UNIVERSIT`ADEGLISTUDIDIGENOVAFACOLT`ADISCIENZEMATEMATICHE,FISICHEENATURALICORSODISTUDIINFISICADISPENSE DEL CORSO DIFISICA MODERNACarlo Maria BECCHIMassimo DELIADipartimento di Fisica, Universit` a di Genova,via Dodecaneso 33, 16146 Genova1Indice1 INTRODUZIONE 32 LARELATIVIT`ARISTRETTA 72.0.1 LesperimentodiMichelsoneletrasformazionidiLorentz. 82.0.2 Lacinematicarelativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 MECCANICAONDULATORIA 353.0.3 Lacrisideimodelliclassici . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.0.4 Leettofotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.0.5 LateoriadeiquantidiBohr . . . . . . . . . . . . . . . . 413.0.6 LinterpretazionedideBroglie. . . . . . . . . . . . . . . 443.0.7 LequazionediSchr odinger. . . . . . . . . . . . . . . . . 513.0.8 Labarrieradipotenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.0.9 Lebuchedipotenzialeeilivellienergetici . . . . . . . . 763.0.10 Loscillatorearmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.0.11 Ilcasodiunpotenzialeperiodico: lospettroabande. . 874 LATEORIASTATISTICADELLAMATERIA. 1034.0.12 LequilibriotermicocolmetododiGibbs . . . . . . . . . 1084.0.13 Lapressioneeleequazionidistato . . . . . . . . . . . . 1134.0.14 LadistribuzioneGranCanonicaeilgasperfetto. . . . . 122AItetravettori 145BTermidinamicaeentropia 1492Capitolo1INTRODUZIONENegli ultimi anni del XIX secolo lo sviluppo delle tecniche e il ranamento degliapparecchidimisuraprodusserounamessedinuovidatilacuiinterpretazionecomport` o profondi cambiamenti nella formulazione delle leggi della sica e nellosviluppodellanuovafenomenologia.Numerosi risultati sperimentali hannoportatoallanascitadellanuova-sica, fra questi ricordiamo molto schematicamente quelli di Hertz sulleet-tofoto-elettrico, lamisuradelladistribuzioneinfrequenzadellenergiaemes-sadaunfornoideale, il famigeratocorponero, eingeneralelinaplicabilit`adellequipartizionedellenergia alle basse temperature risultante dalle violazionidellaleggedi DulongePetit. Altrettantoimportanti furonolascopertadel-lelettrone,lemisurediMichelsoncircalindipendenzadellavelocit` adellalucedal sistemadi riferimento, larivelazionedegli spettri arighedellaradiazioneatomica.Dal puntodi vistateorico, frai temi principali chealimentaronolanuovasica va ricordato, nellambito dellelettromagnetismo, la mancata identicazio-nedelletere,ilmezzoportatoredelleondeelettromagnetiche,elaconseguenteinterpretazionediEinstein-Lorentzdelprincipiodirelativit`adiGalileocheaf-fermalequivalenzadituttiisistemidiriferimentoinmotorettilineouniformerispettoallestellesse.Alla luce dellinterpretazione elettromagnetica della radiazione, della scoper-ta dellelettrone, e degli studi di Rutherford sulla struttura atomica, lanomalianellemissione del corpo nero e la particolare struttura a righe degli spettri ato-mici portarono alla formulazione della teoria dei quanti, alla nascita della sicaatomica e, in stretto collegamento con queste,alla formulazione quantistica dellateoriastatisticadellamateria.3Questocorsodi IntroduzioneallaFisicaModerna, bendistintadaquellaClassicasviluppatanel corsodel XIXsecolo, edaquellaContemporaneache,iniziata negli anni 30 del secolo XX e riguarda la natura delle InterazioniFon-damentalielasicadellamateriaincondizioniestreme,sipreggeloscopodiintrodurreinmodoquantitativo,seppuresommarioenecessariamenteschema-tico,gliaspettiprincipalidellarelativit`aristretta,dellasicadeiquantiedellesueapplicazioniallateoriastatisticadellamateria.Nei libri di testo correnti i tre capitoli principali della nuova sica dei primi30 anni del XX secolo, la relativit`a speciale di Einstein, la meccanica quantisti-cadi Schr odinger, elasicastatisticaquantisticavengonopresentati insiemesoloalivellointroduttivo/descrittivo, mentrelepresentazioni analitichesonocontenuteinvolumi distinti, invistaanchedellesamedi aspetti tecnici assaicomplessi. Dal punto di vista didattico questo stato di cose pone seri problemi.Infatti,mentre `e assolutamente evidente la necessit` a di presentare insieme itretemi, datelelorostretteinterrelazioni, sipensialruologiocatodallarela-tivit` a speciale nella formulazione dellipotesi ondulatoria diDe Broglie e quellodella sica statistica nelle formulazione dellipotesi dei quanti, `e anche chiara lanecessit` achequestapresentazioneunitariasiacorredatadastrumentianaliticisucienti per unadeguata comprensione dei contenuti e delle conseguenze dellenuoveteorie.Daltraparte, datochestiamoparlandodi untestointroduttivo, rimaneinevitabileil vincolosulledimensioni del testoesui suoi prerequisiti; non`epossibileutilizzareunenciclopediaascopointroduttivo. Questoimpone,,perquel che riguardalanalisi, unaselezione degli ambiti pi` uqualicati sottoilpunto di vista del rapporto contenuto sico/formalismo. Per questo, nellambitodella relativit`a speciale abbiamo rinunciato alla presentazione delle formulazionecovariante dellelettrodinamicae ci siamolimitati agiusticare i teoremi diconservazionedellenergiaedellimpulso, equindi allacinematicarelativisticailcuiimpattosullasica `eevidente.Perquel cheriguardalameccanicaquantisticadi Schr odinger, dopoaverpresentato con una certa cura lorigine dellequazione e la natura della funzionedondaconlenaturali implicazioni alivellodindeterminazione, abbiamorite-nutodimetterneinevidenzaleconseguenzequalitativesuglispettrideilivellienergetici, rinunciando a discutere in dettaglio gli spettri atomici, aldil`a del mo-dello di Bohr. Questo ci ha permesso di limitare il grosso dellanalisi a problemi1-dimensionali studiando lorigine dei livelli energetici discreti e di quelli a ban-desenzaperaltrorinunciareallesamedelleettotunnel. Leestensioni api` udimensioni sonostatelimitateai casi banalmenteseparabili, cio`eloscillatore4armonicoelabucaapareti completamenteriettenti. Si trattadei sistemi dimaggiorutilit`aperleapplicazioniallasicastatistica.Passandoaquestultimoargomento, che, come`eormai tradizioneconsoli-data, abbiamobasatosullacostruzionedegli insiemi statistici di Gibbsesulleconseguenti leggi di distribuzione, abbiamoritenutoimportantetrattarei casipi` usignicativi del puntodi vistadegli eetti quantistici, cio`ei gas perfettidegeneri,concentrandocisulleleggididistribuzioneesulleequazionidistatoelimitandoaunabrevissimaappendicelapresentazionedellentropia.Lobiettivodi creareuntestointroduttivo, maanalitico, haevidentemen-terichiestolinclusionedi raccoltedi esercizi signicativeassociateai singolicapitolideltesto. Cisiamosforzatiinci`odievitare,quantopossibilelaconfu-sionefra eserciziecomplementialtesto. Evidentemente `egrandela tentazionedi spostarenellaraccoltadi esercizi alcuni capitoli di rilevanteinteressesi-co, guadagnando cos` in snellezza della presentazione generale. La conseguenzanegativadi questascelta`echegli esercizi diventanoeccessivamentelunghi earticolati, dissuadendolostudentemediodal tentaredi fornireunarispostapersonaleprimadi vericarnelesattezzatramiteloschemadi soluzionesug-gerito. Daltraparteci siamosforzati di limitarelafrazionedi quegli esercizi,peraltronecessari, il cui tema`elimitatoaunanalisi degli ordini di grandezzadegli eetti studiati. Il quadro che risultante,per quel che riguarda gli esercizi,vorrebbe essere la proposta di una lista, sucientemente consistente di propostedi verica della teoria semplici e sostanzialmente indipendenti, ma tecnicamentenonbanali. Speriamocheil lettoreconvengaconnoi cheil risultatocercato`estatoraggiunto.Passando allorganizzazione in capitoli, quello sulla relativit`a ristretta `e divi-so in due sezioni contenenti rispettivamente le trasformazioni di Lorentz e sullacinematica relativistica, ciascuna seguita dai corrispondenti esercizi. Il capitolosullameccanicaondulatoria`earticolatoinottosezionirispettivamenteriguar-danti leettofoto-elettrico, lateoriadi Bohr, linterpretazionedi DeBroglie,lequazionediSchrodinger,seguitedaunapropostadieserciziedallealtrese-zionisullabarrieradipotenziale,lebuchedipotenziale,loscillatorearmonico,egli spettri abandeseguiti daunaltraraccoltadi esercizi. Il capitolosul-lateoriastatisticadellamateria,inne,comprende,oltreallintroduzione,unasezione sulla distribuzione canonica di Gibbs, seguita da una seconda sulle equa-zionidistato, corredatadaesercizi, edaunasezionenalesulladistribuzionegran-canonicaei gasperfetti quantistici. Inappendicevengonopresentati ilformalismotetra-vettorialedellarelativit` aristretta(AppendiceA)elentropia(AppendiceB).5TestiConsigliati Per unintroduzione generale: D.Halliday, R.Resnick, J.Walker,Fondamenti di Fisica - Fisica Moderna.Casa Editrice Ambrosiana. K.KraneModern Physics - 2.nd editionJohn Wiley inc.6Capitolo2LARELATIVIT`ARISTRETTALeequazioni di Maxwell nel vuotodescrivonolapropagazionedi segnali elet-tromagnetici con velocit` a c 100. Dato che, secondo il principio di relativit` adiGalileo,passandodaunsistemadiriferimentoaunaltro,levelocit`asisom-manocomevettori, il vettorevelocit` adel segnaleluminosoinunriferimentoinerziale(O)si sommavettorialmenteconlavelocit` adi Orispettoaunaltrosistema inerziale O fornendo la velocit`a del segnale luminoso rispetto a O. Perungenericovaloredellavelocit` arelativail modulodi quelladel segnalecam-bier` acol sistemadi riferimento. Dobbiamoconcludereche, seleequazioni diMaxwellsonovalideperO,nonlosonoperungenericoO.Linterpretazionepi` unaturalediquestoparadossosibasasullanalogiaconle onde elastiche assumendo lesistenza di un mezzo estremamente rigido e rare-fatto le cui deformazioni corrisponderebbero ai campi elettromagnetici. Il mezzofu battezzato etere e si pose il problema di individuare il sistema di riferimentosolidaleconletere.Considerandoche il rapportofralavelocit`aorbitale dellaterrae quelladellalucevalecirca104,larivelazionedelleventualemotodellaterrarispettoalletere richiede una misura della velocit`a della luce con una precisione migliorediunapartesudiecimila. VedremocomeMichelsonriusc`,impiegandometodiinterferenziali,araggiungerequestaprecisioneinmisuredivelicit` a.Un altro aspetto dello stesso problema appare se si considera la forza scam-biatafraduecaricheinquieterelativa. Dal puntodi vistadi unosservatoreinquieterispettoallecariche, laforza`edeterminatadallaleggedi Coulomb.Quindi, selecarichehannolostessosegno, si respingononel modobennoto.Per` o un osservatore che vede le cariche in movimento deve considerare che essegenerano anche campi magnetici che agiscono sulle altre cariche in moto secon-7do la legge di forza di Lorentz. Se la velocit` a delle cariche `e perpendicolare allalorodistanzarelativa,sivedesubitochelaforzadiLorentz `eoppostaaquellaCoulombianaeportaaunariduzionedellaforzaelettrostaticadi unfattore1 v2/c2. Perquantopiccola,ladierenzadelleforzescambiateneiduesiste-miinerzialicorrispondeaunadierenzanelleaccelerazioniche `eincompatibilecolprincipiodiGalileoallacuiluceanchelaleggediCoulombnonpu`oesserevalidainqualunquesistemadiriferimentoinerziale. Essavalesolonelsistemadelletere. Evidentememte `e dicile raggiungere una precisione suciente a ve-ricarequesteettoinunamisuradi forza; si consideri, peresempio, che, nelcasodidueelettroniacceleratitramiteunadierenzadipotenzialedi104V siha: v2/c2 4104. Perquestolamisuradelmotodellaterrarispettoalleterefueettuatetramitelostudiodellavelocit` adellaluce.2.0.1 Lesperimentodi Michelsoneletrasformazioni diLorentz.LanalisisperimentalefueseguitadaMichelsonconuninterferometroaduebracciadeltiposchematizzatoingura. LasorgenteLgeneraunfascio che `e diviso indue dallospecchiosemiriettente S. I duefasci percorrono nei due sensi ibracci 1 e 2 dellinterferometroessendo riessi agli estremi deibraccistessi.In S i fasci si ricombinano interfe-rendo lungo il tratto che raggiun-ge lobiettivo O. LinterferometromisuraladierenzaTdeitem-pi impiegati dai due fasci nei loropercorsi. Sei duebracci hannolastessalunghezzal elalucesimuove con la stessa velocit`a c lun-go i due percorsi T= 0 e in O siha luce (interferenza costruttiva).8Se per` o lapparato `e in movimen-toconvelocit` avrispettoallete-reeper semplicit`aponiamochelavelocit` asiaparallelaal brac-cio2,ilpercorsolungoilfascio1verr` avistodalleterecomeripor-tatoinguraeil tempodi per-correnzanel camminodi andatae ritorno lungo il braccio 1 risultadalteoremadiPitagora:c2T2= 4l2+ v2T2,dacuisiha:T=2l/c

1 v2/c2,Considerando invece laltro fa-scio,sihauntempodiandatat1lungoil braccio2edi ritornot2datidat1=lc vt2=lc + v,quindiiltempodipercorrenzatotaledelfascio2 `e:T

= t1 + t2=2l/c1 v2/c2=T

1 v2/c2,perpiccolivaloridiv/csihaallora:T T

T=Tv22c2=lv2c3.Questorisultatomostrachelapparato`einlineadi principioincondizionedirilevaremovimentidellaboratoriorispettoalletere.Se assumiamo di poter valutare una dierenza di tempo di percorrenza pari a1/20delperiododellaluce,cio`e,poniamo,T 51017secondi,eassumiamol =2me quindi l/c0.6 108sec , otteniamounasensibilit` av/c =

Tc/l 104, cio`e v3104m/sec, che corrisponde allavelocit`adella9terranel suomotoorbitale. Confrontandoil risultatodellamisuraadistanzadi 6mesi, quandolavelocit` adellaterra`evariatadi 105m/sec, dovremmoaccorgerci del movimento della Terra. Lesperimento, fatto e ripetuto in diversiperiodi dellanno, dimostr`o, insiemeadaltreosservazioni complementari, cheleterenonesiste.Da ci`o Einstein dedusse che le leggi di trasformazione delle coordinate spazio-temporaliprevistedaGalileo,x

= x vtt

= t (2.1)sono inadeguate e vanno sostituite con altre trasformazioni,sempre lineari,chedevonorispettarelacondizionediinvarianzadellavelocit` adellaluce,cio`etra-sformare la retta x = ct, legge oraria di un segnale luminoso emesso nellorigineat=0, inx

=ct

. Lalinearit`adellatrasformazione`enecessariaancheunmotouniformerisultitaleinentrambiisistemi.Ponendo che lorigine diOvista da O appaiainmoto convelocit` av,siha:x

= A(x vt), (2.2)daltrapartelatrasformazioneinversadeveesserex = A(x

+ vt

) , (2.3)infatti le due formule devono essere trasformate una nellaltra scambiando x x

,t t

,v v. Combinando(2.2)e(2.3)siottiene:t

=xAv x

v=xAv Axv+ At = A

t xv(1 1A2)

. (2.4)Ponendox = ctin(2.2)e(2.4)sihax

= c At (1 vt) , t

= At

1 cv(1 1A2)

alloraimponendox

= ct

siha:

1 cv(1 1A2)

= (1 vc) ;dacuisiottienesenzatroppedicolt` aA =1

1 v2c2. (2.5)10Possiamoquindiscrivere:x

=1

1 v2c2(x vt) , t

=1

1 v2c2(t vc2x) , (2.6)mentreleecoordinateperpendicolarinonvariano.y= y

, z= z

. (2.7)QuestesonoletrasformazionidiLorentz.Se riscriviamo la (2.6) in termini di x e x0 ct otteniamo, ponendo sinh vc/

1 v2c2:x

= cosh x sinh x0, x

0= cosh x0sinh x.Da queste equazioni appare una certa analogia con le rotazioni in due dimensio-ni: x

= cos x sin y, e y

= cos y +sin x . Questa analogia si estende alfattoche,mentrelerotazioniconservanolalunghezzax2+y2le(2.6)conservax2x20.Infattix2x20= (cosh x sinh x0)2(cosh x0sinh x)2= x2x20.Questosuggeriscedi pensarealletrasformazioni di Lorentzcomerotazionigeneralizzatenellospazio-tempo.Lecomponenti (x, y, z)dellaposizionerdelleventoeil tempotsonocon-sideratecomponentidiunquadrivettoredicuir2 c2t2sostituisceilquadratodellalunghezzainvariantepertrasformazioni di Lorentzcheparaltropu`oes-serenegativo. Dati duequadrivettori di coordinaterispettive(x1, y1, z1, t1)e(x2, y2, z2, t2) , si pu`o anche denire il loro prodotto scalare che vale x1x2+y1y2+z1z2c2t1t2ed `epureinvariante.Ilconcettoditetravettore `eapprofonditoinAppendiceA.Traleconseguenzeprincipali delletrasformazionedi Lorentzsi haunadi-versaleggedi addizionedellevelocit` a, attesa, datalinvarianzadellavelocit`adellaluce. Seconsideriamounaparticellache,vistadalsistemaO,altempotstainxealtempot + tstainx + xmuovendosiconvelocit`aV= x/t,nelsistemadiriferimentoOsar`ax

=1

1 v2c2(x vt) t

=1

1 v2c2(t vc2x) ,11dividendoamboimembrisihaV

x

t

=x vtt vc2x=V v1 vVc2(2.8)invecedi V

=V vcomeprevistodallarelativit`aGalileiana. Si noti cheseV= cancheV

= cequindila(2.8)risolveilparadossodellainvarianzadellavelocit` adellaluce.Inoltre,selosservatoreOhaunorologiopostoinx = 0chebatteiltempoconperiodoT, losservatoreO

osserver` aunperiodoT

=T/

1 v2c2, dunqueT< T

, cio`e un orologio in moto (in questo caso rispetto allosservatore O

) ral-lentanelmodoindicato(dilatazionedeitempi). Questorisultato `econfermatodaosservazioni suparticellesubatomichechesi disintegranospontaneamenteconbendeterminativalorimedideitempidivita. Lavitamediaosservataperleparticelleinmotoaumenta, rispettoaquelladelleparticelleinquieteconlastessaleggericavataperlaumentodel periododellorologio. Si noti cheilrisultato`einaccordoconquantoosservatocircail tempodi percorrenzadelfascio1nellinterferometrodi Michelson, che`e2l/c seosservatoinquietee2l/(c

1 v2/c2)inmoto.Perche il tempodi percorrenzadel fascio2sialostesso, bisognache lalunghezzal del braccioparalleloallanelladirezione del moto, siaridottaal

1 v2/c2, cio`echeil braccioinmotoparalleloallasualunghezzasiavistocontratto.Aconfermadici` oosserviamochex1(t1) = 0ex2(t2) = Lsonoleequazioniparametriche delle linee orarie degli estremi di unsegmentodi lunghezzaLsolidalecollosservatoreO.PerlosservatoreOsiha:x

1=vt1

1 v2c2, t

1=t1

1 v2c2, x

2=L vt2

1 v2c2, t

1=t1vLc2

1 v2c2LosservatoreO misuraladistanzarelativadegli estremi: L

=x

2 x

1pert

1= t

2,cio`epert1= t2vL/c2trovando:L

=L

1 v2c2v(t2t1)

1 v2c2= L

1 v2c2Questo conferma che in generale un corpo in moto `e osservato schiacciato nelladirezionedellapropriavelocit` a(contrazionedellelunghezze).12`Eevidentecheleformulericavateperdonosignicatoperv2/c2> 1,quindipossiamoconcluderechenonsonopossiblisistemiosegnaliinmovimentoconvelocit` asuperioriac.Unaltraconseguenzadelletrasformazioni di Lorentz`elavariazionedelleleggi delleetto Doppler che trattiamo qui nel caso longitudinale in cui il motodelsegnale `eparalleloaquellorelativodeisistemidiriferimento.Ricordiamocheunsegnalemonocromaticochesiannullainx = 0, t = 0ehafrequenza,lunghezzadondaeampiezzaA0`edatoda:A(x, t) = A0 sin(2(x t)) = A0 sin(2(x vt)).PoniamochelosservatoreO percepiscaunsegnaledi velocit` aV eampiezzaA

(x

, t

)=A0 sin(k(x

V t

)). AssumendochelosservatoreO, inmotoconvelocit` avrispettoaO,rileviunsegnaledellostessovaloreneipuntieistanti(eventi)corrispondenti,otteniamoilsegnaleosservatodaO:A(x, t) = A0 sin(k

1 v2c2(x vt V (t vc2x)))= A0 sin(k

1 v2c2((1 +vVc2)x (v + V )t)). (2.9)QuestovuoldirechelafrequenzaosservatadaO `e:=k(v + V )2

1 v2c2=

1 vV

1 v2c2che`eappuntolaleggedi trasformazionedellefrequenzeperleettoDopplerlongitudinale. Nel casospecicodi ondeelettromagneticheV =cpercui laformulada:=

1 vc1 +vc,seilsegnalesimuoveparallelamentealriferimentoO.LaformulaperleettoDopplernel casononlongitudinalepu`oesserecal-colatoinmododel tuttoanalogoma, perragioni di economiadi tempo, nonvienetrattatoinmodoesplicitoQuestesonoleconseguenzegeometricheprincipali delletrasformazioni diLorentz. Vogliamooraconsiderareleprincipali conseguenzedinamiche. Perquesto `enecessariorichiamarealcunirisultatibasilaridellameccanicaclassica.13Esercizieproblemi1. Unastronavelunga150msi muoverispettoaunastazionespazialeallevelocit` a v= 2 108m/sec, qual `e la lunghezza dellastronave misurata dallastazione?Soluzione: L = L0

1 v2c2 112m.2. Dopoquantianniunorologioatomico(precisoaunapartesu1015)soli-daleconlaterraavr` aperdutounsecondorispettoaunorologioidenticosolidalecolsole? (applicareleformuleditrasformazionedeitempicomeseilmotorelativofosserettilineouniforme).Soluzione: T=11

1v2c21sec 2c2v2sec 6.35anni.3. Una particella con massa m = 1, 7 1028kge carica eguale allelettronevive a riposo 106s. La particella viene accelerata in un tempo trascura-bile tramite una dierenza di potenziale pari a 108V ; quanto tempo vive,nellaboratorio,dopolaccelerazione?Soluzione: t = t0mc2+eVmc2 1.96 106sec.4. Viene lanciato un segnale laser della frequenza = 1015Hertzcontro unospecchio in moto con velocit` a opposta al segnale v= 5 107m/sec; si misu-ra successivamente la frequenza

della luce laser riessa dallo specchio echeritornaallosservatoreprecedendolospecchio. Quantovale

?Soluzione:

= 1+vc1vc 1.4 1015Hertz.5. Nellesperimentodi interferenzadescrittoinguraunfasciodi lucedifrequenza = 1015Hertz prodotto in Sviene separato in due fasci distinti14che, percorsi i lati di unrettangolodi lunghezzapari a10me 5m,si ricompongonocome indicatoingurainterferendoinfase inO. Ilpercorsorettangolare`econtenutoinuntuboTpienodi unliquidoconindice di rifrazione n = 2; la velocit` a della luce nel liquido vale quindi vc=1.5 108m/sec. Se il liquido viene posto in movimento in senso circolatorioantiorarionel tuboconvelocit`apari a0.3m/sec; lavelocit`adellalucelungoi lati del percorsorettangolarecambiainsiemeallasualunghezzadondache`evincolatadallequazionevc=. Perquestaragionei duefasci si ricompongonoinOconunadierenzadi fasenonnulla(lafase`edatada2volteil rapportofralalunghezzadel camminopercorsoelalunghezzadonda). Valutateladierenzadi faseeconfrontarlaconquellachesiavrebbesesicalcolasselavelocit` acompostatramitelasommavettoriale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... SOTSoluzione: Posto L = 15 m e usando la formula di Einstein si ha = 4Lv(n21)/c(1 n2v2/c2) 4Lv(n2 1)/c 1.88rad.UsandolaformuladiGalileosiha =4Lv(n2 1)/c=4Lvn2/cche `eassurdaperchedaunrisultatonon nullo nel caso di tubo vuoto.6. Il mioorologioanticipadi unsecondoallannorispettoallorauciale,nel tentativodi correggerequestanticipo, pongolorologioinmovimen-tocircolareconvelocit` aangolareal capodi unlomoltorobustodilunghezzaL = 2m,sperandodinonalterarneilfunzionamento. Quantodevevalerepercompensarelanticipo?Soluzione: Si ha tor. = (1 )tuf., con = (1sec.)/(1anno) 3.1108. Vogliot

or. = tor. = (1)tuf. = tuf., da cui = 1/

1 v2/c2= 1/(1). Essendo 1 cio`e per tempi superiori a ts=mh22. Si notichetsaltronon`echeil tempocheunaparticellaconimpulsoimpiegaperpercorrereunadistanzah2,pertantolosparpagliamentohauninterpretazionenaturaleanchedal puntodi vistadellasicaclassica: ungruppodi particelleindipendenti con una distribuzione in impulso di larghezza psi sparpaglia convelocit` apm= vs; se le particelle sono statisticamente distribuite su un intervalloxquestoaumentainmodosignicativosutempidellordinedixvs.Quelloche `enuovoneinostririsultati `e,primaditutto,chesiriferisconoauna sola particella. Quindi le incertezze in posizione e impulso sono inevitabili.Insecondoluogoleincertezzesonointerdipendenti. Senzaconsiderareleettodisparpagliamentogi` adiscusso, sivedebenechesipu` odiminuirelincertezzainunadelleduevariabilisoloaspesadellaltra. Infattipu` oessereeliminatadallenostreequazioniscrivendoladisuguaglianza:xp

(x x)2(p p)2 h2. (3.46)Questa disuguaglianza costituisce il principio dindeterminazione di Heisenberg.Daunpuntodi vistafenomenologicoloriginedi questoprincipiostanel-luniversalit` a dei fenomeni dirattivi. Infatti sono questi fenomeni che rendonoimpossibilemisuraresimultaneamente,econprecisionearbitrariamentebuone,posizioneeimpulso.Atitolodi esempioconsideriamoil casoincui ladeterminazionedellapo-sizione`eeseguitaconstrumenti di tipoottico; per aumentarelarisoluzionestrumentalebisognaridurrelelunghezzedondadellaluceusata, aumentandocon ci` o gli impulsi dei fotoni che urtano loggetto misurato e ne alterano in modoincontrollato limpulso. Se invece la posizione `e determinata con strumenti mec-canici, come fenditure, sono gli eetti dirattivi che provocano indeterminazionenegliimpulsi.`E importante valutare lordine di grandezza dellindeterminazione quantisti-ca in situazioni di interesse pratico. Pensiamo per esempio a un fascio di elettro-ni emesso per eetto termoionico da un catodo alla temperatura di T= 1000Koeacceleratidaunadierenzadipotenzialedi104V ; lordinedigrandezzadel-lindeterminazione in energia cinetica E`e kTdove k = 1.38 1023Joule/Ko`e55la costante di Boltzmann ( in alternativa si pu` o usare invece k = 8.6 105eV/Ko). Dunque E=1.38 1020Joule mentre E=1.6 1015Joule che cor-risponde aunabuonadenizione inenergiadel nostrofascio(EE105).Possiamocalcolare facilmente lindeterminazione inimpulsousandolaleggedi propagazionedellerrorerelativo(pp=12EE) ecalcolandop=2mE=5.61023Newtons; otteniamop=2.81028Newtonsequindi perla(3.46)x 2107m. Evidentementeilprincipiodindeterminazionenonponeunlimitemoltosignicativonelcasodifascidiparticelle.UncorpomacroscopicoM=1Kgatemperaturaambiente(300Ko)haunimpulsotermicomediodovutoagli urti conlemolecoledellariapari ap

2m32kT 91011Newtonsequindi lasuaindeterminazionequantisticaminimadellaposizionerisultax 1024m.Il principiodindeterminazione`e invece assai rilevante al livelloatomico,infatti non`e dicile constatare che lindeterminazione `e il meccanismochestabilizzalatomoimpedendoallelettronedi precipitaresul nucleo. Possiamorozzamentepensareal raggioorbitaledellelettronecomeordinedi grandezzadellindeterminazionedellasuaposizione(x r)evalutarelordinedigran-dezzadellenergiacineticaindottadallindeterminazionesullimpulso;abbiamoEC 2p2m h22mr2.Tenendo conto dellenergia di legame Coulombiana si ha per lenergia totaleET(r) h22mr2 e240r.Il sistema `e stabile perche la funzione ET(r) ha un minimo assoluto. Calcolandoilvaloredircorrispondentermsihae240r2m h2mr3m= 0dacuirm 40 h2me2cheriproduceperfettamenteilvaloredelraggioatomicodedottodalla(3.14).Levelocit`adelleondeStudiandoleondeelettromagneticheabbiamomostratocheessesi muovonosenzadeformarsi convelocit` ac=

00eche, perunondaarmonica, c`eil56prodottodellalunghezzadondaperlafrequenza. Nel casodelleondedi deBroglieintrodottein(3.35), si ha=p22mhe=hp; dunquelavelocit` adelleondearmoniche`edatadal prodottovF =p2m. Seinvececonsideriamoilpacchettodonde(3.43)elacorrispondentedensit`a(3.44)vediamochiaramen-teunmovimentodi traslazionedel pacchettoconvelocit`avG p0m, pari allavelocit` aclassicadellaparticellaconimpulsop0. Abbiamousatosimbolidiversiperdistinguerelavelocit` adellesingolecomponenti pianevF, che`echiamatavelocit`a di fase, da vGche `e la velocit`a collettiva del pacchetto e viene chiamatavelocit`adi gruppo. Il risultatodeducibiledallenostreequazioni`eche, contra-riamentealcasodelleondeelettromagnetichenelvuoto,nelcasodideBroglieleduevelocit` asonodiverse,lavelocit` adigruppononcoincidecolvalormediodelle velocit`a di fase delle singole componenti. Inoltre la velocit` a di fase dipendedallalunghezzadonda(vF=h2m).Larelazionefrafrequenzaelunghezzadondanel casoelettromagneticoedatada=cmentrenelcasodideBrogliesiha=h2m2.Vi sononumerosissimi esempi di propagazioneondulatoriainsica, , ondeelettromagnetiche in mezzi materiali,onde elastiche,onde di gravit` a nei liquidiemolti altri. Inciascunodi questi casi si haunadipendenzacaratteristicadellafrequenzadallalunghezzadonda(). ConsiderandolapropagazionedipacchettidondeGaussiani,nelmodosopraesposto,sidenisconoinognicasolavelocit` adi fasevF=()elavelocit`adi gruppo, cherisultaingeneraledenitadallarelazione:vG= 2d()d.Nel casodi deBrogliequestequazioneriproduceappuntoil risultatodanoitrovato.I mezzi incui la frequenza`e inversamente proporzionale alla lunghezzadondasonodettinondispersivi,peressileduevelocit` acoincidono.Pu` o essere interessante notare che, adottando la forma relativistica dellondapiana,siha() =

m2c4h2+c22equindivF=

m2c4h2+c22evG=c2

m2c4h2+ c22.LinterpretazionecollettivadelleondedideBroglieLadescrizione delle singole particelle tramite pacchetti donde costituisce laformulazione rigorosa della teoria di Schr odinger, esiste per` o uninterpretazionealternativa della funzione donda di uso assai pi` u semplice che `e particolarmenteutileperdescriverelepropriet` amedie,comeilussonelcasolibero.57Consideriamolondapiana(3.35): =ei h

pxp22mt

ecalcoliamoladensit`adicorrenteJcorrispondentetroviamo:J= i h2m (x x) = i h2m

ip h ip h

=pm, (3.47)mentre = = 1.Daltraparte,dataunadistribuzionediparticelleclassichecondensit`ainmovimentoconvelocit` avsihaunadensit` adicorrenteJ= v.Questo suggerisce di superare il problema della normalizzazione della proba-bilit` a(3.39)associandolafunzionedonda(3.35),nonaunasingolaparticella,come si `e fattonora, maaunussostazionariodi particelle indipendentidistribuiteuniformementecondensit`a1einmotoconvelocit` av.Ovviamenteinquestomodoabbiamorinunciatoaprioriaparlaredellalo-calizzazione della particelle, ma otteniamo in modo pi` u semplice le informazionisullavelocit`adi gruppoesul usso. Nel prossimocapitolosar` acos` possibileinterpretareinmodosempliceechiarogli eetti di unabarrieradi potenzialesulussodelleparticelle.Esercizieproblemi1. Unamolecolaionica`eschematizzatacomeduepunti materiali di massaegualem=1026kgposti adistanzad=109m; usandolaregoladiBohrdiquantizzazionedelmomentoangolaredescriveteivaloripossibilidellenergiamolecolaree, assumendotransizioni frail livellon + 1eillivellon,calcolatelefrequenzedeifotoniemessi.Soluzione: En+1En = h22I(2n +1) = h2md2(2n +1) 1024(2n +1)Joule. Usandola regola di Sommerfeld lenergia del rotatore vale En = h2n(n + 1)/2Ie nelle formuleprecedenti 2n + 1 va sostituito con 2n + 2.2. Un satellite articiale di massa m = 1 kg ruota intorno alla terra su unor-bitacircolaredi raggiopraticamenteegualeaquelloterrestre, cio`ecirca6600km;seleorbitedelsatellitesonoquantizzateconlaregoladiBohr,diquantocambiailraggiopassandodaunorbitaallasuccessiva(danan + 1)?58Soluzione: Indicando cong laccelerazione di gravit`a alla supercie terrestre, il rag-giodellorbitan-ma `edatodarn=(n2h2/m2R2g), perrn=Rilsuoincremento `ern 2h/mRg 2.5 1038m.3. Unelettrone(m=91031kg)`eacceleratoattraversounadierenzadipotenzialedi V =108V , quantovalelasualunghezzadondadi deBroglie?Soluzione: Lenergia acquisita `e molto pi` u grande di mc2, lelettrone `e dunque ultra-relativistico, il suo impulso valep E/c. Quindi hc/eV 1.9 1015m. Laformula esatta `e = hc/

(eV+mc2)2m2c4.4. Unelettrone(m = 91031kg)rimbalzafradueparetiriettentiposteadistanzad=109m, assumendoche, comenel casodi unondaelettro-magneticariessafraduespecchi (cavit`aunidimensionale), ladistanzadsiaparianmezzelunghezzedondadideBroglie,determinareivaloripossibilidellenergiadellelettronealvariaredin.Soluzione: En = h22n2/2md2 n20.52 1019Joule.5. Unelettronedi energiacineticadi 1eV si muoveversolaltosoggettoallasuaforzapeso. Cisichiedesepu` osalireaunaltezzadi1kme,nelcaso che ci` o sia possibile, di quanto cambia la sua lunghezza donda di DeBroglie.Soluzione: Laltezzamassimaraggiungibiledallelettroneinuncampogravitazio-nale costante sarebbeh = T/mg 1.61010m. Dopo un chilometro di salita lenergiacinetica `ecambiatadi T/T 6108equindi / 3108datochelalunghezzadonda iniziale vale =h2mT 109m si ha una variazione 3 1017m.596. UnamolecolatriatomicadiOzono(O3) `ecostituitadatreatomidimas-sam=2.661026kgposti ai vertici di untriangoloequilaterodi latol =1010m. Lamolecolapu` oruotaresusestessaintornoaunassePpassanteperilbaricentroeperpendicolarealpianodeltriangolo,oppureintornoaunaltroasseL,semprepassanteperilbaricentro,maperpen-dicolarealprimo. UsandolaregoladiBohrconfrontareipossibilivaloridellenergia di rotazione nel caso in cui la molecola sia vincolata a ruotareintornoallunooallaltroasse.Soluzione: I momenti dinerzia sono: IP= m l2= 2.66 1046kg m2e IL = ml2/2 =1.331046kg m2Leenergiedi rotazionesonoallora: EL,n=2EP,n= h2n2/2IL n23.7 1023Joule.7. Uncristallodisaledacucina`eirradiatodaunfasciodiraggiX(fotoni)lacuilunghezzadonda `eparia2.51010m,ilprimopiccodidirazione(d sin =)`eosservatoaunangolodi26.3gradi; qual`eladistanzain-teratomicanelsale?Soluzione: d = / sin 5.6 1010m.8. Nel decadimentounnucleoil cui raggio`edellordinedi R=1014memetteunelettrone(m = 91031kg)lacuienergiacinetica `edellordinedi 1MeV =106eV . Confrontarequestovaloredellenergiaconlordinedigrandezzadellenergiacineticaattribuibile,inbasealprincipiodinde-terminazione,aunelettroneinizialmentelocalizzatonelnucleo(cio`econimpulsop hR).Soluzione: Ec h22mR2 5.58 1010Joule 3.4 109eV>> 1MeV .9. Unelettrone`esoggettoauncampoelettricocostanteE=1000V/mdiretto secondo lasse x uscente da una supercie piana perpendicolare allostesso asse. La supercie agisce sullelettrone come un piano riettente su60cui lenergia potenziale dellelettrone V (x) va allinnito. Landamento diV (x) `erappresentatoingura.

V(x)xTenendo in conto che la massa dellelettrone vale circa m = 9 1031kg e lacarica 1, 6 1019Coulomb, valutare, usando il Principio dIndeterminazio-ne di Heisenberg, lordine di grandezza dellenergia minima dellelettrone.Soluzione: Lenergiatotale`edatada=p2/2m + V (x)=p2/2m + eEx, conilvincolox>0. Classicamentelenergiaminimasi avrebbeper laparticellaferma(p = 0) nel minimo di V (x). Tenendo invece conto del principio di indeterminazionedi Heisenberg, px h,una stima dellenergia dello stato fondamentale `e data dalminimo della funzione dixE(x) h2/(2mx2) +eEx (x > 0). Si ottiene

min 32

h2e2E2m1/3 0.6104eV .10. Unamolecoladi NaCl pu`oessererozzamenteschematizzatacomeunsi-stema di due particelle di carica opposta e di massa: MNa= 4 1026kgeMCl= 8 1026kg, tenute alla distanza ssa d = 109m dalle forze intera-tomiche. Applicando la condizione di quantizzazione di Bohr al momentoangolaredel sistemarispettoal suobaricentrocalcolarelospettrodellefrequenzeemessedallamolecolaintransizioni daunlivello(n)aquelloimmediatamentesuccessivo(n 1)alvariaredin.Soluzione: I livelli energetici rotazionali sonoEn=n2 h22I, conI =MNaMClMNa+MCld2.Ifotoni emessi perletransizioni indicatehannoenergiahnn1=En En1=(2n 1)h2/2I, da cuinn1 (2n 1)3108Hz.11. Un atomo di massa M= 1026kg`e attratto verso un punto sso, da unaforza elastica di costante k = 1 Newton/m; latomo si muove su unorbitacircolare posta in un piano perpendicolare allasse z. Applicando la condi-zionediquantizzazionediBohralmomentoangolaredellatomorispettoalpuntossodeterminareilivellienergeticidelsistema.61Soluzione: Sia la velocit`a angolare di rotazione er il raggio. Uguagliando la forzacentripeta a quella di richiamo elastica si ricava la nota relazione classica =

k/M.Lenergia totale `eE= 1/2M2r2+ 1/2kr2=M2r2=L,dove abbiamo messo inevidenza il momento angolareL = Mr2. Essendo questultimo quantizzato,L = nh,ricaviamo inneEn = nh = n1021J n0.62102eV .12. Calcolareilnumerodeifotoniemessipersecondodaunalampadinacheemetteunapotenzadi10Wattallalunghezzadondadi0, 5106m.Soluzione: Lenergiadi unsingolofotone`e E=h conh 6.621034J se = c/ = 6 1014Hertz, dunqueE = 4 1019J, per cui in un secondo vengono emessi2.5 1019fotoni.13. Unaparticelladi massapari am=1028kgchesi muovelungolas-sex`esoggettaaunenergiapotenzialedatadaV (x)=v

[x[ conv=1015Joule/m12valutare,usandoilPrincipiodIndeterminazionediHei-senberg,lordinedigrandezzadellenergiaminimadellelettrone.Soluzione: Lenergia totale della particella `eE =p22m +v

[x[.Nel caso classico il minimo dellenergia totale si avrebbe ovviamente quando la parti-cellafossepostaferma(p = 0)inx = 0,percui E= 0,matalecongurazionenon`equantisticamentepermessainquantoviolail principiodi indeterminazione: selaparticella `e posta in un intorno di grandezzax dellorigine, essa possiede un impulsodellordine dip = h/x. Bisogna allora minimizzare la quantit`aE =h22mx2+vxrispetto ax, trovando inneEmin

h2v4m1/5

21/5+ 29/5

0.22 eV.`Emoltoimportantenotarecomeil risultato, aparteunfattorenumerico, potesseessere previsto in base a semplici considerazioni dimensionali: lunica quantit`a con le62dimensioni di una energia che pu`o essere costruita a partire dam,v ed h (che sono leuniche grandezze siche in gioco) `e proprio ( h2v4/m)1/5, come lo studente `e invitato avericare. Nellanalogo problema classico manca la grandezza h, e conv edm da solinon `e possibile formare alcuna grandezza con le dimensioni di una energia, per cui nelcaso classico manca una energia caratteristica del problema, che invece `e presente nelcaso quantistico.14. Un fascio di elettroni la cui energia cinetica iniziale `e 10 eVviene separatoinduefasci paralleli orizzontali posti adaltezzediversenel campodellagravit` aterrestre. Seladierenzadi quota`ed=10cmesei fasci siricombinanodopounpercorsoorizzontaledi lunghezzaL, quantodevevalereLpercheiduefascisiricombininoinopposizionedifase?Siassumacheilfasciosuperioreconservilenergiacineticainiziale,chesiconservilenergiatotaleenonsitengaconto, nelcalcolodelladierenzadifase,deitrattidipercorsoinizialienalicheportanoallaseparazionedeifasciallediversequoteeallalororicombinazione.Soluzione: Londa di De Broglie che descrive il fascio di elettroni iniziale `e exp(ipx/h iEt/h)dovep= 2mEk`elimpulsocorrispondenteallaenergiacine-ticaEke E=Ek+mgh`elenergiatotale. Il fascio`eseparatoinunfasciocheviaggiaallastessaquota, quindi `edescrittodallastessaonda, einunocheviaggiaparallelo10cmpi` uinbasso, per cui `edescrittodallonda exp(ip

x/h iEt/h)dove p

= 2mE

k= 2m(Ek +mgd) (ovviamente lenergiatotale E`e invaria-ta). I valori di Lper cui i due fasci si ricombinanoinopposizione di fase sonodati da(p

p)L/h=(2n + 1)connintero. Il valorepi` upiccolodi L`ealloraL=h/(p

p). Notiamochemgd 1030J h223.0.8 LabarrieradipotenzialeLasituazionedi maggioreinteressesico`equellaincui leparticellenonsonolibere, ma soggette a forze corrispondenti allenergia potenziale V (x). In questecondizioni possiamoricorrereallequazionedi Schrodingernellaforma(3.37).Data la linearit` a dellequazione, per uno studio generale della stessa `e sucientelimitarsiaconsideraresoluzioniperiodicheneltempodeltipo:(x, t) = eiEt hE(x). (3.48)Infatti lasoluzionegeneraledipendentedal tempopu`oesseredecompostaincomponentiperiodichedeltipo(3.48)tramiteunosviluppodiFourierequindila conoscenza della soluzione pu`o essere riportata a quella delle E(x), oltre chedeicoecientidellosviluppo.Le E(x) sono calcolabili risolvendo lequazione ottenuta sostituendo laforma(3.48)nella(3.37),cio`e:i ht

eiEt hE(x)

= EeiEt hE(x) = eiEt h h22m2xE + V (x)E, (3.49)dunque:EE(x) = h22m2xE(x) + V (x)E(x), (3.50)65chevienechiamataequazionedi Schrodingerindipendentedal tempoostazio-naria.Il primocasoche consideriamo`e quellodellabarrieradi potenziale incui V (x) `e nulloperxLed`epositivosul segmento[0, L]comenellarguraquiaccanto. Unussodi particelle classiche incidenti sulla barriera nelsenso delle x crescenti viene assoggettato, supe-ratalorigine, aforzechetendonoarallentar-lo. Se lenergia cinetica iniziale, che corrispondeovviamenteaEin(3.50),superalaltezzadellabarrieraV0leparticellerallentateraggiungonoil puntoincui V `emassimo,entrano quindi in un campo di forze acceleranti no a raggiungere il punto x = Lproseguendopoi conmotolibero. Il usso`estatocompletamentetrasmessoela barriera ha unicamente aumentato il tempo di attraversamento del segmento[0, L]. Seinvecelenergiacinetica`einferioreaV0leparticellesi fermanoeinvertonoil loromotoprimadi raggiungereil puntodi V massimoeil ussovienecompletamenteriesso.Del tutto diverso `e il risultato secondo la mecca-nica quantistica. Per analizzare le dierenze sulpianoqualitativoconvienescegliereunabarrie-radi formataledafacilitarelasoluzionedella(3.50). Questo`eil casodi potenzialecostantea tratti,cio`e in particolare la barriera quadrataquiaccanto.Lasceltadelpotenzialecostanteatratti`egiusticatadalfattoche,conVcostantela(3.50)siscrivenellaforma:2xE(x) +2m h2(E V )E(x) = 0, (3.51)eammettelasoluzionegenerale:E(x) = a+ei2m(EV ) hx+ aei2m(EV ) hx, (3.52)seE> V e:E(x) = a+e2m(V E) hx+ ae2m(V E) hx, (3.53)nel caso opposto. Il problema `e stabilire come si raccorda la soluzione relativa aun tratto con potenziale costante a quella dei tratti contigui. Per risolverlo dob-66biamo metterci in condizione di controllare le equazioni dierenziali in presenzadidiscontinuit`adeicoecienti,questorichiedeunbreveinterludiomatematicoInterludiomatematico, leequazioni dierenziali concoecienti di-scontinuiLe equazioni dierenziali concoecienti discontinui possono essere trattatesmussandolediscontinuit`a, risolvendoleequazioni intermini di funzioni pi` uvoltederivabilieriproducendolesoluzioniinpresenzadidiscontinuit`aconunprocessodilimite. Introduciamoperquestolafunzione

(x)denitada:

(x) = 0 se [x[ >

(x) =

2+ x2 (2x2)2ex2(2x2)2se [x[ < .Questa funzione `e continua con tuttele sue derivate ed `e facile vedere che

(x)dx = 1. In base a queste propriet` asi conclude che se f(x) `e localmente integra-bile,cio`eammettealpi` usingolarit` aisolateincui lafunzionepu` odivergerecongradoinferiore a1, cio`e come1|x|1per >0,lintegrale:

(x y)f(y)dy f

(x),denisceunafunzioneinnitevoltederiva-bile in x e le derivate di f

tendono a quelledi fnel limite0 e in tutti i punti in cuiquestultimesonodenite.67Chiameremof

funzioneregolarizzata. Se,peresempio, consideriamoil casoincui f`e la funzione a gradino nellorigine, cio`ef(x)=0perx0si hanno per f

(x), xf

(x) e 2xf

(x) gliandamenti mostrati nellordine qui accan-to. In particolare si osservi che essendof

(x) = 0

(x y)dy = x

(z)dz sihaxf

(x) =

(x).Considerando le tre gure si vede bene comef

(x) interpola con continuit` a fra il valore 0dellafunzioneasinistrae1adestrarestandoinferiorea1per qualunquevaloredi . Il fattoimportantedaosservare`e che invece lasecondagurache mostraxf

(x) presentaunmassimo di altezza proporzionale a1

2, che quindi diverge allannullarsi di . Laterzaguramostracheladerivataseconda2xf

(x)presentaunoscillazionediampiezzaproporzionalea1

4intornoal puntodi discontinuit`a. Datoche, perpiccolo, lafunzioneregolarizzatanellevicinanzedalladiscontinuit` adipendedai valori dellafunzioneoriginalenellevicinanzedellastessa, `echiarochegliandamenti qualitativi mostrati nelle gure si presentano per qualunque funzionenellevicinanzedi discontinuit` adi primaspecie, cio`egradini. Andamenti pi` usingolarisihannoperdiscontinuit` adelpotenzialepeggiori.Consideriamodunquela(3.51)nellevicinanzediunpuntodidiscontinuit`adi primaspecie(gradino) di V eimmaginiamodi regolarizzareentrambi gliaddendi,selafunzionedondanonpresentadiscontinuit`apeggioridellaprimaspecie,ilsecondoterminedellequazionepresentasologradinie,regolarizzato,resta limitato in modo indipendente da . Invece, se la funzione donda Eo lasua derivata prima xEpresentassero discontinuit` a di prima specie o peggiori,regolarizzando il primo termine, si otterrebbero contributi proporzionali a1

4o,rispettivamente, a1

2, o ancore pi` u singolari, e la (3.51) sarebbe necessariamenteviolata.Quindi abbiamomostratoche inpresenzadi unadiscontinuit` adi primaspeciediV laEdeverestarecontinuaconlasuaderivataprima.Pertrattareinmodosemplicatoil casodi barrieredi lunghezzaLmoltopiccolarispettoallelunghezzedondadi interesse`eutileintrodurrebarriereinnitamentesottili; questopu`oesserefattoscegliendounenergiapotenziale68che,regolarizzata,siaegualea: V

(x) = 1

(x)cio`etalecheV (x) = 1 lim0

(x) 1(x). (3.54)La(3.54)deniscelafunzionedeltadiDiraccomelimitedella

.Lo stesso argomento presentato sopra mostra che, in presenza di una barrieraproporzionale alla delta di Dirac la derivata della funzione donda presenta unadiscontinuit`adiprimaspeciediampiezza2mh21E(0).Si noti cheunabarrieraproporzionalealladeltadi Diracpu` oegualmenteessererappresentatacomeunabarrieraquadratadialtezzaVLedilarghezzaLallimiteincuiL 0inmodoche dxV (x) = 1.LabarrieraquadrataConsideriamolequazionedi Schrodingerstazionaria(3.50)conunpotenzialecorrispondenteallabarrieraquadratasopradescritta, cio`eV (x)=V per0 V eincuiclassicamentelinterousso `etrasmessob)quelloincuiE< V eincuiclassicamentelinterousso `eriesso.Iniziamodalcaso(a): vannodistintetreregioni:1)quellaconx < 0incuilasoluzionegenerale `e:E(x) = a+ei2mE hx+ aei2mE hx. (3.55)Aquestafunzionedondacorrispondonodueussi opposti, unoversodestrapari a [a+[2

2E/meunooppostopari a [a[2

2E/m. Volendostudiareunprocessoanalogoaquellodescrittoal livelloclassicosceglieremoinmodoarbitrarioa+= 1,dunqueE(x) = ei2mE hx+ aei2mE hx, (3.56)ssando il usso incidente a

2E/m; a rende conto delleventuale usso riesso.2)laregione0 < x < Lincuilasoluzionegenerale `eE(x) = bei2m(EV ) hx+ cei2m(EV ) hx, (3.57)3)laregioneincuix > Leincuilasoluzionegenerale`enuovamentedatadalla (3.55). Tuttavia noiescludiamo inquesta regione unusso verso sinistra,69cio`eprovenientedax= assumendocheleunicheparticellepresenti sianoquellechehannosuperatolabarrieraechepertantoprocedonoversodestra.PoniamodunqueinquestaregioneE(x) = dei2mE hx. (3.58)Si hannoduepunti di discontinuit`adel potenziale: x=0ex=L, equindisi hannoleseguenti condizioni di continuit`adellefunzioni dondaederivateprime:1 + a = b + c1 a =

E VE(b c)bei2m(EV ) hL+ cei2m(EV ) hL= dei2mE hL

E VEbei2m(EV ) hLcei2m(EV ) hL

= dei2mE hL. (3.59)Abbiamounsistemalinearedi 4equazioni in4incogniteche, perunasceltagenericadeiparametridovrebbeidenticareunicamentelasoluzione. Ilnostrointeresseprincipale`eladeterminazionedi [a[2. Questaquantit`arendecontodellafrazionedel ussoincidentechevieneriessoperuneettoquantistico.PertantochiamiamoR = [a[2coecientediriessionedellabarriera.Dividendo membro a membro prime due equazione e le seconde due si ottienedopofacilipassaggi:bc e2i2m(EV ) hLbc+ e2i2m(EV ) hL=

E VE1 a1 + a=

E VEbc 1bc+ 1(3.60)risolvendolaprimaequazioneinbcelasecondainasiha:bc= e2i2m(EV ) hL

EVE+ 1

EVE1a =1 +

EVE+bc

1

EVE

1

EVE+bc

1 +

EVE (3.61)70equindi,sostituendo:a =

1 EVE

ei2m(EV ) hLei2m(EV ) hL

1 +

EVE

1

EVE

2ei2m(EV ) hL

1 +

EVE

2ei2m(EV ) hL,cio`ea =VEsin(2m(EV )hL

2EVEsin(2m(EV )hL

+ 2i

EVEcos(2m(EV )hL, (3.62)dacui si vedechiaramenteche 0 [a[ 0)maggiore o eguale a 1. Dunque la buca di potenziale quadrata in una dimensioneammettealmenounostatolegatoinvarianteperriessioneintornoallorigine(pari).78Estendendolateoriaatredimensionisivedechelesistenzadialmenounostatolegato `eunapropriet` aspecicadelcasounidimensionale.Passando a considerare gli stati che cambiano segno riettendo le coordina-te, dobbiamoscegliereunafunzionedondanullanellorigine, questosignicasostituirecosenoconsenonella(3.82).`Efacilericostruireconquestavarianteil calcolochehaportatoallacon-dizionedi quantizzazionedei livelli (3.85). Usandolastessadenizionedellevariabilila(3.85)diventa:cot

2m(E + V )L2 h=

[E[E + V. (3.88)Corrispondentemente si ha la -guraqui alatochemostrale-sistenzadi intersezioni solopery >2, cio`e per laprofondit`aV >2h22mL2. Questa`eanchelacondizione per lesistenza di sta-ti legati intredimensioni. Unlimiteinteressantedaapplicareallanostraanalisi dellabuca`equello incui la profondit`a di-verge, labucainnita. Eviden-tementeapprofondendolabucaconvieneanchecam- bia-re la scala delle energie in modo da evitare di parlare di energie tendenti a menoinnito. Pertanto spostiamo lorigine delle energie in modo tale che il fondo dellabuca corrisponda a energia potenziale nulla e la zona esterna a V ; questo equiva-le a sostituire nelle formule precedenti E+Vcon Ee [E[ con V E; osservandoche interessano solo energie positive. Eseguendo il limite V sulla condizio-nidiquantizzazione(3.85)e(3.88)siharispettivamente: tan2mEL2 h= +e:cot2mEL2 h= +cio`e:2mEL2 h= (2n 1)2e:2mEL2 h= nconn = 1, 2, . . ..Inultimaanalisicombinandostatipariedisparisiha2mE hL = n : n = 1, 2, . . . ,equindisihannoilivellienergetici:En=n22 h22mL2. (3.89)79corrispondentemente, sul segmento [x[ L2,tuttelesoluzionihannolimitenullo.Lefunzionidondapossonodunquescritteinununicaformula:En(x) =

2L sin n(x +L2)Lper [x[ L2. (3.90)Come si vede, si mantiene la continuit` a della funzione a [x[ =L2dove la funzionesinusoidalesiannulla, masiperdelacontinuit` adelladerivataprimacomenelcasodelladeltadiDirac.La generica Ensi comportadunquecomenellaguraala-todacui appareinmodochia-rolanalogiaconlacomponen-te elettricadi unondaelettro-magneticariessadaunospec-chio; soloche nel casopresen-te si hanno riessioni su duespecchi aacciati nelle posizionix = L2.Labucadi altezzainnitavadunqueidenticatacollintervallocompresofradueparetiriettenti.Lecondizioni chelampiezzasi annulli sullospecchiosi combinanoimpo-nendocheladistanzafrai duespecchi siapari aunnumerointerodi mezzelunghezzedonda; questoimplicalaquantizzazionedellelunghezzedondaequindidelleenergie.Tornandoallanalogiaconleondeelettromagnetiche,lasituazionepresentecorrispondeauncavit`arisonanteovviamenteunidimensionale. Nellacavit` ailcampo oscilla unicamente con le frequenze corrispondenti alle lunghezze dondapermesse. In sintesi si hanno le lunghezze donda: n=2Lnper n = 1, 2, . . .; nelcasodellecavit`asi hannolefrequenzen=cn=nc2Lcheevidentementesonomultiplidellafrequenzafondamentaledellacavit` astessa.Seppurelimitandoci peril momentoal casounidimensionale, constatiamocheil campoelettricoallinternodi unacavit` a`eequivalentedinamicamenteaunsistemadioscillatoriarmonici. Ricordiamocheglioscillatoriarmonicisono80i sistemi meccanici afrequenzadenita, quelli del campoelettricosonocarat-terizzati inunadimensionedallefrequenzen=nc2L. Nel prossimocapitolo,riferendocialmodellomeccanicodelloscillatorearmonico: unaparticellamas-siva soggetta a una forza di richiamo elastica da un punto sso, mostreremo chela sua energia `e quantizzata secondo la formula En= h

n +12

, confermandoconci`oil valoredel quantodi energiapari a h=h assuntodaEinstein.Losservazionecircaladecomposizioneinoscillatoridelcampoelettricoinunacavit` apermettelestensionedellaregoladiquantizzazionealcampoelettricoequindi giustica il concetto di fotone che porta appunto unenergia eguale a h.Al livello quantistico gli stati di un campo elettromagnetico oscillante in unacavit` asonovisticomequellidiunsistemadifotoni,innumerocorrispondenteaiquantidienergiapresenti,cherimbalzanoelasticamentefralepareti.Il nostrorisultatosullabucaapareti riettenti `efacilmentegeneralizza-toal casotridimensionale; ipotizzandounascatolacubicaapareti riettenti,lecondizioni di annullamentodellafunzionedondasullepareti equivalgono,allinternodellascatola,a:nx,ny,nz=

8L3 sin nx(x +L2)Lsin ny(y +L2)Lsin nz(z +L2)L. (3.91)Lenergia corrispondente coincide con lenergia cinetica allinterno della scatolaed `eottenibilescrivendolequazionediSchr odingertridimensionale: h22m

2x + 2y+ 2z

nx,ny,nz= Enx,ny,nznx,ny,nz, (3.92)dacuisiottienefacilmente:Enx,ny,nz=2 h22mL2

n2x + n2y + n2z

. (3.93)Questorisultatosar`autileperstudiarelepropriet` adiungasdiparticellenoninteragenti(gasperfetto)contenuteinunascatolaaparetiriettenti.Comeannunciatosopraconlostessometodosi studianoi modi di oscilla-zione del campo elettrico nel caso di una cavit` a tridimensionale le cui frequenzecaratteristichesonodateda: nx,ny,nz=c2L

n2x + n2y + n2z.3.0.10 LoscillatorearmonicoLoscillatorearmonicounidimensionalesi identicacol sistemameccanicofor-matodaunaparticelladi massamlegataaunpuntosso(lorigine)dauna81mollaidealedi costanteelasticakedelongazioneariposonulla. Essocorri-spondeallenergiapotenzialeV (x)=k2x2. Classicamentesihalequazionedelmoto:m x + kx = 0lacuisoluzionegenerale `edatadax(t) = X cos(t + )dovesi `eposto=

km= 2e`elafrequenzapropriadelloscillatore.AllivelloquantisticositrattadirisolverelequazionediSchrodingerstazio-naria: h22m2xE(x) +k2x2E(x) = EE(x). (3.94)Perrisolverequestaequazionesipu` oricorrereallaseguenteidentit` a:

k2x h2mx

k2x + h2mx

f(x)k2x2f(x) + h2xxf(x) h2x(xf(x)) h22m2xf(x)= h22m2xf(x) +k2x2f(x) h2f(x)

h22m2x +k2x2 h2

f(x), (3.95)veraperqualunquefduevoltederivabile.`Eimportanteosservarelanaturaoperatorialedellanotazioneusatainque-stequazioneincuisisonointrodottisimbolispecici(

k2x h2mx

oppure

h22m2x +k2x2h2

)perindicareoperazioni combinatedi derivazioneemol-tiplicazioneperlavariabile. Questesononormalmentechiamateoperatoriin-tendendoconci` oleggidicorrispondenzafrafunzioniappartenentiaunacertaclasse(peresempionvoltederivabili)ealtrefunzioni, ingenerale, di unaltraclasse. In questo modo `e possibile riscrivere lidentit` a (3.95) prescindendo dallafunzionefcomeunarelazioneesplicitamenteoperatoriale:

k2x h2mx

k2x + h2mx

=

h22m2x +k2x2 h2

, (3.96)82ointrodurrealtreequazionidellastessanatura,comeadesempio:

k2x + h2mx

k2x h2mx

k2x h2mx

k2x + h2mx

= h (3.97)Perridurreladimensionedelleformule `eopportunointrodurreduesimboli:X

k2x h2mx

, (3.98)Questocipermettediriscriverelequazione(3.97)nellaformasemplice:X+XXX+= h, (3.99)elequazionediSchr odingercome:

k2x h2mx

k2x + h2mx

E(x)= XX+E(x) =

E h2

E(x). (3.100)Questomododi scrivere lequazione di Schr odinger permette daarrivare inmodorapidoaunaseriedirisultati:a)Lafunzionedondasoluzionedellequazione:X+0(x) =

k2x0(x) + h2mx0(x) = 0, (3.101)`esoluzionedella(3.100)conE=h2. Percalcolarlabastariscrivere(3.101)come:x0(x)0(x)= km hx,dacuiintegrandoamboimembri:log 0(x) = c km2 hx2,83equindi0(x) = eckm2 hx2,dovelacostantecpu` oesseressatausandolacondizionedi normalizzazione(3.39)ottenendo:0(x) =

km2 h218ekm2 hx2. (3.102)`E opportuno richiamare la necessit` a di restringere lanalisi a funzioni, cosid-detteaquadratosommabilechepossanoesserenormalizzatesecondola(3.39).Questacondizione `esottintesanellepaginecheseguono.b)Quellatrovata`elasoluzioneconenergiapi` ubassa, dettastatofonda-mentaledelsistema, comesipu` ovedereosservandoche, perqualunqueE(x)normalizzata,siha,integrandoperpartiladerivatainX:

dx E(x)

k2x h2mx

k2x + h2mx

E(x)=

dx[X+E(x)[2=

dx E(x)

E h2

E(x)= E h2 0. (3.103)Lultimadiseguaglianzaseguedal fattochelintegraledel moduloal quadratodi unafunzionenonpu` oesserenegativo. Inoltrevaosservatoche, sevalele-guaglianzain(3.103), cio`eE=h2, necessariamenteX+E=0equindi E`eproporzionalea0.c) Se Esoddisfa la (3.100) con E>h2, XEsoddisfa le stessa equazioneconEsostituitodaE h.Infattila(3.100)dasubito:X+XX+E=

E h2

X+E(x),e,usandola(3.99):X+XX+E= (X+XXX+) X+E + XX+X+E= hX+E + XX+X+E. (3.104)84Confrontandoisecondimembridelledueequazionisiottiene:XX+X+E=

E 3 h2

X+E(x) (3.105)chedimostralassertonelcasodiX+. Analogamentesiha:XX+XE= hXE + XXX+E=

E h2

XE(x) + hXE, (3.106)cheprovalassertonelcasoX.d) Finalmente combinando le osservazioni (a-c) possiamo mostrare che i solilivellienergeticiammissibilisono:En=

n +12

h. (3.107)Poniamoinfatti chela(3.100)ammettail livelloE=

m +12

h + con0 < < he la funzione donda E; applicando ripetutamente X+no a m+1volte a Esi otterrebbero m+1 funzioni donda non nulle. Se infatti Xk+Econk m + 1fosselaprimafunzionenulla, perla(b)Xk1+Esarebbesoluzionenonbanale(nonnulla)della(3.100)conE=h2, mentredalla(c)sappiamoche `esoluzioneconE=

mk + 1 +12

h +. QuestoragionamentomostrainparticolarecheXm+1+Edovrebbeesseresoluzionedella(3.100) conE=

12

h + incontrastoconlassertodi(b)cheescludelivelliinferioriah2.Quindi abbiamomostratochelospettrodelloscillatorearmonico`ecosti-tuito dai livelli En=

m +12

he le corrispondenti funzioni donda sonoproporzionaliaXnEsepossiamodimostrareche:e) Unafunzione dondacorrispondente al livellon-mo`e necessariamenteproporzionaleaXn0:n Xn0. (3.108)Noi ci limitiamoamostrare lassertonel cason=1; laprovanel casogeneraleseguegeneralizzandobanalmentelostessoargomento.Inbaseallunicit`adi0,se1= X0e

1corrispondonoalprimolivello(E1)deveessereX+1=a0= h0eX+

1=a

0cona

nonnulloperla(b). Ma allora X+ (a

1 h

1) = 0. Questo lascia aperte due possibilit`a: o lafunzionedonda(a

1 h

1) `enullaequindileduefunzionisonoproporzio-nali, o in alternativa (a

1 h

1) `e soluzione della (3.100) corrispondente allo85stato fondamentale n = 0; questo per`o `e escluso perche qualunque combinazionelinearedi 1e

1nonpu` ochecorrispondereaE1=3 h2datochelequazione`e(3.100)lineare. Restadunquesololapossibilit` acheleduefunzionisianotraloroproporzionali.Cos`siconcludelanalisibasatasulmetodoalgebricodelloscillatorearmo-nicounidimensionalechehadimostratolaformuladiquantizzazionedeilivellienergetici (3.107)elastrutturadellafunzionedondacorrispondente(3.108).Il risultatoammettenumerosegeneralizzazioni di grandeinteressesico. In-nanzituttolestensionealloscillatoretridimensionaleisotropochecorrispondeallequazionediSchrodinger: h22m

2x + 2y+ 2z

E(x, y, z) +k2

x2+ y2+ z2

E(x, y, z)= E E(x, y, z). (3.109)Questa equazione pu` o essere vista come la somma termine a termine delle equa-zioni di tre oscillatori unidimensionali rispettivamente nelle variabili x, y ez. Possiamodi conseguenzaconcludere che per loscillatore tridimensionaleisotropolaformuladiquantizzazionedeiliveli `e:Enx,ny,nz= h

nx + ny + nz +32

, (3.110)echelacorrispondentefunzionedonda `e:nx,ny,nz(x, y, z) = nx(x)ny(y)nz(z). (3.111)Questo `eiltipicoesempiodiequazionediSchr odingerseparabile.UnageneralizzazioneulterioreriguardalepiccoleoscillazionidiunsistemaaNgradidilibertaintornoaunaposizionediequilibriostabilelacuienergiapu` osempreesseredecompostanellasommadelleenergiedi Noscillatori uni-dimensionaliconfrequenzepropriediverse(i, i = 1, ..., N). Inquestocasolaformuladiquantizzazione `e:E(n1,...nN)=Ni=1 hi

ni +12

, (3.112)elacorrispondentefunzionedondapu` oesserescrittacomeil prodottodellefunzioniassociateaisingolioscillatori.Innedobbiamoricordareil campoelettricoallinternodi unacavit` ariso-nanteacuisi `efattoriferimentonelcapitoloprecedente.863.0.11 Il casodi unpotenzialeperiodico: lospettroabande.Nei capitoli precedenti abbiamo incontrato e discusso situazioni in cui lo spettrodelle energie `e continuo, come per le particelle libere di muoversi verso linnitoconosenzabarrieredi potenziale, ealtri casi incui lospettro`ecostituitodalivellidiscreti,comeinquellodelleparticellelegate. Mostriamooralesistenzadi altresituazioni di rilevanteinteressesico, quelleincui leparticellesonosoggetteapotenziali periodici comegli elettroni inunsolido, incui si hannospettri a bande. Un esempio trattabile in modo relativamente semplice `e quelloincui lenergiapotenzialesi pu`oscriverecomelasommadi innitebarrieresottilischematizzatetramitedeltadiDiracposteadistanzaalunadallaltra:V (x) =n=1(x na). (3.113)Evidentementesiha:V (x + a) = V (x), (3.114)cio`eunpotenzialeperiodico. Limitandolanostraanalisi al casodi barriere,poniamo 1> 0.La (3.114) esprime una propriet`a di simmetria dellequazione di Schr odingerdel tutto analoga a quella per riessione dellasse x discussa nel caso della bucaquadrataeveraancheperloscilatorearmonico.Conunargomentoanalogoaquelloillustratonelcasodellabucasimostrache, anche nel caso di potenziali periodici, cio`e invarianti per traslazioni di a, cisi pu` o sempre ridurre a funzioni donda che sotto lazione di una trasformazionedi simmetriadel potenzialecambianoal pi` uper unacostantemoltiplicativa.Nelcasodelleriessionilacostantealquadratodeveessereegualea1equindinon pu`o essere che 1, perche una doppia riessione riporta alla congurazioneiniziale. Invece nel caso delle traslazioni x x+a si ha in generale la possibilit` adicombinarefralorolefunzionidondainmodotalechevalgalarelazione:E(x + a) = E(x).Evidentementeanchequestefunzioni, comeleondepiane, nonsononormaliz-zabili, quindi dobbiamoricorrereallinterpretazionesicacollettivacomenelcaso della barriera. In questa interpretazione si accettano densit`a di probabilit` achenondiminuisconoallinnito, manonpossonoinalcunmodoesserepre-seinconsiderazionefunzioni dondapercui ladensit` acresceindenitamente.87Dunquesonodinteressesicosololefunzionidondapercui = eicio`eE(x + a) = eiE(x). (3.115)Questa `e unaltra applicazione del principio di simmetria enunciato nel capitolo4.6. Oltre che dalla (3.115) E(x) `e vincolata in ogni intervallo (n1)a < x < nadallequazionediSchrodingerlibera: h22m2xE(x) = E E(x)lacuisoluzionegenerale `e:E(x) = anei2mE hx+ bnei2mE hx.Innesihannoincorrispondenzadiognideltalecondizionidicontinuit`adellafunzione donda e discontinuit` a della derivata prima pari a2mVh2E(na). Data lapseudo-periodicit`a espressa dalla (3.115) `e chiaro che, se queste condizioni sonovericatenellorigine,losonoancheintuttiipuntipercuix = na.Nelloriginesihannolecondizionisullafunzioneesulladerivata:a0 + b0= a1 + b1i2mE h(a1b1a0 + b0) =2m1 h2(a0 + b0) . (3.116)mentrela(3.115),nellintervallo a < x < 0,equivalea:a1ei2mE h(x+a)+ b1ei2mE h(x+a)= ei

a0ei2mE hx+ b0ei2mE hx

. (3.117)Daquestultimaequazioneabbiamo:a1= ei

2mE ha

a0, b1= ei

+2mE ha

b0.Sostituendo nelle (3.116) troviamo un sistema di due equazioni lineari omogeneeindueincognite:

1 ei

2mE ha

i

2mE1 h

a0

1 ei

+2mE ha

+ i

2mE1 h

b0= 0

1 ei

2mE ha

a0 +

1 ei

+2mE ha

b0= 0. (3.118)88Perche il sistemaammettasoluzioni nonbanali (an,bn=0) `e necessarioesucientecheil determinantedellamatricedei coecienti si annulli; questoequivaleaunequazionedisecondogradoperei:

1 ei

2mE ha

i

2mE1 h

1 ei

+2mE ha

+

1 ei

+2mE ha

+ i

2mE1 h

1 ei

2mE ha

= 2e2i

2 i

2mE1 h

ei2mE ha+

2 + i

2mE1 h

ei2mE ha

ei+2 = 0, (3.119)chepu` oessereriscrittanellaforma:e2i

2 cos2mE ha

+

2mE1 hsin2mE ha

ei+ 1 e2i2Aei+ 1 = 0. (3.120)La (3.120) `e risolubile con reale se e solo se A2< 1 come `e immediato vericareusandolaformularisolutivadelleequazionidisecondogrado.Abbiamo dunque una disuguaglianza, coinvolgente lenergia E e il parametrodel potenziale 1, che `e condizione necessaria e suciente per lesistenza disoluzionisicamenteaccettabilidellequazionediSchr odinger:

cos2mE ha

+

m2E1 hsin2mE ha

2< 1, (3.121)dacuisegue:cos22mE ha

+m2E12 h2sin22mE ha

+2

m2E1 hsin2mE ha

cos2mE ha

=< 1 (3.122)equindi:1 cos22mE ha

m2E12 h2sin22mE ha

892

m2E1 hsin2mE ha

cos2mE ha

=

1 m2E12 h2

sin22mE ha

2

m2E1 hsin2mE ha

cos2mE ha

< 0, (3.123)dacuisihainne:cot2mE ha

0, conp = 2mEep

= 2m(1 E).Imponendolacontinuit`ainx=0per(x)elasuaderivataotteniamoc=2a1+ip

/peb =a1ip

/p1+ip

/p. Si vede subito che [b[2= [a[2, per cui il coeciente di riessione `e 1.92Infattiasinistradelgradinolacorrente `eJ(x) = i h2m(x x) `enullaesihasolounondaevanescente(quindinientetrasmissione). Tuttavialaprobabilit`aditrovare un elettrone a sinistra non `e nulla e il numero totale di elettroni che si trovanoax< 0 `edatodaN= 0[(x)[2dx = [c[2h/(2p

) =2|a|2 hp2p

(p2+p2). Ilcoecienteasicalcolaimponendochelacorrenteelettricaincidentesulgradino, Jel=eJ=e[a[2pmsia pari a 103Ampere. Si ricava inneN 1.2.4. Un elettrone `e connato in una scatola cubica a pareti riettenti con lun-ghezzadi spigolopari a2109m, tenendocontodel gradodi libert` adispin che ne raddoppia il numero, quanti sono gli stati con energia inferiorea1eV ?Soluzione: I livelli energetici nellascatolaapareti cubicheriettenti sono E=2 h22mL2(k2x + k2y + k2z)dovem=0.9111030kgekx, ky, kzsonointeri positivi. DalvincoloE 0e2mvL h2= (4)2Calcolareperqualivaloridi > 0sihannostatilegati.Soluzione: Datochelostatolegatopi` ubasso, sec`e, `epari, chiediamocheci siauno stato legato pari. Ci occupiamo quindi solo di x > 0 e poniamo (x) = cos kx perxLcono