ESCOLA SECUNDRIA/3 SANTA MARIA DO OLIVAL TOMAR Curso de Lnguas e
Humanidades Ficha de Trabalho n 5 Disciplina: Matemtica aplicada s
Cincias SociaisNome :
Ano/Turma: 11 E
___________________________________________ N : ___________
EXERCCIOS DE PROVAS DE EXAME NACIONAIS 1- Alguns visitantes do
Parque da Pena,em Sintra, tm por hbito deitar para o cho sacos de
plstico, paus de gelado, latas de refrigerante, etc. Um grupo de
jovens amantes da natureza, decide, durante uma tarde, ajudar a
recolher todo o lixo existente nos caminhos duma zona do Parque. Na
figura, est um mapa dessa zona do Parque da Pena. Os cruzamentos
dos caminhos esto assinalados por letras, de A a F. Admite que o
grupo de jovens parte do ponto A, assinalado no mapa, percorre
todos os caminhos assinalados, recolhendo o lixo, e regressa ao
ponto A. 1.1. O grupo de jovens tem de percorrer pelo menos um
caminho, mais do que uma vez. Justifica esta afirmao, comeando por
modelar, por meio de um grafo, o mapa da zona do Parque da Pena
representado na figura. Indica um percurso em que o nmero de
caminhos percorridos mais do que uma vez seja o menor possvel,
explicando o teu raciocnio. Apresenta a tua resposta na forma de
uma sequncia de letras, de acordo com a sequncia de cruzamentos do
percurso por ti escolhido. Na obra de Joseph Malkevitch, Modelos
Grafos, pode ler-se: A ideia-chave na modelao matemtica consiste em
tomar a situao original e simplifica-la de tal modo que fiquemos
com uma nova viso sobre o problema original. Elabore uma composio
onde desenvolva a ideia expressa nesta frase por Joseph Malkevitch.
Baseie-se no modelo que considerou nas alneas anteriores ou num
exemplo a sua escolha, que integre a utilizao de grafos. Nessa
composio deve referir: o porqu da necessidade de simplificar a
realidade; o porqu da necessidade de distinguir o essencial do
acessrio os aspetos que foram simplificados relativamente situao
original. (exerccio retirado do exame nacional de 2006_1. fase)
1.2.
1.3.
1
MACS
Prof Paula Leito
2- O Antnio vive em Lisboa e vendedor de uma empresa nacional.
Todas as semanas, parte de suacasa e vai visitar duas cidades
portuguesas, Faro e Coimbra, a fim de dar assistncia aos seus
clientes. A partir da prxima semana, vai comear a dar tambm
assistncia a clientes de duas cidades espanholas, Sevilha e Cceres.
Est neste momento a organizar um plano do percurso pelas quatro
cidades: partindo de sua casa, passa uma nica vez por cada uma das
quatro cidades e volta de novo a casa. Pretende, tambm, percorrer o
mnimo de quilmetros possvel. Na tabela1, esto referidas as
distncias, em quilmetros, entre aquelas cidades.
Lisboa Lisboa Faro Sevilha Cceres Coimbra
Faro282 km
Sevilha459 km 197 km
Cceres313 km 442 km 260 km
Coimbra206 km 447 km 625 km 346 km
2.1. Desenhe um grafo ponderado que sirva de modelo s vrias
hipteses de percurso possveis. Como peso, atribua a cada aresta a
distncia, em quilmetros, a ela associada.
1 Nota O mapa e os valores das distncias entre as cidades foram
retirados do site http://maps.google.com/maps.
2.2. O Antnio est convencido de que, se tiver de visitar, em
primeiro lugar, o cliente de Coimbra, percorrendo depois as
restantes cidades, antes do regresso a Lisboa, o percurso mais
curto, nas condies a que est sujeito, consiste em seguir de Coimbra
para Faro e s depois visitar as cidades espanholas, antes do
regresso a Lisboa. Numa composio, justifique se o Antnio tem razo.
Deve incluir, obrigatoriamente, na sua composio: o nmero total de
circuitos que obedecem aos critrios definidos; a identificao de
todos os percursos possveis, bem como a distncia percorrida em cada
um deles; a concluso final, identificando o percurso de extenso
mnima. (exerccio retirado do exame nacional de 2007_2. fase)2
MACSProf Paula Leito
3-
Uma Cmara Municipal elaborou um contrato com a empresa
FUTUROLIMPO, empresa especializada na recolha seletiva de resduos.
Na figura, apresenta-se um mapa de uma zona residencial desse
municpio, que possui oito espaos de recolha selectiva de resduos
(ecopontos). Os oito ecopontos esto representados por E1, E2, E3,
E4,E5, E6, E7 e E8. Designa-se por troo de rua a ligao entre dois
ecopontos adjacentes, isto , o percurso que se efetua para ir de um
desses ecopontos ao outro sem passar por mais nenhum. 3.1.
Considere que o camio de recolha seletiva de resduos que passa por
essa zona residencial inicia o seu percurso no ecoponto E4 e que o
termina no ecoponto E2. Admita que, em cada troo de rua, o camio
pode estacionar junto de cada ecoponto, independentemente do
sentido de circulao. Indique um percurso, de E4 a E2, para que o
camio possa recolher os resduos de todos os ecopontos, passando por
cada um deles uma nica vez. Apresente o percurso na forma de uma
sequncia, utilizando as designaes dos ecopontos. 3.2. Os moradores
da mesma zona residencial reclamaram das condies de alguns troos de
rua de acesso aos ecopontos. A Cmara Municipal decidiu enviar um
funcionrio especializado, para inspecionar as condies dos mesmos.
Admita que o funcionrio decidiu iniciar e terminar as suas inspees
junto do mesmo ecoponto. No entanto, ao analisar o mapa da zona em
causa, concluiu que, para concretizar essa deciso, no tinha
possibilidade de inspecionar todos os troos de rua, passando por
cada um deles uma nica vez. Por isso, de forma a rendibilizar o
tempo da inspeo, procurou encontrar um percurso cujo nmero de troos
de rua a percorrer fosse o menor possvel, garantindo o incio e o
fim da inspeo junto do mesmo ecoponto. Num pequeno texto: indique,
justificando, a razo que levou o funcionrio a concluir da
impossibilidade de inspecionar todos os troos de rua, passando por
cada um deles uma nica vez, tendo em conta que ele pretende iniciar
e terminar a inspeo junto do mesmo ecoponto; indique, ainda, um
percurso que se inicie e termine no ecoponto E2 e que permita ao
funcionrio inspecionar todos os troos de rua, sendo o nmero de
troos de rua a percorrer o menor possvel. Apresente o percurso na
forma de uma sequncia, utilizando as designaes dos ecopontos.
Comece, obrigatoriamente, por modelar, atravs de um grafo, o mapa
da zona residencial apresentado, considerando que os vrtices
representam os ecopontos e que as arestas representam os troos de
rua. (exerccio retirado do exame nacional de 2008_1. fase) 4. A
empresa GNC, de transporte de gs natural comprimido, est sediada em
Sines. A sua frota de distribuio utiliza diferentes trajectos, que
ligam as cidades de Coimbra, vora, Faro, Lagos, Porto, Vila Real e
Sines. A distribuio comea sempre em Sines e termina sempre em
Sines. Na figura 1, encontra-se o grafo que serve de modelo aos
vrios circuitos utilizados pela GNC. Cada vrtice do grafo
representa uma cidade, e cada aresta representa um trajecto que
liga duas cidades.3 MACSProf Paula Leito
4.1. Mostre que no possvel organizar um circuito que permita que
um camionista da GNC cumpra, em simultneo, as seguintes condies:
entregar gs natural comprimido em todas as cidades representadas no
grafo da figura percorrer, uma e uma s vez, cada trajecto
representado; percorrer todos os trajectos representados.
1;
4.2. Considere, agora, apenas os circuitos que incluem as
cidades de vora, Porto, Vila Real e Sines, percorridas no
necessariamente por esta ordem. Na tabela seguinte, encontramse as
distncias entre cada duas dessas cidades quando se percorrem os
trajectos indicados pelas arestas do grafo da figura 1.Porto vora
Vila Real Sines
406km
4 525km 125km
172km 442km 559km
Porto
Vila Real
O preo do transporte cobrado pela empresa GNC aos clientes de
2,00 por quilmetro. A empresa GNC faz um desconto de 8% sobre o
preo total de transporte quando o camio, partindo da refinaria de
Sines, faz entregas de gs natural comprimido nas cidades de vora,
Porto e Vila Real (percorridas no necessariamente por esta ordem),
passando apenas uma vez por cada cidade, e regressa refinaria em
Sines. Determine o preo mnimo, em euros, que o comprador paga por
cada transporte. Na sua resposta deve: indicar o nmero de circuitos
possveis e as respectivas extenses, referindo apenas os que tm
extenso distinta e obedecem aos critrios definidos; calcular o preo
a pagar pelo menor circuito.
(exerccio retirado do exame nacional de 2009_2. fase)
4
MACS
Prof Paula Leito
5. A empresa Silva-Filhos dedica-se limpeza de estradas. A
empresa est sediada no distrito de Viseu. 5.1. Na Figura 1,
encontra-se o grafo que serve de modelo ao circuito utilizado pela
empresa ao efetuar a limpeza das estradas. Cada vrtice do grafo
representa uma localidade, e cada aresta representa uma estrada que
liga duas localidades.
Considere a afirmao: No possvel limpar todas as estradas
representadas no grafo da Figura 1, percorrendo cada estrada uma e
uma s vez, se o camio de limpeza partir de Beselga e regressar a
Beselga. Mas, possvel alterar esta situao. Justifique a veracidade
da afirmao anterior. Reproduza o grafo da Figura 1, na folha de
respostas, e acrescente-lhe uma aresta de modo que o grafo obtido
represente um modelo a partir do qual seja possvel limpar todas as
estradas, percorrer cada estrada uma e uma s vez, partindo de
Beselga e regressando a Beselga.
(exerccio retirado do exame nacional de 2010_1. fase)
6. O Antnio carteiro. Habitualmente, organiza o percurso antes
de iniciar a distribuio das encomendas. Certo dia, o Antnio decidiu
fazer um grafo ponderado (Figura 1), com as distncias a cada um dos
locais de entrega das encomendas desse mesmo dia.
No grafo da Figura 1, os seis vrtices representam a estao de
correios (C), a escola (E), o ginsio (G), o restaurante (R), a
fbrica (F) e a associao desportiva (A). Cada aresta do grafo
representa um trajeto direto entre dois dos locais j referidos. A
ponderao de cada aresta representa a distncia, em metros, entre os
locais considerados.
5
MACS
Prof Paula Leito
No grafo da Figura 1, os seis vrtices representam a estao de
correios (C), a escola (E), o ginsio (G), o restaurante (R), a
fbrica (F) e a associao desportiva (A). Cada aresta do grafo
representa um trajeto direto entre dois dos locais j referidos. A
ponderao de cada aresta representa a distncia, em metros, entre os
locais considerados.
O Antnio pretende partir da estao de correios, (C), passar por
todos os outros locais representados, nos quais tem de entregar
encomendas nesse dia, no mais do que uma vez por cada um deles, e
regressar depois estao de correios, percorrendo o nmero mnimo de
metros. Defina um percurso que satisfaz o que o Antnio pretende e
indique o nmero de metros que ele tem de percorrer. (exerccio
retirado do exame nacional de 2010_2. fase)
7. Na Figura 1, encontra-se o grafo que serve de modelo aos
percursos utilizados pela RecSol, uma empresa de recolha de resduos
slidos. Cada vrtice do grafo representa um local de recolha de
resduos slidos, e cada aresta representa uma estrada que liga dois
desses locais.
6
MACS
Prof Paula Leito
Na Tabela 2, encontram-se registadas as distncias mnimas, em
metros, entre cada dois locais de recolha de resduos slidos,
representados pelos vrtices do grafo da Figura 1, quando se
percorrem as estradas representadas pelas arestas do mesmo
grafo.
Tabela 2A A B C D E F G B 1253 C 1421 D 911 E 712 941 1001 F 938
1198 G 1248 832 -
7.1. O Antnio, um motorista da empresa RecSol, quer verificar se
existem resduos abandonados ao longo das estradas. Pretende partir
do local representado pela letra A, percorrer todas as estradas,
sem as repetir, e regressar ao mesmo local. Podem todas as
pretenses do Antnio ser satisfeitas, em simultneo? Justifique a sua
resposta.
7.2. A RecSol vai ligar todos os locais de recolha de resduos
slidos com um cabo de fibra tica, utilizando algumas das estradas
representadas no grafo da Figura 1. De modo a usar a menor extenso
de cabo de fibra ptica, a empresa contactou dois especialistas em
instalao de fibra tica, o Joo e o Jos. O Joo afirma, sem recurso a
nenhum mtodo, que a ligao que requer menos cabo
{(A,B),(F,G),(B,F),(B,E),(C,E),(C,D)} O Jos prope uma ligao
apoiando-se no uso do algoritmo seguinte. Algoritmo: Passo 1:
Escolhem-se as duas arestas com o menor valor de distncia. Passo 2:
Escolhe-se a aresta seguinte com o menor valor de distncia, desde
que essa aresta no feche um circuito. Passo 3: Repete-se o ponto
anterior at que todos os vrtices faam parte da rvore, tendo em
conta as regras seguintes: se houver empate na escolha de arestas,
seleciona-se a aresta aleatoriamente; se a aresta a escolher fechar
um circuito, essa aresta no deve ser considerada.Prof Paula
Leito
7
MACS
Indique qual das duas propostas deve escolher a empresa, de modo
a usar a menor extenso de cabo de fibra tica. Na sua resposta,
deve: determinar o nmero de metros da proposta do Joo; aplicar ao
grafo da Figura 1 o algoritmo proposto pelo Jos; determinar o nmero
de metros da proposta do Jos; apresentar uma concluso sobre a
escolha da empresa. (exerccio retirado do exame nacional de 2011_1.
fase) 8. O senhor Manuel ofereceu o capital acumulado no final de
2008 ao seu filho Miguel. Esse dinheiro foi investido pelo Miguel
na sua empresa de distribuio de congelados. Na Figura 1,
encontra-se o grafo que serve de modelo volta utilizada pelo camio
da empresa do Miguel, para efetuar a distribuio de congelados pelos
supermercados que fornece. No grafo, o vrtice A representa a sede
da empresa do Miguel, e os vrtices B, C, D e E representam os
supermercados. Cada aresta representa um trajeto direto que liga
dois supermercados, ou que liga um supermercado sede da empresa do
Miguel.
Figura 1
O Miguel elaborou uma lista com as voltas de distribuio, que
comeam e terminam na sede da sua empresa, visitando todos os
supermercados, e no repetindo nenhum deles. Para o Miguel, o que
importa o nmero de quilmetros percorridos, por isso, indiferente,
por exemplo, percorrer ABCDEA ou percorrer AEDCBA.
8.1. Num determinado dia, o camio deve visitar, em primeiro
lugar, o supermercado representado por D, visitando depois os
restantes, e no repetindo nenhum deles, antes de regressar sede da
empresa. Identifique todas as voltas possveis para esse dia. 8.2.
Mostre que o grafo da Figura 1 admite, exatamente, doze voltas
distintas, que podem fazer parte da lista do Miguel. (exerccio
retirado do exame nacional de 2011_2. fase)8 MACSProf Paula
Leito
