Escola Secundária da SertãEscola Secundária da Sertã

Ficha de Trigonometria- 12º ano –

Maio/2009Matemática - A

111Equation Chapter 1 Section 1

1. Partindo do conhecimento que limx→0

sen xx

=1, mostra que:

1.1 limx→0

tg (3x )x

=3

1.2 limx→0

tg (αx )tg ( βx )

=αβ

(β≠0 )

1.3 limx→0

sen (αx )sen ( βx )

=αβ

(β≠0 )

1.4 limx→0

sen (π+ x )x

=−1

1.5 limx→π

sen xπ−x

=1

1.6 limx→0

cos ( π2

+2 x )

x=−2

1.7 limx→0

πxsen (2 x )=2 π

1.8 limx→+∞

x2sen π

x= π

2

2. Considera a função real de variável real definida por f(x) = sen (2x). Aplicando a definição

de derivada de uma função num ponto determina: f’(π2 ) .

3. Calcula a derivada de cada uma das seguintes funções:3.1 y = sen (-3x + 1)3.2 y = sen5 (3x) 3.3 y = 3 sen2 (x + 1)3.4 y = 3 sen (x + 1)2

3.5 y = x sen x3 + 2 sen (3x)

4. Considera a função real de variável real definida por f(x) = cos x2 . Aplicando a definição

de derivada de uma função num ponto determina: f’(π ) .5. Calcula a derivada de cada uma das seguintes funções:5.1 y = cos (5x2 - 7)5.2 y = - cos2 x 5.3 y = - cos3 x3 5.4 y = sen x cos x5.5 y = 3 cos (x – 3)2 + sen2 (x – 3)6. Calcula a derivada de cada uma das seguintes funções:

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6.1 y = tg (1x )

6.2 y = tg2(x3 + 1)6.3 y = tg (x sen2 x)6.4 y = x tg x + tg (cos x)6.5 y = tg2 √ x+ tg (sen2 x)

7. Escreve uma equação da recta tangente à curva de equação y = cos x no ponto x = π3

8. O gráfico representa a função esen x

Determina:8.1 os extremos em [0, 2π ]8.2 o contradomínio da função

9. Seja a função f(x) = ex cos x, definida em [−2π , 3π2 ] . Determina:

9.1 Os extremos9.2 Os pontos de inflexão9.3 Esboce o gráfico da função

10. Considera a função f(x) = sen (3x). Determina uma equação da recta tangente e uma equação da recta normal ao gráfico da função no ponto de abcissa x = π .

11. A vibração do ponto médio de cada corda de um instrumento musical, é dada: f(t) = 3 sen (3 t )0,2t 2+0,5 ;

t em segundos. Calcula a velocidade quando t = 1.

12. Num porto do mar a profundidade, h, da água foi modelada pela função: h = f(t) = 6 sen

( π6 t)+ 9h é dada em metros e t é o nº de horas decorridas depois da meia-noite de um certo dia.12.1 Determina a taxa de variação da altura da água às 10 e às 11 horas e comenta o

valor relativo dos resultados obtidos.12.2 Determina a hora do dia em que o nível da água desce mais rapidamente.

13. Determina a derivada de cada uma das seguintes funções:

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4

2

-2

-4

-5 5

f x = esin x

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13.1 y = 3 sen (5 x+π3 )

13.2 y = cos (5 x2+3 )13.3 y = sen (2x) cos (5x)13.4 y = tg t2

13.5 y = 3 sen √s

13.6 √ tg (x+ π3 )13.7 y = cos (sen x)

13.8 y =

tg x1+3 sen x

13.9 y = e3 x+tg x−1

13.10 y = esen x

13.11 y = sen es

13.12 y = ln cos x13.13 y =√ x tg x13.14 y = sen t ln t

13.15 y = ln xcos x

13.16 y = ex cos x

13.17 y = e−

12xcos (2 x )

13.18 y = x ecos x

13.19 y = ex

cos x

14. Calcula:

14.1limx→1

π sen (ax−a )x−1

14.2limx→+∞

(2x+1 ) sen 2x

14.3limx→0

x cos x−xx3

14.4limx→0

sen xx3

15. Dada a função f(x) = - cos (πx )

15.1 Calcula f’(x)15.2 Determina as coordenadas de um ponto onde a função tenha um mínimo

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Soluções:2. -2 3.1 -3 cos (-3x + 1) 3.2 15 sen4(3x) cos(3x) ; 3.3 6 sen (x + 1) cos (x + 1); 3.4 6 (x + 1) cos (x + 1)2

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Escola Secundária da Sertã3.5 sen x3 + 3x3 cos x3 + 6 cos (3x)

4. -

12

5.1 -10x sen (5x2 – 7) 5.2 sen (2x); 5.3 9x2 cos2x3 sen x3 5.4 cos (2x); 5.5 -6(x – 3)sen (x – 3)2 + sen (2x – 6)

6.1 -

1

x2 cos2( 1x ) ; 6.2 2tg (x3 + 1)

3 x2

cos2( x3+1 ) 6.3

sen2 x+2 x sen x cos xcos2 (x sen2 x ) ;

6.4 tg x +

xcos2 x

− sen xcos2 (cos x ) ; 6.5

tg√ x√x cos2 √x

+sen (2 x )

cos2 ( sen2 x )

7. y = -

√32x+ 1

2+√3

6π

;

8.1 maximizante:

π2 e minimizante:

3π2 ; assim os extremos são respectivamente: máximo: e, mínimo: e-1; 8.2

[e−1 , e ]

9.1 maximizantes: -

7π4 e

π4 ; minimizantes: -

3π4 e

5π4 ; assim os extremos são respectivamente: máximos:

√22e−

7 π4

,

√22eπ4

; mínimos: -

√22e−

3 π4

, -

√22e

5 π4

; 9.2 -2π , - π , 0, π ; 9.3

10. y = -3x + 3π ; y = -

13 x +

π3

11. -13,07 (2 c.d.)12.1 f’(10) = 1,57; f’(11) = 2,72; a taxa de variação da altura da água é maior às 11 horas do que às 10 horas. A água sobe mais rapidamente às 11 do que às 10 horas; 12.2 f’’(t) = 0 ⇔ t = 0, 6,12,18 ou 24; com a ajuda do gráfico da função pode concluir-se imediatamente que a água desce mais rapidamente às 6 e às 18 horas:

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13.1 15 cos (5 x+ π3 )

; 13.2 -10x sen (5x2 + 3); 13.3 2 cos (2x) cos (5x) – 5 sen (2x) sen (5x); 13.4

2 tcos2 t2 ; 13.5

3 cos √s2√ s ; 13.6

1

2 cos2 (x+ π3 )√ tg( x+ π3 ); 13.7 –cos x sen (sen x);

13.8

1+3 sen3 xcos2 x (1+3 sen x )2 ; 13.9 3

e3 x+ 1cos2 x ; 13.10 cos x esen x; 13.11 es cos (es); 13.12 – tg

x; 13.13

sen x cos x+2 x2√ xcos2 x ; 13.14 cos t ln t +

sen tt ; 13.15

cos x+x ln x sen xx cos2 x ;

13.16 et (cos t−sen t ) ; 13.17

− 12e−

12x

(cos (2x )+4 sen (2x ) ); 13.18 ecos x (1 – x sen x);

13.19

ex (cos x+sen x )cos2 x ;

14.1 πa ; 14.2 4; 14.3 −1

2 ; 14.4 +∞

15.1 -

πx2 sen ( πx ) ; 15.2 f

( 12 )=−1

por exemplo

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