FisicaMatematicaA - cdm.unimo.itcdm.unimo.it/home/matematica/sacchetti.andrea/FisicaMatematicaA.pdf · 1 Calcolo Vettoriale 1.1 Operazioni sui vettori 1.1.1 Vettori Nello spazio R3

Fisica Matematica A

1 Marzo, 2014

Sommario

1 Calcolo Vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Operazioni sui vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Rappresentazione cartesiana dei vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.5 Prodotto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.6 Derivata di vettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.7 Appendice: curve nello spazio e terna intrinseca, richiami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1 Cinematica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Velocita del moto di un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Accelerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.3 Classificazione dei moti in base alla velocita ed alla accelerazione . . . . . . . . . . . . . . 142.1.4 Moti piani in coordinate polari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.5 Esempi di moti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.1 Sistemi rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Moti traslatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Moti rotatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.4 Moti rototraslatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.5 Moti rigidi generali ed atti di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.6 Composizione di atti di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.7 Angoli di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 Velocita e accelerazione assolute e relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2 Derivata vettoriale rispetto ad assi in moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.3 Precessioni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

VI Sommario

2.3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Cinematica dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Sistemi olonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.2 Sistemi anolonomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.3 Spostamenti infinitesimi reali e virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.4 Sistemi a legami unilaterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Generalita sui sistemi e grandezze meccaniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2 Leggi di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.3 Forze fittizie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.4 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.5 Equilibrio di un punto materiale e legge del moto incipiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.1.6 Forze posizionali e forze conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.7 Lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.8 Lavoro ed energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Geometria delle masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.1 Densita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2.2 Baricentro di un sistema discreto di punti materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.3 Baricentro di un corpo, di una superficie e di una linea materiale . . . . . . . . . . . . . . 613.2.4 Momenti di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.5 Ellissoide d’inerzia e assi principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.6 Matrice d’inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.7 Ellissoide centrale di inerzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 Statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1 Statica del punto e attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.1.1 Attrito per un punto appoggiato su di una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.1.2 Punto vincolato a muoversi su di una superficie o su una curva. . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Equazioni cardinali della statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.1 Commento sui sistemi di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2.2 Vettori applicati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2.3 Sistemi di vettori applicati riducibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.4 Sistemi equivalenti di forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.5 Condizioni necessarie per l’equilibrio di un sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.6 Postulato caratteristico dei solidi e sufficienza delle equazioni cardinali della

statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.7 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.2.8 Equilibrio di solidi appoggiati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.3.1 Principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Sommario VII

4.3.2 Condizione generale d’equilibrio. Relazione simbolica della Statica . . . . . . . . . . . . . 914.3.3 Statica dei sistemi olonomi: condizioni di equilibrio in coordinate lagrangiane . . . 934.3.4 Complemento: metodo dei moltiplicatori di Lagrange e calcolo delle reazioni . . . . 954.3.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.3.6 Calcolo delle reazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4 Nozione di stabilita dell’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4.1 Stabilita per un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4.3 Stabilita per un sistema meccanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.5 Statica relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.5.1 Nozione di equilibrio relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.5.2 Casi particolari notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.5.3 Peso e attrazione terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5 Dinamica: equazioni differenziali del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.1 Dinamica del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.1.1 Dinamica del punto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.1.2 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.1.3 Dinamica del punto soggetto a forze posizionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.1.4 Comportamento dell’attrito durante il moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.1.5 Moto di un punto su una superficie priva di attrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.1.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2.1 Lavoro elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2.2 Corpo rigido libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.2.3 Lavoro elementare in coordinate lagrangiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2.4 Lavoro virtuale e identita notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.2.5 Energia cinetica o forza viva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.2.6 Quantita di moto e momento della quantita di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.2.7 Quantita di moto e momento delle quantita di moto di un corpo rigido . . . . . . . . . 1195.2.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.3.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.3.2 Teoremi della quantita di moto e del momento delle quantita di moto. Equazioni

cardinali della Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.3.3 Equazioni cardinali del moto di un sistema qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3.4 Principio di d’Alembert e relazione simbolica della Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3.5 Equazioni differenziali del moto di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane 1285.3.6 Dimostrazione della ”sufficienza” delle equazioni cardinali della Dinamica . . . . . . 1295.3.7 Equazioni del Lagrange: seconda forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.3.8 Funzione Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

VIII Sommario

6 Cenni di meccanica dei continui deformabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.1 Un caso particolare: statica dei fili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.1.1 Fili flessibili ed inestendibili. Definizione e postulato caratteristico . . . . . . . . . . . . 1336.1.2 Condizioni di equilibrio. Equazione indefinite dell’equilibrio dei fili. . . . . . . . . . . . 1346.1.3 Complementi: filo soggetto ad un sistema di forze parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.1.4 Complementi: filo teso su una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.2 Cinematica dei continui deformabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.2.2 Punto di vista lagrangiano ed euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.2.3 Equazioni di continuita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.2.4 Spostamenti e piccole deformazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2.5 Analisi dello strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2.6 Dilatazione cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.3 Statica dei continui deformabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.3.1 Forze applicate e sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.3.2 Condizioni di equilibrio per i continui deformabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.3.3 Formule di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.3.4 Equazioni indefinite dell’equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1526.3.5 Le equazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7 Esercizi tratti da prove d’esame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.1 Cenni sull’attrazione Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

A.1.1 Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175A.1.2 Attrazione di una superficie sferica σ omogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176A.1.3 Attrazione di una corona sferica omogenea di raggi R1 ed R2 (R1 > R2 ≥ 0) . . . . 177

1

Calcolo Vettoriale

1.1 Operazioni sui vettori

1.1.1 Vettori

Nello spazio R3 due segmenti orientati si dicono equipollenti

Fig. 1.1. I due segmenti orien-tati di estremi A, B e C, D sonoequipollenti e definiscono entrambilo stesso vettore v = B −A.

quando hanno la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso.La relazione di equipollenza e una relazione di equivalenza (valgonole proprieta riflessiva, simmetrica e transitiva). Sia V l’insieme deisegmenti in R

3, modulo la relazione di equipollenza. I suoi elementi sichiamano vettori e sono denotati nel seguente modo v. Definiremolunghezza (o modulo), direzione e verso di un vettore come quellidi uno qualunque dei suoi rappresentanti. Quindi, due vettori sonouguali se hanno stessa lunghezza, direzione e verso. Il vettore nulloe rappresentato da un qualunque segmento di lunghezza zero e vienedenotato come 0. Usualmente il modulo di un vettore v si denotacome v o anche |v|. Scriveremo anche v = B−A dove A e B sono gliestremi di un qualunque segmento orientato rappresentante v.

Fig. 1.2. Dati due vettori u e v la loro somma u + v e il vettore rappresentato dal segmento orientato ottenuto facendocoincidere il secondo estremo del primo vettore coincidente con il primo estremo del secondo vettore.

2 1 Calcolo Vettoriale

Definizione 1.1. Uno spazio vettoriale su R e un insieme non vuoto V in cui sono definite dueoperazioni, l’addizione e la moltiplicazione per un numero reale, tali che:

i. l’addizione e associativa e commutativa;ii. esiste un elemento neutro 0 ∈ V per l’operazione di addizione, cioe tale che u + 0 = 0 + u = u

per ogni u ∈ V;iii.per ogni u ∈ V esiste l’elemento opposto v ∈ V tale che u+ v = 0;iv. esiste un elemento neutro 1 ∈ R per l’operazione di moltiplicazione, cioe tale che u1 = 1u = u

per ogni u ∈ V;v. sussiste la proprieta distributiva del prodotto rispetto alla somma:

λ(u+ v) = λu+ λv, ∀u,v ∈ V , ∀λ ∈ R.

L’insieme V puo essere strutturato come spazio vettoriale sui reali introducendo in modo naturalela usuale somma tra segmenti e il prodotto esterno come segue. Dati due vettori u = B − A ev = C − B rappresentati da due segmenti avente il secondo estremo del primo vettore coincidentecon il primo estremo del secondo vettore; si definisce somma tra i due vettori il vettore u + v =(B−A)+(C−B) = C−A. Dato un vettore u ed un numero reale λ si definisce il prodotto esternoil vettore λu avente la stessa direzione di u, verso concorde con il verso di u se λ > 0 altrimentiverso opposto, e modulo uguale al numero reale positivo |λ|u. Il vettore nullo coincide con il vettoreneutro.

1.1.2 Rappresentazione cartesiana dei vettori

Considerato un sistema di coordinate cartesiani ortogo-

j

i

k

vz

vy

vx

Fig. 1.3. Dato un sistema di coordinate cartesianiortogonali (O;x, y, z), associato ai versori ı, e k,ogni vettore v si puo esprimere attraverso le suecomponenti vx, vy e vz.

nali (O; x, y, z), tali da costituire una terna destra, intro-

duciamo i versori ı, e k (talvolta anche denotati i, j ek) aventi verso e direzione concordi con gli assi coordinati.I versori fondamentali costituiscono una base ortonormaledello spazio vettoriale V e ad ogni vettore v corrisponde inmodo univoco una terna di numeri reali vx, vy, vz, dette

componenti del vettore, tali che v = vxı + vy + vzk. Eimmediato osservare che due vettori coincidono se, e solose, coincidono le componenti. Inoltre la somma tra vettoried il prodotto esterno puo essere calcolato attraverso le lorocomponenti:

u+ v = (uxı + uy + uzk) + (vxı + vy + vzk)

= (ux + vx)ı + (uy + vy ) + (uz + vz)k

λv = λ(vxı + vy + vzk) = (λvx)ı + (λvy ) + (λvz)k

1.1.3 Prodotto scalare

Definizione 1.2. Dati due vettori u e v si definisce prodotto scalare tra i due vettori la grandezzascalare

u · v = uv cos(α)

dove α e l’angolo formato dai due vettori.

1.1 Operazioni sui vettori 3

E immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alle seguenti proprieta

— commutativa: u · v = v · u— distributiva: (u+ v) ·w = u ·w + v ·w— u · v = 0 ⇔ (u = 0) ∨ (v = 0) ∨ (u ⊥ v)

— ı · ı = · = k · k = 1 e ı · = ı · k = · k = 0— se ux, uy, uz e vx, vy, vz sono le componenti dei due vettori u e v rispetto ad una base assegnata

allora il prodotto scalare si puo calcolare come

u · v = uxvx + uyvy + uzvz

In particolare le componenti del vettore u sulla base sono date da

ux = u · ı, uy = u · e uz = u · k— il modulo di un vettore viene calcolato come

u =√u · u =

√u2x + u2y + u2z

1.1.4 Prodotto vettoriale

Definizione 1.3. Dati due vettori u e v si definisce prodotto vettoriale tra i due vettori il vettore

w = u× v

ortogonale ad entrambi, avente verso tale che la terna u,v,w sia destra e modulo

|u× v| = uv| sin(α)|dove α e l’angolo formato dai due vettori.

Fig. 1.4. Il prodotto vettoriale tra due vettori u e v e un vettore ortogonale ad entrambi avente modulo coincidente con l’areadel parallelogramma di spigoli u e v.



— anti-commutativa: u× v = −v × u— distributiva: (u+ v)×w = u×w + v ×w— u× v = 0 ⇔ (u = 0) ∨ (v = 0) ∨ (u ‖ v)

— ı× ı = × = k× k = 0 e ı× = k, × k = ı e k× ı = — se ux, uy, uz e vx, vy, vz sono le componenti dei due vettori u e v rispetto ad una base assegnata

allora il prodotto vettoriale si puo calcolare come

u× v =

∣∣∣∣∣∣∣

ı kux uy uzvx vy vz

∣∣∣∣∣∣∣= (uyvz − uzvy )ı + (uzvx − uxvz ) + (uxvy − uyvx)k

— il prodotto vettoriale tra i due vettori u e v ha modulo coincidente con l’area del parallelogrammadi spigoli definiti dai due vettori e avente entrambi il primo estremo in comune

— Si osserva che non vale la proprieta associativa, infatti, ad esempio,

−k = (ı× )× 6= ı× (× ) = 0

A partire dall’operazione di prodotto vettoriale e possibile definire la operazione di divisione travettori: dati due vettori u e v ortogonali esiste almeno un vettore w tale che u×w = v. Infatti,introduciamo la terna ortonormale destra (ı, , k) dove ı e k sono scelti nel seguente modo ı = u

ue

k = v

v, e dove viene determinato in modo tale che la terna ı, e k sia destra: = k × ı = v×u

uv. Di

conseguenza

v = vk = vı× = vu

u×[v × u

uv

]= u×w

dove

w =v × u

u2+ hu

per ogni h ∈ R.

1.1.5 Prodotto misto

Definizione 1.4. Dati tre vettori u, v e w si definisce prodotto misto tra i tre vettori la grandezzascalare

u× v ·wdove le operazioni da eseguire sono, nell’ordine, il prodotto vettoriale e poi il prodotto scalare.


— il prodotto misto coincide con il volume, con segno, del parallelepipedo di spigoli u, v e w. Ilvolume viene preso con segno positivo se la terna dei tre vettori u, v e w e destra, altrimenti vienepreso con segno negativo

— una rotazione dei tre vettori mantiene lo stesso carattere; quindi il prodotto misto soddisfa allaseguente propreita

u× v ·w = v ×w · u = w × u · v


Fig. 1.5. Il prodotto misto tra tre vettori u, v e w e uguale al volume, preso con segno opportuno, del parallelepipedo di spigoliu, v e w.

— il prodotto misto e nullo se, e solo se, almeno un vettore e nullo oppure i tre vettori sono complanari:

u× v ·w = 0

m(u = 0) ∨ (v = 0) ∨ (w = 0) ∨ (u, v, w sono complanari)

— se ux, uy, uz, vx, vy, vz e wx, wy, wz sono le componenti dei tre vettori u, v e w rispetto ad unabase assegnata allora il prodotto misto si puo calcolare come

u× v ·w =

∣∣∣∣∣∣∣

ux uy uzvx vy vzwx wy wz

∣∣∣∣∣∣∣

1.1.6 Derivata di vettori

Consideriamo una funzione a valori vettoriali

u : R → Vche ad ogni valore della variabile indipendente t ∈ R associa un vettore u(t) ∈ R. Assegnare lafunzione u(t) equivale, dato un sistema di riferimento fisso, ad assegnare le tre funzioni scalari ux(t),uy(t) e uz(t) tali che

u(t) = ux(t)ı + uy(t) + uz(t)k.

Identificando poi il vettore u con il punto P tale che u = P −O, allora il vettore u(t) dipendentedalla variabile t si identifica con il punto P (t) individuato dalle coordinate x(t), y(t) e z(t) tali che


P (t)−O = x(t)ı + y(t) + z(t)k.

Si definisce derivata del vettore u(t) il vettore

limh→0

u(t+ h)− u(t)

h

assumendo che tale limite esista finito. In virtu della linearita del limite segue che tale derivata esistese, e solo se, le tre funzioni ux(t), uy(t) e uz(t) sono derivabili e inoltre vale la seguente relazione:

du(t)

dt=dux(t)

dtı +

duy(t)

dt +

duz(t)

dtk.

In modo elementare seguono le seguenti proprieta:

- Regola di Leibniz: dati due funzioni a valori vettoriali u(t) e v(t) e data una funzione f(t) a valorireali (supponendole tutte derivabili) segue che

d[f(t)u(t)]

dt=df(t)

dtu(t) + f(t)

du(t)

dtd[u(t) · v(t)]

dt=du(t)

dt· v(t) + u(t) · dv(t)

dtd[u(t)× v(t)]

dt=du(t)

dt× v(t) + u(t)× dv(t)

dt

- La derivata di un vettore u(t) di modulo costante (ad esempio un versore) e normale al versorestesso:

se |u(t)| = costante ⇒ du(t)

dt⊥ u(t). (1.1)

La dimostrazione di questa proprieta e immediata, infatti ricordando che |u| =√u · u allora

derivando ambo i membri della uguaglianza

costante = u · u

segue che

0 =du(t)

dt· u(t) + u(t) · du(t)

dt= 2u(t) · du(t)

dt

e da qui la tesi.

1.1.7 Appendice: curve nello spazio e terna intrinseca, richiami

Una curva γ nello spazio R3 puo essere definita mediante la sua rappresentazione parametrica

γ = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [t1, t2]

dove x(t), y(t) e z(t) sono tre funzioni assegnate che supporremo sufficientemente regolari, tipicamenteassumiamo che esse siano di classe C2 e che inoltre sia


.

.

t

n

Fig. 1.6. Sulla traiettoria γ e possibile introdurre un’origine O′ e un verso di percorrenza positivo; l’ascissa curvilinea s definiscein modo univoco la posizione di un punto P su γ. IL versore tangente t ha direzione tangente alla curva e verso concorde conil verso positivo della curva; il versore normale n giace nel piano osculatore ed e diretto verso la parte interna della curva. Ildisco osculatore giace nel piano osculatore, il suo centro appartiene alla retta normale e il suo raggio coincide con il raggiodi curvatura ρc; tra tutti i dischi tangenti alla curva in P il disco osculatore e quello che meglio approssima, localmente, latraiettoria γ.

[dx

dt

]2+

[dy

dt

]2+

[dz

dt

]26= 0.

Un caso particolare e il caso, ben noto, di una curva definita nel piano attraverso la rappresen-tazione cartesiana

x→ y = f(x), x ∈ [x1, x2]

dove f(x) e una funzione assegnata e dove [x1, x2] e un intervallo assegnato. In questo caso la curvaγ consiste in

γ =(x, y) ∈ R

2 : x ∈ [x1, x2], y = f(x)

Questo caso, infatti, puo essere visto come un caso particolare del precedente in cui x = t, y = f(t)e z = 0.

Sulla curva γ si puo introdurre un’origine O1 ed un verso di percorrenza positivo, si puo inoltrecalcolare la lunghezza s detta ascissa curvilinea, con segno, dell’arco di curva congiungente O1 conun generico punto P (t) di coordinate (x(t), y(t), z(t)) attraverso l’integrale

s = s(t) = ±∫ t

t0

√√√√[dx(t′)

dt

]2+

[dy(t′)

dt

]2+

[dz(t′)

dt

]2dt′

dove t0 e il valore del parametro corrisponde a O1 e dove prenderemo il segno +, rispettivamente −,se P segue, rispettivamente precede, O1 secondo il verso assegnato sulla curva. La funzione t→ s(t)


e invertibile e, attraverso la sua funzione inversa, t = t(s) e possibile definire la rappresentazioneparametrica normale

γ = (x(s) = x[t(s)], y(s) = y[t(s)], z(s) = z[t(s)]), s ∈ [s1 = s(t1), s2 = s(t2)]

tale che[dx

ds

]2+

[dy

ds

]2+

[dz

ds

]2= 1.

Denotando con P (s) il punto di coordinate (x(s), y(s), z(s)) e con P (s)− O = x(s)ı + y(s) + z(s)ksi puo dimostrare che la derivata

t(s) =dP (s)

ds=dx

dsı +

dy

ds +

dz

dsk

e un versore, detto versore tangente, tangente alla curva e diretto secondo il verso assegnato. Laderivata del versore tangente, in virtu di quanto dimostrato nella (1.1), e un vettore ortogonale alvettore t e si scrive come

dt

ds=

1

ρcn (1.2)

dove ρc e un numero reale positivo, detto raggio di curvatura, e dove n e un versore, detto versorenormale. Dalla (1.2) segue che e possibile determinare ρc e n attraverso le formule

ρc =

∣∣∣∣∣dt

ds

∣∣∣∣∣

−1

e n = ρcdt

ds.

1.1.8 Esercizi

Esercizio 1.1: Siano dati i vettori

a = ı + 2 + k, b = −ı + k, c = 3ı + − k,

si domanda:

i. calcolare il prodotto scalare a · b;ii. calcolare il prodotto vettoriale d = a× b;iii. calcolare il modulo dei vettori a e b e, essendo questi ortogonali, calcolare il modulo del loro

prodotto vettoriale per mezzo della formula

|a× b| = ab sinα,

verificare poi tale risultato calcolando il modulo del vettore d;iv. calcolare i prodotti misti a · b× c e a× b · c e verificare che sono uguali;v. verificare la proprieta distributiva per i vettori a, b, c:

a× (b+ c) = a× b+ a× c;


vi. verificare che non vale la proprieta associativa per i vettori a, b, c:

a× (b× c) 6= (a× b)× c;

vii.essendo a e b ortogonali, trovare un vettore e tale che:

b = e× a.

Esercizio 1.2: Siano dati i vettori:

a = 2ı + 3− k, b = −2ı + − k,

si domanda:

i. dimostrare che sono tra loro ortogonali;ii. trovare un vettore c0 tale che:

b = c0 × a;

iii. trovare un vettore c di modulo uno tale che:

b = c× a.

Esercizio 1.3: Determinare in R3 l’equazione della retta individuata da 2 punti P1 e P2 distinti.

Esercizio 1.4: Determinare in R3 l’equazione del piano individuato da 3 punti P1, P2 e P3 distinti

e non allineati.

Esercizio 1.5: Determinare in R3 l’equazione del piano tangente ad una superficie regolare, di

equazione f(x, y, z) = 0 per data f : R3 → R, in un suo punto P0.

Esercizio 1.6: Introdurre una rappresentazione parametrica normale

s→ (x(s), y(s), z(s)) , [x′(s)]2 + [y′(s)]2 + [z′(s)]2 ≡ 1,

della circonferenza di raggio R e poi determinarne il raggio di curvatura mediante la formula

ρc =1√

[x′′(s)]2 + [y′′(s)]2 + [z′′(s)]2dove ′ =

d

ds.

Esercizio 1.7: Data una curva regolare γ, contenuta nel piano (O; x, y) e avente rappresentazionecartesiana y = f(x), per una f : R → R data, provare che il raggio di curvatura puo essere determinatodalla formula

ρc =

[1 +

(dfdx

)2]3/2

∣∣∣d2fdx2

∣∣∣;

Facendo poi uso di questa formula calcolare nuovamente il raggio di curvatura della circonferenza diraggio R.

2

Cinematica

Si dice Cinematica quella parte della Meccanica che studia e discute in che modo, durante il moto,variano in rapporto al tempo i caratteri geometrici delle figure o sistemi di punti, concepiti comerigidi oppure deformabili.

La nozione di moto, come quella di quiete, e di natura relativa: cioe l’asserire che un dato corpoC e in moto o in quiete ha senso preciso solo in quanto il corpo C si intende riferito ad un altrodeterminato corpo C ′ e si constati che la posizione di C rispetto a C ′ va variando nel tempo o,rispettivamente, si conserva inalterata. Percio in ogni considerazione cinematica, o piu in generalemeccanica, e necessario stabilire quale sia l’ente di riferimento.

2.1 Cinematica del punto

Consideriamo un punto P in moto rispetto ad una certa terna di assi cartesiani ortogonale (O; x, y, z)destra. Ad ogni istante t dell’intervallo di tempo in cui e definito il moto, il punto P occupa, rispettoalla terna (O; x, y, z), una determinata posizione. Quindi, in questo intervallo risulta definito comeun punto variabile in funzione del tempo:

P −O = P (t)−O. (2.1)

Questa equazione geometrica equivale alle equazioni scalari

x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [t0, t1], (2.2)

nelle tre funzioni del tempo, che assumeremo in seguito di classe C2, che designano le coordinate dellaposizione occupata da P all’istante t in un sistema di riferimento ortogonale destro (O; x, y, z).Le (2.1) o, indifferentemente, le (2.2) si dicono equazioni del moto nel punto P . Il luogo delleposizioni occupate da P durante il moto e una serie di curve che si dice traiettoria del punto mobilee che ammette le (2.2) come equazioni parametriche. Se la traiettoria e un arco di curva pianao un segmento di retta, il moto del punto si dice rispettivamente piano o rettilineo.

Assegnata la traiettoria e definita su questa una ascissa curvilinea s, l’equazione

s = s(t) (2.3)

fornisce, per ogni generico istante t ∈ [t0, t1], l’ascissa curvilinea raggiunta in quell’istante sullatraiettoria dal punto P (sulla quale e assegnata una origine ed un verso positivo di percorrenza).

12 2 Cinematica

Essa definisce la legge temporale, secondo cui si muove il dato punto sulla traiettoria, dettaequazione oraria del moto. Quindi il moto del punto P e noto quando si conoscono le equazioniparametriche (2.2) oppure quando si conoscono la traiettoria

P = P (s)

e la equazione oraria (2.3). Si puo passare da una rappresentazione all’altra; ad esempio, nota latraiettoria P = P (s) e la legge oraria s = s(t) si ottiene la rappresentazione parametrica P = P (t) =P [s(t)].

Definizione 2.1. Il moto di un punto P su una traiettoria data si dice uniforme se l’ascissa curvi-linea s(t) e una funzione lineare del tempo.

2.1.1 Velocita del moto di un punto.

Definizione 2.2. In un generico istante t si dira velocita (scalare) di un punto mobile, secondola equazione oraria s = s(t), la funzione s(t). I moti uniformi

s(t) = v0t+ s0

sono caratterizzati dalla costanza della velocita (scalare).

Definizione 2.3. Siano x(t), y(t), z(t) le componenti cartesiane del punto P (t) durante il motorispetto ad una terna (O; x, y, z) ortogonale. Il vettore

v(t) = x(t)ı + y(t) + z(t)k (2.4)

viene denominato velocita (vettoriale) del punto P all’istante t.

Il vettore velocita vettoriale del punto P coincide quindi con la derivata del vettore spostamentoP (t)−O:

v(t) = P (t) =dP

dt=d(P −O)

dt

Osservando che possiamo sempre scrivere P = P (t) = P [s(t)], dove P (s) rappresenta la traiettoriadel punto e s(t) la legge oraria, allora la precedente derivata si puo anche calcolare come

v(t) =dP [s(t)]

dt=dP (s)

dss(t) = s(t)t (2.5)

dove t = dPds

e il versore tangente alla traiettoria orientato concordemente con il verso positivo dellatraiettoria ed s e la ascissa curvilinea. Da qui segue che, in ogni istante, v ha modulo dato dalvalore assoluto |s(t)| della velocita scalare nel punto, e diretto secondo la tangente alla traiettorianella posizione P (t), ed infine ha il verso di t, cioe il verso delle s crescenti, o il contrario, secondoche s(t) sia positiva o negativa.

Dalla (2.5) segue inoltre che

s(t) = ±√x2(t) + y2(t) + z2(t) e s(t) =

∫ t

t0s(τ)dτ + s0 (2.6)

2.1 Cinematica del punto 13

.

.

t

Fig. 2.1. La velocita v e sempre tangente alla traiettoria del punto.

dove si sceglie il segno + o − a seconda che la velocita vettoriale v abbia verso concorde o discordecon il versore t.

Il vettore velocita e indipendente dal sistema di riferimento scelto: se in luogo della terna (O; x, y, z)si sceglie la terna (O′; x′, y′, z′) fissa rispetto alla precedente, allora le equazioni (2.2) del motocambiano ma la velocita vettoriale non varia, cosı come non variano ne la forma geometrica dellatraiettoria ne la legge temporale del moto. Cio si puo ritenere evidente, dato il carattere intrinseco,rispetto al moto, della definizione di velocita vettoriale.

Ogni moto a velocita vettoriale costante e rettilineo ed uniforme (a differenza dei motiuniformi caratterizzati dalla velocita scalare costante):

x(t) = vt+ Cost., y(t) = Cost., z(t) = Cost. (2.7)

dove si e scelto il sistema di riferimento (O; x, y, z) tale che v = (v, 0, 0), v costante. Le costanti checompaiono nelle (2.7) sono determinate in base alle condizioni iniziali P (t0).

In generale: nota la posizione del punto P ad un dato istante iniziale t0 e la velocita v(t) si puodeterminate il moto del punto:

P (t) = P (t0) +∫ t

t0v(t)dt.

2.1.2 Accelerazione

Definizione 2.4. Consideriamo il moto di un punto P sopra una traiettoria prestabilita con equazioneoraria qualsiasi s = s(t). Si definisce come accelerazione scalare del punto, lungo la traiettoriaprestabilita, nell’istante t la funzione s(t).

Definizione 2.5. Definiamo la accelerazione vettoriale del punto P (t), che e una determinatafunzione vettoriale del tempo, come:

14 2 Cinematica

a(t) =dv

dt=d2P

dt2=d2(P −O)

dt2= xı + y + zk (2.8)

dove x(t), y(t), z(t) sono le componenti cartesiane del punto P (t) durante il moto definiti rispetto adun sistema di riferimento (O; x, y, z).

Dalla natura intrinseca, rispetto al moto, della definizione di accelerazione risulta senz’altro che leformule (2.8) restano valide comunque si cambino gli assi di riferimento, purche fissi gli uni rispettoagli altri.

Ricordando che

v = st edt

ds=

1

ρcn,

dove ρc designa il raggio di curvatura della traiettoria ed n il vettore unitario diretto lungo la normaleprincipale verso il centro di curvatura otteniamo:

a =d2P [s(t)]

dt2=dv

dt=d(st)

dt= st + s

dt

dt= att + ann (2.9)

dove at = s e an = s2

ρc= v2

ρc.

Introduciamo la terna destra, detta terna intrinseca, (t, n, b) con origine nel punto P e con

versori t, versore tangente, n, versore normale, e b = t× n, versore binormale. Dalla (2.9) segueche, ad ogni istante, e nulla la componente della accelerazione secondo la binormale alla traietto-ria, cioe l’accelerazione appartiene ad ogni istante al piano osculatore della traiettorianella posizione occupata dal punto mobile in quell’istante. Le sue componenti at e an sidicono, rispettivamente, accelerazione tangenziale e accelerazione normale o centripeta (si

noti che, essendo v2

ρcsempre positivo, allora l’accelerazione centripeta e sempre diretta verso il centro

di curvatura).I moti uniformi (s = Cost., cioe s = 0) sono caratterizzati dall’annullarsi della accelerazione tan-

genziale. I moti rettilinei (t = Cost.) sono caratterizzati dall’annullarsi della accelerazione normale.I moti rettilinei uniformi sono caratterizzati dall’annullarsi identico della accelerazione.

2.1.3 Classificazione dei moti in base alla velocita ed alla accelerazione

Abbiamo la seguente situazione:

— Classificazione in base alla velocita:

- moto diretto quando s > 0;- moto retrogrado quando s < 0;- moto uniforme quando s(t) = v0 costante;- moto rettilineo quando t = t0 costante;- moto rettilineo e uniforme quando v = v0 costante;- moto curvilineo quando t non e costante.

— Classificazione in base alla accelerazione:

- moto accelerato quando ss > 0, ovvero ds2

dt> 0 o, equivalentemente, |s| crescente;

- moto ritardato quando ss < 0, ovvero ds2

dt< 0 o, equivalentemente, |s| decrescente;


.

.

t

n

Fig. 2.2. Le componenti tangenziale e normale della accelerazione sono dirette lungo la retta tangente e la retta normale, inparticolare la componente normale e sempre diretta verso la parte interna della traiettoria.

- moto uniformemente vario quando s = a0 costante;- moto uniformemente accelerato quando ss > 0 ed s = a0 costante;- moto uniformemente ritardato quando ss < 0 ed s = a0 costante.

2.1.4 Moti piani in coordinate polari.

Definizione 2.6. Consideriamo il moto piano del punto P (t), rispetto al sistema ortogonale (O; x, y),di equazioni x = x(t) e y = y(t). Riferiamo questo stesso moto al sistema di coordinate polari che hacome polo l’origine O, come semi-asse polare il semi-asse positivo delle x e come verso positivo delleanomalie quello dell’asse orientato x verso l’asse orientato y. Durante il moto, il modulo ρ = OP el’anomalia θ = xOP di P saranno funzioni ben determinate del tempo e le

ρ = ρ(t), θ = θ(t) (2.10)

si potranno dire equazioni del moto in coordinate polari.

La relazione tra le equazioni x = x(t), y = y(t) e le (2.10) e data da:

x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. (2.11)

Viceversa:

ρ =√x2 + y2, θ = arctg(y/x). (2.12)

E opportuno osservare che la rappresentazione del moto in coordinate polari presenta, per la naturastessa delle coordinate polari, una singolarita in corrispondenza dell’origine. Infatti alla posizione Pnell’origine O corrispondono (corrispondenza NON biunivoca!) ρ = 0 e θ qualunque.

16 2 Cinematica

.

θ

ρ

ρ

Fig. 2.3. I versori radiale r e trasverso h definiscono il moto del punto in coordinate polari piane.

Consideriamo il versore

r =P −O

ρ,

orientato da O verso P , detto versore radiale, ed il versore h normale a r, orientato rispetto allaretta OP come l’asse y rispetto ad x, detto versore trasverso:

r = cos θı + sin θ e h = − sin θı + cos θ

Se indichiamo con vρ e vθ le componenti di v rispetto ai due versori allora si prova che:

v = vρr + vθh, vρ = ρ, vθ = ρθ. (2.13)

La vρ si dice velocita radiale e la vθ si dice velocita trasversa; θ si dice velocita angolare. La(2.13) si ottiene derivando il vettore

P (t)−O = ρ(t)r[θ(t)]

espresso in coordinate polari e tenendo conto che drdθ

= h.Mentre il punto P si muove, il raggio vettore P −O descrive un’area. Supponiamo di misurarla, a

partire da un raggio iniziale P0−O, positivamente nel senso in cui crescono le anomalie, negativamentenel verso opposto. Sia A(t) il valore che assume in un generico istante t.

Teorema 2.7. Si dimostra che:

A =1

2ρ2θ =

1

2(xy − xy), (2.14)

ed e chiamata velocita areolare (o areale) del punto P rispetto al centro O.


Dimostrazione. All’istante t il punto P ha coordinate polari θ(t) e ρ(t); all’istante t+∆t le coordinatesono θ(t+∆t) e ρ(t+∆t). Chiameremo ∆θ = θ(t+∆t)− θ(t) e

ρmax = maxτ∈[0,∆t]

ρ(t+ τ), ρmin = minτ∈[0,∆t]

ρ(t+ τ)

e

∆maxθ = maxτ∈[0,∆t]

[θ(t+ τ)− θ(t)].

Sia ∆A = A(t+∆t)− A(t), allora questa puo essere calcolata come

∆A =1

2ρ2∆θ +R (2.15)

dove 12ρ2∆θ rappresenta l’area di un settore circolare di raggio ρ e angolo ∆θ. R rappresenta il resto

che puo essere stimato come

|R| ≤ 1

2

[(ρmax)

2 − (ρmin)2]∆maxθ.

Osservando che |R| = O(∆2t), dividendo ambo i membri della (2.15) per ∆t e passando al limite∆t→ 0 segue il Teorema.

Sia (O; x, y, z) una terna ortogonale destra tale che il moto avvenga nel piano (O; x, y); conside-riamo il vettore

V =1

2(P −O)× v =

1

2v × (O − P ) =

1

2det

ı kx y 0x y 0

=1

2(xy − xy)k = Ak

dato dalla meta del momento della velocita vettoriale del punto mobile rispetto al centroO (fisso). Si ha che la componente di V rispetto all’asse z coincide con la velocita areolare (2.14) eindividua, come perpendicolare al piano della traiettoria, il piano in cui avviene il moto.

Definizione 2.8. Definiamo

V =1

2(P −O)× v (2.16)

come velocita areolare vettoriale del punto dato mobile, rispetto al centro O (fisso).

Questa nuova definizione ha il vantaggio di attribuire alla velocita areolare un significato in-trinseco e, percio, indipendente dalla scelta della terna di riferimento. Scalarmente la (2.16) hacomponenti: 1

2(yz − yz), 1

2(xz − xz), 1

2(xy − xy); nelle quali si riconoscono le velocita areolari,

rispetto ad O, in senso scalare, delle proiezioni ortogonali del punto P , rispettivamente sui piani(O; y, z), (O; x, z) e (O; x, y).

Determiniamo ora l’accelerazione radiale e trasversa in un moto piano (qualsiasi) denotate,rispettivamente, con aρ e aθ:

18 2 Cinematica

a = aρr + aθh

date da

aρ = ρ− ρθ2, aθ = 2ρθ + ρθ =1

ρ

d

dt(ρ2θ). (2.17)

Esse si ottengono derivando la gia nota relazione v = vρr + vθh e osservando che dˆhdθ

= −r. In

particolare, si osserva che aθ =2ρA dove A e la velocita areolare.

2.1.5 Esempi di moti

Consideriamo i seguenti esempi.

Moto dei gravi

Per grave intendiamo un corpo puntiforme pesante libero di muoversi nello spazio e soggetto allasola forza peso. Per studiarne il moto scegliamo, per riferimento, una terna il cui asse delle (O; y)sia verticale ed orientato verso l’alto, in modo che il piano (O; x, y) risulti verticale. Avremo, comecomponenti della accelerazione di gravita g : (0,−g, 0). Dalla Fisica e ben noto che (ritorneremo inseguito su questo punto) che a = g e quindi le coordinate del punto P dovranno soddisfare durantetutto il moto alle equazioni x = 0, y = −g, z = 0; che, integrate, danno:

x(t) = x0 + x0t, y(t) = −1

2gt2 + y0t+ y0, z(t) = z0t+ z0 (2.18)

dove v0 = x0ı + y0 + z0k e la velocita all’istante iniziale e P0 = (x0, y0, z0) e la posizione del puntoall’istante iniziale. Si puo, senza perdere in generalita, collocare l’origine O del sistema in P0 eruotare la terna d’assi intorno a y in modo che sia z0 = 0 e x0 ≥ 0. Le (2.18) diventano:

x = x0t, y = y0t−1

2gt2, z = 0, con x0 ≥ 0. (2.19)

Quindi risulta che il moto e piano e nelle equazioni del moto si puo trascurare la componente z.Dalle (2.19) si ricava che:

v2 = v20 − 2gy0t+ g2t2 e v2 − v20 = −2gy; (2.20)

quindi: sono fra loro proporzionali l’incremento del quadrato della velocita e la quota delpunto mobile rispetto alla posizione iniziale.

Moti oscillatori

Se il punto P (t) si muove lungo la circonferenza x2 + y2 = r2 le equazioni del moto sono x = r cos θe y = r sin θ dove θ(t) e l’anomalia del vettore P − O rispetto all’asse orientato x. La velocita hacomponenti

x = −rθ sin θ e y = rθ cos θ


e la sua intensita vale v = r|θ|; come si poteva prevedere dalla (2.13) essendo vρ = ρ = 0. Affinche il

moto circolare sia uniforme (cioe s(t) = rθ = Cost) occorre, e basta, che θ sia costante; se indicheremo

ω = θ allora dovremmo avere θ(t) = ωt+ θ0, dove θ0 e l’anomalia di P nell’istante t = 0. In questocaso l’accelerazione diventa

a = xı + y = −ω2(P −O) = ω2(O − P ).

Si noti che l’accelerazione e sempre diretta dal punto P verso il centro del cerchio in quanto, trat-tandosi di un moto uniforme, l’accelerazione deve risultare tutta centripeta.

Definizione 2.9. Definiamo armonico il moto del tipo

x(t) = r cos(ωt+ θ0) (2.21)

dove r e l’ampiezza, ω la frequenza e θ0 la fase iniziale.

Il moto armonico ha accelerazione che soddisfa alla seguente equazione differenziale: x = −ω2x.I parametri r e θ0 sono determinati in base alle condizioni iniziali.

Moti centrali, moti Kepleriani e formula di Binet

Definizione 2.10. Il moto di un punto P si dice centrale se la linea di azione dell’accelerazione apassa sempre per un punto O fisso, detto centro del moto. Si ha la seguente condizione vettorialecaratteristica dei moti centrali:

(P −O)× a = 0; (2.22)

cioe si annulla il momento dell’accelerazione rispetto ad O.

Dalla (2.22) segue che la velocita areolare di ogni moto centrale rispetto al centro O e un vettorecostante. Infatti: V = 1

2(P −O)× v e

d

dt(P −O)× v =

dP

dt× v + (P −O)× a = (P −O)× a. (2.23)

Quindi: il moto e centrale se, e solo se, (P − O)× v = c, c denota un vettore costante. Da quantoscritto in precedenza segue che ogni moto centrale e un moto piano. In particolare, scegliendoil sistema di riferimento in modo che il moto avvenga nel piano (O; x, y), cioe z = z = z = 0, allora(P −O)× v ha due componenti nulle, mentre la terza vale xy − xy = c costante.

Dalle (2.17) segue che i moti centrali, caratterizzati da aθ = 0, devono soddisfare alla seguenteequazione differenziale:

2ρθ + ρθ = 0 o ρ2θ = c. (2.24)

In particolare si puo dare alla accelerazione radiale aρ una espressione puramente geo-metrica, cioe indipendente dalle derivate di ρ e θ rispetto a t, e fare intervenire soltanto l’equazionepolare ρ = ρ(θ) della traiettoria. Infatti, se c 6= 0 allora deve necessariamente essere θ 6= 0 da cuisi puo, per il teorema della funzione inversa, ricavare t = t(θ) e quindi ρ = ρ(θ) = ρ[t(θ)]. Ora,pensando ρ = ρ(θ) si ottiene che

20 2 Cinematica

ρ =dρ

dθθ

e, in virtu della (2.24), segue che

ρ =c

ρ2dρ

dθ= −cd1/ρ

dθ.

Derivando ulteriormente si ottiene che:

ρ = −cdθdt

d21/ρ

dθ2= − c

2

ρ2d21/ρ

dθ2

che, sostituite nella prima delle (2.17), da

aρ = − c2

ρ2

1

ρ+

d2

dθ2

(1

ρ

)(2.25)

che e nota sotto il nome di formula di Binet.

2.1.6 Esercizi

Esercizio 2.1: Studiare il moto del punto P che si muove con legge oraria

s(t) = t3 − 2t2 + t, t ≥ 0

su una traiettoria γ nota ed assegnata. In particolare si chiede di determinare per quali valori di tsi ha un istante di arresto, quando il moto e diretto o retrogrado e quando il moto e accelerato oritardato.

Esercizio 2.2: Due punti P1 e P2 si muovono su una stessa retta AB orientata da B verso A econ origine in B. P1 e all’istante iniziale t = 0 fermo in B e si muove verso A con legge oraria

s1(t) =1

2a1t

2, a1 > 0.

P2, per t = 0, passa in A con velocita v0 diretta verso B ed ha legge oraria

s2(t) =1

2a2t

2 − v0t+ ℓ, a2 > 0 e ℓ = |AB|.

Studiare il moto di entrambi i punti e determinare come e quando i due punti si incontrano.

Esercizio 2.3: Studiare il moto dell’estremo B di una biella lunga ℓ (vincolato a muoversi lungol’asse x) nota la legge θ = θ(t) con cui si muove la manovella di lunghezza r < ℓ determinare, inparticolare, la velocita e l’accelerazione nel caso generale e poi nel caso particolare θ(t) = ωt con ωcostante.

Esercizio 2.4: Un’asta AC lunga d puo ruotare nel piano (O; x, y) attorno al punto C di coordi-nate (0,−h) con legge data θ = θ(t) e h > d. Dall’estremo A parte un filo (flessibile e inestendibile)che, dopo essere passato per la carrucola posta in O, porta appeso all’altro estremo un punto P (che,per effetto del peso, tiene sempre il filo in tensione). Sapendo che il filo e lungo ℓ ≥ d+h, studiare il


θ

Fig. 2.4. Sistema biella-manovella.

moto di P e determinare, in particolare, la velocita e l’accelerazione nel caso generale e poi nel casoparticolare θ(t) = ωt con ω costante.

Esercizio 2.5: Il punto P e mobile sulla parabola y = Kx2, K > 0, e la sua proiezione sull’assex si muove con velocita ct (c =costante positiva):

v(P ) = vxı + vy , vx = ct.

Studiare il moto di P sapendo che inizialmente e in O; piu precisamente si chiede:

i. la velocita v di P ;ii. la velocita scalare s(t) di P ;iii. l’accelerazione a di P ;iv. il versore tangente t ed il versore normale n alla traiettoria di P ;v. l’accelerazione normale e tangenziale;vi. il raggio di curvatura;vii.la velocita areolare avendo supposto introdotto un sistema di coordinate polari con polo in O ed

asse polare coincidente con l’asse positivo delle ascisse;viii.la velocita angolare θ.

Esercizio 2.6: Studiare il moto di un punto P = P (x, y, z) sapendo che le coordinate di P sono,rispettivamente, date da:

a)

x(t) = C cosωty(t) = C sinωtz(t) = 0

, C e ω costanti positive;

b)

x(t) = C cos(12at2 + ωt

)

y(t) = C sin(12at2 + ωt

)

z(t) = 0

, C, a e ω costanti positive;

c)

x(t) = C cos[A sin(ωt)]y(t) = C sin[A sin(ωt)]z(t) = 0

, C, A e ω costanti positive;

22 2 Cinematica

d)

x(t) = Ct cosωty(t) = Ct sinωtz(t) = 0

, C e ω costanti positive.

Piu precisamente si chiede:

i. la traiettoria di P ;ii. la velocita v di P ;iii. la velocita scalare s(t) di P e la legge oraria s(t);iv. l’accelerazione a di P ;v. il versore tangente t ed il versore normale n alla traiettoria di P ;vi. l’accelerazione normale e tangenziale;vii.il raggio di curvatura;viii.la velocita areolare avendo supposto introdotto un sistema di coordinate polari con polo in O e

come asse polare l’asse (O; x);

ix. la velocita angolare θ.

Esercizio 2.7: Studiare il moto di un punto P = P (θ, ρ) nel piano sapendo che le coordinatepolari di P sono, rispettivamente, date da:

a)

ρ(t) = Rθ(t) = 1

2at2 + ωt

, R, a e ω costanti positive;

b)

ρ(t) = Ctθ(t) = ωt

, C e ω costanti positive;

c)

ρ(t) = Ct+ ρ0θ(t) = 1

Kln(Ct+ρ0ρ0

) , t ≥ 0, C, K e ρ0 costanti positive .

Piu precisamente si domanda:

i. la traiettoria di P ;ii. la velocita v di P ;iii. la velocita scalare s(t) di P e la legge oraria s(t);iv. l’accelerazione a di P ;v. la velocita areolare;

Esercizio 2.8: Studiare il moto di un punto P = P (x, y) nel piano (O; x, y) sapendo che lecoordinate di P sono due funzioni periodiche di periodo T1 e T2, cioe:

x(t+ T1) = x(t) e y(t+ T2) = y(t), ∀t.

Piu precisamente si domanda:

i. dimostrare che il moto e periodico se, e solo se, T1 e T2 sono commensurabili tra loro, cioe

T1T2

=n

m∈ Q,

ed il periodo T del moto e dato da T = mT1 = nT2;

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 23

ii. assumendo che sia x(t) = cos(ωt) e y(t) = sin(Ωt) graficare P (t) per diversi valori di ω e Ω;iii. sempre nelle condizioni in ii. assumere ω = 1 e Ω = π/3.1415, graficare P (t) per intervalli crescenti

di t e osservare che la traiettoria di P riempie progressivamente il quadrato [−1,+1]× [−1,+1];iv. sempre nelle condizioni in ii. dimostrare che quando ω e Ω non sono commensurabili tra loro allora

la traiettoria di P riempie densamente il quadrato [−1,+1]× [−1,+1].

2.2 Cinematica dei sistemi rigidi

Lo studio di sistemi materiali, costituiti da N punti materiali distinti, puo essere effettuato, almenoin linea di principio, con gli strumenti sviluppati nella sezione precedente. Di fatto questo procedurae inefficace quando il numero N di particelle e grande, come ad esempio il numero di molecole inun fluido o in un gas liberamente mobili. E quindi opportuno introdurre un modello descrittivodel sistema fisico che, in alcuni casi, permetta di studiare il moto del sistema senza descrivere nec-essariamente il moto di ogni particella costituente il sistema. A tal fine noi facciamo la seguenteipotesi di lavoro che, in alcuni contesti, trova giustificazione: noi assumiamo che i sistemi materialisiano costituiti da uno o piu corpi rigidi, non deformabili qualunque sia il loro moto e comunquesiano sollecitati. Con questa modellizzazione non e ovviamente possibile studiare la dinamica deifluidi e dei gas (termodinamica e fluidodinamica) e nemmeno le deformazioni dei solidi (teoria dellaelasticita).

2.2.1 Sistemi rigidi

Definizione 2.11. Diremo sistema rigido una figura S che, durante il moto, conservi inalterate lemutue distanze dei suoi punti. Cioe se P1 e P2 sono due punti qualsiasi di tale sistema S deve essereche

P1P2 = r = Costante (2.26)

durante il moto.

Osserviamo che la condizione (2.26) equivale alla identita

(P2 − P1) · (P2 − P1) = r2

dove r e indipendente dal tempo. Derivando ambo i membri si trova la condizione equivalente dirigidita di un sistema:

(P2 − P1) ·d(P2 − P1)

dt= 0, ∀P1, P2 ∈ S

cioe si ha la seguente definizione equivalente. I moti rigidi di un sistema di punti sono caratterizzatidalla circostanza che ad ogni istante la velocita di due punti quali si vogliano del sistemahanno la stessa componente secondo la congiungente dei due punti.

Ai fini dello studio del moto di un sistema rigido e utile fare la seguente osservazione di evidenzaimmediata. Dato un sistema rigido S, un sistema di riferimento fisso (O; x, y, z) ed un sistemadi riferimento solidale (O′; x′, y′, z′) con il sistema S (solidale=le coordinate dei punti di S sonocostanti). Il moto di S e noto se e nota l’evoluzione temporale di (O′, x′, y′, z′) rispetto a

24 2 Cinematica

(O; x, y, z). A quest’ultimo scopo basta che siano assegnati, in funzione del tempo, l’origine O′ e

i tre versori fondamentali ı′, ′, k′della terna solidale. In queste condizioni l’equazione del moto del

generico punto P di S e fornita dalle

P = O′ + x′ı′ + y ′′ + z′k′

(2.27)

dove O′, ı′, ′ e k′si intendono definiti in funzione di t con riferimento agli assi fissi e le x′, y′, z′ si

intendono costanti.La (2.27), proiettata sul sistema fisso, da:

Fig. 2.6. Moto del sistema di riferimento(O′;x′, y′, z′), solidale con il corpo rigido S,rispetto al sistema di riferimento (O;x, y, z).

x = α + α1x′ + α2y

′ + α3z′

y = β + β1x′ + β2y

′ + β3z′

z = γ + γ1x′ + γ2y

′ + γ3z′

(2.28)

dove O′ ha componenti (α, β, γ) e (αi, βi, γi), i = 1, 2, 3,

sono, rispettivamente, i coseni direttori di ı′, ′, k′, cioe:

ı′ = α1ı + β1 + γ1k

′ = α2ı + β2 + γ2k

k′= α3ı + β3 + γ3k

, dove

α1 = ı′ · ı, β1 = ı′ · , γ1 = ı′ · kα2 = ′ · ı, β2 = ′ · , γ2 = ′ · kα3 = k

′ · ı, β3 = k′ · , γ3 = k

′ · kOsserviamo che nelle (2.28) compaiono 12 funzioni deltempo, cioe le α, β, γ e i 9 coseni direttori (αi, βi, γi);i quali sono legati tra loro dalle 6 note relazioni in quantoortonormali:

α2i + β2

i + γ2i = 1, i = 1, 2, 3

e

αiαj + βiβj + γiγj = 0, i, j = 1, 2, 3, i 6= j.

Possiamo quindi concludere che per la descrizione del moto del corpo rigido S sono necessari, esufficienti, 6 parametri indipendenti.

2.2.2 Moti traslatori

Definizione 2.12. Un moto rigido si dice traslatorio quando ogni vettore P2 − P1, determinato dadue punti in moto quali si vogliano, si mantiene costante, non solo in lunghezza, come ogni altromoto rigido, ma anche in direzione e verso.

In particolare i tre versori ı′, ′, k′del riferimento solidale sono costanti durante il moto (sia in

verso che in direzione, oltre, come e ovvio, in lunghezza). Con una scelta particolare degli assi si hache le (2.28) diventano: x = x′ + α(t), y = y′ + β(t), z = z′ + γ(t). Risulta dunque che in un mototraslatorio le traiettorie dei singoli punti sono uguali, sovrapponibili e percorse con lamedesima legge.

Un moto traslatorio e caratterizzato dal fatto che tutti i punti del sistema, istante per istante,hanno velocita uguali P2 = P1 (e quindi anche accelerazioni uguali). Quindi ogni moto traslatorioe caratterizzato da un certo vettore, funzione esclusiva del tempo, che istante per istante, da lavelocita comune, in quell’istante, a tutti i punti del sistema mobile. Questo vettore dicesi velocitadel moto traslatorio ed identifica, in modo univoco, il moto traslatorio.


2.2.3 Moti rotatori

Definizione 2.13. Un moto rigido si dice rotatorio quando rimangono fissi tutti i punti di unaretta detta asse di rotazione.

Per realizzare un tale moto basta fissare due puntiω

θ

.

k

Fig. 2.7. Moto di un corpo rigido con asse fissoω = θk denota il vettore velocita angolare, dove ke il versore che denota la direzione dell’asse fisso.Un generico punto P del corpo rigido si muove dimoto circolare attorno al punto Q, proiezione diP sull’asse fisso.

dell’asse. Preso nel sistema mobile S, fuori dall’asse di ro-tazione (che, con una opportuna scelta del sistema di riferi-mento, coincidera con l’asse (O; z)), un punto P , la perpen-dicolare PQ abbassata sull’asse si manterra di lunghezzacostante e ortogonale all’asse; cioe ogni punto di S,fuori dell’asse, si muovera sulla circonferenza del piano or-togonale a z, che ha il centro Q sull’asse stesso.

La posizione del sistema stesso S, rotante intorno a z,risulta individuata, istante per istante, dalla posizione diun solo suo punto P esterno all’asse di rotazione (sullarispettiva traiettoria circolare) o, equivalentemente, dallaposizione di un semi-piano p uscente dall’asse e solidalecon S. La posizione si potra individuare assegnando, adogni istante, l’anomalia θ = πp di p rispetto ad un deter-minato semipiano π uscente da z e fisso.

Un moto rotatorio e caratterizzato dal fatto che ad ogniistante tutti i punti di un sistema rigido animato di motorotatorio hanno la medesima velocita angolare θ. Sia (O; z) l’asse fisso e k il corrispondente

versore, definiamo il vettore ω = θk, detto velocita angolare (vettoriale) del moto rotatorio, quel

vettore avente, ad ogni istante, modulo |θ(t)|, la direzione dell’asse di rotazione e il verso rispetto a

cui il moto appare destro. E immediato verificare che in un moto rotatorio, di velocita angolare ω,la velocita v del punto P e data da:

v(t) = ω × (P −O) (2.29)

dove O e un punto fisso dell’asse di rotazione. In particolare vale anche il viceversa; quindi: i motirotatori attorno all’asse passante per O e parallelo a ω sono tutti e soli i moti nei qualila velocita dei punti P e data dalla (2.29) dove ω ha direzione costante.

L’accelerazione a del punto P si decompone nelle componenti tangenziale at e normale an. Laseconda qui coincide con la accelerazione radiale centripeta aρ. Tenendo conto che s = ρθ e che

ρ = r rimane costante nel moto rotatorio, segue che: aρ = ρθ2 e s = ρθ. In particolare, essendo

t =v

s=θk× (P −O)

θρ=

1

ρk× (P −O) e n = −1

ρ(P −Q), (2.30)

si ha

a = att + aρn = −θ2(P −Q) + θk× (P −O) = −ω2(P −Q) + ω × (P −O), (2.31)

dove Q e la proiezione di P sull’asse di rotazione. Si noti che se la velocita angolare e costante(ω = 0) allora ciascun punto P del sistema si muove di moto circolare uniforme (con velocita che

26 2 Cinematica

varia da punto a punto proporzionalmente alla distanza dell’asse) e il moto rigido si dice rotatoriouniforme. La (2.31) si ottiene anche per semplice derivazione della (2.29) ricordando che ω e (P−Q)sono ortogonali e che

ω × [ω × (P −O)] = −ω2(P −Q).

Le equazioni del moto si possono infine scrivere come:

x = x′ cos θ − y′ sin θ, y = x′ sin θ + y′ cos θ, z = z′

dove si e scelto come O = O′ un punto qualsiasi dell’asse individuato da ω; z = z′ =asse di rotazione

(quindi k = k′e ω = θk). Inoltre gli assi x e x′ sono scelti come due semi-rette ortogonali a z = z′,

che giacciono rispettivamente nei due semi-piani p e π che definiscono l’anomalia θ.

2.2.4 Moti rototraslatori

Definizione 2.14. Si dice rototraslatorio ogni moto rigido composto da un moto traslatorio e diun moto rotatorio.

Se il moto traslatorio e identificato da un vettore v e se il moto traslatorio e identificato daun vettore velocita angolare ω e se O e un punto del suo asse di rotazione, allora la velocita di ungenerico punto P appartenente al sistema S e data da

v(P ) = v + ω × (P −O). (2.32)

Osserviamo che il nuovo moto e ancora rigido, infatti dati due punti generici P1 e P2 di velocita

v(P1) = v + ω × (P1 −O), v(P2) = v + ω × (P2 −O)

da cui segue che v(P2)− v(P1) = ω × (P2 − P1) e infine [v(P2)− v(P1)] · (P2 − P1) = 0.Nel caso di ω e v costanti allora il moto si dira rototraslatorio uniforme.La (2.32) puo essere espressa nella forma

v(P ) = v(O′) + ω × (P −O′) (2.33)

dove

v(O′) = v + ω × (O′ −O),

O′ e un punto solidale con il sistema rigido anche se non appartiene all’asse definito da ω. Quindi,in base alla (2.33), il dato moto rototraslatorio risulta decomposto in un moto traslatorio di velocitav(O′) e in un moto rotatorio di velocita angolare ω intorno ad un asse trasportato (parallelamentea se stesso) da questo moto traslatorio di velocita v(O′).

Per ogni moto rototraslatorio uniforme esiste una decomposizione propria, cioe del tipo(2.32) con O sull’asse, in cui la velocita angolare del componente rotatorio risulta parallela allavelocita del componente traslatorio:

v(P ) = v‖ + ω × (P −Ω); dove Ω = O +ω × vω2

; (2.34)

v‖ = componente di v parallela ad ω. Il moto definito dalla (2.34) viene chiamato elicoidalee (ω, Ω) viene chiamato asse del moto (con ovvio significato della notazione). In particolare:componendo con un moto rotatorio uniforme un moto traslatorio uniforme di direzione ortogonaleall’asse di quello (cioe v‖ = 0), si ottiene un moto rotatorio uniforme avente la stessa velocitaangolare, intorno ad un asse parallelo al primitivo.


2.2.5 Moti rigidi generali ed atti di moto

Consideriamo un sistema rigido S; siano ı′, ′, k′i tre versori fondamentali di un sistema di riferimento

(O′; x′, y′, z′) solidale con S. Quindi il moto di un punto P del sistema S e descritto come:

P = O′ + x′ı′ + y ′′ + z′k′, x′, y′, z′ costanti . (2.35)

Teorema 2.15 (Teorema di Poisson). Siano dati due sistemi di riferimento (O; x, y, z) e (O′; x′, y′, z′)in moto l’uno rispetto all’altro. Si dimostra che esiste un unico vettore ω tale che valgano le seguenti(dette formule di Poisson):

dı′

dt= ω × ı′,

d′

dt= ω × ′,

dk′

dt= ω × k

′, (2.36)

dove la derivata viene effettuata rispetto all’osservatore (O; x, y, z).

Dimostrazione. E sufficiente porre ω = pı′ + q′ + rk′dove le componenti p, q, r di ω rispetto al

riferimento solidale sono scelte come

p(t) =d′

dt· k′ = −dk

′

dt· ′, q(t) = dk

′

dt· ı′ = − dı

′

dt· k′, r(t) = dı′

dt· ′ = − d

′

dt· ı′.

Infatti

dı′

dt=

(dı′

dt· ı′)ı′ +

(dı′

dt· ′)′ +

(dı′

dt· k′)k′= r′ − qk

′= ω × ı′

come si puo verificare in modo immediato. In modo analogo si ha la validita delle altre due formuledi Eulero. Abbiamo cosı provato l’esistenza di un tale vettore. Per provarne l’unicita supponiamoche esista un altro vettore ω⋆ soddisfacente alla (2.36); quindi, sottraendo membro a membro segue

(ω − ω⋆)× ı′ = (ω − ω⋆)× ′ = (ω − ω⋆)× k′= 0

da cui ω = ω⋆.

Derivando rispetto al tempo t l’equazione geometrica (2.35) e tenendo conto delle formule delPoisson otteniamo:

dP

dt=dO′

dt+ ω × (P −O′), ∀P ∈ S (2.37)

dove O′ puo essere un punto qualsiasi del sistema. L’espressione (2.37) e caratteristica perla velocita dei punti di un corpo rigido ed e detta formula fondamentale della cinematicarigida. Cosı, rispetto alla solita terna fissa, un moto rigido risulta determinato (a meno di opportunecondizioni iniziali) quando, prescelto nel sistema mobile un punto O′ qualsiasi, si prefissino i vettori(dipendenti dal tempo) v0 = v(O′) e ω. Questi due vettori si dicono vettori caratteristici delmoto rigido rispetto al polo o centro di riduzione O′.

Se cambiamo l’origine O′ nella (2.37) e prendiamo O′′ 6= O′ allora la (2.37) si modifica nel seguentesenso: v(P ) = dO′′

dt+ω′′ × (P −O′′) dove ω′′ = ω, poiche il vettore ω, in quanto fornisce, istante per

istante, la velocita angolare del moto elicoidale tangente, ha carattere intrinseco al moto rigido

28 2 Cinematica

dato, come emerge anche dalle (2.36). Si puo infine osservare che ω non dipende nemmeno dallaterna (O′; x′, y′, z′) solidale; infatti, dovendo la (2.37) sussistere anche per ω⋆, riferito ad una nuovaterna (anch’essa solidale rispetto ad S), allora segue che

(P −O)× (ω − ω⋆) = 0

per ogni P e quindi ω = ω⋆.Un altro modo per derivare il vettore ω e il seguente: riscriviamo la (2.35) nel seguente modo:

x(t) = c(t) + A(t)y dove x =

x1x2x3

, c =

O′x

O′y

O′z

, y =

y1y2y3

(2.38)

rappresentano, rispettivamente, le coordinate di P e O′ rispetto al sistema centrato in O e fisso e lecoordinate di P rispetto ad un sistema di riferimento centrato in O′ e solidale con il corpo rigido. Lamatrice A e la matrice che permette di passare da un sistema di riferimento all’altro, quindi A e unamatrice ortogonale: A−1 = AT . Derivando la (2.38) e sostituendo ad y la relazione y = A−1(x− c),si trova

x(t) = c(t) + A(t)y = c(t) + A(t)AT [x(t)− c(t)] = c(t) + J(t)[x(t)− c(t)]

dove abbiamo posto J = AAT . Osserviamo che J e una matrice antisimmetrica; infatti derivando laidentita AAT = I si ha che J = −JT e quindi possiamo scrivere

J = AAT =

0 −ω3 ω2

ω3 0 −ω1

−ω2 ω1 0

.

Ponendo ω = ω1ı + ω2 + ω3k allora la relazione x = c+ J(x− c) equivale alla v(P ) = v(O′) + ω ×(P −O′).

La (2.37) diventa v(P ) = v(O′) + ω × (P − O′); quindi la distribuzione delle velocita neivari punti di S all’istante t fissato e la stessa che si avrebbe se il sistema fosse animatoda un moto rototraslatorio uniforme, cioe elicoidale, in cui la velocita del generico punto Pe decomponibile in senso improprio nel moto traslatorio di velocita v(O′) e nel moto rotatorio divelocita angolare ω, intorno all’asse per O′ nella direzione di ω, trasportato parallelamente a se stessocon velocita traslatoria v(O′). Se poi diciamo atto di moto la distribuzione istantanea delle velocitaallora ogni atto di moto rigido e elicoidale e l’asse del moto elicoidale tangente si dice asse diMozzi, avente coordinate (x′, y′, z′) determinate dalla condizione ω‖v(O′). Nel caso particolare incui ω = 0 si ha un atto di moto traslatorio, quando invece v(O′) ⊥ ω si ha un atto di moto rotatorioe la direzione definita da (O′,ω) si dice asse istantaneo di rotazione.

Piu precisamente, si ha che:

Teorema 2.16 (Teorema di Mozzi). Siano ω e v(O′) i vettori caratteristici, sia I = v(O′) · ωl’invariante. Allora segue che:

- se I 6= 0 allora lo stato cinetico e elicoidale e l’asse di moto, detto asse di Mozzi, ha punti chesi muovono con velocita I

ω2ω;- se I = 0 allora:


+ se ω 6= 0 lo stato cinetico e rotatorio;+ se ω = 0 e v(O′) 6= 0 lo stato cinetico e traslatorio;+ se ω = 0 e v(O′) = 0 lo stato cinetico e nullo (cioe tutti i punti hanno velocita nulla).

Dimostrazione. La dimostrazione si basa sulla formula fondamentale della cinematica rigida. Poni-amo v = (O′) e consideriamo inizialmente il caso in cui I = 0. L’invariante e nullo se:

- ω = 0 e v = 0, allora in questo caso v(P ) = 0 per ogni punto P del corpo rigido e lo statocinetico e nullo;

- ω = 0 e v 6= 0, allora in questo caso v(P ) = v 6= 0 per ogni punto P del corpo rigido e lo statocinetico e traslatorio;

- ω 6= 0 e v = 0, allora in questo caso v(P ) = ω × (P − O′) per ogni punto P del corpo rigido elo stato cinetico e rotatorio;

- ω 6= 0 e v 6= 0 con ω ⊥ v, allora esiste O′′ tale che v = ω× (O′−O′′) e in questo caso possiamoscrivere che

v(P ) = v + ω × (P −O′) = ω × (O′ −O′′) + +ω × (P −O′)

= ω × (P −O′′)

per ogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico e rotatorio con asse istantaneo di rotazionepassante per O′′ e parallelo a ω;

Consideriamo infine il caso in cui I 6= 0, ovvero

ω 6= 0, v 6= 0 con ω 6⊥ v,

decomponendo v = v‖ + v⊥ lungo le direzioni parallela e perpendicolari a ω allora esiste O′′ taleche v⊥ = ω × (O′ −O′′) e in questo caso possiamo scrivere che

v(P ) = v + ω × (P −O′) = v‖ + ω × (O′ −O′′) + +ω × (P −O′)

= v‖ + ω × (P −O′′)

per ogni punto P del corpo rigido e lo stato cinetico e elicoidale con asse di Mozzi passante per O′′

e parallelo a ω.

Derivando la (2.37) l’accelerazione viene scritta come:

a =d2O′

dt2+ ω × (P −O′) + ω × [ω × (P −O′)]

=d2O′

dt2+ ω × (P −O′)− ω2(P −Q)

dove Q e la proiezione di P sull’asse di rotazione. In questa espressione i primi due addendi delsecondo membro costituiscono il contributo della variabilita dei vettori caratteristici, mentreil terzo addendo dipende, esclusivamente, dal moto elicoidale tangente e, percio, coincide conl’accelerazione che si avrebbe nel caso di una rotazione uniforme intorno all’asse istantaneodi rotazione.

30 2 Cinematica

2.2.6 Composizione di atti di moto

Definizione 2.17. Se, per un medesimo sistema di punti, si considerano due diversi atti di motosi dice moto composto tra i due quello in cui ogni punto del sistema ha, come velocita, la sommavettoriale delle velocita spettanti a quel medesimo punto nei due atti di moto considerati.

Si ha che l’atto di moto composto di due atti di moto rigidi e rigido; infatti, siano v′(P ) ev′′(P ) le velocita relative ai due atti di moto e sia v(P ) = v′(P ) + v′′(P ) la velocita relativa all’attodi moto composto; siano dati due punti P1 e P2 qualunque e appartenenti al sistema; allora sara

[v(P2)− v(P1)] · (P2 − P1) =

= [(v′(P2) + v′′(P2))− (v′(P1) + v′′(P1))] · (P2 − P1) = 0

essendo

(v′(P2)− v′(P1)) · (P2 − P1) = 0 e (v′′(P2)− v′′(P1)) · (P2 − P1) = 0.

Se v′0, ω

′ e v′′0, ω

′′ sono i vettori caratteristici dei due atti di moto componenti rispetto adun medesimo polo O′, allora i vettori caratteristici, rispetto allo stesso polo O′, di unatto di rigido composto si ottengono sommando vettorialmente gli omonimi vettoricaratteristici dei moti componenti, rispetto a quel medesimo polo. Infatti:

v(P ) = v1(P ) + v2(P ) = v′O + ω′ × (P −O′) + v′′

O + ω′′ × (P −O′)

= (v′O + v′′

O) + (ω′ + ω′′)× (P −O′)

Da cio segue che:

i. componendo due atti di moto traslatori si ottiene ancora un atto di moto traslatorio;ii. componendo due atti di moto rotatori, con assi istantanei di rotazione concorrenti in un puntoO′, si ottiene un atto di moto rotatorio avente asse istantaneo di rotazione pure concorrentein O′ ed ha per velocita angolare la somma vettoriale delle velocita angolari degli atti di motorotatori componenti;

iii. componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi paralleli distinti r1, r2 e di velocitaangolari ω1, ω2 non opposte, si ottiene un atto di moto rotatorio di velocita angolare ω1+ω2, ilcui asse e parallelo ad r1, r2, e giace nel piano della striscia r1, r2, dividendola in parti inversamenteproporzionali a ω1, ω2, internamente od esternamente, secondo che ω1, ω2 siano di verso concordeo discorde. Infatti:

v(P ) = v1(P ) + v2(P ) = ω1 × (P −O1) + ω2 × (P −O2)

= (ω1 + ω2)× (P −O′)

dove O1 e O2 sono due punti su r1 ed r2 tali che O2 − O1 e ortogonale a r2, dove O e tale cheω1× (O′−O1) = ω2× (O2−O′). Piu precisamente, introducendo un asse orientato avente originein O1 e diretto verso O2 in modo che sia O2 − O1 = dı, d > 0, ωj = ωj , O

′ − O1 = xı, alloral’equazione ω1 × (O′ −O1) + ω2 × (O′ −O2) = 0 diventa

xω1 + ω2(x− d) = 0 che ha soluzione x = dω2

ω1 + ω2

.


iv. componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi paralleli distinti r1, r2 e di velocitaangolari ω1, ω2 opposte (cioe ω2 = −ω1), si ottiene un atto di moto traslatorio, in direzioneortogonale al piano della striscia r1, r2 dei moti componenti ed ha per velocita il momento dellacoppia delle velocita angolari ω1, ω2 localizzate ciascuna lungo l’asse rispettivo. Infatti:

v(P ) = v1(P ) + v2(P ) = ω1 × (P −O1)− ω1 × (P −O2)

= ω1 × (O2 −O1)

che e indipendente da P .v. componendo due atti di moto rotatori intorno ad assi sghembi r1, r2 e di velocita angolari ω1,

ω2, si ottiene un atto di moto rototraslatorio. Infatti:

v(P ) = v1(P ) + v2(P ) = ω1 × (P −O1) + ω2 × (P −O2)

= ω1 × (P −O1) + ω2 × (P −O2) + ω1 × (P −O2)− ω1 × (P −O2)

= u+ (ω1 + ω2)× (P −O2)

dove O1 e O2 sono due punti su r1 ed r2 e dove u = ω1 × (O2 −O1).

2.2.7 Angoli di Eulero

Un sistema rigido S e determinato rispetto ad un sistema

ψ φ

θ

Fig. 2.8. Angoli di Eulero.

di riferimento fisso (O; x, y, z) se e determinato il sistemadi riferimento solidale (O′; x′, y′, z′) rispetto a quello fisso.Per fare cio e sufficiente determinare le coordinate di O′ (3

parametri) e i tre versori ı′, ′, k′(9 parametri, di cui solo 3

indipendenti). Supponendo, senza perdere in generalita,che O = O′ si utilizza il seguente metodo di rappresen-tazione della terna solidale rispetto a quella fissa. Sia Nla retta intersezione tra i piani (O; x, y) e (O; x′, y′) (sup-posti, per un momento, non complanari), perpendicolare az e z′, passante per O = O′ e orientata in modo che l’angolozOz′ appaia destro, detta linea dei nodi. L’angolo zOz′,in (0, π), si dice angolo di nutazione (designato con θ).Si dice poi angolo di precessione, e si denota con ψ,l’anomalia xON (misurata nel verso destro rispetto a z). Infine si dice angolo di rotazione pro-

pria, e si denota con φ, l’anomalia NOx′ (misurata nel verso destro rispetto a z′). I due angoli ψ eφ sono variabili ciascuno nell’intervallo [0, 2π), cioe sul toro T 1 ≡ R/2πZ. L’angolo di nutazione θ einvece variabile nell’intervallo [0, π]. I tre angoli θ, ψ e φ cosı definiti si chiamano angoli di Eulero.

Nel caso, al momento escluso, in cui i piani (O; x, y) e (O; x′, y′) coincidano allora l’angolo dinutazione θ corrisponde a 0 o a π mentre la linea dei nodi N resta indeterminata (e quindi tali

risultano anche gli angoli ψ e φ). In ogni caso resta determinata la somma ψ + φ = xOx′ e questaanomalia, insieme a θ = 0 o θ = π, determina la posizione del sistema di riferimento solidale rispettoa quello assoluto.

Non e inutile esprimere le formule di trasformazione delle coordinate tra i due sistemi in funzionedi questi tre parametri. Se (x, y, z) e (x′, y′, z′) sono le coordinate di un generico punto rispetto aidue sistemi di riferimento allora varranno le formule di trasformazione:

32 2 Cinematica

x = α1x′ + β1y

′ + γ1z′

y = α2x′ + β2y

′ + γ2z′

z = α3x′ + β3y

′ + γ3z′

(2.39)

dove

α1 = ı · ı′, β1 = ı · ′, γ1 = ı · k′

α2 = · ı′, β2 = · ′, γ2 = · k′

α3 = k · ı′, β3 = k · ′, γ3 = k · k′

sono i coseni direttori degli assi del sistema (O; x′, y′, z′).Osserviamo che il modo per passare da un sistema all’altro consiste nell’effettuare, nell’ordine:

i. una rotazione ψ attorno all’asse (O; z) in modo da portare l’asse (O; x) sull’asse nodale (O;N);ii. una rotazione θ attorno all’asse (O;N) in modo da portare l’asse (O; z) sull’asse (O; z′);iii. una rotazione φ attorno all’asse (O; z′) in modo da portare l’asse nodale (O;N) sull’asse (O; x′).

Osserviamo che se i due piani (O; x, y) e (O; x′, y′) si sovrappongono allora θ = 0 (o θ = π) e laprima e la terza rotazione sono effettuate attorno allo stesso asse e possono essere sostituire da unarotazione dell’angolo ψ ± φ. Le formule di trasformazione possono essere scritte in forma matricialecome

xyz

= Eψθφ

x′

y′

z′

, Eψθφ = EψEθEφ (2.40)

dove

i. Eψ definisce una rotazione ψ attorno all’asse (O; z)

Eψ =

cosψ − sinψ 0sinψ cosψ 00 0 1

;

ii. Eθ definisce una rotazione θ attorno all’asse (O;N)

Eθ =

1 0 00 cos θ − sin θ0 sin θ cos θ

;

iii.Eφ definisce una rotazione φ attorno all’asse (O; z′)

Eφ =

cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 00 0 1

.

Effettuando i prodotti si ottiene infine

Eψθφ =

α1 β1 γ1α2 β2 γ2α3 β3 γ3

=

(cosψ cosφ− sinψ cos θ sinφ) (− cosψ sinφ− sinψ cos θ cosφ) (sinψ sin θ)(sinψ cosφ+ cosψ cos θ sinφ) (− sinψ sinφ+ cosψ cos θ cosφ) (− cosψ sin θ)(sin θ sinφ) (sin θ cosφ) (cos θ)


e, identificando la (2.39) con la (2.40), si ottiene il risultato cercato: cioe una parametrizzazione deicoseni direttori in funzione di tre parametri indipendenti.

Determiniamo infine l’espressione della velocita angolare ω nel moto rigido istantaneo. Per deter-minare ω in funzione dei tre parametri lagrangiani si osserva che il generico stato cinetico di rotazionepuo essere scritto come la composizione di tre stati cinetici di rotazione aventi asse passante per O:

ω = ψk + θN + φk′.

Proiettando ω sulla terna solidale si ottiene

ω = pı′ + q′ + rk′

dove

N = cos φı′ − sin φ′

k = (k · ı′)ı′ + (k · ′)′ + (k · k′)k′ = α3ı′ + β3

′ + γ3k′

da cui segue

p = θ cosφ+ ψα3 = θ cosφ+ ψ sin θ sinφ

q = −θ sinφ+ ψβ3 = −θ sinφ+ ψ sin θ cosφ

r = φ+ ψγ3 = φ+ ψ cos θ

(2.41)

2.2.8 Esercizi

Esercizio 2.1: Una lamina quadrata ABCD rigida di lato ℓ e, all’istante considerato t, soggettaai seguenti quattro stati cinentici di rotazione (ω, A), (ω, B), (−ω, C) e (−ω, D), dove ω e normalealla lamina, nota che lo stato cinetico di rotazione (ω, O1) e lo stato cinetico avente velocita angolareω e asse istantaneo di rotazione parallelo a ω e passante per O1. Studiare lo stato cinetico risultante.

Esercizio 2.2: Il triangolo OAB, rettangolo, rigido, isoscele, retto in O e con cateti lunghi ℓ, ha,all’istante considerato t, il cateto OB sull’asse (O; z) e l’altro cateto OA sul piano (O; x, y) formanteangoli uguali con gli assi (O; x) e (O; y). Del moto rigido si conoscono all’istante t le velocita:

v(O) = vO ı e v(B) = vBx ı + vBy .

Sapendo inoltre che il vettore velocita angolare ω = pı + q + rk ha componente nulla lungo l’asse z(r = 0), si chiede:

i. il vettore velocita angolare del corpo rigido;ii. la velocita del punto A;iii. tipo di stato cinetico all’istante t.

Esercizio 2.3: All’istante considerato t un cubo rigido di spigolo ℓ ha il vertice A nell’origine delsistema di riferimento ed i lati AB , AC e AD lungo gli assi (O; x), (O; y) e (O; z) ed e dotato di

due stati cinetici di rotazione (ω1 = 3aı, B) e (ω2 = 4ak, D) e di uno stato cinetico di traslazione divelocita v0ı; si domanda:

34 2 Cinematica

i. il vettore velocita angolare dello stato cinetico risultante;ii. la velocita del vertice E opposto ad A;iii. lo stato cinetico risultante;iv. se, all’istante considerato, lo stato cinetico risultante e elicoidale determinare l’equazione dell’asse

di Mozzi.

Esercizio 2.4: All’istante considerato t un cubo rigido di spigolo ℓ ha il vertice A nell’originedel sistema di riferimento ed i lati AB , AC e AD lungo gli assi (O; x), (O; y) e (O; z); sapendoche le velocita dei vertici B, E (di coordinate (ℓ, ℓ, 0)) e F (di coordinate (ℓ, ℓ, ℓ)) sono all’istanteconsiderato t

v(B) = v0k, v(E) = −v0ı + vEy e v(F ) = vFy + vFz k,

dove v0 e noto e vEy , vFy e vFz sono da determinare, si domanda:

i. la condizione di rigidita;ii. se, all’istante considerato, lo stato cinetico risultante e elicoidale determinare l’equazione dell’asse

di Mozzi;iii. la velocita dei punti dell’asse di Mozzi.

Esercizio 2.5: Il triangolo rettangolo isoscele rigido ABC retto in A ha, all’istante considerato,il vertice A nell’origine del sistema di riferimento ed i cateti AB e AC, entrambi lunghi ℓ, lungo gliassi (O; y) e (O; z); sapendo che le velocita dei vertici sono all’istante t

v(A) = −K sin(Ωt)ı +K cos(Ωt)k

v(B) = vBy + vBz k

v(C) = vFz k,

dove K e Ω sono noti e vBy , vCz e vCz sono da determinare, si domanda:

i. la condizione di rigidita del triangolo;ii. lo stato cinetico;iii. se, all’istante considerato, lo stato cinetico risultante e elicoidale determinare la velocita dei punti

dell’asse di Mozzi;iv. se, all’istante considerato, lo stato cinetico risultante e elicoidale determinare l’equazione dell’asse

di Mozzi.

2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi

2.3.1 Velocita e accelerazione assolute e relative

Consideriamo due sistemi di riferimento (O; x, y, z) e (O′; x′, y′, z′) dove assumeremo il secondomobile rispetto al primo, il primo sistema prende il nome di sistema di riferimento fisso o assolutomentre il secondo prende il nome di sistema di riferimento mobile o relativo. Vogliamo ora studiareil moto assoluto di un punto P rispetto al primo riferimento se e noto il moto relativo di P rispettoal secondo e se e noto il moto dell’osservatore mobile rispetto a quello fisso (e viceversa).Definizione 2.18. Diremo moto di trascinamento il moto rigido della terna mobile (O′; x′, y′, z′)e dei punti solidali con essa rispetto a quella fissa.

2.3 Moti relativi e applicazioni ai moti rigidi 35

Il moto assoluto di P e dato dalla legge

P −O = (O′ −O) + x′ı′ + y ′′ + z′k′

(2.42)

dove x′ = x′(t), y′ = y′(t), z′ = z′(t) sono le equazioni del moto relativo di P e dove i versori ı′, ′

e k′si muovono rispetto all’osservatore assoluto. E immediato provare che:

Teorema 2.19. Se denotiamo con va(P ) e vr(P ) le velocita del punto P rispetto al sistema fisso (ve-locita assoluta) e rispetto al sistema mobile (velocita relativa) allora vale la seguente relazione:

va(P ) =dP

dt= vr(P ) + vτ (P )

dove

vτ (P ) =dO′

dt+ ω × (P −O′) (2.43)

e la velocita di trascinamento, v(O′) = dO′

dte ω sono i vettori caratteristici del moto del sistema

mobile, e

vr(P ) = x′ı′ + y ′′ + z′k′

e l’espressione della velocita relativa.

Da cio segue che, in generale, ogni atto di moto assoluto si ottiene componendo i due attisimultanei di moto relativo e di moto di trascinamento.

Teorema 2.20. Se denotiamo con aa(P ) e ar(P ) le accelerazioni del punto P rispetto al sistema fisso(accelerazione assoluta) e rispetto al sistema mobile ( accelerazione relativa) allora sussiste laseguente relazione:

aa(P ) =d2P

dt2= ar(P ) + aτ (P ) + ac(P ) (2.44)

dove

aτ (P ) =d2O′

dt2+ x′

d2 ı′

dt2+ y′

d2′

dt2+ z′

d2k′

dt2(2.45)

e l’accelerazione di trascinamento,

ar(P ) = x′ı′ + y ′′ + z′k′

(2.46)

e l’accelerazione relativa e

ac(P ) = 2

x

′ dı′

dt+ y′

d′

dt+ z′

dk′

dt

= 2ω × vr(P ) (2.47)

e l’accelerazione di Coriolis detta anche accelerazione complementare (sempre ortogonaleall’asse del moto di trascinamento e alla velocita relativa).

Da quanto detto in precedenza si ha che l’accelerazione di trascinamento assume anche la forma

aτ (P ) =d2O′

dt2+ ω × (P −O′) + ω × [ω × (P −O′)] (2.48)

36 2 Cinematica

2.3.2 Derivata vettoriale rispetto ad assi in moto

Se un vettore v := v(t) e riferito ad una terna (O; x, y, z) resta definita la derivata vettoriale di vcome quel vettore che ha per componenti, rispetto alla terna fissata, le derivate delle componenti div. Tale derivata non varia se calcolata rispetto ad un’altra terna solidale (o anche traslante) conla prima; essa varia, invece, quando calcolata rispetto ad una terna in moto rispetto a quella data.

Denotiamo con(dvdt

)Ola derivata (assoluta) di v rispetto alla terna fissa (O; x, y, z) e con

(dvdt

)O′

la derivata (relativa) di v rispetto alla terna mobile (O′; x′, y′, z′). Possiamo supporre, al fine del

calcolo della derivata vettoriale, O = O′. Sia P − O = v, quindi i due vettori(dvdt

)Oe(dvdt

)O′

non

sono altro che la velocita assoluta e relativa di P ; quindi, se ω designa la velocita angolare della terna(O′; x′, y′, z′) rispetto alla terna (O; x, y, z), segue che:

(dv

dt

)

O

=

(dv

dt

)

O′

+ ω × (P −O′) =

(dv

dt

)

O′

+ ω × v (2.49)

si noti che le due derivate coincidono sempre e solo quando si annulla ω × v.Dalla (2.49), applicata al vettore ω, segue che:

(dω

dt

)

O

=

(dω

dt

)

O′

;

cioe nel moto di un sistema rigido la velocita angolare ha la stessa derivata rispetto alla ternafissa e a quella solidale con il sistema. In particolare, osservando che la derivata di uno scalare eindipendentente dalla terna di riferimento, segue che

(dversω

dt

)

O

=

(dversω

dt

)

O′

;

cioe:

Teorema 2.21. Se durante il moto di un sistema rigido l’asse di moto ha direzione fissa entro ilsistema allora ha direzione fissa nello spazio e viceversa.

La (2.49) permette inoltre di dimostrare il seguente: ogni moto elicoidale uniforme ha, per qualsiasicentro di riduzione, vettori caratteristici costanti rispetto agli assi mobili.

2.3.3 Precessioni regolari

Sia dato un sistema rigido S che ruota uniformemente intorno ad un asse f solidale con esso;il quale, a sua volta, mantenendosi solidale ed incidente ad un asse fisso p, ruoti uniformementeintorno a quest’ultimo. Diremo precessione regolare il moto assoluto di S, generato dal motodi trascinamento di f intorno a p e dal moto relativo di S intorno a f (l’uno e l’altro moti relativiuniformi). L’asse p, fisso nello spazio, si dice asse di precessione; l’asse f , fisso nel corpo, asse difigura; il punto O, comune ai due assi, si dice polo della precessione.

Se ω1 e la velocita angolare di S intorno a f (vettore di lunghezza costante e di direzione e versocostante rispetto al sistema rigido) e ω2 quella di f intorno a p (vettore di lunghezza costante e fissonello spazio), allora la velocita angolare ω dell’atto di moto rotatorio della precessione e data ad ogniistante da ω = ω1 + ω2 e l’asse di istantanea rotazione passa per O.

2.4 Cinematica dei sistemi 37

Durante la precessione regolare il prodotto scalare ω1 · ω2 rimane costante. Infatti, il parallel-ogramma, individuato da ω1 e ω2 supposti applicati in O, pur ruotando uniformemente intorno alsuo lato disposto lungo la p, conserva inalterata la sua configurazione. Inoltre la linea d’azione dellavelocita angolare ω della precessione, cioe il rispettivo asse di moto, si mantiene inclinata di unangolo costante tanto sulla p quanto sulla f . Infatti, se chiamiamo ϕ l’angolo formato dall’asse difigura e l’asse di moto si avra

cosϕ =ω · ω1

ωω1

=ω21 + ω1 · ω2

ωω1

, ω =√ω · ω =

√ω21 + ω2

2 + 2ω1 · ω2

costante. In modo analogo si prova che l’angolo formato dall’asse di precessione e l’asse di moto ecostante.

Un esempio di precessione regolare e fornito dal moto della terra intorno al suo centro O. Infattil’asse polare f non conserva (rispetto alle stelle fisse) direzione invariabile, bensı ruota a sua voltauniformemente intorno ad una retta p di direzione fissa, passante per il centro terrestre O, ortogonaleal piano dell’eclittica.

2.3.4 Esercizi

Esercizio 2.1: Un punto P si muove con legge nota x1 = x1(t) su una retta (O1; x1) che a suavolta ruota nel piano (O; x, y) attorno ad un asse normale a tale piano passante per O ≡ O1 con

legge assegnata θ = θ(t), dove θ = xOx1. Studiare il moto di P rispetto all’osservatore O facendouso dei Teoremi di composizione delle velocita e delle accelerazioni. Discutere poi i casi particolari:

a)

x1(t) = c

θ(t) = ω, c e ω costanti positive;

b)

x1(t) = A cos(Ωt)θ(t) = ωt

, A, Ω e ω costanti positive .

Esercizio 2.2: Un punto P si muove lungo una circonferenza di raggio R e centro O1 con leggeθ = θ(t), a sua volta la circonferenza trasla nel piano con legge

a)

x1(t) = cty1(t) = 0

, c e una costante;

b)

x1(t) = A cos(Ωt)y1(t) = 0

, A, e Ω costanti positive.

dove (x1, y1) sono le coordinate di O1 rispetto all’osservatore O. Studiare il moto di P rispettoall’osservatore O facendo uso dei Teoremi di composizione delle velocita e delle accelerazioni. Dis-cutere poi il caso particolare θ = ω costante.

2.4 Cinematica dei sistemi

2.4.1 Sistemi olonomi

Se un sistema di N punti e soggetto a vincoli o legami questi si esprimono mediante ℓ equazioniindipendenti della forma

38 2 Cinematica

fk(x1, . . . , xN , y1, . . . , yN , z1, . . . zN ; t) = 0, k = 1, 2, . . . , ℓ, (2.50)

le quali esprimono, analiticamente, le relazioni che, istante per istante, intercedono fra le posizionisimultanee dei singoli punti Ps, s = 1, . . . , N , del sistema. Esse si dicono vincoli o legami. Al-lora, risolvendo le (2.50) rispetto ad ℓ delle 3N coordinate xs, ys, zs e assumendo come parametrilagrangiani, denotati q1, . . . , qn, le rimanenti n = 3N − ℓ, si ottiene un sistema della forma (2.51).

Ps = Ps(q1, q2, . . . , qn; t), s = 1, 2, . . . , N. (2.51)

In conclusione, si consideri, in generale, un sistema costituito da un numero N qualsiasi di puntiPs, s = 1, 2, . . . , N , i quali, anziche liberamente mobili gli uni rispetto agli altri, siano vincolati adassumere istante per istante soltanto le posizioni rappresentabili mediante certe determinate funzionidi un numero n ≤ 3N di parametri arbitrari q1, q2, . . . , qn ed, eventualmente, del tempo del tipo(2.51). Scalarmente avremo quindi 3N equazioni scalari negli argomenti qh ed, eventualmente, t;che noi supporremo univalenti, finite, continue e derivabili (fino al II ordine almeno) entro undeterminato campo di valori per gli argomenti.

Ad un dato istante t le (2.51), al variare di qh entro il rispettivo campo di valori, forniscono tutte

e sole le possibili configurazioni del sistema nell’istante considerato. E manifesto che, se i vincolidipendono dal tempo, le configurazioni possibili del sistema in un dato istante t1 non coincidono, ingenerale, con quelle relative ad un istante diverso t2.

Se la matrice Jacobiana avente 3N colonne e n righe(∂x1∂qh

,∂y1∂qh

,∂z1∂qh

, . . . ,∂xN∂qh

,∂yN∂qh

,∂zN∂qh

), h = 1, . . . , n, (2.52)

ha rango massimo n per valori generici delle qh allora si dice che la configurazione del sistema variase, e solo se, variano le coordinate lagrangiane (assumendo t fissato) e si dice che n e il grado diliberta del sistema. Quindi il grado di liberta di un sistema olonomo e il numero di parametriessenziali da cui dipendono le sue configurazioni in un generico istante.

Definizione 2.22. Un sistema soggetto a vincoli della forma (2.50) si dice olonomo. I parametriarbitrari q1, q2, . . . , qn si chiamano coordinate generali o lagrangiane del sistema.

Definizione 2.23. Se il tempo t non compare nelle (2.51) o, equivalentemente, nelle (2.50), il sis-tema olonomo si dice a vincoli indipendenti dal tempo o scleronomi; altrimenti si dice avincoli dipendenti dal tempo o reonomi.

Vediamo alcuni esempi:

i. Una figura rigida mobile su di un piano e un sistema olonomo con 3 gradi di liberta, in quantooccorrono e bastano 2 parametri per individuare la posizione di un suo punto M nel piano ed unulteriore parametro per fissare la sua orientazione attorno ad M ;

ii. Il sistema di due aste rigide mobili nel piano collegate a cerniera e un sistema olonomo con 4 gradidi liberta, perche la posizione della cerniera dipende da 2 parametri, ed altri 2 ne occorrono ebastano per individuare le orientazioni delle 2 aste;

iii. Una sbarra nello spazio e un sistema olonomo con 5 gradi di liberta. Per fissare infatti laconfigurazione di un tale sistema basta conoscere la posizione di un suo punto O′, che dipende datre parametri, e la direzione della sbarra, che dipende da due parametri (ad esempio l’angolo dinutazione e l’angolo di precessione).


iv. Per un sistema rigido nello spazio i gradi di liberta sono 6, cioe tanti quanti quelli di una ternadi assi (solidale con la figura): tre parametri occorrono per fissarne l’origine e tre l’orientazione.Se il sistema ha un punto fisso allora il numero di gradi di liberta si riduce a 3. Se ilsistema ha un asse fisso invece il numero di gradi di liberta si riduce a 1.

Il moto del sistema risultera definito quando le coordinate lagrangiane del sistema sono assegnatein funzione del tempo. Le equazioni

qh = qh(t), h = 1, 2, . . . , n,

cui si da luogo, si diranno le equazioni orarie del moto in coordinate lagrangiane. Per l’atto dimoto del sistema, cioe per le velocita vs = v(Ps) dei suoi punti Ps, si ha, derivando le (2.51):

vs =dPsdt

=n∑

h=1

∂Ps∂qh

qh +∂Ps∂t

s = 1, 2, . . . , N. (2.53)

Coordinate lagrangiane sovrabbondanti

Se ad un sistema olonomo S di coordinate lagrangiane q1, q2, . . . , qn si impongono uno, o piu, ulteriorivincoli olonomi allora questi si traducono in una o piu equazioni nelle qh (ed eventualmente neltempo):

fk(q1, q2, . . . , qn; t) = 0, k = 1, 2, . . . , ℓ′, ℓ′ ≤ n, (2.54)

che potremo supporre fra loro indipendenti rispetto alle qh. Il nuovo sistema che si ottiene e ancoraolonomo e il suo grado di liberta si riduce a n−ℓ′. In particolare per ogni possibile sistema olonomodi N punti si possono assumere come coordinate sovrabbondanti le 3N coordinate cartesiane xs, ys, zsdei suoi N punti, le quali, se n e il grado di liberta del sistema, risulteranno legate fra di loro daℓ = 3N − n equazioni del tipo (2.50).

2.4.2 Sistemi anolonomi

Se ad un sistema olonomo di coordinate lagrangiane indipendenti qh, si impone un ulteriore vincoloolonomo

f(q1, q2, . . . , qn; t) = 0; (2.55)

questo implica una limitazione, non soltanto per le configurazioni del sistema, ma anche per i suoispostamenti possibili. In particolare si ha il seguente vincolo di mobilita:

∑nh=1

∂f∂qhqh +

∂f∂t

= 0,

ottenuto derivando le (2.55).Introduciamo il concetto di vincolo di mobilita espresso mediante una forma differenziale lineare

del tipo:

n∑

h=1

ahdqh + bdt = 0, (2.56)

o equivalentemente, essendo dqh = qhdt,

40 2 Cinematica

n∑

h=1

ahqh + b = 0,

dove le ah e b siano funzioni delle coordinate q1, q2, . . . , qn ed, eventualmente di t, comunqueprefissate, anche se la (2.56) non sia deducibile per differenzazione da una relazione in termini finiti(2.55) fra le qh ed, eventualmente, la t.

Definizione 2.24. Ogni vincolo di mobilita (2.56) non deducibile per differenzazione da una relazionein termini finiti tra le qh ed, eventualmente, t si dice anolonomo. Si dice omogeneo o no, secondoche la funzione b e o no identicamente nulla. Diremo poi sistema anolonomo ogni sistema soggettoad uno o piu vincoli anolonomi.

La differenza tra i vincoli olonomi e anolonomi risiede nel fatto che questi ultimi non im-pongono alcuna limitazione alle configurazioni del sistema ma implicano soltanto dellerestrizioni per gli spostamenti possibili del sistema, cioe per la sua mobilita.

Interpretazione geometrica dei vincoli olonomi e anolonomi

Come si puo facilmente osservare il sistema meccanico a n gradi di liberta ha vincoli olonomiindipendenti dal tempo se l’insieme delle sue configurazioni e individuato da una sottovarietaregolare Vn, detto spazio delle configurazioni, Vn × R prende il nome di spazio-tempo delleconfigurazioni.

Esempio di vincolo di mobilita integrabile

Consideriamo un disco rigido mobile nel piano (O; x, y)

.

θ

Fig. 2.10. Disco che rotola senza strisciare. Nelpunto di contattoK la velocita di trascinamento

ad ogni istante e nulla.

che si mantenga sempre appoggiato all’asse (O; x) e che siavincolato a scorrere senza strisciare su quest’asse. Sipossono assumere quali parametri lagrangiani la coordinataascissa x del centro C del disco e l’angolo θ di rotazione.La condizione di puro rotolamento implica vτ (K) = 0 doveK e il punto di contatto tra il disco e l’asse; vτ (K) e lavelocita di trascinamento. Questa condizione si traducenella relazione

x+Rθ = 0

che rappresenta quindi un vincolo di mobilita omoge-neo. Questo e immediatamente integrabile e da la relazione

x = −Rθ + x0

che rappresenta un vincolo olonomo. Osserviamo che se imponiamo al disco di rotolare senzastrisciare su un piano senza prefissare la traiettoria del punto di contatto allora il vincolo dipuro rotolamento si traduce in due vincoli di mobilita non integrabili, cioe anolonomi.Vincoli propriamente anolonomi

E possibile poi caratterizzare ulteriormente i vincoli anolonomi.


Definizione 2.25. Diremo propriamente anolonomo un sistema se i vincoli di mobilita (2.56),cui esso e soggetto, sono tali che non esista nemmeno una relazione

F (q1, q2, . . . , qn; t) = Cost. (2.57)

il cui differenziale si possa porre sotto forma di una combinazione lineare delle (2.56).

Esempio di sistema propriamente anolonomo

Consideriamo una sfera rigida S costretta a rotolare senza strisciare su di un piano fisso. Si possoscegliere come coordinate lagrangiane del nostro sistema i cinque parametri: x, y (coordinate dellaproiezione del centro C della sfera sul piano) e θ, ψ, φ (angoli di Eulero); ovviamente z = R. Adogni sistema di valori di questi 5 parametri corrisponde una posizione della sfera a contatto con ilpiano z = 0. Se queste 5 coordinate sono funzioni del tempo si ottengono le equazioni di un motodella sfera S a contatto con il piano. Ma questo moto non e, in generale, di puro rotolamento,bensı implica, istante per istante, uno strisciamento della sfera sul piano. La condizione di purorotolamento implica che deve essere costantemente nulla la velocita di trascinamento del punto dicontatto K, il quale, in generale, varia da istante ad istante tanto sul piano fisso quanto sulla sfera.Denotando con v e ω i vettori caratteristici del moto della sfera rispetto al suo centro C, si dovraavere, ad ogni istante, che la velocita di trascinamento di K sia nulla:

vτ (K) = v + ω × (K − C) = 0.

Scalarmente:

x−Rχ = 0, y +Rπ = 0 (2.58)

dove π, χ, ρ sono le componenti di ω rispetto agli assi fissi dove

π = θ cosψ + φ sin θ sinψ, χ = θ sinψ − φ sin θ cosψ (2.59)

da cui seguono, in particolare,

∂π

∂ψ= −χ, ∂χ

∂ψ= π. (2.60)

Le equazioni (2.58) sono le equazioni del vincolo di puro rotolamento ed esse non si possonointegrare. Infatti esse si possono scrivere come

x−R sinψθ +R sin θ cosψφ = 0

y +R cosψθ +R sin θ sinψφ = 0

e la condizione necessaria affinche le (2.58) siano integrabili implica che siano verificate le seguentiidentita:

∂(R sin θ cosψ)

∂θ=∂(−R sinψ)

∂φe

∂(R sin θ sinψ)

∂θ=∂(R cosψ)

∂φ

che risultano manifestamente non verificate identicamente. Inoltre, si puo verificare che nonesiste nessuna relazione (2.57) in termini finiti, fra le coordinate lagrangiane x, y, θ, φ, ψ e il tempo,la quale, derivata rispetto a t, conduca ad una combinazione lineare delle (2.58).

42 2 Cinematica

2.4.3 Spostamenti infinitesimi reali e virtuali

Spostamenti infinitesimi reali

Durante il moto del sistema olonomo soggetto alla (2.51) si ha che la velocita del generico punto Psvale

v(Ps) =n∑

h=1

∂Ps∂qh

qh +∂Ps∂t

, s = 1, . . . , N.

Pertanto il differenziale dPs, che rappresenta lo spostamento infinitesimo reale del punto Ps, vale

dPs =n∑

h=1

∂Ps∂qh

dqh +∂Ps∂t

dt, s = 1, . . . , N.

Spostamenti infinitesimi virtuali

Definizione 2.26. Diremo spostamenti virtuali di un sistema olonomo gli ipotetici spostamenti(infinitesimi) che sono atti a far passare il sistema da una qualsiasi sua configurazione ad un’altra(infinitamente vicina) relativa al medesimo istante.

Dato un sistema olonomo, lo spostamento subito da un suo punto Ps in uno spostamento virtualedell’intero sistema si indica con δPs e le sue componenti secondo gli assi si denotano con δxs, δys, δzs.Si trova per gli spostamenti virtuali, nel caso di un sistema olonomo riferito a coordinate lagrangianeindipendenti, l’espressione generale

δPs =n∑

h=1

∂Ps∂qh

δqh s = 1, 2, . . . , N (2.61)

che risulta lineare omogenea nelle variazioni elementari (arbitrarie e indipendenti) δqh delle coor-dinate lagrangiane (anche se i vincoli dipendono dal tempo).

Di fatto gli spostamenti (infinitesimi) sono una forma differenziale lineare rispetto alle n variabiliq1, q2, . . . , qn.

Componendo, a partire dalla stessa configurazione del sistema, due o piu spostamenti virtuali, siottiene ancora uno spostamento virtuale.

Se i vincoli sono indipendenti dal tempo si ha che gli spostamenti virtuali coincidono con i possibilispostamenti (infinitesimi) reali. In generale questo non e vero; infatti se denotiamo con dP lospostamento infinitesimo reale allora

dP =n∑

h=1

∂P

∂qhdqh +

∂P

∂tdt

che differisce da δP per il termine ∂P∂tdt.

Spostamenti virtuali dei sistemi anolonomi

Se il vincolo anolonomo era definito mediante vincoli di mobilita del tipo (2.56) allora sara consideratocome spostamento virtuale ogni spostamento ipotetico che sia atto a far passare il sistema da


.

δ

δπ

σ

γ

Fig. 2.11. Durante il moto di un punto P su una superficie σ lo spostamento infinitesimo reale dP sara tangente alla traiettoriaγ. Gli spostamenti infinitesimi virtuali δP hanno luogo sul piano tangente π alla superficie σ in P .

una configurazione C ad un’altra infinitamente vicina C ′, compatibile con lo stato dei vincoli almedesimo istante; con l’ulteriore condizione che anche l’ipotetico spostamento obbediscaa quei medesimi vincoli di mobilita che sono imposti ad ogni moto effettivo del sistema.Cioe la variazione δqh delle coordinate lagrangiane dovra essere tale che:

n∑

h=1

ahδqh = 0. (2.62)

Cioe, per un sistema anolonomo, gli spostamenti virtuali sono dati dalle (2.61) dove i termini δqhnon sono piu arbitrari e indipendenti, bensı devono soddisfare i vincoli di mobilita.

Spostamenti invertibili

Dalla (2.61) segue che un sistema olonomo, ad ogni istante e a partire da ogni configurazione, ammetteinsieme con ogni suo spostamento virtuale δPi anche il suo opposto −δPi; cioe nei sistemi olonomitutti gli spostamenti virtuali sono invertibili. Infatti se le δqh soddisfano le (2.61) allora anche−δqh le soddisfano.

Spostamenti virtuali di un sistema rigido

I vincoli di rigidita sono espressi da equazioni della forma:

(xi − x)2 + (yi − y)

2 + (zi − z)2 = cost, i, j = 1, . . . , N.

e sono, manifestamente, olonomi e indipendenti dal tempo; quindi in un sistema rigido glispostamenti (infinitesimi) virtuali non differiscono dagli spostamenti (infinitesimi) reali o effettivi.Questi ultimi rientrano nel tipo

44 2 Cinematica

dP = dO′ + adθ × (P −O′) (2.63)

dove dO′ rappresenta lo spostamento (infinitesimo) del centro di riduzione e adθ la rotazione (in-finitesima) attorno all’asse istantaneo passante per O′ e, all’istante considerato t, avente verso edirezione dati da a; completamente arbitrari nel caso di un sistema rigido libero. In tal caso la(2.63) fornisce la rappresentazione di tutti gli spostamenti virtuali di un sistema rigido:

δP = δO′ + ω′ × (P −O′),

dove designamo aδθ con ω′.Se il sistema rigido, invece che essere libero, ha un punto fisso, conviene prendere tale punto come

centro di riduzione O′; quindi il vettore caratteristico δO′ e sempre nullo. Il complesso di tutti glispostamenti virtuali si riduce quindi a

δP = ω′ × (P −O′).

2.4.4 Sistemi a legami unilaterali

Definizione 2.27. Un sistema ad n gradi di liberta

Ps = Ps(q1, . . . , qn; t), s = 1, 2, . . . , N, (2.64)

si dice soggetto a vincoli unilateri (di posizione), se le rispettive coordinate lagrangiane debbonosoddisfare ad un certo numero di relazioni (dipendenti o no dal tempo) del tipo:

φj(q1, q2, . . . , qn; t) ≤ 0, j = 1, 2, . . . , r. (2.65)

Viceversa si dicono bilateri i vincoli olonomi considerati precedentemente.

Fra le configurazioni, di cui e suscettibile un sistema (2.64) soggetto a vincoli unilateri, si diconoordinarie quelle in cui le relazioni (2.65) sono soddisfatte tutte come vere disuguaglianze, mentresi dicono configurazioni di confine quelle in cui almeno una delle (2.65) e soddisfatta per uguaglianza.

Un esempio tipico e costituita da due punti P1 e P2 collegati tra loro da un filo inestendibile dilunghezza λ: la relazione (2.65) diventa

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)

2 + (z2 − z1)2 − λ2 ≤ 0.

Quando la distanza tra i due punti e minore di λ allora saremo nel caso di configurazioni ordinarie,quando la distanza e invece esattamente λ allora saremo nel caso di configurazioni di confine.

Estendendo ai sistemi a vincoli unilateri la definizione di spostamento virtuale avremo che, per unsistema (2.64), sottoposto ai vincoli (2.65), ogni spostamento virtuale, a partire dalla configurazionedi coordinate lagrangiane q1, q2, . . . , qn, sara dato da δPs =

∑nh=1

∂Pi

∂qhδqh, s = 1, . . . , N ; dove le

variazioni δqh delle coordinate lagrangiane dovranno soddisfare alle relazioni

φj(q1 + δq1, q2 + δq2, . . . , qh + δqh; t) ≤ 0, j = 1, 2, . . . , r;

ossia, a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo, alle

φj(q1, q2, . . . , qn; t) + δφj = φj(q1, q2, . . . , qn; t) +n∑

h=1

∂φj∂qh

δqh ≤ 0. (2.66)


Da cio segue che, per ragioni di continuita, a partire da una configurazione ordinaria, i vincoliunilaterali non impongono alcuna limitazione di mobilita. Se, invece, si parte da una configurazione diconfine, cioe da una configurazione in cui si annulla almeno una delle φj, ad es. φj′ , la corrispondenterelazione (2.66) impone la condizione

δφj′ =n∑

h=1

∂φj′

∂qhδqh ≤ 0. (2.67)

Segue che: i vincoli unilaterali implicano delle condizioni per gli spostamenti virtualisoltanto a partire dalle condizioni di confine. Piu precisamente: purche si parta da una config-urazione ordinaria, per un sistema a vincoli unilateri tutti gli spostamenti virtuali sono invertibili.Non cosı se si muove da una configurazione di confine, in particolare: a partire da una configurazionedi confine, gli spostamenti virtuali sono in generale non invertibili. Sono invertibili tutti e soloquelli che con ogni relazione (2.65) soddisfatta per uguaglianza, soddisfano anche la corrispondenteδφj′ = 0.

Ad esempio: un punto appoggiato al piano (fisso) z = z0 deve soddisfare alla relazione φ(x, y, z) ≤0, dove φ(x, y, z) = z0 − z. La (2.67) assume la forma δφ = −δz. Se prendiamo spostamenti virtualiche lasciano il punto nel piano (cioe con δx e δy arbitrari e con δz = 0) allora questi sono invertibilipoiche per questi si ha δφ = 0. Se invece prendiamo spostamenti virtuali che ci spostano il puntodal piano (cioe con δz > 0) allora questi non sono invertibili.

2.4.5 Esercizi

Esercizio 2.1: Si consideri il sistema meccanico costituito da un’asta rigida mobile nel piano(O; x, y) e soggetta al seguente vincolo: la velocita del punto medio dell’asta deve essere parallelaall’asta stessa (pattino). Dimostrare che questo vincolo e anolonomo, cioe tale vincolo di mobilita sitraduce in una forma differenziale lineare non integrabile.

3

Generalita sui sistemi e grandezze meccaniche

3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica

3.1.1 Forza

Assumeremo come primitivo il concetto di forza dove intenderemo per forza ogni ente fisicocapace di modificare il moto o lo stato di quiete di un punto materiale rispetto ad undato osservatore e lo rappresenteremo matematicamente come un vettore applicato (P,F) in cui

P e il punto di applicazione della forza e F e un vettore. E possibile misurare la forza attraverso undinamometro, la direzione del dinamometro coincide con la direzione della forza, ha verso opposto el’elongazione del dinamometro e proporzionale alla intensita della forza.

Sovrapposizione degli effetti di forze simultanee

Qualunque sia il numero delle forze agenti sopra un punto materiale (vettori applicati nel punto),esse sono sempre sostituibili, nei riguardi del moto del punto, con un’unica forza, rappresentata dallaloro risultante geometrica, che si dice forza totale applicata al punto.

3.1.2 Leggi di Newton

Enunciamo ora le seguenti 3 leggi della Meccanica che hanno evidenza sperimentale. Queste leggiderivano, sostanzialmente, con quelle poste da Newton (per una analisi delle leggi di Newton, delladefinizione di forza e di massa e opportuno approfondire mediante testi opportuni, ad es. E. Mach”La Meccanica nel suo sviluppo Storico Critico”).

i. Il Primo principio della Meccanica postula l’esistenza di almeno un riferimento (O; x, y, z),detto riferimento assoluto, tale che un punto materiale che si trovi ”lontano” dagli altri oggettidell’universo risulti sottoposto a forza nulla in tale sistema di riferimento. Per definizione diforza segue che tale punto sara in quiete rispetto a tale riferimento. Questo riferimento siidentifica sperimentalmente con un riferimento solidale con la terra in prima approssimazione; conprecisione maggiore sono assoluti i sistemi di riferimento solidali con il Sole, con le stelle aventeorigine in una ”stella fissa” e con assi orientati verso altre tre ”stelle fisse”, etc.. Si definisconousualmente come forze assolute o vere le forze che agiscono su un punto materiale osservato inquesto riferimento.

48 3 Generalita sui sistemi e grandezze meccaniche

ii. Il Secondo principio della Meccanica postula l’esistenza di una costante m > 0, caratteristicadel punto materiale e indipendente dal sistema di riferimento scelto, tale che

ma = F

dove a e l’accelerazione del punto e F e il vettore della forza applicata sul punto misurate da unostesso osservatore. Tale equazione prende il nome di equazione di Newton. La costante m prendeil nome di massa (inerziale) del punto e puo essere sperimentalmente misurata attraverso unamassa-peso campione.

iii. Il Terzo principio della Meccanica, detto anche principio di azione e reazione, postulache dati due corpi puntiformi A e B, se su A e applicata una forza (A,F) dovuta a B allora suB e applicata la forza (B,−F) dovuta a A ed entrambe hanno la stessa linea d’azione (cioe sonopassanti per la congiungente)

A dispetto del nome (leggi di Newton) queste leggi sono enunciate in modo diverso da diversiautori e la stessa definizione di forza e massa viene data in modo diverso. Secondo alcuni autori (adesempio Mach e poi Fasano-Marmi) la massa viene definita a partire dal concetto di accelerazione,la forza (vedi Fasano-Marmi) viene definita come ma, etc.. Qui si e scelto di seguire la impostazionedi Gallavotti. Vogliamo anche ricordare l’impostazione proposta da Graffi nella quale la prima leggedella Dinamica coincide, essenzialmente, con la nostra definizione di forza.

3.1.3 Forze fittizie

Consideriamo due osservatori (O; x, y, z) e (O′; x′, y′, z′) in moto tra loro con moto qualsiasi e noto,dove il primo osservatore e un osservatore assoluto. Il secondo principio della Meccanica afferma cherispetto ai due osservatori sono valide le equazioni

ma = F e ma′ = F′

dove a e a′ sono le accelerazioni di un punto libero P rispetto ai due osservatori e F e F′ sono le forzemisurate su P dai due osservatori, la forza (F, P ) sara la forza assoluta applicata in P . Cerchiamodi studiare la relazione che lega F e F′. Dal Teorema di composizione delle accelerazioni segue che

F′ = F−maτ (P )−mac(P ).

Il termine

Fτ (P ) = −maτ (P )

prende il nome di forza di trascinamento e dipende dalla posizione del punto e, eventualmente,dal tempo. Il termine

Fc(P ) = −mac(P )

prende il nome di forza di Coriolis o complementare e dipende dalla velocita relativa del puntoe, eventualmente, dal tempo. Queste due forze prendono il nome di forze fittizie.

In Dinamica e consuetudine chiamare moto assoluto il moto riferito ad una qualsiasi terna checonservi posizione invariata rispetto al riferimento assoluto. Quando scriveremo

3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 49

ma = F (3.1)

senza specificare altro allora le grandezze vettoriali F e a si pensano misurate in tale riferimento.L’equazione fondamentale (3.1) si conserva rigorosamente valida quando il moto del punto sia riferitoad una qualsiasi terna, animata da un moto traslatorio uniforme rispetto al riferimentostellare poiche in tal caso Fτ (P ) = Fc(P ) = 0. Tali terne si diranno terne inerziali o galileiane.Ogni sistema di riferimento che si muove di moto traslatorio uniforme rispetto al riferimento assolutosi dice inerziale.

3.1.4 Reazioni vincolari

Consideriamo un punto materiale P , comunque vincolato e sollecitato, e supponiamo di saper ri-conoscere le varie forze che agirebbero su P se fosse libero, e indichiamone con (P,F) la risultante,

che chiameremo forza attiva o direttamente applicata. E ovvio che il moto del punto vincolatoe dovuto non soltanto alla sollecitazione attiva, ma anche all’azione dei vincoli. In particolare vale ilseguente:

Postulato delle reazioni vincolari. Per un punto materiale comunque vincolato e sollecitatoda forze, l’azione dei vincoli e sostituibile con quella di una forza aggiuntiva, che si dicereazione o forza vincolare denotata con φ.

In virtu di tale postulato l’equazione fondamentale della Dinamica diventa:

ma = F+ φ. (3.2)

Le azioni dei vincoli si manifestano quindi mediante forze; esse pero hanno proprieta diverse dalleforze ordinarie applicate ai corpi, usualmente denotate forze attive per distinguerle dalle reazionivincolari. Infatti, mentre nei problemi concreti le forze attive sono, in generale, note, le reazioni vin-colari sono incognite. Molto spesso pero si conoscono i punti di applicazione delle reazioni vincolari,che sono situati dove il vincolo agisce. Ad esempio le reazioni dovute a un punto fisso sono sul puntostesso, quelle dovute ad un appoggio sui punti del corpo a contatto con l’appoggio. Talvolta e poipossibile prevedere la direzione e anche il verso della reazione vincolare; piu precisamente assumiamovalido il seguente postulato di evidenza sperimentale:

Postulato: La reazione vincolare applicata in un certo punto ha direzione e verso opposto di unospostamento (totalmente) proibito di quel punto.

Per spostamento totalmente proibito da P a P ′ (in un intorno di P ) si intende uno spostamentoipotetico, impedito dalla natura dei vincoli e tale che lo porterebbe in P ′, P non puo avvicinarsi aP ′ in nessun modo con spostamenti consentiti dai vincoli. Cosı, ad esempio, per un punto materialeP appoggiato ad un piano orizzontale gli spostamenti (totalmente) proibiti sono solo quelli cheporterebbero il punto P dentro al piano verticalmente, uno spostamento di P verso il piano (ma nonverticale) puo essere infatti realizzata mediante uno spostamento prima orizzontale (che avvicina Pa P ′) e poi verticale. In questo caso abbiamo che la reazione vincolare e necessariamente normale alpiano e diretta dal piano verso il punto, cioe e determinata la direzione ed il verso della reazionevincolare mentre rimane incognita la intensita. Altri casi di notevole interesse sono:

- punto vincolato ad una superficie, in questo caso la reazione vincolare

φ = φN

e normale al piano tangente alla superficie nel punto P ;


.

.

.

.

Fig. 3.1. Punto vincolato al piano orizzontale: nella figura di sinistra lo spostamento da P a P ′ e totalmente proibito, nelsecondo caso no poiche P si puo avvicinare a P ′ con uno spostamento ammesso dai vincoli.

- punto vincolato ad una curva, in questo caso la reazione vincolare

φ = φnn + φbb

e normale alla retta tangente alla superficie nel punto P ;- punto fisso, dove tutti gli spostamenti sono (totalmente) proibiti e quindi la reazione e comple-

tamente indeterminata.

3.1.5 Equilibrio di un punto materiale e legge del moto incipiente

Definizione 3.1. Si dice che un punto materiale e in equilibrio, o che le forze che lo sollecitanosi fanno equilibrio, quando l’azione complessiva di queste forze e tale da mantenere in quiete ilpunto; cioe non determina sul punto, a partire dalla quiete, alcuna variazione di velocita.

Dalla (3.2) risulta che per l’equilibrio di un punto, vale a dire perche esso abbia un’accelerazionecostantemente nulla, occorre e basta, che si annulli la forza attiva, se si tratta di un puntolibero, o la risultante della forza attiva e della reazione, se si tratta di un punto vincolato. Inquest’ultimo caso condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio e che la forza attiva sia diretta-mente opposta alla reazione. Piu precisamente:

Teorema 3.2. Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale e che esistaun sistema di reazioni vincolari, compatibili con la natura dei vincoli, tale da equilibrare le forzeattive.

Legge del moto incipiente

Supponiamo che un punto P , ad un dato istante t0, cominci a muoversi a partire dalla quiete, sottola sollecitazione di un forza non nulla di vettore F. Dovendo essere

F(t0)

m= a(t0) = lim

t→t0

v(t)− v(t0)

t− t0= lim

t→t0

v(t)

t− t0


segue, per continuita, che la direzione ed il verso del moto nell’istante t immediatamentesuccessivo a t0 coincidono con quelli di F; in altri termini si ha che

v(t) =F(t0)

m(t− t0) + o(t− t0).

3.1.6 Forze posizionali e forze conservative

Nella Meccanica, in generale, se consideriamo un punto P soggetto a forze dovute alla presenza dialtri corpi e al moto dell’osservatore rispetto ad un riferimento inerziale si osserva che la forza (P,F)ha vettore F che dipende, oltre che dalla posizione P del punto, anche dal tempo t e dalla velocitav = P del punto stesso:

F = F(P, P ; t).

Noi, nel seguito, supporremo tale dipendenza regolare. Se il punto fosse isolato e l’osservatore inerzialetale forza avrebbe vettore F = 0. Se, invece di un punto solo, consideriamo un sistema di N punti Ps,s = 1, . . . , N , soggetti alla forza dovuta alla presenza di altri corpi, al moto dell’osservatore rispettoad un riferimento inerziale e alla mutua interazione tra i punti Ps si osserva che la forza (Ps,Fs) havettore Fs che dipende dalle posizioni dei punti, dal tempo e dalle velocita dei punti:

Fs = Fs(P1, . . . , Pn, P1, . . . , PN ; t) = Fs(Pr, Pr; t), r = 1, . . . , N.

Se, in particolare, tutti i punti Pr, r 6= s, sono fissi rispetto al riferimento in cui si sta considerandoil moto (tra loro) allora si avra Fs = Fs(Ps, Ps; t). Osserviamo poi che le forze tra i punti Ps (e trai punti e gli eventuali vincoli) dipendono effettivamente dalle mutue posizioni Ps − Pr e dalle mutuevelocita Ps− Pr; quindi possiamo concludere che queste forze interne e le reazioni vincolari nondipendono dall’osservatore.

Forze posizionali

Definizione 3.3. Una forza applicata nel punto P e di vettore F, si dira posizionale se F e es-primibile come vettore funzione di P :

F = F(P ).

Ossia, indicando con Fx, Fy, Fz le componenti di F rispetto a tre assi e con x, y, z le coordinate dellaposizione di P , sara:

Fx = Fx(x, y, z), Fy = Fy(x, y, z), Fz = Fz(x, y, z).

Definizione 3.4. La regione spaziale C, in cui e definita una forza posizionale, si dice campo diforza. Un campo di forza si dice si dice uniforme se la rispettiva forza e costante (di direzione edi intensita).

Data una forza posizionale e quindi definito un campo di forza diremo linee di forze (o linee delcampo) le curve γ che in ogni punto P risultano tangenti al vettore F della forza applicato in P . Siha che per ogni punto passa una, ed una sola, linea di forza (purche la forza non sia nulla) e le lineedi forza risultano definite come le curve integrali del sistema

dx

Fx=dy

Fy=dz

Fz.


Forze conservative

Tra i campi di forza sono particolarmente interessanti quelli il cui prodotto scalare F · dP della forzaF del campo, applicata in P , per un qualsiasi spostamento elementare dP = dxı + dy + dzk delpunto di applicazione P e il differenziale esatto di una funzione U di P :

F · dP = Fx(x, y, z)dx+ Fy(x, y, z)dy + Fz(x, y, z)dz = dU. (3.3)

Tali campi di forza si dicono conservativi, e la funzione U(x, y, z), che noi supporremo uniforme(=monodroma, cioe ad un sol valore), finita, continua e derivabile, almeno fino al II ordine, in tuttoil campo, si dice potenziale del campo ed e definita a meno di una costante additiva.

Scrivendo la (3.3) in forma esplicita

Fxdx+ Fydy + Fzdz =∂U

∂xdx+

∂U

∂ydy +

∂U

∂zdz

e, notando che questa identita deve sussistere per qualsiasi scelta dello spostamento elementaredx, dy, dz deve essere:

Fx =∂U

∂x, Fy =

∂U

∂y, Fz =

∂U

∂zcioe F = ∇U. (3.4)

In particolare: la derivata del potenziale secondo una direzione qualsiasi non e altro chela componente della forza del campo secondo quella direzione.

Dalle (3.4) si trovano le tre relazioni:

∂Fy∂z

=∂Fz∂y

,∂Fz∂x

=∂Fx∂z

,∂Fx∂y

=∂Fy∂x

, (3.5)

cioe l’esistenza di un potenziale implica condizioni restrittive per le tre funzioni Fx, Fy, Fz dix, y, z: in altri termini una forza posizionale F non e in generale conservativa.

La condizione (3.5) e sotto alcune condizioni pure sufficiente per definire una forza conservativa.Piu precisamente:

Teorema 3.5. Condizione necessaria affinche una forza (P,F) sia conservativa e che essa siaposizionale e che la (3.5) sia verificata. Condizione sufficiente affinche una forza (P,F) siaconservativa e che essa sia posizionale e che la (3.5) sia verificata su un dominio C semplicementeconnesso.

Dimostrazione. Rimane da dimostrare la parte sufficiente: supponiamo, per semplicita, che il puntoP si muova nel piano (O; x, y) e che sia Fz ≡ 0; quindi Fx = Fx(x, y), Fy = Fy(x, y) e la (3.5) siriduce alla condizione

∂Fx∂y

=∂Fy∂x

vera per ogni (x, y) ∈ C nel piano. Il dominio C, essendo semplicemente connesso e piano, allora noncontiene ”buchi” e, per fissare le idee, assumiamo sia del tipo C = [a1, a2]× [b1, b2]. Sia (x0, y0) ∈ Cfissato e sia (x, y) ∈ C qualunque, definiamo


U(x, y) =∫ x

x0Fx(ξ, y)dξ +

∫ y

y0Fy(x0, η)dη (3.6)

e proviamo che

∂U

∂x= Fx e

∂U

∂y= Fy.

La prima verifica e immediata. Per cio che riguarda la seconda verifica assumendo che Fx siasufficientemente regolare1 in modo da potere derivare sotto il segno di integrale; cosı facendo siottiene che

∂U

∂y=∫ x

x0

∂Fx(ξ, y)

∂ydξ + Fy(x0, y) =

∫ x

x0

∂Fy(ξ, y)

∂xdξ + Fy(x0, y)

= Fy(x, y)− Fy(x0, y) + Fy(x0, y) = Fy(x, y)

completando cosı la dimostrazione. Nel caso generale in cui la forza dipenda anche dalla variabile zil ragionamento puo essere facilmente esteso quando C = [a1, a2]× [b1, b2]× [c1, c2] e dove prendiamo

U(x, y, z) =∫ x

x0Fx(ξ, y, z)dξ +

∫ y

y0Fy(x0, η, z)dη +

∫ z

z0Fz(x0, y0, ζ)dζ.

Osserviamo che questo caso, a differenza del caso in cui C e piano, non e il piu generale poichenello spazio e possibile avere insiemi semplicemente connessi con ”buchi”. Osserviamo anche che ladimostrazione fornita e di tipo costruttivo, ovvero viene fornita con la (3.6) l’espressione esplicita delpotenziale.

In un campo di forze conservativo di potenziale U , si dicono superfici equipotenziali le superficidefinite dalla condizione U(x, y, z) = Cost.. Se al punto di applicazione della forza si fa subire unospostamento elementare dP sulla superficie equipotenziale allora, in quanto U si mantiene costante,F · dP = 0, quindi la F e ortogonale a dP . Poiche cio vale qualunque sia lo spostamento elementaredP sulla superficie equipotenziale, allora in un campo conservativo le linee di forza sono letraiettorie ortogonali alle superfici equipotenziali.

Esempi di campi conservativi

i. E conservativo ogni campo uniforme. Se F e il vettore della forza (costante di intensita, verso

e direzione) allora (con una opportuna scelta degli assi) F = F k e F · dP = Fdz e un differenzialeesatto, integrando si ottiene U = Fz + U0, dove U0 e una costante additiva arbitraria.

ii. La forza ha direzione fissa e intensita dipendente esclusivamente dalla distanza del punto diapplicazione da un certo piano fisso, ortogonale alla direzione della forza. Scelto questo pianocome piano di riferimento z = 0 allora F = φ(z)k, quindi F · dP = φ(z)dz e un integrale esatto,integrando si ottiene U(z) =

∫ zz0φ(τ)dτ + U0.

iii. La forza e, in ogni punto P , diretta verso un certo punto fisso O ed ha intensita dipendenteesclusivamente dalla distanza ρ = OP , del punto di applicazione dal centro O (forza cen-trale):

1 Piu precisamente si assume che, vedi Teorema 9.1 a pag. 257 del Giusti, la funzione Fx(ξ, y) sia integrabile rispetto a ξ edi classe C1 rispetto a y, inoltre assumiamo che esistano due funzioni g0(x) e g1(x) integrabili tali che |Fx(ξ, η)| ≤ g1(ξ) e∣∣ ∂Fx(ξ,η)

∂ξ

∣∣ ≤ g1(ξ).


F = φ(ρ)r, r =1

ρ(P −O).

Il prodotto scalare F · dP si puo esprimere come prodotto delle componenti F e di dP secondo lastessa direzione P −O:

F · dP = φ(ρ)r · d(ρr) = φ(ρ)r · [dρr + ρdr] = φ(ρ)dρ

poiche r ⊥ dr. Quindi F · dP = φ(ρ)dρ e un differenziale esatto e integrando si ottiene:

U(ρ) =∫ ρ

ρ0φ(τ)dτ + U0.

Le superfici equipotenziali U(ρ) = Cost. sono le sfere concentriche in O: ρ = Cost..iv. Diamo un esempio di potenziale non univalente (=polidroma, cioe a piu valori) in due dimen-

sioni. Immaginiamo introdotte le coordinate polari e sia la forza (P,F) del campo, in un genericopunto del piano P , distinto dall’origine O, cosı definita: F ha direzione normale al raggio vettoreP −O, verso delle anomalie crescenti, intensita k/ρ con k costante. Abbiamo escluso l’origine. Ilprodotto scalare F ·dP = kdθ, e quindi kθ si puo considerare come potenziale del campo. Si notiche U non e funzione univalente del posto; infatti, partendo da un punto P e girando attornoall’origine con continuita si torna a P con U incrementato (o decrementato) di 2πk. Osserviamoche, in componenti cartesiane, si ha

Fx = ky

x2 + y2e Fy = −k x

x2 + y2

e che la condizione (3.5) viene verificata; osserviamo pero che cio vale sul dominio R2 − (0, 0)

che non e semplicemente connesso.

3.1.7 Lavoro

Sia (P,F) una forza variabile qualsiasi, cioe, per considerare il caso piu generale, dipendente daltempo, dalla posizione del suo punto di applicazione P , e della rispettiva velocita P . Sia definitoper il punto P un moto qualsiasi

P = P (t) ossia x = x(t), y = y(t), z = z(t). (3.7)

Pertanto, durante tale moto del punto di applicazione, il vettore

F = F[P (t), P (t), t]

risulta definita come funzione esclusivamente del tempo.

Definizione 3.6. Diremo lavoro compiuto dalla forza (P,F) corrispondente al moto (3.7) del puntodi applicazione fra due istanti generici t1 e t2, o dalla posizione P (t1) alla posizione P (t2), la grandezzascalare:

L =∫ t2

t1F · vdt =

∫ t2

t1(Fxx+ Fyy + Fz z) dt, (3.8)

dove, a secondo membro, compare un integrale definito ordinario.

Da cio segue che, nel caso piu generale, il lavoro dipende dalla traiettoria e dalla leggeoraria con cui la traiettoria viene percorsa dal punto, inoltre il lavoro dipende anche daltempo t.


Lavoro delle forze posizionali

In questo caso non e necessaria la conoscenza delle equazioni del moto del punto di applicazione delpunto P , ma basta conoscere la traiettoria. Infatti, se

P = P (s), ossia x = x(s), y = y(s), z = z(s) (3.9)

sono le equazioni di tale traiettoria allora la forza posizionale ha vettore

F = F(P )

che, mentre P percorre tale traiettoria, risulta definito come funzione della sola variabile s. Tenendopresente che dP = vdt segue che il lavoro compiuto dalla forza (F, P ) lungo la curva (3.9) fra duepunti generici P1 = P (s1) e P2 = P (s2) sara determinato dall’integrale curvilineo

L =∫ t2

t1F · vdt =

∫

γP1,P2

F · dP =∫

γP1,P2

dL (3.10)

dove dL = F · dP prende il nome di lavoro infinitesimo e dove abbiamo operato il cambio divariabile t→ P (t), γP1,P2 e la traiettoria percorsa dal punto P nell’intervallo [t1, t2]. Osservando chev = st e dP = dst allora si puo esprimere il lavoro finito L come

L =∫ s2

s1Ftds =

∫ s2

s1

(Fxdx

ds+ Fy

dy

ds+ Fz

dz

ds

)ds

dove Ft e la componente del vettore della forza riguardo alla direzione tangente alla traiettoria in Pnel verso delle s crescenti.

Dalla (3.10) si puo dedurre che se si inverte il verso del cammino del punto di applicazione, illavoro di una forza posizionale cambia verso.

Nel caso di forze posizionali e allora evidente che il lavoro non dipende esplicitamente dal tempot, inoltre dalla (3.10) appare anche evidente che il lavoro non dipende dalla legge oraria ma solodalla traiettoria.

Lavoro delle forze conservative

Per questa classe di forze posizionali si verifica la circostanza che per il calcolo del lavoro non sirichiede nemmeno la conoscenza della traiettoria del punto di applicazione della forza, ma basta nesiano assegnati gli estremi P1 e P2. Infatti:

dL = F · dP = dU

dove U(x, y, z) rappresenta il potenziale. Integrando la (3.10), si ottiene per il lavoro L lungo unqualsiasi cammino del punto di applicazione da P1(x1, y1, z1) a P2(x2, y2, z2) il valore

L = U(x2.y2, z2)− U(x1, y1, z1). (3.11)

Pertanto abbiamo il seguente risultato.

Teorema 3.7. Qualunque sia il cammino descritto dal punto di applicazione di una forza conserva-tiva entro il suo campo, il lavoro da essa compiuto e uguale alla differenza di potenziale fra laposizione di arrivo e quella di partenza del punto di applicazione.


In particolare:

Corollario: Il lavoro compiuto da una forza conservativa lungo una curva chiusa e nullo.

Tale proprieta e caratteristica per le forze conservative (e da alcuni autori e posta comedefinizione di forza conservativa). Cioe se per una forza F il lavoro compiuto per un qualsiasicammino del punto di applicazione, fra due punti generici P1 e P2 di una certa regionespaziale C, dipende esclusivamente dalle posizioni estreme P1, P2 (e non dalla traietto-ria), la F e conservativa. Infatti, sia P0, di coordinate (x0, y0, z0), fissato e sia P , di coordinate(x, y, z), variabile in C; possiamo quindi definire la seguente funzione scalare univalente

U(x, y, z) = U(x, y, z)− U(x0, y0, z0) = LP0,P

dove si e scelta la costante additiva del potenziale tale che U si annulli in P0. Dato P e dato lospostamento infinitesimo dP abbiamo che tale relazione diventa, a meno di infinitesimi di ordinesuperiore,

LP0,P + F · dP = LP0,P + LP,P+dP = LP0,P+dP

= U(x+ dx, y + dy, z + dz) = U(x, y, z) + dU

dove abbiamo usato il fatto che LP,P+dP = dL = F · dP . Da cio risulta che deve essere

F · dP = dU

e quindi la forza e conservativa.Se consideriamo il lavoro di una forza come una forma di energia fisica, ceduta o eventualmente

sottratta al suo punto di applicazione, constatiamo che questa energia e complessivamente nullaper un generico ciclo; vi e dunque, nel senso accennato, conservazione di energia.

3.1.8 Lavoro ed energia cinetica

Definizione 3.8. Definiamo energia cinetica di un punto materiale P il semi-prodotto

T =1

2mv2 (3.12)

dove m e la massa e v e il modulo della velocita v di P .

Il lavoro elementare compiuto dalla forza (F, P ) per uno spostamento elementare da essa im-presso al punto materiale cui e applicata e dato da

dL = dT (3.13)

dove dT denota il differenziale (calcolato rispetto al tempo) dell’energia cinetica. Infatti abbiamoseparatamente che

dL = F · dP e dT =d

dt

(1

2mv2

)dt = ma · vdt = ma · dP

e queste due quantita coincidono dovendo essere F = ma per l’equazione fondamentale della Di-namica. Osserviamo che, stavolta, abbiamo assunto che il moto (3.7) non e qualsiasi ma e il motoimpresso dalla forza F al punto P . La (3.13) giustifica il seguente Teorema:


Teorema 3.9 (Teorema della forza viva). Durante il moto determinato da una forza sudi un punto materiale libero, il lavoro elementare della forza e, per ogni intervallo infinitesimodt, uguale (in valore e segno) all’incremento subito nel medesimo intervallo dall’energia cinetica delpunto.

In termini piu precisi questo teorema afferma che il differenziale (rispetto al tempo) dell’energiacinetica durante il moto coincide con il lavoro infinitesimo reale dL = F·dP dove dP e lo spostamentoinfinitesimo reale.

Si consideri ora il lavoro L compiuto da F su P nell’intervallo di tempo da un istante fisso t0 adun istante variabile t. Integrando la (3.13) da t0 a t, otterremo:

L = T − T0, (3.14)

dove T0 indica la energia cinetica del punto nell’istante t0; cioe: la variazione che, in un qualsiasiintervallo di tempo, subisce l’energia cinetica di un punto libero sollecitato e uguale allavoro compiuto in quell’intervallo di tempo dalla forza totale sollecitante. In particolareT − L = T0 = Cost., cioe la somma tra l’energia T , che il mobile possiede ad ogni istante sottoforma di energia cinetica, e l’energia −L, che da un generico istante t0 in poi esso e andato cedendoall’esterno sotto forma di lavoro, rimane costante (energia totale). Nel caso di forze conservative,essendo l’energia −L uguale al potenziale U cambiato di segno (a meno di costanti additive), alloral’energia meccanica totale, denotata con E, ha espressione

T − U = E

(equazione delle forza viva). La −U si chiama energia potenziale (usualmente denotata conV ). Si ha quindi che:

Teorema 3.10 (Principio di conservazione dell’energia meccanica). Durante il moto deter-minato da una forza conservativa su di un punto materiale libero la grandezza meccanica

T + V = E (3.15)

si mantiene costante.

Osserviamo che la (3.15) afferma che, essendo P = P (t) la legge del moto, allora si deve avere che

1

2mv2(t) + V [P (t)] = E, ∀t ≥ t0.

3.1.9 Esercizi

Esercizio 3.1: Calcolare i seguenti potenziali:

i. potenziale della forza peso di vettore −mg;ii. potenziale della forza costante di vettore aı + b + ck;iii. potenziale di una forza centrale di vettore f(ρ)r dove r e un versore diretto dal punto di appli-

cazione ad un punto fisso e dove ρ e la distanza tra il punto di applicazione e il punto fisso;iv. potenziale della forza di attrazione gravitazionale.


Esercizio 3.2: Sia data la forza posizionale (P,F = 3yı + 2x), dove P ha coordinate (x, y, z);calcolare il lavoro compiuto da questa forza quando:

i. il punto P di applicazione della forza percorre la parabola y = Kx2, K costante positiva, partendodall’origine fino al punto di ascissa a;

ii. il punto P di applicazione della forza percorre il segmento rettilineo di estremi l’origine ed il punto(a,Ka2);

iii. confrontando i due risultati rispondere alla domanda: la forza data e conservativa?

Esercizio 3.3: Sia data la forza posizionale

(P,F = ayı + ax + ck)

con a e c costanti. Si domanda:

i. verificare che la forza data ammette la funzione U(x, y, z) = axy + cz come potenziale;ii. facendo uso della funzione potenziale U calcolare il lavoro della forza quando il punto P di appli-

cazione passa da P1(0, 0, 0) a P2(R,R, 0);iii. per altra via determinare il lavoro della forza quando il punto P passa da P1 a P2 lungo:

- un arco di circonferenza di centro C(R, 0, 0) e raggio R,- un segmento rettilineo che congiunge direttamente P1 con P2,- due segmenti rettilinei, il primo che congiunge P1 con C ed il secondo che congiunge C con P2.

Esercizio 3.4: Dimostrare che la forza

(P,F = (3x2y − y2)ı + (x3 − 2xy + 1))

e conservativa, calcolarne la funzione potenziale e il lavoro della forza quando il suo punto di appli-cazione passa da P1(3,−2, 0) a P2(1, 3, 0).

3.2 Geometria delle masse

Abbandoniamo per un attimo la visione particellare della Meccanica e ammettiamo che la massa diun corpo non sia necessariamente concentrata in un punto ma sia distribuita in modo continuo sututta una regione dello spazio.

3.2.1 Densita

I corpi fisicamente omogenei sono caratterizzati dalla proprieta che le masse delle loro parti sonoproporzionali ai rispettivi volumi. Indicando con V il volume di un qualsiasi corpo omogeneoC, con m la sua massa e con ∆V e ∆m il volume e la massa di una qualsiasi sua parte, avremoµ = ∆m

∆V= m

Vdove questo rapporto e costante e indipendente dalla porzione ∆V scelta. Diremo

questo rapporto densita del corpo omogeneo C.Passando al limite avremo

µ =dm

dV(3.16)

3.2 Geometria delle masse 59

cioe µ fornisce il rapporto tra la massa dm di una porzione infinitesima del nostro corpo e il cor-rispondente volume infinitesimo dV . Scriveremo

dm = µdV (3.17)

e la massa m dell’intero corpo C si potra rappresentare con l’integrale

m =∫

VµdV = µV

esteso a tutta la regione V di spazio occupata da C ritrovando, in accordo con quanto gia visto,µ = m

V.

Generalizziamo tali concetti ad un corpo non omogeneo: definiremo densita del corpo la fun-zione µ(P ), dipendente solo dal punto P ∈ V , tale che

∆m =∫

∆VµdV (3.18)

dove ∆V e il volume di una parte qualunque del corpo e ∆m la sua massa. Cioe ammetteremocome caratteristica di un generico corpo naturale C l’esistenza della densita locale µ equindi, in particolare, integrabile nei punti P del campo V occupato dal corpo. La funzione µ ha ledimensioni di una massa su un volume: mℓ−3. La massa m e data da

m =∫

VµdV. (3.19)

Nel caso in cui la massa sia distribuita su una superficie σ o su una curva γ allora, in analogia al casoprecedente, si introduce una densita superficiale (di dimensione mℓ−2) o una densita lineare (didimensione mℓ−1) e la (3.19) deve essere sostituita, rispettivamente, da un integrale superficiale ocurvilineo

m =∫

σµdσ o m =

∫

γµds.

La densita µ rappresenta, dal punto di vista matematico, una misura; nel caso in cui questa siriduca alle misure atomiche del tipo δ di Dirac allora ritroviamo la usuale rappresentazione particel-lare.

3.2.2 Baricentro di un sistema discreto di punti materiali

Definizione 3.11. Diremo baricentro o centro di gravita del sistema, costituito da un numerofinito N di punti Ps di massa ms, il punto G individuato dall’equazione vettoriale

G−O =

∑Ns=1ms(Ps −O)

m, dove m =

N∑

s=1

ms (3.20)

e la massa totale del sistema e ms sono le masse dei punti materiali Ps costituenti il sistema; O eun qualsiasi punto (geometrico) di riferimento.

Osserviamo che dalla (3.20) segue immediatamente che


N∑

s=1

ms(Ps −G) = 0.

La (3.20) si puo proiettare lungo assi assegnati:

xG =

∑Ns=1msxsm

, yG =

∑Ns=1msysm

, zG =

∑Ns=1mszsm

, (3.21)

dove xG, yG, zG designano le coordinate del baricentro e xs, ys, zs quelle dei punti Ps.Diamo alcune ovvie proprieta:

i. Se tutti i punti Ps appartengono ad un medesimo piano o ad una medesima retta, lo stesso avvieneper il loro baricentro.

ii. Definiamo momento statico di un punto P di massa m rispetto ad un piano π, il prodottodi m per la sua distanza dal piano (distanza con segno in base al riferimento fissato). Allora,facendo coincidere il piano π con il piano z = 0, dalla terza delle (3.21) segue che: la somma deimomenti statici delle masse di un sistema, rispetto ad un generico piano π, coincidecon il momento statico della massa totale, supposta localizzata nel baricentro.

iii. Proprieta distributiva del baricentro: siano S ′ ed S ′′ due sistemi materiali (costituiti da un numerofinito N ′ ed N ′′ di punti). Il baricentro del sistema S formato dai punti di S ′ e di S ′′ puo esserecalcolato come il baricentro tra due punti P ′ e P ′′ posti nei baricentri di S ′ ed S ′′ e aventi massem′ ed m′′ uguali alle masse totali dei due sistemi S ′ ed S ′′.

iv. Se tutti i punti Ps sono contenuti in un insieme convesso allora il baricentro stesso vi appartiene.

Mentre le i., ii. e iii. sono evidenti la iv. necessita di una dimostrazione. Supponiamo per assurdoche il baricentro sia esterno. Poiche un dominio convesso (assumendo per semplicita che il suocontorno sia regolare) si puo ottenere come l’inviluppo di tutti i suoi piani tangenti allora esiste unpiano che divide il baricentro dal dominio. Il momento statico del baricentro, rispetto a tale piano,avra quindi segno opposto a quello del sistema cadendo quindi in assurdo.

Osserviamo che tale dimostrazione si basa sul fatto che il contorno del dominio e regolare. E pos-sibile dare una dimostrazione alternativa diretta che non necessita di ipotesi sul contorno del dominioma che fa uso della seguente proprieta degli insiemi convessi: dati due punti qualsiasi appartenentiall’insieme allora anche ogni punto del segmento congiungente vi appartiene. Consideriamo ora delsistema di punti S contenuti nel convesso i primi due punti e calcoliamone il loro baricentro. Essoappartiene al segmento congiungente e quindi e interno al convesso. Calcoliamo ora il baricentrotra un terzo punto P3 di S ed il baricentro dei primi due punti appena trovato al quale assegniamomassa m1 +m2. Anche questo nuovo baricentro apparterra al convesso. Insomma, procedendo inN − 1 passi alla fine si trovera il baricentro totale di S e questo sara ancora interno al convesso.

Piani diametrali di simmetria

Si dice che un sistema S di punti materiali possiede un piano diametrale π, coniugato ad unaassegnata direzione r (non parallela al piano), quando ad ogni punto di S ne fa riscontro un altro,di egual massa, situato sulla parallela ad r passante per il primo, alla stessa distanza dal pianoπ e dalla banda opposta. I punti, che cosı si corrispondono, si chiamano coniugati. Un pianodiametrale π si chiama in particolare piano di simmetria (geometrico-materiale) quando ladirezione coniugata r e perpendicolare al piano.


Segue che: se un sistema possiede un piano diametrale, o in particolare un piano disimmetria, il baricentro giace in questo piano. Infatti, le coppie di punti coniugati hanno il lorobaricentro nel punto medio del segmento congiungente, cioe sul piano diametrale. In particolare: seun sistema ammette piu piani diametrali, questi hanno necessariamente almeno un punto in comune,cioe il baricentro del sistema.

Momento polare

Definizione 3.12. Definiamo come momento polare di un sistema S, rispetto ad un punto O, lasomma dei prodotti delle masse ms dei punti Ps di S per i quadrati delle loro distanze da O, cioe ilnumero:

MO =N∑

s=1

ms|O − Ps|2.

Teorema 3.13 (Teorema del Lagrange). Si puo caratterizzare il baricentro di un generico sistemacome quel punto dello spazio per cui il momento polare risulta minimo.

Dimostrazione. Infatti si prova direttamente che

MO =N∑

s=1

ms|O − Ps|2

=N∑

s=1

ms|O −G|2 +N∑

s=1

ms|G− Ps|2 + 2N∑

s=1

ms(G− Ps) · (O −G)

=MG +m|O −G|2

poiche∑Ns=1ms(G− Ps) = 0.

3.2.3 Baricentro di un corpo, di una superficie e di una linea materiale

Nel caso di sistemi continui il baricentro di un corpo e definito dall’espressione vettoriale

G−O =1

M

∫

V(P −O)µdV, M =

∫

VµdV , (3.22)

dove V e la regione dello spazio occupata dal corpo e µ ne e la sua densita. Dalla (3.22), proiettatasugli assi, si ottengono per le coordinate xG, yG, zG di G, le espressioni

xG =1

M

∫

SxµdV, yG =

1

M

∫

VyµdV, zG =

1

M

∫

VzµdV . (3.23)

Tali formule restano valide anche per un qualsiasi superficie o linea materiale, quando si intendaµ la densita superficiale o lineare e al campo di integrazione a tre dimensioni una superficie o,rispettivamente, una curva.

I risultati gia visti nel caso di un sistema discreto di punti continuano a sussistere.Consideriamo il baricentro di alcune figure elementari:


Lamina triangolare omogenea

Osservando che ciascuna mediana e linea diametrale coniugata alla direzione del lato che essa dimezzaallora il baricentro appartiene ad ogni mediana e quindi il baricentro e dato dalla intersezione tra lemediane (piu precisamente si ha che, fissato un lato come base, il baricentro si trova sulla corrispon-dente mediana, ad un terzo della sua lunghezza a partire dalla base).

Arco di circonferenza omogenea

Sia AB l’arco avente un angolo al vertice α e raggio r, O

α θ

.

Fig. 3.2. Baricentro di un arco di circonferenza.

il centro della circonferenza ed M il punto medio dell’arco.La retta OM e manifestamente un asse di simmetria, quindiil baricentro sta su tale retta. Per precisare la posizione diG su tale retta si procede al seguente calcolo: introducendoun sistema di coordinate cartesiane aventi centro O e l’asseOM quale asse (O; y) allora abbiamo che

xG = 0 e yG =1

m

∫

ABµyds

dove m e la massa dell’arco e µ la sua densita data daµ = m/rα. Introducendo l’angolo θ = POM , dove P e ungenerico punto sull’arco, l’integrale prende la forma

yG =1

rα

∫ α/2

−α/2r cos θrdθ

=r

α

∫ α/2

−α/2cos θdθ =

2r

αsin(α/2).

Questo risultato puo essere anche rivisto nel seguente modo: assumendo 0 ≤ α ≤ 2π ed essendoAB = 2r sin(α/2) la lunghezza della corda congiungente A e B e S = rα la lunghezza dell’arco,allora segue che

OG = rAB

S.

3.2.4 Momenti di inerzia

Definizione 3.14. Sia P un punto materiale di massa m, r una retta generica, d la distanza di Pda r. Per momento di inerzia di P rispetto all’asse r, si intende il prodotto md2 della massa diP per il quadrato della sua distanza dall’asse. In generale, dato un sistema S, costituito da N puntimateriali Ps di massa ms, si chiamera momento di inerzia Ir del sistema rispetto all’asse r,la somma dei momenti di inerzia dei singoli suoi punti:

Ir =N∑

s=1

msd2s, (3.24)

dove indichiamo con ms la massa del punto generico Ps del sistema e con ds la sua distanza da r.Nel caso di masse distribuite con continuita nel volume S il momento di inerzia e dato da:


Ir =∫

Sd2µdS

dove d e la distanza dall’asse del generico elemento dS di campo intorno a un punto P e µ denotala densita.

Fig. 3.3. Teorema di Huyghens: scelta dei sistemi di refiremento.

Nel seguito discuteremo le proprieta principali dei momenti di inerzia supponendo di operare con unadistribuzione discreta di corpi puntiformi. I risultati ottenuti valgono anche nel caso piu generale didistribuzione continua dove, nelle dimostrazioni, basta sostituire alle somme gli integrali.

Momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli

Teorema 3.15 (Teorema di Huyghens). Il momento di inerzia Ir di un sistema S rispetto ad unasse r e uguale al momento di inerzia Ir0 rispetto all’asse parallelo r0, passante per il baricentro,aumentato del prodotto della massa totale m per il quadrato della distanza d tra questi due assi:

Ir = Ir0 +md2.

Segue che, tra tutti gli assi paralleli a una direzione data, quello per cui il momento di inerzia eminimo passa per il baricentro.

Dimostrazione. Scegliamo un sistema di riferimento (O; x, y, z) in cui O coincide con il baricentro,l’asse (O; z) con l’asse r0 e l’asse r con l’asse di equazioni y = 0 e x = d. Rispetto a questo sistemadi riferimento e assumendo che il sistema sia costituito da un numero discreto di punti avremo che

Ir0 =N∑

s=1

ms(x2s + y2s) e Ir =

N∑

s=1

ms((xs − d)2 + y2s)

che sviluppata da


Ir =N∑

s=1

ms(x2s + y2s + d2 − 2dxs)

=N∑

s=1

ms(x2s + y2s) + d2

N∑

s=1

ms − 2dN∑

s=1

msxs = Ir0 +md2

essendo∑Ns=1msxs = mxG = 0 poiche G = O.

Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti

Teorema 3.16. Sia data una retta r, sia (O; x, y, z) un sistema di riferimento ortogonale destrocon O appartenente alla retta r, siano α, β, γ i coseni direttori della retta r (comunque orientata)rispetto agli assi coordinati. Si prova che il momento di inerzia di un dato sistema S rispetto allaretta r vale:

Ir = Aα2 + Bβ2 + Cγ2 − 2A′αβ − 2B′αγ − 2C ′βγ (3.25)

dove si e posto:

A = Ix =∑Ns=1ms(y

2s + z2s)

B = Iy =∑Ns=1ms(x

2s + z2s)

C = Iy =∑Ns=1ms(y

2s + x2s)

e

A′ =∑Ns=1msxsys

B′ =∑Ns=1msxszs

C ′ =∑Ns=1msyszs

(3.26)

Dimostrazione. la dimostrazione si effettua con un calcolo diretto osservando che la distanza ds diun punto Ps da un asse passante per O avente direzione individuata da un versore r = αı + β + γke data da

ds = |(Ps −O)× r| =

∣∣∣∣∣∣∣det

ı kxs ys zsα β γ

∣∣∣∣∣∣∣

=√(ysγ − zsβ)2 + (xsγ − zsα)2 + (xsβ − ysα)2.

Quindi

Ir =N∑

s=1

msd2s =

N∑

s=1

ms

[(xsβ − ysα)

2 + (xsγ − zsα)2 + (ysγ − zsβ)

2]

=N∑

s=1

ms

[(x2s + z2s)β

2 + (y2s + z2s)α2 + (x2s + y2s)γ

2+

−2xsy2αβ − 2x2z2γα− 2yszsβγ]

completando cosı la dimostrazione.

La (3.25) determina il momento di inerzia, rispetto ad ogni direzione α, β, γ, passante per O, infunzione delle sei costanti A, B, C, A′, B′ e C ′, che dipendono dalla natura del sistema manon del particolare asse r. Si noti che la (3.25) e una funzione quadratica e omogenea nelleα, β, γ; in particolare rimane inalterata quando invertiamo α, β e γ con −α, −β e −γ.


I coefficienti A, B, C hanno un significato ovvio, sono i momenti di inerzia di S rispettoagli assi coordinati. Gli altri tre coefficienti A′, B′, C ′ si chiamano prodotti di inerzia o anchemomenti di deviazione.

Si noti che il calcolo dei tre momenti d’inerzia si puo effettuare come:

A = s2 + s3, B = s1 + s3, C = s2 + s1, (3.27)

dove s1, s2, s3 sono i momenti di inerzia del sistema S rispetto ai piani coordinati:

s1 =N∑

s=1

msx2s, s2 =

N∑

s=1

msy2s , s3 =

N∑

s=1

msz2s . (3.28)

3.2.5 Ellissoide d’inerzia e assi principali

Immaginiamo di portare su ciascun raggio (determinato da α, β, γ) uscente da O il segmento dilunghezza (perdendone il significato dimensionale)

OL =1√Ir, cioe x = α/

√Ir, y = β/

√Ir e z = γ/

√Ir,

dove Ir e la funzione quadratica di α, β, γ definita dalla (3.25). Escludendo il caso particolareche tutti i punti appartengano ad una medesima retta passante per O, il momento di inerziaIr = Ir(α, β, γ) non puo essere mai nullo. Percio 1√

Ir e, in corrispondenza ad ogni raggio,

un numero finito ed il luogo dei punti L costituisce una superficie chiusa simmetrica rispetto alpunto O. Designando ora con x, y, z le coordinate di un generico punto L e essendo α = x

√Ir, β =y√Ir, γ = z

√Ir; la (3.25) diventa:

Ax2 + By2 + Cz2 − 2A′yz − 2B′zx− 2C ′xy = 1; (3.29)

che e l’equazione di una quadrica che, essendo chiusa, e un ellissoide il cui centro e O.

Definizione 3.17. L’ellissoide di equazione (3.29) si chiama ellissoide d’inerzia relativo alpunto O.

Noto tale ellissoide si ha subito il momento di inerzia rispetto ad ogni retta r passante per O.Infatti, essendo L uno dei due punti in cui r incontra l’ellissoide, sara Ir = 1

OL2 . Da qui risultache, tra tutti gli assi condotti per O, quello che da il piu piccolo momento di inerzia e l’assemaggiore dell’ellissoide, quello che da il piu grande momento di inerzia e l’asse minoredell’ellissoide. Gli assi dell’ellissoide di inerzia si chiamano assi principali di inerzia relativi alpunto considerato e, assumendoli, come assi coordinati, la (3.29) si riduce alla forma particolare

Ax2 + By2 + Cz2 = 1,

in questo caso A, B, C prendono il nome di momenti di inerzia relativi agli assi principali omomenti principali di inerzia.


.

.

Fig. 3.4. Ellissoide d’inerzia di centro O.

Calcolo di ellissoidi d’inerzia

Premettiamo le seguenti osservazioni che facilitano il calcolo dell’ellissoide d’inerzia:

i. Se un sistema S ammette un piano di simmetria, ogni perpendicolare a questo piano e asseprincipale di inerzia rispetto al suo piede, cioe rispetto all’ellissoide di inerzia avente centro datodalla intersezione tra l’asse ed il piano. Infatti, sia z = 0 questo piano; quindi ad ogni punto Ps dicoordinate (xs, ys, zs) e massa ms corrisponde attraverso la simmetria un punto Ps′ di coordinate(xs′ = xs, ys′ = ys, zs′ = −zs) e massa ms′ = ms. Da cio segue che i momenti di deviazione

B′ =N∑

s=1

msxszs e C ′ =N∑

s=1

msyszs

sono nulli poiche le somme si possono organizzare come una serie di somme di due elementi aventistessa massa, stesse coordinate xs e ys e coordinata zs opposta. Inoltre se un sistema possiededue piani ortogonali di simmetria, questi sono necessariamente piani principali dell’ellissoide diinerzia relativo ad un punto qualsiasi della loro intersezione.

ii. Sia il sistema S appartenente ad un piano e sia il centro O dell’ellissoide appartenente anch’esso alpiano. Scegliamo il sistema di coordinate (O; x, y, z) con z ortogonale al piano. Il piano (O; x, y),in quanto contenente la figura, e manifestamente un piano di simmetria materiale e quindi l’assez e un asse principale d’inerzia: B′ = C ′ = 0. Inoltre vale anche la seguente proprieta, essendozs = 0 per ogni punto Ps allora:

C =∑

s

ms(x2s + y2s) =

∑

s

ms(x2s + z2s) +

∑

s

ms(y2s + z2s) = A+ B.

Vediamo alcuni esempi:

Lamina rettangolare omogenea

Volendo calcolare l’equazione dell’ellissoide d’inerzia di centro O, dove O coincide con uno dei verticidella lamina, sia (O; x, y, z) scelto in modo che la lamina sia contenuta nel piano (O; x, y) e che gli assi


Fig. 3.5. Matrice d’inerzia per una lamina rettangolare omogenea (figura a sinistra) e per un disco pieno omogeneo (figura adestra).

(O; x) e (O; y) siano paralleli ai lati del rettangolo in modo che lamina sia tutta nel primo quadrante.Siano i lati di lunghezza a e b. Essendo µ = m/ab si ha che:

A =∫

laminaµy2dxdy =

m

ab

∫ a

0dx∫ b

0y2dy =

1

3mb2.

Analogamente segue che B = 13ma2 e quindi C = A + B = 1

3m(a2 + b2). Per cio che riguarda il

momento di deviazione abbiamo che B′ = C ′ = 0 e che

A′ =∫

laminaµxydxdy =

m

ab

∫ a

0xdx

∫ b

0ydy =

1

4mab.

Disco piano omogeneo

Calcoliamo l’equazione dell’ellissoide d’inerzia di centro O, dove O coincide con il centro del disco.Sia (O; x, y, z) scelto in modo che il disco sia contenuto nel piano (O; x, y). L’asse z e un asseprincipale d’inerzia e inoltre, poiche ogni asse passante per il centro e appartenente al piano (O; x, y)e di simmetria, segue che anche gli assi x e y sono principali di inerzia; infine si osservi che ruotando diπ/2 il disco il sistema materiale si presenta invariato allora segue che A = B e che quindi A = B = 1

2C.

Rimane dunque da calcolare solo C, sia R il raggio del disco e µ = m/πR2, si ha che:

C =∫

discoµ(x2 + y2)dxdy =

m

πR2

∫ 2π

0dθ∫ R

0r2rdr =

1

2mR2.

3.2.6 Matrice d’inerzia

Matrice d’inerzia

Fissata una terna (O; x, y, z) si definisce la matrice d’inerzia

I =

I11 I12 I13I21 I22 I23I31 I32 I33


dove

I11 = A, I22 = B, I33 = Ce

I12 = I21 = −A′, I13 = I31 = −B′, I23 = I32 = −C ′.

Quindi si ha che l’equazione dell’ellissoide di inerzia puo essere anche scritta come

(x, y, z)I

xyz

= 1 o, in modo piu, sintetico vT Iv = 1, v =

xyz

.

Usando le notazioni introdotte nel primo capitolo si ha che, assegnata la base (O; x, y, z) glielementi della matrice d’inerzia sono Iij e cambiando il sistema di riferimento mediante una matriceortogonale A allora la nuova matrice d’inerzia assume la forma

I ′ = AIAT .

Gli assi principali d’inerzia sono gli autospazi della matrice d’inerzia ed i corrispondenti momentidi inerzia ne sono gli autovalori λ1, λ2 e λ3 (supposti distinti). La ricerca delle terne principali diinerzia equivale alla diagonalizzazione della matrice d’inerzia. Nel riferimento principale la matriced’inerzia ha infatti rappresentazione

I =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

Determinazione di due assi principali d’inerzia noto il terzo

Scegliamo un sistema di riferimento (O; x, y, z) dove O e il centro dell’ellissoide e (O; z) coincide conl’asse principale d’inerzia noto. La corrispondente matrice d’inerzia ha quindi la forma

I =

I11 I12 0I21 I22 00 0 λ3

dove assumiamo I12 6= 0 (poiche altrimenti il problema e gia risolto). Effettuiamo una rotazionedel piano (O; x, y) su se stesso in modo da lasciare l’asse (O; z) invariato; la matrice ortogonale chedefinisce questa rotazione e data da

A =

cosϕ sinϕ 0− sinϕ cosϕ 00 0 1

dove ϕ denota l’angolo x′Ox. Rispetto al nuovo sistema di riferimento la matrice d’inerzia assumela forma

I ′ = AIAT =

I ′11 I

′12 0

I ′21 I′22 0

0 0 λ3

dove I ′12 =

I22 − I112

sin 2ϕ+ I12 cos 2ϕ.

Gli assi principali d’inerzia hanno direzione tale che I ′12(ϕ) = 0, cioe:


i. se I11 = I22 allora deve essere cos 2ϕ = 0, ϕ = ±π/2 e gli assi principali d’inerzia coincidono conle bisettrici del piano (O; x, y);

ii. se I11 6= I22 allora deve essere tan2ϕ = 2 I12I11−I22 ed i due valori che soddisfano questa equazione

danno i due assi principali d’inerzia.

3.2.7 Ellissoide centrale di inerzia

Definizione 3.18. L’ellissoide di inerzia avente come centro il baricentro G del sistema si dice el-lissoide centrale di inerzia.

Si ha che:

Teorema 3.19. Ogni asse principale di inerzia dell’ellissoide centrale di inerzia e asse principaledi inerzia anche rispetto ad ogni altro suo punto.

Infatti sia, per l’ipotesi, l’asse (G; z) principale di inerzia:

B′ =∑

s

msxszs = 0 e C ′ =∑

s

msyszs = 0.

Prendendo ora un altro punto O sull’asse (G; z), distante d dal baricentro, come centro dell’ellissoidedi inerzia (lasciando gli assi inalterati) e calcolando i prodotti d’inerzia rispetto a questo nuovosistema di riferimento abbiamo che

B′1 =

N∑

s=1

msys(zs − d) =N∑

s=1

msyszs − dN∑

s=1

msys = B′ −mdyG = 0

dove sono nulli sia B′ che la coordinata yG del baricentro in quanto questo appartiene all’asse z.Analogamente si prova che C ′

1 = 0.Viceversa:

Corollario: Se una retta e asse principale d’inerzia rispetto ad un suo punto, e passa per ilbaricentro, allora e asse principale di inerzia rispetto al baricentro (e quindi rispetto ad ognialtro suo punto).

Si noti che, assegnati (oltre alla massa totale) gli assi e i momenti principali relativi al baricentro,allora si riesce a caratterizzare in modo completo la distribuzione dei momenti di inerzia di un datosistema.

3.2.8 Esercizi

Esercizio 3.1: Calcolare il baricentro del sistema costituito da un’asta OP omogenea lunga 2ℓ emassa 2m avente nell’estremo P una pallina di massa m e collegata ad angolo retto in O con l’astaOA omogenea lunga 4ℓ e massa 5m.

Esercizio 3.2: Calcolare le coordinate del baricentro di un arco omogeneo di raggio R e massam corrispondente ad un angolo al centro di ampiezza α.

Esercizio 3.3: Calcolare il baricentro di un settore circolare omogeneo di raggio R e con angoloal centro α.


Esercizio 3.4: Calcolare il baricentro di un settore omogeneo di corona circolare corrispondentead un angolo al centro α e di raggi r1 < r2.

Esercizio 3.5: Calcolare le coordinate del baricentro di un disco omogeneo (di densita µ nota) diraggio r2 e centro O a cui e stato tolto un disco di raggio r1 <

12r2 avente centro C distante 1

2r2 da

O.

Esercizio 3.6: Calcolare il baricentro di una zona di superficie sferica omogenea essendo noti ilraggio r della sfera e le quote z1 < z2 della zona sferica.

Esercizio 3.7: Calcolare il baricentro di una semisfera omogenea di raggio R.

Esercizio 3.8: Calcolare il baricentro di una asta rigida AB di lunghezza ℓ non omogenea e didensita µ(P ) = m

ℓ2(|AP |+ ℓ).

Esercizio 3.9: Calcolare il baricentro di una colonna cilindrica d’aria di altezza h e raggio Rsapendo che la densita dell’aria dipende dall’altezza z secondo la legge µ(z) = µ0e

−Kz, µ0 e Kcostanti.

Esercizio 3.10: Calcolare il momento di inerzia I di un’asta AB omogenea, di massa m elunghezza ℓ, rispetto a:

i. una retta r passante per il baricentro dell’asta e inclinata di un angolo α rispetto all’asta, deter-minare, in particolare, il momento per α = π/2;

ii. una retta r′ passante per un estremo dell’asta e inclinata di un angolo α rispetto all’asta facendouso del risultato trovato in i) e del Teorema di Huyghens, determinare, in particolare, il momentoper α = π/2.

Esercizio 3.11: sia dato il sistema di riferimento (O; x, y, z) e sia data una lamina rettangolareABCD, rigida, omogenea, di massa m e con lunghezze dei lati a e b. I vertici di tale lamina hannocoordinate A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, b, 0) e D(0, b, 0). Si domanda:

i. determinare i momenti d’inerzia ed i momenti di deviazione rispetto agli assi coordinati;ii. facendo uso dell’equazione dell’ellissoide di inerzia, determinare il momento d’inerzia Ir per la

lamina rispetto alla retta r congiungente i vertici A e C;iii. facendo uso dell’equazione dell’ellissoide di inerzia, determinare il momento d’inerzia Ir′ per la

lamina rispetto alla retta r′ bisettrice del primo quadrante;iv. facendo uso del risultato trovato in iii. e del Teorema di Huyghens trovare il momento d’inerzia Ir′′

per la lamina rispetto alla retta r′′ passante per il baricentro della lamina e parallela alla bisettricedel primo quadrante;

v. determinare gli assi principali di inerzia ed i momenti principali di inerzia sia calcolando gliautovalori e autovettori della matrice d’inerzia, sia attraverso una rotazione del piano (O; x, y) inse stesso.

Esercizio 3.12: sia dato il sistema di riferimento (O; x, y, z) e sia data una lamina triangolareABC, rigida, omogenea, di massa m e con lunghezze dei cateti a e b. I vertici di tale lamina hannocoordinate A(0, 0, 0), B(a, 0, 0) e C(0, b, 0). Si domanda:

i. determinare i momenti d’inerzia ed i momenti di deviazione rispetto agli assi coordinati;ii. determinare gli assi principali di inerzia ed i momenti principali di inerzia sia calcolando gli

autovalori e autovettori della matrice d’inerzia, sia attraverso una rotazione del piano (O; x, y) inse stesso.


Esercizio 3.13: Sia dato il sistema di riferimento (O; x, y, z); calcolare i momenti d’inerzia e dideviazione rispetto agli assi coordinati di:

i. un filo circolare omogeneo, di massa m, raggio R, centrato in O e contenuto nel piano (O; x, y), atal fine e sufficiente osservare che i momenti di deviazione sono nulli, che Ix = Iy per ragioni disimmetria, che Iz = Ix + Iy poiche la figura e contenuta nel piano (O; x, y) e infine che Iz = mR2

poiche tutti i punti del filo distano R da O;ii. un disco omogeneo, di massa m, raggio R, centrato in O e contenuto nel piano (O; x, y).

Esercizio 3.14: Calcolare il momento d’inerzia di una sfera omogenea di raggio R e massa m,rispetto ad un qualsiasi diametro r, a tal fine conviene osservare che Ix = Iy = Iz = Ir per ognidiametro r e quindi che Ir =

23IO dove IO e il momento di inerzia polare.

4

Statica

4.1 Statica del punto e attrito

4.1.1 Attrito per un punto appoggiato su di una superficie

Si e visto che affinche un punto materiale, in un certo intervallo di tempo, si mantenga in equilibrioe necessario e sufficiente che, ad ogni istante, si annulli il risultante di tutte le forze agenti sul punto;vale a dire di tutte le forze attive

F = 0

se si tratta di un punto libero, delle forze attive e delle reazioni vincolari

F+ φ = 0 (4.1)

se si tratta di un punto vincolato. Studiamo ora alcuni casi.

Punto su piano orizzontale

Se consideriamo un corpo puntiforme P appoggiato ad un piano orizzontale e soggetto alla sola forzapeso esso resta in quiete e, in base alla condizione di equilibrio (4.1), la reazione e direttamenteopposta al peso; cioe si esplica normalmente al piano di appoggio. Se sottoponiamo poi il puntoad una trazione orizzontale, oltre che alla forza peso, diremo trazione limite la massima intensitaτ0 di una forza orizzontale che applicata in P lo lascia in quiete. Se p e il peso del punto P , τ0 lacorrispondente trazione limite, allora si osserva sperimentalmente che il rapporto τ0/p non dipendedal peso considerato o dalla forma ed estensione della superficie di appoggio, ma solo dalla naturafisica del punto P e del suolo. Il rapporto τ0/p si chiama coefficiente di attrito (statico) e sisuole indicare con f (o fs per precisare che e un coefficiente di attrito statico).

Possiamo quindi assumere valida, come da evidenza sperimentale, la seguente legge: per l’equilibriodi un punto materiale P di peso p, appoggiato su di un piano orizzontale e sollecitatoda una trazione orizzontale di intensita τ , occorre e basta che τ non superi la trazionelimite τ0, ossia che, indicando con fs il coefficiente di attrito fra le sostanze costitutivedel punto e del piano orizzontale si abbia τ ≤ fsp.

74 4 Statica

Punto appoggiato ad un piano qualsiasi (non necessariamente orizzontale)

Sia il punto P appoggiato ad una parete piana e sia soggetto alla sollecitazione di certe forze attivedi cui sia F la risultante (incluso il peso se P e un punto materiale pesante); indichiamo con N lanormale interna in P alla parete, cioe la perpendicolare al piano orientata nel verso in cui al puntoe vietato il moto dal vincolo. Segue quindi come condizione necessaria per l’equilibrio in P larelazione

F · N = FN ≥ 0. (4.2)

Denotiamo con Ft = F − FN N la componente della forza F secondo il piano; indicando con fs ilcoefficiente di attrito del punto P rispetto alla parete, la condizione necessaria e sufficiente perl’equilibrio e data, sotto l’ipotesi (4.2), dalla relazione

|Ft| ≤ fsFN . (4.3)

E ovvio che sotto la condizione FN < 0 il vincolo, per la sua natura unilaterale, non e atto a limitarein alcun modo la liberta del punto (quindi si comporta come un punto materiale libero soggetto allaforza F).

Punto appoggiato ad una superficie σ qualsiasi

Se fs e il coefficiente di attrito di P sulla superficie σ ed FN e Ft sono rispettivamente le intensita dellecomponenti di F secondo la normale interna e il piano tangente, le condizioni necessarie e sufficientiper l’equilibrio sono date dalle (4.2) e (4.3). La (4.3) si puo scrivere come

|Ft|FN

= tgα ≤ fs,

dove α e l’angolo formato dal vettore F e la normale alla superficie. Se indichiamo con φ l’angolola cui tangente e f allora la (4.3) diventa α ≤ φ. Chiamando angolo di attrito questo angolo φe falda interna del cono di attrito il luogo delle semirette uscenti da P che formano l’angolo φcon la normale interna, concludiamo che per l’ equilibrio di un punto materiale appoggiatoad una superficie e necessario e sufficiente che la forza attiva totale non sia esterna allafalda interna del cono di attrito.

Commento sull’attrito: sapendo che la condizione di equilibrio del punto deve essere F+ φ =0 e chiamando falda esterna del cono di attrito la falda opposta al vertice della falda interna,possiamo affermare che: la reazione φ, che una superficie materiale σ esplica su di unpunto materiale P in contatto con essa, dipende dalla sollecitazione totale attiva F diP . In condizioni statiche, la φ e sempre rivolta verso l’esterno ed e non esterna allafalda esterna del cono di attrito. La componente tangenziale della reazione φ, in condizionistatiche, si dice attrito radente o statico. A differenza di quanto considerato, secondo alcuni autoril’attrito viene considerato come una forza attiva (pero incognita!); questa interpretazione e giustificatadall’osservazione che l’attrito interviene sul punto come una azione in grado di modificarne il motoed ha quindi tutte le caratteristiche di una forza resistente; mentre non puo essere interpretato comeuna reazione vincolare poiche non limita a priori in alcun modo gli spostamenti e le velocita delpunto.

4.1 Statica del punto e attrito 75

.

σ

φ

φ

Fig. 4.1. Nel caso in cui la reazione vincolare φ1 cade internamente al cono di attrito si ha equilibrio. Non si ha invece equilibrioquando la reazione vincolare φ2 cade esternamente al cono di attrito. Il versore N denota la normale alla superficie σ in P

Superficie priva di attrito

Quando fs = 0, si dice che l’appoggio o il contatto sono realizzati senza attrito, o anche che lasuperficie σ e priva d’attrito. Il cono di attrito si riduce alla normale e la (4.3) si riduce alla solacondizione

Ft = 0. (4.4)

Si esige dunque, per l’equilibrio, che la forza attiva F sia puramente normale; nel caso di un vincolounilaterale di appoggio e poi necessario, in virtu della (4.2), che questa sollecitazione normale siarivolta verso l’interno del corpo che realizza l’appoggio o il contatto con P .

Nel caso ideale di una superficie priva di attrito, la componente tangenziale della reazione e nullao, in altre parole, la reazione si esplica tutta secondo la normale esterna.

Osserviamo che: nelle questioni statiche, prescindendo dall’attrito, si agisce in favoredella sicurezza. Cioe se le forze esterne attive rimangono equilibrate da reazioni normali allora losono anche da forze appartenenti alle falde dei coni d’attrito (qualunque siano questi coni). Occorrerilevare che possono darsi casi di equilibrio, non soltanto favoriti, ma traenti addirittura dall’attritola possibilita di sussistere.

4.1.2 Punto vincolato a muoversi su di una superficie o su una curva.

Consideriamo un punto materiale P costretto a muoversi su una data superficie σ (vincolo bilaterale),realizzato immaginando che il punto sia costretto a muoversi su due superfici uguali vicinissime l’unaall’altra. Ragionando come nel caso di un punto appoggiato ad una superficie chiamiamo conodi attrito l’insieme delle due falde di cono relative ai due vincoli unilaterali costituenti il vincolobilaterale. Avremo che:

Teorema 4.1. Condizione necessaria e sufficiente affinche un punto materiale, vincolato a muoversisu di una superficie, resti in equilibrio sotto la sollecitazione di una forza e che questa non sia esternaal cono di attrito.

76 4 Statica

In particolare, se la superficie e priva di attrito, sara necessario e sufficiente che la forza siadiretta secondo la normale alla superficie. La reazione φ, in condizioni statiche, risulta univoca-mente determinata, come direttamente opposta alla forza sollecitante. Estendendo poi questoragionamento ad una curva γ abbiamo il seguente risultato.

Teorema 4.2. Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale P costrettoa restare sopra una curva γ e che il valore assoluto della componente tangenziale Ft della forza attivanon superi una certa frazione fs del valore assoluto FN della componente normale:

|Ft| ≤ fsFN = fs√|Fn|2 + |Fb|2.

Cioe che la forza non sia interna ad un certo cono rotondo che ha la tangente per asse. Il caso diun vincolo privo di attrito implica Ft = 0, cioe una sollecitazione puramente normale alla curva.

4.2 Equazioni cardinali della statica

4.2.1 Commento sui sistemi di forze

Nella nostra trattazione consideriamo un qualunque sistema meccanico come costituito da un numerofinito di punti discreti di massa finita (e non nulla) sui quali si pensano applicate le eventuali forzeattive e vincolari.

Di fatto le forze attive possono essere concentrate, rappresentate appunto da vettori Fs applicatinei punti Ps, o di massa, rappresentate da una forza specifica fm = fm(r, r, t) dove r ∈ S e doveS e la porzione di spazio occupata dal sistema meccanico (ad esempio la forza peso). I vettoricaratteristici (vettore risultante e momento risultante) saranno definiti come

R =N∑

s=1

Fs +∫

Sρ(s)fmds

e

Ω(O) =N∑

s=1

Fs × (O − Ps) +∫

Sρ(s)fm × (O − P (s)) ds.

Le reazioni vincolari sono quelle che si esplicano a seguito del mutuo contatto di due o piu solidied hanno la loro origine fisica nelle forze di interazione tra le molecole dei solidi in prossimita dellesuperfici di contatto. Ricordando che queste mutue interazioni hanno un raggio di azione molto breveallora si puo concludere che queste si possono riguardare come forze di superficie; supporremo cheanche per queste sia possibile definire una forza per unita di superficie f s = f s(r, r, t), continua rispettoai suoi argomenti. Si deve osservare che queste forze sono profondamente influenzate, per la lorostessa natura, dalle deformazioni che subiscono i corpi nelle regioni adiacenti alle superfici di contatto.L’ipotesi di rigidita, non considerando queste deformazioni, rende impossibile la determinazione dellafunzione f s che risultera quindi incognita (al contrario delle forze attive per le quali sono note le leggidi forza). Talvolta accade che il contatto tra due solidi, ad esempio, avvenga su superfici σ diestensione sufficientemente piccola in modo da potere confondere queste superfici con un solo loropunto (vedremo poi che, almeno per certe analisi, e necessario aggiungere alla reazione che si destain questo punto una coppia di momento incognito). In questo caso avremo un sistema di reazioni

4.2 Equazioni cardinali della statica 77

vincolari di vettori φs applicate nei punti Or, r = 1, . . . , N ′, ed i vettori caratteristici saranno datida

Φe =N ′∑

r=1

φr +∫

∂Sf sdσ

e

Ψ(O) =N ′∑

r=1

φr × (O −Or) +∫

∂Sf s × (O − Ps)dσ

dove gli integrali si intendono estesi alla superficie del corpo.Osserviamo che la impossibilita di assegnare le leggi di forza non rende ”a priori” arbitrari i vettori

φs e il campo vettoriale f s, ad esempio e sperimentalmente noto che una superficie perfettamentelevigata puo esplicare soltanto le reazioni vincolari ad essa normali. Se i contatti non sono lisci ecioe sono scabri, le condizioni precedenti vanno sostituite con altre piu complesse, diverse a secondache il sistema meccanico sia in quiete o in moto.

Premesso cio nel seguito assumeremo che il sistema di forze, sia attive che vincolari, sia costituitoda forze applicate su singoli punti del sistema materiale e quindi rappresentato da un insieme divettori applicati (Ps,Fs), s = 1, . . . , N

4.2.2 Vettori applicati

Definizione 4.3. Diremo vettore applicato la coppia (P,F) dove P denota un punto nello spazioe F un vettore.

Risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati

Definizione 4.4. Dato un vettore applicato (P,F) ed un punto O si chiama momento di polo Odel vettore F applicato in P il vettore

M(O) = (P −O)× F = F× (O − P ).

Definizione 4.5. Dato un sistema Σ di vettori applicati

Σ = (P1,F1), (P2,F2), . . . , (PN ,FN)

si dira vettore risultante del sistema il vettore

R =N∑

s=1

Fs

Scelto poi un qualunque punto O si denota momento risultante di polo O del sistema il vettore

M(O) =N∑

s=1

Fs × (O − Ps).

Vale la seguente proprieta:

78 4 Statica

Teorema 4.6. Dati due punti qualunque O e O′ nello spazio si ha che

M(O′) = M(O) +R× (O′ −O).

Dimostrazione. La verifica e immediata:

M(O′) =N∑

s=1

Fs × (O′ − Ps) =N∑

s=1

Fs × [(O′ −O) + (O − Ps)]

= R× (O′ −O) +M(O). (4.5)

Da questa proprieta segue che se il vettore risultante R e nullo allora il momento risultantee indipendente dalla scelta del polo, e viceversa.

Definizione 4.7. Dato un sistema Σ di vettori applicati avente risultante R e momento risultante,rispetto ad un polo O, M(O), chiameremo invariante la grandezza scalare

I = M(O) ·R.Proprieta tipica dell’invariante e che esso non dipende dal polo O. Infatti, siano dati due

punti qualunque O e O′, allora dalla (4.5) segue che:

M(O′) ·R = [R× (O′ −O) +M(O)] ·R = M(O) ·R.In particolare, l’invariante rappresenta la componente del momento risultante proiettatasull’asse avente direzione data dal vettore risultante. Questa componente risulta costante ede data da I/R dove R = |R|.

Asse centrale

Dato un sistema Σ di vettori applicati aventi vettore risultante R non nullo cerchiamo il luogogeometrico dei punti O′ rispetto ai quali il momento risultante M(O′) e parallelo al vettore risultanteR. Si dimostra che questo luogo geometrico e una retta avente la stessa direzione di R.

Infatti, fissato un punto O generico introduciamo un sistema di riferimento centrato in O e con(O; z) parallelo ed equiverso ad R = Rk. In questo caso la (4.5) proiettata lungo gli assi x, y e zprende la forma delle seguenti tre equazioni scalari

M ′x =Mx − yR, M ′

y =My + xR, M ′z =Mz

dove Mx,My,Mz sono le componenti di M(O), M ′x,M

′y,M

′z sono le componenti di M(O′) e dove

x, y, z sono le coordinate di O′. Scegliamo ora O′ tale che M ′x =M ′

y = 0, cioe

x = −My

R, y =

Mx

R.

Il luogo cercato e quindi una retta parallela al vettore risultante R e passante per O′ di coordinate(−My/R,Mx/R, z), z ∈ R.

In particolare, il momento risultante calcolato per i punti di tale retta risulta averemodulo minimo rispetto alla scelta del polo; infatti per i punti appartenenti a tale retta lacomponente ortogonale all’asse stesso e nulla mentre, per ogni punto, la componente parallela ecostante: M ′

z =Mz. Tale grandezza e detta momento minimo e coincide con |I|/R.Nel caso notevole in cui I = 0 e R 6= 0 segue che M(O′) = 0 per tutti i punti appartenenti a tale

retta; cioe


Teorema 4.8. Quando R 6= 0 e l’invariante e nullo

I = 0

allora il luogo geometrico dei punti O′ rispetto ai quali il momento risultante e nullo M(O′) = 0 euna retta, detta asse centrale, parallela al vettore risultante R.

Sistemi equivalenti di vettori applicati e loro riduzione

Definizione 4.9. Due sistemi di vettori applicati Σ e Σ ′ si dicono equivalenti quando hanno ugualevettore risultante e momento risultante rispetto ad un dato polo O:

R = R′ e ∃O | M(O) = M′(O). (4.6)

Dalla (4.5) segue che se la (4.6) e vera per un polo O allora e vera per ogni polo.

Esempi:

i. un sistema Σ di vettori applicati ad un medesimo punto

Σ = (O,F1), (O,F2), . . . , (O,FN)

e equivalente al loro risultante R =∑Ns=1 Fs applicato nel medesimo punto;

ii. sono equivalenti tra loro due vettori equipollenti e applicati sulla retta parallela ai vettori stessi.

Definizione 4.10. Diremo coppia ogni sistema formato da due vettori applicati opposti (cioe paral-leli e di verso opposto) (P,F) e (B,−F). La distanza delle rispettive linee d’azione (cioe della rettapassante per il punto di applicazione del vettore e parallela al vettore stesso) si dira braccio dellacoppia.

Essendo il vettore risultante di una coppia nullo allora il momento risultante e indipendente dallascelta del polo ed e dato, in modulo, dal prodotto tra il modulo di F e del braccio della coppia.Inoltre e ovvio dimostrare che dato un vettore M si possono costruire infinite coppie avente M comemomento.

Vale il seguente risultato:

Teorema 4.11 (Formulazione geometrica del Teorema di Mozzi). Un sistema di vettori ap-plicati Σ avente invariante non nullo I 6= 0 equivale sempre ad un sistema Σ ′ costituito daun vettore applicato e da una coppia. Nel caso in cui l’invariante sia nullo I = 0 allora ilsistema e equivalente a:

— un unico vettore applicato (O′,R) se e soltanto se R 6= 0, dove R e il vettore risultante di Σe dove il punto di applicazione O′ e un punto qualunque dell’asse centrale;

— alla sola coppia se e soltanto se R = 0 e M(O) 6= 0, dove M(O) e il momento risultante di Σrispetto ad un dato polo O;

— al sistema nullo se, e soltanto se, R = M(O) = 0; in quest’ultimo caso si dira anche che ilsistema di vettori applicati e equilibrato.

80 4 Statica

Dimostrazione. Consideriamo, per primo, il caso in cui sia l’invariante I nullo:

I = 0 ⇐⇒ (R = 0) ∨ (M(O) = 0) ∨ (R ⊥ M(O)).

Se M(O) = 0 allora il sistema equivale al sistema elementare costituito dal solo vettore applicato(O,R); se M(O) 6= 0 e R = 0 allora esistono infinite coppie di momento M ed il sistema equivalead una di queste coppie; infine se M(O) 6= 0, R 6= 0 e M(O) ⊥ R allora esiste un vettore w tale che

M(O) = R×w

Sia ora O′ tale che O −O′ = w, per costruzione segue che

M(O′) = M(O) +R× (O′ −O) = M(O)−R×w = 0

e quindi il sistema equivale ad una unico vettore R applicato in O′.Consideriamo ora il caso in cui l’invariante I sia non nullo e denotiamo con M⊥(O) la componente

perpendicolare a R e con M‖(O) la componente non nulla (altrimenti l’invariante sarebbe nullo)parallela a R:

M(O) = M⊥(O) +M‖(O)

Se M⊥(O) = 0 allora il sistema equivale ad un vettore applicato (O,R) e alla coppia di momentoM‖(O); se invece M⊥(O) 6= 0 allora, cambiando il polo O in modo opportuno, il sistema equivale adun vettore applicato (O′,R) e alla coppia di momento M‖(O) dove O

′ e tale che

M‖(O) = R× (O −O′).

Sistemi di vettori applicati paralleli

Definizione 4.12. Si dice sistema di vettori applicati paralleli un sistema Σ di vettori applicati(Ps,Fs), s = 1, 2, . . . , N , dove

Fs = Fsa, s = 1, 2, . . . , N

per un qualche versore a.

Osserviamo che per un sistema di vettori paralleli il vettore risultante, quando non nullo, risultaessere parallelo al versore a:

R =N∑

s=1

Fsa = Ra, R =N∑

s=1

Fs

Teorema 4.13. Un sistema Σ di vettori applicati paralleli e equivalente ad un unico vettore o aduna coppia.

Dimostrazione. La dimostrazione e immediata e segue dal fatto che l’invariante

I = R ·M(O) =

(N∑

s=1

Fs

)a ·[N∑

s=1

Fsa× (O − Ps)

]

=

(N∑

s=1

Fs

)a · a×

[N∑

s=1

Fs(O − Ps)

]= 0


e nullo. Nel caso particolare in cui R 6= 0 allora segue, da quanto detto, che il sistema equivale adun unico vettore applicato in un punto qualunque all’asse centrale; se invece R = 0 allora il sistemae equivalente ad una coppia di momento M(O).

Osserviamo che al variare della direzione a varia anche l’asse centrale. Si dimostra che:

Teorema 4.14. Sia dato un sistema Σ di vettori applicati paralleli

(Ps,Fs), Fs = Fsa, s = 1, . . . , N.

Se R = Ra 6= 0 allora esiste un unico punto C, detto centro dei vettori paralleli, tale che ilsistema di vettori Σ e equivalente all’unico vettore applicato (C,R) e tale che C non muta se sicambia la direzione comune dei vettori stessi ma si conservano i punti di applicazione e le lunghezzedei vettori. Assumendo O l’origine del sistema di riferimento si ha che

C −O =

∑Ns=1 Fs(Ps −O)

R.

Dimostrazione. La dimostrazione e immediata: infatti C deve essere la soluzione della equazioneM(C) = 0, che deve avere soluzione indipendente da a. Tale equazione ha la forma

0 =N∑

s=1

Fsa× (C − Ps) = a×[N∑

s=1

Fs(C − Ps)

]

che risulta soddisfatta indipendentemente da a se, e soltanto se,

0 =N∑

s=1

Fs(C − Ps)

da cui segue la tesi.

4.2.3 Sistemi di vettori applicati riducibili

Operazioni elementari

Dato un sistema di vettori applicati Σ chiameremo operazioni elementari le seguenti:

a) Composizione o decomposizione di vettori applicati: ossia la sostituzione di vettori, appli-cati nel medesimo punto, con il loro risultante, e viceversa.

b) Scorrimento di vettori lungo la linea d’azione: ossia la sostituzione sulla linea d’azione di unvettore applicato qualsiasi con un altro equipollente situato in un altro punto della linea d’azione.Tale operazione equivale alla aggiunta o soppressione di due vettori direttamente opposti.

E ovvio che un sistema di vettori Σ ′ ottenuta a partire da Σ mediante una successione di operazionielementari e equivalente al sistema iniziale; infatti le operazioni di composizione o decomposizionee di scorrimento non alterano i vettori caratteristici di Σ. Vale anche il viceversa: cioe duesistemi equivalenti sono riducibili l’uno all’altro mediante una successione di operazionielementari.

Questa proprieta discende dal seguente Teorema:

82 4 Statica

π

π

Fig. 4.2. Riduzione di un sistema di 3 forze a 2 forze.

Teorema 4.15. Ogni sistema Σ di vettori applicati e riducibile ad un sistema Σ ′ costituito da duesoli vettori applicati.

Dimostrazione. Dimostriamo prima il teorema nel caso in cui Σ sia costituito dai soli tre vettoriapplicati (P1,F1), (P2,F2) e (P3,F3). Se, come caso particolare, le linee di azione di due vettoriapplicati, diciamo (P1,F1) e (P2,F2), sono incidenti in un punto P allora mediante una operazioneelementare di scorrimento e poi di composizione segue che questi due vettori applicati sono riducibiliall’unico vettore (P,F1 + F2). Se poi i tre vettori applicati sono paralleli e contenuti in un pianoπ, cioe P1, P2, P3 ∈ π e Fi = Fia con a che giace in π, allora scomponendo F1 = F′

1 + F′′1, con F′

1

e F′′1 non paralleli ad a, otteniamo un nuovo sistema di quattro vettori applicati (P1,F

′1), (P2,F2),

(P1,F′′1) e (P3,F3) costituito da due coppie di vettori incidenti in un punto e quindi riducibile a

due vettori applicati. Rimane quindi da dimostrare il caso generale in cui le linee di azione nonsono tutte parallele tra loro e i punti non appartenenti ad un unico piano o incidenti in un unicopunto. Sia ora r la retta intersezione tra il piano π, avente asse (P2,F2) e passante per P1, edil piano π′, avente asse (P3,F3) e passante per P1, e sia P un qualunque punto appartenente ar e distinto da P1. Scomponiamo (P2,F2) lungo le linee PP2 e P1P2 ottenendo un nuovo sistema(P2,F

′2), (P2,F

′′2) riducibile a (P2,F2); analogamente scomponiamo (P3,F3) lungo le linee PP3 e P1P3

ottenendo un nuovo sistema (P3,F′3), (P3,F

′′3) riducibile a (P3,F3). Facciamo ora scorrere ciascuno

di questi vettori applicati lungo le proprie linee d’azione in modo da ottenere il sistema costituitodai 5 vettori applicati (P1,F1), (P1,F

′2), (P1,F

′3), (P,F

′′2) e (P,F

′′3) riducibili al sistema costituito da

due vettori applicati (P1,F1 + F′2 + F′

3) e (P,F′′2 + F′′

3). Se il sistema e costituito da n > 3 vettoriapplicati allora, isolandone tre e riducendo questi a due, si riduce il sistema a n− 1 vettori applicatiseguendo lo schema appena descritto; ripetendo questo procedimento n− 2 volte alla fine si riduce ilsistema originario a due soli vettori applicati.

Segue il corollario:

Corollario 4.16. Ogni sistema equivalente ad un sistema nullo e riducibile ad un sistema assolu-tamente nullo, cioe costituito solo da vettori nulli.


Dimostrazione. Il Corollario segue immediatamente dal Teorema precedente, infatti i due vettoriche costituiscono Σ ′ devono essere equivalenti al sistema nullo, cioe devono costituire una coppia dibraccio nullo che puo essere ridotta al vettore nullo.

4.2.4 Sistemi equivalenti di forze

Un sistema di forze e rappresentato come un insieme di vettori applicati (Ps,Fs), s = 1, . . . , N .In analogia con quanto gia visto nel primo capitolo possiamo introdurre i vettori caratteristici delsistema di forze: il vettore risultante: R =

∑Ns=1 Fs ed il momento risultante rispetto ad un

dato polo O: Ω(O) =∑Ns=1 Fs × (O − Ps). Riassumendo, valgono i seguenti risultati:

i. Due sistemi di forze sono tra loro equivalenti se, rispetto ad un dato polo, hanno uguali vettoricaratteristici e sara inoltre possibile provare che due sistemi di forze sono riducibili l’uno all’altro,mediante operazioni elementari di composizione, decomposizione e scorrimento, se, e solo se, essisono equivalenti tra loro.

ii. Un sistema di forze e equivalente ad un sistema costituito da una forza e da una coppia, in generale;in alcuni casi particolari esso puo essere equivalente ad una coppia sola, ad una sola forza e alsistema nullo. Nel caso in cui il sistema sia equivalente ad una sola forza questa prende il nomedi forza risultante.

iii. Introducendo l’invariante I = R ·Ω(O) si ha che:

- se I 6= 0 allora il sistema equivale ad una coppia ed una forza;- se I = 0 e R 6= 0 allora il sistema equivale ad una sola forza;- se I = 0, R = 0 e Ω(O) 6= 0 allora il sistema equivale ad una sola coppia;- se I = 0, R = Ω(O) = 0 allora il sistema equivale al sistema nullo.

iv. Nel caso di sistemi di forze parallele (Ps,Fs) in cui Fs = Fsa allora si prova che l’invariante I esempre nullo; quindi se

∑ns=1 Fs 6= 0 allora il sistema di forze parallele equivale ad una sola forza

di vettore R = (∑ns=1 Fs) a. Tale forza puo essere applicata su un punto C, detto centro delle

forze parallele, che risulta essere indipendente dalla direzione a delle forze e che ha equazione

C −O =

∑ns=1 Fs(Ps −O)∑ns=1 Fs

.

v. Nel caso particolare in cui queste forze parallele siano le forze peso allora Fs = ps = msg ed ilcentro delle forze parallele ha equazione

C −O =

∑ns=1ms(Ps −O)∑ns=1ms

cioe coincide con il baricentro.

4.2.5 Condizioni necessarie per l’equilibrio di un sistema meccanico

Forze interne ed esterne

Sia S un sistema materiale qualsiasi considerato come un certo insieme di punti materiali soggettoalle sollecitazioni di un sistema di forze, fra le quali anche le reazioni che rappresentano le azionidi eventuali vincoli che limitano la libera mobilita dei singoli punti materiali di S. Fissato in S unpunto materiale Ps distingueremo le forze applicate in Ps in due categorie:

84 4 Statica

i. Forze esercitate su Ps dagli altri punti dello stesso sistema S; queste si dicono forze interne,attive e vincolari, e le denoteremo rispettivamente Fs,i e φs,i.

ii. Forze di altra origine, esterne al sistema; queste si dicono forze esterne, attive e vincolari, e ledenoteremo rispettivamente Fs,e e φs,e.

Le forze interne, considerate nel loro insieme, sono a due a due, direttamente opposte e direttelungo la congiungente in virtu del III principio della Dinamica, quindi in ogni sistema materialesollecitato le forze interne sono, per la loro stessa natura, tali che i vettori applicati, chele rappresentano, costituiscono un sistema equivalente ad zero o equilibrato; cioe aventinulli il risultante

Ri +Φi = 0 dove Ri =N∑

s=1

Fs,i e Φi =N∑

s=1

φs,i

ed il momento risultante (rispetto ad ogni centro di riduzione):

Ωi(O) +Ψi(O) = 0

dove

Ωi(O) =N∑

s=1

Fs,i × (O − Ps) e Ψi(O) =N∑

s=1

φs,i × (O − Ps).

Si noti che questa osservazione e applicabile ad ogni sistema S ′ ottenuto isolando idealmente ogniparte di S dove ora le forze dovute ai punti di S esterni ad S ′ vanno riguardate come forze esterne.

Equazioni cardinali dell’equilibrio: condizione necessaria

Teorema 4.17 (Equazioni cardinali dell’equilibrio). Se un qualsiasi sistema materiale sol-lecitato e in equilibrio, il sistema di vettori applicati che rappresentano le forze esterne, agenti sulsistema, e equivalente a zero. Se, rispetto ad un qualsiasi centro di riduzione O, sono Re, Φe eΩe(O), Ψe(O) il vettore risultante e il momento risultante delle forze esterne attive e vincolari, lacondizione di equilibrio comporta le seguenti equazioni vettoriali:

Re +Φe = 0Ωe(O) +Ψe(O) = 0

(4.7)

dette equazioni cardinali della statica.

Dimostrazione. Poiche tutti i punti sono supposti in equilibrio allora per ogni punto Ps deve essere

0 = Fs,i + Fs,e + φs,i + φs,e, s = 1, 2, . . . , N, (4.8)

dove Fs,i rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le forze attive interne applicate a Ps,Fs,e rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le forze attive esterne applicate a Ps, φs,i

rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le reazioni vincolari interne applicate a Ps e φs,e

rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le reazioni vincolari esterne applicate a Ps. Som-mando le (4.8) rispetto ad s e ricordando che le forze interne (sia vincolari che attive) costituisconoun sistema equivalente al sistema nullo allora si ottiene la prima delle (4.7). Moltiplicando (vetto-rialmente) le (4.8) per O − Ps e poi sommando rispetto ad s e ricordando che le forze interne (siavincolari che attive) costituiscono un sistema equivalente al sistema nullo allora si ottiene la secondadelle (4.7) completando cosı la dimostrazione.


Le equazioni (4.7), condizioni necessarie per l’ equilibrio, non sono, in generale, condizioni suffi-cienti come ci si puo rendere conto pensando al caso di due punti liberi soggetti alla mutua attrazionegravitazionale.

Vediamo due esempi:

i. Consideriamo una catena pesante, in equilibrio ed appesa per gli estremi a due ganci A e B. Leforze esterne sono le reazioni (A,φA) e (B,φB) applicate nei due ganci e i pesi sui singoli anelliche possono essere sostituiti con il peso totale (G,p) della catena applicato sulla verticale delbaricentro G. La condizione necessaria per l’equilibrio (4.7) implica che i tre vettori φA, φB ep costituiscano un sistema equilibrato, cioe che siano complanari e che le linee di azione dellereazioni vincolari si incontrino sulla verticale passante per il baricentro.

ii. Consideriamo un sistema pesante S appoggiato ad un suolo orizzontale in piu punti. Le reazionivincolari nei punti di appoggio, comunque disposti, devono esercitare una forza di intensita −pper sostenere il sistema pesante S, dove p denota il vettore della forza peso.

4.2.6 Postulato caratteristico dei solidi e sufficienza delle equazioni cardinali della statica

Le equazioni cardinali (4.7) che, per un sistema materiale qualsiasi, risultano soltanto necessarieper l’equilibrio, diventano anche sufficienti nel caso dei solidi. Dove diremo solido ogni sistemamateriale che, di fronte a qualsiasi sollecitazione ed in qualsiasi condizione di moto, si comporti comeassolutamente rigido; cioe le mutue distanze tra i punti rimangono inalterate.

Enunciamo il seguente principio di evidenza sperimentale:Postulato caratteristico dei solidi. L’equilibrio di un solido non si altera, quando a due suoi

punti, quali si vogliano, si applicano due forze direttamente opposte (cioe di vettori −F e Fdirette lungo la congiungente).

Da tale principio, dai risultati su sistemi di forze equivalenti gia visti e ricordando che l’equilibriodi un solido S non risulta turbato se a due o piu forze, applicate ad un medesimo punto delsistema, si sostituisce la rispettiva risultante o, viceversa, se una forza agente su di un punto diS si decompone comunque in una o piu forze, applicate a quel medesimo punto, allora possiamoaffermare che: l’equilibrio di un solido non si altera quando al sistema delle forze (attivee vincolari) effettivamente agenti su di esso si sostituisca un qualsiasi altro sistema diforze, equivalente al primitivo; cioe avente il medesimo vettore risultante ed il medesimomomento risultante rispetto ad ogni punto. In particolare se le (4.7) sono soddisfatte allorapossiamo sostituire alle forze effettivamente agenti sul solido un sistema di forze nulle. Da quantoenunciato segue che: nel caso dei solidi le condizioni cardinali dell’equilibrio (4.7) non sonosoltanto necessarie ma anche sufficienti. Cosı possiamo affermare che:

Teorema 4.18 (Equazioni cardinali della statica). Condizione necessaria e sufficiente affincheun corpo rigido sia in quiete e che esista esista un sistema di reazioni vincolari, compatibile con lanatura dei vincoli, tale che le equazioni

Re +Φe = 0Ωe(O) +Ψe(O) = 0

(4.9)

risultano soddisfatte. Queste equazioni prendono il nome di equazioni cardinali della statica.Re ed Ωe(O) sono il vettore risultante ed il momento risultante rispetto ad un polo qualunque dellaforze attive esterne; Φe ed Ψe(O) sono il vettore risultante ed il momento risultante della reazionivincolari esterne.

86 4 Statica

Osserviamo che le (4.9) (cosı come nelle (4.7)) le incognite sono, oltre ai parametri lagrangiani,anche le reazioni vincolari.

4.2.7 Esempi

Solido con un punto fisso O

Se al solido S sono applicate certe date forze di vettore risultante Re, per avere tutte le forze esterneagenti su S dobbiamo aggiungere alle forze attive le reazioni vincolari applicate nel punto fisso O edi vettore risultante Φe. Denotando con Ωe(O) il momento risultante rispetto ad O delle sole forzeattive abbiamo come condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio del solido le due equazioni:

Re +Φe = 0, Ωe(O) = 0. (4.10)

La equazione Re+Φe = 0 non costituisce alcuna restrizione per le forze attive, ma serve a individ-uare la reazione Φe del punto fisso O. Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio e laΩe(O) = 0, ossia l’annullarsi del momento risultante di tutte le forze direttamente applicate rispettoal punto tenuto fisso. Osserviamo che un corpo rigido con punto fisso e un sistema a tre gradi diliberta e possiamo assumere gli angoli di Eulero quali parametri lagrangiani. L’equazione Ωe(O) = 0e un’equazione vettoriale che equivale a tre equazioni scalari nelle tre incognite rappresentate daiparametri lagrangiani.

.Φ

.

.

..

Φ

Φ

Φ

Fig. 4.3. Figura a sinistra: corpo rigido con punto fisso O. Le reazioni vincolari esterne sono tutte applicate in O e hannoverso e direzione totalmente incognite. Figura a destra: corpo rigido con asse a fisso. Le reazioni vincolari esterne sono tutteapplicate in punti Os, s = 1, 2, . . . , N con N ≥ 2, dell’asse e hanno verso e direzione totalmente incognite.

Solido con asse fisso

Sia S un solido girevole intorno ad un asse fisso a, con cui sia rigidamente connesso. Indichiamocon Re il vettore risultante delle forze esterne attive che lo sollecitano. Oltre a queste agiranno suS certe reazioni vincolari (O1,φ1), . . . , (ON ,φN), di vettore risultante Φe =

∑Ns=1 φs, che saranno

tutte applicate in punti dell’asse, quindi avranno ciascuna momento nullo rispetto alla retta a, cioe


Ψe(O) · a = 0 dove O e un punto dell’asse. Ma per l’equilibrio e necessario che si annulli il momentorisultante di tutte le forze esterne rispetto ad un qualsiasi punto e, quindi, anche rispetto ad unaretta qualsiasi, e in particolare all’asse. Quindi, indicando con Ωa il momento risultante delle forzeattive proiettato sull’asse a, concludiamo che condizione necessaria per l’equilibrio e:

Ωa = Ωe(O) · a = 0 (4.11)

dove O e un punto dell’asse e a e il versore che individua l’asse. La condizione (4.11) e anchesufficiente; per mostrare cio bisogna premettere la seguente osservazione: data una retta a e prefissatiad arbitrio due vettori Φe ed Ψe(O), sotto la condizione che il secondo sia ortogonale ad a, esistonoinfiniti sistemi (fra loro equivalenti) di vettori applicati in punti assegnati della retta data aventi Re

ed Ψe(O) rispettivamente come risultante e come momento risultante rispetto al punto O. Quindi,ammessa la (4.11), esistono infiniti sistemi di vettori equivalenti al sistema delle forze attive, eapplicati a quei punti di a che, per ipotesi sono materialmente fissati. Quindi, assegnati i punti dia materialmente fissati, esiste un sistema di reazioni vincolari compatibile con la natura dei vincoliche rendono vere le (4.9). Abbiamo pertanto che: affinche le forze direttamente applicate adun solido, avente un asse fisso, si facciano equilibrio e necessario e sufficiente che esseabbiano momento risultante nullo rispetto a quest’asse.

Nel caso di un solido avente asse fisso le equazioni cardinali dell’equilibrio, per cio che riguarda lereazioni, dicono soltanto che il loro risultante e il loro momento risultante (rispetto ad un dato punto)devono essere direttamente opposti al risultante e all’analogo momento risultante delle forze attive,e lasciano indeterminata (subordinatamente a queste condizioni d’insieme) la distribuzionelocale delle reazioni nei singoli punti dell’asse, che son tenuti fissi. Piu precisamente, leequazioni cardinali portano a concludere che in condizioni statiche l’azione dei vincoli si puo sostituire,indifferentemente, con uno qualsiasi dei sistemi (fra loro vettorialmente equivalenti) di reazioni,applicate nei punti tenuti fissi, e aventi risultante e momento risultante direttamente opposti a quellidelle forze attive.

Nel caso in cui i punti dell’asse a, effettivamente fissati, sono soltanto due, O e O′. Le reazioni cuil’asse a e realmente soggetto sono, allora, due sole: una φ applicata in O e l’altra φ′ applicata in O′.Ora, essendo il solido in equilibrio, si conosce il risultante di queste forze e il loro momento risultante.Concludiamo che la indeterminazione di φ e φ′ si riduce, in questo caso, a due componenti assiali,direttamente opposti. Se si sapesse, per esempio, che φ′ e normale all’asse fisso, entrambe le reazionirimarrebbero completamente determinate.

Quando e possibile determinare la distribuzione delle singole reazioni vincolari esterne allorasi parla di sistema staticamente determinato; altrimenti si parla di sistema staticamenteindeterminato o iperstatico.

Solido con asse scorrevole su se stesso

La condizione di equilibrio diventa:

Ra = Re · a = 0, Ωa = Ωe(O) · a = 0 (4.12)

dove a e il versore che individua la direzione dell’asse e dove O e un punto qualunque dell’asse. Cioe:condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un solido con asse scorrevole suse stesso e che si annullino, rispetto all’asse, la componente del vettore risultante e ilmomento risultante delle forze attive.

88 4 Statica

4.2.8 Equilibrio di solidi appoggiati

Corpo pesante su un piano orizzontale

Sia S un solido pesante appoggiato in piu punti ad

..

..

Φ

Φ

Φ

...

..

..

.

Fig. 4.4. Il perimetro d’appoggio e unpoligono convesso, avente vertici coincidenti conpunti d’appoggio e gli eventuali ulteriori puntid’appoggio sono non esterni al poligono.

un piano orizzontale. Se i punti di appoggio sono in unnumero finito, diremo perimetro d’appoggio quello diun poligono convesso, avente tutti i suoi vertici in puntid’appoggio, e tale che nessun appoggio resti al di fuori diesso. La nozione di perimetro di appoggio si estende al casogenerale mistilineo (formato da segmenti e archi di curva),con la condizione che ogni vertice sia un punto di appoggio.

In ogni appoggio Ps, s = 1, 2, . . . , N , si avra una certareazione φs diretta dall’appoggio verso il corpo e, adottandol’ipotesi ideale dell’assenza di attrito, il loro sistema e equiv-alente (vettorialmente) al loro risultante applicato in uncerto punto Q (centro delle reazioni) interno, o almeno nonesterno, al perimetro di appoggio; infatti il sistema dellereazioni vincolari (Ps,Φs) e costituito da un insieme di vet-tori paralleli ed equiversi. Tale reazione, per soddisfare lecondizioni di equilibrio, deve essere equilibrata dal peso to-tale p applicato nel baricentro G, quindi la verticale del baricentro deve passare per Q. Cioe: perl’equilibrio di un solido pesante su un sostegno piano orizzontale e necessario che laproiezione del baricentro su tale piano sia interna, o almeno non esterna, al perimetrodi appoggio. Cioe il baricentro sia sostenuto.

Tale condizione e pure sufficiente: infatti, dato un vettore (Q,−p) applicato in un punto internoal perimetro di appoggio con p normale al piano e assegnati i punti Ps di appoggio, s = 1, . . . , N(N ≥ 3), esiste almeno un sistema di vettori (Ps,φs), con φs parallelo a p, equivalente a (Q,−p) (ingenerale ne esistono infiniti quando N > 3).

In particolare per tre appoggi P1, P2, P3 si determinano anche le reazioni mentre, per un nu-mero di appoggi maggiore di tre, la distribuzione delle reazioni non risulta individuata; rimane unaindeterminazione tanto maggiore, quanto piu grande e il numero degli appoggi. Piu in dettaglio:supponiamo di avere N ≥ 3 appoggi Ps sopra un piano orizzontale di coordinate Ps = Ps(xs, ys, 0),s = 1, 2, . . . , N , rispetto ad un sistema di riferimento avente come centro la proiezione del baricentronel piano. Assumendo l’assenza di attrito avremo che le reazioni vincolari sono normali al pianodi appoggio, piu precisamente deve essere φs = φsk, φs ≥ 0. Le equazioni cardinali della statica,proiettate lungo gli assi prendendo come origine degli assi O la proiezione del baricentro sul piano escegliendo come polo di riduzione questo punto, assumono la forma

0 =∑Ns=1 φs − p

0 =∑Ns=1 xsφs

0 =∑Ns=1 ysφs

(4.13)

dove p = −pk. E immediato osservare che se N = 3 allora questo sistema ammette una unicasoluzione e si puo provare che

φs = p∆s

∆, s = 1, 2, 3,

4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 89

dove ∆ e l’area del triangolo P1P2P3 e ∆s e l’area del triangolo avente per vertice O e appoggi residuiottenuti eliminando Ps, ad esempio ∆1 e l’area del triangolo di vertici OP2P3. Infatti il sistema(4.13) ha soluzione

φ1 =

∣∣∣∣∣∣∣

p 1 10 x2 x30 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1x1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣

= p

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 10 x2 x30 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1x1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣

= p

∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1xG x2 x3yG y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1x1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣

= p∆1

∆

dove∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1x1 x2 x3y1 y2 y3

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0x1 x2 − x1 x3 − x1y1 y2 − y1 y3 − y1

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣

0 0 1x2 − x1 y2 − y1 0x3 − x1 y3 − y1 0

∣∣∣∣∣∣∣

= k · [(P2 − P1)× (P3 − P1)] = area (P1P2P3).

Nel caso in cui sia N > 3 e manifesto che il sistema non ammette una unica soluzione e quindinon siamo in grado di determinare univocamente la distribuzione delle reazioni ma solamente isuoi vettori caratteristici; in questo caso si dice che siamo in un caso iperstatico o staticamenteindeterminato, in cui il numero di vincoli e sovrabbondante.Legge di Hooke

Indichiamo ora un criterio che permette di eliminare l’indeterminazione nel caso iperstatico suppo-nendo ancora che il corpo sia perfettamente rigido e assumendo che si abbiano delle piccole defor-mazione dell’appoggio. Piu precisamente assumeremo (legge di Hooke) che lo sprofondamento zsdel punto di appoggio sia direttamente proporzionale alla porzione di peso che va a scaricarsi su Ps:zs = − 1

kφs dove 1/k e un coefficiente (positivo) di proporzionalita. Se si ammette, inoltre, che il

cedimento degli appoggi non sia collegato con alcuna deformazione del corpo sovrastante allora gli Npunti, con cui il corpo stesso sarebbe stato idealmente in contatto con il piano z = 0, si troveranno,anche ad equilibrio stabilito, in un medesimo piano di equazione z = λx + µy + ν assai prossimo alpiano zs = 0 e dove i coefficienti λ, µ, ν sono a priori indeterminati. Otteniamo quindi un nuovosistema di N equazioni

φs = −k(λxs + µys + ν) , s = 1, 2, . . . , N , (4.14)

da aggiungere alle tre precedenti. Complessivamente abbiamo un sistema di N + 3 equazioni nelleN + 3 incognite φs e λ, µ, ν. In particolare, sostituendo le (4.14) nelle (4.13) si ottiene un sistemache permette di determinare le λ, µ, ν; una volta determinate queste e sostituite nelle (4.14) si arrivaa determinare le reazioni vincolari.

4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale

4.3.1 Principio dei lavori virtuali

Il principio dei lavori virtuali, nella sua forma piu generale, applicabile tanto ai problemi staticiquanto a quelli dinamici, si puo enunciare nei seguenti termini:

90 4 Statica

Principio dei lavori virtuali. Le reazioni (Ps,φs), s = 1, . . . , N , provenienti da legami prividi attrito sono tali che il lavoro virtuale complessivo δρ =

∑Ns=1 φs · δPs da esse effettuato e nullo

per ogni spostamento virtuale reversibile, positivo o nullo per ogni spostamento virtualeirreversibile.

Trascurando i sistemi a legami unilaterali il principio dei lavori virtuali richiede che si annulli illavoro virtuale delle reazioni per ogni spostamento virtuale conciliabile con i legami. Il principiodei lavori virtuali si legittima per induzione facendo vedere che esso risulta verificato in tanti casiparticolari:

.

δ

π

σ

Φ

.

δ

π

σ

Φ

Fig. 4.5. Caso di un punto vincolato a scorrere (a sinistra) e vincolato a stare appoggiato (a destra) su una superficiepriva di attrito.

i. Nel caso di un punto costretto a restare sopra una superficie o sopra una curva (privad’attrito). Consideriamo, ad esempio, il caso di una punto P vincolato a muoversi su una su-perficie liscia e fissata; in questo caso ogni spostamento virtuale δP sara tangente alla superficiein P , d’altra parte la reazione vincolare, essendo la superficie liscia, ha direzione necessariamentenormale alla superficie stessa e quindi

δρ = φ · δP = 0. (4.15)

ii. Nel caso di un vincolo unilaterale, ad es. un punto che puo oltrepassare una certa superficie,pur non essendo impedito di staccarsene dalla banda opposta. In questo caso la (4.15) prende laforma δρ = φ · δP = 0 per spostamenti invertibili del punto e δρ ≥ 0 per spostamenti virtuali didistacco.

iii. Nel caso dei sistemi rigidi basta osservare che le reazioni vincolari (quelle di rigidita) sono forzeinterne e quindi a due a due uguali e direttamente opposte. Il lavoro complessivo si puo percioconsiderare come somma dei lavori effettuati da ciascuna di queste coppie, e risultera dimostratol’asserto se si provera nullo il lavoro corrispondente ad una coppia generica. Piu in dettaglioconsideriamo un sistema meccanico costituito da due corpi puntiformi collegati da una astadi lunghezza fissa ℓ e massa trascurabile. Le reazioni vincolari applicate nei due puntisaranno rappresentate da due vettori φ1 e φ2 uguali (di intensita) e opposti e diretti lungo lacongiungente (in virtu della terza legge di Newton) per cui possiamo scrivere


δρ = φ1 · δP1 + φ2 · δP2 = φ1 · δ(P1 − P2).

Ponendo P2 − P1 = ℓr, φ1 = φ1r e ricordando che r ⊥ δr segue infine che

δρ = φ1ℓr · δr = 0.

iv. Se un solido e ulteriormente vincolato, presentando un punto fisso, o una retta fissa o appoggi (prividi attrito) su altri corpi, si riconosce subito che il lavoro virtuale delle reazioni provenienti da questivincoli e nullo nei primi due casi, positivo o nullo nel terzo. Ad esempio, se due corpi rigidi sonoconnessi da una cerniera in un punto A allora, trascurando la massa e le dimensioni dellacerniera, si puo asserire che le reazioni che un corpo esercita sull’altro sono entrambe applicate inA e sono uguali ed opposte e quindi il lavoro complessivo sara nullo. Consideriamo ora il caso sedue corpi rigidi hanno le loro superfici in contatto idealmente lisce, anche in questo casole due reazioni sono uguali ed opposte e dirette normalmente al piano tangente comune alle duesuperfici nel punto di contatto. I possibili spostamenti virtuali (che lasciano le superfici ancorain contatto) sono tali per cui lo spostamento virtuale relativo del punto di contatto deve avveniresul piano tangente e quindi avremo ancora δρ = 0. Nel caso poi di appoggio allora le reazionivincolari sono dirette da un corpo verso l’altro (oltre che normali al comune piano tangente) equindi avremo δρ ≥ 0 per spostamenti virtuali di distacco e δρ = 0 per gli altri.

Α Α−Φ

Φ

Fig. 4.6. Caso di due aste incernierate agli estremi: sulle due aste separatamente sono applicate due reazioni uguali e oppostenel punto A corrispondente alla cerniera.

4.3.2 Condizione generale d’equilibrio. Relazione simbolica della Statica

Nel seguito faremo l’ipotesi di vincoli privi di attrito. Cio premesso, consideriamo un genericosistema di punti materiali Ps, s = 1, . . . , N , soggetti a vincoli privi di attrito, e cerchiamone lecondizioni di equilibrio, vale a dire le condizioni necessarie e sufficienti, affinche le forze Fs,direttamente applicate ai singoli punti Ps, siano atte a mantenerli in quiete. In base al principiodei lavori virtuali, nella sua accezione piu generale, si conclude che per l’equilibrio del sistema enecessario e sufficiente che le forze attive rendano soddisfatta, per tutti gli spostamenti virtuali,la relazione

92 4 Statica

δL =N∑

s=1

Fs · δPs = −δρ ≤ 0, essendo δρ ≥ 0. (4.16)

Piu precisamente:

Teorema 4.19 (Teorema dei lavori virtuali). Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibriodi un sistema materiale a vincoli privi di attrito (e indipendenti dal tempo) e che le forzeattive compiano un lavoro virtuale totale negativo o nullo per ogni spostamento virtuale a partiredalla configurazione di equilibrio.

Dimostrazione. Per dimostrare la parte necessaria supponiamo il sistema in equilibrio; quindi ognipunto e in equilibrio e pertanto deve essere

Fs + φs = 0, s = 1, 2, . . . , N.

Moltiplicando scalarmente ambo i membri per δPs, sommando rispetto a s e facendo uso del principiodei lavori virtuali segue δL ≤ 0. La dimostrazione della parte sufficiente viene data in seguitoattraverso le equazioni di Lagrange.

Come si vede, una tale conclusione e indipendente dalle modalita di realizzazione dei vincoli, inquanto la condizione in essa enunciata fa intervenire gli spostamenti virtuali, che rispecchiano l’effettogeometrico e cinematico dei vincoli, ma non i particolari dispositivi che li attuano.

La (4.16) prende il nome di relazione simbolica della Statica. Se il sistema non ammettespostamenti virtuali irreversibili, il che accade se non vi sono vincoli unilaterali, essa si riduce alla

δL = 0 (4.17)

e si chiama equazione simbolica della statica.Dalla (4.16) possiamo dedurre due corollari:

i. Se ad un sistema Σ di forze attive, atte a mantenere in equilibrio un dato punto materiale S, siaggiunge una seconda sollecitazione Σ ′, pure atta a mantenere S in equilibrio, la sollecitazionerisultante Σ +Σ ′ verifica anch’essa la condizione di equilibrio.

ii. Se un sistema materiale S ′ differisce da un sistema S per l’aggiunta di alcuni legami, e se unacerta sollecitazione Σ mantiene S in equilibrio, a maggior ragione manterra in equilibrio S ′.

Quando poi tutti i vincoli sono bilaterali (o piu generalmente, quando non si tratta di una con-figurazione di confine) si rileva dalla (4.17): se un sistema di forze attive applicate ad un sistemamateriale e in equilibrio, lo e pure il sistema costituito dalle stesse forze prese in verso opposto.

Esempio: solido fissato in un suo punto

Se O e il punto fissato allora basta scegliere in questo punto il polo, perche il piu generale spostamentovirtuale del punto Ps sia dato da

δPs = ω′ × (Ps −O), s = 1, 2, . . . N,

e conseguentemente si abbia

δL = ω′ ·Ωe(O).


Poiche il vettore infinitesimo ω′ e completamente arbitrario e poiche i vincoli di rigidita non con-sentono spostamenti virtuali irreversibili, segue che l’annullamento di questo δL equivale ap-punto alla condizione Ωe(O) = 0, gia riconosciuta necessaria e sufficiente per l’equilibrio.

Non sara inutile fare notare che, mentre le forze cui si riferisce il lavoro virtuale δL nella condizionesimbolica della Statica sono tutte e sole le forze attive, nelle equazioni cardinali della Statica siapplicano prima le equazioni cardinali alle forze esterne e poi si cerca di eliminare tutto cio cheproviene dalle reazioni vincolari, in modo che le condizioni finali si riferiscano solo a forze, chesono ad un tempo attive (cioe non prevenienti da legami) e di origini esterna.

Esempio: statica dei sistemi pesanti. Teorema di Torricelli.

Consideriamo un sistema materiale S, comunque costituito, in cui le forze attive si riducano ai pesidei singoli elementi. Sia l’asse z verticale e diretto verso l’alto e sia ms la massa di un genericoelemento Ps, la forza di vettore Fs applicata in Ps avra per componenti (0, 0,−msg). In un genericospostamento virtuale del sistema siano δxs, δys, δzs le componenti dello spostamento δPs subito daPs. Il lavoro virtuale delle forze attive si riduce a

δL =N∑

s=1

Fs · δPs = −gN∑

s=1

msδzs = −mgδzG

dove

zG =

∑Ns=1mszsm

e la quota del baricentro e m la massa totale del sistema. La condizione di equilibrio δL ≤ 0assume di conseguenza l’aspetto δzG ≥ 0, valendo l’uguaglianza per gli spostamenti reversibili. Daquanto sopra detto: condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un sistema pesante eche il suo baricentro non sia suscettibile di innalzamento per effetto di alcun spostamento virtualeinfinitesimo del sistema. Ad esempio, nel caso di legami tutti reversibili, la condizione diventaδzG = 0, cioe l’equilibrio puo sussistere senza che l’altezza del baricentro sia minima, in particolarequando essa e massima.

4.3.3 Statica dei sistemi olonomi: condizioni di equilibrio in coordinate lagrangiane

Si consideri un sistema a n gradi di liberta olonomo a vincoli lisci e bilaterali costituito da Npunti Ps, s = 1, . . . , N . Riferendolo ad un generico sistema di coordinate lagrangiane (indipendenti)qh, h = 1, . . . , n, segue che:

Ps = Ps(q1, q2, . . . , qn; t), s = 1, . . . , N, (4.18)

e ogni spostamento virtuale assume la forma

δPs =n∑

h=1

∂Ps∂qh

δqh (4.19)

(dove le δqh sono arbitrarie e indipendenti) e risulta reversibile. Allora le condizioni necessarie esufficienti perche il sistema, sotto una data sollecitazione (Ps,Fs), s = 1, 2, . . . , N, sia in equilibriosaranno fornite dall’equazione simbolica della Statica

94 4 Statica

δL =N∑

s=1

Fs · δPs = 0, (4.20)

dove, tenendo conto delle (4.19), assume la forma:

n∑

h=1

Qhδqh = 0 ponendo Qh =N∑

s=1

Fs ·∂Ps∂qh

, h = 1, . . . , n. (4.21)

Dalla (4.21), dovendo sussistere per ogni possibile scelta delle arbitrarie δqh, ne segue che incondizioni statiche devono valere simultaneamente le n equazioni

Q1 = 0, Q2 = 0, . . . , Qn = 0; (4.22)

e viceversa. Le quantita scalari Q1, Q2, . . . , Qn si usano chiamare le componenti della sol-lecitazione del dato sistema secondo le coordinate lagrangiane qh o anche forze general-izzate di Lagrange.

Se si tiene conto delle (4.18) e delle espressioni che ne conseguono per le velocita dei vari puntiPs:

vs = v(Ps) =n∑

h=1

∂Ps∂qh

qh +∂Ps∂t

, s = 1, 2, . . . , N,

si riconosce che la sollecitazione e nota quando ciascuno dei vettori Fs e dato in funzione delle qh,delle qh ed, eventualmente, del tempo; di conseguenza, in generale,

Qk = Qk(q1, . . . , qn, q1, . . . , qn, t), k = 1, 2, . . . , n.

Ai fini dello studio del problema dell’equilibrio sara naturale porre qh = 0 e richiedere, inoltre, chele forze non dipendano dal tempo in modo che le Q1, Q2, . . . , Qn dipendano solamente dalle qh.

Quindi, possiamo riassumere quanto detto nel seguente risultato.

Teorema 4.20. Le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio del sistema olonomo a vincolilisci e bilaterali considerato sono date dalle n equazioni (4.22).

Le condizioni di equilibrio (4.22) forniscono n equazioni fra le n coordinate lagrangiane qh, le qualicaratterizzano le configurazioni di equilibrio del sistema, analogamente a quanto accade nel caso diun punto libero sollecitato da una forza posizionale, per le equazioni che si ottengono eguagliando azero le tre componenti cartesiane della forza attiva.

Se le forze (Ps,Fs), s = 1, . . . , N , sono tutte conservative allora esistono N funzioni Us = Us(Ps)tali che

Fs = ∇Us =∂Usxs

ı +∂Usys

+∂Uszs

k

Se poniamo U = U(qh) =∑Ns=1 Us[Ps(qh)], poiche Ps = Ps(qh) (assumiamo, in Statica, di operare con

vincoli indipendenti dal tempo), allora la funzione U , determinata a meno di una costante additivaarbitraria, si dice, come nel caso di una unica forza conservativa, potenziale della sollecitazione ede tale che


∂U

∂qh=

N∑

s=1

∂Us∂qh

=N∑

s=1

∇Us ·∂Ps∂qh

=N∑

s=1

Fs ·∂Ps∂qh

= Qh.

Quindi, si conclude

Q1 =∂U

∂q1, . . . , Qn =

∂U

∂qn(4.23)

o equivalentemente

N∑

h=1

Qhδqh = δU.

Possiamo estendere la definizione di forze conservative (intese come ”campi di forza”) a sistemi diforze nei quali si tengono conto anche dei legami posti dai vincoli; questi ultimi si diranno conservativise la forma differenziale lineare

∑nh=1Qhδqh e esatta, cioe si puo esprimere come il differenziale

(virtuale) di una funzione data U detta potenziale.Tutte le volte che le componenti lagrangiane Qh ammettono un potenziale, si desume dalle con-

dizioni di equilibrio (4.22) e dalle identita (4.23) che ad ogni punto di stazionarieta del poten-ziale corrisponde per il sistema olonomo una configurazione di equilibrio. Se poi si estende,come vedremo nel seguito, all’equilibrio dei sistemi olonomi il criterio qualitativo di stabilita siriconosce che anche per questi sistemi sono configurazioni di equilibrio stabile quelle cuicorrisponde per potenziale un valore massimo (relativo).

4.3.4 Complemento: metodo dei moltiplicatori di Lagrange e calcolo delle reazioni

Per metterci nelle condizioni di maggior generalita, consideriamo un sistema S di N punti Ps soggettisolamente (per fissare le idee) a vincoli bilaterali, di posizione e di mobilita. Gli spostamenti virtualiδPs del sistema, riferiti ad una terna di assi (O; x, y, z), sono caratterizzati da certe r equazioni,corrispondenti ai vincoli (sia olonomi che anolonomi) bilaterali della forma:

Bk =N∑

s=1

aks · δPs = 0, k = 1, 2, . . . , r, (4.24)

cui devono soddisfare le 3N variazioni δxs, δys e δzs e dove gli aks denotano rN vettori determinati(puramente posizionali) di componenti axks, a

yks, a

zks.

Assumeremo r ≤ 3N e che le equazioni Bk = 0 siano tra loro indipendenti.Per l’equilibrio del sistema S, sollecitato dalle forze Fs applicate nei generici punti Ps, sara neces-

sario e sufficiente che, per tutti gli spostamenti virtuali, a partire dalla configurazione di equilibrio,soddisfacenti alle (4.24) le Fs soddisfano alla condizione

δL =N∑

s=1

Fs · δPs = 0. (4.25)

Assegniamo per le Fs delle espressioni che dipendono linearmente dalle aks:

Fs = −r∑

k=1

λkaks (4.26)

96 4 Statica

e verifichiamo poi, dalle (4.24) e (4.25), a che condizioni devono sottostare le costanti λk. Il lavorocomplessivo δL di queste forze Fs, per un qualsiasi spostamento δPs, si puo esprimere come:

δL = −r∑

k=1

λkBk;

quindi si conclude che, per tutti gli spostamenti virtuali del sistema S, caratterizzati dalle (4.24), leFs definite dalle (4.26) soddisfano veramente alla condizione di equilibrio (4.25), comunque si sianoscelte le λk. I coefficienti arbitrari λk si chiamano moltiplicatori di Lagrange.

Si dimostra che:

Teorema 4.21. Si ha che:

i. Nelle espressioni (4.26) i moltiplicatori λk sono essenziali, nel senso che al variare di essi variaanche la corrispondente sollecitazione equilibrante.

ii. Le (4.26) forniscono la piu generale sollecitazione atta a mantenere in equilibrio il sistema S peruna opportuna scelta dei moltiplicatori λk.

Dimostrazione. La proprieta i. segue immediatamente dal fatto che si sono supposte le equazioniBk = 0 indipendenti tra loro (ed in numero complessivo minore o uguale a 3N) Dimostriamo laproprieta ii.. Le equazioni Bk = 0 indipendenti tra loro ammettono ℓ = 3N−r soluzioni linearmenteindipendenti in modo che i possibili spostamenti virtuali soddisfacenti a queste hanno forma del tipo

δPs =ℓ∑

j=1

νjτsj , s = 1, . . . , N,

dove i vettori τ sj sono tra loro linearmente indipendenti e i coefficienti νj sono completamente arbi-trari. La piu generale sollecitazione che lascia in quiete il sistema dovra quindi essere tale che

0 = δL =N∑

s=1

Fs · δPs =ℓ∑

j=1

νj

[N∑

s=1

Fs · τ sj]

e quindi, per la arbitrarieta dei coefficienti νj, sara tale che

N∑

s=1

Fs · τ sj = 0, j = 1, . . . , ℓ.

Le sollecitazioni che soddisfano a questo sistema sono del tipo (4.26). Infatti l’insieme di soluzioni delsistema Bk = 0 e uno spazio vettoriale V di dimensione ℓ = 3N − r avente i vettori τj = (τ 1

j , . . . , τNj )

come base. Inoltre i vettori di tale spazio sono ortogonali tanto ai vettori ak = (ak1, . . . , akN) e(che formano una base di uno spazio di dimensione r) quanto ai vettori costruiti dalle forze attive(F1, . . . ,FN) che soddisfano alla condizione δL = 0; quindi il vettore (F1, . . . ,FN) deve appartenereallo spazio vettoriale generato dalla base costituita dai vettori ak = (ak1, . . . , akN). La dimostrazionee cosı completata.

Questa conclusione ci pone in grado di riconoscere se una sollecitazione data a priori sia equili-brante o no per il nostro sistema: basta verificare se essa rientri nelle (4.26) per una opportuna sceltadei moltiplicatori λk. Dalle osservazioni precedenti si consegue che, in tal caso, questi moltiplicatoririsultano determinati univocamente. Le (4.26) forniscono in ultima analisi la risoluzione para-metrica della relazione (4.25) subordinatamente alle (4.24); tenendo conto dell’osservazione fattache esse costituiscono le condizioni di equilibrio di S sotto forma parametrica.


4.3.5 Esempi

Punto P vincolato a muoversi su di una superficie priva di attrito

Sia f(x, y, z; t) = 0 l’equazione della superficie. Gli spostamenti virtuali sono caratterizzati dall’unicacondizione

∂f

∂xδx+

∂f

∂yδy +

∂f

∂zδz = 0.

Quindi si tratta di una sola equazione del tipo B e, quindi, avremo un solo vettore a, definito dallecomponenti ∂f

∂x, ∂f∂y, ∂f∂z. Percio la condizione parametrica dell’equilibrio, se F e la forza attiva totale,

sara espressa sotto forma vettoriale

F = −λa, λ ∈ R.

Punto P vincolato a restare su di una curva priva di attrito

La curva ha equazione

f1(x, y, z; t) = 0, f2(x, y, z; t) = 0

avremo due equazioni del tipo B e, quindi, due vettori a e due moltiplicatori λ. Le condizioni diequilibrio saranno date da

Fx = −λ1∂f1∂x

− λ2∂f2∂x

, Fy = −λ1∂f1∂y

− λ2∂f2∂y

, Fz = −λ1∂f1∂z

− λ2∂f2∂z

.

4.3.6 Calcolo delle reazioni

Riferiamoci esclusivamente al caso in cui per ogni sollecitazione atta a mantenere in quiete il sistema,i moltiplicatori λk risultano univocamente individuati. Sappiamo che in questa ipotesi la rappre-sentazione parametrica delle forze attive (4.26) e equivalente alla relazione simbolica della Statica.Introducendo le reazioni complessive phis = −Fs provenienti sui singoli punti Ps dall’insieme deglir vincoli e tenendo conto della (4.26), otteniamo per le reazioni le espressioni generali

φs =r∑

k=1

λkaks (4.27)

che mettono in luce, per ogni singola reazione, una decomposizione nella somma di r componenti. Fis-sando l’attenzione, ad esempio, sul vincolo bilaterale B1 = 0 notiamo che le condizioni parametriched’equilibrio (4.26) del nostro sistema si possono anche scrivere

Fs + λ1a1s = −r∑

k=2

λkaks. (4.28)

Le equazioni (4.28) si possono interpretare come le condizioni parametriche dell’equilibrio di unsistema sistema S1, soggetto a tutti i vincoli di S, tolto B1 = 0, e sollecitato, anziche dalle Fs, dalleforze attive Fs + λa1s. In tal modo le N forze addizionali λ1a1s, si presentano come l’equivalente,

98 4 Statica

in condizioni statiche, dell’azione esercitata sui singoli punti Ps dal vincolo soppresso B1 = 0 eforniscono, percio, le reazioni provenienti da questo vincolo, astrazione fatta dai rimanenti.

Avendo riconosciuto ai vettori λkaks il carattere di reazioni esercitate sul generico punto Ps daisingoli legami, Bk = 0 rispettivamente, possiamo dare una interpretazione significativa della formaparametrica (4.26) delle condizioni di equilibrio. Scritte sotto la forma

Fs = −r∑

k=1

λkaks (4.29)

esse ci dicono che per l’equilibrio di un sistema comunque vincolato (a vincoli privi diattrito) e necessario e sufficiente che le forze direttamente applicate si possano, puntoper punto, equilibrare con reazioni, quali i vincoli sono atti ad offrire.

Calcolo effettivo delle reazioni provenienti dai singoli vincoli

Poiche i vettori aks sono supposti noti, il calcolo delle reazioni λkaks, che nei vari punti Ps provengonoda un determinato vincolo (Bk = 0) si riduce alla determinazione del corrispondente moltiplicatore λk.Consideriamo ora il sistema S1 che si ottiene dal dato sopprimendo il vincolo B1 = 0 e annoverandotra le forze attive, oltre le Fs, le reazioni λ1a1,s provenienti del vincolo soppresso. Per un tale sistemagli spostamenti virtuali reversibili (a partire da una configurazione di equilibrio) sono definiti dalle

Bk = 0, k = 2, 3, . . . , r

quindi il piu generale spostamento δPs e uno spostamento virtuale reversibile di S con la condizionedi non essere compatibile con il vincolo soppresso.

Ora, applicando al sistema S1 l’equazione simbolica della Statica, con riguardo ad un tale sposta-mento δPs e sotto la sollecitazione attiva Fs + λ1a1s, otteniamo l’equazione

N∑

s=1

(Fs + λ1a1s) · δPs = 0,

considerando spostamenti virtuali δPs a partire dalle configurazioni di equilibrio (supposte gia de-terminate in precedenza) non compatibili con il vincolo soppresso (cioe tali che B1 6= 0), si pervienealla determinazione di λ1.

Abbiamo quindi provato che: per determinare, in date condizioni di sollecitazione, lereazioni provenienti da un dato vincolo si aggiunge alla sollecitazione attiva le cor-rispondenti reazioni e si applica l’equazione simbolica della Statica per un qualsiasispostamento virtuale del nuovo sistema che sia incompatibile con il vincolo soppresso.

4.4 Nozione di stabilita dell’equilibrio

4.4.1 Stabilita per un punto

E intuitivo ritenere stabile uno stato di equilibrio per un punto se, quando lo si perturbi (spo-stando il punto, o il sistema, dalla posizione di equilibrio verso un’altra vicina, pur essa compatibilecon i vincoli) le forze tendono a riportare il punto (o il sistema) alla sua posizione diequilibrio. In termini del lavoro compiuto da tali forze nasce la seguente definizione precisa distabilita dell’equilibrio per un punto:

4.4 Nozione di stabilita dell’equilibrio 99

Definizione 4.22. Considerato un qualunque spostamento, compatibile con i vincoli, che facciapassare il punto dalla posizione di equilibrio P0 ad un’altra posizione P , sia LP0P il lavoro totaleeffettuato dalle forze attive agenti sul punto durante lo spostamento. Se esiste un intorno dellaposizione di equilibrio P0 tale che il lavoro LP0P , per qualsiasi spostamento in tale intornocompatibile con i vincoli, risulta negativo, l’equilibrio si dice stabile. Se, in ogni intornodella configurazione di equilibrio, esiste anche un solo spostamento per cui LP0P > 0 l’equilibrio sidice instabile; mentre se e sempre LP0P = 0 l’equilibrio si dice indifferente.

Queste definizioni, si noti, presuppongono la conoscenza di ogni forza F non solo in corrispondenzaalla data posizione di equilibrio ma anche in ogni altra posizione compatibile con i vincoli. Per forzeposizionali cio e implicito; in caso diverso bisognera rendersene conto preventivamente a norma dellespeciali circostanze di fatto. E il caso, ad esempio, delle reazioni vincolari quando abbiamo vincolinon lisci; in questo caso si osserva comunque che la componente normale alla traiettoria della reazionevincolare non compie lavoro e che la componente tangente, tipicamente dovuta all’attrito radente,favorisce l’equilibrio. In questi casi si ha che le configurazioni di equilibrio trovate stabili in assenzadi attrito rimangono stabili quando teniamo conto anche dell’effetto degli attriti (non e in generalevero il viceversa).

4.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo

Sia U(x, y, z) il potenziale delle forze attive, P0 una posizione di equilibrio ed P un’altra posizionequalsiasi vicino ad P0. La condizione di stabilita si traduce nella seguente:

LP0P = UP − UP0 < 0, (4.30)

per ogni P appartenete ad un certo intorno di P0 (e non coincidente con P0). Cio equivale a dire cheil potenziale U deve ammettere un massimo relativo nella posizione P0. Reciprocamente: seU ha in P0 un massimo relativo allora a questa posizione corrisponde uno stato di equilibrio stabile.Anzitutto si ha equilibrio poiche la forza attiva F = ∇U si annulla in P0. L’equilibrio e poi stabilein virtu della (4.30).

4.4.3 Stabilita per un sistema meccanico

E immediato estendere la definizione ed il criterio di stabilita ad un sistema meccanico a n gradi diliberta e avente una configurazione di equilibrio corrispondente a C0 = (q01, . . . , q

0n). La configurazione

di equilibrio C0 si dice stabile se esiste un intorno U(C0) tale che per ogni spostamento finito inU da C0 ad un qualunque C ∈ U − C0 il lavoro delle forze attive durante tale spostamento risultinegativo:

LC0C =N∑

s=1

∫ Ps(C)

Ps(C0)dLs < 0.

Diversamente la configurazione si dice instabile.Se le forze attive derivano da un potenziale U(q1, . . . , qn) allora segue che condizione necessaria

e sufficiente affinche C0 sia stabile e che C0 sia un massimo relativo per U .

100 4 Statica

Esempio: solido pesante con un punto fisso O

Notiamo che le forze interne e le reazioni in O non compiono alcun lavoro in uno spostamento chemantenga O fisso. Cio e evidente per le reazioni vincolari, in quanto applicate in O; quanto alleforze interne, esse equivalgono a zero e, come dimostreremo, questa equivalenza a zero di unsistema di forze basta nel caso dei solidi perche sia nullo il lavoro da esse compiuto.Qui ammettiamolo ed osserviamo che, se per il nostro solido fissato in O, le forze attive si riduconoal peso, dovra la sua linea di azione passare per O in corrispondenza ad una configurazione diequilibrio, cioe nella posizione di equilibrio, il baricentro G dovra trovarsi sulla verticale del puntofisso O. Distinguiamo tre casi:

i. G coincide con O; in questo caso, per ogni spostamento del solido compatibile con i vincoli, ancheil baricentro G rimane fisso, e quindi il peso fa lavoro nullo. Si tratta, di conseguenza, di unequilibrio indifferente.

ii. G sta sotto O; in questo caso, comunque si muova il corpo, il baricentro G si eleva (escludiamoil caso di rotazioni attorno all’asse OG). Ne consegue che, a partire dalla configurazione diequilibrio fino ad una generica posizione, il peso del corpo fa un lavoro negativo. L’equilibrio edunque stabile.

iii.G sta sopra O; in modo analogo al caso ii. si prova che l’equilibrio e instabile.

4.5 Statica relativa

4.5.1 Nozione di equilibrio relativo

Consideriamo un sistema di riferimento (O′; x′, y′, z′), animato da un moto comunque assegnatorispetto ad un osservatore (O; x, y, z), e proponiamoci di trovare le condizioni cui debbono sottostarele forze direttamente applicate ad un sistema materiale affinche esso, malgrado la sollecitazione,rimanga in quiete rispetto alla terna (O′; x′, y′, z′). E questo che si chiama equilibrio relativo,attribuendo, in caso di ambiguita, la qualifica di equilibrio assoluto a quello di cui ci siamo occupatifinora.

Equilibrio relativo per un punto libero

Nel caso di un unico punto materiale la condizione di equilibrio relativo sara data da vr ≡ 0 e,di conseguenza, ar ≡ 0 e ac ≡ 0, dove vr denota la velocita relativa e ar e ac, rispettivamente,l’accelerazione relativa e l’accelerazione di Coriolis. Sia F la risultante di tutte le forze che sollecitanoP misurate rispetto all’osservatore (O; x, y, z), dal teorema del Coriolis e dalla legge fondamentaledel moto (assoluto), avremo che se il punto P e in equilibrio relativo allora deve essere:

F−maτ = 0. (4.31)

E questa la condizione cui deve necessariamente soddisfare la forza F, quando il punto si trovain equilibrio relativo. Essa e anche sufficiente; cioe se la (4.31) e verificata per un dato P0, e se ilpunto P e all’istante t = t0 in quiete in P0 rispetto all’osservatore relativo allora l’equilibrio sussiste.Infatti, la forza F′ misurata dall’osservatore (O′; x′, y′, z′) e data da

F′ = F−maτ (P )−mac(P ).

4.5 Statica relativa 101

In virtu della (4.31) la funzione P = P (t) ≡ P0 e tale da annullare identicamente la F′ e quindi euna soluzione della equazione differenziale mar = F′ che soddisfa alle condizioni iniziali. Segue chela (4.31) e dunque condizione necessaria e sufficiente perche il punto P sia in equilibriorelativo rispetto alla terna (O′; x′, y′, z′).

La (4.31) puo interpretarsi come la condizione di equilibrio assoluto per un punto materialesollecitato, oltre che dalla forza F (effettivamente applicata) anche da una forza addizionale Fτ =−maτ . Questa forza fittizia si suole chiamare forza di trascinamento. Da cio: tutte le questionidi equilibrio relativo del punto si discutono come se si trattasse di equilibrio assoluto,avendo pero cura di annoverare tra le forze esterne direttamente applicate anche laforza di trascinamento.

Equilibrio relativo per un sistema meccanico qualunque

La regola di Statica relativa, sopra stabilita nel caso del punto, si estende a sistemi materiali di naturaqualsiasi e risulta senz’altro applicabile a tutti quei casi (solidi liberi, vincolati, ecc.) per i quali giasi conoscono le condizioni di equilibrio assoluto. Per giustificare questa asserzione basta, se si trattadi vincoli privi di attrito, invocare il principio dei lavori virtuali, cioe la relazione

δρ =∑

s

φs · δPs ≥ 0

e notare che, nel caso dell’equilibrio relativo ogni reazione φs e precisamente uguale a

φs = − [ forza attiva + forza di trascinamento ] .

Si arriva quindi allo stesso enunciato della condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio assolutocon la sola avvertenza che, nel caso dell’equilibrio relativo, vanno annoverate fra le forze attive anchequelle di trascinamento.

4.5.2 Casi particolari notevoli

Traslazioni

Gli assi di riferimento (O′; x′, y′, z′) sono animati da un moto traslatorio. Denotando con aO′

l’accelerazione dell’origine O′ del sistema (O′; x′, y′, z′) avremo cosı la forza di trascinamento Fτ =−maO′ . In particolare: una traslazione uniforme (aO′ = 0) non ha alcuna influenza sullecondizioni statiche: esse sono identiche a quelle valide per l’equilibrio assoluto.

Rotazioni uniformi

Gli assi di riferimento sono animati da unmoto rotatorio uniforme. Essendo ω la velocita angolare(costante) e Q la proiezione sull’asse di rotazione del generico punto P che si considera, sappiamoche:

aτ = ω2(Q− P ), da cio Fτ = mω2(P −Q). (4.32)

A questa forza di trascinamento si da il nome di forza centrifuga.Si prova che:

102 4 Statica

Teorema 4.23. La forza centrifuga ha carattere di forza conservativa; il suo potenziale unitario vale12mω2|PQ|2.

Dimostrazione. La dimostrazione segue dal fatto che il vettore Fτ ha componenti date da

Fτ,x′ = mω2x′, Fτ,y′ = mω2y′, Fτ,z′ = 0

dove abbiamo scelto, per comodita, un sistema di riferimento (O′; x′, y′, z′) con (O′; z′) coincidentecon l’asse di rotazione e dove m denota la massa del punto P . Quindi, per ispezione diretta, segueche Fτ = ∇U dove

U =1

2mω2|PQ|2 = 1

2mω2[(x′)2 + (y′)2].

Inoltre si trova che:

Teorema 4.24. La forza centrifuga per un corpo rigido ha potenziale dato da 12Irω2 dove Ir e il

momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione.

Dimostrazione. Se consideriamo il corpo rigido costituito da un sistema di punti Ps di massa ms

allora sia Us = 12msω

2r2s il potenziale della forza centrifuga sul punto Ps distante rs dall’asse dirotazione. Quindi

U =N∑

s=1

Us =N∑

s=1

1

2msω

2r2s =1

2ω2

N∑

s=1

msr2s =

1

2Irω2.

4.5.3 Peso e attrazione terrestre

Definizione 4.25. Definiamo peso di un punto pesante P in prossimita della superficie della terrala forza che occorre vincere per impedirne la caduta; cioe per mantenerlo in equilibrio relativo rispettoalla terra.

Per l’enorme distanza e lecito, in prima approssimazione, trascurare le attrazioni dei vari corpicelesti in confronto all’attrazione terrestreG (che risulta diretta verso il centro della terra, assumendoche la terra sia perfettamente sferica ed omogenea, e di intensita f nM

R2 dove m e la massa di P , M lamassa della terra ed R il raggio della terra). Cosı quest’ultima e sensibilmente la sola forza agentesu P . Sarebbe quindi necessario e sufficiente bilanciare G per mantenerlo in equilibrio assoluto.Se si vuole invece studiare l’equilibrio relativo rispetto ad assi solidali con il nostro globo, si saracondotti ad associare a G la forza di trascinamento Fτ , proveniente dal moto di questi assi (rispettoalle stelle fisse). In ultima analisi la concezione Newtoniana porta ad identificare il peso(forza da vincere per l’equilibrio relativo del generico P ) con la somma G+Fτ della attrazioneterrestre e della forza di trascinamento.

Specificazione di Fτ

Il movimento della Terra si intendera composto di una rotazione uniforme intorno all’asse polare(rotazione diurna) e di una traslazione di insieme, per cui (conformemente alle leggi di Keplero) laTerra descrive, in un anno, un’ellisse attorno al sole, come fuoco. La forza di trascinamento Fτ

risultera di conseguenza dalla somma di due addendi: l’uno Fτ,1 dovuto alla rotazione, l’altro Fτ,2

4.5 Statica relativa 103

dovuto alla traslazione. Se si pensa che in quest’ultimo movimento si richiede un intero annoa compiere un giro e che quindi (per intervalli di tempo piccoli di fronte al periodo) il moto puosensibilmente considerarsi come rettilineo uniforme, si e tratti a trascurare senz’altro Fτ,2 (non solo,la forza Fτ,2 e dovuta al moto della terna attorno al sole, moto che e dovuto alla forza di attrazionedel sole; di fatto la Fτ,2 si elide con la forza di attrazione del sole). Quando si tiene conto di Fτ ≈ Fτ,1

si ha la equazione vettoriale

p = mg = G+ Fτ,1 (4.33)

la quale spiega, a prima vista, il fatto qualitativo che l’accelerazione di gravita g va aumentandodall’equatore verso i poli. Il vettore G e diretto dal punto P verso il centro della terra ed haintensita G = f mM

R2 (dove R e il raggio terrestre, M la massa della terra ed m la massa del punto);il vettore Fτ,1 e normale e uscente dall’asse di rotazione ed ha intensita mω2R cosλ dove λ indica lalatitudine di P e dove ω = 2π

24·3600 .

5

Dinamica: equazioni differenziali del moto

5.1 Dinamica del punto

Lo studio del moto di un sistema meccanico e basato sulla II legge di Newton

ma = F+ φ (5.1)

che mette in relazione la massa m, l’accelerazione a di un singolo punto e le forze, esterne e interne,attive (di vettore F) e vincolari (di vettore φ), cui esso e soggetto. Inizialmente ci dedicheremo allostudio del moto di un singolo punto P e, in seguito, analizzeremo il problema della dinamica persistemi materiali costituiti da piu punti.

5.1.1 Dinamica del punto libero

Nel caso del moto di un punto materiale libero l’equazione di Newton prende la forma

ma = F(P, P , t)

che rappresenta, dal punto di vista matematico, una equazione differenziale del II ordine informa vettoriale. Se proiettiamo tale equazione lungo gli assi coordinati essa si riduce ad un sistemadi 3 equazioni differenziali del II ordine poste in forma normale

mx = Fx(x, y, z, x, y, z, t)my = Fy(x, y, z, x, y, z, t)mz = Fz(x, y, z, x, y, z, t)

nelle incognite

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

Assumendo la dipendenza regolare della forza attiva dai suoi argomenti e associandovi le condizioniiniziali

x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0

e

x(t0) = x0, y(t0) = y0, z(t0) = z0

allora il problema di Cauchy ammette una, ed una sola, soluzione che rappresenta la legge oraria delmoto.

106 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto

5.1.2 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita

Nel caso in cui il moto del punto non sia libero occorre

.

.

t

Φ

γ

Fig. 5.1. Nel caso di moto di un punto vincolatoad una traiettoria prestabilita γ liscia la reazionevincolare Φ e normale alla retta tangente.

una analisi basata sulla natura dei vincoli. Supponendonota a priori la traiettoria γ di un punto P allora per carat-terizzare il moto non rimane che determinare la legge orarias = s(t) dove s e la lunghezza dell’arco γ fra una arbitrariaorigine e P , misurata positivamente in un prefissato verso(ascissa curvilinea di P ). La (5.1) proiettata, in ciascunpunto della γ, sulla rispettiva tangente, orientata nel versodelle s crescenti, diventa:

ms = Ft + Φt (5.2)

dove la componente tangenziale Φt di Φ e, per lo piu, incog-nita. Tuttavia vi sono dei casi in cui la Φt e preventivamenteassegnabile. In particolare: un punto vincolato su unacurva priva di attrito si muove su di essa come sefosse esclusivamente soggetto all’azione della forza attiva (tangenziale), cioe Φt = 0. La(5.2) in questo caso si riduce alla

ms = Ft. (5.3)

Se la componente tangenziale Ft della forza totale e una funzione f(s, s; t) nota la (5.3) assumera laforma

ms = f(s, s; t) (5.4)

e, nell’ipotesi di limitatezza, continuita e derivabilita nei tre argomenti della f , la (5.4) ammetteuna, ed una sola, soluzione (nel dominio considerato) soddisfacente alle condizioni iniziali assegnate.Quindi la (5.3) (piu precisamente nella forma (5.4)) e sufficiente per caratterizzare univocamente ilmoto.

Proiettando la (5.1), per ogni punto della traiettoria, sulla rispettiva normale principale n (orien-tata verso il centro di curvatura della traiettoria) si ottiene, ricordando l’espressione an = v2/ρc dellaaccelerazione normale,

Φn = mv2

ρc− Fn (5.5)

dove ρc e il raggio di curvatura e v = |s| il modulo della velocita. La componente Φn dell’azionecomplessiva Φ esercitata dai vincoli si chiama reazione centripeta della traiettoria. Proiettandola (5.1) sulla binormale infine si ottiene che 0 = Fb + Φb, cioe Φb = −Fb.Esempio: anello della morte

Consideriamo un anello della morte di raggio R = 3 metri e calcoliamo quale e la velocita minimache deve essere mantenuta per evitare di cadere nel vuoto. La condizione di ”non distacco” e datada Φn > 0 e si ha distacco quando Φn = 0. Quindi la velocita minima vmin e tale che

mv2minρc

− Fn = 0 dove ρc = R e Fn = −mg cosα,

5.1 Dinamica del punto 107

α ∈ [0, 2π) denota l’angolo formato tra la normale e la verticale. Quindi deve essere

v > vmin =√Rg ≈

√30m/sec ≈ 3.6

√30km/h ≈ 20km/h.

5.1.3 Dinamica del punto soggetto a forze posizionali

Nel caso di forze posizionali sara Ft = f(s), quindi la (5.4) assumera la forma

ms = f(s) (5.6)

Per mostrare come la (5.6) si riduca con una quadratura ad una equazione del I ordine ricordiamo chel’energia cinetica T e definita da 1

2ms2, da cui risulta: dT

dt= mss. Osservando che, essendo f funzione

della sola s, questa e necessariamente conservativa e quindi la funzione potenziale U(s) =∫f(s)ds e

tale che dUds

= f(s). In virtu della (5.6) segue che

dT

dt=dU

dss . (5.7)

Il secondo membro, in quanto si consideri U come funzione di t, tramite l’arco s, non e altro che laderivata di U = U [s(t)] rispetto a t; integrando la (5.7) rispetto a t e designando con E la costantedi integrazione, si ricava:

T − U = E. (5.8)

Questa relazione in termini finiti, fra la energia cinetica T e la sua posizione sulla curva (caratterizzatadalla funzione U(s)), si chiama integrale delle forze vive. Questo integrale primo del moto fornisce,in ultima analisi, una relazione fra s e s: 1

2ms2 − U(s) = E.

Nel caso attuale, in cui si suppone prestabilita la traiettoria, si perviene alla (5.8) senza bisognodi introdurre l’ipotesi che la forza totale sia conservativa, basta infatti che essa sia posizionaleperche la (5.7) valga limitatamente alla mobilita del punto sopra la curva γ. Nel caso poi in cui laforza derivi da un potenziale allora la U che compare nella (5.8) si ottiene restringendo il potenzialedella forza alla curva γ.

Ponendo

u(s) =2

m[U(s) + E] , (5.9)

l’equazione delle forze vive (5.8) si puo scrivere(ds

dt

)2

= u(s), da cuids

dt= ±

√u(s), (5.10)

dove va preso il segno positivo o negativo secondo che la velocita scalare dsdt

sia positiva o negativa. La(5.10) e una equazione differenziale del I ordine, sostanzialmente equivalente all’originaria equazione(5.6), che puo essere integrata mediante una quadratura e fornisce la cercata relazione in termini finititra s e t:

t− t0 =∫ ds√

u(s).

Le due costanti arbitrarie da cui essa deve dipendere sono date l’una dalla costante additivadell’ultima quadratura, l’altra dalla costante E che compare nella (5.8).


5.1.4 Comportamento dell’attrito durante il moto

Consideriamo un punto appoggiato ad una curva (o ad una superficie) e sia Φ la reazione vincolareche l’appoggio offre al punto. Denominando con ΦN il valore assoluto della componente normaleΦN = Φ −Φt di Φ, e Φt la componente tangenziale di Φ. Quest’ultimo, Φt, si denomina attrito.Si hanno le seguenti regole (di evidenza empirica):

i. L’attrito e direttamente opposto alla velocita del moto. Se questa eventualmente si annulladurante il corso del moto, tornano a valere le leggi dell’attrito statico.

ii. L’intensita Φt dell’attrito dinamico e direttamente proporzionale alla reazione normale ΦN :

Φt = fdΦN .

Il coefficiente fd di proporzionalita non dipende dalla velocita del mobile. Questo coefficiente diproporzionalita si chiama coefficiente di attrito dinamico e talvolta viene anche indicato confd. In particolare il coefficiente di attrito dinamico e sempre inferiore al coefficiente di attritostatico, cioe fs < fd.

In virtu di queste leggi, proiettando nella direzione tangente t l’equazione

ma = F+Φ,

si ha che l’equazione del moto diventams = Ft − fΦN , per s > 0ms = Ft + fΦN , per s < 0

, (5.11)

il caso s = 0 va trattato a parte (seguendo le leggi dell’attrito statico). Essendo Φn = mv2

ρc− Fn e

Φb = −Fb allora

ΦN =√Φ2n + Φ2

b =

√√√√[mv2

ρc− Fn

]2+ F 2

b .

5.1.5 Moto di un punto su una superficie priva di attrito

Consideriamo il moto di un punto materiale P che, sotto la sollecitazione di forze attive, di risultanteF, sia costretto a muoversi su di una superficie σ priva di attrito avente equazione

f(x, y, z; t) = 0. (5.12)

L’equazione del moto e data da

ma = F+Φ (5.13)

dove Φ e la reazione vincolare offerta dalla superficie al punto.Nell’ipotesi che σ sia priva di attrito (sia poi σ indipendente o no dal tempo) allora la reazione

Φ = ΦN, incognita, sara ortogonale alla superficie, pertanto avra componenti

λ∂f

∂x, λ

∂f

∂y, λ

∂f

∂z, λ =

Φ

|∇f | ∈ R

5.1 Dinamica del punto 109

dove λ designa un fattore di proporzionalita a priori incognito. Proiettando la (5.13) sugli assi siottengono le tre equazioni

mx = Fx + λ∂f∂x

my = Fy + λ∂f∂y

mz = Fz + λ∂f∂z

(5.14)

che insieme alla (5.12) formano un sistema di quattro equazioni nelle quattro incognite x, y, z (fon-damentali) e λ (ausiliaria).

5.1.6 Esercizi

Esercizio 5.1: Studiare il moto di un punto libero P di massa m soggetto alla sola forza pesonote le condizioni iniziali x0 = y0 = z0 = 0 e v0 = v0 cos αı+ v0 sinαk (problema della balistica senzaattrito). Calcolare inoltre l’energia meccanica totale.

Esercizio 5.2: Studiare il moto di un punto libero P di massa m soggetto alla forza peso (P,F1 =

−mgk) e alla resistenza dell’aria (P,F2 = −λv(P )), λ > 0, note le condizioni iniziali x0 = y0 = z0 = 0

e v0 = v0 cos αı+v0 sinαk. Dimostrare che nel limite λ→ 0+ si ritrovano, puntualmente, le soluzioniviste nell’esercizio precedente.

Esercizio 5.3: Studiare il moto di un punto P di massa m vincolato a scorrere, senza attrito,lungo l’asse (O; x) e soggetto alla forza peso (P,F1 = −mgk) e ad una forza elastica (P,F2 = −k2xı)dovuta ad una molla di costante di elasticita k2 avente l’altro estremo fisso in O. Discutere inoltrese il punto P puo oltrepassare un punto D posto a distanza d da O ed in tal caso calcolare con qualevelocita oltrepassa D (facendo uso del principio di conservazione dell’energia meccanica) e quantotempo impiega per andare da O a D ammesso che le condizioni iniziali al tempo t0 = 0 siano:

x(0) = 0 e x(0) = v0, v0 > 0.

Sempre sotto le stesse condizioni iniziali, supponiamo il punto sia soggetto, oltre alla forza elastica ealla forza peso, ad un attrito radente di coefficienti, rispettivamente, fs e fd(< fs); discutere il motodel punto P e calcolare l’energia meccanica totale del punto in funzione del tempo t.

Esercizio 5.4: Sia dato un punto materiale P di massa m vincolato a scorrere lungo un asse(O; x1) orizzontale. Sapendo che tale asse ruota, rispetto al riferimento assoluto (O; x, y, z), attorno

all’asse verticale (O; z) con velocita angolare ω = θk si domanda:

i. scrivere le equazioni di Newton rispetto all’osservatore relativo;ii. supponendo che la velocita angolare ω sia costante e indicando con fs il coefficiente di attrito

radente, calcolare le eventuali configurazioni di equilibrio relativo;iii. supponendo che la velocita angolare ω sia costante, in assenza di attrito e introducendo una forza

elastica dovuta ad una molla di costante k e avente ai suoi capi P e O, determinare il moto relativodel punto P ;

iv. supponendo che la velocita angolare ω sia costante, in assenza di attrito e assumendo che l’asse(O; x1) sia inclinato rispetto all’asse verticale (α ∈ (0, π/2) e l’angolo tra i due assi), calcolare leconfigurazioni di equilibrio relativo e discutere la loro stabilita.


Esercizio 5.5: Sia dato un corpo puntiforme P di massa m vincolato a scorrere senza attritolungo una circonferenza di centro O e raggio ℓ posta in un piano verticale che ruota attorno all’asseverticale (O; z) con velocita angolare ω = θk con θ = θ(t) nota. Sia (O1; x1, y1, z1) il sistema diriferimento relativo con O ≡ O1, l’asse (O1; z1) coincidente con l’asse di rotazione e con il piano(O1; x1, z1) contenente la circonferenza; il sistema e ad un grado di liberta ed assumiamo comeparametro lagrangiano l’angolo formato dal segmento P −O ed il semi-asse verticale discendente. Sidomanda:

i. calcolare il potenziale e l’energia cinetica rispetto all’osservatore relativo;ii. calcolare le configurazioni di equilibrio relativo e studiarne la stabilita;iii. disegnare il diagramma delle biforcazioni per le configurazioni di equilibrio relativo in funzione

del parametro positivo adimensionale γ = gω2ℓ

;iv. calcolare il periodo delle piccole oscillazioni delle configurazioni di equilibrio relativo distinguendo

i due casi γ < 1 e γ > 1.

Esercizio 5.6: Tenendo conto della forza di Coriolis e della forza peso calcolare, per una secchiapuntiforme di massa m lasciata cadere dalla cima della Ghirlandina con velocita iniziale nulla, ladeviazione verso oriente della secchia rispetto alla verticale quando questa impatta al suolo.

Esercizio 5.7: Sia dato un oscillatore accoppiato costituito da due corpi puntiformi P1 e P2 dimasse, rispettivamente, m1 e m2, vincolati a scorrere senza attrito lungo l’asse (O; x), il punto P1

e collegato ad O mediante una molla di costante k1, il punto P1 e collegato ad un punto fisso A,distante L da O, mediante una molla di costante k2, i due punti sono poi collegati tra loro medianteuna molla di costante K. Introducendo i parametri lagrangiani x1 e x2 (scelti in modo che siaP1 −O = x1ı e P2 −A = −x2ı), e ponendo, per semplicita, m = m1 = m2 e k = k1 = k2, si domandadi scrivere le equazioni differenziali del moto, integrarle e osservare, almeno per alcuni valori inizialie dei parametri, il fenomeno dei battimenti.

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi

5.2.1 Lavoro elementare

Definizione 5.1. Sia dato un sistema S di N punti materiali soggetto ad un sistema di forze (Ps,Fs),s = 1, 2, . . . , N , sia attive che vincolari. In un istante qualsiasi t sia vs la velocita di Ps e dPs =vsdt lo spostamento (infinitesimo) che esso subisce nell’intervallo dt, diremo lavoro elementarecomplessivo del sistema di forze Fs la somma

dL =N∑

s=1

Fs · dPs =N∑

s=1

Fs · vsdt. (5.15)

5.2.2 Corpo rigido libero

La velocita di un generico punto Ps di un corpo rigido e espressa per mezzo di due vettori carat-teristici, cioe della velocita v0 di un qualsiasi punto O solidale col sistema e della velocita angolareistantanea ω del sistema stesso. In questo modo si ottiene

vs = v0 + ω × (Ps −O)

5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi 111

o, equivalentemente,

dPs = dO + ω′ × (Ps −O)

dove abbiamo posto ω′ = ωdt = dθa essendo (O; a) l’asse istantaneo di rotazione. Sostituendo nella(5.15) e tenendo conto della regola del prodotto misto si ottiene

dL = dO ·(

N∑

s=1

Fs

)+ ω′ ·

N∑

s=1

(Ps −O)× Fs

= R · dO +Ω(O) · ω′ (5.16)

In particolare per un moto (o atto di moto) puramente traslatorio (ω = 0), l’espressione del lavoroelementare e quella stessa che competerebbe ad una unica forza applicata il O di vettore R.

Dalla (5.16) si nota che il lavoro di tutte le forze interne e nullo, essendo Ri = 0 e Ωi(O) = 0,quindi: durante il moto di un corpo rigido, comunque vincolato e sollecitato, le forzeinterne eseguono un lavoro elementare identicamente nullo.

Dalla (5.16) appare anche che due sistemi di forze equivalenti compiono lo stesso lavoroelementare o, in altri termini, lo stesso lavoro virtuale.

Se il corpo rigido e fissato in un punto e questo si sceglie come centro di riduzione, si ha v0 = 0 ela (5.16) si riduce a

dL = Ω(O) · ω′. (5.17)

Se poi il corpo rigido ruota intorno ad un asse fisso di direzione a, basta scegliere il polo O in un puntoqualsiasi di quest’asse perche continui a sussistere la (5.17); in particolare il vettore ω, pur variando,

in generale, di intensita col tempo, ha sempre l’asse fisso e ω = θa. Essendo Ωa la proiezione sull’assea del momento Ω(O) (momento risultante delle forze rispetto all’asse a) si ha:

dL = Ωadθ. (5.18)

5.2.3 Lavoro elementare in coordinate lagrangiane

Se il sistema S ha n gradi di liberta e, rispetto alla generica n−upla di coordinate lagrangiane(indipendenti) qh (h = 1, 2, . . . , n), e definito dalle equazioni parametriche

Ps = Ps(q1, q2, . . . , qn; t) , s = 1, . . . , N, (5.19)

il generico spostamento infinitesimo del sistema e dato da

dPs =n∑

h=1

∂Ps∂qh

dqh +∂Ps∂t

dt , s = 1, . . . , N.

Il lavoro elementare del sistema diventa quindi

dL =n∑

h=1

Qhdqh +

(N∑

s=1

Fs ·∂Ps∂t

)dt (5.20)

denotando con


Qh =N∑

s=1

Fs ·∂Ps∂qh

la forza generalizzata di Lagrange o componente del sistema di forze Fs secondo la coor-dinata lagrangiana qh. A secondo membro della (5.20) il secondo termine si annulla identicamentequando i vincoli sono indipendenti dal tempo (∂Ps/∂t) = 0.

5.2.4 Lavoro virtuale e identita notevoli

Nel caso di spostamenti virtuali δPs si perviene per il lavoro virtuale

δL =N∑

s=1

Fs · δPs, e quindi δL =n∑

h=1

Qhδqh. (5.21)

Se le forze (Ps,Fs) derivano da un potenziale U , espresso in coordinate lagrangiane per mezzo delleequazioni parametriche (5.19), funzione delle q e anche del tempo t, se i vincoli sono dipendenti daesso. In ogni caso sappiamo gia che si ha δL = δU , dove δU denota il differenziale totale dellaU in quanto dipendente dalle sole q, cioe δU =

∑nh=1

∂U∂qhδqh; quindi, identificando con la (5.21) e

tenendo conto della arbitrarieta dei δqh nell’ipotesi di vincoli olonomi (in modo che gli spostamentiinfinitesimi δqh sono arbitrari e indipendenti tra loro), si ottengono per le componenti lagrangianedella sollecitazione, nel caso conservativo, le espressioni Qh =

∂U∂qh

.

Nel caso di un corpo rigido libero i vincoli sono indipendenti dal tempo. Quindi, come nel casoappena visto, il generico spostamento virtuale e definito da

δPs = δO + ω′ × (Ps −O),

dove δO denota lo spostamento virtuale del polo O e ω′ la corrispondente rotazione virtuale, e sitrova

δL = R · δO +Ω(O) · ω′, (5.22)

dove, naturalmente, R e Ω(O) denotano ancora il vettore risultante e il momento risultante, rispettoad O, delle forze (Ps,Fs).

5.2.5 Energia cinetica o forza viva

Definizione 5.2. Diremo energia cinetica o forza viva di un sistema materiale S di N punti Psdi massa ms la somma

T =1

2

N∑

s=1

msv2s =

1

2

N∑

s=1

msvs · vs. (5.23)

Si tratta di una grandezza scalare, sempre positiva, salvo che negli istanti di arresto di tutti ipunti del sistema, nei quali l’energia cinetica si riduce a zero; e manifesto che essa e di natura relativaal riferimento adottato (in Dinamica quando si parla di energia cinetica, senza ulteriore specificazione,si sottintende che il moto sia riferito ad una terna fissa o, piu generalmente, galileiana).


Fig. 5.2. Sistemi di riferimento mobile (O1;x1, y1, z1) traslante rispetto al sistema di riferimento fisso (O;x, y, z).

Teorema di Konig

Denotando con (O1; x1, y1, z1) un sistema di riferimento mobile e con (O; x, y, z) il sistema di riferi-mento fisso, la velocita di un punto Ps rispetto al sistema fisso e data da vs = vτ,s + v1,s; dove vτ,se la velocita di trascinamento di Ps e v1,s e la velocita relativa di Ps. Nel caso particolare in cui ilsistema mobile si muova di moto traslatorio allora vτ,s = v(O′) = v0 e l’energia cinetica Tassume la forma

T =1

2mv0

2 +1

2

N∑

s=1

msv1,s2 + v0 ·

(N∑

s=1

msv1,s

), (5.24)

dove m denota la massa totale del sistema. La (5.24) presenta l’energia cinetica del sistema, nel suomoto rispetto a (O; x, y, z), come somma di tre termini, cioe l’energia cinetica che competerebbe alpunto O′ qualora fosse un punto materiale di massa m, l’energia cinetica del sistema nel suo motorelativo ad O′, ed, infine, una quantita che dipende sia dal moto di O′ che dal moto relativo. Laformula (5.24) si semplifica quando si assume come riferimento mobile O′ il baricentro G del sistema.In tal caso, essendo

∑Ns=1ms(Ps −G) = 0, si ha che

∑Ns=1msv1,s = 0.

Pertanto abbiamo il seguente risultato:

Teorema 5.3 (Teorema del Konig). L’energia cinetica di un qualsiasi sistema materiale in motoe, istante per istante, eguale alla somma dell’energia cinetica che competerebbe in quell’istante albaricentro, qualora fosse un punto materiale in cui si trovasse concentrata tutta la massa del sistema,piu l’energia cinetica nel moto del sistema relativo al baricentro (ovvero all’osservatore centrato nelbaricentro e traslante):

T =1

2mv2G + TG, TG =

1

2

N∑

s=1

msv1,s2, m =

N∑

s=1

ms. (5.25)

Energia cinetica di un corpo rigido

Nel caso di un corpo rigido abbiamo vs = v0 + v′s, dove v0 = v(O′), e v′

s = ω × (Ps − O′) conovvio significato di tali grandezze vettoriali. In particolare, ponendo m =

∑Ns=1ms e:


T ′ =1

2mv20,

T ′′ =1

2

N∑

s=1

ms ω × (Ps −O′)2 ,

T ′′′ = v0 ·N∑

s=1

msω × (Ps −O′)

allora la (5.24) diventa:

T = T ′ + T ′′ + T ′′′. (5.26)

Qui dobbiamo esprimere T ′, T ′′, T ′′′ in termini delle sei caratteristiche date da v0 = uı + v + wk e

ω = pı′ + q′ + rk′(dove e piu conveniente, ma non necessario, proiettare ω su una terna solidale di

versori ı′, ′ e k′)).

Il primo addendo T ′, che fornirebbe l’intera energia ci-

Fig. 5.3. Sistemi di riferimento mobile(O1;x1, y1, z1) solidale con il corpo rigido;(O;x, y, z) denota il sistema di riferimentorispetto al quale si calcola l’energia cinetica delcorpo rigido.

netica del corpo rigido qualora il moto fosse puramentetraslatorio, e dato da

T ′ =1

2mv20 =

1

2m(u2 + v2 + w2

)(5.27)

dove si e denotata con m la massa totale del corpo rigido.Per trovare l’espressione esplicita di T ′′, che darebbe la

intera energia cinetica se il punto solidale O′ fossefisso, consideriamo la distanza ds del generico punto Psdel corpo rigido dall’asse istantaneo di rotazione (O′,ω).Poiche ω × (Ps −O′)2 = ω2d2s allora, raccogliendo ω afattore comune, si trova che:

T ′′ =1

2Iω2, dove I =

N∑

s=1

msd2s

rappresenta il momento di inerzia del corpo rigido rispettoall’asse istantaneo di rotazione passante per O′. In particolare, essendo A, B, C e A′, B′, C ′ imomenti e i prodotti d’inerzia del corpo rigido rispetto alla terna solidale al corpo rigido, si ha:

T ′′ =1

2Iω2

=1

2

Ap2 + Bq2 + Cr2 − 2A′pq − 2B′pr − 2C ′qr

(5.28)

dove i momenti A, B, C e A′, B′, C ′ calcolati rispetto al riferimento solidale sono costanti duranteil moto del corpo rigido. Infatti, il momento di inerzia I rispetto all’asse di istantanea rotazionepassante per O di equazioni (αx, βx, γx), x ∈ R e dove α = p/ω, β = q/ω e γ = r/ω sono i cosenidirettori della retta, e dato da

I = Aα2 + Bβ2 + Cγ2 − 2A′αβ − 2B′αγ − 2Cβγ=

1

ω2

(Ap2 + Bq2 + Cr2 − 2A′pq − 2B′pr − 2Cqr

).


Il terzo addendo, infine, T ′′′ si puo scrivere, per una nota proprieta del prodotto misto:

T ′′′ =N∑

s=1

ms(Ps −O′) · (v0 × ω)

=m(G−O′) · (v0 × ω) . (5.29)

Dalla (5.26) e dalle formule (5.27), (5.28) e (5.29) risulta che in ogni caso la energia cineticadi un corpo rigido e una forma quadratica nelle 6 caratteristiche dell’atto di moto(u, v, w, p, q, r).

Osserviamo che: se il centro di riduzione O′ (che e al tempo stesso origine delle coordinate) sisceglie nel baricentro si annulla (G−O′) = 0 e quindi T ′′′; se poi si scelgono come assi coordinati irispettivi assi principali di inerzia allora si annullano i tre prodotti di inerzia A′ = B′ = C ′ = 0,mentre A, B, C diventano i tre momenti principali di inerzia baricentrali. Per la energia cinetica siottiene l’espressione notevolmente semplice in accordo con il Teorema di Konig:

T =1

2m(u2 + v2 + w2

)+

1

2

(Ap2 + Bq2 + Cr2

)(5.30)

Corpo rigido con un punto fisso o un asse fisso

Quando il corpo rigido S sia fissato in un suo punto, basta scegliere questo punto O′ come centro diriduzione del moto rigido (e come origine della terna solidale); allora l’energia cinetica, per un corporigido rotante intorno ad un asse fissato con velocita angolare ω, e data da

T = T ′′ =1

2Iω2,

dove si e scelto il centro di riduzione O′ (origine anche della terna solidale) sull’asse e dove I denotail momento di inerzia del corpo rigido rispetto al suo asse di rotazione. Operando come prima si hala seguente espressione equivalente (con ovvio significato dei termini):

T = T ′′ =1

2

Ap2 + Bq2 + Cr2 − 2A′pq − 2B′pr − 2C ′qr

.

Quando, in particolare, il corpo S ha un asse fisso allora in questo caso si ottiene

T =1

2Iω2

dove I e il momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse fisoo.

Energia cinetica di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane

Dato un sistema olonomo S costituito da N punti Ps, dotato di n gradi di liberta, dove i vincolisono rappresentati dalle equazioni parametriche (5.19); per cui le velocita (possibili) vs = v(Ps) deisingoli punti Ps, in funzione delle coordinate qs e delle velocita lagrangiane qs e del tempo, sono dateda

vs =n∑

h=1

∂Ps∂qh

qh +∂Ps∂t

, s = 1, . . . , N. (5.31)


Sostituendole nelle (5.23) si puo scrivere

T = T2 + T1 + T0, (5.32)

designando, rispettivamente, con T2, T1, T0 l’insieme dei termini di II grado nelle q, dei termini diI grado e, infine, dei termini indipendenti dalle q. Piu precisamente si ottiene

T2 =1

2

n∑

h,k=1

ah,kqhqk, ah,k = ah,k(q; t) =N∑

s=1

ms∂Ps∂qh

· ∂Ps∂qk

,

T1 =n∑

k=1

Akqk, Ak = Ak(q; t) =N∑

s=1

ms∂Ps∂qk

· ∂Ps∂t

T0 =1

2

N∑

s=1

ms

(∂Ps∂t

)2

dove i coefficienti ah,k, Ak e T0 dipendono dai parametri lagrangiani e dal tempo. In particolare eimmediato osservare che ah,k = ak,h.

Se i vincoli sono indipendenti dal tempo, le espressioni (5.31) delle velocita si riducono allaloro parte lineare nelle velocita lagrangiane q:

vs =n∑

h=1

∂Ps∂qh

qh. (5.33)

In particolare T1 = T0 = 0 e l’energia cinetica assume la forma

T =1

2

N∑

h,k=1

ah,kqhqk, ah,k =N∑

s=1

ms∂Ps∂qh

· ∂Ps∂qk

(5.34)

dove i coefficienti ah,k dipendono dalle sole qh. E questa dunque l’espressione generale della energiacinetica di un sistema olonomo a vincoli indipendenti dal tempo e ad n gradi di liberta(di fatto l’ipotesi di olonomia non e necessaria a questo stadio).

Vale il seguente risultato:

Teorema 5.4. T2 e una forma quadratica nelle qh definita positiva; cioe T2 ≥ 0 per ogni sceltadelle velocita lagrangiane q1, . . . , qn e T2 = 0 se, e solo se, q1 = . . . = qn = 0.

Dimostrazione. Supponiamo, per un momento, i vincoli indipendenti dal tempo e dimostriamo primail teorema sotto questa ipotesi. Osserviamo che T e per sua natura stessa definita positiva e quindi,essendo T = T2 sara necessariamente T2 ≥ 0. Se poi T2 = 0 allora T = 0 e quindi deve essere vs = 0;resta quindi da fare vedere che

qh = 0, h = 1, 2, . . . , n ⇔ vs = 0, s = 1, 2, . . . , N

ovvero le qh sono tutte nulle sempre e solo quando tali sono tutte le vs. Dalla (5.31), in cui ∂Ps

∂t= 0,

e immediato che vs = 0 quando qh = 0. Per dimostrare il viceversa osserviamo che se tutte le vssono nulle allora abbiamo che deve essere

n∑

h=1

∂xs∂qh

qh = 0,n∑

h=1

∂ys∂qh

qh = 0,n∑

h=1

∂zs∂qh

qh = 0


che implica qh = 0 poiche la matrice Jacobiana delle xs, ys, zs rispetto alle qh, in virtu dellaipotesi della indipendenza delle coordinate lagrangiane, e, per valori generici di esse, di caratteristican. Supponiamo ora i vincoli dipendenti dal tempo; T sara ancora definita positiva ma ora T =T2 + T1 + T0. Mostriamo per prima cosa che T2 ≥ 0. Supponiamo per assurdo che esistano ˙qh nontutte nulle tali che T2 < 0, quindi sara T2 = α2T2 < 0 anche per α ˙qh per qualunque α ∈ R\0 einoltre sara

T = α21

2

n∑

h,k=1

ah,k ˙qh ˙qk + αn∑

h=1

Ah ˙qh + T0 = α2T2 + αT1 + T0.

Poiche abbiamo supposto per assurdo T2 < 0 allora, per α sufficientemente grande, sara T < 0cadendo in assurdo. Mostriamo ora che T2 = 0 implica qh = 0. Supponiamo, per assurdo, cheesistano ˙qh non tutte nulle tali che T2 = 0, quindi sara T2 = α2T2 = 0 anche per α ˙qh per qualunqueα ∈ R\0. Quindi

T = αn∑

h=1

Ah ˙qh + T0 = αT1 + T0.

Se T1 6= 0 allora basta prendere α di segno opposto a T1 e sufficientemente grande per avere T < 0cadendo in assurdo; quindi deve essere anche T1 = 0, ottenendo

T = T0 =N∑

s=1

ms

(∂Ps∂t

)2

.

Osserviamo che T0 e indipendente da ˙qh e quindi da α mentre T dipende da α attraverso vs e la(5.31), poiche ˙qh 6= 0 per un qualche h, cadendo ancora in assurdo. Quindi abbiamo provato cheT2 ≥ 0 e che se T2 = 0 allora deve necessariamente essere qh = 0 per ogni h.

Notiamo, infine, che nell’uno e nell’altro caso il determinante ‖ah,k‖ degli n2 coefficienti ah,k,appunto come discriminante di una forma definita (positiva), non puo annullarsi. Per dimostrarequesto risultato indipendentemente dal Teorema precedente si puo procedere come segue: supponiamoi vincoli indipendenti dal tempo (per semplicita) e sia, per assurdo, questo determinante nullo, peruna qualche scelta dei parametri lagrangiani qh e t. Allora esistono ˙qh non tutte nulle soddisfacential sistema di n equazioni lineari

∂T

∂qh=

n∑

k=1

ah,k ˙qk = 0, h = 1, 2, . . . , n.

Moltiplicando i membri di questa equazione per ˙qh si ottiene che deve essere

0 =n∑

h=1

˙qh∂T

∂qh= 2T

per il teorema di Eulero, cadendo in assurdo.

5.2.6 Quantita di moto e momento della quantita di moto

Definizione 5.5. Definiamo quantita di moto di un sistema di punti Ps di massa ms la sommavettoriale


Q =N∑

s=1

msvs , vs = (Ps) . (5.35)

Derivando l’equazione vettoriale m(G−O) =∑Ns=1ms(Ps−O), dove G e il baricentro e vG la sua

velocita, abbiamo

mvG =N∑

s=1

msvs = Q. (5.36)

Abbiamo dunque che:

Teorema 5.6. La quantita di moto di un sistema qualsiasi e ad ogni istante eguale alla quantitadi moto che, in quell’istante, spetterebbe al baricentro, qualora fosse un punto materiale, in cui sitrovasse concentrata la massa totale del sistema.

Definizione 5.7. Dato un sistema materiale S si dice momento delle quantita di moto rispettoad un qualsiasi punto O il momento risultante rispetto ad O delle quantita di moto dei singoli puntiPs del sistema, cioe la grandezza vettoriale

K(O) =N∑

s=1

(Ps −O)×msvs =N∑

s=1

msvs × (O − Ps). (5.37)

Il momento della quantita di moto e legato alla scelta del punto O secondo la seguente relazione:

K(O′) = K(O) + (O −O′)×Q

dove Q e la quantita di moto del sistema. Infatti

K(O′) =N∑

s=1

msvs × (O′ − Ps) =N∑

s=1

msvs × [(O − Ps) + (O′ −O)]

=N∑

s=1

msvs × (O − Ps) +N∑

s=1

msvs × (O′ −O)

= K(O) + (O −O′)×Q.

Scegliendo come centro di riduzione dei momenti il baricentro G del sistema ed essendo v′s le

velocita dei punti Ps del sistema nel loro moto relativo a G (cioe rispetto ad un osservatore baricentricotraslante): vs = vG + v′

s si ha che:

K(G) =N∑

s=1

msvs × (G− Ps)

=N∑

s=1

msv′s × (G− Ps) +

N∑

s=1

msvG × (G− Ps)

=N∑

s=1

msv′s × (G− Ps) + vG ×

N∑

s=1

ms(G− Ps)

=N∑

s=1

msv′s × (G− Ps) = K′(G).

Pertanto si conclude che:


Teorema 5.8. Comunque si muova un sistema materiale, il momento delle quantita di moto (asso-luto) rispetto al baricentro coincide con l’analogo momento delle quantita di moto relativo al baricentrostesso (cioe rispetto all’osservatore baricentrico e traslante):

K(G) = K′(G).

Derivata del momento della quantita di un sistema

Derivando la relazione (5.37) si ottiene

dK(O)

dt=

N∑

s=1

(Ps −O)×msas − v0 ×Q , v0 = (O) . (5.38)

Se il centro di riduzione O e fisso (v0 = 0), la (5.38) si semplifica nella forma

dK(O)

dt=

N∑

s=1

(Ps −O)×msas. (5.39)

Si noti che tale semplificazione rimane valida anche quando il centro di riduzione O (pur non essendo,in generale, fisso) coincida, istante per istante, con il baricentro del sistema, infatti in talcaso il termine vG × Q e identicamente nullo dalla (5.36), o oppure abbia velocita parallela aquella del baricentro, infatti v0 ×Q = v0 × (mvG) = 0.

5.2.7 Quantita di moto e momento delle quantita di moto di un corpo rigido

Quando il sistema S in moto e un corpo rigido, e si assume a centro di riduzione O′ un punto solidalecon il sistema, i due vettori Q e K(O′) si esprimono in modo notevolmente semplice per mezzo dellecaratteristiche u, v, w e p, q, r del moto di S rispetto ad una qualsiasi terna solidale (O′; x′, y′, z′)dove

v0 = uı′ + v′ + wk′, ω = pı′ + q′ + rk

′.

Piu precisamente si ha che:

Teorema 5.9. Le componenti di Q e K si identificano con le derivate parziali dell’energia cineticaT del corpo rigido rapporto alle 6 caratteristiche:

Q = ∇(u,v,w)T =∂T

∂uı′ +

∂T

∂v′ +

∂T

∂wk′

e

K(O′) = ∇(p,q,r)T =∂T

∂pı′ +

∂T

∂q′ +

∂T

∂rk′.

Dimostrazione. Infatti, partendo dalla definizione T = 12

∑Ns=1msv

2s , dove

vs = v0 + ω × (Ps −O′) = vs,x′ ı′ + vs,y′

′ + vs,z′ k′, v0 = v(O),

viene proiettata sulla terna solidale e dove


vs,x′ = u+ vs,x′(p, q, r).

L’energia cinetica T sara funzione di u, v, w, p, q, r e, derivandola rispetto ad u si ottiene che solamente

vs,x′ dipende da u e che∂vs,x′

∂u= 1; quindi:

∂T

∂u=

N∑

s=1

msvs,x′ , (5.40)

il cui secondo membro non e altro che la componente Qx′ di Q secondo l’asse delle x′. Analogamenteper y′ e z′ ottenendo:

Qx′ =∂T

∂u, Qy′ =

∂T

∂v, Qz′ =

∂T

∂w. (5.41)

Derivando ora la T rispetto a p si perviene all’identita

∂T

∂p=

N∑

s=1

ms∂vs∂p

· vs =N∑

s=1

ms

[∂ω

∂p× (Ps −O)

]· vs

=N∑

s=1

msı′ × (Ps −O) · vs =

N∑

s=1

msı′ · (Ps −O)× vs = Kx′ .

Analogamente

Ky′ =∂T

∂q, Kz′ =

∂T

∂r(5.42)

completando cosı la dimostrazione.

In particolare dalle (5.26) e (5.27)–(5.28)–(5.29) si ottengono le espressioni delle componenti di Qe K(O′). In particolare, quando il centro di riduzione O′ coincide con il baricentro o quando O′ siafissato nello spazio (da cio T ′′′ = 0), allora le (5.42) assumono la forma

Kx′ = Ap− B′r − C ′qKy′ = −C ′p+ Bq −A′rKz′ = −B′p−A′q + Cr

(5.43)

e basta prendere come assi solidali i tre assi principali d’inerzia in O′ (baricentro o punto solidalefisso) per ridurle ulteriormente alla forma canonica

Kx′ = Ap, Ky′ = Bq, Kz′ = Cr (5.44)

dove A, B, C denotano i momenti principali di inerzia.Vale il seguente teorema:

Teorema 5.10. L’energia cinetica di un corpo rigido vale

T =1

2v(O′) ·Q+

1

2ω ·K(O′).


Dimostrazione. Il Teorema si dimostra applicando il Teorema di Eulero all’energia cinetica T

2T =∂T

∂uu+

∂T

∂vv +

∂T

∂ww +

∂T

∂pp+

∂T

∂qq +

∂T

∂rr,

considerata come forma quadratica delle 6 caratteristiche (vedi la nota a seguito della formula (5.29))e tenendo conto delle (5.41), (5.42).

Se il polo O′ dei momenti si fa coincidere con il baricentro (Q = mvG), allora si puo scrivere (eil Teorema di Konig) T = 1

2mv2G + 1

2ω ·KG. Inoltre, nel caso in cui O′ sia fisso allora abbiamo che

T = 12ω ·K(O′).

Corpo rigido ad asse fisso

Se un corpo rigido S ruota intorno ad una retta fissa a con velocita angolare ω allora, scegliendol’asse a coincidente con uno degli assi di riferimento (ad es. l’asse x′) per cui p = ±ω e q = r = 0, le(5.41) e (5.42) assumono la forma:

Qx′ = 0, Qy′ = −mz0p, Qz′ = my0p;

Kx′ = Ap, Ky′ = −C ′p, Kz′ = −B′p.

Si prova cosı che il momento delle quantita di moto rispetto all’asse di rotazione e datodal prodotto di ±ω per A (momento di inerzia del corpo rispetto allo stesso asse).

5.2.8 Esercizi

Esercizio 5.1: Sia data un’asta rigida OA omogenea, lunga ℓ e di massa m vincolata a ruotareattorno all’asse (O; z) rimanendo inclinata rispetto all’asse stesso (sia α ∈ (0, π/2) l’angolo che l’asta

forma con la verticale). Essendo ω = θk la velocita angolare dell’asta (dove θ e l’angolo di rotazione),calcolare l’energia cinetica dell’asta, in particolare calcolare l’energia cinetica quando α = 0.

Esercizio 5.2: sia data un’asta rigida OA omogenea, lunga ℓ e di massa m avente l’estremo Ofisso. Calcolare l’energia cinetica dell’asta.

Esercizio 5.3: Sia data un’asta rigida AB omogenea, lunga ℓ e di massa m vincolata a muoversinel piano (O; x, y) e avente l’estremo A vincolato ad una circonferenza di centro O e raggio R.Calcolare l’energia cinetica dell’asta.

Esercizio 5.4: Calcolare l’energia cinetica del sistema materiale, mobile nel piano (O; x, y), for-mato da:

- un’asta rigida OC omogenea, lunga ℓ, di massa m e con asse fisso normale al piano (O; x, y) epassante per O;

- un disco rigido omogeneo, di raggio R e massaM il cui centro e incernierato all’estremo C dell’asta.

Esercizio 5.5: Calcolare l’energia cinetica dell’asta AB omogenea, mobile nel piano (O; x, y),lunga ℓ e di massa m avente un estremo A vincolato a scorrere lungo l’asse x.

Esercizio 5.6: Calcolare l’energia cinetica dell’asta AB omogenea, mobile nel piano (O; x, y),lunga ℓ e di massa m avente l’estremo A vincolato a scorrere lungo l’asse x e l’altro estremo Bvincolato a scorrere lungo l’asse y.


Esercizio 5.7: Calcolare l’energia cinetica di un disco omogeneo di massa m, raggio R, mobilenel piano e che ruota senza strisciare su un asse.

Esercizio 5.8: Sia dato il sistema materiale (detto bilanciere) costituito da:

- due sfere omogenee di massa M e raggio R ciascuna,- un’asta rigida, omogenea, lunga 2ℓ e massa 2m;

l’asta e rigidamente collegata alle due sfere come in figura. Calcolare l’energia cinetica del sistemasapendo che l’asta ruota attorno ad un asse fisso passante per il centro dell’asta e normale all’astastessa.

Esercizio 5.9: Calcolare il momento della quantita di moto di un’asta AB omogenea, lunga ℓ emassa m che ruota attorno ad un asse normale all’asta stessa e passante per l’estremo A.

Esercizio 5.10: Calcolare il momento della quantita di moto di un’asta OA omogenea, lunga ℓ emassa m avente l’estremo O fisso.

Esercizio 5.11: Calcolare il momento della quantita di moto di un’asta AB omogenea, lunga ℓ emassa m che si muove liberamente nel piano (O; x, y).

5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange

5.3.1 Generalita

Se ci riferiamo ad un sistema S di N punti materiali Ps ogni sollecitazione sara costituita da forzeapplicate agli N punti del sistema che, in base al postulato di indipendenza degli effetti delle forze,si potranno ridurre ad N forze applicate rispettivamente agli N punti Ps, sostituendo, perciascuno di questi, alle varie forze agenti su di esso la rispettiva risultante.

Se gli N punti Ps sono liberi ed e data la sollecitazione risultante Fs cui essi sono sottoposti, ilproblema del moto si pone immediatamente nelle equazione vettoriali (e quindi 3N equazioni scalari)del II ordine nelle N incognite vettoriali Ps = Ps(t) dell’unica variabile indipendente t:

msas = Fs

dove as e l’accelerazione del punto Ps, di massa ms, valutata con riferimento alla terna rispetto allaquale sono misurate le forze agenti sui punti del sistema.

In generale avremo, oltre alle forze attive, anche dei vincoli (sistemi materiali vincolati); perquanto e noto dal postulato delle reazioni vincolari possiamo ritenere che su ciascun puntodel sistema l’azione esercitata dai vincoli, nelle date condizioni di sollecitazione, siasostituibile con una forza (incognita) che chiameremo reazione o forza vincolare. Se neconsegue che, anche nel caso piu generale di sistemi vincolati, varranno le equazioni fondamentali

msas = Fs + φs (5.45)

purche vi si interpreti ciascuna delle Fs come risultante complessiva delle forze attive e φs

delle reazioni, cui e soggetto il corrispondente punto Ps. Si noti che, in generale, si conoscono,oltre alle forze attive, le modalita di realizzazione dei vincoli, ma non le corrispondenti reazioni,le quali hanno percio il carattere di incognite ausiliarie; di qui appare che le equazioni (5.45)costituiscono, per il problema del moto di un sistema vincolato, una interpretazione provvisoria.

5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange 123

Per una piu precisa caratterizzazione seguiteremo il percorso gia tracciato nella Statica dove, dis-tinguendo le forze in interne ed esterne, siamo pervenuti alle equazioni cardinali della Statica;mentre poi, nella Statica generale, partendo dalla distinzione delle forze in attive e vincolari e ag-giungendo opportune ipotesi alla natura dei vincoli (assenza di attrito), siamo riusciti ad eliminare,grazie al principio dei lavori virtuali, dalle condizioni di equilibrio le incognite reazioni.

5.3.2 Teoremi della quantita di moto e del momento delle quantita di moto. Equazioni cardinali dellaDinamica

Teorema della quantita di moto

Dato un sistema materiale S di N punti Ps comunque vincolato e sollecitato, distinguiamo l’insiemedi tutte le forze attive e vincolari agenti sul sistema in esterne ed interne (attive e vincolari) aventevettori denotati, rispettivamente, Fs,i e φs,i e Fs,e e φs,e. Le equazioni del moto si potranno scrivere:

msas = Fs,i + φs,i + Fs,e + φs,e, s = 1, . . . , N. (5.46)

Le forze interne (Ps,Fs,i) e (Ps,φs,i), per la loro stessa natura, costituiscono un sistema vetto-rialmente equivalente a zero (cioe avente nulli il risultante e il momento risultante); quindi,sommando ambo i membri della (5.46), si ottiene:

(dQ

dt=

N∑

s=1

msdvsdt

=

)N∑

s=1

msas =N∑

s=1

Fs,e +N∑

s=1

φs,e

e denotando con Re il vettore risultante di tutte le forze attive esterne e denotando con Φe il vettorerisultante di tutte le reazioni vincolari esterne, si ottiene la relazione

dQ

dt= Re +Φe. (5.47)

Abbiamo dunque il seguente risultato:

Teorema 5.11 (Teorema della quantita di moto). La derivata della quantita di moto di unqualsiasi sistema materiale e, istante per istante, uguale al vettore risultante delle forze esterne(attive e vincolari).

Ricordando che Q = mvG, dove m e la massa del sistema e vG la velocita del baricentro, la (5.47)si puo scrivere

maG = Re +Φe. (5.48)

Cioe:

Teorema 5.12 (Teorema del baricentro). Qualunque sia il sistema materiale che si considera equalunque sia la sollecitazione cui esso e sottoposto, il baricentro si muove come se fosse un puntomateriale dotato della massa totale del sistema e come se tutte le forze esterne (attive e vincolari)agenti sul sistema fossero applicate in esso.

Il teorema precedente ci assicura che nessuna azione di congegni interni verra a modificare latraiettoria del baricentro. In particolare se Re + Φe e identicamente nullo dalla (5.48) segue aG =0; cioe il baricentro si muove di moto rettilineo uniforme. Se poi, piu generalmente, ecostantemente nulla la componente di Re +Φe secondo una qualche direzione fissa a si ottiene cherimane costante, durante il moto del sistema, la componente della velocita del baricentrosecondo la direzione a.


Teorema del momento delle quantita di moto

Riprendiamo le equazioni (5.46) e consideriamo, come elemento ausiliare di riduzione, un punto Oqualsiasi. Se, dopo avere moltiplicato vettorialmente ambo i membri per (Ps − O), sommiamorispetto all’indice s si ha, ricordando che il momento risultante delle forze interne rispetto ad O ecostantemente nullo:

N∑

s=1

msas × (O − Ps) =N∑

s=1

(Ps −O)×msas

=dK(O)

dt+ v(O)×Q.

Che si puo scrivere come:

dK(O)

dt+ v(O)×Q = Ωe(O) +Ψe(O). (5.49)

Se, in particolare, il centro di riduzione O e fisso o coincide con il baricentro o ha velocitaparallela a quella del baricentro, allora la (5.49) assume la forma piu semplice

dK(O)

dt= Ωe(O) +Ψe(O). (5.50)

Vale quindi il seguente:

Teorema 5.13 (Teorema del momento della quantita di moto). Comunque si muova un sis-tema materiale, la derivata in rapporto al tempo del momento delle quantita di moto rispetto ad unpunto fisso o coincidente con il baricentro o avente velocita parallela a quella del baricentro e, istanteper istante, uguale al momento risultante di tutte e sole le forze (attive e vincolari) esterne rispettoal medesimo centro di riduzione.

Il Teorema e qui dimostrato nella solita ipotesi implicita che il moto del sistema sia riferito alriferimento rispetto al quale sono misurate le forze. Ma sappiamo che, assumendo come centro diriduzione il baricentro, il momento della quantita di moto (assoluto) del sistema coincidecon quello della quantita di moto relativa al baricentro (cioe relativa al riferimento baricen-trico e traslante); percio la (5.50) sussiste anche quando per K(G) si prenda quest’ultimomomento K′(G), purche, beninteso, i momenti Ωe(G) e Ψe(G) delle forze esterne si cal-colino rispetto all’osservatore iniziale.

Se la sollecitazione del sistema e tale che il momento risultante Ωe(O)+Ψe(O) delle forze esternesi mantenga costantemente nullo allora, durante tutto il moto, il vettore K(O) si conservacostante (in grandezza e direzione) e l’equazione K(O) = cost. si chiama integrale del momento(vettoriale) delle quantita di moto. Ad esempio, nel caso di un solido soggetto a forze esterne incui sia nullo il momento risultante rispetto al baricentro (e il caso di un sistema pesante), se questo simuove a partire dalla quiete, il suo moto e necessariamente traslatorio. In generale le componentidel vettore K(G) (date da Ap, Bq, Cr) si mantengono costanti (e per sistemi inizialmente in quietedovra aversi p = q = r = 0 per tutto il moto).


5.3.3 Equazioni cardinali del moto di un sistema qualsiasi

Le due equazioni vettoriali

dQ

dt= Re +Φe (5.51)

dK(O)

dt= Ωe(O) +Ψe(O)− v(O)×Q, (5.52)

o, piu particolarmente, la (5.51) e la

dK(O)

dt= Ωe(O) +Ψe(O), (5.53)

si dicono le equazioni cardinali della Dinamica.Cosı come nel caso statico (in cui Q ≡ 0 e K(O) ≡ 0) queste valgono necessariamente per ogni

sistema materiale mobile e non saranno in generale sufficienti a caratterizzarne il moto. Se pero sarapossibile ridurre da esse un numero di equazioni differenziali indipendenti, non contenenti le reazionivincolari, ma solamente i parametri lagrangiani del sistema allora esse possono essere ”sufficienti”a caratterizzare il moto. Cioe la soluzione di tali equazioni soddisfacenti alle condizioni iniziali da,per il teorema di unicita delle equazioni differenziali, il moto del sistema. Piu precisamente si puopensare che, in accordo con il caso statico, per i sistemi rigidi esse bastano in ogni caso a definirneil moto completamente e percio costituiscono la base di tutta la Dinamica dei solidi.

Mostriamo che questa proposizione e verificata per alcuni casi notevoli.

Corpo rigido libero

In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 6 gradi di liberta e le equazioni cardinali dellaDinamica sono

md2G

dt2= Re e

dK(O)

dt= Ωe(O)

dove O e un punto fisso o coincidente con il baricentro e dove Re e Ωe(O) dipendono, in generale, daiparametri lagrangiani, dalle loro derivate e dal tempo. Abbiamo cosı ottenuto un sistema di equazionidifferenziali costituito da 6 equazioni in 6 incognite. Con una scelta opportuna dei parametri la-grangiani (ad es. le tre coordinate del baricentro e i 3 angoli di Eulero) si prova che tale sistema eriducibile in forma normale e quindi, in virtu del Teorema di Cauchy, questo caratterizza tutte e solele soluzioni del moto.

Corpo rigido con punto fisso

In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 3 gradi di liberta e le equazioni cardinali dellaDinamica, in cui prendiamo come polo il punto fisso O, sono

md2G

dt2= Re +Φe e

dK(O)

dt= Ωe(O)

poiche Ψe(O) = 0 in quanto tutte le reazioni vincolari esterne sono applicate in O. Quindi la secondaequazione cardinale rappresenta un sistema di equazioni differenziali costituito da 3 equazioni nelle


3 incognite (ad esempio gli angoli di Eulero) non contenente le reazioni vincolari. Tale sistema eriducibile in forma normale e quindi, in virtu del Teorema di Cauchy, questo caratterizza tutte e solele soluzioni del moto.

L’equazione cardinale dei momenti risulta, talvolta, piu significativa se riferita ad una terna solidale(O′; x′, y′, z′) avente origine in O′ ≡ O:

(dK(O′)

dt

)

O′

+ ω ×K(O′) = Ωe(O′), (5.54)

dove ω designa la velocita angolare della terna solidale, cioe del corpo stesso, rispetto agli assi

(O; x, y, z) e(dK(O′)dt

)O′

la derivata diK(O′) rispetto a t effettuata rispetto all’osservatore (O′; x′, y′, z′).

La (5.54) diventa particolarmente significativa quando si assume come terna (O′; x′, y′, z′) quella deitre assi principali di inerzia del solido nel suo punto O′, in questo caso K(O′) ha componenti

Kx′ = Ap, Ky′ = Bq, Kz′ = Cr. (5.55)

Denotando con Ωx′ , Ωy′ e Ωz′ le componenti secondo gli assi solidali del momento risultante Ωe(O′),

rispetto ad O′, delle forze attive esterne la (5.54) conduce alle equazioni scalari

Ap− (B − C)qr = Ωx′ ,Bq − (C − A)rp = Ωy′ ,Cr − (A− B)pq = Ωz′ .

(5.56)

Le (5.56) si dicono equazioni di Eulero del moto di un solido intorno ad un suo punto fisso. Sinoti che le componenti diΩe(O

′) vanno considerate, nel caso piu generale, come note in funzione, oltreche del tempo, delle velocita dei singoli punti del solido e, in piu, delle loro posizioni nello spazioo, che e lo stesso data l’ipotesi di rigidita, della orientazione del solido intorno ad O′. Tramitela formula fondamentale della cinematica rigida abbiamo che le velocita dei punti dipendono daiparametri di orientazione e dalle p, q, r; inoltre le p, q, r stesse sono legate a questi parametri diorientazione da relazioni di tipo differenziale. Scegliendo, ad esempio, come parametri lagrangianigli angoli di Eulero θ, ϕ, ψ della terna solidale rispetto alla fissa allora aggiungeremo alle (5.56) lenote equazioni, puramente cinematiche

p = θ cosϕ+ ψ sinϕ sin θ

q = −θ sinϕ+ ψ cosϕ sin θ

r = ψ cos θ + ϕ

(5.57)

si ottiene un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle 6 incognite θ, ϕ, ψ, p, q e r.

Corpo rigido con asse fisso

In questo caso abbiamo un sistema meccanico con 1 grado di liberta e la seconda equazione cardinaledella Dinamica, in cui prendiamo come polo un punto fisso O sull’asse fisso, proiettata sull’asse stesso(coincidente con l’asse z) da luogo all’equazione differenziale

Iz θ = Ωe,z (5.58)

dove θ indica l’angolo di rotazione attorno all’asse fisso, Iz il momento di inerzia del corpo rigidorispetto a quest’asse. Infatti le reazioni vincolari sono tutte applicate a punti dell’asse (da cui derivaΨe,z = 0). Tale equazione e in forma normale e quindi, in virtu del Teorema di Cauchy, questocaratterizza tutte e sole le soluzioni del moto.


5.3.4 Principio di d’Alembert e relazione simbolica della Dinamica

Distinguendo tra forze attive e vincolari durante il moto varranno le equazioni fondamentali

msas = Fs + φs (5.59)

che si possono scrivere

Fs −msas + φs = 0. (5.60)

Se durante il moto si interpreta ciascuno dei vettori −msas come una forza, che diremo forzad’inerzia concernente il punto Ps, si rileva dalle (5.60), in quanto si riferiscono ad N punti daconsiderarsi come liberi, che: durante il moto di un sistema materiale, comunque vincolatoe sollecitato, si fanno, istante per istante, equilibrio le forze attive, le forze di inerzia ele reazioni. In particolare, dando il nome di forze perdute ai termini Fs −msas, avremo che

Principio di d’Alembert: Durante il moto di un sistema materiale, comunque vincolato e sol-lecitato, si fanno istante per istante equilibrio, in virtu dei vincoli, le forze perdute e le reazionivincolari.

Il principio di d’Alembert ha un notevole interesse in quanto riduce l’impostazione di unaqualsiasi questione Dinamica ad una questione di Statica.

Il principio del d’Alembert, unitamente al principio dei lavori virtuali (che vuole il lavoro virtualedelle reazioni vincolari nullo nell’ipotesi di vincoli lisci), conduce a caratterizzare il moto di un sistemaa vincoli privi di attrito mediante la relazione

N∑

s=1

(Fs −msas) · δPs ≤ 0 (5.61)

da considerarsi valida per tutti e soli gli spostamenti virtuali δPs, a partire dalla configurazioneassunta dal sistema, durante il suo moto, nel generico istante che si considera. La (5.61) prendeil nome di relazione simbolica della Dinamica; nel caso di vincoli bilaterali va sostituita allacorrispondente equazione

N∑

s=1

(Fs −msas) · δPs = 0 (5.62)

detta equazione simbolica della Dinamica.La relazione simbolica della Dinamica e stata determinata nel caso in cui i vincoli siano privi di

attrito. Qualora vi siano vincoli scabri noi possiamo ripetere il procedimento che ci ha portato atale relazione con la sola variante che si consideri direttamente applicata a ciascun punto Ps, accantoalla risultante Fs delle forze attive (interne ed esterne), anche la risultante φs delle reazioni vincolari(interne ed esterne) dovute ai vincoli scabri. Si perviene in tale modo alla relazione simbolica

N∑

s=1

(Fs + φs −msas) · δPs = 0. (5.63)

Questa relazione e, in generale, di utilita puramente teorica. Acquista un reale interesse nel casodi vincolo di puro rotolamento. Infatti, in questo caso particolare, il punto in cui si esercita lareazione dovuto al vincolo scabro e istantaneamente fermo e quindi φs · δPs = 0 e la (5.63) si riducealla (5.62).


Commento al Principio di D’Alembert

Alcuni autori (ad esempio Gallavotti e Dell’Antonio) preferiscono introdurre il principio dei lavorivirtuali (Il lavoro virtuale delle reazioni vincolari e nullo) e poi specificare che i vincoli per i qualiquesto principio e soddisfatto si chiamano vincoli perfetti o vincoli ideali. Si verifica sperimen-talmente che, nel caso di sistemi meccanici, quanto piu le superfici di vincolo sono ”levigate” o ”lisce”allora tanto migliore e la descrizione del moto mediante il principio di D’Alambert.

Osserviamo anche che questo principio e giustificato esclusivamente dalla verifica sperimentale enon e conseguenza delle tre leggi di Newton. La sua importanza risiede nel fatto che questo principiopermette di caratterizzare quei sistemi meccanici per i quali la equazione di Newton rappresenta unproblema ben posto (cioe si ha la esistenza ed unicita della soluzione per ogni dato iniziale compatibilecon il vincolo e la continuita rispetto ai dati iniziali).

Osserviamo infine che altri autori postulano la validita della equazione (o relazione) simbolicadella Dinamica e da questa fanno discendere il principio dei lavori virtuali; questo approccio, seppurlegittimo, priva il principio dei lavori virtuali della evidenza sperimentale e lo fa discendere da unpostulato piu astratto.

5.3.5 Equazioni differenziali del moto di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane

Riferiamo il nostro sistema olonomo S, ad una n−upla qualsiasi di coordinate lagrangiane indipen-denti qh dove n denota il grado di liberta del sistema. Sia Ps = Ps(qh; t) che, derivate rispetto altempo, danno le velocita

vs =n∑

h=1

∂Ps∂qh

qh +∂Ps∂t

, s = 1, . . . , N, (5.64)

e gli spostamenti virtuali

δPs =n∑

h=1

∂Ps∂qh

δqh , s = 1, . . . , N, (5.65)

dove le n componenti δqh sono arbitrarie e indipendenti. Riprendendo la equazione simbolicadella Dinamica, considerata valida per tutti gli spostamenti virtuali, si ha:

N∑

s=1

msas · δPs =N∑

s=1

Fs · δPs. (5.66)

Per il secondo membro, lavoro virtuale δL delle forze attive complessivo, si ha identicamente:

N∑

s=1

Fs · δPs =n∑

h=1

Qhδqh dove Qh =N∑

s=1

Fs ·∂Ps∂qh

(5.67)

e la componente della sollecitazione attiva secondo la coordinata lagrangiana qh. Quantoal primo membro della (5.66) esso si puo scrivere, dalla (5.65), come

N∑

s=1

msas · δPs =n∑

h=1

τhδqh, dove τh =N∑

s=1

msas ·∂Ps∂qh

. (5.68)


In base alla arbitrarieta dei termini δqh e alle due identita (5.67) e (5.68) l’equazione simbolica dellaDinamica equivale alle n equazioni:

τh = Qh, h = 1, 2, . . . , n. (5.69)

Si conclude cosı che per il sistema olonomo, e a vincoli lisci e bilateri, considerato le nequazioni (5.69) equivalgono alla equazione simbolica della Dinamica e sono percio attea caratterizzare il moto.

Piu precisamente abbiamo dimostrato che:

Teorema 5.14. Supponendo il sistema olonomo, e a vincoli lisci e bilateri, allora, in virtu del pos-tulato dei lavori virtuali, discende che, durante il moto, le (5.69) sono necessariamente verificate.

Si verifica che esse costituiscono precisamente un sistema di n equazioni differenziali (in-dipendenti) del II ordine nelle n funzioni incognite qh della variabile t, riducibile aforma normale, cioe risolubile rispetto alle derivate seconde. Infatti i termini dipendentidalle qh compaiono solamente nella τh, tramite le as, come (ottenuta derivando la (5.64) rispetto altempo):

as =n∑

h=1

∂Ps∂qh

qh + rs(qh, qh; t).

Si riconosce quindi che nella generica equazione (5.69) (di indice h) il coefficiente delle qk e uguale a

ah,k =N∑

s=1

ms∂Ps∂qh

· ∂Ps∂qk

coincidente con il coefficiente ah,k di qhqk nella espressione, in coordinate lagrangiane, della energiacinetica T o della sua parte quadratica T2, secondo che i vincoli siano indipendenti o no dal tempo;e dove si e dimostrato che il determinante ‖ah,k‖ non e mai nullo. Con le (5.69) si e raggiunto loscopo indicato: si e cioe ridotto il problema della determinazione del moto di un sistemaolonomo alla integrazione di un sistema differenziale (del II ordine) nel minimo numeropossibile di funzione incognite (numero dei gradi di liberta).

Noti i valori q0h e q0h di qh e qh in un determinato istante, cioe assegnate la configurazione iniziale del

sistema e le velocita iniziali dei singoli punti, allora avremo, per i noti teoremi di esistenza ed unicitadelle equazioni differenziali, una unica soluzione qh = qh(t) delle (5.69) che dara, necessariamente, ilmoto del sistema. Cioe:

Teorema 5.15. Suppondendo il sistema olonomo e a vincoli lisci e bilateri e assumendo condizionisufficienti di regolarita, siano qh(t) soluzioni del sistema (5.69) soddisfacenti alle condizioni inizialiassegnate q0h e q0h. Allora qh(t) determina la legge oraria del moto (almeno in un intorno dell’istanteiniziale).

5.3.6 Dimostrazione della ”sufficienza” delle equazioni cardinali della Dinamica

Consideriamo il caso di un corpo rigido soggetto a vincoli bilateri e lisci. Siamo in grado di provareche le equazioni cardinali della Dinamica sono sufficienti a determinare il moto. Cioe:


Teorema 5.16. Nel caso di un corpo rigido con vincoli bilateri allora le equazioni cardinali dellaDinamica (5.51) e (5.52) (o 5.53) sono sufficienti a caratterizzare il moto.

Dimostrazione. Infatti, basta provare che dalle equazioni cardinali della Dinamica segue che il Teo-rema dei lavori virtuali e verificato, cioe

∑Ns=1(Fs−msas) · δPs = 0, e da qui segue che sono verificate

le equazioni di Lagrange. A tal fine ricordiamo che δPs = δO + δθa× (Ps − O) dove O e un puntoqualunque del corpo rigido, ad esempio prendiamo O ≡ G. Un calcolo immediato da:

N∑

s=1

(Fs −msas) · δPs =

=N∑

s=1

Fs · δO +N∑

s=1

Fs · δθa× (Ps −O)−N∑

s=1

msdvsdt

· δO +

−N∑

s=1

msdvsdt

· δθa× (Ps −O)

= Re · δO +Ωe(O) · δθa−dQ

dt· δO − dK(O)

dt· δθa

= −(dQ

dt−Re

)· δO −

(dK(O)

dt−Ωe(O)

)· δθa.

D’altra parte le reazioni vincolari, in virtu del principio dei lavori virtuali, soddisfano alla relazione

0 =N∑

s=1

φs · δPs =N∑

s=1

φs · [δO + δθa(Ps −O)]

= Φe · δO +Ψe(O) · δθa.Sottraendola alla precedente allora si ottiene

N∑

s=1

(Fs −msas) · δPs = −(dQ

dt−Re −Φe

)· δO +

−(dK(O)

dt−Ωe(O)−Ψe(O)

)· δθa = 0

che risulta essere identicamente nulla se le equazioni cardinali della Dinamica (5.51) e (5.53) risultanoverificate. Quindi la equazione simbolica della dinamica risulta essere verificata e da qui le conseguentiequazioni di Lagrange.

5.3.7 Equazioni del Lagrange: seconda forma

Riprendiamo le (5.69), si verifica immediatamente che vale la seguente, detta seconda forma delleequazioni del Lagrange:

d

dt

∂T

∂qh− ∂T

∂qh= Qh, h = 1, 2, . . . , n. (5.70)

Esse danno la completa impostazione del problema del moto di un sistema olonomo; e, sottol’aspetto analitico, costituiscono un sistema differenziabile del II ordine nelle n funzioni incogniteqh(t), riducibile a forma normale.


La dimostrazione e immediata e segue ricordando che T = 12

∑Ns=1msvs · vs e notando che dalla

(5.64) risulta

∂vs∂qh

=∂Ps∂qh

ed

dt

∂Ps∂qh

=∂

∂qh

dPsdt

=∂vs∂qh

,

allora

∂T

∂qh=

N∑

s=1

msvs ·∂vs∂qh

e

∂T

∂qh=

N∑

s=1

msvs ·∂vs∂qh

=N∑

s=1

msvs ·∂Ps∂qh

.

Derivando quest’ultima rispetto al tempo si ottiene che

d

dt

(∂T

∂qh

)=

N∑

s=1

msas ·∂Ps∂qh

+N∑

s=1

msvs ·∂vs∂qh

= Qh +∂T

∂qh.

Notiamo che, nelle (5.70), tutto cio che dipende dalla sollecitazione attiva e riassunto nelle suecomponenti lagrangiane Qh, tutto quello che attiene alla struttura materiale del sistema e sintetizzatonell’unico elemento globale T , cioe nella forza viva.

Si verifica facilmente che quando i vincoli sono indipendenti dal tempo, le (5.70) implica ilteorema delle forze vive che, come gia sappiamo, sussiste per ogni sistema con tali vincoli. Infatti,dalle equazioni di Lagrange (5.70) segue immediatamente che deve essere

n∑

h=1

[d

dt

∂T

∂qh− ∂T

∂qh

]dqh =

n∑

h=1

Qhdqh = dL.

Dal Teorema di Eulero segue che

2T =n∑

h=1

qh∂T

∂qh

che derivata rispetto al tempo da

2dT

dt=

n∑

h=1

qhd

dt

(∂T

∂qh

)+

n∑

h=1

qh∂T

∂qh.

D’altra parte T dipende esplicitamente della q e q e quindi si ha che

dT

dt=

n∑

h=1

qh∂T

∂qh+

n∑

h=1

qh∂T

∂qh

che sottratta a quella precedentemente ottenuta da

dT

dt=

n∑

h=1

[d

dt

(∂T

∂qh

)− ∂T

∂qh

]qh

ovvero

dT =n∑

h=1

[d

dt

(∂T

∂qh

)− ∂T

∂qh

]dqh

che, unita a quella precedentemente ottenuta, da dT = dL.


5.3.8 Funzione Lagrangiana

Supponiamo che le forze attive Fs derivino da un potenziale Us; quindi

U = U(qh; t) =N∑

s=1

Us(Ps)

e ammettiamo che i vincoli dipendano dal tempo t. Avremo ancora, in coordinate lagrangiane,Qh =

∂U∂qh

. Da cio, e dalla indipendenza di U da qh, le equazioni di Lagrange assumono la forma

d

dt

∂L∂qh

− ∂L∂qh

= 0, h = 1, 2, . . . , n, (5.71)

dove si e posto

L(qh, qh; t) = L = T + U. (5.72)

Alla funzione L si da il nome di funzione Lagrangiana.In generale, possiamo considerare sistemi piu generali, detti sistemi Lagrangiani, caratterizzati

dalle equazioni (5.71) dove L = L(qh, qh, t) e una funzione con determinante della matrice simmetrica∂2L

∂qh∂qkmai nullo.

6

Cenni di meccanica dei continui deformabili

Esamineremo ora alcune nozioni generali, nello schema classico, della meccanica dei continui; ossiadi quei sistemi fisici costituiti da una infinita continua di punti materiali privi del vincolo di rigidita, epercio detti corpi deformabili, occupanti una certa posizione dello spazio euclideo tridimensionaleche puo essere, a seconda dei casi, un volume V , una superficie σ o un arco di curva γ. Rientrano inquesto schema i fili, le membrane, i fluidi e, in particolare, i liquidi, i corpi elastici, plastici, etc..

Per mezzo continuo si intende un qualsiasi corpo considerato come una estensione con-tinua di materia prescindendo dalla struttura atomica o molecolare.

Come primo caso studiamo un caso particolare: i fili. Nel seguito studiamo il problema in generale.

6.1 Un caso particolare: statica dei fili

6.1.1 Fili flessibili ed inestendibili. Definizione e postulato caratteristico

Definizione. Diremo filo flessibile ed inestendibile ogni sistema materiale ad una dimensione taleche:

a) sia possibile, esercitando convenienti forze, disporre il filo secondo una linea geometrica qualsiasi;b) presi comunque sul filo due punti, l’arco fra essi compreso conserva, in ogni possibile configu-

razione, la medesima lunghezza.

Assumeremo, per la statica dei fili, valido il seguente postulato di immediata evidenza sperimen-tale:

Postulato caratteristico dei fili: Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un trattoAB di filo flessibile e inestendibile, sollecitato esclusivamente da due forze di vettore FA e FB ap-plicate agli estremi, e che il tratto di filo sia rettilineo e le due forze siano direttamente opposte edirette verso l’esterno di AB.

Dal postulato segue subito che: fissato un punto P qualsiasi sul filo tra A e B e pensando,idealmente, di eliminare il tratto PB considerando il solo tratto AP allora questo tratto AP rimarraancora in equilibrio e sara soggetto, oltre che alla forza in A, ad una forza incognita τ in P dovuta altratto di filo che abbiamo idealmente eliminato. Applicando il postulato al tratto di filo AP segueche FA e τ sono direttamente opposte, cioe τ e uguale a FB. Segue che la forza di vettore τ esempre diretta verso l’esterno del tratto di filo AP che viene idealmente isolato ed e lastessa per tutti i punti del filo. Questa forza prende il nome di tensione, ha natura di forza

134 6 Cenni di meccanica dei continui deformabili

τ

Fig. 6.1. Un tratto di filo AB sollecitato solamente agli estremi e in equilibrio se, e solo se, e disposto lungo un segmentorettilineo e le forze sono uguali ed opposte e dirette esternamente al filo. La tensione τ si trasmette inalterata lungo il filo.

interna (vincolare) ed e dovuta alla presenza del tratto PB che pensiamo idealmente di eliminare. Siosservi che lungo il tratto rettilineo del filo in equilibrio si ha trasmissione perfetta in grandezzae direzione della tensione.

6.1.2 Condizioni di equilibrio. Equazione indefinite dell’equilibrio dei fili.

τ

−τ

.

.

.

.

.

Fig. 6.2. Un tratto di filo AB sollecitato agli estremi e in alcuni punti interni e in equilibrio se, e solo se, e disposto lungo unapoligonale i cui vertici sono i punti di applicazione delle forze.

Consideriamo un filo AB che sia sollecitato, oltre agli estremi, anche in un numero finito di puntiPi dalle forze Fi, i = 1, 2, . . . , n− 1 (poniamo A = P0 e B = Pn). Sui punti Pi saranno poi applicatele tensioni τ i (dovuta al tratto di filo PiPi+1 in equilibrio) e −τ i−1 (dovuta al tratto di filo Pi−1Piin equilibrio); la condizione di equilibrio del filo impone che ogni punto Pi sia in equilibrio, quindidovra essere

6.1 Un caso particolare: statica dei fili 135

Fi − τ i−1 + τ i = 0, i = 1, 2, . . . , n− 1, (6.1)

e

FA + τ 0 = 0 FB − τ n−1 = 0.

Queste rappresentano quindi le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio di un trattodi filo flessibile ed inestendibile sollecitato in un numero finito di punti.

Consideriamo ora il caso in cui il filo sia soggetto ad una sollecitazione distribuita su tutto il filo.A tal fine introduciamo una funzione F(s), che prende il nome di forza unitaria e dove s e la ascissacurvilinea sul filo, tale che Fds rappresentante il vettore (infinitesimo) della forza applicata al trattodi filo di lunghezza ds. La equazione cardinale della statica implica la condizione necessaria perl’equilibrio del filo:

FA + FB +∫ ℓ

0F(s)ds = 0

dove ℓ e la lunghezza del filo. In analogia al caso precedente andiamo ad introdurre la tensione τ (s)del filo dovuta al tratto di filo che, idealmente, andiamo ad eliminare nel punto P = P (s), s ∈ [0, ℓ],denota l’ascissa curvilinea. Consideriamo il tratto di filo AP (s) che, essendo in equilibrio, dovrasoddisfare alla analoga equazione

FA + τ (s) +∫ s

0F(ξ)dξ = 0; (6.2)

la stessa equazione dovra essere soddisfatta anche per il tratto di filo AP (s + ∆s) e, sottraendomembro a membro le due equazioni, si ottiene che deve essere

τ (s+∆s)− τ (s) +∫ s+∆s

sF(ξ)dξ = 0.

Dividendo per ∆s e passando al limite ∆s → 0 si ottiene la equazione indefinita dell’equilibriodei fili

F(s) +dτ (s)

ds= 0 (6.3)

che deve essere soddisfatta in ogni punto P = P (S) interno all’arco AB. Negli estremi dovraessere

FA + τ (0) = 0, FB − τ (ℓ) = 0.

Queste due equazioni danno, nel loro complesso, le condizioni necessarie e sufficienti perl’equilibrio dei fili (a rigore, in questo modo ne viene provata la sola condizione necessaria, perprovare la condizione sufficiente con analogo ragionamento occorre invocare il postulato per la staticadei mezzi continui).

Osserviamo che noi abbiamo dedotto la equazione indefinita dei fili tramite le condizioni (nec-essarie) per l’equilibrio dei sistemi. Un altro modo per ottenerle (dimostrando anche la condizionesufficiente) consiste nell’approssimare la curva attraverso una poligonale e ottenere la (6.3) attraversoun passaggio al limite delle (6.1); in questo modo segue che le (6.3) sono sufficienti per l’equilibrioe non solo necessarie. Piu precisamente la (6.1) prende la forma


F(s)∆s− τ (s) + τ (s+∆s) = 0

dove τ (s) e la tensione dovuta al tratto di filo P (s)B e dove ∆s e un incremento della ascissacurvilinea. Dividendo ambo i membri per ∆s e passando al limite si ottiene la equazione indefinitadell’equilibrio dei fili.

Dimostriamo che la tensione τ (s) e tangente al filo. A tal fine consideriamo la equazione deimomenti per il tratto di filo AP (s) che prende la forma

FA × (O − A) + τ (s)× (O − P (s)) +∫ s

0F(ξ)× (O − P (ξ))dξ = 0;

derivando questa rispetto ad s si ottiene

τ (s)

ds× (O − P (s))− τ (s)× dP (s)

ds+ F(s)× (O − P (s)) = 0

che si riduce alla

τ (s)× dP (s)

ds= 0

in virtu della (6.3). Quindi, essendo dPds

= t segue che τ (s) = τ(s)t(s).L’equazione vettoriale (6.3) puo essere scissa nelle componenti scalari; le componenti della tensione,

in virtu della osservazione precedente, valgono τ dxds, τ dy

dse τ dz

ds. Quindi, con ovvio significato delle

notazioni, si ha che

dds

(τ dxds

)+ Fx = 0

dds

(τ dyds

)+ Fy = 0

dds

(τ dzds

)+ Fz = 0

(6.4)

Poiche s non e un parametro arbitrario, bensı la lunghezza dell’arco della funicolare, deve essereanche soddisfatta la ulteriore relazione

(dx

ds

)2

+

(dy

ds

)2

+

(dz

ds

)2

= 1. (6.5)

Le (6.4) e (6.5) sono 4 equazioni differenziali (ordinarie) nelle 4 incognite x(s), y(s), z(s) eτ(s) e dipendenti da sei costanti arbitrarie. Queste saranno determinate, ad esempio, a partiredalle componenti delle forze applicate negli estremi o, piu generalmente, essendo questi incogniti,imponendo che per s = 0 l’estremo della corda sia in A e che per s = ℓ l’altro estremo sia in B.

Un altro modo di proiettare l’equazione vettoriale

dτ

ds+ F = 0 (6.6)

consiste ponendo τ = τ t e ricordando che 1ρcn = dt

ds, dove ρc denota il raggio di curvatura. Segue

che la (6.6) assume la forma

dτ

dst +

τ

ρcn + F = 0.


Queste equazioni, proiettate sulla terna intrinseca, diventano

dτ

ds+ Ft = 0,

τ

ρc+ Fn = 0, Fb = 0 (6.7)

che prendono il nome di equazioni intrinseche dell’equilibrio dei fili flessibili ed inestendibili.In particolare risulta che in condizioni statiche, la forza unitaria, in ogni punto della funi-colare, e contenuta nel rispettivo piano osculatore.

Un’altra notevole proprieta segue direttamente dalla prima delle (6.7) nel caso di forze posizionali.Infatti, se U denota una primitiva di Ft, cioe U(s) =

∫ s Ft(s)ds + c, coincidente con il potenziale diF nel caso in cui questa sia conservativa, allora segue che

d(τ + U)

ds= 0, cioe τ + U = costante.

Quindi se le forze sono conservative (o anche posizionali), la tensione differisce solo peruna costante dal potenziale cambiato di segno (cioe dell’energia potenziale).

6.1.3 Complementi: filo soggetto ad un sistema di forze parallele

Supponiamo che il filo sia sollecitato da forze parallele e che si scelga il sistema di riferimento inmodo tale che sia Fx ≡ Fz ≡ 0. La prima e la terza delle (6.4) danno, rispettivamente

τdx

ds= ϕ, τ

dz

ds= C

dove C e ϕ designano due costanti arbitrarie. Da queste relazioni, eliminando τ si ottiene C dxds−ϕdz

ds=

0 che integrata, Cx(s) − ϕz(s) = Cost. esprime il fatto che la curva giace in un piano paralleloall’asse delle y, cioe alla comune direzione delle forze attive. Osserviamo che abbiamo escluso il casoparticolare in cui C = ϕ = 0; tale caso e possibile solo quando siamo nei seguenti due casi banali(che quindi escluderemo): il caso in cui F e identicamente nulla ed il caso della funicolare rettilineaavente la stessa direzione della forza F. Escludendo quindi questi due casi scegliamo il riferimentocon origine O in A, in modo che sia x(0) = y(0) = z(0) = 0 da cui deve essere Cx(s)− ϕz(s) = 0, eorientato in modo che sia C = 0; cioe la funicolare sia nel piano z = 0. Rimangono, per definire lacurva e la tensione, le tre equazioni

τ dxds

= ϕdds

(τ dyds

)= −Fy,(

dxds

)2+(dyds

)2= 1

dove la ϕ e una costante a priori arbitraria e differente da zero. Dalla prima equazione e ricordandoche τ · t = τ dx

dssi osserva subito che: lungo la funicolare e costante la componente della

tensione normale alla direzione della sollecitazione, nel caso particolare della forza peso ecostante la componente orizzontale.

Catenaria omogenea

Consideriamo il caso in cui la funicolare sia omogenea e sia soggetta alla sola forza peso p, sia inoltresospesa a due estremi A e B (non situati sulla stessa verticale). La funicolare giacera nel piano


verticale di A e B e, orientando l’asse y verticale ascendente e x in modo che sia xB > xA allora leequazioni precedenti assumono la forma

τ dxds

= ϕdds

(τ dyds

)= p,

(dxds

)2+(dyds

)2= 1

dove la costante ϕ deve essere positiva in virtu di quanto detto in precedenza ed in virtu della sceltadell’orientamento dell’asse x. Da cio segue che τ(s) > 0 e dx

ds6= 0 per ogni s, da quest’ultima relazione

e dal teorema della funzione inversa e possibile esprimere la curva attraverso una relazione y = y(x),pertanto il sistema prende la forma

τ dxds

= ϕdds(y′) = p

ϕ,

(dxds

)2 [1 + y′2

]= 1

dove y′ denota dydx. Dalla terza relazione allora la seconda equazione puo essere scritta come

y′′√1 + y′2

=p

ϕ

che integrata da

log(√

1 + y′2 + y′)=p

ϕx+ Cost.

dove, per effetto di una traslazione degli assi parallela all’asse y, si puo scegliere l’origine in modoche l’asse delle x sia parallelo alla tangente alla funicolare (in modo che sia y′(0) = 0), si sceglie lacostante nulla. Questa equazione puo poi essere messa nella forma

√1 + y′2 + y′ = e

pϕx

che, osservando(√

1 + y′2 + y′)(√

1 + y′2 − y′)= 1, deve valere anche la

√1 + y′2 − y′ = e−

pϕx.

Allora, sottraendo la seconda alla prima, si ottiene

y′ = sinh(px/ϕ)

che ha soluzione generale

y(x) = λcosh(x/λ) + Cost. (6.8)

dove abbiamo posto λ = ϕ/p e dove la costante di integrazione puo essere scelta nulla per effetto diuna traslazione degli assi parallela all’asse x. La curva (6.8) prende il nome di catenaria omogeneae (assumendo la costante nulla) ha vertice di valore λ.


Per determinare la tensione la prima delle equazioni indefinite da

τ = ϕ

[dx

ds

]−1

= ϕ√1 + y′2 = ϕ

(ϕ

py′′)=ϕ2

pλcosh(x/λ) = py

cioe in un punto generico di una catenaria omogenea la tensione e uguale al peso di un tratto di filo dilunghezza uguale alla distanza del punto dalla base; quindi la tensione e minima nel punto piubasso della funicolare ed assume qui il valore pλ = ϕ, componente tangenziale costantedella tensione.

Inoltre

dx

ds=

1√1 + y′2

=1√

1 + sinh2(x/λ)=

1

cosh(x/λ)

da cui segue

ds

dx= cosh(x/λ) e quindi s(x) = λsinh(x/λ) (6.9)

convenendo di misurare gli archi s della funicolare a partire dal punto della curva di ascissa x = 0 enel verso delle x crescenti.

Imponiamo ora che la catenaria passi per due punti dati A e B e abbia lunghezza ℓ; per fare cioesprimiamo la catenaria rispetto ad un sistema di coordinate avente centro A dove, effettuando unatraslazione qualunque, le (6.8) e (6.9) diventano

y(x) = λcosh[(x− x0)/λ] + y0, s(x) = λsinh[(x− x0)/λ]

dove s(x) denota l’ascissa curvilinea della catenaria, misurata a partire dal punto di ascissa x0.Supponiamo, senza perdere in generalita, che sia 0 = xA < xB e 0 = yA ≤ yB, cioe A coincide conl’origine e xB > 0 e yB ≥ 0, ed inoltre sara ℓ2 ≥ x2B + y2B. La condizione che la curva passi per A epoi per B impone

−y0 = λcosh(x0/λ)yB = λ cosh[(xB − x0)/λ]− cosh(x0/λ)

ed inoltre deve essere ℓ = s(xB)− s(0), cioe

ℓ = λ sinh[(xB − x0)/λ] + sinh(x0/λ) .Ora quadrando le ultime due e sottraendole tra loro si ha ℓ2 − y2B = 2λ2 [cosh(xB/λ)− 1] e, ponendoξ = xB/2λ e q2 = (ℓ2 − y2B)/x

2B ≥ 1, e ricordando che coshz − 1 = 2sinh2(z/2), si ottiene infine

sinh2ξ

ξ2= q2 e quindi sinhξ

ξ= q essendo q e ξ positivi. Questa e una equazione nella sola incognita

ξ o, in ultima analisi, nella tensione orizzontale essendo ϕ = xBp2ξ

; questa equazione ha una sola

soluzione (per ξ positivi). Individuato cosı il valore di ξ segue il valore di λ e quindi il valore di x0e, poi, di y0.

6.1.4 Complementi: filo teso su una superficie

Superficie liscia (o levigata)

Applichiamo le equazioni intrinseche (6.7) allo studio delle configurazioni di un filo (teso) appoggiatoad una superficie levigata. Qui, la sollecitazione continua lungo il filo si riduce alla sola reazione


offerta dall’appoggio (supponendo che il peso complessivo sia trascurabile rispetto alle tensioni es-ercitate sugli estremi). Supponendo l’assenza di attrito allora la reazione e tutta normale; d’altraparte, lungo la funicolare, essa deve appartenere al piano osculatore e quindi in ogni punto dellafunicolare il piano osculatore e normale alla superficie di appoggio o, equivalentemente, lanormale alla funicolare ha la stessa direzione della normale alla superficie di appoggio. Quindi lafunicolare descrive sulla superficie una curva geodetica. Possiamo quindi concludere che Teorema.

τ

τ

Fig. 6.3. Nel caso di un filo appoggiato ad una superficie levigata la tensione si trasmette inalterata in grandezza: |τA| = |τB |e resta sempre tangente alla superficie.

Un filo teso sopra una superficie priva d’attrito e soggetto a forze attive soltanto agli estremi, sidispone secondo una geodetica della superficie.

Inoltre, poiche in condizioni statiche, la reazione e in ogni punto normale alla superficie si haFt = 0 e quindi risulta τ = costante. Cioe la tensione si trasmette inalterata in intensita daun capo all’altro del filo.

Superficie scabra

Applichiamo le equazioni intrinseche (6.7) allo studio delle configurazioni di un filo (teso) appoggiatoad una superficie scabra. Qui, la sollecitazione continua lungo il filo si riduce alla sola reazione offertadall’appoggio (supponendo che il peso complessivo sia trascurabile rispetto alle tensioni esercitatesugli estremi). A differenza del caso precedente F non e necessariamente normale alla superficie diappoggio σ e quindi Ft sara in generale diversa da zero e quindi τ variera lungo il filo. Per valutarela tensione di τ lungo il filo ci restringiamo al caso particolare in cui il filo e adagiato lungo unageodetica in modo che Fn si identifichi con la reazione normale (in quanto la normale principale allacurva n e normale alla superficie, deve essere anche Fn ≤ 0 in modo che τ ≥ 0) e che, essendo Fb = 0,l’attrito statico risulti diretto lungo la tangente alla funicolare e percio coincide con Ft. Quindi lacondizione dell’attrito radente

|Ft| ≤ fs|Fn| assume la forma

∣∣∣∣∣dτ

ds

∣∣∣∣∣ ≤ fsτ

ρc. (6.10)

6.2 Cinematica dei continui deformabili 141

Premesso cio valutiamo la massima differenza tra le intensita di FA e FB per le quali si ha ancoraequilibrio. La massima intensita si avra quando la (6.10) e della forma

dτ

ds= fs

τ

ρcche ha soluzione log(τB/τA) =

∫

γfsds

ρc(6.11)

dove τB e τA denotano le intensita della tensione in A e B e dove γ e la traiettoria congiungente A eB.

Nel caso particolare di una corda avvolta ad un cilindro di raggio r allora la (6.11) assume laforma (indipendente dal raggio r) τB = τAe

fsθ dove θ designa l’angolo al centro (θ ∈ R) compresotra A e B.

6.2 Cinematica dei continui deformabili

Nel seguito, per comodita di notazione, gli assi del sistema di riferimento hanno coordinate x1, x2 ex3 invece che, come usuale, x, y e z.

6.2.1 Introduzione

Studieremo inizialmente, da un punto di vista cinematico (cioe senza occuparci delle forze), i movi-menti e le deformazioni dei mezzi continui; rientra in questo studio, come caso particolare, ancheil caso dei corpi rigidi anche se fisseremo l’attenzione sulle deformazioni dei corpi elastici e suimovimenti dei fluidi. La differenza tra i tre casi, da un punto di visto cinematico, e solo questa: inun corpo rigido la distanza tra due punti qualunque si mantiene sempre invariata, inun corpo soggetto a deformazione elastica tale distanza varia entro certi limiti ristrettimentre in un fluido la distanza tra due particelle puo variare comunque.

Uno dei primi e basilari postulati che si ammettono a base di questa teoria e quello della con-servazione della massa che implica che i punti materiali P , riguardati come particelle di volumedv e massa dm = ρdv, se ρ = ρ(P ; t) e la densita, non possono in ogni istante ne lacerarsi e nesovrapporsi. Cio equivale a ritenere che, fissata una qualunque terna di riferimento (O; x1, x2, x3),vi sia in ogni istante una corrispondenza biunivoca e continua fra i punti P 0(x01, x

02, x

03)

di una configurazione iniziale C0 del corpo ad un istante t0 ed i punti P (x1, x2, x3) di unaconfigurazione C generica ad un istante t, cosı che ogni particella P e distinta (individualizzata)fra tutte le altre dalla sua posizione iniziale P 0. Analiticamente cio equivale a pensare

P = P (x01, x02, x

03; t), ossia xi = xi(x

01, x

02, x

03; t), i = 1, 2, 3. (6.12)

La corrispondenza espressa dalla (6.12) deve dunque diventare invertibile e bicontinua, perche fissatoun qualunque P ∈ C vi deve essere un solo P 0 ∈ C0 da cui esso proviene. A tale scopo si richiede che lefunzioni xi = xi(x

01, x

02, x

03; t) siano continue con derivata priva continua e che il determinante

Jacobiano definito da

J(P ; t) =

∣∣∣∣∣∂xi∂x0j

∣∣∣∣∣ = det

∂x1∂x01

∂x1∂x02

∂x1∂x03

∂x2∂x01

∂x2∂x02

∂x2∂x03

∂x3∂x01

∂x3∂x02

∂x3∂x03

(6.13)

sia sempre diverso da zero. In particolare, poiche per t = 0 e


J(P ; 0) = det

1 0 00 1 00 0 1

= 1, (6.14)

per continuita risulta J(P ; t) > 0 in un conveniente intorno di t = 0 e, quindi, anche per qualunquet data l’arbitrarieta della scelta dell’istante iniziale.

6.2.2 Punto di vista lagrangiano ed euleriano

Punto di vista lagrangiano (o sostanziale)

Le equazioni (6.12)

xi = xi(x01, x

02, x

03; t), (6.15)

fissato P0, sono le equazioni lagrangiane del moto della particella P individuata dalla posizioneP0 nella configurazione C0, o, se si vuole, delle x01, x

02, x

03 costanti rispetto al tempo. Le variabili

xi, rispetto a t, si prestano a descrivere il moto particella per particella: per seguire unaparticella basta fissare P0 in C0, ovvero le x0i , e far variare t. Cosı , ad esempio, la funzione vettorialedi t e P0:

v =∂P

∂t= v(x0i ; t)

di componenti

xi =∂xi∂t

(x01, x02, x

03; t) (6.16)

da, in funzione di t, la velocita all’istante t della generica particella che si trovava in P0 per t = t0.Analogamente

a = a(x0i ; t) =∂v

∂t(x0i ; t) =

∂2P

∂t2

di componenti

xi =∂2xi∂t2

(x01, x02, x

03; t) (6.17)

ne da la accelerazione. Questo e il punto di vista lagrangiano o sostanziale.

Punto di vista euleriano (o locale)

Il moto di un mezzo continuo si puo studiare, oltre che seguendo una determinata particella (dettopunto di vista sostanziale o Lagrangiano), anche considerando quanto avviene in un deter-minato punto dello spazio dove passano successivamente diverse particelle ( detto punto di vistalocale o Euleriano). Nel primo caso viene fissato il punto iniziale (x01, x

02, x

03) e le coordinate (6.15)

sono variabili e dipendenti da t; nel secondo caso viene fissato il punto nello spazio di coordinate(x1, x2, x3) e saranno quindi dipendenti dal tempo le coordinate x0i del punto che all’istante t sarannoin (x1, x2, x3).


Derivata sostanziale e derivata locale

Corrispondentemente ad qualsiasi grandezza fisica f = f(x1, x2, x3, t) si hanno due tipi di derivaterispetto al tempo, secondo che si consideri la variazione di f per una determinata particella, e quinditenendo costanti x01, x

02, x

03 e pensando x1, x2, x3 variabili nel tempo secondo la (6.15) ottenendo

f = f [xi(x0j ; t), t],

o per un dato punto dello spazio, e quindi tenendo costanti x1, x2, x3 ottenendo

f = f(xi, t).

La prima derivata, detta sostanziale, si denota con dfdt; la seconda derivata, detta locale, si denota

con ∂f∂t.

Per trovare la relazione tra le due derivate si osserva che la derivata sostanziale valedf

dt=∂f

∂t+ x1

∂f

∂x1+ x2

∂f

∂x2+ x3

∂f

∂x3

=∂f

∂t+ v1

∂f

∂x1+ v2

∂f

∂x2+ v3

∂f

∂x3=∂f

∂t+ v · ∇f (6.18)

dove ∇f e il vettore di componenti ∂f∂x1, ∂f∂x2, ∂f∂x3

calcolate in (x1(t), x2(t), x3(t)).

6.2.3 Equazioni di continuita

Moti stazionari

Definizione 6.1. Si chiama moto stazionario il moto di un mezzo quando, da un punto di vistalocale, la velocita v e costante rispetto al tempo:

∂v1∂t

=∂v2∂t

=∂v3∂t

= 0.

Cioe in un qualsiasi punto dello spazio la velocita del mezzo non varia in grandezza ne in direzionecon il tempo.

Flusso di un fluido

Sia assegnata, nello spazio occupato da un fluido in movimento, una superficie regolare σ fissa e sudi essa assegniamo, ad arbitrio, un verso positivo per la normale N. Si chiama flusso del fluidoattraverso la superficie σ la massa di fluido che l’attraversa, per unita di tempo. Se la superficie σe chiusa allora si chiama flusso uscente il flusso calcolato orientando la normale verso l’esterno, eflusso entrante quello calcolato con la convenzione opposta. Si ha che:

Teorema 6.2. Sia σ una superficie chiusa non normale N uscente, sia v la velocita che hanno leparticelle nell’attraversare σ e sia ρ la densita del fluido; allora il flusso Ψ uscente attraverso lasuperficie σ in una unita di tempo e dato da

Ψ =∫

σρvNdσ, vN = v · N. (6.19)

Dimostrazione. Infatti, fissato l’elemento di superficie infinitesimo dσ, la quantita di fluido che at-traversa σ nell’unita di tempo sara dato dalla massa (infinitesima) ρdσ moltiplicata per la velocitadi queste particelle normale alla superficie. Sommando rispetto a tutti i contributi infinitesimi siottiene la (6.19).


σ

Fig. 6.4. Flusso di un fluido attraverso una superficie.

Equazione di continuita

Sia σ una superficie chiusa, fissa e regolare qualunque racchiudente un volume S, la massa contenutain essa sara

∫S ρdS funzione, in generale, del tempo essendo tale la densita ρ. Il suo incremento

nell’unita del tempo sara∫S∂ρ∂tdS mentre, se N e la normale esterna, per la (6.19), la quantita di

massa entrante nell’unita di tempo, sara − ∫σ ρvNdσ. Uguagliando queste due relazioni si ottiene laseguente

∫

S

∂ρ

∂tdS +

∫

σρvNdσ = 0 (6.20)

che deve valere per qualunque volume S interno al fluido. Facendo uso del teorema della divergenzasegue che1

∫

S

[∂ρ

∂t+ div (ρv)

]dS = 0

che dovendo valere per ogni S dovra essere in ogni punto (assumendo la funzione integranda continuasu tutto R

3 in ogni istante)

∂ρ

∂t+ div (ρv) = 0. (6.21)

Questa equazione prende il nome di equazione di continuita (dal punto di vista euleriano).Poiche div (ρv) = ρdiv v + v · ∇ρ segue che la (6.21) assume la seguente forma (lagrangiana)

dρ

dt+ ρ div v = 0 (6.22)

in virtu delle (6.18).

1 Dato un generico vettore v di componenti (v1, v2, v3) si denota con divergenza di v, e si denota div v, la grandezza scalare∂v1∂x1

+ ∂v2∂x2

+ ∂v3∂x3

.


Se il fluido e incomprimibile (e omogeneo) la sua densita ρ e costante e l’equazione di continuitadiventa

div v = 0;

cioe la velocita e un campo vettoriale a divergenza nulla. Questi campi vettoriali a divergenzanulla si dicono campi solenoidali.

6.2.4 Spostamenti e piccole deformazioni

ξ

ξ3

ξ.

.

.

.

Fig. 6.5. Deformazione della porzione C del continuo.

Cominciamo con una analisi puramente cinematica, cioe indipendentemente dalle forze che loproducono, delle piccole deformazioni di un mezzo continuo. A tale scopo ci riferiamo ad unsistema cartesiano (O; x1, x2, x3) ed indichiamo con P (x1, x2, x3) un generico punto del mezzo nellostato naturale C (cioe in assenza di deformazioni), e con P ⋆ la posizione di P nella genericaconfigurazione deformata C⋆. Denoteremo con s(P ) = P ⋆ − P la funzione spostamento del puntoP e con si(P ) le sue componenti cartesiane. Studiamo ora la distribuzione degli spostamenti inun intorno V di P introducendo un sistema di riferimento cartesiano (P ; ξ1, ξ2, ξ3) con origine in Ped assi paralleli rispettivamente a x1, x2, x3. Sia poi Q = Q(ξ1, ξ2, ξ3) un generico punto del dettointorno V e s(Q) = Q⋆−Q lo spostamento di Q dello stato naturale C alla configurazione deformataC⋆. Le componenti cartesiane si(Q) sono funzioni delle coordinate di Q rispetto ad O e cioe di xi+ξie potranno essere sviluppate in serie di Taylor di punto iniziale P , trascurando gli infinitesimi diordine superiore al primo ordine nelle ξi, ottenendo

si(Q) = si(xj + ξj) (6.23)

= si(P ) +

(∂si∂x1

)

P

ξ1 +

(∂si∂x2

)

P

ξ2 +

(∂si∂x3

)

P

ξ3 +O(|ξ|2)

dove O(|ξ|2) denota un infinitesimo del secondo ordine per |ξ| piccolo (che nel seguito trascuriamo)e dove assumiamo si regolare (ad esempio di classe C2(R)). Ponendo


αi,k =∂si∂xk

∣∣∣∣∣P

, i, k = 1, 2, 3,

tenendo presente l’identita

αi,k =1

2(αi,k + αk,i) +

1

2(αi,k − αk,i)

e ponendo

γi,k = γk,i =1

2(αi,k + αk,i) =

1

2

(∂si∂xk

+∂sk∂xi

)

P

, i, k = 1, 2, 3, (6.24)

e

R1 =α3,2 − α3,2

2, R2 =

α1,3 − α3,1

2, R3 =

α2,1 − α1,2

2. (6.25)

le (6.23) forniscono

s1(Q) = s1(P ) + (γ1,1ξ1 + γ1,2ξ2 + γ1,3ξ3) + (−R3ξ2 +R2ξ3) +O(|ξ|2);s2(Q) = s2(P ) + (γ2,1ξ1 + γ2,2ξ2 + γ2,3ξ3) + (R3ξ1 −R1ξ3) +O(|ξ|2);s3(Q) = s3(P ) + (γ3,1ξ1 + γ3,2ξ2 + γ3,3ξ3) + (−R2ξ1 +R1ξ2) +O(|ξ|2).

Sinteticamente queste possono essere scritte

s(Q) = s(P ) + d+ r+O(|P −Q|2) (6.26)

dove le componenti di d sono

di =3∑

k=1

γi,kξk, i = 1, 2, 3, (6.27)

e il vettore r vale

r = R× (Q− P ) = det

e1 e2 e3R1 R2 R3

ξ1 ξ2 ξ3

(6.28)

essendo R il vettore di componenti (R1, R2, R3).Osserviamo ora che dei tre termini in cui, in base alla (6.26) e stato decomposto s(Q), il primo s(P )

rappresenta una traslazione (essendo uguale per tutti i punti Q dell’intorno considerato), il terzor rappresenta, per la (6.28), una rotazione individuata dal vettore velocita angolare (P,R),e quindi s(P )+r rappresenta un atto di moto rigido rototraslatorio di tutto l’intorno di Pconsiderato. Allora la (6.26) ci dice che, a meno di termini infinitesimi di ordine 2, lo spostamentodel generico punto Q e composto da uno spostamento rigido e da uno spostamento d nelquale interviene la deformazione. Dalle (6.27) poi appare che d e il risultato dell’applicazionedi un operatore lineare T sul vettore Q− P , cioe

d = T (Q− P ) (6.29)

tale operatore lineare (detto anche omografia o tensore), analiticamente definito dalla matricesimmetrica (γi,k), con γi,k = γk,i, e noto come il tensore delle deformazioni o strain. Poiche lamatrice e simmetrica segue che il tensore e simmetrico.


6.2.5 Analisi dello strain

Le componenti γi,k dello strain hanno un notevole significato fisico. Per studiarlo in maggiore det-taglio supponiamo, per semplicita, nullo lo spostamento rigido dell’intorno di P e trascuriamo ora iresti del tipo O(|ξ|2), per cui si avra semplicemente

s1(Q) = γ1,1ξ1 + γ1,2ξ2 + γ1,3ξ3; (6.30)

s2(Q) = γ2,1ξ1 + γ2,2ξ2 + γ2,3ξ3; (6.31)

s3(Q) = γ3,1ξ1 + γ3,2ξ2 + γ3,3ξ3. (6.32)

Consideriamo poi quella particolare deformazione caratterizzata da γi,k = 0 per i, k 6= 1 (e conγ1,1 6= 0). Il corrispondente spostamento s(Q) avra le seguenti componenti

s1(Q) = γ1,1ξ1, s2(Q) = s3(Q) = 0 (6.33)

e percio il punto Q(ξ1, ξ2, ξ3) dello stato naturale passa nel punto Q⋆ della configurazione deformatadi coordinate

ξ⋆1 = (1 + γ1,1)ξ1, ξ⋆2 = ξ2, ξ

⋆3 = ξ3, (6.34)

ossia si sposta parallelamente all’asse ξ1 (e all’asse x1) della quantita γ1,1ξ1. Cio significa che tutti isegmenti paralleli all’asse x1 si dilatano del rapporto 1 + γ1,1 mentre quelli ortogonali a x1 restanoinvariati; la corrispondente deformazione e allora una pura dilatazione (nel caso in cui γ11 > 0,altrimenti se γ11 < 0 e una contrazione) parallela all’asse x1 e γ1,1 viene detto il coefficiente didilatazione lineare secondo l’asse x1 nel punto P . Analogamente γ2,2, γ3,3 sono i coefficienti didilatazione lineare secondo x2, x3 nel punto P .

Consideriamo ora una deformazione caratterizzata da

ξ

ξ

α

Fig. 6.6. Scorrimento.

tutte le γi,k = 0 eccetto γ2,3 e γ3,2. Gli spostamenti cor-rispondenti sono

s1(Q) = 0, s2(Q) = γ2,3ξ3, s3(Q) = γ3,2ξ2, γ3,2 = γ2,3.(6.35)

Da qui si vede che Q si sposta in un piano perpendicolareall’asse ξ1 (o x1) e che il suo spostamento non dipende da ξ1;possiamo quindi limitarci a studiare il fenomeno nel piano(ξ2, ξ3). In questo caso i punti A dell’asse ξ2 (cioe ξ1 =ξ3 = 0) appartenenti all’intorno di P si spostano nei puntiA⋆(ξ1, ξ2, ξ3 = γ3,2ξ2), cioe sulla retta di equazione ξ3 =γ3,2ξ2 passante per P e di coefficiente angolare

γ3,2 =ξ3ξ2

= tan α ∼ α.

Similmente i punti dell’asse ξ3 si portano sulla retta ξ2 = γ2,3ξ3 inclinata rispetto all’asse ξ3 di unuguale angolo α. Si puo allora dire che 2γ2,3 rappresenta la variazione che subisce, per effetto delladeformazione, l’angolo formato dagli assi ξ2, ξ3 uscenti da P . Una tale deformazione si chiama unoscorrimento parallelo al piano ξ2, ξ3. Analogamente per γ1,2 e γ1,3, per cui le γi,k con i 6= k sidicono coefficienti di scorrimento.


Data poi la linearita delle relazioni (6.30, 6.31, 6.32), si puo concludere che la deformazione piugenerale e ottenuta sovrapponendo sei deformazioni particolari corrispondenti alle singoleγi,k e determinate quindi dalla sovrapposizione di tre dilatazioni parallele agli assi e datre scorrimenti paralleli ai piani coordinati.

Infine, poiche la matrice (γi,k) e simmetrica, ad essa corrisponde una quadrica di centro P per cuiesistono sempre tre assi principali che, se presi come assi cartesiani, permettono di scrivere l’equazionedella quadrica stessa in forma canonica, cioe tale che γ1,2 = γ1,3 = γ2,3 = 0. Quindi si puo concludere,in generale, che:

Teorema 6.3 (Teorema di Helmotz). Ogni deformazione e data dalla sovrapposizione di tredilatazioni (o compressioni) principali secondo tre direzioni opportune.

6.2.6 Dilatazione cubica

La quantita

γ = γ1,1 + γ2,2 + γ3,3 =∂s1∂x1

+∂s2∂x2

+∂s3∂x3

= div s(P ) (6.36)

e detta invariante lineare di deformazione poiche si puo dimostrare che esso non cambia pertrasformazione di coordinate (infatti γ =tr(γi,j) coincide con la traccia del tensore di strain che einvariante per trasformazioni di coordinate). Per vederne il suo significato fisico consideriamo laterna costituita dagli assi principali passanti per P ed un parallelepipedo con gli spigoli ∆ξ1, ∆ξ2,∆ξ3 paralleli agli assi principali; il suo volume vale

∆V = ∆ξ1 ·∆ξ2 ·∆ξ3.

A seguito della deformazione che, per quanto si e detto, consiste solo di tre dilatazioni principali, siotterra ancora un parallelepipedo di lati (1 + γ1,1)∆ξ1, (1 + γ2,2)∆ξ2, (1 + γ3,3)∆ξ3, cioe di volume

∆V ⋆ = (1 + γ1,1) · (1 + γ2,2) · (1 + γ3,3) ·∆V.

Ora, nel limite di piccole deformazioni possiamo trascurare i prodotti della γi,k rispetto all’unitaottenendo:

∆V ⋆ ≈ (1 + γ1,1 + γ2,2 + γ3,3)∆V = (1 + γ)∆V (6.37)

e quindi γ ha il significato fisico di dilatazione cubica nel punto P .

6.3 Statica dei continui deformabili

6.3.1 Forze applicate e sforzi

Passiamo ora in rassegna i vari tipi di forze che possono agire sui continui deformabili. Anzituttopossiamo distinguere le forze esterne, che nei casi concreti sono note in genere, in due tipi:

i. forze di massa, agenti su ogni elemento di massa del corpo (ad esempio il peso);ii. forze superficiali, agenti su ogni elemento della superficie di contorno del corpo.

6.3 Statica dei continui deformabili 149

La forza di massa che agisce sull’elemento (infinitesimo) di massa dm centrato in P si ritieneproporzionale a dm stesso e si puo esprimere con Fdm, dove F e un vettore finito dipendente, alsolito, dalla posizione del punto P , dalla sua velocita e dal tempo (in statica assumiamo la dipendenzadi F solo dalla posizione di P ). Detta poi ρ la densita materiale del corpo, la forza di massa puoanche essere espressa da

ρFdV, (6.38)

essendo dV l’elemento (infinitesimo) di volume contenente dm. Analogamente la forza superficialeagente sull’elemento dσ si esprime con

Φdσ, (6.39)

dove Φ, forza per unita di superficie, e anch’esso un vettore finito.Ci sono poi le forze interne, generalmente incognite, dovute alla mutua azione delle particelle del

corpo (pressione o tensione interna) e che preciseremo introducendo in concetto di sforzo interno.Gli sforzi interni sono dovuti a forze molecolari, cioe alla mutua interazione tra le molecole. Un fattoessenziale e che queste forze sono ”a corto raggio”, cioe esercitano la loro azione solo sui punti vicini;se ne consegue che le forze interne, con le quali una parte qualunque del corpo e sollecitata dalle particontigue, agiscono solo direttamente attraverso la superficie di tale parte (questo e vero in generale;pur con qualche eccezione, ad es. i corpi piezoelettrici). Se immaginiamo di considerare all’internodel corpo un generico elemento superficiale dσ, centrato in un punto P del corpo, su cui fissiamouna faccia positiva e una negativa orientando il versore della normale N allora il sistema delle forzeinterne che le particelle del corpo situate dalla parte della faccia negativa esercitano sulle particellesituate dalla parte positiva sono in generale, come e noto, equivalenti a una coppia e a una forza. Inquel che segue ammetteremo che tali forze interne siano equivalenti ad una sola forza (quando sitiene conto anche della coppia si parla di continui semiflessibili), proporzionale a dσ, detta sforzosulla faccia negativa di dσ che indicheremo ancora con

Φdσ, (6.40)

dove Φ e un vettore finito, generalmente incognito, detto sforzo specifico nel punto P . Esso efunzione in generale, oltre che di P e t, anche di N: Φ = Φ(P, t, N). Se l’angolo tra Φ ed N e acutosi parla di Φ come di una pressione, se e ottuso di una tensione. Ovviamente le particelle situatedalla parte della faccia positiva esercitano sulle particelle situate dalla parte opposta uno sforzouguale ed opposto, −Φdσ, per il principio di mutua azione.

6.3.2 Condizioni di equilibrio per i continui deformabili

Come visto a suo tempo, condizione necessaria per l’equilibrio di un qualunque sistema meccanicoe l’annullarsi del vettore risultante R e del momento risultante Ω di tutte le forze (esterne) attive ereattive. Tale condizione non e pero, in generale sufficiente. Per i corpi deformabili ammettiamo ilseguente postulato:

Postulato fondamentale della statica dei mezzi continui: Se le condizioniR = 0Ω = 0

(6.41)


σ

Φ.

σ

Fig. 6.7. Sforzo interno.

sono soddisfatte, non solo per il corpo nel suo insieme, ma anche per una qualsiasi parte di esso,considerato come un sistema a se, allora il corpo e in equilibrio.

Osserviamo che nelle (6.41), scritte per una porzione del corpo, compariranno le forze esterne checompetono alla porzione considerata e gli sforzi interni esercitati dalle particelle circostanti alla partestessa.

6.3.3 Formule di Cauchy

Consideriamo per un punto generico P , interno al corpo, tre elementi superficiali paralleli ai pianicoordinati e siano

Φ1 = Φ1,1e1 + Φ1,2e2 + Φ1,3e3 (6.42)

Φ2 = Φ2,1e1 + Φ2,2e2 + Φ2,3e3 (6.43)

Φ3 = Φ3,1e1 + Φ3,2e2 + Φ3,3e3 (6.44)

gli sforzi specifici che si esercitano sugli elementi superficiali normali, nell’ordine, agli assi x1, x2, x3.Ciascuno degli sforzi specifici si puo pensare come somma di tre sforzi, uno normale all’elementosuperficiale considerato e due tangenti ad esso. Ad esempio, Φ1 e la somma di uno sforzo specificonormale misurato da Φ1,1 e di due sforzi specifici tangenziali (o di taglio), dati da Φ1,2 e Φ1,3,paralleli rispettivamente a x2 e a x3. Quindi Φ1,1, Φ2,2, Φ3,3 sono gli sforzi normali e Φi,k, coni 6= k, sono gli sforzi di taglio. Consideriamo ora lo sforzo specifico Φ relativo ad un genericoelemento superficiale passante per un punto P interno al corpo. Mandiamo da P tre rette paralleleagli assi coordinati e tracciamo un piano dσ (infinitamente) vicino a P e parallelo (cioe con le normaliparallele) al piano tangente in P all’elemento superficiale considerato. Tale piano incontra le rettenei punti A, B e C i quali, con P , individuano un tetraedro (infinitesimo) ABCP . Sia poi

N = α1e1 + α2e2 + α3e3

il versore normale alla faccia ABC orientato verso l’esterno del tetraedro. Le facce dσ1 = PBC,dσ2 = PAC e dσ3 = PAB sono tre elementi superficiali passanti per P e paralleli ai piani coordinati


σ

.

Fig. 6.8. Sforzi di taglio e normali.

e su di essi orientiamo la normale concordemente al verso dell’asse ad esso ortogonale, per cui sudi esse agiscono gli sforzi specifici (6.42, 6.43, 6.44); indichiamo poi con Φ ≡ (Φ1, Φ2, Φ3) lo sforzospecifico relativo alla faccia dσ = ABC e alla normale esterna (cioe quello esercitato dalle particelledel tetraedro verso l’esterno attraverso ABC).

All’interno del tetraedro agiscono poi le forze esterne di massa

ρFdv = (ρF1dv, ρF2dv, ρF3dv) (6.45)

dove dv e il volume (infinitesimo) del tetraedro, e gli sforzi interni

Φ1dσ1, Φ2dσ2, Φ3dσ3, −Φdσ. (6.46)

Per le condizioni di equilibrio R = 0 avremo

R1 = ρF1dv + Φ1,1dσ1 + Φ2,1dσ2 + Φ3,1dσ3 − Φ1dσ = 0 (6.47)

e le analoghe R2 = R3 = 0. Se si indica con h l’altezza del tetraedro relativo alla base dσ e ricordandola (6.45) si ha

dv =1

3hdσ e dσ1 = α1dσ, dσ2 = α2dσ, dσ3 = α3dσ (6.48)

per cui la (6.47) diventa(1

3ρF1h+ Φ1,1α1 + Φ2,1α2 + Φ3,1α3 − Φ1

)dσ = 0.

da cui

1

3ρF1h+ Φ1,1α1 + Φ2,1α2 + Φ3,1α3 − Φ1 = 0. (6.49)

Passando ora al limite per h→ 0 l’elemento dσ tende all’elemento superficiale passante per P aventela stessa normale N e Φ tende allo sforzo specifico relativo a tale elemento superficiale Φ(P, t, N). Siottengono cosı le formule di Cauchy


Φ1(P ) = Φ1,1α1 + Φ2,1α2 + Φ3,1α3

Φ2(P ) = Φ1,2α1 + Φ2,2α2 + Φ3,2α3

Φ3(P ) = Φ1,3α1 + Φ2,3α2 + Φ3,3α3

(6.50)

che ci danno lo sforzo specifico in un punto P relativo ad un elemento superficiale, co-munque orientato, in funzione degli sforzi specifici che si esercitano sui tre elementi,sempre passanti per P , normali agli assi di riferimento.

Analogamente a quanto fatto nel caso delle deformazioni, le (6.50) si possono scrivere sintetica-mente come

Φ = SN, (6.51)

dove S e un operatore lineare caratterizzato dalla matrice (Φi,k), detto anche omografia o ten-sore degli sforzi o stress. L’applicazione di tale operatore sul versore della normale all’elementosuperficiale dσ passante per P produce appunto lo sforzo specifico in P relativo a tale elemento dσ.

6.3.4 Equazioni indefinite dell’equilibrio

Consideriamo una regione qualsiasi V interna al corpo, limitata da una superficie regolare σ dinormale esterna N aventi componenti α1, α2, α3, e scriviamo per essa le condizioni di equilibrioR = 0, Ω = 0. Su ogni elemento dv agisce la forza di massa ρFdv, per cui il vettore risultante delleforze di massa agenti su V sara

∫

VρFdv.

Attraverso poi ogni elemento superficiale dσ dall’interno verso l’esterno si esercita lo sforzo specificoΦdσ per cui il vettore risultante degli sforzi agenti sulle particelle della regione V attraverso lasuperficie σ = ∂V sara:

−∫

σΦdσ.

In conclusione, l’equazione R = 0 per la sezione V si scrive

Re =∫

VρFdv −

∫

σΦdσ = 0. (6.52)

Della (6.52) consideriamone la prima componente e, tenendo conto delle formule di Cauchy, segueche:

∫

VρF1dv −

∫

σ(Φ1,1α1 + Φ2,1α2 + Φ3,1α3)dσ = 0, (6.53)

da cui, per il Teorema di Gauss, si deduce

∫

V

(ρF1 −

∂Φ1,1

∂x1− ∂Φ2,1

∂x2− ∂Φ3,1

∂x3

)dσ = 0. (6.54)

La (6.54), assieme alle reazioni analoghe che si ottengono considerando le altre componenti della(6.52), poiche il volume V e arbitrario, permette di ottenere le seguenti equazioni indefinitedell’equilibrio


∂Φ1,1

∂x1+ ∂Φ2,1

∂x2+ ∂Φ3,1

∂x3= ρF1 (6.55)

∂Φ1,2

∂x1+ ∂Φ2,2

∂x2+ ∂Φ3,2

∂x3= ρF2 (6.56)

∂Φ1,3

∂x1+ ∂Φ2,3

∂x2+ ∂Φ3,3

∂x3= ρF3 (6.57)

che sono equazioni differenziali nelle variabili spaziali a cui devono soddisfare gli sforzi specifici incondizioni di equilibrio.

Analogamente, partendo dalla equazione Ω = 0, si giunge alle seguenti condizioni

Φi,k = Φk,i, ∀i 6= k (6.58)

cioe la matrice dello stress, in condizioni di equilibrio, e simmetrica. Osserviamo comunqueche questo risultato e conseguenza dell’aver ammesso che il sistema delle forze interne attraverso unelemento superficiale interno al corpo e equivalente ad una sola forza; se invece si ammette anchela coppia, allora lo stress non e piu simmetrico.

Dimostriamo la (6.58). A tal fine calcoliamo la componente rispetto all’asse di versore e1 delmomento risultante delle forze di massa, esso sara:

Ω′1 =

∫

V(x2F3 − x3F2)ρdv;

mentre la componente rispetto all’asse di versore e1 del momento risultante degli sforzi agenti at-traverso la superficie σ sara:

Ω′′1 = −

∫

σ(x2Φ3 − x3Φ2)ρdσ. (6.59)

Quindi

Ω1 =∫

V(x2F3 − x3F2)ρdv −

∫

σ(x2Φ3 − x3Φ2)ρdσ.

In virtu delle formule di Cauchy si ha che la (6.59) assume la forma

Ω′′1 = −

∫

σ[x2 (Φ1,3α1 + Φ2,3α2 + Φ3,3α3)− x3 (Φ1,2α1 + Φ2,2α2 + Φ3,2α3)] ρdσ.

che dal Teorema di Gauss diventa

Ω′′1 = −

∫

σ[(x2Φ1,3 − x3Φ1,2)α1 + (x2Φ2,3 − x3Φ2,2)α2 + (x2Φ3,3 − x3Φ3,2)α3] ρdσ

= −∫

V

[∂

∂x1(x2Φ1,3 − x3Φ1,2) +

∂

∂x2(x2Φ2,3 − x3Φ2,2)+

+∂

∂x3(x2Φ3,3 − x3Φ3,2)

]ρdv

= −∫

V

[x2

(∂Φ1,3

∂x1+∂Φ2,3

∂x2+∂Φ3,3

∂x3

)+ Φ2,3+

−x3(∂Φ1,2

∂x1+∂Φ2,2

∂x2+∂Φ3,2

∂x3

)− Φ3,2

]ρdv

= −∫

V[(x2F3 − x3F2)ρ+ Φ2,3 − Φ3,2] ρdv


in virtu delle equazioni indefinite dell’equilibrio. Quindi si conclude che

Ω1 =∫

V(Φ2,3 − Φ3,2)ρdv

e dovendo essere Ω1 = 0 per ogni possibile scelta del volume V segue che

Φ2,3 = Φ3,2.

Analogamente segue che

Φ1,3 = Φ3,1 e Φ1,2 = Φ2,1

completando la dimostrazione.Le equazioni indefinite (6.55, 6.56, 6.57) e le (6.58) non bastano da sole per lo studio dell’equilibrio

di un continuo deformabile, ma occorrono anche le cosiddette condizioni al contorno. Queste ultimesi ottengono osservando che, per l’equilibrio, la forza superficiale esterna Ψ assegnata e gli sforzispecifici esercitati dal corpo sulla faccia interna della superficie di contorno σ devono avere vettorerisultante nullo, ossia essere Φ = −Ψ, cioe, per le (6.50),

Φ1,1α1 + Φ2,1α2 + Φ3,1α3 = −Ψ1; (6.60)

Φ1,2α1 + Φ2,2α2 + Φ3,2α3 = −Ψ2; (6.61)

Φ1,2α1 + Φ2,2α2 + Φ3,2α3 = −Ψ2. (6.62)

Le equazioni (6.55), (6.56), (6.57) e (6.58) devono essere verificate per ogni punto del corpo mentrele (6.60), (6.61) e (6.62) devono essere verificate per ogni punto della superficie.

6.3.5 Le equazioni costitutive

Le considerazioni fin qui svolte valgono per un qualunque continuo deformabile e proprio per questaloro generalita il problema dell’equilibrio e ancora indeterminato. In realta non si sono fatte ancoraintervenire le proprieta fisiche e strutturali del corpo che distinguono un corpo elastico da un fluido,ad esempio; occorre cioe assegnare le equazioni costitutive, che ovviamente variano da tipo a tipodi corpo deformabile. In particolare i fluidi perfetti (liquidi e gas non viscosi) sono caratterizzatidalla proprieta che lo sforzo Φdσ su un elemento di superficie dσ qualsiasi all’interno del fluido esempre normale a dσ stesso. In altre parole in un fluido perfetto non esistono sforzi di taglio,quindi rispetto a un qualsiasi sistema di assi e sempre

Φ1,2 = Φ2,3 = Φ3,1 = 0. (6.63)

Cio significa che qualunque sistema di assi e un sistema di assi principali per la quadrica associatoallo stress, cioe tale quadrica e una sfera. Inoltre, affinche poi l’equazione

Φ1,1x21 + Φ2,2x

22 + Φ3,3x

23 = 1

rappresenti una sfera si deve avere

Φ1,1 = Φ2,2 = Φ3,3 = P.

Da cio segue subito il principio di Pascal: in un fluido il valore ΦN dello sforzo specifico(normale) su dσ e indipendente dall’orientazione di dσ; infatti e


ΦN = Φ · N = Φ1α1 + Φ2α2 + Φ3α3

= Φ1,1α21 + Φ2,2α

22 + Φ3,3α

23 = P (α2

1 + α22 + α2

3) = P.

P si chiama poi la pressione del fluido. Le equazioni indefinite dell’equilibrio dei fluidi perfettidiventano

∂P

∂x1= ρF1,

∂P

∂x2= ρF2,

∂P

∂x3= ρF3 ossia ∇P = ρF.

7

Esercizi tratti da prove d’esame

Esercizio 7.1: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, e mobile il sistema materiale pesantecostituito da un’asta rigida AB e da una lamina quadrata CDEF . La lamina quadrata e

omogenea, ha massaM e lato lungo 2L. L’asta ha massam, lunghezza ℓ e densita ρ(ξ) = c(ξ − 1

2ℓ)2,

dove ξ indica la distanza del generico punto dell’asta dall’estremo A. La lamina CDEF e vincolatain C e D a scorrere lungo l’asse x. L’asta AB e vincolata a scorrere in A lungo l’asse delle ordinateed in B e incernierata al punto medio del lato CF della lamina. Sul sistema agisce, altre alla forzapeso, una forza elastica dovuta ad una molla di costante di elasticita k aventi estremi fissi in O e nelpunto C della lamina. L’unico parametro lagrangiano e l’angolo θ ∈ (−π,+π] che l’asta AB formacon l’asse delle ordinate. In assenza di attrito si domanda:

A

B

OC D

EF

y

x

θ

1. La costante c che appare nella densita dell’asta AB, le coordinate del suo baricentro rispettoall’asta stessa ed il momento d’inerzia dell’asta rispetto all’asse passante per A e normale alpiano.

2. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica.3. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita.4. Ritrovare le configurazioni di equilibrio facendo uso delle equazioni cardinali della statica. Trovare

inoltre le reazioni vincolari in corrispondenza alle configurazioni d’equilibrio.

158 7 Esercizi tratti da prove d’esame

Soluzione.1. Un calcolo immediato porta a

m =∫

ABρ(ξ)dξ =

∫ ℓ

0c(ξ − 1

2ℓ)2

dξ =cℓ3

12

da cui segue che

c =12m

ℓ3.

Similmente

ξG1 =1

m

∫

ABξρ(ξ)dξ =

c

m

∫ ℓ

0ξ(ξ − 1

2ℓ)2

dξ =1

2ℓ

e

IABz,A =∫

ABξ2ρ(ξ)dξ =

∫ ℓ

0cξ2

(ξ − 1

2ℓ)2

dξ =2

5mℓ2 .

2. Premettiamo alcune relazioni cinematiche:xG1 =

12ℓ sin θ

yG1 = 12ℓ cos θ + L

, xC = ℓ sin θ .

dove abbiamo denotato con G1 il baricentro dell’asta AB e dove il baricentro G2 della lamina hacoordinata yG2 = L. Segue che

U = Upeso,AB + Upeso,CDEF + Umolla = −mgyG1 −MgyG2 −1

2k|OC|2

= −1

2mgℓ cos θ − 1

2kℓ2 sin2 θ + C

dove C = −mgL −MgL e una costante additiva inessenziale. Per il calcolo dell’energia cineticaosserviamo che per l’asta AB dobbiamo fare uso del Teorema di Konig mentre la lamina CDEFsemplicemente trasla:

T = TAB + TCDEF =[1

5m+

1

2M cos2 θ

]ℓ2θ2

dove

TCDEF =1

2Mv2C =

1

2Mx2C =

1

2Mℓ2 cos2 θθ2

e

TAB =1

2mv2G1

+ TG1 =1

2m[x2G1

+ y2G1] +

1

2IABz,G1

θ2 =1

8mℓ2θ2 +

3

40mℓ2θ2 =

1

5mℓ2θ2

essendo IABz,G1= IABz,A −m|AG1|2 = 3

20mℓ2.

3. Le configurazioni di equilibrio sono le soluzioni dellla seguente equazione

7 Esercizi tratti da prove d’esame 159

dU

dθ= 0 ,

ovvero

0 =1

2mgℓ sin θ − kℓ2 sin θ cos θ = kℓ2 sin θ

[mg

2kℓ− cos θ

]

che ammette soluzoni

θ1 = 0 e θ2 = π

per ogni scelta dei valori dei parametri, e inoltre ha soluzioni

θ3,4 = ± arccos γ , se γ =mg

2kℓ∈ [0, 1] .

Per studiarne la stabilita calcoliamo la derivata seconda:

U ′′(θ) :=d2U

dθ2= kℓ2 cos θ [γ − cos θ] + kℓ2 sin2 θ

dove un calcolo immediato porta al seguente risultato:

U ′′(θ1) = kℓ2 [γ − 1]

> 0 se γ > 1 instabile< 0 se γ < 1 stabile

U ′′(θ2) = −kℓ2 [γ + 1] < 0 , stabile

e

U ′′(θ3,4) = kℓ2 sin2 θ3,4 > 0 , instabile.

Di conseguenza θ1 per γ = 1 risulta instabile.4. Separiamo il sistema nei due corpi rigidi e classifichiamo le forze e le reazioni vincolari:Asta AB: (G1,−mg), (A, φA ı) e (B,φB = φBxı + φBy );Lamina CDEF : (G2,−Mg), (C,−kxcı), (C, φC ), (D,φD ) e (B,−φB).Le equazioni cardinali prendono la forma

Asta AB

φA + φBx = 0−mg + φBy = 0−φAℓ cos θ + 1

2ℓmg sin θ = 0 − polo B

Lamina CDEF

−kℓ sin θ − φBx = 0−Mg + φC + φD − φBy = 0−MgL+ 2φDL+ φBxL = 0 − polo C

da cui segue

φBy = mgφBx = −kℓ sin θφA = kℓ sin θ−kℓ sin θℓ cos θ + 1

2mgℓ sin θ = 0

φD = 12[Mg + kℓ sin θ]

φC =Mg +mg − 12[Mg + kℓ sin θ] = mg + 1

2Mg − 1

2kℓ sin θ

dove la quarta equazione del sistema e l’equazione per l’equilibrio gia ritrovata con il metodo delpotenziale.


Esercizio 7.2: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, e mobile il sistema materiale cos-tituito da:

- un’asta AB non omogenea di lunghezza L, massa m e densita ρ(s) = c(s− 1

2L)2, dove s e la

distanza del generico punto dell’asta dall’estremo A;- un disco omogeneo, di raggio R, centro C e di massa M .

L’asta e appoggiata al puntoM di coordinate (0, 2R) e al disco come in figura; il disco e vincolatoa rotolare senza strisciare sull’asse x e tra l’asta ed il disco c’e il vincolo di puro rotolamento.

Oltre alla forza peso agisce: una forza elastica dovuta ad una molla di costante k aventi un estremoin C e l’altro estremo nella proiezione H di C sull’asse y; una forza costante applicata nell’estremoB dell’asta e di vettore costante F ı, F > 0.

Il sistema e a un grado di liberta e come parametro lagrangiano si assume la coordinata x > 0 delpunto C, centro del disco.

F

M

C

y

x

H

O

BA

In assenza di attrito in M si domanda:

1. La costante c che compare nella espressione della densita dell’asta, il baricentro dell’asta ed ilmomento d’inerzia dell’asta rispetto ad il suo baricentro.

2. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica del sistema, scrivere le equazioni per l’equilibriodel sistema.

3. Scrivere le equazioni cardinali della statica, in particolare ritrovare le equazioni per l’equilibrio giadeterminate in 2..

4. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita.5. Scrivere le equazioni cardinali della Dinamica.



- una lamina reattangolare rigida OABC aventi lati OA = ℓ e AB = 2ℓ e densita ρ = mℓ4ξη dove

(ξ, η) sono le coordinate del generico punto della lamina riferita alla lamina stessa (prendendocome origine il punto O e asse ξ diretto lungo OA e asse η diretto lungo OC) ;

- un punto materiale P di massa 2m ed un punto Q di massa m.

La lamina ha asse fisso normale al piano (O; x, y) e passante per O; il punto P e vincolato ascorrere lungo l’asta OC ed e collegato, tramite un filo flessibile, inestendibile, di massa trascurabile,lunghezza L e passante per una carrucola di massa e dimensioni trascurabili fissata in C, al puntoQ. Sul sistema, oltre alla forza peso, una forza elastica applicata in C (C,−k(C −H)) dove H e laproiezione di C sull’asse y; k e una costante positiva assegnata.

I parametri lagrangiani sono l’angolo θ ∈(0, 1

2π)che l’asta OC forma con il semiasse positivo

delle ordinate e la distanza r > 0 tra il punto P e l’origine O.

θ r

y

x

Q

C

P

B

A

H

O

In assenza di attrito si domanda:

1. La massa della lamina OABC e le coordinate del baricentro (ξ, η) rispetto alla lamina stessa.2. Il momento d’inerzia della lamina rispetto all’asse passante per O e normale al piano (O; x, y). Il

momento d’inerzia della lamina rispetto all’asse passante per il baricentro G e normale al piano(O; x, y).

3. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica (assumendo che Q resti sempre sulla verticalepassante per C).

4. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita in funzione del parametroα = kℓ

mg.

5. Le equazioni cardinali della statica.



- una squadra rigida AOB costituita da due aste rigide AO e OB saldate ad angolo retto;- un punto materiale P di massa m.

L’asta AO ha lunghezza ℓ e densita ρ(s) = mℓ2s, dove s ∈ [0, ℓ] e la distanza del generico punto

dell’asta dall’estremo O. L’asta OB e omogenea, ha lunghezza 4ℓ e massa 2m. La squadra AOB haasse fisso normale al piano (O; x, y) e passante per O; il punto P e vincolato a scorrere lungo l’astaOB. Sul sistema, oltre alla forza peso, sono applicate in P due forze elastiche (P,−k(P −O)), doveO e l’origine del sistema di riferimento, e (P,−k(P −H)), dove H e la proiezione di P sull’asse x; ke una costante positiva assegnata.

I parametri lagrangiani sono l’angolo θ ∈ [0, 2π) che l’asta OB forma con il semiasse negativo ela distanza ξ > 0 tra il punto P e l’origine O.

B

A

P

O H

y

x

θ

ξ


1. La massa dell’asta OA e la distanza del baricentro G1 dell’asta OA dall’estremo O. Il momentod’inerzia dell’asta OA rispetto all’asse passante G1 e normale al piano (O; x, y).

2. Il potenziale e l’energia cinetica.3. Le equazioni differenziali del moto.4. Le equazioni cardinali della statica.5. Escludendo le molle e assumendo che sia θ(t) = ωt, dove ω e una costante assegnata, e ξ(t) = ℓe−ct,

dove c > 0 e una costante assegnata, determinare la velocita del punto P al generico istante t.


Esercizio 7.5: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, e mobile il bi-pendolo costituitoda:

- un’asta rigida OA lunga 2ℓ e densita ρ = m[2ℓ]3/2

√ξ, dove ξ e la distanza del generico punto dell’asta

dall’estremo O;- un’asta rigida AB omogenea, lunga ℓ e massa m.

L’asta OA ha asse fisso normale al piano (O; x, y) e passante per O ed e incernierata in A all’astaAB. Sul sistema, oltre alla forza peso, agisce una forza elastica applicata in B (B,−k(B−H)), doveH e la proiezione di B sull’asse x; k e una costante positiva assegnata.

I parametri lagrangiani sono l’angolo α che l’asta OA forma con il semiasse negativo delle ordinatee l’angolo β che l’asta AB forma con la retta passante per B parallela al semiasse negativo delleordinate.

A

B

O H

y

x

α

β


1. La massa dell’asta OA e le coordinate del suo baricentro rispetto all’asta stessa.2. Il momento d’inerzia dell’asta OA rispetto all’asse passante per il baricentro dell’asta e normale

al piano (O; x, y).3. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica.4. Determinare la stabilita della configurazione di equilibrio (α = 0, β = 0).5. Il momento della quantita di moto dell’asta AB rispetto al suo baricentro.


Esercizio 7.6: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, e mobile il sistema materiale rigidocostituito da un’asta rigida AB, omogenea, di massa m e lunghezza ℓ.

L’estremo B e vincolato a scorrere lungo l’asse (O; x), l’asta e inoltre appoggiata ad una semicir-conferenza di raggio R e centro O come in figura. Sul sistema, oltre alla forza peso, agisce una forzaelastica (A,−k(A−H)), dove H e la proiezione di A sull’asse verticale.

Il sistema e ad un grado di liberta e come parametro lagrangiano si sceglie la coordinata x delpunto B, x > 0.

A

BO

H

K

y

x


1. Determinare le coordinate di A, del baricentro G dell’asta e del punto K di contatto tra l’asta ela semicirconferenza in funzione del parametro lagrangiano x.

2. Il potenziale e l’energia cinetica.3. Le equazioni differenziali del moto.4. Le equazioni cardinali della statica.5. Facendo uso delle equazioni cardinali della dinamica ritrovare il risultato in 3.L. Domanda per la lode: Supponendo di eliminare la molla in A e assumendo la presenza di

attrito in B determinare le configurazioni di equilibrio del sistema.



- un’asta AC non omogenea di lunghezza L, massa m e densita ρ(s) = c√s, dove s e la distanza

del generico punto dell’asta dall’estremo C;- un disco omogeneo, di raggio R, centro C e di massa M .

Il disco e vincolato a rotolare senza strisciare lungo il semi-asse positivo delle ordinate, l’astae incernierata al disco in C e ha l’altro estremo A vincolato a scorrere senza attrito sull’asse delleascisse.

Oltre alla forza peso agisce una forza elastica dovuta ad una molla di costante k aventi un estremoin A e l’altro estremo nel punto H(R, 0).

Il sistema e a un grado di liberta e come parametro lagrangiano si assume l’angolo ψ = HCA ∈(−1

2π,+1

2π).

y

x

ψ

Η

Χ

ΑΟ

In assenza di attrito in A si domanda:

1. La costante c che compare nella espressione della densita dell’asta, il baricentro dell’asta ed ilmomento d’inerzia dell’asta rispetto ad il suo baricentro.

2. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica del sistema.3. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita, disegnare il diagramma delle

biforcazioni.4. Scrivere le equazioni cardinali della statica, in particolare ritrovare le equazioni per l’equilibrio gia

determinate in 3..5. Scrivere le equazioni cardinali della Dinamica.


Esercizio 7.8: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, e mobile il sistema materialecostituito da due aste AB e BC incernierate in B. Entrambe le aste hanno massa m e lunghezza ℓ,l’asta BC e omogenea mentre l’asta AB ha densita ρ(s) = cs1/4 dove c e una costante positiva ed se la distanza del generico punto dell’asta dall’astremo A.

L’estremo A dell’asta AB e vincolato a scorere, come in figura, lungo l’asse verticale, gli estremiB e C dell’asta BC sono vincolati a scorrere lungo un piano inclinato di φ = π/6 rispetto all’asseorizzontale.

Sul sistema agisce solo la forza peso.Il sistema e a un grado di liberta e come parametro lagrangiano si sceglie l’angolo θ ∈ [0, 2π) che

l’asta AB forma con l’asse verticale discendente come in figura.

y

xφ

θ C

B

A

O


1. Determinare il valore della costante c, la distanza del baricentro G1 dell’asta AB dall’estremo Adell’asta ed il momento d’inerzia dell’asta AB rispetto all’asse normale al piano e passante per ilsuo baricentro.

2. Il potenziale e l’energia cinetica.3. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita.4. Scrivere le equazioni cardinali della statica.5. Mediante le equazioni cardinali della statica trovate in 4., ritrovare le configurazioni di equilibrio

gia trovate in 3. e determinare le reazioni vincolari in corrispondenza a tali configurazioni diequilibrio.


Esercizio 7.9: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, e mobile il sistema materiale rigidocostituito da:

- un’asta rigida AB, omogenea, lunga 2ℓ, massa m;

- un’asta rigida CD, lunga ℓ e densita ρ(ξ) = ml2

∣∣∣ξ − 12ℓ∣∣∣, dove ξ e la distanza del generico punto

dell’asta da C.

Le due aste sono saldate ad angolo retto come in figura (l’estremo D dell’asta ’e saldato all’astaAB nel suo punto medio).

L’asta AB ha estremo A fisso a scorrere lungo l’asse y, l’asta CD ha estremo C vincolato a scorrerelungo l’asse x.

Sul sistema, oltre alla forza peso, agisce una forza elastica dovuta ad una molla, che collegal’estremo C dell’asta all’origine, di costante di elasticita k, costante positiva assegnata.

Il sistema e a un grado di liberta e come parametro lagrangiano si sceglie l’angolo θ ∈ [−π, π) chel’asta AB forma con l’asse positivo delle ordinate.

A

B

C

D

O

y

x

θ


1. La massa dell’asta CD e la distanza del baricentro G1 dell’asta CD dall’estremo C. Il momentod’inerzia dell’asta CD rispetto all’asse passante C e normale al piano (O; x, y).

2. Il baricentro dell’intero sistema rispetto al riferimento (O; x, y);3. Il potenziale e l’energia cinetica.4. Le equazioni differenziali del moto.5. Le equazioni cardinali della statica.


Esercizio 7.10: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, e mobile un’asta rigida AB lunga

ℓ, massa m e densita ρ(ξ) = c sin(ξπ2ℓ

)dove ξ e la distanza del generico punto P da A.

L’asta AB e vincolata a scorrere in A lungo l’asse delle ordinate ed in B lungo la parabola diequazione y = x2/ℓ. Sul sistema agisce solo la forza peso e l’unico parametro lagrangiano e l’angoloθ che l’asta forma con l’asse delle ordinate.

θ

y

xO

y

xO

B

A


1. La costante c che appare nella densita dell’asta AB e le coordinate del suo baricentro rispettoall’asta stessa.

2. Il momento d’inerzia dell’asta AB rispetto all’asse passante per il baricentro dell’asta e normaleal piano (O; x, y).

3. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica.4. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita.5. Ritrovare le configurazioni di equilibrio facendo uso delle equazioni cardinali della statica.


Esercizio 7.11: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, e mobile il sistema materialerigido costituito da:

- un’asta rigida AB, lunga ℓ e densita ρ(ξ) = mℓ3ξ2, dove ξ e la distanza del generico punto dell’asta

da A;- un punto P di massa µ.

L’estremo A e vincolato a scorrere lungo l’asse (O; y) e l’estremo B lungo l’asse (O; x). Sulsistema, oltre alla forza peso, agisce una forza elastica (B,−k(B−O)), dove O e l’origine del sistemadi riferimento e k e una costante positiva assegnata. Il punto P e appeso lungo l’asse delle ordinate adun filo flessibile, inestendile e massa trascurabile, passante per una carrucola (di massa e dimensionitrascurabili) posta in O e avente l’altro capo collegato nell’estremo B dell’asta.

Il sistema e ad un grado di liberta e come parametro lagrangiano si sceglie l’angolo θ ∈(0, 1

2π)

che l’asta AB forma con il semiasse positivo delle ordinate.

A

BO

P

y

x

θ


1. La massa dell’asta AB e la distanza del baricentro G dell’asta dall’estremo A. Il momentod’inerzia dell’asta rispetto all’asse passante per A e normale al piano (O; x, y).

2. Il potenziale e l’energia cinetica.3. Le equazioni differenziali del moto.4. Le equazioni cardinali della statica.5. Facendo uso delle equazioni cardinali della dinamica ritrovare il risultato in 3.


Esercizio 7.12: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, e mobile il sistema materialepesante costituito da un’asta rigida CE e da una lamina quadrata ABCD.

La lamina quadrata e omogenea, ha massa M e lato lungo L. L’asta e omogenea, ha massa m elunghezza ℓ, ℓ >

√2L.

La lamina ABCD ha un asse fisso passante per A ≡ O. L’asta CE e vincolata a scorrere in Elungo l’asse delle ascisse ed in C e incernierata al vertice C della lamina.

Sul sistema agisce, altre alla forza peso, una forza elastica dovuta ad una molla di costante dielasticita k aventi estremi fissi in O e nell’estremo E dell’asta. L’unico parametro lagrangiano el’angolo θ ∈ (−π,+π] che la diagonale AC forma con l’asse delle ascisse.

C

B

O=A

D

E

y

xθ


1. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica.2. Determinare per quale valore del parametro k la configurazione θ = 1

4π e di equilibrio. Studiarne

poi la stabilita.3. Scrivere le equazioni cardinali della statica.4. Scrivere le equazioni cardinali della dinamica.


Esercizio 7.13: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, e mobile il sistema materialecostituito da:

- un’asta AB di massa M , omogenea e lunga 3L;- un’asta OC di massa m, lunga 2L e densita ρ(s) = cs(2L − s), dove s e la distanza del generico

punto dall’estremo O e c e una costante positiva.

L’asta AB e vincolata nell’estremo A a scorrere lungo l’asse delle ordinate. L’asta OC e vincolataa ruotare attorno ad un asse fisso normale al piano e passante per O, inoltre nell’estremo C eincernierata nel punto C dell’asta AB distante 2L da A. Oltre alla forza peso agisce una forzaelastica dovuta ad una molla di costante k aventi un capo nell’estremo B dell’asta e l’altro capo nelpunto H, proiezione di B sull’asse delle ascisse. Il sistema e a un grado di liberta e come parametrolagrangiano si assume l’angolo θ che l’asta AB forma con l’asse delle ordinate.

θ

B

A

C

O H x

y


1. La costante c che compare nella densita dell’asta, il suo baricentro ed il suo momento d’inerziarispetto all’asse normale all’asta e passante per il baricentro dell’asta stessa.

2. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica del sistema.3. Scrivere le equazioni cardinali della Statica.4. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita.5. Scrivere le equazioni cardinali della Dinamica.


Esercizio 7.14: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, e mobile il sistema materialecostituito da:

- un’asta AB di massa M , lunga L e di densita ρ(s) = c(L + s), dove s denota la distanza delgenerico punto dell’asta dall’estremo A;

- due punti P e Q di massa, rispettivamente, 2m e m.

L’asta AB e vincolata in A a scorrere lungo l’asse delle ordinate e in B a scorrere lungo l’assedelle ascisse. Il punto P e vincolato a scorrere lungo l’asta AB; il punto Q e appeso ad un filo(flessibile, inestendibile e di massa trascurabile) di lunghezza L che passa per una carrucola (dimassa e dimensioni trascurabili) posta in A ed e collegato all’altro estremo al punto P . Oltre allaforza peso agisce una forza elastica dovuta ad una molla di costante k aventi un capo nell’estremo Bdell’asta e l’altro capo nell’origine O. Il sistema e a due gradi di liberta e come parametri lagrangiani

si assumono l’angolo θ ∈(0, 1

2π)che l’asta AB forma con l’asse delle ordinate e la distanta ξ > 0 tra

A e P .

θ

A

O x

y

Q

Pξ

B


1. La costante c che compare nella densita dell’asta, il suo baricentro ed il suo momento d’inerziarispetto all’asse normale all’asta e passante per il baricentro dell’asta stessa.

2. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica del sistema.3. Scrivere le equazioni cardinali della statica.4. Determinare le configurazioni di equilibrio e studiarne la stabilita.5. Scrivere le equazioni cardinali della Dinamica.


Esercizio 7.15: Nel piano (O; x, y), con y verticale ascendente, ‘e mobile il sistema materialecostituito da:

- un’asta OE di massa m, lunga L e omogenea;- una lamina rettangolare ABCD di massa M , lato AB = 2L, lato BC = L, omogenea e con un

foro in F di diametro 12L, il punto F dista 1

2L dal lato AB e 1

2L dal lato BC.

La lamina ABCD e vincolata in A e in B a scorrere lungo l’asse delle ascisse. L’asta OE haun asse fisso passante per O e normale al piano ed ha l’estremo E vincolato a scorrere lungo il latoAD della lamina. Sul sistema agisce, oltre alla forza peso, una forza elastica dovuta ad una molladi costante k avente un capo nel vertice A della lamina e l’altro capo nel centro O del sistema diriferimento.

Il sistema e ad un grado di liberta e si assume come parametro lagrangiano l’angolo θ = AOE ∈(0, 1

2π)che l’asta forma con l’asse delle ascisse.

.


1. La posizione del baricentro G della lamina rispetto alla lamina stessa.2. Il potenziale delle forze attive e l’energia cinetica del sistema.3. Scrivere le equazioni cardinali della statica.4. Determinare le configurazioni di equilibrio nell’intervallo di variabilita considerato e studiarne la

stabilita.5. Scrivere le equazioni di Lagrange.

Nel piano (O; x, y) e data una forza di vettore

F =[sin(xy2) + xy2 cos(xy2)

]ı + 2x2y cos(xy2). (7.1)

Dimostrare che la forza e conservativa e calcolarne il potenziale.

A

Appendice

A.1 Cenni sull’attrazione Newtoniana

A.1.1 Potenziale

Dati due punti materiali P e Q un osservatore inerziale misura su questi, in virtu del III principiodi Newton, due forze uguali ed opposte e dirette lungo la congiungente, che si esercitano, rispet-tivamente, sopra P e sopra Q. E utile considerarne una sola, per es. quella risentita dal punto P ;diremo quindi Q punto (o massa) potenziante e P punto potenziato. L’attrazione Newtonianaesercitata da Q, riguardata come dipendente dalla posizione di P e pensando Q fisso, ha intensita chevale f mm1

r2ed e diretta verso Q, dove f e la costante (positiva) di attrazione universale, m, m1 sono

le masse gravitazionali dei due punti e r la loro distanza. Pertanto risulta essere una forza centrale(pensando Q fisso) e quindi conservativa. Il potenziale e, a meno di una costante additiva,

U = fmm1

r.

In generale, considerando il punto P come punto potenziato, supponiamo vi sia un numero qualsiasidi punti potenzianti Qi. Prescindendo dalla massa m di P , chiameremo potenziale Newtonianola funzione

U = f∑

i

mi

|P −Qi|(A.1)

La U , considerata come funzione delle coordinate x, y, z del punto P , e finita e continua per tuttii punti dello spazio, fatta soltanto eccezione per i punti potenzianti Qi.

Un breve calcolo prova che:

∂ 1ri

∂x=∂[(x− xi)

2 + (y − yi)2 + (z − zi)

2]−1/2

∂x

= −1

2

2(x− xi)

[(x− xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2]3/2= −x− xi

r3i,

e

∂2 1ri

∂x2= − 1

r3i+ 3

(x− xi)2

r5i

176 A Appendice

e quindi si osserva che

∆U =∂2U

∂x2+∂2U

∂y2+∂2U

∂z2= 0,

cioe U e una funzione armonica.Nel caso di masse potenzianti continue di densita µ e occupanti il volume S avremo che per ogni

punto potenziato P , esterno al campo S occupato dalle potenzianti, le componenti dell’attrazionesono ancora date dalle derivate del potenziale U , che ha l’espressione

U = f∫

S

µ

rdS.

Tale potenziale, come funzione delle coordinate x, y, z di P , e finito, continuo e derivabile a piacere.In particolare vale la regola di derivazione sotto il segno di integrale:

∂U

∂x= f

∫

Sµ∂ 1r

∂xdS.

Derivando ulteriormente si verifica che:

∆U = f∫

Sµ∆

(1

r

)dS = 0.

Notiamo che, a differenza del caso di un numero finito di punti potenzianti, il caso di massedistribuite con continuita ammette, per il potenziale e per le sue derivate, che il punto potenziatoP si avvicini al campo o, addiritura, lo penetri. Consideriamo anzitutto il potenziale di unadistribuzione di materia a tre dimensioni U = U(x, y, z); se il punto P (x, y, z) va a sovrapporsi, otende, ad un punto Q(x, y, z) del corpo la funzione integranda diventa infinita, ma poiche il suoordine di infinito e 1 allora essa si mantiene integrabile e il potenziale U risulta finito e continuo,insieme alla sua derivata prima, non soltanto fuori dalla massa potenziante ma anche sulcontorno e all’interno. Nel caso di una distribuzione della materia a due dimensioni allora ilpotenziale U(x, y, z) e finito e continuo per ogni punto potenziato P . Infine nel caso di distribuzionelineare della materia l’integrale U = f

∫ℓµrdℓ diventa infinito sulla linea potenziante ℓ.

A.1.2 Attrazione di una superficie sferica σ omogenea

L’attrazione complessiva di una superficie sferica omogenea e nulla in tutti i punti Pinterni alla sfera. Quindi in tutto lo spazio interno a σ (dove l’attrazione e nulla) il potenziale

U(x, y, z) = f∫

σ

µ

rdσ

ha un valore costante, dove µ = m|σ| =

m4πR2 e la densita della superficie sferica; per determinare tale

valore bastera calcolarlo per un punto particolare, scelto a piacere, e converra scegliere il centro dellasfera in cui r = R e costante, dove R e il raggio della sfera. Risulta quindi U = f m

R.

Nel caso di un punto potenziato esterno alla sfera distante ρ > R dal centro O avremo che:U = f m

ρ, cioe una superfice sferica omogenea agisce sui punti esterni come se tutta la massa fosse

raccolta nel centro.

A.1 Cenni sull’attrazione Newtoniana 177

A.1.3 Attrazione di una corona sferica omogenea di raggi R1 ed R2 (R1 > R2 ≥ 0)

Noi possiamo pensare di realizzare la corona mediante corone sferiche comprese tra i raggi ρ e ρ+dρ.Utilizzando i risultati gia trovati per la superficie sferica omogenea segue che nei punti interni allacavita l’attrazione e nulla ed il potenziale e costante dentro la cavita e vale

U = 4πf∫ R1

R2

µsds = 2πfµ(R21 −R2

2) dove µ =m

4π(R31 −R3

2)/3

e la densita della corona sferica.Nel caso di punto potenziato esterno alla corona, ρ > R1, poiche ogni elemento della massa

potenziante agisce sul punto come se la relativa massa fosse tutta raccolta in O, segue che il potenzialeavra ancora l’espressione U = f m

ρdove m sta a designare la massa totale della corona.

Consideriamo infine un punto potenziato interno alla corona potenziante R2 ≤ ρ ≤ R1. Ilpotenziale si puo calcolare approfittando della circostanza che per ogni distribuzione di volume, ilpotenziale e le sue derivate prime si mantengono ovunque funzioni finite e continue (malgradola singolarita della funzione integrando sotto il segno di integrale per P interno alla corona). Ilpotenziale si puo riguardare come somma di due contributi, uno dovuto alla corona interna e l’altrodovuto alla corona esterna:

U = 4πf∫ R1

ρµsds+

4πf

ρ

∫ ρ

R2

µs2ds = 4πfµ

(R2

1

2− ρ2

6− R3

2

3ρ

)

=3fm

R31 −R3

2

(R2

1

2− ρ2

6− R3

2

3ρ

).

Le superficie equipotenziali sono sfere concentriche e le linee di forza sono i relativi raggi, cosıl’attrazione e una forza centrale che ha O per centro di forza. La componente radiale φ della forzae data da dU

dρ:

φ =dU

dρ=

0 0 ≤ ρ ≤ R2

−fmρ2

ρ3−R32

R31−R3

2R2 ≤ ρ ≤ R1

−fmρ2

ρ > R1

. (A.2)

Si noti che, anche all’interno della corona potenziante, l’attrazione e sempre diretta versoil centro.

Il caso della attrazione dovuta ad una sfera piena e omogenea rientra nel caso appena studiatoove si ponga R2 = 0.

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FisicaMatematicaA - cdm.unimo.itcdm.unimo.it/home/matematica/sacchetti.andrea/FisicaMatematicaA.pdf · 1 Calcolo Vettoriale 1.1 Operazioni sui vettori 1.1.1 Vettori Nello spazio R3