Embed Size (px)
Citation preview
0
FINANSIELLA DERIVAT OCH
STOKASTISK ANALYS
Matematikkurs vid CTH och GU
Christer BorellMatematiska institutionen CTH&GU412 96 Göteborg(Version: okt 03)
0
0
Förord
Syftet med detta kompendium är att vidareutveckla den matematiska teorinför �nansiella derivat, som inleddes med kursen �Optioner och matematik�.Kompendiet är avsett som läromedel för kursen �Finansiella derivat ochstokastisk kalkyl�på Chalmers och Göteborgs universitet.Efter ett inledande kapitel om Paley-Wiener-Zygmunds integraler och
linjära stokastiska di¤erentialekvationer med konstanta koe¢ cienter presen-teras en del mått- och sannolikhetsteori, som senare behövs för att utvecklastokastisk analys. Cameron-Martins sats behandlas utförligt. Begreppetbetingat väntevärde erhålls från separationssatser för konvexa mängder iHilbertrum. Dessa separationssatser leder också fram till värdepapperste-orins två huvudsatser för så kallade ändliga marknadsmodeller. Med hjälpav dessa resultat gissar man lätt Black-Scholes optionspriser. Det är intres-sant att rent geometriska principer leder fram till dessa uppmärksammadepriser.Denna kurs behandlar framförallt den analytiska metoden inom Black-
Scholes teori för �nansiella derivat. Med hjälp av Itôs stokastiska integral-och di¤erentialbegrepp och så kallad �-hedging erhålls Black-Scholes prisersom lösningar till partiella di¤erentialekvationer av parabolisk typ. Dessa ek-vationer kan t ex lösas med Feynman-Kac formel och Monte Carlo-metoden.En del andra snabbare metoder behandlas i samband med speciella optioner.Bland räntemodeller betonas särskilt Gaussiska modeller givna av Vasiµcek,
Hull och White. I det avslutande kapitlet studeras så kallad HJM-metodikinom teorin för räntor.
Göteborg 20 december 2001Christer Borell
0
0
Innehållkap sid
1 Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska integral 1
2 Måtteori 31
3 Konvexitet och funktionalanalys 61
4 Stokastiska grundbegrepp 77
5 Värdepappersteorins två huvudsatser 103
6 Några Gaussiska obligationsmodeller 117
7 Stokastiska integraler av Itôs typ 133
8 �-hedging 163
9 Några exotiska optioner i Black-Scholes modell 183
10 Black-Scholes modell för �era underliggande aktier 197
11 HJM-metodik för räntemodeller 219
12 Appendix. Existens av Brownsk rörelse 229
13 Referenser 237
0
1
1. Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska integral
I den inledande kursen Optioner och matematik studerades aktiederivat därden underliggande aktien beskrivs enligt Bachelier-Samuelsons modell, vilketbl a innebär att aktiepriset har konstant volatilitet �. Antag vi begränsaross till tidsintervallet [0; T ] : Aktiepriset S(t) vid tiden t ges då av ekvationen
S(t) = S(0)e�t+�W (t); 0 � t � T
där � är en reell parameter ochW = (W (t))0�t�T är en normaliserad Wiener-process i tidsintervallet [0; T ]. Den stokastiska processen W = (W (t))0�t�Tär alltså en reellvärd, centrerad Gaussprocess med kovariansen
E [W (s)W (t)] = min(s; t):
En normaliserad, reellvärd Wienerprocess har alltid en version med kontin-uerliga trajektorier så vi kan nedan utan inskränkning förutsätta att allatrajektorier för W är kontinuerliga:Black-Scholes modell består av en aktie med en prisprocess som i Bachelier-
Samuelsons modell och en obligation med prisprocessen
B(t) = B(0)ert; 0 � t � T
där B(0) och r är positiva konstanter. Vi skriver g 2 P om funktioneng : ]0;1[! R är styckvis kontinuerlig och
j g(ex) j� B exp(C j x j)); x 2 R
för lämpliga konstanter B;C > 0: Ett derivat av europeisk typ som utbetalarbeloppet g(S(T )) slutdagen T har vid tiden t � T värdet v(t; S(t)); där
v(t; s) = e�r(T�t)Ehg(se(r�
�2
2)(T�t)+�W (T�t))
i:
En portfölj bestående av ett derivat och �v0s(t; S(t)) aktier är riskfri vid tident. Från kursen Optioner och matematik vet vi också att funktionen v(t; s)löser Black-Schooles di¤erentialekvation
@v
@t+�2s2
2
@2v
@s2+ rs
@v
@s� rv(t; s) = 0; t < T; s > 0
2
med slutvärdet
vjt=T = g:
Om t < u < T och vi vill beräkna v(t; s) så kan vi uppfatta derivatet somett europeiskt derivat som utbetalar beloppet v(u; S(u)) slutdagen u: Genomatt för �xt � > 0 de�niera en linjär operator
�� : P ! P
där
(��g)(s) = e�r�Ehg(se(r�
�2
2)�+�W (�))
i:
så följer nämligen att
��1 � ��0 = ��1+�0 :
Banker och andra säljare av warranter och optioner kan hedga sina posi-tioner med hjälp av Black-Scholes optionsmodell. I praktiken skattas regel-bundet volatiliteten för de underliggande värdepapperen och hedgingen justerasdärefter. Volatiliteten för ett aktiepris är i själva verket ytterst svår att mätamen trots detta har Black-Scholes optionsmodell varit extremt uppmärksam-mad och använd alltsedan sin tillkomst i början av 1970-talet.I detta kapitel skall vi studera optionsmodeller där volatiliteten är en
deterministisk funktion av tiden. Detta leder oss till en stokastisk integralav typen Z T
0
�(t)dW (t)
där �(t); 0 � t � T , är deterministisk. Denna stokastiska integral studeradesav Paley, Wiener och Zygmund redan år 1933 [PWZ]. Motsvarande inte-gralbegrepp leder oss också till en del stokastiska di¤erentialekvationer, sombl a är intressanta i samband med stokastisk ränta. Samtidigt skapas en brabakgrund för att senare utveckla Itôs allmännare stokastiska integralbegrepp,som är ett utmärkt hjälpmedel för att vidareutveckla Black-Scholes modell.Begreppet stokastisk volatilitet är dock ett ämne som nästan helt faller utomramen för denna kurs.Nedan diskuteras först en del resultat från integrations- och sannolikhet-
steorin. Dessa resultat återkommer i ett senare kapitel och får då en djupareinnebörd.
3
Antag att f 2 L2 [0; T ] dvs f är en kvadratiskt integrerbar deterministiskfunktion i intervallet [0; T ] : Det gäller alltså attZ T
0
f 2(t)dt <1:
Sätt
kfk2 =
sZ T
0
f 2(t)dt:
Denna storhet kallas L2-normen av f: Triangelolikheten ger att
kf + gk2 � kfk2 + kgk2
för alla f; g 2 L2 [0; T ].Om 0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T och
f(t) =n�1Xk=0
yk1[tk;tk+1[(t); 0 � t < T
där y0; :::; yn�1 2 R kallas f för en trappfunktion i intervallet [0; T ]. För varjekvadratiskt integrerbar funktion f 2 L2 [0; T ] �nns en följd trappfunktionerfk; k 2 N; som konvergerar mot f i L2 [0; T ] dvs
limk!1
Z T
0
(fk(t)� f(t))2dt = 0
ellerlimk!1
kfk � fk2 = 0:
En följd (fk)k2N i L2 [0; T ] kallas en Cauchyföljd om
limj;k!1
kfj � fkk2 = 0
och man kan visa att en sådan följd är konvergent i L2 [0; T ]. Omvänt visartriangelolikheten att en konvergent följd i L2 [0; T ] är en Cauchyföljd.I denna kurs identi�eras två stokastiska variabler X och Y om
P [X 6= Y ] = 0:
4
Här betecknar P det bakomliggande sannolikhetsmåttet. Om Ak; k 2 N; ärhändelser så är [1k=0Ak en händelse och
P
" 1[k=0
Ak
#�
1Xk=0
P [Ak] :
Här råder likhet om händelserna
Aj \ Ak; j 6= k
aldrig inträ¤ar.I analogi med ovanstående låter vi L2(P ) beteckna klassen av alla reel-
lvärda stokastiska variabler med ändligt andramoment. OmX 2 L2(P ) gälleralltså att
E�X2�<1:
L2-normen de�nieras avkXk2 =
pE [X2]:
Precis som för rummet L2 [0; T ] kan vi nu tala om konvergens och Cauchyföljder.En Cauchyföljd i L2(P ) är konvergent. Om varje stokastisk variabel Xk;k 2 N; har en Gaussisk fördelning och denna sekvens konverger i L2(P ) såhar gränsvärdet en Gaussisk fördelning.Vi är nu beredda att de�niera Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska in-
tegral. Låt (W (t))0�t�T vara en normaliserad reellvärd Wienerprocess medkontinuerliga samplefunktioner i tidsintervallet [0; T ] : Antag först f = 1Idär I är ett delintervall av intervallet [0; T ] med vänsterändpunkten a ochhögerändpunkten b. Vi de�nierarZ T
0
f(t)dW (t) =
ZI
1dW (t) =
Z b
a
1dW (t) =W (b)�W (a):
Denna integral har en Gaussisk fördelning med väntevärdet noll och variansenb� a: Om 0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T och
f(t) =n�1Xk=0
yk1[tk;tk+1[(t), 0 � t < T
där y0; :::; yn�1 2 R de�nierasZ T
0
f(t)dW (t) =
n�1Xk=0
yk
Z tk+1
tk
1dW (t):
5
Notera att
E
�Z T
0
f(t)dW (t)
�= 0
och
E
"�Z T
0
f(t)dW (t)
�2#=
n�1Xk=0
y2k(tk+1 � tk) =Z T
0
f 2(t)dt:
Alltså gäller att Z T
0
f(t)dW (t) 2 N(0;Z T
0
f 2(t)dt):
Vi skall i nästa steg de�niera den stokastiska integralenZ T
0
f(t)dW (t)
för godtyckligt f 2 L2 [0; T ] och låter därför fk; k 2 N; vara en följd trapp-funktioner i intervallet [0; T ] sådana att
limk!1
kfk � fk2 = 0:
Observera att
kZ T
0
fj(t)dW (t)�Z T
0
fk(t)dW (t)k22
= E
"�Z T
0
fj(t)dW (t)�Z T
0
fk(t)dW (t)
�2#
= E
"�Z T
0
(fj(t)� fk(t))dW (t)�2#
=
Z T
0
(fj(t)� fk(t))2dt = kfj � fkk22; j; k 2 N:
Triangelolikheten visar attkfj � fkk2
� kfj � fk2 + kf � fkk2
6
där högra ledet konvergerar mot 0 då j; k !1; vilket medför att sekvensenZ T
0
fk(t)dW (t); k 2 N
är en Cauchyföljd i L2(P ); som således är konvergent. Man visar lätt attgränsvärdet är oberoende av valet av följd av trappfunktioner som konverg-erar mot f och gränsvärdet betecknas medZ T
0
f(t)dW (t)
och kallas för Paley-Wiener-Zygmunds stokastiska integral. Denna stokastiskaintegral har en Gaussisk fördelning med väntevärdet noll och variansenZ T
0
f 2(t)dt
dvs Z T
0
f(t)dW (t) 2 N(0;Z T
0
f 2(t)dt):
Speciellt gäller att
E
�Z T
0
f(t)dW (t)
�= 0
och
E
"�Z T
0
f(t)dW (t)
�2#=
Z T
0
f 2(t)dt
Om f; g 2 L2 [0; T ] så följer också att
E
"�Z T
0
(f(t) + g(t))dW (t)
�2#=
Z T
0
(f(t) + g(t))2dt
dvs
E
"�Z T
0
f(t)dW (t) +
Z T
0
g(t)dW (t)
�2#=
Z T
0
(f(t) + g(t))2dt:
Här är vänstra ledet lika med
E
"�Z T
0
f(t)dW (t)
�2#+ 2E
�Z T
0
f(t)dW (t)
Z T
0
g(t)dW (t)
�
7
+E
"�Z T
0
g(t)dW (t)
�2#och högra ledet lika medZ T
0
f 2(t)dt+ 2
Z T
0
f(t)g(t)dt+
Z T
0
g2(t)dt
och vi drar slutsatsen att
E
�Z T
0
f(t)dW (t)
Z T
0
g(t)dW (t)
�=
Z T
0
f(t)g(t)dt:
Om f är kvadratiskt integrerbar i intervallet [a; b] ; där 0 � a � b � T;de�nieras Z b
a
f(t)dW (t) =
Z b
0
g(t)dW (t)
där funktionen g är lika med 0 i intervallet [0; a[ och lika med f i intervallet[a; b] : De�nitionen ger speciellt attZ b
a
f(t)dW (t) =
Z c
a
f(t)dW (t) +
Z b
c
f(t)dW (t)
för alla c 2 [a; b] :Antag f 2 L2 [0; T ]. Ekvationen
X(t) =
Z t
0
f(u)dW (u); 0 � t � T
de�nierar en centrerad Gaussisk process med kovariansfunktionen
E [X(s)X(t)] = E
�Z s
0
f(u)dW (u)
Z t
0
f(u)dW (u)
�:
Om s � t följer att
E [X(s)X(t)] = E
�Z t
0
1[0;s](u)f(u)dW (u)
Z t
0
f(u)dW (u)
�
=
Z t
0
1[0;s](u)f(u)f(u)du =
Z s
0
f 2(u)du:
8
För godtyckliga 0 � s; t � T följer därför att
E [X(s)X(t)] =
Z min(s;t)
0
f 2(u)du:
Den centrerade Gaussiska processen
Y (t) =W (
Z t
0
f 2(u)du); 0 � t � T
har som vi ser samma kovariansfunktion och processerna X = (X(t))0�t�Toch Y = (Y (t))0�t�T är därför ekvivalenta i fördelning. Det verkar rimligtatt processen Y har kontinuerliga trajektorier. Lebesgues majorantsats, somvi diskuterar nedan i detta kapitel och mera allmänt i ett senare kapitel, visarnämligen att funktionen Z t
0
f 2(u)du; 0 � t � T
är kontinuerlig. Genom att utnyttja att processen Y har kontinuerliga tra-jektorier så följer med Lebesgueintegration att processen X = (X(t))0�t�Thar en version sådan att sannolikheten för att en trajektoria t! X(t) är kon-tinuerlig är lika med ett. Detta innebär att det �nns en stokastisk process(X�(t))0�t�T sådan att
P [X(t) = X�(t)] ; alla 0 � t � T
och en händelse A med sannolikheten ett sådan att trajektorian t! X�(t; !)är kontinuerlig för varje ! 2 A: När vi nedan möter en stokastisk process avtypen
X(t) =
Z t
0
f(u)dW (u); 0 � t � T
där f 2 L2 [0; T ] förutsätts att processen har valts i en version som harkontinuerliga samplefunktioner med sannolikheten ett. Denna konvention ärsynnerligen viktig i stokastisk analys.Låt oss nu betrakta följande kapitalmarknad bestående av en aktie och
en obligation. Obligationspriset B(t) vid tiden t 2 [0; T ] ges på samma sättsom i Black-Scholes modell dvs
B(t) = B(0)ert
9
där B(0) och r är positiva konstanter. Vidare förutsätts att aktiepriset S(t)vid tiden t 2 [0; T ] ges av ekvationen
S(t) = S(0)e�t+R t0 �(u)dW (u)
där � 2 R och S(0) > 0 är givna konstanter och där volatiliteten � 2 L2 [0; T ]är nedåt begränsad av en strikt positiv konstant: Aktiepriset sägs i detta fallha den deterministiska volatiliteten �(t) vid tiden t:Antag nu att ett enkelt europeiskt derivat slutdagen T utbetalar beloppet
g(S(T )); där g 2 P : Det är naturligt att de�niera derivatets värde vid tident lika med v(t; S(t)); där
v(t; s) = e�r�Ehg(ser�e�
12
R Tt �2(u)du+
R Tt �(u)dW (u))
ioch � = T � t (tänk först igenom fallet då �(t); 0 � t � T; är en trappfunk-tion). Om vi för �xa t < T de�nierar en linjär operator
�t;T : P ! P
genom att sätta
(�t;Tg)(s) = e�r�Ehg(ser�e�
12
R Tt �2(u)du+
R Tt �(u)dW (u))
iså följer att
�t;u � �u;T = �t;T ; t < u < T:Vi gör nu ytterligare en generalisering av Black-Scholes modell och antar
att obligationspriset ges av ekvationen
B(t) = B(0)eR t0 r(u)du
där räntan r(t); 0 � t � T; är deterministisk och dessutom positiv och sty-ckvis kontinuerlig. Vi vill under dessa förutsättningar värdera ett europeisktderivat med utbetalningsfunktionen g. Om både volatilitet och ränta är tids-beroende och deterministiska leds vi som ovan till optionspriset v(t; S(t)) vidtiden t; där
v(t; s) = e�R Tt r(u)duE
hg(se
R Tt r(u)due�
12
R Tt �2(u)du+
R Tt �(u)dW (u))
i:
Med tanke på att funktionen v(t; s) löser Black-Scholes di¤erentialekvationdå räntan och volatiliteten är konstanta kommer funktionen v(t; s) i fallet
10
med variabel ränta och volatilitet att i någon lämplig mening lösa följandeparaboliska di¤erentialekvation, nämligen
@v
@t+�2(t)s2
2
@2v
@s2+ r(t)s
@v
@s� r(t)v(t; s) = 0:
Om vi för �xt de�nierar en linjär operator
�t;T : P ! P
genom att sätta
(�t;Tg)(s) = e�R Tt r(u)duE
hg(se
R Tt r(u)due�
12
R Tt �2(u)du+
R Tt �(u)dW (u))
iså följer att
�t;u � �u;T = �t;T ; t < u < T:Ovan har aktiens log-pris driften �t: Om � är en deterministisk trapp-
funktion i intervallet [0; t] och aktiens log-pris har driftenZ t
0
�(u)du
dvsS(t) = S(0)e
R t0 �(u)du+
R t0 �(u)dW (u)
så inses som ovan att optionspriset inte förändras. Man kan också visa attdriften kan ha stokastiska beroenden utan att optionsformeln ändras men vigår inte in på detta ämne här.
Exempel 1.Vi skall värdera en aktieköpoption med lösenpris K och slutdagT då både ränta och volatilitet är tidsberoende och deterministiska. Sätt
a =
Z T
t
r(u)du� 12
Z T
t
�2(u)du
och
b =
sZ T
t
�2(u)du:
Kom ihåg att Z T
t
�(u)dW (u) = �bG
11
där G 2 N(0; 1): Alltså är
Ehmax(0; se
R Tt r(u)due�
12
R Tt �2(u)du+
R Tt �(u)dW (u) �K)
i= E
�max(0; sea�bG �K)
�= E
�sea�bG �K;G � 1
b(ln
s
K+ a)
�= sea+
12b2�(
1
b(ln
s
K+ b2 + a))�K�(1
b(ln
s
K+ a))
och det följer att
c(t; s;K;T ) = s�(d1)�Ke�R Tt r(u)du�(d2)
där
d1 =ln s
K+R Ttr(u)du+ 1
2
R Tt�2(u)duqR T
t�2(u)du
och
d2 =ln s
K+R Ttr(u)du� 1
2
R Tt�2(u)duqR T
t�2(u)du
:
[]
Vi diskuterar närmast en del rent matematiska aspekter på Paley-Wiener-Zygmunds integral. Ovan de�nieras Paley-Wiener-Ziegmunds integral somett gränsvärde i L2(P ): För en stor klass av integrander kan integralen i självaverket de�nieras trajektorievis.
Sats 1. Antag f : [0; T ] ! R är en kontinuerligt deriverbar deterministiskfunktion. Det gäller attZ T
0
f(t)dW (t) = f(T )W (T )�Z T
0
f 0(t)W (t)dt:
Beviset för sats 1 beror på �era olika typer av konvergens som man oftamöter inom sannolikhetsteorin.
12
En följd (Xk)k2N av stokastiska variabler sägs konvergera i sannolikhetom det �nns en stokastisk variabel X sådan att
limk!1
P [j Xk �X j� "] = 0; alla " > 0
dvs
limk!1
E
�j Xk �X j
1+ j Xk �X j
�= 0
(ekvivalensen följer av olikheterna
"
1 + "P [j Y j� "] � E
�j Y j
1+ j Y j
�� "
1 + "+ P [j Y j� "] ; " > 0
genom att sätta Y = Xk�X): Vi skriver detta Xk ! X i L0(P ) då k !1:Konvergens i sannolikhet och konvergens i L0(P ) är alltså likvärda begrepp.Det visar sig att gränsvärdet X blir entydigt bestämt. Antag nämligen attsekvensen ovan har två gränsvärden X 0 och X 00: Om " > 0 och händelsen
[j X 0 �X 00 j> "]
inträ¤ar så måste händelsen
[j X 0 �Xk j> "=2] [ [j Xk �X 00 j> "=2]
inträ¤a för varje k 2 N. Alltså är
P [j X 0 �X 00 j> "]
� P [j X 0 �Xk j> "=2] + P [j Xk �X 00 j> "=2]och genom att låta k !1 följer att
P [j X 0 �X 00 j> "] = 0:
Alltså är
P [j X 0 �X 00 j> 0] = P" 1[n=1
[j X 0 �X 00 j> 1=n]#
�1Xn=1
P [j X 0 �X 00 j> 1=n] = 0
13
och vi har visat att X 0 = X 00:Konvergens i L2(P ) medför konvergens i sannolikhet, vilket följer av
Markovs olikhetP [j Y j> "] � 1
"2E�Y 2�; " > 0
en olikhet som visades i kursen Optioner och matematik.Vi skall nu de�niera så kallad nästan säker konvergens. Låt därför (Xk)k2N
vara en följd av stokastiska variabler sådana att händelsen
limk!1
Xk(!) existerar ändligt
har sannolikheten ett. Vi säger i detta fall att sekvensen (Xk)k2N konvergerarnästan säkert eller med sannolikheten ett. Om dessutom j Xk j� Y där
E [Y ] <1
så ger Lebesgues majorantsats att
limk!1
E [Xk] = Ehlimk!1
Xk
i:
Lebesgues majorantsats är den viktigaste konvergenssatsen i hela matem-atiken och den kommer att belysas ytterligare i nästa kapitel.Av Lebesgues majorantsats drar vi slutsatsen att nästan säker konvergens
medför konvergens i sannolikhet. Låt nämligen en sekvens stokastiska vari-abler (Xk)k2N konvergera med sannolikheten ett mot en stokastisk variabelX. Det gäller att
j Xk �X j1+ j Xk �X j � 1
och Lebesgues majorantsats ger
limk!1
E
�j Xk �X j
1+ j Xk �X j
�= E
�limk!1
j Xk �X j1+ j Xk �X j
�= 0
varför Xk ! X i L0(P ) då k !1:
Bevis av sats 1. Låt n vara ett positivt heltal och
tk =kT
n; k = 0; 1; :::; n
14
så att
n�1Xk=0
f(tk)(W (tk+1)�W (tk)) = f(T )W (T )�n�1Xk=0
W (tk+1)(f(tk+1)� f(tk)):
Vi skriver för varje �xt k 2 f0; :::; n� 1g
f(tk+1)� f(tk) = (f 0(tk+1) + "k)(tk+1 � tk)
och fårn�1Xk=0
f(tk)(W (tk+1)�W (tk))
= f(T )W (T )�n�1Xk=0
W (tk+1)(f0(tk+1) + "k)(tk+1 � tk)
= f(T )W (T )�n�1Xk=0
W (tk+1)f0(tk+1)(tk+1 � tk) +
n�1Xk=0
"kW (tk+1)(tk+1 � tk):
Observera attmax
k2f0;:::;n�1gj "k j! 0
då n!1: Vidare gäller att
n�1Xk=0
W (tk+1)f0(tk+1)(tk+1 � tk)!
Z T
0
W (t)f 0(t)dt
för alla ! då n ! 1. Denna konvergens gäller alltså även i sannolikhet.Vidare gäller att
jn�1Xk=0
"kW (tk+1)(tk+1 � tk) j� T maxk2f0;:::;n�1g
j "k j maxt2[0;T ]
j W (t) j
där uttrycket i högra ledet konvergerar mot noll för alla ! då n!1. Dennakonvergens gäller därmed även i sannolikhet. Då slutligen
n�1Xk=0
f(tk)(W (tk+1)�W (tk))
15
konvergerar mot Z T
0
f(t)dW (t)
i L2(P ) och därmed i sannolikhet så följer sats 1.
En stokastisk process a = (a(t))0�t�T sägs vara en adapterad kontinuerligprocess om det �nns en händelse A med sannolikheten ett så det för varje! 2 A gäller att trajektorian a(t; !); 0 � t � T är kontinuerlig och sådanatt a(t; !) är en tillräckligt �snäll�funktion av Wienerprocessens trajektoria(W (u; !))0�u�t i intervallet [0; t] för varje t 2 [0; T ] : Begreppet �snäll�kan viinte de�niera ännu. Den precisa innebörden kommer att bli helt klar längrefram. Antag nu att a = (a(t))0�t�T är en sådan process. Vi skriver
dX(t) = a(t)dt; 0 � t � Tom (X(t))t2[0;T ] är en stokastisk process sådan att
X(t) = X(0) +
Z t
0
a(u)du
för alla t 2 [0; T ] med sannolikheten ett: Antag dessutom att b 2 L2 [0; T ] :Vi skriver
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t); 0 � t � Tom
X(t) = X(0) +
Z t
0
a(u)du+
Z t
0
b(u)dW (u)
för alla t 2 [0; T ] med sannolikheten ett och vi säger i detta fall att processen(X(t))t2[0;T ] har den stokastiska di¤erentialen
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t):
Om den deterministiska funktionen c(t); 0 � t � T; är kontinuerlig de�nieras
c(t)dX(t) = c(t)a(t)dt+ c(t)b(t)dW (t); 0 � t � T
och Z t
0
c(u)dX(u) =
Z t
0
c(u)a(u)du+
Z t
0
c(u)b(u)dW (u); 0 � t � T:
16
Om återigendX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t); 0 � t � T
och
X(t)�X(0) =Z t
0
a(u)du+
Z t
0
b(u)dW (u) = 0
för alla t 2 [0; T ] med sannolikheten ett så kan man visa att b = 0 i L2 [0; T ]dvs
R T0b2(t)dt = 0 och att processen a har trajektorier som är identiskt noll
med sannolikheten ett.Antag funktionen f : [0; T ]! R är kontinuerligt deriverbar. Sats 1 visar
att
f(t)W (t) =
Z t
0
f 0(u)W (u)du+
Z t
0
f(u)dW (u)
för �xt t. Eftersom varje term i denna relation är kontinuerlig i t med sanno-likheten ett så kan man visa att relationen i fråga är sann för alla t 2 [0; T ]med sannolikheten ett. Det gäller alltså att
d(f(t)W (t)) = f 0(t)W (t)dt+ f(t)dW (t); 0 � t � T
Antag återigen att
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t); 0 � t � T
med samma villkor på a och b som ovan och att funktionen f : [0; T ]! R ärkontinuerligt deriverbar. En liten modi�ering av beviset för sats 1 visar att
f(t)X(t)� f(0)X(0) =Z t
0
f 0(u)X(u)du+
Z t
0
f(u)dX(u)
för �xt t och det följer att
d(f(t)X(t)) = f 0(t)X(t)dt+ f(t)dX(t); 0 � t � T:
Om funktionen g : [0; T ] ! R är kontinuerligt deriverbar och Y (t) =g(t)X(t); 0 � t � T; så följer också att
d(f(t)Y (t)) = f 0(t)Y (t)dt+ f(t)dY (t); 0 � t � T:
Vi kan nu studera en del stokastiska di¤erentialekvationer. Som ett ex-empel antags att � och � är kontinuerliga funktioner i intervallet [0; T ] ochatt � 2 L2 [0; T ] : Vi vill lösa den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) = (�(t) + �(t)X(t))dt+ �(t)dW (t); 0 � t � T
17
med begynnelsevärdet x0: Ekvationen skrivs på formen
dX(t)� �(t)X(t)dt = �(t)dt+ �(t)dW (t)
och vi hittar lätt en integrerande faktor
e�F (t)
där
F (t) =
Z t
0
�(u)du:
Efter multiplikation med den integrerande faktorn kan ekvationen skrivas
d(e�F (t)X(t)) = �(t)e�F (t)dt+ �(t)e�F (t)dW (t)
och eftersom X(0) = x0 blir
e�F (t)X(t) = x0 +
Z t
0
�(u)e�F (u)du+
Z t
0
�(u)e�F (u)dW (u)
eller
X(t) = eF (t)(x0 +
Z t
0
�(u)e�F (u)du+
Z t
0
�(u)e�F (u)dW (u)):
Stokastiska di¤erentialekvationer förekom tidigt inom fysik. Langevinsklassiska stokastiska di¤erentialekvation beskriver hastigheten för en litenpartikel med massan m i en vätska som dels påverkas av en friktionskraftenligt Stokes lag dels påverkas av de omgivande molekylernas stötkrafter(se t ex [NEL]). Första komponenten V (t) av hastighetsvektorn uppfyllerekvationen
mdV (t) = ��V (t)dt+ �dW (t)
där � > 0 och � > 0 är reella parametrar. Ekvationen kan lösas som ovan.Av
dV (t) +�
mV (t)dt =
�
mdW (t)
dvsd(e
�mtV (t)) =
�
me�mtdW (t)
18
följer genom integration att
V (t) = e��mtV (0) +
�
m
Z t
0
e��m(t�u)dW (u):
Om V (0) = v är känt blir
E [V (t)] = e��mtv
och om s � t följer att
Cov(V (s); V (t)) = E��
m
Z t
0
1[0;s](u)e� �m(s�u)dW (u)
�
m
Z t
0
e��m(t�u)dW (u)
�
=�2
m2
Z t
0
1[0;s](u)e� �m(s�u)e�
�m(t�u)du =
�2
m2e�
�m(s+t)
Z s
0
e2�mudu
=�2
2�m(e�
�m(t�s) � e�
�m(s+t)):
För stora a och godtyckliga s; t � 0 gäller alltså att
E [V (s+ a)V (t+ a)] � �2
2�me�
�mjs�tj:
Efter en lämplig skaländring av tid och rum får vi därför i gränsen då a !1 en stationär normaliserad Ornstein-Uhlenbeckprocess dvs en centreradreellvärd Gaussprocess (U(t))t2R med kovariansen
e�12js�tj:
Inom ränteteori möter vi gott om stokastiska di¤erentialekvationer. In-nan vi diskuterar konkreta exempel ger vi en del begrepp och de�nitionerfrån detta område. Betrakta först en så kallad nollkupongsobligation medlösendag T och nominellt värde 1 dvs ett kontrakt som slutdagen T gerinnehavaren beloppet 1: Detta värdepapper kallas här en T -obligation: Vibetecknar obligationspriset vid tiden t med p(t; T ) och skriver
p(t; T ) = e�R(t;T )(T�t):
Storheten R(t; T ) kallas för (T � t)-räntan vid tiden t (jmfr begrepp såsomkorta räntan, halvårsräntan, 5-årsräntan osv). Kurvan
y = R(t; T ); T � t
19
kallas för avkastningskurvan vid tiden t:Antag t � T < U och låt R(t; T; U) beteckna forwardräntan för perioden
[T; U ] kontrakterad vid tiden t: Kravet på arbitagefrihet medför att
p(t; U) = p(t; T )e�R(t;T;U)(U�T )
vilket inses av följande tabell.
tid t T U
handlingsälj en T -obligation
köp p(t;T )p(t;U)
st U -obligationer
kassa�öde 0 -1 p(t;T )p(t;U)
Vi får alltså att
R(t; T; U) =U � tU � T R(t; U)�
T � tU � T R(t; T ):
Den momentana forwardräntan f(t; T ) vid tiden T sedd från tidpunktent de�nieras av gränsvärdet
f(t; T ) = limU!T
R(t; T; U)
dvs
f(t; T ) = �@ ln p(t; T )@T
och det följer under lämpliga regularitetsförutsättningar att
p(t; U) = p(t; T )e�R UT f(t;u)du; t � T � U:
Den korta räntan r(t) vid tiden t de�nieras av ekvationen
r(t) = f(t; t):
Antag beloppet B(0) vid tiden 0 placeras i en obligation med närmastomedelbar inlösen och att det vid lösen utbetalade beloppet omedelbart plac-eras i en obligation med närmast omedelbar inlösen osv. Kapitalet B(t) vidtiden t blir då
B(t) = B(0)eR t0 r(u)du:
20
Observera attdB(t) = r(t)B(t)dt:
Vi kan alternativt tänka oss att B(t) representerar banksaldot vid tiden t ombeloppet B(0) satts i banken vid tiden 0:Den så kallade HJM-modellen, som fått namn efter upptäckarna Heath,
Jarrow och Morton [HJM ], utgår från forwardräntorna och postulerar att
df(t; T ) = �(t; T )dt+ �(t; T )dW (t); 0 � t � T
för lämpliga � och �: Om � är stokastisk får vi en stokastisk di¤erentialek-vation av Itôs typ, som vi ännu inte behandlat. I många implementeringarär dock � deterministisk.De så kallade korträntemodellerna postulerar att p(t; T ) = F (t; r(t); T )
är en deterministisk funktion av t och korta räntan r(t) för varje T samtatt korta räntan framkommer som lösningen till en lämplig stokastisk di¤er-entialekvation. Här �nns många populära modeller och vi nämner i dettakapitel endast tre.Variabeln i en tidsberoende parameter i följande korträntemodeller i in-
tervallet 0 � t � T markeras explicit.
(1) dr(t) = (b� ar(t))dt+ �dW (t) (a; b; � > 0)(2) dr(t) = �(t)dt+ �dW (t) (� > 0)(3) dr(t) = (�(t)� ar(t))dt+ �dW (t) (a; � > 0):
Var och en av dessa di¤usionsekvationer är lätta att lösa som vi redansett ovan.I samband med korträntemodeller, liksom för HJM-modellen, förutsätts
att marknaden är abitragefri. Den senare teorin kommer att visa att det ärnaturligt att byta sannolikhetsmått och ersätta det fysikaliska måttet P medett så kallat martingalmått Q. Det är därför nödvändigt att i en sådan härkurs gå in på en del måtteori. Om W är en normaliserad Brownsk rörelserelativt martingalmåttet Q kallas (1) för Vasiµceks modell, (2) för Ho-Leesmodell och (3) för Hull-Whites modell.Det �nns en stor begränsning med Paley-Wiener-Zygmunds integral. Om
en stokastisk process (X(t))t2[0;T ] har en stokastisk di¤erential i den meningvi ovan gett detta begrepp så behöver inte processen (X2(t))t2[0;T ] ha enstokastisk di¤erential av samma slag. Analogt gäller att log-priset i Bachelier-Samuelsons aktieprismodell har en stokastisk di¤erential men aktiepriset har
21
ingen stokastisk di¤erential i ovanstående mening. Vi kommer senare att seatt Itôs stokastiska di¤erentialbegrepp inte har samma begränsningar.Det är ofta naturligt att studera system av stokastiska di¤erentialekva-
tioner. Langevins klassiska stokastiska di¤erentialekvation för en liten par-tikels hastighet är ett sådant exempel. I samband med HJM:s forwardränte-modell är det naturligt att ha �era drivande Wienerprocesser. Det är därförintressant att Paley-Wiener-Zygmunds integralbegrepp lätt går att generalis-era till Brownsk rörelse i n dimensioner.En stokastisk process W = (W (t))0�t�T = (W1(t); :::;Wn(t))0�t�T ; där
processerna(W1(t))0�t�T ; (W2(t))0�t�T ; :::; (Wn(t))0�t�T
är stokastiskt oberoende normaliseradeWienerprocesser i tidsintervallet [0; T ]kallas en normaliserad Rn-värd Wienerprocess eller Brownsk rörelse i tidsin-tervallet [0; T ] : Vi skriver f 2 L2([0; T ] ;Rn) om f(t) = (f1(t); :::; fn(t));0 � t � T; där fk 2 L2 [0; T ] för k = 1; :::; n och de�nierar Paley-Wiener-Zygmunds integral Z T
0
f(t)dW (t) =nXk=1
Z T
0
fk(t)dWk(t):
De�nitionen medför att denna stokastiska integral har en centrerad Gaussiskfördelning. Om j 6= k så är
E
�Z T
0
fj(t)dWj(t)
Z T
0
fk(t)dWk(t)
�= E
�Z T
0
fj(t)dWk(t)
�E
�Z T
0
fk(t)dWk(t)
�= 0
varför
E
�(
Z T
0
f(t)dW (t))2�=
nXj;k=1
E
�Z T
0
fj(t)dWj(t)
Z T
0
fk(t)dWk(t)
�
=
nXk=1
E
�(
Z T
0
fk(t)dWk(t))2
�=
nXk=1
Z T
0
f 2k (t)dt =
Z T
0
nXk=1
f 2k (t)dt:
Om vi utnyttjar standardbeteckningen
j x j=
vuut nXk=1
x2k; om x = (x1; :::; xn) 2 Rn
22
så följer alltså att
E
�(
Z T
0
f(t)dW (t))2�=
Z T
0
j f(t) j2 dt:
Om f; g 2 L2([0; T ] ;Rn), där f(t) = (f1(t); :::; fn(t)) och g(t) = (g1(t); :::; gn(t));så följer också att
E
�Z T
0
f(t)dW (t)
Z T
0
g(t)dW (t)
�=
Z T
0
f(t) � g(t)dt
där multiplikationstecknet i den senare integralen syftar på den vanliga skalär-produkten i Rn dvs
x � y =nXk=1
xkyk; om x = (x1; :::; xn); y = (y1; :::; yn) 2 Rn:
Antag nu att 0 � a � b och att den Rn-värda funktionen f = (f1; :::; fn)är kvadratiskt integrerbar i intervallet [a; b] dvsZ b
a
j f(t) j2 dt <1:
Vi de�nierar i detta fallZ b
a
f(t)dW (t) =nXk=1
Z b
a
fk(t)dWk(t)
och det följer attZ b
a
f(t)dW (t) =
Z c
a
f(t)dW (t) +
Z b
c
f(t)dW (t)
om c 2 [a; b] :
Sats 2. Antag g 2 L2([0; T ] ;Rn) och att j g(t) j= 1 för alla 0 � t � T: Sätt
V (t) =
Z t
0
g(u)dW (u); 0 � t � T:
23
Processen V är en reellvärd, normaliserad Brownsk rörelse i tidsintervallet[0; T ] och Z T
0
f(u)dV (u) =
Z T
0
f(u)g(u)dW (u)
för varje f 2 L2 [0; T ] :
Bevis: Vi vet redan att V är en reellvärd, centrerad Gaussisk process medtidsparametermängden [0; T ] : Vidare gäller för s � t att kovariansen
E [V (s)V (t)] = E
�Z t
0
1[0;s](u)g(u)dW (u)
Z t
0
g(u)dW (u)
�
=
Z t
0
1[0;s](u)g(u) � g(u)du =Z s
0
g(u) � g(u)du =Z s
0
1du = s
vilket visar att V är en normaliserad Brownsk rörelse i intervallet [0; T ] :Vi visar nu formelnZ T
0
f(u)dV (u) =
Z T
0
f(u)g(u)dW (u)
för varje f 2 L2 [0; T ] : Här följer fallet f = 1[a;b[ direkt från de�nitionen avV och därmed även fallet då f är en trappfunktion. Allmänna fallet erhållsgenom approximation med trappfunktioner. []
Exempel 4.AntagW är en n-dimensionell, normaliserad Wienerprocess ochantag två värdepappers prisprocesser beskrivs av ekvationerna
Sk(t) = Sk(0)e�kt+
R t0 �k(u)dW (u); 0 � t � T
där �k 2R och �k 2 L2([0; T ] ;Rn) för k = 1; 2: Vi vill värdera optionenatt få byta värdepapper 2 mot värdepapper 1 vid tidpunkten T: Optionenutbetalar alltså beloppet max(0; S1(T )� S2(T )) vid tiden T:Denna option behandlas med fördel genom att uppfatta en andel av värde-
papper 2 som prisenhet. Det första värdepapperet får då prisprocessen
S(t) =S1(t)
S2(t); 0 � t � T
24
och det andra värdepappret får prisprocessen
B(t) = 1; 0 � t � T:
Notera att
S(t) = S(0)e(�1��2)t+R t0 (�1(u)��2(u))dW (u); 0 � t � T:
Sätt � = �1 � �2. Vi antar fr o m nu att funktionen j �(t) j; 0 � t � T; ärnedan begränsad av en positiv konstant. Om vi de�nierar
V (t) =
Z t
0
�(u)
j �(u) jdW (u); 0 � t � T
så följer av sats 2 att V är en normaliserad Brownsk rörelse i intervallettidsintervallet [0; T ] och
S(t) = S(0)e(�1��2)t+R t0 j�(u)jdV (u); 0 � t � T:
I vår nya prisenhet utbetalar optionen max(0; S(T )� 1) slutdagen T: Optio-nens värde kan nu bestämmas med hjälp av exempel 1 där räntan konvergeratmot 0: Uttyckt i den nya prisenheten blir optionsvärdet vid tiden t lika med
S(t)�(lnS(t) + 1
2
R Ttj �(u) j2 duqR T
tj �(u) j2 du
)� �(lnS(t)� 1
2
R Ttj �(u) j2 duqR T
tj �(u) j2 du
):
Uttryckt i den ursprungliga prisenheten blir optionspriset vid tiden t likamed
S1(t)�(ln S1(t)
S2(t)+ 1
2
R Ttj �(u) j2 duqR T
tj �(u) j2 du
)� S2(t)�(ln S1(t)
S2(t)� 1
2
R Ttj �(u) j2 duqR T
tj �(u) j2 du
):
[]
En reellvärd adapterad kontinuerlig process relativt en n-dimensionellWienerprocess de�nieras nästan som i fallet n = 1 med den enda skillnadenatt Wienerprocessen nu har sina värden i Rn. Antag att
a = (a(t))t2[0;T ] = (a1(t); ::::; am(t))t2[0;T ]
25
är en Rm-värd stokastisk process där komponenterna är adapterade kontin-uerliga stokastiska processer: Vi skriver som i tidigare matematikkurserZ t
0
a(u)du = (
Z t
0
a1(u)du; :::;
Z t
0
am(u)du)
och uppfattar en vektor i Rm som en kolonnmatris. Det är naturligt attde�niera
dX(t) = a(t)dt
om (X(t))t2[0;T ] är en stokastisk process sådan att
X(t) = X(0) +
Z t
0
a(u)du
för alla t 2 [0; T ] med sannolikheten ett. Antag nu dessutom att b 2L2([0; T ] ;Rm;Rn) dvs för matrisen
b = (bjk)1�j�m;1�k�n
gäller att den j:te raden bj 2 L2([0; T ] ;Rn): LåtW betecknar en normaliseradWienerprocess Rn: Vi skriver
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t); 0 � t � T
om
X(t) = X(0) +
Z t
0
a(u)du+
Z t
0
b(u)dW (u)
för alla t 2 [0; T ] med sannolikheten ett och säger i detta fall att processen(X(t))t2[0;T ] har den stokastiska di¤erentialen
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t):
Antag A och B är matriser av typen m � m med reella element och� 2 L2([0; T ] ;Rm;Rn). Den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) = (A+BX(t))dt+ �(t)dW (t); 0 � t � T
med begynnelse värdet x0 2 Rm kan lösas med integrerande faktor. Ekva-tionen skrivs på formen
dX(t)�BX(t)dt = Adt+ �(t)dW (t)
26
och vi hittar en integrerande faktor
e�Bt =1Xi=0
(�t)ii!Bi:
Efter multiplikation med denna kan di¤erentialekvationen skrivas
d(e�BtX(t)) = e�BtAdt+ e�Bt�(t)dW (t)
och eftersom X(0) = x0 blir
e�BtX(t) = x0 +
Z t
0
e�BuAdu+
Z t
0
e�Bu�(u)dW (u)
eller
X(t) = eBt(x0 +
Z t
0
e�BuAdu+
Z t
0
e�Bu�(u)dW (u)):
Övningar
1. Antag � � 1 och betrakta ekvationen
@v
@t+
�2s2
2(T � t)@2v
@s2= 0; t < T; s > 0
med slutvillkoretv(T; s) = 0; s > 0:
Visa att ekvationen löses av funktionen
v(t; s) = A(T � t)�2s2
för varje reellt tal A:
2. Antag X = 2W (13) � W (1
2) + 3W (3
4): a) Skriv X som en stokastisk
integral. b) Bestäm variansen av X:
3. Vilken fördelning har den stokastiska variabelnR T0W (t)dt?
27
4. a) Antag T > 0: Skriv W (T ) ochR T0W (t)dt som stokastiska integraler
av Paley-Wiener-Zygmunds typ. b) Antag n 2 N+: Visa att
1
n
nXk=1
W (k
n) =
Z 1
0
hn(t)dW (t)
där
hn(t) = 1�k
n;k
n� t < k + 1
n; k = 0; :::; n� 1:
b) Beräkna variansen av den stokastiska variabeln
X =
Z 1
0
W (t)dt� 1
n
nXk=1
W (k
n):
5. Antag 0 < T0 < T och att en viss aktieprisprocess (S(t))0�t�T harvolatilititen �0 i tidsintervallet [0; T0] och volatiliteten �1 i tidsinterval-let ]T0; T ] : Ett europeiskt derivat i motsvarande aktie utbetalar slutda-gen T beloppet 1
S(T ): Bestäm derivatets värde vid tiden t 2 [0; T [ :
6. Ett aktiepris uppfyller ekvationen
dS(t) = S(t)(�dt+ (� + t)dW (t)); 0 � t � T
där � 2 R och �; > 0 är parametrar. En aktieoption av europeisk typutbetalar slutdagen T beloppet 1 om S(T ) > S(0) och i annat fall skeringen utbetalning. Bestäm optionens värde v(t) vid tiden t 2 [0; T ] :Det förutsätts att räntan r > 0 är konstant.
7. Antag a 2 R och
X(t) =
Z t
0
e�a2(t�u)dW (u); t � 0:
Bestäm processens kovarians.
8. Betrakta den stokastiska di¤erentialekvationen�dX(t) = dt+ tdW (t)X(0) = 0:
Visa att lösningen (X(t))t�0 är en Gaussprocess och bestäm dess ko-varians.
28
9. Betrakta den stokastiska di¤erentialekvationen�dX(t) =W (t)dt+ tdW (t)X(0) = 0:
Visa att lösningen (X(t))t�0 är en centrerad Gaussprocess och bestämdess kovarians.
10. a) Lös den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) = tX(t)dt+ dW (t); t � 0
med begynnelsevillkoret X(0) = 1: b) Bestäm processens kovarians-funktion.
11. Antag x 2 R och låt (Xx(t))t�0 beteckna lösningen till ekvationen�dX(t) = �1
2X(t)dt+ dW (t)
X(0) = x; t � 0:
a) Bestäm kovariansen för processen (Xx(t))t�0. b) Antag G 2 N(0; 1)och antag dessutom att G och (Xx(t))t�0 är stokastiskt oberoende. SättY (t) = XG(t); t � 0: Bestäm kovariansen för processen (Y (t))t�0.
12. Låt (U(t))t2R vara en normaliserad Ornstein-Uhlenbeckprocess dvs (U(t))t2Rär en reellvärd, centrerad Gaussprocess med kovariansfunktionen
E [U(s)U(t)] = e�12js�tj:
Antag t1 � t2 � t3 � t4: Visa att
E [(U(t2)� U(t1))(U(t4)� U(t3))] � 0:
13. a) Lös den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) = �X(t)1� tdt+ dW (t); 0 � t < 1
med begynnelsevärdet X(0) = 0: Bestäm kovariansfunktionen för denstokastiska processen (X(t))0�t<1:
b) Sätt Y (t) = W (t) � tW (1): Bestäm kovariansfunktionen för denstokastiska processen (Y (t))0�t�1:
c) Beräkna väntevärdet E [X(t)Y (t)] för 0 � t < 1:
29
14. Antag � > 0 och � 2 R: Betrakta ekvationerna�dX(t) = ��X(t)dt+ �dW (t)X(0) = 0; t � 0
och �dY (t) = �e��tdW (t)Y (0) = 0; t � 0
a) Visa att X(t) och Y (t) har samma fördelning för alla t � 0: b) Visaatt processerna (X(t))t�0 och (Y (t))t�0 ej är ekvivalenta.
15. Antag a; b; �; r0 > 0 och
dr(t) = (b� ar(t))dt+ �dW (t); 0 � t � T
där r(0) = r0 och W är en 1-dimensionell Wienerprocess. BeräknaE [r(t)] och
Ehe�
R t0 r(u)du
i:
16. AntagW = (W1;W2) är en normaliserad Brownsk rörelse i planet. Visaatt processen Z t
0
cosu dW1(u) +
Z t
0
sinu dW2(u); t � 0
är en reellvärd normalisead Brownsk rörelse på linjen.
17. Antag A och B är matriser av typen n � n och AB = BA: Visa atteAeB = eBeA:
30
31
2. Måtteori
Måtteori utgör en av matematikens äldsta områden främst beroende på etturåldrigt intresse för geometriska mått såsom bågländ, area, volym osv.Den mått- och integrationsteori, som har visat sig särskilt användbar inomteorierna för di¤erentialekvationer, Fourieranalys och stokastiska processer,utvecklades dock först i början av 1900-talet, främst genom den franskematematikern Lebesgue. Inom teorin för �nansiella derivat uppträder såkallade riskneutrala mått för första gången omkring 1980 och de har sedandess spelat en mycket central roll för att vidareutveckla teorin.Vi återger här delar av måtteorin och gör emellanåt vissa sannolikhetste-
oretiska exempli�eringar. Bevis går vi sällan in på. Vårt syfte är främst attnöta in en formalism som är mycket användbar bl a inom �nansiell matem-atik.Vi börjar med en del mängdteoretiska begrepp. Antag R är en abstrakt
mängd. Om ett element x tillhör R skrivs detta x 2 R: Vi skriver A � Rom varje element i A också tillhör R och säger att A är en delmängd av R:Alternativt sägs i detta fall att R omfattar A och detta uttrycks R � A. OmA;B � R de�nieras snittet
A \B = fx 2 R; x 2 A och x 2 Bg
och unionenA [B = fx 2 R; x 2 A eller x 2 Bg :
Dessa operationer utvidgas lätt till ett godtyckligt antal mängder. Vidarede�nieras
A nB = fx 2 R; x 2 A och x =2 Bg :Mängden R n B kallas för komplementet till B relativt grundmängden R:Tomma mängden betecknas med ;: Två mängder sägs vara disjunkta omsnittet av dem är tomt.En klass A av delmängder av R kallas för en �-algebra av delmängder av
R om
(i) R 2 A
(ii) A 2 A ) R n A 2 A
(iii) An 2 A, n 2 N)S
n2NAn 2 A.
32
I detta fall kallas det ordnade paret (R;A) för ett mätbart rum. Klassenf;; Rg är �-algebra av delmängder avR. Detsamma gäller klassen 2R beståendeav alla delmängder av R. Notera att snittet av �-algebror av delmängder avR är en ny �-algebra varför det till varje given klass C av delmängder av R�nns en minsta �-algebra av delmängder av R (med avseende på mängdin-klusion) som omfattar C. Denna �-algebra sägs genereras av C och betecknasmed �(C). Den �-algebra som genereras av de öppna delmängderna av Rn
kallas för Borel-�-algebran i Rn och betecknas med B(Rn). Om A 2 B(Rn)kallas A en Borelmängd i Rn(efter den franske matematikern Borel, som förövrigt var Lebesgues lärare). Man kan visa att B(R) genereras av alla slutna(eller öppna) delintervall av R.Antag att (R;A) är ett mätbart rum. En funktion � de�nierad i hela A
och med värden i intervallet [0;+1] kallas ett positivt mått om �(;) = 0och
�([n2N
An) =1Xn=0
�(An)
för varje sekvens An 2 A; n 2 N; av parvis disjunkta mängder. Den ordnadetripeln (R;A; �) sägs i detta fall vara ett positivt måttrum. Råkar �(R) <+1 kallas � för ett ändligt positivt mått och om �(R) = 1 kallas � förett sannolikhetsmått. Den ordnade tripeln (R;A; �) kallas för ett ändligtpositivt måttrum om � är ett ändligt positivt mått och ett sannolikhetsrumom � är ett sannolikhetsmått. Sannolikhetsrum betecknas ofta (;F ; P ).Om (R;A; �) är ett positivt måttrum sägs ibland (något oprecist) � vara ettpositivt mått i R. Det så kallade räknemåttet cR i R; som de�nieras av attcR(A) är lika med antalet element i A för varje A 2 2R, är ett exempel påett positivt mått. Diracmåttet �a i en given punkt a 2 R de�nieras av att
�a(A) = 1A(a)
för varje A 2 2R. Egentligen borde Diracmåttet �a ha ytterligare ett index,nämligen R, men vi följer den gängse konventionen och utelämnar R:Positiva mått de�nierade på �-algebran B(Rn) kallas för positiva Borelmått
i Rn. Om vi talar om ett positivt mått i Rn är det underförstått att måttetär ett positivt Borelmått om inte annat anges. Det �nns exakt ett positivtmått m på �-algebran B(R) sådant att
m([a; b]) = b� a
33
för varje a � b; där a; b 2 R. Måttet m kallas för Lebesguemåttet i R.Existensen av detta mått är relativt svår att komma åt och faller utanförramen för denna framställning. Observera att
m(Q) = 0
ty om q0; q1; q2; ::: är en uppräkning av de rationella talen Q så följer att
m(Q) =m(
1[n=0
fqng ) =1Xn=0
m(fqng) =1Xn=0
0 = 0:
Om B 2 B(R) de�nieras
BB(R) = fA 2 B(R); A � Bg :
Observera att BB(R) är en �-algebra av delmängder av B: Måttet mB
de�nierat av ekvationen
mB(A) = m(A); A 2 BB(R)
kallas för Lebesguemåttet i B: Vi skriver B[a;b](R) = B [a; b] om a och b ärreella och a < b:Om R är en ändlig mängd kan vi på ett mycket konkret sätt beskriva
alla �-algebror av delmängder av R och motsvarande mått. För att förklaradetta antar vi först att A1; :::; An är parvis disjunkta delmängder av R varsunion är lika med R dvs
Ai \ Aj = ;; i 6= j
och [i2f1;:::;ng
Ai = R:
Under dessa omständigheter sägs (Ai)ni=1 vara en partition av R: Vi de�nierar
A =([i2IAi; I godtyckliglig delmängd av f1; :::; ng
):
Klassen A är en �-algebra. Observera att[i2IAi = ; om I = ;:
34
Omvänt om A är en �-algebra av delmängder av den ändliga mängden Rså låter vi P(A) vara klassen av alla A 2 A som har följande minimalegen-skap, nämligen
B 2 A; B � A; B 6= ; ) B = A:
De�nitionen innebär att P(A) består exakt av de element A i A som intehar någon icke-tom delmängd skild från A i �-algebran A. Klassen P(A) ären partition av R och om P(A) = (Ai)ni=1 så är
A =
8<: [i2I(A)
Ai; I godtyckliglig delmängd av f1; :::; ng
9=; :För godtyckligtR �nns ingen liknande beskrivning av �-algebror av delmängderav R:Om (R;A) är ett mätbart rum och mängden R är ändlig så kan vi lätt
beskriva alla positiva mått de�nierade på �-algebran A. För att se dettaantag �-algebran A de�nierar partitionen P(A) = (Ai)ni=1 av R: Om A 2 Ade�nieras I(A) = fi; i 2 f1; :::; ng och Ai � Ag och det följer att
A =[
i2I(A)
Ai:
Om � är ett positivt mått de�nierat på �-algebran A så är
�(A) =Xi2I(A)
�(Ai):
Omvänt kan vi de�niera ett positivt mått � på �-algebran A utifrån givnaa1; :::; an 2 [0;1] genom att de�niera
�(A) =Xi2I(A)
ai; A 2 A:
Så snart ett positivt måttrum (R;A; �) är givet kan man de�niera enintegral Z
R
f(x)d�(x)
förutsatt att f uppfyller lämpliga villkor. En funktion f : R ! R sägsvara en enkel mätbar funktion om funktionens värdemängd Vf är ändlig och
35
fx 2 R; f(x) = yg 2 A för varje reellt tal y: Om Vf består av de parvis olikatalen yk 2 R; k = 1; :::; n; och
Ak = fx 2 R; f(x) = ykg ; k = 1; :::; n
så kan vi skriva
f(x) =
nXk=1
yk1Ak(x); x 2 R:
Vi de�nierar �-integralen av funktionen f genom formelnZR
f(x)d�(x) =
nXk=1
yk�(Ak):
Här de�nieras 0 � 1 = 0; vilket är standard inom mått- och integrationste-ori. Innan de�nitionen av �-integral generaliseras till allmännare funktionerbehövs ett nytt abstrakt begrepp nämligen begreppet mätbar funktion.Om R0 och R1 är två mängder och f : R0 ! R1 en funktion så de�nieras
f�1(A) = fx 2 R0; f(x) 2 Ag
så snart A � R1: Mängden f�1(A) kallas inversa bilden av A under avbild-ningen f: Det gäller att
f�1(R1 n A) = R0 n f�1(A):
Att bilda inversa bilder är ganska naturligt. T ex gäller att en funktionf : Rm ! Rn är kontinuerlig om och endast om f�1(A) är öppen i Rm förvarje öppen mängd A i Rn:Antag nu att (Aj)j2J är en godtycklig familj delmängder av R1: Av de�-
nitionerna följer attf�1(
\j2JAj) =
\j2Jf�1(Aj)
ochf�1(
[j2JAj) =
[j2Jf�1(Aj):
Om (R1;A1) är ett mätbart rum och f : R0 ! R1 så de�nieras
f�1(A1) =�f�1(A); A 2 A1
:
36
Härav följer att f�1(A1) är en �-algebra av delmängder av R0: Denna beteck-nas ofta �(f) om missförstånd ej kan inträ¤a. Antag nu att (R0;A0) och(R1;A1) är två mätbara rum och f : R0 ! R1 en funktion sådan att
�(f) =f�1(A1) � A0:
Funktionen f sägs i detta fall vara (A0;A1)-mätbar eller helt enkelt baramätbar om missförstånd ej kan inträ¤a. En (B(Rm);B(Rn))-mätbar funk-tion f : Rm ! Rn kallas en Borelfunktion. Inom klassisk analys spelarmätbarhetsbegreppet en ganska liten roll. Det är främst genom sannolikhet-steorin begreppet fått stor betydelse och vi får efterhand se varför.Vi återvänder nu till vårt positiva måttrum (R;A; �): Delintervall av
R [ f�1g tilldelas i fortsättningen alltid den �-algebra som genereras avdelintervallen av intervallet ifråga. Om f : R! [0;+1] är mätbar de�nierasintegralen av f över R med avseende på måttet � genomZ
R
f(x)d�(x)
= sup
�ZR
g(x)d�(x); där gär enkel mätbar och 0 � g � f�:
Om f är en icke-negativ enkel mätbar funktion sammanfaller denna de�nitionav �-integralen av f med den tidigare.
Sats 1. (Lebesgues monotona konvergenssats) Antag (R;A; �) är ettpositivt måttrum och antag att f n : R ! [0;1] ; n 2 N; är en följd mätbarafunktioner sådan att fn � fn+1; n 2 N; och
limn!1
fn(x) = f(x); x 2 R:
Då gäller att f är mätbar och
limn!1
ZR
fn(x)d�(x) =
ZR
f(x)d�(x):
Antag f : R ! [0;+1] är mätbar. Man kan visa att det �nns icke-negativa enkla mätbara funktioner fn; n 2 N, sådana att fn � fn+1 och
limn!1
fn(x) = f(x); alla x 2 R:
37
Antag nämligen att n 2 N+ och sätt En;i = f�1(�i�12n; i2n
�); 1 � i � n2n;
Fn = f�1([n;1]) och
fn =n2nXi=1
i� 12n
1En;i + n1Fn :
De�nitionerna ger (efter en stunds arbete) att fn � fn+1 och
limn!1
fn(x) = f(x); alla x 2 R:
Lebesgues monotona konvergenssats medför nu attZR
f(x)d�(x) = limn!1
ZR
fn(x)d�(x):
Vi skriver f 2 L1(�) eller eventuellt för tydlighets skull f 2 L1(R;A; �)om f : R! [�1;+1] är mätbar och f+ = max(0; f) och f� = max(0;�f)har ändliga integraler överRmed avseende på måttet �. I detta fall de�nierasZ
R
f(x)d�(x) =
ZR
f+(x)d�(x)�ZR
f�(x)d�(x):
Om f är en enkel mätbar funktion sammanfaller denna de�nition av �-integralen av f med den tidigare. Man kan visa attZ
R
�f(x)d�(x) = �
ZR
f(x)d�(x)
om f 2 L1(�) och � 2 R: RelationenZR
(f(x) + g(x))d�(x) =
ZR
f(x)d�(x) +
ZR
g(x)d�(x)
gäller förutsatt att f; g 2 L1(�) endast antar ändliga värden (så att summanf + g är de�nierad). Den senare begränsningen elimineras nedan.Om A 2 A och f 2 L1(�), de�nierasZ
A
f(x)d�(x) =
ZR
1A(x)f(x)d�(x):
38
I specialfallet att R = R och A är ett begränsat intervall med vänsteränd-punkten a och högerändpunkten b skrivsZ
A
f(x)d�(x) =
Z b
a
f(x)d�(x)
förutsatt att �(fa; bg) = 0. Om a; b 2 R de�nieras integralernaZ 1
a
f(x)d�(x)
och Z b
�1f(x)d�(x)
på liknande sätt förutsatt att �(fag) = 0 i första fallet och �(fbg) = 0 iandra fallet. Vi skriver ocksåZ
R
f(x)d�(x) =
Z 1
�1f(x)d�(x):
Om f 2 C [a; b] dvs om f är en reellvärd kontinuerlig funktion de�nieradi det kompakta intervallet [a; b] ochm som vanligt betecknar Lebesguemåtteti R så gäller att Z b
a
f(x)dm(x) =
Z b
a
f(x)dx
där integralen i högra ledet är en vanlig Riemannintegral.Antag nu att (R;A; �) och (R;A; �) är två positiva måttrum. Då är �+�
ett positivt mått och för varje f 2 L1(�) \ L1(�) gäller attZR
f(x)d(�+ �)(x) =
ZR
f(x)d�(x) +
ZR
f(x)d�(x):
Vidare gäller för varje f 2 L1(�) och � 2 [0;1[ attZR
f(x)d(��)(x) = �
ZR
f(x)d�(x):
De�nitionerna ovan ger attZR
f(x)d�a(x) = f(a):
39
Om a; b 2 R och �; � 2 [0;1[ så uppfyller det positiva måttet � = ��a+��brelationen Z
R
f(x)d�(x) = �f(a) + �f(b):
Om (R;A; �) är ett positivt måttrum och f : R ! [0;1] är mätbar såföljer av Lebesgues monotona konvergenssats att funktionen
�(A) =
ZA
f(x)d�(x); A 2 A
är ett positivt mått. Detta mått betecknas med f� dvs � = f�: Vi skriverockså
d�(x) = f(x)d�(x)
eller ibland kompaktared� = fd�
vilket motiveras av attZR
g(x)d�(x) =
ZR
g(x)f(x)d�(x)
för varje mätbar funktion g: R! [0;1] : I fallet � = m skrivs också
dm(x) = dx:
Måttet i R de�nierat av ekvationen
d (x) =1p2�e�x
2=2dx
kallas för det kanoniska Gaussmåttet i R. Det gäller att (R) = 1;ZR
xd (x) = 0
och ZR
x2d (x) = 1:
De sannolikhetsteoretiska grundbegreppen går ofta bra att beskriva medmåtteorins språk. Om (;F ; P ) är ett sannolikhetsrum så kallas, inom san-nolikhetsteorin, en mätbar funktion X : ! R för en reellvärd stokastisk
40
variabel. Det är här underförstått att R är tilldelad �-algebran B(R). OmX 2 L1(P ) de�nieras väntevärdet E [X] av X genom formeln
E [X] =
Z
X(!)dP (!)
eller tydligare
EP [X] =
Z
X(!)dP (!):
Råkar dessutom A 2 F de�nieras
E [X;A] =
ZA
X(!)dP (!):
Antag nu att (R;A) är ett godtyckligt mätbart rum. En mätbar avbild-ning X : ! R kallas för en R-värd stokastisk variabel. Denna inducerarett så kallat fördelningsmått �X genom ekvationen
�X(A) = P [X 2 A] ; A 2 A
dvs om A 2 A så är �X(A) lika med sannolikheten för att händelsen [X 2 A] =f!; X(!) 2 Ag inträ¤ar: Om vi de�nierar en funktion
jX : R! R
genom att sätta jX(x) = x; x 2 R; så kan vi uppfatta jX som en R-värdstokastisk variabel relativt sannolikhetsrummet (R;A; �X): Konstruktionenvisar attX och jX har samma fördelningsmått, nämligen �X : Den stokastiskavariabeln jX kallas ibland för den första kanoniska representationen av X:Med Lebesgues monotona konvergenssats visas att om f : R ! [�1;1] ärmätbar så gäller att f(X) 2 L1(P ) om och endast om f 2 L1(�X) och iförekommande fall gäller
E [f(X)] =
ZR
f(x)d�X(x):
Om X är reellvärd och
E�X2�=
ZR
x2d�X(x)
41
är ändlig så följer av Jensens olikhet att
E [j X j] �pE [X2] <1:
I detta fall de�nieras variansen Var(X) av X av uttrycket
Var(X) = E�(X � E [X])2
�:
En kalkyl gerVar(X) = E
�X2�� (E [X])2:
En stokastisk variabel X : ! R sägs ha en 2-punktsfördelning om detexisterar a; b 2 R sådana att a 6= b och P [X = a] +P [X = b] = 1; där varjeterm i vänster led är positiv. Sätt P [X = a] = pa och P [X = b] = pb: RåkarR = R så är E [X] = paa+ pbb och Var(X) = papb(a� b)2:En stokastisk variabel X med värden i en ändlig mängd R med n element
säges ha en likformig fördelning i R om �X =1ncR:
En stokastisk variabel X sägs ha en likformig fördelning i intervallet [a; b],där a < b; om
�X(A) =1
b� am(A); A 2 B [a; b]
dvs
�X =1
b� am[a;b]:
I detta fall gäller att E [X] = (b� a)=2 och Var(X) = (b� a)2=12:En reellvärd stokastisk variabel X med fördelningsmåttet sägs ha en
N(0; 1)-fördelning. Detta skrivs X 2 N(0; 1) och motsvarande fördelnings-funktion betecknas med � dvs
�(y) =
Z y
�1e�x
2=2 dxp2�; y 2 R:
Inom matematisk �nans skrivs ofta N istället för �:En reellvärd stokastisk variabel X sägs ha en N(�; �2)-fördelning om � 2
R , � � 0 och X = �+�Y; där Y 2 N(0; 1). En reellvärd stokastisk variabelsägs ha en normalfördelning om den är N(�; �2)-fördelad för lämpliga � 2R, � � 0: En reellvärd normalfördelad stokastisk variabel sägs ofta ha enGaussisk fördelning.
42
För att illustrera begreppen ovan gör vi nu en liten paus i den allmännamåtteorin och återknyter till binomialmodellen som vi behandlade utförligti kursen Optioner och matematik.
Exempel 1. Betrakta binomialmodellen för en aktie och en obligation ochmed ett tidssteg. Här antager tidsvariabeln t två värden, nämligen 0 eller 1:Vi skriver
B(1) = B(0)er
där B(0) och r är positiva konstanter och
S(1) = S(0)eX
där S(0) är en positiv konstant och X är en reellvärd 2-punktsfördeladstokastisk variabel sådan att X�1(fu; dg) = för lämpliga u; d 2 R somuppfyller u > d: Genom att eventuellt ersätta X med jX kan vi antaga att = fu; dg, X(!) = !; ! 2 ; och P = �X : Sätt
pu = P [X = u]
ochpd = P [X = d]
där 0 < pu; pd < 1 och pu + pd = 1: Det gäller alltså att
P = pu�u + pd�d:
Måttet P kallas det fysikaliska måttet för binomialmodellen med ett tidssteg.I det följande förutsätts att u > r > d så att modellen saknar arbitrage.Om ett betingat kontrakt av europeisk typ utbetalar beloppet Y = f(X)
vid tiden 1 så ges derivatets värde vid tiden t = 0 av formeln
�Y (0) = e�r(quf(u) + qdf(d)):
där
qu =er � edeu � ed
ochqd =
eu � ereu � ed :
43
Genom att de�nieraQ = qu�u + qu�d
så följer att
�Y (0) = e�rZ
f(!)dQ(!)
eller�Y (0) = e
�rEQ [Y ]
eftersom Y = f(X) och X(!) = !; ! 2 : Sannolikhetsmåttet Q kallasför det riskneutrala måttet eller det ekvivalenta martingalmåttet för bino-mialmodellen med ett tidssteg. []
Exempel 2. Inom klassisk analys är det i regel tillräckligt att arbeta medstora �-algebror. Sannolikhetsteori och �nansiell matematik är på dennapunkt annorlunda. För att belysa detta går vi tillbaka till binomialmodellenmed T tidssteg. I detta fall ges aktiepriset vid tiden t av ekvationen
S(t) = S(0)eX1+:::+Xt
där S(0) är en känd konstant ochX1; :::; XT är stokastiskt oberoende likaförde-lade 2-punktsfördelade stokastiska variabler. Vi antager att varje Xt endastkan antaga två värden nämligen u eller d; där u > d: Låt F0 = f;;g ochFt = �(X t) där X t = (X1; :::; Xt) för t = 1; :::; T: Följande resonemang visaratt en (Ft;B(R))-mätbar stokastisk variabel Y : ! R är likvärdig med enreellvärd funktion av X t dvs en funktion av aktiepriserna S(1); :::; S(t). Vikan därför uppfatta Ft som den kända informationen vid tiden t:Antag först att Y = f(X t); där f : fu; dgt ! R; och låt A vara en
Borelmängd i R: Det gäller att
Y �1(A) = (X t)�1(f�1(A))
och eftersom f�1(A) är en ändlig delmängd av Rt gäller att f�1(A) 2 B(Rt):Vi har därmed visat att Y �1(A) 2 �(X t) så Y är (Ft;B(R))-mätbar.Antag omvänt att Y är (Ft;B(R))-mätbar. Eftersom X t endast antar
ändligt många värden består Ft endast av ändligt många mängder och gener-eras alltså av en partition (Ai)mi=1; bestående av mängderna (X
t )�1(fag); dära 2 fu; dgt : Eftersom mängden Y �1(frg); för varje reellt tal r; är en union avett urval av mängderna A1; :::; Am kan Y endast antaga ett konstant värde i
44
varje mängd Ai: Om a 2 fu; dgt och ! 2 (X t )�1(fag) de�nieras f(a) = Y (!)och det följer att Y = f(X t):Det �nns också kontinuerliga versioner av ovanstående. Doob-Dynkins
lemma säger följande. Antag (;F ; P ) är ett sannolikhetsrum och X; Y : ! R två funktioner. Då Y är en (�(X);B(R))-mätbar funktion om ochendast om det �nns en Borelfunktion f : R! R sådan att Y = f(X): []
Antag (R;A; �) är ett positivt måttrum. En mängd A 2 A sägs varaen �-nollmängd eller (om missförstånd ej kan inträ¤a) en nollmängd om�(A) = 0 . Ett påstående P (x); där x 2 R; som gäller för alla x utanför enlämplig �-nollmängd sägs gälla n.ö. [�] eller om missförstånd ej kan inträ¤ahelt enkelt n.ö: Förkortningen n.ö. uttalas �nästan överallt�. Måttrummet(R;A; �) säges vara komplett om mängden
N�(A) = fB; B � A för något A 2 A med �(A) = 0g
är en delmängd av A: Vi de�nierar
A� = fE; det existerar A;B 2 A så att A � E � B och �(BnA) = 0g :
Man kan visa att A� är en �-algebra och den kallas för �-kompletteringenav A: Om E 2 A� �nns A;B 2 A så att A � E � B och �(BnA) = 0:Genom att de�niera �(E) = �(A) blir � ett positivt mått. Måttet � kallasför utvidgningen av måttet � till �-algebran A�: Måttrummet (R;A�; �)är komplett. Om � är ett sannolikhetsmått sägs ofta �med sannolikhet ett�eller �nästan säkert�istället för �nästan överallt�. Uttrycket �nästan säkert�förkortas n.s. Man kallar m-kompletteringen av Borel-�-algebran i R förLebesgue-�-algebran i R.Om 0 � f 2 L1(�) följer av olikheterna
1 >
ZR
f(x)d�(x) � s�(f�1([s;+1]))
� s�(f�1(f+1g)); 0 < s <1
att�(fx 2 R; f(x) =1g) = 0
45
dvs mängden fx 2 R; f(x) =1g är en nollmängd. Alltså är f reellvärd n.ö.För två funktioner f; g 2 L1(�) som är lika n.ö. gäller attZ
R
f(x)d�(x) =
ZR
g(x)d�(x):
Två funktioner i L1(�) som är lika n.ö. [�] identi�eras från och med nu.Varje f 2 L1(�) har med denna konvention en reellvärd kopia i L1(�) ochdet är härigenom möjligt att de�niera summan av två funktioner i L1(�):Det erbjuder heller inga svårigheter att de�niera multiplikation av funktioni L1(�) med skalär. Härigenom blir L1(�) ett vektorrum och man kan visaatt avbildningen
f !ZR
f(x)d�(x)
är en linjär avbildning från L1(�) in i R.Om f 2 L1(�) de�nieras den så kallade L1(�)-normen av f genom att
k f k1=ZR
j f(x) j d�(x):
Följande egenskaper kan veri�eras, nämligen
(i)k�fk1 =j � j kfk1; � 2 R(ii) kf + gk1 � kfk1 + kgk1(iii) kfk1 � 0 med likhet om och endast om f = 0 i L1(�).
Man säger att rummet L1(�) tillsammans med L1(�)-normen bildar ettnormerat rum. Om f; g 2 L1(�) uppfattar vi
kf � gk1
som avståndet mellan f och g: Vi säger att en sekvens (fn)n2N i L1(�) kon-vergar mot f 2 L1(�) om
limn!1
kfn � fk1 = 0:
Detta kan på kompakt vis uttryckas
fn ! f i L1(�)
då n!1:
46
Sats 2. (Lebesgues majorantsats) Antag fn 2 L1(�); n 2 N, och att det�nns en icke-negativ funktion g 2 L1(�) sådan att
j fn j� g; n 2 N:
Antag vidare att gränsvärdetlimn!1
fn(x)
existerar och är lika med f(x) n.ö. [�] : Då gäller att f 2 L1(�) och
limn!1
kfn � fk1 = 0:
Speciellt gäller att
limn!1
ZR
fn(x)d�(x) =
ZR
f(x)d�(x):
Exempel 3. Brownsk rörelse har en serie märkliga egenskaper. Om T > 0 är�xt så har t ex kurvan (t;W (t)); 0 � t � T; oändlig längd med sannolikhetenett. För att se detta de�nieras
L(1)n =2n�1Xk=0
j W (k + 12n
T )�W ( k2nT ) j
så att L(1)n � L(1)n+1. Vidare gäller att
Ehe�L
(1)n
i=�Ehe�jW ( 1
2nT )ji�2n
=�Ehe� 1
2n=2jW (T )j
i�2n��E�e�jW (T )j��2n=2
där vi har uttnyttjat Jensens olikhet i sista ledet. Eftersom E�e�jW (T )j� < 1
följer nu av Lebesgues majorantsats att
Ehlimn!1
e�L(1)n
i= lim
n!1Ehe�L
(1)n
i= 0
och därmed ärlimn!1
L(1)n =1 n.s.
47
Speciellt följer härav att kurvan (t;W (t)); 0 � t � T; har oändlig längd medsannolikheten ett. []
Följande fundamentala resultat av Lebesgue är ofta användbart.
Sats 3. (Lebesgues version av integralkalkylens huvudsats) Antagf 2 L1 [0; T ] och de�niera
F (t) =
Z t
0
f(u)du; 0 � t � T:
Då är derivatan F 0 = f n.ö. med avseende på Lebesguemåttet i [0; T ] :
Vi de�nierar klassen
L2(R;A; �) =�f ; f mätbar och f 2 2 L1(R;A; �)
:
Om missförstånd ej kan uppstå skrivs L2(R;A; �) = L2(�). Två funktioneri L2(�) som är lika n.s. [�] identi�eras. Man de�nierar summa och skalär-multiplikation i L2(�) analogt med motsvarande operationer i rummet L1(�)och härigenom blir L2(�) ett vektorrum. Funktionen
(f; g) =
ZR
f(x)g(x)d�(x); f; g 2 L2(�)
kallas för skalärprodukten i L2(�) och om f 2 L2(�) de�nieras
kfk2 =
sZR
f 2(x)d�(x):
Detta uttryck kallas för L2(�)-normen av f . Man kan visa Cauchy -Schwarzolikhet
(f; g) � kfk2kgk2och att
(i)k�fk2 =j � j kfk2; � 2 R
48
(ii) kf + gk2 � kfk2 + kgk2(iii) k f k2� 0 med likhet om och endast om f = 0 i L2(�).
Man säger att rummet L2(�) tillsammans med skalärprodukten (f; g)bildar ett prehilbertrum (vi får t o m ett Hilbertrum men vi går inte in pådetta begrepp förrän i nästa kapitel). Om f; g 2 L2(�) uppfattas
kf � gk2
som avståndet mellan f och g: Vi säger att en sekvens (fn)n2N i L2(�) kon-verger mot f 2 L2(�) om
limn!1
kfn � fk2 = 0:
Detta kan på kompakt vis uttryckas
fn ! f i L2(�)
då n!1:I fortsättningen låter vi L2 [0; T ] beteckna rummet L2(m[0;T ]) (jmfr kapitel
1). Rummet L1(m[0;T ]) kommer ofta att betecknas med L1 [0; T ].Om mängden R är ändlig har vektorrummet L2(�) ändlig dimension. Om
denna dimension betecknas med n så kan motsvarande prehilbertrum L2(�)identi�eras med Rn och den vanliga skalärprodukten i Rn.Rummet L2(P ) är mycket viktigt, som vi skall se senare under denna
kurs. Observera att Jensens olikhet ger
L2(P ) � L1(P ):
Om X 2 L2(P ) gäller att
Var(X) = kX � E [X] k22:
Kovariansen mellan två stokastiska variabler X; Y 2 L2(P ) de�nieras av
Cov(X; Y ) = E [(X � E [X])(Y � E [Y ])]
och om X; Y ej är kontanta n.s. de�nieras korrelationen mellan dem genom
Cor(X; Y ) =Cov(X; Y )pVar(X)Var(Y )
:
49
Två stokastiska variablerX;Y 2 L2(P ) sägs vara okorrelerade omCov(X; Y ) =0:
Exempel 4. Antag n är ett positivt heltal och sätt h = T=n och tk = kh;k = 0; 1; :::; n: Vi de�nierar
L(2)n =n�1Xk=0
(W (tk+1)�W (tk))2
och påstår attL(2)n ! T i L2(P ) då n!1:
Om G 2 N(0; 1) följer nämligen att
Var(L(2)n ) =n�1Xk=0
Var((W (tk+1)�W (tk))2) =n�1Xk=0
Var((ptk+1 � tkG)2)
=n�1Xk=0
(tk+1 � tk)2Var(G2) =T 2
nVar(G2):
EftersomE�L(2)n
�= T
följer nu attE�(L(2)n � T )2
�! 0 då n! 0:
Antag nu vi har en godtycklig indelning
4 : 0 = t0 < t2 < ::: < tn = T
av intervallet [0; T ] : Indelningens �nhet �4 de�nieras av att
�4 = maxk2f0;:::;n�1g
(tk+1 � tk):
Vi bildar
L(2)4 =
n�1Xk=0
(W (tk+1)�W (tk))2:
En justering av beviset ovan visar att
L(2)4 ! T i L2(P ) då indelningens �nhet ! 0
50
med föjande innebörd: till varje " > 0 �nns ett � > 0 så
Eh(L
(2)4 � T )2
i< "
för varje indelning av intervallet [0; T ] om uppfyller �4 < �: Vi möter härkonvergens av ett så kallat nät. []
Antag återigen att (R;A; �) är ett positivt måttrum. Vi låter L1(R;A; �)beteckna rummet av alla A-mätbara funktioner f : R ! [�1;+1] sådanaatt mängden
fx 2 R; j f(x) j> agär en nollmängd för ett lämpligt reellt tal a: Om f 2 L1(R;A; �) de�nieraskfk1 som in�mum över alla reella tal a sådana att
�(fx 2 R; j f(x) j> ag) = 0:
Två funktioner i L1(R;A; �) identi�eras om de är lika n.s. [�] : Vi skriverofta L1(R;A; �) =L1(�) om missförstånd inte kan inträ¤a. Man kan visaatt
(i)k�fk1 =j � j kfk1; � 2 R(ii) kf + gk1 � kfk1 + kgk1(iii) k f k1� 0 med likhet om och endast om f = 0 i L1(�).
Rummet L0(R;A; �) betecknar mängden av alla A-mätbara funktionerf : R! [�1;+1] sådana att mängden
fx 2 R; j f(x) j=1g
är en �-nollmängd. Avståndet d(f; g) mellan två funktioner f och g i dettarum de�nieras genom formeln
d(f; g) =
ZR
j f(x)� g(x) j1+ j f(x)� g(x) jd�(x):
Två funktioner i L0(R;A; �) identi�eras om de är lika n.s. [�] : Vi skriver oftaL0(R;A; �) = L0(�) om missförstånd inte kan inträ¤a. Följande egenskaperkan veri�eras, nämligen
51
(i) d(f; g) = d(g; f)(ii) d(f; g) � d(f; h) + d(h; g)(iii) d(f; g) � 0 med likhet om och endast om f = 0 i L0(�):
Man säger att en sekvens (fn)n2N i L0(�) konvergerar mot f 2 L0(�) om
limn!1
d(fn; f) = 0:
Notera att konvergens i sannolikhet är samma sak som konvergens i L0(P ):Ett positivt måttrum (R;A; �) sägs vara �-ändligt om det existerarAn; n 2
N, så att R = [n2NAn och �(An) < 1; n 2 N. Betrakta nu två positiva�-ändliga måttrum (Rk;Ak; �k); k = 1; 2: Vi de�nierar produktrummet
R1 �R2 = f(x1; x2); x1 2 R1 och x2 2 R2g
och låter den så kallade produkt-�-algebran A1�A2 beteckna �-algebran avdelmängder av R1 �R2 som genereras av alla mängder av typen
A1 � A2; A1 2 A1; A2 2 A2:
Man kan visa att det existerar ett unikt positivt mått, här betecknat med�1 � �2; de�nierat på �-algebran A1 �A2; sådant att
(�1 � �2)(A1 � A2) = �1(A1)�2(A2); A1 2 A1; A2 2 A2:
Vidare gäller för varje mätbar funktion f : R1 �R2 ! [0;1] attZR1�R2
f(x1; x2)d(�1 � �2)(x1; x2) =ZR2
(
ZR1
f(x1; x2)d�1(x1))d�2(x2)
ochZR1�R2
f(x1; x2)d(�1 � �2)(x1; x2) =ZR1
(
ZR2
f(x1; x2)d�2(x2))d�1(x1):
Detta resultat kallas Fubinis sats.De�nitionen av produktmått och produkt-�-algebra kan lätt utsträckas
till en ändlig produkt av positiva �-ändliga mått. Vi skriver
mn = m� :::�m; n st faktorer
52
och kallar detta mått för det n-dimensionella Lebesguemåttet. Observera attm1 = m = mR: Man kan visa att
B(Rn) = B(R)� :::� B(R); n st faktorer.
Om B 2 B(Rn) är en given mängd kallas det mått � som de�nieras av att�(A) = mn(A) för alla A 2 B(Rn) sådana att A � B för Lebesguemåttet iB. Man kallar mn-kompletteringen av Borel-�-algebran i Rn för Lebesgue-�-algebran i Rn. Råkar B vara en axelparallell parallellepiped i Rn ochf : B ! R en reellvärd kontinuerlig funktion så ärZ
B
f(x)dmn(x) =
ZB
f(x)dx =
Z� � �ZB
f(x1; :::; xn)dx1:::dxn
där integralerna i mittersta och högra leden är vanliga Riemannintegraler.Det kanoniska Gaussmåttet n i R
n ges av
n(A) =
ZA
e�jxj2=2
p2�
n dmn(x); A 2 B(Rn)
där
j x j=
vuut nXk=1
x2k
är den vanliga normen i Rn: I fortsättningen skriver vi också
d n(x) = e�jxj2=2dmn(x)p
2�n
eller
d n(x) = e�jxj2=2 dxp
2�n :
En Rn-värd stokastisk variabel X sägs vara en kanonisk Gaussvariabel i Rn
om �X = n:Vi skall nu ytligt beröra begreppet absolutkontinuitet för mått. Detta
begrepp kommer senare att bli aktuellt i samband med riskneutrala mått iolika modeller. Låt (R;A; �) och (R;A; �) vara positiva måttrum. Vi sägeratt måttet � är absolutkontinuerligt med avseende på måttet � om
�(A) = 0) �(A) = 0; för A 2 A:
53
Detta skrives � << �: Om � << � och � << � sägs måtten vara ekvivalenta.Om (R;A; �) är ett positivt måttrum och f 2 L1(�) är icke-negativ så gällergivetvis att f� << �: Om (R;A, �) är ett positivt �-ändligt måttrum och(R;A, �) är ett ändligt positivt måttrum sådant att � << � så är � = f�för en lämplig icke-negativ funktion f 2 L1(�): Detta resultat kallas Radon-Nikodyms sats.
Exempel 5. Betrakta återigen binomialmodellen med ett tidssteg. Detfysikaliska måttet ges av ekvationen
P = pu�u + pd�d
därpu = P [X = u]
ochpd = P [X = d]
uppfyller 0 < pu; pd < 1 och pu + pd = 1: Det är underförstått att =fu; dg och F = 2: Dessutom förutsätts i det följande att u > r > d så attmotsvarande modell saknar arbitrage. Det riskneutrala måttet Q ges av
Q = qu�u + qd�d
där
qu =er � edeu � ed
och
qd =eu � ereu � ed :
Om P [A] = 0 så gäller att Q [A] = 0 ty pu > 0 och pd > 0: Radon-Nykodyms sats garanterar därför att
Q = fP
dvs
qu�u + qd�d = f(u)pu�u + f(d)pd�d:
54
för en lämplig icke-negativ funktion f 2 L1(P ). Att det verkligen �nns ensådan funktion f är i detta fall lätt att inse genom att de�niera
f(u) =qupu
ochf(d) =
qdpd:
På liknande sätt inses att P är absolutkontinuerligt med avseende på Qvarför måtten P och Q är ekvivalenta. []
Exempel 6. Om X 2 N(0; 1) och a 2 R så gäller att Y = X + a 2 N(a; 1):Å andra sidan om
dQ = e�aX�a2
2 dP
och A 2 B(R) så gäller att
Q [Y 2 A] = Q [X 2 �a+ A]
=
ZX2�a+A
dQ =
ZX2�a+A
e�aX�a2
2 dP =
Z�a+A
e�ax�a2
2 e�x2
2dxp2�
=
Z�a+A
e�(x+a)2
2dxp2�=
ZA
e�y2
2dyp2�:
Valet A = R visar att Q är ett sannolikhetsmått. Vi har därför visat attden stokastiska variabeln X + a har en Gaussisk fördelning med väntevärde0 och varians 1 relativt sannolikhetsmåttet Q: []
Sats 4. (Cameron-Martins sats) Antag h 2 L2 [0; T ] och
dQ = e�R T0 h(u)dW (u)� 1
2
R T0 h2(u)dudP:
Sätt
H(t) =
Z t
0
h(u)du; 0 � t � T
ochW h(t) =W (t) +H(t); 0 � t � T:
55
Då är W hen normaliserad Wienerprocess relativt sannolikhetsmåttet Q:
Beviset för sats 4 bygger på följande
Lemma 1. Antag (X; Y ) är har bivariat normalfördelning sådan att E [X] =E [Y ] = 0: Då är
E�eX+iY
�= e
12E[(X+iY )2]:
Bevis: Vi vet attE�eX+zY
�= e
12E[(X+zY )2]
för alla reella z. Vidare är både vänster och höger led hela analytiska funk-tioner av z (beroende på t ex Moreras sats). Eftersom funktionerna sam-manfaller på reella axeln sammanfaller de överallt, vilket visar lemmat. []
Bevis av sats 4. Antag 0 � t0 � t1 � ::: � tn � T och �0; :::; �n�1 2 R:Eftersom W h(0) = 0 räcker det att visa att
EQheiPn�1k=0 �k(W
h(tk+1)�Wh(tk))i= e�
12
Pn�1k=0 �
2k(tk+1�tk):
Men här är vänstra ledet lika med
EheiPn�1k=0 �k(W
h(tk+1)�Wh(tk))e�R T0 h(u)dW (u)� 1
2
R T0 h2(u)du
i= e�
12
R T0 h2(u)duE
"n�1Yk=0
ei�k(Wh(tk+1)�Wh(tk))�
R tk+1tk
h(u)dW (u)
#
= e�12
R T0 h2(u)due
Pn�1k=0 i�k
R tk+1tk
h(u)duE
"n�1Yk=0
ei�k(W (tk+1)�W (tk))�R tk+1tk
h(u)dW (u)
#
= e�12
R T0 h2(u)due
Pn�1k=0 i�k
R tk+1tk
h(u)dun�1Yk=0
E
�ei�k(W (tk+1)�W (tk))�
R tk+1tk
h(u)dW (u)
�
56
= e�12
R T0 h2(u)due
Pn�1k=0 i�k
R tk+1tk
h(u)dun�1Yk=0
e12Eh(i�k(W (tk+1)�W (tk))�
R tk+1tk
h(u))dW (u))2i
= e�12
R T0 h2(u)due
Pn�1k=0 i�k
R tk+1tk
h(u)dun�1Yk=0
e12(��2k(tk+1�tk)�2i�k
R tk+1tk
h(u))du+R tk+1tk
h2(u))du
= e�12
Pn�1k=0 �
2k(tk+1�tk)
vilket avslutar beviset för Cameron-Martins sats.
Övningar
1. Antag A � R. Visa att A = f;; A;R n A;Rg är en �-algebra avdelmängder av R.
2. Antag (Rk; Ak); k = 0; 1; är mätbara rum och låt f : R0 ! R1. Visaatt klassen �
A 2 A1; f�1(A) 2 A0
är en �-algebra.
3. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt A � R. Visa att funktionen1A är mätbar om och endast om A 2 A.
4. Antag (R; A; �) är ett positivt måttrum och att A;B 2 A uppfyllerA � B: Visa att �(A) � �(B):
5. Antag (R; A; �) är ett positivt måttrum och Ak 2 A, k = 1; :::; n parvisdisjunkta: Visa att
�(n[k=1
Ak) =nXk=0
�(Ak) :
6. Antag (R; A; �) är ett positivt måttrum och An 2 A, n 2 N: Visa att
�([n2N
An) �1Xn=0
�(An) :
57
7. En mängd A kallas uppräknelig om det �nns en omvändbart entydigfunktion de�nierad på N med värdemängden A. En mängd sägs varahögst uppräknelig om den är ändlig eller uppräknelig. Visa att följandemängder är högst uppräkneliga a) ; b) falla jämna heltalg c) N2 d)Q.
8. Låt U vara en öppen delmängd av R. Visa att det �nns an 2 Q; n 2 Noch rn 2 Q+ ; n 2 N; så att[
n2N
]an � rn; an + rn[ = U:
9. Visa att �(f]a;1[ ; a 2 Rg) = B(R):
10. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt f : R! R. Antag
fx 2 R; f(x) > ag 2 A
för varje reellt tal a: Visa att f är (A;B(R))-mätbar.
11. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt f : R! R. Antag
fx 2 R; f(x) � ag 2 A
för varje reellt tal a: Visa att f är (A;B(R))-mätbar.
12. Antag (R; A; �) är ett positivt måttrum f : R! [0;1] ochZR
f(x)dx = 0:
Visa att f = 0 n.ö.
13. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt f och g vara två reellvärda(A;B(R))-mätbara funktioner. Visa att f + g är (A;B(R))-mätbar.
14. Antag (R; A) är ett mätbart rum och låt fn; n 2 N; vara en sekvens(A;B(R))-mätbara funktioner sådan att
limn!1
fn(x)
existerar och är lika med f(x) för varje x 2 R: Visa att f är (A;B(R))-mätbar.
58
15. Antag f 2 L1 [0; T ] och de�niera
F (t) =
Z t
0
f(u)du; 0 � t � T:
Visa att F är kontinuerlig.
16. Visa att konvergens i L2(P ) medför konvergens i L1(P ):
17. Antag f; fn 2 L2(�); n 2 N; och att
limn!1
kfn � fk2 = 0:
Visa att det �nns en delföljd av sekvensen (fn)n2N som konvergerarmot f n.ö. [�] :
18. (Första hälften av Borel-Cantellis lemma) Antag (;F ; P ) är ettsannolikhetsrum och An 2 F ; n 2 N; händelser sådana att
1Xn=0
P (An) <1:
Visa att endast ändligt många av händelserna An; n 2 N; inträ¤ar medsannolikheten ett. De�nieras
fAn i.o.g =\n�0
[k�n
Ak
så gäller alltså attP [An i.o.] = 0:
Här betyder i.o. �oändligt ofta�och kommer från engelskans �in�nitelyoften�.
19. Antag att f : Rm ! Rn är kontinuerlig. Visa att f är (B(Rm);B(Rn))-mätbar.
20. Visa att B(Rm+n) = B(Rm�Rn) = B(Rm) B(Rn):
21. Antag G 2 N(0; 1) och sätt för varje f 2 Cb (R) (= rummet av be-gränsade reellvärda funktioner de�nierade på R) och t > 0
(Atf)(x) = Ehf(e�tx+ (1� e�2t) 12G)
i; x 2 R
59
dvs
(Atf)(x) =
Z 1
�1f(e�tx+ (1� e�2t) 12y)e�
y2
2dyp2�; x 2 R:
Visa att om f 2 Cb (R) så gäller att Atf 2 Cb (R) och
At1(At2f) = At1+t2f:
22. Låt (;F ; P ) = (Rn;B(Rn); n): Visa att varje linjär avbildning L :! R har en Gaussisk fördelning.
23. Antag fn ! f i L2(R;A; �) då n!1: Visa att
limn!1
ZR
f 2n(x)d�(x) =
ZR
f 2(x)d�(x):
24. Antag Xn 2 N(0; �2n); n 2 N+; och Xn ! X i L2(;F ; P ) då n!1:Visa att X 2 N(0; �2) för lämpligt � � 0:
60
61
3. Konvexitet och funktionalanalys
I detta kapitel fördjupas den konvexitetsteori som behandlades i kursen Op-tioner och matematik. Resultaten används senare bl a i samband med värde-pappersteorins huvudsatser. Resultaten är också värdefulla i samband medkonstruktion av fullständiga ortogonalsystem i L2 [0; 1] och för att utreda ex-istens av matematisk Brownsk rörelse, som studeras i ett speciellt appendix.I slutet av detta kapitel visas existensen av så kallade betingade väntevärden,ett begrepp som bl a leder fram till så kallade martingaler.Alla vektorrum nedan är reella vektorrum. En delmängd A av ett vektor-
rum E sägs vara konvex, om sträckan som förbinder två godtyckliga punkteri mängden alltid ligger i mängden dvs om
x; y 2 A) �x+ (1� �)y 2 A; 0 � � � 1:
Om A och B är delmängder av E och � 2R de�nieras
A+B = fx+ y; x 2 A och y 2 Bg
och�A = f�x; x 2 Ag :
MängdenA+B kallas för summan eller, om det �nns behov av att vara tydlig,Minkowskisumman av A och B: Observera att A +B och �A är konvexa omA och B är konvexa. Om A är konvex så gäller också att A + A = 2A:Omvändningen är dock inte sann. T ex gäller att Q+Q= 2Q men Q är intekonvex.En funktion f : A! R kallas konvex om A är konvex och
x; y 2 A) f(�x+ (1� �)y) � �f(x) + (1� �)f(y); 0 � � � 1:
En funktion f är konkav om �f är konvex. En konvex funktion f :E ! [0;1[ sådan att f(x) > 0 om x 6= 0 sägs vara en norm på E omf är jämn dvs f(�x) = f(x); x 2 E; och positivt homogen av graden ettdvs f(�x) = �f(x); x 2 E; � � 0. Om f är en norm skriver man oftaf(x) = kxk: En norm karakteriseras alltså av följande egenskaper:
(i) k�xk =j � j kxk; � reellt(ii) kx+ yk � kxk+ kyk
62
(iii) kxk � 0 med likhet om och endast om x = 0:
Absoluta beloppet av ett reellt tal är en norm på R.Ett vektorrum E och en norm k � k på E bestämmer ett normerat rum
som ibland skrivs (E; k � k): Om a 2 E och r > 0 de�nieras
B(a; r) = fx; x 2 E och kx� ak < rg :
Mängden B(a; r) kallas för en öppen boll med centrum a och radie r: Endelmängd U av det normerade rummet E är öppen om det för varje a 2 Uexisterar r > 0 så att bollen B(a; r) är en delmängd av U: En öppen boll ären öppen mängd. Unionen
A [B = fx 2 E; x 2 A ellerx 2 Bg
av två öppna mängder A och B är öppen. Unionen av ett godtyckligt antalöppna mängder är också öppen. En delmängd F av det normerade rummetE kallas sluten om dess komplement
E n F = fx 2 E; x =2 Fg
är en öppen mängd. Snittet
A \B = fx 2 E; x 2 A och x 2 Bg
av två slutna mängder A och B är slutet. Detsamma gäller för snittet avett godtyckligt antal slutna mängder. Snittet av alla slutna mängder somomfattar en given mängd A kallas för slutna höljet av A och betecknas med�A. Unionen av alla öppna delmängder av en given mängd A kallas för detinre av A och betecknas med Ao: En delmängd A av E sägs vara tät i E om
A \B(a; r) 6= ;; alla a 2 E och r > 0:
Här betecknar ; den tomma mängden. Rationella talmängden är tät i reellatalmängden då absolutbeloppet väljs som norm. Det normerade rummet (E ; k � k) sägs vara separabelt om det �nns en sekvens (xn)n2N av elementi E sådan att mängden fxn; n 2 Ng är tät i E: En sekvens (xn)n2N i detnormerade rummet E sägs vara konvergent om det �nns ett x 2 E så att
limn!1
kxn � xk = 0:
63
Det kan �nnas högst en sådan vektor x och vi skriver
limn!1
xn = x:
Antag (F; k � kF ) är ett annat normerat rum A en delmängd av E. Enfunktion f : A! F sägs vara kontinuerlig om det för varje a 2 A och " > 0existerar � > 0 så att
kx� ak < �; x 2 A) kf(x)� f(a)kF < ":
Det följer från de�nitionen att avbildningen k � k är en kontinuerlig funktionfrån (E; k � k) in i ( R; j � j): En kontinuerlig funktion : [0; 1] ! E kallasen kurva i E:En delmängd K av det normerade rummet (E; k � k) är kompakt om
varje sekvens (xn)n2N av element i K innehåller en delföljd (xni)i2N somkonvergerar mot ett element i K. Som ett exempel på hur kompakthetkan tillämpas väljs två delmängder A och B av E; där A är sluten och Bär kompakt. Vi skall visa att Minkowskisumman A + B är sluten. Väljdärför en sekvens (xn)n2N i A + B som konvergerar mot en punkt x 2 E:Vi skall visa att x 2 A + B. Låt därför xn = an + bn; där an 2 A ochbn 2 B för varje n 2 N: Eftersom mängden B är kompakt �nns en konvergentdelföljd (bnk)k2N som konvergerar mot ett element b 2 B: Observera attsekvensen (xnk)k2N konvergerar mot x: Eftersom ank = xnk � bnk följer attsekvensen (ank)k2N är konvergent. Vi kallar dess gränsvärde för a och drarslutsatsen att a 2 A eftersomA är sluten. Genom att låta k !1 i relationenxnk = ank + bnk följer att x = a+ b 2 A+B:En sekvens (xn)n2N i E sägs vara en Cauchyföljd om det för varje " > 0
existerar ett p 2 N sådant att
m;n > p)k xm � xn k< ":
En konvergent följd är en Cauchyföljd. Det normerade rummet ( E ; k � k)kallas ett Banachrum om varje Cauchyföljd i E är konvergent.Rummet C [0; T ] av alla reellvärda kontinuerliga funktioner de�nierade i
det kompakta intervallet [0; T ]med normen
k x k1= max0�t�T
j x(t) j
är ett separabelt Banachrum. Konvergens i detta rum kallas med klassiskterminologi för likformig konvergens.
64
Om (R;A, �) är ett postivt måttrum så bildar rummet L1(R;A, �) medL1-normen
kxk1 =ZR
j x(t) j d�(t)
ett Banachrum. De enkla mätbara funktionerna bildar en tät delmängd avdetta rum. På liknande sätt bildar rummet L2(R;A, �) med L2-normen
kxk2 =
sZR
x2(t)d�(t)
ett Banachrum. De enkla mätbara funktionerna bildar en tät delmängd avdetta rum. Till sist bildar rummet L1(R;A, �) med normen L1-normenk � k1 ett Banachrum.Om E är ett vektorrum de�nieras
E � E = f(x; y); x; y 2 Eg :
En avbildning ' : E � E ! R kallas för en skalärprodukt i E om
(i) avbildningen x! '(x; y) är linjär för alla y 2 E(ii) '(x; y) = '(y; x) för alla x; y 2 E(iii) '(x; x) � 0 för alla x 2 E med likhet om och endast om x = 0:
Vi skriver i fortsättningen '(x; y) = (x; y) och
kxk =p(x; x):
Här uppfattas k x�y k som avståndet mellan x och y. Med denna beteckningfår vi kvadratregeln
kx+ yk2 = kxk2 + 2(x; y) + kyk2
och parallellogramlagen
kx+ yk2 + kx� yk2 = 2kxk2 + 2kyk2:Om x och y råkar vara ortogonala dvs om (x; y) = 0 så ger kvadratregelnlikheten
kx+ yk2 = kxk2 + kyk2:Denna relation brukar kallas Pythagoras sats. Vi påminner också omCauchy-Schwarz olikhet
j (x; y) j� kxkkyk
65
som tillsammans med kvadratregeln ger triangelolikheten
kx+ yk � kxk+ kyk:
Funktionen k � k blir således en norm på E. Ett vektorrum E och en skalär-produkt på E kallas ett Hilbertrum om motsvarande normerade rum är ettBanachrum. Rummet Rn med skalärprodukten
(x; y) =
nXk=1
xkyk
är ett Hilbertrum. Bolzano-Weierstrass sats innebär att de slutna begränsadedelmängderna av detta rum är kompakta.Rummet l2(N) bestående av alla sekvenser (xn)n2N i R sådana att
1Xn=0
x2n <1
är ett Hilbertrum med skalärprodukten
(x; y) =1Xn=0
xnyn:
Den slutna enhetsbollen fx; k x k� 1g i detta rum är inte kompakt, ty ome(n) 2 l2(N); n 2 N; de�nieras av att
e(n)(k) = �kn (Kroneckers delta)
gäller att k e(n) k= 1 och
ke(n) � e(m)k =p2; n 6= m
varför sekevensen (e(n))n2N ej kan innehålla någon konvergent delföljd.Om (R;A, �) är ett postivt måttrum så bildar rummet L2(R;A, �) med
skalärprodukten
(x; y) =
ZR
x(t)y(t)d�(t)
ett Hilbertrum. Antag (;F ; P ) är ett sannolikhetsrum sådant att det�nns en Wienerprocess (W (t))0�t�1 de�nierad på detta sannolikhetsrum.
66
Wienerprocessen de�nierar en kurva i L2(;F ; P ) de�nierad av ekvationen (t) =W (t); 0 � t � 1; ty ekvationen
k W (s)�W (t) k22=j s� t j
visar att är kontinuerlig. För godtyckliga 0 � t1 < t2 < t3 � 1 gäller attde nollskilda vektorerna (t2)� (t1) och (t3)� (t2) är ortogonala.I resten av detta kapitel betecknar H ett Hilbertrum.
Sats 1. (Närmaste punktegenskapen) Antag att C är en sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och antag x 2 H . Då �nns en unik punkty 2 C sådan att
infz2C
kx� zk = kx� yk:
Bevis. Antagd = inf
z2Ckx� zk
och låt (zn)n2N vara en sekvens i C sådan att
limn!1
kx� znk = d:
Parallellogramlagen ger nu likheten
2(kx� zmk2 + kx� znk2) = 4kx�zm + zn2
k2 + kzn � zmk2
och eftersom C är konvex följer att
zm + zn2
2 C:
Härav drar vi slutsatsen att
2(kx� zmk2 + kx� znk2) � 4d2 + kzn � zmk2:
Här är vänstra ledet godtyckligt nära 4d2 om m och n väljs tillräckligt storavarför sekvensen (zn)n2N är en Cauchyföljd, som måste vara konvergent efter-som H är ett Hilbertrum. Antag
limn!1
zn = y:
67
Eftersom C är sluten gäller att y 2 C och vi får att
infz2C
kx� zk = kx� yk:
För att utreda entydighetsfrågan antages att vektorn y0 2 C är sådan att
infz2C
kx� zk = kx� y0k:
Relationen4d2 = 2(kx� yk2 + kx� y0k2)
och parallellogramlagen ger nu
4d2 = 4kx� y + y0
2k2 + ky0 � yk2:
Eftersomy + y0
22 C
följer att4d2 � 4d2 + ky0 � yk2
dvs y0 = y. Detta avslutar beviset för sats 1. []
Vektorn y i sats 1 kallas för projektionen av x på C och betecknas medPC(x).
Sats 2. Om C är en sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och z 2 Cgäller att
(x� PC(x); z � PC(x)) � 0för alla x 2 H.
Bevis. Sätt y = PC(x). Om 0 < � < 1 gäller att
kx� yk2 � kx� ((1� �)y + �z)k2
dvskx� yk2 � k(x� y)� �(z � y)k2
68
dvs0 � �2�(x� y; z � y) + �2kz � yk2:
Genom att dividera denna olikhet med � och sedan låta �! 0 erhålls
0 � �2(x� y; z � y):
Härav följer sats 2 omedelbart. []
Om B är en delmängd av H så de�nieras
B? = fx 2 H; (x; y) = 0 för alla y 2 Bg :
Mängden B? är ett slutet delrum av H. Notera också att
B \B? � f0g
eftersom(x; x) = 0) x = 0:
Vidare gäller attB � (B?)?:
Sats 3. (Topologiskt komplement) Antag F är ett slutet delrum av H:Varje x 2 H har en entydig representation
x = y + z
där y 2 F och z 2 F?: Vidare gäller att
y = PF (x)
ochz = PF?(x):
Bevis. Antag x 2 H har två framställningar
x = yk + zk; k = 0; 1;
69
där y0; y1 2 F och z0; z1 2 F?. Härav erhålls att
y0 � y1 = z1 � z0
där vänstra ledet tillhör F och högra ledet tillhör F?. Eftersom F\F? = f0gföljer att y0 = y1 och z0 = z1:För att utreda existensfrågan noterar vi att
(x� PF (x); u� PF (x)) � 0
för varje u 2 F enligt sats 2. Genom att ersätta u med �u + PF (x) erhållsatt x� PF (x) 2 F?. Alltså gäller att
x = PF (x) + v
där v 2 F?. På samma sätt �nns w 2 (F?)? så att
x = w + PF?(x):
EftersomPF (x) 2 F � (F?)?
så följer av entydigheten ovan tillämpad på F? och (F?)? att
v = PF?(x):
Detta avslutar beviset för sats 3. []
Följande så kallade separationssats för slutna konvexa mängder har �eratillämpningar inom denna kurs.
Sats 4. (Separationssatsen för punkt och sluten konvex mängd)Antag C är en sluten, icke-tom och konvex delmängd av H och antag x0 =2 C.Då �nns en vektor a 2 H och � 2 R så att
(a; x0) < � � (a; x)
för alla x2 C.
70
Bevis. Sättx1 = PC(x0)
så att(x0 � x1; x� x1) � 0; för alla x 2 C:
Vi de�nierar nu a = x1 � x0 och får
(a; x1) � (a; x); för alla x 2 C:
Vidare gäller att(a; x0) < (a; x1)
eftersom a 6= 0. Vi kan därför de�niera � = (a; x1) och sats 4 följer direkt.[]
Sats 5. (Separation av kompakt konvex mängd och slutet delrum)Antag K är en kompakt konvex mängd i H och antag L är ett slutet delrumav H sådant att K \L = ;. Då �nns a 2 H så att
a � x > 0; om x 2 K
ocha � y = 0; om y 2 L:
Bevis. Låt C = K + L: Observera att 0 =2 C och att C är en sluten konvexmängd: Vi använder sats 4 med x0 = 0 och får ett a 2 H och ett � 2 R såatt
0 = (a; 0) < � � (a; u)
för alla u 2 C. Välj nu x 2 K och y 2 L godtyckligt. Då gäller att
0 < � � (a; x� y)
dvs(a; x) � (a; y) + �:
Genom att ersätta y med ty där t 2 R så följer att
(a; x) � t(a; y) + �
71
för alla t 2 R och vi drar slutsatsen att (a; y) = 0: Härav följer också att(a; x) � � > 0: Detta visar sats 5. []
Vi kommer efterhand att se många tillämpningar av resultaten i dettakapitel och nöjer oss här med att diskutera begreppet betingat väntevärde,ett nyckelbegrepp inom sannolikhetsteorin.Antag F och G är �-algebror av delmängder av sådana att G � F .
Rummen L2(;F ; P ) och L2(;G; P ) är båda Hilbertrum och
L2(;G; P ) � L2(;F ; P ):
Ett godtyckligt element X 2 L2(;F ; P ) kan alltså enligt sats 3 skrivas
X = Y + Y ?
där Y 2 L2(;G; P ) och Y ? 2 L2(;G; P )?: Speciellt gäller att
E [XZ] = E [Y Z] ; om Z 2 L1(;G; P )
eftersom L1(;G; P ) � L2(;G; P ):Antag nu att X 2 L1(;F ; P ) och sätt Xn = 1[jXj�n]X för n 2 N: Till
varje �xt n 2 N �nns enligt ovan ett Yn 2 L2(;G; P ) sådant att
E [XnZ] = E [YnZ] ; om Z 2 L1(;G; P ):
För godtyckliga m;n 2 N följer att
E [(Xm �Xn)Z] = E [(Ym � Yn)Z] ; om Z 2 L1(;G; P )
och väljs Z = 1[Y m�Yn�0] � 1[Ym�Yn<0] följer också att
E [j Xm �Xn j] � E [j Ym � Yn j] :
Eftersom sekvensen (Xn)n2N är konvergent i L1(;F ; P ); beroende på Lebesguesmajorantsats, och därmed en Cauchyföljd så är sekvensen (Yn)n2N en Cauchyföljdi L1(;G; P ); som därför måste konvergera mot ett visst element Y i L1(;G; P ):Kom nu ihåg att
E [XnZ] = E [YnZ] ; om Z 2 L1(;G; P ):
72
Genom att låta n!1 följer att
E [XZ] = E [Y Z] ; om Z 2 L1(;G; P ):
Den stokastiska variabeln Y 2 L1(;G; P ) kallas det betingade väntevärdetav X givet G och betecknas med E [X j G] : Observera att
E [X;A] = E [Y ;A] ; alla A 2 G
och att det endast kan �nnas en stokastisk variabel Y 2 L1(;G; P ) somuppfyller denna relation.Om X1; :::; Xn är reellvärda stokastiska variabler de�nierade på beteck-
nar �(X1; :::; Xn) den minsta �-algebra av delmängder av som görX1; :::; Xn
mätbara. Vi skriver i fortsättningen
E [X j X1; :::; Xn]
istället förE [X j �(X1; :::; Xn)] :
OmX; Y : (;F)! (R;B(R)) är reellvärda stokastiska variabler ochX � Yn.s. skriver vi helt enkelt X � Y . Om A 2 G skrivs E [1A j G] = P [A j G] :Man kan visa följande egenskaper för betingat väntevärde:
(i) E [1 j G] = 1(ii) E [�X j G] = �E [X j G] ; � 2 R(iii) E [X + Y j G] = E [X j G] + E [X j G] :(iv) X � Y ) E [X j G] � E [Y j G] :(v) E [XY j G] = XE [Y j G] ; om X är G-mätbar och begränsad.Om G0 och G1 är del-�-algebror av F sådana att G0 � G1 så gäller den
viktiga relationenE [E [X j G1] j G0] = E [X j G0] :
Ett bevis kan gå till så här. Sätt
Yk = E [X j Gk] ; k = 0; 1:
Det gäller att visa attE [Y1 j G0] = Y0:
Eftersom Y0 är (G0;B(R))-mätbar räcker det att visa att
E [Y1;A] = E [Y0;A]
73
för givet A 2 G0: Här är högra ledet lika med E [X;A]. Även vänster led likamed E [X;A] eftersom A 2 G1 så beviset är klart.
Sats 6. (Jensens olikhet för betingade väntevärden) Antag f : R !R är konvex och låt G vara en del-�-algebra av F . Om X och f(X) 2L1(;F ; P ) så gäller att
f(E [X j G]) � E [f(X) j G] :
Bevis. Antag a 2 R: Enligt kursen Optioner och matematik �nns ett reellttal ca sådant att
f(x) � f(a) + ca(x� a)
(resultatet följer ganska lätt från sats 4). Sätt ha(x) = f(a) + ca(x � a) =cax+ da; där da = f(a)� caa: Egenskaperna (i) och (ii) visar att
ha(E [X j G]) = E [ha(X) j G] :
Eftersom f � ha ger (iv) att
ha(E [X j G]) � E [f(X) j G] :
Sats 6 följer nu om vi observerar att
f(x) = supa2R
ha(x):
[]
Övningar
1. Låt A vara en delmängd av ett normerat rum. Visa att x 2 �A om ochendast om det existerar en följd (xn)n2N av element i A som konvergerarmot x:
74
2. Låt (xn)n2N vara en följd i ett Banachrum sådan att
1Xn=0
kxnk <1:
Visa att serien1Xn=0
xn
är konvergent.
3. Antag (E; k � k) och är ett normerat rum och � 2 R. Visa att mängden
fx 2 E; f(x) > �g
är öppen om f : E ! R är kontinuerlig.
4. Visa attF = (F?)?
om F är ett slutet delrum av H.
5. Visa att maximum av två konvexa funktioner med samma de�nitions-mängd är konvex.
6. Antag f : R ! ]0;1[. Visa att funktionen ln f är konvex om ochendast om funktionen
eaxf(x); x 2 Rär konvex för alla a 2 R.
7. Funktionen f : R! R är konvex. Visa att funktionen
g(x; y) = yf(x
y); x 2 R; y > 0
är konvex.
8. Låt U vara en öppen konvex delmängd av Rn: Visa att en två gångerkontinuerligt deriverbar funktion f : U ! R är konvex om Hessema-trisen �
@2f
@xj@xk(x)
�1�j;k�n
är positivt semide�nit i varje punkt x 2 U:
75
9. Visa att öppna bollar är konvexa.
10. Låt A vara en konvex delmängd av ett vektorrum. Visa att
nXk=1
�kxk 2 A
för alla x1; :::; xn 2 A och alla �1; :::; �n 2 [0; 1] som uppfyller
nXk=1
�k = 1:
11. Funktionen f : A! R är konvex. Visa att
f(nXk=1
�kxk) �nXk=1
�kf(xk)
för alla x1; :::; xn 2 A och alla �1; :::; �n 2 [0; 1] som uppfyller
nXk=1
�k = 1:
12. Låt x1; :::xn > 0 och antag �1; :::; �n 2 [0; 1] uppfyllernXk=1
�k = 1:
Visa attnYk=1
x�kk �nXk=1
�kxk:
Notera specialfallet
n
vuut nYk=1
xk �1
n
nXk=1
xk:
13. Antag t1 < ::: < tn = T och låt �1; :::; �n 2 [0; 1] uppfyllanXi=1
�i = 1:
76
Betrakta två aktiederivat av europeisk typ som slutdagen T utbetalar
X = max(0;
nXi=1
�iS(ti)�K)
resp
Y = max(0;nYi=1
S(ti)�i �K)
där K > 0: Låt t < T: Visa att det första derivatets värde vid tiden tej understiger det andra derivatets värde vid tiden t (det förutsätts attdominansprincipen gäller).
14. Låt U vara en öppen konvex delmängd avRn och f : U ! R en konvexfunktion. Visa att f är uppåt begränsad på varje sluten begränsaddelmängd K av U .
15. Låt U vara en öppen konvex delmängd avRn och f : U ! R en konvexfunktion. Visa att f är kontinuerlig.
16. Låt U vara en öppen konvex delmängd avRn och f : U ! R en konvexfunktion. Visa att det till varje a 2 U �nns en vektor c 2 Rn så att
f(x) � f(a) + c�(x� a); x 2 U:
17. Antag (Xn)1n=1 är en sekvens i L
2(;F ; P ) som konvergerar mot X iL2(P ): Låt G vara en del-�-algebra av F . Visa att sekvensen
(E [Xn j G])1n=1konvergerar mot E [X j G] i L2(): Visa också motsvarande resultat iL1():
18. Antag (R;A; �) är ett sannolikhetsrum. Om f är en icke-negativ, be-gränsad och mätbar funktion de�nierad på R de�nieras entropin
Ent(f) =ZR
f(x) ln f(x)d�(x)�ZR
f(x)d�(x) ln
ZR
f(x)d�(x)
(här de�nieras 0 ln 0 = 0): Visa att Ent(f) � 0 och att
Ent(�f) = �Ent(f); � � 0:
77
4. Stokastiska grundbegrepp
I detta avsnitt diskuteras �era grundläggande sannolikhetsteoretiska begreppsåsom stokastiskt oberoende, martingal och Markovprocess. Vi återknyterockså till binomialmodellen med T tidssteg och ger en martingalkarakteris-ering av det så kallade riskneutrala måttet. För att senare förstå hur manhärleder prisformler för lookback- och barriäroptioner beräknas också en delträ¤sannolikheter för Brownsk rörelse. Slutligen visas att en Brownsk trajek-toria saknar derivata i varje tidspunkt med sannolikheten ett. Härav följeratt ett aktiepris i Bachelier-Samuelsons modell saknar trend.En familj reellvärda stokastiska variabler (X(t))t2T kallas för en reellvärd
stokastisk process. Vi skriver ofta X(t) = Xt: Indexmängden T kallas förtidsparametermängd och avbildningen
t! Xt(!)
för en realisation, samplefunktion eller en trajektoria för processen. OmT0 � T betecknar �(X(t); t 2 T0) den minsta �-algebra G av delmängder av som gör alla avbildningarna X(t); t 2 T0; (G;B(R))-mätbara. För varjen 2 N+ och t1; :::; tn 2 T de�nieras
�t1;:::;tn = �(X(t1);:::;X(tn))
där(X(t1); :::; X(tn))(!) = (Xt1(!); :::; Xtn(!)); ! 2 :
Speciellt gäller alltså att
�t1;:::;tn(A1 � :::� An) = P [X(t1) 2 A1; :::; X(tn) 2 An]
för godtyckliga Ak 2 B(R); k = 1; :::; n: Måtten �t1;:::;tn, t1;:::; tn 2 T , n 2N+; kallas för processens marginalfördelningar. Två reellvärda stokastiskaprocesser med sammamarginalfördelningar sägs vara ekvivalenta i fördelning.De sägs också vara versioner av samma stokastiska process.Om (X(t))t2T är en reellvärd stokastisk process och varje X(t) 2 L1(P )
de�nieras väntevärdesfunktionen � av processen genom att
�t = E [X(t)] ; t 2 T:
78
Funktionen � kallas ofta helt enkelt för väntevärdet av processen (X(t))t2T .Om dessutom varjeX(t) 2 L2(P ) de�nieras kovariansfunktionen C : T�T !R genom att
C(s; t) = Cov(X(s); X(t)); s; t 2 T;
dvsC(s; t) = E [(X(s)� �s)(X(t)� �t)] ; s; t 2 T:
Funktionen C kallas ofta för kovariansen till processen (X(t))t2T .En reellvärd stokastisk process sägs vara centrerad om den har vän-
tevärdesfunktionen noll. En stokastisk process (Xt)t2f1;:::;ng skrivs ofta (Xk)nk=1
och kan identi�eras med en Rn-värd stokastisk variabel. Om varje Xk 2L1(P ) kan processens väntevärde uppfattas som en vektor i Rn:
Betrakta ett sannolikhetsrum (;F ; P ) och n st �-algebror G1; :::;Gn in-nehållna i F . Vi säger att �-algebrorna G1; :::;Gn är stokastiskt oberoendeom
P
"n\k=1
Ak
#=
nYk=1
P [Ak]
för alla Ak 2 Gk; k = 1; :::; n:Antag nu att (Rk;Ak); k = 1; :::; n; är mätbara rum och låt Xk : !
Rk; k = 1; :::; n; vara stokastiska variabler. Vi de�nierar som ovan
(X1; :::; Xn)(!) = (X1(!); :::; Xn(!)); ! 2 :
De stokastiska variablerna Xk; k = 1; :::; n; sägs vara stokastiskt oberoendeom �-algebrorna �(Xk); k = 1; :::; n; är stokastiskt oberoende, vilket är ek-vivalent med att
�(X1;:::;Xn) = �X1 � :::� �Xn :
Händelserna A1; :::; An 2 F sägs vara stokastiskt obereoende om indika-torfunktionerna 1A1 ; :::; 1An är stokastiskt oberoende. Slutligen sägs en upp-sättning �-algebror (stokastiska variabler, händelser) vara stokastiskt oberoendeom varje ändlig deluppsättning av dem är stokastiskt oberoende.Existensen av ändliga produkter av sannolikhetsmått kan ges följande
formulering.
79
Sats 1. Låt (Rk;Ak; �k)nk=1vara en följd sannolikhetsrum och sätt8<: = R1 � :::�RnF = A1 � :::�AnP = �1 � :::� �n:
:
OmXk(!) = !k; ! = (!1; :::; !n) 2 ; k = 1; ; ; ; n
så är de stokastiska variabler Xk : ! Rk; k = 1; :::; n; stokastiskt oberoendeoch
�Xk(A) = P [Xk 2 A] = �k(A); A 2 Ak; k = 1; :::; n:
En sekvens (Xk)1k=1 av stokastiska variabler kallas en i.i.d. om de stokastiska
variablerna Xk; k � 1; är stokastiskt oberoende och lika fördelade. De�nitio-nen av i.i.d. kan också ges med en tidsparametermängd av exempelvis typenf1; :::; ng : Om X är en stokastisk variabel och (Xk)
nk=1 är en i.i.d. sådan att
X1 ochX har samma fördelning så sägsX1; :::; Xn vara stokastiskt oberoendeobservationer påX. Sats 1 garanterar att man alltid kan bilda ändligt mångaobservationer på en stokastisk variabel. Det �nns satser i måtteorin somgaranterar att man kan bilda oändligt många stokastiskt oberoende observa-tioner på en given stokastisk variabel. Detta utnyttjas bl a i ett appendixför att visa existens av matematisk Brownsk rörelse.Begreppet stokastiskt oberoende är naturligtvis mycket intressant ur mod-
ellsynpunkt. Följande satser illustrerar att begreppet även har stora fördelarur beräkningssynpunkt.
Sats 2. Antag G är en �-algebra och låt X 2 L1(P ) vara en reellvärdstokastisk variabel sådan att G och �(X) är stokastiskt oberoende. Då gälleratt
E [X j G] = E [X] :
Bevis. Om A 2 G fåsE [X;A] = E [X1A]
80
och eftersom G och �(X) är stokastiskt oberoende följer att högra ledet ärlika med
E [X]E [1A] = E [E [X] 1A] = E [E [X] ;A] :
En konstant funktion är naturligtvis (G;B(R))-mätbar och satsen följer omedel-bart. []
I fortsättningen lättar vi något på formalismen och säger helt enkelt atten reellvärd funktion är G-mätbar om den är (G;B(R))-mätbar. Vi påminnerom att en funktion f : Rn ! R som är B(Rn)-mätbar kallas en Borelfunktioni Rn. Om vi nedan talar om en mätbar funktion f : Rn ! R så innebärdetta att f är en Borelfunktion i Rn.Nedan kommer vi ofta att ha nytta av följande sats.
Sats 3. Antag (Rk;Ak); k = 1; 2; är mätbara rum och låt Xk : ! Rk; k =1; 2 vara stokastiskt oberoende stokastiska variabler. Antag vidare att f 2L1(�(X1;X2)) samt de�niera
g(x1) = E [f(x1; X2)] ; x1 2 R1:
Då gäller attE [f(X1; X2) j X1] = g(X1)
dvsE [f(X1; X2) j X1] = E [f(x1; X2)]jx1=X1 :
Bevis. Låt A 2 �(X1). Det gäller att visa att
E [f(X1; X2)1A] = E [g(X1)1A] :
MenA = X�1
1 (B)
för ett lämpligt B 2 B(R) så
1A = 1B(X1):
81
Det gäller alltså att visa att
E [f(X1; X2)1B(X1)] = E [g(X1)1B(X1)]
eller ZR1�R2
f(x1; x2)1B(x1)d(�X1 � �X2)(x1; x2)
=
ZR1
g(x1)1B(x1)d�X1(x1):
Men
g(x1) = E [f(x1; X2)] =
ZR2
f(x1; x2)d�X2(x2)
så resultatet följer från Fubinis sats. []
Betrakta nu en sekvens reellvärda stokastiska variabler (Mn)1n=1 och en
sekvens (Fn)1n=1 av �-algebror innehållna i F ; där som vanligt (;F ; P )betecknar det underliggande sannolikhetsrummet. Sekvensen (Mn;Fn)1n=1kallas en martingal om det för varje n � 1 gäller att
(i)Fn � Fn+1
(ii)�(Mn) � Fn
(iii) Mn 2 L1(P ) och Mn = E [Mn+k j Fn] ; k � 1:
Villkoret (i) innebär att sekvensensen (Fn)1n=1 är växande (i vid mening).En växande sekvens del-�-algebror av F kallas ofta en �ltration. Om Fn =�(M1; ::::;Mn); n � 1; och (Mn;Fn)1n=1 är en martingal sägs (Mn)
1n=1 vara
en martingal.Varje X 2 L1(P ) de�nierar tillsammans med en växande sekvens (Fn)1n=1
av del-�-algebror av F en martingal (Mn; Fn)1n=1 genom formeln
Mn = E [X j Fn] ; n � 1:
För att se detta observera att Mn är Fn-mätbar och att Jensens olikhet förbetingade väntevärden ger
jMn j� E [j X jj Fn]
82
och därmedE [jMn j] � E [j X j] :
Vidare ärE [E [X j Fn+k] j Fn] = E [X j Fn] ; k � 1
och vi har visat att (Mn; Fn)1n=1 är en martingal.För exempli�era martingalbegreppet betraktar vi en reellvärd stokastisk
process (Xn)1n=1 där varje Xn 2 L1(P ) och har förväntan noll. Vi antager
också att de stokastiska variablerna Xn; n � 1; är stokastiskt oberoende ochsätter
Zn =nXk=1
Xk; n � 1
ochFn = �(Z1; ::::; Zn) = �(X1; ::::; Xn); n � 1:
Av förutsättningarna följer för varje k � 1 att
E [Zn+k j Fn ] = Zn + E [Xn+1 + :::+Xn+k j Fn] :
Sats 2 medför emellertid att
E [Xn+1 + :::+Xn+k j Fn] = E [Xn+1 + :::+Xn+k]
= E [Xn+1] + ::::+ E [Xn+k] = 0
vilket visar att sekvensen (Zn)1n=1 är en martingal.En reellvärd stokastisk process (Un)1n=1 sägs ha Markovegenskapen (eller
vara en Markovkedja) om
E [f(Un+k) j U1; :::; Un] = E [f(Un+k) j Un] ; n; k � 1;
för varje begränsad Borelfunktion f : R!R. För att illustrera detta be-grepp låter vi (Xn)
1n=1 vara en reellvärd stokastisk process med stokastiskt
oberoende komponenter dvs de stokastiska variablerna Xn; n � 1; antagsvara stokastiskt oberoende. Sätt
Zn =
nXk=1
Xk; n � 1:
Om f : R!R är en begränsad Borelmätbar funktion och k � 1 så gäller att
E [f(Zn+k) j Z1; :::; Zn] = E [f(Zn +Xn+1 + :::+Xn+k) j Z1; :::; Zn]
83
och eftersom de stokastiska variablerna (Z1; :::; Zn) och (Xn+1;:::; Xn+k) ärstokastiskt oberoende ger sats 3 att högra ledet är lika med
E [f(zn +Xn+1 + :::+Xn+k)]jz1=Zn;:::zn=Zn
= E [f(z +Xn+1 + :::+Xn+k)]jz=Zn = E [f(Zn+k) j Zn] :Detta visar att processen (Zn)1n=1 har Markovegenskapen. Om slumpvan-dringshypotesen ger en riktig bild av ett aktiepris så följer speciellt att his-torien inte ger mer information om morgondagens pris än vad som åter�nnsi dagens pris. All så kallad teknisk analys av det enskilda aktiepriset saknari så fall prediktionsvärde.De�nitionerna av Markovegenskap och martingal kan också ges över ett
godtyckligt delintervall av N (eventuellt med ändligt många element). Gen-eraliseringen till kontinuerlig tid berörs nedan. Först sätter vi dock in debegrepp vi berört ovan i samband med binomialmodellen.Betrakta därför en värdepappersmodell bestående av en aktie med priset
S(t) vid tiden t och en obligation med priset B(t) vid tiden t, där S(0)och B(0) är positiva konstanter. Tidsvariabeln t antar värdena 0; 1; 2; :::; T .Vidare gäller att
B(t+ 1) = B(t)er
där konstanten r > 0 och att
S(t+ 1) = S(t)eX(t+1)
där (Xt)Tt=1 är en i.i.d. sådan att varjeX(t) = Xt är en reellvärd 2-punktsfördelad
stokastisk variabel: Det �nns alltså u; d 2 R, som uppfyller u > d; så att san-nolikheterna
pu = P [Xt = u]
ochpd = P [Xt = d]
är oberoende av t och uppfyller
pu + pd = 1;
pu > 0
ochpd > 0:
84
Vi antar också att händelsen
[Xt =2 fu; dg]
aldrig inträ¤ar för godtyckligt t = 1; :::; T: Eftersom
S(t) = S(0)eX1+:::+Xt ; t = 0; :::; T
följer att (logS(t))Tt=0 är en slumpvandring och att (S(t))Tt=0 är enMarkovprocess.
Beroende på sats 1 kan binomialmodellen i T tidssteg ges följande en-kla representation. Sätt först k = fu; dg och Ak = 2k och de�niera ettsannolikhetsmått på Ak så att Pk = pu�u+pd�d för k = 1; :::; T: Sätt därefter8<:
= 1 � :::� TF = A1 � :::�ATP = P1 � :::� PT
ochXt(!) = !t; ! = (!1; :::; !T ) 2 :
Denna representation kallas för den första kanoniska representationen avbinomialmodellen i T tidssteg och vi förutsätter denna representation i detföljande. Måttet P kallas det fysikaliska måttet.Sätt X = (X1; :::; XT ): Om f : ! R blir
E [f(X) j X1; :::; XT�1] = E [f(x1; :::; xT�1;Xn)]jx1=X1;:::xT�1=XT�1
=X
iT=u eller d
piT f(X1; :::; XT�1; iT )
beroende på sats 3. Upprepning ger
E [f(X) j X1; :::XT�2] = E [E [f(X) j X1; :::XT�1]X1; :::; XT�2]
=X
iT�1;iT=u eller d
piT�1piT f(X1; :::; XT�2; iT�1; iT )
och till sistE [f(X)] =
Xi1;:::;iT=u eller d
pi1�:::�piT f(i1; :::; iT ):
85
I fortsättningen antas att u > r > d vilket innebär att modellen saknararbitrage. Vi påminner om att k = fu; dg och Ak = 2k och de�nierar ettsannolikhetsmått på Ak så att Qk = qu�u+qd�d för k = 1; :::; T: Sätt därefter
Q = Q1 � :::�QT :
Måttet Q kallas för det riskneutrala måttet. Notera att Q och P är ek-vivalenta. Funktionerna X1; :::; XT kan uppfattas som stokastiska variablerrelativt sannolikhetsrummet (;F ; Q) och de är stokastiskt oberoende ochlika fördelade. Det följer därför att
EQ [f(X)] =X
i1;:::;iT=u eller d
qi1�:::�qiT f(i1; :::; iT ):
Vi inför nu följande �ltration, nämligen
F0 = f;;g
ochFt = �(X1; :::; Xt); t = 1; :::; T:
En sekvens h = (hS(t); hB(t))Tt=0 kallas en strategi om h(0) = h(1) och detför var varje t = 1; :::; T gäller att h(t) är Ft�1-mätbar: Motsvarande värde-process Vh = (Vh(t))Tt=0 de�nieras av ekvationen
Vh(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t); t = 0; 1; ::; T:
Med våra konventioner görs valet av hS(t) aktier och hB(t) obligationer vidtiden t� 1 för t = 1; ::; T: Portföljvärdet Vh(t) är Ft-mätbart för t = 0; :::; T:Om en strategi h = (hS(t); hB(t))Tt=0 uppfyller
Vh(t) = hS(t+ 1)S(t) + hB(t+ 1)B(t); t = 1; :::; T � 1
sägs strategin vara vara själv�nansierande. I detta fall gäller enligt kursenOptioner och matematik att
Vh(0) = e�rT
Xi1;:::;iT=u eller d
qi1 :::qiTVh(T ; i1; :::; iT )
dvsVh(0) = e
�rTEQ [Vh(T )] :
86
Det följer också attVh(t) = e
�r�EQ [Vh(T ) j Ft]där � = T � t och t = 0; :::; T: Detta innebär att sekvensen
(e�rtVh(t);Ft)Tt=0
är en Q-martingal dvs en martingal relativt sannolikhetsrummet (;F ; Q):Speciellt gäller att
(e�rtS(t);Ft)Tt=0är en Q-martingal.Antag ett derivat i aktien ger innehavaren beloppet Y vid tiden T där
Y är FT -mätbar. Det gäller att Y = f(X1; :::; XT ) för en lämplig funktionf : ! R: I kursen Optioner och matematik visades att det �nns en själv�-nansierande strategi h sådan att Vh(T ) = Y: Vi de�nierade sedan derivatetsteoretiska pris �Y (t) vid tiden t så att
�Y (t) = Vh(t)
och får därför prisformeln
�Y (t) = e�r�EQ [Y j Ft] ; t = 0; :::; T:
Vi kan nu visa följande vackra sats.
Sats 4. Betrakta binomialmodellen i T tidssteg och antag u > r > d: Det�nns endast ett sannolikhetsmått � på F ; ekvivalent med P; sådant att
(e�rtS(t);Ft)Tt=0
är en �-martingal och detta mått är lika med med Q:
Bevis. Antag att Q0 och Q1 är sannolikhetsmått, ekvivalenta med P; så-dana att (e�rtS(t);Ft)Tt=0 är en martingal relativt dessa mått. Om h =(hS(t); hB(t))
Tt=0 är en själv�nansierande strategi så gäller för t � T � 1 och
i = 0; 1 att
EQi�e�rVh(t+ 1) j Ft
�= EQi
�e�r(hS(t+ 1)S(t+ 1) + hB(t+ 1)B(t+ 1)) j Ft
�
87
= EQi�hS(t+ 1)e
�rS(t+ 1) + hB(t+ 1)B(t)) j Ft�
= hS(t+ 1)EQi�e�rS(t+ 1) j Ft
�+ hB(t+ 1)B(t)
= hS(t+ 1)S(t) + hB(t+ 1)B(t) = Vh(t)
och upprepning ger
EQi�e�(T�t)rVh(T ) j Ft
�= Vh(t); t = 0; 1; :::; T:
Om t = 0 erhållsEQi
�e�rTVh(T )
�= Vh(0)
för i = 0; 1 och därför måste
EQ0�e�rTVh(T )
�= EQ1
�e�rTVh(T )
�:
Eftersom vår modell är komplett kan h väljas så att e�rTV h(T ) är en godtyck-lig FT -mätbar funktion varför Q1 = Q2: Slutligen visades före formuleringenav sats 4 att (e�rtS(t);Ft)Tt=0 är Q-martingal. Detta avslutar beviset för sats4. []
Vi avslutar detta kapitel med att de�niera och diskutera en del egenskaperför martingaler och Markovprocesser i kontinuerlig tid. Antag (;F ; P ) ärett sannolikhetsrum. Låt vidare X = (X(t))t�0 vara en reellvärd stokastiskprocess och (Ft)t�0 en sekvens del-�-algebror avF . Man säger att (X(t);Ft)t�0är en martingal om det för alla s; t � 0 gäller att
(a) Fs � Ft � F ; om s � t(b) X(t) är Ft-mätbar(c) X(t) 2 L1(P )(d) E [X(t) j Fs] = X(s) så snart s � t:Sekvensen (Ft)t�0 sägs vara en �ltration om (a) gäller. OmFt = �(X(u);u �
t) och (X(t);Ft)t�0 är en martingal sägs (X(t))t�0 vara en martingal.Martingaler med tidsparametermängden I; där I är ett delintervall av
intervallet [0;1[, de�nieras analogt. Om
Ft = �(W (u); u � t); t 2 I
och (X(t);Ft)t2I är en martingal sägs processen (X(t))t2I vara en Wiener-martingal i I :
88
Det �nns gott om viktiga Wienermartingaler. Antag 0 � s � t: Genomatt utnyttja att Fs och �(W (t)�W (s)) är stokastiskt oberoende följer att
E [W (t) j Fs] = E [W (s) j Fs] + E [W (t)�W (s) j Fs]
= W (s) + E [W (t)�W (s)] =W (s):
En normaliserad Wienerprocess är alltså en Wienermartingal. Antag � > 0:Processen
M�(t) = e�W (t)��2t
2 ; t � 0
är också en Wienermartingal ty
E�e�W (t) j Fs
�= E
�e�(W (t)�W (s))e�W (s) j Fs
�= e�W (s)E
�e�(W (t)�W (s)) j Fs
�= e�W (s)E
�e�(W (t)�W (s))
�= e�W (s)e
12E[(�(W (t)�W (s)))2] = e�W (s)e
�2
2(t�s)
varförE [M�(t) j Fs] =M�(s):
Processen (M�(t))t�0 kallas för en Brownsk exponentialmartingal med para-metern �:Vi kan lätt generera nya Wienermartingaler med hjälp av Paley-Wiener-
Zygmunds stokastiska integraler. Om f 2 L2 [0; T ] gäller att
E
�Z T
0
f(u)dW (u) j Ft�=
Z t
0
f(u)dW (u):
Denna relation är självklar om f är indikatorfunktionen för ett intervall ochföljer därför genom superposition för speciellt enkla funktioner f . Allmännafallet är nu en följd av de�nitionen av stokastisk integral. Processen
(
Z t
0
f(u)dW (u))0�t�T
är alltså en Wienermartingal i intervallet [0; T ] : Vi antar återigen att f 2L2 [0; T ] och de�nierar
Mf (t) = eR t0 f(u)dW (u)� 1
2
R t0 f
2(u)du; 0 � t � T:
89
(Detta beteckningssätt är konsistent med tidigare beteckningssätt om f ären konstant positiv funktion.) Om 0 � s � t så gäller att
Mf (t) =Mf (s)eR ts f(u)dW (u)� 1
2
R ts f
2(u)du
=Mf (s)eX� 1
2E[X2]
där
X =
Z t
s
f(u)dW (u)
är en centrerad Gaussisk stokastisk variabel sådan att �(X) ochFs är stokastisktoberoende. Alltså är
E [Mf (t) j Fs] =Mf (s)EheX�
12E[X2] j Fs
i=Mf (s)E
heX�
12E[X2]
i=Mf (s):
Processen (Mf (t)) 0�t�T är således en Wienermartingal i intervallet [0; T ] :Vi kommer nu till det allra viktigaste martingalexemplet i denna kurs.
Antag Black-Scholes värdepappersmodell är given. Aktiens prisprocess gesav ekvationen
S(t) = S(0)e�t+�W (t); 0 � t � Tdär W = (W (t))0�t�T är en normaliserad Wienerprocess i tidsintervallet[0; T ] relativt ett sannolikhetsrum (;F ; P ): Obligationens prisprocess gesav ekvationen
B(t) = B(0)ert; 0 � t � T:Här är �; �; S(0); B(0) och r reella konstanter varav de fyra sista är positiva.Om vi inför � = �+ �2
2så följer att
E [S(t)] = S(0)e�t
varför � kan uppfattas som aktieprisets medelavkastning per tidsenhet. Storheten
� =�� r�
kallas marknadspriset för risk. Vi inför nu processen
W �(t) =W (t) + �t; 0 � t � T
90
och noterar att
Ft = �(S(u);u � t) = �(W (u);u � t)
= �(W �(u);u � t); 0 � t � T:Cameron-Martins sats garanterar attW � är enWienerprocess relativt måttetQ; där
dQ = e��W (T )��2
2TdP:
De�nitionerna ger att
S(t)
B(t)=S(0)
B(0)e(��r)te�
�2
2t+�W (t) =
S(0)
B(0)e�
�2
2t+�W�(t); 0 � t � T
varför processen
(S(t)
B(t);Ft)0�t�T
är en martingal relativt sannolikhetsrummet (;F ; Q). Vi säger därför attprocessen
(S(t)
B(t))0�t�T
är en Q-martingal. Sannolikhetsmåttet Q kallas för martingalmåttet i Black-Scholes modell.Antag nu att g 2 P: Om ett betingat kontrakt utbetalar beloppet Y
= g(S(T )) slutdagen T och � = T � t � 0 så följer att
B(t)EQ�Y
B(T )j Ft�= e�r�EQ [g(S(T )) j Ft]
= e�r�EQhg(S(t)e(��
�2
2)(T�t)+�(W (T )�W (t))) j Ft
i= e�r�EQ
hg(S(t)e(r�
�2
2)(T�t)+�(W�(T )�W�(t))) j Ft
i= e�r�EQ
hg(se(r�
�2
2)(T�t)+�(W�(T )�W�(t)))
ijs=S(t)
= e�r�EQhg(se(r�
�2
2)�+�W�(�))
ijs=S(t)
= e�r�Ehg(se(r�
�2
2)�+�W (�))
ijs=S(t)
= �Y (t)
91
där �Y (t) som vanligt betecknar derivatets pris vid tiden t: Processen
(�Y (t)
B(t))0�t�T
är således en Q-martingal:Vi skall nu de�niera begreppet Markovprocess i kontinuerlig tid. Låt
X = (X(t))t�0 vara en reellvärd stokastisk process och Ft = �(X(s); s � t)för varje t: Processen X sägs vara en Markovprocess om det för varje s � tgäller att
E [f(X(t)) j Fs] = E [f(X(t)) j X(s)]för varje begränsad Borelfunktion f : R! R:Man kan visa att enMarkovproc-sess uppfyller relationen
E [f(X(t1); :::; X(tn)) j Fs] = E [f(X(t1); :::; X(tn)) j X(s)]
för alla s � t1 < ::: < tn och varje begränsad Borelfunktion f : Rn! R:Begreppet Markovprocess med tidsparametermängden I; där I är ett delin-tervall av intervallet [0;1[, de�nieras analogt.Markovprocesser i kontinuerlig tid kan illustreras med lösningar till våra
vanligaste stokastiska di¤erentialekvationer. Som ett exempel antags att �och � är kontinuerliga deterministiska funktioner i intervallet [0; T ] och att� 2 L2 [0; T ] : Vi vill lösa den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) = (�(t) + �(t)X(t))dt+ �(t)dW (t); 0 � t � T
med begynnelsevärdet x0 2 R: Ekvationen skrivs på formen
dX(t)� �(t)X(t)dt = �(t)dt+ �(t)dW (t)
och vi hittar lätt en integrerande faktor
e�B(t)
där
B(t) =
Z t
0
�(u)du:
Efter multiplikation med den integrerande faktorn kan ekvationen skrivas
d(e�B(t)X(t)) = �(t)e�B(t)dt+ �(t)e�B(t)dW (t)
92
och vi får att
X(t) = eB(t)x0 +
Z t
0
�(u)eB(t)�B(u)du+
Z t
0
�(u)eB(t)�B(u)dW (u):
Detta visar att �-algebrorna Ft = �(X(s); s � t) och �(W (u+ a)�W (u));u � t; a � 0) är stokastiskt oberoende.Om s � t får vi att
e�B(t)X(t) = e�B(s)X(s) +
Z t
s
�(u)e�B(u)du+
Z t
s
�(u)e�B(u)dW (u)
dvs
X(t) = K(t; s)X(s) +
Z t
s
�(u)K(t; u)du+
Z t
s
�(u)K(t; u)dW (u)
därK(t; s) = eB(t)�B(s):
Om f : R! R är en begränsad Borelfunktion blir det betingade väntevärdetE [f(X(t)) j X(s)] är lika med
E
�f(K(t; s)X(s) +
Z t
s
�(u)K(t; u)du+
Z t
s
�(u)K(t; u)dW (u)) j X(s)�
= E
�f(y +
Z t
s
�(u)K(t; u)du+
Z t
s
�(u)K(t; u)dW (u))
�y=K(t;s)X(s)
enligt sats 3. Om s1 < s2 < ::: < s så visar samma sats att det betingadeväntevärdet E [f(X(t)) j X(s1); ::; X(s)] är lika med
E
�f(K(t; s)X(s) +
Z t
s
�(u)K(t; u)du+
Z t
s
�(u)K(t; u)dW (u)) j X(s1); ::; X(s)�
= E
�f(y +
Z t
s
�(u)K(t; u)du+
Z t
s
�(u)K(t; u)dW (u))
�y=K(t;s)X(s)
och det följer attE [f(X(t)) j Fs]
= E
�f(y +
Z t
s
�(u)K(t; u)du+
Z t
s
�(u)K(t; u)dW (u))
�y=K(t;s)X(s)
:
93
Alltså ärE [f(X(t)) j Fs] = E [f(X(t)) j X(s)]
och vi har visat att processen (X(t))t�0 är en Markovprocess.Följande resultat har bl a tillämpningar i samband �era exotiska optioner.
Sats 5. Antag x > 0 och x � y: Då är
P
�max0�t�1
W (t) � x; W (1) � y�= P [W (1) � 2x� y]
= �(y � 2x):
Sats 5 härleds ofta med hjälp av den så kallade starka Markovegenskapen,som går tillbaka till �eldmedaljören Hunts arbeten under andra hälften av1950-talet. Sats 5 ingår i �era kurser i forskarutbildningen. Vårt bevis ärmindre stringent.
�Bevis på Bacheliers vis [BA]�. Antag N är ett stort positivt heltal ochlåt (Xk)
Nk=1 vara en i.i.d. sådan att
P [X1 = 1] = P [X1 = �1] =1
2:
Vi följer kursen Optioner och matematik och approximerar den normaliseradeWienerprocessen med en process WN som har kontinuerliga trajektorier ochsom är a¢ n i varje intervall
�nN; n+1N
�; n = 0; 1; 2; ::: : Vidare föreskrivs att
WN(n
N) =
1pN
nXk=1
Xk; n = 0; 1; 2; ::: .
Fixera j � i; där i 2 N+ och j 2 Z: Vi nöjer oss med att visa att
P
�max1�n�N
WN(n
N) � ip
N; WN(1) �
jpN
�
= P
�max1�n�N
WN(n
N) � ip
N; WN(1) �
2i� jpN
�
94
dvs
P
�max1�n�N
WN(n
N) � ip
N; WN(1) �
jpN
�= P
�WN(1) �
2i� jpN
�:
Nu är
P
�max1�n�N
WN(n
N) � ip
N; WN(1) �
jpN
�
= P
"max1�n�N
nXk=1
Xk � i;nXk=1
Xk � j#
=NXm=1
P
"X1 < i; :::;
m�1X�=1
X� < i;mX�=1
X� = i; i+NX
�=m+1
X� � j#
=NXm=1
P
"X1 < i; :::;
m�1X�=1
X� < i;mX�=1
X� = i; i�NX
�=m+1
X� � j#
=NXm=1
P
"X1 < i; :::;
m�1X�=1
X� < i;mX�=1
X� = i; i+NX
�=m+1
X� � 2i� j#
= P
"max1�n�N
nXk=1
Xk � i;NXk=1
Xk � 2i� j#
= P
�max1�n�N
WN(n
N) � ip
N; WN(1) �
2i� jpN
�vilket avslutar beviset för satsen. []
Antag återigen att x > 0 och x � y och låt t > 0: Skalningsegenskapenför Wienerprocessen ger
P
�max0�u�t
W (u) � x; W (t) � y�= P
�max0�u�1
W (tu) � x; W (1t) � y�
= P
�max0�u�1
W (u) � xpt; W (1) � yp
t
�
95
= �(y � 2xp
t):
Härav erhålls också att
P
�max0�u�t
W (u) < x; W (t) � y�= P [ W (t) � y]
�P�max0�u�t
W (u) � x; W (t) � y�= �(
ypt)� �(y � 2xp
t):
Notera att Lebesgues majorantsats nu ger att
P
�max0�u�t
W (u) � x; W (t) � y�= �(
ypt)� �(y � 2xp
t)
eftersom funktionen � är kontinuerlig. Låt
�0 = �:
Den 2-dimensionella stokastiska variabeln (max0�u�tW (u);W (t)) har därförfrekvensfunktionen f(x; y) given av att
f(x; y) =2(2x� y)t3=2
�(y � 2xp
t); x > 0; y � x
och f(x; y) = 0 för övriga x och y:Vi kan nu visa följande sats.
Sats 6. Låt � 2 R och � > 0: Sätt
X(t) = �t+ �W (t); t � 0
och antag att x > 0; x � y och t > 0: Då är
P
�max0�u�t
X(u) � x; X(t) � y�= �(
y � �t�pt)� e
2�x�2 �(
y � 2x� �t�pt
):
Den 2-dimensionella stokastiska variabeln (max0�u�tX(u); X(t)) har frekvens-funktionen
96
f�;�(x; y) =2(2x� y)�3t3=2
�(y � 2x�pt)e
�y� 12�
2t
�2 ; x � 0; y � x
och f�;�(x; y) = 0 för övriga x och y:
Bevis. Antag först att � = 1 och sätt
dQ = e��W (t)��2t2 dP:
Cameron-Martins sats medför att processen (X(u))0�u�t är en normaliseradWienerprocess i tidsintervallet [0; t] relativt måttet Q: Härav följer att
P
�max0�u�t
X(u) � x; X(t) � y�
= Q
�e�W (t)+�2t
2 ; max0�u�t
X(u) � x; X(t) � y�
= Q
�e�X(t)�
�2t2 ; max
0�u�tX(u) � x; X(t) � y
�=
Z x
0
Z y
�1e���
�2t2 f0;1(�; �)d�d�
=
Z y
�1e���
�2t21pt(�(
�pt)� �(� � 2xp
t))d�
= �(y � �tp
t)� e2�x�(y � 2x� �tp
t):
För godtyckligt � > 0 följer nu att
P
�max0�u�t
X(u) � x; X(t) � y�
= P
�max0�u�t
X(u)=� � x=�; X(t)=� � y=��
= �(y=� � (�=�)tp
t)� e2(�=�)(x=�)�(y=� � 2x=� � (�=�)tp
t)
= �(y � �t�pt)� e
2�x�2 �(
y � 2x� �t�pt
):
97
Det analytiska uttrycket för f�;�(x; y) erhålls genom derivering, vilketavslutar beviset för sats 6.
Följande exempel har stort intresse inom spelteori.
Exempel 1. Antag x > 0 och sätt
� = inf ft > 0; �t+ �W (t) � xg
med konventionen att in�mum över tomma mängden är 1: Då är för �xtt > 0;
P [� > t] = P
�max0�u�t
(�u+ �W (u)) < x
�= �(
x� �t�pt)� e
2�x�2 �(
�x� �t�pt):
Om � < 0 så följer att
P [� =1] = 1� e2�x�2 > 0:
Sannolikheten är alltså positiv att processen (�t + �W (t))t�0 aldrig trä¤arpunkten x:Om � � 0 gäller dock att
P [� =1] = 0
dvs processen (�t+�W (t))t�0 trä¤ar punkten x vid någon tidpunkt med san-nolikheten ett. I fallet utan drift dvs � = 0 så har � ett oändligt väntevärdety
P [� > t] = 2�(x
�pt)� 1
ger att
E [� ] =
Z 1
0
x
�t1=2p2�e�
x2
2�2tdt =1:
Om � > 0 visar man lätt att E [� ] <1: []
98
Vi avslutar detta kapitel med att visa följande sats.
Sats 7. Händelsen
f! 2 ; Wt(!) saknar derivata i varje tidpunkt t � 0g
har sannolikheten ett.
Bevis. Det räcker att visa att händelsen
AT = f! 2 ; Wt(!)är deriverbar i någon tidpunkt t 2 [0; T ]g
har sannolikheten noll för varje T > 0. Genom skalning inses sedan att deträcker att visa att händelsen A1 har sannolikheten noll.Låt nu B(c; ") vara mängden av alla ! 2 sådana att det existerar
s 2 [0; 1] så att
j W (t)�W (s) j� c j t� s j om t 2 [s� "; s+ "] \ [0; 1]
där c; " > 0: Observera att
A1 �1[j=1
1[k=1
B(j;1
k):
Det räcker därför att visa att P [B(c; ")] = 0 för alla c; " > 0:Vi �xerar nu c; " > 0 och låter m vara ett strikt positivt heltal som
preciseras längre fram i beviset. Sätt
Xn;k = maxk�j<k+m
j W (j + 1n)�W ( j
n) j
för varje heltal n > m och heltal k 2 f0; :::; n�mg :Låt n > m från och med nu vara så stort att
m
n� ":
Vi påstår att
B(c; ") ��min
0�k�n�mXn;k � 2c
m
n
�:
99
Om ! 2 B(c; ") existerar s 2 [0; 1] så att
j W (t)�W (s) j� c j t� s j om t 2 [s� "; s+ "] \ [0; 1] :
Välj ett k 2 f0; :::; n�mg så att
s 2�k
n;k
n+m
n
�:
Om k � j < k +m följer att
j W (j + 1n)�W ( j
n) j�jW (j + 1
n)�W (s) j + j W (s)�W ( j
n) j
� 2cmn
och därmed är Xn;k � 2cmn : Vi har alltså visat att
B(c; ") ��min
0�k�n�mXn;k � 2c
m
n
�och det räcker därför att visa att
limn!1
P
�min
0�k�n�mXn;k � 2c
m
n
�= 0:
Men
P
�min
0�k�n�mXn;k � 2c
m
n
��
n�mXk=0
PhXn;k � 2c
m
n
i= (n�m)P
hXn;0 � 2c
m
n
i� nP
hXn;0 � 2c
m
n
i= n(P
�j W ( 1
n) j� 2cm
n
�)m = n(P (j W (1) j� 2c mp
n)m
� n( 1p2�4cmpn)m:
Om vi från början valt m = 3 så följer att högra ledet går mot noll dån!1; vilket visar satsen. []
100
En annan märklig egenskap för Brownsk rörelse framkommer genomKhintchinesitererade logaritmlag som innebär att
P
"lim supt!0+
W (t)p2t ln(ln 1=t)
= 1
#= 1
och
P
"lim inft!0+
W (t)p2t ln(ln 1=t)
= �1#= 1
(se t ex [McK]). Speciellt följer härav att händelsen�W (t) > 0 för oändligt många t 2 [0; �] ochW (t) < 0 för oändligt många t 2 [0; �]
�har sannolikheten ett för varje � > 0 . Om (S(t))t�0 betecknar ett aktieprisi Bachelier-Samuelsons modell så följer t o m att händelsen�
S(t) > S(0) för oändligt många t 2 [0; �] ochS(t) < S(0) för oändligt många t 2 [0; �]
�har sannolikheten ett för varje � > 0 . Om den reellvärda funktionen a(t);0 � t � T; är kontinuerlig och uppfyller a(0) = S(0) så kan man också visaatt
P [j S(t)� a(t) j< "; alla 0 � t � T ] > 0för alla " > 0: Så kallade prisbubblor för enskilda aktier strider alltså intedirekt mot Bachelier-Samuelsons modell såvida de inte upprepas alltför ofta.
Övningar
1. Låt (Xn)1n=1 vara en i.i.d. där varjeXn 2 N(0; 1): SättFn = �(X1; :::; Xn)
ochMn = e
X1+:::+Xn�n2 ; n = 1; 2; ::: :
Visa att (Mn;Fn)1n=1 är en martingal.
2. Betrakta en sekvens reellvärda stokastiska variabler (Mn)1n=1 och en
sekvens (Fn)1n=1 av �-algebror. Visa att sekvensen (Mn;Fn)1n=1är enmartingal om det för varje n � 1 gäller att
101
(i)Fn � Fn+1( ii)�(Mn) � Fn(iii) Mn 2 L1(P ) och Mn = E [Mn+1 j Fn] :
3. Visa att en reellvärd stokastisk process (Un)1n=1 har Markovegenskapenom
E [f(Un+1) j U1; :::; Un] = E [f(Un+1) j Un] ; n � 1;
för varje begränsad Borelfunktion f : R!R.
4. Betrakta binomialmodellen med T tidssteg och låt h = (hS; hB) varaen själv�nansierande strategi. a) Visa att
e�rtVh(t) = Vh(0) +tX
k=1
hS(k)(e�rkS(k)� e�r(k�1)S(k � 1)):
(Ledning: Om
A(t) = (e�rtS(t); B(0)) = ( ~S(t); B(0))
så följer att
Vh(0) +tX
k=1
hS(k)( ~S(k)� ~S(k � 1))
= Vh(0) +tX
k=1
h(k) � (A(k)� A(k � 1)):
Gruppera därefter om termerna.) b) Ge ett alternativt bevis för sats 4med hjälp av del a).
5. Visa att processen W 3(t)� 3tW (t); t � 0; är en Wienermartingal.
6. Antag u(t; x) = x4 + 7x3 � 6tx2 � 21tx + 3t2; t � 0; x 2 R. Visa attprocessen (u(t;W (t)))t�0 är en Wienermartingal.
7. Visa att processen(e�
t2 coshW (t))t�0
är en Wienermartingal.
102
8. Antag att U = (U(t))t2R är en normaliserad Ornstein-Uhlenbeckprocessdvs U är en centrerad Gaussprocess med kovariansen
E [U(s)U(t)] = e�js�tj2 :
Visa att U är en Markovprocess.
9. Visa att processen(e�
t2W (et))t2R
är en normaliserad Ornstein-Uhlenbeckprocess.
10. (Bachelier-Samuelsons modell) Antag S(0) = 100; � = 0:1 och � =0:3: Beräkna sannolikheten att aktiepriset någon gång överstiger 120 itidsintervallet [0; 1] :
11. Antag X(t) = �t+ �W (t); 0 � t � T; där � 2 R och � > 0: Beräkna
E�eM�
dåM = max
0�t�TX(t):
(SVAR: 2(�+�2)
2�+�2e(�+
�2
2)T�((� + �
�)pT ) + 2�
2�+�2�(��
�
pT ))
12. Antag Ft = �(W (u); u � t); t � t1 � ::: � tn; och låt f : Rn ! R varaen begränsad Borelfunktion. Visa att
E [f(W (t1); :::;W (tn)) j Ft]
= E [f(x+W (t1 � t); :::; x+W (tn � t))]jx=W (t)
13. Antag 0 < a < b: Beräkna sannolikheten att W (t) = 0 för något t 2[a; b] :
14. Bestäm
P
�max0�t�T
Z t
0
�(s)dW (s) � x�
då � 2 L2 [0; T ] :
103
5. Värdepappersteorins två huvudsatser
I det här kapitlet visas versioner av värdepappersteorins två huvudsatserdär tiden och det underliggande utfallsrummet är ändliga. Värdepapperensprisdynamik tillåts vara mycket allmän och resultaten är av grundläggandebetydelse för �nansiell matematik. Motsvarande resultat i kontinuerlig tidkräver stora kunskaper i stokastisk analys och funktionalanalys och fallerutom ramen för denna kurs. För en utförligare framställning av ändligamarknadsmodeller än den vi ger nedan hänvisas till Elliotts och Kopps bok[EK] :Som utgångspunkt har vi alltså ett sannolikhetsrum (;F ; P ), där är
ändlig. Tiden förutsätts också vara ändlig och består av punkterna 0; 1; :::; T ,där T är ett positivt heltal. Dessutom är det givet en �ltration
F0 = f;, g � F1 � F2 � ::: � FT = F
och n+ 1 värdepapper med prisprocesserna
S1 = (S1(t))Tt=0; :::; Sn+1 = (Sn+1(t))
Tt=0:
Motsvarande vektorprisprocess betecknas
S = (S1(t); :::; Sn+1(t))Tt=0
och det förutsätts att den stokastiska variabeln S(t) = (S1(t); :::; Sn+1(t)) ärFt-mätbar i varje tidpunkt t: Det är naturligt att uppfatta Ft som den kändainformationen vid tiden t: I fortsättningen antages alltid att
Sn+1(t) > 0; t = 0; :::; T:
Eftersom är ändlig genereras �-algebran F av en partition. Det förut-sätts att varje element i partitionen har positiv sannolikhet. Det är därföringen begränsning att antaga att
= f!1; :::; !dg ;
F = 2
ochP [f!kg] > 0; k = 1; :::; d:
104
OmX är en reellvärd F-mätbar stokastisk variabel så gäller därför attX = 0n.s. med avseende på P om och endast om X(!) = 0 för alla ! 2 :En modell som ovan kallas en ändlig marknadsmodell.En Rm-värd stokastisk process (X(t))Tt=1 sägs vara predikterbar om X(t)
är Ft�1- mätbar för t = 1; :::; T: En strategi
h = (h(t))Tt=0
är enRn+1-värd stokastisk process sådan processen (h(t))Tt=1 att predikterbaroch h(0) = h(1): Motsvarande värdeprocess ges av
Vh(t) = h(t) � S(t) =n+1Xi=1
hi(t)Si(t); t = 0; :::; T:
Strategin sägs vara själv�nansierande om
Vh(t) = h(t+ 1) � S(t); t = 1; :::; T � 1:
Om (a(t))Tt=0 är en vektorvärd sekvens de�nieras di¤erensen
4a(t) = a(t)� a(t� 1); t = 1; :::; T:
Sats 1. Om h är en strategi så är h själv�nansierande om och endast om
4Vh(t) = h(t) � 4S(t); t = 1; :::; T:
Bevis. De�nitionerna ger för t = 1; :::; T att
4Vh(t) = h(t) � S(t)� h(t� 1) � S(t� 1)
ochh(t) � 4S(t) = h(t) � S(t)� h(t) � S(t� 1)
vilket visar att4Vh(t) = h(t) � 4S(t); t = 1; :::; T
om och endast om
h(t� 1) � S(t� 1) = h(t) � S(t� 1); t = 1; :::; T
105
vilket visar påståendet. []
Om h är en strategi de�nieras den så kallade vinstprocessenGh = (Gh(t))Tt=0av att
Gh(0) = 0
ochGh(t) = h(1) � 4S(1) + :::+ h(t) � 4S(t); t = 1; :::; T:
Sats 2. Strategin h är själv�nansierande om och endast om
Vh(t) = Vh(0) +Gh(t); t = 0; 1; :::; T:
Bevis. Antag t 2 f1; :::; Tg : Det gäller att
Vh(t)� Vh(0) =tX
u=1
4Vh(u):
Om h är själv�nansierande visar sats 1 att
Vh(t)� Vh(0) =tX
u=1
h(u) � 4S(u) = Gh(t):
Omvänt om den senare relationen är sann så följer att
4Vh(t) = 4(Vh(t)� Vh(0)) = h(t) � 4S(t)
och sats 1 visar att h är själv�nansierande. []
En arbitragestrategi, eller helt enkelt ett arbitrage, är en själv�nansierandestrategi h sådan att
Vh(0) = 0; Vh(T ) � 0 och E [Vh(T )] > 0:
Vi skall närmast försöka ge nödvändiga och tillräckliga villkor för att arbi-trage skall saknas i vår värdepappersmodell. För den skull väljs Sn+1 somnumerär och vi de�nierar
�S(t) = ( �S1(t); :::; �Sn+1(t)) =S(t)
Sn+1(t):
106
Observera att den stokastiska variabeln �S(t) är Ft-mätbar i varje tidpunktt: Om h är en strategi betecknar �Vh värdeprocessen och �Gh vinstprocessenrelativt prisprocessen �S. Eftersom
h(t) � S(t) = h(t+ 1) � S(t)
om och endast omh(t) � �S(t) = h(t+ 1) � �S(t)
så är h själv�nansierande (relativt prisprocessen S) om och endast om h ärsjälv�nansierande då Sn+1 används som numerär: I fortsättningen utnyttjasofta relationen
�Vh(t) =Vh(t)
Sn+1(t):
Det följer härav att vår värdepappersmodell är arbitragefri om och endastom modellen med prisprocessen �S är arbitragefri:Ett sannolikhetsmått Q de�nierat på �-algebran F kallas ett ekvivalent
martingalmått om Q och P är ekvivalenta och ( �S(t);Ft)Tt=0 är en martingalrelativt sannolikhetsmåttet Q:
Sats 3 (Värdepappersteorins första huvudsats) Modellen är arbitrage-fri om och endast om det existerar ett ekvivalent martingalmått.
Beviset för �endast om� delen i värdepappersteorins första huvudsatsbygger på följande lemma med a = 0: Allmänna fallet av detta lemma behövssenare i samband med värdepappersteorins andra huvudsats.
Lemma 1. Antag a är ett reellt tal och g = (g(t))Tt=1 en predikterbar processi Rn: Det �nns då en unik själv�nansierande strategi h sådan att �Vh(0) = aoch
(h1(t); :::; hn(t)) = g(t); t = 1; :::; T:
Bevis. De�niera först (h1(t); :::; hn(t)) = g(t); t = 1; :::; T: Vi de�nierardärefter hi(0) = hi(1); i = 1; :::; n; och hn+1(0) så att
nXi=1
hi(0) � �Si(0) + hn+1(0) = a:
107
Observera här att �Sn+1(t) = 1 för alla t: Storheten (h1(0); :::; hn+1(0)) är enkonstant vektor. Sätt hn+1(1) = hn+1(0) så att h(0) = h(1): Vi de�nierar nuinduktivt hn+1(t); t = 2; :::; T; så att
nXi=1
hi(t) � �Si(t) + hn+1(t) =nXi=1
hi(t+1) � �Si(t) + hn+1(t+1); t = 1; :::; T � 1:
Det följer av de�nitionen att processen (h(t))Tt=1 är predikterbar och att här själv�nansierande med Sn+1 som numerär och därmed själv�nansierande(relativt prisprocessen S): Entydighetsfrågan i lemmat följer också av kon-struktionen av hn+1: []
Bevis av sats 3. (: Antag Q är ett ekvivalent martingalmått och låt hvara en själv�nansierande strategi sådan att Vh(0) = 0 och Vh(T ) � 0: Viskall visa att Vh(T ) = 0 n.s. med avseende på P: Det räcker därför att visaatt �Vh(T ) = Vh(T )=Sn+1(T ) = 0 n.s. med avseende på Q eftersom P och Qär ekvivalenta.Om t 2 f1; ::; Tg så är
EQ�h(t) � 4 �S(t)
�= EQ
�EQ�h(t) � 4 �S(t) j Ft�1
��= EQ
�h(t) � EQ
�4 �S(t) j Ft�1
��= EQ [h(t) � 0] = 0:
Eftersom
�Vh(T ) = �Vh(0) + �Gh(t) = 0 +TXt=1
h(t) � 4 �S(t)
följer attEQ��Vh(T )
�= 0:
Men �Vh(T ) � 0 så vi kan dra slutsatsen att �Vh(T ) = 0 n.s. med avseende påQ:
): Låt �Sn(t) = ( �S1(t); :::; �Sn(t)); t = 1; :::; n:Om g = (g(t))Tt=1 är enRn-värdpredikterbar process de�nieras
Hg = g(1) � 4 �Sn(1) + :::+ g(T ) � 4 �Sn(T ):
Enligt lemma 1 �nns en själv�nansierande strategi h sådan att �Vh(0) = 0 och
�Vh(T ) = �Vh(0) + �Gh(t)
108
= 0 +TXt=1
h(t) � 4 �S(t) = Hg:
Eftersom modellen saknar arbitrage måste Hg =2 C, där
C =�Y 2 L2(;F ; P ); Y � 0 och Y (!k) > 0 för något k = 1; :::; d
:
Vi de�nierar nu ett linjärt rum
L =�Hg; g = (g(t))Tt=1 predikterbar process i R
n
och en konvex mängd
K = fY 2 C; E [Y ] = 1g :
Det gäller attK \ L = ;:
MängdenK är en kompakt delmängd av det ändligtdimensionella Hilbertrum-met L2(;F ; P ): Enligt separationssatsen för kompakt konvex mängd ochslutet delrum i Hilbertrum �nns ett Z 2 L2(;F ; P ) så att
E [(Hg)Z] = 0 om g = (g(t))Tt=1 predikterbar process i Rn
ochE [Y Z] > 0; om Y 2 K:
Notera att
Z(!k) = E
�1f!kgP [f!kg]
Z
�> 0; k = 1; :::; d:
Vi de�nierar nu ett ett sannolikhetsmått Q på F genom att sätta
dQ =Z
E [Z]dP:
Sannolikhetsmåtten P och Q är ekvivalenta och
EQ [Hg] = 0; om g = (g(t))Tt=1 predikterbar process i Rn:
Låt nu u 2 f1; :::; Tg vara �xt och antag g = (g(t))Tt=1är en predikterbarprocess i Rn sådan att g(t) = 0 om t 6= u: Härav följer att
0 = EQ [Hg] = EQ�g(u) � 4 �Sn(u)
�:
109
Detta visar att processen ( �Sn(t);Ft)Tt=1 är en Q-martingal varför processen( �S(t);Ft)Tt=1 också är en Q-martingal. []
Ett så kallat betingat kontrakt är ett värdepapper, som ger innehavarenett belopp Y vid tiden T; där Y är en given FT -mätbar stokastisk variabel. Ifortsättningen identi�eras kontraktet och Y . Kontraktet är replikerbart omdet existrerar en själv�nansierande strategi h sådan att Vh(T ) = Y:Modellenkallas komplett om varje betingat kontrakt kan replikeras.
Sats 4. Antag modellen är arbitragefri och låt Y vara ett betingat kontrakt.Om h är en själv�nansierande strategi som replikerar Y så gäller att
Vh(t) = Sn+1(t)EQ
�Y
Sn+1(T )j Ft�; t = 0; 1; ::; T
för varje ekvivalent martingalmått Q:
Bevis. Låt Q vara ett ekvivalent martingalmått. Sats 2 tillämpad med Sn+1som numerär visar att
�Vh(t) = �Vh(0) + �Gh(t)
och det följer att
�Vh(T ) = �Vh(t) +
TXu=t+1
h(u) � 4 �S(u):
Eftersom �S = ( �S(t);Ft)Tt=0 är en Q-martingal följer för t+ 1 � u � T att
EQ�h(u) � 4 �S(u) j Ft
�= EQ
�EQ�h(u) � 4 �S(u) j Fu�1
�j Ft�
= EQ�h(u) � EQ
�4 �S(u) j Fu�1
�j Ft�= EQ [h(u) � 0 j Ft] = 0:
Det gäller därför att
EQ��Vh(T ) j Ft
�= EQ
��Vh(t) j Ft
�= �Vh(t)
110
dvs
EQ�
Y
Sn+1(T )j Ft�=
Vh(t)
Sn+1(t)
vilket visar satsen. []
Sats 5 (Värdepappersteorins andra huvudsats) Antag modellen är ar-bitragefri. Modellen är komplett om och endast om det �nns exakt ett ekvi-valent martingalmått.
Bevis. ): Antag X är en FT -mätbar stokastisk variabel och Q0 och Q1två ekvivalenta martingalmått. Sätt Y = Sn+1(T )X och välj en själv�nan-sierande strategi h som replikerar Y: Sats 4 ger att
Vh(0) = Sn+1(0)EQi
�Y
Sn+1(T )
�; i = 0; 1:
Alltså är
EQ0 [X] = EQ1�
Y
Sn+1(T )
�= EQ2
�Y
Sn+1(T )
�= EQ1 [X] :
De två sannolikhetsmåtten Q0 och Q1 är alltså lika.
(: Det ekvivalenta martingalmåttet betecknas med Q: Vi låter H ha sammamening som i beviset för värdepappersteorins första huvudsats dvs om g =(g(t))Tt=1 är en R
n-värd predikterbar process så ges Hg av ekvationen
Hg = g(1) � 4 �Sn(1) + :::+ g(T ) � 4 �Sn(T ):
Vi de�nierar nu det linjära rummet
L =�a+Hg; a 2 R och g = (g(t))Tt=0är en predikterbar process i R
n
och visar först att L = L0(;F ; Q) = L2(;F ; Q): I motsatt fall �nns en-ligt separationssatsen för punkt och slutet delrum i Hilbertrum ett Z 2L2(;F ; Q) sådant att Z 6= 0 och
EQ [Y Z] = 0 om Y 2 L:
111
Genom att välja Y = 1 följer att EQ [Z] = 0: AntagM är ett reellt tal sådantatt M > Z och de�niera ett mått Q0 på F genom att
dQ0 = (1 +Z
M)dQ:
Måttet Q0 är ett sannolikhetsmått ekvivalent med Q: Om Y 2 L så är
EQ0[Y ] = EQ
�Y +
1
MY Z
�
= EQ [Y ] +1
MEQ [Y Z] = EQ [Y ] :
Speciellt gäller att
EQ0[Hg] = 0; om g = (g(t))Tt=1är en predikterbar process i R
n.
Härav följer som i beviset för värdepappersteorins första huvudsats att ( �S(t);Ft)Tt=0är en Q0-martingal. Både Q och Q0 är alltså ekvivalenta martingalmåttoch eftersom måtten är olika har vi fått en motsägelse. Alltså gäller attL = L0(;F ; Q):Låt nu Y 2 L0(;F ; Q) vara godtyckligt. Vi skall visa att Y är repliker-
bar. Sätt därför
X =Y
Sn+1(T ):
Eftersom L = L0(;F ; Q) �nns ett reellt tal a och en predikterbar processg = (g(t))Tt=1 i R
n sådan att X = a + Hg: Enligt lemma 1 �nns en själv-�nansierande strategi h sådan att �Vh(0) = a och (h1(t); :::; hn(t)) = g(t);t = 1; :::; n: Då är
X = �Vh(0) + �Gh(T ) = �Vh(T ) = h � �S(T )
och det följer att Y = h � S(T ) = Vh(T ): []
Antag Y är ett replikerbart betingat kontrakt. Ommodellen är arbitagefrioch Q betecknar ett ekvivalent martingalmått så är enligt sats 4 uttrycket
�Y (t) = Sn+1(t)EQ
�Y
Sn+1(T )j Ft�
112
oberoende av valet av ekvivalent martingalmått Q och kallas för det ar-bitragefria priset för Y vid tiden t: Om modellen både är arbitragefri ochkomplett så har således varje betingat kontrakt ett arbitragefritt pris.
Exempel 1. Betrakta följande värdepappersmodell bestående av en aktieoch en obligation där tiden t är lika med 0 eller 1. Aktiens pris vid tiden tbetecknas med S(t) och obligationens pris vid tiden t betecknas med B(t):Låt x1; x2 och x3 vara reella tal sådana att x1 < x2 < x3 och antag att
S(1) = S(0)eX
där S(0) är en positiv konstant och X: ! fx1; x2; x3g är en stokastiskvariabel sådan att pi = P [X = xi] > 0; i = 1; 2; 3: Vidare gäller att
B(1) = B(0)er
där B(0) är r är positiva konstanter.Vi undersöker först under vilka villkor på parametrarna x1; x2; x3 och r
som modellen saknar arbitrage? Antag först det �nns ett arbitrage dvs det�nns reella hS och hB så att
hSS(0) + hBB(0) = 0
ochhSS(0)e
xi + hBB(0)er � 0; i = 1; 2; 3
där strikt olikhet inträ¤ar för något i. Sätts a = hSS(0) så följer att
a(exi � er) � 0; i = 1; 2; 3
där strikt olikhet inträ¤ar för något i: Alltså måste r =2 ]x1; x3[ : Omvänt omdet gäller att r =2 ]x1; x3[ så kan vi följa resonemanget från andra hållet ochde�niera ett arbitrage.I fortsättningen antags att modellen är arbitragefri dvs x1 < r < x3 och
vi representerar X som identitetsavbildningen i mängden = fx1; x2; x3g :Det gäller att
P = p1�x1 + p2�x2 + p3�x3
113
där pi > 0; i = 1; 2; 3: Det �nns många ekvivalenta martingalmått i dettafall. Antag nämligen att
Q = q1�x1 + q2�x2 + q3�x3
där qi > 0; i = 1; 2; 3 ochq1 + q2 + q3 = 1
samt attS(0) = e�rEQ [S(1)]
dvsex1�rq1 + e
x2�rq2 + ex3�rq3 = 1:
Här ärex1�r < 1 < ex3�r
så det blir uppenbart genom att rita en �gur att det �nns oändligt mångaekvivalenta martingalmått.Antag fr o m nu r < x2. Det är lätt att se att q3 är olika för olika
martingalmått. Vi de�nierar slutligen ett betingat kontrakt Y sådant attY (x1) = Y (x0) = 0 och Y (x3) = 1: Det reella talet
e�rEQ [Y ] = e�rq3
är alltså beroende av vilket ekvivalent martingalmått Q som valts. Sats 4visar att kontraktet Y inte är replikerbart, vilket också är lätt att direktveri�era.Att i en arbitragefri modell de�niera priset för ett icke replikerbart betingat
kontrakt faller utom ramen för denna kurs. []
Med hjälp av resultaten i detta kapitel kan man ana Black-Scholes pris förett �nansiellt derivat. Vi repeterar att det i Black-Scholes värdepappersmod-ell �nns en aktie och en obligation. Aktiens prisprocess ges av ekvationen
S(t) = S(0)e�t+�W (t); 0 � t � T
där W = (W (t))0�t�T är en normaliserad Wienerprocess i tidsintervallet[0; T ] : Obligationens prisprocess ges av ekvationen
B(t) = B(0)ert; 0 � t � T:
114
Här är �; �; S(0); B(0) och r reella konstanter varav de fyra sista är positiva.Om vi inför � = �+ �2
2så följer att
S(t)
B(t)=S(0)
B(0)e(��r)te�
�2
2t+�W (t):
Genom att de�niera marknadspriset för risk
� =�� r�
ochW �(t) =W (t) + �t; 0 � t � T
så följer attS(t)
B(t)=S(0)
B(0)e�
�2
2t+�W�(t):
Vidare garanterar Cameron-Martins sats att det �nns ett sannolikhetsmåttQ ekvivalent med P så att W � är en Wienerprocess relativt måttet Q: Mendå är processen
S(t)
B(t)=S(0)
B(0)e�
�2
2t+�W�(t); 0 � t � T
en Wienermartingal relativt måttet Q:Sätt Ft = �(W (u); u � t); 0 � t � T; och antag g 2 P : Om ett betingat
kontrakt utbetalar beloppet Y = g(S(T )) slutdagen T och � = T � t � 0 såföljer att
B(t)EQ�Y
B(T )j Ft�= e�r�EQ [g(S(T )) j Ft]
= e�r�EQhg(S(t)e(��
�2
2)(T�t)+�(W (T )�W (t))) j Ft
i= e�r�EQ
hg(S(t)e(r�
�2
2)(T�t)+�(W�(T )�W�(t))) j Ft
i= e�r�EQ
hg(se(r�
�2
2)(T�t)+�(W�(T )�W�(t)))
ijs=S(t)
= e�r�EQhg(se(r�
�2
2)�+�W�(�))
ijs=S(t)
= e�r�Ehg(se(r�
�2
2)�+�W (�))
ijs=S(t)
115
dvs vi har fått Black-Scholes pris bekant bl a från kursen Optioner ochmatematik. Exempel 1 antyder emellertid att ovanstående inte är mycketvärt såvida kontraktet Y ej i någon lämplig mening är replikerbart. Viåterkommer till denna besvärliga punkt senare.
116
117
6. Några Gaussiska obligationsmodeller
En så kallad nollkupongsobligation med lösendag T och nominellt värde 1 ärett kontrakt som ger innehavaren beloppet 1 vid tiden T och sedan är bortafrån marknaden. Detta värdepapper kallas här en T -obligation: I fortsättnin-gen förutsätts att det �nns en T -obligation för varje T � 0 i vår matematiskamodell. Precis som i kapitel 1 betecknas T -obligationens pris vid tiden t medp(t; T ) och vi skriver
p(t; T ) = e�R(t;T )(T�t):
Storheten R(t; T ) kallas för (T � t)-räntan vid tiden t och kurvan
y = R(t; T ); T � t
kallas för avkastningskurvan vid tiden t: En matematisk modell för familjenav obligationspriser p(t; T ); 0 � t � T; T � 0; ger alltså en modell för denviktiga avkastningskurvan.Antag t � T < U och låt R(t; T; U) beteckna forwardräntan för perioden
[T; U ] kontrakterad vid tiden t: Kravet på arbitagefrihet medför att
p(t; U) = p(t; T )e�R(t;T;U)(U�T )
vilket inses av följande tabell.
tid t T U
handlingsälj en T -obligation
köp p(t;T )p(t;U)
st U -obligationer
kassa�öde 0 -1 p(t;T )p(t;U)
Vi förutsätter att gränsvärdet
f(t; T ) = limU!T
R(t; T; U)
existerar dvs derivatan
f(t; T ) = �@ ln p(t; T )@T
118
förutsätts existera. Storheten f(t; T ) kallas den momentana forwardräntanvid tiden T sedd från tidpunkten t: Under lämpliga regularitetsförutsät-tningar gäller att
p(t; U) = p(t; T )e�R UT f(t;u)du; t � T � U:
Den korta räntan r(t) vid tiden t de�nieras av ekvationen
r(t) = f(t; t):
SättB(t) = B(0)e
R t0 r(u)du; t � 0
där B(0) är en positiv konstant. Antag beloppet B(0) vid tiden 0 placeras ien obligation med närmast omedelbar inlösen och att det vid lösen utbetaladebeloppet omedelbart placeras i en obligation med närmast omedelbar inlösenosv. Kapitalet B(t) vid tiden t blir då
B(t) = B(0)eR t0 r(u)du:
Observera attdB(t) = r(t)B(t)dt:
Alternativt kan vi tänka oss att B(t) representerar banksaldot vid tiden t ombeloppet B(0) satts i banken vid tiden 0: I verkligheten �nns endast ändligtmånga obligationer så den senare tolkningen av B(t) kan vara den bästa.För att komma något närmare förutsättningarna i värdepappersteorins
huvudsatser kan man utan inskränkning antaga att
p(t; T ) = eR tT r(u)du om t > T:
Det förutsätts också att variablerna t och T tillhör ett �xt kompakt intervallsom betecknas med [0; Tfin] :Omman vill ge en matematisk modell för prisprocesserna (p(t; T ))t2[0;Tfin];
T 2 [0; Tfin] ; är det med tanke på värdepappersteorins huvudsatser naturligtatt försöka bestämma ett sannolikhetsrum (;F ; Q) och en �ltration
(Ft)t2[0;Tfin]
119
sådan att varje Ft � F : Dessutom skall B(t) och p(t; T ) vara Ft-mätbara föralla t 2 [0; Tfin] samt
(p(t; T )
B(t);Ft)t2[0;Tfin]
en martingal relativt Q: Speciellt gäller då för varje att t � T � Tfin att
p(t; T )
B(t)= EQ
�1
B(T )j Ft�
dvsp(t; T ) = EQ
he�
R Tt r(u)du j Ft
i:
Det är därför naturligt att börja experimentera med de ingående parame-trarna i högra ledet och undersöka om formeln kan generera rimliga avkast-ningskurvor. Ett �nansiellt derivat av europeisk typ som ger innehavarendet FT -mätbara beloppet Y 2 L2(Q) slutdagen T � Tfin bör i så fall ha detteoretiska priset
�Y (t) = EQhe�
R Tt r(u)duY j Ft
ivid tiden t � T: Observera att p(t; T ) = �Y (t) då Y = 1:I Vasiµceks modell antags att W är en reellvärd Wienerprocess relativt
sannolikhetsmåttet Q och att den korta räntan uppfyller ekvationen
dr(t) = (b� ar(t))dt+ �dW (t); 0 � t � Tfin
där informationen ges av �ltrationen Ft = �(r(s); s � t); t � Tfin: Här är a; boch � positiva konstanter. Eftersom den korta räntan blir en Markovprocessär
p(t; T ) = EQhe�
R Tt r(u)du j r(t)
i; om t � T
varför p(t; T ) = F (t; r(t); T ); där F är deterministisk.
Sats 1. I Vasiµceks modell gäller att
p(t; T ) = eA(t;T )�B(t;T )r(t)
därB(t; T ) =
1
a(1� e�a(T�t))
120
och
A(t; T ) =(B(t; T )� T + t)(ab� 1
2�2)
a2� �
2B2(t; T )
4a:
Bevis. Sätt r(t) = X(t) + c(t) så att
dX(t) + dc(t) = (b� aX(t)� ac(t))dt+ �dW (t):
Funktionen c(t) väljs så att
dc(t) = (b� ac(t))dt
och c(0) = 0: Detta ger
c(t) = e�atZ t
0
beaudu =b
a(1� e�at):
Vi löser nu ekvationen
dX(t) = �aX(t)dt+ �dW (t)
med den integrerande faktorn eat och får med beteckningen X(0) = r(0) att
X(t) = e�atr(0) + �e�atZ t
0
eaudW (u):
Processen X = (X(t))t�0 är Gaussisk med väntevärde
EQ [X(t)] = e�atr(0)
och kovarians
CovQ(X(s); X(t)) = �2e�a(s+t)EQ�(
Z s
0
eaudW (u)
Z t
0
eaudW (u))
�
= �2e�a(s+t)Z min(s;t)
0
e2audu =�2
2ae�a(s+t)(e2amin(s;t) � 1):
Sätt
Y =
Z T
0
X(t)dt:
121
Den stokastiska variabeln Y är Gaussiskt fördelad med väntevärde
EQ [Y ] =
Z T
0
EQ [X(t)] dt
=
Z T
0
e�atr(0)dt =r(0)
a(1� e�aT )
och varians
VarQ(Y ) = CovQ(Z T
0
X(s)ds;
Z T
0
X(t)dt)
=
Z T
0
Z T
0
CovQ(X(s); X(t))dsdt =�2
2a
Z T
0
Z T
0
e�a(s+t)(e2amin(s;t) � 1)dsdt
=�2
2a3(2aT � 3 + 4e�aT � e�2aT ):
Härav följer att
EQhe�
R T0 r(t)dt
i= e�
R T0 c(t)dtEQ
�e�Y
�=
= e�R T0
ba(1�e�at)dte�
r(0)a(1�e�aT )+ �2
4a3(2aT�3+4e�aT�e�2aT )
= eA(0;T )�B(0;T )r(0):
Eftersom A(0; T � t) = A(t; T ) and B(0; T � t) = B(t; T ) om t � T följerallmänna fallet direkt från fallet t = 0: []
Om det �nns ett marknadspris för T -obligationen vid tiden t betecknasdetta med med p�(t; T ): Antag vi be�nner oss vid tiden t = 0: Eftersomdet endast �nns ändligt många obligationer på marknaden existerar p�(0; T )endast för ändligt många värden på T . Genom någon lämplig form av skat-tning erhålls �ktiva marknadspriser p�(0; T ) för övriga värden på T � 0: Omdet råder en total överensstämmelse mellan teoretiska obligationspriser ochmotsvarande eventuellt skattade marknadspriser så skall det, enligt sats 1,för varje T � 0 gälla att
log p�(0; T )
=(B(0; T )� T )(ab� 1
2�2)
a2� �
2B2(0; T )
4a�B(0; T )r(0)
122
där
B(0; T ) =1
a(1� e�aT ):
Här �nns dock inte tillräckligt många parametrar att spela med för att ensådan överensstämmelse i praktiken skall kunna gälla. I Hull-Whites modell,som generaliserar Vasiµceks modell, ersätts konstanten b med en tidsberoendefunktion �(t) och det antags att
dr(t) = (�(t)� ar(t))dt+ �dW (t); 0 � t � Tfin:
Nedan visas att det går att uppnå en total överensstämmelse mellan mark-nadspriser och teoretiska priser för T -obligationena vid tiden t = 0 om funk-tionen � väljs på lämpligt sätt. Vi härleder dock först en analytisk prisformelför T -obligationerna.
Sats 2. I Hull-Whites modell gäller att
p(t; T ) = eA(t;T )�B(t;T )r(t)
där
B(t; T ) =1
a(1� e�a(T�t))
och
A(t; T ) =
Z T
t
�1
2�2B2(u; T )��(u)B(u; T )
�du:
Bevis. Sätt r(t) = X(t) + c(t) så att
dX(t) + dc(t) = (�(t)� aX(t)� ac(t))dt+ �dW (t):
Funktionen c(t) väljs så att
dc(t) = (�(t)� ac(t))dt
och c(0) = 0: Detta ger
c(t) = e�atZ t
0
eau�(u)du
123
Vi löser nu ekvationen
dX(t) = �aX(t)dt+ �dW (t)
med den integrerande faktorn eat och får med beteckningen X(0) = r(0) att
X(t) = e�atr(0) + �e�atZ t
0
eaudW (u):
Processen X = (X(t))t�0 är Gaussisk med väntevärde
EQ [X(t)] = e�atr(0)
och kovarians
CovQ(X(s); X(t)) = �2e�a(s+t)EQ�(
Z s
0
eaudW (u)
Z t
0
eaudW (u))
�
= �2e�a(s+t)Z min(s;t)
0
e2audu =�2
2ae�a(s+t)(e2amin(s;t) � 1):
Sätt
Y =
Z T
0
X(t)dt:
Den stokastiska variabeln Y är Gaussiskt fördelad med väntevärde
EQ [Y ] =
Z T
0
EQ [X(t)] dt
=
Z T
0
e�atr(0)dt =r(0)
a(1� e�aT )
och varians
VarQ(Y ) = CovQ(Z T
0
X(s)ds;
Z T
0
X(t)dt)
=
Z T
0
Z T
0
CovQ(X(s); X(t))dsdt =�2
2a
Z T
0
Z T
0
e�a(s+t)(e2amin(s;t) � 1)dsdt
=�2
2a3(2aT � 3 + 4e�aT � e�2aT ):
124
Härav följer att
EQhe�
R T0 r(t)dt
i= e�
R T0 c(t)dtEQ
�e�Y
�=
= e�R T0 e�at(
R t0 e
au�(u)du)dte�r(0)a(1�e�aT )+ �2
4a3(2aT�3+4e�aT�e�2aT )
= eA(0;T )�B(0;T )r(0):
Detta visar fallet t = 0 och allmänna fallet är en enkel följd av dettaspecialfall: []
Vi skriverp(t; T ) = e�
R Tt f(t;u)du
ochp�(t; T ) = e�
R Tt f�(t;u)du
där p�(t; T ) betecknar (det eventuellt skattade) marknadspriset för T -obligationenvid tiden t: Vi skall i nästa steg visa att det är möjligt att bestämma funk-tionen �(t); 0 � t � Tfin; så att varje obligation får samma marknadsprisoch teoretiska pris vid tiden t = 0: Ansatsen
p(0; T ) = p�(0; T ); alla 0 � T � Tfin
ellereA(0;T )�B(0;T )r(0) = e�
R T0 f�(0;u)du; alla 0 � T � Tfin
är ekvivalent med att
A0T (0; T )�B0T (0; T )r(0) = �f �(0; T ); alla 0 � T � Tfin:
Ekvationen
B(t; T ) =1
a(1� e�a(T�t))
gerB0T (t; T ) = e
�a(T�t)
och av
A(0; T ) =
Z T
0
�1
2�2B2(u; T )��(u)B(u; T )
�du
125
följer att
A0T (0; T ) =
Z T
0
��2B(u; T )B0T (u; T )��(u)B0T (u; T )
du
=
Z T
0
��21
a(1� e�a(T�u))e�a(T�u) ��(u)e�a(T�u)
�du:
Alltså blirf �(0; T ) = B0T (0; T )r(0)� A0T (0; T )
= e�aT r(0) +
Z T
0
�(u)e�a(T�u)du� �2
2a2(1� e�aT )2
För att lösa ut �(t) deriveras med avseende på T; vilket ger
f �0T (0; T ) = �ae�aT r(0) + �(T )� aZ T
0
�(u)e�a(T�u)ds� �2
a(1� e�aT )e�aT :
Härav följer att
f �0T (0; T ) + af�(0; T ) = �(T )� �
2
a(1� e�aT ))e�aT � �
2
2a(1� e�aT )2
dvs
f �0T (0; T ) + af�(0; T ) = �(T )� �
2
2a(1� e�2aT ):
Genom att välja
�(T ) = f �0T (0; T ) + af�(0; T ) +
�2
2a(1� e�2aT ):
blir såledesp(0; T ) = p�(0; T )
för alla 0 � T � Tfin:Det är nu naturligt att gå vidare och bestämma teoretiska priser för �-
nansiella derivat med obligationer som underliggande värdepapper i Vasiµceksoch Hull-Whites modeller. Betrakta ett �nansiellt derivat av europeisk typsom slutdagen T � Tfin ger innehavaren beoppet Y = g(r(T )) 2 L2(Q):Derivatets pris vid tiden t � T bör som ovan sagts ges
EQhe�
R Tt r(s)dsg(r(T )) j Ft
i:
126
Eftersom den korta räntan är en Markovprocess relativt måttet Q blir prisetvid tiden t av formen v(t; r(t)); där
v(t; r) = EQhe�
R Tt r(s)dsg(r(T )) j r(t) = r
i:
Om derivatet ifråga är en köpoption i U -obligationen med slutdag T ochlösenpris K kr blir
g(r(T )) = max(0; p(T; U)�K)
= max(0; eA(T;U)�B(T;U)r(T ) �K):Köpoptionens pris call(t;K; T; U) vid tiden t � T erhålls genom att beräkna
call(t;K; T; U) = EQhe�
R Tt r(s)dsmax(0; eA(T;U)�B(T;U)r(T ) �K) j r(t)
ivilket i princip är enkelt eftersom eftersom (
R Ttr(s)ds; r(T )) har en bi-
variat normalfördelning. Räkningarna blir dock jobbiga och vi föredrar andrametoder, som presenteras i ett senare kapitel då följande resultat kommer attvisas.
Sats 3. Antag T < U: I Vasiµceks och Hull-Whites modeller gäller att
call(t;K; T; U) = p(t; U)�(d)� p(t; T )K�(d� �p)där
d =1
�pln
p(t; U)
Kp(t; T )+1
2�p
och
�p =1
a
�1� e�a(U�T )
r�22af1� e�2a(T�t)g :
Om vi utnyttjar att
p(T; U)�max(0; p(T; U)�K)
= K �max(0; K � p(T; U))så följer av ett arbitrageargument att
p(t; U)� call(t;K; T; U) = Kp(t; T )� put(t;K; T; U)
127
där put(t;K; T; U) betecknar priset vid tiden t � T för en europeisk säljop-tion i U -obligationen med slutdag T och lösenpris K: I Vasiµceks och Hull-Whites modeller blir, med samma beteckningar som i sats 3,
put(t;K; T; U) = Kp(t; T )�(�p � d)� p(t; U)�(�d):
Det är också intressant att studera optioner på kupongobligationer. An-tag T0 < T1 < T2 < ::: < Tn, c1; :::; cn > 0 och N > 0: En kupongobliga-tion med emissionsdag T0 ger innehavaren beloppet ci kupongdagen Ti föri = 1; :::; n. Dessutom erhåller innehavaren det nominella värdet N slutdagenTn: Genom att sätta
ai =
�ci; i = 1; :::; n� 1cn +N; i = n
så följer att obligationens värde p(t) vid tiden t 2 [T0; T1[ är lika med
p(t) =
nXi=1
aip(t; Ti):
Betrakta nu en köpoption på obligationen ovan med lösenpris K och slutdagT 2 [T0; Tn] n fT0; T1; :::; Tng : Vi vill bestämma optionens värde v(t) vidtiden t � T och förutsätter Vasiµceks eller Hull-Whites modeller. Vi kanutan inskränkning anta att T0 < T < T1 genom att eventuellt numrera omkupongdagarna.Vi repeterar att
p(t; U) = p(t; U ; r(t)) = eA(t;U)�B(t;U)r(t)
där A(t; U) och B(t; U) är deterministiska och B(t; U) > 0 om t < U : Detgäller att
v(T ) = max(0;
nXi=1
aip(T; Ti)�K):
En väldigt snabb beräkning av v(t) erhålls med följande trick. Låt det reellatalet � uppfylla
K =nXi=1
aip(T; Ti; �)
så att
v(T ) = max(0;
nXi=1
ai(p(T; Ti; r(T ))� p(T; Ti; �)):
128
Eftersom varje funktionr ! p(T; Ti; r)
är strikt avtagande (i Vasiµceks och Hull-Whites modeller) så följer att
v(T ) =nXi=1
aimax(0; p(T; Ti; r(T ))� p(T; Ti; �))
och därmed är
v(t) =
nXi=1
aic(t; p(T; Ti; �); T; Ti):
För att diskutera hedging behöver vi först förbättra den stokastiska in-tegrationsteorin från kapitel 1. Vi passar dock på att redan här de�niera deviktigaste derivaten på räntemarknaden, nämligen caps och swaptions. Detär lämpligt att starta med några inledande exempel.
Exempel 1. Ett lån på beloppet N; som kontrakteras vid tiden 0; löpermed marknadsräntan L över perioden från T till U: Här är L känd fr o mtiden T och ges av ekvationen
p(T; U) =1
1 + �L
där � = U �T . Låntagaren betalar tillbaka beloppet N(1+ �L) vid tiden U .En enkel swap med swapräntanR ger värdepapperets innehavare beloppet
X = N�(L�R)
vid tiden U: Vi skall bestämma derivatets värde v(t) vid tiden t � T .Det gäller att
�L =1
p(T; U)� 1
och därmedX = N(
1
p(T; U)� 1� �R):
SättR� = 1 + �R
129
så attX = N(
1
p(T; U)�R�):
Notera att X är känd vid tiden T . I en arbitragefri modell följer nu att
v(T ) = N(1�R�p(T; U))
ochv(t) = N(p(t; T )�R�p(t; U)):
[]
Exempel 2. Ett lån på beloppet N; som kontrakteras vid tiden 0; löpermed marknadsräntan L över perioden från T till U: Här är L känd fr o mtiden T och ges av ekvationen
p(T; U) =1
1 + �L
där � = U �T . Låntagaren betalar tillbaka beloppet N(1+ �L) vid tiden U .En caplet med capräntan R utbetalar beloppet
Y = N�max(L�R; 0)
vid tiden U: Med samma beteckningar som i föregående exempel blir
Y = N max(0;1
p(T; U)�R�)
och om v(t) betecknar derivatets värde vid tiden t � T blir
v(T ) = N max(0; 1�R�p(T; U))
ellerv(T ) = NR�max(0;
1
R�� p(T; U)):
Vår caplet är alltså i tidsintervallet [0; T ] likvärdig med NR� stycken eu-ropeiska säljoptioner på U -obligationen med slutdagen T och lösenpriset 1
R� .Från ovanstående följer därför att vi kan beräkna capletens teoretiska pris iVasiµceks och Hull-Whites modeller. En caps, som är en serie av caplets, kannu också värderas, som vi strax kommer att se. []
130
Med dessa förberedande exempel är det dags att de�niera caps och swap-tions. Antag
T0 < T1 < ::: < Tn
och� = Ti � Ti�1; i = 1; :::; n:
Betrakta nu ett lån på beloppet N som i varje intervall [Ti�1; Ti[ löper medmarknadsräntan
Li�1 =1
�(
1
p(Ti�1; Ti)� 1)
för i = 1; :::; n: Vid tiden Ti betalar låntagaren beloppet
N�Li�1
till långivaren för i = 1; :::; n: Vid tiden Tn återbetalas också beloppet N:En cap med capräntan R ger capinnehavaren beloppet
N�max(0; Li�1 �R)
vid tiden Ti för varje i = 1; :::; n: En cap är alltså en serie av caplets och kanvärderas så snart caplets kan värderas.En swap med swapräntan R ger innehavaren beloppet
N�(Li�1 �R)
vid tiden Ti för varje i = 1; :::; n: Vid tiden t � T0 är detta belopp i sin turvärt
N(p(t; Ti�1)�R�p(t; Ti))
enligt exempel 1. Swapens värde vid tiden t � T0 blir alltså
swap(t; R) =nXi=1
N(p(t; Ti�1)�R�p(t; Ti))
= N
nXi=1
(p(t; Ti�1)� (1 + �R)p(t; Ti))
= N(p(t; T0)� p(t; Tn)� �RnXi=1
p(ti; Ti)):
131
Antag nu att t � T � T0: En swaption med swapräntan R ger slutdagenT innehavaren beloppet
N max(0; p(T; T0)� p(T; Tn)� �RnXi=1
p(T; Ti)):
Den så kallade forwardswapräntan R(t) sätts så att swapen blir värdelös vidtiden t: Alltså gäller att
R(t) =p(t; T0)� p(t; Tn)�Pn
i=1 p(ti; Ti):
Vår swaption har alltså slutdagen T värdet
(N�nXi=1
p(T; Ti))max(0; R(T )�R):
I det fall att T = T0 är vår swaption av samma typ som en säljoption påen kupongobligation. I Vasiµceks och Hull-Whites modeller reduceras dettavärderingsproblem till att värdera säljoptioner på nollkupongsobligationer.
Övningar
1. Visa attCor(R(t; T ); R(t; U)) = 1; t < T � U
i Vasiµceks och Hull-Whites modeller.
2. BeräknaQ [r(t) < 0 j r(0)]
i Vasiµceks och Hull-Whites modeller.
3. Visa att
R(t; T )!ab� 1
2�2
a2då T !1:
i Vasiµceks modell.
132
4. Bestäm den momentana forwardräntan i Vasiµceks och Hull-Whites mod-eller.
5. (Vaµciseks modell) Ett �nansiellt derivat av europeisk typ ger innehavarenbeloppet
Y = max(0;1
T
Z T
0
r(s)ds�R)
slutdagen T: Bestäm derivatets värde vid tiden 0.
SVAR:
�Y (0) = e����2
2 �(�� �2 �RT
�)
där
� =1
a((r0 �
b
a)(1� e�aT ) + bT )
och
�2 =�2
2a3(2aT � e�2aT + 4e�aT � 3):
133
7. Stokastiska integraler av Itôs typ
Antag (W (t))0�t�T är en reellvärd normaliserad Wienerprocess i tidsin-tervallet [0; T ]med kontinuerliga trajektorier. Vi har i kapitel 1 de�nieratden stokastiska integralen Z T
0
f(t)dW (t)
då integranden f är en deterministisk kvadratiskt integrerbar funktioni intervallet [0; T ]. I detta kapitel skall vi utvidga integralbegreppettill stokastisk integrand under lämpliga förutsättningar på integranden.Exempelvis skall vi ge en mening åt integralenZ T
0
'(W (t))dW (t)
då ' är en kontinuerlig funktion. I samband med de�nitionen uppstårett intressant fenomen som vi belyser i specialfallet '(x) = x: Antagatt
� : 0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T
är en indelning av intervallet [0; T ]. Om vi vill de�niera integralenZ T
0
W (t)dW (t)
är det naturligt att välja tal �k 2 [tk; tk+1] ; k = 0; :::; n�1; och därefterstudera konvergensegenskaper för Riemannsumman
I(�) =n�1Xk=0
W (�k)(W (tk+1)�W (tk))
då indelningens �nhet går mot noll. Om �k = tk; k = 0; :::; n�1; skrivsI(�) = Iv�anster och om �k = tk+1; k = 0; :::; n � 1; skrivs I(�) = Ih�oger.Alltså gäller att
Iv�anster =
n�1Xk=0
W (tk)(W (tk+1)�W (tk))
134
och
Ih�oger =n�1Xk=0
W (tk+1)(W (tk+1)�W (tk)):
Härav följer att
Ih�oger + Iv�anster =n�1Xk=0
(W 2(tk+1)�W 2(tk)) = W2(T )
och
Ih�oger � Iv�anster =n�1Xk=0
(W (tk+1)�W (tk))2:
I kapitel 2 visade vi att
n�1Xk=0
(W (tk+1)�W (tk))2 ! T i L2(P )
då indelningens �nhet går mot noll. Härav följer att
Ih�oger !1
2W 2(T ) +
1
2T i L2(P )
ochIv�anster !
1
2W 2(T )� 1
2T i L2(P )
då indelningens �nhet går mot noll. Valet av sekvens �k; k = 0; :::; n�1;i Riemannsumman I(�) har därför en avgörande betydelse för vilketgränsvärde vi får: Inom teorin för värdepapper är vänsteralternativetdet bästa och som en konsekvens härav blir den stokastiska integralenZ T
0
W (t)dW (t)
lika med1
2W 2(T )� 1
2T .
Om funktionen ' : R! R är två gånger kontinuerligt deriverbar såföljer också den märkliga formeln
'(W (T )) = '(0) +
Z T
0
'0(W (t))dW (t) +1
2
Z T
0
'00(W (t))dt:
135
I detta kapitel kommer vi främst att betona algebraiska egenskaper förstokastiska integraler medan vi tar lättare på frågor som berör mätbarhetoch topologi. Bland läroböcker inom stokastisk integration vill vi särskiltnämna Chung och Williams [CW ] ; Friedman [FR] och ;ksendal [;K] : Vi villockså uppmärksamma McKeans bok [McK] och Itôs fundamentala arbetenhIT O1
ioch
hIT O2
i:
Vi startar vår utveckling av stokastisk integration med ett komplett san-nolikhetsrum (;F ; P ) och en familj �-algebror Ft; 0 � t � T; av delmängderav sådan att
Fs � Ft � F ; s � t:Familjen (Ft)0�t�T kallas för en �ltration. Dessutom förutsätts här att
A 2 F0 om A 2 F och P (A) = 0:
Antag vidare att (W (t))0�t�T är en normaliserad reellvärd Wienerprocessmed kontinuerliga trajektorier de�nierad på sannolikhetsrummet (;F ; P )sådan att
�(W (u); u � t) � Ftoch
Ft och �(W (u)�W (t); t � u � T )äar stokastiskt oberoende
för alla 0 � t � T: De�nitionerna, som kan synas trassliga, motiveras bl a avatt de portföljer vi senare skall studera ofta innehåller �era aktier.Låt B [0; T ] = B[0;T ](R) beteckna mängden av alla A 2 B(R) som är
en delmängd av intervallet [0; T ] : En reellvärd funktion f(t; !); t 2 [0; T ] ;! 2 ; sägs vara progressivt mätbar om avbildningen
(u; !)! f(u; !); (u; !) 2 [0; t]�
är (B [0; t]� Ft)-mätbar för varje �xt t 2 [0; T ] : Vi uppfattar här f =(f(t))0�t�T som en stokastisk process. Man kan visa att det för en pro-gressivt mätbar process f gäller att avbildningen
t! f(t; !); t 2 [0; T ]
är B [0; T ]-mätbar för varje ! 2 och att f är adapterad dvs avbildningen
! ! f(t; !); ! 2
136
är Ft-mätbar för varje t 2 [0; T ] : Man kan visa att det �nns en �-algebraGprog av delmängder av produktmängden [0; T ]� sådan att f är progressivtmätbar om och endast om f är Gprog-mätbar. Antag att p 2 [1;1[ : Omprocessen f = (f(t))0�t�T är progressivt mätbar och dessutomZ T
0
j f(t) jp dt <1 n.s.
säger vi att f tillhör klassen Lploc [0; T ]. Vi uppfattar här f som 0 så snartZ T
0
j f(t) jp dt = 0 n.s.
Om f1; f2 2 Lploc [0; T ] och f1 � f2 = 0 i Lploc [0; T ] skriver vi f1 = f2: Råkar
f 2 Lploc [0; T ] vara begränsad n.s. säger vi att f tillhör klassen L1loc [0; T ].Om p 2 [1;1[ är �xt låter vi Lp [0; T ] beteckna klassen av alla f 2 Lploc [0; T ]sådana att
E
�Z T
0
j f(t) jp dt�<1:
En stokastisk process (f(t))0�t�T sägs vara en trapprocess om det exis-terar en indelning
0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T
sådan attf(t) = f(tk); tk � t < tk+1; k = 0; :::; n� 1:
Föjande approximationssatser ges här utan bevis (för bevis se t ex [FR]).
Sats 1. (Approximationssats för Lploc [0; T ] ; p 2 [1;1[) Antag f 2Lploc [0; T ] ; där p 2 [1;1[ :
a) Det �nns fn 2 Lploc [0; T ] ; n 2 N; med kontinuerliga trajektorier så att
limn!1
Z T
0
j fn(t)� f(t) jp dt = 0 n.s.
137
b) Det �nns trapprocesser fn 2 Lploc [0; T ] ; n 2 N; så att
limn!1
Z T
0
j fn(t)� f(t) jp dt = 0 n.s.
Sats 2. (Approximationssats för L2 [0; T ]) Antag f 2 L2 [0; T ] :
a) Det �nns fn 2 L2 [0; T ] ; n 2 N; med kontinuerliga trajektorier så att
limn!1
E
�Z T
0
(fn(t)� f(t))2dt�= 0:
b) Det �nns trapprocesser fn 2 L2 [0; T ] ; n 2 N; så att
limn!1
E
�Z T
0
( fn(t)� f(t))2dt�= 0:
Antag nu att f 2 L2loc [0; T ] är en trapprocess sådan att
f(t) = f(tk); tk � t < tk+1; k = 0; :::; n� 1
för en viss indelning
0 = t0 < t1 < ::: < tn�1 < tn = T:
Vi de�nierar i detta fall den stokastiska variabelnZ T
0
f(t)dW (t)
genom att sättaZ T
0
f(t)dW (t) =
n�1Xk=0
f(tk)(W (tk+1)�W (tk)):
De�nitionen är oberoende av val av indelning av intervallet [0; T ].Låt oss nu dessutom antaga att trapprocessen f 2 L2 [0; T ]. EftersomZ T
0
f 2(t)dt =
n�1Xk=0
f 2(tk)(tk+1 � tk)
138
så följer att
1 > E
�Z T
0
f 2(t)dt
�=
n�1Xk=0
E�f 2(tk)
�(tk+1 � tk)
varförf(tk) 2 L2(P ); k = 0; :::; n� 1:
Alltså är
E
�Z T
0
f(t)dW (t)
�=
n�1Xk=0
E [f(tk)(W (tk+1)�W (tk))]
=
n�1Xk=0
E [f(tk)]E [(W (tk+1)�W (tk)] = 0:
Eftersom de stokastiska variablerna
f(tk)(W (tk+1)�W (tk)); k = 0; :::; n� 1
är ortogonala i L2(P ) så ger Pythagoras sats också att
E
"�Z T
0
f(t)dW (t)
�2#=
n�1Xk=0
E�f 2(tk)(W (tk+1)�W (tk))2
�
=n�1X=k=0
E�f 2(tk)
�E�(W (tk+1)�W (tk))2
�=
n�1Xk=0
E�f 2(tk)
�(tk+1 � tk)
= E
�Z T
0
f 2(t)dt
�:
Vi skall nu de�niera den stokastiska integralenZ T
0
f(t)dW (t)
för varje f 2 L2 [0; T ] : Enligt sats 2 �nns trapprocesser fn 2 L2 [0; T ] ; n 2N; så att
limn!1
E
�Z T
0
( fn(t)� f(t))2dt�= 0:
139
Men då är
E
�(
Z T
0
fm(t)dW (t)�Z T
0
fn(t)dW (t))2
�= E
�(
Z T
0
(fm(t)� fn(t))dW (t))2�
= E
�Z T
0
( fm(t)� fn(t))2dt�
varför följden
(
Z T
0
fn(t)dW (t))n2N
är en Cauchyföljd i L2(P ). Följden är därför konvergent och man visar lättatt gränsvärdet är oberoende av valet av sekvens fn 2 L2 [0; T ] ; n 2 N; ikonstruktionen ovan. Vi i betecknar gränsvärdet medZ T
0
f(t)dW (t)
och det följer att
E
�Z T
0
f(t)dW (t)
�= 0
och
E
"�Z T
0
f(t)dW (t)
�2#= E
�Z T
0
f 2(t)dt
�:
Vi har nu de�nierat den stokastiska integralen för integrander i klassenL2 [0; T ] : För att utsräcka de�nitionen till integrander i klassen L2loc [0; T ]behövs ett lemma som vi ger utan bevis.
Lemma 1. Antag f 2 L2loc [0; T ] är en trapprocess och låt " > 0 och N > 0vara givna. Då gäller att
P
�jZ T
0
f(t)dW (t) j> "�� P
�Z T
0
f 2(t)dt > N
�+N
"2:
140
Vi skall nu de�niera den stokastiska integralenZ T
0
f(t)dW (t)
för varje f 2 L2loc [0; T ] : Enligt sats 1 �nns trapprocesser fn 2 L2loc [0; T ] ; n 2N; så att
limn!1
Z T
0
( fn(t)� f(t))2dt = 0
i sannolikhet. Lemma 1 medför nu att
P
�jZ T
0
fm(t)dW (t)�Z T
0
fn(t)dW (t) j> "�
� P�Z T
0
(fm(t)� fn(t))2dt > N
�+N
"2
för varje " > 0 och N > 0 och det följer att
limm;n!1
P
�jZ T
0
fm(t)dW (t)�Z T
0
fn(t)dW (t) j> "�= 0:
Sekvensen
(
Z T
0
fn(t)dW (t))n2N
konvergerar således i sannolikhet. Man visar lätt att gränsvärdet är oberoendeav valet av sekvens fn 2 L2loc [0; T ] ; n 2 N; i konstruktionen ovan och vibetecknar gränsvärdet med Z T
0
f(t)dW (t):
Om f 2 L2loc [0; T ] är en trapprocess så sammanfaller denna de�nition avden stokastiska integralen med den tidigare givna. Detta är också fallet omf 2 L2 [0; T ] och i detta fall gäller som vi redan sagt att
E
�Z T
0
f(t)dW (t)
�= 0
och
E
"�Z T
0
f(t)dW (t)
�2#= E
�Z T
0
f 2(t)dt
�:
141
Dessa relationer gäller ej i allmänhet under det svagare villkoret f 2 L2loc[0; T ] :Vi ger följande approximationssats utan bevis.
Sats 3. (Approximationssats för stokastiska integraler) Antag f 2L2loc [0; T ] och låt fn 2 L2loc [0; T ] ; n 2 N; uppfylla
limn!1
Z T
0
( fn(t)� f(t))2dt = 0 n.s.
Då gäller att Z T
0
fn(t)dW (t)!Z T
0
f(t)dW (t)
i sannolikhet då n!1.
Vi har också följande konvergenssats.
Sats 4. Antag f 2 L2loc [0; T ] och antag f har kontinuerliga trajektorier. Låtvidare för varje positivt heltal n
�n : 0 = tn;0 < tn;1 < ::: < tn;mn�1 < tn;mn = T
vara en indelning av intervallet [0; T ] sådan att indelningens �nhet går mot0 då n!1. Då gäller att
mn�1Xk=0
f(tn;k)(W (tn;k+1)�W (tn;k))!Z T
0
f(t)dW (t)
i sannolikhet då n!1.
Bevis. Vi de�nierar trapprocesser fn 2 L2loc [0; T ] ; n 2 N; så att
fn(t) = f(tn;k) i intervallet tn;k � t < tn;k+1; 0 � k � mn � 1:
142
Då gäller att fn(t) ! f(t) likformigt i t 2 [0; T ] då n ! 1 dvs sekvensen(fn)n2N konvergerar mot f i Banachrummet C [0; T ] med normen
kxk = max0�t�T
j x(t) j :
Speciellt följer att
limn!1
Z T
0
( fn(t)� f(t))2dt = 0
och de�nitionen av den stokastiska integralenZ T
0
f(t)dW (t)
(eller sats 3) visar attZ T
0
fn(t)dW (t)!Z T
0
f(t)dW (t)
i sannolikhet då n!1. Resultatet följer nu av attZ T
0
fn(t)dW (t) =mn�1Xk=0
f(tn;k)(W (tn;k+1)�W (tn;k)):
[]
Det inledande resonemanget i detta kapitel och sats 4 visar nu attZ T
0
W (t)dW (t) =1
2W 2(T )� 1
2T:
En stokastisk process (X(t))0�t�T sägs vara en martingal med avseendepå �ltrationen (Ft)0�t�T om
(a) �(X(t)) � Ft
(b) X(t) 2 L1(P )
(c) E [X(t) j Fs] = X(s) så snart s � t:
143
För varje trappprocess f 2 L2 [0; T ] så är processenZ t
0
f(u)dW (u); t 2 [0; T ]
en martingal med avseende på �ltrationen (Ft)0�t�T . Genom approximationmed trapprocesser följer att denna egenskap gäller för varje f 2 L2 [0; T ].Processerna i klassen L2loc [0; T ] saknar i allmänhet integrabilitetsegenskaperoch kan inte förväntas ha martingalegenskaper. Emellertid gäller följandesats som vi ger utan bevis (för bevis se [FR]).
Sats 5. Antag f 2 L2loc [0; T ]. Då gäller att processenZ t
0
f(u)dW (u); t 2 [0; T ]
har en kontinuerlig version.
Fr o m nu antager vi att alla processer av typenZ t
0
f(u)dW (u); t 2 [0; T ]
där f 2 L2loc [0; T ] är givna i en version med kontinuerliga trajektorier n.s.Om f 2 L2loc [0; T ] de�nierasZ t2
t1
f(u)dW (u) =
Z t2
0
f(u)dW (u)�Z t1
0
f(u)dW (u); 0 � t1 � t2 � T:
Antag att a 2 L1loc [0; T ] och b 2 L2loc [0; T ] : Om en progressivt mätbarstokastisk process (X(t)) t2[0;T ] uppfyller
X(t)�X(0) =Z t
0
a(u)dt+
Z t
0
b(u)dW (u); 0 � t � T
skriver vidX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t)
144
och dX(t) kallas för en stokastisk di¤erential. Om dessutom c 2 L1loc [0; T ]de�nieras en ny stokastisk di¤erential genom att
c(t)dX(t) = c(t)a(t)dt+ c(t)b(t)dW (t):
Exempelvis ger formelnZ t
0
W (u)dW (u) =1
2W 2(t)� 1
2t; 0 � t � T
attd(W 2(t)) = 2W (t)dW (t) + dt
Redan i kapitel 1 visades den mindre överraskande formeln
d('(t)W (t)) = '0(t)W (t)dt+ '(t)dW (t)
då funktionen '(t); 0 � t � T är kontinuerligt deriverbar.Vi skall nu behandla en ganska allmän produktregel för di¤erentialer inom
stokastisk kalkyl. Antag ak 2 L1loc [0; T ] och bk 2 L2loc [0; T ] ; k = 1; 2, och låt
dXk(t) = ak(t)dt+ bk(t)dW (t); k = 1; 2:
Vi påstår att följande produktregel gäller, nämligen
d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) +X2(t)dX1(t) + b1(t)b2(t)dt
dvs att det för �xa t1; t2 2 [0; T ] som uppfyller t1 � t2 gäller att
X1(t2)X2(t2)�X1(t1)X2(t1)
=
Z t2
t1
X1(t)a2(t)dt+
Z t2
t1
X1(t)b2(t)dW (t)
+
Z t2
t1
X2(t)a1(t)dt+
Z t2
t1
X2(t)b1(t)dW (t) +
Z t2
t1
b1(t)b2(t)dt:
Om a1; a2; b1 och b2 är konstanta i intervallet [t1; t2] (dvs Ft1-mätbara) följerdenna formel av en direkt kalkyl. Genom addition över olika intervall följeratt formeln ovan är sann då ak 2 L1loc [0; T ] och bk 2 L2loc [0; T ] ; k = 1; 2,är trapprocesser. Det allmänna fallet följer nu genom approximation (fördetaljer se [FR]).
145
Antag att a 2 L1loc [0; T ] , b 2 L2loc [0; T ] och låt
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t):
Vi påstår att
dXn(t) = nXn�1(t)dX(t) +n(n� 1)
2Xn�2(t)b2(t)dt; n = 2; 3; ::: :
Fallet n = 2 är redan klart. Antag nu att formeln är sann för ett �xt n � 2:Vi får då att
dXn+1(t) = d(X(t)Xn(t))
= X(t)dXn(t) +Xn(t)dX(t) + nXn�1(t)b2(t)dt
= nXn(t)dX(t) +n(n� 1)
2Xn�1(t)b2(t)dt
+Xn(t)dX(t) + nXn�1(t)b2(t)dt
= (n+ 1)Xn(t)dX(t) +(n+ 1)n
2Xn�1(t)b2(t)dt
och formeln ovan följer med hjälp av induktion. Om q är ett polynom av enreell variabel drar vi därför slutsatsen att
dq(X(t)) = q0(X(t))dX(t) +1
2q00(X(t))b2(t)dt:
Vi de�nierar nu(dX(t))2 = b2(t)dt:
Notera speciellt att(dt)2 = 0dt = 0
och(dW (t))2 = dt:
Eftersom rent formellt
(dX(t))2 = (a(t)dt+ b(t)dW (t))2 =
a2(t)(dt)2 + a(t)b(t)dtdW (t) + a(t)b(t)dW (t)dt+ b2(t)(dW (t))2
är det naturligt att också de�niera
dtdW (t) = dW (t)dt = 0:
146
Med dessa konventioner följer att
dq(X(t)) = q0(X(t))dX(t) +1
2q00(X(t))(dX(t))2:
Om ' är kontinuerligt deriverbar ger vidare produktregeln för stokastiskadi¤erentialer att
d('(t)q(X(t))) = '0(t)q(X(t))dt+ '(t)dq(X(t)) =
'0(t)q(X(t))dt+ '(t)q0(X(t))dX(t) +1
2'(t)q00(X(t))(dX(t))2:
Vi inför nu u(t; x) = '(t)q(x) och får
du(t;X(t)) = u0t(t;X(t))dt+ u0x(t;X(t))dX(t) +
1
2u00xx(t;X(t))(dX(t))
2:
Genom superposition inses först att detta resultat gäller om u(t; x) är ettpolynom av två reella variabler och därefter genom approximation att dennaformel också gäller om u(t; x) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2 [0; T ]och två gånger kontinuerligt deriverbar i x 2 R (för detaljer se [FR]): Dettaviktiga resultat går under namnet Itôs lemma.
Sats 6. (Itôs lemma) Antag a 2 L1loc [0; T ] , b 2 L2loc [0; T ] och låt
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t):
Antag också att funktionen u(t; x) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2[0; T ] och två gånger kontinuerligt deriverbar i x 2 R2: Då gäller
du(t;X(t)) = u0t(t;X(t))dt+ u0x(t;X(t))dX(t) +
1
2u00xx(t;X(t))(dX(t))
2:
Exempel 1. Antag ak 2 L1loc [0; T ] , bk 2 L2loc [0; T ] , k = 1; 2; och
dX(t) = ak(t)dt+ bk(t)dW (t); k = 1; 2:
Vi påstår att a1 = a2 och b1 = b2 som element i L1loc [0; T ] resp. L2loc [0; T ].
147
Förutsättningarna innebär att
X(t)�X(0) =Z t
0
ak(u)du+
Z t
0
bk(u)dW (u); 0 � t � T
med sannolikheten ett för k = 1 och k = 2: Genom att de�niera a = a1 � a2och b = b1 � b2 följer att processen
Y (t) =
Z t
0
a(u)du+
Z t
0
b(u)dW (u); 0 � t � T
har samplefunktioner som är identiskt noll med sannolikheten ett. Nu är
dY 2(t) = 2Y (t)dY (t) + (dY (t))2; 0 � t � T
dvs
Y 2(t)�Y 2(0) =Z t
0
(2Y (u)a(u))+b2(u))du+
Z t
0
2Y (u)b(u)dW (u); 0 � t � T:
Alltså gäller att
0 =
Z t
0
b2(u)du; 0 � t � T
med sannolikheten ett dvs b = 0: Eftersom
Y (t) =
Z t
0
a(u)du; 0 � t � T
följer av Lebesgues version av integralkalkylens huvudsats att processen a =(a(t))0�t�T = 0 har samplefunktioner som är 0 n.s.
�m[0;T ]
�med sanno-
likheten ett dvs a = 0: []
Korollarium 1. Ett aktiepris S(t); t � 0, beskriver en geometrisk Brownskrörelse med exponentiell drift. Aktiens volatilitet är lika med � > 0 och
E [S(t)] = S(0)e�t; t � 0:
Under dessa förutsättningar är
dS(t)
S(t)= �dt+ �dW (t):
148
Speciellt gäller att den Brownska exponentialmartingalen
M�(t) = e��2
2t+�W (t); t � 0
uppfyller ekvationendM�(t) = �M�(t)dW (t):
Här de�nierasdS(t)
S(t)=
1
S(t)dS(t):
Bevis. SkrivS(t) = S(0)eX(t)
där
X(t) = (�� �2
2)t+ �W (t):
Itôs lemma ger att
dS(t) = S(t)dX(t) +1
2S(t)(dX(t))2
= S(t)
�(�� �
2
2)dt+ �dW (t) +
�2
2dt
�= S(t)(�dt+ �dW (t))
och korollarium 1 är fullständigt bevisat. []
Exempel 2. Vi skall här ge uppmärksamhet åt några viktiga samband mel-lan paraboliska di¤erentialekvationer och stokastiska di¤erentialekvationersom växer fram genom att tillämpa Itôs lemma.Betrakta di¤erentialoperatorn
Au(t; x) = �2(t; x)
2
@2u
@x2+ a(t; x)
@u
@x+ b(t; x)u(t; x):
Antag T > 0 och betrakta den paraboliska di¤erentialekvationen
@u
@t+Au(t; x) = 0; 0 � t < T; x 2 R
149
och den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) = a(t;X(t))dt+ �(t;X(t))dW (t); 0 � t � T:
Under lämpliga regularitetsvillkor gäller att att funktionen
u(t; x) = Ehf(X(T ))e
R Tt b(s;X(s))ds j X(t) = x
iär en lösning till den paraboliska di¤erentialekvationen ovan med slutvillkoret
ujt=T = f:
Detta märkliga samband kallas Feynman-Kac formel. Att bevisa dennaformel är naturligtvis väldigt svårt och skulle leda oss långt in i teorin förparaboliska och stokastiska di¤erentialekvationer och teorin för lokala mar-tingaler. En formell kalkyl gör dock formeln trolig.Antag funktionen u(t; x) löser den paraboliska di¤erentialekvationen
@u
@t+Au(t; x) = 0; 0 � t < T; x 2 R
ochujt=T = f:
Det gäller att
e�R t0 b(s;X(s))dsd
nu(t;X(t))e
R t0 b(s;X(s))ds
o= u0t(t;X(t))dt+ u
0x(t;X(t))dX(t) +
�2(t;X(t))
2u00(t;X(t))dt
+u(t;X(t))b(X(t))dt
= (u0t(t;X(t)) +Au(t;X(t)))dt+ �(t;X(t))u0x(t;X(t))dW (t)
= �(t;X(t))u0x(t;X(t))dW (t):
Härav följer att
u(T;X(T ))eR T0 b(s;X(s))ds � u(0; X(0))
=
Z T
0
�(t;X(t))u0x(t;X(t))eR t0 b(s;X(s))dsdW (t):
150
Antag nu X(0) = x: Om (och detta är ett viktigt om)
(�(t;X(t))u0x(t;X(t))eR t0 b(s;X(s))ds)0�t�T 2 L2 [0; T ]
gäller att dess stokastiska integral över intervallet [0; T ] har förväntan 0 ochdet följer att
Ehu(T;X(T ))e
R T0 b(s;X(s))ds � u(0; x) j X(0) = x
i= 0
dvsu(0; x) = E
hf(X(T ))e
R T0 b(s;X(u))du j X(0) = x
i:
På samma sätt följer att
u(t; x) = Ehf(X(T ))e
R Tt b(s;X(s))du j X(t) = x
i; 0 � t < T:
Denna funktion kallas Feynman-Kac-lösningen till det aktuella slutvärde-sproblemet. Ibland nöjer vi oss med att säga �lösningen� istället för detmer precisa �Feynman-Kac-lösningen�. Fallet då a; b och � > 0 är reellakonstanter diskuterades i kursen Optioner och matematik.Om den paraboliska di¤erentialekvationen ovan är uppfylld i området
0 � t < T , x 2 D; där D är en öppen delmängd av R så gäller ovanståendeformel av Feynman-Kac om vi vet att X(s) 2 D för alla t � s � T: []
Vi har ovan sett att aktiepriset
S(t) = S(0)e(���2
2)t+�W (t); 0 � t � T
i Bachelier-Samuelsons modell löser den stokastiska di¤erentialekvationen
dS(t) = S(t)(�dt+ �dW (t)); 0 � t � T
med begynnelsevärdet S(0): Nedan visas lösningens entydighet med två olikametoder.
Sats 7. Antag � 2 L1loc [0; T ], � 2 L2loc [0; T ] och s0 2 R: Då har ekvationen
dS(t) = S(t)(�(t)dt+ �(t)dW (t)); 0 � t � T
151
med begynnelsevillkoret S(0) = s0 den unika lösningen
S(t) = s0eR t0 (�(u)�
12�2(u))du+
R t0 �(u)dW (u); 0 � t � T:
Bevis. Sätt
X(t) = eR t0 (�(u)�
12�2(u))du+
R t0 �(u)dW (u); 0 � t � T:
Itô�s lemma ger att
d1
X(t)=
1
X(t)((��(t) + �2(t))dt� �(t)dW (t))
och med hjälp av produktregeln erhålls att
dS(t)
X(t)=S(t)
X(t)(�(t)dt+ �(t)dW (t))
+S(t)
X(t)((��(t) + �2(t))dt� �(t)dW (t)) + dS(t)d 1
X(t)= 0:
Alltså ärS(t)
X(t)=S(0)
X(0)
och S(t) = s0X(t); vilket visar satsen.
Vi avslutar kapitlet med en existens- och entydighetssats för stokastiskadi¤erentialekvationer samt några illustrativa exempel. Betrakta därför denstokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) = a(t;X(t))dt+ b(t;X(t))dW (t); 0 � t � T
med begynnelsevärdet x0 2 R eller ekvivalent
X(t) = x0 +
Z t
0
a(s;X(s))ds+
Z t
0
b(s;X(s))dW (s); 0 � t � T:
Här antags atta : [0; T ]�R! R
152
ochb : [0; T ]�R! R
är kontinuerliga funktioner.
Sats 8. Antag det �nns en konstant K sådan att
j a(t; x)� a(t; y) j� K j x� y j; 0 � t � T; x; y 2 R;
j b(t; x)� b(t; y) j� K j x� y j; 0 � t � T; x; y 2 R;j a(t; x) j� K(1+ j x j); 0 � t � T; x 2 R
ochj b(t; x) j� K(1+ j x j); 0 � t � T; x 2 R:
Då �nns en lösning (X(t))0�t�T till den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) = a(t;X(t))dt+ b(t;X(t))dW (t); 0 � t � T
med begynnelsevärdet x0 2 R sådan att lösningen har kontinuerliga trajek-torier med sannolikheten ett och
sup0�t�T
E�X2(t)
�<1:
Om (Y (t))0�t�T är en annan sådan lösning så gäller att
P [X(t) = Y (t); alla 0 � t � T ] = 1:
Vi nöjer oss med att bevisa entydigheten.
Bevis för entydigheten. Antag att (X(t))0�t�T och (Y (t))0�t�T är lös-ningar och bilda
X(t)� Y (t) =Z t
0
(a(s;X(s))� a(s; Y (s)))ds
+
Z t
0
(b(s;X(s))� b(s; Y (s)))dW (s):
153
Vi utnyttjar nu olikheten
(�+ �)2 � 2(�2 + �2); �; � 2 R
och får
E�(X(t)� Y (t))2
�� 2E
�(
Z t
0
(a(s;X(s))� a(s; Y (s)))ds)2�
+2E
�(
Z t
0
(b(s;X(s))� b(s; Y (s)))dW (s))2�:
Cauchy-Schwarz olikhet ger att
E
�(
Z t
0
(a(s;X(s))� a(s; Y (s)))ds)2�� tE
�Z t
0
(a(s;X(s))� a(s; Y (s)))2ds�:
Vi använder nu olikheten
(a(s;X(s))� a(s; Y (s)))2 � K2(X(s)� Y (s))2
och det följer att
E
�(
Z t
0
(a(s;X(s))� a(s; Y (s)))ds)2�� tK2
Z t
0
E�(X(s))� Y (s))2
�ds:
Genom att utnyttja olikheten
(b(s;X(s))� b(s; Y (s)))2 � K2(X(s)� Y (s))2
följer också att
E
�Z t
0
(b(s;X(s))� b(s; Y (s)))2ds�� K2
Z t
0
E�(X(s)� Y (s))2
�ds
� 2K2t( sup0�t�T
E�X2(t)
�+ sup0�t�T
E�Y 2(t)
�) <1:
Vi har alltså visat att
(b(s;X(s))� b(s; Y (s)))0�t�T 2 L2 [0; t]
och det följer att
E
�(
Z t
0
(b(s;X(s))� b(s; Y (s)))dW (s))2�= E
�Z t
0
(b(s;X(s))� b(s; Y (s)))2ds�
154
� K2
Z t
0
E�(X(s)� Y (s))2
�ds:
Om vi de�nierar C = 4K2max(T; 1) så följer nu att
E�(X(t)� Y (t))2
�� C
Z t
0
E�(X(s)� Y (s))2
�ds:
Funktionenf(t) = E
�(X(t)� Y (t))2
�; 0 � t � T
uppfyller alltså olikheten
f(t) � CZ t
0
f(s)ds; 0 � t � T
LåtM = sup
0�s�Tf(s).
Genom induktion erhålls att
f(t) � MCn
n!tn; n 2 N
och därmed är f = 0:Vi har nu visat att
P [X(t) = Y (t)] = 1; alla 0 � t � T:
Alltså gäller att
P [X(t) = Y (t) alla rationella t 2 [0; T ]] = 1:
Eftersom processerna (X(t))0�t�T och (Y (t))0�t�T båda har kontinerliga tra-jektorier med sannolikheten ett så följer satsen. []
Exempel 3. Antag �; � och � är reella parametrar. Ekvationen
dX(t) = (�+ �X(t))dt+ �X(t)dW (t); t � 0
155
med begynnelsevillkoret X(0) = x0 är enligt sats 7 lösbar. I fallet � = 0 chx0 = 1 har vi lösningen
U(t) = e(���2
2)t+�W (t):
Sätt därför
Y (t) =X(t)
U(t)= X(t)V (t)
därV (t) = e(��+
�2
2)t��W (t):
Notera attdV (t) = V (t)((��+ �2)dt� �dW (t))
och produktregeln ger
d(X(t)V (t)) = V (t)dX(t) +X(t)dV (t) + dX(t)dV (t)
= V (t) f(�+ �X(t))dt+ �X(t)dW (t)g+X(t)V (t)�(��+ �2)dt� �dW (t)
��2X(t)V (t)dt = �V (t)dt:
Härav följer att
X(t)V (t) = x0 + �
Z t
0
V (u)du
dvs
X(t) = e(���2
2)t+�W (t)(x0 + �
Z t
0
e(��+�2
2)u��W (u)du):
Exempel 4. Låt s0; � > 0 vara positiva parametrar och � och � reellaparametrar. Betrakta den stokastiska di¤erentialekvationen
dS(t) = S(t)(�� �S(t))dt+ �S(t)dW (t); t � 0
med begynnelsevärdet S(0) = s0: Ekvationen kallas ofta den stokastiska Ver-hulstekvationen (fallet � = 0 är Verhulst ekvation). Sats 7 garanterar inteatt ekvationen är lösbar. Sätt
X(t) =1
S(t)
156
så att
dX(t) = � 1
S2(t)fS(t)(�� �S(t))dt+ �S(t)dW (t)g+ 1
S3(t)(dS(t))2
= �(�X(t)� �)dt� �X(t)dW (t) + �2X(t)dt
(�+ (�2 � �)X(t))dt� �X(t)dW (t):
Enligt föregående exempel är
X(t) = e(�2
2��)t��W (t)(X(0) + �
Z t
0
e(���2
2)u+�W (u)du)
och vi får
S(t) =e(��
�2
2)t+�W (t)
X(0) + �R t0e(��
�2
2)u+�W (u)du
dvs
S(t) =s0e
(���2
2)t+�W (t)
1 + �s0R t0e(��
�2
2)u+�W (u)du
:
Exempel 5. Antag x0 och � är reella parametrar. Låt h(x) vara en primitivtill funktionen 1
b(x)och betrakta den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) =
��b(X(t)) +
1
2b(X(t))b0(X(t))
�dt+ b(X(t)dW (t); t � 0
med begynnelsevillkoret X(0) = x0: Under lämpliga villkor på b(x) garan-terar sats 7 en unik lösning. För att bestämma denna beräknar vi
dh(X(t)) = h0(X(t)dX(t) +1
2h00(X(t))(dX(t))2
=1
b(X(t))dX(t)� 1
2
b0(X(t))
b2(X(t))b2(X(t))dt
=1
b(X(t))(dX(t)� 1
2b(X(t))b0(X(t))dt)
=1
b(X(t))(�b(X(t))dt+ b(X(t))dW (t))
157
= �dt+ dW (t):
Härav följer atth(X(t)) = h(x0) + �t+W (t):
Exempel 6. Antag x0 och � är reella parametrar. Låt h(x) vara en primitivtill funktionen 1
b(x)och betrakta den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) =
��b(X(t))h(X(t)) +
1
2b(X(t))b0(X(t))
�dt+ b(X(t)dW (t); t � 0
med begynnelsevillkoret X(0) = x0: Under lämpliga villkor på b(x) garan-terar sats 7 en unik lösning. För att bestämma denna beräknar vi
dh(X(t)) = h0(X(t)dX(t) +1
2h00(X(t))(dX(t))2
=1
b(X(t))dX(t)� 1
2
b0(X(t))
b2(X(t))b2(X(t))dt
=1
b(X(t))(dX(t)� 1
2b(X(t))b0(X(t))dt)
=1
b(X(t))(�b(X(t))h(X(t))dt+ b(X(t)dW (t))
= �h(X(t))dt+ dW (t):
Härav följer attde��th(X(t)) = e��tdW (t)
och vi får
h(X(t)) = e�t(h(x0) +
Z t
0
e��udW (u)):
Exempel 7. Antag vi numeriskt vill lösa den stokastiska di¤erentialekvation
dX(t) = a(X(t))dt+ b(X(t))dW (t); 0 � t � T
med begynnelsevärdet x0 2 R: Vi startar därför med en indelning
0 = t0 < t1 < ::: < tn = T:
158
Integralekvationen
X(t) = x0 +
Z t
0
a(X(s))ds+
Z t
0
b(X(s))dW (t); 0 � t � T
är då ekvivalent med attX(0) = x0
och
X(tk) = X(tk�1) +
Z tk
tk�1
a(X(s))ds+
Z tk
tk�1
b(X(s))dW (t); k = 1; :::; n:
Ett vanligt schema av Eulers typ erhålls genom att de�niera
X(n)(0) = x0
och
X(n)(tk) = X(n)(tk�1)+a(X
(n)(tk�1))�tk+b(X(n)(tk�1))�W (tk); k = 1; :::; n
där�tk = tk � tk�1; k = 1; :::; n
och�W (tk) =W (tk)�W (tk�1); k = 1; :::; n:
Vi kan dock få en bättre approximation genom att studera termenZ tk
tk�1
b(X(s))dW (t)
noggrannare. Vi har att
db(X(s)) = b0(X(s))dX(s) +b2(X(s))
2b00(X(s))ds
= (a(X(s))b0(X(s)) +b2(X(s))
2b00(X(s)))ds+ b(X(s)b0(X(s))dW (s):
Härav följer attb(X(s)) = b(X(tk�1)
+
Z s
tk�1
(a(X(u))b0(X(u)) +b2(X(u))
2b00(X(u)))du
159
+
Z s
tk�1
b(X(u)b0(X(u))dW (u):
Vi får nu
X(tk)�X(tk�1) =Z tk
tk�1
a(X((s))ds+
Z tk
tk�1
b(X(s))dW (t)
= a(X(tk�1)�tk + b(X(tk�1)�W (tk) +Rk
där
Rk =
Z tk
tk�1
"Z s
tk�1
b(X(s)b0(X(s))dW (s)
#dW (s) +R0k:
Vi approximerar nuZ tk
tk�1
"Z s
tk�1
b(X(s)b0(X(s))dW (s)
#dW (s)
med
b(X(tk�1)b0(X(tk�1))
Z tk
tk�1
(
Z s
tk�1
dW (s))dW (s)
där Z tk
tk�1
(
Z s
tk�1
dW (s))dW (s) =
Z tk
tk�1
(W (s)�W (tk�1))dW (s)
=
Z tk
tk�1
W (s)dW (s)�W (tk�1)(W (tk)�W (tk�1))
=W 2(tk)� tk
2� W
2(tk�1)� tk�12
�W (tk�1)(W (tk)�W (tk�1))
=1
2((�W (tk))
2 ��tk):
Om vi försummar termen R0k får vi Milsteins schema
X(n)(0) = x0
och
X(n)(tk) = X(n)(tk�1) + a(X
(n)(tk�1))�tk + b(X(n)(tk�1))�W (tk)
160
+1
2b(X(n)(tk�1)b
0(X(n)(tk�1))((�W (tk))2 ��tk); k = 1; :::; n:
Det skulle föra oss för långt att här gå in på i vilken mening denna lösningapproximerar en lösningen till den ursprungliga ekvationen i det fall sådanlösning �nns. Den intresserade läsaren hänvisas till Kloedens och Platensbok [KP ] . []
Övningar
1. Antag 0 � t0 � a � b � T och sätt f(t; !) = 1[a;b](t)W (t0; !); 0 � t �T; ! 2 : Visa att f är progressivt mätbar.
2. Visa att funktionen W (t; !); 0 � t � T; ! 2 ; är progressivt mätbar.
3. Antag 1 � p <1: Sätt
f(t; !) = eW2(t;!); 0 � t � T; ! 2 :
a) Visa att f 2 Lploc [0; T ] : b) Visa att f 2 Lp [0; T ] om och endast omT � 1
2p:
4. Antag f 2 L1loc [0; T ] : Visa att processen
X(t) =
Z t
0
f(t; u)du; 0 � t � T
är adapterad.
5. Beräkna E [X2] då
X =
Z T
0
(
Z t
0
sin(u+ t)dW (u))dW (t):
6. Antag G 2 N(0; 1) och sätt
Hn(x; y) = E [(x+ ipyG)n] ; n 2 N
161
för godtyckliga x 2 R och y � 0: Visa att H0(x; y) = 1; H1(x; y) = x;H2(x; y) = x
2� y; H3(x; y) = x3� 3xy och H4(x; y) = x4� 6x2y+3y2:Visa också att
@
@xHn(x; y) = nHn�1(x; y); n = 1; 2; :::
@
@yHn(x; y) +
1
2
@2
@x2Hn(x; y) = 0; n = 2; 3; :::
och
e�x�12�2y =
1Xn=0
�n
n!Hn(x; y); � 2 R:
7. Visa att
M�(t) =1Xn=0
�n
n!Hn(W (t); t); � > 0:
8. Visa med hjälp av Itôs lemma att
Hn(W (t); t) = n
Z t
0
Hn�1(W (s); s)dW (s); n = 1; 2; ::: :
9. Antag x0 är en reell konstant: Lös ekvationen
dX(t) =1
2X(t)dt+
p1 +X2(t)dW (t); t � 0
med begynnelsevärdet X(0) = x0:
(SV AR: X(t) = sinh(W (t) + ln(x0 +p1 + x20)))
162
163
8. ��hedging
I detta kapitel skall vi härleda teoretiska optionspriser med hjälp av så kallad�-hedging, den troligen allra viktigaste matematiska metoden i �nansteknik.Metoden går tillbaka till Black-Scholes fundamentala artikel [BS] och belysesytterligare i Mertons uppmärksammade artikel [MER1] (se också [MER2]).Vi börjar med Black-Scholes modell dvs vi har en värdepappersmodell
med en aktie och en obligation. Aktiens prisprocess ges av ekvationen
S(t) = S(0)e�t+�W (t); 0 � t � T
där W = (W (t))0�t�T är en normaliserad Wienerprocess i tidsintervallet[0; T ] : Obligationens prisprocess ges av ekvationen
B(t) = B(0)ert; 0 � t � T:
Här är �; �; S(0); B(0) och r reella konstanter varav de fyra sista är positiva.Om � = �+ �2
2så följer att
dS(t) = S(t)(�dt+ �dW (t)):
Antag nu att ett enkelt derivat av europeisk typ har slutdagen T ochdenna dag utbetalar beloppet Y = g(S(T )); där g 2 P. Vi skall härleda ettteoretiskt pris för derivatet vid tiden t och ansätter att priset är av typenv(t; S(t)): Bilda därför vid tidpunkten t en portfölj bestående av ett derivatoch �� aktier. Dess värde är lika med
�(t) = v(t; S(t))��S(t):
Vi försöker därefter välja � så att portföljen lokalt avkastar lika mycket somett annat värdepapper i modellen, nämligen obligationen. Detta innebär att
d�(t) = r�(t)dt = (�(t)dB(t)
B(t)):
Med tanke på Itôs lemma betyder detta att
@v
@t(t; S(t))dt+
@v
@s(t; S(t))dS(t) +
1
2
@2v
@s2(t; S(t))(dS(t))2 ��dS(t)
= r(v(t; S(t))��S(t))dt
164
dvs
@v
@t(t; S(t))dt+
@v
@s(t; S(t))dS(t) +
�2S2(t)
2
@2v
@s2(t; S(t))dt��dS(t)
= r(v(t; S(t))��S(t))dt:Härav följer att
� =@v
@s(t; S(t))
och
@v
@t(t; S(t)) +
�2s2
2
@2v
@s2(t; S(t)) + rS(t)
@v
@s(t; S(t))� rv(t; S(t)) = 0:
Med dessa insikter i minnet de�nieras funktionen v(t; s); 0 � t � T;s > 0; som (den naturliga) lösningen till Black-Scholes di¤erentialekvation
@v
@t(t; s) +
�2s2
2
@2v
@s2(t; s) + rs
@v
@s(t; s)� rv(t; s) = 0; t < T; s > 0
med slutvillkoretv(T; s) = g(s):
Vidare de�nieras
hS(t) =@v
@s(t; S(t))
ochhB(t) = (v(t; S(t))� hS(t)S(t))=B(t)
för t < T . Då gäller att
v(t; S(t)) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t)
ochdv(t; S(t)) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t):
Optionsvärdet vid tiden t de�nieras lika med v(t; S(t)): Denna metod attbestämma optionspriser kallas �-hedging.Symboliken och en jämförelse med diskreta värdespappersmodeller gör
det frestande att kalla processen (hS(t); hB(t))0�t�T för en själv�nansierandestrategi (hS(T ) och hB(T ) har inte de�nierats men kan i kontinuerlig tidde�nieras godtyckligt). För att motivera begreppet väljs en indelning
0 = t0 < t1 < ::: < tn = T
165
av intervallet [0; T ] och vi antar att hS 2 L2loc [0; T ] och hB 2 L1loc [0; T ] ärtrapprocesser av följande typ:
hS(t) = hS(tk); tk � t < tk+1; k = 0; :::; n� 1
ochhB(t) = hB(tk); tk � t < tk+1; k = 0; :::; n� 1:
Vi de�nierar nu en värdeprocess
v(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t)
för alla 0 � t � T och antar att
dv(t) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t):
Notera att värdeprocessen v(t); t 2 [0; T ] ; är kontinuerlig eftersom
v(t) = v(0) +
Z t
0
hS(u)dS(u) +
Z t
0
hB(u)dB(u); 0 � t � T:
Vi �xerar nu k 2 f0; :::; n� 2g : Av ekvationerna
v(tk+1) = v(tk) + hS(tk)(S(tk+1)� S(tk)) + hB(tk)(B(tk+1)�B(tk))
ochv(tj) = hS(tj)S(tj) + hB(tj)B(tj); j = k; k + 1
dras slutsatsen att
hS(tk)S(tk+1) + hB(tk)B(tk+1)
= hS(tk+1)S(tk+1) + hB(tk+1)B(tk+1)
dvs omplacering från hS(tk) aktier och hB(tk) obligationer till hS(tk+1) ak-tier och hB(tk+1) obligationer vid tiden tk+1 går kostnadsmässigt jämnt uppi den meningen att försäljningssumman är lika med köpesumman. Strateginkräver alltså endast en initial investering och vi kallar den därför själv�-nansierande. Begreppet själv�nansierande portföljstategi har därför en ty-dlig innebörd då hS 2 L2loc [0; T ] och hB 2 L1loc [0; T ] är trapprocesser. Denstrategi vi inledningsvis �ck fram genom �-hedging kallas därför också fr om nu för själv�nansierande. Vi säger också att strategin (hS(t); hB(t))0�t�Tär en �-hedging av det aktuella derivatet.
166
Vår inledande �-hedging leder alltså till en själv�nansierande portföljs-trategi som dessutom replikerar Y = g(S(T )) i den meningen att port-följvärdet vid tiden T är lika med Y: Låt oss nu gå tillbaka till Black-Scholesdi¤erentialekvation
@v
@t(t; s) +
�2s2
2
@2v
@s2(t; s) + rs
@v
@s(t; s)� rv(t; s) = 0
med slutvillkoret.v(T; s) = g(s):
Det �nns en stokastisk representation av lösningen som kan beskrivas påföljande sätt. Vi inför först det så kallade marknadspriset för risk
� =�� r�
och de�nierarW �(t) =W (t) + �t; 0 � t � T:
Det följer att
dS(t) = S(t)(rdt+ �dW �(t)); 0 � t � T:
Cameron-Martins sats medför att det �nns ett mått Q ekvivalent med P såatt processen (W �(t))0�t�T är en normaliserad Brownsk rörelse. Detta geross (Feynman-Kac-)lösningen
v(t; s) = e�r�EQ [g(S(T )) j S(t) = s]
där � = T � t: Detta är i själva verket den gamla vanliga prisformeln för ettenkelt derivat av europeisk typ. Ekvationen
S(u) = S(0)e(r��2
2)u+�W�(u)
ger nämligen att
S(T ) = S(t)e(r��2
2)(T�t)+�(W�(T )�W�(t))
och
e�r�EQ [g(S(T )) j S(t) = s] = e�r�EQhg(se(r�
�2
2)(T�t)+�(W�(T )�W�(t)))
i
167
= e�r�EQhg(se(r�
�2
2)�+�W�(�))
i= e�r�E
hg(ser�e�
�2
2�+�W (�))
i:
Vi påminner om att sannolikhetsmåttet Q har den explicita formen
dQ = e��W (T )� 12�2TdP
och kallas för martingalmåttet i Black-Scholes modell.Vi återknyter nu till situationen i kapitel 1 och studerar en modell med
en aktie och en obligation med tidsberoende deterministiska koe¢ cienter.Aktiens prisprocess ges av ekvationen
dS(t) = S(t)(�(t)dt+ �(t)dW (t)); 0 � t � T
och obligationens av ekvationen
dB(t) = r(t)B(t)dt; 0 � t � T:
Här är r(t); �(t) och �(t) deterministiska funktioner av t och S(0) och B(0) ärkända positiva storheter. Det förutsätts att r; � 2 L1 [0; T ], � 2 L2 [0; T ] ochdet är dessutom naturligt att antaga att r(t) och �(t) är positiva storheter.Det gäller att
S(t) = S(0)eR t0 (�(u)�
12�
2(u))du+R t0 �(u)dW (u)
:
Vi vill nu värdera ett enkelt derivat med utbetalningsfunktionen g 2 Poch �-hedging leder, analogt med det tidigare fallet, till ekvationen
@v
@t(t; s) +
�2(t)s2
2
@2v
@s2(t; s) + r(t)s
@v
@s(t; s)� r(t)v(t; s) = 0
med slutvillkoretv(T; s) = g(s):
För att Feynman-Kac formel skall passa in är det naturligt ersätta �(t) medr(t) i den stokastiska di¤erentialekvationen för aktiepriset. Detta uppnåsgenom att införa processen
W �(t) =W (t) +
Z t
0
�(u)du; 0 � t � T
där
�(t) =�(t)� r(t)�(t)
; 0 � t � T
168
så attdS(t) = S(t)(r(t)dt+ �(t)dW �(t)); 0 � t � T:
Observera attS(t) = S(0)e
R t0 (r(u)�
12�
2(u))du+R t0 �(u)dW
�(u)
:
Vi antar nu att funktionen �; som kallas marknadspriset för risk, tillhörklassen L2(P ) och inför sannolikhetsmåttet
dQ = e�R T0 �(t)dW (t)� 1
2
R T0 �2(t)dtdP:
Cameron-Martins sats ger att processen (W �(t))0�t�T är en normaliseradWienerprocess relativt måttet Q och med hjälp av Feynman-Kac formel er-hålls därför att
v(t; s) = EQhg(S(T ))e
R Tt �r(u)du j S(t) = s
ieller
v(t; s) = e�R Tt r(u)duEQ
hg(S(t)e
R Tt (r(u)�
12�2(u))du+
R Tt �(u)dW�(u)) j S(t) = s
i= e�
R Tt r(u)duE
hg(S(t)e
R Tt (r(u)�
12�2(u))du+
R Tt �(u)dW (u)) j S(t) = s
idvs vi erhåller samma formel som i kapitel 1.Vi skall närmast undersöka vad�-hedging kan ge för värdering av ränted-
erivat om det förutsätts att den korta räntan beskrivs av en enkel di¤usion-sprocess och priset för en T -obligation är en deterministisk funktion av kortaräntan. Vi repeterar att en så kallad T -obligation är en nollkupongsoblig-ation med lösendag T och nominellt värde 1 dvs ett kontrakt som betalarinnehavaren beloppet 1 vid tiden T och sedan är borta från marknaden. Vibetecknar obligationspriset vid tiden t med p(t; T ) och skriver
p(t; T ) = e�R(t;T )(T�t):
Den korta räntan r(t) vid tiden t de�nieras av ekvationen
r(t) = limT!t
R(t; T ):
SättB(t) = B(0)e
R t0 r(u)du; t � 0
169
så attdB(t) = r(t)B(t)dt:
Liksom i kapitel 6 uppfattas processen B som prisprocessen för ett värdepap-per.Vi antar fr o m nu att den korta räntan beskrivs av en di¤usionsprocess
dr(t) = �(t; r(t))dt+ �dW (t); 0 � t � Tfin
där W är en normaliserad Brownsk rörelse. Här förutsätts att �(t; r) är enreellvärd deterministisk funktion av t och r: Vidare antags att � en positivkonstant samt att p(t; T ) = F (t; r(t);T ), där F (t; r;T ) är en deterministiskfunktion av t, r och T: Det är ibland praktiskt att skriva F (t; r(t);T ) =F T (t; r(t)):Låt nu 0 < T < U � Tfin och antag att vi vill hedga T -obligationen
med U -obligationen. Vi bildar därför vid tiden t en portfölj bestående av enT -obligation och �� U -obligationer. Portföljvärdet vid tiden t blir
�(t) = F (t; r(t);T )��F (t; r(t);U):
Vi försöker nu välja � så att
d�(t) = r(t)�(t)dt = (�(t)dB(t)
B(t)):
Itôs lemma ger�@F T
@tdt+
@F T
@rdr +
�2
2
@2F T
@r2dt
���
�@FU
@tdt+
@FU
@rdr +
�2
2
@2FU
@r2dt
�= r(t) fF (t; r(t);T )��F (t; r(t);U)g dt:
Härav följer att
� =@FT
@r@FU
@r
och@FT
@t+ �2
2@2FT
@r2� rF T
@FT
@r
=@FU
@t+ �2
2@2FU
@r2� rFU
@FU
@r
:
Dessa kvoter är alltså oberoende av T och U: Sätt
�(t) = �(t; r(t)) =@FT
@t+ �2
2@2FT
@r2+ �@F
T
@r� rF T
� @FT
@r
:
170
Processen (�(t))t�0 kallas för marknadspriset för risk, ett ordval som mo-tiveras nedan. Observera att
@F T
@t(t; r(t)) +
�2
2
@2F T
@r2(t; r(t))
+(�(t; r(t))� ��(t; r(t))@FT
@r(t; r(t))� r(t)F T (t; r(t)) = 0:
Dessutom gäller attF T (T; r(T )) = 1:
Vi leds alltså till den paraboliska di¤erentialekvationen
@F T
@t(t; r) +
�2
2
@2F T
@r2(t; r) + (�(t; r)� ��(t; r))@F
T
@r(t; r)� rF T (t; r) = 0
i området t < T; r 2 R med slutvillkoret
F T (T; r) = 1:
För att �nna en stokastisk representation av av lösningen sätts
�(t) =
Z t
0
�(u)du; 0 � t � T
ochW �(t) =W (t) + �(t); 0 � t � T:
Då gäller att
dr(t) = (�(t; r(t))� ��(t; r(t)))dt+ �dW �(t); 0 � t � T:
Vi antar nu att det �nns ett sannolikhetsmått Q ekvivalent med P så attså att processen (W �(t))0�t�T är en normaliserad Wienerprocess relativt Q.Vi får därmed (Feynman-Kac-)lösningen
F (t; r;T ) = EQhe�
R Tt r(s)ds j r(t) = r
i:
Om�(t; r(t))� ��(t; r(t)) = b� ar(t)
för lämpliga positiva konstanter a och b så har vi Vasiµceks modell. Om
�(t; r(t))� ��(t; r(t)) = �(t)� ar(t)
171
där a är en positiv konstant och � en deterministisk funktion så får vi Hull-Whites modell. I kapitel 6 visades att
p(t;T ) = F (t; r(t);T ) = eA(t;T )�B(t;T )r(t)
för lämpliga deterministiska funktioner A(t; U) och B(t; U):Antag nu att vi arbetar i Hull-Whites modell och vill värdera en enkelt
derivat med slutdag T som denna dag utbetalar beloppet g(r(T )): Det ärrimligt att antaga att derivatets pris vid tiden t är av typen F (t; r(t)): Vibildar därför vid tiden t en portfölj bestående av ett derivat och �� U -obligationer, där U � T är godtyckligt. Portföljvärdet vid tiden t blir
�(t) = F (t; r(t))��F (t; r(t);U):
Vi försöker därför välja � så att
d�(t) = r(t)�(t)dt:
Itôs lemma ger�@F
@tdt+
@F
@rdr +
�2
2
@2F
@r2dt
���
�@FU
@tdt+
@FU
@rdr +
�2
2
@2FU
@r2dt
�= r(t) fF (t; r(t))��F (t; r(t);U)g dt:
Härav följer att
� =@F@r@FU
@r
och@F@t+ �2
2@2F@r2
� rF@F@r
=@FU
@t+ �2
2@2FS
@r2� rFU
@FU
@r
:
Alltså är
�(t; r(t)) =@F@t+ �2
2@2F@r2
+ �@F@r� rF
� @F@r
och@F
@t+�2
2
@2F
@r2+ (�(t; r(t))� ��(t; r(t)))@F
@r� rF = 0:
Om vi skriver
dF = (@F
@tdt+
�2
2
@2F
@r2+ �
@F
@r)dt+ �
@F
@rdW
172
på formendF = F (�Fdt+ �FdW )
där således
�F =@F@tdt+ �2
2@2F@r2
+ �@F@r
F
är den lokala medelavkastningen för derivatet per tidsenhet och
�F =� @F@r
F
så blir marknadspriset för risk lika med
�(t; r(t)) =�F (t)� r�F (t)
:
Genom att utnyttja att
F (T; r(T )) = g(r(T ))
så ger Feynman-Kac formel ger under lämpliga förutsättningar på g att
F (t; r) = EQhe�
R Tt r(s)dsg(r(T )) j r(t) = r
iOm derivatet ifråga är en köpoption i U -obligationen med slutdag T ochlösenpris K blir
g(r(T )) = max(0; p(T; U)�K)= max(0; eA(T;U)�B(T;U)r(T ) �K):
Köpoptionens pris call(t;K; T; U) vid tiden t � T erhålls genom att beräkna
call(t;K; T; U) = EQhe�
R Tt r(s)dsmax(0; eA(T;U)�B(T;U)r(T ) �K) j r(t)
ivilket i princip är enkelt eftersom eftersom (
R Ttr(s)ds; r(T )) har en bivariat
normalfördelning. Räkningarna blir dock jobbiga och vi gör beräkningenenklare genom byte av numerär.
Sats 1. Antag T < U: I Vasiµceks och Hull-Whites modeller gäller att
call(t;K; T; U) = p(t; U)�(d)� p(t; T )K�(d� �p)
173
där
d =1
�pln
p(t; U)
Kp(t; T )+1
2�p
och
�p =1
a
�1� e�a(U�T )
r�22af1� e�2a(T�t)g :
Bevis. Vi inför T -obligationen som numerär och får
g(r(T )) = p(T; T )max(0;p(T; U)
p(T; T )�K)
Sätt
S(t) =p(t; U)
p(t; T ); 0 � t � T
ochB(t) = 1; 0 � t � T :
Notera attS(t) = e(A(t;U)�A(t;T ))�(B(t;U)�B(t;T ))r(t)
ochdS(t) = S(t)( (t; r(t))dt� (B(t; U)�B(t; T ))dr(t))
för en lämplig stokastisk process (t; r(t)); 0 � t � T . Vi ansätter attoptionen har värdet v(t; r(t)) kr vid tiden t 2 [0; T ] och skriver
v(t; r(t)) = p(t; T )w(t; S(t)):
Vid en godtycklig tidpunkt t 2 [0; T ] bildas en portfölj bestående av enköpoption i U -obligationen och �� U -obligationer. Portföljens värde �(t) iden nya prisenheten vid tiden t är lika med
�(t) = w(t; S(t))��S(t):
Antag nu att
d�(t) = 0 (= �(t)dB(t)
B(t)):
Itôs lemma ger
@w
@t(t; S(t))dt+
@w
@s(t; S(t))dS(t) +
1
2
@2w
@s2(t; S(t))(dS(t))2 ��dS(t) = 0
174
dvs
@w
@t(t; S(t))dt+
@w
@s(t; S(t))dS(t)+
�2(B(t; U)�B(t; T ))2S(t)22
@2w
@s2(t; S(t))dt
��dS(t) = 0:Härav följer att
� =@w
@s(t; S(t))
och@w
@t(t; S(t)) +
�2(B(t; U)� S(t; T ))2S(t)22
@2w
@s2(t; S(t)) = 0:
Vi leds alltså till ekvationen
@w
@t(t; s) +
�2(B(t; U)�B(t; T ))2s22
@2w
@s2(t; S(t)) = 0
med slutvillkoretw(T; s) = max(0; s�K):
Vi vet redan från kapitel 1, exempel 1, att denna ekvation har (den naturliga)lösningen
w(t; s) = s�(d(s))�K�(d(s)� ��)där
d(s) =1
��lns
K+1
2��
och
�� = �
sZ T
t
(B(u; U)�B(u; T ))2du:
Optionens värde vid tiden t uttryckt i kr blir således
v(t; S(T )) = p(t; T )w(t; S(T ))
= p(t; U)�(d(S(t))� p(t; T )K�(d(S(t))� ��):Genom att utnyttja att
B(t; T ) =1
a(1� e�a(T�t))
följer slutligen att�p = ��
175
vilket visar satsen. []
För mer om �-hedging hänvisas till Wilmotts, Dewynnes och Howisonsbok [WDH].Vi avslutar detta kapitel med några mer praktiska synpunkter på �-
hedging. Antag vi säljer en köpoption med slutdag K och lösenpris T vidtiden 0: Försäljningspriset � är vår intäkt och vi får dessutom en vid försäljn-ingstillfället osäker utgift på beloppet max(0; S(T )�K) vid tiden T: Det ärsjälvklart att vi kan göra en förlust på optionsa¤ären. Kan Black-Scholesteori vara till nytta?I resonemanget nedan förutsätts att vi har en stark tro på Black-Scholes
teori och säljer optionen till den implicita volatiliteten � som också är våruppfattning om aktieprisets volatilitet. Om
c(t; s) = s�(d1)�Ke�r��(d2)
där � = T � t > 0;
d1 =ln s
K+ (r + �2
2)�
�p�
och d2 = d1 � �p� ; så bestäms därför � så att
c(0; S(0)) = �:
Av intäkten � placeras beloppet
@c
@s(0; S(0))S(0)
i aktier och resten
�� @c@s(0; S(0))S(0)
på ett banksaldo (observera att saldot är negativt). Nästa dag har dennaportfölj värdet �(1); som fördelas på @c
@s(1; S(1)) aktier och resten av port-
följvärdet placeras på ett banksaldo. Proceduren upprepas till slutdagenT: För att komma närmare förutsättningarna i Black-Scholes modell förut-sätts att hedgingen utförs i kontinuerlig tid dvs portföljvärdet �(t) vid tident fördelas på @c
@s(t; S(t)) aktier och resten av portföljvärdet placeras på ett
banksaldo. Härigenom erhålls en själv�nansierande portföljstrategi varför
d�(t) =@c
@s(t; S(t))dS(t) + r(�(t)� @c
@s(t; S(t)S(t))dt
176
och �(0) = �: Vår vinst vid tiden T på optionsa¤ären är lika med
V = �(T )�max(0; S(T )�K):
Om förutsättningarna i Black-Scholes modell är uppfyllda är V = 0:Antag nu att vår uppfattning om aktieprisets volatilitet är fel. Antag att
aktiepriset beskrivs av den stokastiska di¤erentialekvationen
dS(t) = S(t)(a(t)dt+ b(t)dW (t)); 0 � t � T
där a 2 L1loc [0; T ], b 2 L2loc [0; T ] och där volatiliteten b(t) = b(t; !) inte ärlika med �. Volatiliteten kan här t o m vara stokastisk. Vad kan sägas omV i detta fall?I samband med denna fråga visar sig köpoptionens gamma vara viktig.
Köpoptionens gamma (enligt vår uppfattning om �) ges av
�(t; s) =@2c
@s2(t; s)
där
�(t; s) =1
s�p2��
e�d212 :
Sätt nuV (t) = �(t)� c(t; S(t)); 0 � t � T
och notera att V (0) = 0 och V (T ) = V: Vidare är
dV (t) = d�(t)� dc(t; S(t))
=@c
@s(t; S(t))dS(t) + r(�(t)� @c
@s(t; S(t))S(t))dt
�(@c@t(t; S(t))dt+
@c
@s(t; S(t))dS(t) +
1
2b2(t)S2(t)
@2c
@2s(t; S(t))dt)
= (r�(t)� r @c@s(t; S(t))S(t)� @c
@t(t; S(t))� 1
2b2(t)S2(t)
@2c
@2s(t; S(t)))dt:
Genom att utnyttja Black-Scholes di¤erentialekvation
@c
@t(t; S(t)) +
�2
2S2(t)
@2c
@s2(t; S(t)) + rS(t)
@c
@s(t; S(t))� rc(t; S(t)) = 0
177
erhålls
dV (t) = rV (t)dt+�2 � b2(t)
2S2(t)
@2c
@s2(t; S(t))dt:
Denna ordinära di¤erentialekvation kan lösas explicit och det följer att
V (T ) =
Z T
0
er(T�t)�2 � b2(t)
2S2(t)
@2c
@s2(t; S(t))dt
dvs
V =
Z T
0
er(T�t)�2 � b2(t)
2S2(t)�(t; S(t))dt:
Eftersom � > 0 blir V > 0 om �2 > b2(t) för alla 0 � t � T och vi gör idetta fall en vinst. Å andra sidan kan det vara svårt att sälja optionen tillen hög implicit volatilitet (dvs högt optionspris). Om �2 < b2(t) för alla0 � t � T blir V < 0. Att underskatta volatiliteten leder till förlust.Resonemanget blir analogt för en europeisk säljoption.
Övningar
1. Antag att volatiliteten för ett aktiepris vid tiden t är en deterministiskfunktion av t och aktiepriset S(t) vid tiden t: Härled en motsvarighettill Black-Scholes di¤erentialekvation.
2. Antag " > 0: En marknadsmodell består av en aktie och en obligationmed prisprocesserna
dS(t) = S(t)(dt+ (t+ ")dW (t))
respektivedB(t) = B(t)dt
i tidsintervallet 0 � t � T:a) Visa att
(S(t)
B(t))0�t�T
är en martingal.
178
b) Ett betingat kontrakt ger innehavaren beloppet Y = eW (T )+T2 vid
tiden T: Visa att (hS(t) =
1(t+")S(t)
eW (t)+ t2
hB(t) = (1� 1t+") 1B(t)eW (t)+ t
2
de�nierar en hedging av Y sådan att
(S(t)hS(t))0�t�T 2 L2 [0; T ]
och(hB(t))0�t�T 2 L1loc [0; T ] :
c) Visa att Z T
0
(S(t)hS(t))2dt!1 n.s.
då "! 0:
3. Låt f :R!R vara en begränsad kontinuerlig funktion och :R! [0;1[en mätbar funktion. Antag
@v
@t(t; x) +
�2
2
@2v
@s2(t; x) + �
@v
@x(t; x)� (x)v(t; x) = 0; t < T; x 2 R
ochv(T; x) = f(x); x 2 R:
Feynman-Kac lösning ges av
v(t; x) = Ehf(X(T ))e�
R Tt (X(s))ds j X(t) = x
idär
dX(t) = �dt+ �dW (t); 0 � t � T:
Låt a; b 2 R; a < b; och n 2 N och sätt
= n = n1]�1;a[[]b;1[:
Försök (genom att låta n!1) motivera att ekvationen
@u
@t(t; x) +
�2
2
@2u
@s2(t; x) + �
@u
@x(t; x) = 0; t < T; a < x < b
179
med randvillkoret
u(x; t) = 0 om x = a eller b
och slutvillkoretu(T; x) = f(x); x 2 R
löses av funktionen
u(t; x) = E�f(X(T ))1[a<X(s)<b alla t�s�T ] j X(t) = x
�:
I de följande övningarna förutsätts Black-Scholes modell. Det antagsatt det underligganade sannolikhetsrummet ät komplett och att Ft ärden �-algebra som genereras av nollmängderna och aktiepriset t o mtiden t: Om (X(t); Ft)0�t�T är en martingal med avseende på det un-derliggande sannolikhetsrummet (; FT ; Q) sägs processen (X(t))0�t�Tvara en Q-martingal.
4. Beskriv �-hedging för en aktieköpoption.
5. Antag �1 < A < S(0) < B <1. Ett �nansiellt derivat av europeisktyp ger innehavaren beloppet R slutdagen T om
A < S(t) < B alla t 2 [0; T ]
och i annat fall utbetalas ingenting. Beräkna derivatets värde vid tiden0:
6. Låt Q vara martingalmåttet för Black-Scholes modell i tidsintervallet[0; T ] och låt I vara ett delintervall av reella tallinjen. Redogör för hursannolikheten Q [S(T ) 2 I] kan bestämmas vid tiden t = 0 om prisernapå alla köpoptioner med slutdag T och godtyckligt lösenpris K > 0 ärkända vid tiden t = 0:
7. Visa attd(e�rtS(t)) = �e�rtS(t)dW �(t):
180
8. Antag
@v
@t(t; s) +
�2s2
2
@2v
@s2(t; s) + rs
@v
@s(t; s)� rv(t; s) = 0
ochdS(t) = S(t)(rdt+ �dW �(t)):
a) Visa att
d(e�rtv(t; S(t))) = �e�rtv0s(t; S(t))S(t)dW�(t):
c) Antag T > 0 och v(T; s) = g(s); där g 2 P. Visa att
E
�Z T
0
(v0s(t; S(t))S(t))2dt
�<1:
9. En portföljstrategi bestående av hS(t) aktier och hB(t) obligationervid tiden t 2 [0; T ] sägs vara en tillåten själv�nansierande strategi omportföljvärdet
v(t) = hS(t)S(t) + hB(t)B(t)
uppfyller ekvationen
dv(t) = hS(t)dS(t) + hB(t)dB(t)
i intervallet 0 � t � T där hS och att hB är progressivt mätbara och
EQ�Z T
0
(hS(t)S(t))2dt
�<1
och Z T
0
j hB(t) j dt <1 n.s: [P ]
a) Visa attd(e�rtv(t)) = �e�rthS(t)S(t)dW
�(t)
och dra slutsatsen att den diskonterade värdeprocessen (e�rtv(t))0�t�Tär en Q-martingal:
b) Visa att det inte kan inträ¤a att
v(0) = 0; v(T ) � 0 n.s. [P ]
ochE [V (T )] > 0:
181
10. Antag Y 2 L2(;FT ; Q) och
Y = EQ [Y ] +
Z T
0
f(t)dW �(t)
där f är progressivt mätbar och
EQ�Z T
0
f 2(t)dt
�<1:
(Itôs representationssats garanterar alltid en sådan representation avgodtyckligt Y 2 L2(;FT ; Q) .) Visa att det �nns en tillåten själv�-nansierande strategi som har värdeprocessen
v(t) = e�r(T�t)EQ [Y j Ft] ; 0 � t � T:
(I Black-Scholes teori de�nieras v(t) som det teoretiska priset för ettbetingat kontrakt som ger innehavaren beloppet Y vid tiden T . I nästakapitel motiveras denna de�nition genom att studera Y av formeng(S(T1); :::; S(Tn)):)
11. Antag 0 < T0 < T och � > 0: Ett �nansiellt derivat ger innehavarenbeloppet S(T0)��S(0) vid tiden T0 om S(T0)��S(0) > 0: I motsatt fallerhåller innehavaren vid tiden T0 en köpoption i aktien med slutdagenT och lösenpriset �S(T0): Bestäm derivatets värde vid tiden 0:
12. En europeisk köpoption i aktien med slutdagen T och lösenprisetK hardet teoretiska priset c(t; S(t); K) vid tiden t 2 [0; T [ ; där c(t; s;K) =s�(d1)�Ke�r��(d2); � = T � t;
d1 =ln s
K+ (r + �2
2)�
�p�
och d2 = d1 � �p� : Visa att
a)@c
@s= �(d1)
b)c(t; s;K)
c(t; s0; K)>s
s0om s > s0:
182
13. AntagdS(t) = S(t)(�dt+ �dW (t)); 0 � t � T
och
R =S(T )
S(0)� 1:
Visa att
�2 =1
Tln(1 +
Var(R)(1 + E [R])2
):
14. Antag 0 < T0 < T och � > 0: Ett �nansiellt derivat av europeisk typger innehavaren beloppet
max(0; S(T )� �S(T0))
slutdagen T: Bestäm derivatets pris vid en godtycklig tidpunkt t i inter-vallet [0; T ] : Beskriv också en �-hedging av derivatet i tidsintervallet[0; T ] :
15. Diskutera hur en option kan hedgas med en annan option.
183
9. Några exotiska optioner i Black-Scholes modell
I detta kapitel arbetar vi genomgående i Black-Scholes modell dvs vi har envärdepappersmodell med en aktie och en obligation. Aktiens prisprocess gesav ekvationen
S(t) = S(0)e�t+�W (t); 0 � t � Tdär W = (W (t))0�t�T är en normaliserad Wienerprocess i tidsintervallet[0; T ] : Obligationens prisprocess ges av ekvationen
B(t) = B(0)ert; 0 � t � T:
Här är �; �; S(0); B(0) och r reella konstanter varav de fyra sista är positiva.Om � = �+ �2
2så följer att
dS(t) = S(t)(�dt+ �dW (t)):
Antag nu vi har ett enkelt derivat av europeisk typ som utbetalar beloppetg(S(T )) slutdagen T; där g 2 P. Vi visade i förra kapitlet att det �nns enstokastisk representation av lösningen som kan beskrivas på följande sätt.Inför först marknadspriset för risk
� =�� r�
och sättW �(t) =W (t) + �t; 0 � t � T:
Det följer att
dS(t) = S(t)(rdt+ �dW �(t)); 0 � t � T:
Om vi inför martingalmåttet Q = QT genom att
dQ = e��W (T )� 12�2TdP
så ges derivatets värde vid tiden t � T av
v(t) = e�r�EQ [g(S(T )) j S(t)]
= e�r�EQ [g(S(T )) j Ft]
184
där Ft = �(S(u); u � t) och � = T � t: Vidare är processen
W �(t) =Wt + �t; 0 � t � T
en normaliserad reellvärd Wienerprocess i tidsintervallet [0; T ] relativt san-nolikhetsmåttet Q: Om T0 < T och X 2 L2(;FT0 ; QT ) så gäller att
EQT
[X] = EQT0 [X]
ochEQ
T
[X j Ft] = EQT0 [X j Ft] ; 0 � t � T0
eftersom processen(e��W (t)� 1
2�2t;Ft)0�t�T
är en P�martingal.Ett derivat som till innehavaren utbetalar ett FT -mätbart belopp Y
slutdagen T kallas för ett betingat kontrakt (i matematiska miljöer iden-ti�eras ofta derivatet och Y ). För att betona att kontraktet endast kan lösasin slutdagen T kan man tillägga att derivatet är av europeisk typ. Lik-som för enkla derivat är det mycket praktiskt att tillåta att Y får antaganegativa såväl som icke-negativa värden. Syftet med detta kapitel är att be-handla prissättning av betingade kontrakt, som också ibland kallas exotiskaoptioner.Betrakta ett derivat som utbetalar ett belopp Y 2 L2(;FT ; Q) vid tiden
T . Det är rimligt att de�niera derivatets (teoretiska) värde v(t) vid tiden t< T genom ekvationen
v(t) = e�r�EQ [Y j Ft]
där som vanligt � = T � t. För att motivera detta antag först att t < T1 <::: < Tn = T och att
Y = g(S(T1); S(T2); :::; S(Tn))
där funktionen g : Rn ! R är begränsad och mätbar. Från prisformeln förenkla derivat av europeisk typ följer att
v(Tn�1) = e�r(Tn�Tn�1)EQ
�Y j FTn�1
�är av formen
h(S(T1); :::; S(Tn�1))
185
för en lämplig begränsad mätbar funktion h. Låt oss nu före tiden Tn�1 sederivatet som ett derivat som ger innehavaren beloppet h(S(T1); :::; S(Tn�1))vid tiden Tn�1: Ett lämpligt induktionsantagande leder nu till att
v(t) = e�r(Tn�1�t)EQTn�1
[h(S(T1); :::; S(Tn�1)) j Ft]
= e�r(Tn�1�t)EQ [h(S(T1); :::; S(Tn�1)) j Ft] :
Här är uttrycket i höger led lika med
v(t) = e�r(Tn�1�t)EQ�e�r(Tn�Tn�1)EQ
�Y j FTn�1
�j Ft�
= e�r�EQ [Y j Ft] :
För godtyckligt Y 2 L2(;FT ; Q) de�nieras därför derivatets (teoretiska)värde v(t) vid tiden t < T av formeln
v(t) = e�r�EQ [Y j Ft] :
Priset för ett betingat kontrakt av typen
g(S(T1); :::; S(Tn))
kan beräknas med hjälp av följande sats.
Sats 1 (Beräkningsformel för Q-mått) Antag g : Rn ! R är en Borel-funktion, g(S(T1); :::; S(Tn)) 2 L1(Q) och låt t � T1 < ::: < Tn = T: Dågäller att
EQ [g(S(T1); :::; S(Tn)) j Ft]
= Ehg(se(r�
�2
2)(T1�t)+�(WT1
�Wt); :::; se(r��2
2)(Tn�t)+�(WTn�Wt))
idär s = S(t) skall sättas in i uttrycket i höger led när väntevärdet beräknats:Alltså gäller även att
EQ [g(S(T1); :::; S(Tn)) j Ft]
= Ehg(se(r�
�2
2)(T1�t)+�W (T1�t); :::; se(r�
�2
2)(Tn�t)+�W (Tn�t))
i
186
där s = S(t) skall sättas in i uttrycket i höger led när väntevärdet beräknats.
Bevis. Vi har attEQ [g(S(T1); :::; S(Tn)) j Ft]
= EQhg(S(t)e(��
�2
2)(T1�t)+�(W (T1)�W (t)); :::; S(t)e(��
�2
2)(Tn�t)+�(W (Tn)�W (t))) j Ft
i= EQ
hg(S(t)e(r�
�2
2)(T1�t)+�(W�(T1)�W�(t)); :::; S(t)e(r�
�2
2)(Tn�t)+�(W�(Tn)�W�(t))) j Ft
i= EQ
hg(se(r�
�2
2)(T1�t)+�(W�(Tn)�W�(t)); :::; se(r�
�2
2)(Tn�t)+�(W�(Tn)�W�(t)))
i= E
hg(se(r�
�2
2)(T1�t)+�(W (T1)�W (t)); :::; se(r�
�2
2)(Tn�t)+�(W (Tn)�W (t)))
ivilket bevisar satsen. []
Exempel 1 (Forwardstartande köpoption). Antag T0 < T och betraktaett betingat kontrakt Y = max(0; S(T )�S(T0)) med slutdagen T: Om t � Tär S(T0) känd vid tiden t och vi har en vanlig köpoption. I annat fall talarvi om en forwardstartande köpoption. Optionens värde vid tiden T0 ges av
�Y (T0) = S(T0))c(T0; 1; 1;T )
därc(T0; 1; 1;T ) =
= �((r +�2
2)
pT � T0�
)� e�t(T�T0)�((r + �2
2)
pT � T0�
)
Alltså är�Y (t) = S(t))c(T0; 1; 1;T ); om t � T0:
Låt N vara ett positivt heltal och sätt
tn =n
NT; n = 0; :::; N:
Ett kontrakt som ger innehavaren beloppet max(0; S(tn)�S(tn�1) vid tidentn för n = 1; :::; N kallas ibland en cliquetoption.
187
Exempel 2 (Cliquetoption med golv). Låt n vara ett positivt heltaloch sätt
tk =k
nT; k = 0; :::; n:
Storheten
Rk =S(tk)
S(tk�1)� 1
kallas aktiens (procentuella) marknadsavkastning i tidsintervallet [tk�1; tk]för k = 1; :::; n: Antag R är ett givet positivt tal. Ett betingat kontrakt somslutdagen T ger innehavaren beloppet
Y = max(0; R +nXk=1
min(0; Rk))
kallas för en cliquetoption med golv . Det är praktiskt att skriva Xk = �Rkoch min(0; Rk) = �max(0; Xk) = �X+
k så att
Y = max(0; R�nXk=1
X+k ):
Priset vid tiden t < T ges av formeln
�Y (t) = e�r�EQ
"max(0; R�
nXk=1
X+k ) j Ft
#:
Här kan sats 1 utnyttjas för att beräkna ciquetoptionens pris. I allmänhetär det väldigt tidsödande att beräkna multipelintegraler men denna gång kanen kombination av sats 1 och Fourieranalys utnyttjas för att få en explicitoch enkel prisformel. Vi nöjer oss med att beräkna priset vid tiden 0:Sätt
�(x) = max(0; R� j x j); x 2 R.Det är bekant från Fourieranalysen att denna funktion har Fouriertransfor-men
(2 sin R
2�
�)2
dvs att
�(x) =
Z 1
�1(2 sin R
2�
�)2ei�x
d�
2�:
188
Härav följer att
max(0; R� x) =Z 1
�1(2 sin R
2�
�)2ei�x
d�
2�; x � 0:
Alltså är
�Y (0) = e�rTEQ
"max(0; R�
nXk=1
X+k )
#
= e�rTEQ
"Z 1
�1(2 sin R
2�
�)2ei�
Pnk=1X
+kd�
2�
#
= e�rTEQ
"Z 1
�1(2 sin R
2�
�)2
nYk=1
ei�X+kd�
2�
#
= e�rTZ 1
�1(2 sin R
2�
�)2EQ
"nYk=1
ei�X+k
#d�
2�:
Eftersom de stokastiska variablerna X+1 ; :::; X
+n bildar en i.i.d. följer att
�Y (0) = e�rT
Z 1
�1(2 sin R
2�
�)2(EQ
hei�X
+1
i)nd�
2�:
Beroende på sats 1 kan vi nu skriva
�Y (0) = e�rT
Z 1
�1(2 sin R
2�
�)2(E
hei�X
+i)Nd�
2�
därX = 1� ea+bG;
G 2 N(0; 1); a = (r � �2
2)Tnoch b = �
qTn: Det gäller att
P�X+ � x
�= 0 om x < 0
ochP�X+ = 0
�= P
�(1� ea+bG)+ = 0
�= P [a+ bG � 0] = �(a
b):
189
Om 0 < x < 1 blir
P�0 < X+ � x
�= P [0 < X � x]
= P�a+ bG < 0; 1� ea+bG � x
�= P
�G < �a
b; G � �a
b+1
bln(1� x)
�=
Z �ab
�ab+ 1bln(1�x)
e�u2
2dup2�
=
Z x
0
f(y)dy
därf(x) =
1
bp2�
1
1� xe� 12(ab� 1bln(1�x))2 :
Alltså är
Ehei�X
+i= �(
a
b) +
Z 1
0
f(x)ei�xdx
och därmed gäller att
�Y (0) = e�rT
Z 1
�1(2 sin R
2�
�)2(�(
a
b) +
Z 1
0
f(x)ei�xdx)nd�
2�:
Såvitt vi vet kom en cliquetoption med golv för första gången ut på sven-ska marknaden i slutet av år 2000. I detta fall var n = 18 (se t ex BjörnWilkes artikel �Cliquet sätter bara räntan på spel�, Dagens industri 29 no-vember 2000).
Exempel 3 (Geometrisk medelvärdesoption). På marknaden förekom-mer ofta olika typer av asiatiska optioner. Ett typiskt sådant betingat kon-trakt Y med slutdagen T ges av
Y = max(0;1
T
Z T
0
S(u)du�K)
där K är en postiv konstant, ofta kallad lösenpris. Här �nns ingen kändanalytisk prisformel men det �nns �era approximativa metoder som ger bra
190
resultat (se t ex [RS]). PDE-metoder belyses i ett senare kapitel. I detta sam-manhang kan den så kallade geometriska medelvärdesekvationen ha ett visstpedagogiskt intresse. Antag K och T är positiva reella tal. Den geometriskamedelvärdesoptionen av europeisk typ med lösenvärdet
Y = max(0; e1T
R T0 lnS(t)dt �K)
vid tiden T har det teoretiska priset
�Y (t) = e�r�nem+
12�2��(d1)�K�(d2)
ovid tiden t 2 [0; T [ ; där � = T � t;
m =1
T
�Z t
0
lnS(u)du+ � lnS(t) + (r � �2
2)� 2
2
�;
�� =
r�2� 3
3T 2;
d1 =m+ �2� � lnK
��
och
d2 =m� lnK��
:
För att bevisa påståendet konstaterar vi först attZ T
0
W (t)dt 2 N(0; T 3=3):
En partiell integration visar nämligen attZ T
0
W (t)dt =
Z T
0
(T � t)dW (t)
och
E
"�Z T
0
W (t)dt
�2#= E
"�Z T
0
(T � t)dW (t)�2#
191
=
Z T
0
(T � t)2dt = T 3=3:
För att härleda den geometriska medelvärdesoptionens pris införs
Z(t) =
Z t
0
lnS(u)du
så attv(t) = e�r�EQ
hmax(0; e
Z(t)T+Z(T )�Z(t)
T �K) j Fti
ochv(t) = e�r�EQ
hmax(0; e
zT+ 1T
R Tt lnS(u)du �K)
idär z = Z(t) skall sättas in i uttrycket när väntevärdet beräknats. Av ekva-tionen
S(t) = S(0)e(���2
2)t+Wt
får vi
lnS(u) = lnS(t) + (�� �2
2)(u� t) + �(W (u)�W (t))
= lnS(t) + (r � �2
2)(u� t) + �(W �(u)�W �(t)):
Alltså gäller att
v(t) = e�r�EQhmax(0; em+
�T
R Tt (W
�(u)�W�(t))du �K)i
= e�r�Ehmax(0; em+
�T
R Tt (W (u)�W (t))du �K)
i=
= e�r�Ehmax(0; em+
�T
R T�t0 W (u)du �K)
i:
= e�r�E
�max(0; em+
�T
q(T�t)3
3G �K)
�= e�r�E
�max(0; em+��G �K)
�där G 2 N(0; 1): En enkel räkning visar nu resultatet.
Så kallade barriäroptioner och lookback-optioner kan värderas genom attutnyttja den kända fördelningen för maximium eller minimum av Brownsk
192
rörelse med linjär drift över ett kompakt intervall. Låt � 2 R och � > 0:Sätt
X(t) = �t+ �W (t); 0 � t � Toch antag att x > 0; x � y och t > 0: Vi visade i kapitel 4 att
P
�max0�u�t
X(u) � x; X(t) � y�= �(
y � �t�pt)� e
2�x�2 �(
y � 2x� �t�pt
):
Eftersommin0�u�t
X(u) = � max0�u�t
(�X(u))
och (�W (t))0�t�T är en normaliserd Wienerprocess följer att
P
�min0�u�t
X(u) � �x; X(t) � �y�= �(
y + �t
�pt)� e�
2�x�2 �(
y � 2x+ �t�pt
):
Bärriäroptioner framträdde redan under den heroiska perioden 1973-1980och torde vara vanligaste typen av exotisk option. Det �nns väldigt mångatyper av barriäroptioner och här ger vi endast två exempel.
Exempel 4 (Binär ned-och-ut option). Antag 0 < H < S(0) och be-trakta ett betingat kontrakt med
Y = R1[min0�t�T S(t)>H]
där R är en positiv konstant. Denna option av barriäroptionstyp kallas enbinär ned-och-ut option. Det gäller att
�Y (0) = e�rTEQ
hR1[min0�t�T S(t)>H]
i:
EftersomS(t) = S(0)e(r�
�2
2)t+�W�(t)
gäller attmin0�t�T
S(t) > H
om och endast om
min0�t�T
((r � �2
2)t+ �W �(t)) > ln
H
S(0):
193
Men
Q
�min0�t�T
((r � �2
2)t+ �W �(t)) > ln
H
S(0)
�
= �(ln S(0)
H+ (r � �2
2)T
�pT
)� e(2r��2) ln H
S(0)
�2 �(ln H
S(0)+ (r � �2
2)T
�pT
)
= �(ln S(0)
H+ (r � �2
2)T
�pT
)� ( HS(0)
)2r�2�1�(
ln HS(0)
+ (r � �2
2)T
�pT
):
Alltså är
�Y (0) = e�rTR
(�(ln S(0)
H+ (r � �2
2)T
�pT
)� ( HS(0)
)2r�2�1�(
ln HS(0)
+ (r � �2
2)T
�pT
)
):
Exempel 5 (Upp-och-ut köpoption). En upp-och-ut köpoption försvin-ner från marknaden om aktiepriset trä¤ar eller överstiger en viss nivå H: Iannat fall utbetalar optionen beloppet max(0; S(T ) � K) slutdagen T; därK > 0 är lösenpriset. Antags att S(0) < H och K < H: Det handlar här omett betingat kontrakt som ger innehavaren beloppet
Y = 1[max0�t�T S(t)<H] max(0; S(T )�K)
slutdagen T: Optionspriset vid tiden t = 0 ges av
�Y (0) = e�rTEQ
h1[max0�t�T S(t)<H] max(0; S(T )�K)
i= e�rTEQ
h1[max0�t�T S(t)<H](S(T )�K); S(T ) � K
i= e�rTEQ
hS(T )1[max0�t�T S(t)<H]; S(T ) � K
i�e�rTKEQ
h1[max0�t�T S(t)<H]; S(T ) � K
i:
Fördelningen för den 2-dimensionella stokastiska variabeln
( max0�t�T
((r � �2
2)t+W �(t)); (r � �
2
2)T +W �(T ))
är känd från kapitel 4 och det visar sig möjligt att härleda en analytiskprisformel, som vi återger utan bevis.
194
Sätt först
F (a; b; �) = �(a� �)� e2b��(a� 2b� �); a � b; � 2 R:
Då är�Y (0) = S(0)(F (H; H; �+)� F (K; H; �+))
�Ke�r� ((F (H; H; ��)� F (K; H; ��))
där
K =1
�pTln
K
S(0);
H =1
�pTln
H
S(0)
�+ =
pT
�(r +
�2
2)
och
�� =
pT
�(r � �
2
2):
För mer information om barriäroptioner hänvisas till Björks bok [BTO]eller Elliotts och Kopps bok [EK] :
Exempel 6 (Lookback-optioner). Det �nns många olika typer av såkallade lookback-optioner. En lookback-option kan t ex göra det möjligtatt i slutet av en tidsperiod få sälja en aktie till det högsta priset underperioden. Alternativt kan lookback-optionen ge rättigheten att i slutet av engiven tidsperiod få köpa aktien till det lägsta priset under perioden.En betingat kontrakt Y som gör det möjligt att vid tiden T sälja aktien
till det högsta priset under perioden [0; T ] har formen
Y = max0�t�T
S(t)� S(T ):
Priset vid tiden t 2 [0; T ] ges av
�Y (t) = v(t; S(t);M(t))
195
därM(t) = max
0�u�tS(u)
och
v(t; s;M) = �s�(�ln s
M+ (r + �2
2)�
�p�
)
+Me�r��(�ln s
M+ (r � �2
2)�
�p�
)
�se�r� �2
2r(M
s)2r�2�(
ln sM� (r � �2
2)�
�p�
)
+s�2
2r�(ln s
M+ (r + �2
2)�
�p�
):
Denna formel, som kan synas lång och trasslig, leder i själva verket till enmycket snabb beräkning av optionspriset. Härledningen av optionsformelnutesluts här (se t ex [CV ]).
I Jarrows bok [J2] behandlas många �er exotiska optioner.
Övningar
1. Låt K > 0 och 0 < T0 < T1 < T: Ett derivat utbetalar
Y = (0; (S(T0)S(T1)S(T ))13 �K)
Bestäm derivatets värde vid en godtycklig tidpunkt t 2 [0; T ] . Lösmotsvarande problem då
Y = max(0;
nYj=1
S(j
nT )
! 1n
�K):
2. Antag n 2 N+; 0 < T0 < T och
Tj = T0 +j
n(T � T0); j = 1; :::; n:
Ett derivat i aktien utbetalar beloppet j S(Tj) � S(Tj�1) j vid tidenTj för j = 1; :::; n: Bestäm derivatets värde �Y (t) = vn(t) vid tident 2 [0; T0] : Visa också att vn(t)!1 då n!1:
196
197
10. Black-Scholes modell för �era underliggande aktier
Finansiella derivat kan bero på �era underliggande aktier. Typiska exem-pel utgöres av aktieindexoptioner och aktieindexterminer där index bestämsfrån en föreskriven grupp (korg) av aktier. Om indexvärdet uppfattas somen endimensionell geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell drift så viär tillbaka till den situation vi redan behandlat. Det förekommer också op-tioner av icke-standardiserad form, som naturligt leder till �erdimenstionellstokastisk analys. Ett enkelt exempel, som redan behandlades i kursen Op-tioner och matematik, ges av optionen att få byta en given aktie mot enannan aktie ett �xt framtida datum. Optionen på minimum (eller maxi-mum) av �era värdepapperspriser har också ofta diskuterats i litteraturen: Iboken [J2] sammanställs �era intressanta artiklar om exotiska optioner.Låt (W1(t); :::;Wn(t)); t � 0; vara en normaliserad Rn-värd Wiener-
process dvs processerna
(Wk(t))t�0; k = 1; :::; n
är stokastiskt oberoende normaliserade reellvärda Wienerprocesser. I dettakapitel uppfattas element i Rn som kolonnmatriser och speciellt gäller att
(W1(t); :::;Wn(t)) =
26666664W1(t)W2(t):::
Wn(t)
37777775 :
ProcessenW (t) = (W1(t); :::;Wn(t)); 0 � t � T
kallas för en n-dimensionell normaliseradWienerprocess i tidsintervallet [0; T ] :Om c = [c1:::cn] är en radmatris med reella element blir processen
X(t) = cW (t) =
nXk=1
ckWk(t); t � 0:
en centrerad Gaussisk process med kovariansen
E [X(s)X(t)] =
nXk=1
c2kE [Wk(s)Wk(t)] =j c j2 min(s; t)
198
dvs processen (X(t))t�0 är en centrerad reellvärd Wienerprocess. Här är
j c j=j c� j=
vuut nXk=1
c2k
där c� betecknar transponatet av c: Notera att cW (t) =j c j V (t); där(V (t))t�0 är en normaliserad Wienerprocess.Antag vi har n st aktier, numrerade från 1 till n, där den i:te aktien har
priset Si(t) vid tiden t. Vi inför vektorpriset
S(t) = (S1(t); :::; Sn(t))
vid tiden t och tolkar detta som en kolonnmatris dvs
S(t) =
266664S1(t):::
Sn(t)
377775 :Man säger att vektorpriset (S(t))t�0 beskriver en geometrisk Brownsk rörelsemed exponentiell drift om det existerar en normaliserad Wienerprocess iW (t) = (W1(t); :::;Wn(t)); t � 0; i Rn så att
Si(t) = Si(0)e�it+�iW (t); i = 1; :::; n
där �1;:::;�n 2 R; och där �1; :::; �n bildar raderna i den så kallade volatilitets-matrisen
� =
2664�11:::::�1n::::::::::
�n1:::::�nn
3775som förutsätts vara icke-singulär. Syftet med detta kapitel är att gå igenomen del stokastisk analys i �era dimensioner och därefter tillämpa teorin isamband med några aktiederivat, som beror av �era aktiepriser.Låt (W (t))0�t�T = ((W1(t); :::;Wn(t)))0�t�T vara en normaliserad R
n-värdWienerprocess i tidsintervallet [0; T ]med kontinuerliga trajektorier. Detunderliggande sannolikhetsrummet (;F ; P ) förutsätts vara komplett. Vi
199
antar det är givet en familj av �-algebror Ft; t 2 [0; T ] ; av delmängder av sådan att
Fs � Ft � F ; s � toch så att
A 2 F0 om A 2 F och P (A) = 0:
Vi antar också att�(W (u); u � t) � Ft
där
Ft och �(W (u)�W (t); t � u � T ) är stokastiskt oberoende
för alla 0 � t � T:En reellvärd stokastisk process f = (f(t))0�t�T sägs vara progressivt
mätbar om avbildningen
(u; !)! f(u; !); (u; !) 2 [0; t]�
är (B [0; t]� Ft)-mätbar för varje �xt t 2 [0; T ] : Antag 1 � p <1: En matrisf = (fik) av reellvärda progressivt mätbara funktioner sägs tillhöra klassenLploc [0; T ] om Z T
0
j fik(t) jp dt <1 n.s., alla i; k:
Råkar f 2 Lploc [0; T ] vara begränsad n.s. säger vi att f tillhör klassenL1loc [0; T ]. Vi uppfattar här f som 0 så snartZ T
0
j fik(t) j dt = 0 n.s., alla i; k:
Nedan betecknar Lp [0; T ] klassen av alla f 2 Lploc [0; T ] sådana att
E
�Z T
0
j fik(t) jp dt�<1; alla i; k:
Om f = (fik) är en m � n-matris av funktioner tillhörande L2loc [0; T ]de�nieras den stokastiska integralenZ T
0
f(t)dW (t)
200
=
nXk=1
Z T
0
f1k(t)dWk(t); :::;nXk=1
Z T
0
fmk(t)dWk(t)
!:
I fortsättningen förutsätts att alla processer av typenZ t
0
f(u)dW (u); 0 � t � T
där f 2 L2loc [0; T ] är givna i en version med kontinuerliga trajektorier n.s.Vi de�nierar ocksåZ t2
t1
f(t)dW (t) =
Z t2
0
f(t)dW (t)�Z t1
0
f(t)dW (t); 0 � t1 � t2 � T:
Råkar f 2 L2 [0; T ] följer att
E
�jZ t2
t1
f(t)dW (t) j2�=
mXi=1
E
24 nXk=1
Z t2
t1
fik(t)dWk(t)
!235=
mXi=1
nXk=1
E
�Z t2
t1
f 2ik(t)dt
�= E
�Z t2
t1
j f(t) j2 dt�; 0 � t1 � t2 � T
där
j f(t) j2=mXi=1
nXk=1
f 2ik(t):
Vi kan nu de�niera stokastiska di¤erentialer av vektorvärda processer.Antag att matriserna a 2 L1loc [0; T ] och b 2 L2loc [0; T ] är av typen m � 1respektive m� n: Om en Rm-värd stokastisk process (X(t)) t2[0;T ] uppfyller
X(t)�X(0) =Z t
0
a(u)du+
Z t
0
b(u)dW (u); alla 0 � t � T
med sannolikheten ett skriver vi
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t)
och dX(t) kallas för en stokastisk di¤erential. Mer precist kallas dX(t) fören stokastisk di¤erential av typen (m;n): Om dessutom c 2 L1loc [0; T ] är avtypen 1�m de�nieras
c(t)dX(t) = c(t)a(t)dt+ c(t)b(t)dW (t):
201
Vi illustrerar först detta di¤erentialbegrepp genom att diskutera någraexempel. I vårt inledande exempel visas att
d(W1(t)W2(t)) = W1(t)dW2(t) +W2(t)dW1(t):
För att se detta införs den endimensionella normaliserade Wienerprocessen
X(t) =1p2(W1(t) +W2(t)); 0 � t � T:
Vi vet attdX2(t) = 2X(t)dX(t) + dt
och därmed följer att
d(W1(t)W2(t)) = d(X2(t)� 1
2W 21 (t)�
1
2W 22 (t))
= 2X(t)dX(t)�W1(t)dW1(t)�W2(t)dW2(t)
= W1(t)dW2(t) +W2(t)dW1(t):
Vi skall nu visa en allmän produktregel för stokastisk di¤erentiering. An-tag därför
dXi(t) = ai(t)dt+
nXk=1
bik(t)dWk(t); i = 1; 2:
där ai 2 L1loc [0; T ] och bik 2 L2loc [0; T ] ; i = 1; 2; k = 1; :::; n; alla är reellvärda.Vi påstår att
d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) +X2(t)dX1(t) +nXk=1
b1k(t)b2k(t)dt:
Innebörden här är att det för �xa 0 � t1 � t2 � T gäller att
X1(t2)X2(t2)�X1(t1)X2(t1)
=
Z t2
t1
X1(u)a2(u)du+nXk=1
Z t2
t1
X1(u)b2k(u)dW2(u)
+
Z t2
t1
X2(u)a1(u)du+
nXk=1
Z t2
t1
X2(u)b1k(u)dW1(u) +
nXk=1
Z t2
t1
b1k(u)b2k(u)du:
202
Om ai; bik; i = 1; 2; k = 1; :::; n; är konstanta i intervallet [t1; t2] (dvs Ft1-mätbara) följer denna formel av en direkt kalkyl. Det allmäna fallet följernu genom approximation med trapprocesser.Vi de�nierar nu
dX1(t)dX2(t) =nXk=1
b1k(t)b2k(t)dt:
Speciellt följer att(dt)2 = dtdt = 0
dtdWk(t) = dWk(t)dt = 0
dWj(t)dWk(t) = 0 om j 6= k
och(dWk(t))
2 = dWk(t)dWk(t) = dt:
Produktregeln ovan kan därmed skrivas
d(X1(t)X2(t)) = X1(t)dX2(t) +X2(t)dX1(t) + dX1(t)dX2(t):
Om dX(t) är en stokastisk di¤erential av typen (1; n) och k är ett heltal � 2så följer lätt med hjälp av induktion att
dXk(t) = kXk�1(t)dX(t) +k(k � 1)
2Xk�2(t)(dX(t))2:
Rätt tolkad gäller formeln även för k = 0; 1:Antag nu att dX1(t); dX2(t); :::; dXm(t) är stokastiska di¤erentialer av
typen (1; n). Vi sätter
X(t) = (X1(t); X2(t); :::; Xm(t))
ochdX(t) = (dX1(t); dX2(t); :::; dXm(t)):
Om funktionen u(x1; :::; xm) är reellvärd och två gånger kontinuerligt deriver-bar påstår vi att
du(X(t)) = ru(X(t))�dX(t) + 12dX(t)�Hu(X(t))dX(t)
203
där
ru =
2664@u@x1
::@u@x1
3775är gradienten av u och
Hu =
�@2u
@xi@xj
�1�i;j�m
är Hessianen av u: Specialfallet u(x1; :::; xm) = xki där k är ett naturligt taloch i 2 f1; :::;mg är redan utrett ovan. Man visar lätt att om formeln ärsann för två funktioner u1(x1; :::; xm) och u2(x1; :::; xm) så är formeln ocksåsann för deras produkt u1(x1; :::; xm) u2(x1; :::; xm). Formeln gäller alltså förpolynom i x1; :::; xm 2 R.Om funktionen u(t; x1; :::; xm) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2
[0; T ] och två gånger kontinuerligt deriverbar i x1; :::; xm 2 R så gäller att
du(t;X(t))
= u0t(t;X(t))dt+rxu(X(t))�dX(t) +
1
2dX(t)�Hu;x(X(t))dX(t)
där
rxu =
2664@u@x1
::@u@x1
3775och
Hu;x =
�@2u
@xi@xj
�1�i;j�m
ty genom att uttnyttja vad vi vet i det tidsoberoende fallet följer först attformeln är sann om u(t; x1; :::; xm) = '(t)q(x1; :::; xm) där ' är kontinuerligtderiverbar och q(x1; :::; xm) är ett polynom i x1; :::; xm 2 R. Formeln följersedan för alla polynom u(t; x1; :::; xm) i variablerna t; x1; :::; xm och genomapproximation följer till sist formeln för funktioner u(t; x1; :::; xm) som ären gång kontinuerligt deriverbara i t 2 [0; T ] och två gånger kontinuerligtderiverbara i x1; :::; xm 2 R:
204
Sats 1. (Itôs lemma för vektorvärd Wienerprocess) Antag att funk-tionen u(t; x1; :::; xm) är en gång kontinuerligt deriverbar i t 2 [0; T ] och tvågånger kontinuerligt deriverbar i x1; :::; xm 2 R: Antag också att
dX(t) = a(t)dt+ b(t)dW (t)
där a = (a1;:::; am) 2 L1loc [0; T ] och b = (bik)1�i�m; 1�k�n 2 L2loc [0; T ] ärmatriser av reellvärda funktioner. Då gäller att
du(t;X(t))
= u0t(t;X(t))dt+rxu(X(t))�dX(t) +
1
2dX(t)�Hu;x(X(t))dX(t)
dvsdu(t;X(t))
=@u
@t(t;X(t))dt+
mXi=1
@u
@xi(t;X(t))dXi(t)
+1
2
mXi;j=1
@2u
@xi@xj(t;X(t))dXi(t)dXj(t):
Exempel 1. Om funktionen u(t; x) = u(t; x1; :::; xn) är tillräckligt reguljärså gäller
du(t;W (t)) =@u
@t(t;W (t))dt+
nXi=1
@u
@xi(t;W (t))dWi(t)
+1
2
nXi;j=1
@2u
@xi@xj(t;W (t))dWi(t)dWj(t)
= (@u
@t(t;W (t)) + �u(t;W (t))dt+
nXi=1
@u
@xi(t;W (t))dWi(t):
Råkar funktionen u(t; x) lösa värmeledningsekvationen
@u
@t+1
2�u = 0
205
så följer att
du(t;W (t)) =
nXi=1
@u
@xi(t;W (t))dWi(t):
[]
Exempel 2. Låt n aktiers vektorpris
(S(t))t�0 = ((S1(t); ::; Sn(t)))t�0
beskriva en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell drift. Volatilitets-matrisen betecknas med
� =
2664�11:::::�1n::::::::::
�n1:::::�nn
3775och log-vektorprisets driftsvektor betecknas med (�1;:::;�n) 2 Rn: Det �nnsalltså en normaliserad Wienerprocess i W (t) = (W1(t); :::;Wn(t)); t � 0; iRn så att
Si(t) = e�it+�iW (t); i = 1; :::; n:
Om vi de�nierar
�i = �i +j �i j22
; i = 1; :::; n
så följer dels från den endimensionella teorin dels från sats 1 att
dSi(t) = Si(t)(�idt+ �idW (t)); i = 1; :::; n:
[]
Exempel 3. Antag x = (x1; :::; xn). Låt �(t; x) vara en n � n-matris,a(t; x) = ( a1(t; x); :::; an(t; x)) en (n� 1)-matris och låt b(t; x) vara reellvärdför alla (t; x) 2 [0; T [�Rn: Sätt
�(t; x) = �(t; x)�(t; x)�:
206
Låt till sist funktionen u(t; x) = u(t; x1; :::; xn) vara en lösning till den paraboliskadi¤erentialekvationen
@u
@t+1
2
nXi;j=1
�ij(t; x)@2u
@xi@xj+
nXi=1
ai(t; x)@u
@xi+ b(t; x)u(t; x) = 0
och antag X är en lösning till den stokastiska di¤erentialekvationen
dX(t) = a(t;X(t))dt+ �(t;X(t))dW (t):
Om(�(t; x)ru(t;X(t)))�e
R t0 b(s;X(s))ds 2 L2 [0; T ]
så ger en formell kalkyl, som i fallet n = 1; att
u(t; x) = Ehu(T;X(T ))e
R Tt b(s;X(s))ds j X(t) = x
i:
Om vi skriverujt=T = f
så följer alltså att
u(t; x) = Ehf(X(T ))e
R Tt b(s;X(s))ds j X(t) = x
i:
Denna funktion kallas Feynman-Kac-lösningen till di¤erentiakekvationen
@u
@t+1
2
nXi;j=1
�ij(t; x)@2u
@xi@xj+
nXi=1
ai(t; x)@u
@xi+b(t; x)u(t; x) = 0; 0 � t < T; x 2 Rn
med slutvärdetujt=T = f:
Ett stringent bevis, med angivande av lämpliga villkor på di¤erentialekva-tionernas koe¢ cienter för att Feynman-Kac-lösningen skall vara en lösning iklassisk mening, ligger långt utanför denna kurs.Om den paraboliska di¤erentialekvationen ovan är uppfylld i området
0 � t < T , x 2 D; där D är en öppen delmängd av Rn så gäller ovanståendeformel av Feynman-Kac om vi vet att X(s) 2 D för alla t � s � T: []
207
Föregående exempel visar att vi kan lösa viktiga paraboliska slutvärde-sproblem genom simulering av lösningar till lämpliga stokastiska di¤eren-tialekvationer och sedan utnyttja Monte Carlo-metoder. Det kan därför varapå sin plats att påpeka att existens-entydighetssatsen för stokastiska di¤er-entialekvationer i det skalärvärda fallet lätt generaliseras till det vektorvärdafallet.Black-Scholes modell för n aktier och en obligation kan beskrivas på föl-
jande sätt. Aktiernas vektorprisprocess
(S(t))0�t�T = (S1(t); ::; Sn(t))0�t�T
antags beskriva en geometrisk Brownsk rörelse med exponentiell drift i tidsin-tervallet [0; T ] : Volatilitetsmatrisen brukar betecknas med
� =
2664�11:::::�1n::::::::::
�n1:::::�nn
3775och log-prisets driftsvektor med (�1;:::;�n) 2 Rn: Dessutom innehåller mod-ellen en obligation med prisprocessen
B(t) = B(0)ert; 0 � t � T
där B(0) och r är positiva konstanter. Vi skall nu härleda Black-Scholesdi¤erentialekvation i samband med Black-Scholes modell för �era aktier.Betrakta en europeisk option med slutdagen T . Utbetalningsfunktionen
g(s) = g(s1; :::; sn); s1; :::; sn > 0; antags vara en mätbar funktion sådan att
j g(ex1 ; :::; exn) j� BeCjxj; x = (x1; :::; xn) 2 Rn
för ett lämpliga positiva tal B och C: Vi skall härleda ett teoretiskt pris föroptionens värde v(t) vid tiden t � T och ansätter
v(t) = v(t; S(t)) = v(t; S1(t); :::; Sn(t)):
Bilda därför vid tiden t en portfölj bestående av ett derivat och ��i aktierav det i : te slaget för i = 1; :::; n: Dess värde är lika med
�(t) = v(t; S(t))�nXi=1
�iSi(t):
208
Vi försöker nu välja �1; :::;�n så att portföljen lokalt avkastar lika mycketsom ett annat värsdepapper i portföljen, nämligen obligationen dvs
d�(t) = r�(t)dt:
Om funktionen v(t; s) är tillräckligt reguljär ger Itôs lemma
dv(t; S(t))
=@v
@t(t; S(t))dt+
nXi=1
@v
@si(t; S(t))dSi(t)
+1
2
nXi;j=1
@2v
@si@sj(t; S(t)))dSi(t)dSj(t)
= (@v
@t(t; S(t)) +
1
2
mXi;j=1
(�i � �j)Si(t)Sj(t)@2v
@si@sj(t; S(t)))dt
+nXi=1
@v
@si(t; S(t))dSi(t)
där
�i � �j =nXk=1
�ik�jk = (���)ij; i; j = 1; :::; n:
Det följer alltså att
(@v
@t(t; S(t)) +
1
2
mXi;j=1
(�i � �j)Si(t)Sj(t)@2v
@si@sj(t; S(t)))dt
+
nXi=1
(@v
@si(t; S(t))��i)dSi(t) = r(v(t; S(t))�
nXi=1
�iSi(t))dt:
Härav dras slutsatsen att
�i =@v
@si(t; S(t)); i = 1; :::; n
och@v
@t(t; S(t)) +
1
2
mXi;j=1
(�i � �j)Si(t)Sj(t)@2v
@si@sj(t; S(t))
209
= r(v(t; S(t))�nXi=1
@v
@si(t; S(t))Si(t)):
Vi leds alltså till Black-Scholes di¤erentialekvation i �era variabler
@v
@t(t; s) +
1
2
mXi;j=1
(�i � �j)sisj@2v
@si@sj(t; s) + r
nXi=1
si@v
@si(t; s)� rv(t; s) = 0
i området s1 > 0; :::; sn > 0; t < T . Dessutom gäller slutvillkoret
v(T; s) = g(s; T ):
Vi de�nierar nu v(t; s) som Feynman-Kac-lösningen till detta paraboliskaproblem och derivatets värde vid tiden t de�nieras lika med v(t; S(t)):Feynman-Kac-lösningen v(t; s) till slutvärdesproblemet ovan kan beskri-
vas på följande sätt: Antag
dSi(t) = Si(t)(�idt+ �idW (t)); i = 1; :::; n
och inför det så kallade marknadspriset för risk
� = ��1
266664�1 � r:::
�n � r
377775och
W �(t) =W (t) + �t; 0 � t � T
så attdSi(t) = Si(t)(rdt+ �idW
�(t)); i = 1; :::; n:
Cameron-Martins sats utvidgas lätt till �era dimensioner och det följer attprocessen (W �(t))0�t�T är en normaliserad Wienerprocess i n dimensionerrelativt måttet
dQ = e���W (T )� j�j2
2TdP:
Feynman-Kac formel ger nu att
v(t; s) = e�r�EQ [g(S(T )) j S(t) = s]
210
där � = T � t: För �xt i 2 f1; :::; ng ger ekvationen
Si(u) = Si(0)e(r� j�ij
2
2)u+�iW
�(u)
attSi(T ) = Si(t)e
(r� j�ij2
2)(T�t)+�i(W�(T )�W�(t))
och det följer att
v(t; s) = e�r�EQ [g(S(T )) j S(t) = s]
= e�r�EQ�g(s1e
(r� j�1j2
2)(T�t)+�1(W�(T )�W�(t)); :::; sne
(r� j�nj22
)(T�t)+�n(W�(T )�W�(t)))
�= e�r�EQ
�g(s1e
(r� j�1j2
2)�+�1W�(�); :::; sne
(r� j�nj22
)�+�nW�(�))
�= e�r�E
�g(s1e
(r� j�1j2
2)�+�1W (�); :::; sne
(r� j�nj22
)�+�nW (�))
�:
Uttryckt med hjälp av integral gäller att
v(t; s) = e�r�Z� � �ZRn
g(s1e(r� j�1j
2
2)�+
p��1x; :::; sne
(r� j�nj22
)�+p��nx)e�
jxj22dx1:::dxnp
2�n:
Om funktionen g är positivt homogen av graden 1 dvs
g(as) = ag(s); a > 0
så följer att optionens värde är (explicit) ränteoberoende. Mer precist gälleratt
v(t; s) = E
�g(s1e
� j�1j2
2�+�1W (�); :::; sne
� j�nj22
�+�nW (�))
�:
Typiska exempel på enkla �nansiella derivat som beror av �era aktiepriserfås genom välja följande utbetalningsfunktioner:
g(s1; :::; sn) = max(0; si � sj); i 6= j (bytesoption)
g(s1; :::; sn) = max(0; max1�i�n
si �K) (option på maximum)
ochg(s1; :::; sn) = max(0; min
1�i�nsi �K) (option på minimum).
211
Bytesoptionen klarade vi redan av i kursen Optioner och matematik.Att beräkna priset för optionen på maximum eller minimum av n ak-
tiepriser slutdagen T är synnerligen besvärligt för stora n: Monte Carlo-metoder torde i dessa fall ha störst potential. I vissa fall kan en spektralrep-resentation av vektorlog-priset ge snabba beräkningar. Sätt
Si(t) = e(�i�
j�ij2
2)t+�iW (t); i = 1; :::n
som ovan och låtX(t) = �W (t):
Processen (X(t))t�0 är centrerad Gaussisk och
E [Xi(s)Xj(t)] = E [�iW (s)�jW (t)]
= E
"nXk=1
�ikWk(s)nXk=1
�jkWk(t)
#
= (nXk=1
�ik�jk)min(s; t) = cij min(s; t)
därcij = �i � �j; i; j = 1; :::; n:
SättC = (cij)1�i;j�n:
Matrisen C symmetrisk. Den är också positivt semi-de�nit ty om a =(a1; :::; an) 2 Rn gäller att
a�Ca =nX
i;j=1
aicijaj =nX
i;j=1
aiajE [Xi(1)Xj(1)]
= E
"nX
i;j=1
aiajXi(1)Xj(1)
#= E
"(nXi=1
aiXi(1))2
#� 0:
Genom att använda spektralsatsen för symmetriska matriser erhålls en ON-bas
e1 = (e11; :::; en1); :::; en = (e1n; :::; enn)
212
i Rn bestående av egenvektorer för C: Låt �1; :::; �n vara motsvarande egen-värden. Eftersom
e�iCei = �i; i = 1; :::; n
så är �1; :::; �n � 0: Relationen Cek = �kek kan skrivas
nXl=1
cilelk = �keik
och vi fårnXl=1
cilelkejk = �keikejk:
Eftersom den matris som bildas av egenvektorerna som kolonner är en ortog-onalmatris så måste samma matris också ha ortogonala rader dvs
nXk=1
elkejk =
�0; om l 6= j1; om l = j
:
Alltså ärnXk=1
�keikejk =nXl=1
cil
nXk=1
elkejk
!= cij:
De�niera nu
Yi(t) =nXk=1
p�keikWk(t); i = 1; :::; n:
Processen (Y (t))t�0 = (Y1(t); :::; Yn(t))t�0 är en Rn-värd centrerad Gaussiskprocess och
EQ [Yi(s)Yj(t)] = (
nXk=1
�keikejk)min(s; t) = cij min(s; t):
Processerna (X(t))t�0 och (Y (t))t�0 är alltså ekvivalenta i fördelning. Noteraatt
Y (t) =nXk=1
p�kekWk(t):
213
Antag utbetalningsfunktionen g är som ovan. Priset vid tiden t för ettenkelt derivat av europeisk typ som slutdagen T ger innehavaren beloppetg(S(T )) är lika med
e�r�E
�g(s1e
(r� j�1j2
2)�+�1W (�); :::; sne
(r� j�nj22
)�+�nW (�))
�
= e�r�E
�g(s1e
(r� j�1j2
2)�+Y1(�); :::; sne
(r� j�nj22
)�+Yn(�))
�:
Om alla utomm st egenvärden är noll blir denna förväntan enm-dimensionellintegral. Om n�m st egenvärden är små kan de i en approximation sättaslika med noll. På detta sätt kan vi i vissa fall få snabba beräkningar om mär litet.Vi antar fr o m nu att Ft = �(S(u); u � t): Observera att �(S(u);
u � t) = �(W (u); u � t): Om ett så kallat betingat kontrakt av europeisktyp utbetalar beloppet Y 2 L2(;FT ; Q) slutdagen T; där Q är martin-galmåttet så de�nieras de�nieras derivatets värde �Y (t) vid tiden t lika mede�r�EQ [Y j Ft]. Motiveringen är helt analog med fallet n = 1:
Exempel 4. Det är givet att S1(0) > S2(0): Ett betingat kontrakt aveuropeisk typ utbetalar slutdagen T beloppet K om S1(t) > S2(t) för allat 2 [0; T ] och i annat fall sker ingen utbetalning. Vi vill bestämma derivatetsvärde v(0) vid tiden 0:Det gäller att
v(0) = e�rTEQ�K1[S1(t)>S2(t); alla t2[0;T ]]
�= e�rTKQ [S(t) < 1; alla t 2 [0; T ]]
= e�rTKQ
�max0�t�T
S(t) < 1
�där
S(t) =S2(t)
S1(t)=S2(0)
S1(0)e(
j�1j2
2� j�2j
2
2)t+(�2��1)W�(t); 0 � t � T:
Sätt
� =j �1 j22
� j �2 j2
2:
214
Här är
Q
�max0�t�T
(�t+ (�2 � �1)W �(t)) < lnS1(0)
S2(0)
�= P
�max0�t�T
(�t+ �V (t)) < lnS1(0)
S2(0)
�där (V (t))0�t�T är en reellvärd normaliserad Wienerprocess och
� =j �2 � �1 j :
Om x > 0 vet vi från kapitel 4 att
P
�max0�t�T
(�t+ �V (t)) < x
�
= �(x� �T�pT)� e
2�x�2 �(�x+ �T
�pT):
Alltså är
v(0) = e�rTK
(�(ln S1(0)
S2(0)� �T
�pT
)� (S1(0)S2(0)
)2��2 �(
ln S2(0)S1(0)
� �T�pT
)
)
där � och � är som ovan: []
Exempel 5. Ett betingat kontrakt av europeisk typ utbetalar slutdagen Tbeloppet
Y = f(S(T );
Z T
0
g(t; S(t))dt):
Här är n = 1 och f och g är deterministiska funktioner. För att värderadetta kontrakt ansätts att derivatets värde vid tiden t är av formen
v(t) = v(t; S(t); Z(t))
där
Z(t) =
Z t
0
g(u; S(u))du:
Notera attdZ(t) = g(t; S(t))dt:
215
Som vanligt utnyttjar vi oss av �-hedging för att bestämma optionens värde.Bilda därför vid tiden t en portfölj bestående av ett derivat och �� aktier.Dess värde är lika med
�(t) = v(t)��S(t)
och vi ansätter attd�(t) = r�(t)dt
dvs i kompakt form
@v
@tdt+
@v
@sdS +
@v
@zdZ +
1
2
@2v
@s2(dS)2 ��dS = r(v ��S)dt:
Härav erhålls
� =@v
@s(t; S(t); Z(t))
och vi leds till (den degenererade paraboliska) di¤erentialekvationen
@v
@t+�2s2
2
@2v
@s2+ rs
@v
@s+ g(t; s)
@v
@z� rv = 0
med slutvillkoretv(T; s; z) = f(s; z):
Här kan fallet �f(s; z) = max(0; ez=T �K)g(t; s) = ln s
behandlas analytiskt (geometrisk medelvärdesoption). I specialfallet�f(s; z) = max(0; z
T� s)
g(t; s) = s
(�average strike put�) leder en lämplig ansats till en förenklad di¤erentialek-vation i lägre dimension (se övning 1). Fallet�
f(s; z) = max(0; zT�K)
g(t; s) = s
(��xed strike Asian call�) kan också förenklas på liknande sätt [RS] : []
216
I nästa kapitel ges ytterligare tillämpningar av stokastisk analys i �eravariabler.
Övningar
1. Antag (W (t))t�0 är en normaliserad Wienerprocess i Rn och de�niera
f(t; !) = ejW (t;!)j2 ; 0 � t � T; ! 2 :
Antag också att p 2 [1;1[ och T = 12p: Visa att f 2 Lp [0; T ] om och
endast om n = 1:
I övningarna nedan förutsätts Black-Scholes modell
2. Ett �nansiellt derivat av europeisk typ ger innehavaren beloppet
max(0; S1(T )� S2(T ))
slutdagen T; där T > 0: Visa att derivatets teoretiska pris vid tident 2 [0; T [ är strikt större än max(0; S1(t)� S2(t)):
3. Antag f(s; z) = max(s � zT) och g(t; s) = s (�average strike call�).
Ansättv(t; s; z) = su(t; y); y =
z
s:
Visa att
@u
@t(t; y) +
1
2�2y2
@2u
@y2(t; y) + (1� ry)@u
@y(t; y) = 0
ochu(T; y) = max(0; 1� y
T):
217
4. Antag 0 < a < T och
Y = max(0;1
a
Z T
T�aS(t)dt�K)
(jämför �era warranter på marknaden). Bestäm funktioner f och g såatt
Y = f(S(T );
Z T
0
g(t; S(t))dt):
5. Antag
Y = max(0;1
T
Z T
0
S(t)dt�K):
Sätt
Z(t) =1
t
Z t
0
S(u)du:
Ansätt att derivatets pris vid tiden t är av form v(t; S(t)); Z(t)) ochhärled en parabolisk di¤erentialekvation för v(t; s; z):
218
219
11. HJM-metodik för räntemodeller
Vi har tidigare i denna framställning behandlat Vasiµceks och Hull-Whites modeller där T -obligationens pris vid tiden t är en determinis-tisk funktion av den korta räntan r(t): Det är också naturligt att stud-era räntemodeller som beror på �er faktorer. I detta kapitel berör viett sätt att beskriva en arbitragefri modell för obligationer som brukarkallas HJM -metodiken efter Heath, Jarrow och Morton [HJM ] : Härspelar forwardräntorna en nyckelroll. För mer fullständiga framställ-ningar hänvisas till Bingham och Kiesel [BK] ; Björk [BTS] ; [BTO],Brigo och Mercurio [BM ] ; Hull [H], Jarrow [J1] och Musiela ochRutkowski [MR].
Vi börjar med att repetera en del beteckningar och begrepp, som vi redanvarit inne på. En T -obligation är en nollkupongsobligation med lösendag Toch nominellt värde 1. Obligationspriset vid tiden t betecknas med p(t; T )och skrivs
p(t; T ) = e�R(t;T )(T�t)
där storheten R(t; T ) kallas för (T � t)-räntan vid tiden t. Kurvan
y = R(t; T ); T � t
kallas för avkastningskurvan vid tiden t:Antag t � T < U och låt R(t; T; U) beteckna forwardräntan för perioden
[T; U ] kontrakterad vid tiden t: Kravet på arbitagefrihet medför som vi redanvet att
p(t; U) = p(t; T )e�R(t;T;U)(U�T )
Notera attR(t; T ) = R(t; t; T ):
Den momentana forwardräntan f(t; T ) vid tiden T; sedd från tidpunkten t;de�nieras av gränsvärdet
f(t; T ) = limU!T
R(t; T; U)
dvs
f(t; T ) = �@ ln p(t; T )@T
220
och det följer att
p(t; U) = p(t; T )e�R UT f(t;u)du; t � T � U
under lämpliga regularitetsförutsättningar.Den korta räntan r(t) vid tiden t de�nieras av ekvationen
r(t) = f(t; t):
SättB(t) = B(0)e
R t0 r(u)du; 0 � t � T:
Antag beloppet B(0) placeras i en obligation med närmast omedelbar inlösenoch att det vid lösen utbetalade beloppet omedelbart placeras i en obligationmed närmast omedelbar inlösen osv. Kapitalet vid tiden t blir då lika medB(t): Observera att
dB(t) = r(t)B(t)dt:
Vi kan alternativt tänka oss att B(t) representerar banksaldot vid tiden t ombeloppet B(0) satts in i banken vid tiden 0:Låt Tfin vara en �x framtida tidpunkt och låt (W (t))0�t�Tfin beteckna
en Rn-värd normaliserad Wienerprocess i tidsintervallet [0; Tfin] : Sätt Ft =�(W (s); s � t); 0 � t � Tfin: Utgångspunkten för HJM -metodiken är attde momentana forwardräntorna uppfyller ekvationer av typen
df(t; T ) = �(t; T )dt+ �(t; T )dW (t); 0 � t � T
för lämpliga progressivt mätbara processer �T = (�(t; T ))0�t�T och �T =(�(t; T ))0�t�T ; där 0 � T � Tfin: Här är �(t; T ) en 1� n matris för varje t.Som begynnelsevärde för di¤erentialekvationen väljes
f(0; T ) = f �(0; T )
därp�(0; T ) = e�
R T0 f�(0;u)du
och där som vanligt variabler med ring syftar på marknadsvärden (eventuelltskattade sådana). Eftersom
p(0; T ) = e�R T0 f(0;u)du
221
följer att ekvationenp(0; T ) = p�(0; T )
är uppfylld. Måttet P kallas det fysikaliska måttet och processerna �T ; 0 �T � Tfin; kallas för modellens volatilitetsstruktur.Nedan genomförs diverse kalkyler som kräver olika matematiska villkor
för att vara sanna. Dessa villkor utelämnas ofta och syftet här är främstillustrera metoden HJM: Vi startar med den grundläggande ekvationen
p(t; T ) = e�R Tt f(t;u)du; 0 � t � T:
Genom att tillämpa Itôs lemma och räkna formellt följer för �xt T att
dp(t; T ) = p(t; T )d(�Z T
t
f(t; u)du) +1
2p(t; T )(d(�
Z T
t
f(t; u)du))2
och
d
Z T
t
f(t; u)du = �f(t; t)dt+Z T
t
df(t; u)du
= �f(t; t)dt+Z T
t
(�(t; u)dt+ �(t; u)dW (t))du
= (�f(t; t) +Z T
t
�(t; u)du)dt+ (
Z T
t
�(t; u))du)dW (t):
Vi de�nierar nu
�(t; T ) = �Z T
t
�(t; u)du
och
�(t; T ) = �Z T
t
�(t; u)du
och får
�dZ T
t
f(t; u)du = (r(t) + �(t; T ))dt+ �(t; T )dW (t):
Det följer alltså att
dp(t; T ) = p(t; T )((r(t) + �(t; T ) +1
2j �(t; T ) j2)dt+ �(t; T )dW (t))
och därmed
p(t; T ) = p(0; T )eR t0 (r(s)+�(s;T ))ds+
R t0 �(s;T )dW (s):
222
Alltså ärp(t; T )
B(t)=p(0; T )
B(0)eR t0 �(s;T )ds+
R t0 �(s;T )dW (s)
Sätt nu
�(t) =
Z t
0
�(s)ds; 0 � t � Tfin
ochW �(t) =W (t) + �(t); 0 � t � Tfin
där �(t); 0 � t � Tfin; är en tills vidare okänd vektorvärd funktion. Detföljer att
p(t; T )
B(t)=p(0; T )
B(0)eR t0 (�(s;T ))��(s;T )�(s))ds+
R t0 �(s;T )dW
�(s):
Vi skall i nästa steg ställa villkor på � så att modellen blir arbitragefri. Idet följande förutsätts därför att funktionen � kan väljas så att
�(t; T )� �(t; T )�(t) = �12j �(t; T ) j2; 0 � t � T � Tfin
och att det �nns ett sannolikhetsmått Q ekvivalent med P så att processen(W �(t))0�t�Tfin är en normaliserad Wienerprocess relativt Q: Observera att
p(t; T )
B(t)=p(0; T )
B(0)e�
R t012j�(s;T )j2ds+
R t0 �(s;T )dW
�(s)
och
dp(t; T )
B(t)=p(t; T )
B(t)�(t; T )dW �(t):
Under lämliga integrabilitetsvillkor är därför processen (p(t;T )B(t)
;Ft)0�t�T enQ-martingal för alla T � Tfin: Måttet Q kallas martingalmått.Genom att derivera relationen
�(t; T )� �(t; T )�(t) = �12j �(t; T ) j2
med avseende på T erhålls ekvationen
�(t; T )� �(t; T )�(t) = �(t; T )Z T
t
�(t; u)�du:
223
Sätts
��(t; T ) = �(t; T )
Z T
t
�(t; u)�du
följer att
df(t; T ) = ��(t; T )dt+ �(t; T )dW �(t); 0 � t � T:
Den momentana forwardräntan f(t; T ) har alltså driften ��(t; T ) relativtmartingalmåttet Q:
Exempel 1 (Modell av Ho-Lee). Antag n = 1 och �(t; T ) = �; där � > 0är en konstant. Det följer att
��(t; T ) = �
Z T
t
�ds = �2(T � t)
ochdf(t; T ) = �2(T � t) + �dW �(t):
Integration ger
f(t; T ) = f(0; T ) + �2t(T � t
2) + �W �(t)
och därmed är
r(t) = f(0; t) + �2t2
2+ �W �(t):
[]
Sats 1. Antag �(t; T ); 0 � t � T � Tfin är en deterministisk funktion. Låtfr o m nu T < U vara �xa och antag
j �(t; U)� �(t; T ) j> 0 om 0 � t � T
och sätt
�(t) =
sZ T
t
j �(u; U)� �(u; T ) j2 du om 0 � t < T:
224
En europeisk köpoption på U-obligationen med slutdagen T och lösenprisetK har priset
call(t;K; T; U) = p(t; U)�(d1)�Kp(t; T )�(d2)
vid tiden t < T; där
d1 =ln p(t;U)
Kp(t;T )+ 1
2�2(t)
�(t);
d2 =ln p(t;U)
Kp(t;T )� 1
2�2(t)
�(t)
Om en europeisk säljoption på U-obligationen med slutdagen T och lösen-priset K har priset put(t;K; T; U) vid tiden t så gäller att
p(t; U)� call(t;K; T; U) = Kp(t; T )� put(t;K; T; U):
Bevis. Vi inför T -obligationen som numerär och får
max(0; p(T; U)�K) = p(T; T )max(0; p(T; U)p(T; T )
�K):
Sätt
S(t) =p(t; U)
p(t; T ); 0 � t � T
ochB(t) = 1; 0 � t � T :
Notera att
S(t) = S(0)eR t0 (�(u;U)��(u;T ))du+
R t0 (�(u;U)��(u;T ))dW (u)
ochdS(t) = S(t)( (t)dt+ (�(t; U)� �(t; T ))dW (t))
för en lämplig progressivt mätbar stokastisk process (t); 0 � t � T . Viansätter att optionen har värdet v(t; p(t; U); p(t; T )) kr vid tiden t 2 [0; T ]där
v(t; ap(t; U); ap(t; T )) = av(t; p(t; U); p(t; T )); a > 0
225
och skriverv(t; p(t; U); p(t; T )) = p(t; T )w(t; S(t)):
Vid en godtycklig tidpunkt t 2 [0; T ] bildas en portfölj bestående av enköpoption i U -obligationen och �� U -obligationer. Portföljens värde �(t) iden nya prisenheten vid tiden t är lika med
�(t) = w(t; S(t))��S(t):
Antag nu att
d�(t) = 0 (= �(t)dB(t)
B(t)):
Itôs lemma ger
@w
@t(t; S(t))dt+
@w
@s(t; S(t))dS(t) +
1
2
@2w
@s2(t; S(t))(dS(t))2 ��dS(t) = 0
dvs
@w
@t(t; S(t))dt+
@w
@s(t; S(t))dS(t) +
j �(t; U)� �(t; T ) j2 S(t)22
@2w
@s2(t; S(t))dt
��dS(t) = 0:
Härav följer att
� =@w
@s(t; S(t))
och@w
@t(t; S(t)) +
j �(t; U)� �(t; T ) j2 S(t)22
@2w
@s2(t; S(t)) = 0:
Vi leds alltså till ekvationen
@w
@t(t; s) +
j �(t; U)� �(t; T ) j2 s22
@2w
@s2(t; s) = 0
med slutvillkoretw(T; s) = max(0; s�K):
Nu följer från kapitel 1, exempel 1, att
w(t; S(t)) = S(t)�(d1)�K�(d2):
226
Optionens värde vid tiden t uttryckt i kr blir således
v(t; S(T )) = p(t; T )w(t; S(T ))
= p(t; U)�(d1)� p(t; T )K�(d2):Säljoptionens värde följer genom ett arbitrageargument på samma sätt
som för Hull-Whites modell. []
Övningar
1. Antag �(t; T ) = �e�a(T�t); där a; � > 0 är parametrar. Vilken dynamikhar processen (r(t))0�t�Tfin relativt Q?
2. Visa att
r(t) = f(0; t) +
Z t
0
�(s; t)ds+
Z t
0
�(s; t)dW (s):
Visa också attdr(t) = �(t)dt+ �(t; t)dW (t)
där
�(t) = f 0T (0; t) + �(t; t) +
Z t
0
�0T (s; t)ds+
Z t
0
�0T (s; t)dW (s):
3. a) Antag att (;F ; P0) och (;F ; P1) är sannolikhetsrum sådana attsannolikhetsmåtten P0 och P1 är ekvivalenta: Sätt dP1 = HdP0: Visaatt
P0 [H > 0] = 1:
b) Låt (Ft)0�t�T vara en �ltration sådan att Ft � F ; 0 � t � T; ochsätt
H(t) = EP0 [H j Ft] ; 0 � t � T:Visa att
P P0 [H(t) > 0] = 1
ochEP1 [X j Ft] =
1
H(t)EP0 [HX j Ft]
för alla 0 � t � T och X 2 L1(;F ; P ):
227
4. SättdQT =
1
p(0; T )e�
R T0 r(s)dsdQ:
Antag
(X(t)
B(t))0�t�T
är en Q-martingal. Visa att
(X(t)
p(t; T ))0�t�T
är en QT -martingal.
5. Visa attf(0; T ) = EQ
T
[r(T )] :
228
229
Appendix
Existens av Brownsk rörelse
Vi har i optionskurserna ofta utnyttjat att det �nns en modell för Brownskrörelse med kontinuerliga trajektorier. I detta appendix ges ett bevis fördenna egenskap.
Sats 1 (Wieners sats [W ])Det �nns en centrerad Gaussprocess (W (t))0�t�1med kovariansfunktionen
E [W (s)W (t)] = min(s; t)
som har kontinuerliga trajektorier med sannolikheten ett.
För att visa Wieners sats inleder vi med en diskussion om Gaussiskaprocesser med ändlig tidsparametermängd. Antag att (Xi)
ni=1 är en reellvärd
centrerad Gaussisk process och låt
cij = E [XiXj] ; i; j = 1; :::; n
vara motsvarande kovariansmatris (dvs kovariansfunktion). Matrisen C =(cij)1�i;j�n är symmetrisk eftersom
E [XiXj] = E [XjXi] :
Matrisen C är också positivt semi-de�nit ty om a = (a1; :::; an) 2 Rn gälleratt
a�Ca =nX
i;j=1
aicijaj =nX
i;j=1
aiajE [XiXj]
= E
"nX
i;j=1
aiajXiXj
#= E
"(
nXi=1
aiXi)2
#� 0:
Antag nu omvänt att C = (cij)1�i;j�n är en matris med reella elementsådan att C är symmetrisk och positivt semi-de�nit. Vi skall visa att det
230
�nns en centrerad reellvärd Gaussisk process med tidsparametermängdenf1; 2; ::; ng och kovariansmatrisen C: För att se detta använder vi spektral-satsen för symmetriska matriser och får en ON-bas
e1 = (e11; :::; en1); :::; en = (e1n; :::; enn)
i Rn bestående av egenvektorer för C: Låt �1; :::; �n vara motsvarande egen-värden. Eftersom
e�iCei = �i; i = 1; :::; n
så är �1; :::; �n � 0: Relationen Cek = �kek kan skrivas
nX�=1
ci�e�k = �keik
och vi fårnX�=1
ci�e�kejk = �keikejk:
Eftersom den matris som bildas av egenvektorerna som kolonner är en ortog-onalmatris så måste denna matris också ha ortogonala rader dvs
nXk=1
e�kejk =
�0; om � 6= j1; om � = j
:
Alltså ärnXk=1
�keikejk =
nX�=1
ci�
nXk=1
e�kejk
!= cij:
Låt nu (Gi)ni=1 vara en i.i.d. där G1 2 N(0; 1) och de�niera
Xi =nXk=1
p�keikGk; i = 1; :::; n:
Processen (Xi)ni=1 är en reellvärd centrerad Gaussisk process och
E [XiXj] =
nXk=1
�keikejk = cij:
231
Processen (Xi)ni=1 har alltså kovariansmatrisen C: Genom att byta bokstäver
får vi att
Xt =
nXk=1
ak(t)Gk
där ak(t) =p�ketk och t = 1; :::; n: Det visar sig att Wienerprocessen har
en liknande representation som dock beror av oändligt många stokastisktoberoende slumpkällor.Antag (Gn)n2N är en i.i.d. med N(0; 1)-fördelade komponenter (vi förut-
sätter existensen av denna i.i.d.). Med tanke på ovanstående är det naturligtatt ansätta
W (t) =1Xn=0
an(t)Gn; 0 � t � T
för lämliga kontinuerliga funktioner an; n 2 N; som uppfyller
1Xn=0
a2n(t) <1; 0 � t � T:
Den serie som de�nierar W (t) för �xt t konvergerar i L2(P ): Notera att
min(s; t) = E [W (s)W (t)] =1Xn=0
an(s)an(t):
Detta får oss att tänka på Fourierutvecklingar i ortogonalsystem. Antag(en)n2N är en ortonormerad bas för L2 [0; 1]. För varje �xt t � 0 Fourierutveck-las funktionen 1[0;t] i den ortonormerade basen (en)n2N så att
1[0;t] =
1Xn=0
an(t)en
där vi nu de�nierar
an(t) =
Z 1
0
1[0;t](x)en(x)dx; n 2 N.
Eftersom Z 1
0
1[0;s]1[0;t]d� =1Xn=0
an(s)an(t)
232
blir
min(s; t) =1Xn=0
an(s)an(t):
Den ortonormerade basen (en)n2N skall nu väljas så att slumpserien
W (t) =
1Xn=0
an(t)Gn; 0 � t � T
är lätt att hantera med avseende på likformig konvergens i tidsvariabeln t.Sätt först
h(t) = 1[0; 12 [(t)� 1[ 12 ;1](t); t 2 R.
Vi de�nierar nu h00(t) = 1; 0 � t � 1; och för varje n � 1 och j = 1; :::; 2n�1sätts
hjn(t) = 2n�12 h(2n�1t� j + 1); 0 � t � 1:
För varje n � 1 och j = 1; :::; 2n�1 gäller alltså
hjn(t) =
8>>>>><>>>>>:2n�12 ; j�1
2n�1 � t <j� 1
2
2n�1 ;
�2n�12 ; j�12
2n�1 � t �j
2n�1 ;
0; för övrigt i [0; 1] :
Härav inses lätt att funktionerna h00;hjn; j = 1; :::; 2n�1; n � 1; som tillhörL2 [0; 1] ; alla har längden ett och är parvis ortogonala. Vi påstår att dessafunktioner bildar en ortonormerad bas i L2 [0; 1]. Antag nämligen att f 2L2 [0; 1] är ortogonal mot var och en av funktionerna ifråga. För varje n � 1och j = 1; :::; 2n�1 följer då attZ j� 1
22n�1
j�12n�1
fd� =
Z j
2n�1
j� 12
2n�1
fd�
och därmed är Z j
2n�1
j�12n�1
fd� =1
2n�1
Z 1
0
fd� = 0
ty Z 1
0
fd� =
Z 1
0
fh00d� = 0:
233
Alltså är Z k2n�1
j
2n�1
fd� = 0; 1 � j � k � 2n�1;
och därmed gäller attZ 1
0
1[a;b]fd� =
Z b
a
fd� = 0; 0 � a � b � 1:
Alltså måste f = 0 och vi kan dra slutsatsen att funktionerna h00;hjn; j =1; :::; 2n�1; n � 1; är en ortonormerad bas i L2 [0; 1] : Denna ortonormeradebas kallas för Haarbasen i Hilbertrummet L2 [0; 1] :Låt nu G00;Gjn; j = 1; :::; 2n�1; n � 1; vara en i.i.d. med N(0; 1)-fördelade
komponenter och sätt
ajn(t) =
Z 1
0
1[0;t]hjnd�; j = n = 0 eller j = 1; :::; 2n�1; n � 1:
Funktionerna ajn; j = n = 0 eller j = 1; :::; 2n�1; n � 1; är alla kontinuerliga.Observera också att för varje �xt n � 1 och t 2 [0; 1] så är
ajn(t) 6= 0 för högst ett index j:
Vi inför ocksåU0(t) = G00a00(t)
och
Un(t) =2n�1Xj=1
Gjnajn(t); n � 1
och vet från diskussionen ovan att slumpserien
V (t) =1Xn=0
Un(t)
konvergerar i L2(P ) för varje �xt t 2 [0; 1] och att motsvarande process ären normaliserad Brownsk rörelse i tidsintervallet [0; 1] : Det gäller att visaatt processens trajektorier är kontinuerliga med sannolikheten ett. Vi visardärför att serien
1Xn=0
Un
234
konvergerar n.s. i Banachrummet C([0; 1]) med normen
k x k1= max0�t�1
j x(t) j= maxt2[0;1]\Q
j x(t) j :
Här syftar n.s. på det bakomliggande sannolikhetsmåttet. Det räcker därföratt visa att
1Xn=0
k Un k1<1; n.s.
ty en absolutkonvergent serie i Banachrummet C([0; 1]) är konvergent. Låtdärför n � 1 och notera först att
P�k Un k1> 2�
n4
�� P
�max
1�j�2n�1(j Gjn jk ajn k1) > 2�
n4
�:
Menk ajn k1=
1
2n+12
såP�k Un k1> 2�
n4
�� 2n�1P
hj G00 j> 2
n4+ 12
i:
Eftersom
x � 1) P [j G00 j� x] � 2Z 1
x
ye�y2=2 dy
xp2�� e�x2=2
följer attP�k Un k1> 2�
n4
�� 2ne�2n=2
och vi drar slutsatsen att
E
" 1Xn=0
1[kUnk1>2�n4 ]
#=
1Xn=0
P�k Un k1> 2�
n4
�<1:
SerienP1
n=0 1[kUnk1>2�n4 ] är således ändlig n.s. och det följer att serien
1Xn=0
k Un k1
konvergerar n.s: Det �nns alltså en representation W (t); 0 � t � 1; förnormaliserad endimensionell Brownsk rörelse i tidsintervallet [0; 1] som harkontinuerliga trajektorier. Detta visar Wieners sats. []
235
Antag att processerna (W1(t))0�t�1 och (W2(t))0�t�1 är stokastiskt oberoende,endimensionella Brownska rörelser i tidsintervallet [0; 1] båda med trajekto-rier som är kontinuerliga med sannolikheten ett. Genom att sätta
W (t) =
�W1(t); 0 � t � 1W1(1) + tW2(1=t)�W2(1); t > 1
:
får vi en normaliserad endimensionell Brownsk rörelse i tidsintervallet [0;1[.Processens trajektorier är kontinuerliga med sannolikheten ett.Wienerprocessen behandlas utförligt i Karatzas och Shreves bok [KS] :
236
237
Referenser
1. [BA] Bachelier, L. (1900) Théorie de la spéculation. Annales scien-ti�ques de l�École normale supérieure 17, 21-86
2. [BM ] Brigo, D., Mercurio, F. (2001) Interest Rate Models; Theory andPractice. Springer.
3. [BTS] Björk, T. (1997) Interest rate theory. Financial Mathematics,editor: W. J. Runggaldier, Lecture Notes in Mathematics 1656, 53-122. Springer.
4. [BTO] Björk, T. (1998) Arbitrage Theory in Continuous Time. OxfordUniversity Press.
5. [BS] Black F., Scholes, M. (1973) The pricing of options and corporateliabilities. Journal of Political Economy 81, 637-659
6. [CV ] Conze, A., Viswanathan (1991) Path dependent options: the caseof lookback options. The Journal of Finance XLVI/No 5, 1893-1907
7. [CW ] Chung, K. L., Williams, R. J. (1990) Introduction to StochasticIntegration. Birkhäuser.
8. [EK] Elliott, R. J., Kopp, P. E. (1999) Mathematics of Financial Mar-kets. Springer.
9. [FR] Friedman, A. (1975) Stochastic di¤erential equations and appli-cations. Volume 1. Academic Press.
10. [H] Hull, J. (1996) Options, Futures, and Other Derivative Securities.3rd ed. Prentice Hall.
11. [HJM ] Heath, D., Jarrow, R., Morton, A. (1992) Bond pricing and theterm structure of interest rates. Econometrica 60 , 77-106
12.hIT O1
iItô, K. (1942) Di¤erenial equations determiningMarkov processes
(in Japanese). Zenkoku Shijo Sugaku Danwakai 1077, 1352-1400
13.hIT O2
iItô, K. (1944) Stochastic Integral. Proc. Imperical Acad.
Tokyo 20, 519-524
238
14. [J1] Jarrow, R. (1995) Modelling Fixed Income Securities and InterestRate Options. McGraw-Hill.
15. [J2] Jarrow, R. (1995) Over the rainbow. Developments in exotic op-tions and complex swaps. Risk Publications.
16. [KP ] Kloeden, P. E., Platen, E. (1991) Numerical Solutions of Stochas-tic Di¤erential Equations. Springer.
17. [KS] Karatzas, I., Shreve S. E. (1988) Brownian Motion and StochasticCalculus. Springer-Verlag.
18. [McK] McKean, H. P. (1969) Stochastic Integrals. Academic Press.
19. [MER1] Merton, R. (1973) Theory of rational option pricing. BellJournal of Economics and Management 4, 141-183.
20. [MER2]Merton, R. (1990) Continuous-Time Finance. Oxford: BasilBlackwell.
21. [MR] Musiela, M., Rutkowski, M. (1997) Martingale Methods in Fi-nancial Modelling. Springer-Verlag.
22. [NEL] Nelson, E. (1967) Dynamical Theories of Brownian Motion.Princeton Univ. Press.
23. [PWZ] Paley, R. E. A., Wiener, N., Zygmund, A. (1933) Math. Zeitschrift37 647-668
24. [RS] Rogers, L. C. G., Shi, Z. (1995) The value of an asian option. J.Appl. Prob. 32, 1077-1088
25. [W ] Wiener N. (1923) Di¤erential space, J. Math. Phys.2, 131-174
26. [WDH] Wilmott, P., Dewynne, J., Howison, S. (1993 omtryck 1996)Option Pricing: Mathematical Models and Computation. Oxford Fi-nancial Press.
27. [;K] ;ksendal, B. (1985) Stochastic Di¤erential Equations. Springer-Verlag.
