NOIUNI INTRODUCTIVE, DEFINIII, OBIECTIVE Fiabilitatea parte a conceptului de calitate a produselor

Calitativ, fiabilitatea reprezint capacitatea unui sistem de a funciona fr defeciuni n decursul unui anumit interval de timp, n condiii date. Cantitativ, fiabilitatea reprezint probabilitatea ca un sistem s-i ndeplineasc funciile cu anumite performane i fr defeciuni, ntr-un anumit interval de timp i n condiii de exploatare date. Obiectivele fiabilitii ca tiin:

studiul defeciunilor (analiza cauzelor, analiza proceselor de apariie i dezvoltare a defeciunilor, stabilirea metodelor de combatere ); stabilirea metodelor de achiziie i prelucrare a datelor privind fiabilitatea produselor; determinarea modelelor i metodelor de calcul i prognoz a fiabilitii pe baza ncercrilor i a urmririi n exploatare a produselor; stabilirea soluiilor constructive i a metodelor tehnologice i de exploatare pentru asigurarea, meninerea i creterea fiabilitii sistemelor i elementelor componente. CLASIFICRI PRIVIND CONCEPTUL DE FIABILITATE

Din punct de vedere al momentului stabilirii nivelului de fiabilitate a produsului: fiabilitate previzionat (determinat pe baza considerentelor privind cerinele de funcionare, prin analogie cu alte produse similare, sau prin calcule pe baza schemei fiabilistice a produsului proiectat );

fiabilitate experimental (determinat pe baza datelor obinute prin ncercri pe standuri de prob, unde sunt create condiii asemntoare cu cele din mediul de exploatare); fiabilitate operaional (determinat pe baza rezultatelor privind comportarea n exploatare pe o anumit perioad de timp, a unui lot determinat de produse). Din punct de vedere al modalitilor de exprimare : fiabilitatea nominal (prescris n specificaia de livrare a produsului ctre beneficiar); fiabilitatea estimat (determinat pentru un interval de ncredere dat, pe baza rezultatelor provenite din ncercri de laborator sau din urmrirea n exploatare a unui lot prestabilit). INDICATORI DE FIABILITATE A PRODUSELOR INDUSTRIALE

Standarde principale: STAS 8174/1,2,3-77: Fiabilitate, mentenabilitate i disponibilitate. Terminologie; STAS 10307-75 : Fiabilitatea produselor industriale. Indicatori de fiabilitate; STAS 10911-77: Fiabilitate, mentenabilitate i disponibilitate. Culegerea datelor privind comportarea n exploatare a produselor industriale. INDICATORI Conform STAS 10307-75, indicatorii de fiabilitate sunt mrimi care caracterizeaz cantitativ fiabilitatea produselor industriale, iar definirea lor se bazeaz pe legea de repartiie a timpului de funcionare fr defeciuni a produsului. n acest sens, pentru caracterizarea fiabilitii elementelor sistemelor tehnologice se consider ca mrime aleatoare timpul scurs pn la apariia primei defeciuni sau timpul de funcionare ntre defeciuni (avnd n vedere c aceste elemente sunt produse reparabile) Fiabilitatea produselor industriale este determinat atunci cnd se cunoate unul din cei trei indicatori ai timpului de funcionare fr defeciuni : funcia de fiabilitate R(t), densitatea de repartiie a timpului de funcionare fr defeciuni f(t), intensitatea defeciunilor z(t). Funcia de fiabilitate R(t) reprezint probabilitatea ca timpul T, de funcionare fr defeciuni a produsului, s fie mai mare dect cel prescris, t: R(t) = Prob {T > t}. Cu alte cuvinte, fiabilitatea se exprim prin probabilitatea ca produsul s funcioneze fr defectare n intervalul (0,t), n condiii determinate. Uneori este mai comod utilizarea funciei de nesiguran n funcionare F(t), denumit i funcie de nonfiabilitate (sau funcie de repartiie), nsemnnd capacitatea produselor de a iei din funciune, de a se defecta: F(t) = 1- R(t). Drept msur a nesiguranei n funcionare se consider probabilitatea cderii n decursul unui timp prescris, n condiii date. Cu alte cuvinte, nesigurana n funcionare

se exprim prin probabilitatea faptului c timpul Tde funcionare fr defeciuni este mai mic dect cel prescris, t : F(t) = Prob { T t }. Dup cum se tie, suma probabilitilor evenimentelor contrarii este egal cu unitatea i, cum funcionarea fr defeciuni i defeciunea reprezint astfel de evenimente, este evident relaia: R(t) + F(t) = 1. Un exemplu de grafic posibil pentru R(t) i, respectiv, F(t) este reprezentat n figura urmtoare. Vom enumera unele proprieti evidente ale funciei R(t): 1) R(0) = 1, adic se poate examina funcionarea fr defeciuni doar a acelor produse care au fost n bun stare n momentul pornirii; 2) R(t) este o funcie de timp monotodescresctoare; 3) R(t) 0 cnd t . Nu totdeauna este comod s se caracterizeze fiabilitatea prin probabilitatea funcionrii fr defeciuni, deoarece, pentru perioade mici ale timpului de funcionare al sistemelor studiate, valorile R(t) vor fi apropiate de unitate. De aceea, concomitent , se folosesc i alti indicatori, de exemplu, densitatea de repartiie (densitatea de probabilitate) a timpului de funcionare fr defeciuni:

Aceasta se definete ca limit a raportului dintre probabilitatea de defectare n intervalul (t, t+t) i mrimea intervalului, cnd t0 : Se mai poate folosi ca indicator de fiabilitate rata (sau intensitatea) de defectare, definit ca limit a raportului dintre probabilitatea de defectare n intervalul (t, t+t), condiionat de buna funcionare n intervalul (0,t) i mrimea intervalului t, cnd t 0 :

In acelai timp se poate scrie c: Intensitatea de defectare poate fi definit i ca probabilitatea ca un echipament, n bun stare la timpul t, s se defecteze n intervalul (t, t+dt). Dup nlocuiri, n relaiile de mai sus se obine:

care, rezolvat pentru condiia iniial R(0) = 1, d pentru funcia de fiabilitate expresia :

Estimarea fiabilitii funcionale a sistemelor tehnologice presupune determinarea unuia dintre indicatorii menionai mai sus. De asemenea, se mai poate folosi ca indicator de fiabilitate foarte sugestiv i media timpului de buna funcionare:

care, integrat prin pri, conduce la:

Nivelul optim de fiabilitate Cu ct un produs este mai fiabil, cu att este mai scump la achiziionare i cu att sunt mai reduse cheltuielile de exploatare. Este, n general, util s se accepte ca obiectiv acel nivel de fiabilitate care s asigure cheltuieli totale minime.

ELEMENTE DE CALCULUL PROBABILITILOR I STATISTICELEMENTE DE CALCULUL PROBABILITILOR

Datorit caracterului aleator al factorilor care influeneaz fiabilitatea produselor (calitatea i omogenitatea materialelor, corectitudinea i stabilitatea proceselor tehnologice, condiiile de exploatare, calificarea operatorilor etc.), fundamentul teoriei fiabilitii l constituie teoria probabilitilor i statistica matematic. Noiunea fundamental a teoriei probabilitilor este aceea de eveniment, prin care se nelege producerea sau neproducerea unui fenomen ntr-o experien (experiment) oarecare. A efectua o experien nseamn a genera sau produce un anumit fenomen ntrun complex de condiii dat, conform un criteriu de cercetare, care se poate repeta ori de cte ori se dorete. O anume realizare, consumat sau viitoare a experienei se numete prob.

Evenimentul reprezint, aadar, rezultatul unui experiment, fiind orice fapt care poate sau nu s se ntmple n urma efecturii unei experiene. Dac rezultatul experienei nu poate fi anticipat, evenimentul este aleator (ntmpltor). Evenimentele pot fi de mai multe feluri i anume: - evenimentul sigur (notat E) este evenimentul care se produce cu certitudine n urma oricrei probe ( de exemplu, extragerea unei bile roii dintr-o urn cu bile roii); - evenimentul imposibil (notat ) este evenimentul care n mod obligatoriu nu se produce n cadrul unui experiment (de exemplu, extragerea unei bile negre dintr-o urn cu bile roii); - evenimentul aleator reprezint evenimentul care se poate realiza sau nu n cadrul unui experiment; Se numete cmp de evenimente cuplul {E, K}, n care E este spaiul de selecie, iar K familia tuturor evenimentelor care se pot realiza n urma efecturii unei experiene aleatoare. Cmpul de evenimente constituie o mulime parial ordonat, deoarece sunt satisfcute urmtoarele proprieti: 1. ntre elementele cmpului de evenimente se poate stabili o relaie de ordine prin intermediul relaiei de implicaie. Dac A i B sunt dou evenimente aparinnd cmpului {E, K}, ntre ele putem avea relaiile: 2. Relaia de implicaie este tranzitiv , adic, dac rezult 3. Relaia de implicaie este reflexiv, adic, dac i avem i avem

Cu alte cuvinte, o relaie de implicaie reciproc dintre evenimente este echivalent cu relaia echialeatoare. Categorii de evenimente, - evenimente compatibile: dou evenimente aleatoare A i B sunt compatibile dac se pot produce simultan; - evenimente incompatibile: dou evenimente aleatoare sunt incompatibile dac nu se pot produce simultan, caz n care este ndeplinit condiia : evenimente contrare sunt dou evenimente dintre care se produce cu certitudine unul i numai unul (de exemplu, evenimentul sigur i evenimentul imposibil); se noteaz evenimente independente sunt evenimente pentru care realizarea unora dintre ele nu influeneaz probabilitatea de realizare a celorlalte - evenimentele dependente sunt evenimente pentru care realizarea unora dintre ele influeneaz probabilitatea de realizare a celorlalte.

Reuniunea evenimentelor (suma), AUB este evenimentul care const n realizarea a cel puin unuia dintre evenimentele A i B, adic: S = A U B ( se citete A sau B) n cazul unui sistem de evenimente X1 , X2,....Xn, reuniunea acestora se noteaz: Produsul sau intersecia evenimentelor A i B este evenimentul P care se realizeaz dac are loc att evenimentul A ct i evenimentul B. P = A B (se citete A i B) n cazul unui sistem de evenimente, produsul se scrie:

Not: Dou evenimente A i B pentru care avem A B = sunt numite evenimente disjuncte. Aceast proprietate este caracteristic evenimentelor incompatibile; Pentru evenimentele avem: S-a artat mai sus c evenimentele unui cmp au grade diferite de realizare care se cer msurate. Numim probabilitatea unui eveniment o funcie de eveniment care msoar realizarea lui. Pentru un eveniment X {E,K}, probabilitatea corespunztoare se noteaz P(X ). Este necesar s se fixeze n prealabil evenimentul etalon, a crui msur a realizrii, deci a crui probabilitate s fie luat ca etalon. Evenimentul deosebit al unui cmp {E, K} este evenimentul sigur E, deci este firesc s-l lum ca eveniment etalon , pentru care P(E) = 1. Probabilitatea P(X) a unui eveniment oarecare X {E,K} este o funcie care se asociaz fiecrui eveniment al cmpului i care ndeplinete urmtoarele proprieti, numite axiomele probabilitii: 1. probabilitatea este nenegativ, adic, dac X {E,K}, P(X ) 0 ; 2. probabilitatea evenimentului sigur este egal cu unitatea, P(E) = 1; 3. proprietatea de aditivitate a probabilitii a dou evenimente incompatibile, adic dac: X,Y {E,K}, X I Y = , atunci P(X UY)= P(X )+ P(Y ) Cu alte cuvinte, pentru dou evenimente incompatibile aparinnd cmpului de evenimente, probabilitatea sumei lor este egal cu suma probabilitilor fiecrui eveniment Consecin: - Considernd evenimentele contrare X i pentru care avem

prin aplicarea axiomelor 2 i 3 rezult:

n particular, pentru evenimentul imposibil, fiind evenimentul contrar evenimentului sigur, avem:

P () = 1 P(E) = 0

deci probabilitatea evenimentului imposibil este egal cu zero. Rezumnd cele de mai sus, probabilitatea unui eveniment oarecare X {E,K} este o funcie de eveniment, P(X ), care satisface dubla inegalitate 0 P(X ) 1, semnul egalitii la stnga corespunznd evenimentului imposibil, iar la dreapta evenimentului cert. Pentru o valoare P(X ) = k [0,1], evenimentul este aleator, putnd s aib loc sau nu. Cu ct valoarea numrului k este mai aproape de 1, cu att ansa de realizare a evenimentului X este mai mare. Definiia clasic a probabilitii este: probabilitatea realizrii unui eveniment X E,

este dat de raportul dintre msura mulimii care realizeaz evenimentul considerat X i msura mulimii care realizeaz evenimentul sigur E: Aceast expresie general a probabilitii capt un aspect particular pentru colectiviti discrete i finite i anume: adic: probabilitatea realizrii unui eveniment este dat de raportul dintre numrul cazurilor favorabile i numrul cazurilor posibile. Probabiliti condiionate Dac dou evenimente sunt dependente, de exemplu, realizarea evenimentului B este condiionat de realizarea evenimentului A , ceea ce se noteaz (B|A), probabilitatea corespunztoare, numit probabilitate condiionat, se noteaz P(B|A). Deoarece condiionarea evenimentelor nu este reciproc , P(B| A) P(A | B). Dac dou evenimente A i B, implicate n evenimentul sigur E sunt condiionate, ele sunt i compatibile. Deci se poate scrie evenimentul produs. n acest caz constatm c evenimentul condiionat B|A este realizat de evenimentul A B raportat evenimentul A ca eveniment sigur, iar evenimentul A| B este realizat de evenimentul A B raportat la B ca eveniment sigur. Conform definiiei probabilitii :

n relaiile de mai sus se poate scrie:

De aici:

Probabilitatea producerii simultane a dou evenimente dependente este egal cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre evenimente i probabilitatea condiionat a celuilalt eveniment, calculat n ipoteza c primul eveniment a avut loc. Probabilitatea evenimentului sum i probabilitatea evenimentului produs. Operaia de adunare a evenimentelor are sens pentru evenimente incompatibile i compatibile. - Dac termenii sumei sunt evenimente incompatibile, probabilitatea sumei unui numr finit de evenimente este dat de suma probabilitilor fiecrui eveniment termen:

- Dac termenii sumei sunt evenimente compatibile: Produsul se poate scrie pentru evenimente dependente i independente i anume: - Dac factorii produsului sunt evenimente dependente s-a artat mai sus c: - Dac factorii produsului sunt evenimente independente:

deci, probabilitatea evenimentului produs de un numr finit de evenimente independente este egal cu produsul probabilitilor fiecrui eveniment.

Variabile aleatoare.Se numete variabil aleatoare acea variabil a crei realizare constituie eveniment ntmpltor. Variabilele aleatoare se clasific dup mulimile pe care sunt definite n: - variabile aleatoare discrete, definite pe mulimi cel mult numrabile; - variabile aleatoare continue, definite pe mulimi continue.

Variabila aleatoare discret

Variabila aleatoare discret este determinat atunci cnd se indic argumentul, domeniul de variaie al argumentului i funcia de probabilitate care ndeplinete proprietile 10 i 20 , adic:

Funcia de probabilitate f(xi) caracterizeaz distribuia variabilei aleatoare.

Variabila aleatoare continuFie o variabil aleatoare continu, adic argumentul x ia toate valorile dintr-un anumit interval al axei numerelor reale. Fie [a,b] domeniul de variaie, deci x [a,b]. Pentru definirea variabilei aleatoare continue x considerm un interval infinitezimal [x, x + dx) a crui msur este diferit de zero. Probabilitatea elementar dP ca variabila aleatoare s ia o valoare din acest interval reprezint o funcie care depinde de x i este de forma

unde funcia (x) este denumit densitate de probabilitate n punctul x. Funcia densitate de probabilitate se bucur de urmtoarele proprieti: ntruct dP este o probabilitate, totdeauna dP 0 , deci (x)dx 0 , dar cum s-a luat dx 0 , rezult (x) 0 .

Prin analogie cu variabila aleatoare discret, variabila aleatoare continu este definit prin:

n care (x) este densitatea de probabilitate care caracterizeaz distribuia variabilei aleatoare continue x. n analiza statistic a variaiei unei variabile aleatoare sunt utile reprezentri grafice care pot fi efectuate privind funciile ataate variabilei respective. Astfel, pentru variabila aleatoare discret, ntr-un plan Oxy se consider pe axa absciselor Ox valorile argumentului xi , iar pe ordonata Oy valorile corespunztoare funciei de probabilitate f(xi ). Figura astfel format constituie o reprezentare grafic a distribuiei discrete a variabilei x. Unirea punctelor Mi printr-o curb continu poart numele de curb de distribuie a variabilei aleatoare x.

n statistica practic se folosete i un alt mod de a prezenta grafic variabila aleatoare x. Se mparte domeniul de variaie n intervale echidistante, pentru care mijlocul este xi i se construiesc dreptunghiuri cu nlimea egal cu f(xi). Se obine astfel histograma variabilei aleatoare Se observ c unind mijloacele laturilor superioare ale dreptunghiurilor din histogram se obine curba de distribuie. innd seama de relaia rezult c aria histogramei este egala cu unitatea

Analog, pentru variabila aleatoare continu reprezentarea grafic a funciei densitate de probabilitate (x) ofer, de asemenea curba de distribuie a variabilei aleatoare x.

FUNCIA DE REPARTIIE. CARACTERISTICILE VARIABILELOR ALEATOAREFUNCIA DE REPARTIIE A VARIABILELOR ALEATOARE

Fie X o variabil aleatoare, iar x un numr real. Probabilitatea ca argumentul variabilei aleatoare s fie mai mic dect valoarea lui x se numete funcie de repartiie a variabilei X : Pentru variabila aleatoare discret funcia de repartiie este determinat de suma probabilitilor corespunztoare tuturor valorilor posibile xi mai mici sau cel mult egale cu x.

n histogram variabilei aleatoare funcia F(x) reprezint aria situat la stnga lui x (haurat n figur). Funcia de repartiie fiind o sum de probabiliti este numit i funcia cumulativ a probabilitilor. n mod analog, pentru variabila aleatoare continu, funcia de repartiie este:

Principalele proprieti ale funciei de repartiie sunt: 10 . Fiind o probabilitate 0 F(x) 1 20 . Funcia F(x) este nedescresctoare. Intradevr, dac x1 i x2 sunt dou valori ale argumentului astfel c x1 < x2 , deci 30 . Dac a i b sunt cea mai mic i respectiv cea mai mare valoare pe care o poate lua argumentul variabilei X, atunci: F(a)=0, pentru c x