ElltrodeKalman

JosAntonioCamarenaIbarrola

QueesunFiltrodeKalman? Esunalgoritmorecursivop?modeprocesamientodedatos Haymuchasformasdedenirp?mo ElltrodeKalmanesp?morespectoacasicualquiercriterio

quetengasen?do ElltrodeKalmantomaencuentatodalainformacinquese

tenga. Procesatodaslasmedicionessinimportarsuprecisinpara

es?marelvalordelasvariablesdeinters Haceusode:1. Conocimientodelsistemaydeladinmicadelos

instrumentosdemedicin,2. Ladescripcinestads?cadeloserroresdemedicinydela

incer?dumbredelosmodelosdinmicos.3. Cualquierinformacindisponibledelascondicionesiniciales

delasvariablesdeinters

Ejemplo

ParadeterminarlavelocidaddeunaaeronavepodramosdisearunltrodeKalmanquetomeencuenta:

1. UnradardeefectoDoppler2. Velocmetrodenavegacininercial3. Lapresinest?ca4. Vientorela?vo5. Loquedigaelpiloto

Filtrorecursivo?

Esrecursivoporquenorequierealmacenartodoslosdatospreviosyreprocesarloscadavezquellegaunanuevainformacin

Esunltroenelsen?dodequeesunprogramaquetrabajaconmuestrastomadasen?empodiscretoenlugardeentradasen?empocon?nuo

UsodelltrodeKalman

Lasvariablesdeintersusadasparadescribirelestadodelsistemanosepuedenmedirdirectamenteysedebenes?marapar?rdelainformacindisponible

PorqunecesitamosalltrodeKalman? Lossistemasestnnormalmentecontroladospormas

variablesquelasqueeldiseadordelossistemasproveencomovariablesdecontrol

Larelacinentrelasvariablesdeestadoylasvariablesquesemidenseconocesoloconciertogradodeincer?dumbre

Lasmedicionessoncorrompidasenciertogradoconruido,desviacioneseimprecisionesdedisposi?vos

Lasdiferentesdinmicasdelosdiferentesinstrumentosdemedicinu?lizadossepuedenconfundirconladinmicadelsistema

ElltrodeKalmanproduceunaes?macinp?maestads?camente

Tomaencuentatodoslasmedicionesmaslainformacinaprioriquesetengadelsistemaydelosdisposi?vosdemedicin

EnfoqueBayesiano Elltrodebepropagarladensidaddeprobabilidad

condicionaldelascan?dadesdeseadascondicionadoalconocimientodelosdatosqueprovienendelosdisposi?vosdemedicin.

Considereladensidaddeprobabilidadcondicionaldelvalordeunavariablexenuninstantei(x(i)),condicionadaalconocimientodequeunavariablemedidaenelinstante1(z(1))tomelvalorz1yalmedirlaenelinstante2(z(2))tomelvalorz2,etc.

Porejemplox(i)pudieraserlaposicindeunvehculoenunasoladimensinenelinstanteiyz(j)pudieraserlaposicindelvehculoendosdimensionesreportadapordosradaresseparadosenelinstantej

Ladensidadcondicional Ladensidad

condicionalcon?enetodalainformacindisponibleacercadex(i).

Indicalaprobabilidaddex(i)deasumircualquiervalorespecco,paraelvalordadodetodaslasmedicionestomadashastaelinstantei.

Escondicionalporqueelvalorreportadodependedetodaslasmedicionestomadas

Sifueraunpicotendramoscertezadelvalordex(i)

Restricciones UnltrodeKalmanrealizalapropagacindela

densidaddeprobabilidadparaproblemasenlasqueelsistemapuedeserdescritomedianteunmodelolinealylosruidosenlasmedicionessongaussianos

Bajoestasrestricciones,elltrodeKalmanesp?mo Alhacerlapropagacinpodemosu?lizarlamedia,la

medianaolamoda Enladistribucingaussianaestas3medidascoinciden Siseeliminalapresuncindegaussianidad,elltrode

Kalmanesunltroconelmenorerrordelaclasedeltrosnosesgados

Paramuchasaplicacionesestasrestriccionessecumplen

Presuncionesbsicas Unmodelolineal.Sepuedeajustaralinealcuandohayno

linealidades. Lossistemaslinealessonmuydeseablespueshaymuchas

herramientasyteoramascompletayprc?ca Ruidoblancosignicaqueno?enecorrelacinconel?empo(en

nadaayudaconocerel?empoenlaprediccindelvalordelruido) Alconsiderarqueelruidoesblancosevuelvetratableel

problema,detodosmodosalsistemaledalomismoelruidoblancoqueelruidodeanchodebandaampliaparaelanchodebandaalquerespondeelsistema

Presuncionesbsicas

Unadistribucingaussianaquedadeterminadasoloconlosprimerosdosmomentosdeladistribucinloscualessonfcilesdeaveriguarnormalmente

Lastrespresuncionesjuntasconviertenelproblemaentratable

Ejemplo Supongaqueno?eneideadesuposicinenelmar Localizaunaestrellaenelcieloparatratardeubicarse Supongaporsimplicidadqueelsistemaesdeunasoladimensin Enelinstantet1,determinasquetuposicinesz1 Debidoalasimprecisionesinherenteslaposicinesincierta Supongamosquedecidesquetuprecisinestalqueladesviacin

estndares Entoncespodemosestablecerquelaprobabilidadcondicional

de,condicionadaalvalorobservadodelamedicinesz1

1z

)( 1tx

Ejemplo(cont) Hastaestemomentolamejores?macindelaposicines

ylavarianzaes Enseguida,unmarinoconmasexperienciatomaotramedicin

enelinstantet2muypocodespusdet1demaneraquelaposicinrealnohacambiadoyob?enez2convarianzamenorpuestoqueesmasexperimentado

11)( ztx =2

12

1)( zx t =

2z

Actualizandoladistribucin

Observeque

2

1

z

z