Física da Informação e da Computação

Física da Informação e da Física da Informação e da ComputaçãoComputação

Roberto S. Sarthour e Ivan S. OliveiraRoberto S. Sarthour e Ivan S. Oliveira

VI Escola do CBPF VI Escola do CBPF 20062006

É possível resolverproblemas matemá-ticos de forma puramente “mecânica”?(1928)

Sim! Usando uma Máquina de Turing:00101010111100....(1936)

Computação e ComputadoresComputação e Computadores

Computação e ComputadoresComputação e Computadores

Computador a VálvulaComputador a Válvula

Transistor

42 milhões de transistores!!

~ 5

cm

Esta lei prevê que em 2020, 1 bit será representado por apenas 1 átomo!

A Criatividade Humana – A Lei de MooreA Criatividade Humana – A Lei de Moore

Computação Física

Computador Sistema Físico

Computação Experimento

Input Estado Inicial

Regras / Programa Leis da Física

Output Estado Final

Computação e FísicaComputação e Física

Computador de Bolas de SinucaComputador de Bolas de Sinuca

11011101110110100101110 01000001100110100100010

“Aparentemente as Leis da Física não se opõem à redução do tamanho dos computadores até que os bits

cheguem a dimensões atômicas, região onde a Mecânica Quântica detém o controle”

Richard Feynman, Opt. News, 1985

Computação Quântica - 1982Computação Quântica - 1982

Computação Quântica - 1985Computação Quântica - 1985

“Máquina de Turing Quântica – mostrando o poder da computação quântica sobre a clássica”

David Deutsch, 1985

Jogo de cara ou coroa clássico

50 % 50 %

Moedas são objetos clássicos, e os lados “cara” e “coroa” sãomutuamente excludentes.

Jogo de cara ou coroa quântico

Bits quânticos podem coexistir em dois estados ao mesmo tempo, mas ao tentarmos medir, observaremos somente um dos estados.

50 %

50 %

Em 1935...Mecânica Quântica:Cálculo com Magia Negra

Emaranhamento

M1 M2 M2M1

50% 50%

A observação do estado de qualquer um dos componentes de um par emaranhado determina o estado físico do outro componente do par!

Não existe um análogo clássico de estados emaranhados!

O estado do gatoO estado do gato

morto,fvivo,e 2

1

Computação Quântica e Informação Quântica

Qualquer objeto quântico com dois estados bem definidos pode representar uma unidade de Informação Quântica, o bit quântico – qbit.

Qbits podem estar em uma superposição de estados, ao contrário do bit clássico, que é sempre 0 ou 1.

A Computação Quântica utiliza as propriedades dos qbits, como a superposição e o emaranhamento, para resolver problemas complexos.

Algoritmos quânticos são muito mais rápidos e eficientes que os clássicos, porque computam superposições de estados 0’s e 1’s.

Resumindo, o poder da Computação Quântica está nas propriedades quânticas dos qbits.

Bits quânticos!Bits quânticos!

Fótons polarizados.Fótons polarizados.

0 1

Bits quânticos!Bits quânticos!

Elétrons em diferentes “orbitas” em um átomo.Elétrons em diferentes “orbitas” em um átomo.

0 1

Bits quânticos!Bits quânticos! Orientações de spin nuclear em um campo magnético (Ex: S = 1/2).Orientações de spin nuclear em um campo magnético (Ex: S = 1/2).

0B

Bit é um conceito fundamental de computação clássica e informação clássica.Bit é um conceito fundamental de computação clássica e informação clássica.

Computação quântica e informação quântica são construídas sobre o mesmo Computação quântica e informação quântica são construídas sobre o mesmo conceito: O bit quântico (qbit), que é o sistema físico mais simples que existe! conceito: O bit quântico (qbit), que é o sistema físico mais simples que existe!

Apesar de serem sistemas físicos (bits e qbits), nesta curso trataremos estes como Apesar de serem sistemas físicos (bits e qbits), nesta curso trataremos estes como objetos matemáticos. objetos matemáticos.

Estaremos falando da teoria computacional quântica que não depende do sistema Estaremos falando da teoria computacional quântica que não depende do sistema físico que a realiza. físico que a realiza.

Bits Quânticos (qbits)Bits Quânticos (qbits)

0

111 10 01 00

O estado de um sistema quântico pode ser descrito pelas sua função O estado de um sistema quântico pode ser descrito pelas sua função complexa, conhecida como função de onda. complexa, conhecida como função de onda.

Na notação de Dirac, um sistema quântico é representado por um vetor de Na notação de Dirac, um sistema quântico é representado por um vetor de onda chamado de ket, que tem associado e ele um bra:onda chamado de ket, que tem associado e ele um bra:

Uma representação útil quando trabalhamos com um número grande de Uma representação útil quando trabalhamos com um número grande de qbits, é a representação matricial, e neste caso o qbits, é a representação matricial, e neste caso o ketket é um vetor coluna, é um vetor coluna, enquanto que o enquanto que o brabra é um vetor linha. é um vetor linha.

Notação de DiracNotação de Dirac

braket

Produto escalar entre dois vetores, é então definido como:Produto escalar entre dois vetores, é então definido como:

Valor esperado de um observável do sistema: Valor esperado de um observável do sistema:

Produto tensorial: Produto tensorial:


e

bdbcadac

dc

b

dc

a

dc

ba

A

Nesta notação, os operadores são então descritos por matrizes quadradas:Nesta notação, os operadores são então descritos por matrizes quadradas:

Produto tensorial: Produto tensorial:


dcba

U

ddccddccbbaabbaa

dc

baVUV

434322434322

4321

4321

4321

4321

4321

bits bits ×× qbits qbits

O bit clássico pode-se apresentar em dois estados eO bit clássico pode-se apresentar em dois estados e ..

O bit quântico pode estar em uma superposição de estados:O bit quântico pode estar em uma superposição de estados:

Onde Onde e e são números complexos. são números complexos.

Sempre podemos medir com certeza o estado de um único bit clássico. Sempre podemos medir com certeza o estado de um único bit clássico. Computadores fazem isto o tempo todo. Computadores fazem isto o tempo todo.

10

0 1

001 010

111 100

122

bits bits ×× qbits qbits

Não é possível medir, com certeza, o estado de um único qbit.Não é possível medir, com certeza, o estado de um único qbit.

Ao tentar medir o estado quântico de um único qbit, que se encontra Ao tentar medir o estado quântico de um único qbit, que se encontra em uma superposição de estados:em uma superposição de estados:

Mediremos o estadoMediremos o estado

com probabilidadecom probabilidade

e o estado e o estado

com probabilidadecom probabilidade

10

2

0

2

1

• Apesar de o qbit poder existir em uma Apesar de o qbit poder existir em uma infinidade de estados, o resultado de infinidade de estados, o resultado de uma medida do estado deste qbit pode uma medida do estado deste qbit pode ser somente ser somente “0”“0” ou ou “1”“1”..

No caso dos elétrons em diferentes “orbitas” num átomo, pode-se No caso dos elétrons em diferentes “orbitas” num átomo, pode-se induzir uma transição do estado fundamental para o excitado induzir uma transição do estado fundamental para o excitado iluminando o átomo por um determinado período de tempo, com uma iluminando o átomo por um determinado período de tempo, com uma luz de freqüência e amplitudes bem determinadas.luz de freqüência e amplitudes bem determinadas.

Iluminado o mesmo átomo com a mesma luz, mas apenas com metade Iluminado o mesmo átomo com a mesma luz, mas apenas com metade do tempo pode-se produzir uma superposição de estados:do tempo pode-se produzir uma superposição de estados:

Manipulando qbitsManipulando qbits

10

102

10

Como um único número pode guardar uma infinidade de informação, Como um único número pode guardar uma infinidade de informação, seria possível guardar em seria possível guardar em (orientação do qbit) todo o texto de um (orientação do qbit) todo o texto de um livro? livro?

A resposta é A resposta é SIMSIM! No entanto, ao medir o estado do qbit obteríamos ! No entanto, ao medir o estado do qbit obteríamos somente “0” ou “1”, com uma determinada probabilidade.somente “0” ou “1”, com uma determinada probabilidade.

Informação em qbitsInformação em qbits

...0011011101100011110

1%

0%

y

x

Suponha que um qbit esteja no estado:Suponha que um qbit esteja no estado:

Ao realizar uma única medida um observador poderá medir somente um dos Ao realizar uma única medida um observador poderá medir somente um dos estados “0” ou “1”, com a respectiva probabilidade.estados “0” ou “1”, com a respectiva probabilidade.

Se várias medidas forem feitas no mesmo qbit, após a primeira, o resultado Se várias medidas forem feitas no mesmo qbit, após a primeira, o resultado das medidas posteriores serão sempre iguais ao resultado da primeira das medidas posteriores serão sempre iguais ao resultado da primeira medida.medida.

Medindo o estado de um qbitMedindo o estado de um qbit

10

...medidamedida 0010

Portas lógicas são as ferramentas da computação quântica.Portas lógicas são as ferramentas da computação quântica.

Estas têm que preservar a norma:Estas têm que preservar a norma:

Onde Onde e e são definidos pela equação: são definidos pela equação:

Portanto, as portas lógicas realizam operações unitárias, e podem ser Portanto, as portas lógicas realizam operações unitárias, e podem ser descritas por matrizes unitárias. descritas por matrizes unitárias.

Algumas portas lógicas são descritas pelas matrizes de Pauli: Algumas portas lógicas são descritas pelas matrizes de Pauli:

Portas lógicas de um qbit Portas lógicas de um qbit

1001

0

0

0110

Zi

iYX

122

10

1† UU *UU T†

Outras portas lógicas importantes são a porta Hadamard, a porta de fase Outras portas lógicas importantes são a porta Hadamard, a porta de fase e a porta e a porta

A porta Hadamard (H): A porta Hadamard (H):

A porta de fase (S):A porta de fase (S):

A porta A porta : :

Portas lógicas de um qbit Portas lógicas de um qbit

4001

001

1111

21

ieT

iS

H

Note que:Note que:

A porta (A porta ( é chamada assim por razões históricas e pode-se é chamada assim por razões históricas e pode-se notar que:notar que:

Algumas Relações Algumas Relações

8

88

4 00

001

i

ii

i ee

ee

T

2

2

TS

XZH

A porta NOT é a porta A porta NOT é a porta XX..

A porta fase muda a fase relativa dos qbit de A porta fase muda a fase relativa dos qbit de /2./2.

As portas NOT e de faseAs portas NOT e de fase

XX0110

iS

iS

001

10

10 i

A porta Hadamard cria uma superposição de estados, e produz o A porta Hadamard cria uma superposição de estados, e produz o mesmo estado inicial, quando aplicada duas vezes.mesmo estado inicial, quando aplicada duas vezes.

A porta Hadamard A porta Hadamard

01010

100

101 e 100

1111

21

21

21

21

212

21

21

HH

HH

H

A porta Hadamard cria uma superposição de estados, e produz o A porta Hadamard cria uma superposição de estados, e produz o mesmo estado inicial, quando aplicada duas vezes.mesmo estado inicial, quando aplicada duas vezes.

A porta Hadamard A porta Hadamard

1110010021

102

1102

1

0000

...

...HHHH

Resumo das operações lógicas de 1 qbit.Resumo das operações lógicas de 1 qbit.

Operações lógicas de 1 qbit Operações lógicas de 1 qbit

X

Z

10

10 10

Y 10 i

S 10 i

T 1102

1 i

• 90°90°

• 45°45°

• 180°180°

Os operadores de rotação são construídos a partir das matrizes de Os operadores de rotação são construídos a partir das matrizes de Pauli.Pauli.

Rotações e matrizes de Pauli Rotações e matrizes de Pauli

22

22

22

222

0110

1001

cosisenisencos

senicos

iXsencoseR iXx

1

Rotações em torno dos eixos Rotações em torno dos eixos xx, , yy, e , e zz..

Rotações e matrizes de Pauli Rotações e matrizes de Pauli

ZnYnXnisencosR

ee

iZsencoseR

cossensencos

iYsencoseR

cosisenisencos

iXsencoseR

zyxn̂

i

iiZ

z

iYy

iXx

22

2

2

222

22

2222

2

22

2222

2

00

1

1

1

1

Qualquer operador unitário de um qbit pode ser escrito de muitas formas Qualquer operador unitário de um qbit pode ser escrito de muitas formas como combinações de rotações, mais algumas mudanças de fase globais.como combinações de rotações, mais algumas mudanças de fase globais.

Decomposição Decomposição Z-YZ-Y::

Operador unitário Operador unitário

222

222

222

222

2

2

22

222

2

00

00

cosesenesenecose

U

ee

cossensencos

ee

eU

RRReU

ii

ii

i

i

i

ii

zyzi

As colunas são formadas por vetores ortogonais e temos 4 elementos As colunas são formadas por vetores ortogonais e temos 4 elementos para descobrir e 4 incógnitas. Portanto podemos escrever um operador para descobrir e 4 incógnitas. Portanto podemos escrever um operador unitário qualquer sob a forma de produtos de rotações.unitário qualquer sob a forma de produtos de rotações.

O primeiro passo para fazer uma operação quântica no sistema é O primeiro passo para fazer uma operação quântica no sistema é determinar qual é a matriz que faz esta operação. Em seguida é expandir determinar qual é a matriz que faz esta operação. Em seguida é expandir esta matriz na forma de operações conhecidas (achar os elementos esta matriz na forma de operações conhecidas (achar os elementos ee). ).

Operador unitário Operador unitário

zyzi

ii

ii

RRReU

cosesenesenecose

U

222

222

222

222

Para um sistema com 2 qbits, podemos escrever o estado deste sistema Para um sistema com 2 qbits, podemos escrever o estado deste sistema como: como:

Podemos realizar uma medida somente no primeiro (Podemos realizar uma medida somente no primeiro (aa) qbit (|) qbit (|abab). ). Suponha que esta medida de “0”. A probabilidade de isto ocorrer é dada Suponha que esta medida de “0”. A probabilidade de isto ocorrer é dada por: por:

O novo estado do sistema é então dado por:O novo estado do sistema é então dado por:

Múltiplos qbitsMúltiplos qbits

11100100

22

22

0100

Para um sistema de dois qbits, a função de onda deste é descrita por:Para um sistema de dois qbits, a função de onda deste é descrita por:

Neste caso, operações quânticas podem atuar apenas em um dos qbits, ou Neste caso, operações quânticas podem atuar apenas em um dos qbits, ou em ambos. em ambos.

Uma representação útil quando trabalhamos com um número grande de Uma representação útil quando trabalhamos com um número grande de qbits, é a representação matricial. qbits, é a representação matricial.

Múltiplos qbits Múltiplos qbits

11100100

Um circuito quântico é geralmente representado por linhas, pontos e caixas. Um circuito quântico é geralmente representado por linhas, pontos e caixas.

As linhas representam os qbits presentes no sistema.As linhas representam os qbits presentes no sistema.

As caixas e outros elementos representam as operações realizadas, que podem ser As caixas e outros elementos representam as operações realizadas, que podem ser efetuadas em um único qbit ou vários ao mesmo tempo. efetuadas em um único qbit ou vários ao mesmo tempo.

O tempo “corre” da esquerda para a direita. O tempo “corre” da esquerda para a direita.

Circuitos Quânticos Circuitos Quânticos

Uf

X

H

a

b

c

d

Portas de Múltiplos qbits Portas de Múltiplos qbits

1100110000110011

21

1010010110100101

21

1001

11

112

1

ba HH

H 1

ab

1HH a

HH

HHHHb 1

Álgebra BooleanaÁlgebra Booleana

Se Se xx 1 então 1 então x x = 0.= 0.

Se Se xx 0 então 0 então x x = 1. = 1.

Soma módulo 2.Soma módulo 2. 011101110000

A porta quântica A porta quântica CNOTCNOT (Não controlado) atua em dois qbits. Um é o qbit (Não controlado) atua em dois qbits. Um é o qbit de controle e o outro é o qbit alvo. Esta inverterá o estado do qbit alvo de controle e o outro é o qbit alvo. Esta inverterá o estado do qbit alvo dependendo do estado quântico do qbit de controle. dependendo do estado quântico do qbit de controle.

Este é o Este é o CNOTCNOTaa, isto é o primeiro qbit controla a operação., isto é o primeiro qbit controla a operação.

A porta A porta CNOTCNOT

a a

b ba

10110100

11100100

aCNOT

O O CNOTCNOTbb, onde o segundo qbit é quem controla a operação pode ser , onde o segundo qbit é quem controla a operação pode ser descrito pelo circuito abaixo: descrito pelo circuito abaixo:

A porta quântica A porta quântica CNOTCNOT pode ser descrita como uma espécie de pode ser descrita como uma espécie de XORXOR generalizado. generalizado.


a

bb

ba

01101100

11100100

bCNOT

Pode-se representar a porta Pode-se representar a porta CNOTCNOT na forma matricial: na forma matricial:


0010010010000001

0100100000100001

ba CNOTCNOT

01101100

11100100

10110100

11100100

ba CNOTCNOT

ab

Nesta operação, que não tem análoga clássica, queremos trocar os estados Nesta operação, que não tem análoga clássica, queremos trocar os estados dos qbits. O estado do primeiro passa para o segundo e vice versa. dos qbits. O estado do primeiro passa para o segundo e vice versa.

Trocando estados dos qbits (Swap)Trocando estados dos qbits (Swap)

ababbbabbCNOT

abbababaabaCNOT

ababaCNOT

a

b

a

,,,

,,,

,,

011110000

a b

b a

×

×=

É possível copiar um qbit? É possível copiar um qbit?

Copiando qbits ? Copiando qbits ?

x x

0 xx 0 ??11100100

11000

10000 0 & 10

22 bababa

baCNOT

baba

a

Com este circuito não é possível copiar um qbit!

O Teorema da Não-clonagemO Teorema da Não-clonagem

2

†

AUUA

AUAU

UU

A

†

††

UAAU

O Teorema da Não-clonagemO Teorema da Não-clonagem

1ou 0

2

xxxx

Portanto Portanto é ortogonal a é ortogonal a ou igual ou igual ..

Conclusão: Podemos clonar somente estados que são ortogonais.Conclusão: Podemos clonar somente estados que são ortogonais.

2

Operações Lógicas ControladasOperações Lógicas Controladas

Estas podem realizar operações em determinados qbits (alvos), Estas podem realizar operações em determinados qbits (alvos), dependendo dos estados de outros qbits (controle)dependendo dos estados de outros qbits (controle). .

UU

controlecontrole

alvosalvos

nxxnn

n UxxxxUC 111

Portas Controladas IPortas Controladas I

ZZ

ZZ==

11100100

110010110010

11100100

101100101100

111001001010

bb

aa

ZZ

ZZ

1111

21

1111

21

1000010000100001

1111

2111100100

21

1000010000100001

a

ba

Z

ZZ

Portas Controladas IIPortas Controladas II

UU==

UU

XX XX

==HH

HHHH

HH

Estas operações dependem da base em que estão operando.Estas operações dependem da base em que estão operando.

A porta ToffoliA porta Toffoli

Esta é uma porta clássica que pode ser construída utilizando operações Esta é uma porta clássica que pode ser construída utilizando operações quânticas reversíveis. Abaixo o circuito quântico que realiza esta quânticas reversíveis. Abaixo o circuito quântico que realiza esta operação. operação.

a a

b

abcc

b

110111101100011010001000

111110101100011010001000

ToffoliU

Operações Utilizando a Porta ToffoliOperações Utilizando a Porta Toffoli

NANDNAND

a a

b

ab11

b

1 1

a

a0

a

FANOUTFANOUT

Com estas duas chaves clássicas é possível descrever todos os Com estas duas chaves clássicas é possível descrever todos os circuitos clássicos. Portanto é possível realizar computação clássica circuitos clássicos. Portanto é possível realizar computação clássica utilizando computadores quânticos. utilizando computadores quânticos.

Portas LógicasPortas Lógicas

22

22

2222

2

22 2

2

zyzy

zzyy

zzyyz

zzyyz

RRXRXXRXXBX

RXRXRXRXX

RRRRRABC

RCRRBRRA

1

1

AXBXCeURRR

RRRRRAXBXC

RRXBX

izyz

zzyyz

zy

2222

22

Toda porta lógica pode ser descrita como Toda porta lógica pode ser descrita como UU = = eeiiAXBXCAXBXC, tal que , tal que ABC = ABC = 11..

Construindo Portas Controladas IConstruindo Portas Controladas I

==

i

i

ee0

0

ie0

01

11100100

110010110010

11100100

101100101100

1010

22

11

ii

ii

ii

ii

ee

eeFF

ee

eeFF

O circuito acima implementa a operação:O circuito acima implementa a operação:

Como de acordo com o corolário 4.2 podemos sempre escrever um Como de acordo com o corolário 4.2 podemos sempre escrever um operador com as chaves descritas acima, é possível construir operador com as chaves descritas acima, é possível construir qualquer operação controlada de vários qbits utilizando portas lógicas qualquer operação controlada de vários qbits utilizando portas lógicas de 1 qbit e portas de 1 qbit e portas CNOTCNOT. .

Construindo Portas Controladas IIConstruindo Portas Controladas II

0 Se )(

1 Se

aABCU

aAXBXCeU i

1

==

ie0

01

UU CC AABB

Construindo Portas Controladas IIIConstruindo Portas Controladas III UC n

UUalvoalvo

controlecontrole

a

c

c

c

c

c

0

0

0

05

4

3

2

1

auxiliarauxiliar

Um pequeno conjunto de portas Um pequeno conjunto de portas (NOT, AND, OR) clássicas pode ser usado clássicas pode ser usado para computar qualquer função clássica. Este conjunto é chamado de para computar qualquer função clássica. Este conjunto é chamado de universal. universal.

Este tipo de conjunto também deve existir em computação quântica. Isto Este tipo de conjunto também deve existir em computação quântica. Isto significa que qualquer transformação unitária pode ser implementada por significa que qualquer transformação unitária pode ser implementada por portas deste conjunto, dentro de uma certa precisão. portas deste conjunto, dentro de uma certa precisão.

Pode ser demonstrado que as portas quânticas Pode ser demonstrado que as portas quânticas Hadamard, Fase, CNOT e Hadamard, Fase, CNOT e /8 /8 formam um conjunto universal. formam um conjunto universal.

Portas lógicas de 1 qbit mais a Portas lógicas de 1 qbit mais a CNOTCNOT também formam um conjunto também formam um conjunto universal. universal.

Portas Quânticas UniversaisPortas Quânticas Universais

H S TCNOT

Fim...





morto,fvivo,e 2

1

A curiosidade deste estado é que o resultado de uma medida no A curiosidade deste estado é que o resultado de uma medida no primeiro qbit é sempre igual ao resultado de uma medida no segundo primeiro qbit é sempre igual ao resultado de uma medida no segundo qbit (|qbit (|abab).).

Os resultados estão correlacionados! Este é um fato importante e é Os resultados estão correlacionados! Este é um fato importante e é utilizado no teleporte. John Bell provou que estas correlações são mais utilizado no teleporte. John Bell provou que estas correlações são mais fortes do que em qualquer outra que possa existir em um sistema fortes do que em qualquer outra que possa existir em um sistema clássico.clássico.


00001100 002

1 ba

11002

1

Criando os estados de BellCriando os estados de Bell Os estados de Bell podem ser criados com uma única operação unitária, Os estados de Bell podem ser criados com uma única operação unitária,

UU..

O circuito que realiza esta operação, O circuito que realiza esta operação, UU, pode ser descrito por:, pode ser descrito por:

11

10

01

00

100111110010100101110000

U

U

U

U

x

yxy

HH

001100

10000100000

a

a

CNOT

H

TeleporteTeleporte No passado, Alice encontrou com Bob e juntos emaranharam um par de No passado, Alice encontrou com Bob e juntos emaranharam um par de

qbits, no estado do gato.qbits, no estado do gato.

Eles se separaram, ficando cada um com um qbit. Eles se separaram, ficando cada um com um qbit.

No presente, Alice tem um terceiro qbit, e quer enviar este para o Bob. No presente, Alice tem um terceiro qbit, e quer enviar este para o Bob.

10

Alice00Bob00

11002

100

TeleporteTeleporte• Alice não pode medir o estado do qbit Alice não pode medir o estado do qbit e mandar o resultado para o Bob, e mandar o resultado para o Bob,

pois ela somente mediria “0” ou “1” como resultado, e o qbit pode estar pois ela somente mediria “0” ou “1” como resultado, e o qbit pode estar em uma superposição. em uma superposição.

• A única coisa que ela pode fazer é teleportar este qbit para o Bob, A única coisa que ela pode fazer é teleportar este qbit para o Bob, utilizando o circuito abaixo:utilizando o circuito abaixo:

0

00

HH

XXM2M2 ZZM1M1

1 2 3

Teleporte ITeleporte I

1100111000

1100 & 10

21

000

21

00

0

00

HH

XXM2M2 ZZM1M1

1 2 3

Teleporte IITeleporte II

0110111000

1100111000

21

1

21

000

0

00

HH

XXM2M2 ZZM1M1

1 2 3

Teleporte IIITeleporte III

011010110010

0110111000

21

2

21

1

0

00

HH

XXM2M2 ZZM1M1

1 2 3

Teleporte IVTeleporte IV

01111010

01011000

101110001010

111100011000

011010110010

21

2

21

2

21

2

...

...

10

01111010

0101100021

2

001010

100010

01

10

01

010010

Teleporte VTeleporte V

0111

101001011000

3

10 XX

XX

ZZ

ZZ

0

00

HH

XXM2M2 ZZM1M1

1 2 3

Não podemos medir emaranhados (nem superposições). Portanto, temos que Não podemos medir emaranhados (nem superposições). Portanto, temos que projetar estes estados na base que podemos medir. O circuito quântico projetar estes estados na base que podemos medir. O circuito quântico abaixo faz esta operação. abaixo faz esta operação.

Medidas na Base de BellMedidas na Base de Bell

111001

101100

011001

001100

11

10

01

00

projetor

projetor

projetor

projetor

xyHH

A matriz densidade é um operador, definido como:A matriz densidade é um operador, definido como:

Como conseqüência: Como conseqüência:

Matriz DensidadeMatriz Densidade

diyxiyxiyxiyxciyxiyxiyxiyxbiyxiyxiyxiyxa

ffeecc

ffddbb

eeddaa

ccbbaa

Ze

eq

H

A matriz densidade de cada qbit do sistema pode ser obtida da matriz total, A matriz densidade de cada qbit do sistema pode ser obtida da matriz total, utilizando a operação de traço parcial.utilizando a operação de traço parcial.

Em um sistema de 2 qbits, teremos: Em um sistema de 2 qbits, teremos:

Operador Densidade de cada qbitOperador Densidade de cada qbit

bk

babba kk

aabaaabab

babbbabba

1100

1100

A partir da matriz densidade, é possível obter várias informações sobres o o A partir da matriz densidade, é possível obter várias informações sobres o o estado do sistema quântico, etc.estado do sistema quântico, etc.

A evolução deste operador é dada por:A evolução deste operador é dada por:


AtrA

†UU

0

0

† tUtUt

eet /ti/ti

HH

Utilizando técnicas de computação quântica, é possível medir a matriz Utilizando técnicas de computação quântica, é possível medir a matriz densidade de um sistema quântico. De fato, cientistas têm tido sucesso, densidade de um sistema quântico. De fato, cientistas têm tido sucesso, utilizando principalmente a técnica de RMN. utilizando principalmente a técnica de RMN.


nn

H

eqHH

Ze

2

21

1

2/300002/100002/100002/3

simulada

A entropia de Shannon e’ uma medida da incerteza associada com uma A entropia de Shannon e’ uma medida da incerteza associada com uma distribuição clássica de probabilidades. distribuição clássica de probabilidades.

Estados quânticos são descritos de modo similar, com os operadores Estados quânticos são descritos de modo similar, com os operadores densidade tomando os lugares das probabilidades. densidade tomando os lugares das probabilidades.

A entropia de Von Neumann pode ser também descrita em função dos A entropia de Von Neumann pode ser também descrita em função dos autovalores de .autovalores de .

Entropia de Von NeumannEntropia de Von Neumann

k

kk ppS log

logtrS k

kkS log

k

Como vimos anteriormente:Como vimos anteriormente:

Os autovalores do operador densidade podem ser facilmente encontrados, Os autovalores do operador densidade podem ser facilmente encontrados, de modo que: de modo que:

Entropia de Estados PurosEntropia de Estados Puros

0001

01

0

00011 logloglogSk

kk

0 e 1 21

Para uma superposição uniforme: Para uma superposição uniforme:


1111

21

11

2110

21

00011 logloglogSk

kk

0 e 1 21

Para uma outra superposição: Para uma outra superposição:


10303090

10

90110090

..

..

.

...

00011 logloglogSk

kk

0 e 1 21



1111111111111111

41

1110010021

0 e 0 ,0 ,1 4321 0abS



10102111100100

21

0 abba SSS

babbbabbabba tr 1100

1111

21

ba

Para o estado emaranhado: Para o estado emaranhado:

Entropia de Estados EmaranhadosEntropia de Estados Emaranhados

11002

1

1 ba SS

1001

21

ba

1001000000001001

21

ab 0abS

0001

4

3

2

1

2121

2

1

//

12212121

21 1 log/log/logS

Para o estado emaranhado: Para o estado emaranhado:

Entropia de Estados Entropia de Estados ± ± EmaranhadosEmaranhados

11100090 ..

470.SS ba

100090.

.ba

10003000000000300090

..

..

ab 0abS

1090

2

1

..

000

11090

4

3

2

1

..

47010109090 ..log..log.S

110010001090

11100090

...

..

Simulações de sistemas físicos são ferramentas importantes no mundo Simulações de sistemas físicos são ferramentas importantes no mundo moderno, como por exemplo: moderno, como por exemplo:

– Simulações da dinâmica dos fluidos em torno de obstáculos são Simulações da dinâmica dos fluidos em torno de obstáculos são utilizadas para projetar carros, aviões, etc. utilizadas para projetar carros, aviões, etc.

– Simulações são também utilizadas para minimizar custos em Simulações são também utilizadas para minimizar custos em construções civis. construções civis.

– Simulações de circuitos eletrônicos são utilizadas para projetar Simulações de circuitos eletrônicos são utilizadas para projetar equipamentos.equipamentos.

Simulações serão eficientes se o sistema for eficientemente descrito Simulações serão eficientes se o sistema for eficientemente descrito

(fisicamente).(fisicamente).

Simulações de sistemas quânticos em computadores clássicos são possíveis, Simulações de sistemas quânticos em computadores clássicos são possíveis, mas são geralmente ineficientes.mas são geralmente ineficientes.

Simulações de Sistemas QuânticosSimulações de Sistemas Quânticos

Can physics be simulated by a universal computer?

[…] The physical world is quantum mechanical, and therefore the proper problem is the simulation of quantum physics […] the full description of quantum mechanics for a large systems with R particles […] has too many variables, it cannot be simulated with a normal computer with a number of elements proportional to R […] but it can be simulated with a quantum computer […] Can a quantum system be probabilistically simulated by a classical computer universal computer? […] If you take the computer to be the classical kind I have described so far […] the answer is most certainly, No!

Richard P. Feynman (1982)

Simulações de Sistemas QuânticosSimulações de Sistemas Quânticos Simulações de sistemas clássicos implicam em resolver equações Simulações de sistemas clássicos implicam em resolver equações

diferenciais, que descrevem a evolução dinâmica do sistema físico.diferenciais, que descrevem a evolução dinâmica do sistema físico.

– Lei de NewtonLei de Newton

– Equação de difusão Equação de difusão

Simulações de sistemas quânticos implicam em resolver a equação de Simulações de sistemas quânticos implicam em resolver a equação de Schrödinger:Schrödinger:

xxVxm

xt

i

xxdtdi

2

2

21

H

ta

Fdtdxm

dtd

22 1

potencialenergiacinéticaenergia

VT

H

Simulações de Sistemas QuânticosSimulações de Sistemas Quânticos

Onde está a dificuldade se a equação de Schrödinger também é Onde está a dificuldade se a equação de Schrödinger também é uma equação diferencial?uma equação diferencial?

– Equação da difusãoEquação da difusão

– Equação de Schrödinger Equação de Schrödinger xxV

xmx

ti

ta

2

2

22

21

1

Simulações de Sistemas QuânticosSimulações de Sistemas Quânticos A dificuldade de simular sistemas quânticos está no número de equações A dificuldade de simular sistemas quânticos está no número de equações

diferencias que cresce exponencialmente com o número de partículas.diferencias que cresce exponencialmente com o número de partículas.

– 1 qbit 1 qbit → 2 equações→ 2 equações– 2 qbits 2 qbits → 4 equações→ 4 equações– nn qbits qbits → 2→ 2nn equações equações

Algumas vezes é possível fazer aproximações que reduzem o número de Algumas vezes é possível fazer aproximações que reduzem o número de equações em um sistema. equações em um sistema.

A evolução temporal de um estado quântico pode ser obtida, encontrado as A evolução temporal de um estado quântico pode ser obtida, encontrado as soluções da equação de Schrödinger: soluções da equação de Schrödinger:

0

tiet

dtdi

H

H

titi eettt HH 0

Simulações de Sistemas QuânticosSimulações de Sistemas Quânticos Um sistema quântico evolui livremente de acordo com o seu Hamiltoniano, Um sistema quântico evolui livremente de acordo com o seu Hamiltoniano,

mas também sofre mudanças devido à perturbações que podem ser mas também sofre mudanças devido à perturbações que podem ser introduzidas, como as chaves lógicas utilizadas para realizar computação. introduzidas, como as chaves lógicas utilizadas para realizar computação.

O truque é fazer com o Hamiltoniano do sistema mais as perturbações O truque é fazer com o Hamiltoniano do sistema mais as perturbações sejam idênticos ao Hamiltoniano que se quer simular, durante um sejam idênticos ao Hamiltoniano que se quer simular, durante um determinado intervalo de tempo. determinado intervalo de tempo.

tietU

tUt

V

0

simuladoeraçõesintsistema HVH

Simulação do Oscilador Harmônico QuânticoSimulação do Oscilador Harmônico Quântico

22221111

21202101

21

2 e

2 ,

2 ,

2

2

yYxXyYxXRF

zzzzRMN

OHQ N

V

JH

H

Simulação do Oscilador Harmônico QuânticoSimulação do Oscilador Harmônico Quântico

3

2

1

0

n

n

n

n

Fim...




Circuito de EspalhamentoCircuito de Espalhamento

H

00 H

A '''

Utilizando o circuito de espalhamento é possível obter informação sobre o estado de um sistema quântico () ou sobre o processo sob o qual este evoluiu D.

Medindo somente o estado de um qbit!


ATrIm

ATrRe

y

z

H

00 H

A '''

AtrA


A

AHH

A

H

AH ctr

1010

...10

10100

21

21

21

21

1

1

H

0 H

A '


AA

A

1110

...1010

21

21

H

0 H

A '


1101

1110

††21

21

AA

AA

f

f

Calculando

1111

...1111

...

††41

††41

AAAA

AAAA

fzfz

AAfz 111021


ATrA

AAAA

AAAA

z

z

ReRe

...

...1111

21

††41

††41

AReAImiAReAImiAReAA 2†


ATrIm

ATrRe

y

z

H

00 H

A '''

Como pensa um físico...

“Num certo sentido, sistemas criptográficos modernos já são inseguros.Qualquer mensagem criptografada, supostamente secreta, o deixará deser no feliz momento em que o primeiro computador quântico for ligado.Confiança na morosidade do progresso tecnológico é a únicasegurança verdadeira dos sistemas atuais.”

[A. Ekert et al., em “The Physics of Quantum Information”]

Arthur Ekert

Criptografia Quântica – BB84

Uma rede quântica é a prova de hacker!

Utilizando o protocolo chamado de BB84 é possível distribuir chaves públicas e saber se o hacker invadiu a rede quântica.

10010111011001001

Primeiros criptógrafos

Gregos ~ 400 AC

“SCYTALE” Criptografia por substituição de letras: Ex.

“GUERRA” = “JZHUUD”

Segunda Guerra

Enigma Colossus

Idéia básica

Como distribuir a chave com segurança ? Como distribuir a chave com segurança ?

Mensagem Q U A N T U Moriginal + + + + + + +

Chave C R I P T O S 3 18 9 16 20 15 19

Mensagemcodificada S N I E O P G

Anos 1970: Criptografia de chave pública

Qualquer um podese comunicar enviandouma mensagem

Somente quem possuia chave pode saber a mensagem

Como gerar uma chave pública segura? O RSA

1. Selecione números primos grandes p e q;2. Calcule o produto n = p q;3. Selecione um inteiro pequeno, e, primo de (n) = (p-1)(q-1); 4. Calcule d, o inverso multiplicativo de e, módulo (n) d . e = 1 (mod (n));5. A chave pública do RSA é o par P = (e,n) e a chave secreta o par S = (d,n);

Para conhecer a mensagem é preciso saber fatorar números grandes - NÃO HÁ DEMONSTRAÇÃO DE TAL SEGURANÇA!

Criptografia quântica

O sistema de chave privada é provadamente seguro se a distribuição da chave for provadamente segura!

A mecânica quântica oferece um método seguro para distribuição de chaves clássicas, que se baseia sobre dois Teoremas importantes:

1. “É impossível clonar estados quânticos não-ortogonais.”

2. “Ganho de informação implica em perturbação.”

NÃO CLONÁVEL!

210

0

)(

210

)(1;0

X

Z

SBase

SBase

Criptografia quântica Se Eva (um hacker) invadir o sistema, ela terá que ler o qbit, ou seja fazer uma medida, destruindo assim o estado do qbit.

Mas o objetivo do hacker é capturar a informação, sem deixar pistas. Portanto ele teria que clonar o estado do qbit, antes de fazer uma medida.

A segurança do sistema está na impossibilidade de clonar estados quânticos.

Ganho de informação implica em perturbação

'vsU

vsU

Estados enviados através de um canal

Estado genérico de um q-bit (pertencente ao “espião”)

Estados modificados do q-bit do “espião”

Ganho de Informação 'vv

Mas...

1

'vv'vvss

'vvss

É impossível obter informação de estados não-ortogonais se†m perturbar o sistema!

Outra propriedade importante de estados não-ortogonais:ELES NÃO PODEM SER DISTINGUIDOS COM CERTEZA!

102

1

0

†

†

Us'v'vsU

UsvvsU

1† UU

O Protocolo BB84Objetivo: distribuir uma sequência de bits clássicos de forma segura. Os bits formarão uma chave privada.

As duas partes que devem se comunicar secretamente: Alice e Bob. Espião: Eva

Passo No. 1 - Alice seleciona duas sequências binárias (com N bits cada) aleatórias, a e b:

1101011101011001101101101001110100011101010101

ba Daqui sairá

a chave secreta

Codificação quântica

1101011101011001101101101001110100011101010101

ba

Passo No. 2 - Alice prepara N q-bits e usa a seguinte regra:

...011

1,1

0,1

11,0

00,0

BaseXaab

aab

BaseZaab

aab

iii

iii

iii

iii

XBaseaab

aab

ZBaseaab

aab

iii

iii

iii

iii

1,1

0,1

11,0

00,0

011

Leitura de Bob

Passo No 3 - Alice envia os q-bits para Bob. Ele gera umaseqüência aleatória b’ com N bits:

1010100011110101011' b

e usa a seguinte regra: se b’i = 0, faz uma medida na base-Z; se for1, mede na base-X. As medidas de Bob resultam em uma seqüênciaaleatória a’.

Passo No. 4 - Alice e Bob comparam b e b’ (publicamente), e mantémos pares (ai, a’i) para os quais bi = b’i. Esta é a chave secreta!

A natureza “oculta da informação quântica”

E Eva?

O BB84 é seguro, pois:

1. Eva não pode clonar

2. Eva não pode obter informação de sem perturbar o canal;

3. Mesmo que Eva clonasse imperfeitamente, e esperasse pela publicação de b e b’, ela apenas saberia as posições dos bits que foram mantidos na chave e o tamanho da chave. Mas não teria como saber o valor de cada bit da chave, pois a e a’ nunca são publicados!

4. Alice e Bob podem ainda estabelecer um limite aceitável para o ruído no canal, acima do qual o protocolo é abortado e o processo re-iniciado.

Algoritmos QuânticosAlgoritmos Quânticos Classe A – Baseados na Transformada de Fourier Quântica de Classe A – Baseados na Transformada de Fourier Quântica de

Shor. Exponencialmente mais rápidos do que algoritmos clássicos.Shor. Exponencialmente mais rápidos do que algoritmos clássicos.

Classe B – Baseados no algoritmo de busca de Grover. Somente Classe B – Baseados no algoritmo de busca de Grover. Somente quadraticamente mais rápidos do que os algoritmos clássicos.quadraticamente mais rápidos do que os algoritmos clássicos.

Porque há tão poucos algoritmos quânticos? Porque há tão poucos algoritmos quânticos?

– Desenvolver um algoritmo, clássico ou quântico não é tarefa fácil.Desenvolver um algoritmo, clássico ou quântico não é tarefa fácil.

– A história ensina que é muito difícil criar bons (otimizados) A história ensina que é muito difícil criar bons (otimizados) algoritmos, mesmo para problemas simples.algoritmos, mesmo para problemas simples.

– Sempre se procura por um algoritmo quântico que seja melhor do que Sempre se procura por um algoritmo quântico que seja melhor do que o seu análogo clássico.o seu análogo clássico.

– Nós estamos mais acostumados com uma visão clássica do mundo. Nós estamos mais acostumados com uma visão clássica do mundo.

Algoritmo de DeutschAlgoritmo de Deutsch Este algoritmo não tem análogo clássico, e pode ser aplicado para descobrir Este algoritmo não tem análogo clássico, e pode ser aplicado para descobrir

se uma função binária é constante (se uma função binária é constante (ff(0) = (0) = ff(1)) ou equilibrada ((1)) ou equilibrada (ff(0) (0) ≠≠ ff(1)), (1)), calculando a função somente calculando a função somente umauma vez. vez.

Seria o equivalente a descobrir se uma moeda é falsa (possui dois lados Seria o equivalente a descobrir se uma moeda é falsa (possui dois lados iguais) ou verdadeira (possui um lado diferente do outro), com apenas iguais) ou verdadeira (possui um lado diferente do outro), com apenas umauma observação. observação.

Classicamente, temos que observar os dois lados de uma moeda para Classicamente, temos que observar os dois lados de uma moeda para decidir se esta é falsa ou verdadeira. decidir se esta é falsa ou verdadeira.

Falsa ou Verdadeira ?Falsa ou Verdadeira ?

Algoritmo de DeutschAlgoritmo de Deutsch

Classicamente, temos que observar os dois lados de uma moeda para Classicamente, temos que observar os dois lados de uma moeda para decidir se esta é falsa ou verdadeira. decidir se esta é falsa ou verdadeira.

Na mecânica quântica podemos preparar o qbit em uma superposição de Na mecânica quântica podemos preparar o qbit em uma superposição de estado e calcular estado e calcular f f (0 e 1) ao mesmo tempo! Este é o procedimento do (0 e 1) ao mesmo tempo! Este é o procedimento do Algoritmo de Deutsch. Algoritmo de Deutsch.

Após esta operação, é possível decidir se a moeda é falsa ou verdadeira, Após esta operação, é possível decidir se a moeda é falsa ou verdadeira, como se tivéssemos observado apenas um dos lados da moeda!como se tivéssemos observado apenas um dos lados da moeda!

FalsaFalsa

Verdadeira Verdadeira

Algoritmo de Deutsch IAlgoritmo de Deutsch I

111001001010

0110

21

21

1

0

HH

HH

UUff

HH0

1

xx xx

yy y y f f ((xx))

0 1 2 3

101

100

21

21

H

H

Computando uma funçãoComputando uma função

UUff

x

y

x

)(xfy

xx xx

yy y y f f ((xx))

101

1010

21

21

21

x

xfxfxxU

xf

f

ff((xx) é uma função binária e só admite dois valores: “0” ou “1”.) é uma função binária e só admite dois valores: “0” ou “1”.

Algoritmo de Deutsch IIAlgoritmo de Deutsch II

10111001

1010

10110

1021

21

12

21

21

ff

ff

xff

UU

xxU

HH

HH

UUff

HH0

1

xx xx

yy y y f f ((xx))

0 1 2 3

Algoritmo de Deutsch IIIAlgoritmo de Deutsch III

10 Se 10 1010 Se 10 10

10111001

2121

2

1021

2

ffff

ff

0)1( 1)0( 1)1( 0)0(

1)1()0(ou 0)1()0(

ffff

ffff

Algoritmo de Deutsch IVAlgoritmo de Deutsch IV

HH

HH

UUff

HH0

1

xx xx

yy y y f f ((xx))

0 1 2 3

10 Se 10 110 Se 10 0

10 Se 10 1010 Se 10 10

212

1

23

2121

2

ffff

H

ffff

a

Medindo apenas o Medindo apenas o primeiro qbit primeiro qbit conhecemos se conhecemos se f f ((xx) ) é constante ou é constante ou equilibradaequilibrada..

Algoritmo de Deutsch VAlgoritmo de Deutsch V

1010010110100101

1001

1111

21

111

1

2110 102

10

1HH a

Algoritmo Quântico de Busca (Grover)Algoritmo Quântico de Busca (Grover) Em um espaço de Em um espaço de NN elementos. elementos.

Algoritmos clássicos de busca: Algoritmos clássicos de busca:

Algoritmo quântico de busca:Algoritmo quântico de busca:

Devemos buscar os índices dos elementos procurados.Devemos buscar os índices dos elementos procurados.

O algoritmo de Grover busca e reconhece uma solução para um O algoritmo de Grover busca e reconhece uma solução para um determinado problema.determinado problema.

NO

NO

Algoritmo de GroverAlgoritmo de Grover


2 qbits = 22 qbits = 222 estados. estados.

10 qbits = 210 qbits = 21010 estados. estados.



=

X

Fatoração

3 x 5 = 15 231 = 3 x 7 x 11

O algoritmo de Shor (1993)

P. Shor

No. Bits t(comum) t(Shor)

512 4 dias 34 seg.1024 105 anos 4,5 min.2048 1014 anos 36 min.4096 1026 anos 4,8 horas

TECNOLOGIA DO ANO 2000

COMPUTADORQUÂNTICO DE100 MHz

Algoritmo de Fatoração de ShorAlgoritmo de Fatoração de Shor

Para fatorar um número de 1024 bits utilizando algoritmos clássicos Para fatorar um número de 1024 bits utilizando algoritmos clássicos seria necessário ~ 100 mil anos (em computadores atuais). seria necessário ~ 100 mil anos (em computadores atuais).

Utilizando o algoritmo de Shor este tempo seria reduzido para ~ 4,5 Utilizando o algoritmo de Shor este tempo seria reduzido para ~ 4,5 minutos. minutos.

Estes fatos ilustram o poder da computação quântica sobre a clássica. Estes fatos ilustram o poder da computação quântica sobre a clássica.

O algoritmo de Shor é rápido porque utiliza uma rotina quântica que O algoritmo de Shor é rápido porque utiliza uma rotina quântica que por sua vez faz uso da transformada de Fourier quântica (QFT – por sua vez faz uso da transformada de Fourier quântica (QFT – Quantum Fourier TransformQuantum Fourier Transform) . ) .

A Transformada de Fourier Quântica– QFTA Transformada de Fourier Quântica– QFT Utilizando a transformada de Fourier quântica (QFT) é possível Utilizando a transformada de Fourier quântica (QFT) é possível

estimar a fase de um estado quântico, encontrar a ordem de um estimar a fase de um estado quântico, encontrar a ordem de um número, fatorar, etc.número, fatorar, etc.

QFT é uma transformação unitária.QFT é uma transformação unitária.

1

0

2

1

0

2

1

1

N

k

Nijk

N

k

Nijkkj

keN

j

exN

y

1997 – Deu na Nature!

29Si: I = 1/2, 4,7% - (28,30)Si: I = 0, 95,33% 31P: I = 1/2, 100%

1998

• l = 300 m;• w = 4 m;• t = 0,25 m;• s = 2,1 m;• L = 400 m;• W = 4 m;• H = 10 m.

0 ~ 7 ;/ 1,4 / ;

1,9 ;~ 2

z

o

B TB z T m

a Af kHz

2002

2004

2005

QUANTUM KEY DISTRIBUTION (QKD)

Resumindo

Computadores quânticos já existem em pequena escala – até 7 qbits.

Todas as chaves lógicas e algoritmos quânticos criados até hoje foram testados em laboratórios.

Existem muitas dificuldades de natureza técnica para a implementação da Computação Quântica em larga escala, mas não há nenhum impedimento de natureza física!

Algumas aplicações já estão sendo comercializadas!

A criação de um chip quântico depende do desenvolvimento de outra área da ciência: A Nanotecnologia.

É possível prever o futuro?

“ Acredito que haja no mundo todo um mercado para talvez cinco computadores.”

Thomas Watson, Presidente da IBM (1943).

“Os computadores do futuro não deverão pesar mais do que uma tonelada e meia.”

Popular Mechanics (1949)

“Os computadores quânticos se parecerão mais com aquela xícarade café, que hoje esquecemos ao lado dos teclados.”

Isaac Chuang (1998)

Fim!

Mais informações em:

http://www.cbpf.br/~qbitrmn/

Documents

Física da Informação e da Computação