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Nesta aula introduziremos os conceitos fundamentais da Física e faremos uma breve revisão de algumas operações matemáticas fundamentais.
Física Geral I – Aula 1
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Ø Por que é preciso estudar Física? ü Primeiro, porque a física é uma das ciências mais fundamentais. Os cientistas de todas as disciplinas usam ideias da física. A física é também a base de toda a engenharia e tecnologia.
Física Geral I
ÁREAS DA FÍSICA
• Mecânica; • Termodinâmica; • Eletromagnetismo; • Mecânica Estatística;
• Mecânica quântica;
• Relatividade restrita e geral.
O Método Científico • A observação e experimentação: são os
teste crucial na formulação das leis naturais. A física parte de dados experimentais.
• O acordo com a experiência é o juiz supremo da validade de qualquer teoria.
• A b s t r a ç ã o e i n d u ç ã o s ã o s u a s ferramentas.
• Leis e teorias.
9
Física Geral I
Ø Por que preciso estudar matemática?
“O livro da natureza é escrito na língua da Matemática”.
Galileo Galilei
Veja as seguintes opiniões abaixo:
Física Geral I
“Aque les que querem analisar a natureza sem usar Matemática devem se c o n t e n t a r c o m u m a compreensão reduzida”
Richard Feynman
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Física Geral I
Como as operações Matemáticas são muito importantes para o estudo da Física (por ser a Matemática a principal ferramenta dessa ciência), iniciaremos aqui uma breve exposição dessas operações.
12
Algumas regras
básicas Potência
, fatores n
n aaaaaa ×××××=
A expressão a n, sendo a um número real não-nulo e n inteiro, significa que a é multiplicado por si mesmo n vezes. n e a são, respectivamente, o expoente e a base. Portanto, por definição
14
Algumas regras
básicas Propriedades das potências
,.1 mnmn aaa +=⋅
Sejam a e b reais não-nulos e n e m inteiros:
,.2 mnm
n
aaa −=
( ) ,.3 mnmn aa ⋅=
( ) ,.4 nnn baba ⋅=⋅
..5 n
nn
ba
ba
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
15
Algumas regras
básicas Exemplos:
,2222222)222)(22(22.1
325
32
+==⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=⋅
,2222222222
22.2 2422
4−==⋅=
⋅
⋅⋅⋅=
16
Algumas regras
básicas ( ) ,222222222222.3 32622232 ⋅==⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=
( ) ,22222222222.4 2363323 ⋅==⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=
( ) ( ) ( ) ,525522525252.5 222 ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅
.52
5522
52
52
52.6 2
22
=⋅
⋅=⋅=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛
17
Algumas regras
básicas Potência com expoente fracionário
.111
11
nn
nnn
aaaeaa ===−
Se a for um número real positivo e n um inteiro positivo, por definição
19
Algumas regras
básicas
.1n m
nm
n mnm
aaeaa ==−
De modo geral, se a for um número real positivo e m e n, inteiros positivos, tem-se
20
Propriedades das potências com expoente fracionário
,.1 //// qpnmqpnm aaa +=⋅
Sejam a e b reais positivos e m, n, p e q inteiros:
2.am/n
ap/q=am/n−p/q,
( ) ,.3 // qp
nm
qpnm aa⋅
=
( ) ,.4 /// nmnmnm baba ⋅=⋅
..5 /
//
nm
nmnm
ba
ba
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Algumas regras
básicas
A 36x32 = 38
(32)3x32 = ________
B 36x32 = 312
D 35x32 = 310 C 35x32 = 37
36x32 = 38
Algumas regras
básicas
A 108x103 = 1011
(103)5x1000 = ____________
B 1015x102 = 1017
D 1015x103 = 1018 C 1015x103 = 1045
1015x103 = 1018
Algumas regras
básicas
29
Potências de Dez - Ordem de Grandezas
Ø Por que usamos as potências de 10?
ü Se nos disserem que o raio do átomo de hidrogênio é igual a 0,000000005 cm ou que uma dada célula tem cerca de 2 000 000 000 000 de átomos, dificilmente seremos capazes de assimilar estas ideias.
30
Potências de Dez - Ordem de Grandezas
Assim, sempre que os valores envolvidos na resolução de um exercício forem muito pequenos ou muito altos é interessante trabalhar com notação exponencial. Nesse tipo de notação, dividimos o número em três partes:
a 10b
coeficiente base (potência de dez)
expoente (negativo, zero ou positivo)
Potências de Dez - Ordem de Grandezas
0,00052 5,2 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 5,2 . 10-4
0,0052 5,2 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 5,2 . 10-3
0,052 5,2 ÷ 10 ÷ 10 5,2 . 10-2
0,52 5,2 ÷ 10 5,2 . 10-1
5,2 5,2 . 1 5,2 . 100
52 5,2 . 10 5,2 . 101
520 5,2 . 10 . 10 5,2 . 102
5 200 5,2 . 10 . 10 . 10 5,2 . 103
52 000 5,2 . 10 . 10 . 10 . 10 5,2 . 104
Número Significado Notação
32
Potências de Dez - Ordem de Grandezas
Expoentes positivos
Exemplo: 103 = 10 x 10 x 10 = 1000
Expoentes negativos
Exemplo: 10-3 = 1 = 1 = 0,001
103 1000
33
Potências de Dez - Ordem de Grandezas
Adição
Para somar números escritos em notação científica, é
necessário que o expoente seja o mesmo. Se não o for
temos que transformar uma das potências para que o seu
expoente seja igual ao da outra.
Exemplo: (5 . 104) + (7,1 . 102)
= (5 . 104) + (0,071 . 104)
= (5 + 0,071) . 104
= 5,071 . 104 = 5 . 104
34
Potências de Dez - Ordem de Grandezas
Subtração
Na subtração também é necessário que o expoente seja o
mesmo. O procedimento é igual ao da soma.
Exemplo: (7,7 . 106) - (2,5 . 103)
= (7,7 . 106) - (0,0025 . 106)
= (7,7 - 0,0025) . 106
= 7,6975 . 106 = 7,7 . 106
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Potências de Dez - Ordem de Grandezas
Multiplicação
Multiplicamos os números sem expoente, mantemos a
potência de base 10 e somamos os expoentes de cada uma.
Exemplo: (4,3 . 103) . (7 . 102)
= (4,3 . 7) . 10(3+2)
= 30,1 . 105
= 3,01 . 106
= 3,0 . 106
36
Potências de Dez - Ordem de Grandezas
Divisão
Dividimos os números sem expoente, mantemos a potência
de base 10 e subtraímos os expoentes.
Exemplo: 6 . 103
8,2 . 102 =(6/8,2) . 10(3-2)
= 0,73 . 101 = 7,3
37
Potências de Dez - Ordem de Grandezas
Definimos ordem de um número como sendo um valor estimativo da potência de 10 mais próxima deste número.
Atenção! • Se o coeficiente for maior que 3,16
devemos acrescentar uma unidade ao expoente.
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Potências de Dez - Ordem de Grandezas
Carga elétrica elementar 1,6 x 10-19 C ≅ 100 x 10-19 C ⇒ O. G .... 10-19 C
Ano-luz 9,45 x 1015 m ≅ 101 x 1015 m ⇒ O. G .... 1016 m
número de Avogadro 6,02 x 1023 ≅ 101 x 1023 ⇒ O. G .... 1024
Velocidade da luz no vácuo 3 x 108 m/s ≅ 100 x 108 m/s ⇒ O. G .... 108 m/s
Massa da Terra 5,98 x 1024 kg ≅ 101 x 1024 kg ⇒ O. G .... 1025 kg
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Potências de Dez - Ordem de Grandezas
1. Escreva os números seguintes em notação científica:
a) 12 300 000 b) 0,000 072
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Potências de Dez - Ordem de Grandezas
Solução:
a) 12 300 000 = ___ x 10 a n
a = 123 ou a = 12,3 ou a = 1,23 ???
1 2 3 0 0 0 0 0 Teríamos então 7 casas decimais, portanto n = 7
Resposta: 1,23 x 107
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Potências de Dez - Ordem de Grandezas
b) 0,000 072
Solução:
b) 0,000 072 = ___ x 10 a n
a = 72 ou a = 7,2 ???
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Potências de Dez - Ordem de Grandezas
0 , 0 0 0 0 7 2
Teríamos então a vírgula sendo deslocada 5 casas decimais, portanto n = - 5
Resposta: 7,2 x 10-5
44
Potências de Dez - Ordem de Grandezas
2. Qual é a ordem de grandeza no número de segundos em 60 anos?
60 anos = 60 x 12 meses
Solução:
60 anos = 60 x 12 x 30 dias 60 anos = 60 x 12 x 30 x 24 horas
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Potências de Dez - Ordem de Grandezas
60 anos = 60 x 12 x 30 x 24 x 60 min
60 anos = 60 x 12 x 30 x 24 x 60 x 60 s
60 anos = 1 866 240 000 s
60 anos ≅ 1,8 x 109 s
60 anos ≅ 100 x 109 s ⇨ O . G ⇨ ⇨ ⇨ 109 s
Aqui houve um truncamento, p o i s , e x e c u t a n d o u m arredondamento obteríamos o valor 1,9 x 109 s.
Arredondamento de um Número.
Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá sem modificações.
46
Exemplos
w Para o número: 2,35817 m
47
Como fica se arredondamos para 3 casas decimais? 2,358 m
Como fica se arredondamos para 2 casas decimais? 2,36 m
Física é uma ciência experimental
Experimentador
Relógio
Régua
Dinamômetro
Tempo
Espaço
Força
ü Em suma, a física como qualquer ciência natural, é uma descrição da Natureza capaz fazer previsões consis tentes com as observações experimentais.
50 50
Medidas e Unidades
Ø Mas, por que é importante saber medir? ü Para descobrir as leis que governam os fenômenos naturais, os cientistas devem rea l iza r medidas das g randezas envolvidas nestes fenômenos. A Física, em particular, costuma ser denominada “a ciência da medida”.
51
Medidas e Unidades
Lord Kelvin, grande físico inglês do século X I X , s a l i e n t o u a importância da realização de medidas no estudo das ciências por meio das seguintes palavras:
52 52
“Sempre afirmo que se você puder medir aquilo de que estiver falando e conseguir expressá-lo em números, você conhece alguma coisa sobre o assunto; mas quando você não pode expressá-lo em números, seu conhecimento é pobre e insatisfatório ...”
William Thomson – Lord Kelvin
Medidas e Unidades
53
Ø O que é necessário para efetuar uma medida? ü Como sabemos, para efetuar medidas é necessário escolher uma unidade para cada grandeza. O estabelecimento de unidades, reconhecidas internacionalmente, é também imprescindível no comércio e no intercâmbio entre países.
Medidas e Unidades
54
A história das primeiras
medições
A s u n i d a d e s d e comprimento, por exemplo, eram quase sempre derivadas das partes do corpo do rei de cada país: a jarda, o pé, a polegada etc.
55 55
A história das primeiras
medições
Mil passos duplos perfaziam uma milha terrestre. Naquela época, os romanos falavam o latim. Nessa língua, mil passos se dizem milia passuum. É daí que vem a palavra milha. Esse padrão ainda é u t i l i z a d o h o j e , c o m o a l g u m a s modificações, e equivale a 1.609 metros.
56 56
A história das primeiras
medições
A jarda também tem sua história. Esse termo vem da palavra inglesa yard, que significa “vara”, em referência ao uso de varas nas medições. Esse padrão foi criado por alfaiates ingleses, e se baseou na medida do tecido necessário para confeccionar uma vestimenta. No século XII, em conseqüência de sua grande utilização, esse padrão foi oficializado pelo rei
57 57
Henrique I. A jarda teria sido definida, e n t ã o , c o m o a distância entre a ponta do nariz do rei e a de seu dedo polegar, com o braço esticado.
A história das primeiras
medições
58 58
Até hoje, estas unidades são usadas nos países de língua inglesa, embora definidas de uma maneira moderna, através de padrões.
A história das primeiras
medições
59 59
Ø Você é capaz de apontar alguma outra inconveniência das unidades antigas?
ü Uma outra inconveniência das unidades antigas, são que seus múltiplos e submúltiplos não eram decimais, o que dificultava enormemente a realização das operações matemáticas com as medidas.
A história das primeiras
medições
60 60
O Sistema Métrico
Decimal Equador ao pólo. Esta distância foi marcada
sobre uma barra de platina iridiada – o metro padrão – até hoje conservada em uma repartição de pesos e medidas em Paris.
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Nomes e Símbolos para as
Unidades Fundamentais do SI
Grandeza física Nome no SI Símbolo Comprimento Metro m
Massa Quilograma kg Tempo Segundo s
Intensidade da corrente elétrica Ampére A Temperatura termodinâmica Kelvin K
Quantidade de substância Mole mol
Intensidade luminosa Candela cd
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Algumas unidades
derivadas do SI
Grandeza física
Nome no SI Símbolo Expressão em termos da unidade base no SI
Força Newton N m.kg.s-2
Pressão Pascal Pa N.m-2= m-1 .kg. s-2
Energia Joule J N. m=m2. kg. s-2
Temperatura Celsius
Grau celsius ºC K
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Ø Como exprimimos os múltiplos e submúltiplos das unidades no SI ?
Para exprimir os múltiplos e submúltiplos
das unidades no SI deve utilizar-se os prefixos e
potência de dez: k (quilo) = 103; m (mili) = 10–3;
n (nano) = 10–9; µ(micro) = 10–6; p(pico) = 10–12.
O Sistema Internacional
de Unidades
64 64
Algarismos Significativos
Ø O que você entende por medir uma grandeza Física?
É associar valores numéricos às grandezas físicas, através de instrumentos. Ø O que você entende por grandeza Física?
É tudo aquilo que pode ser medido.
65 65
Algarismos Significativos
Ø Em que consiste o processo de medida? Medir é comparar a grandeza a ser
medida com outra de mesma espécie considerada padrão e denominada UNIDADE DE MEDIDA. Ø De que se constitui uma medida?
Toda medida é constituída de um número e uma unidade padrão.
66 66
Algarismos Significativos
Ø Será possível obter o valor verdadeiro pela medição?
Não. Existem sempre limitação das medições experimentais: há sempre uma incerteza associada. Ø Como são classificado os erros de medição?
67 67
Algarismos Significativos
w Erros sistemáticos: Depende, em sua maioria, do aparelho de medida, e sempre e só no mesmo sentido; se forem descobertos podem ser corrigidos ou eliminados . Ex: Balança mal calibrada, deficiência de funcionamento, erros de operação etc.
68 68
Algarismos Significativos
w Erros fortuitos ou aleatórios: sem qualquer regularidade; inevitáveis; estimativas dependem de pessoa para pessoa e de medição para medição; tendem a anular-se num elevado número de medições . Ex: variações no ambiente do laboratório, limitações dos instrumentos de medida etc.
69 69
Algarismos Significativos
Qual a medida da barra ao lado?
Para fazer esta avaliação, você deverá imaginar o intervalo entre 14,3 cm e 14,4 cm subdividido em 10 partes iguais, e, com isso, a fração de milímetro, que deverá ser acrescentada a 14,3 cm, poderá ser obtida com razoável aproximação.
70 70
Algarismos Significativos
Na figura ao lado podemos avaliar a fração mencionada como sendo 5 décimos de milímetro, por exemplo, e o resultado da medida poderá ser expresso como 14,35 cm.
71 71
Algarismos Significativos
Observe que estamos seguros em relação aos algarismos 1, 4 e 3, pois eles foram obtidos através de divisões inteiras da régua, ou seja, eles são algarismos corretos. Entretanto, o algarismo 5 foi avaliado, isto é, você não tem muita certeza sobre seu valor.
72 72
Algarismos Significativos
Faz sentido escrever 14,357 cm?
É claro que não faz sentido em tentar descobrir qual o algarismo que deveria ser escrito, na medida, após o algarismo 5. Para isso, seria necessário imaginar o intervalo de 1 mm subdividido mentalmente em 100 partes iguais, o que evidentemente é impossível.
73 73
Algarismos Significativos
Algarismo EXATO
Algarismo EXATO
Algarismo DUVIDOSO
Unidade PADRÃO
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Comprimento do segmento de reta = 2,36 cm.
2,
3 cm 6
Além do 6 não é significativo. Não tem sentido escrever.
74
Algarismos Significativos
Você é capaz de definir o que vem a ser algarismos significativos de uma medida?
Algarismos significativos de uma medida são os algarismos corretos e o primeiro algarismo duvidoso.
75
Algarismos Significativos
Um outro exemplo é ilustrado a seguir: O tamanho do besouro ao lado está entre:
a) 0 e 1 cm b) 1 e 2 cm
c) 1,5 e 1,6 cm
d) 1,54 e 1,56 cm
e) 1,546 e 1,547 cm
76
Algarismos Significativos
Acertou quem optou pela alternativa d). Isso porque, na leitura de uma escala, o algarismo significativo mais à direita de um número deve sempre ser o duvidoso (não esqueça: o algarismo duvidoso é significativo!). Resumindo: Qualquer medida por comparação entre um objeto e uma escala deve incluir além dos dígitos exatos (1,5 nesse caso) uma estimativa do dígito (duvidoso).
77
Algarismos Significativos
Qual a medida da barra ao lado?
Para fazer esta avaliação, você deverá imaginar o intervalo entre 14 cm e 15 cm subdividido em 10 partes iguais, e, com isso, o algarismo 6 em 14,6 cm, seria o primeiro algarismo avaliado. Vemos, então que o número de algarismo significativos, que se obtém no resultado da medida de uma grandeza, dependerá do aparelho usado na medida.
78
Algarismos Significativos
Veja abaixo um exemplo onde o resultado da medida de uma grandeza, depende do aparelho usado na medida.
De acordo com a régua A o comprimento da caixa é 4,7 cm, mas de acordo com a régua B o comprimento da caixa seria expresso como 4,75 cm.
79
Algarismos Significativos
As duas medidas 42 cm e 42,0 cm representam exatamente a mesma coisa?
Não, na primeira, o algarismo 2 foi avaliado e não se tem certeza sobre o seu valor. Na segunda, o algarismo 2 é correto, sendo o zero o algarismo duvidoso.
80
Algarismos Significativos
As duas medidas 7,65 kg e 7,67 kg representam exatamente a mesma coisa?
Sim, resultados de medidas como 7,65 kg e 7,67 kg, por exemplo, não são fundamentalmente diferentes, pois diferem apenas no algarismo duvidoso.
81
Algarismos Significativos
Como contamos o algarismo zero num algarismo significativo?
Ao contar os algarismos significativos de uma medida, devemos observar que o algarismo zero só é significativo se estiver situado à direita de um algarismo significativo. Assim,
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Algarismos Significativos
w 0,00041 tem apenas dois algarismos significativos (4 e 1), pois os zeros não são significativos. w 40100 tem cinco algarismos significativos, pois aqui os zeros são significativos. w 0 ,000401 t em t r ê s a lga r i smos significativos, pois os zeros a esquerda do 4 não são significativos.
83
REFERÊNCIAS • Luizdarcy de Matos Castro – UESB – Física 1. • Sears, F. W.; Zemansky e Young – "Física", vol. 1. Livros Técnicos e Científicos – LTC, 1993. • Tipler, P. Física. LTC. 2O.Edição, Vol.1, 2000. • Hallyday, D., Resnick, R. Walker, J.; Fundamentos de Física. Vol. 1, LTC, 1993. • Chaves, A. S. Física: Mecânica. Reichmann & Affonso Editores, 2001. • Nussenzveig, H. M. Curso de Física Básica, Mecânica. Vol.1, Ed. Edgard Blücher LTDA, 1997. • Disponível http://portal.ifi.unicamp.br/br/f-128-fisica-geral-i?start=4 Acessado em 04 de outubro de 2011 às 09h35min.