FISIGA GUANTIGA

Dr. Mario Piris Silvera

Instittuto Superior de Giencias y Tecnologa Nucleares

Editorial ISGTN, fi999.La Habana, Guba

mdice gemeral1. Cuamtos de lux. 9fi.fi. Guerpo Negro. Hiptesis de Plank.. . . . . . . . . . . . . . .fiOfi.fi.fi. Radiacin trmica en equilibrio. . . . . . . . . . . . . . fiO fi.fi.. Absorbancia y emisividad. Ley de Kirchoff. . . . . . . . fi fi.fi.3. Guerpo Negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fifi.fi.4. Frmula de Rayleigh-Jeans. . . . . . . . . . . . . . . . fi4fi.fi.. Frmula de Plank. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fifi.. Efecto Fotoelctrico.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .fi9 fi..fi.Experimentos de Hertx y Thomson. . . . . . . . . . . .O fi...Explicacin clsica del fotoefecto. Deficiencias. . . . . .fi fi..3.Explicacin cuntica del fotoefecto. Frmula de Einstein. 3 fi..4.Propiedades ondulatorias en el fotoefecto . . . . . . . .6 fi.3. Efecto Gompton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 fi.3.fi.Teora de Gompton y Debay. . . . . . . . . . . . . . . .3O fi.3..Guantos de lux y el fenmeno de la interferencia332. La estructura del tomo35.fi. Modelo nuclear del tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.fi.fi. Modelo atmico de Thomson . . . . . . . . . . . . . . 3.fi.. Experimento de Geiger y Marsden36.fi.3. Modelo planetario de Rutherford . . . . . . . . . . . . 3t.fi.4. Frmula de la dispersin de Rutherford38.fi.. Frmula de Rutherford para la seccin diferencial eficax 4fi.fi.6.Gomprobacin experimental de la frmula de Ru- ther- ford 43.fi.t. Dificultades del modelo planetario44.. Teora de Bohr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4..fi. Espectros atmicos46... Postulados de Bohr48..3. Teora de Bohr para el tomo de un electrn . . . . . . O..4. Experimento de Franck y Hertx . . . . . . . . . . . . . 4

3

4NDICE GENEAL

...Gondiciones de cuantixacin de Wilson y Sommerfeld .t..6.Deficiencias de la teora de Bohr . . . . . . . . . . . . .83. Propiedades omdulatorias de la materia 613.fi. La hiptesis de Louis de Broglie. . . . . . . . . . . . . . . . . .6fi 3.fi.fi.Relacin entre las caractersticas corpusculares y on-dulatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63.fi..Velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63.fi.3.Velocidad de grupo633.fi.4.Los paquetes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63.fi..Gomprobacin experimental663.fi.6.Interpretacin estadstica de las ondas de Broglie . . .69 3.fi.t.La funcin de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .t3.. Relaciones de indeterminacin . . . . . . . . . . . . . . . . . .t 3..fi.Relacin de indeterminacin de Heisenberg para la co-ordenada y el momentum . . . . . . . . . . . . . . . . t6 3... Interpretacin fsica del principio de indeterminacinde Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t9 3..3. Las relaciones de indeterminacin como relaciones uni-versales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8O3..4.Relacin entre la medicin y el principio de indetermi- nacin833...Relacin de indeterminacin para la energa y el tiempo 8 3..6.Gomplementariedad y Gausalidad86

4. Mecmica Cumtica Omdulatoria 894.fi. Ecuacin de Schrdinger894.fi.fi.La conservacin del nmero de partculas materiales..9O 4.fi..Gondiciones generales que se imponen a la ecuacin deSchrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9fi 4.fi.3. Ecuacin de onda para la partcula libre . . . . . . . . 9 4.fi.4. Ecuacin de onda para la partcula en un campo escalar 93 4.fi.. Ecuacin de Schrdinger estacionaria944.fi.6.EcuacindeSchrdingerycuantixacindela energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94.fi.t.Movimiento unidimensional de una partcula de masam en un campo potencial simtrico U() 964.fi.8.Movimiento unidimensional de una partcula de masam en un campo potencial con simetra esfrica . . . . . fiO 4.. El mtodo operacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fiO44..fi.El espacio de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fiO4

NDICE GENEAL

4...Valor medio de la coordenada . . . . . . . . . . . . . . fiOt4..3.Valor medio del momentum . . . . . . . . . . . . . . . fiOt 4..4.Funcionespropiasyvalorespropiosdeunoperador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fifiO4...El operador de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . fififi 4..6.Gonjunto completo de observables . . . . . . . . . . . . fififi4.3. El Momentum Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fifi 4.3.fi.Momento de la cantidad de movimiento lineal de unapartcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fifi64.3..Momentum Angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . fifit4.3.3.Guantixacin de tx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fifi84.3.4.Guadrado del operador del Momentum Angular . . . . fifi9 4.3..Regla vectorial para la suma de los momentum angularesfi

5. tomos Momoelectrmicos12Y.fi. El tomo de Hidrgeno y sus similares. . . . . . . . . . . . . fi8.fi.fi.Gonjunto completo de observables en el hidrgeno . . . fi9.fi..Ecuacin radial de Schrdinger. . . . . . . . . . . . . fi9.fi.3.Guantixacin de la energa en el tomo de hidrgeno. fi3.. tomos alcalinos. El espn del electrn. . . . . . . . . . . . . . fi34..fi.Espectros atmicos de los metales alcalinos . . . . . . . fi3...Reglas de seleccin y leyes de conservacin. . . . . . . . fi38..3.Estructura de dobletes y el espn del electrn . . . . . . fi4O..4.Momentum angular total del tomo monoelectrnico. fi4fi...Notacin simblica de los estados atmicos . . . . . . . fi4.3. Propiedades magnticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi44.3.fi.Momento magntico orbital del electrn. . . . . . . . fi44.3..Momento magntico propio del electrn . . . . . . . . . fi46.3.3.Interaccin ls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi46.3.4.Momentomagnticototaldeltomo monoelectrnico. Modelo vectorial.. . . . . . . . . . . fi48.3..Experimento de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . fiO.3.6.Estructura fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi.3.t.Estructura superfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi36. tomos Multielectrmicos 1556.fi. Descripcin de partculas idnticas. . . . . . . . . . . . . . . fi6.fi.fi.Principio de Indistinguibilidad . . . . . . . . . . . . . . fi6 6.fi..Funciones de onda simtricas y antisimtricas. Bosonesy Fermiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fit6.fi.3.Partculas no interactuantes . . . . . . . . . . . . . . . fi8

6NDICE GENEAL

6.fi.4.Principio de exclusin de Pauli. . . . . . . . . . . . . fi6fi 6.fi..Momentumangulardesistemasconcapascerradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi6fi 6.. Propiedades Magnticas. Efecto Zeeman. . . . . . . . . . . . . fi63 6..fi.Modelo vectorial del tomo multielectrnico . . . . . . fi64 6...Notacin simblica en la espectroscopia . . . . . . . . . fi6 6..3.Reglas de seleccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi666..4.Efecto Zeeman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi686...Efecto Pashen-Back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fit36.3. El tomo de Helio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fit6.3. fi.Series espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fit6.3..Mtodo perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fit66.3.3. Aproximacin de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . fit86.3.4. Gorrecciones de primer orden. . . . . . . . . . . . . . fi8O6.4. Aproximacin de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi8 6.4.fi. Unidades atmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi83 6.4.. Mtodo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi836.4.3. Aproximacin de Hartree y Fock. . . . . . . . . . . . fi86.4.4. Energa de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . fi86 6.4..Ecuaciones de Hartree-Fock. Operador de Fock. . . . fi896.4.6.Mtodo de solucin de las ecuaciones de Hartree y Fock fi9

NDICE GENEALt

Imtroduccim

El entendimiento de la fsica del micromundo resulta imposible sin el conocimiento de las representaciones cunticas. El objetivo fundamental de este curso es introducir los conceptos y principios fundamentales de la fsica cuntica.El contenido se desarrolla a partir de los hechos experimentales que obligaron la introduccin de estos nuevos conceptos, siguiendo hasta cier- to punto el desarrollo histrico. No constituye por lo tanto una exposicin terica que parte de los postulados desde el inicio.El libro consta de 6 captulos. Los primeros 3 temas estn dedicados al estudio de los hechos que motivaron la introduccin de los cuantos de lux y de energa, hasta llegar a la vieja teora cuntica. El captulo 4 expone los conceptos bsicos de la mecnica ondulatoria, y los captulos y 6 estn de- dicados a las aplicaciones fundamentales de la teora cuntica en los sistemas atmicos.En general, el curso est concebido para ser impartido en 3 horas de clases tericas, y para su elaboracin el autor se bas en sus anos de experien- cia en la imparticin de esta asignatura en el Instituto Superior de Giencias y Tecnologa Nucleares.

8NDICE GENEAL

Captulo 1 Cuamtos de lux.Desde que Newton formul sus leyes de la mecnica hasta los finales del siglo XIX, la fsica se desarroll de manera exitosa. La aparicin de nuevos hechos experimentales se lograba explicar ya sea por la introduccin de nuevas variables dinmicas o bien de nuevas ecuaciones. En este periodo, ningn hecho experimental puso en duda la doctrina clsica y la descripcin de un sistema se realixaba con la ayuda de determinadas variables dinmicas, las cuales en cada momento de tiempo tenan bien determinados sus valores que definan al sistema. La evolucin de un sistema estaba totalmente dada si era conocido el estado del sistema en un momento inicial.Por otra parte, se haba establecido que en el mundo existan dos for- mas de existencia de la materia: la sustancia y la radiacin. La sustancia se consideraba compuesta de corpsculos localixados que se subordinaban a las leyes de Newton, y cuyos estados se determinaban en cada momento por su posicin y velocidad. La radiacin por su parte consita de ondas elec- tromagnticas subordinadas a la teora de Maxwell, con infinitas variables dinmicas que conforman en cada punto del espacio a los campos E y H. A diferencia de la sustancia, las ondas electromagnticas no se podan dividir en corpsculos localixados en el espacio, ellas constituan procesos ondulatorios con fenmenos bien conocidos como la difraccin y la interferencia. En un inicio, la teora corpuscular se aplic a los cuerpos macroscpicos, y cuando se propuso la hiptesis atmica de la estructura de la sustancia se extendi al micromundo, dando origen a la mecnica estadstica. Segn la mecnica estadstica, las magnitudes macroscpicas constituyen los valores medios de las variables dinmicas del sistema que posee un nmero muy elevado de grados de libertad. La investigacin de los gases (teora cintica de los gases) y la termodinmica permitieron corroborar cualitativamente las principales posiciones de la teora corpuscular de la sustancia.Sin embargo, surgieron nuevos fenmenos que no encontraban explicacin

9

fiOCAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

en la teora clsica y que no se podan justificar con dificultades matemticas. Uno de ellos result ser el problema de la radiacin del cuerpo negro.

1.1. Cuerpo Negro. Hiptesis de Plamk.

Radiacin trmica en equilibrio.

Absorbancia y emisividad. Ley de Kirchoff.

Guerpo Negro. Leyes fenomenolgicas: ley de Stefan-Boltxmann, ley de desplaxamiento de Wien, ley de Wien para la densidad espectral de energa.

Formula de Rayleigh-Jeans.

Hiptesis de Plank. Formula de Plank. Anlisis de los casos extremos.

1.1.1. adiacim trmica em equilibrio.La radiacin de la lux ocurre como resultado de las transformaciones de los tomos, molculas y otros sistemas atmicos, al pasar de estados de mayor energa a los de menor energa. En el caso de la radiacin trmica, la energa que se transforma es la energa cintica de las partculas, es decir, la energa trmica asociada a los tomos y molculas. Una caracterstica importante de la radiacin trmica es su espectro de emisin, el cual contiene todas las longitudes de onda a diferencia de otros tipos de radiaciones. No vamos a estudiar todos los tipos de radiaciones trmicas, slo uno en particular: la radiacim trmica em equilibrio.Supongamos se tiene una cavidad inmvil y no transparente con tempe- ratura constante en sus paredes. Producto de sus excitaciones trmicas, los tomos y molculas van a emitir sus radiaciones al interior de la cavidad. Parte de la energa de estas radiaciones es absorbida y la otra se refleja. Durante este proceso cambian la direccin, la composicin espectral, la polari- xacin y la intensidad de las radiaciones. Al pasar un tiempo suficientemente grande, se establece un estado macroscpico (nos estamos refiriendo a toda la cavidad), en el cual, por cada intervalo de tiempo, la cantidad promedio de energa irradiada de determinado color, direccin y polarixacin, se iguala a la cantidad de energa absorbida con iguales caractersticas. Se establece un equilibrio que explica correctamente la mecnica estadstica. Al alcanxarse el equilibrio, la radiacin presenta las siguientes caractersticas:

fi.fi. CUEPO NEGO. HIP6TESIS DE PLANK.fifi

fi. La densidad de energa, la distribucin espectral y otras magnitudes que la caracterixan, no dependen de la forma ni del material de las paredes de la cavidad.

.Es homognea, su densidad no depende del punto dentro de la cavidad.

3.Es isotrpica y no polarixada.

Analicemos a continuacin las magnitudes que caracterixan a la radiacin en el espacio.Denssdad de energsa de ta radsacsn (p): Gantidad de energa de la ra- diacin por unidad de volumen en el espacio. En trminos diferenciales:

dEp =(fi.fi)dV

Se acostumbra a utilixar su desarrollo espectral:

p =p (Z) dZ(fi.)O

En el equilibrio, p (Z) slo depende de Z y f , ya que no hay dependencia ni del material ni de la forma de la cavidad. Adems, consideraremos en lo adelante que en la cavidad existe vaco, en caso contrario, s existe depen- dencia del medio contenido en la cavidad. La tarea principal en la teora de la radiacin trmica consiste en encontrar la funcin universal pT (Z) .Intenssdad de ta radsacsn (I): Gantidad de energa que atraviesa en launidad de tiempo el rea unitaria perpendicular a la direccin de propagacin. En trminos diferenciales:

Desarrollo espectral:

dXEI =dtdS

(fi.3)

I =I (Z) dZ(fi.4)Oetacsn entre ta denssdad 4 ta sntenssdad de ta radsacsn.Denotemos por s a la velocidad de propagacin de la lux en el vaco, entonces:

dEdt = sdtdV = sdtdSI = sdVI = ps(fi.)

fiCAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

1.1.2. Absorbamcia y emisividad. Ley de Kirchoff.En el experimento se observa que tanto la energa que absorbe como la que emite un cuerpo son directamente proporcionales a la intensidad de la radiacin que incide y que se emite respectivamente, siendo la proporcin dependiente del material que compone al cuerpo y del estado en que este se encuentra. Subsisten las siguientes relaciones:Ea = aIs,Ee = eIe(fi.6) donde Ea representa a la energa absorbida por unidad de rea y de tiempo,Is es la intensidad de la radiacin que incide sobre el cuerpo y a es el coe- ficiente adimensional denominado absorbamcia. Este ltimo depende de la naturalexa de la superficie absorbente y toma valores en el intervalo 0 a fiDe forma similar, Ee representa a la energa que pierde el cuerpo por unidad de rea y de tiempo, Ie es la intensidad de la radiacin que irradia el cuerpo y e es otro coeficiente adimensional que recibe el nombre de emisivi- dad. Este tambin depende de la naturalexa de la superficie emisora y toma valores entre O y fi.Ge4 de Ksrchofl : Si un cuerpo se encuentra en equilibrio trmico su ab- sorbancia es igual a su emisividad (a = e).Esta ley puede ser demostrada utilixando raxonamientos puramente ter- modinmicos, su validex ha sido verificada en el experimento.

1.1.3. Cuerpo NegroSe denomina cuerpo megro al cuerpo para el cual a = e = fi en equilibrio trmico.Evidentemente, de todos los cuerpos, para una temperatura dada, el cuer- po negro es el de mayor capacidad de absorcin y de emisin.El cuerpo negro es una sdeatssacsn. Su mejor aproximacin es una cavidad cerrada en cuyas paredes se tiene un orificio muy pequeno. En efecto, si un rayo lux entra a tal cavidad, sufrir continuas reflexiones en las paredes de la cavidad. En cada reflexin parte de la energa es absorbida por las paredes y la otra es reflejada. Despus de muchas reflexiones una insignificante parte logra salir por el orificio, siendo prcticamente toda la energa absorbida. Se establece un estado que poco se diferencia del equilibrio en la cavidad y el orificio se comporta irradiando como un cuerpo negro de sus dimensiones y forma.

fi.fi. CUEPO NEGO. HIP6TESIS DE PLANK.fi3

Ge4es fenomenotgscas de ta radsacsn det cuerpo negro

fi. Ley de Stefan-Boltxmann.

En fi8t9, Stefan encontr de forma emprica que la intensidad integral por todo el espectro de la radiacin emitida por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta:

I = of 4(fi.t)

Ginco anos ms tarde, Boltxmann demostr este resultado tericamente utilixando el mtodo de los ciclos termodinmicos. La constante o se denomi- na comstamte de Stefam-Boltxmamm y su valor es 5, 669 fi08 W/mXK4.

. Ley de desplaxamiento de Wien.

Entre la temperatura absoluta f y la longitud de onda Zm, para la cual se alcanxa el mximo en la densidad espectral de energa IT (Z), de la radiacin emitida por el cuerpo negro, existe la relacin:

f Zm = b(fi.8)

donde b = X, 898 fi06nm K recibe el nombre de comstamte de Wiem.3. Ley de Wien para la densidad espectral de energa del cuerpo negro. La densidad espectral de energa del cuerpo negro pT (Z) posee la depen-dencia funcional:

pT (Z) =

(Zf )Z(fi.9)

donde (Zf ) es una funcsn unssersat. Esta ecuacin fue obtenida por Wien a partir de principios muy generales de la termodinmica. En el marco de una teora tan fenomenolgica como la termodinmica no fue posible en- contrar a la funcin universal (Zf ). Fue necesario considerar los mtodos de la mecnica estadstica y la introduccin de los nuevos conceptos cunticos de la sustancia y la radiacin para hallar a esta funcin.

fi4CAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

1.1.4. Frmula de ayleigh-Jeams.Rayleigh y Jeans fueron los primeros en tratar de resolver la tarea prin- cipal en la teora de la radiacin trmica, es decir, en tratar de encontrar la funcin pT (Z).Estos cientficos tomaron en cuenta el teorema estadstico sobre la dis-tribucin uniforme de la energa cintica por los grados de libertad. Segn este teorema, en el estado de equilibrio, a cada grado de libertad corresponde en promedio una energa cintica igual a fi/Xhf , donde h = fi, 38 fi0X3J/K y se denomina comstamte de Boltxmamm.Si las partculas en cuestin se encuentran ligadas y realixando oscila- ciones (como vamos a considerar) hay que tener en cuenta adems a la energa potencial asociada a sus interacciones. En el caso de oscilaciones armnicas, el valor medio de la energa potencial tambin resulta igual a fi/Xhf . Toman- do esto en cuenta, a cada oscilador armnico se le asocia un valor medio de energa igual a hf .Un anlisis similar se realixa para las ondas electromagnticas que se establecen en el interior de la cavidad. En el interior de la cavidad se van a establecer ondas estacionarias y al grado de libertad asociado con la onda elctrica se le asigna una energa promedio igual a fi/Xhf. De forma anloga a la componente magntica corresponder otro fi/Xhf , y de esta forma, a cada onda estacionaria corresponder en promedio una energa o = hf .Si se determina el nmero de ondas estacionarias que se establecen en una cavidad para cada frecuencia o longitud de onda a una temperatura dada, podemos obtener la funcin pT (Z) o pT (v). Se puede demostrar que el nmero de frecuencias permitido en el intervalo (r, r dr) es:

N(r)dr =

8vV s3

rXdr(fi.fiO)

donde V es el volumen de la cavidad. De esta ecuacin obtenemos que:

pT (r) =

8vrX s3 o =

8vrXs3 hf =

8vh s3 r

Xf(fi.fifi)

En trminos de la longitud de onda tendremos:

N(Z)dZ =

donde se tuvo en cuenta que:

8vV Z4

dZ(fi.fi)

s

s = Zr0 = dZ r Z drdr = ZX dZ(fi.fi3)

fi.fi. CUEPO NEGO. HIP6TESIS DE PLANK.fi

Notemos que la ltima relacin es modular por tratarse de diferenciales. La frmula de ayleigh-Jeams es por tanto:8vhf

pT (Z) =

Z4(fi.fi4)

Gomparando este resultado con la ley de Wien para la densidad espectral de energa, se obtiene que la funcin universal

(Zf ) = 8vh (Zf )(fi.fi)

Experimentalmente se comprueba que la frmula de Rayleigh-Jeans es slo vlida para longitudes de onda altas (frecuencias bajas). Adems, la radiacin tiene infinitos grados de libertad, mientras que la sustancia en la cavidad tiene un nmero finito de estos. Si se supone que la frmula trabaja en las frecuencias altas, y se integra en todo el rango de frecuencias obtenemos:

pT =

pT (r) dr =

8vhf

rXdr = (fi.fi6)

Os3ONo sera posible el equilibrio trmico entre la sustancia y la radiacin. Este resultado se conoce como catstrofe ultravioleta, y fue deducido por Erenfest.Se podra pensar en rechaxar el teorema de la distribucin uniforme por grados de libertad en el caso de que estos sean infinitos, pero no estara justificado.

1.1.5. Frmula de Plamk.La frmula que satisface los resultados experimentales en todo el espectro fue encontrada por Plank primero de forma emprica, y ms tarde la demostr tericamente.Expuso su teora el fi4 de diciembre de fi9OO, en la reunin de final de ano de la Sociedad Alemana de Fsica, da que se considera como el del nacimiento de la Fsica Guntica.Para arribar a sus resultados Plank lanx la siguiente hiptesis, que no tiene sentido alguno en los marcos de la fsica clsica:Ga emsssn 4 absorcsn de ta tus por ta sustancsas no ocurre de forma con tsnua, ssno por porcsones flnstas denomsnadas cuantos de energsa o cuantos de tus.Goncretamente, supongamos se tiene un oscilador armnico unidimen- sional. Tomando en consideracin la hiptesis de Plank este oscilador slo puede tomar valores seleccionados de energas que forman la serie discreta:

fi6CAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

0, oO, XoO, 3oO, ..., donde oO determina la porcin ms pequena de energa que puede adquirir el oscilador, y depender solamente de las caractersticas de ste, es decir, de la frecuencia propia del oscilador.A partir de que la radiacin en equilibrio no depende de la sustancia que conforma la pared de la cavidad, Ptanh conssder toda ta cassdad como un conjunto de oscstadores. Posteriormente, supuso que no slo la cavidad, sino tambin tas ondas estacsonarsas que en ella se establecen con determinada frecuencia, se comportan como los oscstadores armnscos.En la cavidad se establece el equilibrio, y son excitados todos los estados con diferentes probabilidades. La distribucin de probabilidades que Plank consider obedeca a la te4 de Bottsmann. Esto implica que el nmero de osciladores con energa E a la temperatura dada f en la cavidad, va a ser Eproporcional a e hT . Gon estas consideraciones podemos determinar a pT (r).Galculemos primeramente el valor medio de la energa o:

.

nE

.n

o =n=fi noOe hT = o

n=fi ne

. nE

O .

n(fi.fit)

n=O e hT

hTdonde = oO . Efectuando la suma

n=O e

. en =fifi e

(fi.fi8)

n=O

y derivando esta igualdad se tiene que

. nen =e

X(fi.fi9)

n=fi

(fi e)

Sustituyendo los dos ltimos resultados en la ecuacin fi.fit se obtiene:

oOo =oOehT fi

(fi.O)

Finalmente, sustituyendo o en la ecuacin fi.fifi, utilixada anteriormente para obtener la frmula de Rayleigh-Jeans, obtenemos la frmula de Plamk:

pT (r) =

8vrXs3

oO oOehT fi

(fi.fi)

En el lmite cuando oO 0 debemos obtener la frmula clsica de Rayleigh- Jeans, que supone la variacin de energa en forma continua. En efecto,

o oO

hTehT = fi O , y de la ecuacin fi.fi se obtiene

fi.fi. CUEPO NEGO. HIP6TESIS DE PLANK.fit

pT (r) =

8vrXs3 hf(fi.)

Procediendo de forma similar a como se hixo anteriormente (ver fi.fi3), podemos obtener la formula de Plank en trminos de la longitud de onda:8voO

pT (Z) =

Z4 oOehT fi

(fi.3)

Esto nos conduce a que la funcin (Zf ) de la ley de Wien es igual a:8voOZ

(Zf ) =

oOehT fi

(fi.4)

oO es una caracterstica de los osciladores, por lo tanto no depende de la temperatura (caracterstica macroscpica) y depende sotamente de tas fre cuencsas propsas de estos oO = hr = hs/Z.h = 6, 6X5 fi034J recibe la denominacin de comstamte de Plamk.Sustituyendo el valor de oO en la ecuacin fi.4, la funcin (Zf ) se trans- forma en:

(Zf ) =

8vhs

hcehZT fi

(fi.)

Analicemos ahora los casos extremos para la densidad espectral de energa del cuerpo negro .El lmite para Z pequenas (frecuencias altas) es:

pT (r) =

8vh s3

r3 hve

8vh

r3e

hv

(fi.6)

hT fi8vhs

hTs3

hc

pT (Z) =

Z e hchZT fi

8vhsZ

e hZT

(fi.t)

Esta frmula fue propuesta por Wien en fi896 y fue obtenida de forma emprica. La misma describe slo los valores experimentales para frecuencias altas y trabaja mal en la regin infrarroja donde trabaja bien la de Rayleigh- Jeans que se obtiene en el limite cuando oO 0, es decir, para frecuencias bajas.En un grfico (, 4), tomando

hr =hfde forma tal que

,4 =

3

e fi

(fi.8)

8vpT () = hXs3 (hf )

33

e fi

= Contante 4(fi.9)

fi8CAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

PlankWienRayleigh-Jeans1.5

1.0

y

0.5

0.00246810x

Figura fi.fi: Densidad espectral de energa. = hr/hf, 4 = C pT ()

se obtiene el grfico fi.fi.

Utilixando la frmula de Plank fi.fi se pueden obtener facilmente las leyes fenomenolgicas de Stefan-Boltxmann y la ley de Wien para el des- plaxamiento.

fi.. EFECTO FOTOELNCTICO.fi9

Resumen

La radiacin trmica en equilibrio no depende de la forma ni del mate- rial de las paredes de la cavidad. Es una radiacin homognea, isotrpi- ca y no polarixada.

Las energas que absorbe o emite un cuerpo son directamente propor- cionales a las intensidades de la radiacin que incide o emite respecti- vamente: Ea = aIs, Ee = eIe.

Se denomina cuerpo negro al cuerpo para el cual a = e = fi en el equilibrio trmico.

Leyes fenomenolgicas de la radiacin del cuerpo negro:

I = of 4,f Zm = b,pT (Z) =

(Zf )

Z

Hiptesis de Plank: La emisin y absorcin de la lux por la sustancia no ocurre de forma continua, sino por porciones finitas denominadas cuantos de energa o cuantos de lux.

Frmula de Plank:

pT (r) =

8vh s3

r3 hvehT fi

,pT (Z) =

8vhs

hcZ ehZT fi

1.2. Efecto Fotoelctrico.

Experimentos de Hertx y Thomson.

Explicacin clsica del fotoefecto. Deficiencias.

Explicacin cuntica del fotoefecto. Hiptesis de Einstein. Trabajo de extraccin. Frmula de Einstein. Frecuencia de corte.

Propiedades ondulatorias en el fotoefecto. Garcter dual de la lux.

Gomo analixamos en el epgrafe anterior, la teora ondulatoria de la lux no es capax de explicar el comportamiento de la radiacin trmica en equilibrio de un cuerpo negro.Fue Max Plank, quien introduciendo una nueva hiptesis acerca de la emisin y absorcin de la lux por la sustancia no de forma continua, sino en

OCAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

porciones o cuantos (oO = hr), logr dar una explicacin adecuada a este fenmeno.Sin embargo, el propio Plank slo consideraba las propiedades cunticas de la lux en los actos de emisin y absorcin, es decir, en la interaccin de la lux con la sustancia. La propagacin en el espacio la segua considerando en su forma continua, descrita por las ecuaciones de Maxwell.En fi9O, Einstein de una forma radical proporcion una teora cunti- ca ms acabada de la lux. l, a partir de los resultados experimentales y de representaciones tericas, lleg a la conclusin de que tambin en su propagacin la lux se comporta como un conjunto de determinadas partcu- las, cuyas energas se determinan segn las energas de los cuantos de Plank. Ms tarde, estas partculas recibieron el nombre de fotomes.

1.2.1. Experimemtos de Hertx y Thomsom.Uno de los fenmenos importantes que condujo a la hiptesis de los fo- tones fue el efecto fotoelctrico, tambin conocido como fotoefecto.En fi88t, Henry Hertx descubri que iluminando con lux ultravioleta un electrodo negativo sometido a una tensin, se produce un arco elctrico entre los electrodos. Hertx no le di importancia al fenmeno debido a lo ocupado que estaba en la investigacin de las ondas electromagnticas.La esencia del fenmeno consiste en que al iluminar con lux ultravioleta un cuerpo metlico cargado negativamente este pierde parte de su carga. Si se ilumina un cuerpo cargado de forma positiva no se observa esta prdida de carga y ms an, si se ilumina un cuerpo neutro, ste se carga positivamente. Las propiedades fotoelctricas aparecen no slo en los metales, estas estn presentes tambin en los dielctricos y semiconductores. La nica condicin necesaria, aunque no suficiente, es que exista suficiente absorcin de lux. Por otro lado, no slo ocurre bajo lux ultravioleta, en metales alcalinos (sodio, litio, etc) aparece en lux visible. En superficies muy trabajadas se puedeobtener fotoefecto hasta con rayos infrarrojos.En fi89t, Thomson descubre el electrn en el estudio de los rayos catdi- cos, y conjuntamente con Lenard mide la relacin carga-masa (e/m) de las partculas que se emiten en el fotoefecto, quedando demostrado que estas son etectrones.Debemos diferenciar el fotoefecto esterno del interno. En el externo, los electrones son liberados por la lux de la capa superficial de la sustancia, pasando al vaco o a otro medio. En el interno, los electrones se quedan dentro del cuerpo, a pesar de ser excitados. Analicemos con ms detalles el primero por ahora.

fi.. EFECTO FOTOELNCTICO.fi

Figura fi.: Esquema de una instalacin donde se obtiene el efecto fotoelc- trico.

La figura fi. muestra un esquema de una instalacin donde se obtiene el efecto fotoelctrico.Los electrones que se desprenden del ctodo, se ven sometidos al potencial del nodo, cerrando el circuito. Por medio de la velocidad con que se carga el electrmetro se puede determinar la corriente del circuito y la cantidad de fotoelectrones que alcanxan el nodo en la unidad de tiempo.El fotoefecto depende del estado de la superficie del ctodo y del gas, si existe este en el espacio comprendido entre el nodo y el ctodo, pues complica el fenmeno debido a las ionixaciones que pudieran aparecer. Se trata de llevar a cabo el experimento en un buen sacso y en superflcses mu4 tsmpsas.Se estudia el fotoefecto para una intensidad y frecuencia de la lux de incidencia, variando la tensin V entre el ctodo y el nodo. Se construye la dependencia de la corriente I en funcin de V , que recibe el nombre de caracterstica del fotoelememto.En el experimento se observa que al aumentar V se llega a una corriente mxima que recibe el nombre de corriemte de saturacim. Esta corriente se alcanxa cuando todos los electrones liberados del ctodo por la lux alcanxan el nodo. Un aumento posterior de V no aumenta la corriente I, ya que la cantidad de electrones arrancados en la unidad de tiempo no vara. La corriente de saturacin depende proporcionalmente de la intensidad de la lux incidente para una frecuencia dada.

1.2.2. Explicacim clsica del fotoefecto. Deficiemcias.Se podra intentar dar una explicacin clsica del fenmeno desde el punto de vista ondulatorio. Gonsideremos primero a los electrones tsbres, es decir, a aquellos electrones que estn en el metal sometidos a la accin de un campo

CAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

Iis - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Vi0

VsV

Figura fi.3: Garacterstica del fotoelemento.

que los retiene, existente en la frontera del metal.Para extraer uno de estos electrones es necesario realixar un trabajo de unos pocos electrn-voltios. Bajo el efecto del campo elctrico de la onda electromagntica de la lux incidente, estos electrones comienxan a oscilar, y cuando la energa es suficientemente grande el electrn puede vencer el campo que lo retiene y salir del metal.Para los electrones enlaxados la explicacin es similar, slo que la de- pendencia de las oscilaciones tendr un carcter mas complejo debido a la resonancia.Segn esta explicacin la energa del electrn que sale deber ser mayor si la intensidad de la lux aumenta. En efecto, la intensidad lumnica es propor- cional a la amplitud de las oscilaciones electromagnticas, y esto aumentara el campo elctrico que actua sobre el electrn por parte de la onda. Sin em- bargo, en el experimento queda demostrado que la mxima velocidad, y por ende la energa cintica mxima, que poseen los electrones no depende de la intensidad de la lux, sino de su frecuencia.Otro punto importante donde falla esta explicacin concierne al tiempo necesario de aparicin del fotoefecto.Supongamos se tiene una fuente de lux puntual, isotrpica y continua de potencia P = fi00W , que ilumina un ctodo plano perpendicular de xinc, a una distancia r = fim. La energa luminosa que se trasmite al fotoctodo en la unidad de tiempo y de superficie ser:PvrX(fi.3O)Gonociendo el trabajo A de extraccin (c 3, t eV para el xinc), y con-

fi.. EFECTO FOTOELNCTICO.3

siderando que la energa mxima que alcanxan los electrones en las oscila- ciones debe serPEma = vrX ot(fi.3fi)donde o representa la seccin eficax para un tomo y t al tiempo de exposi- cin, podemos obtener una valoracin del tiempo que requiere la aparicin del fotoefecto:

PEma = vrX ot > Act >

vrXAP o= fi, X5eg(fi.3)

De acuerdo con la fsica clsica, el fotoefecto siempre debe ocurrir con retraso.El experimento muestra que el fotoefecto ocurre snstantneamente con la iluminacin.

1.2.3. Explicacim cumtica del fotoefecto. Frmula de Eimsteim.Veamos al fotoefecto desde el punto de vista corpuscular.Supongamos la lux est compuesta por partculas denominadas fotones, que poseen determinada energa e impulso y que viajan a la velocidad s. Segn la hiptesis de Eimsteim la energa de los fotones viene dada por la frmula de Plank:E = hr(fi.33)Gul ser la cantidad de movimiento lineal de estas partculas?.De la teora relativista sabemos que se cumple la siguiente relacin entre la energa E y la cantidad de movimiento lineal p:. E .X

pXs

= (mO s)X

(fi.34)

Estamos considerando que durante el movimiento el estado interno de la partcula, y por tanto su masa mO, no vara.Por otro lado, la energa de una partcula satisface la ecuacin relativista:mO sX

E = .

(fi.3)X

cfi . v .De acuerdo con la ecuacin anterior, si el fotn posee masa mO = 0, su energa se torna infinita al viajar este con la velocidad de la lux s. La masa del

4CAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

fotn debe ser por lo tanto nula. De la ecuacin fi.34 obtenemos la siguiente relacin modular entre p y E:E = ps(fi.36)Debemos observar que el signo negativo de la rax desaparece si se con- sidera que el vector p est dirigido en la direccin de propagacin de la lux, tomada como positiva.Introduxcamos el vector de ondas h, dirigido en la direccin de propa- gacin y de magnitud:

Se cumple entonces

|h| =

Xv(fi.3t)Z

h hr = pscp = Z,p = hh(fi.38)Retornemos al fotoefecto. El proceso de interaccin de la lux con el ctodo se puede considerar ahora como choques entre partculas, es decir, el fotoefec- to surge en los choques snetstscos de los fotones con los electrones. En estos choques, el fotn es absorbido y su energa se trasmite a los electrones. De esta forma, los electrones adquirien la energa cintica de forma snstantnea, y esta depende de la frecuencsa de radiacin incidente.La energa del fotn incidente puede consumirse al liberar un electrn enlaxado a un tomo. Adems, un electrn liberado puede interactuar con los tomos dentro del metal, cediendo energa en forma de calor. La mxi- ma energa de los fotoelectrones se obtiene cuando el electrn es libre (no enlaxado a un tomo en especfico), y cuando no cede energa en forma de calor al salir del metal. En tal caso, se produce slo perdida de energa al vencer las fuerxas que lo mantienen en el metal y que actan en la superficie, energa conocida como trabajo de extraccin (A).Supongamos se ha producido el choque del electrn con un solo fotn,entonces la energa cintica mxima se determina por la frmula de Eim- steim:fiXfma = Xmevma = hr A(fi.39)El trmino de electrn libre en el metal no es del todo correcto, pues el electrn se encuentra como en una caja dentro de la cual existe un campo que lo retiene. El fotn interactua con el electrn y con el metal como un todo. Por supuesto, como el ctodo tiene una masa que podemos considerar infinita, la energa del fotn es prcticamente absorbida por el electrn.Para un electrn realmente libre slo puede ocurrir la dispersin, y ste no puede absorber o emitir un fotn. En efecto, tomemos un sistema de

fi.. EFECTO FOTOELNCTICO.

referencia donde el electrn se encuentra inicialmente en reposo. Supongamos que el electrn emite un fotn con las magnitudes pf y Ef , y sus energa y cantidad de movimiento despus de la emisin son Ee y pe respectivamente. De las leyes de conservacin tenemos:

pe pf = 0,Ee Ef = me sX(fi.4O)donde me representa a la masa del electrn en reposo.Tomando en cuenta la relacin fi.36 entre la energa y la cantidad de movimiento del fotn, la ecuacin fi.34 para estas magnitudes en el caso del electrn, y combinando las ecuaciones anteriores es fcil obtener la siguente relacin

Ef me sX = 0que posee como nica solucin Ef = 0, indicando la imposibilidad de la emisin de un fotn para un electrn totalmente libre. De forma similar se demuestra la imposibilidad de la absorcin.De la frmula de Einstein fi.39 se desprenden conclusiones importantes:

fi. La energa cintica mxima depende linealmente de la frecuencia y no depende de la intensidad de la lux. La intensidad slo influye en la cantidad de electrones que se producen en el fotoefecto. Notemos que la tangente del ngulo del grfico: energa cintica vs frecuencia, coincide con la constante de Plank h, y constituye su construccin un mtodo para determinar a h.. Existe una frontera en las frecuencias bajas rO, denominada frecuemcia de corte, por debajo de la cual no se observa el fotoefecto. Si tomamos el trabajo de extraccin A = hrO, la frmula de Einstein fi.39 adopta la forma:fma = h(r rO)(fi.4fi)Slo ocurre el fotoefecto para r > rO, de lo contrario el miembro derecho de la ecuacin fi.4fi se torna negativo, lo cual es imposible para la energa cintica. La existencia de esta frontera es incomprensible desde el punto de vista ondulatorio.Para comprobar experimentalmente la validex de la frmula de Einstein, es necesario determinar la energa cintica mxima de los electrones. Re- tornemos al grfico fi.3, que nos da la caracterstica del fotoelemento. Gomo se puede apreciar, el estudio se realixa para tensiones negativas entre el cto- do y el nodo, potencial retardador, y para tensiones positivas, potencial acelera- dor. El hecho de que el campo elctrico acelera los electrones en el

6CAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

sentido del aumento de la tensin V , conduce al aumento de la corriente I. Para un potencial negativo Vs, denominado potemcial de imterrupcim, la corriente desaparece. Guando el voltmetro muestra tensiones ligeramente superiorers a Vs, los electrones comienxan a llegar al nodo, fenmeno que slo pueden rea- lixar aquellos electrones que poseen la velocidad mxima. Por consiguiente, podemos escribir:

fma = eVs(fi.4)donde e denota al valor modular de la carga del electrn.Las comprobaciones experimentales exactas del fotoefecto fueron efectua- das por primera vex por Richard y Gompton en fi9fi, aun ms exactas fueron las de Milliken en fi9fi6.La posicin de Vs vara segn el valor de la frecuencia r de la lux incidente, ya que fma depende de esta.La posicin de Vs no depende de r. Para esta tensin incluso los electrones con velocidad cero llegan al nodo, es decir, Vs depende slo de la estacin experimental.

1.2.4. Propiedades omdulatorias em el fotoefectoHasta ahora habamos acentuado las propiedades corpusculares de la lux en el fotoefecto, sin embargo, las propiedades ondulatorias tambin se man- ifiestan en este fenmeno. Estas ltimas propiedades se manifiestan en el llamado fotoefecto selectivo.Representemos con ss a la corriente de saturacin que se alcanxa por intervalo de longitud de onda Z. Si el vector del campo elctrico E de la onda incidente no es perpendicular al plano de incidencia, en los metales, fundamentalmente en los alcalinos, se observa un mximo alrededor de los 00 nm.Este fenmeno se puede explicar si consideramos que los electrones poseen frecuencias propias de oscilacin, en la vecindad de las cuales se produce una especie de resonancia.Otra particularidad de este fenmeno radica en que la intensidad de la corriente depende de la polarixacin y del ngulo de incidencia. La selectivi- dad del fotoefecto ocurre en mayor grado cuando la lux cae tangencialmente a la superficie y est polarixada, encontrndose E en el plano de incidencia. Todo indica que la introduccin de las propiedades corpusculares no es tan simple como regresar a la mecnica Newtoniana. No se puede ver a los fotones como simples partculas que se mueven por determinadas trayectorias en el espacio, como predice la fsica clsica. A los fotones le son inherentes

fi.. EFECTO FOTOELNCTICO.t

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -I

400700nm

Figura fi.4: Fotoefecto selectivo.

propiedades ondulatorias como son la difraccin, la interferencia, la polari- xacin, etc.La manifestacin de propiedades corpusculares y de onda por los fotones es conocida en la fsica como dualidad partcula-omda. No tiene sentido tratar de interpretar esta dualidad desde las representaciones de la fsica clsica. El pensamiento humano no es capax de crear un ente material que tenga a la vex propiedades de corpsculo y de onda, pero la naturalexa es ms rica que nuestro pensamiento o imaginacin, como demuestra la prctica.

Resumen

El efecto fotoelctrico consiste en la emisin de electrones por una sus- tancia al encontrarse expuesta a la lux. Ocurre normalmente bajo lux ultravioleta y en superficies muy trabajadas se puede obtener fotoefecto hasta con rayos infrarrojos.

La energa cintica mxima que poseen los fotoelectrones no depende de la intensidad de la lux incidente, sino de su frecuencia. El fotoefecto ocurre instantneamente con la iluminacin.

8CAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

La hiptesis de Einstein consisti en considerar a la lux compuesta por corpsculos de masa nula denominados fotones. La energa y cantidad de movimiento de estas partculas viene dada por la frmulas: E = hr y p = hh.

El fotoefecto puede ser interpretado como el resultado de choques ine- lsticos entre los fotones y los electrones. La energa cintica mxima de los electrones que se liberan se determina por la frmula de Einstein fma = hr A.La frontera rO por debajo de la cual no se observa el fotoefecto se denomina frecuencia de corte.Existe un potencial negativo Vs de interrupcin para el cual la corriente desaparece en el efecto fotoelctrico. Este depende de la energa cintica mxima de los electrones: fma = eVs.La selectividad por determinada longitud de onda, polarixacin y ngu- lo de incidencia en el fotoefecto reflejan las caractersticas ondulatorias de la lux.

La lux presenta propiedades corpusculares y ondulatorias que se manifi- estan en diferentes observaciones, incluso de un mismo fenmeno. Esta propiedad se conoce como dualidad partcula-onda.

1.3. Efecto Comptom.

Gorrimiento de Gompton.

Explicacin de Gompton y Debay.

Guantos de lux y el fenmeno de la interferencia.

En fi9, Arthur Gompton descubri otro fenmeno que tambin habla a favor de la hiptesis de los fotones. Este cientfico se encontraba estudiando la radiacin Rentgen en cuerpos compuestos por tomos ligeros: grafito, parafina, etc. Un esquema de su instalacin aparece en la figura fi., donde G es el cuerpo que dispersa el hax de lux incidente, K es un espectrgrafo, y P constituye una fotocelda o cmara de ionixacin.En el experimento, l observ que en la lux dispersada, adems de encon- trarse la longitud de onda original, apareca un corrimiento en una longitud de onda Zt > Z. Este fenmeno se denomino efecto Comptom y a la diferen- cia 6Z = Zt Z se le llam corrimiemto de Comptom.

fi.3. EFECTO COMPTON.9

Figura fi.: Esquema de una instalacin donde se observa el efecto Gompton.

En la figura fi.6 aparecen representados los resultados de un experimento en el grafito utilixando la lnea K del Moligdeno (Z = 0,0tnm), para distintos ngulos de dispersin 8.

Aqu podemos apreciar la lnea original de la radiacin, es decir, la dis- tribucin angular de la intensidad de la lnea. Ms abajo, se observa que la lnea original nica se divide en dos lneas como resultado de la dispersin. El ensanchamiento de ambas componentes se debe a los movimientos de los electrones y los tomos, en los cuales se produce la dispersin como se ver ms adelante.

El experimento demuestra que el corrimiento 6Z no depende de la com- posicin del cuerpo que dispersa la lux, ni de la longitud de onda Z incidente. Este depende en forma proporcional del enX8/X.

El corrimiento descubierto por Gompton resulta imposible de explicar desde posiciones clsicas, si suponemos que el cambio en la longitud de onda es el resultado de la interaccin de una onda electromagntica con un elec- trn. En los tomos ligeros, la energa de enlace del electrn con el tomo se puede considerar pequena respecto a la energa de interaccin con la onda. Podemos entonces tomar a los electrones como tsbres. De acuerdo con la teora clsica, si un electrn est libre, este no posee ninguna frecuencia propia de oscilacin, y por lo tanto se pondra a oscilar con la misma frecuencia de la onda electromagntica incidente. En consecuencia, la onda dispersada ten- dra la misma frecuencia que la onda incidente y no se observara ningn corrimiento.

3OCAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

Figura fi.6: Efecto Gompton

1.3.1. Teora de Comptom y Debay.El comportamiento experimental fue entendido slo despus de la teora cuntica propuesta independientemente por Gompton y Debay.En la nueva teora la dispersin del cuanto de rayos X, con el correspon- diente cambio en la longitud de onda, es resultado del choque nico de un fotn con un electrn.La energa de enlace del electrn con el tomo se puede considerar pe- quena nuevamente respecto a la energa que le cede el cuanto en el choque, siendo esta energa mayor cuando mayor es el ngulo de dispersin. Podemos considerar a los electrones como libres, lo cual explica tambin porque 6Z es el mismo para las sustancias con que se experimentaba. Para los electrones internos de tomos pesados esta consideracin ya no es vlida, y ss aparece dependencia del material como lo demuestra el experimento.Gonsideremos ahora el choque de un fotn con un electrn libre. Pueden surgir altas velocidades, por lo tanto debemos considerar las ecuaciones rela- tivistas.Tomemos un sistema de referencia donde el electrn se encuentra inicial- mente en reposo.Introduxcamos las siguientes notaciones,pf , Ef :Momentum y energa del fotn antes de la dispersinpttf , Ef :Momentum y energa del fotn despus de la dispersin0 , Ee = mesX: Momentum y energa del electrn antes de la dispersinptte , Ee:Momentum y energa del electrn despus de la dispersin

fi.3. EFECTO COMPTON.3fi

De acuerdo con las leyes de conservacin de la energa y la cantidad de movimiento tenemos:

Ee Ef = Et Et

,p = pt

pt

(fi.43)

efffe

Despejando de las ecuaciones anteriores las energa y momentum finales del electrn, elevando al cuadrado, dividiendo la primera de las ecuaciones obtenidas por sX, y restando ambas expresiones, se llega a la siguiente ecuacin:

. Et .X

.E EEt .X

ef ..X etXft

s pe =

sX pf pf

(fi.44)

Tomemos en cuenta ahora las relaciones relativistas fi.34 y fi.36 entre Ey p para el electrn y el fotn, entonces:

. Et .X

(mesX)

. Ee .X

X etX

s pe =

sX=s

. Ef .Xs

f= pX,

. E t .

fXs

f= ptX

(fi.4)

Desarrollando los parntesis de la ecuacion fi.44, sustituyendo los resul- tados de fi.4, y despus de algunas operaciones algebraicas sencillas es fcil llegar al siguiente resultado:

hXhX6Z = Zt Z = m s (fi so 8) = m sen 8(fi.46)ee

donde se tuvo en cuenta la ecuacin fi.38 y la definicin del producto

fescalar de los vectores pf y pt :

fpf pt

= pf pt

so 8(fi.4t)

fm cLa magnitud he

= ZC = X, X63096 fi0fiOsm recibe el nombre de lom-

gitud de Comptom para el electrn.Gomo se observa de la frmula fi.46, el corrimiento 6Z no depende de la longitud de onda Z de incidencia. Esta ecuacin demuestra que la disper- sin de los fotones en los electrones libres snmsstes siempre trae consigo un aumento de la longitud de onda.Gul es la causa del surgimiento de la lnea sin corrimiento?.La lnea sin corrimiento aparece debido a los choques con los electrones enlaxados, es decir, la dispersin ocurre realmente con los tomos. La masa de estos ltimos se puede considerar infinitamente grande en comparacin con

3CAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

la del fotn, por ende su longitud de Gompton ZC ~ fi/m es muy pequena, y tambin entonces el corrimiento que estos choques producen. El tomo adquiere momentum, pero su energa se puede despreciar.Gon el aumento del nmero atmico, aumentan tambin el nmero de electrones enlaxados, ocurre as un aumento de la intensidad de la lnea no desplaxada con relacin a la que si tiene corrimiento.Un dato interesante lo constituye que la dispersin en los electrones libres es no coherente. Los electrones libres efectan sus movimientos independien- tes y por tanto sern independientes las dispersiones en los mismos. En el caso de los electrones enlaxados la dispersin si resulta coherente. Las os- cilaciones que efectan los electrones enlaxados producto de la onda que cae estn en concordancia con esta. Por tal raxn las ondas dispersadas en los electrones enlaxados pueden tener interferencia con las ondas que llegan. Esta interferencia fue observada por Laue y Bulf-Breg al lanxar rayos X a cristales. Notemos que estas son caractersticas ondutatorsas del fenmeno.En nuestra deduccin se tomo al electrn inicialmente en reposo. Si el electrn se muese, este puede en el choque ceder su energa cintica al fotn y despus detenerse. Este proceso se denomina efecto Comptom imverso y trae consigo una disminucin de la longitud de onda del fotn dispersado.El efecto Gompton puede ser observado en otras partculas como neu- trones, protones, etc. La frmula fi.46 continua siendo vlida con la sustitu- cin de me por las masas respectivas de estas partculas.Es importante senalar adems, que para considerar al electrn libre es necesario experimentar con rayos X de altas energas. De hecho, en la regin visible del espectro luminoso, la energa de enlace de los electrones es mayor que la del cuanto, y el efecto Gompton no se observa.Para energsas mu4 attas, mayores que XmesX, el efecto tambin deja de aparecer. En tales circunstancias predomina la formacsn de pares de elec- trones y positrones.El ngulo de salida 9 del electrn despus del choque viene dado por la ecuacin

tan 9 =

en 8Zt

(fi.48)

Z so 8Esta relacin proponemos la obtenga el lector a partir del paralelogramo

eque forman los vectores pt

y pt , cuya diagonal es el vector pf

. Este paralelo-

fgramo puede ser observado en una cmara de Wilson. Por supuesto, se ve latraxa del electrn por ser una partcula cargada, mientras que la traxa del fotn dispersado se conoce cuando este se dispersa nuevamente en un nuevo electrn.

fi.3. EFECTO COMPTON.33

1.3.2. Cuamtos de lux y el femmemo de la imterferemciaGomo se ha visto hasta aqu, los fenmenos de absorcin (fotoefecto) y de dispersin de la lux (efecto Gompton) a nivel microscpico slo pueden ser explicados en la teora corpuscular. No obstante, incluso en estos mis- mos fenmenos, aparecen manifestaciones macroscpicas, como por ejemplo la interferencia, que slo pueden ser explicadas desde un punto de vista on- dulatorio.Existir alguna forma de explicar la existencia de los fotones en los fenmenos ondulatorios de interferencia y difraccin de la lux?Lo primero que debemos destacar es que los fotones se mueven en el espacio independientes uno del otro y sus interacciones se pueden despreciar. Esto permite explicar que un cuadro de interferencia obtenido con lux de determinada intensidad, puede ser obtenido al disminuir la intensidad del hax pero irradiando durante un tiempo mayor, de forma tal que sea igual el nmero de fotones.Sin embargo, es bien conocido que el poder de una red de difraccin depende del nmero de lneas de la misma. Si se elimina la mitad de la red, el cuadro de la difraccin cambia radicalmente. En este punto, la teora corpuscular se encuentra en contradiccin con el experimento, ya que inde- pendientemente de la ecuacin que describe la interaccin entre un fotn y las partculas que componen la red, la distribucin de las trayectorias de los fotones que se dispersan en la mitad ixquierda no puede depender de la existencia de la otra mitad de la red, a no ser que se le atribuyan al fotn di- mensiones del orden de la red. De esta forma, nos vemos obligados a admitir que en la dsfraccsn de la lux toma parte toda la red como un todo.As tenemos que con ayuda de un detector siempre se puede conocer de forma efectiva la aparicin de un fotn tras otro, pero nunca se puede, sin entrar en contradicciones, explicar los fenmenos de interferencia o difraccin de la lux asociando a cada fotn determinada trayectoria. De esta forma, la clsica doctrina de que cada corpsculo se mueve en el espacio con el transcurso del tiempo en forma continua es insostenible. Hacia el instrumento detector siempre se propaga una onda, el aspecto corpuscular del fotn solo aparece en el momento de la deteccsn.ResumenEl efecto Gompton consiste en la observacin de lux dispersada con longitud de onda Zt mayor que la longitud de onda incidente Z. La diferencia 6Z = Zt Z se denomina corrimiento de Gompton.La teora de Gompton y Debay explica el cambio en la longitud de onda como resultado del choque nico de un fotn con un electrn libre. Las

34CAPTULO fi. CUANTOS DE LUX.

leyes de conservacin relativistas de la energa y el momentum conducen

m ca que la magnitud del corrimiento es 6Z = he

(fi so 8) .

Los efectos fotoelctrico y Gompton constituyen dos fenmenos que slo pueden ser explicados desde un punto de vista cuntico. Los mismos corroboran la teora corpuscular de la lux no slo en la emisin y la absorcin, sino tambin en su propagacin.

la nueva teora no constituye un simple regreso a la mecnica Newto- niana, sino que refleja el carcter dual de la lux. Propiedad que com- probaremos ms adelante es inherente a toda la materia, no solo a los fotones, sino tambin a electrones, protones, neutrones, etc.

Captulo 2La estructura del tomo

2.1. Modelo muclear del tomo

Modelo atmico de Thomson.

Experimentos de Geiger y Marsden.

Modelo planetario de Rutherford.

Frmula de la dispersin de Rutherford (relacin entre el parmetro de impacto y el ngulo de dispersin).

Frmula de Rutherford para la seccin eficax diferencial de dispersin.

Gomprobacin experimental de la frmula de Rutherford.

Dificultades del modelo planetario.

En el primer captulo, se evidenci la necesidad de cuantixar los procesos de emisin y absorcin de la lux en el estudio de la radiacin trmica del cuerpo negro. Los efectos fotoelctrico y de Gompton apuntaron hacia la existencia de los cuantos de lux o fotones en la propagacin de la lux.El estudio de la estructura atmica tambin confirma la imposibilidad de describir el micromundo en los marcos de la fsica clsica (mecnica y electrodinmica clsicas). Solamente desde postulados mecnico-cunticos es posible una correcta descripcin del mismo.

2.1.1. Modelo atmico de ThomsomEn fi89t Sir J. J. Thomson descubri el electrn, partcula subatmica que posee carga negativa e. Es bien conocido que las sustancias son neutras y

3

36CAPTULO . LA ESTUCTUA DEL TOMO

Figura .fi: Esquema de la instalacin en el experimento de Geiger y Marsden

por tanto sus constituyentes, los tomos, tambin lo son. A partir de este hecho, en fi898 el propio Thomson lanx el primer modelo sobre el tomo, conocido como el pudn de pasas. Su modelo supona:

fi. Los constituyentes positivos del tomo son los portadores de casi toda la masa del mismo (Thomson tena un estimado aceptable de la masa del electrn).. La carga positiva se distribuye uniformemente en el espacio en forma de una esfera, cuyo radio es del orden del radio atmico (fi08sm).3. Los electrones se insertan dentro de la distribucin espacial de carga positiva (como las pasas en un pudn) en la cantidad necesaria para garantixar la neutralidad elctrica del tomo.

2.1.2. Experimemto de Geiger y MarsdemSiguiendo las sugerencias de Rutherford, en fi9fifi, Geiger y Marsden in- vestigaron la dispersin de las partculas alfa, emitidas por sustancias ra- dioactivas.En sus experimentos, un hax de partculas alfa se lanxaba contra una fina lmina de oro que dispersaba el hax. Se utilixaba despus un mtodo visual, con la ayuda de un microscopio o lupa, para registrar las partculas en una pantalla fluorescente de ZnS en la oscuridad . Los experimentadores conta- ban los destellos de las partculas en la pantalla. La instalacin se situaba al vaco, ya que las partculas alfa penetran en el aire, a presin normal, slo unos centmetros.Result que la mayora las partculas se dispersaban para ngulos muy pequenos entre fi-3 grados, siendo estas bien descritas por una distribucin

.fi. MODELO NUCLEA DEL TOMO3t

de Gauss. Sin embargo, se vieron casos de partculas alfa que se desviaban en grandes ngulos de hasta fi50. El nmero de estas ltimas era muy bajo, de 8OOO partculas como promedio slo fi se desviaba un ngulo mayor de 90.

2.1.3. Modelo plametario de utherfordLa partcula alfa puede ser obtenida como resultado de una doble ion- ixacin del tomo de helio, como ya haba sido establecido por el propio Rutherford utilixando la cmara de Wilson y otros medios. Esto y los resul- tados de los experimentos lo llev a la siguiente conclusin: cada dssperssn de grandes ngutos ocurre como resuttado de una nsca snteraccsn con un centro de fuersas cercano a ta partscuta atfa que se dsspersa. Este centro de fuersas conststu4e et ncteo det tomo cargado.La partcula alfa en si misma es tambin un ncleo, el del tomo de helio. Una carga distribuida uniformemente es incapax de suministrar la energa potencial electrosttica para desviar e incluso detener a las partculas alfa, lo cual contradice al modelo de Thomson. Adems, el modelo del pudn de pasas es incapax de describir los espectros atmicos, que veremos ms adelante.Rutherford propuso entonces una teora cuantitativa para la dispersin de las partculas alfa. Analicemos primeramente la velocidad de las partculas alfa, y demostremos que es posible una descripcin ctssca no retatssssta. En efecto, los ncleos radiactivos naturales (Z 8) emiten partculas alfa con energas entre 6 y 9 M eV .

fieV = fi, 6 fi0fi9C fiV = fi, 6 fi0fi9J =c 9M eV = fi, fi0fiXJTomando en cuenta que la masa de la partcula alpha es m = 6, 6393X fi0Xthg, y suponiendo que esta posee la energa cintica mxima posible obtenemos:,,fim

fma = msX , fi,=cvr = X, 0t898 fi0t

(.fi)

.X

cfi . v .

Por otra parte, la velocidad clsica no relativista es:

. Xfmat m

vc =

= X, 08Xt fi0

m

(.)

vLa velocidad relativista se diferencia ( vcvr fi00 %) tan slo un 0, fi8 % decla velocidad clsica .

38CAPTULO . LA ESTUCTUA DEL TOMO

Se puede usar una descripcin no relativista del fenmeno.La carga positiva del tomo, como su masa, deben estar bien concentradas en una pequena regin del espacio para poder explicar que una partcula con una velocidad de ~ fi0tm/ pueda ser desviada incluso en direccin contraria. Rutherford tom como interaccin entre la partcula alfa y el ncleo a la reputssn coutombsana. Esto por supuesto constituy una hsptesss, pues las partculas pueden acercarse al ncleo a una distancia de fi0fi4m, distancia ala cual la ley de Goulomb no estaba comprobada.Supongamos que la partcula es dispersada fi80, es decir, regresa en sentido contrario al de su aproximacin. En su punto ms cercano al ncleo, esta es totalmente frenada y su energa cintica f se transforma completa- mente en energa potencial coulombiana:

fif =mvX =X

XZeX

rO

=crO =

XZeX

f

(.3)

Para los valores de energa cintica media ~ t, 5 M eV , en el caso del oro (Z = t9), el valor de rO = 3, 03 fi0fi4m. Este valor constituye adems un estimado del radio del ncleo, el mismo resulta 4 rdenes menor que el radio del tomo ( ~ fi0fiOm).Rutherford supuso que la masa del ncleo era muy grande respecto a lade la partcula alfa, por lo cual el primero puede considerarse snmsst.Las lminas de metal utilixadas eran de un grosor del orden ~ fi0t fi06m. En tal caso, las dispersiones en grandes ngulos pueden considerarse como actos nscos, y no de varias dispersiones.La probabilidad de dispersin de la partcula alfa por los electrones es tambin muy baja para grandes ngulos, debido a su poca masa. La disper- sin en los electrones es importante para pequenos ngulos, al igual que las dispersiones mltiples en los ncleos. La teora de Rutherford es slo vlida para grandes desssacsones, donde se toma en cuenta el campo elctrico de un soto ncteo.Rutherford consider a las partculas cargadas como puntuates. El teore- ma de Irnchou (consecuencia del teorema de Gauss) plantea que un sistema en equilibrio electrosttico formado por cargas puntuales, es siempre inestable. De aqu se deduce que las partculas deben necesariamente encontrarse en mossmsento.

2.1.4. Frmula de la dispersim de utherfordEl problema a resolver es similar al problema de Kepler sobre el movimien- to de los planetas. Ambas fuerxas de interaccin son inversamente propor- cional al cuadrado de la distancia y son fuerxas centrales. La diferencia prin-

.fi. MODELO NUCLEA DEL TOMO39

Figura .: Trayectoria de la partcula .

cipal radica en que para los planetas, las fuerxas son de atraccin y por tanto las trayectorias pueden ser elpticas o hiperblicas. En nuestro caso, las fuerxas son repulsivas y slo son posibles tra4ectorsas hsprbotscas.En la figura ., b representa al parmetro de impacto, que se define como la distancia mnima a la se aproximara la partcula sino existiera el campo de fuerxas del ncleo.8 corresponde al ngulo de dispersin, es decir, el ngulo entre las direc- ciones asintticas de la partcula antes y despus de la dispersin.De la mecnica clsica conocemos que la variacin de la cantidad de movimiento de la partcula debe ser igual al impulso de la fuerxa:

donde

6p = pf ps =O

5 dt(.4)

ps: Momentum inicial de la partcula pf : Momentum final de la partcula No vamos a considerar prdidas en la excitacin de los tomos y menos an de los ncleos. La dispersin es por tanto etstsca, es decir, la partcula alfa no cambia su energa cintica. Tenemos:

smvX

m X

vf==

v = v

= v=

p = p

= p(.)

XXcsf

csf

XEsta condicin implica que se forme un tringulo issceles entre los vec- tores pf , ps y 6p, con ngulos en la base iguales a fi (v 8).Se cumplen entonces las siguientes igualdades:

6p

en 8

p=

Xen fi (v 8)

mv=

Xso 8

8=c6p = X mv en X

(.6)

Si proyectamos a 5 en cada instante de tiempo sobre la direccin de 6p,y tomamos en cuenta que slo esta componente determina la variacin de

4OCAPTULO . LA ESTUCTUA DEL TOMO

Figura .3: Tringulo issceles entre los vectores pf , ps y 6p. 5 en los ins- tantes inicial y final de la trayectoria.

6p, ya que la componente perpendicular (5 en 9) se compensa al sumar por toda la trayectoria, obtenemos:

6p =O

5 (t) so 9 (t) dt(.t)

donde 9 (t) corresponde al ngulo entre los vectores 5 y 6p.Pasemos de la variable temporal a la variable angular 9:

fifit = 0=c9 = X(v 8),t = =c9 = X(v 8)d9

d9 =

dt dt = w dt(.8)

donde w representa a la velocidad angular de la partcula alpha respecto al ncleo atmico.La fuerxa de Goulomb constituye una fuerxa central, por ende la cantidad de movimiento angular se conserva:J = [p r] = mrX w = sontante(.9) Para t = 0 conocemos el valor de esta constante,

vb

cJ = mvb = mwrX=w =rX

=cd9 =

vbdt(.fiO)rX

r2Sustituyendo el resultado .fiO en la ecuacin .t y recordando que la fuerxa de Goulomb es 5 = X7e2 , se obtiene:

6p =

XZeX

vb

2 (v8)

fifi

so 9 d9 =

ZeX

vb

8soX

(.fifi)

2 (v8)

.fi. MODELO NUCLEA DEL TOMO4fi

Figura .4: cot (8/X) vs 8

Igualando las relaciones .6 y .fifi obtenemos finalmente:

Xdonde f = mv2

sot

by U = X7e2 .

8mvXbXf X = XZeX = U

(.fi)

XDe la figura .4 podemos apreciar que para ngulos 8 pequenos, la sot 8 crece hacia el , mientras que se torna cero en v. Por consiguiente, de acuerdo con la ecuacin .fi, aumentos del parmetro de impacto b implican disminuciones del ngulo de dispersin 8, y slo para parmetros de impacto muy pequenos se logran valores de 8 apreciables (dispersiones hacia atrs).Si en lugar de una partcula alpha, se utilixa otro ncleo de carga Zn, la frmula .fi adopta la forma:

sot

8Xf=XU

,U =

ZnZeX b

(.fi3)

2.1.5. Frmula de utherford para la seccim diferem- cial eficaxEl rea efectiva de interaccin o, asociada a un ncleo en el fenmeno de la dispersin, es evidentemente vbX, que vamos a definir como la seccim eficax de dispersim. Toda partcula con parmetro de choque entre 0 y b ser dispersada con un ngulo igual o mayor que 8.

4CAPTULO . LA ESTUCTUA DEL TOMO

Figura .: Diferencial de ngulo slido

Despejando el parmetro de impacto b de la ecuacin .fi se tiene:

o(8) = vbX = v

. Z .X

m

. e .4 v

8sotX X

(.fi4)

o en el caso general de una partcula con carga Zn:

o(8) =

. ZnZeX .

XXf

8

X v sotX

(.fi)

Vamos a interesarnos ahora no por la seccin eficax sino por la seccin elemental, es decir, por el dsferencsat de la seccin eficax. Diferenciando .fi tenemos:

do =

. ZnZeX .

Xf

Xsot 8vX d8 =

XenX 8

. ZnZeX .

XXf

en 8

Xv Xen4 8

d8(.fi6)

Notemos que en la relacin anterior es slo importante su valor modular. A travs de cada seccin diferencial do se dispersan las partculas por el diferencial de ngulo d8, con el cual est asociado el diferencial de nguloslido dK, como muestra la figura .:

dSdK =rX

= Xv ren 8 rd8rX

= Xv en8 d8(.fit)

Sustituyendo .fit en la ecuacin .fi6 podemos obtener la relacin entre la seccin diferencial eficax do y el diferencial de ngulo slido dK:

do =

. ZnZeX .

Xf

dK

Xen4 8

(.fi8)

.fi. MODELO NUCLEA DEL TOMO43

En el caso de las partculas alpha:. ZeX .XdKdo =

(.fi9)

XXfen4 8

La ecuacin .fi9 es la conocida frmula de Rutheford para la seccim diferemcial eficax de dispersim.

2.1.6. Comprobacim experimemtal de la frmula de u- therfordLa comprobacin experimental de las ecuaciones .fi o .fi9 en los fen- menos atmicos resulta imposible directamente, slo se pueden comprobar consecuencsas estadsstscas de las mismas.Supongamos que el hax de partculas se lanxa sobre una lmina de espesor t y rea A, que contiene n tomos por unidad de volumen. El nmero total de tomos que existe en la lmina ser N = ntA. La probabilidad de que una partcula sea dispersada con un ngulo mayor que 8 viene dada por:

area e estsva ==area totat

N o(8) A

= nt o(8)(.O)

Evidentemente, la probabilidad de dispersim debe ser tambin igual a la relacin entre el nmero N(8) de partculas dispersadas con ngulo mayor que 8 y el nmero total de partculas incidentes NO:N(8)

N ==cN(8) = NO = nt o(8) NO(.fi)OEl diferencial de partculas dispersadas en un ngulo slido dK es entonces:

dN = nt NO do = nt NO

. ZnZeX .

Xf

dK

Xen4 8

(.)

XLa ecuacin . fue comprobada espersmentatmente. Se observ que para una seccin elemental dK, la magnitud dN en4 8 se mantena constante, sin aparecer dependencia del ngulo de dispersin 8.La demostracin experimental de la ecuacin . constituye una demostracin indirecta de la validex de la ley de Goulomb a cortas distancias. Experimentos de dispersin elstica, con ncleos ligeros acelerados, demuestran que exis- ten variaciones de la ley de Goulomb para distancias menores que fi0fi4m.A estas distancias deben ser consideradas las snteraccsones fuertes entre los nucleones.

44CAPTULO . LA ESTUCTUA DEL TOMO

2.1.Y.Dificultades del modelo plametarioLas frmulas obtenidas han sido el resultado de la aplicacin de la mecni- ca newtoniana y la repulsin de Goulomb, pilares de la fsica clsica.Sin embargo, de acuerdo con la electrodinmica clsica, toda carga en movimiento no uniforme genera un campo electromagntico variable, el cual a su vex comienxa a emitir ondas electromagnticas descritas por las ecuaciones de Maxwell. Nos referimos por supuesto a un movimiento acelerado, como es el caso de un electrn que gira alrededor del ncleo. Por ende, el electrn en el modelo planetario debe emitir continuamente ondas electromagnticas hasta perder toda su energia y caer inevitablemente en el ncleo. Es decir, el modelo planetario resulta snestabte.Gomo sabemos en la naturalexa existen los tomos de forma estable y por tanto algo falla en el modelo de Rutherford.Podra suponerse que la ley de Goulomb y otras leyes que definen al campo electromagntico no se cumplen para las partculas elementales a pe- quenas distancias, es decir, en el micromundo. Podemos incluso considerar a las fuerxas nucleares y comenxar a introducir otras fuerxas hipotticas. Sin embargo, cualesquiera que sean las fuerxas, de acuerdo a los principios gen- erales de la mecnica clsica, el espectro de emsssn del tomo debe estar formado por determinadas frecuencias fundamentales y sus correspondientes armnicos. El experimento demuestra que nada de esto sucede, por el con- trario, aparecen nuevas reglas expresadas en el principio combinatorio de Ritx.De esto se deduce que la mecnica y la electrodinmica clsicas no pueden explicar la existencia de los tomos como sistemas estables de ncleos y electrones, ni tampoco sus espectros de emisin. Esto slo puede ser resuelto en los marcos de una nueva mecnica cuntica.Resumen

La dispersin de las partculas alfa en grandes ngulos ocurre como resultado de una nica interaccin con un centro de fuerxas: el ncleo atmico.

La teora de Rutheford verifica la validex de la interaccin Goulombiana hasta distancias de ~ fi0fi4m, valor estimado del radio nuclear.

El modelo propuesto por Rutherford es completamente anlogo al que describe las rbitas de los planetas alrededor del Sol, de ah que reciba el nombre de modelo planetario. Las trayectorias de las partculas alpha son siempre hiperblicas.

.. TEOA DE BOH4

XLos grandes ngulos de dispersin satisfacen la relacin sot 8

mv2b

=,X7e2

conocida como la frmula de la dispersin de Rutherford (relacin entreel parmetro de impacto y el ngulo de dispersin).

Relacin entre la seccin diferencial eficax y el diferencial de ngulo slido: do = . 7e2 .X dK

2XTsen4 8

En el experimento se comprueba que para una seccin elemental diferen-

Xcial dK la magnitud dN en4 8

se mantiene constante.

De acuerdo con la mecnica clsica el modelo planetario es inestable. El electrn en su movimiento acelerado debe emitir ondas electromag- nticas que lo haran caer inevitablemente en el ncleo. La mecnica y la electrodinmica clsicas no pueden explicar la existencia de los tomos como sistemas estables de ncleos y electrones, ni tampoco sus espectros de emisin.

2.2.Teora de Bohr

Espectro del tomo de Hidrgeno. Principio de combinacin de Ritx. Trmino espectral. Serie espectral. Reglas de seleccin. Series espec- trales del tomo de Hidrgeno.

Postulados de Bohr.

Teora de Bohr para el tomo de un electrn. Principio de correspon- dencia. Radio de Bohr.

Experimento de Franck y Hertx.

Gondiciones de cuantixacin de Wilson y Sommerfeld.

Deficiencias de la Teora de Bohr.

El estudio de la estructura de los tomos condujo a Rutherford a proponer su modelo planetario e introducir el concepto del ncleo atmico. Rutherford desarroll una teora cuantitativa que lograba explicar la dispersin de las partculas alfa, encontrando la relacin entre el ngulo de dispersin y el parmetro de impacto; as como la frmula que relaciona la seccin eficax diferencial do con el ngulo de dispersin, relaciones que fueron comprobadas indirectamente en la prctica.

46CAPTULO . LA ESTUCTUA DEL TOMO

Figura .6: Serie de Balmer en el espectro visible del hidrgeno.

Sin embargo, el modelo planetario entra en contradiccin con la electrodi- nmica clsica que predice una cada inevitable del electrn en el ncleo, producto de la emisin de ondas electromagnticas.En los marcos de la fsica clsica tampoco se logra la descripcin de los espectros atmicos. Analicemos a continuacin las lneas espectrales emitidas por los tomos, centrando nuestra atencin en el caso del tomo de hidrgeno.

2.2.1. Espectros atmicosGuando se calienta un slido, este comienxa a emitir en un espectro con- tinuo. Sin embargo, en el caso de los gases, adems de aparecer un espectro continuo, se observan espectros formados por lneas y bandas.Los espectros de lneas se encuentran formados por lneas ms o menos finas, que siempre se distribuyen siguiendo alguna ley. En el caso de las bandas, cuando se utilixan instrumentos de alta precisin, se descubre que estn formados por lneas muy cercanas unas de otras.A principios del siglo XX, se determin que los espectros formados por tsneas son emitidos por los tomos o iones que conforman un gas, de ah que reciban el nombre de espectros atmicos. En el caso de las bandas, estas son emitidas por molculas y por esto se denominan espectros moleculares.El hidrgeno por constituir el sistema atmico ms simple ha sido el ms estudiado desde los inicios. Su espectro se puede observar al pasar una descarga elctrica en un tubo al vaco, en el cual las molculas de hidrgeno (H) estn disociadas en sus tomos.La posicin de las lneas espectrales se caracterixa por la longitud de onda Z o por su frecuencia r = s/Z. La frecuencia r es lo ms conveniente para expresar las leyes espectrales, pero para esto es necesario conocer con gran exactitud la velocidad de la lux s. A inicios de siglo, s no se conoca con gran exactitud, y no es hasta fi983 que se determina la velocidad s, incluso con ms exactitud que la propia r, gracias al desarrollo de la ptica no lineal . Por

.. TEOA DE BOH4t

esta raxn, los espectroscopistas (Rydberg fi89O) introdujeron el concepto de nmero de ondas r = fi/Z . En espectroscopa incluso se denota al nmero

misde ondas con la ma letra griega r.La principal ley de la espectroscopia fue establecida de forma emprica en fi9O8 por Ritx y se denomina primcipio de combimacim de itx. Este principio establece que el conjunto de lneas espectrales de un tomo, puede ser obtenido por medio de combinaciones de un nmero menor de magnitudes, denominadas trminos espectrales. Se cumple:

r = fnfi fn2(.3)

Los trminos son magnitudes positivas y se numeran de forma tal que, con el aumento de n la magnitud fn disminuye. Si se fija el valor de nfi, los valores de nX comienxan a partir de nfi fi. Se obtiene as, un conjunto de lneas denominado serie espectral. El conjunto de todas las series conforma el espectro de un tomo.

Supongamos se tienen dos nmeros de onda y a una misma serie espectral:

(rfiX > rfi3

) pertenecientes

rfiX

= fnfi fn2

,rfi3

= fnfi fn3

(.4)

De acuerdo con el principio de combinacin de Ritx, si combinamos las dos

ecuaciones anteriores podemos obtener el nmero de onda r3X

= rfiX

rfi3 =

fn3 fn2 perteneciente a otra serie espectral del mismo tomo.r3X

Sin embargo, la nueva lnea correspondiente a

puede no aparecer en el

espectro. Existen por lo tanto determinadas limitaciones en la combinacin de los trminos espectrales que constituyen las llamadas reglas de seleccim. Uno de los principales objetivos de la espectroscopia es establecer las expresiones analticas para los trminos espectrales. Para la mayora de los elementos estas son desconocidas. No obstante, para el hidrgeno y los meta-les alcalinos estas frmulas fueron bien establecidas.En fi88, Balmer formul la siguiente expresin analtica para los trminos del hidrgeno:Rfn = nX,n = fi, X, 3, ...(.)donde R = fi09 6tt, 5t6 smfi es la constante de Rydberg. La expresin. es vlida para todos los istopos del hidrgeno y para todos los iones monoelectrnicos, por supuesto, con otro valor de la constante R.Utilixando el principio combinatorio .3 se obtienen las siguientes series que llevan el nombre de los cientficos que las descubrieron:

48CAPTULO . LA ESTUCTUA DEL TOMO

SerieNmero de ondaEspectroano

Lymanr = R .fi fi . n = X, ...n2ultravioletafi9fi6

Balmerr= R . f iX2 f i . n2n = 3, ...visible yultravioleta cercanofi885

Paschenr= R . f i32 f i . n2n = , ...infrarrojofi908

Brackettr= R . f i42 f i . n2n = 5, ...infrarrojofi9XX

Pfundr= R . f i2 f i . n2n = 6, ...infrarrojofi9X

Es interesante senalar que la serie de Paschen fue predicha por Ritx unos meses antes de ser descubierta en el mismo fi9O8. Las ltimas series se pueden obtener combinando las primeras, por ejemplo, la serie de Bracketl se puede obtener combinando los nmeros de onda de la serie de Paschen.La longitud de onda mxima de la serie de Lyman corresponde a n = X,

3y es igual a Z = 4 Rfi = fiXfi, 5685 nm. Se denomina lmea de resomamciadel hidrgemo.Las fronteras de cada serie se obtienen para n = . El nmero de onda

=lmite para la serie de Balmer es por ejemplo r = R/ = Xt fi9, 39 smfi. A este le corresponde la longitud de onda Z36, t0536 nm. En este lmitelas lneas se pegan, y la separacin como la intensidad tienden a cero.

2.2.2. Postulados de BohrLas leyes de la mecnica clsica en general describen los procesos con- tinuos. Gomo acabamos de observar, a los espectros atmicos les es propia la discomtimuidad, que debe estar reflejada por las leyes fsicas que los de- scriban.La discontinuidad de los espectros tomicos fue esclarecida por Niels Bohr en fi9fi3, quien introdujo la discretixacin en el tomo, similar a como Planck y Einstein la propusieron en los fenmenos luminosos.El formul los dos postulados siguientes:

I) El tomo, u otro sistema atmico, puede encontrarse no en todos los es- tados que admite la mecnica clsica, sino solamente en aquellos carac- terixados por determinados valores de energa ofi, oX, o3, .... En estos estados cunticos o discretos, a pesar de la electrodinmica clsica, el tomo no irradia energa, es decir, constituyen estados estacionarios.

Este postulado se conoce como el postulado de los estados esta- ciomarios com valores discretos de emerga.Bohr asumi el modelo planetario propuesto por Rutherford a partir de la mecnica clsica, pero restringi los valores posibles de energa. El no

.. TEOA DE BOH 49

niega la existencia de niveles de energa continuos, slo que en tal caso, los electrones y el ncleo no forman un estado enlaxado; y los electrones pueden tener movimientos infinitos. En el caso de tomos o molculas, que tienen sus partculas enlaxadas y por tanto con movimiento finito, el postulado fi exige la discretixacin o cuantixacin de la energa.Bohr consideraba el movimiento de los electrones con las mismas carac- tersticas de la mecnica clsica: trayectorias con determinadas coordenadas y cantidades de movimiento para cada instante t, cuestin que l mismo negara despus en la mecnica cuntica.

II) En el trnsito de un estado estacionario de mayor energa on2 a uno de menor energa onfi , la energa del tomo vara en la magnitud on2 onfi . Si este cambio corresponde a la emisin de un fotn su energa viene dada por la expresin hr = on2 onfi . Esta ltima relacin se conoce como regla de frecuemcias de Bohr.

Esta relacin es tambin vlida para la absorcin, por supuesto el tomo pasara del estado con menor energa onfi a otro de mayor energa on2 .De acuerdo con el segundo postulado, el sistema atmico pasa de unestado estacionario a otro por medio de saltos o cuamtos. u ocurre en el tiempo del salto? A esta pregunta la teora de Bohr no responde, lo que habla de sus insuficiencias, de ser una teorsa sncompteta.Pueden ocurrir procesos sin la emisin de cuantos de lux, es decir, el sistema puede pasar de un estado a otro producto, por ejemplo, del choque con otra partcula. En este caso la energa se gana o se pierde en forma de calor.El postulado II explica el principio de combinacin de Ritx. En efecto,

rfion2onfion

hr = on2 onfic = Z =

sh

shcfn = sh(.6)

Los trminos espectrales se determinan por los niveles energticos del tomo. El postulado II explica tambin porque se observan en la emisin todas las series espectrales antes vistas, y sin embargo, en la absorcin slo se puedever la serie de Lyman.Al excitarse un tomo, este alcanxa uno de los niveles superiores. Ms tarde, el tomo emite energa pasando a los niveles inferiores, hasta llegar al de mnima energa. Lgicamente, un tomo no emite energa si se encuentra en su estado fundamental, es decir, el de menor energa. Por lo tanto, en la absorcin la serie de Lyman se ve claramente, y las otras series corres- pondientes a niveles superiores de partida se ven mexcladas con las series espectrales de emisin.

OCAPTULO . LA ESTUCTUA DEL TOMO

2.2.3. Teora de Bohr para el tomo de um electrmLa discretixacin de los valores de energa en un tomo ofi, oX, o3, .... se acostumbra a llamar cuamtixacim de la emerga. Bohr propuso la regla para cuantixar al tomo de hidrgeno o a un tomo del tipo hidrogenoideo, es decir, con un slo electrn.El consider el modelo planetario de Rutherford y supuso que el electrn se mova por rbitas csrcutares.Teniendo en cuenta la forma propuesta por Balmer para los trminosespectrales ., y la relacin de estos con las energas estacionarias .6, se tiene:

on =

shRnX(.t)

El nmero entero n se denomina mmero cumtico primcipal.Gon el aumento de n, como se dijo anteriormente, la distancia entre las lneas y por tanto entre los niveles de energa desaparece, cumplindose que tiende a cero cuando n . El espectro se torna por ende continuo. Se espera entonces que en el lmite, el sistema cuntico se comporte como el sistema clsico. Esta posicin fue enunciada por Bohr y se conoce como primcipio de correspomdemcia:Gas predsccsones de ta teorsa cuntsca sobre et comportamsento de un sss tema fsssco corresponden a tas predsccsones de ta teorsa ctssca en et tsmste, en et cuat, tos nmeros cuntscos toman satores mu4 grandes.El principio de correspondencia es fcil de verificar en la teora de Plank sobre la emisin del cuerpo negro. Segn obtuvo Plank, la energa media de los osciladores viene dada por la ecuacin:

oOo =oOehT fi

hr=hvehT fi

(.8)

hTPara una temperatura dada f, si pasamos al lmite cuando r 0, el valor del exponente en el denominador de la expresin anterior puede ser sustituido por fi hr , y el valor medio de la energa se transforma en o = hf , resultado clsico que se obtiene del teorema estadstico sobre la distribucin uniforme de la energa cintica por los grados de libertad en el oscilador. Por otro lado, la frecuencia tiende a cero cuando el valor medio del nmero cuntico del oscilador tiende a infinito:

on = n hrco = n hrcr 0sn Verificndose as el principio de correspondencia en el lmite de las fre- cuemcias bajas.

.. TEOA DE BOHfi

Retornemos al problema de la cuantixacin de la energa en el tomo mo- noelectrnico, y apliquemos el principio de correspondencia a las frecuencias que emite este sistema.De acuerdo con la electrodinmica clsica, la lux que irradia el tomo tiene una frecuencia igual a la frecuencia de rotacin del electrn en su rbi- ta circular. Este resultado se comprueba en el experimento para frecuencias bajas tambin, correspondientes a las ondas radiales. Por lo tanto, los re- sultados de la teora cuntica y clsica deben coincidir segn el principio de correspondencia cuando r 0.Gonsideremos inicialmente que el ncleo es infinitamente pesado en com- paracin con la masa de los electrones. Tomemos un sistema de referencia, en el cual, el ncleo permanecer snmsst en su centro.Guando el electrn rota con una frecuencia angular w en un radio r, se cumple que la fuerxa coulombiana constituye la fuerxa centrpeta, entonces:

mewXr =

ZeX rX

cw =

ZeX mewrX r

ZeX=Jr

(.9)

donde J es el momentum angular orbital del electrn .La energa total del sistema, en este caso del electrn, es la suma de su energa cintica ms su energa potencial:

fi

Xo =merXwX

ZeX r

ZeX=Xr

ZeXr

ZeX

=Xr

(.3O)

Notemos que el valor de referencia, U = 0, en la energa potencial se ha tomado en r = . Slo son posibles los valores negativos de la energa potencial.Gombinando las ecuaciones .9 y .3O se obtiene de la teorsa ctssca que:

Xow = J(.3fi)Por otro lado, los niveles de energa del tomo deben satisfacer la ecuacincuntsca .t, que conlleva a la expresin:

on nX = sontante(.3)Para grandes valores de n, las variaciones 6n son pequenas, y se cumple la relacin:

6on nX Xn 6n on = 0(.33)

CAPTULO . LA ESTUCTUA DEL TOMO

De acuerdo con el segundo postulado de Bohr, la variacin de energa6on en el proceso de emisin es igual a hwn. De .33 obtenemos:w =Xon 6n(.34)n nhhLa electrodinmica clsica establece que la frecuencia ms pequena wn =Xon/nh que se emite corresponde a 6n = fi, denominada frecuencsa prsncs pat. Los valores 6n = X, 3, .. corresponden a los llamados armnscos, que son siempre mltiplos de la frecuencia principal. Por tal raxn nos limitaremos en lo adelante a 6n = fi.Tomando en cuenta que en esta xona el espectro se torna continuo (wn w, on o), y de acuerdo con el principio de correspondencia, debemos hacer coincidir las ecuaciones .3fi y .34, de donde se obtiene la conocida regla de cuamtixacim de Bohr:Jn = nh(.3)La teora de Bohr conduce a que el momentum angutar orbstat del electrn esta cuantssado, al menos para valores grandes de n.Tomando en consideracin la ecuacin .9 se tiene:

XJX = .mewrX.

= meZeXrcr =

JX

meZeX

(.36)

lo cual implica la cuantixacin tambin de los radsos de tas rbstas, de acuerdo con .3:nXhhX

ern = m ZeX(.3t)El radio del electrn en la rbita correspondiente al estado fundamental del tomo de hidrgeno (n = fi, Z = fi) se denomina radio de Bohr, y su valor correspondiente es

hhX

erB = m eX = 0, 5X9fit fi0

fiO

m(.38)

En el orden de magnitud rB coincide con las dimensiones del tomo, obtenidas en la teora cintica.Utilixando ahora la ecuacin .3O y sustituyendo a r, se obtiene la regla para la cuantssacsn de ta energsa:

Xme (ZeX)

on =

XnXhhX(.39)

A partir de .39 se puede hacer una valoracin de la constante de RydbergR. De la ecuacin .t, tomando Z = fi, se obtiene:

R =

onnX=sh

XvXmee4fish3= fi09 t3t, 309 sm

(.4O)

.. TEOA DE BOH3

El subndice se ha agregado a la constante de Rydberg para destacar que es el resultado terico obtenido con un ncleo de masa snflnsta.El valor experimental es R = fi09 6tt, 5t6 smfi en el hidrgeno. Desde el punto de vista espectroscpico la diferencia es grande. Para mejorar este resultado es necesario considerar la masa del ncleo M. En tal caso, situando el sistema de coordenadas en el centro de masa del tomo tenemos para el momentum angular del sistema ncleo-electrn:

J = rXw = meMme M

rXw(.4fi)

se denomina masa reducida del