Click here to load reader

Fizika BSc BSc-Szakdolgozatok/... Ábrók Levente Molekulák de Broglie hullámának terjedése Fizika BSc szakdolgozat Ábrók Levente az ELTE TTK Fizika BSc hallgatója Témavezeto:˝

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Fizika BSc BSc-Szakdolgozatok/... Ábrók Levente Molekulák de Broglie...

  • Ábrók Levente

    Molekulák de Broglie hullámának terjedése

    Fizika BSc szakdolgozat

    Ábrók Levente az ELTE TTK Fizika BSc hallgatója

    Témavezető: Kis Zsolt MTA Szilárdtestfizikai és Optikai Kutatóintézet

    1121 Budapest, Konkoly-T. Miklós út 29-33.

    Belső konzulens: Geszti Tamás ELTE TTK Fizikai Intézet

    Komplex Rendszerek Fizikája Tsz.

    Budapest, 2011 június

  • Tartalomjegyzék

    1. Előszó 1

    I. Bevezetés 3

    2. A kvantum harmonikus oszcillátor 5

    3. Egydimenziós rezgési módus 9

    II. Saját eredmények 13

    4. Kétatomos molekula Hamilton- operátorának diagonalizálása 15

    5. Külső erőtérbe helyezett kétatomos molekula kvantuminterferenciája 21

    6. Összefoglalás 27

    3

  • 1. fejezet

    Előszó

    Tekintsük a következő naív molekula modellt: két atom (lehet egyforma vagy különböző) kö- zött vonzó kölcsönhatás hat. Ezen kívül a molekulát alkotó atomok kölcsönhatnak külső térrel is. Az atomok megőrzik annyira a személyiségüket, hogy a rájuk ható külső erőt az egyes atomokhoz lehet rendelni. Feltesszük, hogy a külső erőknek meg lehet feleltetni potenciálfelületeket. Az egy- szerűség kedvéért minden potenciálfelület vonzó, parabola alakú. A rendszer Hamilton-operátora ilyen esetben:

    Ĥ = p̂21 2m1

    + p̂22 2m2

    + 1

    2 m1ω

    2 1 q̂

    2 1 +

    1

    2 m2ω

    2 2 q̂

    2 2 +

    1

    2 κ · (q̂1 − q̂2)2, (1.1)

    aholmi és ωi a részecskék tömege és a rezgésük körfrekvenciája, valamint κ a két részecske között ható erőhöz rendelt rugóállandó. Vezessünk be tömegközépponti Q és relatív q koordinátákat a

    Q̂ = m1q̂1 +m2q̂2 m1 +m2

    , (1.2a)

    q̂ = q̂1 − q̂2, (1.2b)

    egyenletekkel. Az új változókkal az (1.1) Hamilton-operátor így írható:

    Ĥ = P̂ 2

    2M +

    p̂2

    2m +

    1

    2 MΩ2Q̂2 +

    1

    2 mω2q̂2 +m(ω21 − ω22)q̂Q̂, (1.3)

    ahol az össztömeg M = m1 +m2, valamint a redukált tömeg m = m1 ·m2/M , továbbá

    Ω2 = m1ω

    2 1 +m2ω

    2 2

    M , (1.4a)

    ω2 = m2ω

    2 1 +m1ω

    2 2

    M +

    1

    m κ. (1.4b)

    Az (1.3) egyenlet alapján látható, hogy a tömegközépponti és a relatív mozgások szétcsato- lódnak abban az esetben, ha ω1 = ω2. A dolgozatomban azzal az esettel foglalkozom, amikor a kétféle mozgás nem csatolódik szét, tehát ω1 6= ω2. Azt fogom vizsgálni, hogy a molekula belső dinamikája hogyan hat a tömegközépponti mozgásra, ezen belül, a molekula tömegközép- ponti mozgásához rendelt hullámcsomag interferencia képességére. A probléma megoldásához felhasználok koordinátageometriai ismereteket, illetve megoldom a kvantummechanika nyújtotta apparátussal is. Végül a kapott eredményekből felépítem a dinamikát.

    1

  • 2

  • I. rész

    Bevezetés

    3

  • 2. fejezet

    A kvantum harmonikus oszcillátor

    A fizikában a 20. század és napjaink egyik legmeghatározóbb kutatási területe a kvantumme- chanika. Megszületése jelentős szemléletmód váltást hozott magával, alapjaiban változtatta meg fizikai képünket. Korábban határozott értékűnek gondolt mennyiségekről derült ki, hogy a mikro- világban csak valószínűségi eloszlásukkal jellemezhetők, melyet az úgynevezett hullámfüggvény ad meg [1, 2]. A mennyiségek várható értékeire jóslatokat tehetünk, melyek nem lehetnek akár- mekkorák, kötött rendszerekben csak diszkrét értékeket vesznek fel. A leírására használt matema- tikáról pedig kiderült, hogy nem kommutatív, szemben a korábbi fizikai elméletek jól megszokott gyakorlatától. Épp ezért nem kommutáló mennyiségek, Hermitikus operátorok felelnek meg a fi- zikai mennyiségeknek. A megfigyelhető értékeket pedig az operátorok sajátértékei adják. Ezek közül az egyik legfontosabb, és leggyakrabban emlegetett a Newton óta megkérdőjelezhetetlen pálya fogalmat alkotó mennyiségek, a kanonikus hely és impulzus. Az egymással kanonikusan konjugált mennyiségek a kvantummechanikában nem felcserélhetők, a hely és impulzus kommu- tátora [x̂, p̂] = x̂p̂− p̂x̂ = i~. A nem felcserélhetőség következménye, hogy ezen mennyiségek az új elméletben egyidejűleg nem adhatók meg pontosan, mindig van valamekkora bizonytalanságuk. Ezt felyezi ki a Heisenberg-féle határozatlansági reláció ∆x∆p ≥ i~.

    A kvantummechanikában a legegyszerűbb, egzaktul megoldható probléma a harmonikus osz- cillátor, melyet sokszor más, bonyolultabb jelenségek közelítő leírására is felhasználnak. Épp ezért alapos vizsgálata, mélyebb megértése még évtizedek után is képes újat mutatni.

    A kvantummechanikában lehetőségünk van mind mátrixokkal, mind differenciálegyenletekkel dolgozni. A sajátértékegyenlet megfogalmazása a következőképpen írható:

    (

    p̂2

    2m + V (x̂)

    )

    Ψ = EΨ (2.1)

    A Schrödinger-féle tárgyalásmód szerint hely-reprezentációban p̂ impulzusoperátornak megfelel

    a ~

    i

    ∂x differenciál operátor, míg x̂-nek a sajátértékével, azaz x-szel történő szorzás (impulzus

    reprezentációban épp fordítva, p̂→ p míg x̂→ −~ i

    ∂p ). A harmonikus oszcillátor esetében V (x̂)

    pedig az x̂ operátor kvadratikus függvénye. Mindezeket beírva a sajátérték egyenletbe, a következő differenciálegyenletet kapjuk:

    − ~ 2

    2m

    ∂2Ψ(x)

    ∂x2 + mω2

    2 x2Ψ(x) = EΨ(x).

    Kicsit átrendezve: ∂2Ψ(x)

    ∂x2 +

    2m

    ~2

    (

    E − 1 2 mω2x2

    )

    Ψ(x) = 0.

    5

  • 6

    −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −0.8

    −0.6

    −0.4

    −0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    x

    Ψ (x

    )

    Ψ 0

    Ψ 1

    Ψ 2

    Ψ 3

    −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    x

    |Ψ |2

    |Ψ 0 |2

    |Ψ 1 |2

    |Ψ 2 |2

    |Ψ 3 |2

    2.1. ábra. A harmonikus oszcillátor néhány sajátállapotának hullámfüggvénye, illetve az ebből származó valószínűségeloszlás.

    Ebből már jól látszik, hogy másodrendű differenciálegyenlettel van dolgunk, melyben m az osz- cilláló részecske tömege, míg ω a rezgés frekvenciája. Megköveteljük, hogy a megoldás reguláris,

    azaz normálható legyen. A megoldást a k = 2E

    ~ω és a ζ =

    ~ x =

    x

    ∆ζ változócsere után

    u(ζ) exp (

    −ζ2/2 )

    próbafüggvény alakban keressük:

    ∂2u

    ∂ζ2 − 2ζ ∂u

    ∂ζ + (k − 1)u = 0.

    Az u(ζ) függvényt polinom-alakban keresük. A polinom együtthatóira egy rekurziós összefüg- gést kapunk. Az Hermite-polinomok elégítik ki a fenti egyenletet; az általános megoldások pe- dig a Ψn(x) = CnHn(x/∆x) exp(−x2/2∆x2) alakú függvények, ahol Cn normalizálási kons- tans, Hn az n-edik Hermite-polinom. Belátható, hogy Cn =

    1 √√

    π2nn!

    1√ ∆x

    , így ortonormált

    sajátfüggvény-rendszert kapunk. Ezek után mindegyik energiaszinthez tartozó sajátállapotot fel tudjuk írni, tudunk fizikailag mérhető mennyiségeket számolni (várható érték, szórás).

    A kvantummechanika Heisenberg-féle leírásában mátrixokat használunk az egyes operátorok megadására (mátrix mechanika). Heisenberg-féle megfogalmazásban egy absztrakt vektortéren (Hilbert-tér) értelmezzük az operátorokat, és ezeket használjuk a számoláshoz. Ez formailag gyak-

  • fejezet 2. A kvantum harmonikus oszcillátor 7

    ran könnyebben kezelhető a Scrödinger-féle hullámfüggvényes leírásnál, különösen a Dirac-féle jelölési rendszert használva.

    Az operátoros formalizmus a harmonikus oszcillátor kvantummechanikai leírásában jóval egy- szerűbb egyenleteket eredményez a sajátérték probléma megoldására, mint a Scrödinger-féle hul- lámfüggvényes leírás. Vezessük be a következő dimenziótlan mennyiségeket ρ̂ = p̂/

    √ ~mω és

    ξ̂ = x̂ √

    mω/~. A Hamilton operátor ezekkel kifejezve:

    Ĥ = p̂2 +m2ω2x̂2

    2m =

    2

    (

    ρ̂2 + ξ̂2 )

    (2.2)

    Paul Dirac ötlete nyomán írjuk fel most ezt egy nem kommutáló szorzat szimmetrikus formájában:

    Ĥ = ~ω

    4 (ξ̂ + iρ̂)(ξ̂ − iρ̂) + (ξ̂ − iρ̂)(ξ̂ + iρ̂). (2.3)

    Most bevezetjük a keltő- és eltüntető operátorokat ↠= ξ̂ + iρ̂

    2 és â =

    ξ̂ − iρ̂ 2

    alakban. Behelyet-

    tesítve a ρ̂ és ξ̂ alakját új operátorainkra a következő kommutációs reléciót kapjuk:

    [â, â†] = 1. (2.4)

    Ezt felhasználva sikerül a Hamilton-operátort a következő egyszerű alakra hozni:

    Ĥ = ~ω

    (

    â†â+ 1

    2

    )

    = ~ω

    (

    N̂ + 1

    2

    )

    , N̂ = â†â. (2.5)

    Az N̂ operátor n sajátértékei csak nemnegatívak lehetnek, mivel

    〈Ψ|N̂ |Ψ〉 = 〈Ψ|â†â|Ψ〉 = |âΨ|