1. www.profafguimaraes.net 1 Prof.A.F.Guimares Fsica1Questes9 Questo1 Na molcula de amnia (NH3) os trs tomos de hidrognio (H) formam um tringulo eqiltero, sendo de 1,628 x 1010 m a distncia entreoscentrosdostomosdehidrognio(H).Otomodenitrognio(N) est no vrtice de uma pirmide da qual os trs tomos de hidrognio constituemabase(verafiguraaolado).Adistnciaentreostomosde hidrognioeotomodenitrogniovale1,014x1010m.Localizeocentro demassadestesistemaemrelaoaotomodenitrognio. Resoluo: Vamosobservaradisposiodostomosnas3dimenses: Previamente,determinaremosaalturaheoaptemaApdotringuloeqiltero: 3 0,814 3 1,410; 2 3 0,271 3 0,470. 6 l h l Ap = = = = = = Agora,sabemosquenoplanoXY,ascoordenadasdocentrodemassaso:Xcm=0,814eYcm=0,470.S faltaagoradeterminaracoordenadaZcm.Paraisso,precisamosdeterminaraalturaHdapirmide.A diferenahAp=0,94.AplicandoPitgoras,teremos: 2 2 2 0,94 1,014 0,379.H H+ = = Desta forma: 14 0,379 0,312. 3 17 nitr cm hidr nitr M H Z M M = = = + O centro de massa est a 0,312 da base triangular,oua0,067dotomodenitrognio. x(1010 m) y(1010 m) z(1010 m) 1,6280,814 Ap h H

2. www.profafguimaraes.net 2 Questo2 Determine,aposiodocentrodemassadeumarameemformadearcodecircunfernciade raioR,abrangendoumngulocentraliguala. Resoluo: Onde m R = representaadensidadelineardoarame.Assim,teremos: [ ] 0 2 0 2 0 1 . cm cm cm cm x Rcos Rd m R x cos d m mR R sen x sen x m R / = = / = = / / e ( ) 0 1 1 . cm cm y Rsen Rd m R y cos = = Questo3 Determineaposiodocentrodemassadeumachapaemformadequadrantedecrculode raioa. Resoluo: dm=Rd d R x=R cos y=R sen x dx ( ) 1 2 2 2 y a x= dm=ydx 3. www.profafguimaraes.net 3 Onde 2 4m a = representa a densidade superficial da chapa. Assim, poderemos determinar as coordenadasdocentrodemassa: ( ) ( ) 1 2 2 2 0 3 2 2 2 2 0 1 41 3 4 . 3 a cm a cm cm x x a x dx m a xm x m a a x = / = / = Agindodamesmaforma,determinamostambm 4 3 cm a y = . Questo4 Duas partculas esto inicialmente em repouso, separadas por uma distncia de 1,0 m. A partcula P possui massa m1 = 3,0 kg e a partcula Q possui massa m2 = 5,0 kg. P e Q atraemse mutuamentecomumaforaconstanteiguala3,5x101N.Nenhumaforaexternaatuasobreeste sistema.(a)Descrevaomovimentodocentrodemassa.(b)AquedistnciadaposiooriginaldePas partculasdeverocolidir? Resoluo: a) 0.cmdx dt = b) As foras que atuam nas partculas so foras internas. Desta forma, o centro de massa permaneceremrepouso.Logo,aspartculasseencontraronocentrodemassa.Assim, 0 0 0; 0. 0 3 5 ; 1. 5 0,625 . 8 p p q q p q p q p P P P P P m v m v x x x x x m m = = = = = + = = = Esse mesmo clculo poderia ser efetuado tomando as equaes horrias para cada partcula individualmente.Paraisso,sefaznecessriodeterminaraaceleraoparacadapartcula.Vejamos: 2 2 0,35 0,1167 ; 3 0,35 0,07 . 5 p p q q F a m s m F a m s m = = = = P Qcm 4. www.profafguimaraes.net 4 MontandoasequaeshorriasparaPeQ,teremos: 2 21 1 1 . 2 2 p p q qx a t e x a t= = Noencontro,teremos: ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 0,1167 0,07 1 2 2 10,7 0,1867 1 0,1167 10,7 0,624 . 2 p q p p p p x x a t a t t t x x m = = + = = Questo5 Umhomemdemassamestpenduradoemumaescadadecorda,suspensaporumbalode massaM.Obaloestestacionrioemrelaoaosolo.(a)Seohomemcomearasubirpelaescada velocidadev(comrelaoescada),emquedireoecomquevelocidade(comrelaoTerra)o balosemover?(b)Qualoestadodomovimentoapsohomemterparadodesubir? Resoluo: a) Considereafiguraabaixo. OndevbTevhTso,respectivamente,asvelocidadesdobaloedohomem com relao Terra.Aqui, vhT = v vbT. Considerando que o sistema seencontra estacionrio, podemos admitir que a fora resultante sobre o sistema (centro de massadosistema)nula.Assim,podemosescrever: ( ) 0 0 0 . bT bT bT P P P P m v v Mv mv v m M = = = = + b) Estacionrio. Questo6 Umhomemdemassam=70kgestparadosobreaextremidadedeumajangadade200kg, quesedeslocacomvelocidadeconstantenumlago.Avelocidadedajangadaemrelaomargem igual a 3 m s 1. Despreze o atrito. O homem anda at a outra extremidade da jangada, cujo comprimentototalvale5m.Avelocidadedohomememrelaojangadavalevhj=1,5m s1epossui bTv hTv 5. www.profafguimaraes.net 5 direoesentidoparalelosvelocidadedajangada.Mostrequeavelocidadedocentrodemassado sistemapermanececonstanteeiguala3m s1.Calculeadistnciapercorridapelocentrodajangadae pelocentrodemassadosistemaduranteotempoqueohomempassadeumaextremidadeparaoutra dajangada. Resoluo: Comoaforaresultantenosistemanula,podemosconcluirqueaaceleraosobreocentro demassatambmnula.Destaformaavelocidadedocentrodemassasemantmconstante. Ointervalodetempoqueohomemlevaparaalcanaraoutraextremidadedobarcovale: 5 . 1,5hj l t s v = = Aplicandoaconservaodomomento,teremos: ( ) ( ) 0 0 1 270 3 70 200 810 105 270 2,6 . cm hT jT jT jT jT jT P P P P m M v mv Mv v v v v v m s = = + = + = + + = + OndevhT=vhj+vjT(velocidadedohomemcomrelaoTerraigualavelocidadedohomemcom relaojangadamaisavelocidadedajangadacomrelaoTerra).Assim,teremos: 5 3 10 ; 1,5 5 2,6 8,7 . 1,5 cm cm j jT x v t m x v t m = = = = = Poderamos tambm encontrar a posio do centro de massa do sistema, admitindo que jangada possuamassauniformementedistribuda: ( ) 200 2,52 1,85 . 270 cm lM x m m M = = + Agora,podemosdeterminaradistnciapercorridapelocentrodemassa: 5m2,5m1,85m0 6. www.profafguimaraes.net 6 Comoadiferenaentreadistnciapercorridapelocentrodemassadosistemaeocentroda jangadade1,3m,conclumosentoqueadistnciapercorridapelocentrodajangadavale8,7m. Questo7 Umabolade50glanadaaoarcomumavelocidadeinicialde15m s1,formandoumngulo com a horizontal de 450. (a) Quais so os valores da energia cintica da bola, inicialmente, e no momento em que antecede a coliso dela com o solo? (b) Ache os valores correspondentes ao momento(mduloedireo).(c)Mostrequeavariaodomomentoexatamenteigualaopesoda bolamultiplicadapelointervalodetempoemqueelaficounoar. Resoluo: a) Comoomdulodavelocidadeinicialigualaomdulodavelocidadequeantecedeacoliso,a energiacinticainicialteromesmovalordaenergiacinticafinal.Assim, ( ) 22 0 0,05 15 5,625 . 2 2 mv K K J= = = = b) Osmomentos,inicialefinal(queantecedeacolisocomosolo),teroomesmomdulo,dadopor: 2,5m1,85m 2,5m 3,15m xcm=10m xcj 450 450 15m s1 15m s1 7. www.profafguimaraes.net 7 1 0 0,05 15 0,75 .P P mv kg m s = = = = Adireoeosentidoestorepresentadosnafiguraabaixo: c) Paraencontraravariaodomomento,teremosqueefetuarumaoperaodeadiovetorial: ( )0 0 .P P P P P = = + Comoosvetorespossuemomesmomdulo,omdulode davariaodadopor: 1 2 0,75 2 .P P kg m s = = Ointervalodetempoquea bolaficounoardadopor: 0 1 0 0 0; 45 7,5 2 0 7,5 2 10 0,75 2 . 2 1,5 2 . y y y total v v gt v v sen m s t t s t t s = = = = = = = Multiplicandopelovalordopeso: 0,5 1,5 2 0,75 2 .I N s= = Questo8 Umobjetode5,0kg,comvelocidadede30m s1,atingeuma placadeao,formandoumngulode450ericocheteiacomamesma velocidade e mesmo ngulo (figura ao lado). Qual a variao (mduloedireo)domomentodoobjeto? Resoluo: 1 0 5 30 150 .P P mv kg m s = = = = ( )0 0 1 2 150 2 212,13 . P P P P P P P P kg m s = = + = = Questo9 450 450 P0 P P0 P P 450 450 m 450 450 m P0 P P 8. www.profafguimaraes.net 8 Doiscorpos,ambosconstitudosporpesosdebalana,sointerligadosporumtnuefioque passaatravsdeumapolialeve,sematrito,de5,0cmdedimetro.Osdoiscorposestonomesmo nvelecadaqualtm,originariamente,massade500g.(a)Localizeocentrodemassadosistema.(b) Vintegramassotransferidosdeumcorpoaoutro,masoscorpossoimpedidosdemover.Localizeo centrodemassa.(c)Osdoiscorposso,agora,liberados.Descrevaomovimentodocentrodemassae determinesuaacelerao. Resoluo: a) Desprezandoamassadapolia,ocentrodemassadosistemaserdado por: 0,5 5 2,5 . 1 cmx cm = = b) Nessanovaconfigurao,teremos: 0,48 5 2,4 . 1 cmx m = = c) Quandoliberados,cadacorposeracelerado,comomesmovalor paraaacelerao,pormemsentidosopostos: ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ; 0,4 . m a m g T m a T m g a a a a m m g m m a m s = = = = + = = Assim, ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 0,016 ; 0. cm cmy cmy cmx m m a m a m a m m a m m a a m s a + = + + = = = Questo10 5cm 5cm2,5cm0 m 0 5cm 5cm2,4cm0 m 0 P2P1 m 0 TT 9. www.profafguimaraes.net 9 No interior de uma canoa de massa m existe um homem de massa M. A canoa se encontra inicialmente em repouso. O homem atira um objeto de massa m numa direo paralela ao comprimentodacanoa.Avelocidadedoobjetocomrelaomargemvalev.Determineavelocidade uadquiridapelacanoaimediatamenteapsolanamentodoobjeto. Resoluo: ( ) 0 0 0 P P P P m v m M m u m v u m M m = = = + = + Nosentidoopostoaodev. Questo11 Umaespingardaatira10balasde10,0gporsegundocomvelocidadede500m s1.Asbalas paramnointeriordeumaparedergida.(a)Acheomomentolineardecadabala.(b)Calculeaenergia cinticadecadabala.(c)Qualaforamdiaexercidapelasbalassobreaparede? Resoluo: a) 10balasporsegundocorrespondea1balaacada1/10dosegundo.Omomentolineardeuma balavale: 1 0,01 500 5 . P mv P mv P kg m s = = = = b) K=? 2 2 0,01 500 2 2 1250 . mv K K J = = = c) Vamosadmitirqueabalapranointeriordaparedesegundoumintervalodetempodadoacima. Logo: 5 50 . 1 10 M dP P F F dt t F N = = = = Questo12 UmsapodemassamestparadonaextremidadedeumatbuademassaMecomprimentoL. Atbuaflutuaemrepousosobreasuperfciedeumlago.Osapopulaemdireooutraextremidade datbuacomumavelocidadevqueformaumngulocomadireohorizontal.Determineomdulo davelocidadeinicialdosapoparaqueeleatinjaaoutraextremidadedatbua. 10. www.profafguimaraes.net 10 Resoluo: O sapo executa um deslocamento igual a x para a direita enquanto a tbua desloca L x para a esquerda.Utilizandooprincpiodaconservaodomomentolinearnadireodoeixox(osistema estlivredeforaresultanteexterna),teremos: ( ) 0 0 . x x x P P mv Mu m x M x mx M L x ML x M m = = = = = + (12.1) Opulodosapodurouumintervalodetempodadopor: 0 0; 2 2 . y y yv v gt v v sen v sen t g v sen t t g = = = = = Odeslocamentoxdosapodadopor: 2 2 2 . x v sen x v t v cos g v sen cos x g = = = (12.2) Utilizandoosresultados(12.1)e(12.2)teremos: L v Lx x 11. www.profafguimaraes.net 11 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 ; 2 2 2 . 1 2 v sen cos ML g M m MgL v sen sen cos M m sen cos gL v m sen M = + = = + = + Questo13 Umaarmaatiraumprojtil,comvelocidadede450m s1,formandoumngulode600coma horizontal. O projtil explode, em dois fragmentos de massas iguais, 50 s aps sair da arma. Um fragmento,cujavelocidadeimediatamenteapsaexplosozero,caiverticalmente.Supondoqueo terrenosejaplano,aquedistnciadaarmacairooutrofragmento? Resoluo: A velocidade do projtil na direo do eixo x dada por: 0 11 60 450 225 . 2 xv v cos m s = = = E a velocidadeinicialnadireodoeixoydadapor: 0 1 0 60 225 3 .yv v sen m s = = Ointervalodetempoparaqueocentrodemassalevaparaalcanarosolo,dadopor: 0 0 225 3 10 22,5 3 . 45 3 . y yv v gt t t s T s = = = = Assim,ocentrodemassaterpercorridoumadistncianadireodoeixoxdadapor: 225 45 3 17537,01 .cmx m= = x1 xcm x2 v 600 12. www.profafguimaraes.net 12 Noinstante50s,oprimeirofragmentoterpercorridaumadistncia: 1 225 50 11250 .x m= = Cercade6287,01mantesdocentrodemassa.Desprezandoaaodopesoduranteaexploso,o momentolineardosistemadeveseconservar,Assim,osegundofragmentoestaraumadistncia dadapor: 2 6287,01 23824,02 .cmx x m= + = Questo14 Umblocodemassamrepousasobreuma cunha de massa M, que por sua vez repousa sobre uma mesa horizontal, como mostra a figura ao lado. Todas as superfcies so sem atrito. Se o sistema parte do repouso, com o ponto P do bloco a uma distncia h acima da mesa,acheavelocidadedacunhanoinstanteem queopontoPtocaamesa. Resoluo: Ondev avelocidadedoblococomrelaocunhaeu avelocidadedacunhacomrelaoaosolo. Oscomponentesdavelocidadedoblococomrelaoaosolosodadospor: ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 2 ; 2 . sx sy s sx sy s s v vcos u v vsen v v v v vcos u v sen v v vucos u = = = + = + = + (13.1) Peloprincpiodaconservaodomomentolinear(direox),podemosescrever: ( ) ( ) 0 0 0 . x x sx P P mv Mu m vcos u Mu M m u v mcos = = = + = (13.2) Podemos tambm, utilizar o princpio da conservao da energia mecnica, juntamente com os resultadosde(13.1)e(13.2).Assim, M m M m v u 13. www.profafguimaraes.net 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; cos 1 2 s E E mv Mu mgh mgh m v v ucos u Mu M m u M m u cos mgh m M m u m cos mcos M m u mgh M m u M m u mcos m ghcos M m u M m mcos sen m ghcos u M m M msen = = + = + + + + = + + + = + + + = + + = = + + 1 2 . Questo15 Umcombustvelmuitoempregadoparamotoresdefoguetesumamisturadequerosenecom oxignio lquido. A queima deste combustvel pode produzir uma velocidade de escape igual a 2500m s 1.(a)Desprezeaforadagravidadeeopesodostanquesdecombustvel,bombasetc.e determineaquantidadedecombustvelquenecessriaparacadakgdecargatil,afimdepermitir aofogueteatingiraumavelocidadede13km s 1,partindodorepouso(avelocidadedeescapena atmosferaterrestrevale11,2km s1).(b)NasondaMariner,comdestinoaMarte,amassainicialera de1,0x105kgeacargatileradeapenas250kg,correspondendoaumaproporode400unidades demassadecombustvelparaapenasumaunidadedemassadecargatil.Qualseria,nascondies especificadas,avelocidadefinaldeumfoguetepartindodorepouso? Resoluo: a) ( ) 0 3 0 5,2 0 0 ln 13 10 2500 ln 1 181,3 180. rel M v v M M M M M e M M M M M M = = = = = b) 0 5 1 ln 10 2500 ln 250 14,98 . rel M v v M v v km s = = 14. www.profafguimaraes.net 14 Questo16 Consideremosumapartculasobreaqualageumaforademesmadireoesentidoquesua velocidade.(a)UsandoarelaorelativsticaF=d(mv)/dtparaumanicapartcula,mostreque 2 F ds mv dv v dm = + , em que ds representa um deslocamento infinitesimal. (b) Usando a relao relativstica ( )2 2 2 2 01v m m c= ,mostreque 2 2 0 2 m c mv dv dm m = . (c)Substituaasrelaesparamv dvev2naexpressoresultanteem(a)emostreque ( ) 2 0W Fds m m c= = . Resoluo: a) ( ) 2 2 2 ; . d mv dv dm F m v dt dt dt dv ds dm ds ds F m v v ds dt ds dt dt dv dm F mv v ds ds dv dm Fds mv v ds ds ds Fds mvdv v dm = = + = + = + = + = + b) ( )2 2 20 2 2 2 0 3 2 2 2 2 0 0 2 2 1 2 2 d v md c dt dt m dv dm v c m dt m dt c m c mdv dm mv mv dv dm dt m dt m = = = = c) 2 2 2 2 20 0 2 2 1 Fds mv dv v dm c m m W dm c dm m m = + = + 15. www.profafguimaraes.net 15 ( ) 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 0 1 1 . m m m m m m W m c m c m c m m W m m c = + + = Questo17 Umvagopranchadeestradadeferro,depesoW,podedeslocarsesematritoaolongodeum trilhohorizontalreto,comomostraafigura.Inicialmente,umhomemdepesowestparadosobreo vago,quesedeslocaparaadireitacomvelocidadev0.Qualseravariaodavelocidadedovagose ohomemcorrerparaaesquerdademodoquesuavelocidadeemrelaoaovagosejavrelexatamente antesdelesaltarpelaextremidade? Resoluo: Sejau,avelocidadedohomemcomrelaoaosolo.Assim, relu v v= comvsendoavelocidadefinaldovago,imediatamenteantesdohomemsaltar.Pelaconservaodomomento linear,teremos: ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 ; , , . rel rel rel rel M m v Mv mu M m v Mv mv mv M m v v mv mv v v w mg W Mg M m w v v W w + = + = + + = = = = + = + Questo18 Umagotadechuvacommassavarivel.Noproblemadapropulsodeumfoguete,amassavarivel. Outroproblemacommassavarivelfornecidoporumagotadechuvacaindonointeriordeumanuvemque contm muitas gotas minsculas. Algumas dessas gotculas aderem sobre a gota que cai, fazendo, portanto, aumentarsuamassamedidaqueelacai.Aforasobreagotadechuvadadapor 0v u 16. www.profafguimaraes.net 16 ext dp dv dm F m v dt dt dt = = + . Suponhaqueamassadagotadechuvadependadadistnciaxpercorridadurantesuaqueda.Ento,m=kx, ondekumaconstante,portantodm/dt=kv.ComoFext=mg,obtemos: ( ) dv mg m v kv dt = + . Ou,dividindopork 2dv xg x v dt = + . Essaequaodiferencialpossuiumasoluodaformav=at,ondeaumaaceleraoconstante.Considerea velocidadeinicialdagotaigualazero.a)Usandoasoluopropostaparav,determineaaceleraoa.b)Calcule adistnciapercorridapelagotaatoinstantet=3,00s.c)Sabendoquek=2,00g m1,acheamassadagotade chuvaparat=3,00s.ParamuitosoutrosaspectosintrigantesdesteproblemavejaoartigodeK.S.Krane,Amer. Jour.Phys.Vol49(1981),p.113117. Resoluo: a) Tomandoaexpressoparaavelocidadeproposta,podemosobteraexpressoparax: 2 0 . 2 t dx v at dt at x at dt x = = = = Substituindonaequaodiferencial,teremos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 3 at at g a a t ag a a g a / / /= + = + = b) Voltandoparaaexpressodex,teremos: 2 2 10 3 3 2 3 2 15 . g t x x m / = = / = c) Podemosconcluirento,queamassadagotavale: 2 15 30 . m kx m m g = = =