Fisica n11 Mas Pendulo Ondas - Copia

8/20/2019 Fisica n11 Mas Pendulo Ondas - Copia

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Ciclo preuniversitarioFísica

M.A.S –PÉNDULO SIMPLE

El Estudio de las oscilaciones mecánicas esimportante no solamente por su aplicaciónfrecuente a la ingeniería, sino porque losresultados obtenidos durante su estudio tambiénpueden ser usados para el estudio y aclaraciónde los fenómenos oscilatorios en otras ramas dela Física, tales como por ejemplo el estudio delas oscilaciones armónicas que experimentan loselectrones en una antena de transmisión o elmovimiento de las moléculas en torno a unaposición de equilibrio en una red cristalina o elmovimiento de las moléculas sobre la superficielibre de los líquidos luego de una perturbación.

or lo expuesto, el !.".#. es de sumaimportancia ya que permite comprender algunosde los movimientos oscilatorios más complejosque se presentan en la naturale$a. "ntes deentrar a anali$ar y describir el !.".#.conoceremos algunos aspectos previos como loque es% un movimiento oscilatorio y unmovimiento periódico.

Movimiento Oscilatorio#e caracteri$a porque el movimiento se repite,siguiendo la misma trayectoria en ida y vuelta.

e experimenta un movimiento de vaivén'.or ejemplo, un reloj de péndulo, un columpio,etc.Movimiento PeriódicoEs aquel que se repite regularmente enintervalos de tiempo iguales.or ejemplo, el movimiento rotacional de latierra, sus clases en el centro pre, etc.Movimiento ArmónicoEs aquel movimiento cuya posición estáexpresada en términos de seno y(o coseno. Enla práctica todo movimiento armónico es a la ve$periódico.Observaciones:

"nalicemos el movimiento de una esferita sujetamediante un )ilo, como se muestra%

A

B

C

*a esferita oscila entorno de su posiciónmás baja &+'

ra: *a esfera completa una oscilación cuandodesarrolla un movimiento completo, es decir,cuando va del extremo &"' )acia el extremo &' y luego retorna al extremo inicial, &"'.

" → + % -n cuarto de oscilación

" → % !edia oscilación

" → → " % -na oscilación

!da.: El tiempo que debe transcurrir para quese repita nuevamente el evento sedenomina% &eríodo /0'.

"ra.: -n movimiento periódico, no esnecesariamente oscilatorio y un movimientooscilatorio no es necesariamente periódico.

#$er%a El&sticaEstas fuer$as se generan cuando se deforma uncuerpo. or lo general se distinguen%a' #$er%a De(ormadora )#D':

Es aquella fuer$a que produce ladeformación del cuerpo, siempre tiene elsentido de la deformación. 1 2 *f 3 *40

Lox

FD

FR

Lf


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b' #$er%a *ec$+eradora )#* ':#e genera en los cuerpos deformados. #i ladeformación no supera el límite elástico, secumple la *ey de 5oo6e.

F7 7..0 1

tetanconsX

FK D ==

8 % constante elástica del resorte

*uego, la fuer$a recuperadora está dada por%

F9 2 :81

,-$ es $n Movimiento Armónico Sim+le/Es un movimiento oscilatorio, periódico en línearecta.or ejemplo, analicemos un bloque en reposoligado a un resorte%

Posición de

equilibrio

P.E.

l iso

*o alejamos una distancia "0 de su posición deequilibrio .E0, por medio de una fuer$adeformadora F70.

FD

V = 0

A

FR

V = 0

Mx

-A A

V

!

P.E.

Mo". de "uel#$ %&'()

Mo". de id$ %&'()

;


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Ciclo preuniversitarioFísica". Per0odo )1': Es el tiempo utili$ado para

dar una vibración u oscilación completa.

2. #rec$encia )(': Es el n@mero de

vibraciones completas por unidad detiempo.

T

1f =

-nidad% #:> 2 5ert$5$0

3. #rec$encia c0clica ) ':

f 2T

2π=π=ω

;Por 4$ al M.A.S. se le denominaarmónico/

#e debe a que su movimiento está gobernadopor funciones armónicas seno o coseno0.

E5UA5IONES DEL M.A.S.ara obtener las ecuaciones del !.".#.trabajaremos con la proyección )ori$ontal de

una partícula que experimenta un !..-., con elmovimiento del bloque.

x

α

P.E.

∆ # = #

#

#f = ## = 0x = 0

*o

A

x

7e t4 2 4 a tf 2 t, la partícula barre un ángulo &θ', y del !..-. se tiene que%

θ 2 ω . t

Ec$ación de la +osición:

" partir del se deduce que%

1 2 " sen ω t A α0

α % Fase Bnicial? su valor depende de lascondiciones iniciales posición y velocidad

inicial0

#e expresa en &rad'

E6em+lo:#ea la ecuación del movimiento de un osciladorarmónico%

1 2 4,C #en πt A π 0 m D

7eterminar su amplitud, la frecuencia cíclica,fase inicial, período, frecuencia de oscilación ysu posición para el instante t 2 4,C s


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Ciclo preuniversitarioFísicaSol$ción:#abemos que la ecuación de movimiento del!.".#. es%

1 2 " sen ω t A α0

*uego, por dato%

1 2 4,C sen πt A π 0 D

omparando ambas ecuaciones tenemos que%

" 2 4,C m 2 C4 cm "mplitud

ω 2 π rad(s Frecuencia cíclica

α 2 π rad Fase inicial D

/ 2 Cπ 2 Cπω π

∴ / 2 C s En cada oscilaciónel oscilador empleaC s

f 2 > 2 >/ C

En cada segundo ∴ f 2 4, s el oscilador desa:

rrolla mediaoscilación

")ora, en t 2 4,C s su posiciónserá%

1 2 4,C sen π 4,C0 A π 0m D

1 2 4,C sen πC

>

∴ 1t 2 4,C0 2 4,C m

Es decir, en t 2 4,C s el oscilador se encuentra4,C m a la derec)a de la .E.

Ec$ación de la 7elocidad

Gt0 2 ω " os ωt A α0

Esta ecuación nos permite )allar la velocidad delmóvil en cualquier instante de tiempo.

/ambién%

22XAV −ω=

Esta ecuación sólo nos permite conocer elmódulo de la velocidad conociendo la posicióndel móvil.

7e esto se deduce%

G!H1 2 ω" .......... en la .E.0G!IJ 2 4 .......... en los extremos0

Ec$ación de la Aceleración

at0 2 :ωC " #en ωt A α0

ara cualquier instante de tiempo.

7e esto se deduce que%

at0 2:ωCx

El signo :0 indica que a y x son de direccióncontrarias.*uego%

at0 2 ωC x

8 a!H1 2 ωC " .... en los extremos0

8 a!IJ 2 4 .... en la .E.0

,El +er0odo de oscilación9 de+ende de laam+lit$d/

KJLM, depende de la masa y de la rigide$ delresorte. El período /0 se eval@a así%

k

m2T π=

9ecuerde que%


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f 2T

2π=

π=ω

E6em+lo:

El bloque de D 6g que se muestra está enreposo. 7e pronto se le despla$a )acia lai$quierda y luego se suelta. 7etermine laecuación de su movimiento, si en cada oscilaciónel bloque recorre >44 cm. 6 2 >44 J(cm0

P.E.

liso+

Sol$ción:

#e sabe que%

1 2 " sen ωt A α0 NNN. >0El dato dice que en cada oscilación el bloquerecorre >44 cm, pero también podemos deducirque en cada oscilación el móvil recorre cuatroveces la amplitud "0.

Es decir%>44 2 D "

" 2 C cm 2 4,C m

"demás%

4

100

m

k ==ω

ω 2 rad(s

ara )allar la fase inicial, evaluamos la ecuación>0 para t 2 4

:" 2 " #en ω 40 A α0

:> 2 #en α ⇒ α 2 πC

∴ 1 2 4,C sen t A π 0 C

En el M.A.S. ,La ener0a mec&nica seconserva/K#IM orque la fuer$a que mantiene el !.".#. esuna fuer$a conservativa fuer$a elástica0. *aenergía mecánica del sistema masa:resorte deun !.".#. se eval@a así%

2

Vm

2

kA

2

mV

2

kxE

2

MÁX222

M ==+=

en cualquier en un en la posición extremo .E.

PÉNDULO SIMPLE

onsiste de una masa de dimensiones muypequeOas, suspendida mediante un )iloinextensible y de peso despreciable de un puntofijo. "l ángulo que forma el )ilo con la vertical enla posición extrema se le denomina amplitud dela oscilación.

L L

,

-θ θ


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Ciclo preuniversitarioFísicaara el período del péndulo simple se cumplenlas siguientes leyes%

>. Es independiente de la masa.

C. Es independiente de la amplitud, si esta espequeOa θ ≤ P0

Q. Es directamente proporcional a la raí$cuadrada de su longitud.

D. Es inversamente proporcional a la raí$cuadrada de la aceleración de la gravedad.

f

1

g

L2T =π=

P*O;LEMAS

>. *a ecuación del movimiento de unapartícula con !.".#. es%

π+π=

3t

2Sen4,0X

7etermine el período de oscilación, posicióny velocidad inicial.

9pta.% RRRRRRRRRRRRRR

C. -n oscilador armónico de amplitud D4 cm,es observado inicialmente en 14 2 :C4 cm.#i reali$a S4 oscilaciones por minuto.7etermine el ángulo de fase inicial? laecuación del movimiento y la velocidadinicial.


Q. -n oscilador reali$a un !.".#. cuyaecuación de movimiento está dado por

π−

π=

6t

6SenA

m, en formavertical.;En qué instante el oscilador está en

2

3A +=

descendiendo=


D. -na partícula que desarrolla un !.".#.

tiene una velocidad de cm(s y aceleraciónde >4 cm(sC cuando se encuentra en 1 2 Ccm. 7etermine su amplitud.


. -n cuerpo es impulsado desde la posiciónde equilibrio con una velocidad de 4,D m(s.#i su amplitud es 4,4T m. alcular su

velocidad después de

π

3seg. de )aber

partido.

P.E

.


S. El bloque ! 2 >44 g de la figura oscila sinfricción con una amplitud de Q cm. En elinstante que pasa por su posición deequilibrio, cae verticalmente sobre él unamasa &m' de DD g, la cual queda ad)erida.7etermine la nueva amplitud de oscilación.

M

+

,



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U. -n reloj péndulo es llevado a un planeta endonde la aceleración de la gravedad es un

>4V menor que en la /ierra. #i la longituddel péndulo es de C4 cm. ;uál debe ser lanueva longitud del péndulo para que en eseplaneta funcione correctamente=


ADI5IONALES

>. 7etermine la ecuación del movimiento deun oscilador armónico que reali$a >C4oscilaciones en C minutos. *a amplitud delmovimiento es de U cm, e inicia sumovimiento en el extremo i$quierdo.

a0

π+π=

3t2Sen2X

b0

π−π=

2

3tSen!X

c0

π−π=

23t2Sen!X

d0

π+π=

2

3t2Sen!X

e0

π−π=

3t2Sen2X

C. El oscilador armónico, oscila a lo largo deleje 1. #i la posición de tal oscilador varíaseg@n muestra la gráfica. ;


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Ciclo preuniversitarioFísica#abemos que las partículas de todo cuerpo seasólido, líquido o gaseoso interact@an unos conotros. or eso si una partícula del medioempie$a a oscilar debido a la interacción este

movimiento oscilatorio comien$a a propagarsecon cierta rapide$ en todas las direcciones.

-na onda no transporta masa, sólo transportaenergía y cantidad de movimiento, las cualesson propiedades fundamentales de toda ondasea cual sea su naturale$a.

7ebido al movimiento oscilatorio de laspartículas las ondas se clasifican en%

a' Ondas transversales.= #on aquellas enlas que las partículas oscilanperpendicularmente a la dirección depropagación. En el desli$amiento de unascapas de otras en los gases y líquidos no)ace que apare$can fuer$as de elasticidadpor esta ra$ón en los gases y en los líquidosno pueden propagarse ondas transversales.

b' Onda lonit$dinal.= #on aquellas en laque las partículas oscilan paralelamente ala dirección de propagación. En la ondalongitudinal tiene lugar la deformación porcompresión. *as fuer$as de elasticidadligada a esta deformación se originan tantoen los sólidos como en los líquidos y en los

gases por eso las ondas longitudinales sepueden propagar en todos los medios.

Elementos de $na onda:#ea una onda armónica%

A /

λ t $ 0 t $ ∆t

0↔

x

e $ %& t

y% Es la posición de la partícula del mediooscilante ubicada a x metros del origen de

onda."% "mplitud ymáx0λ% *ongitud de ondaf% Frecuencia en 5ert$ 5$0

9apide$ de propagación G

f Tt

eV λ=

λ=

∆=

7onde%

T

1f =

*a posición yx,t0 de una partícula situada a &x' metros del origen de ondas, en el instante detiempo &t' es%

λ±π=

x

T

t2SenA 't,x(

Ecuación de una onda armónica7onde%:0% #i la onda se propaga a la derec)a

A0% #i la onda se propaga )acia la i$quierda*a frecuencia de la fuente de las oscilaciones esla misma frecuencia de oscilación de unapartícula del medio y es la misma frecuencia queel de la onda.*as ondas experimentan fenómenos como%reflexión, refracción, difracción, interferencia ypolari$ación.

,-$ s$cede c$ando $na onda se enc$entracon la (rontera de otro medio/uando un movimiento ondulatorio llega a unasuperficie o región donde cambian laspropiedades del medio en el cual se propaga,sufre una alteración y como resultado, parte dela energía del movimiento ondulatorio esdevuelta al mismo medio de donde procedía,constituyendo la onda reflejada, y la otra partees transmitida al otro medio constituyendo laonda refractada. El grado de reflexión ytransmisión depende de la elasticidad delsegundo medio.


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F1E!&E DE

2!DA 3!C3DE!&E

F1E!&E DE 2!DA

REFLE4AD2

F1E!&E DE 2!DA

REFRAC&AD2

MED32 %.)

MED32 %()

) *

) V

+ V

,V

En donde el rayo incidente, el rayo reflejado y elrayo refractado están en un mismo plano.

En donde el ángulo de incidencia i 0 y el ángulo

de reflexión r 0 son iguales%

i 2 r

*as rapideces de las ondas son diferentes en losmedios >0 y C0%

+ef+acta-ome-o

nc-enteme-o

V

V

) Sen

,Sen=

*as partículas del medio C empie$an a oscilardebido a que son perturbados por las partículasde la interfase correspondientes al medio >, lasque se comportan como si fueran la fuente delas oscilaciones y como la frecuencia de lafuente de oscilaciones es la misma que lafrecuencia de la onda generada podemosconcluir que%

f medio>0 2 f medioC0

oncluimos que cuando una onda pasa de unmedio a otro su frecuencia permanececonstante.

,-$ oc$rrir& con s$ lonit$d de onda/

f medio>0 2 f medioC0

Gmedio>0 2 GmedioC0 λ> λC

Es decir la rapide$ de la onda es proporcional asu longitud de onda.#i la rapide$ en el segundo medio es menor,entonces la longitud de onda en el segundomedio será también menor.

λ1

1V 2V

λ2(λ1>λ2)

*a frecuencia de una onda no se altera cuandose transmite de un medio a otro.

ONDAS ES1A5IONA*IAS

Es un tipo especial de la interferencia de ondasque resultan de la superposición de Cmovimientos ondulatorios producidos por dosfocos que vibran sincrónicamente con la mismafrecuencia0 y por consiguiente tienen la mismalongitud de onda.Estas interferencias se caracteri$an porqueexisten puntos llamados nodos donde lainterferencia es siempre con anulación mientrasque en otros puntos llamados vientres lainterferencia es siempre con refuer$o.*os nodos y los vientres ocupan posiciones fijas,de modo que esta onda parece no avan$ar en elespacio de a)í el nombre de onda estacionaria.

V

! ! !

V V

!5 !2D2 V5 V3E!&RE

2.λ 4.λ


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-na característica interesante es que la distanciaentre dos nodos consecutivos o dos vientresconsecutivos es de media longitud de ondaλ (C0, mientras que la distancia entre un nodo yun vientre es de un cuarto de longitud de ondaλ (D0.Esto se puede apreciar en la siguiente

ilustración.L2. =λ

2.L2. =λ

3.L2. =λ

En los gráficos anteriores se observa que lalongitud de onda estacionaria, toma valoresdefinidos.

n

L,///////,

4

L,

3

L,

2

L,L

2=

λ

nL2,///////,

3L2,

2L2,L2=λ→

7onde &n' es un n@mero entero

omo f 2

'(/////L2

nVf

Vψ

=→

λ

Es decir%

etc/////,L2

V3,

L2

V2,

L2

Vf

=

*a rapide$ con la cual se propaga una onda através de una cuerda está dada por%

µ=

TV


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Ciclo preuniversitarioFísica7onde t es una tensión de la cuenta J0 y µ es ladensidad lineal de la cuerda.9eempla$ado en ψ obtenemos la frecuencia deuna onda estacionaria.

µ=

T

L2

nf

..... λ0

ara n 2 > obtendremos

µ

= T

L2

1f 1

" la cual se le denomina frecuencia fundamentalde la cuerda.

*a expresión λ0 es importante porque en ella sepuede ver cuales son los factores que influyenen la frecuencia de las ondas estacionarias enuna cuerda vibrante.

omo las cuerdas vibrantes se utili$an ennumerosos instrumentos musicales piano,guitarra, violín, etc.0, el sonido emitido por unacuerda de esos instrumentos se controlaajustando la longitud, la tensión o la masa de lacuerda.

M. A. S.PÉNDULO SIMPLE

ONDAS MECÁNICASGRAVITACIÓN UNIVERSAL

. *a ecuación del movimiento de unoscilador armónico tiene la forma

.t 0 tx Csen i mC D

→ ∧

π π = + ÷ . *uego, su

posición inicial y cuando t 2 4, s en m0respectivamente son%

A)

C i ? C i∧ ∧

B)

i∧

6 (

i∧

C)

i∧

6 7

i∧

D) -

i∧

6

C i∧

E) -

i∧

8

C i∧

−

2. La velocidad de una partícula que realiza

un M.A.S. está dada por:

G >Tcos .Qt 4,E0i .m (s0→ ∧

= +

Determine la amplitud (en m) y la

frecuencia de oscilacin (en !z).

A) 18 y π B) 18 y 3/(2 π )

C) 6 y 2 π /3 D) 6 y 3/(2 π )

E) 9 y π

3. La ecuacin de la aceleracin de un

M.A.S. está dada por:

Ca >T sen.Q t >0 j .m ( s 0→ ∧

= − −

Determine la amplitud de oscilacin.

A) "# m $) % m &) ' mD) m ) " m

9. En un !.".#. puede observarse quecuando la partícula está a > cm de laposición de equilibrio su rapide$ es D cm(s,

y cuando se encuentra a2

cm del puntode equilibrio su rapide$ es Q cm(s. 5alle sufrecuencia cíclica en rad(s.

A) B)

2C)

3

D)

"

E)

!

5. *na partícula de +," - realiza un M.A.S.La posicin en funcin del tiempo estádada por:

.t 0x 4,Esen Dt i m

Q

→ ∧π = + ÷

ntonces, es correcto afirmar:

A) La manitud de la aceleracin má/ima

es "% m0s

.$) Su rapidez má/ima es 1 m0s.&) Su enería cin2tica má/ima es +,3 4 D) Su enería potencial má/ima es +, 4

) Su período de oscilacin esD

π

s.:. -na masa m tiene una oscilación armónica

dependiente del siguiente arreglo deresortes idénticos de constante de rigide$>. 5alle el período del !.".#.


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m

'(m X →

t(s)

4

-4

0 0,6

1,2

1,8 3


"0

mC

6π

+0

Cm6

π

0

CmC

Q6π

70

mC

6π

E0

QmC C6π

;. *a gráficat vs X

→

representa el !.".#.de una partícula. 5alle la ecuación de laposición en función del tiempo para estemovimiento.

"0

x Csen Q t i mC

→ ∧π = π + ÷

+0

x Dsen Q t i mC

→ ∧π = π + ÷

0

E tx Dsen i m

S C

→ ∧π π = + ÷

70

E tx Tsen i mS

→ ∧π = + π ÷

E0

E tx Dsen i m

S

→ ∧π = ÷

#. 5ndicar si es verdadero (6) o falso

(7), se8n corresponda, respecto al

período de un p2ndulo simple:

5. s directamente proporcional a la raíz

cuadrada de su lonitud.55. s 5nversamente proporcional a la raíz

cuadrada de la manitud de la aceleracin

de la ravedad efectiva.

555. s dependiente de la masa del p2ndulo.

56. s dependiente de la amplitud.

A) 6767 $) 6677 &) 7766 D) 6766 ) 7667

'. *n p2ndulo oscila en un plano vertical con

período de seundos. Al aumentar la

lonitud de la cuerda en 9 cm, el nuevo

período es 1 seundos. &uál es la

lonitud inicial de la cuerda;

A) + cm $) "# cm

&) "< cm D) "9 cm

) "" cm

0. -n péndulo simple de longitud S,C m,que oscila en un plano vertical, seencuentra suspendido del tec)o de uncarro. #i el carro acelera )ori$ontalmente

conCa >4 Q i .m ( s 0

→ ∧

=. 7etermine el

período de oscilación.g 2 >4 ms:C0

"0 Jo existe +0

= πE

/ sC

0 ( Cπ

s 70Cπ

s

E0

sD

π

>>. -n péndulo de longitud L tiene unperíodo de oscilación 1 cuando se


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m

A

B


encuentra dentro de un ascensor enreposo. #i el ascensor sube con una

aceleración constante

a→

, su períodocambia. ;uál debería ser la nuevalongitud del péndulo si queremos que superíodo de oscilación siga siendo 1=

"0

a> *

g

+ ÷

+0

a> *

g

− ÷

0

a*

g70

g*

a

E0 *

>C. 7os péndulos iguales son colocados unoen la /ierra, y el otro en un planeta dondela magnitud de la aceleración de lagravedad es W veces el valor de la mismaen la /ierra. 7etermine la relación entrelos períodos de ambos péndulos.

"0 >(C +0 >(D 0 C70 Q E0 W

>Q. *a ecuación de una onda transversal

viajera está dada pory→

2 Ssen Dπt A

4,4Cπx0 j∧

, donde x e y están en cm y t ensegundos. 7etermine la rapide$ y direcciónde propagación de la onda.

"0 Cm(s ← +0 Cm(s →

0 Qm(s ← 70 Qm(s →E0 m(s →

>D. En una cuerda fija en ambos extremos seaplica una tensión de QS J y las ondastransversales que se producen viajan conuna rapide$ de C4 m(s. ;U. -n péndulo simple en la /ierra tiene un

período deC s

. 7etermine su nuevo

período al ser llevado a un planeta cuyadensidad promedio es el doble de ladensidad promedio terrestre, y cuyo radioes la cuarta parte del radio terrestre.

"0 4, s +0 > s 0 C s

70 D s E0 T s

>T. #uponga que la trayectoria elípticamostrada en la figura representa la órbitade la /ierra alrededor del #ol. #i el

trayecto de " a + dura C,D meses, ;quéparte del área total, limitada por la elipse,es el área sombreada=

A) < B) '7 C) ('7

Tierra

Sol


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D) '= E) '9

>W. -n planeta tiene dos satélites que giran

concéntricamente en trayectoriascirculares. -no de ellos tiene periodo deCU días, el otro emplea S días en barrer elUV del área total de su círculo.7etermine la relación de sus radios.

"0 >(C +0 Q 0 D

70 U(Q E0 W(D

C4. 5alle el módulo de la fuer$a de atraccióngravitacional entre dos esferas uniformes

de radios 9> y 9C, y densidades ρ> y ρC,cuando están en contacto X% onstantede Xravitación -niversal0.

"0

C C> C > CX9 9 ρ ρ

+0

Q Q

> C > CX9 9 . 0ρ + ρ

0

C Q Q

> C > C>S 9 9 . 0 Xπ ρ + ρ

70

C Q Q

> C > C

>S9 9 X

Wπ ρ ρ

C Q Q

> C > C

C> C

>S 9 9X

W .9 9 0

π ρ ρ

•+


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Prof: Andrés Chirre

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