 MAPLima
FI001 Aula 11
O Potencial linear
�a +a x
V (x)E = ka
Neste caso V (x) = k|x|, com k constante e positivo. Para E = ka, note pontos
de retorno classico em x = ±a. A equacao de Schrodinger independente do
tempo, fica � ~22m
d2
dx2uE(x) + k|x|uE(x) = EuE(x)
E possıvel transformar este problema em um outro, onde so lidamos com valores
de x positivos. Para isso e preciso observar que a Hamiltoniana (escrita aqui na
representacao das coordenadas) tem paridade par, isto e H(�x) = H(x). Como
consequencia disso, as autofuncoes terao paridade bem definida, ou seja, ou sao
funcoes pares ou sao funcoes ımpares. Funcoes ımpares tem propriedadef(0) = 0
e funcoes pares tem a propriedade f0(0) = 0 (pois f(x) tem um maximo ou
mınimo em x = 0). Assim o problema, so para x > 0, pode ser dividido em dois,
se adotarmos as seguintes condicoes de contorno para uE(x) :
[1] Para funcoes pares, uE(�x) = uE(x) !duE
dx(0) = 0 e lim
x!1uE(x) = 0
[2] Para funcoes ımpares, uE(�x) = �uE(x) ! uE(0) = 0 e limx!1
uE(x) = 0
<latexit sha1_base64="ADdiriknDnhrBL0kWPqfbn5SE1w=">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</latexit>
lousa
2 MAPLima
FI001 Aula 11
O Potencial linear
=2 para achar x0 =2ε para achar E0 Note x0/E0=1/k
Agora, vamos transformar a equacao, � ~22m
d2
dx2uE(x) + kxuE(x) = EuE(x)
de forma que fique sem unidades. Para isso, considere y =x
x0e " =
E
E0.
Esta escolha nos leva a � ~22mx2
0
d2
dy2uE(y) + kx0yuE(y) = "E0uE(y) ou
d2
dy2uE(y)�
2mkx30
~2 yuE(y) = �2m"x20E0
~2 uE(y) !(x30 = ~2
mk ! x0 = ( ~2
mk )1/3
E0 = ~2
mx20! E0 = (~
2k2
m )1/3
d2
dy2uE(y)�2(y�")uE(y)) = 0 use z = 21/3(y�") �! d2
dz2uE(z)�zuE(z)) = 0
| {z }Equacao de Airy
8>>>>>>>><
>>>>>>>>:
z = 0 ! y = " ! xx0
= EE0
) x = x0EE0
para E = ka e x0E0
= 1k , temos x = a.
Assim, identificamos:
z = 0 (x = a) ponto de retorno classico
z < 0 (x < a) regiao classica permitida
z > 0 (x > a) regiao classica proibida
<latexit sha1_base64="St2/uJguFteqd+IZhITOd8tjpag=">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</latexit>
3 MAPLima
FI001 Aula 11
se x = 0 ) z = 21/3(y � ✏) = 21/3(x
x0� ✏) = �21/3✏
O Potencial linear
ponto de retorno clássico
Chamando de Ai(z) = uE(z), a condicao de contorno na origem pode ser
vista da seguinte maneira:
uE(x)
(1) Par ! duE
dx (0) = 0 ! ddzAi(z = �2
1/3") = 0 zeros da derivada
2) Impar ! uE(0) = 0 ! Ai(z = �21/3") = 0 zeros da funcao de Airy
os zeros da funcao de Airy (ou de sua derivada) definem as energias (✏) que
fornecem as condicoes de contorno corretas na origem. Note que, novamente,
a condicao de contorno e que quantiza as energias do sistema.
Ai0(z) = 0 para z = �1, 019; z = �3, 249; z = �4, 820; . . .
Ai(z) = 0 para z = �2, 338; z = �4, 088; z = �5, 521; . . .
O estado fundamental e: " = 1, 019⇥ 2�1/3
=E
E0! E =
1, 019
21/3E0
com uma distancia caracterıstica de x = a =E
k= E
x0
E0=
1, 019
21/3x0
<latexit sha1_base64="Op0mSTAZcbKhrWOXMwKbnQLtCkQ=">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</latexit>
4 MAPLima
FI001 Aula 11
Neutron como bolinha quântica pulante
Para o neutron quantico saltitante, pegamos so as solucoes ımpares (zeros de Ai).
Estes zeros, achados com Ai(z) = 0, aparecem em z1 = �2, 338; z2 = �4, 088;
z3 = �5, 521; . . .
Os dados do experimento fornecem x0 =� ~2m2g
�1/3= 7, 40µm.
Assim temos:
8><
>:
"1 =2,33821/3
com x1 =EE0
x0 =2,33821/3
x0 = 14µm
"2 =4,08821/3
com x2 =EE0
x0 =4,08821/3
x0 = 24µm
"3 =5,52121/3
com x3 =EE0
x0 =5,52121/3
x0 = 32µm
Só passa se atingir essa altura
5 MAPLima
FI001 Aula 11 <latexit sha1_base64="RhgxICGs2LHJV+yMMQZ6t01/tVI=">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</latexit>
WKB (Wentzel, Kramers, e Brilloin), e uma aproximacao semi-classica que
explora limites onde ~ pode ser considerado pequeno. Em suma, a ideia e
escrever a funcao de onda como
(x0, t) =
p⇢(x0, t) exp
� iS(x0, t)
~�
e explorar a validade das aproximacoes para S. Para facilitar, consideremos
o caso unidimensional. Lembre que para o caso estacionario, temos
S(x, t) = W (x)� Et e quedW
dt=@W
@x
dx
dt+@W
@t=@S
@x
dx
dt= p
dx
dt
) W =
Zpdx
dtdt =
Z x
pdx = ±Z x p
2m(E � V (x0)dx0 pois,
H =p2
2m+ V (x0) = E. Assim, temos: S(x, t) = ±
Z x p2m(E � V (x0)dx0 � Et
Para o caso estacionario, temos@⇢
@t= 0. Assim, a equacao da continuidade fica
@⇢
@t+r.j = 0 ! j = constante (uma dimensao). Vimos j =
⇢rS
m=
⇢
m
d
dxS(x, t)
! ⇢d
dxW (x, t) = cte ) ±⇢
p2m(E � V (x) = cte e ) p
⇢ =cte
(2m(E � V (x)))1/4
Aproximação semi-clássica WKB
lousa
6 MAPLima
FI001 Aula 11
Aproximação semi-clássica WKB <latexit sha1_base64="NtnX7u8ORMHjl5iyjvro76T9spA=">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</latexit>
Note quep⇢ =
cte
(2m(E � V (x)))1/4/ 1
pvclassica
! quanto maior a velocidade,
menor a chance de encontrar a partıcula no ponto.
Assim, inserindop⇢ e S na expressao de , temos a aproximacao WKB:
(x, t) =cte
(2m(E � V (x)))1/4exp
�± i
~
Z x p2m(E � V (x0))dx0 � iEt
~�
Antes de explorar melhor esta solucao aproximada, vejamos o que significa ~pequeno. Entre outras, consideramos (slide 8 da aula 10)
~|r2S| << |rS|2 ! ~|d2W
dx2| << |dW
dx|2 (S = W � Et, e unidimensional)
p = ~k = ~2⇡�
) �
2⇡= � =
~p! � =
~|dWdx |
=~p
2m(E � V (x))
|d2W
dx2| = | ± d
dx
p2m(E � V (x))| = |�
mdVdxp
2m(E � V (x))| =
m|dVdx |p2m(E � V (x))
7 MAPLima
FI001 Aula 11
Assim, a condicao ~|d2W
dx2| << |dW
dx|2 pode ser reescrita por
1
~|d2Wdx2 |
>>1
|dWdx |2!
|dWdx ||d2Wdx2 |
>>~
|dWdx |!
|dWdx ||d2Wdx2 |
>> � ! � <<2m(E � V (x))
|dVdx |
que e satisfeita quando |dVdx
| ⇡ 0 e nao e satisfeita quando V (x) = E. Uma
forma de olhar isso e atraves da expressao:dx
�|{z}>>
|dV |2m(E � V (x))| {z }
Numero de comprimentos de onda dentro
do intervalo dx que o potencial varia dV. A variacao relativa do potencial
precisa ser pequena em muitos
comprimentos de onda.
Pense neste outro argumento: para construir um pacote de ondas com momento
relativamente bem definido e preciso combinar ondas com momento p ⇡ p0. O
tamanho do pacote e da ordem de um comprimento de onda (�). Se o potencial
varia dentro do tamanho do pacote, efeitos quanticos ocorrerao e a aproximacao
falha.
Aproximação semi-clássica WKB
8 MAPLima
FI001 Aula 11 A solucao para (x, t) foi deduzida para a regiao classicamente permitida,
onde E � V (x) e positivo. Consideraremos, agora, a regiao onde E � V (x)
e negativo (classicamente nao tem sentido). Faremos isso substituindo
diretamente
pE � V (x) = i
pV (x)� E na expressao de (x, t), ou seja,
(x, t) =cte
(2m(E � V (x))1/4exp
�± 1
~
Z x p2m(V (x0)� E)dx0 � iEt
~�
Temos uma solucao para E > V (x) e outra para E < V (x). O problema e que
nenhuma das duas vale para E = V (x)
✓viola a condicao � <<
2m|E � V (x)||dVdx |
◆
Solucao:
8>>>>>>>><
>>>>>>>>:
1) Expanda V (x) ao redor de x0 (situacao, onde V (x0) = E)
V (x) = V (x0) +dVdx
��x=x0
(x� x0)
2) Use esta expansao e � ~2
2md2
dx2uE(x) + V (x)uE(x) = EuE(x)d2
dx2uE(x)� 2m~2
dVdx
��x=x0
(x� x0)uE(x) = 0 (equacao de Airy)
3) As solucoes sao funcoes de Bessel de ordem ± 13 . Empate
esta solucao com as outras duas (a esquerda e a direita de x0).
Aproximação semi-clássica WKB
9 MAPLima
FI001 Aula 11
Aproximação semi-clássica WKB: poço de potencial
Solucoes WKB longe dos pontos de retorno classico:
(x)
8>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>:
I(x) =1
(V (x)�E)1/4exp
�� 1
~R x1
x
p2m(V (x0)� E)dx0�
II(x) =1
(E�V (x))1/4exp
�± i
~R xx1
p2m(E � V (x0))dx0�
II(x) =1
(E�V (x))1/4exp
�± i
~R x2
x
p2m(E � V (x0))dx0�
III(x) =1
(V (x)�E)1/4exp
�� 1
~R xx2
p2m(V (x0)� E)dx0�
10 MAPLima
FI001 Aula 11
Aproximação semi-clássica WKB: poço de potencial
<latexit sha1_base64="E6fp0IN/ZXOyWuP/qvbbi0RMduE=">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</latexit>
Conectando as regioes com as funcoes de Airy, obriga a regra:
regiao I ! II
8><
>:
I(x) =1
(V (x)�E)1/4exp
�� 1
~R x1
x
p2m(V (x0)� E)dx0�
II(x) =2
(E�V (x))1/4cos
⇥1~R xx1
p2m(E � V (x0))dx0 � ⇡
4
⇤
regiao III ! II
8><
>:
III(x) =1
(V (x)�E)1/4exp
�� 1
~R xx2
p2m(V (x0)� E)dx0�
II(x) =2
(E�V (x))1/4cos
⇥� 1
~R x2
x
p2m(E � V (x0))dx0 + ⇡
4
⇤
11 MAPLima
FI001 Aula 11
Aproximação semi-clássica WKB: poço de potencial lousa
As solucoes na regiao II deveriam ser iguais, a menos de um sinal. Assim:
EII(x) =
2
(E � V (x))1/4cos
⇥1~
Z x
x1
p2m(E � V (x0))dx0 � ⇡
4
⇤=
= ± DII(x) = ± 2
(E � V (x))1/4cos
⇥� 1
~
Z x2
x
p2m(E � V (x0))dx0
+⇡
4
⇤
para isso, exigimos que os argumentos dos cos difiram em n⇡. Ou seja,
⇥1~
Z x
x1
p2m(E � V (x0))dx0 � ⇡
4
⇤�
⇥� 1
~
Z x2
x
p2m(E � V (x0))dx0
+⇡
4
⇤= n⇡
Ou melhor,
Z x2
x1
p2m(E � V (x0))dx0
= (n+1
2)⇡~ !
Ipdq = nh
| {z }
Isso lembra a regra de
quantizacao da velha
mecanica quantica de
Sommerfield e Wilson.
<latexit sha1_base64="oYJnuq2mD20qui7AIFCClil9R+Q=">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</latexit>
12 MAPLima
FI001 Aula 11
Aproximação semi-clássica WKB: uma aplicação Suponha bola pulando em uma superfıcie dura e sob acao de um campo
gravitacional. O potencial deste problema e definido por:
V =
(mgx, para x > 0
1 para x < 0
com pontos de retorno classico definidos por x1 = 0 e x2 =E
mg.
Nao e possıvel usarmos diretamente a solucao WKB desenvolvida , pois
tınhamos a hipotese de que a onda vazava para x < x1 e aqui a funcao
e nula nesta regiao. E possıvel, entretanto, usarmos a solucao WKB
desenvolvida, se considerarmos um novo potencial, V = mg|x|, que e
igual ao do problema em questao para x > 0, mas difere na regiao de
x < 0. Lembrando que este potencial gera autofuncoes de H com paridade
bem definida, podemos considerar as funcoes ımpares do novo problema
como solucao do problema original, pois, as funcoes ımpares se anulam na
origem, conforme exigencia da condicao de contorno do problema.
13 MAPLima
FI001 Aula 11
Aproximação semi-clássica WKB: uma aplicação
n WKB Exato
1 2,320 2,338
2 4,082 4,088
3 5,517 5,521
O novo problema tem potencial: V = mg|x|, com pontos de retorno classico
iguais a:
(x1 = � E
mg
x2 = +Emg .
Para obter o espectro, basta resolver a integral:
Z + Emg
� Emg
p2m(E �mg|x|)dx = (nımpar +
1
2)⇡~
Como o integrando e par, podemos escrever:
2
Z + Emg
0
p2m(E �mgx)dx = (nımpar +
1
2)⇡~ !
Z + Emg
0
p2m(E �mgx)dx =
1
2(nımpar +
1
2)⇡~ =
1
2(2n� 1 +
1
2)⇡~ = (n� 1
4)⇡~
En =
⇢⇥3(n� 1
4 )⇡⇤2/3
2
�(mg2~2)1/3 com n = 1, 2, 3...
14 MAPLima
FI001 Aula 11
Aproximação semi-clássica WKB: exercícios extras
Problemas resolvidos em “Quantum Mechanics, concepts and applications”, Nouredine Zettili
1) Use a aproximacao WKB para calcular os nıveis de energia de uma partıcula
sem spin de massa m movendo em uma caixa com paredes rıgidas em x = 0
e x = L. Dica: usamos as funcoes de Airy para acertar a aproximacao nos
pontos de retorno classico. Faca algo semelhante, lembrando que a expressao
correta da funcao de onda na parede rıgida e (0) = (L) = 0.
2) Use a aproximacao WKB para calcular os nıveis de energia dos estados s de
um eletron preso a um nucleo de carga Z|e|. Dica: trate o eletron como preso
entre duas paredes rıgidas em r = 0 e r = a (com E = V (a) ! a = �Ze2/E).
3) Use a aproximacao WKB para estimar os nıveis de energia de um oscilador
harmonico unidimensional.
4) Use a aproximacao WKB para resolver o problema da partıcula saltitante no
campo gravitacional (slide 12). Nao use o truque de simetrizar o potencial.
Use o raciocınio do problema 1 (acima).
15 MAPLima
FI001 Aula 11
Lousa slide 1
H(�x) = H(x) ) se H respeita essa simetria, quais propriedades poderıamos
prever sobre as auto-funcoes de H? Comece definindo um operador ⇡, tal que
⇡ (x) = (�x). Aplique ⇡ sobre essa equacao ⇡⇡ (x) = ⇡ (�x) = (x) e
conclua que ⇡2= 1.
• O que voce consegue dizer sobre [⇡, H]? Aplique ⇡H em uma funcao qualquer
⇡H(x)�(x) = H(�x)�(�x) = H(x)�(�x) = H(x)⇡�(x) ) 8�(x), [⇡, H] = 0
• Isso significa que as auto-funcoes de ⇡ tambem sao auto-funcoes de H.
• Suponha que voce sabe a solucao de ⇡uE(x) = �uE(x). Coloquei o ındice E
para lembrar que sao tambem auto-funcoes de H, isto e HuE(x) = EuE(x).
• Aplique ⇡ na sua equacao de auto-valor e obtenha
⇡⇡uE(x) = �⇡uE(x) = �2uE(x) = uE(x) ) �
2= 1 ) � = ±1, ou seja
⇡uE(x) = uE(�x) = ±uE(x) ) paridade bem definida.
• Estudaremos melhor como explorar simetrias no final desta disciplina.
<latexit sha1_base64="H9H0u55sHaWcvIOZ83e4CFcePq0=">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</latexit>
16 MAPLima
FI001 Aula 11
<latexit sha1_base64="CZIfbh+lV61Qw4qogCoQxglBgJ0=">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</latexit>
Comece substituindo a expressao (x0, t) =
p⇢(x0, t) exp
� iS(x0, t)
~�na
equacao de Schrodinger
i~ @@t (x0
, t) = � ~22m
r2 (x0
, t) + V (x0) (x0, t)
e obtenha a seguinte expressao:
i~⇥@p⇢@t
+i
~p⇢@S
@t
⇤=
= � ~22m
⇥r2p
⇢+ (2i
~ )(rp⇢).(rS)� 1
~2p⇢|rS|2 + (
i
~ )p⇢r2
S⇤+
p⇢V
No limite classico, ~ e considerado muito pequeno. Observe que temos
termos em ~0, ~1, e ~2. O limite classico e obtido mantendo os termos
em ~0 e desprezando todos os termos que dependem de ~ e ~2. Isso da
1
2m|rS(x0
, t)|2 + V (x0) +@S(x0
, t)
@t= 0
No caso de um estado estacionario, H nao depende do tempo e classicamente
a funcao principal de Hamilton e separavel e pode ser escrita por:
S(x0, t) = W (x0)� Et, onde W (x0) e a funcao caracterıstica de Hamilton.
O momento na teoria de Hamilton-Jacobi e dado por: Pclassico = rS = rW.
Aula 10, slides 8 e 9: O limite clássico
slide 5
17 MAPLima
FI001 Aula 11
x1
x1
x2
x2
Lousa Slide 11 Funcoes que diferem por um sinal, tem a mesma fısica.
<latexit sha1_base64="AR71WOTc5Xg7E52p/W2o6EtlDM0=">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</latexit>
cos a = ± cos b = cos (b+ n⇡) = cos b cosn⇡ � sin b sinn⇡ )a = b+ n⇡ ) a� b = n⇡
<latexit sha1_base64="MBpJqQJrlmJXM47BQkaLHkU+nao=">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</latexit>
