Kvantum-soktestproblemaultrahideg atomokkal optikai

rezonatorban

Konya GaborFizika Bsc. III.

Szakdolgozat

Temavezeto: Domokos PeterSzilardtestfizikai es Optikai Kutatointezet

Kvantumoptikai es Kvantuminformatikai Osztaly

Belso konzulens: Csordas AndrasEotvos Lorand Tudomanyegyetem, Termeszettudomanyi Kar

Komplex Rendszerek Fizikaja Tanszek

Budapest, 2010. majus

Tartalomjegyzek

1. Bevezetes 2

2. Bose-Einstein kondenzatum atlagter-elmelete 42.1. Kolcsonhatas nelkuli atomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Az atomok kozotti kolcsonhatas figyelembevetele . . . . . . . . . . . . . 5

3. Masodkvantalas 63.1. Bozonok masodkvantalt formalizmusanak alapjai . . . . . . . . . . . . 63.2. Modusfuggvenyek szerinti kifejtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Bose-Einstein kondenzatum optikai rezonatorban 104.1. A modell alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2. Modusok szerinti kifejtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5. Ket modusos kozelıto modell 155.1. Spin-reprezentacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2. Analogia a Dicke-modellel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.3. Holstein-Primakoff reprezentacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4. Felbontas atlagterre es akoruli kis fluktuaciokra . . . . . . . . . . . . . 185.5. Taylor-sorfejtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.6. Atlagterek meghatarozasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.7. A fluktuaciok vizsgalata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.8. Heisenberg-kepbeli dinamika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.9. Sajatfrekvenciak meghatarozasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.10. A kornyezet visszahatasa a rendszerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6. Az osszes modust figyelembe vevo modell 306.1. Felbontas atlagterre es fluktuaciokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2. Az atlagterek meghatarozasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.3. A fluktuaciok vizsgalata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.4. Gerjesztesi spektrum: kvazireszecskek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.5. A normal fazisban fellepo fluktuaciok vizsgalata . . . . . . . . . . . . . 416.6. A modell alapallapotanak vizsgalata tetszoleges fazisban . . . . . . . . 426.7. Osszefonodasi mertekek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7. Osszefoglalas 52

8. Koszonetnyilvanıtas 53

1

1. Bevezetes

”It would indeed be remarkable if Nature fortified herself against furtheradvances in knowledge behind the analytical difficulties of the many-bodyproblem.”

Max Born, 1960

A hideg atomok es molekulak lezerfennyel torteno manipulacioja manapsag gyor-san fejlodo terulet es alkalmas tereppe valt a fizika fundamentalis jelensegeinek mindelmeleti, mind kıserleti tanulmanyozasara. Az utobbi idokben megjelent a gyengenkolcsonhato atomok koreben fellepo soktest-effektusok tanulmanyozasanak igenye. Sza-bad terben mozgo atomok eseten az elektromagneses mezo mechanikai hatasa ritkanprodukal ilyen effektusokat. Egy atomfelho toresmutatojat altalaban jo kozelıtessel azegyatomos polarizalhatosag es az optikai suruseg szorzata adja.

Egeszen megvaltozik a helyzet, ha az atomokat egy uregrezonator belsejeben he-lyezzuk el es ez az elrendezes rengeteg erdekes jelenseghez vezet. Ennek az alapvetooka az, hogy a rezonator belsejeben a fotonok jo par korutat megtesznek a ket tukorkozott es minden ut soran kolcsonhatnak a bentlevo atomokkal. Igy az atomok vissza-hatasa a terre jelentosse valik. A lezerek altal kifejtett kulso erokkel szemben az uregbelsejeben az atomokra hato ero erosen fugg a rezonator modus dinamikajatol, amitviszont az atomok befolyasolnak jelentosen. Mivel az osszes atom ugyanahhoz a re-zonator modushoz csatolodik, ezert ebben az elrendezesben akkor is fellephetnek kol-lektıv jelensegek, ha az atomfelho surusege kicsi, vagyis az atomok egymas kozottikolcsonhatasa elhanyagolhato. Az elmeleti erdekesseguk mellett a kollektıv jelensegekkıserletileg is jol vizsgalhatok: ezek a kıserletek ma a kvantumoptika frontvonalanakreszet kepezik [1–7].

Numerikus szimulaciok alapjan elmeletileg megjosolt [8,9] es kıserletileg is ellenorzott[10] teny, hogy optikai rezonatorba helyezett hideg atomok termalis felhoje fazisatalaku-lason megy keresztul, ha az atomokat oldalrol, az ureg tengelyere meroleges iranybol egylezerrel pumpaljuk. A fazisatalakulas a gerjeszto lezerfeny intenzitasanak valtoztatasakozben figyelheto meg. A kritikus pumpaerosseg alatt az atomok homogen eloszlasbantoltik ki a rezonator beljeset es az altaluk a rezonatorba szort lezerfotonok destruktıvaninterferalnak, ami az atlagos optikai mezoerosseget zerussa teszi. A kritikus pont fe-lett az elobbi allapot instabilla valik es az atomok maguktol egy periodikus racsbarendezodnek, aminek periodushosszat az uregmodus hullamhossza szabja meg. Eb-ben az elrendezodesben a rezonatorba szort fotonok konstruktıv modon interferalnakes eros elektromagneses mezot hoznak letre benne. A sugarzasi mezo egy periodikuspotencialt hoz letre a rezonatorban: ez a periodikus potencial felel az atomok alkottaracs egybentartasaert.

Ugyanez a jelenseg jatszodhat le Bose-Einstein kondenzaciot szenvedett ultrahi-deg atomokkal is [11] es ezt az effektust tanulmanyozzuk a jelen dolgozatban, zerushomersekleten. Megjegyezzuk, hogy az elrendezes kıserletileg is megvalosıthato [12],tovabba mas pumpalasi mechanizmus eseten tovabbi erdekes jelensegek, peldaul optikaibistabilitas is letrehozhato benne [13,14].

A dolgozat felepıtese a kovetkezo: a 2. fejezetben attekintjuk az atlagter-elmeletkereteben a kondenzatum leırasahoz hasznalt eszkoztarat. A 3. fejezetben induktıvan

2

felepıtjuk a masodkvantalas formalizmusat, amivel az atlagter koruli kvantumos fluk-tuaciok leırhatoak. A dolgozat targyat kepezo modell a 4. fejezetben kerul definialasra,valamint nehany altalanos kovetkeztetes is levonasra kerul.

Az 5. fejezet az altalunk nemreg publikalt [15]-os cikk gondolatmenetet koveti.A fazisatalakulasnak egy minimum-modelljet adjuk, amiben csak ket kondenzatum-modust veszunk figyelembe. Megmutatjuk, hogy ez a modell analog a kvantumoptikaszakirodalmaban jol ismert Dicke-modellel [26], amiben szinten egy fazisatalakulas fi-gyelheto meg [16]. Ebben a kozelıtesben egzakt analitikus formulat tudunk adni a sta-cionaris allapotban a rezonator-modust es a kondenzatumot leıro atlagterekre. Meg-hatarozzuk tovabba az atlagter koruli kvantumos fluktuaciok sajatfrekvenciait is esleırjuk a Heisenberg-kepbeli dinamikat. Vegul azt is megvizsgaljuk, hogy a rezonatorvesztesegessege miatt a kornyezettel valo csatolas milyen visszahatast eredmenyez arendszer dinamikajara.

A 6. fejezetben kiterjesztjuk vizsgalatainkat az osszes kondenzatum-modusra. Egy-szeru iteracios algoritmust adunk az atlagterek meghatarozasara. A fluktuaciok sajat-frekvenciainak meghatarozasa es a gerjesztesi spektrumot leıro kvazireszecskek beve-zetese utan figyelmunket a rendszer alapallapotara fordıtjuk. Kiszamoljuk az alapallapotkorrelacios matrixat es segıtsegevel mennyisegi jellemezest adunk a az atomok es arezonator kozott fellepo osszefonodasra. Az elmeleti eredmenyeket numerikus szi-mulaciokbol szarmazo abrakkal szemleltetjuk.

3

2. Bose-Einstein kondenzatum atlagter-elmelete

2.1. Kolcsonhatas nelkuli atomok

Vizsgaljunk N >> 1 db nemrelativisztikus bozont, amik egy kulso V (r) potencialbanmozognak. A bozonok alkotta gaz legyen eleg hıg ahhoz, hogy a reszecskek kozottikolcsonhatast elhanyagolhassuk. A rendszer homerseklete legyen T = 0K Jol ismert,hogy ekkor rendszerunkben egy Bose-Einstein kondenzatum fog letrejonni: Az atomokmindannyian ugyanazt a ψ(r, t) egyreszecske-kvantumallapotot fogjak elfoglalni. Ezaz allapot kielegıti az egyreszecskes Schrodinger-egyenletet:

i~∂ψ

∂t(r, t) =

(− ~2

2m4+ V (r)

)ψ(r, t) (2.1)

A hullamfuggvenyt celszeru a teljes reszecskeszamra normalni:∫V

|ψ(r, t)|2d3r = N (2.2)

Most ρ = |ψ|2 jelentese tehat reszecskeszam-suruseg. A (2.1)-es egyenlet megoldasat akovetkezo alakban kereshetjuk:

ψ(r, t) = ψ(r) exp

(− i

~µ t

)(2.3)

Az egyreszecskes kvantummechanikaban megszokottol a (2.3)-as egyenlet annyiban terel, hogy az energia helyet a µ kemiai potencial foglalta el. Ennek szemleletes jelentese:egyetlen reszecske energiaja. Termeszetesen kiszamolhatjuk a rendszer osszenergiajatis: ehhez az egyetlen reszecsket leıro Hamilton-operatort ”szendvicselnunk” kell ψ-vel. Az egyreszecske-kvantummechanikaban ez a formula a reszecskenk energiajanakvarhato erteket adta, most azonban a normalas atdefinialasa (2.2) miatt a rendszerosszenergiajat kapjuk:

E[ψ∗, ψ] =

∫V

ψ∗(r, t)

(− ~2

2m4+ V (r)

)ψ(r, t) d3r (2.4)

Egy parcialis integralas elvegzese utan az energiat szimmetrikusabb alakban is felırhatjuk:

E[ψ∗, ψ] =

∫V

(~2

2m|∇ψ(r, t)|2 + V (r) |ψ(r, t)|2

)d3r (2.5)

A (2.5)-os egyenletbol leolvashato a kinetikus es a potencialis energiasuruseg formulaja.A potencialis energia suruseget lathatoan a reszecskeszam-suruseg es a potencialfuggvenyszorzata adja.

Az energia ψ∗ es ψ funkcionaljakent allt elo. Szamoljuk ki a δEδψ

es δEδψ∗

funkcionalisderivaltakat. Ehhez vizsgaljuk meg, hogy ψ egy kis δψ megvaltoztatasa mekkoraδE valtozast okoz az energiaban. A funkcionalis derivaltak definıciojat a kovetkezoosszefugges adja:

δE[ψ∗, ψ] =

∫V

(δE

δψ∗δψ∗ +

δE

δψδψ

)d3r (2.6)

4

(2.5)-t megvarialva:

δE =

∫V

~2

2m(∇δψ∗∇ψ +∇ψ∗∇δψ) + V (r) (δψ∗ψ + ψ∗δψ) d3r (2.7)

Ket darab parcialis integralas elvegzese utan:

δE =

∫V

[(− ~2

2m4ψ + V (r)ψ

)δψ∗ +

(− ~2

2m4ψ∗ + V (r)ψ∗

)δψ

]d3r , (2.8)

amit (2.6)-al osszevetve leolvashatjuk a funkcionalis derivaltakat. Vegyuk eszre, hogy aψ∗ szerinti derivalt epp a Schrodinger-egyenlet jobb oldalat adja. A mozgasegyenletettehat a kovetkezo altalanos formaban, a rendszer energiajabol szarmaztatva ırhatjukfol:

i~∂ψ

∂t(r, t) =

δE

δψ∗(r, t) (2.9)

2.2. Az atomok kozotti kolcsonhatas figyelembevetele

Most vizsgaljuk meg, hogy hogyan tudnank kiterjeszteni a Bose-Einstein kondenzatumotleıro elmeletet az egymassal utkozo atomok esetere. Az utkozest rovid hatotavolsagu,un. kontakt kolcsonhataskent ırhatjuk le, amit a kvantummechanikaban s-hullamuszorassal kezelunk. Mivel a kolcsonhatas azonos helyen levo reszecskeparok kozott jonletre, a kolcsonhatasi energiasurusegnek aranyosnak kell lennie a reszecskeszam-surusegnegyzetevel. (2.5)-t tehat a kovetkezokeppen altalanosıthatjuk:

E[ψ∗, ψ] =

∫V

(~2

2m|∇ψ(r, t)|2 + V (r) |ψ(r, t)|2 +

g

2|ψ(r, t)|4

)d3r , (2.10)

ahol g a kolcsonhatas erosseget jellemzo allando. (2.9) felhasznalasaval konnyen felırhatjuka rendszer mozgasegyenletet is:

i~∂ψ

∂t(r, t) =

(− ~2

2m4+ V (r) + g |ψ(r, t)|2

)ψ(r, t) (2.11)

(2.11) a szakirodalomban Gross-Pitaevskii egyenlet neven ismert. A dolgozat tovabbireszeben nem foglalkozom az atomok kozotti kolcsonhatassal, de az itt leırtakhoz ha-sonlo modon azt a kesobbi modellekbe is be lehetne epıteni.

5

3. Masodkvantalas

A jelen fejezetben egy induktıv modszert adunk a masodkvantalt formalizmus, vagyisa nemrelativisztikus kvantumterelmelet felepıtesere. A reszletes deduktıv targyalashoza [17]-es jegyzethez iranyıtjuk az olvasot. Fotonokra a nemrelativisztikus elmelettermeszetesen nem alkalmazhato: az elektromagneses mezo kvantalasahoz lasd [19,20].

3.1. Bozonok masodkvantalt formalizmusanak alapjai

Az eddigiekben az atomokat egy ψ(r, t) egyreszecske-hullamfuggvennyel ırtuk le. Elsopillantasra azt gondolnank, hogy az ıgy adott leıras kvantumos, mivel formulainknagymerteku analogiat mutatnak az egyreszecskes kvantummechanika megfelelo kepletei-vel. A valosag azonban az, hogy az egyreszecskes esetben kvantumos leıras a sokreszecs-kes esetben klasszikus hullamkent valo leırasnak felel meg. Mivel |ψ|2 jelentese mostreszecskeszam-suruseg, az elmeletunk teljesen determinisztikus, kvantum-fluktuaciokaligha szerepelhetnek benne. Az is nyilvanvalo, hogy a (2.2)-es egyenletben N helyebetetszoleges valos szamot is ırhatunk: a matematikai modellben sehol sem tukrozodikaz a megkotes, hogy N-nek egesz szamnak kell lennie. Vagyis az eddigi modellunkcsak az atomok hullamtulajdonsagait ırja le, a reszecskek szamanak kvantaltsagat nemtartalmazza.

A klasszikus elmeletunket tehat kvantalni kell. A kesobbiekben latni fogjuk, hogya masodkvantalt terelmeletunkkel nemcsak a Bose-Einstein kondenzatumot tudjuktargyalni, ahol az osszes atom egyetlen allapotban van. Ehelyett tetszoleges kulonbozoallapotokban levo atomokat, sot valtozo reszecskeszamu rendszereket is leırhatunk vele.A kvantalas ugy tortenik, hogy a dinamikai valtozot egy Hilbert-teren hato operatorralhelyettesıtjuk. ψ(r, t) helyebe a Ψ(r, t) eltunteto-, ψ∗(r, t) helyebe pedig a Ψ†(r, t)kelto-operator lep.

Mivel az operatorok fuggenek az idotol, ezert a Heisenberg-kepben vagyunk. Egyuniter transzformacioval az idofejlodest levalaszthatjuk az operatorokrol. A Schrodinger-kepben tehat egyszeruen Ψ(r)-t ırhatunk.

A Ψ†(r) operator egy r helyen levo atomot tud letrehozni. Nezzunk erre egy peldat.Jelolje |0〉 a rendszer vakuum-allapotat. Tekintsuk a |ψ(r1, r2)〉 = Ψ†(r1)Ψ

†(r2) |0〉allapotot. Ez ket db atomot ır le, melyek kozul az egyik az r1, a masik az r2 helyentartozkodik. Hasonloan ertelmezheto a Ψ(r) eltunteto-operator hatasa is.

Az iment bevezetett operatorokra bozonok eseten kommutator-relaciokat kell eloırnunk.Ehhez idezzuk fel a harmonikus oszcillator kvantalasanal latott hasonlo relaciokat. Aza eltunteto- es az a† kelto-operatorra ott a kovetkezo relaciokat kaptuk:

[a , a†] = 1 (3.1a)

[a , a] = 0 (3.1b)

[a† , a†] = 0 (3.1c)

6

Ezen relaciok termeszetes altalanosıtasat posztulaljuk most Ψ(r)-re:

[Ψ(r) , Ψ†(r′)] = δ(3) (r− r′) (3.2a)

[Ψ(r) , Ψ(r′)] = 0 (3.2b)

[Ψ†(r) , Ψ†(r′)] = 0 (3.2c)

(3.2c)-t alkalmazva a fenti peldankra:

|ψ(r1, r2)〉 = Ψ†(r1)Ψ†(r2) |0〉 = Ψ†(r2)Ψ

†(r1) |0〉 = |ψ(r2, r1)〉 , (3.3)

ami vilagosan mutatja, hogy az altalunk leırt reszecskek bozonok. A teljes reszecskeszamoperatorat a (2.2)-es formula altalanosıtasa adja:

N =

∫V

Ψ†(r) Ψ(r) d3r (3.4)

Vagyis Ψ†(r) Ψ(r) a reszecskeszam-suruseg operatora.A rendszer Hamilton-operatorat a (2.4)-es egyenlet altalanosıtasaval kaphatjuk meg:

H =

∫V

Ψ†(r)

(− ~2

2m4+ V (r)

)Ψ(r) d3r (3.5)

A (2.9)-es klasszikus mozgasegyenlet helyebe a Ψ(r, t) operator Heisenberg-kepbelimozgasegyenlete lep:

∂Ψ

∂t(r, t) =

i

~[H, Ψ(r, t)] (3.6)

(3.5)-ot behelyettesıtve:

∂Ψ

∂t(r, t) =

i

~

∫V

[Ψ†(r′, t) , Ψ(r, t)]

(− ~2

2m4+ V (r′)

)Ψ(r′, t) d3r′ (3.7)

(3.2a) felhasznalasaval egyszeruen kiadodik a jobboldal:

i~∂Ψ

∂t(r, t) =

(− ~2

2m4+ V (r)

)Ψ(r, t) , (3.8)

ami az (2.1)-es egyenlet operatoros megfeleloje.

3.2. Modusfuggvenyek szerinti kifejtes

A V → C negyzetesen integralhato fuggvenyek teren (V ⊂ R3) vegyunk egy teljesortonormalt rendszert. A fuggvenyeket jelolje uk(r). Ezek a fuggvenyek adjak meg alehetseges egyreszecske-allapotokat. Az ortonormaltsagot kifejezo relacio:∫

V

u∗k(r)ul(r) d3r = δkl (3.9)

7

A teljessegi relacio pedig: ∑k

uk(r)u∗k(r′) = δ(3)(r− r′) (3.10)

Fejtsuk ki Ψ(r) -t az iment bevezetett modusfuggvenyek szerint:

Ψ(r) =∑k

ck uk(r) (3.11)

A kifejtesi egyutthatokent definialt ck operator az uk(r) egyreszecske-hullamfuggvennyeljellemzett allapotban levo atomot tuntet el, adjungaltja pedig egy ilyen allapotu atomotkelt. Ezek az operatorok egymastol fuggetlen kvantumos harmonikus oszcillatorokatırnak le. Ezert a kovetkezo kommutator-relacioknak kell eleget tenniuk:

[ck , c†l ] = δkl (3.12a)

[ck , cl] = 0 (3.12b)

[c†k , c†l ] = 0 (3.12c)

Ezek a relaciok fejezik ki azt a tenyt, hogy az egyes modusokban elhelyezett reszecskekbozonok. A kvantumterelmeletunk Hilbert-teret a harmonikus oszcillatorok Hilbert-tereinek direkt szorzata adja. Ezt a teret Fock-ternek nevezzuk.A (3.2a) kommutator-relacio (3.12a)-tol termeszetesen nem fuggetlen: le kell ellenoriznunka ket posztulatum konzisztenciajat. Ehhez helyettesıtsuk be a (3.11)-es kifejtest (3.2a)-ba:

[Ψ(r), Ψ†(r′)] =∑k,l

uk(r)u∗l (r′) [ck , c

†l ]︸ ︷︷ ︸

δkl

=∑k

uk(r)u∗k(r′)

= δ(3) (r− r′)

(3.13)

A ket kifejezes egyenloseget tehat a (3.10)-es teljessegi relacio biztosıtja. A masikket kommutator-relacio konzisztenciaja hasonlo modon ellenorizheto. Erdemes ki-hangsulyozni az iment felmerult kerdes tipikus voltat: a kesobbiekben gyakran fogjukmajd azt vizsgalni, hogy bizonyos transzformaciok milyen hatassal vannak a kom-mutator-relaciokra.

Az uk(r) modusban levo atomok szamat a c†k ck operator adja meg. A teljesreszecskeszamot a (3.11) kifejtesnek a (3.4)-es egyenletbe valo behelyettesıtesevel kap-hatjuk meg:

N =

∫V

Ψ†(r) Ψ(r) d3r =∑k,l

c†k cl

∫V

u∗k(r)ul(r) d3r︸ ︷︷ ︸δkl

=∑k

c†k ck (3.14)

A teljes reszecskeszamot tehat az egyes modusokban levo reszecskek szamanak osszegeadja, ahogy a fizikai szemlelet alapjan varhattuk. Hasonlo szamolassal kapjuk (3.5)-bola rendszer Hamilton-operatorat:

H =∑k,l

c†k cl

∫V

u∗k(r)

(− ~2

2m4+ V (r)

)ul(r) d3r (3.15)

8

Az uk(r) fuggvenyeket celszeru az egyreszecskes Hamilton-operator sajatfuggvenyeinekvalasztani. (

− ~2

2m4+ V (r)

)uk(r) = εk uk(r) , (3.16)

ahol az εk energiaszintek monoton novo sorozatot alkotnak. (3.16)-ot a fenti formulabahelyettesıtve es (3.9)-et kihasznalva kapjuk a vegeredmenyt:

H =∑k

εk c†k ck (3.17)

A (3.17)-es egyenlet fizikai tartalma nyilvanvalo: az εk energiaju modusban levo atomokszama c†k ck. A (3.17)-es egyenlet tehat azt fejezi ki, hogy a rendszer teljes energiaja azot alkoto egyes atomok energiainak osszegekent all elo. Ez az allıtas azert igaz, mertaz atomok kozotti kolcsonhatast elhanyagoltuk.

A T = 0K homersekletu Bose-Einstein kondenzatum eseteben termeszetesen azosszes atom a legkisebb energiaju u0(r) modusban tartozkodik. Most igazolodott azonkorabbi kijelentesunk, hogy a masodkvantalt formalizmusban tetszoleges kulonbozoallapotban levo atomok is leırhatok, a Bose-Einstein-kondenzatum leırasa a formaliz-musnak csupan specialis esete.

9

4. Bose-Einstein kondenzatum optikai rezonatorban

”The whole is more than the sum of its parts.”

Arisztotelesz: Metafizika

4.1. A modell alapjai

A dolgozat tovabbi reszeben egy optikai rezonatorba helyezett, N atombol allo, zerushomersekletu Bose-Einstein kondenzatum kolcsonhatasat vizsgaljuk a rezonatorbelielektromagneses mezovel. Az EM mezonek csak egyetlen, kvazi-rezonans modusavalfoglalkozunk, aminek a korfrekvenciaja ωC . ( A jeloles az angol cavity szobol szarmazik,ami magyarul ureget jelent. ) A kondenzatum atomjait oldalrol koherensen pumpaljukegy ω korfrekvenciaju lezerfennyel (1. abra).

1. abra. A kıserleti elrendezes.

Az atomok lehetseges belso allapotaikozul csak kettot veszunk figyelembe,egy alap- es egy gerjesztett allapotot.Jelolje ωA az atomi atmeneti frekvenciata ket allapot kozott. Az ureg rezo-nanciafrekvenciajat es az atomi atmenetifrekvenciat celszeru a gerjeszto lezerfenyfrekvenciajara vonatkoztatni. Ezert ve-zessuk be a ∆C = ω − ωC es∆A = ω − ωA elhangolasokat. Al-kalmazzunk az atomokhoz kepest nagyvoros elhangolast, vagyis ω-t valasszukωA-nal joval kisebbre. Ekkor ∆A abszolutertekben joval nagyobb lesz a spontanemissziobol szarmazo termeszetes vonalszelessegnel. Ebben az esetben az atomok nemtudjak tartosan elnyelni a lezerbol erkezo fotonokat. (2. abra)

Az energia-ido hatarozatlansagi relacio miatt egy nagyon rovid idotartamra az ener-gia bizonytalansaga megis eleg nagy lehet ahhoz, hogy az atom elnyelje a fotont, dea kis idotartam letelte utan ujra ki kell bocsajtania azt. Vegeredmenyben tehat azatom elnyelni nem, szorni viszont tudja a fotonokat. A lezerfotonok tehat az atomokontorteno szorodassal bekerulhetnek a rezonatorba.

Termeszetesen az uregben tartozkodo fotonok is kolcsonhatnak az atomokkal. Eza kolcsonhatas diszperzıv: az atomok megvaltoztatjak a rezonatorban korbe-korbe ro-hano fotonok optikai uthosszat, vagyis eltoljak a frekvenciajukat. A diszperzıv kolcson-hatas erosseget modellunkben az U0 = g2

Rabi/∆A parameter jellemzi. Itt gRabi az un.egyfotonos Rabi-frekvencia, ami egy atom es az uregbeli EM mezo kolcsonhatasanakerosseget adja meg frekvencia egysegekben. A voros elhangolas miatt ∆A < 0 es ıgyU0 < 0. Az atomokon valo szorodas segıtsegevel megvalosıtott transzverz pumpalaserosseget pedig az ηt = ΩRabi · gRabi/∆A parameter meri. Itt ΩRabi a lezerfenyheztartozo Rabi-frekvencia. A kepletekbol lathato, hogy mind U0, mind ηt frekvenciadimenzioju.

10

2. abra. A parameterek.

Az egyszeruseg kedveert csak az ureg-rezonator tengelyenek iranyaba mutatox terdimenziot vesszuk figyelembe a mo-dellben. Az ureg hosszat jelolje L.Az ureg modusfuggvenye ebben az eset-ben cos(kx), ahol k · L egesz szamutobbszorose π-nek. A masodkvantalt for-malizmusnak megfeleloen az atomokat aΨ(x), a vizsgalt rezonator-modust pe-dig az a eltunteto-operatorral, illetve ad-jungaltjaikkal ırjuk le.

A valosagban az uregrezonatorbol ir-reverzibilis modon fotonok lephetnek ki,ami a rendszert nyıltta teszi. Ezzelaz effektussal itt az (5.10) alfejezetetleszamıtva nem foglalkozunk, a rend-szert zartnak tekintjuk es a Hamilton-operatoranak az alapallapotat keressuk.

Mertekegyseg-rendszer: Mostantol~ = 1 egysegrendszert hasznalok az egesz dolgozatban. Ez lehetove teszi a korfrekven-cia es az energia szavak szinonımakent valo hasznalatat.

A sokreszecskes Hamilton-operator az ω pumpafrekvenciaval egyutt oszcillalo vo-natkoztatasi rendszerben:

H = −∆C a† a+

∫ +L2

−L2

Ψ†(x)

(− 1

2m

d2

dx2+ U0 a

† a cos2(kx) + ηt cos(kx)(a† + a

))Ψ(x) dx

(4.1)(4.1) elso tagja a rezonatorban levo fotonok osszenergiajat adja meg: −∆C = ωC −ω afotonok energiaja az uj vonatkoztatasi rendszerben, a† a pedig a fotonok szamat megadooperator. A masodik tag az atomok mozgasi energiaja: ezt a tagot mar a korabbiakbanis lattuk. A harmadik tag ırja le az atomok es az ureg kozotti kolcsonhatast. Akolcsonhatasi energia surusege lathato modon aranyos a fotonszamnak es az atomszam-

surusegnek(

Ψ†(x) Ψ(x))

a szorzataval. Ezen tag hatasa ketfelekeppen is interp-

retalhato: egyreszt az atomokra nezve egy U0 a† a cos2(kx) effektıv potencialt jelent,

aminek a melysege aranyos a fotonszammal. Masreszt a† a kiemelese utan ez a tag(4.1) elso tagjaval is osszevonhato: innen latszik, hogy a kolcsonhatasi tag a fotonokszempontjabol a −∆C frekvencia eltolasat eredmenyezi.Vegul a negyedik tag ırja le a pumpalo lezerfeny hatasat: az

(a† + a

)resznek koszonhetoen

a rezonatorba fotonok lephetnek be es ki. Az atomok szerepe a pumpalasnal abbollathato, hogy ebben a tagban is megjelenik az atomszam-suruseg: minel tobb atomvan egy adott helyen, a be- es kiszoras annal nagyobb merteku ott. Vegul megjegy-zem, hogy az atomok szempontjabol ez a tag is egy effektıv potencialkent jelentkezik.

11

4.2. Modusok szerinti kifejtes

A (4.1) harmadik es negyedik tagjaban fellepo cos2(kx) es cos(kx) fuggvenyek miattcelszeru az √

1

L,

√2

Lcos(nkx)

∞n=1

,

√2

Lsin(nkx)

∞n=1

(4.2)

teljes ortonormalt rendszert hasznalni Ψ(x) kifejtesehez. Mivel a ket effektıv po-tencialban csak a hely paros fuggvenyei szerepelnek, ezert a paritasszimmetria mi-att a paros es a paratlan modusfuggvenyekkel jellemzett modusok nem csatolodnakegymashoz. Ez matematikailag onnan lathato, hogy az ilyen csatolasoknal paratlanfuggvenyek origora szimmetrikus intervallumra vett integraljai jelennek meg, amikmindig 0-t adnak. Tudjuk, hogy U0 = ηt = 0 eseten az osszes atom a legalacso-nyabb (nulla) mozgasi energiaju homogen modusban van. Azt akarjuk majd vizsgalni,hogy U0 es ηt erteket valtoztatva mikent megy at az atomok egy resze a magasabbanfekvo modusokba. Az elobbiekbol kovetkezik, hogy legalulrol atmenet csak a parosfuggvenyekkel jellemzett modusokba lehetseges. Tehat Ψ(x) kifejtesenel a paratlanfuggvenyekkel nem is kell foglalkoznunk:

Ψ(x) =

√1

Lc0 +

∞∑n=1

√2

Lcos(nkx) cn (4.3)

Helyettesıtsuk be a (4.3)-as kifejtest (4.1)-be. A fellepo integralok konnyen kiszamolhatokes a kovetkezo eredmenyek adodnak:A teljes reszecskeszam:

N =

∫ +L2

−L2

Ψ†(x) Ψ(x) dx =∞∑n=0

c†n cn (4.4)

A mozgasi energiaban fellepo tag:∫ +L2

−L2

Ψ†(x)

(− d2

dx2Ψ(x)

)dx = k2

∞∑n=1

n2 c†n cn (4.5)

A pumpalasnal fellepo tag:∫ +L2

−L2

Ψ†(x) cos(kx) Ψ(x) dx =

√2

2

(c†0 c1 + c†1 c0

)+

+1

2

∞∑n=1

(c†n cn+1 + c†n+1 cn

) (4.6)

A diszperzıv kolcsonhatast leıro tagnal:∫ +L2

−L2

Ψ†(x) cos2(kx) Ψ(x) dx =1

2c†0 c0 +

3

4c†1 c1 +

1

2

∞∑n=2

c†n cn+

+

√2

4

(c†0 c2 + c†2 c0

)+

1

4

∞∑n=1

(c†n cn+2 + c†n+2 cn

) (4.7)

12

A fenti formulakat (4.1)-be visszahelyettesıtve megkapjuk a teljes Hamilton-operatormodusok szerint kifejtett alakjat:

H = −∆C a† a+ ωR

∞∑n=1

n2 c†n cn

+

√2

2ηt(a† + a

)((c†0 c1 + c†1 c0

)+

1√2

∞∑n=1

(c†n cn+1 + c†n+1 cn

))

+1

4U0 a

† a

2 c†0 c0 + 3 c†1 c1 + 2

∞∑n=2

c†n cn +√

2(c†0 c2 + c†2 c0

)+∞∑n=1

(c†n cn+2 + c†n+2 cn

)(4.8)

A (4.8)-as egyenlet lathatoan igen bonyolult lett. Az ertelmezeshez ezert koncentraljunka benne szereplo c†j cn tıpusu tagokra. A j = n esetben mar tudjuk, hogy a c†n cn tag azn. modusban levo atomok szamat adja, szorzotenyezoje pedig az ebben a modusban he-lyet foglalo egyetlen atom energiajat mondja meg. Peldaul az elso sor masodik tagjabolleolvashatjuk, hogy az n. modushoz tartozo mozgasi energia n2 ωR, ahol bevezettem azωR = k2

2mjelolest. Ennek szemleletes jelentese a kovetkezo: ha egy atom kibocsajt egy

k hullamszamu fotont, akkor az impulzusmegmaradas miatt az atom visszalokodik eseppen ωR energiara tesz szert. A jeloles az angol recoil energy szobol ered, ami magya-rul visszalokodesi energiat jelent. A lezerfennyel lokdosott ultrahideg atomok mozgasienergiajanak ez a termeszetes alapegysege.

3. abra. A modusok alkotta letra.

A j 6= n esetben a c†j cn tagegy atmenetet ır le a ket moduskozott: (az operator hatasat jobbrol balrakiertekelve) az elobb eltuntet egy ato-mot az n. modusbol, majd kelt egyet aj. modusban. Az is lathato, hogy ezek

a tagok mindig parban, a(c†j cn + c†n cj

)osszeg alakjaban lepnek fel. Az n → jes a j → n atmenetek sulya H-ban tehatazonos. Erre azert van szukseg, hogy Honadjungaltsaga biztosıtott legyen, amiuniter idofejlodest, vagyis idoben rever-zibilis dinamikat eredmenyez.

(4.8)-bol azt is leolvashatjuk, hogy azηt-s tagokra j = n + 1, az U0-as tagokrapedig j = n + 2. Tehat a pumpalasa szomszedos modusok kozott lepteti azatomokat, a diszperzıv kolcsonhatas pe-dig a ketto tavolsagra levok kozott. A”modusok alkotta letrat” szemlelteti a 3. abra.

Termeszetesen merul fel az a kerdes, hogy a fenti ”letran” a kolcsonhatasi tagok mi-lyen magasra tudjak felleptetni az egyes atomokat? Ezert vizsgaljuk meg a szomszedosmodusok mozgasi energiaban mert tavolsagat: ((n+ 1)2 − n2)ωR = (2n+ 1)ωR, vagyis

13

folfele haladva a szomszedos modusok tavolsaga folyamatosan no. Kovetkezeskeppentetszolegesen nagy kolcsonhatasi parameterertekek eseten is csak veges sok modus fogreszt venni a dinamikaban es egy bizonyos hatar felett az osszes modus betoltetlenmarad. A rendszerunk tehat egy effektıv levagast tartalmaz.

14

5. Ket modusos kozelıto modell

Mivel a (4.8)-as Hamilton-operator igen bonyolult strukturaju, ezert vizsgalatainkatcelszeru nehany egyszerusıto folteves mellett vegezni. Tegyuk fel, hogy U0 ertekeeleg kicsi. Ebben az esetben csak a szomszedos modusok kozott johet letre atmenet.Amennyiben ηt erteke sem tul nagy, atmenet csak a 0. es az 1.modus lesz. A fazisatalaku-lasnak egy minimum-modelljet kaphatjuk tehat azaltal, ha csak a c0 es c1 modusokatvesszuk figyelembe. A (4.3)-as Fourier-kifejtes ezzel a kovetkezokeppen egyszerusodik:

Ψ(x) =

√1

Lc0 +

√2

Lcos(kx) c1 (5.1)

A teljes reszecskeszamot ekkor a N = c†0 c0 + c†1 c1 operator adja meg, a Hamilton-operator pedig:

H =−∆C a† a+ ωR c

†1 c1 +

1

4U0 a

† a

2 c†0 c0 + 3 c†1 c1

+

√2

2ηt(a† + a

) (c†0 c1 + c†1 c0

) (5.2)

5.1. Spin-reprezentacio

Rogzıtsuk le a rendszerben levo atomok szamat N -re:

c†0 c0 + c†1 c1 = N (5.3)

Matematikailag ez a feltetel azt jelenti, hogy vizsgalodasainkat a teljes Hilbert-terrolleszukıtjuk egy olyan alterre, amelyen az N operator felveszi az N sajaterteket. Az Ndb atomunk mindegyike a c0 vagy a c1 altal leırt modusok valamelyikeben van.Alkalmazzuk most a Schwinger-reprezentaciot [25]. Rendeljunk hozza a rendszerhezegy N/2-es spint: Sz erteke legyen −N/2, ha az osszes atom az alap-, illetve +N/2,ha mindegyikuk a gerjesztett allapotban foglal helyet. A ket szelsoertek kozott Szerteke ±1 -enkent valtozhat, ami egy atom atmenetelenek felel meg az egyik modusbola masikba.Vezessuk be a kovetkezo spin-operatorokat:

Sz =1

2

(c†1 c1 − c

†0 c0

)(5.4a)

S+ = c†1 c0 (5.4b)

S− = c†0 c1 (5.4c)

Az Sz operator a gerjesztett es az alapallapotban levo atomok szamanak kulonbsegetolfugg: ez eleget tesz a fenti tulajdonsagoknak. Az S± operatorok pedig leptetooperatorok,amelyek egy atom atugrasat ırjak le egyik modusbol a masikba. (5.3) es (5.4a) segıtsegevela ket modus betoltesi szamai is megadhatoak:

c†0 c0 =N

2− Sz (5.5a)

c†1 c1 =N

2+ Sz (5.5b)

15

A definıciok alapjan konnyen ellenorizheto a kovetkezo kommutator-relaciok teljesulese:

[S− , S+] = −2Sz (5.6a)

[Sz , S+] = +S+ (5.6b)

[Sz , S−] = −S− (5.6c)

Vegul a Hamilton-operatort is felırhatjuk a spinvaltozokkal:

H =−∆C a† a+ ωR

(Sz +

N

2

)+

1

4U0 a

† a

(Sz +

5

2N

)

+

√2

2ηt(a† + a

) (S+ + S−

) (5.7)

A tovabbi vizsgalatokat megkonnyıti majd, ha a (∆C , ωR , U0 , ηt) parameterek hasznala-tarol atterunk a (δC , ωR , u , y) parameternegyesre. A definıciok:

δC = ∆C −1

2NU0 (5.8a)

u =1

4NU0 (5.8b)

y =√

2Nηt (5.8c)

A Hamilton-operator az uj parameterekkel kifejezve:

H =− δC a† a+ ωR

(Sz +

N

2

)+u

Na† a

(Sz +

N

2

)+

1

2

y√N

(a† + a

) (S+ + S−

) (5.9)

5.2. Analogia a Dicke-modellel

A kvantumoptika szakirodalmaban behatoan tanulmanyozott Dicke-modell N db opti-kai rezonatorba helyezett, rogzıtett, ketallapotu atom kolcsonhatasat ırja le a rezonatoregy modusaval [26]. Az atomi atmeneti frekvenciat jelolje ωA, a vizsgalt uregmodusetωC . A csatolasi allando legyen σ. A Dicke-modellt leıro Hamilton-operator:

HDicke =ωC a† a+ ωA

(Sz +

N

2

)+

1

2

σ√N

(a† + a

) (S+ + S−

) (5.10)

Azonnal eszrevehetjuk, hogy u = 0 eseten a parameterek kozotti (−δC , ωR, y) ↔(ωC , ωA , σ) lekepezes analogiat teremt a ket modell kozott. Ugyanakkor jol ismert,hogy azN →∞ termodinamikai hataresetben es zerus homersekleten a Dicke-modellben

16

egy kvantum-fazisatalakulas megy vegbe [16]. A fazisatalakulas kritikus pontjat aσcrit =

√ωC ωA osszefugges hatarozza meg. A σ < σcrit esetben a rendszer az ef-

fektıve gerjesztetlen normal fazisban tartozkodik. σ > σcrit eseten viszont atmegy egykollektıv es makroszkopikusan gerjesztett, un. ”szuper-radians fazisba”. Az analogiaszerint mi az ycrit =

√−δC ωR pontban (δC < 0) varjuk a fazisatalakulast. Latni fog-

juk, hogy a kritikus pont u 6= 0 eseten sem mozdul el, sot akkor sem, hogyha mindenkondenzatum-modust figyelembe veszunk.

Bar elmeleti szempontbol a ket modell ekvialens, kıserleti nezopontbol korantsemaz. A Dicke-modellnel a fazisatalakulasi pontot az optikai tartomanyban varjuk, amia kuszobot dipol-csatolassal elerhetetlenne teszi. A kondenzatum eseteben viszont azatomok belso dinamikajat jellemzo ωA helyebe a kulso terbeli mozgasukat leıro ωRvisszalokodesi frekvencia kerul, ami kHz-es tartomanyba esik. Kovetkezeskeppen afazisatalakulasi pont is lejjebb kerul es ez lehetove teszi a kıserleti megvalosıtast.

A Dicke-modell veges N eseten a kvantumkaosz jegyeit hordja magan. Mi ezek-kel a jegyekkel a tovabbiakban nem foglalkozunk, csak a termodinamikai hataresetetvizsgaljuk, ahol a modell egzaktul megoldhato.Jelolje az uregrezonator belsejenek terfogatat V . A termodinamikai hataresetet azN →∞ es V →∞ limesszel ertelmezzuk, mikozben az N/V reszecskeszam-surusegetallandoan tartjuk. A Rabi-frekvencia (itt nem kozolt) definıciojabol kovetkezik, hogygRabi ∼ 1/

√V . Emiatt U0 ∼ 1/V es ηt ∼ 1/

√V . Az ujonnan bevezett parameterekre

ez az u ∼ N/V es y ∼√N/V aranyossagokat eredmenyezi. Kovetkezeskeppen ezek a

parameterek a termodinamikai hataresetben allandoak.

5.3. Holstein-Primakoff reprezentacio

Vegyunk egy bozonikus b operatort a szokasos kommutator-relaciokkal:

[b , b†] = 1 (5.11a)

[b , b] = 0 (5.11b)

[b† , b†] = 0 (5.11c)

A Holstein-Primakoff reprezentacio az Sz es S± operatorok (5.6)-ban megadott kom-mutator-algebrajat az (5.11)-es algebra felhasznalasaval allıtja elo [27]. A lekepezes akovetkezo:

Sz = b† b− N

2(5.12a)

S+ = b†√N − b† b (5.12b)

S− =

√N − b† b b (5.12c)

Egyszeru szamolassal ellenorizheto, hogy az (5.6)-os relaciok valoban kielegulnek. Az(5.11)-es relaciokbol tudjuk, hogy b† egy kelto-operator. De mit kelt? A gerjesztesikvantumok szama:

b† b = Sz +N

2= c†1 c1 , (5.13)

17

ahol a masodik lepesben (5.5b)-t hasznaltuk. Innen latjuk, hogy b gerjesztesi kvantumaia gerjesztett modusban levo atomok. A 〈b† b〉 ≤ N feltetel miatt b Hilbert-terenek nemminden allapota ertelmes fizikailag. A fizikai allapotok egy veges dimenzios alteretalkotnak, melynek bazisa: |0〉 , |1〉 , ... , |N〉 A termodinamikai hataresetben ez azalter atmegy a teljes Hilbert-terbe. A Holstein-Primakoff reprezentacio segıtsegevelfelırt Hamilton-operator:

H =− δC a† a+ ωR b† b+

u

Na† a b† b

+1

2y(a† + a

)b†√

1− b† b

N+

√1− b† b

Nb

(5.14)

5.4. Felbontas atlagterre es akoruli kis fluktuaciokra

Az (5.14)-es H ket csatolt harmonikus oszcillatort ır le. A csatolas bonyolult alakjamiatt az egzakt kvantumos megoldast nem tudjuk meghatarozni. Ezert egy atlagter -kozelıtest alkalmazunk. Az a es b operatorokat felbontjuk a varhato ertekukre es azakoruli kvantumos oszcillaciokat leıro tagokra. A varhato ertekekrol feltetelezzuk, hogyidoben allandoak. A fluktuaciokat kis mennyisegkent kezeljuk. A modszer a termodi-namikai hataresetben egzakt eredmenyre vezet.Legyen 〈a〉 =

√N α es 〈b〉 =

√N β. A

√N szorzot itt azert celszeru bedefinialni,

hogy majd kesobb N →∞-re α es β konstans legyen. Az α es β szamokrol feltesszuk,hogy valosak. A kesobbiekben latni fogjuk, hogy ez a felteves onkonzisztens : olyanegyenleteket fogunk kapni rajuk, amelyeknek valos gyokeik lesznek. Hajtsunk vegreegy eltolasi transzformaciot az operatorokon:

a→√N α + a (5.15a)

b→√N β + b (5.15b)

Konvencio: Komplex szam es operator osszeget ugy ertelmezzuk, hogy a szamot egyegysegoperatorral megszorozva beagyazzuk az operatorok terebe.Mivel az egysegoperator mindennnel kommutal, ıgy a transzformacio a kommutator-relaciokon nem valtoztat. Az eltolas utan 〈a〉 = 0 es 〈b〉 = 0, az uj operatorok tehata kvantum-fluktuaciokat ırjak le. A teljes fotonszam operatora a kovetkezokeppentranszformalodik:

a† a→(√

Nα + a)† (√

Nα + a)

= N α2 +√N α

(a† + a

)+ a† a (5.16)

Ennek varhato erteke:

〈a† a〉 → N α2 +√N α

(〈a†〉+ 〈a〉

)︸ ︷︷ ︸0

+〈a† a〉 (5.17)

Vagyis a teljes fotonszam egy koherens, klasszikus reszbol es az ahhoz jarulo inkoherenskvantum-korrekciobol all ossze. Ugyanez igaz a gerjesztett atomok szamara is:

〈b† b〉 → N β2 +√N β

(〈b†〉+ 〈b〉

)︸ ︷︷ ︸

0

+〈b† b〉 (5.18)

18

Mivel a gerjesztett atomok maximalis szama N es 〈b† b〉 ≥ 0, ezert β2 ∈ [0, 1]A teljesseg kedveert megjegyezzuk, hogy az eltolas egy uniter hasonlosagi transz-formaciokent is felfoghato. Vezessuk be a

Da (α) = exp(α a† − α∗ a

)(5.19)

uniter eltolasi operatort [19,21]. Igazolhato, hogy:

D†a

(√N α

)a Da

(√N α

)=√N α + a (5.20)

es b-re is hasonlo transzformaciot vegezhetunk. A Hamilton-operator az eltolas hatasara

H → D†b

(√N β

)D†a

(√N α

)H Da

(√N α

)Db

(√N β

)(5.21)

modon transzformalodik. A hasonlosagi transzformacio H spektruman nem valtoztat.

5.5. Taylor-sorfejtes

Az eltolas utani Hamilton-operator:

H =− δC(N α2 +

√N α

(a† + a

)+ a† a

)+ ωR

(N β2 +

√N β

(b† + b

)+ b† b

)+u

N

(N α2 +

√N α

(a† + a

)+ a† a

) (N β2 +

√N β

(b† + b

)+ b† b

)

+1

2y(

2√N α + a† + a

)(√N β + b†) √√√√

1−N β2 +

√N β

(b† + b

)+ b† b

N+ adj.

(5.22)

Ezt a formulat most az(a , b

)(kicsinynek tekintett) valtozoparban masodrendig sor-

bafejtjuk. A gyokos kifejezes sorfejteset a√

1− ε ≈ 1− 12ε− 1

8ε2 Taylor-sor segıtsegevel

vegezhetjuk:√√√√1− β2 −

√N β

(b† + b

)+ b† b

N=√

1− β2

√√√√√1−

√N β(b† + b

)+ b† b

N (1− β2)

≈√

1− β2

1− 1

2

√N β(b† + b

)+ b† b

N (1− β2)

− 1

8

√N β(b† + b

)+ b† b

N (1− β2)

2 ,

(5.23)

19

amibol a masodnal magasabb rendu tagok elhagyhatoak. A sorfejtes innentol csakpolinomokkal valo egyszeru manipulaciot jelent: fel kell bontanunk a zarojeleket esegymas melle kell csoportosıtanunk az azonos rendu tagokat. Vegul egy rendenkentikifejteshez jutunk:

H = H(0) + H(1) + H(2) + ... (5.24)

A nulladrendu tag:

H(0) = E0 (α, β) = N(−δc α2 + ωR β

2 + uα2 β2 + 2y α β√

1− β2)

(5.25)

Az elsorendu tag:

H(1) =√N((−δc + u β2

)α + y β

√1− β2

) (a† + a

)+√N

((ωR + uα2

)β + y α

1− 2β2√1− β2

)(b† + b

) (5.26)

A masodrendu tag:

H(2) =(−δC + u β2

)a† a

+

(ωR + uα2 − y αβ√

1− β2

)b† b

+1

2y

αβ√1− β2

− 1

4y αβ

2− β2

(1− β2)3/2

(b† + b

)2

+

(uα β +

y

2

1− 2β2√1− β2

)(a† + a

) (b† + b

)(5.27)

Azonnal eszrevehetjuk, hogy a rendek√N csokkeno hatvanyai szerint haladnak. Ez

egyszeruen annak a kovetkezmenye, hogyha egy√N α+ a tıpusu osszegbol a kifejtesnel

a masodik tagot valasztjuk, az eggyel nagyobb rendet, viszont kevesebb√N tenyezot

fog eredmenyezni. A harmadik rendnel mar H(3) ∼ 1/√N , ami N → ∞ eseten 0-

hoz tart. A sorfejtesunk tehat a termodinamikai hataresetben egzakt. Gyanus lehet,hogy (5.27) harmadik soraban szerepel egy nulladrendunek latszo tag. Ez a [b , b†] = 1relacio kihasznalasaval keletkezett. Viszont nem tartalmaz N -t, ami mutatja, hogyH(2)-hoz tartozik.Tisztazzuk az egyes rendek fizikai jelenteset. Ehhez kepzeljuk el, hogy felırjuk az(a, a†, b, b†

)operator-negyes mozgasegyenleteit Heisenberg-kepben. Ezek:

d

dta(t) = i[H , a(t)] (5.28a)

d

dtb(t) = i[H , b(t)] (5.28b)

es adjungaltjaik. A kommutator-relaciok alapjan konnyen meggondolhato okolszabaly,hogy a H-ban fellepo n-edrendu tagok a mozgasegyenletekben (n − 1)-ed rendu ta-gokkent jelentkeznek. A nulladrendu H(0) = E0(α, β) I tag mindenkivel kommutal, ıgy

20

kiesik a mozgasegyenletekbol. Az E0(α, β) tenyezo az energia nullszintjet tolja csak el:a sorfejtesnel viszonyıtasi alapnak tekintett, (α, β) parral jellemzett koherens allapotenergiajat adja. A fluktuaciok energiaja erre az energiara tevodik ra.H(2) a mozgasegyenletekben linearis tagokat eredmenyez. Ezek a tagok hatarozzakmajd meg a klasszikus allapot koruli fluktuaciok sajatfrekvenciait. H(1) pedig kons-tans tagok megjelenesehez vezet. Tehat a kovetkezo alaku linearis egyenletrendszerreszamıtunk:

d

dt

a(t)a†(t)

b(t)

b†(t)

=

· · · ·· · · ·· · · ·· · · ·

︸ ︷︷ ︸

H(2)

a(t)a†(t)

b(t)

b†(t)

+

····

︸ ︷︷ ︸H(1)

(5.29)

Vegyuk az egyenletrendszer mindket oldalanak varhato erteket.Az eltolas ota 〈a〉 = 〈a†〉 = 〈b〉 = 〈b†〉 = 0, ıgy az egyenletrendszer baloldala es jobbol-dalanak elso fele is azonosan 0. Kovetkezeskeppen a H(1)-bol szarmazo konstans vektornem lephet fel. Csak akkor nem jutunk ellentmondasra, ha az (α, β) part ugy valasztjuk

meg, hogy (5.26)-ban az(a† + a

)es(b† + b

)tenyezok egyutthatoit kinullazzuk. Ez

ugyanis H(1) = 0 -t eredmenyez. A sorfejtes tehat megadja nekunk azt a pontot is,ami korul sorfejtenunk kell.

5.6. Atlagterek meghatarozasa

(5.26)-ban a 2 tenyezo kinullazasaval a kovetkezo egyenletrendszert kapjuk (α, β) -ra:(−δc + uβ2

)α = −y β

√1− β2 (5.30a)(

ωR + uα2)β = −y α 1− 2β2√

1− β2(5.30b)

Most latjuk igazolodni ket korabban tett kijelentesunket. Egyreszt α-ra es β-ra valosegyenletrendszert adodott, masreszt ez az egyenletrendszer csak olyan parameterekettartalmaz, amelyek a termodinamikai hataresetben allandoak. Ezek a tulajdonsagokpedig az (α, β) parra is at fognak oroklodni. Az egyenletrendszer trivialis megoldasaα = β = 0, ami a normal fazist ırja le. Tegyuk fel, hogy α 6= 0 es β 6= 0. A ket egyenletszorzatabol a kovetkezot kapjuk:(

−δc + u β2) (ωR + uα2

)= y2

(1− 2β2

)(5.31)

α2-et kifejezhetjuk (5.30a)-bol:

α2 = y2 β2 (1− β2)

(−δC + u β2)2 (5.32)

Ezt (5.31)-be helyettesıtve rendezes utan egy masodfoku egyenletet kapunk β2-re:

u

δCβ4 − 2β2 +

ωR δC + y2

ωR u+ y2= 0 , (5.33)

21

4. abra. A koherens fotonok szama N -re vonatkoztatva (α2), a pumpalas erossegenek(y) fuggvenyeben. A parameterek: ωR = 1, δC = −100, u = −0, 1, ycrit = 10.

ahol ωR u + y2 6= 0-t felteteleztunk. Az egyenletbol elsokent a fazisatalakulasi pontot,vagyis a kritikus ycrit erteket hatarozzuk meg. Tudjuk, hogy a fazisatalakulasi pontbanβ erteke folytonosan valtozik. Ezert y → ycrit+ eseten β2 → 0, ıgy (5.33)-bol:

y2crit = −δC ωR (5.34)

A Dicke-modellel valo analogia alapjan u = 0 eseten eppen ezt vartuk. Most azt isbelattuk, hogy a kritikus pont helye u 6= 0 eseten is ezzel a formulaval adhato meg.(5.33)-ban celszeru ωR -et ycrit -tel kifejezni:

u

δCβ4 − 2β2 +

y2 − y2crit

y2 − uδCy2crit

= 0 (5.35)

Ennek az egyenletnek keressuk β2 ∈ [0, 1] intervallumba eso megoldasat a δC < 0,u ≤ 0, ωR > 0, y ≥ ycrit parametertartomanyban.

u = 0 eseten a megoldas azonnal folırhato:

β2 =1

2

(1− y2

crit

y2

)(5.36)

Most tegyuk fol, hogy u 6= 0. Az egyenlet diszkriminansa:

D = 4

(1− u

δC

y2 − y2crit

y2 − uδCy2crit

)≥ 0 (5.37)

Egyszeruen meggyozodhetunk arrol, hogy ez ketfelekeppen lehetseges:

• 1. eset: δC ≤ u < 0 es y2crit ≤ y2

• 2. eset: u < δC < 0 es y2crit ≤ y2 < u

δCy2crit

Szamunkra az 1. eset az erdekes, mivel u ertekerol a ketmodusos modell megalkotasanalfeltettuk, hogy kicsi. A [0, 1] intervallumba eso megoldast a megoldokepletbol a − elojelvalasztasaval kapjuk:

β2 =δCu

(1−

√1− u

δc

y2 − y2crit

y2 − uδCy2crit

)(5.38)

22

5. abra. A koherensen gerjesztett atomok aranya (β2) a pumpalas erossegenek (y)fuggvenyeben. Az abrarol leolvashato, hogy y → ∞ eseten az atomok fele lesz agerjesztett allapotban. A parameterek: ωR = 1, δC = −100, u = −0, 1, ycrit = 10.

5.7. A fluktuaciok vizsgalata

Az atlagter koruli fluktuaciokat a teljes Hamilton-operator masodrendu tagjai ırjak le.Mivel H(0) = E0(α, β) I es a H(2)-ben szereplo konstans tag a dinamikara nincs hatassal,ezert a tovabbiakban oket elhagyjuk H-bol. Ez az energia nullpontjanak atdefinialasatjelenti, amivel a kesobbiekben is elni fogunk.Tehat a hasznalni kıvant Hamilton-operator:

H =(−δC + u β2

)a† a

+

(ωR + uα2 − y αβ√

1− β2

)b† b

−1

4y αβ

2− β2

(1− β2)3/2

(b† + b

)2

+

(uα β +

y

2

1− 2β2√1− β2

)(a† + a

) (b† + b

)(5.39)

Az operator vizsgalatahoz celszeru bevezetni az un. kvadratura-amplitudokat. Ezekdefinıcioja:

Xa =1

2

(a+ a†

)Ya =

1

2i

(a− a†

)(5.40a)

Xb =1

2

(b+ b†

)Yb =

1

2i

(b− b†

)(5.40b)

A kvadratura amplitudok onadjungalt operatorok. Pongyolan szolva ezek az a es b

operatorok ”valos” es ”kepzetes” reszei. Ez jol lathato az(a, a†, b, b†

)negyest megado

23

inverz-relaciokbol:

a = Xa + i Ya a† = Xa − i Ya (5.41a)

b = Xb + i Yb b† = Xb − i Yb (5.41b)

[a, a†] = 1 -bol es [b, b†] = 1 -bol (5.40) alapjan adodnak a kommutator-relaciok:

[Xa , Ya] =i

2(5.42a)

[Xb , Yb] =i

2(5.42b)

es az osszes tobbi kommutator zerus.A fotonok, valamint a gerjesztett atomok szamanak inkoherens reszet megado operatoroknaka kvadratura-amplitudokkal kifejezett alakja:

a† a = X2a + Y 2

a −1

2(5.43a)

b† b = X2b + Y 2

b −1

2(5.43b)

Vegul pedig az uj valtozokkal kifejezett Hamilton-operator:

H = M0

(X2a + Y 2

a

)+MX X

2b +MY Y

2b + 2MC Xa Xb , (5.44)

ahol az Mj parametereket a kovetkezo osszefuggesek definialjak:

M0 = −δC + u β2 (5.45a)

MX = ωR + uα2 − y αβ 3− 2β2

(1− β2)3/2(5.45b)

MY = ωR + uα2 − y αβ 1√1− β2

(5.45c)

MC = 2uα β + y1− 2β2√

1− β2(5.45d)

Vizsgaljuk meg az (5.44)-es operator egyes tagjainak fizikai jelenteset.

Az M0

(X2a + Y 2

a

)-es tag szintfeluletei (az allando energiaju feluletek) az

(Xa, Ya

)sıkban korok. Ezzel szemben az MX X

2b + MY Y

2b tagnal a szintfeluletek az

(Xb, Yb

)sıkban levo ellipszisek. Ez pedig arra vezet, hogy a rendszer alapallapota az utobbisıkban nem egy koherens, hanem egy un. osszenyomott (angolul squeezed) allapotlesz. A koherens es az osszenyomott allapotok precız matematikai targyalasahoz lasd[19, 21]. Itt most elegedjunk meg azzal a szemleletes keppel, hogy a koherens allapota fazisterben egy ”kis” korkent, az osszenyomott allapot pedig egy ”kis” ellipsziskent

24

jelenik meg. A ”kis” szo itt azt a tulajdonsagot takarja, hogy az ellipszis feltengelyeinekszorzata minimalizalja a

∆Xb ∆Yb ≥1

2

∣∣∣⟨[Xb , Yb]⟩∣∣∣ =

1

4(5.46)

Heisenberg-fele hatarozatlansagi relaciot.Vegul az (5.44)-ben utolsokent szereplo 2MC Xa Xb tag kolcsonhatast teremt a ketharmonikus oszcillator kozott. Ez a tag az alapallapotban egy ket-modusos ossze-nyomodast (angolul two-mode squeezing) okoz, ami az oszcillatorok osszefonodasahozvezet. A normal fazisban, vagyis a kritikus pont alatt α = β = 0 es ıgy MX =MY = ωR. Ebben az esetben az egy-modusos osszenyomodas effektusa nem lep fel.Az alapallapot itt a ket-modusosan osszenyomott vakuuma lesz a-nak es b-nek. Ezvaloban egy osszefonodott allapot [28, 29].Az alapallapotot mi a ket modusos modellnel reszleteiben nem vizsgaljuk, helyette adinamikara helyezzuk a hangsulyt. Az alapallapotban fellepo kvantumos korrelaciokszamolasara majd az osszest modus figyelembe vevo modellnel terunk vissza.

5.8. Heisenberg-kepbeli dinamika

Vezessuk be a v =(Xa, Ya, Xb, Yb

)Toszlopvektort es ırjuk fel a mozgasegyenletet

Heisenberg-kepben:d

dtvj(t) = i[H , vj(t)] , (5.47)

ahol j ∈ 1, 2, 3, 4. Az (5.42)-es kommutator-relaciok felhasznalasaval egy linearisdifferencialegyenlet-rendszerre jutunk:

d

dtv(t) = M v(t) (5.48)

Az itt megjeleno M matrix:

M =

0 M0 0 0−M0 0 −MC 0

0 0 0 MY

−MC 0 −MX 0

(5.49)

Erdemes most egy rovid linearis algebrai kiterot tennunk. Az A matrixot normalismatrixnak nevezzuk, ha A es A† a szorzasra nezve felcserelheto. Ez a definıcio az ad-jungalt ertelmezesen keresztul termeszetesen fugg a skalarszorzat valasztasatol. Meg-mutathato, hogy egy matrix pontosan akkor normalis, ha sajatvektoraibol ortonormaltbazis keszıtheto az adott skalarszorzatra nezve. [30] Mi a C4-en ertelmezett standardskalarszorzatot hasznaljuk, ami M† =

(MT

)∗-nak felel meg. Konnyen ellenorizheto,

hogy esetunkben[M,M†] 6= 0. Az ilyen, nem normalis matrixokkal leırt linearis

rendszerek a naivan vartnal altalaban joval gazdagabb viselkedest mutatnak. [31](5.48) megoldasahoz M sajatertek-problemajat kell felhasznalnunk. M sajatertekeit

jelolje λk, a megfelelo jobb- es baloldali sajatvektorokat pedig r(k) es l(k). A jeloles az

25

angol left es right szavakra utal. Mindket vektort oszlopvektornak tekintjuk. Oket akovetkezo egyenletek definialjak:

M r(k) = λk r(k) (5.50a)

M† l(k) = λ∗k l(k) (5.50b)

es az (5.50b) egyenletbol kovetkezoen: l(k)†M = λk l(k)

†

A baloldali sajatvektorok a jobboldaliakra nezve reciprok-bazist alkotnak:

l(k)† · r(n) = δkn (5.51)

Fejtsuk ki v(t)-t normalmodusok szerint:

v(t) =4∑

k=1

ρk(t) r(k) , (5.52)

ahol ρk(t) = l(k)† ·v(t). Ezt a kifejtest (5.48)-be helyettesıtjuk, majd l(n)†-al beszorozzuk

balrol. (5.50a) es (5.51) kihasznalasaval a kovetkezo adodik:

d

dtρn(t) = λn ρn(t) (5.53)

A normalmodusok tehat egymastol fuggetlenul fejlodnek idoben.

5.9. Sajatfrekvenciak meghatarozasa

Mivel hamiltoni dinamikat vizsgalunk, ezert a stabil fazisban tisztan kepzetes sajaterte-keket varunk: λn = −i ωn ,ahol ωn ∈ R jeloli a rendszer n-edik sajatfrekvenciajat. Asajatfrekvenciakat a

det (M− λ I) = det (M + iω I) = 0 (5.54)

sajatertek-egyenlet hatarozza meg. A 4×4-es determinans kifejtese utan ω2-re masodfokuegyenletet kapunk:

ω4 −(M2

0 +MXMY

)ω2 +

(M2

0 MXMY −M2CM0MY

)= 0 (5.55)

Az egyenlet megoldasai ω2-re:

ω2± =

M20 +MXMY

2±

√(M2

0 −MXMY

2

)2

+M2CM0MY (5.56)

A 4 db ωn ertek az ω± ≥ 0 felteves mellett:

(ω1, ω2) = (−ω+,+ω+) es (ω3, ω4) = (−ω−,+ω−) ,

vagyis a sajatfrekvenciak parokban bukkannak fel es a parokon belul az ertekek egymasellentettjei. Ez az idotukrozesi szimmetria kovetkezmenye. Az idotukrozes ugyanisminden frekvenciat a −1 szeresere valtoztat: a parok tehat kicserelodnek.

26

Vizsgaljuk meg, hogy mit kapunk ω±-ra a normal fazisban. Ekkor α = β = 0-boles (5.45)-bol kovetkezoen M0 = −δC , MX = MY = ωR es MC = y. Igy:

ω2± =

δ2C + ω2

R

2±

√(δ2C − ω2

R

2

)2

+ δ2C ω

2R

y2

y2crit

, (5.57)

ahol az y2crit = −δC ωR osszefugges is felhasznalasra kerult. Rogton latjuk, hogy u

mindenhonnan kiesett, a normal fazisban tehat nincs hatassal a dinamikara. Ezertnem tudja u nem zerus erteke elmozdıtani a kritikus pontot. Az (5.57)-es formulanakket fontos specialis esetet vizsgalhatjuk:

• y = 0 eseten ω+ = |δC | es ω− = ωR. Ebben az esetben az atomok es azelektromagneses mezo kozott nincs kolcsonhatas, ıgy mindketten a sajat frek-venciajukkal rezegnek.

• y = ycrit eseten ω+ =√δ2C + ω2

R es ω− = 0. A kritikus pontban a kisebbsajatfrekvencia zerussa valik. Ez az un. kritikus lelassulas a fazisatalakulasipontok altalanos jellemzoje. A kritikus pont felett ω− kepzetesse valik: a normalfazis instabil lesz.

A kritikus pont kozeleben (5.57) alapjan belathato, hogy ω− ∼√ycrit − y, az

eltuneset jellemzo kritikus kitevo tehat 1/2. Ezt az erteket azonban nem szabad komo-lyan vennunk, ugyanis egy atlagter-elmeletbol vezettuk le. Az atlagter-elmelet azonbana kritikus pont kis kornyezeteben elromlik, mivel a fluktuaciok lenyeges szerephez jut-nak. Az alapallapotra szamolt 〈a† a〉 es 〈b† b〉 inkoherens gerjesztesek a fazisatalakulasipontban divergalnak, ıgy hatasuk ott tetszolegesen nagy N eseten sem hanyagolhatoel.

5.10. A kornyezet visszahatasa a rendszerre

A rendszerunket mindeddig zartnak tekintettuk, a valosagban azonban nyılt: a re-zonator vesztesegessege miatt a kornyezetbe 2κ rataval fotonok lepnek ki. A kornye-zet ıgy egy folytonos, gyenge kvantummerest hajt vegre a rendszeren, ami visszahataz utobbi allapotara. Ez a visszahatas egy ξ(t) feherzaj formajaban jelentkezik, amidiffuzios folyamatban igyekszik kivinni a rendszert a kezdoallapotbol. Az a operatormozgasegyenlete tehat a kovetkezokepen modosul:

d

dta(t) = i[H , a(t)]− κ a(t) + ξ(t) (5.58)

Magat a fotonveszteseget leıro −κ a tagot a tovabbiakban elhanyagoljuk. Ezt az in-dokolja, hogy az alapallapotbol kivivo tranziens dinamikara, nem pedig a rendszerstacionarius egyensulyi allapotara vagyunk kivancsiak. Kezdetben pedig a dominanseffektust a kvantumos zaj okozza. A ξ(t) feherzajt a

〈ξ(t)〉 = 0 (5.59a)

〈ξ(t) ξ(t′)†〉 = 2κ δ(t− t′) (5.59b)

〈ξ(t) ξ(t′)〉 = 〈ξ†(t) ξ†(t′)〉 = 〈ξ†(t) ξ(t′)〉 = 0 (5.59c)

27

formulak definialjak. A zaj varhato erteke tehat 0, a ξ es ξ† kulonbozo idopontokbanfelvett ertekei pedig Dirac-delta szeruen korrelaltak. Az osszes tobbi korrelacios egyutt-hato zerus.A kvadratura-amplitudokat ero zaj:

q =

12(ξ + ξ†)

12i

(ξ − ξ†)00

(5.60)

A q vektor komponensei kozotti korrelaciok (5.59) alapjan:

〈qi(t) qj(t′)〉 = Dij δ(t− t′) (5.61)

,ahol a D diffuzios matrix:

D =

12κ i

2κ 0 0

− i2κ 1

2κ 0 0

0 0 0 00 0 0 0

(5.62)

A megoldando differencialegyenlet (5.48)-hoz kepest ugy modosul, hogy a jobboldalhozhozza kell adnunk q(t)-t.

d

dtv(t) = M v(t) + q(t) , (5.63)

tehat egy linearis, sztochasztikus differencialegyenletet kell megoldanunk. Az ilyenegyenletek a szakirodalomban Langevin-egyenlet neven ismertek. A megoldast mostis normalmodusok szerinti kifejtessel allıthatjuk elo. Helyettesıtsuk be az (5.52)-es

kifejtest (5.63)-ba, majd szorozzuk vegig az egyenletet l(n)†-al balrol. Az eredmeny azn-edik normalmodus differencialegyenlete lesz:

d

dtρn(t) = λn ρn(t) + Qn(t) , (5.64)

ahol Qn(t) = l(n)†q(t) az n-edik normalmodust gerjeszto zaj. Ezek korrelacios egyutt-hatoi: ⟨

Qk(t) Qn(t′)⟩

=∑i,j

l(k)∗

i l(n)∗

j Dij δ(t− t′) (5.65)

A (5.64)-es egyenlet megoldasa egyszeruen eloallıthato az allando varialasanak modszerevel:

ρn (t) = ρn (0) eλnt +

∫ t

0

dt′ Qn (t′) eλn(t−t′) , (5.66)

ami alapjan kiszamolhatjuk a normalmodusok korrelacios egyutthatoinak idofuggeset:

〈ρk (t) ρn (t)〉 = 〈ρk (0) ρn (0)〉 e(λk +λn)t+

∫ t

0

dt′∫ t

0

dt′′⟨Qk (t′) Qn (t′′)

⟩eλk(t−t′)+λn(t−t′′)

(5.67)

28

Itt kihasznaltuk, hogy 〈ρn(0) Q(t)〉 = 〈Q(t) ρn(0)〉 = 0, ha t > 0. (5.65)-ot behelyet-tesıtve kapjuk a normalmodusok idofuggeset leıro egyenlet vegleges alakjat:

〈ρk (t) ρn (t)〉 = 〈ρk (0) ρn (0)〉 e(λk +λn)t +∑i,j

l(k)∗

i l(n)∗

j Dije(λk+λn)t − 1

λk + λn(5.68)

A normalmodusok es a kvadratura-amplitudok korrelacioit (5.52) alapjan a kovetkezokepletek kapcsoljak ossze:

〈vp (t) vq (t)〉 =∑k,n

〈ρk (t) ρn (t)〉 r(k)p r(n)

q (5.69a)

〈ρk (0) ρn (0)〉 =∑i,j

l(k)∗

i l(n)∗

j 〈vi (0) vj (0)〉 (5.69b)

Vegul felırhatjuk a kvadratura-amplitudok korrelacioinak idofuggeset meghatarozo egyen-letet:

〈vp (t) vq (t)〉 =∑i,j

∑k,n

l(k)∗

i l(n)∗

j

[〈vi (0) vj (0)〉 e(λk +λn)t +Dij

e(λk+λn)t − 1

λk + λn

]r(k)p r(n)

q

(5.70)Ezen egyenlet alapjan tanulmanyozhatjuk a korrelaciok idobeli novekedeset. A tovabbireszletekert lasd a [15]-os cikket. Itt meg annyit jegyzunk meg, hogy a kezdeti kor-relaciokra vonatkozo es kezenfekvonek tuno 〈vi (0) vj (0)〉 = 0 felteves bajokhoz vezet,ugyanis ellentmond a hatarozatlansagi relacionak. Kezdoallapotnak nem muszaj (5.44)alapallapotat valasztanunk, viszont fizikailag ertelmes allapotot kell hasznalnunk, ha joeredmenyeket akarunk kapni. Egy celszeru valasztas lehet peldaul az a es b operatorokvakuumallapotainak direkt szorzata:

|ψkezdeti〉 = |0〉a ⊗ |0〉b 6= |ψalap〉 (5.71)

Ezzel a valasztassal a kezdeti korrelaciok matrixa:

〈vi (0) vj (0)〉 =

+14

+ i4

0 0

− i4

+14

0 0

0 0 +14

+ i4

0 0 − i4

+14

, (5.72)

amit az (5.70)-es egyenletbe helyettesıtve megkapjuk a korrelaciok idobeli novekedesetleıro formulat.

29

6. Az osszes modust figyelembe vevo modell

”The fundamental laws necessary for the mathematical treatment of alarge part of physics and the whole of chemistry are thus completely known,and the difficulty lies only in the fact that application of these laws leadsto equations that are too complex to be solved.”

Paul Dirac, 1929

A tovabbiakban celunk a teljes, (4.8)-as egyenlettel adott Hamilton-operator alapalla-potanak es gerjesztesi spektrumanak vizsgalata. A kompaktabb kezelhetoseg erdekebenbevezetunk nehany linearis algebrai jelolest.

Legyen c = (c0 , c1 , c2 , ...)T oszlop-, es c† =

(c†0 , c

†1 , c

†2 , ...

)sorvektor. A teljes

reszecskeszam operatora N = c† c, a Hamilton-operator pedig kvadratikus formakbolallıthato ossze:

H =−∆C a† a+ ωR

(c†M(0) c

)+

√2

2ηt(a† + a

) (c†M(1) c

)+

1

4U0 a

† a(c†(M(2) + 2 I

)c),

(6.1)

ahol I az egysegmatrix, az M(j) magmatrixokat pedig a kovetkezo formulak adjak meg:

M(0) =

02

12

22

32

··

(6.2)

M(1) =

0 11 0 1√

21√2

0 1√2

1√2

0 1√2

1√2

0 ·· ·

(6.3)

M(2) =

0 0

√2

0 1 0 1√2 0 0 0 1

1 0 0 0 ·1 0 · ·· · ·

(6.4)

Az M(j) matrixrol erdemes megjegyezni, hogy valos, szimmetrikus, tovabba savdiago-nalis : a sav szelesseget eppen a j index adja meg. Innen konnyen leolvashatjuk azt a

30

mar korabban megallapıtott tulajdonsagot is, hogy ηt egy, U0 pedig ketto tavolsagraleptet a modusok kozott.

Kovetkezo lepeskent be kell allıtanunk a reszecskeszamot a rendszerben. Ezt alegkonnyebben a nagykanonikus sokasag alkalmazasaval tudjuk elerni.Vezessuk be az un. nagykanonikus Hamilton-operatort [17]:

K = H − µ N , (6.5)

ahol µ a kemiai potencial. A Heisenberg-fele mozgasegyenletet is definialjuk at K-val:

d

dtF (t) = i [K , F (t)] , (6.6)

ahol F egy tetszoleges fizikai mennyiseg operatora.Az iment tortentekre tobbfele interpretaciot is adhatunk. Egyreszt gondolhatunk µ-reLagrange-multiplikatorkent, amellyel a reszecskeszam rogzıtesebol adodo kenyszerfelteteltfigyelembe vesszuk a dinamikaban. Masreszt az atterest ugy is felfoghatjuk, hogy a H-ban szereplo osszes c†n cn tıpusu tag egyutthatojat lecsokkentettuk µ-vel, vagyis egytetszoleges modusban tartozkodo atom energiaja=korfrekvenciaja ennyivel kisebb lett.Tehat egy µ korfrekvenciaval forgo vonatkoztatasi rendszerbe ultunk be a modusterben.Ez azert hasznos, mert a (2.3)-as egyenletbol tudjuk, hogy a kondenzatumot leıro〈Ψ(r, t)〉 = ψ(r, t) hullamfuggveny eppen µ korfrekvenciaval oszcillal. Ez az oszcillacioa (4.3)-as kifejtesen keresztul attevodik 〈c(t)〉-re is. Igy a forgo vonatkoztatasi rend-szerben a kondenzatumot jellemzo 〈c(t)〉 vektor idoben allando lesz.

6.1. Felbontas atlagterre es fluktuaciokra

A kovetkezokben a ket modusos modellnel mar latott kozelıtest hasznaljuk. Az aes c operatorokat felbontjuk a varhato ertekukre es az akoruli fluktuaciokat leırooperatorokra, majd a fluktuaciokban Taylor-sorba fejtjuk K-t. Legyen 〈a〉 =

√N α es

〈c〉 =√N γ. Ezek a varhato ertekek idoben allandoak es a ket modusos modellhez

hasonloan most is feltesszuk azt, hogy valosak. Ezt a feltevest kesobb onkonzisztensnekfogjuk talalni. A

√N szorzokat most is azert erdemes bedefinialni, hogy a termodina-

mikai hataresetben konstans mennyisegeket kapjunk. Hajtsuk vegre az

a→√N α + a (6.7a)

c→√N γ + c (6.7b)

eltolasi transzformaciot az operatorokon. Az eltolas utan 〈a〉 = 0 es 〈c〉 = 0, az ujoperatorok a kvantum-fluktuaciokat ırjak le. A teljes fotonszam es a teljes atomszamoperatora a kovetkezokeppen transzformalodik:

a† a→(√

Nα + a†) (√

Nα + a)

= N α2 +√N α

(a† + a

)+ a† a (6.8a)

c† c→(√

NγT + c†) (√

Nγ + c)

= N +√N(c† γ + γT c

)+ c† c , (6.8b)

31

ahol eloırtuk a γT γ = 1 normalasi feltetelt. A linearis tagok varhato erteke 0, ıgy:

〈a† a〉 → N α2 + 〈a† a〉 (6.9a)

〈c† c〉 → N + 〈c† c〉 (6.9b)

(6.9a) mutatja, hogy a teljes fotonszam a ket modusos modellhez hasonloan mostis egy koherens, klasszikus es egy inkoherens reszbol tevodik ossze. (6.8b) es (6.9b)ertelmezese azonban nemileg eltero az elozo modellnel latottol. Ott a gerjesztett ato-mok szama tevodott ossze ket reszbol, a teljes atomszam viszont fixen N volt. Mostazonban a teljes atomszam operatoraban N csak a nulladrendu tagot kepviseli, vagyisa kondenzatumban levo atomok szamat adja meg. A nagykanonikus sokasag az ato-mok egy resze szamara lehetove teszi, hogy a kondenzatumon kıvul foglaljanak helyet.Ezen atomok varhato szamat (6.9b) szerint az eltolas utani 〈c† c〉 adja meg. Ez azertek a kritikus pont kis kornyezetet leszamıtva termeszetesen kicsi. Az eltolt K meg-hatarozasahoz fel kell ırnunk a benne szereplo kvadratikus formak eltoltjait is:

c†M(j) c→(√

NγT + c†)

M(j)(√

Nγ + c)

=N γT M(j) γ +√N(c†M(j) γ + γT M(j) c

)+ c†M(j) c

(6.10)

Az eltolas utani nagykanonikus Hamilton-operator:

K = −∆C

(N α2 +

√N α

(a† + a

)+ a† a

)+ ωR

(N γT M(0) γ +

√N(c†M(0) γ + γT M(0) c

)+ c†M(0) c

)+

√2

2ηt

(2√Nα + a† + a

)·

·(N γT M(1) γ +

√N(c†M(1) γ + γT M(1) c

)+ c†M(1) c

)+

1

4U0

(N α2 +

√N α

(a† + a

)+ a† a

)·

·(N(γT M(2) γ + 2

)+√N

c†(M(2) + 2I

)γ + γT

(M(2) + 2I

)c

+ c†(M(2) + 2I

)c)

− µ(N +

√N(c† γ + γT c

)+ c† c

)(6.11)

A K-ban szereplo tagokat a es c hatvanyai szerint kell csoportosıtanunk. A ket modusosmodelltol elteroen itt nincs szuksegunk Taylor-sorfejtesre, mert negyedrendunel na-gyobb tagok (6.11)-ben nem szerepelnek. K-t tehat a kovetkezo alakban ırjuk fel:

K = K0 + K1 + K2 + ... (6.12)

Az egyes tagok felırasanal celszeru a (5.8)-ban bevezetett uj parameterezest hasznalni.A nulladrendu tagban nincs operator, a kalapot tehat le is hagyhatjuk:

K(0) = N(−δC α2 + ωR

(γT M(0) γ

)+ y α

(γT M(1) γ

)+ uα2

(γT M(2) γ

)− µ

)(6.13)

32

Ez a tag nincs hatassal a dinamikara, ezert a tovabbiakban elhagyjuk. Vezessuk be akovetkezo fuggvenyeket:

Ω(γ) = −δC + uγT M(2) γ (6.14a)

M(α) = ωR M(0) + y αM(1) + uα2(M(2) + 2 I

)(6.14b)

Az M(α) valos, szimmetrikus matrixfuggveny α masodfoku polinomja, amiben a j-edik fokszamu tag egyutthatojat lenyegeben M(j) adja. Jelolje tovabba M′(α) enneka fuggvenynek az α szerinti derivaltjat. Ezen jelolesekkel igen kompakt alakban feltudjuk ırni az elso- es masodrendu tagokat:

K(1) =√N(a† + a

)(Ω(γ)α +

1

2y γT M(1)γ

)+√N(c† (M(α)− µ I) γ + γT (M(α)− µ I) c

) (6.15)

es

K(2) = Ω(γ) a† a+ c† (M(α)− µ I) c

+1

2

(a† + a

) (c†M′(α) γ + γT M′(α) c

).

(6.16)

A harmad- es negyedrendu tagokra K(3) ∼ 1/√N es K(4) ∼ 1/N , ıgy ezek a ter-

modinamikai hataresetben eltunnek. A ket modusos modellhez hasonloan α-t es γ-t most is ugy kell megvalasztani, hogy K(1) = 0 teljesuljon. Az atlagterek korulifluktuaciokat pedig K(2) ırja le. Belole azonnal le is olvashatjuk Ω(γ) fizikai jelenteset:a† a egyutthatojakent o adja meg a rezonatorbeli fotonok effektıv korfrekvenciajat (alezerfenyehez kepest). A γ-tol valo fugges arra utal, hogy ez a frekvencia fugg a kon-denzatum allapotatol. Ez az a jelenseg, aminek a felleptere mar a 4.1-es fejezetben isszamıtottunk.

6.2. Az atlagterek meghatarozasa

A K(1) = 0 feltetelbol a kovetkezo egyenletrendszert kapjuk:

Ω(γ)α +1

2y γT M(1)γ = 0 (6.17a)

M(α) γ = µ γ (6.17b)

A (6.17)-es egyenletrendszer egy un. kvazi-sajatertekproblema: a kondenzatumot jel-lemzo γ az M(α) matrix sajatvektora, a sajatertek pedig a kemiai potencial. Mivela matrix szimmetrikus, ezert µ valos szam lesz. α erteket viszont az elso egyenletenkeresztul γ hatarozza meg, ıgy maga a matrix is valtozik a sajatvektortol fuggoen: erreutal a ”kvazi” szocska.

Az ilyen egyenletrendszerek megoldasara termeszetes modszerkent adodik egy egy-szeru iteracios algoritmus. Valasztunk egy kezdeti α erteket es kiszamoljuk az M(α)

33

6. abra. A koherens mezoamplitudo (α) a pumpalas erossegenek (y) fuggvenyeben.Lathato, hogy a fazisatalakulasi pont helye cm-tol fuggetlen. A parameterek: ωR = 1,δC = −100, u = −20, ycrit = 10.

matrix sajatertekeit es sajatvektorait. Bar matematikai nezopontbol barmelyik sajater-teket valaszthatnank, a fizikai kepbol nyilvanvalo, hogy a kemiai potencial a legki-sebb sajatertek kell legyen, ugyanis az atlagterek a rendszer alapallapotat jellemzomennyisegek. Tehat a legkisebb sajaterteket valasztjuk µ-nek es a hozza tartozosajatvektort γ-nak. Az ıgy kapott vektort a (6.17a)-es egyenletbe helyettesıtjuk eskiszamoljuk belole az uj α-t. Ezutan mindezt megismeteljuk, amıg az eljaras be nemkonvergal. A numerikus szamolas azt mutatja, hogy a kritikus pont kis kornyezetetleszamıtva a konvergencia igen gyorsan vegbemegy.

Probaljuk ki, hogy mit kapunk, ha az iteraciot az α = 0 ertekrol indıtjuk.Ekkor M(α = 0) = ωR M(0) diagonalis matrix, a legkisebb sajaterteke µ = 0. Amegfelelo normalt sajatvektor γ = (1 , 0 , 0 , ...)T . Ekkor Ω(γ) = −δC es γT M(1)γ =0. Az (6.17a) egyenletbol ıgy α = 0 kapunk. Tehat talaltunk is egy megoldast (6.17)-re. Ez a trivialis megoldas, ami a rendszerunk normal fazisat ırja le: a rezonatorbannincs foton es a teljes kondenzatum a homogen modusban foglal helyet. Latjuk, hogyez a megoldas mindig letezik, azonban a kritikus pont felett instabilla fog valni. Atobbi megoldas megkeresese altalaban csak numerikusan vegezheto el. En ehhez Cprogramnyelvet es a LAPACK linearis algebra csomagot hasznaltam: az eredmenyekezen fejezet abrain lathatoak.

A numerikus szamolasnal termeszetesen nem tudjuk az osszes kondenzatum modustkezelni, a vegtelen nagy vektorokat es matrixokat csonkolnunk kell. Az abraknal afigyelembe vett modusok szamat cm jeloli. A 4.2-es alfejezetben emlıtett levagas azon-ban sokat segıt: a cm = 10 eset mar teljesen egzaktnak tekintheto. mivel a vizsgaltparametertartomanyban k ≥ 10-re γk ≈ 0 negy tizedesjegy pontossaggal.

34

7. abra. Az u-val jellemzett kolcsonhatasi tag hatasa α-ra. y erteke kicsivel afazisatalakulasi pont fole lett rogzıtve. Az abran lathato, hogy |u| novelese α-bandivergenciahoz vezet. A ket modusos esetben a divergencia u = δC-nel kovetkezik be.A numerikus szimulacio azt is megmutatja, hogy a divergenciahoz tartozo pontban azureg effektıv korfrekvenciaja (Ω) nullahoz tart, vagyis a vegtelen sok foton kelteseheznem kell energiat befektetni: ezert lehetseges a divergencia. Ha |u|-et tovabb noveljuk,az Ω < 0 -hoz es ahhoz vezet, hogy a fluktuaciokat leıro Hamilton-operator (6.18)nem lesz alulrol korlatos, vagyis megszunik az alapallapot. A parameterek: ωR = 1,δC = −100, ycrit = 10, y = 11.

6.3. A fluktuaciok vizsgalata

Mostantol α es γ erteket ismertnek tekintjuk. Az atlagter koruli fluktuaciokat leıronagykanonikus Hamilton-operator:

K = Ω(γ) a† a+ c† (M(α)− µ I) c

+1

2

(a† + a

) (c†M′(α) γ + γT M′(α) c

).

(6.18)

Az egyenlet ketfele csatolasi tagot tartalmaz: az elso sor masodik tagja ırja le akondenzatum-modusok egymas kozotti csatolasat, a masodik sorban levo tagok pe-dig az ureg es a kondenzatum kozotti csatolast. Elso feladatunk az atomi modusokszetcsatolasa. Ehhez a c†M(α) c bilinearis formaban szereplo M(α) matrixot kelldiagonalizalnunk. Mivel a sajatvektorokat mar az atlagterek szamıtasanal numeriku-san meghataroztuk, ezert a diagonalizalast most konnyen elvegezhetjuk. Jelolje M(α)sajatertekeit λj, a megfelelo sajatvektorokat v(j):

M(α) v(j) = λj v(j) , (6.19)

ahol j ∈ 0, 1, 2, ... A matrix szimmetrikus, ıgy a sajatertekek valosak es azt is folte-hetjuk roluk, hogy novekvo sorba rendezettek. A szinten valos sajatvektorok orto-normalt bazist alkotnak:

v(i)T

· v(j) = δij (6.20)

A legkisebb sajatertek λ0 = µ, a hozza tartozo sajatvektor pedig v(0) = γ.

35

8. abra. A kondenzatum atomjainak eloszlasa (γ2j ) a modusok kozott. A fazisatalakulas

jol lathato modon a c0 es a c1 modusok kozott jon letre, de kesobb a tobbi modus isbekapcsolodik a dinamikaba. A parameterek: ωR = 1, δC = −100, u = −20, ycrit = 10,cm = 10.

Rakjuk be a sajatvektorokat egy matrix oszlopaiba:

O =

v(0) v(1) v(2) · · ·

, (6.21)

ıgy (6.20)-nak koszonhetoen egy ortogonalis matrixot kapunk: OT ·O = O ·OT = IHajtsunk vegre O-val egy ortogonalis transzformaciot c-on:

c = O · b c† = b†·OT (6.22)

Az uj, b operatorral jellemzett atomi modusoktol is elvarjuk, hogy bozonikus kom-mutator-relaciokat elegıtsenek ki:

[bk , b†l ] = δkl (6.23a)

[bk , bl] = 0 (6.23b)

[b†k , b†l ] = 0 (6.23c)

Elso feladatunk a (3.12) es (6.23) relaciok konzisztenciajanak ellenorzese. Egyedul(3.12a) es (6.23a) konzintenciaja nem trivialis. A kovetkezo szamolas mutatja, hogy eza transzformacio ortogonalitasan mulik:

δkl = [ck , c†l ] =

[∑i

Oki bi ,∑j

Olj b†j

]=∑i,j

OkiOlj [bi , b†j]︸ ︷︷ ︸

δij

=

=∑i

OkiOli =∑i

Oki

(OT)il

=(O ·OT

)kl

= δkl

(6.24)

36

Megjegyezzuk, hogy (6.22) egy specialis Bogoljubov transzformaciot jelent. Altalabanıgy nevezzuk a kelto- es eltunteto operatorokat osszekevero olyan linearis transzformacio-kat, amelyek megtartjak a kommutator-relaciokat [21]. A mi tanszformacionk specia-litasa abban rejlik, hogy az eltunteto operatorokat csak mas eltunteto operatorokkal ke-veri, keltokkel nem. Az interpretaciohoz ırjuk ki a (6.22)-es transzformaciot reszletesena sajatvektorokkal:

c = O · b = v(0) · b0 + v(1) · b1 + v(2) · b2 + ... (6.25)

Tudjuk, hogy v(0) = γ, ıgy a b0-as modus a kondenzatum iranyaba eso gerjeszteseitırja le az atomoknak. A tobbi sajatvektor v(0)-ra meroleges. Kovetkezeskeppen a b1,b2, ... modusok a kondenzatum iranyara meroleges gerjeszteseket ırnak le.

Irjuk fel most mar a transzformacio hatasat a K-ban az atomi modusokat osszecsa-tolo tagra:

c† (M(α)− µ I) c = b†·OT (M(α)− µ I) O · b = b

†(Λ− µ I) b , (6.26)

ahol Λ = OT ·M(α) · O = diag (λ0 , λ1 , λ2 , ...) . A b operatorral leırt modusoktehat egymashoz mar nem csatolodnak. A teljes nagykanonikus Hamilton-operator akovetkezokeppen ırhato:

K = Ω(γ) a† a+ b†

(Λ− µ I) b +1

2

(a† + a

) (b†· g + gT · b

), (6.27)

ahol g = OT ·M′(α) γ . Ez az alak mar eleg egyszeru ahhoz, hogy atterhessunk indexesırasmodra:

K = Ω(γ) a† a+∞∑j=0

(λj − µ) b†j bj +1

2

∞∑j=0

gj(a† + a

) (b†j + bj

)(6.28)

Ez a Hamilton-operator a kvantumoptikaban jol ismert: egy harmonikus oszcillatorokfurdojebe helyezett harmonikus oszcillatort ır le. A formulabol leolvashatjuk, hogy a bjmodus korfrekvenciaja λj − µ es ez a modus a-hoz a gj csatolasi allandoval csatolodik.

Vegyuk eszre, hogy λ0 = µ miatt a kondenzatum iranyu gerjeszteseket leıro b0 moduskorfrekvenciaja zerus, a b†0 b0 tag K-bol kiesik. A kondenzatum iranyu gerjeszteseknektehat nincs sajat dinamikajuk, azok csak a kondenzatumban levo atomok N szamatperturbaljak meg. Hogy ezt lassuk, ahhoz ırjuk fel a teljes atomszam N operatorat(6.8b) a b modusokkal:

N = N +√N(c† γ + γT c

)+ c† c

= N +√N(b†·OTγ + γTO · b

)+ b

†·OTO︸ ︷︷ ︸

I

·b(6.29)

A sajatvektorok ortonormaltsaga (6.20) miatt γTO = (1, 0, 0, ...). Vagyis:

N = N +√N(b†0 + b0

)+ b

†b (6.30)

37

Tehat a b†0 + b0 operator felelos N perturbaciojaert. Vegyuk eszre, hogy K-ban b0egyedul ebben a b†0 + b0 kombinacioban jelenik meg. Ez a tag viszont onmagavalkommutal, tehat:

[K , b†0 + b0] = 0 , (6.31)

ami azt jelenti, hogy b†0 + b0 megmarado mennyiseg a (6.6)-os mozgasegyenlet szerint.Mivel egymassal kommutalo operatoroknak letezik kozos sajatfuggveny-rendszere, ezertK diagonalizalasat eleg b†0 + b0 sajatalterein kulon-kulon elvegezni. Egy sajatalterenbelul b†0 + b0 helyettesıtheto a megfelelo sajatertekevel.Masreszt viszont tudjuk, hogy 〈c〉 = 0, ıgy 〈b〉 = 0 szinten. Ebbol kovetkezoen〈b†0 + b0〉 = 0, tehat az egyetlen relevans sajatalter az, amelyikhez zerus sajatertektartozik. Vagyis a fizikai allapotok alteren

b†0 + b0 = 0 , (6.32)

ami ahhoz vezet, hogy a b0 operator kiesik K-bol. Gondolatmenetunk eredmenyet ugyfoglalhatjuk ossze, hogy a kondenzatum-iranyu gerjeszteseket ki kell zarni a Hamilton-operatorbol.

(6.28) ertelmezesehez vegul meg gondoljuk meg, hogy mi tortenne, ha µ ertekeneknem a legkisebb sajaterteket valasztottuk volna. Ekkor a λj − µ sajatfrekvenciakkozott negatıv ertekek is elofordulnanak. Egy negatıv energiaju gerjesztesi kvantumbehelyezese a rendszer osszenergiajat csokkenti, ezert egyre tobb atom kerulne ebbea negatıv energias modusba: az atlagter-megoldast a fluktuaciok instabilla tennek.Egy fizikailag ertelmes Hamilton-operator spektrumanak alulrol mindig korlatosnakkell lennie. ( Kitekinteskent megjegyzem, hogyha a Dirac-egyenletet bozonikus kom-mutator-relaciokkal probaljuk kvantalni, akkor eppen ebbe a problemaba utkozunkbele. )

6.4. Gerjesztesi spektrum: kvazireszecskek

A kondenzatum-iranyu gerjesztesek kizarasa utan a nagykanonikus Hamilton-operator:

K = Ω(γ) a† a +∞∑j=1

(λj − µ) b†j bj +1

2

∞∑j=1

gj(a† + a

) (b†j + bj

)(6.33)

Celunk ezen operator diagonalizalasa a kolcsonhatasi tag kitranszformalasaval. Ve-zessunk be kvadratura amplitudokat a kovetkezo definıciokkal:

x0 =1√2 Ω

(a† + a

)p0 = i

√Ω

2

(a† − a

)(6.34a)

xj =1√

2(λj − µ)

(b†j + bj

)pj = i

√λj − µ

2

(b†j − bj

), (6.34b)

ahol j ∈ 1, 2, 3, .... A kelto es eltunteto operatorokat megado inverz relaciok:

a =

√Ω

2x0 +

i√2 Ω

p0 a† =

√Ω

2x0 −

i√2 Ω

p0 (6.35a)

bj =

√λj − µ

2xj +

i√2(λj − µ)

pj b†j =

√λj − µ

2xj −

i√2(λj − µ)

pj (6.35b)

38

A kvadratura-amplitudokat szandekosan ugy vezettuk be, hogy azok egy egysegnyitomegu mechanikus oszcillator koordinata es impulzus valtozoira emlekeztessenek. A√ω tıpusu szorzok a definıcioban kesobb hasznosnak fognak bizonyulni. Hangsulyozzuk,

hogy az (x0 , p0) kvadraturak a-hoz tartoznak, nem pedig b0-hoz, amivel mar nem kellfoglalkoznunk. A kommutator-relaciok a definıciobol egyszeruen adodnak:

[xk , pl] = i δkl (6.36a)

[xk , xl] = 0 (6.36b)

[pk , pl] = 0 (6.36c)

Itt k, l ∈ 0, 1, 2, 3, .... Ezek eppen a Heisenberg-fele kanonikus csererelaciok a ~ = 1egysegrendszerben. A reszecskeszamokat megado operatorok:

a† a =1

2 Ωp2

0 +1

2Ω x2

0 −1

2(6.37a)

b†j bj =1

2(λj − µ)p2j +

1

2(λj − µ) x2

j −1

2(6.37b)

Vegul a teljes nagykanonikus Hamilton-operator a kvadratura-amplitudokkal kifejezve:

K =1

2

(p2

0 + Ω2 x20

)+

1

2

∞∑j=1

(p2j + (λj − µ)2 x2

j

)+

∞∑j=1

gj · x0 xj , (6.38)

ahol gj = gj ·√

Ω(λj − µ). ( A dinamikat nem befolyasolo additıv konstansokat el-hagytuk. )Vezessunk be vektorjeloleseket: x = (x0 , x1 , x2 , ...)

T es p = (p0 , p1 , p2 , ...)T .

(6.38)-at ket darab kvadratikus forma osszegeve tomorıthetjuk:

K =1

2pT p +

1

2xT S x , (6.39)

ahol az S magmatrix:

S =

Ω2 g1 g2 · ·g1 (λ1 − µ)2

g2 (λ2 − µ)2

· ·· ·

(6.40)

Most elvezzuk a (6.34)-es definıcio azon elonyet, hogy az p-t tartalmazo kvadratikusforma magmatrixa az egysegmatrix. Ez a definıcional beillesztett

√ω-s szorzoknak

koszonheto. Igy elegendo az S valos, szimmetrikus matrixot diagonalizalnunk egyortogonalis transzformacioval. Rakjuk be a matrix sajatvektorait az U ortogonalismatrixba: UT · U = U · UT = I Hajtsuk vegre U-val a koordinata- es az impulzus-operatorokon is ugyanazt az ortogonalis transzformaciot:

x = U · X p = U · P (6.41)

39

Az uj (X , P) kvadraturaktol is elvarjuk, hogy elegıtsek ki a (6.36)-os csererelaciokat:

[Xk , Pl] = i δkl (6.42a)

[Xk , Xl] = 0 (6.42b)

[Pk , Pl] = 0 (6.42c)

(6.36) es (6.42) konzisztenciajat a kovetkezo szamolas igazolja:

i δkl = [xk , pl] =∑m,n

Ukm Uln [Xm , Pn]︸ ︷︷ ︸i δmn

=

= i∑m

Ukm Ulm = i(U ·UT

)kl

= i δkl ,

(6.43)

a masik ket relaciopar konzisztenciaja trivialis.(6.41) hatasa a nagykanonikus Hamilton-operatorra:

K =1

2PT·UT U︸ ︷︷ ︸

I

·P +1

2XT·UT S U︸ ︷︷ ︸

D

·X , (6.44)

ahol D = diag (ω20 , ω

21 , ω

22 , ...) diagonalis matrix, ami a rendszer sajatfrekvenciait

adja meg. Indexesen kiırva:

K =1

2

∞∑j=0

(P 2j + ω2

j X2j

)(6.45)

Ez a Hamilton-operator fuggetlen harmonikus oszcillatorokat ır le, amit uj kelto- eseltunteto-operatorok bevezetesevel konnyen diagonalizalhatunk. Legyen:

dj =

√ωj2Xj +

i√2ωj

Pj d †j =

√ωj2Xj −

i√2ωj

Pj , (6.46)

ahol most j ∈ 0, 1, 2, .... A kvadraturakat megado inverz-relaciok:

Xj =1√2ωj

(d †j + dj

)Pj = i

√ωj2

(d †j − dj

)(6.47)

Az uj kelto es eltunteto-operatorok kommutator-relacioi (6.42)-bol adodnak:

[dk , d†l ] = δkl (6.48a)

[dk , dl] = 0 (6.48b)

[d †k , d†l ] = 0 (6.48c)

Vegul a Hamilton-operator:

K =∞∑j=0

ωj d†j dj , (6.49)

40

9. abra. A rendszer ωj sajatfrekvenciai. Lathato, hogy y = 0 eseten ωj = j2 · ωR.A kritikus lelassulas jelensege is megfigyelheto: a fazisatalakulasi pontban a legkisebbsajatfrekvencia zerussa valik. A parameterek: ωR = 1, δC = −100, u = −20, ycrit = 10,cm = 10.

ami az|n1〉d1 ⊗ |n2〉d2 ⊗ |n3〉d3 ⊗ ...

bazison diagonalis.

Mar csak a fizikai interpretaciot kell megadnunk. Az eddigi linearis transzformaciok

egy tobb lepesben elvegzett Bogoljubov transzformaciot eredmenyeznek, ami (a , a† , b , b†)

elemeit osszekeveri es atviszi (d , d†) elemeibe. Ez azt jelenti, hogy a d †j operator egy

kvazireszecske kelteset ırja le, ami az atomok es az elektromagneses mezo osszecsatoltgerjeszteseibol all.

A gerjesztesi spektrumot tehat csak ugy tudjuk ertelmezni, ha a rendszert nem azatomokbol es a toluk kulonallo rezonatorbol osszerakottnak, hanem a kettot osszekap-csolo, de egymastol fuggetlen kvazireszecskek ”gazanak” tekintjuk. ( A ”gaz” szo itt akulonbozo kvazireszecskek kozotti kolcsonhatas hianyara utal. )

Az|n1〉d1 ⊗ |n2〉d2 ⊗ |n3〉d3 ⊗ ...

bazisvektor, ami K-nak sajatvektora, meg-

adja az egyes modusokban levo kvazireszecskek szamat. A j-edik modus mindenreszecskejehez ωj energia tartozik. (6.49)-ben az energia nullpontjat ugy valasztottuk,hogy az egyetlen kvazireszecsket sem tartalmazo alapallapothoz zerus energia tar-tozzek.

6.5. A normal fazisban fellepo fluktuaciok vizsgalata

Alkalmazzuk az eddigiekben leırtakat a normal fazis esetere. A 6.2-es alfejezetboltudjuk, hogy a normal fazisban α = 0 es γ = (1 , 0 , 0 , ...)T , vagyis nincsenek koherensfotonok a rezonatorban, a kondenzatum pedig homogen modon tolti ki a teret.Ekkor Ω(γ) = −δC es M(α = 0) = ωR M(0). Ez a matrix mar diagonalis: leolvashatjukbelole, hogy µ = 0 es λn = n2 · ωR. Mivel kulon diagonalizalasra nem volt szuksegunk,ezert O = I es c = b. Az a es c kozotti csatolasi allandok vektora: g = OT ·M′(α) γ.Itt M′(α = 0) = yM(1), ıgy g = y ·M(1) γ = y · (0 , 1 , 0 , 0 , ...)T . Tehat egyedulaz a es c1 modusok csatolodnak, meghozza a g1 = y csatolasi allandoval. A (6.33)-as

41

Hamilton-operator explicit modon kiırva a kovetkezokeppen nez ki:

K = −δC a† a + ωR

∞∑n=1

n2 c†n cn +1

2y(a† + a

) (c†1 + c1

)(6.50)

Az S matrixban szereplo modosıtott csatolasi allando: g1 = y ·√−δC ωR = y ·ycrit, ahol

felhasznaltuk a ket modusos modellnel (5.34)-el bevezetett ycrit jelolest. Azt meg nemtudjuk, hogy a fazisatalakulasi pont helyet az osszes modust figyelembe vevo modellbenis ycrit adja-e, de hamarosan ki fog derulni, hogy igen. Irjuk fel az S matrixot:

S =

δ2C y · ycrit

y · ycrit ω2R

4ω2R

9ω2R

·

(6.51)

Ez a matrix blokkdiagonalis es a teljes diagonalizalashoz elegendo a felso 2×2-es blokkalfoglalkozni. Ennek a sajatertek-egyenlete (ω2 a sajatertek):

ω4 −(δ2C + ω2

R

)· ω2 + δ2

C · ω2R − y2 · y2

crit = 0 (6.52)

Az egyenlet megoldasa:

ω2± =

δ2C + ω2

R

2±

√(δ2C − ω2

R

2

)2

+ δ2C ω

2R

y2

y2crit

, (6.53)

ahol az y2crit = −δC ωR osszefugges is felhasznalasra kerult. Ezek a frekvenciak eg-

zaktul megegyeznek a ket modusos modellnel az (5.57)-es formulabol kapottal. Ezamiatt nem tul meglepo, hogy mar (6.50)-bol tudjuk, hogy a normal fazisban csak ac1 modus csatolodik a-hoz, ezt a csatolast pedig a ket modusos modell egzaktul leırja.Viszont (5.57) azon kovetkezmenyet is lattuk, hogy y = ycrit eseten ω− = 0 es ez akritikus lelassulas jelzi a fazisatalakulast ycrit-nel. Ugyanezek a kovetkeztetesek mostis ervenyben maradnak, tehat a kritikus pontnak most is ugyanott kell lennie! Ezzelbelattuk korabbi allıtasunkat.

6.6. A modell alapallapotanak vizsgalata tetszoleges fazisban

Terjunk vissza az altalanos vizsgalodasokra. A (6.49)-es Hamilton-operator alapallapo-tat egyszeruen ugy kaphatjuk meg, hogy egyetlen kvazireszecsket sem rakunk be arendszerbe:

|ψalap〉 = |0〉d1 ⊗ |0〉d2 ⊗ |0〉d3 ⊗ ... (6.54)

Ha a rendszer Hilbert-teret a dj operatorok Hilbert-tereinek direkt szorzatakent epıtjukfel, akkor a fenti allapot szeparalhato: a kvazireszecske-modusok kozott az alapallapot-ban nincs osszefonodas. Mas a helyzet azonban, ha ezeket az operatorokat visszatransz-formaljuk a rezonatort es az atomokat leıro eredeti a es b operatorokba. Ha a rendszerHilbert-teret ezen regi operatorok Hilbert-tereibol epıtjuk fel, akkor a fenti allapotot

42

csak tobb direkt szorzat linearis kombinaciojakent ırhatjuk fel, vagyis az alapallapotbana rezonator es az atomok kozott osszefonodas jon letre.

Az alapallapot teljes jellemzesere celszeru valamelyik kvazivaloszınuseg-eloszlast fel-hasznalni. A legegyszerubb valasztas a Wigner-fuggveny hasznalata [20–22]. Belathato,hogy bilinearis Hamilton-operatorok alapallapotanak Wigner-fuggvenye mindig egytobbdimenzios Gauss-eloszlassal adhato meg. Ez egyszeruen annak a kovetkezmenye,hogy az ilyen Hamilton-operatorok csatolt harmonikus oszcillatorokat ırnak le. Ezekaz oszcillatorok egy ugyesen valasztott Bogoljubov transzformacioval szetcsatolhatok,a szetcsatolas utan pedig az alapallapot az uj oszcillatorok vakuum-allapotainak di-rekt szorzatakent ırhato fel. Az pedig jol ismert, hogy egyetlen harmonikus oszcillatorvakuumallapotanak Wigner-fuggvenye egy Gauss-eloszlas.

Szinten kozismert, hogy a tobbdimenzios Gauss-eloszlasokat teljesen meghatarozzaa korrelacios matrixuk: az exponencialis fuggveny argumentumaban egy kvadratikusforma szerepel, aminek a magmatrixa eppen a korrelacios matrix inverze [21]. Ezerta tovabbiakban nekunk elegendo a korrelacios matrix meghatarozasaval torodnunk.Wigner-fuggveny hasznalata eseten a Weyl korrespondencianak [21, 22] megfeleloen akorrelacios matrixban az operatorok szorzatait szimmetrikusan kell rendeznunk.

Eloszor a (X, P) kvadraturak korrelacioit szamoljuk ki, aztan az eredmenyeketattranszformaljuk a (x, p) kvadraturakra. Kezdjuk a koordinatak szorzatainak varhatoertekevel. Mivel a koordinataoperatorok egymassal felcserelhetok, ezert nem kell torod-nunk a rendezessel. (6.47)-et felhasznalva:⟨

Xk Xl

⟩=

1

2

1√ωk ωl

⟨(d †k + dk

)(d †l + dl

)⟩=

=1

2

1√ωk ωl

⟨dk d

†l

⟩=

1

2

1√ωk ωl

⟨[dk , d

†l

]⟩=

1

2ωkδkl

(6.55)

A dl operator jobbrol, a d †k operator pedig balrol tunteti el a vakuumot, ezert a 4 tagbol

csak 1 marad meg. Ugyanez a tulajdonsag teszi lehetove, hogy dk d†l -t kiegeszıthessuk

kommutatorra, ugyanis a masodik tag varhato erteke zerus. Vegul a (6.48a) relacioadja a Dirac-deltat.Ugyanıgy jarunk el az impulzusok szorzatainak varhato ertekevel is:⟨

Pk Pl

⟩= −√ωk ωl2

⟨(d †k − dk

)(d †l − dl

)⟩=

=

√ωk ωl2

⟨dk d

†l

⟩=

√ωk ωl2

⟨[dk , d

†l

]⟩=ωk2δkl

(6.56)

Vegul vizsgaljuk a koordinata- es impulzusoperator szorzatokat tartalmazo vegyes ta-gokat. Ezek az operatorok mar nem mindig kommutalnak, ezert ugyelnunk kell aszimmetrikus rendezes biztosıtasara:⟨

Xk Pl

s

⟩=

1

2

⟨Xk Pl + Pl Xk

⟩=

=i

4

√ωlωk

⟨(d †k + dk

)(d †l − dl

)+(d †l − dl

)(d †k + dk

)⟩=

=i

4

√ωlωk

⟨dk d

†l − dl d

†k

⟩=i

4

√ωlωk

(δkl − δlk) = 0 ,

(6.57)

43

ahol ...s jeloli a szimmetrikus rendezest.Osszefoglalva a kovetkezo korrelacios egyutthatokat kaptuk:

〈Xk Xl〉 =1

2ωkδkl (6.58a)

〈Pk Pl〉 =ωk2δkl (6.58b)

〈Xk Pls〉 = 0 (6.58c)

Hajtsuk most vegre ezeken a (6.41)-es transzformaciot, hogy megkapjuk az (x, p) kvad-raturak korrelacioit:

〈xk xl〉 =∞∑

i,j=0

Uki Ulj 〈Xi Xj〉︸ ︷︷ ︸1

2 ωjδij

=1

2

∞∑j=0

Ukj Ulj ·1

ωj(6.59a)

〈pk pl〉 =∞∑

i,j=0

Uki Ulj 〈Pi Pj〉︸ ︷︷ ︸ωj2δij

=1

2

∞∑j=0

Ukj Ulj · ωj (6.59b)

〈xk pls〉 =∞∑

i,j=0

Uki Ulj 〈Xi Pjs〉 = 0 (6.59c)

Matrixhatvanyok segıtsegevel ezeket a korrelaciokat igen tomor alakba ırhatjuk. A(6.59a)-ban szereplo 1/ωj sajatfrekvencia a D−1/2 diagonalis matrix foatlojaban levo

j-edik elem. Igy:

〈xk xl〉 =∞∑

i,j=0

Uki Ulj

(D−1/2

)ij

=∞∑

i,j=0

Uki

(D−1/2

)ij

(UT)jl

=1

2

(U ·D−1/2 ·UT

)kl

(6.60)Az S matrix spektralfelbontasa: S = U ·D ·UT , tehat a matrixhatvany definıcioja

szerint: S−1/2 = U ·D−1/2 ·UT . (6.59b)-vel hasonloan banhatunk el, ott S+1/2 jelenikmeg. Vegul a korrelaciokra a kovetkezot kapjuk:

〈xk xl〉 =1

2

(S−1/2

)kl

(6.61a)

〈pk pl〉 =1

2

(S+1/2

)kl

(6.61b)

〈xk pls〉 = 0 (6.61c)

Ez termeszetesen nem tobb egy kompakt jelolesnel, a konkret szamolasokhoz a (6.59)-esformulakat kell hasznalnunk.

Az eddigiek alkalmazasakent szamoljuk ki a rezonatorban levo inkoherens fotonok〈a† a〉 szamat. (6.37a)-bol, (6.59a)-bol es (6.59b)-bol kovetkezoen:

〈a† a〉 =1

2 Ω〈p2

0〉 +1

2Ω 〈x2

0〉 −1

2=

=1

4 Ω

∞∑j=0

U20j ωj +

1

4Ω∞∑j=0

U20j

1

ωj− 1

2

(6.62)

44

10. abra. A rendszerben levo inkoherens fotonok varhato szama (〈a† a〉) afazisatalakulasi pont kozeleben. A parameterek: ωR = 1, δC = −100, u = −20,ycrit = 10, cm = 3.

Hasznaljuk ki, hogy

∞∑j=0

U20j =

∞∑j=0

U0j UTj0 =

(U ·UT

)00

= 1 (6.63)

Ha ezt az osszeget odaırjuk a jobboldal utolso tagjanak vegehez, akkor a 3 tagot egykozos szummaba vonhatjuk ossze:

〈a† a〉 =1

4

∞∑j=0

U20j

(ωjΩ

+Ω

ωj− 2

)(6.64)

Hasonloan kaphatjuk meg a bk modusban levo, kondenzatumon kıvuli atomok szamatis. Kepletunkben csak a 0→ k es Ω→ λk − µ csereket kell vegrehajtanunk:

〈b†k bk〉 =1

4

∞∑j=0

U2kj

(ωj

λk − µ+λk − µωj

− 2

), (6.65)

ahol k ∈ 1, 2, 3, .... k-ra osszegezve megkaphatjuk a kondenzatumon kıvuli atomokteljes szamat is:

〈c† c〉 = 〈b†b〉 =

∞∑k=1

〈b†k bk〉 =1

4

∞∑k=1

∞∑j=0

U2kj

(ωj

λk − µ+λk − µωj

− 2

), (6.66)

Itt ugyelnunk kell arra, hogy a bk -hoz kapcsolodo szumma nem 0-tol, hanem csak 1-tolindul.

Vegul szamoljuk ki a ck modusban levo, kondenzatumon kıvuli atomok szamat is.

45

Ehhez az (6.22)-es transzformaciot es a (6.35)-os formulakat kell felhasznalnunk:

〈c†n cn〉 =∞∑

k,l=1

Onk Onl 〈b†k bl〉 =∞∑

k,l=1

Onk Onl ·

·

⟨(√λk − µ

2xk −

i√2(λk − µ)

pk

)(√λl − µ

2xl +

i√2(λl − µ)

pl

)⟩

=1

2

∞∑k,l=1

Onk Onl

(√(λk − µ)(λl − µ) 〈xk xl〉 +

1√(λk − µ)(λl − µ)

〈pk pl〉

)

+1

2

∞∑k,l=1

Onk Onl

(i

√(λk − µ)

(λl − µ)〈xk pl〉 − i

√(λl − µ)

(λk − µ)〈pk xl〉

)(6.67)

Most a korrelacios matrix (6.59)-el adott elemeit kell behelyettesıtenunk. Am mielottezt megtehetnenk, 〈xk pl〉-t es 〈pk xl〉-t szimmetrikusan rendezett alakra kell hoznunk.Ezt ugy tehetjuk meg, hogy a mennyisegeket szimmetrikus es antiszimmetrikus reszukosszegere bontjuk fol es az antiszimmetrikus reszben kihasznaljuk a (6.36)-os kom-mutator-relaciokat:

〈xk pl〉 =〈xk pl〉+ 〈pl xk〉

2+〈xk pl〉 − 〈pl xk〉

2

= 〈xk pls〉︸ ︷︷ ︸0

+1

2〈[xk , pl]〉︸ ︷︷ ︸

i δkl

=i

2δkl

(6.68)

es hasonloan adodik, hogy 〈pk xl〉 = − i2δkl . Helyettesıtsuk vissza ezeket a fenti

kepletbe:

〈c†n cn〉 =1

2

∞∑k,l=1

Onk Onl

(√(λk − µ)(λl − µ) 〈xk xl〉 +

〈pk pl〉√(λk − µ)(λl − µ)

)

− 1

4

∞∑k,l=1

Onk Onl

(√(λk − µ)

(λl − µ)+

√(λl − µ)

(λk − µ)

)δkl

(6.69)

Irjuk be most mar (6.59a)-t es (6.59b)-t. δkl-t az osszevonhatosag erdekeben a kovet-kezovel helyettesıtsuk :

∞∑j=0

Ukj Ulj =(U ·UT

)kl

= δkl (6.70)

46

11. abra. A kondenzatumon kıvuli atomok teljes szamanak varhato erteke (〈c† c〉)a fazisatalakulasi pont kozeleben. A parameterek: ωR = 1, δC = −100, u = −20,ycrit = 10, cm = 3.

Vegul a kovetkezo formulat kapjuk:

〈c†n cn〉 =1

4

∞∑k,l=1

∞∑j=0

Onk Onl Ukj Ulj ·

·

(√(λk − µ)(λl − µ)

ωj+

ωj√(λk − µ)(λl − µ)

−

(√(λk − µ)

(λl − µ)+

√(λl − µ)

(λk − µ)

))(6.71)

A keplet eleg bonyolultnak adodott, ezert celszeru valamilyen modon meggyozodnunka helyessegerol. Ezt ugy tesztelhetjuk le a legkonnyebben, hogy kiszamoljuk ujra akondenzatumon kıvuli teljes atomszamot es az eredmenyt osszevetjuk (6.66)-al. Ehhez∑∞

n=0 〈c†n cn〉-t kell kiertekelnunk. Vegyuk eszre, hogy az n index csak az O matrixoknalszerepel, ıgy a ra vonatkozo osszegzes elvegezheto:

∞∑n=0

Onk Onl =(OT ·O

)kl

= δkl (6.72)

A k-t es l-t egyenlove teve:

∞∑n=0

〈c†n cn〉 =1

4

∞∑k=1

∞∑j=0

U2kj

(λk − µωj

+ωj

λk − µ− 2

)(6.73)

es ez a formula valoban megegyezik (6.66)-al.

6.7. Osszefonodasi mertekek

Tegyuk fel, hogy van egy A reszrendszerbol es annak B kornyezetebol allo osszetettrendszerunk. A teljes rendszer legyen a |ψalap〉 hullamfuggvennyel jellemzett alapallapot-ban. A rendszer surusegoperatora: ρ = |ψalap〉〈ψalap|, ami egy tiszta allapotot ır le. A

47

reszrendszer redukalt surusegoperatora: ρA = TrB (ρ). Mivel a teljes rendszer allapotatiszta, A es B pontosan abban az esetben van osszefonodva, ha a ρA allapot kevert.Ennek eldontesere un. osszefonodasi mertekeket hasznalunk. A legelterjedtebb ilyenmertek az osszefonodasi entropia, amely nem mas, mint a reszrendszer Neumann-entropiaja:

SA = −TrA (ρA · lnρA) (6.74)

Egy masik lehetseges osszefonodasi mertek az un. linearis entropia:

SA, lin = 1− TrA(ρ2A)

(6.75)

Mindket mennyisegrol megmutathato, hogy ertekuk zerus, amennyiben ρA tiszta. Ke-vert allapot eseten mindket entropia pozitıv erteket vesz fol. Egy kulonbseg azonbana ket mennyiseg kozott, hogy SA tetszolegesen nagy erteket felvehet, mıg SA, lin ≤ 1lehet csak.

A mi konkret rendszerunkben A az uregrezonator es B a kondenzatum. Vezessukbe a

χ =

√−⟨

(a† + a)2⟩⟨

(a† − a)2⟩

(6.76)

parametert. Segıtsegevel a fent ertelmezett ket osszefonodasi merteket a kovetkezokepletekkel ( levezetes: [23, 24] ) adhatjuk meg:

SA =χ+ 1

2· ln(χ+ 1

2

)− χ− 1

2· ln(χ− 1

2

)(6.77a)

SA, lin = 1− 1

χ(6.77b)

Egyszeru fuggvenyanalızissel belathato, hogy a χ ∈ (+1,+∞) ertelmezesi tartomanyonmindket fuggveny pozitıv es szigoruan monoton novo. χ → 1 eseten SA → 0 esSA, lin → 0. Tovabba χ → +∞ eseten SA → +∞ es SA, lin → 1. A ket fuggvenyt a12-es abra szemlelteti.

Mindez azt jelenti, hogy magat χ-t is hasznalhatjuk osszefonodasi merteknek: χ = 1eseten a reszrendszer allapota tiszta, χ > 1 eseten pedig egyre kevertebb.

Vegezzunk el egy egyszeru probat a (6.77)-es formulak tesztelesere. Tegyuk fel,hogy y = u = 0, tehat se pumpalas, se kolcsonhatas nincs a rendszerben. Ekkor azuregrezonator alapallapota egyszeruen az a-hoz rendelt vakuumallapot, vagyis: ρA =|0〉〈0|. Ez egy tiszta allapot, ıgy az elobbiek alapjan elvarjuk, hogy χ = 1 legyen.Egyszeru szamolassal igazolhatjuk, hogy ez teljesul is:

〈0|(a† + a

) (a† + a

)|0〉 = 〈0| a a† |0〉 = 1 (6.78a)

〈0|(a† − a

) (a† − a

)|0〉 = −〈0| a a† |0〉 = −1 , (6.78b)

ıgy χ = 1 valoban fennall.Terjunk vissza az altalanos esetre. Mivel mi a kvadratura amplitudok korrelacios

egyutthatoit ismerjuk, ezert celszeru χ-t ezekkel a mennyisegekkel is kifejezni. A (6.34)-es definıciot felhasznalva:

χ = 2 ·√〈x2

0〉 〈p20〉 (6.79)

48

12. abra. Az SA osszefonodasi es az SA, lin linearis entropia χ fuggvenyeben (6.77).

〈x0〉 = 〈p0〉 = 0 miatt ezt a ∆x0 =√〈x2

0〉 es ∆p0 =√〈p2

0〉 kvadratura-szorasokkal isfelırhatjuk:

χ = 2 ·∆x0 ∆p0 (6.80)

Masreszt az [x0 , p0] = i kommutatorbol kovetkezo hatarozatlansagi-relacio szerint:

∆x0 ·∆p0 ≥1

2|〈[x0 , p0]〉| =

1

2, (6.81)

ami a χ ≥ 1 egyenlotlensegre vezet. A χ = 1-el jellemzett tiszta allapotu reszrendszeregyben a hatarozatlansagi relacio minimalizalasat eredmenyezi. Ez annak a kovet-kezmenye, hogy a teljes rendszer az alapallapotban van.

Kimondhatjuk tehat azt a tetelmondatot, hogy az alapallapotban levo teljes rend-szer A reszrendszere pontosan akkor osszefonodott, ha χ > 1, vagyis a reszrendszer ara vonatkozo hatarozatlansagi relaciot nem tudja minimalizalni.

Vegul megkısereljuk a (6.77)-es formulak egy, a fent citalt cikkekben szereplotoleltero levezeteset adni a Wigner-fuggveny segıtsegevel. Ehhez eloszor az ureg kor-relacios matrixat ırjuk fol:

CA =

〈x20〉 〈x0 p0s〉

〈x0 p0s〉 〈p20〉

=

∆x20 0

0 ∆p20

, (6.82)

ahol kihasznaltuk, hogy (6.59c) szerint 〈x0 p0s〉 = 0. Legyen v = (x0 , p0)T . A

reszrendszer Wigner-fuggvenye egy ket dimenzios Gauss-eloszlas, ami a korrelaciosmatrix alapjan [21] ırhato fol:

WA (x0 , p0) = N · exp−1

2vT C−1 v

= N · exp

−(

x20

2 ∆x20

+p2

0

2 ∆p20

)(6.83)

Az N normalasi tenyezot a ∫WA (x0 , p0) dΓ = 1 (6.84)

49

13. abra. Az SA osszefonodasi es az SA, lin linearis entropia a fazisatalakulasi pontkozeleben. A parameterek: ωR = 1, δC = −100, u = −20, ycrit = 10, cm = 3.

normalasi feltetel hatarozza meg, ahol az integralasi mertek:

dΓ =dx0 dp0

h=dx0 dp0

2π(6.85)

Itt kihasznaltuk, hogy a ~ = 1 egysegrendszerben az elemi faziscella terulete: h = 2π.A kovetkezokben jonehany Gauss-integralt ki kell majd szamolnunk.

A szamolasok alapja a ∫ +∞

−∞e−a x

2

dx =

√π

a(6.86)

formula. Kezdjuk a normalasi feltetellel:∫WA (x0 , p0) dΓ =

N2π

∫ +∞

−∞exp

− x2

0

2 ∆x20

dx0

∫ +∞

−∞exp

− p2

0

2 ∆p20

dp0

=N2π

√2π∆x2

0

√2π∆p2

0 = N ·∆x0 ·∆p0 = 1

(6.87)

Tehat a normalasi tenyezo:

N =1

∆x0 ∆p0

(6.88)

A megfelelo modon lenormalt Wigner-fuggvenyt szimmetrikusan rendezett operatorokvarhato ertekeinek kiszamolasara hasznalhatjuk. Legyen FA (x0 , p0) egy tetszoleges A-n ertelmezett fizikai mennyiseg szimmetrikusan rendezett operatora. Legyen tovabbaFA (x0 , p0) a fenti mennyiseg klasszikus megfeleloje. A korabban mar emlegetett Weylkorrespondencia [21, 22] szerint FA varhato erteke:⟨

FA

⟩= TrA

(FA ρA

)=

∫FA (x0 , p0) WA (x0 , p0) dΓ (6.89)

Ezt az osszefuggest alkalmazzuk most a (6.75)-el definialt linearis entropia kiszamolasara.Mivel ρA es WA (x0 , p0) kozott is a szimmetrikus rendezes teremt kapcsolatot, ezert

50

elhetunk az FA = ρA valasztassal. (P vagy Q fuggveny hasznalata eseten ezt nemtehetnenk meg!) Igy:

SA, lin = 1− TrA(ρ2A)

= 1−∫W 2A (x0 , p0) dΓ (6.90)

Mar csak az integralt kell kiszamolnunk:∫W 2A (x0 , p0) dΓ =

N 2

2π

∫ +∞

−∞exp

− x2

0

∆x20

dx0

∫ +∞

−∞exp

− p2

0

∆p20

dp0

=1

2π ·∆x20 ∆p2

0

√π∆x2

0

√π∆p2

0 =1

2 ·∆x0 ∆p0

=1

χ,

(6.91)

tehat SA, lin = 1 − 1/χ , ahogy azt vartuk. Hasonlo modszerrel szamolhatjuk ki azosszefonodasi entropiat is:

SA = −TrA (ρA · lnρA) = −∫WA (x0 , p0) · lnWA (x0 , p0) dΓ (6.92)

Az integral elvegzeset az erdeklodo olvasora bızzuk.

51

7. Osszefoglalas

A jelen dolgozatban egy optikai rezonatorba helyezett, lezerrel pumpalt Bose-Einsteinkondenzatum kvantum fazisatalakulasat vizsgaltuk, ami a pumpalezer intenzitasanakvaltoztatasa kozben megy vegbe. Ez egy kıserletileg is vizsgalhato, kurrens problema[12]. A szukseges modszerek ismertetese (2, 3) utan a modell a 4. fejezetben kerult de-finialasra. Itt megmutattuk, hogy a kondenzatum leırasat celszeru a Fourier-modusokkalvegezni, mert a kolcsonhatasi tagok csak az elso- es masodszomszed modusok kozotttudjak leptetni az atomokat.

Az 5. fejezetben megadtuk a fazisatalakulas ket kondenzatum modust hasznalominimum-modelljet, amirol megmutattuk, hogy elmeletileg ekvialens a kvantumop-tikaban jol ismert Dicke-modellel. Az uj modell viszont kıserletileg is megvalosıthato,ami annak koszonheto, hogy attertunk az atomok belso dinamikajarol a kulso terbenlezajlora, ıgy a kritikus pontot sikerult lehozni az optikai tartomanybol kHz-es nagysag-rendbe. Modellunket atlagter-kozelıtesben egzaktul megoldottuk: analitikus formulakatadtunk az atlagterekre es a rendszer sajatfrekvenciaira. Vegul megvizsgaltuk a Heisen-berg-kepbeli dinamikat es a kornyezet visszahatasat a rendszerre: ez az alapallapotbolvalo kifutodest eredmenyez. Targyalasunkban az altalunk publikalt [15]-os cikk gon-dolatmenetet kovettuk.

A 6. fejezetben kiterjesztettuk vizsgalodasainkat a kondenzatum osszes modusara.Az atlagterek meghatarozasara egy kvazi-sajatertekegyenletet vezettunk le, aminekmegoldasara egyszeru, a fazisatalakulasi pont kis kornyezetenek kivetelevel gyorsankonvergalo iteracios algoritmust adtunk. Ezutan reszletesen megvizsgaltuk az atlagterekkoruli kvantumos fluktuaciokat: a bilinearis Hamilton-operatort tobb lepesben elvegzettBogoljubov transzformaciokkal diagonalizaltuk, ıgy megkaptuk a gerjesztesi spektru-mot megado kvazireszecskek frekvenciait. Ezt kovetoen reszletesen elemeztuk az egyet-len kvazireszecsket sem tartalmazo alapallapot kvantumkorrelaciot es levezettuk azinkoherens fotonok, valamint a kondenzatumon kıvuli atomok szamait megado for-mulakat. Vegul a [23, 24]-es cikkekben kifejtett elmelet felhasznalasaval mennyisegijellemzest adtunk az atomok es az elektromagneses mezo osszefonodasara. Ossze-fonodasi merteknek az ureg Neumann-entropiajat es a linearis entropiat hasznaltuk.Segıtsegukkel megmutattuk, hogyha a teljes rendszer az alapallapotban van, akkorreszrendszerei pontosan akkor osszefonodottak, ha az egyik reszrendszer a ra vonat-kozo hatarozatlansagi-relaciot nem kepes minimalizalni.

Vegul a 6. fejezetben megadott formulakat numerikus szimulaciokkal ki is ertekeltuk,amikhez a C programnyelvet es a LAPACK linearis algebra csomagot hasznaltuk. Anumerikus eredmenyeket a dolgozatban abrakon foglaltuk ossze.

52

8. Koszonetnyilvanıtas

Elsokent temavezetomnek, Domokos Peternek szeretnek koszonetet mondani, aki azigen erdekes problemakorrel megismertetett es a diszkussziok soran tanacsaival, ma-gyarazataival vegig segıtette munkamat. Koszonettel tartozom tovabba a 2009. evibalatoni Nyari Iskola szervezoinek es eloadoinak, akik lehetove tettek, hogy a kvantu-moptika szakteruletenek alapjaival megismerkedjek. Ezentul koszonetet mondok DavidGyulanak, akinek a fizika Bsc 3 eve alatt elhangzott eloadasai nagyban hozzajarultak afizikai vilagkepem kialakıtasahoz es az alkalmazott szamıtasi modszerek elsajatıtasahoz.

Vegul szeretnek csaladomnak, barataimnak is koszonetet mondani, akik a szellemitamogatas mellett a dolgozat atolvasasaval, a helyesırasi hibak kijavıtasaval, vagy atemarol valo beszelgetessel is segıtettek.

53

Hivatkozasok

[1] A. Ottl, S. Ritter, M. Kohl, and T. Esslinger, Correlations and Counting Statisticsof an Atom Laser, Phys. Rev. Lett. 95, 090404 (2005).

[2] S. Slama, G. Krenz, S. Bux, C. Zimmermann, and P. W. Cavity-enhanced su-perradiant Rayleigh scattering with ultracold and Bose-Einstein condensed atoms,Courteille, Phys. Rev. A 75, 063620 (2007).

[3] F. Brennecke, T. Donner, S. Ritter, T. Bourdel, M. Kohl, and T. Esslinger, CavityQED with a Bose-Einstein condensate, Nature 450, 268 (2008).

[4] F. Brennecke, S. Ritter, T. Donner, and T. Esslinger, Cavity optomechanics with aBose-Einstein condensate, Science 322, 235 (2008).

[5] J. Klinner, M. Lindholdt, B. Nagorny, and A. Hemmerich, Normal Mode Splittingand Mechanical Effects of an Optical Lattice in a Ring Cavity, Phys. Rev. Lett. 96,023002 (2006).

[6] Y. Colombe, T. Steinmetz, G. Dubois, F. Linke, and J. Reichel, Strong atom-fieldcoupling for Bose-Einstein condensates in an optical cavity on a chip, Nature 450,272 (2007).

[7] K. W. Murch and K. L. Moore, and S. Gupta, and D. M. Stamper-Kurn, Obser-vation of quantum-measurement backaction with an ultracold atomic gas, NaturePhysics 4, 561 (2008).

[8] P. Domokos and H. Ritsch, Collective Cooling and Self-Organization of Atoms in aCavity, Phys. Rev. Lett. 89, 253003 (2002).

[9] J. K. Asboth, P. Domokos, H. Ritsch, and A. Vukics, Self-organization of atomsin a cavity field: Threshold, bistability, and scaling laws, Phys. Rev. A 72, 053417(2005).

[10] Adam T. Black, Hilton W. Chan, and Vladan Vuletic, Observation of CollectiveFriction Forces due to Spatial Self-Organization of Atoms: From Rayleigh to BraggScattering, Phys. Rev. Lett. 91, 203001 (2003).

[11] D. Nagy, G. Szirmai, and P. Domokos, Self-organization of a Bose-Einstein con-densate in an optical cavity, Eur. Phys. J. D 48, 127-137 (2008).

[12] Kristian Baumann, Christine Guerlin, Ferdinand Brennecke, and Tilman Esslin-ger, Dicke quantum phase transition with a superfluid gas in an optical cavity,Nature 464, 1301-1306 (2010).

[13] D. Nagy, P. Domokos, A. Vukics and H. Ritsch, Nonlinear quantum dynamicsof two BEC modes dispersively coupled by an optical cavity, Eur. Phys. J. D 55,659-668 (2009).

54

[14] G. Szirmai, D. Nagy, and P. Domokos, Quantum noise of a Bose-Einstein conden-sate in an optical cavity, correlations and entanglement, Phys. Rev. A 81, 043639(2010).

[15] D. Nagy, G. Konya, G. Szirmai, and P. Domokos, Dicke-Model Phase Transitionin the Quantum Motion of a Bose-Einstein Condensate in an Optical Cavity, Phys.Rev. Lett. 104, 130401 (2010).

[16] C. Emary and T. Brandes, Chaos and quantum phase transition in the Dickemodel, Phys. Rev. E 67, 066203 (2003).

[17] Szepfalusy Peter es Szirmai Gergely, Veges-homersekleti soktestproblema, kezirat(2006), http://optics.szfki.kfki.hu/ szirmai/.

[18] Geszti Tamas, Kvantummechanika, Typotex, 2007.

[19] D. F. Walls and Gerard J. Milburn, Quantum Optics, 2nd Edition, Springer (2008).

[20] Mark Hillery, An Introduction to the Quantum Theory of Nonlinear Optics, ActaPhysica Slovaca 59, 1-80 (2009).

[21] Samuel L. Braunstein and Peter van Loock, Quantum information with continuousvariables, Reviews of Modern Physics 77 (2005).

[22] M. Hillery, R. F. O’Connell, M. Scully, and E. Wigner, Distribution Functions inPhysics: Fundamentals, Phys. Rep. 106, 121-167 (1984).

[23] Julien Vidal, Sebastien Dusuel and Thomas Barthel, Entanglement entropy incollective models, J. Stat. Mech. P01015 (2007).

[24] T. Barthel, M.-C. Chung, and U. Schollwock, Entanglement scaling in criticaltwo-dimensional fermionic and bosonic systems, Phys. Rev. A 74, 022329 (2006).

[25] J. Schwinger, Quantum theory of angular momentum, Academic Press, New York(1965).

[26] R. H. Dicke, Coherence in Spontaneous Radiation Processes, Phys. Rev. 93, 99(1954).

[27] T. Holstein and H. Primakoff, Field Dependence of the Intrinsic Domain Magne-tization of a Ferromagnet, Phys. Rev. 58 1098 - 1113 (1940).

[28] N. Lambert, C. Emary, and T. Brandes, Entanglement and the Phase Transitionin Single-Mode Superradiance, Phys. Rev. Lett. 92, 073602 (2004).

[29] V. Buzek, M. Orszag, and M. Rosko, Instability and Entanglement of the GroundState of the Dicke Model, Phys. Rev. Lett. 94, 163601 (2005).

[30] V.V. Praszolov, Linearis algebra, Typotex (2005).

[31] Brian F. Farrell and Petros J. Ioannou, Generalized Stability Theory. Part I: Au-tonomous Operators, Journal of the Atmospheric Sciences 53 2025-2040 (1996).

55