Upload
buidiep
View
249
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
3
TUGAS
GEOMETRI TRANSFORMASI
“GRUP”
KELOMPOK 8
1. I WAYAN AGUS PUTRAWAN (2008.V.1.0093)
2. I KADEK DWIJAYAPUTRA (2008.V.1.0094)
3. I KETUT DIARTA (2008.V.1.0123)
4. AGUS EKA SURYA KENCANA (2008.V.1.0043)
SEMESTER VI C
MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN
ILMU PENGETAHUAN ALAM (FPMIPA)
INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
(IKIP) PGRI BALI DENPASAR
2011
4
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadapan Ida Sang Hyang Widhi Wasa, karena
berkat rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan paper ini tepat pada waktunya. Paper ini
merupakan tugas yang dibuat untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah yaitu
“Geometri Transformasi”.
Mata kuliah geometri transformasi sangat penting, karena mata kuliah ini
merupakan dasar – dasar matematika yang berisi materi tentang geometri euclidis dan
geometri analitik bidang, transformasi, pencerminan, isometri, hasilkali
transformasi,transformsiasi balikan, setengah putaran, grup, ruas garis berarah, geseran,
pencerminan geser, transformasi kesebangunan, afinitas dan lain sebagainya, materi ini
digunakan sebagai bahan ajar di sekolah menengah.
Terselesainya paper ini tidak terlepas dari bantuan dan bimbingan berbagai
pihak. Maka dari itu kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak I Made Bawa Muliana, S.Pd, M.Pd selaku Dosen Mata Kuliah Geometri
Transformasi yang telah membimbing kami.
2. Bapak/Ibu Dosen serta Staff pegawai yang berada di lingkungan FPMIPA yang
telah memberikan masukan dan saran.
3. Teman-teman Jurusan Pendidikan Matematika dan semua pihak yang telah
membantu dan mendukung kelancaran pembuatan paper ini.
Menyadari adanya keterbatasan dan kekurangan dalam penyusunan laporan ini,
kami mengharapkan saran dan kritik dari para pembaca. Semoga laporan ini dapat
memberikan manfaat bagi pembaca.
Denpasar, April 2011
Tim Penulis
5
DAFTAR ISI
Kata Pengantar .................................................................................................... i
Daftar Isi.............................................................................................................. ii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1
A. Latar Belakang .................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah ............................................................................. 1
C. Tujuan Penulisan .............................................................................. 1
D. Manfaat Penulisan ............................................................................. 2
BAB II PEMBAHASAN .................................................................................... 3
A. Himpunan Dengan Struktur Grup ..................................................... 3
B. Sifat-sifat Dasar Grup ........................................................................ 5
C. Grup Bagian (Subgrup) ..................................................................... 7
BAB III PENUTUP ............................................................................................ 11
A. Simpulan ............................................................................................ 11
B. Saran ................................................................................................... 12
Daftar Pustaka
6
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Ada tiga akar sejarah teori grup: teori persamaaan aljabar, teori
bilangan dan geometri. Teori grup merupakan cabang matematik di mana
seseorang melakukan sesuatu terhadap sesuatu dan kemudian
membandingkan hasilnya dengan hasil pekerjaan yang sama dari objek yang
berbeda, atau pekerjaan yang beda pada objek yang sama. Grup digunakan
dalam dunia matematika dan ilmu pengetahuan alam, di antaranya untuk
menemukan simetri internal dari struktur lain, dalam bentuk grup automorfis.
Sebuah simetri internal dari suatu struktur biasanya diasosiasikan dengan satu
sifat invarian, dan berbagai macam transformasi yang mengubah sifat
invarian ini, bersama dengan oprasi komposisi suatu transformasi, dari sebuah
grup yang disebut grup simetri.
Pembahasan dalam paper ini difokuskan pada topik grup dan dibatasi
pada topik yang dikatagorikan himpunan dengan struktur grup, sifat-sifat
sederhana dari grup, dan subgrup.
B. Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah yang diajukan adalah sebagai berikut:
1. Bagaimanakah himpunan dengan struktur grup?
2. Apa sajakah sifat sederhana dari grup?
3. Apakah grup bagian (Subgrup)?
C. Tujuan Penulisan
Adapun tujuan yang dapat kita peroleh sebagai berikut:
1. Untuk mengetahui himpunan dengan struktur grup.
2. Untuk mengetahui sifat sederhana dari grup.
3. Untuk mengetahui grup bagian (Subgrup).
7
D. Manfaat Penulisan
Adapun manfaat yang dapat kita peroleh, sebagai berikut:
1. Mahasiswa dapat menambah wawasan dalam penyusunan paper.
2. Mahasiswa dapat mengetahui himpunan dengan struktur grup.
3. Mahasiswa dapat mengetahui beberapa sifat sederhana grup.
4. Mahasiswa dapat mengetahui grup bagian (Subgrup).
8
BAB II
PEMBAHASAN
A. Himpunan Dengan Struktur Grup
Suatu struktur aljabar merupakan suatu sistem yang mengandung dua
unsur utama yakni sebuah himpunan dan operasi biner yang didefinisikan di
dalamnya. Sebuah sistem yang terdiri dari sebuah himpunan tak kosong G dan
sebuah operasi biner yang didefinisikan didalamnya disebut grupoid. Jika
operasi biner dalam grupoid tersebut bersifat asosiatif, maka sistem tersebut
menjadi sebuah semi grup. Selanjutnya semi grup yang memuat elemen
identitas, yakni sebuah elemen e sedemikian hingga untuk setiap a G
berlaku a e = e a = a, disebut monoid. Dan apabila setiap elemen dalam
monoid memiliki invers, yakni untuk setiap a G, a−1
G sedemikian
hingga a a−1
= a−1
a = e, maka sistem yang baru disebut grup.
Definisi A.1 Suatu himpunan tak kosong G dengan sebuah operasi
(dinotasikan (G, )), dapat membentuk Grup jika dan hanya jika memenuhi
empat aksioma berikut.
1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil
operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah
tunggal. Atau secara simbolis: ( a, b G), ( !c G), a b = c
2. Operasi bersifat asosiatif, yakni ( a, b, c G), (a b) c = a (b c).
3. Ada elemen identitas dalam G, yakni ( e G), ( a G), a e = e a = a.
4. Tiap-tiap elemen dalam G memiliki invers, yakni ( a G), ( a−1
G), a
a−1
= a−1
a = e, dimana e adalah elemen identitas terhadap operasi .
Apabila salah satu sifat diatas tidak dipenuhi, maka G bukan grup. Untuk
menyatakan grup, dapat ditulis (G, ).
9
Definisi A.2
1. Sebuah grup yang banyaknya unsur-unsur takhingga dinamakan grup tak
hingga.
2. Sebuah grup yang banyaknya unsur-unsur terhingga dinamakan grup
terhingga.
Definisi A.3 Sebuah grup (G, ) merupakan grup komutatif apabila ( a, b
G), a b = b a.
Contoh soal:
Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Tunjukan bahwa G adalah
suatu grup terhadap perkalian (G, ).
Penyelesaian :
Tabel 1.
Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, )
Dari tabel 1. akan ditunjukan bahwa G = {-1, 1} merupakan suatu grup
terhadap perkalian (G, ), yaitu :
a. Tertutup (( a, b G), ( !c G), a b = c)
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1 dan 1 G. Maka: -1 1 = -1
Karena hasilnya -1 G, maka tertutup terhadap G
b. Assosiatif (( a, b, c G), (a b) c = a (b c))
Ambil sebarang nilai dari G, misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1 G
(a b) c = (-1 -1) 1 = 1 1 = 1
a (b c) = 1 (-1 -1) = 1 1 = 1
10
Sehingga (a b) c = a (b c) = 1
maka G assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian)
( e G), ( a G), a e = e a = a
Ambil sebarang nilai dari G
• misalkan -1 G sehingga -1 e = e (-1) = -1
• misalkan 1 G sehingga 1 e = e 1 = 1
maka G ada unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
( a G), ( a−1
G), a a−1
= a−1
a = e, dimana e adalah elemen
identitas terhadap operasi .
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1 G, pilih -1 G, sehingga :
-1 (-1) = 1 = e, maka (-1)-1
= -1
• Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 G, pilih 1 G, sehingga :
1 1 = 1 1 = e, maka (1)-1
= 1
maka G ada unsur balikan atau invers
Kesimpulan dari point a, b, c dan d, maka :
G = {-1, 1} merupakan grup terhadap perkalian (G, ).
B. Sifat-sifat Dasar Grup
Teorema-teorema berikut memaparkan beberapa sifat-sifat dasar dari
grup:
Teorema B.1 Elemen identitas dari suatu grup adalah tunggal.
Teorema B.2 Invers dari setiap elemen dalam suatu grup adalah tunggal.
Teorema B.3 Jika G adalah grup dengan operasi biner , maka dalam G
berlaku hukum kanselasi kiri dan hukum kanselasi kanan. Yakni, a b = a c
berimplikasi b = c, dan a b = c b berimplikasi a = c, a, b, c G.
Teorema B.4 Jika G grup dan a1, a2, · · · , an adalah sebarang n elemen
dalam G, maka berlaku (a1 a2 · · · an)−1
=
11
Teorema B.5 Jika G adalah grup maka untuk sebarang elemen a dalam G
berlaku (a−1
)−1
= a.
Teorema B.6 Dalam sebuah grup G, persamaan ax = b, dengan a, b G dan
x adalah peubah, mempunyai penyelesaian tunggal yakni x = a−1b.
Teorema B.7 Jika suatu himpunan tak kosong G terhadap operasi
memenuhi aksioma: tertutup, asosiatif, dan persamaan a x = b dan y a =
b mempunyai penyelesaian untuk setiap a, b G, maka (G, ) merupakan
grup.
Contoh 1:
Misalkan (G, ) adalah suatu Grup, maka :
a. Jika a G, maka (a-1)-1
= a
b. Jika a, b G, maka (ab)-1
= b-1
a-1
Bukti :
a. Berdasarkan aksioma grup, bahwa dalam grup terdapat sifat unsur satuan
atau identitas, e = a-1
(a-1
)-1
dan e = a-1
a
Sehingga : e = e
a-1
(a-1
)-1
= a-1
a
Akibatnya :
(a-1
)-1
= a
b. Berdasarkan aksioma grup, bahwa dalam grup terdapat sifat unsur satuan
atau identitas, e = ( ab) (ab)-1
dan e = a (b b-1
) a-1
berdasarkan
sifat asosiatif grup maka e = (ab ) b-1
a-1
Sehingga : e = e
(ab) (ab)-1
= (a b ) b-1
a-1
Akibatnya :
(ab)-1
= b-1
a-1
Dalam operasi penjumlahan (+), dapat dituliskan sebagai berikut:
Misalkan (G, +) adalah suatu Grup, maka :
a. Jika a G, maka -(-a) = a
b. Jika a, b G, maka -(a + b) = (-b) + (-a)
12
Contoh 2:
Misalkan (G, ) adalah suatu Grup perkalian dan a, b, x G, maka :
a. Jika xa = xb, maka a = b (penghapusan kiri)
b. Jika ax = bx, maka a = b (penghapusan kanan)
Bukti :
a. Misalkan xa = xb
maka :
xa = xb
x-1
(xa) = x-1
(xb) berdasarkan sifat asosiatif dalam suatu grup
(x-1
x) a = (x-1
x) b
ea = eb
a = b
b. Misalkan ax = bx
maka :
ax = bx
(ax) x-1 = (bx) x-1 ) berdasarkan sifat asosiatif dalam suatu grup
a (x-1x) = b (x-1x)
ae = be
a = b
Dalam operasi penjumlahan (+), dapat ditulis sebagai berikut :
Misalkan (G, +) adalah suatu Grup penjumlahan dan a, b, x G, maka :
a. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)
b. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)
C. Subgrup
Pada pembahasan ini akan diperkenalkan Subgrup yang merupakan
bagian dari Grup. Subgrup dapat diartikan sebagai grup bagian yang
mempunyai sifat-sifat dari Grup. Adapun definisinya adalah sebagai berikut :
13
Definisi C.1 Misalkan (G, ) adalah sebuah grup dan H suatu himpunan
bagian tak kosong dari G. H merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika
(H, ) membentuk sebuah grup.
Berdasarkan definisi tersebut maka agar menjadi sebuah subgrup dari
grup G maka H haruslah merupakan sebuah grup dalam grup G, yang berarti
H harus memenuhi semua aksioma grup terhadap operasi biner yang sama
dengan G. Selanjutnya mengingat H merupakan himpunan bagian dari G maka
ada aksioma yang sudah secara langsung akan diwariskan dari G ke H, yakni
aksioma asosiatif, sehingga dapat diturunkan teorema berikut.
Teorema C.1 Misalkan (G, ) adalah sebuah grup dan H suatu himpunan
bagian tak kosong dari G. H merupakan subgrup dari G jika memenuhi tiga
aksioma berikut.
1. Tertutup : ( c, d H), c d H.
2. Elemen identitas e H; dengan e juga merupakan elemen identitas dalam
grup G terhadap operasi .
3. ( c H), c−1
H.
Selanjutnya dapat dianalisa bahwa jika aksioma tertutup dan invers sudah
dipenuhi oleh H maka aksioma identitas juga akan terpenuhi. Sehingga
aksioma pada teorema di atas dapat direduksi dan menghasilkan teorema
berikut.
Teorema C.2 Misalkan (G, ) adalah sebuah grup dan H suatu himpunan
bagian tak kosong dari G. H merupakan subgrup dari G jika memenuhi dua
aksioma berikut.
1. Tertutup : ( c, d H), c d H.
2. ( c H), c−1
H.
Akhirnya dua aksioma pada teorema di atas dapat dikombinasikan dan
menghasilkan teorema berikut.
Teorema C.3 Misalkan (G, ) adalah sebuah grup dan H suatu himpunan
bagian tak kosong dari G. H merupakan subgrup dari G jika ( c, d H), c
d−1
H.
14
Definisi C.2 Misalkan (G, ) grup. H dan K keduanya himpunan bagian dalam
G. Maka
H K = {a G|a = h k, h H ^ k K}
dan
H−1
= {a G|a = h−1
, h H}
Definisi di atas digunakan untuk pembuktian teorema-teorema berikut.
Teorema C.4 Jika (H, ) subgrup pada (G, ), maka H H = H dan H−1
= H.
Teorema C.5 Jika H dan K keduanya subgrup pada (G, ), maka H K
merupakan subgrup jika hanya jika H K = K H.
Teorema C.6 Jika H dan K keduanya subgrup pada (G, ), maka H K juga
merupakan subgrup pada (G, ).
Teorema C.7 Misal G grup dan a G. Jika H adalah himpunan dari semua
hasil perpangkatan dari a dalam G, maka H merupakan subgrup dari G.
Contoh soal:
Misalkan G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah merupakan himpunan grup dari Z6.
Tunjukan bahwa H = {0, 2, 4} adalah merupakan Subgrup dari G = {0, 1, 2,
3, 4, 5} terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesaian :
H = {0, 2, 4} merupakan himpunan bagian dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5},
sehingga H G.
Dari tabel 2. akan ditunjukan H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu
Grup :
Tabel 2.
Daftar Cayley G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G, +)
15
a. Tertutup (( a, b G), ( !c G), a b = c)
Ambil sebarang nilai dari H, misalkan 0, 2, 4 H
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
0 + 4 = 4
2 + 2 = 4
2 + 4 = 0
4 + 4 = 2
4
karena hasilnya 0, 2, 4 H, maka tertutup terhadap H
b. Assosiatif (( a, b, c G), (a b) c = a (b c))
Ambil sebarang nilai dari H, misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 H
(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 = 2
a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 = 2
Sehingga :
(a + b) + c = a + (b + c) = 2
maka H assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 0, terhadap penjumlahan)
( e G), ( a G), a e = e a = a
Ambil sebarang nilai dari H,
Misalkan 0 H, 0 + e = e + 0 = 0
Misalkan 2 H, 2 + e = e + 2 = 2
Misalkan 4 H, 4 + e = e + 4 = 4
maka H ada unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
( a G), ( a−1
G), a a−1
= a−1
a = e, dimana e adalah elemen
identitas terhadap operasi .
Ambil sebarang nilai dari H,
Misalkan 0 H pilih 0 H sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0)-1
= 0
Misalkan 2 H, pilih 4 H, sehingga 2 + 4 = 0 = e, maka (2)-1
= 4
Misalkan 4 H, pilih 2 H, sehingga 4 + 2 = 0 = e, maka (4)-1
= 2
Mka H ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H,+)
Subgrup dari (G, +).
5
BAB III
PENUTUP
A. Simpulan
Berdasarkan hasil pembahasan di atas dapat kami simpulkan hal-hal
sebagai berikut:
1. Grupoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika memenuhi syarat-syarat :
a. Tertutup
b. Assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
2. Sifat-sifat Grup diantaranya
- Elemen identitas dari suatu grup adalah tunggal.
- Invers dari setiap elemen dalam suatu grup adalah tunggal.
- Jika G adalah grup dengan operasi biner , maka dalam G berlaku
hukum kanselasi kiri dan hukum kanselasi kanan. Yakni, a b = a c
berimplikasi b = c, dan a b = c b berimplikasi a = c, a, b, c G.
- Jika G grup dan a1, a2, · · · , an adalah sebarang n elemen dalam G,
maka berlaku (a1 a2 · · · an)−1
=
- Jika G adalah grup maka untuk sebarang elemen a dalam G berlaku
(a−1
)−1
= a.
- Dalam sebuah grup G, persamaan ax = b, dengan a, b G dan x
adalah peubah, mempunyai penyelesaian tunggal yakni x = a−1b.
- Jika suatu himpunan tak kosong G terhadap operasi memenuhi
aksioma: tertutup, asosiatif, dan persamaan a x = b dan y a = b
mempunyai penyelesaian untuk setiap a, b G, maka (G, )
merupakan grup.
3. Agar menjadi sebuah subgrup dari grup G maka H haruslah merupakan
sebuah grup dalam grup G, yang berarti H harus memenuhi semua
aksioma grup terhadap operasi biner yang sama dengan G.
6
B. Saran
Saran yang dapat kami sampaikan yaitu kepada mahasiswa atau calon
guru, Grup adalah materi yang sangat penting, materi grup adalah salah satu
materi di Mata kuliah geometri transformasi. Mata kuliah ini penting karena
merupakan dasar – dasar matematika yang digunakan sebagai bahan ajar di
sekolah menengah, maka dari itu kami berharapkan paper ini dapat bermanfaat
bagi semua pihak yang membaca.
7
DAFTAR PUSTAKA
Rawuh, (1993). Geometri Transformasi, Depdikbud, Ditjen. Dikti., Jakarta.
http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_grup
http://matematikakusuka.com/?page_id=420