Filtro Digital Upsampling Downsamplig

Escuela de Ingeniería de Telecomunicaciones UNMSM

Tabla de contenidoConcepto Teórico.........................................................................................................................2

Interpolación:...........................................................................................................................2

UPSAMPLING............................................................................................................................2

Función de Transferencia del Upsampling...............................................................................2

Decimaciòn...................................................................................................................................4

DOWNSAMPLING.....................................................................................................................4

Función de Transferencia del Downsampling...........................................................................4

Codigo en Matlab :.......................................................................................................................7

Figura 1.....................................................................................................................................7

Figura 2.....................................................................................................................................8

Figura 3 Versión interpolada de la Onda seno..........................................................................9

Figura 4 Diferencia de señales decimada e interpolada...........................................................9

Conclusiones:.............................................................................................................................12

Procesamiento Digital de Señales Página 1


Filtro Digital

Concepto Teórico Interpolación y decimación

Aplicación de Alteración de la frecuencia de muestreo.

Interpolación:Consiste en aumentar l frecuencia de muestreo, obteniendo muestreos de mayor frecuencia a partir de datos muestreados a menor frecuencia.

UPSAMPLINGAumentar la frecuencia de una señal por un factor entero L>1 , se insertan L-1 ceros entre dos muestreos consecutivos de la señal de entrada x [n ] , lo que prodce una salida xu [n ] .

Matemáticamente:

xu [n ]=x [n/L ] , n=0 , ±L ,±2 L ,…0 , resto

La operación de upsampling es lineal, pero no es invariante en el tiempo.

Para realizar una verdadera interpolación deberemos sustituir los ceros insertados por valores apropiados de la señal. Eso se hará introduciendo un filtro pasa bajo, tal y como veremos ahora.

Función de Transferencia del Upsampling

xu ( z )= ∑n=−∞

∞

x [n/L ] . z−n= ∑m=−∞

∞

x [m ] . z−mL=X (zL)

En el círculo unidad, la relación anterior se convierte en,

Xu (e jωt s)=X (e jωt s L)



Xu (e jΩ )=X (e jΩL)

Es decir, un aumento por un factor L de la frecuencia de muestreo conlleva una repetición ×L del espectro de la señal x[n]. La figura muestra los efectos de doblar la frecuencia de muestreo. En general, aumentar la frecuencia de muestreo por un factor L introduce L-1 imágenes del espectro original.

Filtro de Interpolación

Para interpolar la señal de entrada no tenemos más que aplicar un filtro pasa bajo a la salida del upsampling. De esta forma los ceros que habíamos insertado en el upsampling se convierten ahora en valores interpolados.

Podemos obtener las especificaciones del filtro pasa bajo necesario. Supongamos que x[n] ha sido obtenido muestreando una señal continua xa (t) cuyo espectro viene dado por X a( jω). El

espectro de x[n] es X (e jΩ). Estas dos transformadas están relacionadas por la siguiente expresión:

X ( f )= 1T0

∑k=−∞

∞

Xa( f−kT0

)

Donde T 0 es el periodo de muestreo. Si muestreamos xa(t) a una frecuencia mayor de forma

que T=T0L

, obtenemos y[n], cuya transformada de Fourier es Y (e jΩ), de forma que,

Y (f )= 1T

∑k=−∞

∞

X a(f− kT )= L

T 0∑k=−∞

∞

Xa( f−kT0L

)



De las ecuaciones anteriores se deduce que si pasamos xu [n ] a través de un filtro pasa bajo

ideal de frecuencia de corte Ωc=πL

y ganancia L, la salida del filtro es precisamente y[n].

Decimaciòn

DOWNSAMPLINGHacer un downsampling de un factor entero M>1 consiste en guardar uno de cada M valores muestreados y eliminando los M-1 muestreos intermedios, generando una señal de salida xd [n ] de acuerdo con la siguiente relación: xd [n ]=x [nM ]. Al igual que la operación de upsampling , el downsampling es lineal pero es variante en el tiempo. Disminuir la frecuencia puede tener implicaciones a la hora de cumplir el teorema del muestreo, por lo que tendremos que introducir un filtro pasa bajo antes de hacer el downsampling.

Función de Transferencia del DownsamplingCreamos una función auxiliar xaux [n ] , que definimos,

xaux [n ]=x [n ]n=0 ,± M ,±2M ,…0otro

X d (z )= ∑n=−∞

∞

x [Mn ] . z−n= ∑n=−∞

∞

xaux [Mn ] . z−n= ∑k=−∞

∞

xaux [k ] . z−kM =Xaux(z

1M )



Relacionamos xaux [n ] con x[n] mediante la siguiente ecuación,

xaux [n ]=c [n ] . x [n ]donde c [n ]=1n=0 ,± M ,2M ,…,0 resto

Otra forma de expresar c [n ] es , c [n ]= 1M

∑k=0

M−1

e− j2πkn /M

X aux (z )= ∑n=−∞

∞

c [n ] . x [n ] . z−n=1M ∑

n=−∞

∞ (∑k=0

M−1

e− j2πkn

M ) . x [n ] . z−n=1M ∑

k=0

M−1 ( ∑n=−∞

∞

x [n ] . e− j2πnM . z−n)= 1

M ∑k=0

M−1

X (z . e− j2πk /M)

X d (z )= 1M

∑k=0

M−1

X ( z1M . e

− j2πkM )→X d ( f )= 1

M∑k=0

M−1

X (e j2 π (f .t s−k )/M )

Esto quiere decir que la función de transferencia del downsampling es la suma de M versiones ensanchadas (multiplicación por ts) y desplazadas de la función de transferencia X(z), y multiplicadas por el factor 1/M. Debido a que se ha disminuido la frecuencia de muestreo en un factor M, no ocurrirá aliasing si la señal x[n] tiene un espectro limitado entre ±π/M. En la figura se observa que a no ser que se introduzca un filtro pasa bajo apropiado, se va a producir aliasing a la salida del downsampling. Este filtro deberá colocarse antes del downsampling para ser efectivo. Un filtro ideal deberá tener una frecuencia de corte igual a π/M. En la práctica siempre tendremos una banda de transición por lo que las especificaciones de filtro serán:

|H (e jΩ)|=1 ,|Ω|≤Ωc /M

0 ,πM

≤|Ω|≤π



Aplicando MatlabSe realizara la decimacion e interpolación de una señal periódica en usencia del filtro

pasa bajo mostrado en el diagrama de bloques mostrado :



Codigo en Matlab :

Fs=100;t=linspace(0,1,Fs);x=sin(2*pi*1*t)+cos(2*pi*3*t);subplot(1,3,1),stem(t,x),grid,title('Senal Original') M=4;L=3;xd=downsample(x,M);Fs1=Fs/M;t1=linspace(0,1,Fs1);subplot(1,3,2),stem(t1,xd),grid,title('Senal Decimada') xi=upsample(x,L);Fs2=Fs*L;t2=linspace(0,1,Fs2);subplot(1,3,3),stem(t2,xi),grid,title('Senal Interpolada')

Figura 1Ahora se mostrara el desarrollo de la operacion de decimacion completa utilizando el filtro pasa bajo señalado en el diagrama de bloques .

Sea una secuencia x [n ]=2sin (2 πfn/Fs). Representemos la versión decimada por 2 , considerando una Fs=100 muestras/seg y una frecuencia fundamental igual a 5 Hz.

Fs=100;n=0:Fs-1;f=5;x=2*sin(2*pi*f*n/Fs);stem(n,x)help decimatex2=decimate(x,2);Fs=Fs/2;



stem(0:Fs-1,x2)

Figura 2Se puede observar una característica importante. En la figura 1 se percibe la presencia de 100 muestras representando 5 ciclos por segundo. En cuanto que en la figura 2 , se aprecia la presencia de solo 50 muestras también mostrado a 5 ciclos por segundo.

Luego , se muestrea el desarrollo de la operación de la interpolación completa utilizando el filtro pasa bajo señalado en el diagrama de bloques.

Seguidamente interpolamos por 2 para retornar al numero de muestras incial de esta señal.

%operacion de interpolacion completa%utilizando e fitr pasa bajoFs=Fs*2;xx=interp(x2,2);stem(0:Fs-1,xx)



Figura 3 Versión interpolada de la Onda senoDe esta manera se recupera la Fs de muestreo inicial. A continuación es posible observar la diferencia entre la señal original y la manipulada por una operación de decimacion e interpolación.

%diferencia de senales decimada e interpoladaplot(0:Fs-1,x,'r',0:Fs-1,xx,'b')

Figura 4 Diferencia de señales decimada e interpolada

Asimismo, para lograr el cambio de la Frecuencia de Muestreo, Fs, por un numero fraccionario de veces , se procede a realizar ambas operaciones a la vez , tal como muestra la siguiente figura .



Por ejemplo , si se desea una Fs_Final =300 muestras/seg , a partir de una Fs_Inicial =400 muestras/seg , se deberá de realizar las operaciones de decimacion e interpolación una seguida dela otra.

Fs=400;t=linspace(0,1,Fs);x=cos(2*pi*t*0.5)+cos(2*pi*t*1.5)subplot(1,2,1),stem(t,x)help resampleL=3;M=4;xr=resample(x,L,M);Fs_n=Fs*L/M;t1=linspace(0,1,Fs_n);subplot(1,2,2),stem(t1,xr)



Aplicamos ZOOM a la imagen



Conclusiones: Se consiguió utilizar en cascada un decimador por M y n interpolador por L , donde M y

L son enteros.

El sistema final en un decimador por ML

o bien un interpolador por LM

.

Figura (a)

Figura (b)

Las figuras (a) y (b) muestran dos posibles configuraciones en cascada. De las dos la más eficiente es la figura(b) ya que solo será necesario realizar un filtro que cumpla las dos condiciones del interpolador y el decimador.

Esto se consigue con un filtro con la frecuencia de corte,

Ωs=min ( πL,πM

)

Esta frecuencia suprime las imágenes causadas por el interpolador y al mismo tiempo garantiza la usencia de aliasing que causaría el decimador.


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