Física Geral III - Apostila

FÍSICA GERAL III Eletromagnetismo

Prof. Ricardo T. Motai

DFQ – Departamento de Física e Química

Contagem, 2016

Física Geral III – Eletromagnetismo PUC Minas | Prof. Ricardo T. Motai

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SUMÁRIO

0. ORIENTAÇÕES AOS ESTUDANTES ...................................................................................... 3

1. CARGAS ELÉTRICAS .............................................................................................................. 5

2. CAMPO ELÉTRICO ................................................................................................................ 17

3. LEI DE GAUSS ....................................................................................................................... 34

4. POTENCIAL ELÉTRICO ......................................................................................................... 50

5. CAPACITÂNCIA ...................................................................................................................... 66

6. CORRENTE E RESISTÊNCIA ................................................................................................ 81

7. CIRCUITOS ............................................................................................................................. 94

8. CAMPOS MAGNÉTICOS ...................................................................................................... 107

9. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO ..................................................................................... 123

10. INDUÇÃO E INDUTÂNCIA ................................................................................................. 135

11. EQUAÇÕES DE MAXWELL ............................................................................................... 149

ATENÇÃO!

Esta apostila foi construída com base no livro Fundamentos de Física Vol.3 - Ele-

tromagnetismo dos autores Halliday, Resnick e Walker. O uso da apostila não

dispensa o estudo do livro, que irá te ajudar a entender as partes mais difíceis da

matéria. Além disso, o livro possui exemplos resolvidos e exercícios que irão te

ajudar a fixar o conteúdo. Assim, o estudo do livro é altamente recomendado.


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0. ORIENTAÇÕES AOS ESTUDANTES

Seja bem vindo ao curso de Física Geral III – Eletromagnetismo.

A seguir, você receberá algumas orientações importantes, então leia com atenção.

Objetivo do curso

Fornecer ao aluno as bases da física fundamental, que servirão de subsídio

para as disciplinas subsequentes do curso.

Contribuir para a formação de um profissional de engenharia com sólida

base conceitual e prática, e com ampla visão dos problemas tecnológicos de

sua área de atuação

Pré-requisitos

Cálculo II

Ementa

Disponível no SGA. Sua leitura é fundamental.

Apostila

Durante o semestre utilizaremos a apostila do curso. Imprima-a para poder

acompanhar as aulas.

Postura do professor

Me empenharei para que o curso seja interessante e útil para você.

O objetivo principal das aulas e do curso é a aprendizagem dos estudantes.

Todo minuto é valioso para o aprendizado.

Avisarei caso haja alguma alteração no cronograma do curso.

Estarei disponível para lhe ajudar nas suas dúvidas.

Darei respostas rápidas às suas mensagens.

Farei avaliações razoáveis e justas.

Estarei aberto para sugestões e comentários sobre as aulas.

Postura dos estudantes

Faça os exercícios propostos durante as aulas.

Dedique o tempo necessário ao curso.

Tenha uma atitude ativa para o aprendizado.

Resolva individualmente as atividades on-line.

Faça perguntas caso haja dúvidas. Procure a monitoria se necessário.

Observe a frequência e pontualidade nas aulas.

Colabore na manutenção da ordem durante as aulas.


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Cronograma

Será disponibilizado no SGA.

Atividades no Moodle

Ao final de cada capítulo, vocês devem resolver os exercícios propostos do

Moodle. Os exercícios são referentes à matéria estudada nas aulas. As listas devem

ser resolvidas no prazo de 1 semana; após isso, a lista será encerrada e não será

mais possível respondê-la.

Atividades no Socrative

Baixem o aplicativo “Socrative Student”. Ao final de cada aula (e às vezes du-

rante ela!), vocês deverão responder algumas perguntas através do aplicativo.

Cartões

Baixem o arquivo Cartões.pdf no SGA, imprimam e portem os cartões duran-

te todas as aulas.

Disposição dos alunos na sala

Os estudantes devem se sentar nas carteiras mais próximas ao quadro, obe-

decendo a orientação do professor.

Conversa paralela durante as aulas

Não é permitida, assim como o uso de Whatsapp, Facebook, etc.

Distribuição de pontos

2 avaliações parciais 40 pontos cada

Exercícios do Moodle 20 pontos

Reavaliação* 40 pontos

* para quem perdeu uma avaliação ou ficou com menos de 60 pontos no semestre.

Referências bibliográficas

HALLIDAY, RESNICK. Fundamentos de Física Vol.3 – 9ª ed.

SEARS, ZEMANSKY. Física III – Eletromagnetismo – 12ª ed.

KNIGHT. Física, Uma abordagem estratégica – 2ª ed.

Dúvidas, críticas, sugestões? Fale comigo!

Tel: (31) 9 9786-3179

E-mail: [email protected]

mailto:[email protected]


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1. CARGAS ELÉTRICAS

1.1 INTRODUÇÃO

Vamos começar nosso estudo do Eletromagnetismo com uma breve reflexão.

Liste a seguir o maior número de situações e equipamentos nos quais estejam pre-

sentes fenômenos elétricos e magnéticos. Procure ser o mais abrangente possível.

Com base na lista que você escreveu acima, escreva: qual é a importância de estu-

dar os princípios dos fenômenos elétricos e magnéticos?

Na sua profissão, como estes fenômenos estão presentes?

Ao final deste capítulo você será capaz de

Explicar por que às vezes você toma choque na maçaneta de uma porta.

Calcular a força entre duas cargas elétricas.

Entender o princípio da pintura eletrostática.


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1.2 CARGAS ELÉTRICAS

Quando o ar está seco, é possível produzir fagulhas esfregando os pés em um tape-

te e aproximando a mão de uma maçaneta, de uma torneira ou mesmo de uma pes-

soa. Também podem surgir centelhas quando você despe um suéter ou remove as

roupas de uma secadora. As centelhas e a “atração eletrostática” são, em real, con-

sideradas mera curiosidade. Entretanto, se você produz uma centelha elétrica ao

manipular um microcircuito, o componente pode ser inutilizado.

O âmbar (eléktron, do grego) foi a primeira constatação da

força elétrica

A carga elétrica... **é uma propriedade intrínseca das par-

tículas fundamentais de que é feita a matéria; em outras

palavras, é uma propriedade associada à própria existência das partículas.**

Existem dois tipos de cargas elétricas:

Toda matéria é constituída de átomos, que são formados por prótons, elétrons e

nêutrons.

Objeto eletricamente neutro x carregado

Cargas com mesmo sinal se repelem e cargas com sinais contrários se atraem.

Unidade de carga elétrica:

A carga elementar...

A carga é quantizada, ou seja, ela vem em pequenos “pacotes” e não pode ser di-

vidida em pacotes menores. Chamamos esses pacotes de quantum de carga ou de

carga elementar.


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E 1.1. O coulomb é uma unidade muito grande de carga. Para entender essa afir-

mação, calcule aproximadamente quantos prótons são necessários para obtermos

uma carga de 1,0 C.

Lei da conservação de cargas: a carga elétrica total em um sistema fechado é

constante. Isto significa que se a carga de um objeto diminui, a carga elétrica de

outro objeto deve aumentar na mesma medida.

1.2 PROPRIEDADE ELÉTRICA DOS MATERIAIS

Os materiais podem ser classificados em

Condutores:

Isolantes:

Semicondutores:

Supercondutores:

Quando a carga se move através de um material, dizemos que há uma corrente

elétrica nesse objeto.

Um objeto está aterrado quando...

CLARÕES AZUIS EM UMA PASTILHA

Uma demonstração indireta da atração de cargas de sinais opostos pode ser

feita com o auxílio de pastilhas de gaultéria. Se você deixar os olhos se adaptarem à

escuridão durante cerca de 15 minutos e pedir a um amigo para mastigar uma pas-


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tilha de gaultéria, verá um clarão azul sair da boca do seu amigo a cada dentada.

Quando a pastilha é partida em pedaços por uma dentada, em geral cada pedaço

fica com um número diferente de elétrons. Suponha que a pastilha se parta nos

pedaços A e B e que A possua mais elétrons na superfície que B (vide figura). Isso

significa que B possui íons positivos (átomos que perderam elétrons para A) na

superfície. Como os elétrons de A são fortemente atraídos para os íons positivos de

B, alguns desses elétrons saltam de A para B.

Entre os pedaços A e B existe ar, que é constituído principalmente por molé-

culas de nitrogênio (N2). Muitos dos elétrons que estão passando de A para B coli-

dem com moléculas de nitrogênio, fazendo com que emitam luz ultravioleta. Os

olhos humanos não conseguem ver esse tipo de radiação. Entretanto, as moléculas

de gaultéria na superfície da pastilha absorvem a radiação ultravioleta e emitem

luz azul; é por isso que você vê clarões azuis saindo da boca do seu amigo.

1.3 PROCESSOS DE ELETRIZAÇÃO

Se o pente atrai os pedaços de papel, significa que

eles possuem carga elétrica? Comente.

Existem três formas de eletrizar um objeto: por atrito, contato e indução.

Eletrização por atrito: *dois objetos são friccionados e um deles perde elétrons

para o outros. Os objetos ficam com cargas de mesmo módulo e sinais contrários.*

Observe a tabela a seguir, que é chamada “Série triboelétrica”.


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Eletrização por contato: **um objeto carregado en-

costa em outro objeto inicialmente neutro e transfere

uma parte de sua carga para ele. Ambos ficam com

cargas de mesmo sinal.**

Eletrização por indução: *neste caso, uma separação

de cargas em um objeto condutor é induzida pela pre-

sença de um objeto carregado próximo, conforme mostrado nas figuras.*

O pente atrai os pedaços de papel por indução.


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O mesmo acontece com alguns tipos de lente de contato e de maquiagem e na pin-

tura eletrostática (veja https://youtu.be/f4kUJpEX_YQ e procure também o termo

em inglês, powder coating).

SOCRATIVE

E 1.2. Qual das afirmações abaixo é uma consequência da lei de conservação da

carga elétrica?

a. Em um sistema isolado, a diferença entre o número de cargas positivas e o

número de cargas negativas é constante.

b. Quando um sistema é examinado em instantes diferentes, o número total de

cargas pode ser diferente.

c. A energia de um sistema isolado é constante.

d. As cargas positivas e negativas de um sistema são quantizadas.

e. O número de partículas de um sistema isolado não pode mudar.

E 1.3. Qual das afirmações abaixo a respeito da carga elétrica em um objeto é ne-

cessariamente verdadeira? (corrija o que houver de errado nas falsas)

a. Um objeto positivamente carregado ganhou um excesso de prótons.

b. A carga de um objeto pode ter qualquer valor maior do que a carga elemen-

tar.

c. A carga de um objeto é sempre um número positivo.

d. Como os prótons são maiores, um próton pode ter uma carga elétrica maior

que a de um elétron.

e. A carga de um objeto é sempre um múltiplo inteiro da carga fundamental.

E 1.4. Complete a seguinte frase: Um isolante elétrico

a. Conduz bem calor, mas não conduz eletricidade.

b. Tem poucos elétrons disponíveis para conduzir eletricidade.

c. Não tem nenhum elétron disponível para conduzir eletricidade.

d. É sempre um bom isolante térmico.

https://youtu.be/f4kUJpEX_YQ


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E 1.5. Considere 3 esferas A, B e C, que podem ou não estar carregadas. Se A repele

B e B repele C podemos concluir que

a. As esferas A e C têm carga de mesmo sinal e B de sinal oposto.

b. As esferas A e B têm carga de mesmo sinal e C de sinal oposto.

c. As três esferas têm carga de mesmo sinal.

d. Mais experimentos são necessários para se determinar as relações de carga

entre as esferas.

E 1.6. Considere 3 esferas A, B e C, que podem ou não estar carregadas. Se A repele

B e B atrai C podemos concluir que

a. As esferas A e C têm carga de mesmo sinal e B de sinal oposto.

b. As esferas A e B têm carga de mesmo sinal e C de sinal oposto.

c. As três esferas têm carga de mesmo sinal.

d. Mais experimentos são necessários para se determinar as relações de carga

entre as esferas.

E 1.7. Qual das descrições abaixo se refere a um objeto com uma carga induzida?

a. Uma barra de vidro é friccionada com um pano de seda.

b. Um objeto negativamente carregado é colocado em contato com um condu-

tor inicialmente neutro. Ao serem separados, os dois objetos estão negati-

vamente carregados.

c. Um objeto positivamente carregado é aproximado de um isolante inicial-

mente neutro. A superfície do isolante mais próxima do objeto fica negati-

vamente carregada.

d. Você sente um leve choque elétrico ao segurar uma maçaneta em um dia se-

co.

1.4 FORÇA ELÉTRICA

A Lei de Coulomb descreve a força eletrostática entre pequenas cargas elétricas q1

e q2 em repouso e separadas por uma distância r,

onde k é uma constante, k = 9,0 x 109 N.m²/C².

A força é um vetor, ou seja, possui módulo, direção e sentido.

Princípio da superposição: **a força sobre uma carga é a soma vetorial das forças

de todas as cargas próximas sobre ela**.


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E 1.8. Duas esferas carregadas positivamente estão em suportes sobre uma mesa

sem atrito. A carga da esfera 2 é maior que a da esfera 1. Qual é o diagrama de for-

ças eletrostáticas correto?

E 1.9. Uma carga positivamente carregada permanece parada entre as partículas A

e B, como mostra a figura. A partícula está a um quarto da distância entre A e B. O

que podemos concluir a respeito do sinal das cargas A e B?

a. A e B tem cargas de mesmo sinal.

b. A e B tem cargas positivas.

c. A e B tem cargas negativas.

d. A tem carga positiva e B tem carga negativa.

e. A tem carga negativa e B tem carga positiva.

E 1.10. Duas esferas de chumbo idênticas, pequenas, são separadas pela distância

de 1 m. As esferas tinham originalmente a mesma carga positiva e a força entre

estas era de F0. Metade da carga de um esfera é então deslocada para a outra esfe-

ra. A força entre as esferas será: (Dica: dê valores para os parâmetros)

a. F0/4

b. F0/2

c. 3F0/4

d. 3F0/2

e. 3F0


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E 1.11. A figura a seguir mostra duas partículas

carregadas positivamente fixadas sobre o eixo x.

As cargas das partículas são q1 = 1,6 x 10-19 C e q2

= 3,2 x 10-19 C, e a separação entre elas é R = 2,0

cm. Quais são a intensidade, a direção e o sentido da força F12 da partícula 2 sobre

a partícula 1?

E 1.12. A configuração a seguir é igual à anterior

exceto pelo fato de que agora existe uma partícula

3 no eixo x entre as partículas 1 e 2. A partícula 3

tem uma carga q3 = -3,20 x 10-19 C e está a uma

distância da partícula 1. Determine a força eletrostática F1,tot exercida sobre a

partícula 1 pelas partículas 2 e 3.

E 1.13. Ainda sobre a situação anterior, retira-se a

carga 3 e acrescenta-se uma outra carga q4 = -3,2 x

10-19 C, que está a uma distância da partícula

1 e sobre uma reta que faz um ângulo q = 60° com

o eixo x. Mantém-se as partículas 1 e 2 na mesma

posição do exercício anterior. Determine a força

resultante sobre a carga 1 devido às cargas 2 e 4.

E 1.14. A ig. - a mostra duas part culas ixas

uma part cula de carga na origem e uma

part cula de carga em . m que

ponto (que na o esteja a uma dista ncia in inita das

cargas um pro ton pode ser colocado de modo a

ficar em equi (sem estar submetido a nenhu-

ma força O equil brio e esta vel ou insta vel (Ou seja, se o pro ton sofrer um pe-

queno deslocamento, as forças o fara o voltar a posiça o de equil brio?)

E 1.15. Na Fig. 21-10a, duas esferas condutoras iguais, A e B, esta o separadas por

uma dista ncia (entre os centros) muito maior que o raio das esferas. A esfera A tem

uma carga positiva e a esfera B e eletricamente neutra. nicialmente, na o existe

nenhuma força eletrosta tica entre as esferas (suponha que a carga induzida nas

esferas pode ser desprezada porque as esferas esta o muito afastadas).

(a) As esferas sa o ligadas momentaneamente por um io condutor su iciente-

mente ino para que a carga que se acumula no io possa ser desprezada.

ual e a força eletrosta tica entre as esferas depois que o io e removido?

(b) A esfera A e ligada momentaneamente a terra e, em seguida, a ligaça o com a

terra e removida. ual e a nova força eletrosta tica entre as esferas?


14

SOCRATIVE

E 1.16. A figura mostra quatro sistemas nos quais cinco par-t culas carregadas esta o dispos-tas ao longo de um eixo com es-paçamento uniforme. O valor da carga esta indicado para todas as part culas a na o ser a part cula central, que possui a mesma car-ga nos quatro sistemas. Coloque os sistemas na ordem do mo dulo da força eletrosta tica total exer-cida sobre a part cula central, em ordem decrescente. E 1.17. A figura mostra tre s pares de esferas iguais que sa o colocadas em contato e depois separadas. As cargas presentes inicialmente nas esferas esta o indicadas. Ordene os pares de acordo com o mo dulo da carga transferida quando as esferas sa o postas em contato. E 1.18. A figura mostra quatro sis-temas nos quais part culas carrega-das sa o mantidas fixas em um eixo. Em quais desses sistemas existe um ponto a esquerda das part culas no qual um ele tron estaria em equil brio? E 1.19. A figura mostra duas part culas carrega-

das em um eixo. As cargas te m liberdade para se

mover entretanto, e poss vel colocar uma terceira

part cula em um ponto tal que as tre s part culas iquem em equil brio.

sse ponto esta a esquerda das duas primeiras part culas, a direita ou entre elas

A carga da terceira part cula deve ser positiva ou negativa O equil brio e esta vel ou

insta vel?

E 1.20. Na figura, uma part cula central de carga – esta cercada por dois ane is

circulares de part culas carregadas. uais sa o o mo dulo e a orientaça o da força ele-

trosta tica total exercida sobre a part cula central pelas outras part culas? (Suges-

ta o: levando em conta a simetria do problema, e poss vel simpli icar consideravel-

mente os ca lculos.)


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E 1.21. Uma esfera positivamente carregada e colocada nas proximidades de um

condutor neutro inicialmente isolado e o condutor e colocado em contato com a

terra. O condutor fica carregado positivamente, carregado negativamente ou per-

manece neutro se a ligaça o com a terra e removida e, em seguida, a esfera e afasta-

da?

E 1.22. A figura mostra quatro sistemas de part culas carregadas. Ordene os siste-

mas de acordo com o mo dulo da força eletrosta tica total a que esta submetida a

part cula de carga , em ordem decrescente.

PARA SABER MAIS...

Um instrumento usado para determinar se um corpo possui carga elétrica é

o eletroscópio de folhas. Procure saber como ele funciona.

Duas aplicações semelhantes à pintura eletrostática são o recolhimento de

cinzas volantes em chaminés e a xerografia (mais conhecida como Xerox).

Procure saber como esses processos funcionam


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Achou interessante o efeito da pastilha de gaultéria? Então procure por tri-

boluminescence no YouTube ou veja https://youtu.be/hPtCvReouCM.

Vídeos: a seguir, uma sugestão de vídeos para as horas vagas. ;)

Eletricidade estática: http://youtu.be/vKJB6UJ17RA

Processos de eletrização: http://youtu.be/bZvCNYpjui0

Anel eletrostático voador: http://youtu.be/oE2P2R2L3io

(Este último vídeo é uma demonstração simples e divertida para se fazer com

as crianças.)

Nota histórica: Sabe quem que estabeleceu que o próton possui carga positiva e o

elétron carga negativa? Um sujeito chamado Ben Franklin. Vamos conhecer um

pouco sobre ele...

Benjamin Franklin (1706-1790)

Foi o 17º de 20 filhos de dois casamentos de seu pai;

Um dos líderes da Revolução Americana;

Foi uma figura representativa do Iluminismo;

Eleito membro da Royal Society;

Foi o primeiro ministro dos correios dos EUA;

Foi jornalista, editor, autor, filantropo, abolicionista,

funcionário público, cientista, diplomata, inventor, enxadrista, etc;

Deixou os estudos aos dez anos de idade e aos doze começou a trabalhar

como aprendiz do seu irmão.

https://youtu.be/hPtCvReouCM

http://youtu.be/vKJB6UJ17RA

http://youtu.be/bZvCNYpjui0

http://youtu.be/oE2P2R2L3io


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2. CAMPO ELÉTRICO

2.1 INTRODUÇÃO

No capítulo anterior estudamos a Lei de Coulomb e com isso aprendemos a anali-

sar a força que uma carga elétrica faz sobre outra. Neste capítulo vamos aprender

sobre o conceito de campo elétrico. Inicialmente, responda às perguntas a seguir.

Qual é o significado de campo na Física?

Um exemplo conhecido de campo é o campo gravitacional. Qual é a importância de

se estudar este conceito?

Que outros exemplos de campos físicos você conhece?

Iremos aplicar algumas ideias de integração daqui em diante, então tenha o livro

de Cálculo próximo para consultar se precisar!

Ao final do capítulo você será capaz de

Entender o conceito de campo elétrico.

Calcular o campo de uma carga pontual.

Estimar o campo próximo a uma molécula de água.

Explicar como funcionam as impressoras a jato de tinta.


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2.2 CAMPO ELÉTRICO

Ideia: como é possível um objeto exercer força à distância sobre outro objeto?

Def: o campo elétrico E em qualquer ponto é

definido como a força F sobre uma carga de

prova q0 dividida pelo módulo da carga.

Carga de prova: **pequena e positiva.

Unidade de campo elétrico:

Sentido do campo elétrico:

E 2.1. O campo elétrico é definido em termos de q0, uma pequena carga positiva.

Se, em vez disso, a definição for em termos de uma pequena carga negativa de

mesma intensidade, então, comparado com o campo original, o novo campo elétri-

co definido


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a. Apontará no mesmo sentido e terá a mesma intensidade.

b. Apontará no sentido oposto, mas terá a mesa intensidade.

c. Apontará no mesmo sentido e terá uma intensidade diferente.

d. Apontará no sentido oposto e terá uma intensidade diferente.

E 2.2. Uma partícula com carga Q = 1,0 mC está parada na origem. Para determinar

o campo elétrico gerado por essa carga em x = 1,0 m, uma estudante posicionou

uma carga de prova q01 = 1,0 mC nesse ponto.

(a) Qual foi o valor do campo elétrico encontrado pela estudante?

(b) Em seguida, ela substituiu a carga de prova por outra, de valor q02 = 2,0 mC.

Qual foi o valor do campo elétrico calculado dessa vez?

Por que a carga de teste tem que ser

pequena?

2.3 CAMPO DE UMA CARGA PONTUAL

A intensidade do campo elétrico E criado por uma carga pontual q a uma distância

r da carga é

Dem:

Direção e sentido do campo: O campo aponta ______________ de cargas positivas e

______________ de cargas negativas, e possui sempre direção ______________.

Princípio da superposição: *o campo em um ponto é a soma dos campos gerados

por cada uma das cargas próximas.


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E 2.3. Qual é o módulo da carga que cria um campo de 2,3 N/C a uma distância de

75,0 cm dela?

E 2.4. Uma carga pontual +q está posicionada na origem e uma carga pontual +2q

está posicionada em x = a, onde a é positivo. Qual das seguintes afirmações é ver-

dadeira?

a. Perto das cargas, o campo elétrico pode ser nulo fora do eixo x.

b. Perto das cargas, a intensidade do campo elétrico pode ser máxima fora do

eixo x.

c. O campo elétrico pode ser nulo em algum ponto entre as cargas.

d. O campo elétrico pode ser nulo sobre o eixo x em pontos finitos que não es-

tejam entre as cargas.

E 2.5. Ainda sobre a situação anterior, determine exatamente o ponto onde o cam-

po elétrico é nulo.

E 2.6. A figura mostra três partículas

de cargas q1 = +2Q, q2 = -2Q e q3 = -4Q,

todas situadas a uma distância d da

origem. Determine o campo elétrico

total E produzido na origem pelas três

partículas.


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2.4 CAMPO DEVIDO A UM DIPOLO ELÉTRICO

Um dipolo elétrico é... **formado por duas partículas de mesma carga q mas com

sinais contrários, separadas por uma pequena distância d.

O momento de dipolo p é um vetor que possui possui módulo qd e aponta da car-

ga negativa para a positiva.

Uma molécula de água pode ser modelada como um dipolo,

conforme mostrado na figura.

A intensidade do campo elétrico criado pelo dipolo em um

ponto distante situado sobre o eixo do dipolo (que passa por

ambas as cargas) é

Dem:

E 2.7. Calcule o momento de dipolo p (em C.m) de um dipolo formado por um elé-

tron e um próton que estão afastados de 4,30 nm.

a. 1,38 x 10-18

b. 6,88 x 10-19

c. 1,38 x 10-27

d. 6,88 x 10-28


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E 2.8. Calcule a intensidade do campo E devido a um dipolo elétrico de momento

de dipolo de 3,56 x 10-29 C.m em um ponto afastado 25,4 nm ao longo do eixo do

dipolo.

E 2.9. Considere uma carga q1 = 35 mC fixa na origem.

(a) Calcule o campo elétrico gerado pela carga em z = 3,0 cm.

(b) Calcule agora o campo gerado nesse mesmo ponto por um dipolo formado

por duas cargas de módulo |q| = 35 mC, com d = 0,5 mm e centrado na ori-

gem.

(c) Compare o valor dos campos gerados pela carga pontual e pelo dipolo. Ex-

plique por que o campo do dipolo é menor.

E 2.10. Vamos estimar o campo elétrico próximo a uma molécula de água.

(a) Como podemos modelar a molécula de água?

(b) Qual é o módulo de cada carga?

(c) Qual é o tamanho aproximado da molécula?

(d) Qual é o dipolo elétrico da água?

(e) Estime o campo a uma distância da molécula igual a 10 vezes o seu tama-

nho.

SOCRATIVE E 2.11. Na equação , o termo refere-se a qual carga?

a. À carga de prova.

b. À carga que gera o campo.

c. Depende do contexto.


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E 2.12. Na equação , o termo refere-se a qual carga?

a. À carga de prova.

b. À carga que gera o campo.

c. Depende do contexto.

E 2.13. a igura, duas part culas de carga –

esta o dispostas simetricamente em relaça o ao

eixo e produzem campos ele tricos em um ponto

situado no mesmo eixo. Qual é a direção e sen-

tido do campo total?

E 2.14. A figura mostra quatro siste-

mas nos quais quatro part culas carre-

gadas esta o uniformemente espaçadas

a esquerda e a direita de um ponto

central. Os valores das cargas esta o

indicados. Ordene os sistemas de acor-

do com o mo dulo do campo ele trico no

ponto central, em ordem decrescente.

E 2.15. A igura mostra duas part culas carregadas mantidas ixas em um eixo. m

que ponto do eixo pro ximo a s cargas o campo

ele trico e zero a esquerda das cargas, entre as

cargas ou a direita das cargas?

(Determine exatamente o ponto onde o campo é nulo, sabendo que a distância en-

tre as cargas é d)


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2.5 CAMPO ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGAS

Quando convém tratar as cargas elétricas como uma distribuição contínua?

Associamos a cada ponto uma densidade de carga, que representa a concentração

das cargas elétricas.

Três tipos de densidade de carga: 1.

2.

3.

O campo elétrico criado por um anel de carga ao longo do

seu eixo é

Dem:

E 2.16. Considere a intensidade do campo elétrico E(z) sobre o eixo de um anel

uniforme de cargas. O campo pode ser nulo quando

a. z = 0.

b. 0 < |z| < ∞

c. |z| = ∞

d. (a) e (c) estão corretas.

E 2.17. Considere a intensidade do campo elétrico E(z) sobre o eixo de um anel

uniforme de cargas. O campo terá o maior valor quando


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a. z = 0.

b. 0 < |z| < ∞

c. |z| = ∞


E 2.18. Ainda sobre a situação anterior, determine exatamente o ponto sobre o

eixo do anel onde o campo é máximo.

E 2.19. A igura mostra uma barra de pla stico com uma carga – uniformemente

distribu da. A barra tem a forma de um arco de circunfere ncia de de extensa o

e raio . Os eixos de coordenadas sa o escolhidos de tal forma que o eixo de simetria

da barra e o eixo x e a origem P esta no centro de curvatura do arco. Em termos de

Q e r, qual e o campo ele trico E produzido pela barra no ponto P?

O campo de um disco ao longo do seu eixo é

Dem:


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E 2.20. A barra da figura possui comprimento L e densidade linear de cargas l. De-

termine o campo a uma distância perpendicular y do ponto médio da barra.

SOCRATIVE

E 2.21. a igura, dois ane is circulares iguais,

na o condutores, te m os centros na mesma reta

perpendicular aos planos dos ane is. m tre s

sistemas, as cargas uniformes dos ane is A e B

sa o, respectivamente, (1) q0 e q0, (2) –q0 e –

q0; (3) –q0 e q0. Ordene os sistemas de acordo

com o mo dulo do campo ele trico total no ponto P1.

E 2.22. A figura mostra dois discos e um anel plano, todos com a mesma carga uni-

forme Q. Ordene os objetos de acordo com o mo dulo ele trico criado no ponto P (si-

tuado a mesma dista ncia vertical nos tre s casos), em ordem decrescente.

E 2.23. a igura, uma barra de pla stico circular, com uma carga ele trica uniforme

+Q, produz um campo ele trico de mo dulo E no centro de curvatura da barra (situa-

do na origem . Ainda na igura, outras barras circulares, todas com a mesma forma

e a mesma carga que a primeira, sa o acrescentadas ate que a circunfere ncia ique

completa. Ordene os arranjos de acordo com o mo dulo do campo ele trico no centro

de curvatura, em ordem decrescente.


27

2.6 LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO

Linhas de campo elétrico *fornecem uma forma de visualizar da direção e da in-

tensidade de campos elétricos.

Direção: **o vetor campo elétrico é tangente a uma linha de campo que passa por

esse ponto.

Intensidade: *a densidade de linhas de campo em qualquer região é proporcional

à intensidade do campo elétrico nessa região.

Sentido: as linhas de campo __________________ de cargas positivas e __________________

em cargas negativas.

Linhas de campo de cargas pontuais


28

O campo elétrico no ponto A da figura da esquerda é nulo ou diferente de zero?

E 2.24. A figura ao lado é um esboço das linhas de

campo de duas cargas pontuais +2q e -q. Você concor-

da com a forma como as linhas foram desenhadas?

Justifique e argumente.


29

E 2.25. Considere as linhas de

campo ao lado. Assumindo que

não há cargas nas regiões mos-

tradas, quais das figuras repre-

sentam campos eletrostáticos?

a. Apenas i

b. Apenas ii

c. ii e iv

d. i e iii

e. ii e iii

E 2.26. O diagrama abaixo mostra as linhas de campo formadas por duas placas

carregadas, uma acima da outra. É correto afirmar que:

a. A placa de cima tem carga positiva.

b. Um próton em X sofrerá a mesma força que um próton em Z.

c. Um próton em X sofrerá uma força maior que um próton na posição Z.

d. Um próton em Y sofrerá a mesma força que um elétron em Z.

e. É possível que a força elétrica de um elétron em X cancele a força gravita-

cional.

2.7 UMA CARGA EM UM CAMPO ELÉTRICO

Quando uma carga pontual q é colocada em um campo elétrico E criado por outras

cargas, a força eletrostática F que atua sobre a carga pontual é

A força F possui a mesma ____________________ e o mesmo ____________________ de E se q

for ____________________ e a mesma ____________________e ____________________contrário se q

for ____________________.


30

IMPRESSORAS JATO DE TINTA

A necessidade de impressoras mais ra pidas

e de alta resoluça o levou os fabricantes a procurar

alternativas para a impressa o por impacto usada

nas antigas ma quinas de escrever. Uma das so-

luço es encontradas foi o emprego de campos e-

le tricos para controlar o movimento de pequenas

gotas de tinta. Alguns modelos de impressoras jato

de tinta utilizam este sistema.

A figura do exercício a seguir mostra uma gota de tinta negativamente car-

regada que se move entre duas placas defletoras usadas para criar um campo e-

le trico uniforme, dirigido para baixo. A gota e desviada para cima e atinge o papel

em uma posiça o que depende do mo dulo de E e da carga q da gota.

a pra tica, o valor de E e mantido constante e a posiça o da gota e determi-

nada pela carga q fornecida a gota por uma unidade de carregamento pela qual a

gota passa antes de entrar no sistema de de lexa o. A unidade de carregamento, por

sua vez, e controlada por sinais eletro nicos que de inem o texto ou desenho a ser

impresso.

E 2.27. Um elétron é acelerado no sentido leste a 1,84 x 109 m/s² por um campo

elétrico. Determine a intensidade, a direção e o sentido do campo elétrico.

E 2.28. A figura mostra as placas defle-

toras de uma impressora a jato de

tinta. Uma gota de tinta com massa m =

1,3 x 10-10 kg e uma carga negativa q = -

1,5 x 10-13 C penetra na região entre as

placas, movendo-se inicialmente na

direção horizontal (eixo x) com uma

velocidade vx = 18 m/s. O comprimento

L de cada placa é 1,6 cm. As placas estão

carregadas e, portanto, produzem um campo elétrico uniforme dirigido vertical-

mente para baixo com valor 1,4 x 106 N/C na região entre as placas. Qual é a defle-

xão vertical da gota ao deixar a região entre as placas? Despreze a força gravitacio-

nal sobre a gota.


31

RUPTURA DIELÉTRICA E CENTELHAMENTO

uando o mo dulo do campo ele trico no ar

excede um valor cr tico Ec, o ar sofre uma

, processo no qual o campo arranca e-

le trons de a tomos do ar. om isso, o ar se torna um

condutor de corrente ele trica, ja que os ele trons

arrancados sa o postos em movimento pelo campo.

Ao se moverem, esses ele trons colidem com outros

a tomos do ar, fazendo com que emitam luz. Pode-

mos ver o caminho percorrido pelos ele trons graças

a luz emitida, que recebe o nome de centelha. A fi-

gura mostra as centelhas que aparecem na extre-

midade de condutores meta licos quando os campos ele tricos produzidos pelos ios

provocam a ruptura diele trica do ar.

2.8 UM DIPOLO EM UM CAMPO ELÉTRICO

Quando um dipolo elétrico com momento de di-

polo p é colocado em um campo E, o campo exer-

ce um torque sobre o dipolo

O dipolo possui uma energia potencial U associa-

da com sua orientação no campo

E 2.29. Um dipolo elétrico consiste de cargas +2e e -2e separadas por 0,78 nm. Ele

está perpendicular a um campo elétrico de intensidade 3,4 x 106 N/C.

(a) Faça um diagrama representando a situação.

(b) Determine o momento de dipolo.

(c) Calcule o torque sobre o dipolo.


32

(d) Calcule a variação da energia potencial do dipolo quando ele gira até ficar

paralelo ao campo.

SOCRATIVE

E 2.30. A igura mostra tre s con iguraço es de campo ele trico, representadas por

linhas de campo. as tre s con iguraço es, um pro ton e liberado no ponto A a partir

do repouso e acelerado pelo campo ele trico ate o ponto B. A dista ncia entre A e B e

a mesma nas tre s con iguraço es. Ordene as con iguraço es de acordo com o mo dulo

do momento linear do pro ton no ponto B, em ordem decrescente.

E 2.31. Um equipamento utilizado para defesa antimíssil dispara um feixe de pró-

tons que podem tornar um míssil inofensivo. Esses feixes de prótons são acelera-

dos a partir do repouso por campos elétricos produzidos pelo equipamento. Qual a

aceleração que um próton experimenta, se o campo elétrico é de 2,15 x 104 N/C?

E 2.32. Na figura um dipolo está num campo elétrico uniforme. O que acontece

quando o dipolo se alinha com o campo?

a. A energia total do dipolo é maior que no instante inicial.

b. A energia total do dipolo é menor que no instante inicial.

c. A energia potencial do sistema é a mesma do instante inicial.

d. A energia potencial do sistema é maior que no instante inicial.

e. A energia potencial do sistema é menor que no instante inicial.

E 2.33. As energias potenciais associadas a quatro orientaço es de um dipolo e-

le trico em relaça o a um campo ele trico sa o (1) –5 U0; (2) –7 U0; (3) 3 U0; (4) 5 U0,

em que U0 e uma constante positiva. Ordene as orientaço es de acordo

(a) com o a ngulo entre o momento dipolar p e o campo ele trico E; em ordem

decrescente.

(b) com o mo dulo do torque exercido pelo campo sobre o dipolo, em ordem de-

crescente.


33

E 2.34. a igura, um ele tron e atravessa um pequeno

orif cio da placa A e se dirige para a placa B. Um cam-

po ele trico uniforme na regia o entre as placas desace-

lera o ele tron sem mudar sua trajeto ria. ual e a di-

reça o e sentido do campo?

PARA SABER MAIS...

Campos elétricos muito intensos podem provocar uma ruptura dielétrica.

Procure saber o que é esse fenômeno, como ele é provocado e como pode

ser induzido/evitado.


Como funciona o microondas: http://youtu.be/Gc5xbEQ1QTY

O experimento de Milikan: http://youtu.be/Fk_ZQQsAkSo

(O experimento de Milikan é um dos experimentos mais famosos da Física,

pois permitiu determinar pela primeira vez a carga do elétron. Esse experimento

rendeu o Prêmio Nobel ao Milikan)

Nota histórica: Estudamos neste capítulo a Lei de Coulomb, uma das leis básicas

do Eletromagnetismo. Vamos conhecer um pouco mais sobre o homem que estu-

dou essa lei.

Charles A. Coulomb (1736-1806)

• Coulomb foi um físico francês;

• Sua maior contribuição para a ciência foi na área da ele-

trostática e do magnetismo;

• Verificou que a força entre duas cargas elétricas varia

com o inverso do quadrado da distância entre elas (re-

lação conhecida depois como Lei de Coulomb);

• Também trabalhou na área de mecânica estrutural, in-

vestigando a resistência de materiais;

• Na área da ergonomia, ajudou a entender os modos pelos quais pessoas e

animais podem realizar o máximo de trabalho

• Seu nome é um dos 72 nomes inscritos na Torre Eiffel.

http://youtu.be/Gc5xbEQ1QTY

http://youtu.be/Fk_ZQQsAkSo


34

3. LEI DE GAUSS

3.1 INTRODUÇÃO

No capítulo anterior, estudamos um pouco sobre o campo elétrico, e começamos a

perceber a importância desse conceito no Eletromagnetismo. Neste capítulo, va-

mos desenvolver melhor esse assunto, explorando algumas ideias de simetria.

Inicialmente, responda às perguntas seguintes:

Qual (ou quais) limitação você percebe em relação à Lei de Coulomb?

O que você entende por fluxo? Descreva algumas situações em que esse conceito

aparece.

Procure lembrar-se de situações em que você usou a simetria (na Física, Engenha-

ria, etc) para simplificar a resolução de um problema.


• Entender o conceito de fluxo elétrico.

• Aplicar a Lei de Gauss a situações com simetria.

• Estimar o campo entre as placas de um capacitor.

• Explicar como funciona a blindagem eletrostática.


35

3.2 O FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL

Costumamos associar a ideia de fluxo a movimento, ou seja, transporte de uma de-

terminada substância através de uma região.

Exemplos de fluxo: **ar, água, pessoas, trânsito, sanguíneo, caixa, informação, ca-

lor, etc

Observe que alguns desses fluxos envolvem transporte real de uma substância, en-

quanto em outros não há transporte real de algo.

Vetor normal:

Vetor área:

Superfície aberta ou fechada?

Definição de fluxo na Física:

Quais são os elementos importantes da definição de fluxo?


36

3.3 O FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO

Definição de fluxo elétrico

Fluxo em uma superfície fechada

Fluxo das linhas de campo

Unidade de fluxo elétrico

E 3.1. A figura mostra uma super-

f cie gaussiana com a forma de um

cilindro de raio R imersa em um

campo ele trico uniforme E, com o

eixo do cilindro paralelo ao campo.

ual e o luxo do campo ele trico

atrave s dessa superf cie fechada?

E 3.2. Um campo elétrico varia no espaço na forma E = 400y k. Qual é o fluxo na

superfície quadrada no plano xy descrita por ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 3


37

É possível relacionar o fluxo elétrico com a carga envolvida

pela superfície?

E 3.3. Vamos calcular o fluxo elétrico de uma carga pontual q na origem sobre uma

esfera de raio r concêntrica.

Sobre o exercício anterior, observe que o fluxo não depende:

1. *do raio da esfera

2. da forma da superfície que envolve a carga

3. das cargas que estejam fora da superfície, apenas das cargas no seu interior

Observe também que ____________ é diferente de _____________________! *Fluxo, campo

3.4 LEI DE GAUSS

Definimos uma superfície gaussiana como uma superfície

1.

2.

3.

*Fechada Imaginária Tridimensional

A superfície gaussiana é usada para determinar o campo elétrico de uma

distribuição de cargas através da Lei de Gauss.

Lei de Gauss: *O fluxo elétrico em uma superfície gaussiana é igual à carga total

envolvida pela superfície


38

Simetria

Observe a figura ao lado e aplique qualitativamente

a Lei de Gauss em cada uma das superfícies.

S1

S2

S3

S4

E 3.4. A igura mostra cinco pedaços de

pla stico eletricamente carregados e uma

moeda neutra. A igura mostra tambe m uma

superf cie gaussiana S vista de per il. ual e o

luxo ele trico que atravessa a superf cie S se q1

= q4 = +3,1 nC, q2 = q5 = -5,9 nC e q3 = -3,1 nC?

E 3.5. Um campo elétrico não uniforme dado

por E = 3,0xi + 4,0j (com E em N/C e x em m)

atravessa o cubo da figura. Qual é o fluxo elé-

trico

(a) Determine a carga total envolvida pelo

cubo.

(b) Você consegue dizer como a carga está

distribuída dentro do cubo?


39

SOCRATIVE

E 3.6. Qual dessas não é uma superfície gaussiana possível?

a. Um cilindro fechado cujo eixo de simetria está no eixo y.

b. Um cilindro fechado posicionado arbitrariamente no espaço.

c. Um plano infinito.

d. Uma superfície fechada assimétrica.

E 3.7. Uma carga pontual q é colocada na origem. Uma superfície gaussiana

esférica S1 está concêntrica à carga, enquanto a superfície gaussiana esférica S2

está com seu centro deslocado da origem. A carga está envolvida pelas duas

superfícies. O que se pode afirmar sobre o módulo do campo elétrico e os fluxos 1

e 2 sobre as superfícies S1 e S2, respectivamente?

a. O campo é uniforme apenas em S1, e .

b. O campo é uniforme apenas em S2, e .

c. O campo é uniforme nas duas superfícies, e .

d. O campo é uniforme apenas em S1, e 1 ≠ 2.

e. O campo é uniforme apenas em S2, e 1 ≠ 2.

f. O campo é uniforme nas duas superfícies, e 1 ≠ 2.

E 3.8. A figura mostra, em seção reta, duas esferas

gaussianas e dois cubos gaussianos no centro dos quais

existe uma partícula de carga positiva.

(a) Coloque as quatro superfícies gaussianas na ordem

do fluxo elétrico que as atravessa, começando pelo

maior.

(b) Coloque as quatro superfícies gaussianas na ordem

do módulo do campo elétrico em qualquer ponto da superfície, começando

pelo maior, e informe se os módulos são uniformes ou variam de ponto para

ponto da superfície.

E 3.9. Uma carga q está posicionada fora de uma superfície gaussiana S qualquer.

Não há nenhuma outra carga na região. O que podemos afirmar sobre o módulo do

campo elétrico E em qualquer ponto da superfície de S e o fluxo elétrico sobre

ela?

E = 0 e = 0.

E ≠ e = 0.

E = 0 e ≠ .

E ≠ e ≠ .


40

3.4 APLICANDO A LEI DE GAUSS: SIMETRIA CILÍNDRICA

Vamos usar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico próximo a um fio

muito longo.

Considerações de simetria

Escolha da superfície gaussiana

Aplicação da Lei de Gauss

E 3.10. Um fio de 1,0 metro de comprimento e 5,0 mm de diâmetro possui uma

carga de Q = 35,0 nC uniformemente distribuída pelo fio. Determine a intensidade

do campo elétrico a uma distância de 2,0 cm do eixo do fio.

3.5 APLICANDO A LEI DE GAUSS: SIMETRIA PLANAR

Vamos agora usar A Lei de Gauss para determinar o campo próximo a uma

superfície plana.



41



E 3.11. Uma chapa isolante de 1,0 m² recebe uma carga de 80 mC, que é

distribuída uniformemente sobre a placa. Estime o campo elétrico a

(a) 5,0 mm do centro da chapa.

(b) 10 m do centro da chapa.

E 3.12. A densidade de carga superficial vale + para a placa 1 e – para a placa 2.

A magnitude do campo gerado pela placa 1 vale /20 e o campo gerado por essa

placa é mostrado. Quando as duas placas são posicionadas paralelamente, a

magnitude do campo será

a. /0 entre as placas, 0 fora.

b. /0 entre as placas, ±/20 fora.

c. Zero entre e fora das placas.

d. ±/20 entre e fora das placas.

e. Nenhuma das alternativas anteriores.


42

SOCRATIVE

E 3.13. Nas figuras abaixo, a circunferência tracejada representa uma superfície

gaussiana, e as setas representam linhas de campo elétrico. Em qual ou quais dos

quatro casos o fluxo através da curva gaussiana é diferente de zero?

a. A e B

b. C e D

c. A

d. D

e. Todas

E 3.14. Considere as três cargas mostradas nas figuras A e B. Os valores das cargas

são C, C e C. Na figura A,

uma superfície gaussiana envolve a carga ; no desenho B, a superfície gaussiana

envolve as três cargas. O fluxo através da superfície gaussiana na figura A é maior,

menor ou igual ao fluxo na superfície da figura B?

a. Maior

b. Menor

c. Igual

E 3.15. A figura da esquerda mostra duas placas paralelas não condutoras. A

densidade superficial de carga da placa da esquerda, que está positivamente

carregada, é 1,5 vez maior que a da placa da direita, que está negativamente

carregada. Qual das figuras da direita mostra corretamente os campos elétricos nas

três regiões?


43

a. A

b. B

c. C

d. D

3.7 APLICANDO A LEI DE GAUSS: CONDUTORES

Vamos agora aplicar a Lei de Gauss para determinar o campo em um objeto

condutor.


O campo deve ser nulo dentro do condutor pois




44

Qual é a diferença entre essa situação e o caso de simetria planar?

E 3.16. Uma esfera oca metálica de raio externo b, raio

interno a e carga total nula possui em seu centro uma

esfera metálica de raio R e carga total +q. Qual será a

carga total distribuída na superfície interna (raio a) da

esfera oca?

a. -q

b. 0

c. +q

d. +2q

e. +3q

E 3.17. Ainda sobre a situação anterior, qual será a carga total distribuída na

superfície externa (raio b) da esfera oca?

a. -q

b. 0

c. +q

d. +2q

e. +3q

E 3.18. Ainda sobre a situação anterior, qual será a carga total na esfera oca?

a. -q

b. 0

c. +q

d. +2q

e. +3q

E 3.19. A figura mostra uma seção reta de uma casca

metálica esférica de raio interno R. Uma carga pontual de -

5mC está situada a uma distância R/2 do centro da casca. Se a

casca é eletricamente neutra, quais são as cargas (induzidas)

na superfície interna e na superfície externa? Essas cargas

estão distribuídas uniformemente? Qual é a configuração do

campo elétrico do lado de dentro e do lado de fora da casca?


45

3.8 APLICANDO A LEI DE GAUSS: SIMETRIA ESFÉRICA

Finalmente, vamos aplicar a Lei de Gauss em uma situação com simetria esférica.




E 3.20. Uma carga q = 73 nC é distribuída uniformemente sobre uma casca esférica

de raio R = 10 cm de espessura desprezível. Determine o campo elétrico em pontos


46

(a) No interior da casca.

(b) No exterior da casca

(c) Compare os resultados obtidos com o campo gerado por uma carga pontual

de mesmo módulo q.

E 3.21. Uma carga q = 45 nC está uniformemente distribuída em uma esfera não-

condutora de 2,0 cm de raio. Determine o campo elétrico a uma distância de

(a) 1,5 cm do centro da esfera.

(b) 3,0 cm do centro da esfera.

(c) O que mudaria se a esfera fosse condutora?

3.9 GAIOLA DE FARADAY

A ____________________ ____________________, também conhecida como Gaiola de Faraday,

é o

Ela acontece por causa


47

Esse efeito vai ser observado se a gaiola for feita de material não condutor?

3.10 LEI DE GAUSS E LEI DE COULOMB

Equivalência da Lei de Gauss e da Lei de Coulomb

Em qual situação cada lei pode ser usada?

Lei de Gauss Lei de Coulomb


48

SOCRATIVE

E 3.22. Podemos afirmar corretamente que o campo elétrico no interior de um

condutor

a. nunca é zero.

b. é sempre zero.

c. só pode ser diferente de zero se as cargas no interior do condutor estiverem

em movimento.

d. só pode ser diferente de zero se existirem cargas em excesso na superfície

do condutor.

E 3.23. Uma partícula de carga Q está no interior de uma casca condutora fina e

esférica, de raio R, a uma distância R/2 do centro da casca, como mostra a figura.

Qual é o valor do campo elétrico a uma

distância 3R da partícula?

a.

b.

c.

d.

E 3.24. Por que o campo elétrico na superfície de um condutor deve ser

perpendicular à superfície?

a. Porque, em um condutor, todas as cargas em excesso se acumulam na

superfície.

b. Porque o fluxo é sempre perpendicular à superfície.

c. Porque, se não fosse perpendicular, as cargas da superfície estariam em

movimento.

d. Porque as linhas de campo elétrico de uma carga pontual são radiais.

E 3.25. Sobre a aplicação da Lei de Coulomb e da Lei de Gauss, qual afirmação é

verdadeira?

a. A Lei de Coulomb é mais geral e a Lei de Gauss é mais restrita, pois só é

aplicável em situações de simetria.

b. A Lei de Coulomb é mais restrita e a Lei de Gauss é mais geral, pois o

conceito de fluxo é bastante amplo.

c. A Lei de Coulomb só pode ser aplicada em situações que a Lei de Gauss não

pode, e vice-versa.

d. A Lei de Coulomb e a Lei de Gauss podem ser aplicadas em qualquer

situação, mas sua praticidade varia com a situação.


49

PARA SABER MAIS...

O gerador de van de Graaff é uma das montagens mais conhecidas da Física.

Usando a Lei de Gauss, é possível explicar como funciona o processo de car-

regamento da cúpula do gerador. Procure mais informações a respeito.


Gerador de van de Graaff: https://youtu.be/uNR5WE_EXEU

Avião sendo atingido por raios: http://youtu.be/--pF9h59Zv4

Gaiola de Faraday: http://youtu.be/npGJrp_NxKY

Nota histórica: Estudamos e aplicamos a Lei de Gauss, então nada mais natural do

que conhecer um pouco mais sobre...

Johann C. F. Gauss (1777 – 1855)

Conhecido como o Príncipe dos Matemáticos;

Aos 3 anos, apontou um erro em cálculos aritméticos

realizados por seu pai;

Aos , “descobriu” a progressão aritmética;

Aos 19, descobriu como construir um polígono regular

de 17 lados com régua e compasso;

Aos 22, demonstrou o teorema fundamental da álgebra;

Aos 24 revolucionou a teoria dos números com o teorema fundamental da

aritmética;

Construiu o primeiro telégrafo, além de muitas outras realizações.

https://youtu.be/uNR5WE_EXEU

http://youtu.be/--pF9h59Zv4

http://youtu.be/npGJrp_NxKY


50

4. POTENCIAL ELÉTRICO

4.1 INTRODUÇÃO

No capítulo anterior estudamos a Lei de Gauss, que é uma forma interessante de

obter o campo elétrico em situações com alto nível de simetria. Agora, vamos

abordar o conceito de potencial elétrico.

Inicialmente, responda às perguntas.

O que você entende por potencial elétrico?

Qual é a importância desse conceito na Engenharia?

Em que situações no seu trabalho você lida com tensão elétrica?

De onde surge a ideia de potencial elétrico, ou diferença de potencial?


Entender o conceito de diferença de potencial.

Calcular o potencial próximo a uma distribuição de cargas.

Estimar o potencial na cúpula de um gerador de van de Graaff.

Explicar como funciona o para-raios.


51

4.2 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA

E 4.1. Uma bola de tênis se move de um ponto a até um ponto

b por dois caminhos diferentes, ’ e ’’, conforme mostrado na

figura. Em qual situação a variação da energia potencial gravi-

tacional da bola é maior?

a. uando ela se move pelo caminho ’.

b. Quando ela se move pelo caminho ’’.

c. A variação é a mesma nos dois caminhos.

A força gravitacional é uma força _______________________... e a força elétrica também!

(ambas variam com o inverso do quadrado da distância)

Uma carga se move em uma região com campo elétrico de um ponto A até B por um

caminho C1. Para isso é necessário realizar um trabalho sobre a carga. Se a mesma

carga for transportada novamente de A até B por um caminho C2 maior que C1, o

trabalho realizado sobre ela será _______________ _____ primeiro caso.

Energia potencial elétrica

E 4.2. O campo elétrico em uma região é E = 10,0 N/C i. Uma carga q = 8,0 nC se

move contra o campo, paralelamente a ele e com velocidade constante, devido à

ação de um agente externo.

(a) Determine o trabalho realizado pelo campo sobre essa carga quando ela

percorre uma distância d = 15 cm.

(b) Determine o trabalho realizado pelo agente externo.

(c) A energia potencial elétrica da carga aumentou ou diminuiu?

(d) Substitua a carga q por outra com o dobro do módulo, q’ = 6, n , e calcule

novamente o trabalho realizado pelo agente externo.

(e) Compare suas respostas das letras b) e d).


52

4.3 POTENCIAL ELÉTRICO

A diferença de potencial V entre dois pontos A e B é definida como

Unidade

Elétron-volt

Diferença de potencial ou potencial absoluto?

Definição do referencial

Muitas vezes o referencial é escolhido como sendo um ponto no _____________________.

E 4.3. Uma partícula com carga q é forçada a se mover em um campo elétrico de

forma que ela adquire um potencial de 1,0 V. Se uma partícula com carga 2q se

mover pelo mesmo percurso sob a ação do mesmo campo, o potencial dessa

partícula será

a. 0,25 V

b. 0,5 V

c. 1,0 V

d. 2,0 V

e. 4,0 V

E 4.4. Durante a descarga de um raio numa tempestade, a diferença de potencial

entre a nuvem e o chão é em torno de 1,0 GV e a quantidade de carga transferida é

em torno de 30 C.

(a) Qual é a energia liberada nesse relâmpago?

(b) O valor da energia encontrada na letra (a) é muito grande, o suficiente para

torrar um carro (ou qualquer outra coisa que estivesse no caminho).

Entretanto, não é isso que nós observamos. Explique essa contradição.


53

4.4 CÁLCULO DO POTENCIAL A PARTIR DO CAMPO

Se conhecemos o campo elétrico E em uma região, podemos determinar o

potencial V da seguinte forma:

E 4.5. A figura mostra dois pontos i e f de uma regia o onde existe um campo e-

le trico uniforme E. A reta que une os pontos é paralela ao campo, e estão separados

por uma dista ncia d.

(a) etermine a diferença de potencial V deslocando uma carga de prova posi-

tiva q0 do ponto i ate o ponto f ao longo da trajeto ria indicada, que e paralela

a direça o do campo.

(b) etermine a diferença de potencial V deslocando a carga de prova positiva

q0 de i para f ao longo da trajeto ria icf mostrada na figura à direita.


54

SOCRATIVE

E 4.6. A energia potencial elétrica é análoga à energia potencial gravitacional. Isso

acontece porque a força elétrica e a força gravitacional

a. são forças atrativas.

b. são forças fundamentais.

c. são forças conservativas.

d. podem ser forças atrativas ou repulsivas.

e. dependem da massa das partículas.

E 4.7. Um elétron, cuja carga é 1,60 × 10−19 C, é liberado, a partir do repouso, em

um campo elétrico uniforme cujo módulo é 120 N/C. A distância do elétron à fonte

do campo é de 2,0 cm. Qual é a energia potencial no instante em que é liberado, em

joules?

a. 7,20 × 10−8

b. 1,93 × 10−17

c. 1,33 × 10−18

d. 2,13 × 10−20

e. 3,11 × 10−21

f. Não há informações suficientes para responder.

E 4.8. A figura mostra tre s trajeto rias ao longo

das quais podemos deslocar a esfera A,

positivamente carregada, aproximando-a da

esfera B, tambe m positivamente carregada, que

e mantida ixa no lugar. Ordene as trajeto rias de

acordo com o trabalho realizado pela força

externa sobre a carga A para aproximá-la da carga B.

E 4.9. As linhas de campo elétrico estão mais juntas perto do objeto A do que

aquelas que estão perto do objeto B. Pode-se concluir que

a. O potencial perto de A é maior que o potencial perto de B.

b. O potencial perto de A é menor que o potencial perto de B.

c. O potencial perto de A é igual ao potencial perto de B.

d. Nada se pode afirmar a respeito dos potenciais perto de A e B

E 4.10. Um elétron é liberado a partir do repouso em uma região do espaço com

um campo elétrico não nulo. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

a. O elétron começará a se mover em direção à região de maior potencial.

b. O elétron começará a se mover em direção à região de menor potencial.

c. O elétron começará a se mover ao longo da linha de potencial constante.

d. Nada pode ser concluído a não ser que a direção e o sentido do campo sejam

conhecidos.


55

4.5 POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL

O potencial de uma carga pontual é dado por

Dem:

E 4.11. Duas cargas de prova são trazidas separadamente para a vizinhança de

uma carga +Q. Primeiramente, a carga de prova +q é trazida para o ponto A, que

está a uma distância r de +Q. Em seguida, a carga +q é removida e uma carga +2q é

levada até o ponto B, a uma distância 2r de +Q. Comparado ao potencial da carga

em A, o potencial da carga em B é

a. Maior.

b. Menor.

c. Igual.

E 4.12. Vamos analisar o potencial próximo à cúpula de um gerador de Van de Graaff.

(a) Uma esfera condutora de raio R possui carga Q uniformemente distribuída em sua superfície. Determine o campo elétrico em qualquer ponto dentro e fora da esfera.

(b) Determine o potencial em qualquer ponto dentro e fora da esfera e tomando o infini-to como referencial.

(c) A rigidez dielétrica do ar é de cerca de . Considere um gerador de Van de Graaf cuja cúpula possui raio R = 30 cm e o campo na sua superfície é de metade do valor da rigidez dielétrica do ar. Calcule o potencial elétrico na superfície do gerador.


56

4.6 POTENCIAL DE UM GRUPO DE CARGAS

Princípio da superposição

Potencial de um dipolo elétrico


57

E 4.13. É necessário 1 mJ de trabalho para mover duas cargas positivas idênticas

+q do infinito para que fiquem separadas pela distância a. Quanto trabalho, em mJ,

é necessário para mover três cargas positivas idênticas +q do infinito para que

fiquem dispostas nos vértices de um triângulo equilátero de lado a?

a. 2

b. 3

c. 4

d. 9

E 4.14. A figura mostra um par de partículas carregadas que estão a uma distância

d entre si, considerando a origem na carga negativa. Considere V = 0 no infinito.

(a) Em que ponto no eixo x o

potencial total é nulo?

(b) O campo elétrico também é zero

nesse ponto?

4.7 POTENCIAL DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA

Assim como vimos no estudo de campo elétrico, em algumas situações precisamos

analisar o sistema como uma distribuição contínua de carga.

Linha de carga


58

Disco de carga

SOCRATIVE

E 4.15. Uma carga pontual +q é posicionada na origem, e uma carga pontual +2q é

posicionada em , onde a é positivo. Considere que V(∞ = . ual das

seguintes afirmações é verdadeira?

a. Perto das cargas, o potencial elétrico pode ser nulo fora do eixo x.

b. A intensidade do potencial elétrico será máximo sobre o eixo x.

c. O potencial elétrico pode ser nulo nas regiões entre as cargas.

d. O potencial elétrico pode ser nulo apenas sobre o eixo x.

Ex 4.6: Na figura ao lado oito partículas formam

um quadrado com uma distância d entre as

partículas vizinhas. Qual é o potencial P no centro

do quadrado se o potencial é zero no infinito?

E 4.16. Na figura abaixo os três sistemas (a carga

pontual, o arco de 40º e a circunferência) possuem

a mesma carga Q. Ordene as tre s situaço es de

acordo com o mo dulo do potencial ele trico no ponto P, começando pelo maior.

Considere o referencial no infinito.


59

E 4.17. Ainda sobre a situaça o anterior, ordene os tre s sistemas de acordo com o

mo dulo do campo ele trico no ponto P, começando pelo maior.

4.8 CÁLCULO DO CAMPO A PARTIR DO POTENCIAL

Sabemos que a partir do campo elétrico, conseguimos determinar a diferença de

potencial entre dois usando a expressão .

Por outro lado, podemos também determinar o campo elétrico se conhecemos o

potencial numa região do espaço.

Em uma dimensão...

Em três dimensões...


60

E 4.18. Dado o potencial V(x, y, z) = 3xy + 4z² - 9, determine o campo elétrico no

ponto (1, 0, 0).

E 4.19. O potencial ele trico em um ponto do eixo central de um disco uniforme-

mente carregado e dado por

A partir dessa equaça o, determine uma expressa o para o campo ele trico em qual-

quer ponto do eixo do disco.

E 4.20. Duas placas metálicas grandes, paralelas, com espaçamento de 1,48 cm

possuem cargas de mesma intensidade, mas de sinais contrários sobre as

superfícies que se faceiam. A placa negativa é aterrada e seu potencial é assumido

como nulo. Se o potencial a meio caminho entre as placas é de +5,52 V, qual o

campo elétrico nesta região?

4.9 SUPERFÍCIE EQUIPOTENCIAL

Uma superfície equipotencial é

Trabalho ao movimentar uma carga em superfícies equipotenciais.


61

Condição que o campo elétrico deve obedecer sobre uma superfície equipotencial

Exemplos

E 4.21. A figura mostra três conjuntos de superfícies equipotenciais vistas de

perfil; os três conjuntos cobrem a mesma região do espaço. Ordene os conjuntos de

acordo com o módulo do campo elétrico existente na região, começando pelo

maior.


62

4.10 POTENCIAL DE UM CONDUTOR

O potencial em um condutor é _______________________ pois o campo elétrico em seu

interior deve ser _______________________.

Gráficos

Se dois objetos são conectados, haverá transferência de cargas entre eles até que

E 4.22. Duas esferas condutoras de raios a e b, com b > a, são conectadas por um

fio metálico muito longo, de forma que elas ficam bem afastadas uma da outra.

Uma carga positiva Q é inicialmente colocada na esfera de raio a e, após um certo

tempo, a carga se redistribui no sistema, atingindo um estado de equilíbrio. Qual

delas terá maior potencial elétrico? Considere V = 0 no infinito.

a. A esfera de raio a.

b. A esfera de raio b.

c. Elas tem o mesmo potencial elétrico.


63

E 4.23. Ainda sobre a situação anterior, qual das esferas terá maior carga?

a. A esfera de raio a.

b. A esfera de raio b.

c. Elas tem a mesma carga

4.11 O EFEITO ELETROSTÁTICO DAS PONTAS

O campo elétrico é mais intenso nas

_______________ de um objeto

condutor. Logo, existe maior

probrabilidade haver o rompimento

da ________________ ________________

nessas regiões.

Dem:

Aplicações: para-raios, Microscópio de tunelamento

E 4.24. Considere a Terra como sendo um condutor esférico de raio 6370 km e que

está inicialmente descarregado. Uma esfera de metal, tendo um raio de 13 cm e

possuindo uma carga de -6,2 nC é aterrada, ou seja, é posta em contato elétrico


64

com a Terra. Mostre que este processo efetivamente descarrega a esfera, pelo

cálculo da fração de elétrons em excesso originalmente disponíveis sobre a esfera

que permanecem após a esfera ser aterrada.

SOCRATIVE

E 4.25. A igura mostra o potencial ele trico

em funça o de x. Ordene as cinco regio es de

acordo com o valor absoluto da componente x

do campo ele trico, começando pelo maior.

E 4.26. Uma esfera de material condutor e raio R tem carga Q positiva

uniformemente distribuída em sua superfície. Considerando V = 0 no infinito, o

potencial elétrico será

a. Maior no centro da esfera.

b. Maior na superfície da esfera.

c. Maior em alguma região entre o centro e a superfície.

d. Constante em todo o volume da esfera.

E 4.27. Considere duas esferas condutoras isoladas, cada uma com a mesma carga

total positiva Q. As esferas têm raios a e b com b > a. Seja Va e Vb o potencial

elétrico no centro da esferas de raio a e b, respectivamente. Considerando V = 0 no

infinito, é correto afirmar que

a. Va > Vb

b. Va < Vb

c. Va = Vb

PARA SABER MAIS...

ocê sabia que é possível “enxergar” um átomo sso é feito usando um

microscópio de tunelamento. O vídeo “A boy and his atom” da BM, foi feito

manipulando-se átomos e tirando fotos dessas configurações. Pode-se dizer

que é o “menor” filme do mundo.


65


A boy and his atom (IBM): http://youtu.be/oSCX78-8-q0

Ben Franklin e o para-raios: http://youtu.be/UNvqRWGYjOc

Nota histórica: Na abertura da Copa do Mundo de 2014, durante 7 segundos foi

possível ver um menino em um aparelho parecendo uma armadura robótica chutar

uma bola. Esse equipamento é chamado exoesqueleto, e está sendo desenvolvido

por um cientista brasileiro que começou seu trabalho estudando como o potencial

elétrico no cérebro varia a partir de determinados estímulos.

Miguel A. L. Nicolelis (1961 – )

Médico e cientista brasileiro;

Foi considerado um dos 20 maiores cientistasdo mundo

no começo da década passada, segundo a revista

Scientific American;

Foi considerado pela revista Época um dos 100

brasileiros mais influentes do ano de 2009;

Primeiro brasileiro a ter um artigo publicado na capa da

revista Science;

Nicolelis e sua equipe foram responsáveis pela descoberta de um sistema

que possibilita a criação de braços robóticos controlados por meio de sinais

cerebrais;

http://youtu.be/oSCX78-8-q0

http://youtu.be/UNvqRWGYjOc


66

5. CAPACITÂNCIA

5.1 INTRODUÇÃO

No capítulo anterior estudamos sobre o Potencial elétrico, que é uma forma alter-

nativa de abordar interações elétricas. Vimos a vantagem do potencial em relação

ao campo elétrico, e neste capítulo vamos aplicar o conceito de diferença de poten-

cial em um dispositivo bastante útil em circuitos elétricos: o capacitor.

O que você conhece sobre capacitores?

Qual é a importância dos capacitores em sistemas físicos?

Cite alguns sistemas em que capacitores são usados.

No seu trabalho, você tem que operar direta ou indiretamente com capacitores?

Como?


Calcular a carga armazenada em um capacitor.

Analisar circuitos simples de capacitores.

Determinar a capacitância de vários tipos de capacitores.

Explicar como funciona o microfone condensador.


67

5.2. CAPACITORES

O que é? O capacitor é um dispositivo de armazenar _______________ _______________, ou

de forma equivalente, armazenar _______________ _______________.

Para que serve? Ele é usado em sistemas que precisam liberar energia em um

tempo muito curto (como o flash de câmera ou o desfibrilador) e para estabilizar

corrente em circuitos alternados.

O capacitor é basicamente composto por

A capacitância é definida como

Unidade de capacitância

A capacitância só depende das _______________________ _______________________ do capaci-

tor e do ______________________ que preenche o espaço entre as placas


68

Processo de carregamento de um capacitor.

E 5.1. Duas placas metálicas paralelas tem cargas q1 e q2. Este seria um exemplo de

um capacitor?

a. Sim.

b. Apenas se q1 = -q2.

c. Apenas se os sinais de q1 e q2 forem diferentes.

d. Não.

E 5.2. Uma estudante pega duas pequenas esferas condutoras idênticas de raio r e

mantém uma separada da outra a uma distância d > 2r. Ela coloca uma carga +q em

uma das esferas e uma carga –q na outra. A capacitância do sistema é C. Em segui-

da, ela transfere uma carga adicional para cada uma das esferas, até que o módulo

da carga em cada uma delas dobre. Nesse caso, a capacitância terá seu valor

a. Reduzido a um quarto

b. Reduzido pela metade.

c. Mantido constante.

d. Duplicado.

e. Quadruplicado.


69

E 5.3. Ainda sobre a situação anterior, a diferença de potencial entre as placas do

capacitor terá seu valor

a. Reduzido a um quarto

b. Reduzido pela metade.

c. Mantido constante.

d. Duplicado.

e. Quadruplicado.

5.3 CÁLCULO DA CAPACITÂNCIA

Como determinar a capacitância de um capacitor de placas paralelas?

Aplicação: microfone condensador


70

E 5.4. Considere dois capacitores, cada um com uma separação d entre as placas.

Em cada caso, uma chapa de metal de espessura d/3 é inserida entre as placas. No

caso i, a chapa não é conectada a nenhuma das placas do capacitor. No caso ii, ela é

conectada à placa superior. A capacitância é maior para

a. o caso i.

b. o caso ii.

c. As duas capacitâncias são iguais.

Vamos determinar a capacitância de um capacitor cilíndrico.

Vamos agora determinar a capacitância de um capacitor esférico.


71

Caso limite do capacitor esférico

E 5.5. Um capacitor cilíndrico e um capacitor esférico possuem raios interno e ex-

terno a = 0,5 cm e b = 1,0 cm. Sabendo que o capacitor cilíndrico possui compri-

mento L = 1,0 cm, calcule a capacitância de cada um dos capacitores. Compare os

dois valores.

SOCRATIVE

E 5.6. Capacitância é

a. a quantidade de carga armazenada em um capacitor.

b. o valor da corrente que entra em um capacitor ou sai de um capacitor.

c. a carga máxima que um capacitor é capaz de armazenar.

d. a razão entre a carga armazenada em um capacitor e a diferença de potenci-

al entre os terminais do capacitor.

e. a diferença de potencial entre os terminais de um capacitor.

E 5.7. Quando a distância entre as placas de um capacitor de placas paralelas car-

regado é d, a diferença de potencial entre os terminais do capacitor é V. Se a distân-

cia entre as placas é reduzida para d/2, a diferença de potencial

a. diminui para V/4.

b. diminui para V/2.

c. continua a mesma.

d. aumenta para 2V.

e. aumenta para 4V.

E 5.8. A figura mostra os gra icos da carga em funça o da diferença de potencial

para tre s capacitores de placas paralelas cujos para metros sa o dados na tabela.

Associe os gra icos aos capacitores.


72

5.4 CAPACITORES EM PARALELO

Na associação de capacitores em paralelo, os capacitores possuem mesma

__________________________ e _______________________ diferentes.

A capacitância equivalente em paralelo é

Dem:

E 5.9. Dois capacitores C1 = 2,0 nF e C2 = 3,0 nF são dispostos em paralelo em um

circuito simples, cuja fonte é uma bateria de 1,5 V.

a. Qual é capacitância equivalente do sistema?

b. Qual é a carga total fornecida pela fonte?

c. Qual é a carga armazenada no capacitor C1?

d. E no capacitor C2?

e. Qual é a diferença de potencial entre os terminais do capacitor C1?

f. E do capacitor C2?


73

5.5 CAPACITORES EM SÉRIE

Na associação de capacitores em série, os capacitores possuem mesma

__________________________ e _______________________ diferentes.

A capacitância equivalente em série é

Dem:

E 5.10. Dois capacitores C1 = 2,0 nF e C2 = 3,0 nF são dispostos em série em um

circuito, cuja fonte é uma bateria de 1,5 V.

a. Qual é capacitância equivalente do sistema?

b. Qual é a carga total fornecida pela fonte?

c. Qual é a carga armazenada em cada capacitor?

d. Qual é a diferença de potencial entre os terminais de cada capacitor?

e. Compare suas respostas com as do exercício anterior.


74

E 5.11. O capacitor 1, com C1 = 3,55 , e carre-

gado com uma diferença de potencial V0 = 6,30 V.

A fonte e removida e o capacitor e ligado, como

na figura, a um capacitor descarregado 2, com C2

= 8,95 F. Quando a chave S e fechada, parte da

carga de um dos capacitores e transferida para o

outro. Determine a carga dos capacitores depois

que o equil brio e atingido.

E 5.12. Dado o circuito da figura, com C1 = 3,0 nF, C2

= 6,0 nF, C3 = 8,0 nF e V = 3,0 V, calcule

(a) A capacitância equivalente.

(b) A carga fornecida pela bateria.

(c) A carga armazenada em cada capacitor.

(d) A diferença de potencial em cada capacitor.

(e) A diferença de potencial entre os pontos A e B.

5.6 ENERGIA ARMAZENADA NO CAPACITOR

Qual é a energia necessária para carregar um capacitor?


75

A energia armazenada no capacitor é

Dem:

É possível armazenar uma energia ilimitada no capacitor?

EXPLOSÕES DE NUVENS DE PÓ

Quando uma pessoa entra em contato com certos objetos, como um sue ter

de la , um tapete ou mesmo um escorrega de pla stico, pode adquirir uma carga e-

le trica considera vel. ssa carga pode ser su iciente para produzir uma centelha

quando a pessoa aproxima a ma o de um corpo aterrado, como uma torneira, por

exemplo. m muitas indu strias que trabalham com po s, como as de alimentos e de

cosme ticos, centelhas desse tipo podem ser muito perigosas. Mesmo que a subs-

ta ncia de que e feito o po na o seja in lama vel, quando pequenos gra os esta o em

suspensa o no ar e, portanto, cercados de oxige nio, podem queimar ta o depressa

que a nuvem de po explode. Os engenheiros de segurança na o podem eliminar to-

das as causas poss veis de centelhas nas indu strias que lidam com po s, mas procu-

ram manter a quantidade de energia dispon vel nas centelhas bem abaixo do valor

limite Ul ( m acima do qual os gra os de po se incendeiam.

Suponha que uma pessoa adquira uma carga ele trica ao entrar em contato

com va rias superf cies ao caminhar no interior de um depo sito. Podemos modelar

a pessoa como um capacitor esfe rico de raio R = 1,8 m. A energia do capacitor é

Nesse caso, o valor limite da energia corresponde a um potencial

Os engenheiros de segurança procuram manter o potencial dos opera rios

abaixo desse valor “drenando” as cargas por meio, por exemplo, de um piso condu-

tor.


76

E 5.13. Como engenheiro de segurança, vo-

cê precisa emitir um parecer a respeito da

prática de armazenar líquidos condutores

inflamáveis em recipientes feitos de materi-

al não condutor. A companhia que fornece

um certo líquido vem usando um recipiente

cilíndrico, feito de plástico, de raio r = 0,2 m,

que está cheio até uma altura h = 10 cm, menor que a altura interna do recipiente,

como mostrado na figura. Sua investigação revela que durante o transporte, a su-

perfície externa do recipiente adquire uma densidade de cargas negativas de 2,0

C/m2 (aproximadamente uniforme). Como o líquido é um bom condutor de ele-

tricidade, essa carga faz com que as cargas do líquido se separem.

(a) Qual é a carga negativa induzida no centro do líquido.

(b) Suponha que a capacitância da parte central do líquido em relação à terra

seja 35 pF. Qual é a energia potencial associada à carga negativa desse capa-

citor efetivo?

(c) Se ocorrer uma centelha entre a terra e a parte central do líquido (através

do respiradouro), a energia potencial pode alimentar a centelha. A energia

mínima necessária para inflamar o líquido é 10 mJ. Nessa situação, o líquido

pode pegar fogo por causa de uma centelha?

5.7 CAPACITOR COM DIELÉTRICO Dielétricos são... Constante dielétrica


77

E 5.14. m capacitor de placas paralelas cuja capacita ncia e 3, p e carregado

por uma bateria ate que haja uma diferença de potencial V = , entre as placas.

A bateria e desligada e uma barra de porcelana ( = 6, e introduzida entre as

placas.

(a) ual e a energia potencial do capacitor antes da introduça o da barra?

(b) ual e a energia potencial do conjunto capacitor – barra depois que a barra

e introduzida?

5.8 DIELÉTRICOS: UMA VISÃO ATÔMICA

O que acontece, em termos ato micos e moleculares, quando submetemos

um diele trico a um campo ele trico xistem duas possibilidades, dependendo do

tipo de mole cula.


78

1. . As mole culas de alguns diele tricos, como a a gua, pos-

suem um momento dipolar ele trico permanente. Nesses materiais (conhe-

cidos como diele tricos polares , os dipolos ele tricos tendem a se alinhar

com um campo ele trico externo, como mostra a figura. omo as mole culas

esta o constantemente se chocando umas com as outras devido a agitaça o

te rmica, o alinhamento na o e perfeito, mas tende a aumentar quando o

campo ele trico aumenta (ou quando a temperatura diminui, ja que, nesse

caso, a agitaça o te rmica e menor). O alinhamento dos dipolos ele trico pro-

duz um campo ele trico no sentido oposto ao do campo ele trico aplicado e

com um mo dulo, em geral, bem menor que o do campo aplicado.

2. . Mesmo que na o possuam um momento dipolar e-

le trico permanente, as mole culas adquirem um momento dipolar por in-

duça o quando sa o submetidas a um campo ele trico externo. Isso acontece

porque o campo externo tende a “alongar” as mole culas, deslocando ligei-

ramente o centro das cargas negativas em relaça o ao centro das cargas po-

sitivas.

A figura acima mostra uma barra feita de um diele trico apolar na ause ncia

de um campo ele trico externo. Um campo ele trico E e aplicado atrave s de um capa-

citor, cujas placas esta o carregadas da forma mostrada na igura. O resultado e uma

ligeira separaça o dos centros das cargas positivas e negativas no interior da barra

de diele trico, que faz com que uma das superf cies da barra ique positiva (por cau-

sa das extremidades positivas dos dipolos nessa parte da barra e a superf cie o-

posta ique negativa (por causa das extremidades negativas dos dipolos . A barra

como um todo permanece eletricamente neutra e no interior da barra na o existe

excesso de cargas positivas ou negativas em nenhum elemento de volume.

A figura mais à direita mostra que as cargas induzidas nas superf cies do di-

ele trico produzem um campo ele trico E′ no sentido oposto ao do campo ele trico


79

aplicado E0. O campo resultante E no interior do diele trico (que e a soma vetorial

dos campos E0 e E′ tem a mesma direça o que E0, mas e menor em mo dulo.

Tanto o campo produzido pelas cargas superficiais dos dipolos induzidos

nas mole culas apolares como o campo ele trico produzido pelos dipolos permanen-

tes das mole culas polares apontam no sentido oposto ao do campo aplicado. Assim,

tanto os diele tricos polares como os apolares enfraquecem o campo ele trico na

regia o onde se encontram, que pode ser o espaço entre as placas de um capacitor.

SOCRATIVE

E 5.15. Um estudante possui apenas dois capacitores de capacitância C1 e C2. Ele

deseja utilizá-los em um circuito de forma que o efeito seja o equivalente a um ca-

pacitor com capacitância menor do que C1 e C2. O que ele poderia fazer nesse caso?

E 5.16. Sabendo que C1 = C2 = C3 = C, coloque os circuitos da figura na ordem das

capacita ncias equivalentes, começando pela maior.

E 5.17. Uma bateria carrega o capacitor A até que a diferença de potencial entre os

terminais do capacitor seja V. O capacitor B, com a mesma capacitância que o capa-

citor A, é carregado por outra bateria até que a diferença de potencial entre os

terminais do capacitor seja 2V. Qual é a relação entre a energia armazenada no ca-

pacitor B e a energia E armazenada no capacitor A?

a. As duas energias são iguais porque os dois capacitores têm a mesma capaci-

tância.

b. A energia armazenada no capacitor B é E/4.

c. A energia armazenada no capacitor B é E/2.

d. A energia armazenada no capacitor B é 2E.

e. A energia armazenada no capacitor B é 4E.

E 5.18. Um dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor. O sistema é então

carregado e o dielétrico é removido. A energia eletrostática armazenada no capaci-

tor então

a. aumenta.

b. se mantém constante.

c. diminui.


80

E 5.19. Um capacitor de placas paralelas é ligado a uma bateria que mantém uma

diferença de potencial constante V entre as placas. Enquanto a bateria ainda está

conectada, uma placa de dielétrico é inserida de forma a preencher o espaço entre

as placas. A energia armazenada

a. aumenta.

b. diminui.

c. permanece a mesma.

E 5.20. Ainda sobre a situação anterior, qual é o sentido da força eletrostática que

atua sobre a placa de dielétrico enquanto ela está sendo inserida?

a. A força puxa a placa para dentro do capacitor.

b. A força expulsa a placa para fora do capacitor.

c. A força eletrostática não atua na placa de dielétrico.

PARA SABER MAIS...

Além dos capacitores tradicionais, existe uma classe de capacitores

chamada Supercapacitores, que consegue armazenar uma quantidade muito

maior de carga elétrica. O vídeo abaixo mostra um deles em funcionamento.

Procure saber como eles funcionam.


Capacitor e Supercapacitor: https://youtu.be/ZgozrScGN8UA

Nota histórica: O flash da câmera fotográfica é um exemplo de aplicação do capa-

citor. Apesar de não ter inventado a fotografia, o homem que vamos conhecer a

seguir foi fundamental no desenvolvimento desta tecnologia.

George Eastman (1854 – 1932)

Nasceu em Waterville, Nova York;

Seu pai morreu quando ele tinha 12 anos;

Começou a trabalhar aos 16 anos como zelador de uma

empresa;

Autodidata, foi promovido por seus estudos em contabi-

lidade;

Adoeceu e foi viajar, levando consigo uma câmera foto-

gráfica;

Fundou a Kodak e foi inventor do filme fotográfico, que permitiu a popula-

rização da fotografia;

Nunca se casou;

Devido a uma doença na medula, cometeu suicídio.

https://youtu.be/ZgozrScGN8UA


81

6. CORRENTE E RESISTÊNCIA

6.1 INTRODUÇÃO

Até aqui, analisamos apenas situações em que as cargas elétricas estavam paradas.

Esse ramo do Eletromagnetismo é chamado de eletrostática. Entretanto, sabemos

que em muitas situações o movimento das cargas é fundamental. A partir de agora,

começamos a avaliar como a presença de uma corrente elétrica afeta o sistema

estudado.

Quais conceitos relacionados a corrente elétrica você conhece?

Escreva ou estime o valor da corrente elétrica em pelo menos três contextos (ex:

corrente em um chuveiro).

Como a corrente elétrica.é capaz de transferir energia entre dois sistemas?

No seu ambiente profissional, você precisa lidar diretamente com a corrente elétri-

ca? Se sim, como?


Entender como a corrente elétrica se comporta a nível atômico.

Avaliar a resistência de elementos ôhmicos simples.

Determinar a potência dissipada em circuitos resistivos simples.

Explicar o funcionamento de um chuveiro elétrico.


82

6.2 CORRENTE ELÉTRICA

A corrente elétrica ocorre apenas em fios metálicos?

Elétrons livres

Definição de corrente elétrica

Quando ligamos a bateria, a fonte começa a mandar cargas para o circuito.

Simulação: http://phet.colorado.edu/en/simulation/circuit-construction-kit-dc

Quando se aperta o interruptor, a lâmpada acende de forma praticamente instan-

tânea, pois

Conservação da carga elétrica

http://phet.colorado.edu/en/simulation/circuit-construction-kit-dc


83

O sentido da corrente

Densidade de corrente

E 6.1. Em uma lanterna, a luz é emitida quando uma corrente elétrica é fornecida

pela bateria e passa pelo filamento da lâmpada. Comparada à corrente que sai do

filamento, a corrente elétrica que entra nele é

a. maior

b. menor

c. igual

E 6.2. Uma corrente de 250 mA atravessa um fio de 4 mm². Determine

(a) A carga que atravessa uma seção do fio por segundo.

(b) Quantos elétrons atravessam o fio por segundo.

(c) A densidade de corrente no fio.

E 6.3. A densidade de corrente em um io cil ndrico de raio R = , mm e uniforme

ao longo de uma seça o reta do io e igual a 2,0 x 105 A/m2.

(a) ual e a corrente na parte externa do io, entre as dista ncias radiais R/2 e R.

(b) Suponha que, em vez de ser uniforme, a densidade de corrente varia com a

dista ncia radial r de acordo com a equaça o J = ar², onde a = 3,0 x 1011 A/m4

e r esta em metros. esse caso, qual e a corrente na mesma parte do io?


84

6.3 RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE

Definição de resistência

Unidade

Resistor

Resistividade

A resistência é uma propriedade de um _________________; a resistividade é uma pro-

priedade de um _________________.

A resistividade varia com a temperatura de acordo com a expressão

Cálculo da resistência a partir da resistividade

Aplicação: microfone a carvão – compressão do diafragma diminui a resistência

dos grãos de carvão, gerando uma corrente elétrica proporcional à pressão exter-

na, transformando o sinal acústico em um sinal elétrico.


85

E 6.4. ma amostra de ferro em forma de paralelep pedo tem dimenso es , cm x

, cm x cm. ma diferença de potencial e aplicada a amostra entre faces

paralelas. etermine a resiste ncia da amostra se as faces paralelas forem

(a) as extremidades quadradas (de dimenso es 1,2 cm x 1,2 cm);

(b) as extremidades retangulares (de dimenso es 1,2 x 15 cm).


86

SOCRATIVE

E 6.5. Tanto a corrente quanto a densidade de corrente têm direções e sentidos

associados a elas. Elas são vetores?

a. Somente a corrente é um vetor.

b. Somente a densidade de corrente é um vetor.

c. Ambas são vetores.

d. Nenhuma das duas é um vetor.

E 6.6. Uma corrente flui através de um longo condutor cilíndrico. Em que sentido a

corrente (convencional) flui?

a. Em direção à extremidade com o maior potencial.

b. Em direção à extremidade com o menor potencial.

c. Nem (a) nem (b), uma vez que a superfície de um condutor é um equipoten-

cial.

E 6.7. A figura mostra elétrons de condução que se movem para a esquerda em um

fio. Determine se o sentido das grandezas a seguir é para a esquerda ou para a di-

reita:

(a) a corrente i;

(b) a densidade de corrente J;

(c) o campo elétrico no interior do fio.

E 6.8. Um bastão cilíndrico possui resistência R. Se nós triplicarmos seu compri-

mento e seu diâmetro, qual é sua nova resistência, em termos de R?

a. R/9

b. R/3

c. R

d. 3R

e. 9R

E 6.9. Um bastão cilíndrico possui resistividade . Se nós triplicarmos seu com-

primento e seu diâmetro, qual é sua nova resistividade, em termos de ?

a. /9

b. /3

c.

d. 3

e. 9


87

6.4 LEI DE OHM

Dispositivos lineares (ôhmicos)

A Lei de Ohm é a afirmação de que a corrente que atravessa um dispositivo é sem-

pre diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada ao dispositivo.

Um dispositivo obedece à lei de Ohm se a resistência do dispositivo não depende

do valor absoluto nem da polaridade da diferença de potencial aplicado.

Dispositivos não-lineares

E 6.10. Uma diferença de potencial de 6,0 V é aplicada em um resistor, gerando

uma corrente de 2,0 mA. Determine a resistência do dispositivo.

E 6.11. Um estudante varia a tensão aplicada em dois

resistores, A e B, e mede as respectivas correntes. Em

seguida, ele constrói um gráfico de V x i, conforme mos-

trado abaixo. Qual dos resistores possui maior resis-

tência?

A

B

As duas resistências são iguais.


88

6.5 UMA VISÃO MICROSCÓPICA DA LEI DE OHM

o momento, vamos considerar apenas a conduça o em materiais meta licos,

como o cobre, por exemplo. ossa ana lise sera baseada no modelo de ele trons li-

vres, no qual supomos que os ele trons de conduça o de um metal esta o livres para

vagar por toda a amostra, como as mole culas de ga s no interior de um recipiente

fechado. amos supor tambe m que os ele trons na o colidem uns com os outros, mas

apenas com os a tomos do metal.

e acordo com a f sica cla ssica, a velocidade me dia dos ele trons depende da

temperatura. Os movimentos dos ele trons, pore m, na o sa o governados pelas leis da

f sica cla ssica e sim pelas leis da f sica qua ntica. a verdade, uma hipo tese que esta

muito mais pro xima da realidade e a de que os ele trons de conduça o em um metal

se movem com uma u nica velocidade efetiva vef e que essa velocidade na o depende

da temperatura. No caso do cobre, vef = 1,6 x 106 m/s.

uando aplicamos um campo ele trico a

uma amostra meta lica, os ele trons modi icam

ligeiramente seus movimentos aleato rios e

passam a derivar lentamente, no sentido opos-

to ao do campo, com uma velocidade de de-

riva vd. A velocidade de deriva em um condu-

tor meta lico t pico e da ordem de 5 x 10-7 m/s,

muito menor, portanto, que a velocidade efeti-

va (1,6 x 106 m/s). A figura ilustra a relaça o

entre as duas velocidades. As retas cinzentas

mostram um poss vel caminho aleato rio de um

ele tron na ause ncia de um campo ele trico aplicado o ele tron se move de A para B,

sofrendo seis coliso es no percurso. As retas verdes mostram qual poderia ser o

mesmo caminho na presença de um campo ele trico E. Vemos que o ele tron deriva

para a direita e vai terminar no ponto Bʹ em vez de B. A figura foi desenhada para

vd = 0,02 vef. omo, na verdade, a relaça o e vd = (10-13)vef, a deriva mostrada na figu-

ra esta grandemente exagerada.

O movimento dos ele trons de conduça o na presença de um campo ele trico E

e , portanto, uma combinaça o do movimento devido a coliso es aleato rias com o mo-

vimento devido ao campo ele trico. uando consideramos todos os ele trons livres, a

me dia dos movimentos aleato rios e zero e na o contribui para a velocidade de deri-

va assim, a velocidade de deriva se deve apenas ao efeito do campo ele trico sobre

os ele trons.


89

6.6 POTÊNCIA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS

Transformações de energia

A potência em um circuito elétrico é dada por

Dem:

Unidade

Taxa de transferência de energia elétrica (efeito Joule)

Outras expressões para a potência

E 6.12. Uma lâmpada comum é de 60 W, sendo projetada para operar em um cir-

cuito de 110 V. Durante um escurecimento parcial, foi observado que a potência de

saída da lâmpada baixou para 30 W. A que percentagem do valor original a tensão

baixou?

a. 75%

b. 70%

c. 50%

d. 33%

E 6.13. A conta de energia elétrica especifica o consumo de energia em kWh.

(a) A unidade kWh é utilizada para medir energia ou potência?

(b) Determine quantos joules de energia correspondem a 1 kWh.


90

E 6.14. Um chuveiro comum possui três modos de funcionamento: desligado, ve-

rão e inverno. No modo verão, a potência média dissipada é de 3.000 W, enquanto

no modo inverno é de 4.500 W.

(a) Explique o que ocorre no chuveiro quando ele está no modo desligado.

(b) Qual resistência você espera que seja maior: no modo verão ou inverno?

(c) Calcule a resistência do chuveiro no modo verão.

(d) Calcule a resistência do chuveiro no modo inverno.

(e) Compare os dois valores de resistência obtidos. Está de acordo com o que

você esperava?

6.7 SEMICONDUTORES

Os semicondutores sa o os principais responsa veis pela revoluça o da microe-

letro nica, que nos trouxe a era da informaça o. Na tabela a seguir, as propriedades

do sil cio, um semicondutor t pico, sa o comparadas com as do cobre, um condutor

meta lico t pico. emos que o sil cio possui um nu mero muito menor de portadores

de carga, uma resistividade muito maior e um coeficiente de temperatura da resis-

tividade que e ao mesmo tempo elevado e negativo. Assim, enquanto a resistivida-

de do cobre aumenta quando a temperatura aumenta, a resistividade do sil cio di-

minui.


91

O sil cio puro possui uma resistividade ta o alta que se comporta quase como

um isolante e, portanto, na o tem muita utilidade em circuitos eletro nicos. Entretan-

to, essa resistividade pode ser reduzida de forma controlada pela adiça o de certas

“impurezas”, um processo conhecido como dopagem. A abela 6- mostra valores

t picos da resistividade do sil cio puro e dopado com duas impurezas diferentes.

odemos explicar qualitativamente a diferença entre a resistividade (e, por-

tanto, a condutividade) dos semicondutores e a dos isolantes e dos condutores me-

ta licos em termos da energia dos ele trons. ( ma ana lise quantitativa exigiria o uso

das equaço es da f sica qua ntica. m um condutor meta lico como um io de cobre,

quase todos os ele trons esta o irmemente presos aos a tomos da rede cristalina

seria necessa ria uma energia muito grande para que esses ele trons se libertassem

dos a tomos e pudessem participar da corrente ele trica. ntretanto, existem alguns

ele trons que esta o fracamente presos aos a tomos e precisam de muito pouca ener-

gia para se libertar. ssa energia pode ser a energia te rmica ou a energia fornecida

por um campo ele trico aplicado ao condutor. O campo ele trico na o so libera esses

ele trons, mas tambe m faz com que se movam ao longo do io em outras palavras,

um campo ele trico produz uma corrente nos materiais condutores.

os isolantes, a energia necessa ria para liberar ele trons dos a tomos da rede

cristalina e muito grande. A energia te rmica na o e su iciente para que isso ocorra

um campo ele trico de valor razoa vel tambe m na o e su iciente. Assim, na o existem

ele trons dispon veis e o material na o conduz corrente ele trica, mesmo na presença

de um campo ele trico.

Um semicondutor tem as mesmas propriedades que um isolante, exceto pe-

lo fato de que a energia necessa ria para liberar alguns ele trons e um pouco menor.

O mais importante, pore m, e que a dopagem pode fornecer ele trons ou buracos

(de icits de ele trons que se comportam como portadores de carga positivos que

esta o fracamente presos aos a tomos e, por isso, conduzem corrente com facilidade.

Atrave s da dopagem, podemos controlar a concentraça o dos portadores de carga e

assim modi icar as propriedades ele tricas dos semicondutores. Quase todos os dis-

positivos semicondutores, como transistores e diodos, sa o produzidos a partir da

dopagem de diferentes regio es de um substrato de sil cio com diferentes tipos de

impurezas.

Nos semicondutores, o nu mero de portadores de carga por unidade de vo-

lume e pequeno, mas aumenta rapidamente com a temperatura, ja que a agitaça o

te rmica faz com que haja um maior nu mero de portadores dispon veis. sso resulta

em uma reduça o da resistividade com o aumento da temperatura, como indica o

valor negativo do coe iciente de temperatura da resistividade para o sil cio na a-

bela 6- . O mesmo aumento do nu mero de coliso es que e observado no caso dos

metais tambe m acontece nos semicondutores, mas e mais do que compensado pelo

ra pido aumento do nu mero de portadores de carga.


92

SOCRATIVE

E 6.15. Como a velocidade de deriva dos elétrons varia à medida que eles se mo-

vem através de um resistor?

a. Ela aumenta.

b. Ela diminui.

c. Ela permanece constante.

E 6.16. Uma diferença de potencial de 6,0 V é aplicada em um resistor, obtendo-se

assim uma corrente de 1,5 mA.

(a) Determine a potência dissipada por efeito Joule.

(b) Calcule a resistência do dispositivo.

(c) Se o resistor for trocado por outro com o dobro da resistência, determine a

nova potência dissipada se a tensão for mantida constante. Compare seu re-

sultado com o obtido na letra (a).

E 6.17. ma lâmpada incandescente possui especificações “ 6 W”. Se ligar-

mos essa lâmpada em uma rede de 110 V, e depois ligarmos a mesma lâmpada em

uma rede de 220 V, seu brilho será

a. maior.

b. menor.

c. igual.

E 6.18. ma lâmpada incandescente possui especificações “ 6 W”. Se ligar-

mos essa lâmpada em uma rede de 220 V, e depois ligarmos a mesma lâmpada em

uma rede de 110 V, seu brilho será

a. maior.

b. menor.

c. igual.

PARA SABER MAIS...

Supercondutores são materiais que, quando resfriados abaixo de uma de-

terminada temperatura, passam a ter resistência desprezível! O livro do Hal-

liday inclui uma seção sobre esse assunto no capítulo estudado.


Supercondutores: https://youtu.be/q5VPZ0HPaNk

https://youtu.be/q5VPZ0HPaNk


93

Nota histórica: Neste capítulo, falamos várias vezes sobre lâmpadas, uma das tec-

nologias que mudou radicalmente o modo como o ser humano e a sociedade se

comportam. O inventor da lâmpada doméstica é bastante conhecido...

Thomas A. Edison (1847-1931)

Foi considerado burro pelos professores porque ele

questionava muito. Sua mãe, reconhecendo a inteligên-

cia do garoto, retirou-o da escola e decidiu ela mesma

educá-lo.

Era um verdadeiro workahoolic, chegando a trabalhar

às vezes por mais de 72 horas seguidas. Muitas vezes

era encontrado dormindo em pé.

Registrou 2.332 patentes. Dentre elas, inventou o fonógrafo (ancestral re-

moto do MP3!) e o cinematógrafo (precursor do cinema) e aperfeiçoou o te-

lefone e a máquina de escrever.

Ficou famoso pela invenção da lâmpada incandescente.

Fundou a Edison General Eletric (GE) em 1888.

Aos 67 anos, um incêndio destruiu seu laboratório. Nem por isso ele desa-

nimou, e continuou trabalhando.

"O gênio consiste em um por cento de inspiração e noventa e nove por cento

ns çã ”.


94

7. CIRCUITOS

7.1 INTRODUÇÃO

No capítulo anterior estudamos sobre corrente elétrica e a Lei de Ohm. Neste capí-

tulo, vamos explorar melhor este conceito e entender como isso pode ser usado em

circuitos. Vamos estudar também as Regras de Kirchoff e avaliar como elas são

mais gerais do que a análise de resistências equivalentes.

Qual é o significa do conceito de força eletromotriz?

Como o potencial elétrico deve se comportar em um circuito fechado?

Quais são as limitações da análise de resistência em série e paralelo?

Circuitos RC são os formados por uma resistência e um capacitor. Em que tipos de

equipamentos eletrônicos estes circuitos estão presentes? Para que eles servem?


Explicar o conceito de força eletromotriz e como isso é usado em circuitos.

Determinar a corrente elétrica em circuitos resistivos.

Analisar circuitos simples com uma resistência e um capacitor.

Entender porque uma enguia elétrica não morre com o próprio choque.


95

7.2 TRABALHO, ENERGIA E FORÇA ELETROMOTRIZ

“Bombeamento” de cargas

Fontes de tensão

Força eletromotriz

Qual a diferença entre tensão e força eletromotriz?

Fonte ideal x fonte real

Circuito aterrado

E 7.1. ma pilha AA contém a inscrição “ , ” em sua embalagem. Se a resistência

interna da pilha for de r = 1,2 W, e ela estiver fornecendo uma corrente de i = 100

mA em um circuito, determine

(a) a fem da bateria.

(b) a diferença de potencial entre seus terminais.

7.3 POTENCIAL EM UM CIRCUITO

Ao percorrermos uma malha em um circuito, o potencial _____________________ quan-

do passamos por uma fem no sentido da corrente e _____________________ quando pas-

sarmos por uma resistência.


96

Ao dar uma volta completa em uma malha, o potencial

Este fato é consequência da lei de conservação da ______________________.

7.4 RESISTÊNCIAS EM SÉRIE

Podemos associar uma ou mais resistências em série.

A resistência equivalente em série é dada por

Dem:

E 7.2. O circuito abaixo consiste de duas lâmpadas idênticas brilhando com a

mesma intensidade, e uma bateria de 12 V. Quando a chave é fechada, o brilho da

lâmpada A


97

a. aumenta.

b. permanece constante.

c. diminui.

E 7.3. Um resistor de valor constante R está em

série com um resistor variável e uma bateria ideal.

Originalmente as resistências são iguais. À medida que a resistência do resistor

variável é diminuída, a corrente que atravessa o resistor variável

a. Aumenta.

b. Diminui.

c. Permanece constante.

d. Não pode ser determinada sem mais informações.

E 7.4. Ainda sobre a situação anterior, à medida que a resistência do resistor vari-

ável é diminuída, a diferença de potencial entre os terminais do resistor R

a. Aumenta.

b. Diminui.



7.5 RESISTÊNCIAS EM PARALELO

Podemos associar uma ou mais resistências em paralelo.

A resistência equivalente em série é dada por

Dem:


98

E 7.5. Dado o circuito, calcule

(a) a resistência equivalente.

(b) a corrente total fornecida pela bateria.

(c) a corrente em cada resistor.

(d) a queda de potencial em cada resistor.

E 7.6. As enguias (ou peixes elétricos) são capazes de gerar correntes elétricas com

o auxílio de células chamadas eletroplacas, que são fontes biológicas de ddp. No

peixe elétrico conhecido como poraquê as eletroplacas estão dispostas em 140 li-

nhas, cada linha se estendendo horizontalmente ao longo do corpo do animal e

contendo 5.000 eletroplacas. O circuito correspondente aparece na figura; cada

eletroplaca tem uma fem de 0,15 V e uma resistência interna r de 0,25 . A água

em torno da enguia completa o circuito entre as extremidades do arranjo de ele-

troplacas, uma na cabeça do animal e a outra na cauda.

(a) Se a água em torno da enguia tem uma resistência Ra = 800 , qual é o valor

da corrente que o animal é capaz de produzir na água?

(b) Qual é a corrente ilinha em cada linha da figura?

(c) Analisando o resultado do item anterior, discuta se o animal poderia ser

prejudicado pelo choque elétrico.


99

SOCRATIVE

E 7.7. A função da fonte de fem em um circuito é de

a. Suprir elétrons para o circuito.

b. Levar os elétrons a um potencial maior.

c. Empurrar os elétrons para um potencial menor.

d. Acelerar os elétrons a maiores velocidades

E 7.8. Se as quatro lâmpadas na figura

são idênticas, qual circuito emite maior

quantidade de luz?

a. Circuito I

b. Circuito II

c. Os dois emitem a mesma quanti-

dade de luz

E 7.9. Suponha que as três lâmpadas abaixo tenham a mesma resistência. Sabe-se

que a potência de luz emitida é proporcional à

potência elétrica consumida. Dessa forma, a potência

emitida pelas lâmpadas B e C juntas é

a. o dobro da potência de A.

b. a metade da potência de A.

c. o mesmo tanto que a potência de A.

d. o quádruplo da potência de A.

e. quatro vezes menor que a potência de A.

E 7.10. Um resistor de valor constante R é posto em série com um resistor variável

e uma bateria real (a resistência interna não é desprezível). Originalmente, o

resistor de valor constante e o resistor variável têm a mesma resistência. À medida

que a resistência do resistor variável é diminuída, a taxa na qual a energia é

transferida para o resistor de valor constante

a. Aumenta.

b. Diminui.



E 7.11. Ainda sobre a situação anterior, à medida que a resistência do resistor

variável é diminuída, a taxa na qual a energia é transferida para o resistor variável

a. Aumenta.

b. Diminui.




100

E 7.12. Um resistor de valor constante R é posto em paralelo com um resistor

variável e uma bateria real (a resistência interna não é desprezível).

Originalmente, o resistor de valor constante e o resistor variável têm a mesma

resistência. À medida que a resistência do resistor variável é diminuída, a corrente

através do resistor de valor constante

a. Aumenta.

b. Diminui.




variável é diminuída, a taxa na qual a energia é transferida para o resistor de valor

constante

a. Aumenta.

b. Diminui.




variável é diminuída, a taxa na qual a energia é transferida para o resistor variável

Aumenta.

Diminui.

Permanece constante.

Não pode ser determinada sem mais informações.

7.6 REGRAS DE KIRCHHOFF

Regra das malhas: a soma algébrica das

variações de potencial encontradas ao per-

correr uma malha fechada é sempre zero.

Regra dos nós: a soma das correntes que

entram em um nó é igual à soma das cor-

rentes que saem do nó.

Observação: quando atravessamos uma resistência ou uma fonte no sentido da

corrente a variação do potencial é _____ ou _____; quando atravessamos a resistência

ou a fonte no sentido oposto, a variação é _____ ou _____, respectivamente.


101

E 7.15. As lâmpadas do circuito são idênticas. Quando fechamos a chave do circui-

to, a potência consumida

a. pelas duas lâmpadas aumenta.

b. pelas duas lâmpadas diminui.

c. pelas duas lâmpadas não se altera.

d. pela lâmpada A aumenta apenas.

e. pela lâmpada B aumenta apenas.

E 7.16. As baterias do circuito abaixo são ideais, 1 = 3,0 V, 2 = 6,0V, R1 = 2,0 e R2

= 4,0 .

(a) É possível usar a análise de resistências equivalentes neste circuito?

Justifique.

(b) Qual é a corrente em cada resistor?

7.7 INSTRUMENTOS DE MEDIDA ELÉTRICA

Amperímetro

Voltímetro


102

7.8 CIRCUITO RC

No processo de carregamento do capacitor, a

carga é dada por

Dem:

A constante de tempo

A corrente de carregamento é

No processo de descarregamento do capacitor, a carga é dada por

Dem:

A corrente de descarregamento é

Gráficos

E 7.17. uando um carro esta em movimento, ele trons passam do piso para os

pneus e dos pneus para a carroceria. O carro armazena essa carga em excesso co-

mo se a carroceria fosse uma das placas do capacitor e o piso a outra placa. uando


103

o carro para, descarrega o excesso de carga atrave s dos pneus, da mesma forma

como um capacitor se descarrega atrave s de um resistor. Se um objeto condutor se

aproxima do carro antes que esteja totalmente descarregado, a diferença de poten-

cial associada ao excesso de cargas pode produzir uma centelha entre o carro e o

objeto. Suponha que o objeto condutor seja o bico de uma mangueira de combus-

t vel. esse caso, a centelha na o in lamara o combust vel, produzindo um ince ndio,

se a energia da centelha foi menor que o valor cr tico Ufogo = 50 mJ.

Quando o carro da figura para no instante t = , a diferença de potencial en-

tre o carro e o piso e V0 = 3 . A capacita ncia do sistema carro–piso e C = p

e a resiste ncia de cada pneu e Rpneu = 100 G. uanto tempo e necessa rio para que

a energia associada a s cargas do carro caia abaixo do valor cr tico Ufogo?


104

SOCRATIVE

E 7.18. Sabendo que a bateria do circuito abaixo é

ideal e fornece uma fem de 12,0 V, e que R1 = R2 = 20,0

, R3 = 30 e R4 = 8,0, determine a corrente em cada

resistor usando as Regras de Kirchhoff.

E 7.19. Quais serão os valores de corrente e tensão medidos pelo amperímetro e

pelo voltímetro no circuito abaixo?

a. 1,0 A e 4,0 V

b. 1,0 A e 2,0 V

c. 2,0 A e 4,0 V

d. 2,0 A e 2,0 V

e. 4,0 A e 2,0 V

E 7.20. Quais serão os valores de corrente e tensão medidos pelo amperímetro e

pelo voltímetro no circuito abaixo?

a. 0 A e 4,0 V

b. 2,0 A e 2,0 V

c. 2,0 A e 4,0 V

d. 4,0 A e 2,0 V

e. 4,0 A e 0 V

E 7.21. Um resistor, um capacitor, uma chave e uma bateria ideal estão em série.

Originalmente, o capacitor está descarregado. A chave é então fechada, permitindo

a passagem de corrente pelo circuito. Enquanto a corrente está fluindo, a diferença

de potencial entre os terminais do resistor

a. Aumenta.

b. Diminui.


E 7.22. Ainda sobre a situação anterior, enquanto a corrente está fluindo, a dife-

rença de potencial entre os terminais do capacitor

a. Aumenta.

b. Diminui.



105

E 7.23. Um circuito simples consiste de um resistor R, um

capacitor C carregado com um potencial V0, e uma chave

que está inicialmente aberta. Imediatamente após fechar a

chave, a corrente no circuito é

a. V0/R.

b. zero.

c. É necessário mais informações.

E 7.24. Um capacitor é carregado conectando-o em série com um resistor e uma

bateria ideal. A bateria fornece energia a uma taxa P(t), a energia dissipada no

resistor varia a uma taxa PR(t) e o capacitor armazena energia a uma taxa PC(t).

Qual das seguintes afirmativas é verdadeira?

a. PR(t) + PC(t) > P(t) para qualquer instante do carregamento.

b. PR(t) + PC(t) < P(t) para qualquer instante do carregamento.

c. PR(t) + PC(t) = P(t) para qualquer instante do carregamento.

d. PR(t) + PC(t) > P(t) apenas no início do carregamento.

e. PR(t) + PC(t) < P(t) apenas no início do carregamento.

f. PR(t) + PC(t) = P(t) apenas no início do carregamento.

E 7.25. Um circuito RC é composto por uma bateria de 6,0 V, um capacitor de 1.000

mF, um resistor de 20 kW e uma chave S aberta. Considerando que o capacitor

inicialmente está descarregado, determine o tempo necessário para que ele esteja

com 95% de sua carga máxima quando a chave S é fechada.

E 7.26. A bateria do circuito RC do exercício anterior é removida, e a chave S é

fechada, dando início ao processo de descarga do capacitor. Determine o tempo

necessário para que ele perca 95% de sua carga inicial.

PARA SABER MAIS...

Neste capítulo conversamos sobre circuitos, que são a base de uma das in-

venções que transformou completamente a forma como trabalhamos, nos

comunicamos e até nos divertimos: o computador. O vídeo a seguir conta


106

um pouco sobre a história dos computadores e explica seu princípio básico

de funcionamento.


Como surgiu e como funciona o computador: https://youtu.be/QrFIvig2Kns

Nota histórica: Dessa vez vamos conhecer um pouco mais sobre dois gênios da

informática.

William Henry Gates III (1955 - )

Mais conhecido como Bill Gates.

Magnata, filantropo e autor norte-americano;

Fundou com Paul Allen a Microsoft (aos 19);

Primeiro "computador pessoal" (1971):

projetado para uso educativo, com 256 bytes

de memória, sem CPU e anunciado por US$ 750. O

primeiro computador pessoal foi lançado em 1977;

Classificado regularmente como a pessoa mais rica do mundo (fortuna

estimada em US$ 130 bi em 1995 e US$ 53 bi em 2010);

Criou junto com sua esposa a Fundação Bill e Melinda Gates em 2000.

Steven Paul Jobs (1955 - 2011)

Nasceu no mesmo ano que Bill Gates.

Foi um inventor, empresário e magnata americano no

setor da informática.

Foi o co-fundador, presidente e diretor executivo da

Apple.

Revolucionou seis indústrias: computadores pessoais,

filmes de animação, música, telefones, tablets e publicações digitais.

Foi também diretor executivo da Pixar, estando à frente da companhia na

época do lançamento de Toy Story e outras animações.

Desenvolveu e comercializou uma das primeiras linhas de computadores

pessoais de sucesso, o Apple II.

Em 1985, Jobs foi demitido da própria empresa, a Apple.

Após sair da Apple, Jobs fundou a NeXT, que mais tarde foi comprada pela

Apple, levando Jobs de volta à presidência.

À frente novamente da Apple, lançou produtos de imenso sucesso, como o

iPod, iPad e iPhone. Este último mudou a forma como as pessoas encaravam

o celular e a comunicação.

Morreu aos 56 anos de idade, devido a um câncer pancreático.

https://youtu.be/QrFIvig2Kns


107

8. CAMPOS MAGNÉTICOS

8.1 INTRODUÇÃO

Até aqui, estudamos apenas os efeitos e as interações de natureza elétrica, como

força, campo, potencial e corrente elétrica. A partir de agora, vamos estudar tam-

bém os fenômenos magnéticos, que são altamente relevantes em várias situações

na Física e nas Engenharias.

Vamos às perguntas iniciais.

Agora que você já entende melhor o conceito de campo (no caso, campo elétrico),

tente explicar o que seria o campo magnético.

Qual é a origem do campo magnético, ou seja, o que gera o campo?

Qual é a importância de se estudar o campo magnético?

Em quais contextos os fenômenos magnéticos aparecem? Liste o máximo possível

de situações.


Entender o fenômeno da aurora boreal

Calcular a força magnética sobre uma carga em movimento.

Explicar o princípio de funcionamento de um acelerador de partículas.


108

8.2 CAMPO MAGNÉTICO

O que produz um campo magnético?

Linhas de campo magnético

Polos diferentes se ____________. Polos iguais se _____________.

Campo magnético terrestre

Valores típicos de campo magnético


109

8.3 FORÇA MAGNÉTICA

Cargas elétricas interagem com campos magnéticos

Força magnética

Direção e sentido da força magnética: regra da mão direita

A força magnética é sempre __________________________ tanto à velocidade quanto ao

campo magnético.

O mesmo acontece com a direção da velocidade e a direção do campo?

A força magnética é nula quando

E 8.1. Uma partícula com carga elétrica mC entra em uma região com

campo magnético B = 16 mT k com velocidade v = 27 m/s i. Determine a força

magnética que atuará sobre a partícula, sabendo que sua massa é de 54 mg.


110

8.4 CAMPOS CRUZADOS

Podemos aplicar simultaneamente um campo magnético e um campo elétrico so-

bre uma partícula.

Dependendo do sentido e da intensidade dos campos, a força resultante sobre a

carga pode ser ________________.

Tubo de raios catódicos

Experimento de Thomson e a descoberta do elétron

E 8.2. Você deseja construir um equipamento

que selecione partículas carregadas eletrica-

mente que possuam apenas uma determinada

velocidade. Para isso, você realiza o seguinte

procedimento: coloca duas fendas alinhadas e

aplica na região entre as fendas um campo

elétrico e um campo magnético reguláveis. Ao lançar as partículas carregadas atra-

vés da primeira fenda, ela fica sujeita à força elétrica e à força magnética (supondo

que a força gravitacional é muito pequena, comparada às outras duas). Sabendo m

= 26,0 g, q = 91 mC e E = - 810 N/C i, determine o campo magnético para que so-

mente partículas com v = 980 m/s j sejam selecionadas.


111

SOCRATIVE

E 8.3. Dos três vetores na equação FB = q v x B, qual (ou quais) par(es) são sempre

perpendiculares? (Pode existir mais de uma resposta correta.)

a. FB e v

b. v e B

c. B e FB

d. Nenhum.

e. Todos os três vetores devem ser perpendiculares.

E 8.4. A figura mostra tre s situaço es nas quais uma part cula positivamente carre-

gada se move com velocidade v na presença de um campo magne tico uniforme B e

experimenta uma força magne tica F. m cada situaça o, determine se as orientaço es

dos vetores sa o isicamente razoa veis.

E 8.5. Uma carga negativa q1 move-se com velocidade constante v em uma região

onde existe um campo elétrico E e um campo magnético B, ambos uniformes. Dos

vetores v, E e B, qual par precisa ser perpendicular? (Pode existir mais de uma res-

postas correta.)

a. E e v.

b. v e B.

c. B e E.

d. Nenhum.

e. Todos os três devem ser perpendiculares.

E 8.6. Ainda sobre a situação anterior, a carga negativa é substituída por outra car-

ga q2, movendo-se inicialmente com a mesma velocidade. Sob que condições a se-

gunda carga também se moverá com velocidade constante?


112

a. q2 precisa necessariamente ser idêntica a q1.

b. q2 precisa ser negativa, mas pode ter qualquer intensidade.

c. q2 pode ser positiva, mas deve ter a mesma intensidade de q1.

d. q2 pode ser qualquer carga.

E 8.7. Ao estudar campos cruzados, vimos que a part cula se move em linha reta

(ou seja, as duas forças se equilibram se a velocidade e dada pela equação

. Se a velocidade da part cula e , qual força é maior: a elétrica ou

a magnética?

8.5 EFEITO HALL

A corrente real (movimento de cargas negativas nos condutores metálicos) e a cor-

rente convencional (movimento de cargas positivas) são sempre equivalentes?

Não.

Considere a seguinte situação: uma corrente real se move em uma fita condutora

como mostrado na figura.

Esse fenômeno é chamado de efeito Hall.

Aplicação: sensores de rotação Hall


113

8.6 UMA CARGA NUM CAMPO MAGNÉTICO

A força magnética não realiza trabalho!

A trajetória de uma carga em um campo magnético é circular, pois a força magné-

tica faz o papel de força centrípeta..

Aplicação: acelerador de partículas LHC

LHC significa Large Hadrons Collider, ou Grande Colisor de Hádrons

Localizado no CERN (Organização Europeia para a Pesquisa Nuclear)

Fica na fronteira entre Suíça e França.

Possui 27 km de circunferência.

Foi usado para tentar detectar o bóson de Higgs.

Os prótons atingem energia cinética de até 7,0 x 1012 eV, o que equivale a

uma velocidade 99,999 996 % a velocidade da luz.


114

Trajetórias helicoidais


115

E 8.8. Um elétron com velocidade v0 (muito menor do que a velocidade da luz) se

move em um círculo de raio r0 em um campo magnético uniforme. O tempo neces-

sário para o elétron completar uma revolução é T0. Em seguida, a velocidade do

elétron é dobrada para 2v0. O novo raio do círculo será

a. r0/2

b. r0

c. 2r0

d. 4r0

E 8.9. Ainda sobre a situação anterior, o tempo necessário para completar uma

revolução será

a. T0/2

b. T0

c. 2T0

d. 4T0

E 8.10. A figura ilustra o princípio de

funcionamento de um espectrômetro de

massa, que pode ser usado para medir a

massa de íons. Um íon de massa m (a ser

medida) e carga q é produzido na fonte S

e acelerado pelo campo elétrico associado

a uma diferença de potencial V. O íon en-

tra em uma câmara de separação na qual

existe um campo magnético uniforme B

perpendicular à sua trajetória e atinge

um detector na superfície inferior da câ-

mara. Suponha que B = 80,0 mT, V = 1000,0 V e os íons de carga q = 1,6 x 10-19 C

atinjam o detector em um ponto situado a uma distância x = 1,6254 m do ponto de

entrada na câmara. Qual é a massa m dos íons?


116

8.7 CÍCLOTRONS E SÍNCROTRONS

eixes de part culas de alta energia, como ele trons e pro tons, te m sido i-

mensamente u teis para os estudos de a tomos e nu cleos que te m por objetivo co-

nhecer a estrutura fundamental da mate ria. sses feixes foram fundamentais para

a descoberta de que os nu cleos ato micos sa o formados por pro tons e ne utrons e

para a descoberta de que os pro tons e ne utrons sa o formados por quar s e glu ons.

Para trabalhar com feixes, pore m, e preciso produzi-los e controla -los, o que na o e

fa cil. Como os ele trons e pro tons possuem carga ele trica, em princ pio podemos

acelera -los ate que atinjam altas energias submetendo-os a grandes diferenças de

potencial. o caso dos ele trons, cuja massa e muito pequena, e poss vel acelera -los

dessa forma em uma dista ncia razoa vel. o caso dos pro tons (e de outras par-

t culas carregadas , pore m, como a massa e muito maior, a dista ncia necessa ria

para a aceleraça o pode se tornar proibitiva.

ma soluça o engenhosa consiste em acelerar os pro tons e outras part culas

pesadas com uma diferença de potencial relativamente pequena (que imprime a s

part culas uma energia cine tica relativamente pequena) e usar um campo mag-

ne tico para fazer com que passem va rias vezes por essa mesma diferença de po-

tencial. Quando o processo e repetido milhares de vezes, as part culas adquirem

uma energia extremamente elevada.

amos agora discutir dois tipos de aceleradores de part culas que utilizam

um campo magne tico para conduzir as part culas repetidas vezes para uma regia o

de aceleraça o, onde ganham mais e mais energia ate inalmente emergirem como

um feixe de alta energia.

O CÍCLOTRON

A figura mostra uma vista de topo da re-

gia o de um c clotron na qual circulam part culas

(pro tons, por exemplo . As paredes das duas

ca maras em forma de (abertas na face plana

sa o feitas de cobre. Os de s, como sa o chamados,

esta o ligados a um oscilador que alterna o po-

tencial ele trico de tal forma que o campo e-

le trico na regia o entre os de s aponta ora em um

sentido, ora no sentido oposto. Ao mesmo tem-

po, e aplicado um campo magne tico de alta in-

tensidade dirigido para fora do plano da pa gina.

O mo dulo B desse campo depende da corrente no eletro ma responsa vel pela pro-

duça o do campo.

Suponha que um pro ton, injetado pela fonte S situada no centro do c clotron

na figura, esteja inicialmente se movendo em direça o ao de da esquerda, negativa-


117

mente carregado. O pro ton e atra do pelo de e entra nele. Depois de entrar, fica

isolado do campo ele trico pelas paredes de cobre do de em outras palavras, o

campo ele trico na o penetra nas ca maras. O campo magne tico, pore m, na o esta su-

jeito aos efeitos das paredes de cobre (um metal na o magne tico) e, portanto, age

sobre o pro ton, fazendo com que descreva uma trajeto ria semicircular cujo raio,

que depende da velocidade, e dado pela equação .

Suponha que no instante em que o pro ton chega ao espaço central, proveni-

ente do de da esquerda, a diferença de potencial entre os dois de s seja invertida.

Nesse caso, o pro ton e novamente atra do por um de negativamente carregado e e

novamente acelerado. O processo continua, com o movimento do pro ton sempre

em fase com as oscilaço es do potencial, ate que a trajeto ria em espiral leve a par-

t cula ate a borda do sistema, onde uma placa de letora a faz passar por um orif cio

e deixar um dos de s

O funcionamento do c clotron se baseia no fato de que a freque ncia f com a

qual a part cula circula sob o efeito do campo magne tico (e que na o depende da

velocidade pode ser igual a freque ncia fosc do oscilador ele trico, ou seja, .

e acordo com essa condiça o de ressona ncia, para que a energia da part cula au-

mente e preciso que a freque ncia fosc do oscilador ele trico seja igual a freque ncia f

com a qual a part cula circula sob o efeito do campo magne tico.

O SÍNCROTON

O c clotron convencional na o funciona bem no caso de pro tons com uma e-

nergia maior que Me porque a hipo tese fundamental do projeto, a de que a

freque ncia de revoluça o de uma part cula carregada que circula na presença de um

campo magne tico na o depende da velocidade, e va lida apenas para velocidades

muito menores que a velocidade da luz. Para velocidades acima de 10% da veloci-

dade da luz, devem ser usadas as equaço es da teoria da relatividade. e acordo

com essa teoria, quanto maior a velocidade da part cula, maior a massa e menor a

freque ncia de revoluça o. Assim, as part culas se atrasam em relaça o a freque ncia

do oscilador, que tem um valor fixo fosc, e a energia da part cula passa a aumentar

cada vez menos a cada revoluça o, tendendo para um valor constante.

xiste outro problema. ara um pro ton de 500 GeV em um campo mag-

ne tico de , , o raio da trajeto ria e , m. o caso de um c clotron convencional,

o campo magne tico teria que ser aplicado em toda a regia o limitada pela trajeto ria,

o que exigiria um ma de tamanho descomunal, com peças polares da ordem de 4 x

106 m2.

O s ncrotron foi criado para resolver esses dois problemas. Em vez de pos-

su rem valores ixos como no c clotron convencional, o campo magne tico B e a fre-

que ncia do oscilador fosc variam com o tempo enquanto as part culas esta o sendo

aceleradas. uando isso e realizado de forma correta, ( a freque ncia de revoluça o

das part culas permanece em fase com a freque ncia do oscilador ( as part culas


118

descrevem uma trajeto ria circular em vez de espiral. Assim, o campo magne tico

precisa cobrir uma a rea bem menor, correspondente a essa trajeto ria. Mesmo as-

sim, no caso de part culas de alta energia, o raio da trajeto ria na o pode deixar de

ser grande. O s ncrotron do ermi ational Accelerator aboratory ( ermilab , em

llinois, tem uma circunfere ncia de 6,3 m e pode produzir pro tons com uma ener-

gia da ordem de 1 TeV (= 1012 eV). A foto abaixo mostra o síncroton do Laboratório

Nacional de Luz Síncrotron, localizado em Campinas/SP.

SOCRATIVE

E 8.11. É possível um campo magnético realizar trabalho positivo sobre uma

partícula carregada?

a. Sim.

b. Sim, mas somente se a partícula tiver carga positiva.

c. Sim, mas somente se a partícula tiver uma velocidade inicial.

d. Não.

E 8.12. A figura mostra a trajeto ria

de uma part cula que passa por seis

regio es de campo magne tico unifor-

me, descrevendo trajeto rias que sa o

semicircunfere ncias ou quartos de

circunfere ncia. epois de sair da

u ltima regia o, a part cula passa entre

duas placas paralelas eletricamente

carregadas e e desviada na direça o

da placa de maior potencial. ual e a orientaça o do campo magne tico em cada uma

das seis regiões?


119

E 8.13. A figura mostra a trajeto ria de um ele tron

que passa por duas regio es onde existem campos

magne ticos uniformes de mo dulos B1 e B2. A traje-

to ria nas duas regio es e uma semicircunfere ncia.

ual dos dois campos e mais intenso?

E 8.14. Ainda sobre a questão anterior, o tempo que o ele tron passa na regia o de

campo B1 e maior, menor ou igual ao tempo que passa na regia o de campo B2?

E 8.15. A figura mostra a trajeto ria de um ele tron

em uma regia o na qual o campo magne tico e uni-

forme. A trajeto ria e constitu da por dois trechos

retil neos, entre duas placas uniformemente carre-

gadas, e duas semicircunfere ncias. Que placa possui

um maior potencial ele trico das duas placas de ci-

ma?

8.8 FORÇA MAGNÉTICA EM FIO COM CORRENTE

Um fio percorrido por corrente em uma região com campo magnético sofre a ação

de uma força.

O módulo da força é dado por

A direção e o sentido da força são dados pela


120

E 8.16. Um fio de 2,0 metros está completamente imerso em uma região com cam-

po magnético uniforme de 0,80 T. O fio está na direção do eixo z e é percorrido por

uma corrente de 15 A para cima. Determine o vetor força que atua sobre esse fio.

8.9 TORQUE EM ESPIRA COM CORRENTE

Uma espira em uma região com campo magnético fica sujeito a um torque.


121

Aplicação: motor elétrico

SOCRATIVE

E 8.17. Um fio longo e retilíneo é percorrido por uma corrente no sentido norte,

na presença de um campo magnético que aponta verticalmente para baixo. Qual é a

direção da força a que o fio está submetido?

a. Oeste.

b. Norte.

c. Leste.

d. Vertical, para cima.

e. Vertical, para baixo.

E 8.18. Uma espira retangular é colocada em uma região com campo magnético

uniforme, com o plano da espira perpendicular à direção do campo. Se a corrente

flui pela na direção indicada pelas setas, o campo exerce sobre a espira

a. uma força resultante.

b. um torque resultante.

c. uma força e um torque resultantes.

d. Nenhuma das alternativas.

E 8.19. Uma espira retangular é colocada em uma região com campo magnético

uniforme, com o plano da espira paralelo à direção do campo. Se a corrente flui

pela espira na direção indicada pelas setas, o campo exerce sobre a espira


122

a. uma força resultante.

b. um torque resultante.

c. uma força e um torque resultantes.

d. Nenhuma das alternativas.

PARA SABER MAIS...

A ressonância magnética é procedimento diagnóstico altamente sofisticado,

mas cujo princípio básico é a aplicação de um campo magnético muito in-

tenso. Quer conhecer mais? http://goo.gl/d662ME

Sabia que é possível “passear” dentro do LHC no Google Maps? Para ver

mais, visite o site http://goo.gl/CbeCr3


Aurora boreal: http://youtu.be/ErJxm670CSU

Aurora boreal – explicação: http://youtu.be/lT3J6a9p_o8

Força sobre um fio com corrente: http://youtu.be/F1PWnu01IQg

Motores elétricos: http://youtu.be/gm2SSjJxFnI

Ferrofluido: http://youtu.be/mUuXIWRwnGI

Sensor de rotação Hall: https://youtu.be/IRyQsyvGaio

Nota histórica: A figura do cientista louco pode ter tido muitas origens, mas uma

destas certamente foi o cientista e inventor Nikola Tesla, pai da Bobina de Tesla.

Nikola Tesla (1856 – 1943)

Cientista e inventor nos campos da engenharia

mecânica e eletrotécnica;

Austríaco, mudou-se para os EUA em 1884 e foi

trabalhar para Thomas Edison;

Enquanto Edison defendia a ideia de que a corrente

contínua era a mais adequada para fornecer energia

elétrica para as cidades, Tesla acreditava que a corrente alternada era a

melhor alternativa (quem venceu?).

Desenvolveu tubos de descarga elétrica que foram os precursores do raio-X;

Construiu um dos primeiros equipamentos controlado por comunicação

sem fio (wireless).

Era visto como cientista louco, devido a sua personalidade excêntrica e suas

afirmações aparentemente bizarras.

Quer ver uma bobina de Tesla produzindo 700.000 V e descargas elétricas

muito intensas? https://youtu.be/SuYAilWIfWU

http://goo.gl/d662ME

http://goo.gl/CbeCr3

http://youtu.be/ErJxm670CSU

http://youtu.be/lT3J6a9p_o8

http://youtu.be/F1PWnu01IQg

http://youtu.be/gm2SSjJxFnI

http://youtu.be/mUuXIWRwnGI

https://youtu.be/IRyQsyvGaio

https://youtu.be/SuYAilWIfWU


123

9. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO

9.1 INTRODUÇÃO

No capítulo anterior vimos como os campos magnéticos interagem com cargas elé-

tricas. Entretanto, uma pergunta fundamental ainda não foi respondida: o que gera

o campo magnético? Neste capítulo iremos tratar deste assunto.

Lembre-se da Lei de Coulomb. O que ela descreve?

E a Lei de Gauss? Quais foram os pontos importantes que estudamos sobre ela?

Qual é a relação da Lei de Gauss com a Lei de Coulomb?

O que são solenoides? Para que servem?


Calcular o campo magnético gerado por um fio conduzindo corrente.

Aplicar a Lei de Ampère para explorar a simetria de algumas situações.

Explicar o princípio de funcionamento de um amplificador musical.


124

9.2 CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR UMA CORRENTE

Lei de Biot-Savart

A lei de Biot-Savart está para o _____________________ assim como a lei de _______________

está para a _____________________.

A corrente em um fio retilíneo longo é dada por

O sentido do campo em torno do fio é dado pela regra da mão direita


125

Corrente produzida por um arco de circunferência

Dipolo magnético

E 9.1. O fio da figura é percorrido por uma

corrente i = 970 mA e tem a forma de um arco

de circunferência de raio R = 48 cm e ângulo

central 90º, ladeado por dois trechos retilíneos

cujos prolongamentos se interceptam no

centro C do arco. Determine o campo

magnético no ponto C.

E 9.2. A figura mostra dois fios longos paralelos percor-

ridos por correntes i1 e i2 em sentidos opostos. Determi-

ne o mo dulo e a orientaça o do campo magne tico total no

ponto P para i1= 15 A, i2 = 32 A e d = 5,3 cm.


126

9.3 FORÇA ENTRE DUAS CORRENTES PARALELAS

Fios com correntes no _________________ sentido se _______________.

Fios com correntes no _________________ sentido se _______________.

CANHÃO ELETROMAGNÉTICO

ma das aplicaço es da força dada pela equa-

ção anterior e o canha o eletromagne tico. Nesse apa-

relho, a força magne tica e usada para acelerar um

proje til, fazendo-o adquirir uma alta velocidade em

um curto per odo de tempo. A figura mostra o prin-

c pio de funcionamento do canha o eletromagne tico.

ma corrente elevada e estabelecida em um circuito

formado por dois trilhos paralelos e um “fus vel”

condutor (uma barra de cobre, por exemplo) coloca-

do entre os trilhos. O proje til a ser lançado ica per-

to da extremidade mais distante do fus vel, encaixado

frouxamente entre os trilhos. uando a corrente e

aplicada, o fus vel funde e em seguida se vaporiza,

criando um ga s condutor entre os trilhos na regia o

onde se encontrava.

Aplicando a regra da ma o direita da figura,

vemos que as correntes nos trilhos da figura produ-

zem um campo magne tico B dirigido para baixo na regia o entre os trilhos. O campo

magne tico exerce uma força F sobre o ga s devido a corrente i que existe no ga s. De

acordo com a equação da força e a regra da ma o direita para produtos vetoriais, a


127

força F e paralela aos trilhos e aponta para longe do fus vel. Assim, o ga s e arremes-

sado contra o proje til, imprimindo-lhe uma aceleraça o de ate 5 x 106g e lançando-o

com uma velocidade de 10 km/s, tudo isso em um intervalo de tempo menor que 1

ms. Talvez, no futuro, os canho es eletromagne ticos venham a ser usados para

lançar no espaço mine rios extra dos da ua ou de asteroides.

E 9.3. Dois fios paralelos são percorridos por correntes no mesmo sentido e com

valores i1 = 2,0 A e i2 = 3,0 A. Os fios possuem 1,0 m cada e estão a 10 cm um do

outro.

(a) A força que o fio 1 faz sobre o fio 2 é maior, menor ou igual à força que o fio

2 faz sobre o fio 1?

(b) Determine o campo produzido pelo fio 1 na região do fio 2.

(c) Calcule a força que o fio 1 faz sobre o fio 2.

(d) Determine o campo produzido pelo fio 2 na região do fio 1.

(e) Calcule a força que o fio 2 faz sobre o fio 1. Sua resposta está de acordo com

o que você esperava?

SOCRATIVE

E 9.4. A igura mostra tre s circuitos

formados por dois segmentos radiais

e dois arcos de circunfere ncia con-

ce ntricos, um de raio r e o outro de

raio R > r. A corrente e a mesma nos

três circuitos e o a ngulo entre os dois

segmentos radiais e o mesmo. Colo-

que os circuitos na ordem do mo dulo do campo magne tico no centro dos arcos (in-

dicado na igura por um ponto , começando pelo maior.

E 9.5. A igura representa um instanta neo dos ve-

tores velocidade de quatro ele trons nas vizi-

nhanças de um io percorrido por uma corrente i.

As quatro velocidades te m o mesmo mo dulo e a

velocidade v2 aponta para dentro do papel. Os e-

le trons e esta o a mesma dista ncia do io e o


128

mesmo acontece com os ele trons 3 e . oloque os ele trons na ordem do mo dulo

da força magne tica a que esta o sujeitos devido a corrente i, começando pelo maior.

E 9.6. Duas correntes paralelas estão direcionadas para fora da página. Compare a

intensidade do campo magnético B2 em um ponto qualquer arbitrário equidistante

dos fios com a intensidade do campo magnético B1 de um único fio.

a. B2 > B1 para todos os pontos equidistantes.

b. B2 = B1 para todos os pontos equidistantes.

c. B2 < B1 para todos os pontos equidistantes.

d. B2 > B1 para os pontos equidistantes mais próximos.

e. B2 < B1 para os pontos equidistantes mais próximos.

E 9.7. Duas correntes antiparalelas estão direcionadas de modo que uma está sa-

indo da página e a outra está entrando. Compare a intensidade do campo magnéti-

co B2 em um ponto qualquer arbitrário equidistante dos fios com a intensidade do

campo magnético B1 de um único fio.

a. B2 > B1 para todos os pontos equidistantes.

b. B2 = B1 para todos os pontos equidistantes.

c. B2 < B1 para todos os pontos equidistantes.

d. B2 > B1 para os pontos equidistantes mais próximos.

e. B2 < B1 para os pontos equidistantes mais próximos.

E 9.8. A figura mostra três fios longos, paralelos, igualmente espaçados, percorri-

dos por correntes de mesmo valor absoluto, duas para fora e uma para dentro do

plano da página. Coloque os fios na ordem do módulo da força a que estão sujeitos

devido à corrente nos outros dois fios, começando pelo maior.

a. Fa > Fb > Fc

b. Fa > Fc > Fb

c. Fb > Fa > Fc

d. Fb > Fc > Fa

e. Fc > Fa > Fb

f. Fc > Fb > Fa

E 9.9. Considere a intensidade do campo magnético B(z) sobre o eixo de uma

espira circular de corrente. B(z) será máximo em

a. z = 0.

b. 0 < |z| < ∞

c. |z| = ∞



129

E 9.10. Ainda sobre a situação anterior, B(z) será nulo em

a. z = 0.

b. 0 < |z| < ∞

c. |z| = ∞


9.4 LEI DE AMPÈRE

Assim como a Lei de Gauss explora a ______________________ em problemas eletrostáti-

cos, a Lei de Ampère faz o mesmo em situações magnéticas.

Laço amperiano (ou amperiana)

Circulação do campo magnético

Enunciado da Lei de Ampère


130

ELETRICIDADE MAGNETISMO

Lei de Coulomb

Lei de Gauss

Superfície gaussiana

Fluxo elétrico

Carga envolvida

Permissividade elétrica

E 9.11. A figura mostra três correntes de mesmo valor absoluto i (duas paralelas e

uma antiparalela) e quatro amperianas. Coloque as amperianas em ordem de acor-

do com o valor absoluto da circulação do campo, começando pelo maior.

E 9.12. Um fio retilíneo longo conduz uma corrente i. Determine o campo

magnético em pontos no exterior do fio.

E 9.13. Um fio retilíneo longo conduz uma corrente i. Determine o campo

magnético em pontos no interior do fio .


131

9.5 SOLENOIDE

Como obter campos magnéticos mais intensos?

Aplicação: eletroímã e alto-falante


132

Uma bobina tem um comprimento L = 1,23 m, um diâmetro interno d = 3,55 cm e

conduz uma corrente i = 5,57 A. Ela é formada por cinco camadas de espiras, cada

uma com 850 espiras. Qual é o valor do campo magnético no centro da bobina?

9.6 TORÓIDE

O toróide é

Para determinar o campo magnético no interior do toróide, aplicamos a Lei de

Ampère.

SOCRATIVE

E 9.14. A figura mostra quatro amperianas circula-

res (a,b,c,d) conce ntricas com um io cuja corrente

e dirigida para fora do papel. A corrente e uniforme

ao longo da seça o reta do io (regia o sombreada).

Coloque as amperianas na ordem do valor absoluto

de circulação do campo magnético ao longo da cur-


133

va, começando pelo maior.

E 9.15. Uma mola flexível metálica é usada como um solenoide. A mola é esticada

levemente e uma corrente passa através dela. O campo magnético resultante irá

fazer a mola colapsar ou esticar ainda mais?

a. Colapsar.

b. Esticar ainda mais.

c. Nenhum dos dois, o campo magnético é nulo fora do solenoide.

d. A resposta depende do sentido da corrente.

E 9.16. Um solenoide ideal possui raio R e comprimento L. O campo magnético no

centro do solenoide é B0. Um segundo solenoide é construído com o dobro do raio,

com o dobro do comprimento e conduz o dobro da corrente do primeiro solenoide,

mas tem o mesmo número de voltas por metro. O campo magnético no centro do

segundo solenoide será

a. metade

b. igual

c. o dobro

d. o quádruplo

e. do campo no primeiro solenoide.

PARA SABER MAIS...

Tokamak é um reator experimental de fusão nuclear. No Brasil, há três uni-

dades, todos localizados em São Paulo. Procure saber como ele funciona,

para que serve e qual sua relação com a matéria estudada.


Como fazer um eletroímã: http://youtu.be/j2kHpzP7elQ

Como imantar uma chave de fenda: http://youtu.be/YJC-yp9Ha8w

Força magnética sobre um fio: http://youtu.be/F1PWnu01IQg

Campo magnético em um fio: http://youtu.be/hX7TKEBGUXk

Nota histórica: Aprendemos neste capítulo sobre a Lei de Bi-

ot-Savart e sobre a Lei de Ampère. Vamos conhecer um pouco

mais sobre este último.

André-M. Ampère (1775 – 1836)

Foi um físico e matemático francês;

É considerado um dos fundadores do eletromagnetismo

http://youtu.be/j2kHpzP7elQ

http://youtu.be/YJC-yp9Ha8w

http://youtu.be/F1PWnu01IQg

http://youtu.be/hX7TKEBGUXk


134

clássico;

Nasceu na época do Iluminismo;

Seu pai, um rico comerciante, era um admirador da filosofia de Rousseau e

adotou sua teoria de educação, que aconselhava evitar a escola formal;

Ampère descobriu as leis que regem as atrações e repulsões das correntes

elétricas entre si;

Idealizou o galvanômetro, inventou o primeiro telégrafo elétrico e o eletro-

ímã.


135

10. INDUÇÃO E INDUTÂNCIA

10.1 INTRODUÇÃO

Na maior parte deste curso focamos nosso estudo em fenômenos estacionários, ou

seja, que não mudam no tempo. Entretanto, sabemos que na natureza são poucas

as coisas que podem ser consideradas independentes do tempo por um longo perí-

odo. As variações são mais do que comuns, e dão origem a vários fenômenos rele-

vantes e interessantes. Vamos estudar agora um destes fenômenos.

O que é indução eletromagnética?

Como um gerador funciona?

Liste as situações do seu dia-a-dia e do seu trabalho em que a energia elétrica não é

utilizada.


Entender como um indutor atua em circuitos..

Aplicar a Lei de Faraday e a Lei de Lenz para analisar a corrente induzida

em um sistema.

Explicar o princípio de básico por trás de um gerador elétrico.


136

10.2 OS EXPERIMENTOS DE FARADAY

Michael Faraday realizou dois experimentos no séc. XIX que foram de grande im-

portância. Vamos analisá-los aqui.

Primeiro experimento

Segundo experimento

O que você observa de comum nos dois experimentos?

10.3 LEI DE FARADAY

Fluxo magnético


137

Unidade de fluxo magnético

Lei de Faraday

Aplicações: guitarra, microfone, forno de indução

E 10.1. Uma espira condutora é formada por

uma semicircunferência de raio r = 0,20 m e

três fios retilíneos. A semicircunferência está

em uma região onde existe um campo magnéti-

co uniforme orientado para fora do plano, cujo

módulo é B = 4,0t ² + 2,0t + 3,0, com B em tes-


138

las e t em segundos. A resistência da espira é 2,0 . Determine o módulo da força

eletromotriz induzida na espira pelo campo magnético no instante t = 10 s.

E 10.2. O solenoide longo S representado em corte na figura possui 220

espiras/cm, tem um diâmetro D = 3,2 cm e conduz uma corrente i = 1,5 A. No

centro do solenoide é colocada uma bobina C, de enrolamento compacto, com 130

espiras e diâmetro d = 2,1 cm. A corrente no solenoide é reduzida a zero a uma taxa

constante em 25 ms. Qual é o valor absoluto da força eletromotriz induzida na

bobina C enquanto a corrente no solenoide está variando?

(a) Determine uma expressão para a corrente em S, i = i(t).

(b) Calcule o campo gerado pelo solenoide S, B = B(t).

(c) Calcule o fluxo que atravessa a bobina C.

(d) Determine a fem induzida na bobina C.

10.4 LEI DE LENZ Qual é o sentido da corrente induzida? Observe as figuras abaixo.


139

Podemos enunciar a Lei de Lenz como segue:

E 10.3. Um anel de metal é colocado próximo a um

solenoide, como mostrado na figura. No momento em

que a chave no circuito é fechada, o sentido da corrente

no anel será

a. horário

b. anti-horário

c. não haverá corrente no anel.

E 10.4. Um circuito condutor retangular se move com velocidade constante na

direção de uma região que tem um campo magnético B uniforme, conforme a

figura. Qual gráfico melhor representa a corrente induzida no circuito em função

do tempo?


140

SOCRATIVE

E 10.5. A figura mostra dois circuitos nos quais uma barra condutora desliza com a

mesma velocidade escalar v na presença do mesmo campo magne tico uniforme, ao

longo de um io em forma de . Os segmentos paralelos do io esta o separados por

uma dista ncia 2L no circuito e por uma dista ncia L no circuito 2. A corrente indu-

zida no circuito 1 tem o sentido anti-hora rio. A força eletromotriz induzida no cir-

cuito e maior, menor ou igual a força eletromotriz induzida no circuito 2?

E 10.6. Uma espira flexível condutora tem a forma de um círculo com raio variável.

A espira está em um campo magnético uniforme perpendicular ao plano da espira.

Seja t o tempo. Para manter uma fem constante na espira, o raio r deve ser

proporcional a

a. t1/2

b. t

c. t²

d. r deve ser constante.

E 10.7. Um fio longo conduz uma corrente I. Um circuito retangular como o indica-

do abaixo se aproxima do fio. Sobre a corrente in-

duzida no circuito:

a. Ela será nula.

b. Ela se propagará no sentido horário.

c. Ela se propagará no sentido anti-horário.

d. Não se pode concluir.

10.5 GERADORES

Uma das aplicações mais importantes da Lei de Faraday é o gerador.


141

E 10.8. Considere um gerador em contato com a roda de uma bicicleta e ligado a

uma lâmpada de resistência constante. Se a velocidade de pedalada dobra, a

potência de saída da lâmpada irá

a. Permanecer a mesma.

b. Dobrar.

c. Crescer por um fator de quatro.

d. Crescer por um fator de oito.

10.6 CAMPOS ELÉTRICOS INDUZIDOS

Podemos analisar a Lei de Faraday de uma maneira mais teórica.

Considere uma espira em uma região com um campo

magnético variável. Surgirá uma ________________

________________ no anel. O que faz as cargas elétricas se

movimentarem é um ________________ ________________.

Ou seja, um campo magnético variável produz um

campo elétrico.

E 10.9. O campo magnético em uma região do espaço é dado por

para -2 < t < 2, com t em s e B em T. Qual é o sentido do campo elétrico induzido

quando t = 0 s?

a. Paralelo ao eixo x.

b. Paralelo ao eixo y.

c. O campo elétrico está disposto em círculos centrados no eixo x.

d. Não há campo elétrico induzido quando t = 0 s.


142

E 10.10. A corrente através de um solenoide infinitamente longo cresce

linearmente em função do tempo. O campo elétrico dentro do solenoide é

a. Na forma de círculos centrados no eixo do solenoide.

b. Paralelo ao eixo do solenoide.

c. Direcionado radialmente para fora a partir do eixo do cilindro.

d. Nulo.

10.7 INDUTORES E INDUTÂNCIA

Analise a situação seguinte e descreva o que está acontecendo.

Definição de indutância

Unidade

Exemplos de indutores

A indutância de um solenóide é dada por

Dem:


143

E 10.11. Um indutor é composto por um solenoide flexível. Se o solenoide for esti-

cado até duas vezes seu comprimento original, então a indutância irá mudar para

a. Metade do valor original.

b. Um quarto do valor original.

c. A raiz quadrada do valor original.

d. Permanecer a mesma.

E 10.12. Determine a indutância de um solenoide ideal que possui N = 300 voltas,

comprimento l = 25 cm e área da seção transversal igual a A = 4,0 cm². O solenoide

está preenchido por ar.

SOCRATIVE

E 10.13. Uma pessoa utiliza um gerador acionado à manivela para fazer funcionar

uma lâmpada de resistência constante. À medida que a taxa de acionamento da

manivela diminui, qual(is) das seguintes variáveis diminui?

a. Fem

b. Corrente

c. Frequência

E 10.14. Por um fio reto e longo passa uma corrente que decresce linearmente

com o tempo. Qual o sentido do campo elétrico induzido fora do fio?

a. O mesmo da corrente.

b. Oposto ao da corrente.

c. Aponta radialmente para fora a partir do fio.

d. Aponta radialmente para dentro na direção do fio.

e. Não há campo elétrico induzido fora do fio.

E 10.15. A figura mostra uma regia o circular na

qual existem um campo magne tico uniforme de-

crescente orientado para fora do papel e quatro tra-

jeto rias circulares conce ntricas. Coloque as traje-

to rias na ordem do valor absoluto de , co-

meçando pelo maior.


144

10.9 CIRCUITOS RL

O circuito RL é o circuito composto por

Indutor ideal x real

Circuito com corrente aumentando

Constante de tempo indutiva

Circuito com corrente diminuindo

E 10.16. Calcule a corrente no circuito abaixo quando t = 2,0 ms.

E 10.17. A figura mostra um circuito que con-

te m tre s resistores iguais de resiste ncia R = ,

, dois indutores iguais de induta ncia L = 2,0

mH e uma fonte ideal de força eletromotriz =

18 V.

(a) ual e a corrente i que atravessa a fonte

no instante em que a chave e fechada?


145

(b) ual e a corrente i que atravessa a fonte depois que a chave permanece fe-

chada por um longo tempo?

E 10.18. Um solenoide tem uma induta ncia de 53 mH e uma resiste ncia de ,3 .

Se o solenoide e ligado a uma bateria, quanto tempo a corrente leva para atingir

metade do valor final? (Trata-se de um solenoide real, ja que estamos levando em

conta a resiste ncia interna.)

10.10 ENERGIA ARMAZENADA NO CAMPO MAGNÉTICO

Vimos, ao estudar capacitores, que a energia pode ser armazenada no campo elé-

trico.

Da mesma forma, a energia pode ser armazenada no campo magnético dentro de

um indutor.

A energia armazenada no campo magnético é dada por

Dem:

E 10.19. ma bobina tem uma induta ncia de 3 m e uma resiste ncia de ,3 .

(a) Se uma força eletromotriz de e aplicada a bobina, qual e a energia ar-

mazenada no campo magne tico quando a corrente atinge o valor inal?


146

(b) Apo s quantas constantes de tempo metade da energia inal esta armazena-

da no campo magne tico?

SOCRATIVE

E 10.20. Um resistor, um indutor, uma chave e uma bateria são postas em série.

Inicialmente, a chave é aberta. A chave é então fechada, permitindo a corrente fluir.

Antes do sistema atingir o regime permanente, a diferença de potencial entre os

terminais do resistor está

a. Aumentando.

b. Diminuindo.


E 10.21. Ainda sobre a situação anterior, antes do sistema atingir o regime perma-

nente, a diferença de potencial entre os terminais do indutor está

a. Aumentando.

b. Diminuindo.


E 10.22. A chave do circuito da figura abaixo permaneceu na posiça o a por muito

tempo e depois foi deslocada para posiça o b. O gráfico mostra a corrente no indu-

tor para quatro pares de valores da resiste ncia R e da induta ncia L: (1) R0 e L0; (2)

2R0 e L0; (3) R0 e 2L0; (4) 2R0 e 2L0. ual e a curva correspondente a cada par?

E 10.23. A figura a seguir mostra tre s circuitos com fontes, indutores e resistores

iguais. Coloque os circuitos na ordem da corrente no resistor R, começando pela

maior, muito tempo depois que a chave e aberta depois de permanecer fechada por

muito tempo.


147

E 10.24. A figura mostra a variaça o com o tempo

da diferença de potencial VR entre os terminais de

um resistor em tre s circuitos RL simples. A resis-

te ncia R e a força eletromotriz da fonte sa o iguais

nos tre s circuitos, mas as induta ncias L sa o diferen-

tes. Coloque os circuitos na ordem do valor de L,

começando pelo maior.

PARA SABER MAIS...

Sabe aquele (ou aqueles) cartão de crédito que está na sua carteira? Já pa-

rou pra pensar como ele funciona? Ele utiliza o princípio da Lei de Faraday

para realizar a leitura e identificação. Procure saber como isso acontece.

As antigas máquinas de fliperama que funcionavam com moedas também

utilizam a Lei de Faraday, sabia? Procure mais sobre isso.


Forno de indução (1): http://youtu.be/T3AI1eQ50iE

Forno de indução (2): http://youtu.be/cYyQegxOn1Y

Maglev (1): http://pt.wikipedia.org/wiki/Maglev

Maglev (2): http://youtu.be/GHtAwQXVsuk

Como fazer uma Bobina de Tesla: https://youtu.be/PyMK_UGlGIw

Nota histórica: Você está prestes a conhecer um pouco mais sobre um dos maio-

res gênios da Física, que contribuiu de forma marcante para o desenvolvimento da

sociedade moderna! Conheça...

http://youtu.be/T3AI1eQ50iE

http://youtu.be/cYyQegxOn1Y

http://pt.wikipedia.org/wiki/Maglev

http://youtu.be/GHtAwQXVsuk

https://youtu.be/PyMK_UGlGIw


148

Michael Faraday (1791 – 1867)

Considerado um dos cientistas mais influentes de todos

os tempos;

Suas principais contribuições foram nas áreasda eletri-

cidade, eletroquímica e magnetismo;

É descrito como o "melhor experimentalista na história

da ciência", mesmo não dominando a matemática avan-

çada;

Edison, Siemens, Tesla e Westinghouse foram beneficiados pelas descober-

tas de Faraday;

Descobriu o benzeno, produziu os primeiros cloretos de carbono conheci-

dos ajudou a expandir a metalurgia;

Criou termos como eletrólito, ânodo, catodo, eletrodo, e íon.


149

11. EQUAÇÕES DE MAXWELL

11.1 INTRODUÇÃO

Ao longo deste curso tivemos a oportunidade de estudar várias das ideias, teorias e

equações que descrevem o comportamento do mundo eletromagnético. Vimos al-

gumas aplicações desses conceitos e sua importância. Neste capítulo final, vamos

“amarrar” todas essas ideias em um conjunto completo (e altamente importante

denominado Equações de Maxwell.

O que é uma onda eletromagnética?

Onde ela está presente?

Faça uma recapitulação mental e liste abaixo todos os conceitos, ideias e equações

importantes que vimos até aqui. (não vale olhar!)


Escrever as equações de Maxwell.

Descrever o comportamento magnético básico da matéria.

Entender o princípio por trás do funcionamento de uma antena.


150

11.2 LEI DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS

Lei de Gauss para campo elétricos

Não é possível separar os polos (norte e sul) de um ímã.

Como podemos escrever uma Lei de Gauss para

campos magnéticos?

11.3 CAMPOS MAGNÉTICOS INDUZIDOS

Um campo elétrico variável é capaz de produzir um campo magnético.

A expressão do campo magnético induzido é dada por


151

E 11.1. Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio esta sendo

carregado.

(a) screva uma expressa o para o campo magne tico a uma dista ncia r do eixo

central das placas que seja va lida para .

(b) alcule o mo dulo B do campo magne tico para r = R/5 = 11,0 mm e dE/dt =

1,50 x 1012 V/m s.

(c) screva uma expressa o para o campo magne tico induzido no caso em que

.

11.4 CORRENTE DE DESLOCAMENTO

Considere o capacitor abaixo sendo carregado

Corrente de deslocamento


152

E 11.2. Um capacitor de placas paralelas circulares de raio R está sendo carregado

por uma corrente i.

(a) Determine o valor absoluto de entre as placas, a uma dista ncia

do eixo do capacitor, em termos de 0 e i.

(b) m termos do campo magne tico ma ximo induzido, qual e o mo dulo do cam-

po magne tico induzido no ponto ?

SOCRATIVE

E 11.3. A figura mostra um capacitor de placas

circulares que esta sendo carregado. O ponto a

(perto de um dos ios de ligaça o do capacitor) e o

ponto b (no espaço entre as placas esta o a mesma

dista ncia do eixo central e o mesmo acontece com

pontos c (um pouco mais afastado do fio da es-

querda que o ponto a) e d (na mesma posiça o ho-

rizontal que o ponto b, mas fora do espaço entre as

placas). No gráfico, uma curva mostra a variaça o

com a dista ncia r do mo dulo do campo magne tico

do lado de dentro e do lado de fora do fio da es-

querda a outra mostra a variaça o com a dista ncia

r do mo dulo do campo magne tico dentro e fora do

espaço entre as placas. As duas curvas se superpo em parcialmente. etermine a

corresponde ncia entre os tre s pontos assinalados no gráfico e os quatro pontos da

figura.

E 11.4. A figura mostra um capacitor de placas parale-

las e a corrente nos ios de ligaça o do capacitor en-

quanto esta sendo descarregado.

(a) O sentido do campo ele trico E e para a esquerda

ou para a direita?

(b) O sentido da corrente de deslocamento id e para

a esquerda ou para a direita?


153

(c) O campo magne tico no ponto P esta orientado para dentro ou para fora do

papel?

E 11.5. A figura mostra, em duas situaço es,

o vetor campo ele trico E e uma linha de

campo magne tico induzido. etermine, nos

dois casos, se o mo dulo de E esta aumen-

tando ou diminuindo.

E 11.6. A corrente através de um fio longo e estreito está aumentando de acordo

com i = (4,0 mA/s) t. Qual é a intensidade da corrente de deslocamento no fio?

a. id = 4,0 mA

b. id = i = (4,0 mA/s) t

c. Não existe corrente de deslocamento no fio.

d. São necessárias mais informações para responder a questão.

E 11.7. Ainda sobre a situação anterior, qual é o sentido da corrente de desloca-

mento?

a. Paralelo à corrente original.

b. Antiparalelo à corrente original.

c. Formando círculos concêntricos à corrente original, com o sentido dado pe-

la regra da mão direita.

11.5 EQUAÇÕES DE MAXWELL

Finalmente, podemos escrever o conjunto final das quatro Equações de Maxwell.


154

11.6 MAGNETISMO

Os primeiros ma s permanentes que a humanidade conheceu foram pedaços

de magnetita, um mineral que se magnetiza espontaneamente. Quando os gregos e

chineses antigos descobriram essas pedras raras, ficaram surpresos com a capaci-

dade que exibiam de atrair, como que por ma gica, pedacinhos de metal. Muito mais

tarde, usaram a magnetita (e pedaços de ferro magnetizados arti icialmente para

construir as primeiras bu ssolas.

oje em dia, ma s e materiais magne ticos esta o presentes em toda parte. As

propriedades magne ticas sa o causadas, em u ltima ana lise, por a tomos e ele trons. O

ma barato que voce usa para prender um bilhete na porta da geladeira, por exem-

plo, deve sua atraça o a efeitos qua nticos associados a s part culas ato micas e suba-

to micas que compo em o material. Não vamos estudar aqui sobre as propriedades

dos materiais magne ticos, pore m, vamos falar um pouco do maior ma que existe

em nossas vizinhanças, que e a pro pria erra.

O MAGNETISMO DA TERRA

A erra e um grande ma em pontos

pro ximos da superf cie terrestre, o campo mag-

ne tico se assemelha ao campo produzido por um

gigantesco ma em forma de barra (um dipolo

magne tico) que atravessa o centro do planeta. A

figura ao lado e uma representaça o idealizada

desse campo dipolar, sem a distorça o causada

pelo vento solar.

omo o campo magne tico da erra e o

campo de um dipolo magne tico, existe um momento dipolar magne tico associado

ao campo. No caso do campo idealizado da figura, o mo dulo de e 8,0 x 1022 e a

direça o de faz um a ngulo de 11,5º com o eixo de rotaça o da erra. O eixo do dipo-

lo (MM na figura tem a mesma direça o que e intercepta a superf cie da erra no

polo norte geomagne tico, situado no noroeste da roenla ndia, e no polo sul geo-

magne tico, situado na Anta rtica. As linhas do campo magne tico B emergem no

emisfe rio Sul e penetram na erra no emisfe rio orte. Assim, o polo magne tico

que esta situado no emisfe rio orte e e chamado de “polo norte magne tico” e na

verdade o polo sul do dipolo magne tico da erra.

A orientaça o do campo magne tico em um ponto qualquer da superf cie da

erra e normalmente especi icada atrave s de dois a ngulos. A declinaça o do campo

e o a ngulo (a esquerda ou a direita entre o norte geogra ico (isto e , a direça o da

latitude e a componente horizontal do campo. A inclinaça o do campo e o

a ngulo (para cima ou para baixo entre um plano horizontal e a direça o do campo.


155

nstrumentos chamados de magneto metros sa o usados para medir esses a ngulos e

determinar o mo dulo do campo com alta precisa o. ntretanto, e poss vel descobrir

qual e a orientaça o local do campo magne tico terrestre usando dois instrumentos

simples, a bu ssola e a bu ssola de inclinaça o. A bu ssola e simplesmente um ma em

forma de agulha que e montado de modo a poder girar livremente em torno de um

eixo vertical. uando a bu ssola e mantida em um plano horizontal, o polo norte da

agulha aponta para o polo norte geomagne tico (que, como vimos, e na verdade o

polo sul magne tico . O a ngulo entre a agulha e o norte geogra ico e a declinaça o do

campo. A bu ssola de inclinaça o e um dispositivo semelhante no qual a agulha pode

girar livremente em torno de um eixo horizontal. Quando o plano vertical de ro-

taça o esta alinhado com a direça o da bu ssola, o a ngulo entre a agulha do instru-

mento e a horizontal e a inclinaça o do campo.

m um ponto real da superf cie da erra, o campo magne tico medido pode

diferir apreciavelmente, tanto em mo dulo como em orientaça o, do campo dipolar

ideal da figura. a verdade, o ponto do emisfe rio orte no qual o campo e per-

pendicular a superf cie da erra na o e o polo norte geomagne tico na costa da ro-

enla ndia, como seria de se esperar o chamado polo norte de inclinaça o esta situa-

do nas ilhas ueen lizabeth, no norte do anada , a uma grande dista ncia da ro-

enla ndia.

Ale m disso, o campo medido em um determinado local pode mudar com o

tempo. ssa variaça o pode ir de um valor apenas mensura vel, em um per odo de

poucos anos, ate um valor considera vel em, digamos, anos. ntre e ,

por exemplo, a direça o indicada pela agulha das bu ssolas em ondres variou de

35°.

Apesar dessas variaço es locais, o campo dipolar me dio muda muito pouco

em pequenos intervalos de tempo. ariaço es em per odos mais longos podem ser

estuda- das medindo o magnetismo das rochas no fundo do mar dos dois lados da

cordilheira Mesoatla ntica (figura abaixo . essa regia o, o magma proveniente do

interior da erra chegou ao fundo do mar atrave s de uma fenda, solidificou-se e foi

puxado para longe da fenda (pelo deslocamento das placas tecto nicas a taxa de

alguns cent metros por ano. Ao se solidificar, o magma ficou fracamente magneti-

zado, com o campo magne tico orientado na direça o do campo magne tico da erra

no momento da solidi icaça o. O estudo da magnetizaça o do magma a diferentes

dista ncias da fenda mostrou que o cam-

po magne tico da erra tem mudado de

polaridade mais ou menos a cada mi-

lha o de anos, com o polo norte mag-

ne tico se transformando em polo sul e

vice-versa. A causa dessas inverso es

na o e conhecida. Na verdade, o pro prio

mecanismo responsa vel pelo campo

magne tico da erra ainda na o foi muito

bem esclarecido.


156

PARA SABER MAIS...

Antenas são a base das telecomunicações, um mercado gigantesco que mo-

vimenta bilhões (isso mesmo, Bilhões) de reais na economia. Procure saber

mais sobre as ondas eletromagnéticas, e como as antenas produzem e rece-

bem esses sinais.

Nota histórica: Maxwell, juntamente com Einstein, é considerado um dos maiores

físicos teóricos de todos os tempos. Ele deu grandes contribuições em vários ramos

da ciência, como a termodinâmica, a mecânica quântica e, em especial, o eletro-

magnetismo.

James C. Maxwell (1791 – 1867)

Físico e matemático britânico;

Mais conhecido por ter dado forma final à teoria mo-

derna do eletromagnetismo;

Demonstrou que os campos eletromagnéticos se propa-

gam com a velocidade da luz;

Desenvolveu a mecânica estatística e a teoria cinética

dos gases;

Seu trabalho em eletromagnetismo foi a base dos trabalhos de Einstein.


157

MENSAGEM FINAL

Se você chegou até aqui, parabéns! ocê conseguiu “sobreviver” a uma ma-

ratona de ideias, exercícios, teorias, conceitos e atividades que, concordo com você,

não foi fácil.

Porém, apesar de todo esforço, espero que a sensação que você leve seja a

de “satisfação”, muito mais do que a de “alívio”.

Espero que este curso tenha sido interessante, motivador e que tenha agre-

gado valor à sua formação e ao seu conhecimento.

Esteja sempre à vontade para me mandar alguma mensagem. Críticas, co-

mentários e sugestões são bem vindos!

Para finalizar, torço para que você não pare por aqui: esteja sempre recepti-

vo a novas ideias. Seja curioso. Aprenda mais. Vá além! Com certeza, você se desta-

cará na multidão.

Um forte abraço,

Ricardo.


158

LEITURA EXTRAS

E — INDUSTRIAL

rianças em qualquer lugar do mundo aproveitam

as propriedades triboele tricas. A companhia Ohio Art in-

troduziu um brinquedo baseado nestas propriedades por

volta de 6 ( igura ao lado . Bolinhas de estireno,

quando sacudi- das, fornecem carga para um po de alu-

m nio muito ino. O po carregado eletricamente e atra do

para a tela translu cida do brinquedo. Uma pequena pon-

teira (caneta) e , enta o, usada para desenhar linhas no po . O brinquedo baseia-se no

fato de que o alum nio e a tela se atraem com cargas opostas.

mbora um po carregado eletricamente possa ser usado em um brinquedo,

ele representa um assunto se rio para muitas indu strias. Metais desprotegidos ten-

dem a sofrer corrosa o e, para prevenir a corrosa o, partes meta licas de automo veis,

utens lios e outros objetos meta licos, sa o recobertas. No passado, o recobrimento

inclu a tintas, laqueaduras, vernizes e esmaltes que eram aplicados como l quidos

e, depois, secos. stes l quidos apresentam desvantagens. Os solventes levam mui-

to tempo para secar ou liberam componentes vola teis indesejados. Superf cies com

a ngulos diferentes podem ser recobertas de maneira na o-homoge nea. quidos

pulverizados geram desperd cio e na o podem ser reciclados de forma simples. O

recobrimento com po eletrosta tico reduz muitos destes problemas. Este processo

de recobrimento foi introduzido pela primeira vez na de cada de 1950 e, atualmen-

te, e popular dentre os fabricantes que aderiram a regulamentaça o para proteça o

do meio ambiente atrave s da reduça o do uso de vola teis qu micos.

A pintura a po e aplicada fornecendo carga ele trica ao item a ser recoberto.

ara fazer isso de forma con ia vel, e melhor que o objeto a ser recoberto seja con-

dutor. este caso, part culas muito pequenas (de 1 mm a 100 mm) em um po rece-

bem cargas com sinal oposto ao do objeto. As part culas da cobertura sa o forte-

mente atra das para o objeto a ser recoberto. art culas soltas podem ser recicla-

das e utilizadas novamente. uando as part culas esta o no objeto, o recobrimento

passa, enta o, pelo processo de cura atrave s do aumento da temperatura ou por luz

ultravioleta. O processo de cura ixa as mole culas do recobrimento umas as outras,

e as part culas e o objeto perdem suas cargas.

As part culas do recobrimento recebem carga por descarga corona ou por

carregamento triboele trico. a descarga corona, as part culas passam atrave s de

um plasma de ele trons, recebendo carga negativa. o carregamento triboele trico,

as part culas passam atrave s de um tubo feito de um material que esta na extremi-

dade oposta do espectro triboele trico, geralmente e lon. As part culas do reco-

brimento recebem uma carga positiva neste ra pido contato. O item a ser recoberto

recebe uma carga que depende do me todo de recobrimento usado. Dependendo da


159

cobertura e dos aditivos, as cargas do recobrimento variam de 500 a 1000 mC/kg.

O processo de cura difere de acordo com os materiais de recobrimento e dos itens

a serem recobertos. O tempo de cura pode variar de 1 a 30 minutos.

Apesar de o recobrimento com po ser econo mico e ambientalmente correto,

ele apresenta suas di iculdades. A capacidade das part culas do recobrimento de

manterem sua carga pode variar com a umidade, a qual deve ser precisamente

controlada. Se o campo ele trico da descarga corona for muito intenso, o po pulveri-

za muito rapidamente em direça o ao item a ser recoberto, deixando um ponto des-

coberto no centro de um anel, o que conduz a um acabamento irregular do tipo

“casca de laranja”. o s eletrosta ticos podem ser brinquedo de criança, mas o reco-

brimento com po eletrosta tico e um processo complexo, u til e em desenvolvimen-

to."


160

POR QUE A PIMENTA É QUENTE, O GENGIBRE É MORNO E A MENTA É REFRESCANTE?

O momento de dipolo ele trico, ou polaridade, afeta a solubilidade de subs-

ta ncias. omo a a gua tem um momento de dipolo ele trico muito intenso, ela fun-

ciona muito bem como um solvente para outras mole culas que tenham momentos

de dipolo fracos ou fortes, e ons. or outro lado, mole culas sem momentos de di-

polo, ou mole culas que sa o ta o grandes que apresentam regio es extensas sem mo-

mentos de dipolo, na o se dissolvem bem em a gua. Alguns o leos, por exemplo, na o

te m momento de dipolo e não se misturam na a gua.

As distribuiço es de carga que as mole culas podem apresentar tambe m con-

trolam se as substa ncias que na o sa o classi icadas estritamente como o leos se dis-

solvem bem em a gua. ualquer pessoa que ja mordeu uma pimenta forte e, enta o,

tomou um grande copo de a gua pode testemunhar que a a gua na o retira a sensaça o

de dor. A capsaicina, a qu mica ativa das pimentas vermelhas fortes, na o se dissolve

bem em a gua fria devido a sua distribuiça o de cargas. Entretanto, a solubilidade da

capsaicina em a gua aumenta com a adiça o de a lcool et lico, como demonstrado por

pessoas que refrescam suas bocas com cerveja depois de comerem pimentas. As

mole culas de a lcool te m momentos de dipolo fracos e se misturam bem com a gua e

com a capsaicina. A capsaicina tambe m se mistura bem com o leos, alguns tipos de

amido e prote nas. m muitas culturas, arroz ou carne, no lugar de a lcool, e usado

para dissolver a capsaicina.

A sensaça o de dor que as pessoas que comem pimenta sentem tambe m e

devida a s distribuiço es de carga nas mole culas. A prote na e um receptor de

neuro nios em humanos que assinala qua o quente — no sentido de temperatura —

algo esta . sta prote na tem uma distribuiça o de cargas que e alterada por tempe-

raturas acima de 3 . rote nas alteram suas formas (se dobram e desdobram)

conforme varia a distribuiça o de cargas atrave s delas. Muitas funço es das prote nas

sa o determinadas pelo dobramento e desdobramento causado pelas variaço es nas

distribuiço es de carga. ma variaça o na distribuiça o de carga da prote na 1

faz com que ela se dobre e passe informaça o para os neuro nios sobre qua o quente

esta o ambiente humano. A capsaicina provoca as mesmas alteraço es que o calor

nas distribuiço es de carga das prote nas 1, raza o pela qual as pessoas perce-

bem as pimentas como quentes. engibre, um tempero “morno”, conte m gingerol,

que ativa receptores similares atrave s de alteraço es nas distribuiço es de carga. O

mentol provoca mudanças similares na distribuiça o de carga em prote nas que sa o

receptoras de neuro nios em humanos e indicam qua o frio o ambiente esta . ste e o

motivo pelo qual as pessoas percebem a menta como refrescante.

Alteraço es em distribuiço es de carga de prote nas podem provocar mu-

danças texturais. O salgar do caviar, por exemplo, altera a distribuiça o de carga das

prote nas dentro dos ovos de peixe. nquanto as prote nas se desdobram, elas en-

grossam o fluido originalmente fino dentro do ovo, dando-lhe uma textura cremo-

sa.

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Física Geral III - Apostila