D

I

S

U

S

U

N

OLEH :

1. Djuwita Trisnawati (06122502011)

2. Ogi Meita Utami (06122502001)

Dosen Pengasuh : 1. Dr. Darmawijoyo

2. Dr. Nila Kesumawati, M.Si.

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2012-2013

FINITE GRUP DAN SUBGRUP

A. Pendahuluan

Pada pertemuan sebelumnya telah dipelajari materi grup mulai dari

definisi grup sampai pada bagaimana caranya menentukan suatu himpunan

merupakan grup atau bukan. Sedangkan untuk pertemuan kali ini materi yang

akan dibahas adalah finite grup dan subgrup. Seperti yang telah diketahui

bahwa suatu himpunan dapat dikatakan grup jika himpunan itu memiliki

anggota atau tidak kosong dan memenuhi ciri-ciri grup itu sendiri. Grup yang

memiliki anggota berhingga merupakan grup terbatas atau finite grup,

sedangkan grup yang anggotanya tidak terbatas disebut infinite grup. Grup

yang anggotanya terbatas inilah yang akan dibahas dalam materi ini.

Selain finite grup, pada pembahasan kali ini akan dijelaskan juga materi

subgrup. Seperti yang kita ketahui bahwa setiap himpunan akan ada

himpunan bagiannya. Misalnya himpunan bilangan bulat memiliki himpunan

bagian yaitu himpunan bilangan bulat positif. Begitu juga halnya dengan

grup, yang dapat juga diketahui bagian grup tersebut atau sering disebut

subgrup. Suatu himpunan dapat dikatakan subgrup dari suatu grup jika

memenuhi syarat-syarat subgrup suatu grup. Syarat-syarat subgrup inila yang

juga akan dipelajari dalam pembahasan kali ini.

Dengan demikian, setelah mempelajari materi ini mahasiswa

diharapkan mampu:

- Menentukan apakah sebuah grup merupakan finite grup .

- Menentukan order dari grup dan order dari anggota grup.

- Menjelaskan definisi subgrup.

- Menentukan suatu himpunan merupakan subgrup dari suatu grup.

B. Finite Grup

Definisi order dari grup

Jumlah anggota dari suatu grup disebut dengan order. Order dari grup G

dinotasikan dengan |G|.

Seperti halnya grup Z dari bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan

mempunyai order yang tidak terbatas. Sehingga disebut infinite grup.

Sedangkan grup U(10) = {1, 3, 7, 9} terhadap operasi perkalian modulo 10

mempunyai order 4. Sehingga disebut finite grup.

Definisi order dari anggota grup

Order dari anggota g sebuah grup G merupakan bilangan bulat terkecil

positif n dengan

gn = e (untuk grup terhadap operasi perkalian). Untuk grup terhadap operasi

penjumlahan dinyatakan dengan ng = 0. Jika tidak memenuhi definisi di atas,

maka disebut dengan infinite order.

Order dari anggota g sebuah grup G dinotasikan dengan |g|.

Order dari anggota g sebuah grup G dapat dicari dengan hanya

menghitung urutan dari g1, g

2, g

3, g

4,…………, sampai perhitungannya

menghasilkan identitas, yaitu 0 (untuk grup terhadap operasi perkalian).

Sedangkan untuk grup terhadap operasi penjumlahan order dari anggota

sebuah grup G dapat dicari dengan menghitung 1.g, 2.g, 3.g, 4.g,………..,

sampai perhitungannya menghasilkan identitas, yaitu 0. Jika perhitungannya

dilanjutkan tetapi tidak menghasilkan identitas, maka g merupakan infinite

order.

Contoh 1:

Diberikan U(15) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} terhadap operasi perkalian

modulo 15.

a. Grup ini mempunyai order grup 8.

b. Order masing-masing anggota grup dicari dengan menghitung gn = e.

Order dari 1 : 11 = 1, 1

2 = 1, …….. Jika diteruskan hasilnya berulang 1.

Jadi order dari 1 adalah 1, atau dinotasikan dengan |1| = 1.

Order dari 2 : 21 = 2, 2

2 = 4, 2

3 = 8, 2

4 = 1

Jadi, order dari 2 adalah 2, 4, 8 dan 1, atau dinotasikan dengan |2| = 4.

Order dari 4 : 41 = 4, 4

2 = 1

Jadi, order dari 4 adalah 4 dan 1, atau dinotasikan dengan |4| = 2

Dengan perhitungan yang sama akan didapat :

|7| = 4, |8| = 4, |11| = 2, |13| = 4, |14| = 2

Contoh 2:

Diberikan Z10 terhadap operasi penjumlahan modulo 10.

a. Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Grup ini mempunyai order grup 10

b. Order masing-masing anggota grup dicari dengan menghitung ng = 0

Order dari 0 : 1.0 = 0, 2.0 = 0 (2.0 artinya 0+0)

Jadi, order dari 0 adalah 0, atau dinotasikan dengan dengan |0| = 1

Order dari 1 : 1.1 = 1, 2.1 = 2, 3.1 = 3, 4.1 = 4, 5.1 = 5, 6. 1 = 6, 7.1 =

7, 8.1 = 8, 9.1 = 9, 10.1 = 0

Jadi, order dari 1 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 0 atau dinotasikan

dengan |1| = 10

Order dari 2 : 1.2 = 2, 2.2 = 4, 3.2 = 6, 4.2 = 8, 5.2 = 0

Jadi, order dari 2 adalah 2, 4, 6, 8 dan 0 atau dinotasikan dengan |2| = 5

Order dari 3 : 1.3 = 3, 2.3 = 6, 3.3 = 9, 4.3 = 2, 5.3 = 5, 6.3 = 8, 7.3 =

1, 8.3 = 4, 9.3 = 7, 10.3 = 0

Jadi, order dari 3 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, atau dinotasikan

dengan |3| = 10

Dengan cara yang sama akan didapat |4| = 5, |5| = 2, |6| = 5, |7| = 10,

|8| = 5, |9| =10

C. Subgrup

Definisi

Suatu subhimpunan tak kosong H dalam grup G dinamakan subgrup dari

G, jika terhadap operasi yang sama di G, subhimpunan H sendiri

merupakan grup.

(Muhlisah, 2005:45)

Contoh 3 :

Apabila Z = himpunan bilangan bulat merupakan grup terhadap operasi

penjumlahan. Sedangkan Z adalah subhimpunan dari Q = himpunan

bilangan rasional yang juga merupakan grup terhadap penjumlahan, maka

Z dinamakan subgrup dari grup Q.

Lemma 1

A nonempty subset H of the group G is a subgroup of G if and only if:

1. a,b ∈ H, implies that a.b ∈ H

2. a ∈ H, implies that a-1

∈ H

(Herstein, 1975:37)

Suatu subhimpunan tidak kosong H dalam grup G, merupakan subgrup

jiaka dan hanya jika dipenuhi:

a. Untuk setiap g,h ∈ H, maka g.h ∈ H

b. Bila g ∈ H, maka g-1

∈ H

(Muhlisah, 2005:45)

Bukti Lemma 1:

Jika H subgroup dari G, maka H subhimpunan tidak kosong dari G.

Menurut definisi, H membentuk grup dengan operasi yang sama dengan

G. Dengan demikian H memenuhi (a) dan (b).

Atau

Anggaplah syarat (a) dan (b) berlaku dalam H. Untuk menunjukkan bahwa

H membentuk grup dengan operasi dalam G, maka harus dapat

ditunjukkan dua syarat lagi, yaitu:

1. dalam H berlaku sifat asosiatif

Sifat asosiatif dipenuhi karena H merupakan subhimpunan G.

2. adanya unsur identitas dalam H

Misal: ∀ a ∈ H , maka a-1

∈ H.

Karena tertutup maka a.a-1

= e dan e ∈ H

Ini melengkapi pembuktian bahwa H membentuk grup. Jadi H merupakan

subgroup dari G.

Contoh 4:

Misalkan G grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, H subgrup

dari G yaitu hmpunan semua bilangan bulat kelipatan 3.

H = {3n | n ∈ Z}

Buktikan bahwa H subgrup dari G.

Bukti :

Berdasarkan lemma 1, maka harus dibuktikan jika H memenuhi sifat

tertutup dan memiliki invers. Namun perlu dibuktikan juga bahwa H ≠ ∅,

dengan demikian:

1. H tidak kosong, karena ada 0 = 3(0) ∈ G, yang berarti 0 di H.

2. Ambil sembarang a,b ∈ H, misalkan a = 3n1 dan b = 3n2,

untuk n1, n2 ∈ Z. Akan dibuktikan a + b ∈ Z

a + b = 3n1 + 3n2

= (n1 + n1 + n1) + (n2 + n2 + n2)

= (n1 + n2) + (n1 + n2) + (n1 + n2)

= 3 (n1 + n2)

Karena n1, n2 ∈ Z maka n1 + n2 ∈ Z, dengan demikian a + b ∈ Z

Sehingga H terhadap operasi penjumlahan dalam G bersifat tertutup.

3. Ambil sembarang a = 3n1 di H, akan ditunjukkan bahwa invers dari a

yaitu –a juga di H.

Misalkan n1 ∈ G, maka ada – n1 di G

Akan dibuktikan jika 3(-n1) juga di H

-a = - (3n1)

= - (n1 + n1 + n1)

= (-n1) + (n1) + (-n1)

= 3(-n1)

Jadi, 3(-n1) ∈ H atau -a ∈ H

Berdasarkan penjelasan di atas dapat dibuktikan bahwa H subgrup dari G.

Lemma 2

Bila H subhimpunan berhingga yang tak kosong dalam G dan H tertutup

terhadap perkalian, maka H merupakan subgrup dalam G.

(Muhlisah, 2005:47)

Bukti Lemma 2:

Dari lemma 2 ini, sudah diketahui bahwa H adalah himpunan yang tidak

kosong dan bersifat tertutup. Dengan demikian, hanya perlu ditunjukkan

bahwa jika a ∈ H maka a-1

∈ H.

Ambil a ∈ H sembarang, karena H tertutup maka

a2 = a.a ∈ H, a

3 = a.a

2 ∈ H ,….., a

m ∈ H

Tetapi, H himpunan berhingga, karena itu harus terdapat r > s > 0

sedemikian hingga :

ar = a

s

ar . a

-s = a

s . a

-s

ar . a

-s = e

ar-s

= e

Karena r - s > 0, berarti ar-s

= e ∈ H , sehingga H memuat identitas

Selanjutnya r - s - 1 ≥ 0, berarti ar-s-1

∈ H dan a-1

= ar-s-1

Dari: a-1

= ar-s-1

a.a-1

= ar-s-1

a

e = ar-s

, maka a-1

∈ H

Teorema

Let G be a group and H a nonempty subset of G. If ab-1

is in H whenever a

and b are in H, then H is a subgroup of G.

(Gallian, 2010:59)

Contoh 6:

Misalkan G grup komutatif dan H = {x ∈ G | x2 = e} merupakan

subhimpunan dalam G. Buktikan H subgrup dari G.

Bukti :

Pertama kali tunjukkan bahwa H tidak kosong.

Karena e ∈ G berarti e.e = e2 = e ∈ H jadi H tak kosong. Misalkan a,b

sembarang unsur H, berarti a2 = e dan b

2 = e

Akan ditunjukkan bahwa ab-1

∈ H

(ab-1

)2 = (ab

-1) (ab

-1)

= a2 (b

-1)2

= a2 (b

2)-1

= e e-1

= e

Dari uraian di atas didapat (ab-1

) = e, karena e ∈ H maka terbukti ab-1

∈ H

Sehingga dapat disimpulkan bahwa H subgrup G.

GLOSARIUM

Order grup adalah Jumlah anggota dari suatu grup.

Order elemen grup adalah bilangan bulat terkecil positif n dengan gn = e (untuk

grup terhadap operasi perkalian). Untuk grup terhadap operasi penjumlahan

dinyatakan dengan ng = 0.

Grup finite adalah grup yang mempunyaii anggota yang berhingga.

Subgrup adalah suatu subhimpunan tak kosong H dalam grup G dinamakan

subgrup dari G, jika terhadap operasi yang sama di G, subhimpunan H sendiri

merupakan grup.

DAFTAR PUSTAKA

Herstein I. N. 1975. Topics in Algebra. New York.

Gallian J. A. 2010. Contemporary Abstract Algebra. Belmont: Brooks

Muchlisah, Nurul. 2005. Teori Grup dan Terapannya. Surakarta: LPP UNS dan

UNS Press.

SOAL – SOAL

1. Diberikan grup U(10) terhadap operasi perkalian modulo 10. Tentukanlah

order dari grup dan order dari anggota grup tersebut?

2. Diberikan grup G = {1, 2, 3, 4} himpunan bilangan bulat modulo 5 yang

bukan nol. (G,×) grup kumutataif. Tentukan subgrup dari (G,×)

3. Misalkan G merupakan grup bilangan real bukan nol terhadap operasi

perkalian, H = {x ∈ G | x = 1 atau x irrasional} dan K = {x ∈ G | x ≥ 1}.

Tunjukkan apakah H dan K subgrup dari G atau bukan.

4. (G, o) suatu grup dan a ∈ G. Buktikan bahwa

H = {x | x ∈ G dan x o a = a o x} adalah subgrup dari G

5. Jika G = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} merupakan grup, maka buktikan

bahwa H subgrup dari G. Jika H ={0, 2, 4, 6, 8} terhadap operasi

penjumlahan modulo 10

6. Jika H dan K subgrup-subgrup dari G, tunjukkan bahwa H iris K juga

merupakan subgrup dari G.

7. Jika H subgrup dari G, dan a elemen G, Misalkan aHa-1

= {aha-1

l h € H}

maka tunjukkanlah bahwa ia merupakan subgrup dari G.

8. Jika H suatu subgrup dari G, maka Pemusatan H adalah C(H),

H}. Buktikan bahwa C(H) merupakan subgrup dari G.yaitu himpunan

{x ∈ G|xh = hx, untuk semua h}.

9. Tunjukan bahwa Z10 = <3> = <7> = <9>. Apakah Z10 = <2> ?

PEMBAHASAN SOAL

1. Diberikan grup U(10) = (1, 3, 7, 9)

Order grup U(10) adalah 1, 3, 7 ,9 sehingga |U| = 4

Order masing-masing anggota grup dicari dengan menghitung gn = e

Order dari 1 : 1.1 = 1, 2.1 = 2, 3.1 = 3, 4.1 = 4, 5.1 = 5, 6. 1 = 6, 7.1

= 7, 8.1 = 8, 9.1 = 9, 10.1 = 0

Jadi, order dari 1 adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9 atau dinotasikan

dengan |1| = 10

Order dari 3 : 1.3 = 3, 2.3 = 6, 3.3 = 9, 4.3 = 2, 5.3 = 5, 6.3 = 8, 7.3

= 1, 8.3 = 4, 9.3 = 7, 10.3 = 0

Jadi, order dari 3 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, atau dinotasikan

dengan |3| = 10

Order dari 7 : 1.7 = 7, 2.7 = 4, 3.7 = 1, 4.7 = 8, 5.7 = 5, 6.7 = 2, 7.7

= 9, 8.7 = 6, 9.7 = 3, 10.7 = 0

Jadi, order dari 7 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 atau dinotasikan

dengan |7| = 10

Order dari 9 : 1.9 = 9 , 2.9 = 8 , 3.9 = 7, 4.9 = 6 , 5.9 = 5, 6.9 = 4,

7.9 = 3, 8.9 = 2, 9.9 = 1, 10.9 = 0

Jadi, order dari 9 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 atau dinotasikan

dengan |9| = 10

2. Tabel hasilkali anggota G = {1, 2, 3, 4} modulo 5

× 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Berdasarkan lemma 1, suatu kompleks H merupakan subgrup jika

memenuhi sifat:

c. Untuk setiap g,h ∈ H, maka g.h ∈ H

d. Bila g ∈ H, maka g-1

∈ H

Oleh karena itu subgrup H dapat ditentukan denan melihat tabel:

1. Ambil elemen identitas sebagai anggota H

2. Ambil anggota G yang merupakan invers satu dengan yang lain

menjadi anggota H.

3. Kemudian cek syarat tertutup

Apabila dipenuhi sifat tertutup berarti subgrup. Apabila tidak

dipenuhi berarti bukan subgrup G.

- Coba H = {1, 2, 3}

a. 1 elemen identitas G

b. 2 dan 3 bukan anggota G yang merupakan invers dari

anggota yang satu dengan yang lain

c. 3 × 3 = 4 ≠ H (tidak tertutup)

Jadi, H {1, 2, 3} bukan anggota subgrup G

- Coba H = {1, 4}

a. 1 elemen identitas G

b. 4 anggota G yang merupakan invers dirinya sendiri

c. 4 × 4 = 1 ∈ H (sifat tertutup terpenuhi)

Jadi, H = {1, 4}

3. - Untuk H = {x ∈ G | x = 1 atau x irrasional},

ambil x = 2 , dengan 2 ∈ H maka: 2 . 2 = 2

karena 2 bukan anggota dari G dan H, maka H bukan subgrup dari

G. (sifat tertutup tidak terpenuhi)

- Untuk K = {x ∈ G | x ≥ 1}

Ambil x = 2, invers dari x adalah 2-1

. Karena 2-1

bukan anggota G

dan H, maka K bukan subgrup dari G. (tidak mempunyai invers)

4. Untuk menunjukkan H subgrup G, akan dibuktikan bahwa H tertutup

terhadap operasi o dan setiap elemen H terhadap operasi o

mempunyai invers dalam H

a. Ambil b,c ∈ H, maka didapat :

b o a = a o b

c o a = a o c

Akan ditunjukkan (b o c) o a = b o (c o a)

(b o c) o a = b o (a o c) c ∈ H

= (b o a) o c sifat asosiatif dalam G

= (a o b) o c b ∈ H

= a o (b o c) sifat asosiatif dalam G

Jadi, (b o c) o a = b o (c o a). Hal ini berarti (b o c) ∈ H dan H

tertutup terhadap operasi o.

b. Ambil b∈ H berarti b ∈ G dan karena G suatu grup, maka ada

b-1

∈ G dan b-1

∈ H

b o a = a o b

b-1

o (b o a) = b-1

o (a o b)

(b-1

o b) o a = (b-1

o a) o b

i o a = b-1

o (a o b)

a = b-1

o (a o b)

a o b-1

= (b-1

o (a o b)) o b-1

a o b-1

= (b-1

o a) o (b o b-1

)

a o b-1

= (b-1

o a) o i

a o b-1

= b-1

o a

Hal ini menunjukka bahwa b-1

∈ H. Jadi setiap elemen H

mempunyai invers dalam H. Terbukti bahwa H subgrup dari G.

5. H = {0, 2, 4, 6, 8} terhadap operasi penjumlahan modulo 10

+ 0 2 4 6 8

0 0 2 4 6 8

2 2 4 6 8 0

4 4 6 8 0 2

6 6 8 0 2 4

8 8 0 2 4 6

Untuk membuktikan bahwa H subgrup G maka akan ditunjukkan

bahwa operasi pada H tertutup dan setiap anggota di H mempunyai

invers.

Berdasarkan tabel terlihat bahwa hasil operasi himpunan H semuanya

ada pada H sehingga bersifat tertutup.

Dan setiap anggota H mempunyai invers di H itu sendiri:

2 + 8 = 0 8 + 2 = 0 0 + 0 = 0

4 + 6 = 0 6 + 4 = 0

Karena sifat tertutup terpenuhi dan setiap elemen H mempunyai

invers di H, maka terbukti bahwa H subgrup G.

6. H iris K takkosong sebab ada e elemen H dan e elemen K sehingga e

elemen H iris K.

Ambil sebarang a,b elemen H iris K. Akan ditunjukan ab elemen

H iris K.

Perhatikan bahwa : a,b elemen H iris K , maka a,b elemen H dan

a,b elemen K. Kerana H dan K grup, maka ab elemen H dan ab

elemen K. Ini menunjukan bahwa ab elemen H iris K.

Ambil sebarang a elemen H iris K. Adit invers dari a elemen H

iris K.

Perhatikan bahwa : a elemen H iris K , maka a elemen H dan a

elemen K. Karena H dan K grup, maka invers dari a elemen H dan

elemen K. Karena itu invers dari a elemen H iris K.

Ini berarti H iris K subgrup dari G.

7. aHa-1

= {aha-1

l h ∈ H} tak kosong sebab ada e unsur H

sehingga aea-1

= e elemen aHa-1

ambil sebarang c,d ∈ aHa-1

c ∈ aHa-1

, maka c=ah1a-1

d ∈ aHa-1

, maka d=ah2a-1

cd=ah1a-1

ah2a-1

=ah1h2a-1

, karena H grup, maka cd ∈ aHa-1

ambil sebarang

f ∈ aHa-1

, adit f-1

∈ aHa-1

perhatikan f=ah3a-1

, ada h3 ∈ H karena H grup, maka h-1

∈H

akan dibuktikan f-1

=ah1-1

a-1

maka harus ditunjukkan ah1-1a-1

ah1a-1

=e, tetapi

ah1-1

a-1

ah1a-1

=ah1h1-1

a-1

= ae a-1

=e

Jadi, f-1∈aHa

-1

8. C(H) takkosong, sebab ada e ∈ G sehingga eh=h=he, e ∈ C(H).

ambil sebarang a,b ∈ C(H). Akan dibuktikan ab ∈ C(H).

Untuk itu harus ditunjukan bahwa abh = hab, untuk setiap h ∈ H.

Perhatikan bahwa : untuk setiap h ∈ H, maka ah b = hab dan

abh = ahb.

Ini berarti untuk setiap h ∈ H, maka abh = hab.

ambil sebarang x,y ∈ C(H), maka: xh = hx dan yh = hy

Akan dibuktikan (xy-1

) h = h (xy-1

)

Bukti:

(xy-1

) h = (xy-1

) h e

= (xy-1

) h (yy-1

)

= (xy-1

) (hy) y-1

= (xy

-1) (yh) y

-1

= x (y

-1y) h y

-1

= x (h y

-1)

= (xh) y-1

=(hx) y

-1

= h (x y-1

) ∈ C (H)

Terbukti bahwa C (H) adalah subgrup G.

9. Z10 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

<3> = 3¹ = 3

3² = 6

3³ = 9 mod 10

34 = 2 mod 10

35 = 5 mod 10

36 = 8 mod 10

37 = 1 mod 10

38 = 4 mod 10

39 = 7 mod 10

310

= 0 mod 10

Jadi, <3> = { 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0 }

<7> = 7¹ = 7

7² = 4

7³ = 1 mod 10

74 = 8 mod 10

75 = 5 mod 10

76 = 2 mod 10

77 = 9 mod 10

78 = 6 mod 10

79 = 3 mod 10

710

= 0 mod 10

Jadi, <7> = { 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0 }

<9> = 9¹ = 9

9² = 8

9³ = 7 mod 10

94 = 6 mod 10

95 = 5 mod 10

96 = 4 mod 10

97 = 3 mod 10

98 = 2 mod 10

99 = 1 mod 10

910

= 0 mod 10

Jadi, <9> = { 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 }

<2> = 2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8 mod 10

24 = 6 mod 10

25 = 2 mod 10

26 = 4 mod 10

Jadi, <2> = { 2, 4, 8, 6 }

U(10) ≠ <2> dan bukan siklik melainkan subgroup karena <2>

terdapat elemen yang sama pada U(14).

Terbukti : Z10 = <3> =<7> = <9>.

Dan merupakan generator karena terdapat generator.