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INTRODUCCIÓN

La construcción de gráficas nos sirve para predecir el comportamiento de

variables relacionadas entre sí a través de una ecuación, en el presente

informe trataremos sobre tres experiencias.

La primera experiencia basada en la Ley de Hooke; muestra una función lineal

con variables de deformación experimentado por el resorte (Li) y del peso

aplicado al resorte (Pi), la cual realizaremos mediante el método visual y el

método de los mínimos cuadrados.

La segunda experiencia basada en la caída libre de los cuerpos; muestra una

función potencia con variable de tiempo (Ti) y de espacio recorrido (Hi);

realizado mediante el método de los mínimos cuadrados.

La última experiencia, basada en la descarga de un condensador nos muestra

una función exponencial con variables de tiempo de descarga (Ti) y de

diferencia potencial en el condensador (Vi); realizado mediante el método de

los mínimos cuadrados.

.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA E.A.P ING AGROINDUSTRIAL

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN………………………………………………………..………

CAPÍTULO I: GENERALIDADES……………………………………..……

1.1. ESPECIALIDAD…………………………………………………….…

1.2. TITULO…………………………………………………….……....…

1.3. OBJETIVO………………………………………………………….….

CAPÍTULO II:FUNDAMENTO TEORICO ........……………………………..

CAPÍTULO II: EXPERIMENTACIÓN…………………………………..…….

3.1. MATERIALES………………………………………………..………

a. Materiales y equipos

3.2. METODOLOGÍA……………………………………………………..

3.3. TABLA DE DATOS………………………………………………….

CAPÍTULO IV: RESULTADOS ………….……….….……………………….

4.1. RESULTADOS ……………………………………………………….

4.2. DISCUSIÓN ……………………………………………………….….

CONCLUSIONES ………………………………………………………….……

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………..…………

3


I. GENERALIDADES

1.1. ESPECIALIDAD

Laboratorio de FISICA I

1.2. TITULO.

CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS Y ECUACIONES EMPÍRICAS

1.3. OBJETIVO.

Dados los datos experimentales de tres experiencias realizadas en

la UNS, graficarlos en papel milimetrado, identificar el tipo de

curva y determinar su ecuación empírica.

Aplicar cambio de variables y/o logaritmos para transformar la

ecuación de una curva (exponencial, potencial, logarítmica, etc.) a

una recta.

Aplicar el método de los mínimos cuadrados para hallar la

ecuación empírica de una recta y representarlo gráficamente.

CAPÍTULO 1

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II. FUNDAMENTO TEÓRICO

Una variable es un símbolo como x, y, z, etc. que representa a una cantidad a la cual puede asignársele, a una variable se le puede asignar un número ilimitado de valores.

Si a cada valor que puede tomar una variable x corresponde uno o más valores de una variable y se dice que y es función de x y se escribe:

X Variable Independiente Y Variable Dependiente

A la variable “x” se le llama Independiente, porque toma el valor el valor que se le asigne; y a la variable “y” se le llama Dependiente, porque toma los valores que satisfacen la relación particular.

Las funciones se representan gráficamente en un sistema de coordenadas rectangulares, mediante puntos que satisfacen la ecuación: y = f(x).

Estas gráficas pueden ser líneas rectas o curvas, las que representan el lugar geométrico de los puntos que cumplen la ecuación.

La pendiente “b” de la ecuación de una recta y = a + bx, tal como la representada en la figura1, que pasa por los puntos P(x, , y,) y Q(x, , , y, , ) , se define por :

CAPÍTULO 2

y = f(x)

5


Muchas leyes de la física se expresan mediante la ecuación de una recta,

como ejemplo tenemos el M.R.U.: e = v.t. donde y=e, x =t, a=0, b=v

Así también tenemos funciones de la forma:

FUNCION POTENCIAL FUNCION EXPONENCIAL

FUNCION LOGARITMICA

La prolongación de una pequeña cantidad de una línea recta o curva por

cualquiera de sus extremos se llama “extrapolación” y es una técnica útil para

obtener coordenadas en forma aproximada, propias de la gráfica que no se

tenían inicialmente obteniéndose valores fuera del intervalo experimental. La

extrapolación no es un proceso seguro, por lo que se debe tener cuidado en su

utilización.

Y

X 𝒆−𝑨/𝑩

Figura N°04

6


Otra técnica es la “interpolación”, que consiste en obtener una de las

coordenadas por ejemplo x’, fijada la otra, es decir y’, a través de la

correspondencia que establece entre ambas la gráficas.

Si la gráfica no es una recta, ¿Cómo encontrar los valores de A y B en la

función potencia?. Una técnica muy empleada es aplicando logaritmos y

cambio de variable.

Tenemos: y = AxB

Aplicando logaritmo: ln y = ln A + B ln x

Cambio de variable: r = ln y, x = ln x, a = ln A, b = B

Reemplazando: r = a + bx …………..Ecuación de la recta

METODOS DE LOS MINIMOS CUADRADOS

En un experimento realizado en el laboratorio se han medido cantidades de 2

magnitudes físicas x e y , con el propósito de descubrir o de verificar la ley

física que las vincula. Como consecuencia, se han obtenido n pares de valores

(xi , yi) que representados gráficamente muestran un conjunto de puntos que

sugiere la forma de una línea recta.

Figura N°05 Figura N°06

7


Existe 2 formas de hacer éste gráfico:

1. Trazando directamente la línea recta entre los puntos (Método visual).

2. Encontrando los parámetros a y b de la ecuación de la recta y = a + bx,

por el método de los mínimos cuadrados y luego graficarlo. Donde a y b

se calcula con las siguientes fórmulas:

∑

∑

−∑

∑

∑

− ∑

……. (2) ∑

−∑

∑

∑

− ∑

…….. (3)

Las desviaciones estándar de a y b se obtienen mediante las siguientes

ecuaciones:

∑

∑

∑

− ∑

……. (4) ∑

∑

− ∑

…… (5)

8


III. EXPERIMENTACIÓN. 3.1. MATERIALES.

a. Materiales y equipos:

Calculadora

Juego de pistoletes, regla, lápiz y borrador.

6 unidades de papel milimetrado.

3.2. METODOLOGÍA.

Los puntos de las gráficas deben tener sus incertidumbres bien marcadas

sobre ellos (con un rectángulo o una cruz), y los ejes están debidamente

identificados. Tanto el tipo de incertidumbre como cualquier símbolo

empleado para rotular los ejes deberán de identificarse explícitamente en

forma claro, sobre o junto a la gráfica.

Para representar una curva o recta gráficamente en un papel gráfico,

indique cada punto experimental con una señal encerrada por un círculo

pequeño o cruz, previamente escoger una escala para cada variable física

en forma adecuada. Después de indicar los puntos experimentales, dibuje

lo mejor posible una curva o recta continua que pase entre los puntos.

Algunas veces no es posible dibujar una curva o recta que pase por todos

los puntos trazados. En este caso, quedarán algunos puntos a uno y otro

lado de la curva o recta.

Cuando aparezcan dos o más curvas en la misma gráfica se deberán

utilizar distintos símbolos para cada grupo de datos.

CAPÍTULO 3

9


3.3. TABLA DE DATOS

a. Experimento Nº 01: Ley de Hooke

Tabla Nº 1

Li (m) 0,052 0,102 0,155 0,206 0,258

Pi (N) 1,96 2,94 3,92 4,90 5,88

Donde:

Li = Deformación experimentada por el resorte

Pi = Peso aplicado al resorte que está suspendido por uno de

sus extremos.

b. Experimento Nº 02: Caída libre de un cuerpo

Tabla Nº 2

Ti (s) 0,112 0,155 0,189 0,216 0,264 0,306 0,334 0,362 0,391 0,419

Hi(m) 0,08 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0,6 0,7 0,8

Donde:

Ti = Tiempo que demora en recorrer el espacio Hi.

Hi = Espacio recorrido por el cuerpo que cae.

c. Experimento Nº 03: Descarga de un condensador

Tabla Nº 3

Ti(s) 0,00 4,14 7,58 11,87 13,97 16,92 20,24 24,16 28,65 37,10 46,51

Vi(v) 15 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1

Donde:

Ti = Tiempo de descarga.

Vi = Diferencia de potencial en el condensador.

Con estos datos experimentales hacer las siguientes gracficas:

P versus L H versus T V versus T

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IV. RESULTADOS

4.1. RESULTADOS

1. Experimento: Ley de Hooke

Cuadro 1: Ley de Hooke

n L (m) P (N) L2 (m2) L P(Nxm) P2 (N2)

1 0.052 1.96 0.002704 0.10192 3.8416

2 0.102 2.94 0.010404 0.29988 8.6436

3 0.155 3.92 0.024025 0.60760 15.3664

4 0.206 4.90 0.042436 1.00940 24.01

5 0.258 5.88 0.066564 1.51704 34.5744

Total 0.773 19.6 0.146133 3.53584 86.436

Utilizando la fórmula 2

a = 0.983974882


b = 18.99110684

Fórmula Empírica: P = 0.983974882 + 18.99110684 L

CAPÍTULO 4

11


Buscando “r” (coeficiente de correlación lineal)

Cuadro 2 : Ley de Hooke

N Li (m) Pi (N)

1 0.052 1.97129

2 0.102 2.92095

3 0.155 3.92759

4 0.206 4.89624

5 0.258 5.88383

Total 0.773 19.59996

Reemplazando los Datos:

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Pi (

N)

Li (m)

Ley de hooke

P

12


2. Experimento: Caída Libre de un Cuerpo

H = A T B

Haciendo un cambio de variable:

H = A T B

LnH = lnA + B lnT

H = a + bt, donde: h = lnH

a = ln A

b = B

t = lnT

Cuadro 3 : Caída libre de los Cuerpos

n t = lnT (s) h = lnH (m) t 2 (s 2) t h (m.s)

1 -2.189264080 -2.995732274 4.79286 6.55846

2 -1.864330162 -2.302585093 3.47573 4.29279

3 -1.666008264 -1.897119985 2.77559 3.16062

4 -1.532476871 -1.609437912 2.34849 2.46643

5 -1.331806176 -1.203972804 1.77372 1.60346

6 -1.184170177 -0.9162907319 1.40226 1.08504

7 -1.096614186 -0.6931471806 1.20255 0.16012

8 -1.016111067 -0.5108256238 1.03248 0.51906

9 -0.939047719 -0.3566749439 0.88185 0.53493

10 -0.869884359 -0.2231435513 0.75669 0.18411

Total -13.68970569 -12.7089301 20.44216 20.97497

13



lnA = a ea = A A = 4.988510065


b = 2.102331875 B = 2.102331875

H = A TB

H = 4.988510065 T2.102331875

Buscando “r” (coeficiente de correlación lineal)

Cuadro 4 : Caída libre de los Cuerpos

n t (s) h (m)

1 -2.18926 -2.99733

2 -1.86433 -2.31394

3 -1.66601 -1.89683

4 -1.53248 -1.61599

5 -1.33181 -1.19394

6 -1.18417 -0.88343

7 -1.09661 -0.69927

8 -1.01611 -0.52996

9 -0.93905 -0.36789

10 -0.86988 -0.22241

Total -13.68971 -12.72099

14


Reemplazando datos:

c) Experimento: Descarga de un Condensador

V = A e BT

Haciendo un cambio de variable:

V = A e BT

LnV = lnA + BT

v = a + bt, donde: v = lnV

a = ln A

b = B

t = T

-3,5

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0

lnH

lnT

Series1

15


Cuadro 5: Descarga de un Condensador

n t (s) V (v) t 2 (s2) t v (v.s) v2 (v2)

1 0.000 15 0.00000 0.000000 225

2 4.14 12 17.1396 49.68 144

3 7.58 10 57.4564 75.8 100

4 11.87 8 140.8969 94.96 64

5 13.97 7 195.1609 97.79 49

6 16.92 6 286.2864 101.52 36

7 20.24 5 409.6556 101.2 25

8 24.16 4 583.7056 96.64 16

9 28.65 3 820.8225 85.95 9

10 37.10 2 1376.410 74.2 4

11 46.51 1 2163.180 46.51 1

Total 211.14 73 6050.716 15413.22 673

∑ ∑

∑ ∑


a = -127.9767776


b = 7.013093463

Buscando “r”

16


Cuadro 6 : descarga de un condensador

n t (s) v (v)

1 0.000 2.74297

2 4.14 2.50624

3 7.58 2.30955

4 11.87 2.06424

5 13.97 1.94417

6 16.92 1.77548

7 20.24 1.58565

8 24.16 1.36150

9 28.65 1.10476

10 37.10 0.62159

11 46.51 0.08353

Total 211.14 18.09968

Reemplazando datos:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 10 20 30 40 50

t(S)

V(v)

v versus t

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CONCLUSIONES

Se pudo establecer las rectas lineales a partir de las formulaciones, siendo las

gráficas la demostración del hecho en mención.

Se ha alcanzando a resolver las ecuaciones y a poder formar para cada caso la

ecuación correcta, a partir de eso se pretende graficar en el papel milimetrado.

BIBLIOGRAFÍA

Física. Volumen I. Sears. Zemansky. undecima edición. Capitulo movimiento oscilatorio. 1999.

Física. Tomo I. Serway. Cuarta edición. Capitulo 13. 1996.

Baird D.C. “Experimentación”; Segunda Edición. Prentice Hall.

18


CUESTIONARIO

1. De las gráficas obtenidas, con qué tipo de funciones los puede relacionar.

El primer Experimento (Ley de Hooke); como se pudo observar que

se trata de una función lineal:

P = a +bL

El segundo Experimento (Caída Libre de los Cuerpos); trata sobre una función Potencia:

H = A T B

El tercer Experimento (Descarga de un Condensador); trata sobre una función exponencial :

V = A e BT

2. Una vez identificadas las gráficas, la que corresponde a una recta, determinar su ecuación empírica por el método visual y

también por el método de los mínimos cuadrados.

La gráfica que corresponde a una recta, es la gráfica del primer

experimento (Ley de Hooke), cuya ecuación empírica es:

o Método Visual: P = + L o Método de los Mínimos Cuadrados: P = 0.983974882 +

18.99110684 L

3. Para las gráficas curvas, transformarlos a una recta y determinar la ecuación empírica de las curvas.

En el segundo y tercer experimento se puede observar que sus gráficas pertenecen a curvas.

o El Segundo Experimento: Caída Libre de los Cuerpos. Trata sobre una curva de la forma: H = A T B (potencial).

Transformación a una recta:

H = A T B

LnH = lnA + B lnT

H = a + bt, donde: h = lnH

a = ln A

b = B

t = lnT

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Ecuación Empírica: h = 1.60712 + 2.1032 t

La ecuación de la curva es: H = 4.98862 T 2.10236

o El Tercer Experimento: Descarga de un Condensador. Trata sobre una curva de la forma: V = A e BT (Exponencial)

Transformando a una recta:

V = A e BT

LnV = lnA + BT

v = a + bt, donde: v = lnV

a = ln A

b = B

t = T Ecuación Empírica: v = 2.74297 – 0.05718 t

La ecuación de la curva es: V = 15.53305 e –0.05718 t

4. Dar tres ejemplos de leyes de ecuaciones físicas que correspondan a una función lineal y de potencia. Identifique cada variable y constantes.

Función Lineal

1. e = v.t, y = e (espacio)

x = t (tiempo)

a = o

b = V (velocidad)

2. VF = g.t y = VF (velocidad)

x = t (tiempo)

a = o

b = g (aceleración de la gravedad)

3. F = K.s y = F (fuerza de fricción)

x = s (deformación)

a = o

b = K (constante elástica)

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Función Potencial

1. h = ½.g.t 2 y = h (altura)

x = t (tiempo) a = ½.g (½ de la gravedad) b = 2

2. f = T -1 y = f (frecuencia)

x = T (período)

a = 1 b = -1

3. T = 2.w -1 y = T (período)

x = w (velocidad angular)

a = 2 b = -1

5. Para trazar una gráfica que corresponda a una recta, con cual método es más conveniente trazar, con el Método Visual o empleando el Método de los Mínimos Cuadrados. Porque?

Para el trazado de gráficas que corresponden a una rectas, es más conveniente trazarla por el método de los mínimos cuadrados, ya que posee mucha más exactitud que el método visual. Con el método

visual se corre el riesgo de trazar una recta equivocada, debido a que las variables dependiente e independiente sufrirían cambios.

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