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7/26/2019 Fsica 01. 4TO
1/15
Cuarto AoFsica
5
El estudio de las distintas formas que adoptan las
magnitudes derivadas nos obliga a desarrollar un conjunto
de leyes, reglas y propiedades en un campo propiamente
matemtico. Tal estudio se hace bsicamente para
descubrir valores numricos de lo que en adelante
llamaremos dimensiones, los mismos que aparecen
como exponentes de los smbolos de las magnitudesfundamentales.
Por ser este texto de un nivel bsico en Fsica,
diremos como ejemplo que la dimensin del rea es L2,
aunque esto solo sea convencional, para minimizar la
complejidad del anlisis.
Un anlisis correcto de las unidades y/o dimensiones
de las magnitudes fsicas nos permitir:
1ro. Relacionar una magnitud fsica con otras elegidas
como fundamentales.
2do.Establecer el grado de verdad de una frmula.
3ro. Elaborar frmulas empricas para fenmenos de
simple desarrollo.
FRMULAS DIMENSIONALES
Designamos con este nombre a aquellas relaciones
de igualdad mediante las cuales una magnitud derivada
queda expresada en base a las magnitudes fundamentales
de un modo general. As, si xes una magnitud derivada,
se establece que x es la frmula dimensional dex, tal
que:
x L M T I J N a b c d e f g
Aqu debes reflexionar en torno a esto: "Lasfrmulas dimensionales se obtienen a partir de
frmulas matemticas o fsicas".
Longitud L
Masa M
Tiempo T
Si bien es cierto no son las nicas frmulas dimensionalesprincipales, s son las que ms vamos a usar.
a) rea (A):
2
Frmula Matemtica
Frmula Dimensional
A b h L L
A L
A = b . h
. .
Unidad de (A) = m2
b) Volumen (V):
V = A . h
.
Frmula Matemtica
Frmula Dimensional
2
3
V A h L L
V L
Unidad de (V) = m3
c) Velocidad Lineal (v):
dv =
tDistanciaTiempo
Frmula Fsica
[d] L[v]
[t] T
1[v] L T Frmula Dimensional
Unidad de (v) = m . s1
DIMENSIONES
CAPTULO
01
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Cuarto AoFsica
6
d) Aceleracin Lineal (a):
va=
tVelocidadTiempo
Frmula Fsica
1[ v] L T[a] [t] T
2[a] L T Frmula Dimensional
Unidad: m . s2
Problema Desarrollado
1. Si: F = maW = F . d
Donde: F = Fuerza W = trabajom = masa d = distanciaa = aceleracin
Determine:a) La frmula dimensional de F.
b) La frmula dimensional de W.c) La frmula dimensional de:
2E F W
Resolucin:
a) F = maDebemos determinar la frmula dimensionalde F.
F m a
F m a
Sabemos que:
2m M
a LT
Reemplazamos: 2F MLT
b) Debemos ahora determinar la frmuladimensional de W.
W F d
W F d
Se conoce que:
2F MLT
d L
Reemplazando:
2
2 2
W MLT L
W ML T
c) Debemos determinar:
E = F2W
2
2
2
2 2 2 2
2 2 4 2 2
3 4 6
E F W
E F W
E F W
E (MLT ) (ML T )
E M L T M L T
E M L T
Problema por desarrollar
1. Si sabemos que: R = v . d
S = a . m
Donde: v = Velocidad a = aceleracin
d = distancia m = masa
Determine:a) La frmula dimensional de R.
b) La frmula dimensional de S2.
c) La frmula dimensional de:
2
RX
S
Resolucin:
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Cuarto AoFsica
7
1. Determine la frmula dimensional de R; si:
R = Fuerza Velocidad
Rpta.: .................................................................
2. Determine la frmula dimensional de S; si:
FuerzaS
Densidad
Rpta.: .................................................................
3. Determine la frmula dimensional de N; si:
N = Trabajo rea
Rpta.: .................................................................
4. Determine la frmula dimensional de Y; si:
Y = Velocidad Volumen
Rpta.: .................................................................
5. Determine la frmula dimensional de W; si:
2
3
(Aceleracin) FuerzaW
(rea)
Rpta.: .................................................................
6. Determine la frmula dimensional de R, si:
3 2
2(Trabajo) (Volumen)
R(rea)
Rpta.: .................................................................
7. Determine la frmula dimensional de Z; si:
Z = (Energa)4(rea)2
Rpta.: .................................................................
8. Determine la frmula dimensional de M; si:
M = (Velocidad)Sec60
(Trabajo)Tg45
Rpta.: .................................................................
9. Determine la frmula dimensional de Y; si:
Y Impulso Volumen
Rpta.: .................................................................
10. Determine la frmula dimensional de Z; si:
2 3Z (rea) (Trabajo)
Rpta.: .................................................................
11. Determinar la frmula dimensional de:
PotenciaR
Densidad
Rpta.: .................................................................
12. Determinar la frmula dimensional de:
Energa LongitudS
Fuerza
Rpta.: .................................................................
13. Determinar la frmula dimensional de:
Altura SuperficieH
Aceleracin
Rpta.: .................................................................
14. Determinar la frmula dimensional de:
Q = (rea) (Densidad) (Aceleracin)
Rpta.: .................................................................
15. Determinar la frmula dimensional de:
4 (rea)Z
(Velocidad)
Rpta.: .................................................................
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Cuarto AoFsica
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16. Determinar la frmula dimensional de Y, si:
Y (rea) (Velocidad)
Rpta.: .................................................................
17. Determinar la frmula dimensional de:
(Longitud) (Tiempo)(Trabajo)
Rpta.: .................................................................
18. Determinar la frmula dimensional de "I", si:
3 (Tiempo) (Fuerza)I(Velocidad) (Frecuencia)
Rpta.: .................................................................
19. Determinar la frmula dimensional de:
2(Masa) (Velocidad) (Longitud)E
rea
Rpta.: .................................................................
20. Determinar la frmula dimensional de:
(Presin) (Volumen)F
Frecuencia
Rpta.: .................................................................
1. Determine la frmula dimensional de Z; si:
Z = rea Aceleracin
A) L2
T2
B) L3
T1
C) L3 T2 D) L T1
E) L T3
2. Determine la frmula dimensional de U; si:
Trabajo VelocidadU
Caudal Densidad
A) L3 T2 B) L2 T3
C) L3 T2 D) L2 T3
E) L T1
3. Si:
4 2X M L T y
3Z M L T
Determine:
2X Z
A) M3
L6
T4
B) M3
L6
T8
C) M L3
T2
D) M2
L8
T6
E) M3
L8
T6
4. Determine la frmula dimensional de Q; si:
3 2Energa Volumen
QPotencia
A) M2
L10
T3
B) M L5
T2
C) M L5
T4
D) M L3
T2
E) M L6
T6
5. Determine [P]; si:
Impulso DensidadP
Presin Fuerza
A) L2
T3
B) L T3
C) L2
T3
D) L1
T3
E) L T4
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Cuarto AoFsica
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I. ECUACIONES DIMENSIONALES
Son aquellas relaciones de igualdad en dondealgunas magnitudes fsicas son conocidas y otras,o no lo son, o tienen dimensiones desconocidas.Veamos los siguientes ejemplos:
a) L3
M[X] L3
[Y] = L3
MT1
Incgnitas: [X], [Y] (Magnitudes)
b) L4 . T3 .2= LS . Tr .2ru
Incgnitas: r, s, u (Nmeros)
1. Reglas Importantes
1a) Las magnitudes fsicas as como susunidades no cumplen con las leyes deadicin o sustraccin, pero s con lasdems operaciones aritmticas.
L2+L2+L2= L2 ;
LT2LT2=LT2
2a) Todos los nmeros en sus diferentesformas con cantidades adimensionales,y su frmula dimensional es la unidad.
3 1 ; 2 rad 1 ;
Sen 45 1 ; log19 1
Cantidad adimensional:
Es aquella que carece de dimensiones,es decir el exponente de las magnitudesfundamentales en la frmula dimensionales cero (0). De este modo se tiene que lafrmula dimensional de una cantidadadimensional es:
[Cantidad adimensional] = 1
Entre ellas tenemos: los nmeros reales,
las funciones numricas como las
funciones trigonomtricas, logartmicas,
exponenciales,... etc. Asimismo los
ngulos planos y los ngulos slidos
expresados en radianes y estereoradianesrespectivamente, estn en la lista de
cantidades adimensionales.
II . PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD
DIMENSIONAL (FORIER)
Toda ecuacin ser dimensionalmente correcta si
los trminos que componen una adiccin o
sustraccin son de iguales dimensiones, y si en
ambos miembros de la igualdad aparecen las
mismas magnitudes afectadas de los mismos
exponentes.
[A] + [B] = [C] [D] [A] = [B] = [C] = [D]
Este principio resulta ms prctico de aplicar
haciendo de cada operacin de adicin o
sustraccin indicadas se conviertan en una
igualdad, de este modo se mostrar como evidente
que los trminos de cada una de estas operaciones
tienen las mismas dimensiones.
Cuando existan expresiones con magnitudes fsicas
en los exponentes, deber procederse con sumo
cuidado, recordando que el exponente es siempreun nmero, por consiguiente la expresin
exponencial deber ser adimensional en su
totalidad.
DIMENSIONES II
CAPTULO
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Problema Desarrollado
1. La ecuacin mostrada es dimensionalmentecorrecta:
x Fv my
Donde:
F = Fuerza
v = Velocidad
m = masa
Determine:
a) La frmula dimensional de x.
b) La frmula dimensional de y.
c) La frmula dimensional de x . y
Resolucin:
a)
x Fv my
x Fv my
Sabemos que:
[A + B] = [A] = [B]
2 1
2 3
x Fv my
x Fv x F v
x MLT L T
x ML T
b)
Fv my
F v m yF v M
y ym
2 1LT LTM
2 3y L T
c)
2 3 2 3
2 6
x y x y
ML T L T
x y ML T
Problema por desarrollar
1. La ecuacin:
1R Wv . S . a2
Donde:W = Trabajov = Velocidada = aceleracin
Determine:a) La frmula dimensional de R.
b) La frmula dimensional de S.c) La frmula dimensional de:
RS
Resolucin:
1. Si la ecuacin:
P5Q t 4mD 21
W
es dimensionalmente correcta; determine [D] y [P];si:
Q: Caudal ; t: tiempo
m: Masa y W: Energa
Rpta.: .................................................................
2. Si la ecuacin:
FI W
Z
es dimensionalmente correcta; determine [Z]; si:
I: Impulso
F: Fuerza
Rpta.: .................................................................
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3. Si la ecuacin:P V = E d + QW
es dimensionalmente correcta; determine [E] y [W];si:
P: Presin ; V: Volumen
d: Aceleracin y Q: Caudal
Rpta.: .................................................................
4. Si la ecuacin:I = K + mZ
es dimensionalmente correcta; determine [Z]; si:I : Impulsom: Masa
Rpta.: .................................................................
5. Si la ecuacin:P v = K F Z E
es dimensionalmente correcta; determine [K] y [Z];si:
P: Potenciav: VelocidadF: Fuerza yE: Energa
Rpta.: .................................................................
6. Si la ecuacin:
21E K x2
es dimensionalmente correcta; determine [K]; si:E: Energax: Longitud
Rpta.: .................................................................
7. Si la ecuacin:E v = Kt + PA
es dimensionalmente correcta; determine [K] y [A]
siendo:E: Energa ; v: Velocidad
t: Tiempo y P: Presin
Rpta.: .................................................................
8. Si la ecuacin:
FQ V ay
X
es dimensionalmente correcta; determine [X] e [y]si:
Q: Caudal ; V: Volumen
F: Fuerza y a: Aceleracin
Rpta.: .................................................................
9. Si la ecuacin:
W3F 2Kt
t
es dimensionalmente correcta; determine [K]; si:
F: Fuerza
t: Tiempo
Rpta.: .................................................................
10. Si la ecuacin:v = AW sen53
es dimensionalmente correcta, determine [W]; si:
v: Velocidad
A: Longitud
Rpta.: .................................................................
11. Si la expresin dada es dimensionalmente correcta.
Determine: [x] e [y] m = masa
t = tiempo
my + x = mt2
Rpta.: .................................................................
12. Determine el valor de "b" para que la frmula dadasea dimensionalmente correcta.
a 2b a 6 4M T M T
Rpta.: .................................................................
13. Si la siguiente frmula:
kvP
d
es dimensionalmente correcta, determine: [k]; si:
P = Presin
v = Velocidad
d = Distancia
Rpta.: .................................................................
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14. Determine el valor de "x" para que la siguienteecuacin sea dimensionalmente correcta.
2x y y 3 5T J J
Rpta.: .................................................................
15. Si la siguiente frmula:
a bf kh g
es dimensionalmente correcta, determine los valoresde "a" y "b".
Si:
f = frecuencia
h = altura
g = aceleracin
k = constante adimensional
Rpta.: .................................................................
16. En la siguiente frmula fsica, determine [x].
W = xvd
Donde:
W = (Fuerza) (Longitud)
v = Velocidad
d = Distancia
Rpta.: .................................................................
17. Si la expresin:P = Q
zRySx
es dimensionalmente correcta, determine los valoresde x, y, z.
Rpta.: .................................................................
18. Si la frmula:
t mx d
es dimensionalmente correcta, determine [x], si:
m = masa
d = distancia
t = tiempo
Rpta.: .................................................................
19. Determine la frmula que permite calcular lave loc idad (v ) de prop ag acin de una on datransversal en la cuerda, si esta depende de la fuerzade tensin (F) que soporta la cuerda, su masa (m)y su longitud ().
Rpta.: .................................................................
20. La energa cintica de un cuerpo depende de la masadel cuerpo (m) y de la velocidad (v). Determine lafrmula emprica de la energa cintica.
Rpta.: .................................................................
1. Si la ecuacin:
P = Q + RD
es dimensionalmente correcta; determine [R]; si:P: Presin
D: Densidad
A) L2
T2
B) L2
T2
C) L T2
D) L T2
E) L T1
2. Si la siguiente frmula:
E = mvx
es dimensionalmente correcta; determine x; si:E: Energa
m: Masa
v: Velocidad
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 1/2
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3. Si la siguiente frmula:
d a = cos vn
es dimensionalmente correcta; determine "n";siendo:
d: Longituda: Aceleracin
v: Velocidad
A) 2 B) 2
C) 1 D) 1
E) 3
4. Dada la siguiente frmula:
E2A = SenBx+y C DZ
dimensionalmente correcta; determine: x+y+z;siendo:
A: Fuerza ; B: Masa
C: Longitud ; D: Densidad
E : Tiempo
A) 2 B) 2
C) 1 D) 3
E) 4
5. Si la siguiente frmula:
m F = a R6Dx
es dimensionalmente correcta; determine "x"; si:
m: Masa ; F: Fuerza
R: Longitud ; D: Densidad
a: Aceleracin
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
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VECTORES
Es verdaderamente importante que reconozcas que en la naturaleza algunos fenmenos fsicos requieren algoms que nmeros y unidades fsicas para quedar plenamente explicados. Te preguntars: Qu se puede usar,adems de los nmeros y unidades, para detallar los fenmenos?. La respuesta es el vector, y las magnitudes fsicasque lo necesitan se llaman magnitudes vectoriales, las mismas que tienen en esencia dos caractersticas especiales:
a) Tienen Mdulo y Direccin
Ejemplo: Cuando decimos que un alumno experimenta un desplazamiento de 5m, debemos agregar desde
dnde y hacia dnde. Sin estos datos no podramos imaginar el movimiento.
b) No cumplen con las leyes de la adicin de nmeros reales
Ejemplo: Si decimos que dos personas empujan un mismo cuerpo con fuerzas iguales de 15 newtons, sin indicarla direccin de cada uno, el resultado puede ser variable. As por ejemplo: Si se aplican los dos hacia un mismolado, el resultado ser equivalente a aplicar una fuerza de 30 newtons. Sin embargo, si estas fuerzas se aplicanen una misma recta pero en direcciones opuestas, el resultado sera como no aplicar fuerzas, es decir la resultantees 0 newtons. As pues, la resultante de las fuerzas depende de la orientacin de estas.
5m15N
15N
R=30N
15N 15N
1. VECTORDesignamos con este nombre a aquel elemento matemtico, indicado por un segmento de recta orientado, que
nos permite representar grficamente a una magnitud vectorial. Dado que este texto atiende el aspecto bsicodel curso, diremos que los elementos de un vector son:
a) Direccin
Caracterstica que nos indica de donde hacia a dnde se orienta un vector, lo que viene dada por la lnear e c t a q u e p a s a p o r d i c h o s p u n t o s . E s t a r e c t a q u e d a d e f i n i d a p o r e l n g u l o medido en sentido antihorario.
CAPTULO
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b) Mdulo
Llamado tambin intensidad, viene a ser elvalo r o medida de la magni tud vector ia lrepresentada. Cuando conocemos la escala(e) del dibujo y la longitud (l) del vector, el
mdulo viene dado por:
V l e
Notacin vectorial:
Vector: A B V
Mdulo: A B V V
Notacin General:
V V ........ (= ngulo Direccional)
V V
Lnea deReferencia
Lnea deAccin
Direccin
Mdulo
Cuando dibujamos vectores, elegimos
previamente una escala (e). Por ejemplo
si dibuj am os vector es fuer za en el
cuaderno podemos elegir la siguiente
escala:
10cm 5N
e = 5N/cm
4cm
F
|F|=(4cm)(5N/cm)
|F |= 20 N
2. EXPRESIN CARTESIANA DE UN VECTOR
Sixe y son las componentes rectangulares de un
vector V
, entonces su expresin cartesiana se
denotar como: V
= (x;y), llamado par ordenado..Asimismo puede establecerce la siguiente identidad.
V (x;y) x i y j
Ejemplo: De la figura podemos afirmar que:
A 3i 4 j (3; 4)
B 5i 3 j (5;3)
C 6i 3 j (6; 3)
(5;3)
Y
4 (3;4)
XO
3
BA
C
3j+6i
5 3
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Problema Desarrollado
1. Dados los vectores:A ( 3; 2)
B 2i 3j
C 5i 2j
a) Grafique los vectores.
b) Determine: S 2A 3B
c) Determine el mdulo de la resultante de losvectores.
Resolucin:
a)
x
y
B
A C
b) S 2A 3B
S 2( 3i 2j) 3(2i 3j)
S 6i
4j 6i 9j
S 5j
c) R A B C
R 3i 2j 2i 3j 5i 2jR 4i j
Problema por desarrollar
1. Dados los vectores:
A (2; 8)
B 3i 8j
C 4i 3j
a) Grafique los vectores.
b) Determine el mdulo de la resultante de losvectores.
c) Determine el mdulo de:
S 3A B 2C
Resolucin:
1. Determine el mdulo y la direccin de los vectoresindicados; si cada lado de la cuadricula es de 4u.
C
DB
A
Rpta.: .................................................................
2. Determine el mdulo y la direccin de los vectoresindicados; si cada lado de la cuadrcula es de 1u.
C
BA
Rpta.: .................................................................
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17
3. Si cada lado de la cuadrcula mostrada es de 1u;complete el siguiente cuadro:
C
D
B
A
A
B
C
D
Mdul
oDir
eccin
Rpta.: .................................................................
4. Exprese los siguientes vectores en forma cartesiana.
CD
B
A
1u
1u
Rpta.: .................................................................
5. Exprese los siguientes vectores en forma cartesiana.
CD
BA1u
1u
Rpta.: .................................................................
6. Si los orgenes de los vectores coinciden con el ori-
gen de coordenadas; grafique: A 2i 3j ; B 3i 4 j
C 3i 5 j ; D 6i 8 j
Rpta.: .................................................................
7. Dados:
A 3i 4 j y
B 5i 2j
Determine el vector resultante R
y su mdulo..
Rpta.: .................................................................
8. Se dan:
A 5i 2j y
B 7i 3j
Determine el vector resultante R
y su mdulo..
Rpta.: .................................................................
9. Se dan:
A 5i 4 j y
B 8i 8 j
Determine el vector resultante R
y su mdulo..
Rpta.: .................................................................
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Cuarto AoFsica
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10. Si:
A mi nj y
B 4i 5j
Determine: m y n siendo 8i 12j , su resultante.
Rpta.: .................................................................
11. Si:
A 7i 3j y
B 8i 9j
Determine:
S 2A B
Rpta.: .................................................................
12. Se tiene:
A 12i 3j
B 7i 2j
Determine el mdulo de la resultante.
Rpta.: .................................................................
13. Del grfico, determine:
C 6A 4B
B
A
Si cada cuadrcula es de 1u.
Rpta.: .................................................................
14. Del grfico, determine:
S 5B 2A
B
A
1u
1u
Rpta.: .................................................................
15. Si la resultante de A y B
es igual a 14i 8 j .
Determine A
.
Si: B 8i 4 j
Rpta.: .................................................................
16. Determinar el mdulo y la direccin de los vectoresindicados, si cada lado de la cuadrcula es de 1u.
C
BA
Rpta.: .................................................................
17. Grafique:
A 5i 6j D 7i 2j
B 3i 6j E 10i 2j
Si sus orgenes coinciden con el origen de
coordenadas.
Rpta.: .................................................................
18. Si la resultante de A y B
es 16i 4 j , y
A ai bj
B 7i 6j
Determine: a + b.
Rpta.: .................................................................
19. Si:
A 17i pj
B qi 8j
Determine p+q si la resultante de A y B
es i 6 j .
Rpta.: .................................................................
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Cuarto AoFsica
19
20. Determine el mdulo de la resultante si cada ladode la cuadrcula mide b de lado.
B
C
A
b
b
Rpta.: .................................................................
1. Del grfico; indique la veracidad (V) o falsedad (F)de las siguientes proposiciones:
C B
A
1u1u
A 3i 3j
( )
B 5u
( )
B C 6i 2j
( )
A) VVF B) VVV C) FFV
D) FVF E) FVV
2. Del grfico en el problema anterior, indique laveracidad (V) o falsedad (F) en:
A B 5i 2j
( )
A 135 ( )
A C i 5 j
( )
A) FVF B) VVF C) FFV
D) FVV E) VFV
3. Siendo:
A 5i 3j y
B 3i j
Determine el mdulo de su resultante.
A) 6 B) 5 6 C) 4 5
D) 6 5 E) 8 10
4. Siendo:
A mi 8 j y
B 4i nj
Determine m y n; si su resultante es: 6i 2j .
A) 2;6 B) 2;6 C) 2;6
D) 2;6 E) 3;5
5. Del grfico determine: C 5A 3B
.
B
A
1u
1u
A) 2 i 2 4 j B) 2i 24 j
C) 2 i 24 j D) 2i 24 j
E) 2i 12j