SEMANA 09FISICA II

CONTENIDO:- El condensador esférico.

Ing. Gustavo Neira A.

- El condensador cilíndrico.- Problemas.- Conexión o combinación de condensadores.- Problemas.- Energía almacenada en un condensador cargado.- Condensadores con dieléctrico.- Problemas.

El Condensador EsféricoEs un dispositivo, condensador, formado por dos esferas conductoras concéntricas de radios r1 y r2.

El campo eléctrico entre las esferas es radial, y tiene un valor de:

1 220

1( )4

QE r r r rrπε

= ⋅ < <

El Condensador EsféricoLa diferencia de potencia ΔV entre ambas armaduras será:

1 2 2

2 1 1

20

1. .4

r r r

r r r

QV V V E dl E dr drrπε+ −Δ = − = − = = ⋅∫ ∫ ∫

2

1

2 1

0 0 2 1

14 4

r

r

r rQ QVr r rπε πε

−⎡ ⎤Δ = ⋅ − = ⋅⎢ ⎥ ⋅⎣ ⎦

El Condensador Esférico

Luego, la capacidad del condensador esférico es:

2 10

2 1 2 1

0 2 1

4

4

r rQ QC Cr rQV r rr r

πε

πε

⋅= = → = ⋅

−Δ −⋅⋅

Notas:(1)Aumenta si r1 o r2 aumentan.(2)Aumenta si r1 y r2 se acercan.

El Condensador CilíndricoEs un dispositivo, condensador, formado por dos cilindros conductores coaxiales de radios r1 y r2, infinitamente largos, y cargados con una densidad lineal de carga λ y –λ.El campo eléctrico E será no nulo sólo entre ambos conductores, y tendrá dirección radial.

El Condensador CilíndricoAplicando el Teorema de Gauss a una superficie cilíndrica con radio r, tal que r1 < r < r2,

( ) ( ) 2E E r S E r rLφ π= ⋅ = ⋅

Por otro lado,

0 0E

Q Lλφε ε

= =

De las ecuaciones anteriores:

0

1( )2

E rrλ

πε= ⋅

El Condensador CilíndricoLa diferencia de potencial entre ambas armaduras será:

1 2 2

2 1 1

2

0 0 1

1. .2 2

r r r

r r r

rV V V E dl E dr dr lnr rλ λ

πε πε+ −

⎛ ⎞Δ = − = − = = ⋅ = ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Por lo tanto:

0

2 2

0 1 1

2

2

LQ LCV r rln ln

r r

πελλπε

= = =Δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Notas:(1)Aumenta si L aumentan.(2)Aumenta si r1 y r2 se acercan.

Problemas

Conexión o combinación de condensadoresCondensadores en Serie:-La armadura negativa de cada condensador está conectada a la positiva del siguiente.- La carga de cada condensador es la misma.-La diferencia de potencial total será la suma de las diferencias de potencial en cada uno de los condensadores.

Circuito (I) equivalente con Circuito (II)

Conexión o combinación de condensadoresDel Circuito (I):

31 21 2 3

1 2 3

QQ QV V V V VC C C

= + + → = + +

Por ser la carga la misma para todos los condensadores, tenemos:

1 2 31 2 3

1 1 1 ( )V V V V V QC C C

α⎛ ⎞

= + + → = + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

Del Circuito (II):

( )eq

Q QVC C

β= =

Al ser circuitos equivalentes, la carga es la misma en cada condensador de ambos circuitos.

Conexión o combinación de condensadoresDe (α) y (β), tenemos:

Generalizando, para “n” en serie:

1

1

1n

eqi i

CC

−

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1QQC C C C C C C C

⎛ ⎞+ + = → = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

Conexión o combinación de condensadoresCondensadores en Paralelo:-Las armaduras negativas de cada condensador estáconectada entre si, y las armaduras positivas lo mismo.-Todos los condensadores se encuentran sometidos a la misma diferencia de potencial.-La carga del circuito se distribuye entre todos los condensadores.

Circuito (I) equivalente con Circuito (II)

Conexión o combinación de condensadoresDel Circuito (I):

1 2 3 1 1 2 2 3 3Q Q Q Q Q C V C V C V= + + → = + +

Por ser la diferencia de potencial la misma para todos los condensadores, tenemos:

( )1 2 3 1 2 3 ( )Q Q Q Q Q V C C C α= + + → = + +

Del Circuito (II):

( )eqQC Q CVV

β= → =

Al ser circuitos equivalentes, la diferencia de potencial es la misma en cada condensador de ambos circuitos.

Conexión o combinación de condensadoresDe (α) y (β), tenemos:

Generalizando, para “n” en paralelo:

1

n

eq ii

C C=

= ∑

( )1 2 3 1 2 3V C C C CV C C C C+ + = → = + +

Energía almacenada en un condensador cargadoEl trabajo para cargar un condensador es igual a la energía potencial electrostática del condensador:

El voltaje en el condensador es variable mientras se produce la carga.

( )dW VdQ W qV= =

Q QC VV C

= ⇒ =

Luego:

1dU dW QdQC

= =

Energía almacenada en un condensador cargadoLa energía electrostática será:

Finalmente, cuando el condensador se encuentre totalmente cargado:

0

1 Q

U Q dQC

= ⋅∫

2 21 1( ) ( )2 2

U Q J CV JC

= =

Condensadores con dieléctricoDieléctrico: material no conductor.La capacidad de un condensador de placas paralelas es:

0 ACd

ε=

0 AQ CV Q Vd

ε= → = ⋅

Y la carga con respecto a la diferencia de potencial es:

Cuando un condensador presenta un dieléctrico, este se introduce entre las armaduras del mismo, ocupando una parte o todo el espacio entre las mismas.

Condensadores con dieléctrico

Condensadores con dieléctrico

Condensadores con dieléctricoEn el segundo caso:

T TE E E E E E′ ′= − → = −Pero:

TE E V E d< ∧ = ⋅Si el campo eléctrico al interior del condensador disminuye, entonces el potencial entre las placas también disminuye.Al mantener la carga constante, la capacidad aumenta.

Todo material dieléctrico posee una constante dieléctrica K, que cumple la siguiente condición.

0

K εε

=

: permitividad del dieléctricoε 0 : permitividad del vacíoε

Condensadores con dieléctricoInfluencia de los dieléctricos en los condensadores:1. Aumenta la capacidad del condensador, en un factor de K,

constante del dieléctrico.2. Constituye la forma natural de separar las placas

(armaduras) que conforman el condensador.3. Aumenta la tensión de ruptura, también denominada

resistencia dieléctrica.

Condensadores con dieléctricoConstante dieléctrica de algunos materiales.

Material KVidrio 5 – 10Mica 6.0Nylon 3.5Caucho 2 – 3.5Madera 2.5 – 8Agua destilada (20 ºC) 80Aire (1 atm) 1.00059

Condensadores con dieléctricoEjemplo:Cual es la capacidad de un condensador de placas paralelas de área A y separación d, cuando se introduce un dieléctrico de constante K que llena completamente el espacio entre las placas.

Solución:Campo eléctrico entre las placas:

E σε

=pero: Q

Aσ = 0Kε ε=

luego:

0

QEK Aε

=

Condensadores con dieléctricoy la diferencia de potencial entre las placas:

Finalmente la capacidad del condensador es:

0

. QV E dl dK Aε

= = ⋅∫

0

0

AQ QC C C KQV ddK A

ε

ε

= ⇒ = ⇒ =i

También se puede escribir:0

0AC K C KC

dε

= ⇒ =

Donde C0 es la capacidad del condensador sin dieléctrico.

Condensadores con dieléctricoEjemplo:Calcular la capacidad del condensador mostrado en la figura, si el dieléctrico ocupa una parte de la separación entre las placas.

Solución:Determinando el campo eléctrico en el vacío y en dieléctrico:

0 0V

QEA

σε ε

= =0

DQE

K Aσε ε

= =

Condensadores con dieléctricoLa diferencia de potencial entre las placas del condensador es igual a la suma de los potenciales en el vacio y en el dieléctrico; esto es:

Desarrollando:v dV V V= +

. ( )v dV E dl E d a E a= = − +∫

0 0

( )Q QV d a aA K Aε ε

= ⋅ − + ⋅

0

( )Q aV d aA Kε

⎡ ⎤= ⋅ − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Condensadores con dieléctricoLa capacidad del condensador será:

0

0

( )( )

AQC aQ a d ad aKA K

ε

ε

= =⎡ ⎤ − +⋅ − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Un condensador con dos o más dieléctricos en serie se puede tratar como un circuito con dos o más condensadores en serie.

Problemas