FI2018 RAMA VF 310818 · DiapoRAMAdes solutions 32e! • Si Lou prend 6 crayons, elle peut n’emporter que les crayons bleus • Lou doit prendre, au minimum, 7crayons Jour 1 –Problème

FinaleInternationaledes29et30août2018

DiapoRAMA dessolutions

32e

𝜋

• SiLouprend6crayons,ellepeutn’emporterquelescrayonsbleus

• Loudoitprendre,auminimum,7 crayons

Jour1– Problème1– Danslenoir

FFJM- 32e ChampionnatInternationaldesJeuxMathématiquesetLogiques- Finale

2

6 3

• SiTedtravaillelelundi,ilnetravaillepasledimanchenilemardi• Il travaillelemercredi,et,oulevendredioulesamedi

• SiTednetravaillepaslelundi,iltravaillelevendredi,ledimanche,et,oulemardioulemercredi,

• 2+2=4planningssontpossibles

Jour1– Problème2 – L’entraînement


3

✓X✓ X X

X

✓

X X✓ ✓✓

✓

X

• 7 opérationsaurontétécomptées

Jour1– Problème3– Lespiles


4+ ++ + + +

+ ++ + + +

+ ++ + + ++ ++ + + +

+ ++ + + +

• Nousavonsintérêtàgrouperenquatrepairesdesnombresdontladifférenceest2,afind’ajouter5aupluspetitdesdeuxet3auplusgrand

• Ilresteraunnombreseul(ci-dessous,le9)

• Lenombrederésultatsdifférentslepluspetitpossibleest5

Jour1– Problème4 – Plus3ou5


5

123456789

6 7 6 7 10 11 10 11 14+3+5

• Nouspouvonspartirde6 casesblanches

Jour1– Problème5 – Arobase


6

• LesphrasesBetD nepeuventpasêtrevraiestouteslesdeuxet,n’étantpasséparéespardeuxautresphrases,ellesnepeuventpasêtrefaussestouteslesdeux

• Si Bestfausse,AetFsontvraies,lenombreest24ou42,Eestfausse,lenombren’estpasmultiplede6,d’oùunecontradiction

• Destfausse,B estvraie,le nombreestplus grand que57,Eestvraie,lenombreestmultiplede6,F estvraie,un des chiffres est4,Trisha penseaunombre84

• NousvérifionsqueAestfausseetqueCestvraie

Jour1– Problème6 – Unefoissurtrois


7

A« Undeschiffresdunombreest2 »

B« Lenombreestplusgrandque57 »

C« Lenombreestpair »

D« Lenombreestpluspetitque31 »

E« Lenombreestmultiplede6»

F« Undeschiffresdunombreest4 »

• Soientrespectivement13Q1 et13Q2lessommesdeschiffresdupremieretdusecondentier

• Unnombredontlasommedeschiffresestaumoinségaleà13x4=52=5x9+7étantsupérieurà55555,Q1 etQ2 sontaupluségalesà3

• (13Q1 +1)– 13Q2 =13(Q1 – Q2)+ 1estdivisiblepar9• Q1 =3etQ2 =1

• Lepluspetitnombredontlasommedeschiffresest13x3=39est39999• 39999,48999,49899,49989 et49998sontsuivisrespectivementpar

40000,49000,49900,49990et49999• Seul49000apoursommedeschiffres13x1=13• Leplusgranddesdeuxnombresest49000

Jour1– Problème7 – Lesnombresportebonheur


8

• Lasommedesnombresde1à8est36• Lasommedesdeuxnombresoranges

est36– (2x11)=14,cesont6et8

• Si 8estécritdansledisqueenbasàdroite,chacundesdeuxalignementsauxquelsilappartientdevraitcontenir1et2pourobtenirlasomme11

• Ilfautécrire6 enbasàdroite

• Ledessinillustrelesdeuxconfigurationspossibles(nondemandées)

Jour1– Problème8 – Sommestoutes


9

8

8

6

1

2

45

3

7

8

6

2

1

37

4

5

6

• Letramwayparti25minutesavantletaxiatteindralecentredelavilledans43– 25=18minutes,doncavantletaxi(18<21)

• Lestramwayspartis20,15,10et5minutesavantletaxiatteindrontrespectivementlecentredelavilledans23,28,33et38minutes,doncaprèsletaxi(21<23)

• Letaxiadépassé4 tramways

• Remarque:enconsidérantquelavitessedestramwaysn’estpasconstante,ildevientpossiblequeletaxidépassejusqu’à12tramways(cejeude9réponses- 4à12- aétéacceptéparlejury).

Jour1– Problème9 – Lestramways


10

• Si uncôtén’estpasledépartd’unecoupe,c’est18etilresteunrectangle2x18quidoitêtredécoupéenaumoins9carrés,soit10autotal

• Si chaquecôtéestledépartd’unecoupe,qu’ilyait4ou5carrés,onarriveàunecontradiction

• Onpeutdiviserletableauen6 carrés(ledessinindiquelecôtédechacund’eux)

Jour1– Problème10– Découpecarrés


11

10

10 8

8

4 4

x 18- x

20- x

x 18- x

20- x

x - 2

x +2

x - 2

x +2

9

615

6

9

1221

6 6

9

6

9

• Soient1BCD<A’B’C’D’lesannéesdenaissanceetdemort• DCB1– 1BCD=D’C’B’A’– A’B’C’D’• 999(D– 1)+90(C– B)=999(D’– A’)+90(C’– B’)• 33 x37x(D– 1+A’– D’)=2x32 x5x(C’– B’+B– C)• D– 1+A’– D’=C’– B’+B– C=0

• Si A’=2,D’=D+1,B’=0(noussommesen2018),C’=C– B• L’âgeest10(C-B)(D+1)– 1BCD=1001– 110xB• B=8,l’âgeest121ans(C=8et1≤D≤8ouC=9et1≤D≤7)• Si A’=1,D’=D,C’– C=B’– B• L’âgeest1B’C’D– 1BCD=110x(B’ – B)• B’ – B=1,l’âgeest110ans(B≤8,C≤8,1≤D)• MattUvu venaitd’avoir110 ou121 ans

Jour1– Problème11– Lecentenaire


12

• Lestrianglesvertssontégauxcarilsontuncôtédemêmelongueur(undemicôtédupetitcarré)comprisentredeuxangleségaux

• Quandungrandcarréintersecte leprécédent,nousperdonsuneaireégaleauquartdupluspetit

• 3/4(22 +32 +… +92)+102=3/4(4+9+… +100)+100=3/4(284)+100=213+100=313

• L’airedelasurfacegriseest313 cm2

Jour1– Problème12– L’ombrechinoise


13

• Numérotons0lacasededépartpuis,successivement,1depluschaquecaseatteignableausautsuivant

• Lescasesrosessontàévitercarellesfontrevenirenarrière

• Lescasesvertesmontrentl’exempled’uncheminminimal,en13 sauts

Jour1– Problème13– Lecavalierking size


14

Jour1– Problème14– Lesdiamants


15

• Soienta≤blespoids(encarats)desdeuxnouveauxdiamantset𝛼 lecoefficientdeproportionnalité

• 60690=𝛼(a+b)2 et35490=𝛼 (a2 +b2)

• (a+b)2 /(a2 +b2) =60690/35490=289/169• x=b/avérifiex2 – 169x/60+1=0• Lediscriminantestlecarréde119/60,x=12/5(x≥1)

• 𝛼 (b2 - a2)=35490(b2 - a2)/(a2 +b2)=35490 (x2 - 1)/(x2 +1)=35490(122 - 52)/(122 +52)=210x(122 - 52)=210x17x7

• L'écartentrelesprixdesdeuxnouveauxdiamant est24990 Euros

• Surleniveauenhautouenbas,ilyaaumaximum4(côtés)+2(centre)=6tronçons

• Surleniveauaumilieu– Soitlecircuitnepassepasparlecentre,ilyaau

maximum4tronçons(côtés)surceniveauet8(pair)tronçonsquirelientlesdeuxautresniveaux

– Soitlecircuitpasseparlecentre,ilyaaumaximum6tronçonssurceniveau maisonperd2tronçonsquirelientlesdeuxautresniveaux(auxextrémitésdestronçonsquipassentparlecentre)

• Théoriquement,lenombredetronçonsestaumaximum24

• C’estpossible• Lagaleriepassepar24 petitscubes

Jour1– Problème15– Letermite


16

1

48

16

9

13

20

21

24

• Leproblèmerevientàrésoudreuncryptogrammesans0maisavecdeux0àdroite

• ABn’étantpasdivisiblepar4,EFl’estetAB=25ou75

• Si AB=25,7CDEF≡ (1+3+4+6+… +9– CDEF)doncCDEF≡ 7(etGHI≡4)modulo9

• Si lasommedeschiffresdeCDEFest25,C=3et,dansledésordre,DEF=986puis,dansl’ordre(divisibilitédeEFpar4)DEF=968ou896,mais25x3968=99200et25x3896=97400,G=DouE

• LasommedeschiffresdeCDEFest16,C=3et,dansl’ordre,DEF=148ou184;25x3148=78700estimpossible;25x3184=79600donnela1ère réponse,7,96euros

Jour1– Problème16– L’effetd’échelle1/2


17

• Si AB=75,3CDEF≡ (1+… +4+6+8+9– CDEF)doncCDEF≡ 6(etGHI≡ 0) modulo9

• Si lasommedeschiffresdeCDEFest24,C=1et,dansl’ordre(divisibilitédeEFpar4),DEF=896ou968;mais75x1896et75x1968sontsupérieursà100000

• LasommedeschiffresdeCDEFest15,C=1et,dansl’ordre,DEF=1932,1824,1428,1248ou1284;75x1932=et75x1824sontsupérieursà100000;75x1248=93600et75x1284=96300donnentles2ème et3ème réponses,9,36 et9,63euros

Jour1– Problème16– L’effetd’échelle2/2


18

• Soienta<b<c<d<e<fsixnombresentierstotalisant52

• 10tripletspouvantcompléterfsurleplateauleplusléger,ledessinillustrel’ordredontonestsûr

• Les5 pairessurlignéesenrouge,toutesaumoinségalesàbd,nelepeuventpascarbdf >ace

• Pouratteindrelaprobabilité2/5,soit4paires,ilfautécarterbc ouae

• Si nousécartonsae,bcf <ade etadf <bce,bcff <adef <bcee quiestimpossiblecare<f

• Écartonsbc,ade <bcf etaef <bcd, lapremièreétantuneconséquencedelaseconde

Jour1– Problème17– Devinemasse1/2


19

<

<<<

< <

<

< <

< <<

de

cdce

bc bd be

abac adae

• Raisonnonssurlesécarts(strictementpositifs)b=a+v,c=b+w,d=c+x,e=d+y etf=e+z(lamasselapluslourdeesta+v+w+x+y+z)

• aef <bcd devientx+2y+z<v,v≥5• 6a+5v+4w+3x+2y+z=52

• Si a=3,10≤4w+3x+2y+z=34- 5v≤9quiestimpossible• Sia=2,10≤4w+3x+2y+z=40- 5v

– Si v=5,x=y=z=1,4w=9quiestimpossible– v=6,w=x=y=z=1,d’oùla1ère réponse12

• Sia=1,10≤4w+3x+2y+z=46- 5v– Si v=5,x=y=z=1,4w=15quiestimpossible– Si v=6etw=2,x=1,x+2y+z=6 <6quiestimpossible– v=7,x=y=w=1etz=2,d’oùla2ème réponse13

• Lepoidsdelamasselapluslourdeest12 ou13 g

Jour1– Problème17– Devinemasse2/2


20

Jour1– Problème18– Lespianos


21

• Soient1legrandcôtéd’unpentagone(celuidugrandcarréest3)etxlalongueurduclavier,aetblespetitsdépassements

• Tracéorange– Àl’horizontale(1+2a- b)/√2=2- √2x– À laverticale3=2(1- x/√2)+(3+2a+b)/√2

• Pardifférence,a=3√2/4- 1• Tracévert àl’horizontale

– - a/√2+(1- x/√2)/√2 =√2x - 1

• Enremplaçanta,x=(15- 2√2)/14

• Enmultipliantpar5000/3etenprenant√2≈1,4142,laréponseest1449mm

a(1-x/√2)

1

1+2(1-x/√2)=3 - √2x

√2x - 1

a

b

ba

a

Jour2– Problème1– Lesframboises


22

• Aprèsavoirmangé7framboises,Annea13– 7=6framboisesquiluirestent

• 6 /2=3

• Elledonne3 framboisesàBernard

Mangées

Bernard

Jour2– Problème2 – Lacalculatricedéfaillante


23

• La4ème opérationestfausse• Aumoinsundeschiffres4,7et9estfaux

• 9 n’estpasfauxàcausedela1ère opération(ni1ni8nepeuventêtrefauxàcausedes3ème et2ème opérations)

• Si 7 estfaux,4n’estpasfaux,7estéchangéavec5,d’oùunecontradictionàcausedela3ème opération

• 4estfaux,ilestéchangéavec2(la2ème opérationrestejuste),4+2=6

• Lasommedesdeuxchiffreséchangés est6

« 9– 1=8 »

« 8 ÷ 2=4 »

« 3x5=15 »

« 4+7=9 »

Jour2– Problème3 – Lespalindromes


24

• Àpart10autoutdébut,chaquesériedenombressanspalindromeencompte10

• Pourêtresûrqu'ilyaitaumoinsunpalindromeparmieux,ildoitdemanderaumoins10+1=11nombres

1011121314151617181920212223...323334...434445...545556...656667...767778...878889...9899

Jour2– Problème4 – Entre20et18


25

• Quandonobtientunnombreimpair,onnepeutpaslediviserpar2etilresteimpairsionluiajoute4

• Lapremièrefoisquel’onobtientunnombreimpair,touslessuivantsserontaussiimpairs

• Enparticulier,onnepourrapasobtenir20

• Enpartantde18,ilfautéviter9doncobtenir22• Puisilfautéviter11doncobtenir26• Etc.onajoutesanscesse4• C’estimpossible,laréponseest0

• Touslesnombresontpourreste2dansladivisionpar4,ilssontdelaforme4N+2;ilfautéviter2N+1doncobtenir4N+2+4=4(N+1)+2

Jour2– Problème5 – Lecircuitdel’année


26

• Les2casesmarquéesX sontperdues• Sionnesuitpasletracévert,onperd6cases• Sionnesuitpaslestracésviolets,onperd

touteslescasesàdroite(allerretour)• Oncomplèteetonperdunecase

• Sionnesuitpasletracéorange,onperd3casesaucoinhautoubas

• Onperdunecase

• Ontermine(7possibilités)• Onperdunedernièrecase• Lenombredecasesblanchesparlesquelles

onnepassepasestaumoins2+1+1+1=5

XX

X

XX

XX

XX

XX

X

Jour2– Problème6 – Ledétroué


• Duhautverslebas,oncomptelestrousnoirsparétage(celaévitedelescompterdeuxfois)

• Letroude« 3 »estprésentàtouslesétages,celuide« 2 »auxdeuxièmeetquatrième,celuide« 1 »autroisième

• 3+7+7+7+3=27

• Lenombretotaldespetitscubesenlevés est27

Jour2– Problème7 – Lespiècesdemonnaie


28

• Letableauprésentelespossibilitéspourlespièces5et10(pas20)

• S’ilyaaumoinsunepièce1,lemontantnedépassepas18– S’ilyaumoinsdeuxpièces1,onpeutlesremplacerparunepièce2car

celanechangerienaumontantetceladiminuelesautrespossibilités– S’ilyaunepièce1etdeuxpièces2,onpeutlesremplacerparunepièce5– S’ilyaunepièce1etauplusunepièce2,lemontantnedépassepas1+2+15

• S’iln’yapasdepièce1ets’ilaquatrepièces2,lemontantnedépassepas0+8+5=13(pas18)

• Lemontantmaximumest21 centimes,obtenuavecleporte-monnaie222555ou222510

5 10

1 1

0 1

3 0

2 0

1 0

0 0

Jour2– Problème8 – Plusoumoinsun


29

• Auxrotationsprès,touslescaspossiblessontillustrésci-contre

• Lescoreest9foislenombredeBobpluslasommedetouslesécarts

• Seulslesdeuxcasdubaspermettentd’obtenirlescore18

• LenombredeBobest2

• Lesentiersnaturelssontnonnulsdonclesécarts-2sontalorsinterdits

• Alicepeutobtenir7 autresscores 18,20 18

20,22,24 16

1422,24,26,28,30

Jour2– Problème9 – Lasortiedutunnel


30

• SoientrespectivementTretTuleslongueursdutrainetdutunnel

• Tr+Tu=1800• Tu– Tr=200oubienTr– Tu=200• Tr=800ou1000m(km/1000)

• Letrainmet30ssoit30/(60x60)=1/120heurepourparcourirTr

• Lavitessedutrainest120x0,8=96km/houbien120x1 =120km/h

30s

1800m

200m

Ou

200m

Jour2– Problème10– Leboomerang


31

• Soienta,b,cetdlesrayonsdesdemi-cercles

• 2b– 2a=2c– 2d=6(énoncé)• b=a+3etd=c– 3• 2b+2d=2a+2c=21(énoncé)• c=10,5– aetd=7,5- a

• 𝜋(b2 – a2 +c2 – d2)/2=63𝜋/2• Enprenant𝜋 ≅22/7,l’airedela

surfacegriseest99 cm2

a b c d

6cm

21cm

Jour2– Problème11– Lenombredel’année


32

• Lemultiplede2018cherché,forcémentpair,finitpar4oupar6• LefacteurFfinitpar2,3,7ou8(8Ffinitpar4ou6)• Modulo9,2F≡ (3+… +7+9)≡ 7doncF≡ 8• F estcomprisentre172et483(345679et976543/2018)

• Les14F àtestersont188,197,233,242,278,287,323,332,368,377,413,422,458et467

• Entestantlechiffredesdizainesduproduitde18parlenombreforméaveclesdeuxdernierschiffresdeF,8sontéliminés

• LesFrestantàtestersont197,233,242,332,413 et422

• Nousobtenons397546,470194,488356,669976,833434et851596,• Seullepremiermultipleconvient,lenombredel’annéeest197

Jour2– Problème12– Lerocher


33

• Chacundestronçonshorizontauxouobliquesmesure10moinstg30° =√3/3fois0,75(lerayondurocher)soit10– √3/4m

• Enhaut,lecentredurochersuitlacirconférenced’uncerclederayon0,75selonunanglede120°,ilparcourt'()*,,-

.=𝜋/2m

• Letotalest4x(10– √3/4)+𝜋/2 =40– (2√3- 𝜋)/2m• (2√3- 𝜋)/2 ≅ 0,16• Lecentredurocherparcourtenviron39,84m=3984 cm

Jour2– Problème13– L’échiquier


34

• Lesquatrecarrés3x3enhautàdroiteontchacun4pièces

• Chaquerectangles2x3ou3x2aaumoinsunepiècecarilnepeutêtrecomplétéenuncarré3 x3queparauplus3pièces

• Lecarréadjacentauxdeuxrectanglesrosesauraitaumoinscinqpiècessichacund’euxn’enn’avaitqu’une

• Afind’obtenir21,nousarrivonsàuneimpossibilitéenbasau4ème carré3x3àpartirdelagauche

• Onpeutobtenir22• Lenombredepiècessurl'échiquierest22

• Despyramidesdebases3et4contiennentrespectivementauplus4et7nombresimpairs

• Auxrotationsetsymétriesprès,lesconfigurationssontuniques

• Lapyramidedebase7estpartagéeentreunede4enhaut(deuxcaseninversantgaucheetdroite)ettroisde3enbasquis’endéduisentautomatiquement(enpartantdecelledumilieu,orientéeverslebas)

• Lemaximumde19=7+(3x4)estforcémentatteintaveclesconfigurationsprécédentes

• Estécritdanslacaseenhaut299 ou341

Jour2– Problème14– Lapyramidepairimpair


35

Jour2– Problème15– Lestourséquilibrées


36

• Unefoiscolorié,unétageestplacéd’unefaçonsurl’étageprécédent

• Pourchacundes5étagesayantautantdecarrésblancsquedecarrésgris,ilya2façonsdecolorier,d’où25 =32cas

• Pourchacundes6autresétages,ilyena3avecuncarréblancenpluset3avecuncarrégrisenplus,d’oùunnombredecaségalàceluidessous-ensemblesà3élémentsd’unensembleà6éléments,6!/(3!x3!)=20

• Oncompte32x20=640 toursde11étages

Jour2– Problème16– Lecryptarithme del’année


37

• L=0,U=7,Ximpair(énoncé)

• X<X+E+X+T < X+30donc1≤𝜶 ≤2• 𝜶 +7+0+2I=X+10𝜷 donc𝜶 est pair• 𝜶 =2 • E+X+T =20donc{E, T,X} = {3, 8,9} ou{5, 6,9}

• Si 𝜷 =2,2I=X+11• I≠U=7doncX≠3,I<10doncX≠9,X=5,I=8, E, T = 6, 9• 2+E + 0+D+7= 5 + 10𝜸

– SoitE+D=6(𝜸 =1)etD=0=L– SoitE+D=16(𝜸 =2)etD=7=U

• 𝜷 ≤3(9+2I– X<30)donc𝜷 =1

𝜹 𝜸 𝜷 𝜶D E U X

M I L L E

D I X

H U I T

X X X X X

𝟏 𝟐 𝟏 𝟐8 9 7 5

4 3 0 0 9

8 3 5

2 7 3 6

5 5 5 5 5

Jour2– Problème16– Lecryptarithme del’année


38

• L=0,U=7,Ximpair,{E, T,X} = {3, 8,9} ou{5, 6,9} • 2I=X+1et1+E + 0+D+7= X+ 10𝜸

• Si X=3,I=2, E, T = 8, 9 ,E+D=15(𝜸 =2)

– SoitE=8etD=7=U– SoitE=9etD=6,2+6+2+H=3+10𝜹,H=3=X(𝜹 =1)

• Si X=9,I=5, E, T = 3, 8 ,E+D=11(𝜸 =1),D=T• X=5,I=3, E, T = 6, 9

– SoitE+D=7(𝜸 =1),E=6etT =9,D=1,1+1+3+H=5+10𝜹,H=0=L(𝜹 =0)

– SoitE+D=17(𝜸 =1),E=9etT =6,D=8,1+8+3+H=5+10𝜹,H=2(𝜹 =1),M= X– 1=4

• D’oùl’uniqueréponse:MXEDITHreprésente4598362(c’estlechiffre1quin’estpasutilisé)

𝜹 𝜸 𝟏 𝟐D E 7 X

M I 0 0 E

D I X

H 7 I T

X X X X X

• Prenonspourunitél’airedeKLMN,deuxairesinconnuesxety• Deprocheenproche,nousobtenonstouteslesaires:

• PM=16PNdonnex/(1- 2x)=16(½- x/(1- 2x))soitx=8/33• Ladivisiondel’airenoireendeuxàpartirdePdonne

x+y- ¼=(1- 4x)(¼- y)+x(1- y/(½- x/(1- 2x))soity=1/36• Lerapportdel’aireduchampduPèreManan àcelledeKLMNest8/33

+1/36– ¼=2/99

Jour2– Problème17– LechampduPèreManan


39

¼

x¼- x

y ¼- y

x +y- ¼ -x+x/(1- 2x)½- x/(1- 2x)- y

½−x/(1−2x)−y½−x/(1−2x)

𝑥(@AB))

@A

(¼- y)

Jour2– Problème18– Toutenpuissances


40

• SoientrespectivementS1 etS5 lessommesdespuissances1et5desnombresentiersde1àN(S1 =N(N+1)/2)

• L’énoncédonne(celasemontreparrécurrence)S5 =(4S1 – 1)S12/3• PourN=13,S1 =91et(4S1 – 1)/3=121,onretrouveS5 =(11x91)2 =

10012 =1002001(énoncé)

• LaquestionrevientàchercherNtelque2N2 +2N– 1=3Y2 (S5 =(YS1)2 )• EnposantZ=(2N+1)/3,3Z2 =2Y2 +1• LessolutionssontladoublesuitedesYk+1 =5Yk +6Zk etZk+1 =4Yk +5Zk• (Y,Z)=(1,1),(11,9),(109,89),(1079,881),etc.• N=(3Z– 1)/2=1,13,133,1321,etc.

• Lepluspetitnombreentierrecherchéest133

Documents

FI2018 RAMA VF 310818 · DiapoRAMAdes solutions 32e! • Si Lou prend 6 crayons, elle peut n’emporter que les crayons bleus • Lou doit prendre, au minimum, 7crayons Jour 1 –Problème