fisica II MOV ARMÓNICO SIMPLE

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA PRÁCTICAS DE LABORATORIO*

“UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA”

“FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL”

“ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL”

“DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA”

“FÍSICA II – (FS-241)”

MESA-01

LABORATORIO 06: “MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE”.

ALUMNOS: ORE CURI, Rhuter Jhonatan PILLACA GARCIA, Miguel CISNEROS ARROYO, Jean Bettner TENORIO PARIONA, Darwin

GRUPO: Lunes (8:00 a.m. – 10:00 a.m.).

PROFESOR: Julio Ore.

AYACUCHO – PERÚ

2013

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE


OBJETIVOS

Determinar experimentalmente los períodos de oscilación de un péndulo

simple y a partir de ellos comprobar la ecuación teórica

Estudiar el movimiento oscilatorio de un sistema masa-resorte

Determinar experimentalmente los períodos de oscilación de un péndulo

físico, a partir de ellos calcular los momentos de inercia y comprobar

experimentalmente el teorema de Steiner.

Estudiar la relación del periodo con la masa, longitud y ángulo de desviación en un péndulo simple.

Estudiar el movimiento oscilatorio de un sistema masa-resorte.

INTRODUCCIÓN TEÓRICA

Toda ecuación diferencial de tipo

d2 xdt2

+ω2 x=0, caracteriza un

movimiento armónico simple (MAS), cuya solución general es del tipo armónico

x (t)=Asen (t+); =2/T donde T es el periodo, la frecuencia angular y el

desfasaje.

Los siguientes son ejemplos de sistemas que realizan MAS:

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS)

Vamos a estudiar un movimiento llamado MAS, Movimiento Armónico Simple. Para ello, empezaremos viendo una serie de definiciones sencillas:

Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo valor.

Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.

Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.

Movimiento vibratorio armónico simple: es un movimiento vibratorio con aceleración variable, producido por una fuerza que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.


Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese movimiento de vaivén. Observando el movimiento del resorte, vemos que se desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio, de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera de los extremos la llamamos amplitud y la representamos por .

La posición que ocupa la bola roja en cada momento con respecto al punto central la conocemos como elongación,

El tiempo en realizar una oscilación completa es el período, representado por T y medido en segundos.

La frecuencia es el número de oscilaciones por segundo que realiza y la

representamos por .

Péndulo simple: ecuación del periodo, relación del periodo con la masa,

longitud y ángulo de desviación

PENDULO SIMPLELlamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en el gráfico:


A continuación demostraremos la fórmula del período:El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:

La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:

Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple:

Por consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo:

Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, es función de la elongación (X), con lo que podemos afirmar que se trata de un M. A. S. Por ello, podemos comparar la ecuación que caracteriza a este tipo de movimientos, que vemos a continuación:

, con la ecuación obtenida anteriormente

Vemos que la pulsación es: y teniendo en cuenta queDonde T es el período: Tiempo utilizado en realizar una oscilación completa, llegamos a:

1.1.- Relación del período con la masa:Utilizando péndulos de la misma longitud y de diferentes masas en un mismo lugar se demuestra que el periodo de un péndulo simple es independiente de su masa, igual ocurre con la naturaleza de la masa que conforma al péndulo.

1.2.- Relación del período con la longitud:Si se miden los periodos de un mismo péndulo simple, haciendo variar únicamente su longitud, se comprueba que, el periodo de un péndulo simple es proporcional a la raíz cuadrada de su longitud.

1.3.- Relación del período con el ángulo de desviación:Cuando el ángulo de desviación máximo respecto de la vertical es pequeño (en la práctica menor que 10º) el péndulo oscila con movimiento armónico simple


alrededor del punto de equilibrio. En esta situación el periodo resulta ser independiente del ángulo inicial, es decir, el ángulo donde se libera el péndulo, y depende únicamente de la longitud del péndulo y de la aceleración de la gravedad.También se sabe que el periodo de un péndulo varía con respecto a la amplitud, cuando se trabaja con ángulos muy pequeños, el periodo varía muy poco, esto físicamente es conocido como la ley del isocronismo.

Sistema masa resorte: ecuación del periodo

SISTEMA MASA - RESORTE:

Un sistema masa resorte está constituido por un resorte de constante K que tiene unido a uno d sus extremos una masa “m”. Cuando de este sistema se cuelga una masa m produce en el resorte una deformación X hasta alcanzar la

posición de equilibrio. En esta posición el peso es equilibrado por la

fuerza restauradora , si a partir de esta posición se aplica una fuerza adicional sobre el sistema hacia abajo hasta producir una deformación

adicional y luego se suelta, el sistema empezará a oscilar de acuerdo con la ecuación;

Que corresponde a un movimiento de armónico simple, Este sistema oscilará

con una frecuencia angular y un periodo Generalmente para casos experimentales, cuando se considera la masa del

resorte y la variación de la energía cinética durante la oscilación el periodo puede expresarse como:


Péndulo físico: ecuación del periodo, momento de inercia y teorema de

Steiner

PÉNDULO FÍSICO

Se denomina Péndulo Físico, a cualquier péndulo real, o sea, que en contraste con el péndulo simple no tiene toda la masa concentrada en un punto.

P=O, θ=φ

Un péndulo físico, de forma de lámina, cuyo centro de masa es C, tiene un eje de rotación en P y se separa un ángulo de su posición de equilibrio.


En la figura, un cuerpo de forma irregular está articulado alrededor de un eje horizontal sin rozamiento que pasa por P y se desplaza un ángulo de la posición de equilibrio. La posición de equilibrio es aquella para la cual el centro de masa del cuerpo C.G, se encuentra debajo de P y en la vertical que pasa por ese punto.La distancia del eje al centro de masa es d, el momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje pasa por el eje de rotación es I, y la masa del cuerpo es m. El momento restaurador para un desplazamiento angular es:

M = -m g d sen

Y se debe a la componente tangencial de la fuerza de gravedad. Puesto que M es proporcional a sen y no a , la condición para que el movimiento sea armónico simple, en general, no se cumple en este caso. Sin embargo, para pequeños desplazamientos angulares, la relación sen es, como anteriormente, una excelente aproximación, de manera que para que pequeñas amplitudes,M = -m g d O sea M = -KSiendo K = m g d

Pero M Id2ϕOt 2

=Iα

De manera que

d2ϕdt 2

=MI=− K

Iϕ

Por consiguiente, el periodo de un péndulo físico que oscila con pequeña amplitud es:

T=2π √ IK=2π √ Imgd

Para amplitudes mayores, el péndulo físico sigue teniendo un movimiento armónico, pero no simple.

Centro de Oscilación

Es siempre posible encontrar un péndulo físico simple equivalente cuyo periodo sea igual al de un péndulo físico dado. Si lo es la longitud del péndulo simple equivalente.

T=2π √ Lg=2 π √ Imgd ;

O bien,L= I

md


Así en lo que concierne al periodo de oscilación, la masa de un péndulo físico puede considerarse concentrada en un punto cuya distancia al eje es d = I/mL. Este punto se denomina centro de oscilación del péndulo.

La siguiente figura representa un cuerpo que puede oscilar alrededor de un eje que pasa por P y cuyo centro de oscilación está en el punto C. El centro de oscilación y el punto soporte tiene la siguiente propiedad interesante, a saber; si el péndulo se hace oscilar alrededor de un nuevo eje que pasa por C, su periodo no varía y el P se convierte en centro de oscilación. El punto soporte y el centro de oscilación se dice que son conjugados uno de otro.El centro de oscilación tiene otra propiedad importante, también se observa un bate de baseball sostenido o pivoteado en el punto O. Si una pelota golpea el bate en su centro de oscilación, no se ejerce ninguna fuerza de impulso sobre el pivote y por tanto no se nota ninguna molestia si el bate está contenido con la mano por dicho punto. Por esta propiedad, al centro de oscilación se le denomina centro de percusión.Momento de inercia

Una bailarina tendrá más momento de inercia si extiende los brazos, girando más rápido si los contrae.

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_angular


http://es.wikipedia.org/wiki/Masa_inercial

http://es.wikipedia.org/wiki/Inercia


Ecuaciones del momento de inercia

¿Cuál de estos giros resulta más difícil?El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.

Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación.

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación.

http://es.wikipedia.org/wiki/Medios_continuos

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Inertie_balai.jpg


Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:

Donde:

es el momento aplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y

es la aceleración angular.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.

La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelos

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

donde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)

eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

http://es.wikipedia.org/wiki/Jakob_Steiner

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Eje_principal&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector


http://es.wikipedia.org/wiki/Cantidad_de_movimiento

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_cin%C3%A9tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n_angular

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#Segunda_Ley_de_Newton_o_Ley_de_la_Fuerza


La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:

Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.

El centro de gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas

1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples 2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por . 3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes

con respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm de toda la figura formada por todas las áreas parciales anteriores.

4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura.

5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: Ii,x e Ii,y, para el área i-ésima.

6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner:

y 7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los

momentos anteriores: e


Oscilaciones de una varilla delgada

Una varilla delgada en forma de paralelepípedo, larga en comparación con

su anchura y grosor, puede utilizarse como péndulo físico para realizar

medidas de periodos o de momentos de inercia. Aquí consideraremos una

varilla homogénea como la mostrada en la figura 2. en la que se han

practicado pequeños orificios a lo largo de su eje de simetría a

intervalos regulares. Estos orificios sirven como puntos de suspensión.

y

y

a

dL (c.m.) L

(a) (b)

Figura 2. Varilla delgada de longitud L. (a) Vista frontal. Los agujerospara su suspensión se han practicado a intervalos regulares y. (b) Vista lateral. La distancia entre el punto de suspensión y el extremo superior es a. La distancia entre el punto de suspensión y el c.m. es d.

Se puede demostrar fácilmente que el periodo teórico de una varilla suspendida en la forma indicada en la figura 2 oscilando con pequeñas amplitudes está dada por:

Esto puede escribirse en forma similar a la ecuación que nos da el periodo de un péndulo simple:


Donde hemos hallado

Momentos de inercia

El momento de inercia de una varilla delgada con respecto a un eje

perpendicular que por su c.m. es ¿1/12)mL2, donde m es su masa y L

su longitud. Respecto de cualquier otro eje paralelo al primero, el

momento de inercia puede obtenerse aplicando el teorema de Steiner. Así,

el momento de inercia cuando la varilla está suspendida de un punto O

situado a una distancia a de su extremo es:

Supongamos que a la varilla se le coloca sobre su c.m. otro tramo más

corto con la misma densidad lineal de masa, según muestra la figura 3. La

masa de este tramo corto es x⋅m, y su longitud x⋅L, donde 1≥x>0 es la fracción

de longitud y masa del tramo corto con respecto a la varilla. El momento de

inercia de este conjunto es la suma de los momentos de inercia de los dos

elementos que lo componen, y se puede expresar como:


PROCEDIMIENTOS Y RESULTADOS

1. DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DEL PERIODO DE UN PÉNDULO

SIMPLE

Materiales: un péndulo simple de 1,00 m de longitud, una regla métrica y un

cronómetro

1.1. Disponga el péndulo simple (el peso que cuelga del hilo se mantendrá

constante), tal como se muestra en la figura 1

Figura 1

1.2. Seleccione una longitud (l) de unos 0,10 m. Sujetando por la pesa dé una

pequeña inclinación vertical, suéltelo y mida el tiempo que demoran 10

oscilaciones completas (Tk1). Repita esto tres veces (Tk2 y Tk3) Obtenga el

promedio (Tk) y luego calcule el periodo (Ti)

1.3. Repita 7 veces 1.2. incrementando la longitud en 0,10 m. Registre sus

datos tal como se muestra en la tabla 1

TABLA 1

Para 10 oscilaciones Para 1 oscilaciones

N l (m) Tk1 (s) Tk2 (s) Tk3 (s) Tk (s) Ti (s)

1

0,10

6.18 6.32 6.20 6.23 0.623

2

0,20

8.84 8.75 8.89 8.83 0.883

3

0,30

11.04 10.95 10.99 10.99 1.099

4 12.47 12.50 12.56 12.51 1.251

lllllllllllllllllllllll


0,40

5

0,50

14.38 14.29 14.17 14.28 1.428

6

0,60

15.37 15.24 15.48 15.36 1.536

7

0,70

16.49 16.72 16.55 16.59 1.659

DONDE:

T=f (L)θ :Cons tan tem :Cons tan te

1.4Introduzca sus datos a una hoja de cálculo (por ejemplo Microsoft Excel),

grafique logaritmo del período (en el eje Y) versus el logaritmo de la longitud

(en el eje X), haga un ajuste lineal y que aparezcan los parámetros del

ajuste en el gráfico.

TABLA 1


N l (m) Tk1 (s) Tk2 (s) Tk3 (s) Tk (s) Ti (s) log L(m)

1

0,10

6.18 6.32 6.20 6.23 0.623 -1.000 -0.206

2

0,20

8.84 8.75 8.89 8.83 0.883 -0.699 -0.054

3

0,30

11.04 10.95 10.99 10.99 1.099 -0.523 0.041

4

0,40

12.47 12.50 12.56 12.51 1.251 -0.398 0.097

5

0,50

14.38 14.29 14.17 14.28 1.428 -0.301 0.155

6 15.37 15.24 15.48 15.36 1.536 -0.222 0.186


0,60

7

0,70

16.49 16.72 16.55 16.59 1.659 -0.155 0.220

-2 -1 0

-0.25-0.2

-0.15-0.1

-0.050

0.050.1

0.150.2

0.25f(x) = 0.505982278241092 x + 0.301104221948446R² = 0.999378810978768

LogT-LogL

LogL

LogT

1.5 Interprete los parámetros del ajuste lineal, construya la ecuación del

período del péndulo simple y compárelo con el teórico.

logT=0.506 logL+0.3011

0.506logT=logL+ 0.301

0.5061

0.506≈2

logT 2=log L+log (100.301∗2 )log T 2=log (10¿¿0.301∗2×L)¿T 2=¿¿T=√100.301∗2×√L

T=1.99986186963√LT=2π ×0.318287902053√LT=2π

3.14180964325√L

T= 2π

√9.87096783442√LT=2π √ L

9.87

Comparando con la ecuación teórica:

T=2π √ LgSe puede deducir el valor de la gravedad, la cual se aproxima a los

valores establecidos

2. SISTEMA MASA RESORTE

Materiales: resorte y pesas, soporte universal con nuez, varilla y regla,

cronómetro y balanza

2.1. Coloque una masa en un extremo del resorte, tal como se muestra en la

figura 2


Figura 2

2.2. Sujetando por la pesa dé un estiramiento al resorte (mida dicho

estiramiento) suéltelo y tome el tiempo para 10 oscilaciones (Tk1). Repita 2

veces más (Tk2 y Tk3). Registre sus datos tal como se muestra en la tabla 2.

Calcule el promedio (Tk) y luego el periodo (Ti)

2.3Repetir 2.2. con otras seis masas (para todos dé el mismo estiramiento).

TABLA 2


N m (kg) Tk1 (s) Tk2 (s) Tk3 (s) Tk (s) Ti (s)

1 0.50 6.48 6.58 6.34 6.47 0.647

2 0.60 6.90 6.99 7.00 6.96 0.696

3 0.65 7.18 7.14 7.23 7.18 0.718

4 0.70 7.57 7.42 7.39 7.46 0.746

5 0.80 7.97 8.04 8.09 8.03 0.803

6 0.90 8.61 8.53 8.47 8.54 0.854

7 1.00 9.06 8.96 9.10 9.04 0.904

DONDE:

T=f (m)L :Cons tan teθ :Cons tan te

2.4Introduzca sus datos a una hoja de cálculo (por ejemplo Microsoft Excel) y

grafique el periodo T (en el eje Y) versus √m (en el eje X), haga un ajuste

por mínimos cuadrados e interprételo.


2.5TABLA 2

Para 10 oscilaciones Para 1

oscilaciones

N m (kg) Tk1 (s) Tk2 (s) Tk3 (s) Tk (s) Ti (s)

1 0.50 6.48 6.58 6.34 6.47 0.647 0.707

2 0.60 6.90 6.99 7.00 6.96 0.696 0.775

3 0.65 7.18 7.14 7.23 7.18 0.718 0.806

4 0.70 7.57 7.42 7.39 7.46 0.746 0.837

5 0.80 7.97 8.04 8.09 8.03 0.803 0.894

6 0.90 8.61 8.53 8.47 8.54 0.854 0.949

7 1.00 9.06 8.96 9.10 9.04 0.904 1.00

0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.050

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

f(x) = 0.892477576112949 x + 0.00595626082256029R² = 0.995224702632749

periodo(T)-raiz cuadrada de la masa(m)

CUADRADA DE LA MASA

PERI

ODO

(T)

De la ecuación de ajuste tenemos:

T=0.8925√m+0.006sihacemos que0.006≈0entoncesT=0.8925√m

T=2π ×0.14204578671√mT=2π

√49.56136882073√mT=2π √ m

49.56

Podemos deducir que la constante de elasticidad del resorte es 49.56Nm

por

comparación con la formula teórica.

3. PÉNDULO FÍSICO


Materiales: una barra metálica con agujeros, un soporte con cuchilla, una regla

métrica, vernier y cronómetro

3.1Determine el centro de masa de la barra

L=52.7cm

3.2Mida las dimensiones de la barra y de los agujeros

Lt=104.14cm; Ancho=3.85cm; espesor= 0.45cm

3.3 Mida la masa de la barra

Masa=1270 gramos

3.4 Fije al filo de la mesa el soporte con cuchilla.

3.5 Suspenda la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla

y hágala oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio

(cuando más 10°), tome nota del tiempo que emplea en 10 oscilaciones

(Tk1) y mida también la distancia l. (distancia del CM a O, fig. 3)

Figura 3

3.6Repita esta operación dos veces más (Tk2 y Tk3). Registre sus datos tal

como se muestra en la tabla 3. Calcule el promedio (Tk) y luego el periodo

(Ti)

TABLA 3


N l (m) Tk1 (s) Tk2 (s) Tk3 (s) Tk (s) Ti (s)

1 0.505 16.28 16.10 16.20 16.19 1.619

2 0.455 15.98 16.00 16.00 15.99 1.599

Eje de oscilación por OO

Eje por CM

l


3 0.405 15.70 15.76 15.72 15.73 1.573

4 0.355 15.30 15.27 15.26 15.28 1.528

5 0.305 15.42 15.48 15.45 15.45 1.545

6 0.255 15.50 15.56 15.51 15.52 1.552

7 0.205 16.01 15.98 15.95 15.98 1.598

3.7Calcule los momentos de inercia (Il) de la barra alrededor de cada punto O

(use la ec. T=2π √ Il

Mgl ) = ; =

l2 I i

0,255025 0,4177303560,207025 0,3671295020,164025 0,3162448260,126025 0,2615688490,093025 0,2297564790,065025 0,1938360610,042025 0,165203168

3.8 Introduzca sus datos a una hoja de cálculo y grafique I l (en el eje Y) versus

l2 (en el eje X), haga un ajuste por mínimos cuadrados. ¿Cómo indica el

gráfico la comprobación del Teorema de Steiner (I l=ICM+M l2)?

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.45f(x) = 1.1963667743773 x + 0.116045529658184R² = 0.998564874617158

momento de inercia - longitud al cuarado

longitud al cuadrado

mom

. de

iner

cia

De la ecuación de regresión lineal tenemos:


I i=0.116+1.1964 l2

Que tiene un parecido con el teorema de Steiner donde la pendiente representa

la masa y la intersección con el eje Y el momento de inercia de la barra con

respecto a su centro de masa.

3.9Del gráfico dar los valores del momento de inercia de la barra alrededor del

centro de masa ICM y la masa M de la barra, compare éste último con el

valor medido.

I i=0.116+1.1964 l2

Por comparación con el teorema de Steiner tenemos:

ICM=0.116 kg .m2

m=1.1964 kg

Masa como dato:

masade la barra=1.270Kg

3.10 Graficar T2 (en el eje Y) versus l (en el eje X), ¿qué conclusión obtiene

de este gráfico?

0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.452.15

2.2

2.25

2.3

2.35

2.4

2.45

2.5

2.55

2.6

2.652.621161

2.556801

2.474329

2.334784

2.3870252.408704

2.553604

momento de inercia

perio

do a

l cua

drad

o

Conclusión:

El periodo no varía linealmente con respecto al momento de inercia.


Si la distancia con respecto al centro de masa aumenta el momento en ese

punto también aumenta y el periodo disminuye hasta llegar a su mínimo valor

en una cierta distancia y nuevamente aumenta.

CUESTIONARIO

1. Averigüe la ecuación completa del péndulo simple (que no sólo dependa de

la longitud). Discuta ésta ecuación con la ecuación que usamos en nuestra

experiencia.

L a partícula se mueve en un arco de círculo de radio L. Las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso m.g y la tensión T a lo largo de la cuerda, entonces:

F t=−mgsenθ

Donde el signo menos se debe a que se opone al desplazamiento o fuerza restauradora La ecuación del movimiento tangencial es FT=−mgsenθY como la partícula se mueve a lo largo de círculo de radio L, expresaremos la aceleración tangencial.


aT=

Ld2θLdt 2

mLd2θdt 2

=−mgsenθ Ó

d2θdt2

+ gLsenθ=0

Si el ángulo es θ en pequeño y la amplitud de las oscilaciones es pequeña y

escribir senθ≈θ entonces reemplazando en lo anterior ecuación obtenemos:

d2θdt2

+ gLθ=0

, luego concluimos que, dentro de nuestra aproximación, el

movimiento angular del péndulo es armónico simple con w2= g

L . El ángulo

puede así expresarse en la forma θ=θ0 sen(wt+α ) , entonces T=2π

w , el

periodo de la oscilación está dado por: T=2π √ Lg Entonces a partir de esta

para obtener la formula general de periodo , primero expresamos la energía potencial del péndulo como una función del ángulo y la sustituimos en la expresión :

T=2∫X 1

X2 dx(2/m)(E−Ep ) .

Nosotros omitiremos los detalles matemáticos, pero indicaremos que el resultado puede expresarse por la serie:

T=2π √ Lg (1+ 14sen2

12θ+ 9

64sen4

12θ+. .. ).

La variación con la amplitud θ0 del

periodo P expresado en función del periodo T 0=2π √ Lg correspondiente a

oscilaciones muy pequeñas. Nótese que el periodo T difiere apreciablemente

de T 0 solamente para amplitudes muy grandes .Para pequeñas amplitudes es

suficiente tomar el primer término correctivo y aun sustituir

12θ0

por sen

12θ0 ,

, obteniéndosela final

T=2π √ Lg (1+ 1

16θ0)


Discuta esta ecuación con la ecuación que usamos en nuestra experiencia

En la ecuación del péndulo simple que usamos en nuestra experiencia

utilizamos la siguiente ecuación T=2π √ Lg en donde vemos que el periodo

solamente depende de la longitud de la cuerda y de la aceleración de la gravedad en cambio en la ecuación completa del péndulo simple que demostramos ya no podemos decir lo mismo debido a que aparece otro

paramento que el ángulo de desviación T=2π √ Lg (1+ 1

16θ0)

en esta ecuación el periodo ya depende de tres magnitudes tales como el ángulo de desviación pero siempre en cuando en ángulo sea mayor que 15º .Por lo tanto concluimos que el periodo depende de la longitud del hilo, de la aceleración de la gravedad y del ángulo de desviación.

2. Suponga que se mide el periodo de un péndulo simple con una desviación

vertical de 5° y 10° ¿En cuál de los dos casos resulta mayor el periodo?

En la ecuación del péndulo simple que usamos en nuestra experiencia

utilizamos la siguiente ecuación T=2π √ Lg en donde vemos que el periodo

solamente depende de la longitud de la cuerda y de la aceleración de la gravedad y no depende del ángulo de desviación vertical por lo que concluimos que en ambos casos el periodo será igual.

3. El movimiento del sistema masa resorte usado será estrictamente MAS,

sustente su respuesta. Investigue brevemente el funcionamiento de un

sismógrafo.

En el estudio de los terremotos, se emplean múltiples y avanzados instrumentos en su investigación, pero la herramienta fundamental es el sismógrafo, aparato sumamente sensible capaz de detectar las vibraciones más leves de la tierra. Los movimientos quedan registrados por medio de un punzón que traza una línea sobre un papel enrollado en un cilindro giratorio. (En algunos aparatos, la línea queda marcada por un rayo de luz finísimo enfocado sobre papel fotosensible.) Cuando no hay vibraciones, la línea es recta; los temblores pequeños originan ligeras oscilaciones, pero las grandes sacudidas producen amplios trazos hacia arriba y hacia abajo.


Cuando se registran ondas sísmicas de cierta intensidad, la comparación entre la amplitud de las ondas y el tiempo que tardaron en alcanzar diversas estaciones permite a los científicos determinar dónde se produjo el terremoto y su magnitud. Para registrar el movimiento del suelo es necesario referirlo a un punto fijo en el espacio; si quisiéramos referirlo a un punto anclado al mismo suelo nos sería imposible obtener un registro puesto que el punto también se movería junto con el suelo al que está anclado. Para salvar esta dificultad, podemos recurrir al principio de inercia de los cuerpos. Como sabemos este principio nos dice que todos los cuerpos tienen una resistencia al movimiento o a variar su velocidad. Así, el movimiento del suelo puede ser medido con respecto a la posición de una masa suspendida por un elemento que le permita permanecer en reposo por algunos instantes con respecto al suelo. El mecanismo consiste usualmente en una masa suspendida de un resorte atado a un soporte acoplado al suelo cuando el soporte se sacude al paso de las ondas sísmicas, la inercia de la masa hace que ésta permanezca un instante en el mismo sitio de reposo. Posteriormente cuando la masa sale del reposo, tiende a oscilar. Sin embargo, ya que esta oscilación posterior del péndulo no refleja el verdadero movimiento del suelo, es necesario amortiguarla.

En el dibujo esta representado un aparato en el que el amortiguamiento se logra por medio de una lámina sumergida en un líquido (comúnmente aceite). Este era el método utilizado en los aparatos antiguos, actualmente se logra por medio de bobinas o imanes que ejercen las fuerzas amortiguadoras de la oscilación libre de la masa. Si se sujeta un lápiz a la masa suspendida, para que pueda inscribir en un papel pegado sobre un cilindro que gira a velocidad constante, se podrá registrar una componente del movimiento del suelo (como veremos adelante los sismógrafos reales poseen un sistema amplificador entre la masa y el papel para producir registros analizables a simple vista).

El instrumento hasta aquí descrito, detecta la componente vertical del movimiento del suelo y se conoce como sismógrafo vertical. El papel donde traza el movimiento se conoce como sismo grama. Como el movimiento del suelo tiene lugar en las tres dimensiones del espacio, los movimientos del suelo también tienen dos componentes horizontales. Para medir este movimiento se requiere de péndulos horizontales que oscilan como una puerta aunque con el eje ligeramente inclinado para lograr un punto de estabilidad.

4. Demuestre en forma analítica las ecuaciones del péndulo compuesto y el

teorema de Steiner


∑T=IOα

−mgdsenθ=IO θ̈

θ̈+mgdsenθIO

=0

Para θ<14 °−20 °

θ̈+mgdθIO

=0

TEOREMA DE STEINER

El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los cálculos.

Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a

un eje que pase por el centro de masas de un objeto

Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D

Procedemos ahora la demostración del Teorema:


Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas (x,y). Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del

objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán (x',y')

Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:

Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:

La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta

integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. por tanto:

5. Para la experiencia de péndulo físico, compare el valor de ICM obtenido del

gráfico Il vs l2 (paso 3.8 de resultados), con el valor de la fórmula analítica

para una barra de longitud L y ancho b, ICM =1/12 M (L2 + b2). ¿qué error

experimental obtuvo y justifique a causa de qué?

http://2.bp.blogspot.com/-Dgwv7QIARHs/TaHMtImvs2I/AAAAAAAAAa8/b4DW-U53RFE/s1600/steiner4.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-Vq2aIDg3r6k/TaHGYylz5uI/AAAAAAAAAa0/atYL0geu0bk/s1600/steiner2.jpg

http://1.bp.blogspot.com/-HmGBtbib_vc/TaHJk1U2BNI/AAAAAAAAAa4/0umjUZQUvSg/s1600/steiner3.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-pG7a7Ja2BOQ/TaHPsavE0_I/AAAAAAAAAbA/htqy4y3aRgM/s1600/Ssteiner5.jpg

http://3.bp.blogspot.com/-mYACjcMIhlY/TaHSHBnQSzI/AAAAAAAAAbE/25GkKLeZfbA/s1600/steiner6.jpg


ICM=0.116 kg .m2

Si usamos la formula analítica

I cm=112M (L2+b2 )I cm=1.6834 kg .m2

La diferencia se debe a que teóricamente se considera una barra

homogénea y en experimento usamos una barra unos pequeños orificios

que no se consideraron a la hora de realizar los cálculos.

6. Comente aplicaciones del M.A.S. en situaciones de la ingeniería civil. En edificios para contrarrestar los fuertes vientos y posibles movimientos

sísmicos. En puentes colgantes para contrarrestar las fuerzas del viento y

movimientos telúricos. En estudios de suelos donde existen movimientos sísmicos. En la ingeniería civil se tiene que buscar que la frecuencia la de la fuerza

externa de un sismo, no entre en resonancia con la oscilación de la estructura para evitarque colapse.

CONCLUCIONES:

El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición obedece a una ecuación del tipo senoidal o cosenoidal. De donde se puede deducir que la posición de equilibrio es aquella posición donde la fuerza resultante es nula , además la rapidez del cuerpo oscilante es máxima y a partir de esta posición se definen las diversas posiciones del cuerpo oscilante en cualquier instante de tiempo

También podemos concluir que el período de un péndulo sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad, esto se cumple para con ciertas condiciones porque cuando el ángulo de desviación es mayor a 15º el periodo de oscilación del péndulo ya depende También del ángulo pero si es menor se mantienen próximos debido a que los ángulos en radianes se aproximan.

En el péndulo simple el período es independiente de la masa que se cuelga del hilo, es decir que todos los péndulos simples de igual longitud, igual ángulo de desviación y en el mismo sitio oscilan con períodos iguales. Por tanto, a través de la medida del período de oscilación del péndulo simple es posible comprobar la aceleración de la gravedad en el lugar en que se encuentra situado.

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/prens/prens.shtml


En un sistema masa-resorte, el periodo depende del coeficiente de elasticidad del resorte, y de la masa del peso adjunto al mismo, además ambos factores son directamente proporcionales al periodo del mismo. Cuando se trabaja con un sistema de masa-resorte, generalmente se desprecia la masa del resorte, debido a que sus proporciones no son tan preponderantes para el sistema, en el caso de que si lo sea, es necesario adecuar las fórmulas del movimiento.

OBSERVACIÓNES:

Sabemos que en el experimento hay vínculos entre observador-instrumento, instrumento objeto, de las cuales habrán resultados que presentan errores, in certezas, que debemos tener en cuenta para que nuestra medición final sea más exacta. Y de ahí podemos saber que la medición que hicimos está correctamente expresada cuando conste de su valor representativo, su intervalo de in certeza, y la unidad correspondiente.

Los alumnos de cada mesa deben distribuirse las responsabilidades (primer alumno : mide con un determinado instrumento , segundo alumno : anota la medida obtenida por el primer alumno , tercer alumno : realiza el determinado reporte

En el momento de la toma de datos se debe de tener mucho cuidado debido a que es con la cual haremos nuestro análisis y deducción correspondiente.

Se deben tomar los tiempos de manera exacta cuando se toman varias medidas que se estudia como por ejemplo cuando se toman datos de una oscilación se debe mantener algunos datos constantes para ciertas oscilaciones.

La medición debe hacerse las veces posibles para así tener mayor certeza del dato correcto sobre una oscilación, esto es necesaria para reducir el posible margen de error.

BIBLIOGRAFÍA

Para la elaboración de esta guía:

Goldemberg, J. Física general y experimental Tomo I

UNI. Laboratorios de Física

UNMSM. Manual de Laboratorio de Mecánica

VII Simposio Peruano de Física. Cursillo de física experimental


Para los temas teóricos cualquier libro de Física y/o mecánica

* Elaborado por Julio Oré

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