Click here to load reader
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Ábrók Levente
Molekulák de Broglie hullámának terjedése
Fizika BSc szakdolgozat
Ábrók Levente az ELTE TTK Fizika BSc hallgatója
Témavezető: Kis Zsolt MTA Szilárdtestfizikai és Optikai Kutatóintézet
1121 Budapest, Konkoly-T. Miklós út 29-33.
Belső konzulens: Geszti Tamás ELTE TTK Fizikai Intézet
Komplex Rendszerek Fizikája Tsz.
Budapest, 2011 június
Tartalomjegyzék
1. Előszó 1
I. Bevezetés 3
2. A kvantum harmonikus oszcillátor 5
3. Egydimenziós rezgési módus 9
II. Saját eredmények 13
4. Kétatomos molekula Hamilton- operátorának diagonalizálása 15
5. Külső erőtérbe helyezett kétatomos molekula kvantuminterferenciája 21
6. Összefoglalás 27
3
1. fejezet
Előszó
Tekintsük a következő naív molekula modellt: két atom (lehet egyforma vagy különböző) kö- zött vonzó kölcsönhatás hat. Ezen kívül a molekulát alkotó atomok kölcsönhatnak külső térrel is. Az atomok megőrzik annyira a személyiségüket, hogy a rájuk ható külső erőt az egyes atomokhoz lehet rendelni. Feltesszük, hogy a külső erőknek meg lehet feleltetni potenciálfelületeket. Az egy- szerűség kedvéért minden potenciálfelület vonzó, parabola alakú. A rendszer Hamilton-operátora ilyen esetben:
Ĥ = p̂21 2m1
+ p̂22 2m2
+ 1
2 m1ω
2 1 q̂
2 1 +
1
2 m2ω
2 2 q̂
2 2 +
1
2 κ · (q̂1 − q̂2)2, (1.1)
aholmi és ωi a részecskék tömege és a rezgésük körfrekvenciája, valamint κ a két részecske között ható erőhöz rendelt rugóállandó. Vezessünk be tömegközépponti Q és relatív q koordinátákat a
Q̂ = m1q̂1 +m2q̂2 m1 +m2
, (1.2a)
q̂ = q̂1 − q̂2, (1.2b)
egyenletekkel. Az új változókkal az (1.1) Hamilton-operátor így írható:
Ĥ = P̂ 2
2M +
p̂2
2m +
1
2 MΩ2Q̂2 +
1
2 mω2q̂2 +m(ω21 − ω22)q̂Q̂, (1.3)
ahol az össztömeg M = m1 +m2, valamint a redukált tömeg m = m1 ·m2/M , továbbá
Ω2 = m1ω
2 1 +m2ω
2 2
M , (1.4a)
ω2 = m2ω
2 1 +m1ω
2 2
M +
1
m κ. (1.4b)
Az (1.3) egyenlet alapján látható, hogy a tömegközépponti és a relatív mozgások szétcsato- lódnak abban az esetben, ha ω1 = ω2. A dolgozatomban azzal az esettel foglalkozom, amikor a kétféle mozgás nem csatolódik szét, tehát ω1 6= ω2. Azt fogom vizsgálni, hogy a molekula belső dinamikája hogyan hat a tömegközépponti mozgásra, ezen belül, a molekula tömegközép- ponti mozgásához rendelt hullámcsomag interferencia képességére. A probléma megoldásához felhasználok koordinátageometriai ismereteket, illetve megoldom a kvantummechanika nyújtotta apparátussal is. Végül a kapott eredményekből felépítem a dinamikát.
1
2
I. rész
Bevezetés
3
2. fejezet
A kvantum harmonikus oszcillátor
A fizikában a 20. század és napjaink egyik legmeghatározóbb kutatási területe a kvantumme- chanika. Megszületése jelentős szemléletmód váltást hozott magával, alapjaiban változtatta meg fizikai képünket. Korábban határozott értékűnek gondolt mennyiségekről derült ki, hogy a mikro- világban csak valószínűségi eloszlásukkal jellemezhetők, melyet az úgynevezett hullámfüggvény ad meg [1, 2]. A mennyiségek várható értékeire jóslatokat tehetünk, melyek nem lehetnek akár- mekkorák, kötött rendszerekben csak diszkrét értékeket vesznek fel. A leírására használt matema- tikáról pedig kiderült, hogy nem kommutatív, szemben a korábbi fizikai elméletek jól megszokott gyakorlatától. Épp ezért nem kommutáló mennyiségek, Hermitikus operátorok felelnek meg a fi- zikai mennyiségeknek. A megfigyelhető értékeket pedig az operátorok sajátértékei adják. Ezek közül az egyik legfontosabb, és leggyakrabban emlegetett a Newton óta megkérdőjelezhetetlen pálya fogalmat alkotó mennyiségek, a kanonikus hely és impulzus. Az egymással kanonikusan konjugált mennyiségek a kvantummechanikában nem felcserélhetők, a hely és impulzus kommu- tátora [x̂, p̂] = x̂p̂− p̂x̂ = i~. A nem felcserélhetőség következménye, hogy ezen mennyiségek az új elméletben egyidejűleg nem adhatók meg pontosan, mindig van valamekkora bizonytalanságuk. Ezt felyezi ki a Heisenberg-féle határozatlansági reláció ∆x∆p ≥ i~.
A kvantummechanikában a legegyszerűbb, egzaktul megoldható probléma a harmonikus osz- cillátor, melyet sokszor más, bonyolultabb jelenségek közelítő leírására is felhasználnak. Épp ezért alapos vizsgálata, mélyebb megértése még évtizedek után is képes újat mutatni.
A kvantummechanikában lehetőségünk van mind mátrixokkal, mind differenciálegyenletekkel dolgozni. A sajátértékegyenlet megfogalmazása a következőképpen írható:
(
p̂2
2m + V (x̂)
)
Ψ = EΨ (2.1)
A Schrödinger-féle tárgyalásmód szerint hely-reprezentációban p̂ impulzusoperátornak megfelel
a ~
i
∂
∂x differenciál operátor, míg x̂-nek a sajátértékével, azaz x-szel történő szorzás (impulzus
reprezentációban épp fordítva, p̂→ p míg x̂→ −~ i
∂
∂p ). A harmonikus oszcillátor esetében V (x̂)
pedig az x̂ operátor kvadratikus függvénye. Mindezeket beírva a sajátérték egyenletbe, a következő differenciálegyenletet kapjuk:
− ~ 2
2m
∂2Ψ(x)
∂x2 + mω2
2 x2Ψ(x) = EΨ(x).
Kicsit átrendezve: ∂2Ψ(x)
∂x2 +
2m
~2
(
E − 1 2 mω2x2
)
Ψ(x) = 0.
5
6
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
Ψ (x
)
Ψ 0
Ψ 1
Ψ 2
Ψ 3
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
|Ψ |2
|Ψ 0 |2
|Ψ 1 |2
|Ψ 2 |2
|Ψ 3 |2
2.1. ábra. A harmonikus oszcillátor néhány sajátállapotának hullámfüggvénye, illetve az ebből származó valószínűségeloszlás.
Ebből már jól látszik, hogy másodrendű differenciálegyenlettel van dolgunk, melyben m az osz- cilláló részecske tömege, míg ω a rezgés frekvenciája. Megköveteljük, hogy a megoldás reguláris,
azaz normálható legyen. A megoldást a k = 2E
~ω és a ζ =
√
mω
~ x =
x
∆ζ változócsere után
u(ζ) exp (
−ζ2/2 )
próbafüggvény alakban keressük:
∂2u
∂ζ2 − 2ζ ∂u
∂ζ + (k − 1)u = 0.
Az u(ζ) függvényt polinom-alakban keresük. A polinom együtthatóira egy rekurziós összefüg- gést kapunk. Az Hermite-polinomok elégítik ki a fenti egyenletet; az általános megoldások pe- dig a Ψn(x) = CnHn(x/∆x) exp(−x2/2∆x2) alakú függvények, ahol Cn normalizálási kons- tans, Hn az n-edik Hermite-polinom. Belátható, hogy Cn =
1 √√
π2nn!
1√ ∆x
, így ortonormált
sajátfüggvény-rendszert kapunk. Ezek után mindegyik energiaszinthez tartozó sajátállapotot fel tudjuk írni, tudunk fizikailag mérhető mennyiségeket számolni (várható érték, szórás).
A kvantummechanika Heisenberg-féle leírásában mátrixokat használunk az egyes operátorok megadására (mátrix mechanika). Heisenberg-féle megfogalmazásban egy absztrakt vektortéren (Hilbert-tér) értelmezzük az operátorokat, és ezeket használjuk a számoláshoz. Ez formailag gyak-
fejezet 2. A kvantum harmonikus oszcillátor 7
ran könnyebben kezelhető a Scrödinger-féle hullámfüggvényes leírásnál, különösen a Dirac-féle jelölési rendszert használva.
Az operátoros formalizmus a harmonikus oszcillátor kvantummechanikai leírásában jóval egy- szerűbb egyenleteket eredményez a sajátérték probléma megoldására, mint a Scrödinger-féle hul- lámfüggvényes leírás. Vezessük be a következő dimenziótlan mennyiségeket ρ̂ = p̂/
√ ~mω és
ξ̂ = x̂ √
mω/~. A Hamilton operátor ezekkel kifejezve:
Ĥ = p̂2 +m2ω2x̂2
2m =
~ω
2
(
ρ̂2 + ξ̂2 )
(2.2)
Paul Dirac ötlete nyomán írjuk fel most ezt egy nem kommutáló szorzat szimmetrikus formájában:
Ĥ = ~ω
4 (ξ̂ + iρ̂)(ξ̂ − iρ̂) + (ξ̂ − iρ̂)(ξ̂ + iρ̂). (2.3)
Most bevezetjük a keltő- és eltüntető operátorokat ↠= ξ̂ + iρ̂
2 és â =
ξ̂ − iρ̂ 2
alakban. Behelyet-
tesítve a ρ̂ és ξ̂ alakját új operátorainkra a következő kommutációs reléciót kapjuk:
[â, â†] = 1. (2.4)
Ezt felhasználva sikerül a Hamilton-operátort a következő egyszerű alakra hozni:
Ĥ = ~ω
(
â†â+ 1
2
)
= ~ω
(
N̂ + 1
2
)
, N̂ = â†â. (2.5)
Az N̂ operátor n sajátértékei csak nemnegatívak lehetnek, mivel
〈Ψ|N̂ |Ψ〉 = 〈Ψ|â†â|Ψ〉 = |âΨ|