Ábrók Levente

Molekulák de Broglie hullámának terjedése

Fizika BSc szakdolgozat

Ábrók Leventeaz ELTE TTK Fizika BSc hallgatója

Témavezeto: Kis ZsoltMTA Szilárdtestfizikai és Optikai Kutatóintézet

1121 Budapest, Konkoly-T. Miklós út 29-33.

Belso konzulens: Geszti TamásELTE TTK Fizikai Intézet

Komplex Rendszerek Fizikája Tsz.

Budapest, 2011 június

Tartalomjegyzék

1. Eloszó 1

I. Bevezetés 3

2. A kvantum harmonikus oszcillátor 5

3. Egydimenziós rezgési módus 9

II. Saját eredmények 13

4. Kétatomos molekula Hamilton- operátorának diagonalizálása 15

5. Külso erotérbe helyezett kétatomos molekula kvantuminterferenciája 21

6. Összefoglalás 27

3

1. fejezet

Eloszó

Tekintsük a következo naív molekula modellt: két atom (lehet egyforma vagy különbözo) kö-zött vonzó kölcsönhatás hat. Ezen kívül a molekulát alkotó atomok kölcsönhatnak külso térrel is.Az atomok megorzik annyira a személyiségüket, hogy a rájuk ható külso erot az egyes atomokhozlehet rendelni. Feltesszük, hogy a külso eroknek meg lehet feleltetni potenciálfelületeket. Az egy-szeruség kedvéért minden potenciálfelület vonzó, parabola alakú. A rendszer Hamilton-operátorailyen esetben:

H =p212m1

+p222m2

+1

2m1ω

21 q

21 +

1

2m2ω

22 q

22 +

1

2κ · (q1 − q2)

2, (1.1)

aholmi ésωi a részecskék tömege és a rezgésük körfrekvenciája, valamint κ a két részecske közöttható erohöz rendelt rugóállandó. Vezessünk be tömegközéppontiQ és relatívq koordinátákat a

Q =m1q1 +m2q2m1 +m2

, (1.2a)

q = q1 − q2, (1.2b)

egyenletekkel. Az új változókkal az (1.1) Hamilton-operátor így írható:

H =P 2

2M+

p2

2m+

1

2MΩ2Q2 +

1

2mω2q2 +m(ω2

1 − ω22)qQ, (1.3)

ahol az össztömegM = m1 +m2, valamint a redukált tömegm = m1 ·m2/M , továbbá

Ω2 =m1ω

21 +m2ω

22

M, (1.4a)

ω2 =m2ω

21 +m1ω

22

M+

1

mκ. (1.4b)

Az (1.3) egyenlet alapján látható, hogy a tömegközépponti és a relatív mozgások szétcsato-lódnak abban az esetben, haω1 = ω2. A dolgozatomban azzal az esettel foglalkozom, amikora kétféle mozgás nem csatolódik szét, tehátω1 6= ω2. Azt fogom vizsgálni, hogy a molekulabelso dinamikája hogyan hat a tömegközépponti mozgásra, ezen belül, a molekula tömegközép-ponti mozgásához rendelt hullámcsomag interferencia képességére. A probléma megoldásáhozfelhasználok koordinátageometriai ismereteket, illetvemegoldom a kvantummechanika nyújtottaapparátussal is. Végül a kapott eredményekbol felépítem a dinamikát.

1

2

I. rész

Bevezetés

3

2. fejezet

A kvantum harmonikus oszcillátor

A fizikában a 20. század és napjaink egyik legmeghatározóbb kutatási területe a kvantumme-chanika. Megszületése jelentos szemléletmód váltást hozott magával, alapjaiban változtatta megfizikai képünket. Korábban határozott értékunek gondolt mennyiségekrol derült ki, hogy a mikro-világban csak valószínuségi eloszlásukkal jellemezhetok, melyet az úgynevezett hullámfüggvényad meg [1, 2]. A mennyiségek várható értékeire jóslatokat tehetünk, melyek nem lehetnek akár-mekkorák, kötött rendszerekben csak diszkrét értékeket vesznek fel. A leírására használt matema-tikáról pedig kiderült, hogy nem kommutatív, szemben a korábbi fizikai elméletek jól megszokottgyakorlatától. Épp ezért nem kommutáló mennyiségek, Hermitikus operátorok felelnek meg a fi-zikai mennyiségeknek. A megfigyelheto értékeket pedig az operátorok sajátértékei adják. Ezekközül az egyik legfontosabb, és leggyakrabban emlegetett aNewton óta megkérdojelezhetetlenpálya fogalmat alkotó mennyiségek, a kanonikus hely és impulzus. Az egymással kanonikusankonjugált mennyiségek a kvantummechanikában nem felcserélhetok, a hely és impulzus kommu-tátora[x, p] = xp− px = i~. A nem felcserélhetoség következménye, hogy ezen mennyiségek azúj elméletbenegyidejulegnem adhatók meg pontosan, mindig van valamekkora bizonytalanságuk.Ezt felyezi ki a Heisenberg-féle határozatlansági reláció∆x∆p ≥ i~.

A kvantummechanikában a legegyszerubb, egzaktul megoldható probléma a harmonikus osz-cillátor, melyet sokszor más, bonyolultabb jelenségek közelíto leírására is felhasználnak. Épp ezértalapos vizsgálata, mélyebb megértése még évtizedek után isképes újat mutatni.

A kvantummechanikában lehetoségünk van mind mátrixokkal, mind differenciálegyenletekkeldolgozni. A sajátértékegyenlet megfogalmazása a következoképpen írható:

(

p2

2m+ V (x)

)

Ψ = EΨ (2.1)

A Schrödinger-féle tárgyalásmód szerint hely-reprezentációban p impulzusoperátornak megfelel

a~

i

∂

∂xdifferenciál operátor, mígx-nek a sajátértékével, azazx-szel történo szorzás (impulzus

reprezentációban épp fordítva,p→ p míg x→ −~

i

∂

∂p). A harmonikus oszcillátor esetébenV (x)

pedig azx operátor kvadratikus függvénye. Mindezeket beírva a sajátérték egyenletbe, a következodifferenciálegyenletet kapjuk:

− ~2

2m

∂2Ψ(x)

∂x2+mω2

2x2Ψ(x) = EΨ(x).

Kicsit átrendezve:∂2Ψ(x)

∂x2+

2m

~2

(

E − 1

2mω2x2

)

Ψ(x) = 0.

5

6

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

Ψ(x

)

Ψ0

Ψ1

Ψ2

Ψ3

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

|Ψ|2

|Ψ0|2

|Ψ1|2

|Ψ2|2

|Ψ3|2

2.1. ábra. A harmonikus oszcillátor néhány sajátállapotának hullámfüggvénye, illetve az ebbolszármazó valószínuségeloszlás.

Ebbol már jól látszik, hogy másodrendu differenciálegyenlettel van dolgunk, melybenm az osz-cilláló részecske tömege, mígω a rezgés frekvenciája. Megköveteljük, hogy a megoldás reguláris,

azaz normálható legyen. A megoldást ak =2E

~ωés aζ =

√

mω

~x =

x

∆ζváltozócsere után

u(ζ) exp(

−ζ2/2)

próbafüggvény alakban keressük:

∂2u

∂ζ2− 2ζ

∂u

∂ζ+ (k − 1)u = 0.

Az u(ζ) függvényt polinom-alakban keresük. A polinom együtthatóira egy rekurziós összefüg-gést kapunk. Az Hermite-polinomok elégítik ki a fenti egyenletet; az általános megoldások pe-dig aΨn(x) = CnHn(x/∆x) exp(−x2/2∆x2) alakú függvények, aholCn normalizálási kons-

tans,Hn az n-edik Hermite-polinom. Belátható, hogyCn =1

√√π2nn!

1√∆x

, így ortonormált

sajátfüggvény-rendszert kapunk. Ezek után mindegyik energiaszinthez tartozó sajátállapotot feltudjuk írni, tudunk fizikailag mérheto mennyiségeket számolni (várható érték, szórás).

A kvantummechanika Heisenberg-féle leírásában mátrixokat használunk az egyes operátorokmegadására (mátrix mechanika). Heisenberg-féle megfogalmazásban egy absztrakt vektortéren(Hilbert-tér) értelmezzük az operátorokat, és ezeket használjuk a számoláshoz. Ez formailag gyak-

fejezet 2. A kvantum harmonikus oszcillátor 7

ran könnyebben kezelheto a Scrödinger-féle hullámfüggvényes leírásnál, különösen a Dirac-félejelölési rendszert használva.

Az operátoros formalizmus a harmonikus oszcillátor kvantummechanikai leírásában jóval egy-szerubb egyenleteket eredményez a sajátérték probléma megoldására, mint a Scrödinger-féle hul-lámfüggvényes leírás. Vezessük be a következo dimenziótlan mennyiségeketρ = p/

√~mω és

ξ = x√

mω/~. A Hamilton operátor ezekkel kifejezve:

H =p2 +m2ω2x2

2m=

~ω

2

(

ρ2 + ξ2)

(2.2)

Paul Dirac ötlete nyomán írjuk fel most ezt egy nem kommutálószorzat szimmetrikus formájában:

H =~ω

4(ξ + iρ)(ξ − iρ) + (ξ − iρ)(ξ + iρ). (2.3)

Most bevezetjük a kelto- és eltünteto operátorokata† =ξ + iρ

2ésa =

ξ − iρ

2alakban. Behelyet-

tesítve aρ ésξ alakját új operátorainkra a következo kommutációs reléciót kapjuk:

[a, a†] = 1. (2.4)

Ezt felhasználva sikerül a Hamilton-operátort a következo egyszeru alakra hozni:

H = ~ω

(

a†a+1

2

)

= ~ω

(

N +1

2

)

, N = a†a. (2.5)

Az N operátorn sajátértékei csak nemnegatívak lehetnek, mivel

〈Ψ|N |Ψ〉 = 〈Ψ|a†a|Ψ〉 = |aΨ|2 ≥ 0 (2.6)

Tegyük fel, hogy|ψ〉 sajátállapotaN -nek. Vizsgáljuk meg, hogyan hata†|ψ〉-re.

N a†|ψ〉 = a†N |ψ〉+ a†|ψ〉 = (n+ 1)a†|ψ〉, (2.7)

ahol felhasználtuk, hogy[N , a†] = a† kommutációs összefüggést.Hasonlóan felírva a (2.7) összefüggést aa|ψ〉 állapotra (n − 1) sajátértéket kapunk. Ebbol

látható az is, hogy a bevezetetta, a† operátorokN sajátállapotait léptetik lefele vagy felfele egye-sével. Mivel már beláttuk, hogy a sajátérték nemnegatív, így a legalsó állapotbana|ψ0〉 = 0.

A harmonikus oszcillátor Hilbert-terén bevezetett kelto- és eltünteto operátorok segítségével azegyes energia-sajátállapotok között tudunk kapcsolatot létesíteni egyszeru relációk felhasználásá-val; így elegendo legvégül áttérnünk a szemléletesebb Schrödinger-képbeli hullámfüggvényekre.

8

3. fejezet

Egydimenziós rezgési módus

Egyszeru rezgo rendszereket tekinthetünk oszcillátoroknak, és alkalmazhatjuk rájuk az elobbvázolt ismereteket. Atomok, molekulák rezgéseit vizsgálva azt tapasztaljuk, hogy külso tér hatá-sára, gerjesztésre a molekula az egyensúlyi távolság, a rezgési frekvencia, vagy akár mindkettomegváltozásával reagál. Ez a hirtelen bekövetkezo változás leírható egy, a koordinátákra alkal-mazott lineáris transzformációval, amely megfelel egy unitér transzformációnak a Hilbert-téren.Ennek leírását mutatom be a következokben.

Tekintsük egy kétatomos molekula rezgési módusát. Az alapállapothoz (a rezgési Hamilton-operátorH) és gerjesztett állapothoz (a rezgési Hamilton-operátorH) különbözo rezgési potenci-álok tartoznak a magok relatív mozgására nézve:

H =p2

2M+

1

2MΩ2 (q + d)2, (3.1a)

H =p2

2M+

1

2MΩ′2 q2. (3.1b)

Az egyenletekbol látható, hogy a két potenciálfelület minimumad távolsággal el van tolódva és arezgési frekvenciák is különbözoek. Ugyanakkor mind aH, mind aH operátorok ugyan azon azállapottéren hatnak. A könnyu kezelhetoség érdekében a Hamilton-operátorokat egy bozon kelto-és eltünteto operátor-párral akarjuk kifejezni. Célszeru aH oszcillátor kelto és eltünteto operáto-rait választani, mivel az már eleve diagonális. Aq és p operátorokat aH harmonikus oszcillátorkelto és eltünteto operátoraival fejezzük ki:

q=

[

~

2MΩ′

]1/2

(a† + a), p= i

[

~MΩ′

2

]1/2

(a† − a). (3.2)

Helyettesítsük be ezeket az operátorokat a (3.1) egyenletekbe:

H = ~Ω

1

4

[

Ω

Ω′+

Ω′

Ω

]

(a†a+ aa†) +1

4

[

Ω

Ω′− Ω′

Ω

]

(a†a† + aa)

+~Ω2d

Ω′

[

MΩ′

2~

]1/2

(a† + a) +1

2MΩ2d2, (3.3a)

H =1

2~Ω′(a†a+ aa†). (3.3b)

A továbbiakban az a célunk, hogy megkeressük azt a transzformációt, amely diagonalizálja

9

10

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

Ψ(x

)

Ψ0

Ψ1

U

U’Ψ

0’

Ψ1’

3.1. ábra. Két harmonikus potenciál két különbözo sajtáfüggvény rendszert eredményez. Az egyika másikkal kifejezheto.

a (3.3a) Hamilton-operátort. Ennek érdekében tekintsük a következo próba transzformációt:

Σ = D(d)S(λ), (3.4a)

D(d) = exp

[

(

mΩ

2~

)1/2

(a† − a)d

]

, (3.4b)

S(λ) = exp

[

1

2λ(a2 − a†2)

]

. (3.4c)

Itt D(d) a koherens eltolás operátor,S(λ) pedig a squeezing operátor [3, 4]. A fenti operátorokhatását egy tetszoleges operátorra a következo általános képlettel lehet meghatározni:

eB A e−B = A+ [B, A] +1

2!

[

B, [B, A]]

+1

3!

[

B,[

B, [B, A]]

]

+ . . . . (3.5)

Ez alapján kapjuk:

b1 = D†(d) a D(d) = a+

(

mΩ

2~

)1/2

d, (3.6a)

b2 = S†(λ) a S(d) = a cosh(λ)− a† sinh(λ). (3.6b)

A transzformációk fontos tulajdonsága, hogy bozon operátorokat bozon operátorrá transzformál-nak, hiszen

[b1, b†1] = 1, [b2, b

†2] = 1. (3.7)

Alkalmazzuk a (3.4a) egyenletben definiáltΣ transzformációt a következo H ′ operátorra

H =~Ω

2(aa† + a†a). (3.8)

fejezet 3. Egydimenziós rezgési módus 11

A transzformáció során a fobb lépések:

Σ†H ′Σ = S†(λ)

[

~Ω

2(aa† + a†a) + ~Ω

(

2mΩ

~

)1/2

d(a† + a) +1

2mΩ2d2

]

S(λ)

=~Ω

2

[

(u2 + v2)(aa† + a†a†)− 2uv(

a2 + (a†)2)]

+ ~Ω

(

2mΩ

~

)1/2

d(u− v)(a + a†) +1

2mΩ2d2, (3.9)

ahol bevezettük au = cosh(λ) ésv = sinh(λ) jelöléseket. Összevetve a (3.9) és a (3.3a) egyenle-teket azt találjuku ésv paraméterekre, hogy

u− v =

√

Ω

Ω′,

1

2(u2 + v2) =

1

4

(

Ω

Ω′+

Ω′

Ω

)

. (3.10)

Az egyenleteket megoldva kapjuk

u =1

2

(√

Ω′

Ω+

√

Ω

Ω′

)

, v =1

2

(√

Ω′

Ω−√

Ω

Ω′

)

. (3.11)

Hau ásv definícióját összehasonlítjuk az elobbi egyenletekkel a squeezing operátor paramétere

λ = ln

√

Ω′

Ω. (3.12)

A fentiek alapján beláttuk, hogy a (3.3a) Hamilton operátordiagonalizálható a (3.4a) unitér ope-rátorral, azaz

H ′ = ΣHΣ†. (3.13)

A diagonálisH ′ Hamilton-operátort a (3.3b) egyenletben definiált gerjesztett állapoti Hamilton-operátor kelto és eltünteto operátoraival fejeztük ki.

Ugyanezen számolást elvégezhetjük más módon is. Egy koordinátatranszformáció segítségé-vel megoldhatjuk a problémát anélkül, hogy kvantummechanikai rendszerként kezelnénk. Ez eb-ben az esetben egyrészt egyszerubb számolást tesz lehetové, másrészt ellenorizhetjük az elobbkapott eredmények helyességét. Ehhez elegendo egy egyszeru eltolást alkalmazni a koordinátára.

12

II. rész

Saját eredmények

13

4. fejezet

Kétatomos molekula Hamilton-operátorának diagonalizálása

Tekintsük az (1.3) Hamilton-operátorral megadott kétatomos molekulát külso térben. A po-tenciális energia két kvadratikus potenciál és egy csatolótag összege. Vezessük be a következojelöléseket:

Q =√MQ, P = P /

√M, q =

√mq, p = p/

√m. (4.1)

Az új változókban az (1.3) Hamilton-operátor így írható:

H =1

2P 2 +

1

2p2 +

1

2

[

Ω2Q2 + 2

√

m

M(ω2

1 − ω22)qQ+ ω2q2

]

. (4.2)

A potenciális energia tag diagonalizálásával új normál módusokat vezetünk be, melyben a (4.2)operátor két független harmonikus oszcillátor Hamilton-operátorának összegeként áll elo [5, 6].Ezen transzformáció végrehajtásához bevezetünk egy forgatást, mely a csatolt és a diagonalizáltHamilton operátor koordinátáit kapcsolja össze:Uq′ = q. Az ortogonális transzformáció mátrixa

U =

[

cos(χ) − sinχsin(χ) cosχ

]

, (4.3)

ahol

cosχ =1√2

(

1 +Ω2 − ω2

u

)1/2

, sinχ =

√

2m

M

ω21 − ω2

2

u

(

1 +Ω2 − ω2

u

)1/2(4.4a)

u =[

(

Ω2 − ω2)2

+ 4m

M

(

ω21 − ω2

2

)2]1/2

(4.4b)

értékeket könnyen megkapjuk a frekvenciákat rögzíto mátrix diagonalizálásával.

K′ = UKU

T , K =1

2

Ω2

√

m

M(ω2

1 − ω22)

√

m

M(ω2

1 − ω22) ω2

, (4.5)

K′ a diagonális mátrix; ehhez olyan szögu forgatás kell, melyreK

′(1, 2) = K′(2, 1) = 0.

Az elforgatott koordináta-rendszerben az új hely-operátorok[

q′1q′2

]

= UT

[

Qq

]

=

[

cos(χ)Q+ sin(χ)q

− sin(χ)Q+ cos(χ)q

]

. (4.6)

15

16

A (4.2) Hamilton-operátor új alakja aq′1, q′2 normál módusokkal kifejezve

H =1

2p′21 +

1

2p′22 +

1

2

[

ω′21 q

′21 + ω′2

2 q′22

]

. (4.7)

Itt bevezettük az újω′i sajátfrekvenciákat

ω′21 =

1

2(Ω2 + ω2 + u), ω′2

2 =1

2(Ω2 + ω2 − u). (4.8)

Ugyanezen transzformáció elvégezheto a bozonkelto operátorok szintjén is. Mivel kétatomosrendszerünk van, jelöljea,a† a tömegközéppont koordinátájához rendelt operátorokat, míg b ésb† a relatív koordinátákhoz rendelt operátorokat a (4.7) egyenletben definiáltH rendszerében.

q′1=

[

~

2ω′1

]1/2

(a† + a), p′1= i

[

~ω′1

2

]1/2

(a† − a), (4.9a)

q′2=

[

~

2ω′2

]1/2

(b† + b), p′2= i

[

~ω′2

2

]1/2

(b† − b). (4.9b)

A tömeget már kitranszformáltuk korábban egy átkoordinátázással, ezért nem szerepel a fentebbialakokban. Ezeket felhasználvaH ilyen alakban áll elo:

H = −~ω′1

4(a† − a)2 − ~ω′

2

4(b† − b)2 +

~ω′1

4(a+ a†)2 +

~ω′2

4(b+ b†)2 (4.10)

Továbbá a (4.2) egyenletet ugyanezen operátorokkal felírva és összevonva az egyes tagokat a kö-vetkezot kapjuk:

~

4Ω

(

Ω

ω′1

− ω′1

Ω

)

(

a2 + a†2)

+~

4ω

(

ω

ω′2

− ω′2

ω

)

(

b2 + b†2)

+~

4Ω

(

Ω

ω′1

+ω′1

Ω

)

(

aa† + a†a)

+~

4ω

(

ω

ω′2

+ω′2

ω

)

(

bb† + b†b)

+~

2

√

m

M

(

ω21 − ω2

2

)

(

1√

ω′1ω

′2

)

(

a+ a†)(

b+ b†)

. (4.11)

A korábban már tárgyalt squeezing operátor módosul, mind a két koordinátához rendelt operátorokmegjelennek benne. Továbbá vezessük be a forgatás operátorát is. Ezen operátorokból építsünk felegy újΣ operátort, mellyel majdH-n végzünk unitér transzformációt:

S(λa, λb) = exp

[

1

2λa(a

2 − a†2)

]

exp

[

1

2λb(b

2 − b†2)

]

(4.12a)

R(χ) = exp[

χ(a†b− ab†)]

(4.12b)

Σ = S(λ1, λ2)R(χ)S(λ′1, λ

′2) (4.12c)

Most pedig végezzük el aΣ†HΣ transzformációt. Ennek kiszámításához érdemes ismét megadni,hogy az egyes bozonikus operátorokra miként hat. Felhasználva (3.5) összefüggést:

Σ†aΣ = cosχ(a cosh(λ1 − λ′1)− a† sinh(λ1 − λ′1))

+ sinχ(b cosh(λ1 − λ′2)− b† sinh(λ1 − λ′2)) (4.13a)

Σ†bΣ = cosχ(b cosh(λ2 − λ′2)− b† sinh(λ2 − λ′2))

− sinχ(a cosh(λ2 − λ′1)− a† sinh(λ2 − λ′1)) (4.13b)

fejezet 4. Kétatomos molekula Hamilton- operátorának diagonalizálása 17

A transzformációból következik, hogya† ésb† transzformáltja rendre (4.13a) és (4.13b) adjun-gálásával megkapható. Továbbá belátható az is, hogy ezen újoperátorokra is teljesül a bozonikusoperátorok kommutációs relációja (3.7).H operátorokkal történo felírásakor szándékosan nemvégeztem el a négyzetre emelést és az összevonást, mivel sokkal egyszerubb alakot kapunk, haaz operátorok és adjungáltjaik különbségét, illetve összegét transzformáljuk. A linearitás miatt ezmegegyezik az egyes operátorok transzformáltjainak különbségével, összegével.

Σ†(a† − a)Σ = cosχ(a† − a)(cosh(λ1 − λ′1) + sinh(λ1 − λ′1))

+ sinχ(b† − b)(cosh(λ1 − λ′2) + sinh(λ1 − λ′2)), (4.14a)

Σ†(a+ a†)Σ = cosχ(a+ a†)(cosh(λ1 − λ′1)− sinh(λ1 − λ′1))

+ sinχ(b+ b†)(cosh(λ1 − λ′2)− sinh(λ1 − λ′2)), (4.14b)

Σ†(b† − b)Σ = cosχ(b† − b)(cosh(λ2 − λ′2) + sinh(λ2 − λ′2))

− sinχ(a† − a)(cosh(λ2 − λ′1) + sinh(λ2 − λ′1)), (4.14c)

Σ†(b+ b†)Σ = cosχ(b+ b†)(cosh(λ2 − λ′2)− sinh(λ2 − λ′2))

− sinχ(a+ a†)(cosh(λ2 − λ′1)− sinh(λ2 − λ′1)) (4.14d)

Vegyük észre, hogy az egyes tagokban szereplo cosh()-ok éssinh()-ok összegei, különbségeifelírhatókexp(±...) alakban, ezzel nagyon leegyszerusödnek az egyenletek:

Σ†(a† − a)Σ = cosχ(a† − a)2 exp(λ1 − λ′1) + sinχ(b† − b)2 exp(λ1 − λ′2), (4.15a)

Σ†(a+ a†)Σ = cosχ(a+ a†)2 exp−(λ1 − λ′1) + sinχ(b+ b†)2 exp−(λ1 − λ′2),

(4.15b)

Σ†(b† − b)Σ = cosχ(b† − b)2 exp(λ2 − λ′2)− sinχ(a† − a)2 exp(λ2 − λ′1), (4.15c)

Σ†(b+ b†)Σ = cosχ(b+ b†)2 exp−(λ2 − λ′2)− sinχ(a+ a†)2 exp−(λ2 − λ′1)

(4.15d)

Természetesen az operátorok négyzetei is követik a transzformációt, ígyH transzformáltja a kö-vetkezo alakban áll elo:

Σ†HΣ = −~ω′1

4

[

(a† − a)2 cos2 χ exp(2λ1 − 2λ′1) + (b† − b)2 sin2 χ exp(2λ1 − 2λ′2)

+ 2(a† − a)(b† − b) sinχ cosχ exp(λ1 − λ′1) exp(λ1 − λ′2)]

− ~ω′2

4

[

(b† − b)2 cos2 χ exp(2λ2 − 2λ′2) + (a† − a)2 sin2 χ exp(2λ2 − 2λ′1)

− 2(a† − a)(b† − b) sinχ cosχ exp(λ2 − λ′2) exp(λ2 − λ′1)]

+~ω′

1

4

[

(a+ a†)2 cos2 χ exp[−(2λ1 − 2λ′1)] + (b+ b†)2 sin2 χ exp[−(2λ1 − 2λ′2)]

− 2(a+ a†)(b+ b†) sinχ cosχ exp[−(λ1 − λ′1)] exp[−(λ1 − λ′2)]]

+~ω′

2

4

[

(b+ b†)2 cos2 χ exp[−(2λ2 − 2λ′2] + (a+ a†)2 sin2 χ exp[−(2λ2 − 2λ′1)]

− 2(a+ a†)(b+ b†) sinχ cosχ exp[−(λ2 − λ′2)] exp[−(λ2 − λ′1)]]

(4.16)

18

A (4.16) egyenlet kifejtésének meg kell egyeznie a (4.11) egyenlettel. Ha ez teljesül, megtalál-tuk a keresett unitér transzformációt. Ehhez vizsgáljuk meg az egyes operátorok szorzófaktorait,ezeknek kell megegyezniük mindkét egyenletben. A paramétereink,χ, λi ésλ′i értékeit így vissza-vezetjük az eredeti Hamilton-operátorban szereplo paraméterekre, vagyis a külso potenciálok (a

kialakuló frekvenciák) és az atomok közötti vonzó kölcsönhatás paramétereire. Célszeru~

4-et ki-

emelni minden tagból.

aa† ⇒ Ω(Ω

ω′1

+ω′1

Ω) = ω′

1 cos2 χ[exp(2(λ1 − λ′1)) + exp(−2(λ1 − λ′1))]

+ ω′2 sin

2 χ[exp(2(λ2 − λ′1)) + exp(−2(λ2 − λ′1))] (4.17a)

a2 ⇒ Ω(Ω

ω′1

− ω′1

Ω) = ω′

1 cos2 χ[exp(−2(λ1 − λ′1))− exp(2(λ1 − λ′1))]

ω′2 + sin2 χ[exp(−2(λ2 − λ′1))− exp(2(λ2 − λ′1))] (4.17b)

bb† ⇒ ω(ω

ω′2

+ω′2

ω) = ω′

1 sin2 χ[exp(2(λ1 − λ′2)) + exp(−2(λ1 − λ′2))]

+ ω′2 cos

2 χ[exp(2(λ2 − λ′2)) + exp(−2(λ2 − λ′2))] (4.17c)

b2 ⇒ ω(ω

ω′2

− ω′2

ω) = ω′

1 sin2 χ[exp(−2(λ1 − λ′2))− exp(2(λ1 − λ′2))]

+ ω′2 cos

2 χ[exp(−2(λ2 − λ′2))− exp(2(λ2 − λ′2))] (4.17d)

ab† ⇒ 2

√

m

M(ω2

1 − ω22)

1√

ω′1ω

′2

= 2ω′1 sinχ cosχ[exp(−(2λ1 − λ′1 − λ′2)) + exp(2λ1 − λ′1 − λ′2)]

− 2ω′2 sinχ cosχ[exp(−(2λ2 − λ′1 − λ′2)) + exp(2λ2 − λ′1 − λ′2)] (4.17e)

ab⇒ 2

√

m

M(ω2

1 − ω22)

1√

ω′1ω

′2

= 2ω′1 sinχ cosχ[exp(−(2λ1 − λ′1 − λ′2))− exp(2λ1 − λ′1 − λ′2)]

− 2ω′2 sinχ cosχ[exp(−(2λ2 − λ′1 − λ′2))− exp(2λ2 − λ′1 − λ′2)] (4.17f)

Most a következo lépéseket végezzük el: (4.17a)-(4.17b), (4.17c)-(4.17d), (4.17e)-(4.17f) egyen-letpárokat összeadjuk, illetve kivonjuk egymásból; majd pedig egyszerusítünk. A kapott egyenle-tek sorrendje megegyezik a megoldás gondolatmenetével.

ω′1 sinχ cosχ exp(2λ1 − λ′1 − λ′2)− ω′

2 sinχ cosχ exp(2λ2 − λ′1 − λ′2) = 0 (4.18a)

cos2 χ exp(−2(λ′1)) + sin2 χ exp(−2(λ′1)) = ω′1 (4.18b)

sin2 χ exp(−2(λ′2)) + cos2 χ exp(−2(λ′2)) = ω′2 (4.18c)

ω′1

ω′1

ω′1

cos2 χ+ ω′2

ω′2

ω′1

sin2 χ =Ω2

ω′1

(4.18d)

ω′2

ω′2

ω′2

cos2 χ+ ω′1

ω′1

ω′2

sin2 χ =ω2

ω′2

(4.18e)

sinχ cosχω′21 − ω′2

2√

ω′1ω

′2

=

√

m

M

ω21 − ω2

2√

ω′1ω

′2

(4.18f)

A (4.18a) egyenletbol a diagonális frekvenciák arányát kapjuk az exponenciálisok függvényében.

Ezt logaritmizálvaλ1 = −1

2lnω′

1 ésλ2 = −1

2lnω′

2 eredményre jutunk. Az is látható, hogy

fejezet 4. Kétatomos molekula Hamilton- operátorának diagonalizálása 19

az arányt nem befolyásolja, ha a frekvenciákat azonos konstanssal szorzom meg, viszont aλ-kígy változnának. A vizsgált probléma nem feltételez semmilyen extra paramétert, melyet ide beír-hatnánk, így ettol joggal eltekinthetünk. A (4.18b) és a (4.18c) egyenletekben már felhasználtam

ezeket, így aλ′1 = −1

2lnω′

1 ésλ′2 = −1

2lnω′

2 paraméterekhez jutok a jól ismert szögfüggvény

azonossággal. A két egyenlet bal oldalán csak látszólag tunik el a dimenzió, valójában csak amennyiség számértékével osztottunk. Mindezeket felhasználva megtaláljuk a kapcsolatot az ere-deti és az elforgatott rendszerbeli frekvenciák között, majd végül ezt felhasználva a forgatás szögétis megkapjuk. Egy egyszerubb mennyiség, pl.cos2 χ összehasonlításával látjuk, hogy ez megegye-zik a korábban kapott eredménnyel. Az eredményeimet az alábbi egyenletek foglalják össze:

Ω2 = ω′21 cos2 χ+ ω′2

2 sin2 χ (4.19a)

ω2 = ω′21 sin2 χ+ ω′2

2 cos2 χ (4.19b)√

m

M

ω21 − ω2

2

ω′21 − ω′2

2

= sinχ cosχ (4.19c)

A (4.19a) és (4.19b) egyenletekbol kiderül, hogyω′21 − ω′2

2 =Ω2 − ω2

cos2 χ− sin2 χés így

√

m

M

ω21 − ω2

2

Ω2 − ω2(cos2 χ− sin2 χ) = sinχ cosχ (4.20)

adódik.Négyzetre emelés után egy másodfokú egyenletet kapunkcos2 χ-re, pont erre vagyunk kíváncsiak.Ennek megoldásai:

cos2 χ± =1

2

1±

√

1− 4l2

4l2 + 1

(4.21)

ahol

l2 =m

M

(ω21 − ω2

2)2

(Ω2 − ω2)2. (4.22)

Fejtsük ki acos2 χ+ megoldást:

cos2 χ+ =1

2

1 +(Ω2 − ω2)

√

(Ω2 − ω2)2 + 4m

M(ω2

1 − ω22)

2

. (4.23)

Hasonlítsuk össze ezt a kifejezést a (4.4a) egyenletben felírt összefüggéssel:

cos2 χ =1

2

(

1 +Ω2 − ω2

u

)

=1

2

1 +

Ω2 − ω2

[

(Ω2 − ω2)2 + 4m

M

(

ω21 − ω2

2

)2]1/2

(4.24)

Tehát a kétféle megoldás ugyanarra az eredményre vezet.

20

5. fejezet

Külso erotérbe helyezett kétatomosmolekula kvantuminterferenciája

Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk, hogy külso erotérben mozgó kétatomos molekula tömegkö-zépponti mozgásához tartozó hullámfüggvényt hogyan befolyásolja az atomok relatív mozgásánakkvantumállapota. A külso erotér eltéroen hat a molekulát alkotó atomokra, ezért a tömegközép-ponti és relatív mozgás csatolttá válik.

Jelölje most|n1, n2〉 a csatolatlan rendszer (a molekula atomjainak tömegközépponti-, ésrelatív mozgása) sajátállapotait,|n′1, n′2〉 pedig a csatolt és diagonalizált rendszer sajátállapotait.Szeretnénk kifejteni az eredeti|n1, n2〉 állapotokat a|n′1, n′2〉 bázisvektor rendszerben; ehhezmeg kell határoznunk a〈n′1n′2|n1n2〉 kifejtési együtthatókat.

Feltételezzük, hogy a molekula állapotat = 0-ban kifejtheto a|00〉, |01〉, |10〉, |11〉 bázison.Elsoként meg fogjuk határozni a molekula állapotvektorának idofejlodését. Ehhez szükségünk vana következo kifejtési együtthatókra

c′n′

1,n′

2

=∑

n1,n2

cn1,n2〈n′1, n′2|n1, n2〉. (5.1)

Az átfedések kiszámításához felhasználom a korábban már említett Hermite-polinomokat tartal-mazó sajátfüggvényeket, így a skaláris szorzás integrálással számítható. A konjugálás elhagyható,mivel valós függvényekkel dolgozunk. Az〈n′1n′2|n1n2〉 átfedésre kapjuk

1

π

√

∆x′1∆x′2

∆x1∆x2

1√2n1n1!

1√2n2n2!

1√

2n′

1n′1!

1√

2n′

2n′2!

∫ ∞

−∞

Hn[q1(q′1q

′2)]Hn[q2(q

′1, q

′2)]

×Hn(q′1)Hn(q

′2) exp

(

−q1(q′1, q

′2)

2

2

)

exp

(

−q2(q′1, q

′2)

2

2

)

exp

(

−q′21

2

)

exp

(

−q′22

2

)

dq′1dq′2,

(5.2)

aholqi = xi/∆xi, valamint aqi koordinátákat aq′j függvényeként adjuk meg (lásd a (4.6) transz-formáció inverze). Ez a képlet adja tetszoleges kétmódusú állapotok kifejtését az új bázison. Mintmár említettem, két könnyen kezelheto állapotot fejtek ki a diagonális Hamilton bázisán. Kezdjükrögtön aΨ00 ésΨ0′0′ hullámfüggvények átfedésének kiszámításával. A 0. Hermite-polinom 1, ígyezt nem kell beírnunk, csak az exponenciálisok számítanak.

∫ ∞

−∞

Ψ0′0′Ψ00dq′1dq

′2 =

1

π

√

∆x′1∆x′2

∆x1∆x2

∫ ∞

−∞

exp(−aq′21 ) exp(−bq′22 ) exp(2cq′1q′2)dq′1dq′2, (5.3)

21

22

ahola, b, c az exponenciálisok összevonásából kapott szorzófaktorok:

a =1

2

(

cos2 χ∆x′21∆x21

+sin2 χ∆x′21

∆x22+ 1

)

,

b =1

2

(

sin2 χ∆x′22∆x21

+cos2 χ∆x′22

∆x22+ 1

)

,

c =1

2sinχ cosχ

(

∆x′1∆x′2

∆x21− ∆x′1∆x

′2

∆x22

)

. (5.4)

Az integrált átalakítva kihasználhatjuk a változók függetlenségét, eloször az egyikre integrálunk amásikat konstansként kezelve, majd elvégezzük a megmaradóintegrált is. Aexp() alak két olyanformában írható fel, melyekkel könnyu elvégezni az integrálásokat és amelyek ekvivalensek.

exp

[

−a(

q′1 −c

aq′2

)2]

exp

[

−q′22(

b− c2

a

)]

= exp

[

−b(

q′2 −c

bq′1

)2]

exp

[

−q′21(

a− c2

b

)]

.

(5.5)

Ezt felhasználva:

1

π

√

∆x′1∆x′2

∆x1∆x2

∫ ∞

−∞

exp

[

−a(

q′1 −c

aq′2

)2]

exp

[

−q′22(

b− c2

a

)]

=

√

∆x′1∆x′2

∆x1∆x2

1√ab− c2

(5.6)

eredményre jutunk. Eloszörq1-re integrálva egy eltolt Gauss-görbével van dolgunk, majda q2-reintegrálandó tag következik, mely szintén Gauss típusú. Épp ezért nagyon könnyu az integrálokelvégzése, hiszen használhatjuk a következo összefüggést:

∫ ∞

−∞

exp(−αx2)dx =

√

π

α. (5.7)

Hasonlóan számítható ki a többi kifejtési együttható is, azonban sokkal könnyebben meg lehetkapnioket az alábbi rekurziós összefüggések [5] alkalmazásával:

〈n′1 + 1, n′2|n1, n2〉 = (2P11 − 1)

[

n′1n′1 + 1

]1/2

〈n′1 − 1, n′2|n1, n2〉

+ 2P12

[

n′2n′1 + 1

]1/2

〈n′1, n′2 − 1|n1, n2〉

+ 2R11

[

n1n′1 + 1

]1/2

〈n′1, n′2|n1 − 1, n2〉

+ 2R12

[

n2n′1 + 1

]1/2

〈n′1, n′2|n1, n2 − 1〉. (5.8)

〈n′1, n′2 + 1|n1, n2〉 = P12

[

n′1n′2 + 1

]1/2

〈n′1 − 1, n′2|n1, n2〉

+ (2P22 − 1)

[

n′2n′2 + 1

]1/2

〈n′1, n′2 − 1|n1, n2〉

+ 2R21

[

n1n′2 + 1

]1/2

〈n′1, n′2|n1 − 1, n2〉

+ 2R22

[

n2n′2 + 1

]1/2

〈n′1, n′2|n1, n2 − 1〉. (5.9)

fejezet 5. Külso erotérbe helyezett kétatomos molekula kvantuminterferenciája 23

A P mátrix definíciója:

P =1

∆

ω′1([ω2 + ω′

2] + [ω1 − ω2] sin2 χ) 1

2

√

ω′1ω

′2(ω1 − ω2) sin 2χ

12

√

ω′1ω

′2(ω1 − ω2) sin 2χ ω′

2([ω1 + ω′1]− [ω1 − ω2] sin

2 χ)

, (5.10)

valamintR mátrix definíciója:

R =1

∆

√

ω1ω′1(ω2 + ω′

2) cosχ −√

ω1ω′2(ω2 + ω′

1) sinχ

√

ω2ω′1(ω1 + ω′

2) sinχ√

ω2ω′2(ω1 + ω′

1) cosχ

, (5.11)

ahol∆ = (ω1 + ω′

1)(ω2 + ω′2) + (ω1 − ω2)(ω

′1 − ω′

2) sin2 χ

A rekurzió két-pontos, azaz az pl.n′ + 1-dik átfedés kiszámításához szükséges azn′ ésn′ − 1ismerete.

Visszatérve a|00〉 állapot kifejtésének meghatározására, a rekurziós relációk használatáhozszükség van még aΨ00 hullámfüggvény és aΨ0′1′ valamintΨ1′0′ bázisfüggvények közötti át-fedések kiszámítására. Ezekben a tagokban már megjelenik az 1. Hermite-polinom, tehát nemtisztán Gauss-típusú integrálokat kapunk. Egy idore hanyagoljuk el a konstans szorzófaktorokat,és gondoljuk végig, mit is kapunk erre a két integrálra:

∫ ∞

−∞

q′1 · exp[

−b(

q′2 −c

bq′1

)2]

exp

[

−q′21(

a− c2

b

)]

dq′1dq′2 (5.12a)

∫ ∞

−∞

q′2 · exp[

−a(

q′1 −c

aq′2

)2]

exp

[

−q′22(

b− c2

a

)]

dq′1dq′2 (5.12b)

Érdemes az elsoben aq′2-re, a másodikbanq′1-re integrálni eloször. Így egy szorzó és egy Gaussmarad. Vegyük észre, hogy ez nem más, mint a Gauss rész deriváltja konstans erejéig. Az integrá-lást elvégezve így nullát kapunk, azaz〈1′0′|00〉 = 〈0′1′|00〉 = 0. Felhasználva az elobb kiszámolt3 mátrixelem értékét és ismerve a frekvenciákat, az (5.8) és(5.9) rekurziós összefüggések alkal-mazásával meghatározhatjuk a többi mátrixelemet is.

A |01〉 állapotvektor kifejtésének meghatározásához szükségünkvan a〈0′0′|01〉, 〈0′1′|01〉,〈1′0′|01〉 átfedésekre, majd a rekurziós összefüggésekkel kapjuk mega többi átfedést. A〈0′0′|01〉 = 0 a korábbi gondolatmenetünk alapján. Az (5.8) alapján kapjuk

〈0′1′|01〉 = 2R12〈0′0′|0, 0〉. (5.13)

Végül az (5.9) felhasználásával

〈1′0′|01〉 = 2R22〈0′0′|0, 0〉. (5.14)

Az |10〉 és |11〉 bázisvektorok kifejtését a|n′1n′2〉 bázison a fentiekhez hasonlóan lehet meg-kapni.

A molekula idofejlodését ezek után a

|Ψ(t)〉 =∑

n′

1n′

2

c′n′

1n′

2

e−i(ω′

1n′

1+ω′

2n′

2)t|n′1n′2〉 (5.15)

kifejezés adja meg, ha a kezdeti állapot koherens szuperpozíció.Elso példaképpen tekintsük a

|Ψ(0)〉 = 1

2(|0〉+ |1〉) ⊗ (|0〉 + |1〉) (5.16)

24

5.1. ábra. A (5.16) állapothoz tartozóP (Q, q) eloszlás az ido függvényében.

kiindulási állapotot. Mind aQ, mind aq módusokban az alap és elso gerjesztett rezgési állapot szu-perpozíciója található. A dinamikát az (5.15) képlet alapján lehet megkapni. Az eredmény szem-léltetése érdekében aP (Q, q) = |〈Q, q|Ψ(t)〉|2 eloszlást szeretnénk ábrázolni. Ezt meg tudjuk úgykapni, hogy az (5.15) egyenletbol kiszámítjuk a hullámfüggvényt olymódon, hogy a|n′1n′2〉 bázis-vektorokat helyettesítjük aΨ(q′1, q

′2) bázisfüggvényekkel. A (4.6) transzformáció felhasználásával

kapjuk

P (Q, q) = |〈Q cosχ+ q sinχ,−Q sinχ+ q cosχ|Ψ(t)〉|2. (5.17)

Az idofejlodést illusztrálja az 5.1. ábra (a szakdolgozat mellékletét képezo CD-n a Psi2cohsup.avimutatja az idofejlodést). Az ábrán látható, hogy mind aQ, mind aq módusokban oszcillál a mo-lekula.

fejezet 5. Külso erotérbe helyezett kétatomos molekula kvantuminterferenciája 25

5.2. ábra. A (5.18) állapothoz tartozóP (Q, q) eloszlás az ido függvényében.

Második példaképpen tekintsük a következo részben inkoherens keverék kiindulási állapotot:

|Φ0〉 =1√2(|0〉+ |1〉) ⊗ |0〉, |Φ1〉 =

1√2(|0〉+ |1〉) ⊗ |1〉,

ˆ(0) =1

2[|Φ0〉〈Φ0|+ |Φ1〉〈Φ1|], (5.18)

azaz aQ módusban koherens szuperpozíció, míg aq módusban inkoherens keverék található. Azállapot idofejlodését illusztrálja az 5.2. ábra (a CD-n a Psi2mixed.avi a file). Ebben az esetben ismegfigyelheto oszcilláció mindkét módusban, azonban a hullámfüggvény nem lokalizálódik olyanmértékben, mint a koherens szuperponált állapot kiindulásesetén. Egy interferencia kísérletbenennek megfigyelheto következménye lenne. Így arra a konklúzióra jutottunk, hogy a molekulacsatolt belso és tömegközépponti dinamikája esetén a tömegközépponti mozgáshoz tartozó va-lószínuségeloszlás alakját befolyásolja a molekula belso dinamikája. Természetesen aQ várhatóértékének függetlennek kell lennie a belso állapottól.

26

6. fejezet

Összefoglalás

Dolgozatomban kétatomos molekula dinamikáját vizsgáltamabban az esetben, amikor egykülso erotér hat a molekulát alkotó atomokra. Megmutattam, hogy ha az erok nagysága különbözo,akkor a molekula belso és tömegközépponti mozgása csatolttá válik. Meghatároztam a csatolt újrendszer normál rezgési módusait és a rezgések frekvenciáit. Megvizsgáltam a molekula hullám-csomagjának idofejlodését kétféle kezdeti állapotból kiindulva: 1. koherens szuperponált állapotmind a relatív és tömegközépponti módusokban; 2. koherens szuperponált állapot a tömegközép-ponti módusban, míg inkoherens keverék a relatív rezgési módusban. Azt találtam, hogy a tömeg-középponti mozgáshoz tartozó hely szerinti valószínuségeloszlás függ a molekula belso rezgésiállapotától. Így a belso kvantumállapot hatással van a molekula tömegközépponti hullámcsomag-jának interferenciájára is.

27

28

Irodalomjegyzék

[1] Geszti Tamás:Kvantummechanika, (TYPOTEX, Budapest, 2007).

[2] Nagy Károly:Kvantummechanika, (Tankönyvkiadó, Budapest).

[3] Stephen M. Barnett, Paul M. Radmore:Methods on Theoretical Quantum Optics, (ClarendonPress, Oxford, 1997).

[4] M.O. Scully and M.S. Zubairy:Quantum Optics(Cambridge University Press, 1997).

[5] E.V. Doktorov, I.A. Malkin, and V.I. Man’ko:Dynamical Symmetry of Vibronic Transitions inPolyatomic Molecules and the Franck-Condon Principle; J. Mol. Spect.56, 1-20 (1975).

[6] Z. Kis, J. Janszky, P. Adam, An. V. Vinogradov, T. Kobayashi: Entangled Vibrational Statesin Polyatomic Molecules, Phys. Rev. A54, 5110 (1996).

29

Irodalomjegyzék 30

Köszönetnyilvánítás

Ezúton szeretném megköszönni témavezetom, Kis Zsolt segítségét a szakdolgozat elkészítésé-ben, valamint a szimulációk megírásában. Köszönöm továbbá, hogy felkeltette érdeklodésemet atéma iránt és új ismeretekkel gazdagított, melyek lehetové tették számomra a kvantummechanikamélyebb megértését.

Nyilatkozat

Név: Ábrók LeventeELTE Természettudományi Kar, szak: Fizika BScETR azonosító:ABLQAAT.ELTESzakdolgozat címe:Molekulák de Broglie hullámának terjedése

A szakdolgozatszerzojeként fegyelmi felelosségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatomönálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standardszabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelo idézés nélkül nemhasználtam fel.

Budapest 2011. június 6.

31