FÍSICA

Teoría, ejemplos y problemas

Víctor Antonio Mendoza

Ana Elizabeth García

David Reich

PRIMERA EDICIÓN EBOOKMÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

FÍSICA

Teoría, ejemplos y problemas

Dirección editorial: Javier Enrique Callejas

Coordinación editorial: Ing. Estela Delfín Ramírez

Producción: Gerardo Briones González

Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís

Ilustraciones: Adrian Zamorategui

Fotografías: Thinkstockphoto

Diagramación: Gustavo Vargas M. y Jorge Martínez J.

Revisión técnica:

Laura Rocío Ortiz Esquivel

Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas

Instituto Politécnico Nacional

Física

Teoría, ejemplos y problemas

© 2014, Víctor Antonio Mendoza Ibañez, Ana Elizabeth García Hernández, David Reich

© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.

Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca

Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana

Registro Núm. 43

ISBN: 978-607-438-915-9

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra

en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en México

Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

info editorialpatria.com.mx

www.editorialpatria.com.mx

AgradecimientosPara la inspiradora

de mis más hermosos pensamientos, mi amor Angélica.

Víctor

Gracias a Dios por todas sus bendiciones y alegrías de cada momento de mi vida.

AnA ElizAbEth

Agradezco a Dios por la vida y sus bendiciones, a mi madre Elsa por impulsarme a superarme en todo momento,

a mis hijos por ser mi fuente de inspiración y a mi esposa por su apoyo.

DAViD

VII

Presentación

La física es una de las asignaturas más importantes para el desarrollo profesional de los estudiantes de carreras del área de ingeniería y ciencias, por ello hemos desarrollado un libro donde puedan en-contrar diferentes herramientas para comprender y solucionar diversos tipos de problemas de Física clásica que más adelante les serán de utilidad para su vida académica.

Es importante resaltar que el aprendizaje sólo se logra si los jóvenes se enfrentan día a día a diferentes situaciones y experiencias que los obliguen a procesar la información y a construir el cono-cimiento. Con este propósito se incluyeron una gran variedad de ejemplos y problemas relacionados con temas como vectores, leyes de Newton, cuerpos sólidos, etc. En otras palabras, se promueve el razonamiento y análisis en la solución de cualquier tipo de problemas.

Con la estructura y metodología del libro lo que se pretende es que los alumnos respondan las siguientes preguntas que les serán de utilidad para resolver cualquier tipo de problema sin importar si se trata de física, química o cualquier otra asignatura:

• ¿Qué tengo que hacer si deseo conocer algo?

• ¿Qué debo hacer para lograr comprender algo?

• ¿Qué debo hacer para analizar algo o una situación?

• ¿Qué se hace si deseo sintetizar algo?

• ¿Cómo puedo evaluar algo o una situación?

Si el alumno logra dominar los niveles del pensamiento que se presentan tendrá un gran avance en su vida académica y profesional.

La obra se divide en siete unidades, donde las dos primeras son introductorias (en la primera unidad se presentan los fundamentos de las mediciones y estimaciones; en la unidad 2 se dan las bases de los vectores), pero de gran importancia para el desarrollo del resto. En las unidades 3 y 4 se estudia la cinemática y la dinámica. En la unidad 5 se estudia el trabajo y la energía y en la sexta unidad se presenta el tema de cantidad de movimiento lineal y colisiones, y para cerrar el texto en la última unidad se presenta el tema de cuerpo rígido.

Cada unidad tiene la misma estructura, al inicio se encuentran los objetivos a cubrir y una serie de preguntas que motivan al lector a introducirse en el tema, después se presenta el desarrollo de los temas de forma breve y sencilla y todos ellos van acompañados de una serie de ejemplos resueltos paso a paso. Y al final de cada capítulo se incluye una serie de problemas para resolver y un problema reto que cuenta con un grado de dificultad mayor y con el cual el joven podrá evaluar su desempeño. Además se incluye bibliografía y páginas de internet que pueden ser de utilidad como consulta.

Además, el libro va acompañado de un CD-ROM que incluye animaciones, problemas extras, un convertidor de unidades y documentos en PDF como consulta. Por el tipo de material que se incluye será una herramienta de gran utilidad para el lector.

IX

Unidad 1 Introducción a la Física, mediciones y estimaciones 1

1.1 Introducción 2

1.2 Unidades físicas 2

1.3 Incertidumbre y error de paralaje 4

1.4 Cifras significativas 5

1.5 Sistema Internacional de Unidades (SI) 7

1.6 Conversión de unidades 8

1.7 Análisis dimensional 10

Problemas reto 14Referencias bibliográficas 14Referencias de Internet 14

Unidad 2 Vectores 15

2.1 Introducción 16

2.2 Vectores y suma de vectores 16

Problema reto 30Referencias Bibliográficas 30Referencias de Internet 30

Unidad 3 Cinemática 31

3.1 Conceptos básicos 32

Problemas reto 58Referencias Bibliográficas 58Referencias de Internet 58

Contenido

X

Contenido

Unidad 4 Dinámica 59

4.1 Introducción 60

4.2 Leyes de Newton 63

Problema reto 83Referencias Bibliográficas 83Referencias de Internet 83

Unidad 5 Trabajo y energía 85

5.1 Introducción 86

5.2 Trabajo de una fuerza constante 86

5.3 Trabajo hecho por una fuerza variable 89

5.4 Energía cinética 90

5.5 Potencia 91

Problemas reto 101Referencias Bibliográficas 102Referencias de Internet 102

Unidad 6 Cantidad de movimiento lineal y colisiones 103

6.1 Ímpetu o cantidad de movimiento lineal 104

6.2 Segunda ley de Newton en su forma fuerte 104

6.3 Conservación de la cantidad de movimiento 106

6.4 Colisiones 106

6.5 Coeficiente de restitución 107

6.6 Dinámica de un sistema de partículas 109

6.7 Centro de masa 110

Problema reto 117Referencias Bibliográficas 118Referencias de Internet 118

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XI

Unidad 7 Cuerpo rígido 119

7.1 Introducción 120

7.2 Movimiento de traslación del cuerpo rígido 120

7.3 Equilibrio 120

7.4 Momento de una fuerza 121

7.5 Teorema de Varignon 123

7.6 Equilibrio de rotación 123

7.7 Energía cinética rotacional 124

7.8 Momento de inercia 124

7.9 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos 125

7.10 Trabajo rotacional 128

7.11 Momento angular 129

7.12 Traslación y rotación 131

7.13 Teorema de conservación del momento angular 132

7.14 Fuerza central y conservativa 133

7.15 Leyes de Kepler 133

Problemas reto 139Referencias Bibliográficas 139Referencias de Internet 139

Apéndice 1 140

Apéndice 2 141

Índice analítico 143

Introducción a la Física, mediciones y estimaciones

ObjetivOs

ReconocerlasunidadesfundamentalesdelaFísica. Aplicarlaincertidumbreporcentualencualquiermedición. Obtenercifrassignificativasencualquiersituación. Aplicarelmétodogeneralparahacerconversióndeunidades. HacerunanálisisdimensionaldeunproblemadeFísica.

¿Qué sabes?

¿Sabescuántoslitroscontieneunm3? ¿Sabesconvertirlitrosagalones? ¿Cuántascifrassignificativastieneelnúmero0,000000034? ¿Quéeselerrordeparalaje? ¿Cuántoslitroscontieneungalóndeagua? ¿Porquéelanálisisdimensionalpuedeacercarnosalasolucióndeunproblema?

UNIDAD 1

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Introducción a la Física, mediciones y estimacionesUNIDAD 11.1  Introducción

Como nunca antes, la Física es motivo de placer e interrogación para muchos. La habilidad para resol­ver problemas y llegar a conclusiones cercanas a la realidad observable genera un placer de conoci­miento y aprendizaje. Las hipótesis, las conjeturas o las teorías que tratan de dar respuesta a millones de interrogantes fundamentan el estudio de esta hermosa ciencia.

En la actualidad, se tiene la oportunidad de integrar todas las áreas de la Física. Por ejemplo, hablar de longitud, masa o tiempo no puede desligarse de sus componentes relativistas, cuánticas o astronómicas.

El universo y los fenómenos que observamos en él, y aún los que no podemos observar, no están desligados, ni son fortuitos o se producen al azar. Las leyes, principios, teorías o hipótesis conocidas o desconocidas no están inconexas y menos están sucediendo por partes, separados o sin ninguna interacción, aún en n dimensiones o n marcos de referencia. Todo tiene una relación, a veces no muy clara o nula aparentemente, pero sí por descubrir.

Lo anterior es una de las razones principales por las que se debe estudiar e investigar en toda la Física, y aprender lo conocido hasta ahora de ésta. Una de las principales formas para aprender es ejercitándose en la aplicación de conceptos fundamentales de la Física general.

1.2  Unidades físicas

Longitud

La longitud es la distancia recta que une a dos puntos o la distancia entre los extremos de un cuerpo. La longitud no es una magnitud intrínseca de la materia pero sí es fundamental, como se verá más ade­lante (figura 1.1).

Figura 1.1

Encartografía,lalongitudesladistanciaangularentreunpuntodelasuperficieterrestreyelmeridianoqueformacomocerogrados,cerominutos,cerosegundos(0°,0´0”).

Latitud

Long

itud

60° W 30° W 0° 60° E30° E 90° E

80°60°

40°20°

0°

–80°–60°

–40°–20°

–90°

90°

Masa

En Física, la masa es la medida de la inercia, o sea, qué tan complejo es hacer un cambio físico en un objeto (por ejemplo, qué tan difícil es que un cuerpo pase de reposo a movimiento).

La masa convencional de un cuerpo es la masa de un patrón de densidad 8 000 kg/m3, colocada en una balanza de brazos, equilibrando a otro en condiciones normales de: temperatura del aire a 20 °C y den­sidad del aire a 0,0012 g/cm3, según la Organización Internacional de Metrología Legal (OIML, figura 1.2, patrón de un kilogramo masa).

Figura 1.�

Patróndeunkilogramomasa.

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❚

AlertaElvalordemasadelpatróndeMéxico,deacuerdoconsuúltimacomparacióninternacionalquesellevóacaboen1991,esde1000000068kg.Paramayorinformación,puedesvisitarlapágina:http://www.simet.gob.mx/Patrones%20Nacionales/cnm-pnm-1.PDF

AlertaAcontinuaciónsedanlosmúltiplosyprefijos:

Múltiplos y prefijos de masa

1microgramo51mg51026g1miligramo51mg51023g1kilogramo51kg5103g

Esmuyimportantesiempretenerpresentelasiguienteinformación:

Múltiplos y prefijos de longitud

1nanómetro51nm51029m1micrómetro51mm51026m1milímetro51mm51023m1centímetro51cm51022m1kilómetro51km5103m

Alerta

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�

Más adelante, en este mismo capítulo, se define la unidad: el kilogramo. La masa es la única que no se define como un fenómeno de la naturaleza, sino como un patrón de medida ubicado físicamente en los suburbios de París, Francia, en la Oficina de Pesos y Medidas.

tiempo

El tiempo es la magnitud que mide la duración de acontecimientos sujetos a cambio. El tiempo se puede definir como un intervalo de cambios desde un estado observable a otro estado observable diferente (figura 1.3). Más adelante se define su unidad.

Figura 1.�

Relojdearenayrelojatómicodecesio133.

Calcula el área de una alberca que tiene la siguiente forma (los datos están indicados en la figura):

a 5 47°

a 5 5 m

b 5 2.5 m

Problema resuelto

Como se trata de un paralelogramo y sólo se conocen a, b y a, se utiliza la siguiente fórmula:

A 5 a 3 b 3 sen a

El desarrollo es el siguiente:

A 5 5 m 3 2,5 m 3 sen 47°A 5 12,5 m2 3 sen 47°A 5 12,5 m2 3 0,73135A 5 9,141875 m2

Respuesta

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AlertaAcontinuaciónsedanlosmúltiplosyprefijos:

Múltiplos y prefijos de tiempo

1nanosegundo51ns51029s1microsegundo51ms51026s1milisegundo51ms51023s

AlertaSegúnlanormaoficialmexicanaNOM-008,elsímbolodecimaldebeserunacomasobrelalínea(,).Silamagnituddeunnúmeroesmenorquelaunidad,elsignodecimaldebeserprecedidoporuncero.

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Introducción a la Física, mediciones y estimacionesUNIDAD 11.3  Incertidumbre y error de paralaje

La incerteza o incertidumbre de una medida es el margen en el que puede variar el valor más pro­bable al tomar el dato de dicha medida. Al registrar la medida, la incertidumbre estimada se puede considerar como la apreciación del instrumento con que se mide (la precisión del instrumento) o la estimación de la lectura (la forma en que se lee el instrumento de medida).

incertidumbre porcentual

La incertidumbre porcentual es la razón de la incertidumbre al valor medido multiplicada por 100.

Por ejemplo, si medimos la base de una mesa con un flexómetro es posible obtener una medición de 102,3 cm a 102,5 cm con una incertidumbre estimada de más o menos 0,1 cm (6 0,1 cm). Entonces, la incertidumbre porcentual sería:

Incertidumbre porcentual 5 incertidumbre estimada

valor medio 3 100

Para los datos obtenidos con el flexómetro:

0,1 102,4

3 100 ø 1%

Así, la incertidumbre porcentual es de 1%.

En la figura 1.4 se observa a una persona midiéndose con una cinta métrica, ¿de qué manera con­siderarías que la incertidumbre estimada es correcta?

Determina la incertidumbre porcentual de la siguiente medición 8,93 6 0,15 m.

Problema resuelto

0,15 8,93

3 100 ø 1,7%

La incertidumbre porcentual es de 1,7%.

Respuesta

25 m 35 786 000 m 3 100 ø 0,00006%

La incertidumbre porcentual es de 0,00006%. Esta variable (la diferencia de altura de 25 m) se puede despreciar respecto a la recepción de tu televisor.

Figura 1.5

Vistadeunsatéliteartificialydeunreceptordetelevisión.

Respuesta

Los satélites utilizados para enviar señales de televisión se encuentran situados en una órbita geoes­tacionaria, a una distancia de 35 786 km sobre el ecuador terrestre. Debido a que orbitan la Tierra con la misma dirección y velocidad con que ésta gira, dan la sensación de no estar en movimiento. La colocación en tierra de las antenas de televisión puede variar en la altura promedio. Calcula la incer­tidumbre porcentual para un cambio de la altura promedio de la antena respecto del piso de 25 m. ¿Consideras que este resultado pudiera afectar considerablemente la recepción de tu televisor?

Problema resuelto

❚

AlertaEsimportantequerecuerdesqueelsignodecimaldebeserunacomasobrelalínea(,).

Figura 1.4

Unapersonamidiéndoseconunacintamétricayquiennopuedeobservarporsímismasumagnitudsimultáneamente.

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5

error de paralaje

Los resultados de las mediciones nunca se corresponden con los valores reales de las magni­tudes a medir, sino que, en mayor o menor extensión, son defectuosos; es decir, están afecta­dos por un error. Las causas que provocan tales desviaciones pueden deberse al observador, al aparato o incluso a las características propias del proceso de medición.

Un error sistemático que se presenta con frecuencia en todas las lecturas que se realizan en la medición de una magnitud física dada es el error de paralaje. Los errores sistemáticos no pueden eliminarse totalmente pero se recomienda reducirlos lo más que se pueda; para reducir el error de paralaje se recomienda observar con cuidado la escala del instrumento de medición de frente, ya que el tomar la medida viendo en forma oblicua la escala puede alterar la lectura, por ejemplo las lecturas del velocímetro de un automóvil visto por el piloto y por el copiloto pueden ser diferentes, ya que lo ven desde diferentes ángulos.

Un error muy común cuando se registran medidas con instrumentos como el vernier, el flexómetro o simplemente con una regla común, es no ubicar la vista en forma perpendicular al instrumento, además de que esto no siempre es posible. A este tipo de error se le llama error de paralaje (figura 1.6). La incertidumbre estimada por error de paralaje en ciertas mediciones es de 0,2. Calcula la incertidumbre porcentual para 20 cm.

Problema resuelto

0,2 20 cm

3 100 ø 1

La incertidumbre porcentual es de 1%.

Respuesta

1.4  Cifras significativasEs el número de dígitos confiables en el resultado de una operación. Por ejemplo, 45 385 tiene cinco cifras significativas y 0,000067 sólo tiene dos cifras significativas.

Reglas para cifras significativas:

Todos los dígitos son confiables y significativos, excepto los ceros.

455,67 tiene 5 cifras significativas.

Los ceros situados entre dos cifras significativas son significativos.

0,000302 tiene 3 cifras significativas.

Cualquier cero antes de la primera cifra significativa no es significativo.

0,000009 tiene 1 cifra significativa.

Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos para todos aquellos números ma­yores que 1.

34 000 tiene 5 cifras significativas.

Para números mayores que 1 sin punto decimal se presenta una ambigüedad. Ésta se resuelve usando notación científica como la siguiente:

100 puede tener 1, 2 o más cifras significativas.

1 3 102 tiene 1 cifra significativa.

1,0 3 102 tiene 2 cifras significativas.

1,00 3 102 tiene 3 cifras significativas.

También hay que considerar las siguientes reglas:

Cuando se multiplican o dividen varias cantidades, el número de las cifras significativas en la respuesta final es el mismo número de cifras significativas de aquella cantidad que tiene el número menor de cifras significativas.

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❍

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❍

■

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■

❍

❍

❍

❍

■

B

A

C

Figura 1.6

Almedirsedebeevitarelerrordeparalajeycolocarlosojosalaalturadelamarca.LaposicióncorrectadelojoeslaA.

6

Introducción a la Física, mediciones y estimacionesUNIDAD 1Por ejemplo, si multiplicamos 4,6 3 5,32 la respuesta correcta es únicamente 24 (en lugar de

24,472, 24,47, 24,5 o 24,0), ya que 4,6 es la cantidad con menor número de cifras significativas: 2, y en ese número de cifras significativas se debe de mantener el resultado.

Para la suma o la resta, lo que cuenta es el número de decimales más pequeño de cualquiera de los términos sumados o restados. O sea, el número de decimales en el resultado debe ser el número más pequeño.

Por ejemplo, si sumamos 243 1 4,98 la respuesta será: 248 y no 247,98. Si se suma 3,0005 1 0,0009 el resultado correcto es 3,0014 (aunque la cifra significativa de 0,0009 sea la más pequeña).

Figura 1.7

Cifrassignificativas.

3Cifras significativas

0,00321 5 3,21 3 10 23

Determina el número de cifras significativas de los siguientes números:

1. 34 cm 8. 0,10506 2. 4,677789 km 9. El resultado de sumar 0,001817 1 0,000365 5 0,002182 3. 109 005 m/s 10. El resultado de sumar 1,003 1 0,0005 5 1,0035 4. 0,0014558 m 11. El resultado de restar 1,004 2 0,996 5 0,008 5. 1,532880 3 108 12. El resultado de multiplicar 6,3 3 9,8 5 62 6. 7,9234003 3 102 13. El resultado de dividir 2,45 entre 0,8913 5 2,75 7. 10 700

Problema resuelto

  1. 2  8. 5  2. 7  9. 4  3. 6  10. 5  4. 5  11. 1  5. 7 12. 2  6. 8  13. 3  7. 5

Respuesta

25,5 cm 1 25,5 cm 1 55,34 1 55,34 5 161,7 cm

La suma matemática resulta 161,68 cm, pero recuerda que para la suma o la resta lo que cuenta es el número de decimales más pequeño de cualquiera de los términos sumados o restados. Por tanto, la respuesta correcta es 161,7 cm.

Respuesta

Es necesario medir el perímetro de un rectángulo, del cual dos de sus lados miden 25,5 cm y los otros dos lados miden 55,34 cm. ¿Cuál es el valor del perímetro?

Problema resuelto

■

AlertaVisitalasiguientedirecciónelectrónicaparaqueteejercitesenelmanejodelascifrassignificativasdeunacantidad:

http://www.educaplus.org/formularios/cifrassignificativas.html

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7

A partir de los datos del problema anterior, calcula el área con una incertidumbre estimada de 6 0,1 cm, para los lados cortos, y de 6 0,2 cm, para los lados largos.

Problema resuelto

Datos:

a 5 (25,5 6 0,1) cmb 5 (55,34 6 0,2) cm

Por tanto,

Área 5 ab ø (25,5 6 0,10) cm 3 (55,34 6 0,20) cmø (25,5 3 55,34 6 55,34 3 0,10 6 25,50 3 0,20) cm2

Área ø (1410 6 11) cm2

Respuesta

Se te pide que midas el área y la circunferencia de un círculo con la incertidumbre para cada uno. El radio mide 35,5 6 0,2 m.

Problema resuelto

Para el área:

A 5 pr2

A ø p(35,5 6 0,2)2 m2

ø p(35,5 6 0,2)(35,5 6 0,2) m2

ø p(35,5 3 35,5 6 35,5 3 0,2 6 35,5 3 0,2) m2

A ø (3 960 6 45) m2

Para el perímetro:

P 5 2pr ø 2p(35,5 6 0,2) m ø 2p(35,5) 6 2p (0,2) m P ø (223 6 1,3) m

Respuesta

1.5  Sistema Internacional de Unidades (SI)

El Sistema  Internacional de Unidades (SI) es el sistema oficial en México y otros países. En 1890, México se adhirió al Tratado del Metro, donde se adoptó el Sistema Métrico Decimal como sistema oficial para facilitar las actividades tecnológicas, industriales y comerciales. En la actualidad, 52 países participan como miembros de este tratado.

Este sistema se fundamenta en siete unidades básicas que corresponden a las magnitudes de longitud, masa, tiempo, corriente eléctrica, temperatura, cantidad de materia e intensidad luminosa. Dichas unidades son: el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, el mol y la candela.

Definiciones de las unidades básicas o patrones

A. Metro (m). Unidad de longitud. Definición: un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

B. Kilogramo (kg). Unidad de masa. Definición: un kilogramo es una masa igual a la de un cilin­dro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte ubicada en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, en Sèvres, Francia.

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�

Introducción a la Física, mediciones y estimacionesUNIDAD 1 C. Segundo (s). Unidad de tiempo. Definición: el segundo es la duración de 9 192 631 770 pe­

riodos de la onda electromagnética correspondiente a la transición entre los dos niveles del estado fundamental del átomo de cesio 133.

D. Ampereoamperio (A). Unidad de intensidad de corriente eléctrica. Definición: un amperio es la intensidad de una corriente constante que, manteniéndose en dos conductores para­lelos rectilíneos de longitud infinita de sección circular despreciable y situados a una distan­ cia de un metro uno de otro en el vacío, produce una fuerza igual a 2 3 1027 newtons por metro de longitud.

E. Kelvin (K). Unidad de temperatura termodinámica. Definición: un kelvin es la temperatura termodinámica correspondiente a la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

F. Mol (mol). Unidad de cantidad de sustancia. Definición: un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono­12. Cuando se emplea el mol, es necesario especificar las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especifica­dos de tales partículas.

G. Candela (cd). Unidad de intensidad luminosa. Definición: una candela es la intensidad lumi­nosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una onda electromagnética monocro­mática de frecuencia 540 3 1012 hercios.

algunas unidades derivadas

■ Metrocúbico (m3). Resultado de combinar tres veces la longitud, una de las magnitudes bá­sicas.

■ Densidad (kg/m3). Resultado de una proporción de la masa (magnitud básica) con el volumen (magnitud derivada). Se expresa en kilogramos por metro cúbico y no tiene nombre especial.

■ Fuerza (N). Magnitud que se define a partir de la segunda ley de Newton (fuerza 5 masa 3 aceleración). Esta unidad derivada tiene un nombre especial: newton (N).

■ Energía (J). Es la capacidad que se tiene para desarrollar trabajo; es decir, fuerza por distan­cia. Su nombre es el julio (joule en inglés).

1.6  Conversión de unidades

En muchas ocasiones deberás hacer conversiones de unidades para poder aplicar correctamente los diferentes modelos matemáticos de cada tema y subtemas de este libro. Un método fácil y sencillo es multiplicar la unidad por la cantidad que se va a convertir. A esta cantidad se le llama factor de conversión. Veamos:

En el SI, el patrón de medida para la distancia es el metro. Sin embargo, un metro puede dividirse en 100 cm, que es exactamente lo mismo; así como también, 1 hora son 3 600 segundos. Además, sabemos que podemos multiplicar cualquier cantidad por 1 sin que se altere. Eso es justo lo que vamos a hacer para convertir.

Convertir 40 km a cm.

Problema resuelto

Como 1 km tiene 1 000 m y 1 m tiene 100 cm, entonces 1 km tiene 100 000 cm. Por consiguiente, mul­tiplicamos por la unidad que son 100 000 cm/km:

40 km 1 1 00 000 cm km 2 5 4 000 000 cm 5 4 3 106 cm 5 4 Mcm

El resultado es 4 Mega centímetros (el prefijo M significa 106)

Respuesta

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AlertaSiemprequerealicesuncálculosedebenincluirtodaslasunidadesdecadaunadelasmagnitudesyconservarlasdurantetodoelprocesodesolucióndeunproblema.

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25,25 s 1 1 h 3 600 s2 5 0,007 h 5 7 3 1023 h 5 7 mh

El resultado es 7 mili horas (el prefijo m significa 1023)

Respuesta

Podemos usar cualquiera de estos u otros factores de conversión. Convertir 25,5 s en horas.

Problema resuelto

Convertir 54 km/h a m/s (esta conversión es muy común en cinemática).

Problema resuelto

54 km h

1 1 h 3 600 s2 11 000 m

1 km 2 5 15 m s

Para esta conversión, multiplicamos 54 km/h por la unidad en horas y segundos que no altera la canti­dad original. También multiplicamos por km y metros, haciendo que el factor de conversión se invierta de acuerdo con la necesidad de cancelación de unidades. Así, el resultado es 15 m/s.

Respuesta

1. Convertir 85 m/s a km/h

2. Convertir 9,81 m/s2 a km/h2

3. Convertir la densidad del oro de g/cm3 a kg/m3

4. Convertir 45° a radianes

5. Convertir ½ rev/s a rad/s

6. Convertir 5 rad/s2 a rev/s2

Problema resuelto

1. 85 1m s 2 13 600 s

1 h 2 1 1 km 1 000 m2 5 306

km h

2. 9,81 1m s2 2 13 600 s

1 h 2 13 600 s 1 h 2 1 1 km

1 000 m2 5 127 137,6 km h2

3. 19,31 g cm3 2 1 1 kg

1 000 g2 11 3 106 cm3

1 m3 2 5 193 000

kg m3

4. 45° 12 p rad 360° 2 5 0,79 rad

5. 1 2

1 rev s 2 12 p rad

1 rev 2 5 p 2

rad s

6. 5 1 rad s2 2 1 1 rev

2 p rad2 5 0,796 rev s2

Respuesta

AlertaObservaqueelfactordeconversiónsepuedeinvertirdeacuerdoconlasnecesidadesdecancelacióndeunidades.

10

Introducción a la Física, mediciones y estimacionesUNIDAD 1

Una hectárea tiene 10 000 m2.

2,5 ha 110 000 m2

1 ha 2 5 25 000 m2 [

25 000 m2

25 m2 5 1 000 arbolitos

Respuesta

Un administrador de fincas tiene que hacer la siguiente operación: en un terreno plano a su cargo se planea plantar árboles de aguacate, dejando un espacio libre de 25 m2 por cada árbol. Si el terreno tiene 2,5 hectáreas (ha), ¿cuántos árboles de aguacate puede sembrar?

Problema resuelto

a) 1 nudo son 1,852 km/h:

400 nudos 11,852 km/h 1 nudo 2 5 740,8 km/h

La distancia recorrida se obtiene multiplicando la velocidad por el tiempo de vuelo:

d 5 vt 5 (740,8 km/h)(10 h) 5 7 408 km

b) 1 L son 0,264172 galones. Para el recorrido el avión consume:

7 408 km 112 1 L km 2 5 88 896 L

Por tanto, la capacidad del tanque de combustible es:

88 896 L 10,264172 galones 1 L 2 5 23 483,83 galones

Respuesta

Si el vuelo de un avión es de 10 h a velocidad de crucero (400 nudos).

a) ¿Qué distancia en km puede volar antes de requerir cargar combustible?

b) ¿Cuántos galones requiere su tanque de combustible si consume 12 L/km?

Problema resuelto

1.7  Análisis dimensional

Para la Física, como para algunas otras ciencias, el análisis dimensional resulta muy enriquecedor, ya que cada magnitud tiene una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no tuviesen el mismo exponente, dimensionalmente hablando.

Consideremos que para especificar longitud, masa, tiempo, área y volumen usaremos las letras L,M y T, y que sus unidades para rapidez, aceleración, masa, área, volumen y tiempo se representan en la siguiente tabla:

Rapidez o velocidad

( L / T )

Aceleración( L / T 2 )

Masa( M )

Área( L 2 )

Volumen( L 3 )

Tiempo( T )

m/s m/s2 kg m2 m3 s

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11

Por ejemplo, supongamos que:

aavbtcmd

(La aceleración es proporcional a la velocidad, el tiempo y la masa.)

En sus dimensiones correspondientes:

L T2

5 1 L T 2

b

TcMc

LT22 5 LbT2bTcMd

LT22 5 LbTc2 bTcMd

De donde se deduce que b5 1,c2 b5 22 (c 5 21) y d5 0. Por consiguiente, la ecuación está balanceada. Entonces, es claro que:

aav1t21

Como bien sabemos, la aceleración es la razón entre el cambio de la velocidad y el tiempo em­pleado en ese cambio. En un análisis dimensional correcto, se eliminan las variables que no intervie­nen, como es el caso de la masa en el ejemplo anterior.

Demuestra que la velocidad es igual a la distancia dividida entre el tiempo.

Problema resuelto

Como la velocidad por definición es:

L T

5 v 5L T

Respuesta

Demuestra que la energía cinética es proporcional a la velocidad y a la masa.

Eamavb

Problema resuelto

La unidad de la energía cinética es el Joule (J):

J 5 Nm 5 kg m2

s2

Por tanto,

ML2T22 5 MaLb Tb

ML2T22 5 MaLbT2 b

De donde se deduce que a 5 1 y b 5 2. Por consiguiente, la ecuación es consistente con la unidad de energía (J).

ML2T22 5 M1L2 T2

Eamv2

Nota: La ecuación de energía cinética es Ec 5 ½ mv2. Debido a que el factor ½ es adimensional, no hay forma de determinar esto con el análisis dimensional.

Respuesta

1�

Problemas para resolverUNIDAD 1

Problemasaplicadosalarealidad Problemaspararesolvercontecnología

1.1 Determina la incertidumbre porcentual de 9,78 6 0,2 cm.

1.2 Al realizar experimentos es indispensable tener mu­cho cuidado al momento de cronometrar. El tiempo de reacción de hombres y mujeres es muy cercano a 0,2 s; es decir, al momento de arrancar y parar el cronómetro siempre hay un atraso de 0,2 s, aproximadamente. Aun­que esto se compensa con la práctica constante, aún se puede considerar que puede haber una incertidumbre estimada de por lo menos 0,1 s. Con este dato calcula las incertidumbres porcentuales de:

a) 5 s

b) 20 s

c) 40 s

d) 90 s

1.3 Determina el área y la incertidumbre porcentual de un cuadrado cuyos lados miden 10 cm y cuya incertidumbre estimada es de 0,1; (10 6 0,1) cm.

1.4 En una fábrica de tornillos es muy importante cui­dar la calidad de cada una de las piezas, por ello el área de calidad desea conocer la incertidumbre porcentual de cada una de las líneas de producción, con ese fin se toman muestras aleatorias de cada línea:

  Línea A  Línea B Incertidumbre estimada: Incertidumbre estimada: 6 0,02 6 0,02

Núm. Longitud (cm) Núm. Longitud (cm)

1 5,01 1 6,00

2 5,03 2 6,00

3 5,02 3 5,99

4 5,00 4 6,01

5 5,00 5 6,01

6 5,01 6 5,98

7 5,02 7 6,02

8 5,01 8 6,01

9 5,01 9 6,01

10 5,03 10 6,00

Línea CIncertidumbre estimada: 6 0,005

Núm. Longitud (cm)

1 0,50

2 0,53

3 0,50

4 0,51

5 0,51

6 0,52

7 0,50

8 0,50

9 0,52

10 0,53

1.5 En una fábrica de envases de plástico se elabora una se­rie de tapas circulares que miden 8,5 cm 6 0,02 de diámetro y tienen un espesor de 0,050 6 0,0005 cm. Calcula el volu­men medio de las tapas y la incertidumbre del volumen.

1.6 Determina el número de cifras significativas de los si­guientes números:

a) 8,9300 3 101

b) 0,00157

c) 0,301

d) 0,71423

e) 86 900

f) 8 256 090

g) El resultado de sumar 0,187 1 0,035

h) El resultado de restar 4,04 2 0,96

i) El resultado de multiplicar 3,345 3 9,111009

j) El resultado de dividir 24 577 entre 91,3000

1.7 Calcula el volumen de una caja de 15,3 mm de altura; 25,3 cm de ancho y 110,3 cm de largo.

1.8 El resultado de sumar 4,38 3 102, 2,35 3 103 y 5,834 3 102.

1.9 1,984 3 106 km2 es la extensión del territorio mexicano en la cual viven 9,9 3 107 mexicanos. ¿Cuál es la densidad poblacional por km2?

1.10 Calcula el área de una cancha de futbol soccer (120 m 3 90 m). ¿Cuántas cifras significativas tiene el resultado?

1.11 ¿Cuántas cifras significativas hay en los siguientes nú­meros?

a) 1,0063

b) 1,482 3 1029

c) 54,8 6 0,10

d) 17,98003

1.12 Convierte 1 852 m/h a nudos.

1.13 Convierte 0,4 m/s2 a km/h2.

1.14 Convierte la densidad del mercurio de g/cm3 (la densi­dad del plomo es 13,6 g/cm3) a kg/m3.

1.15 Convierte 65° a radianes.

1.16 El espesor de un billete puede variar de 0,06 a 0,12 mm. Suponiendo que éste es el rango de los billetes de 200 euros y su área es 153 3 82 mm, ¿qué volumen ocuparía 1 000 000 de euros? ¿Cabrían en un portafolio de 7 3 35 3 40 cm?

1.17 La altura promedio de un hombre es de 1,8 m. Si el átomo de carbono tiene un radio atómico de 77 pm (picó­metros), ¿cuántos átomos cabrían en línea de los pies a la cabeza del hombre?