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Fiabilitis_2005 1
FIABILITIS
Le logiciel d’estimation statistique en fiabilité
FERNANDEZ Violaine
FERRAFIAT Nicolas
PONCET Antoine
Tuteur : M. GOUNO
Licence 3 GIS 2004/2005
Fiabilitis_2005 2
Introduction
Le projet 2005 : Produire un outil fiable et efficace Mise en ligne en 2005
Collaboration entre un groupe d’étudiants en informatique et un groupe d’étudiants en statistique
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Fiabilitis
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Introduction à la fiabilité
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Généralités
Variable aléatoire continue X de type « durée », donc positive
Général : X = temps qui s’écoule avant qu’un événement se réalise
En fiabilité : X = « durée de bon fonctionnement »
Modèle de durée : La loi de X
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Durée de vie
Densité de proba de X :
D’où :
Et :
MTTF = durée de vie moyenne ou durée moyenne de bon fonctionnement
)(xf
x
dxxfxXPxF0
)()()(
0
)(. dxxfxMTTF
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Fiabilité et taux de défaillance
Fonction fiabilité :
Taux de défaillance :
NB :
x
dxxfxXPxR )()()(
dxxXdxxXPx
dx
)/(lim)(0
)()()(xRxfx
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Précision sur le taux de défaillance
Probabilité instantanée de défaillance avec le temps :
A : mortalité infantile (jeunesse, rodage)
B : durée de vie utile (maturité)
C : vieillissement ou usure
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Modèles de durée
Exponentielle : modélise les périodes de maturité
Weibull et log-normale : spécifie la jeunesse et le vieillissement en plus de la maturité
Autres : loi gamma, mélange de loi exponentielles…
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Censure à droite, à gauche ou à droite et à gauche :
Nature des données : censure
temps
T(début) : début des tests
L : début de l’observation
C : fin de l’observation
T(fin) : fin des tests
Censure à droite : Type 1 : arrêt des observations en t = C Type 2 : arrêt des observation quand k
défaillances sont observés
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Nature des données : intervalle d’observation
Données groupées : si les valeurs de la variable d’intérêt appartiennent à un intervalle d’observation :
On prend comme valeur :
Nb : on revient à des données continues et toutes les observations du même intervalle ont la même valeur
iii ttx ,~ 1
21 ii
ittx
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Adéquation du modèle de durée
Ajustement graphique : Pertinence du choix du modèle Estimation des paramètres peu précise
Analyses paramétriques : Approche fréquentielle : estimation par
maximum de vraisemblance (MLE) Approche Bayésienne : tient compte du
passé
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Présentation de FiabilitisI- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Généralités
Fiabilitis : Outil de calculs statistiques relatif à
la fiabilité
À qui s’adresse le logiciel ? Alcatel, Thomson, Thalès,
Schlumberg…
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Les types de données (1)
La censure Sans censure Censure type 1 Censure type 2
La nature des données Les données complètes Les données groupées
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Les types de données (2)
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Saisie des données
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a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Les modèles de durée proposées
Version 2004: Loi Exponentielle Loi de Weibull
Version 2005: Loi Log-normale
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Point de vue statistique
Pour chaque modèle de durée (loi), Fiabilitis propose :
Une estimation graphique Une estimation MLE Une estimation bayésienne
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Estimation graphique
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Estimation MLE et Bayésienne
Estimations MLE et Bayésiennes sont plus précises que l’estimation graphique
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Licence 3 GIS 2004/2005
Fiabilitis
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Validation des résultatsI- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Général
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But : Mise en ligne du logiciel Comprendre les calculs de Fiabilitis
Validation : à l’aide d’Excel, Scilab et R
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Principe des vérifications
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Estimation des paramètres des lois supposées sur un échantillon de durées de vie
Types d’estimations à vérifier : Estimation graphique Estimation du maximum de
vraisemblance Estimation bayésienne
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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•f
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Estimation graphique (1)
Exemple d’estimation du paramètre lambda de la loi exponentielle : Tracé des points [xi ; log (1-1/F(xi))] Tracé de la droite des moindres carrés
Même principe pour la loi de Weibull, et ce pour chaque type de données et chaque censure
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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•f
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Estimation graphique (2) On cherche la droite d’équation de type
Y=a.X :
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Estimation MLE (1)
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
Principe de vraisemblance : Toute l’information sur le(s) paramètre(s)
tirée de x (vecteur échantillon) est contenue dans la vraisemblance.
Fonction de vraisemblance :
Maximiser la quantité :
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Résolution des équations :
On obtient l’estimateur maximum de vraisemblance (emv)
L’emv converge presque sûrement vers le(s) paramètre(s)
Création d’un algorithme itératif afin d’obtenir les paramètres
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Estimation MLE (2)
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Connaissance à priori : On considère que le(s) paramètre(s)
suit(vent) une loi à priori
On rectifie cet à priori à l’aide des observations effectuées
Distribution à posteriori (formule de Bayes) :
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Estimation bayésienne
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Implémentation de la loi Log-normale
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Généralités
Elle s’ajoute aux deux modèles déjà développés et comprend :
Estimation graphique Estimation MLE
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Lien avec la loi normale
On considère les logarithmes des xi
et on obtient une nouvelle variable Y
tel que : Y~N(μ,σ²)
Si X~LN(μ,σ²), alors log(X)~N(μ,σ²)
Avec X=(x1,x2,…..xn)I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Estimation graphique On a alors P(Y≤y) = P( U ≤ (x-μ) / σ )
où U~N(0,1) On cherche alors les quantiles
théoriques ui de Fn(x).
Si l’hypothèse d’une loi normale estexacte alors les points (yi, ui) vérifient :
yi = σ*ui + μ
μ et σ sont estimés par la méthode des moindres carrées
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Estimation MLE
Nécessite un algorithme itératif : L’algorithme initialise les paramètres
de la loi par la moyenne et l’écart-type observés
L’algorithme calcule les coefficients de la matrice d’information de Fisher
Rectifie la valeur des paramètres à chaque itération
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Aide statistique
Logiciel utilisé par des techniciens professionnels
Concurrence avec les logiciels payant
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Contenu de l’aide Rédaction en anglais :
Rester cohérent (logiciel en anglais) À la portée d’un maximum de personne
Notions générales en fiabilité
Présentation rapide des modèles de durée utilisés par Fiabilitis
Intégralité des formules utilisées pour chaque méthode de calcul
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Présentation de l’aide
Fichier de type « .pdf » Téléchargeable sur le site de Fiabilitis Format universel Facilement imprimable
Utilisation de Latex Bonne stabilité (formules) Mise en page typique Liens et signets dans le « .pdf »
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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Structure de l’aide
Beaucoup de répétions de formules (ex…) Types de censure Nature des données (continues/groupées)
Création d’une partie généralité
Type de censure dépend de TTT Explication données groupées (milieu de
l’intervalle)
I- La fiabilité
a) Introduction à la fiabilité
b) Présentation de Fiabilitis
II- Les objectifs en 2005
a) Validation des résultats
b) Ajout de la loi log-normale
c) Création d’une aide statistique
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FERNANDEZ Violaine
FERRAFIAT Nicolas
PONCET Antoine
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Les difficultés rencontrées
Temps d’adaptation : long et difficile
Objectif non abouti : une vérification non effectuée
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FERNANDEZ Violaine
FERRAFIAT Nicolas
PONCET Antoine
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Bilan
Connaissances en statistique Domaine : la fiabilité Méthode : bayésienne
Utilisation du logiciel Latex
Travail en groupe
Participation à l’élaboration d’un logiciel
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MERCI DE VOTRE
ATTENTION !!
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