1

PLOTSIME N FIZIK 1

(Fizika Klasike) (36 or leksion)

Pjesa I Mekanika dhe Termodinamika klasike (18 or)

Kap. 1 Mekanika klasike (7 or) Relativiteti i Galileut. Mekanika Njutoniane. Dinamika e sistemit t pikave

materjale, trupi ngurt. Zbatime Ligjet e ruajtjes. Fusha gravitacionale. Lvizja n fushn gravitacionale.

Elemente t dinamiks jolineare.

Kap. 2 Val mekanike dhe akustika (6 or) Prshkrimi i lvizjes s mjediseve t vazhduar. Ligje dhe

ekuacione baz t lvizjes s mjediseve t vazhduar. Dinamika e fluideve .Val gjatsore dhe trthore n

mjedise. Modet normale t lkundjeve n kord . Valt zanore.

Kap. 3 Termodinamika klasike (5 or) Mikrogjendjet dhe makrogjendjet, ekuilibri. Shprndarjet statistike.

Parimet e Termodinamiks. Entropia.

Pjesa II. Elektromagnetizmi dhe Otika (18 or)

Kap. 1. Elektrostatika (5 or) Intensiteti i fushs elektrostatike. Aplikime t teorems s Gausit. Potenciali i

fushs elektrostatike. Energjia e fushs elektrostatike. Polarizimi i dielektrikve. Fusha elektrostatike n mjedis.

Kap.2 Magnetostatika (3 or) Induksioni i fushs magnetike. Ligjet baz t magnetostatiks. .Relativiteti i

fushave elektrike dhe magnetike. Magnetizimi i lnds dhe fusha magnetostatike n mjedis.

Kap.3 Induksioni elektromagnetik dhe Ekuacionet e Maksuellit (3 or) Induksioni elektromagnetik.

Energjia e fushs magnetike. Ekuacionet e Maksuellit. Lvizja e grimcave t ngarkuara n fushat elektrike e

magnetike

Kap.4 Valt elektromagnetike (3 or) Vala elektromagnetike n boshllk. Fluksi i energjis dhe impulsi i

vals. Rrezatimi elektromagnetik. Prhapja e valve elektromagnetike n mjedis. Pasqyrimi dhe prthyerja e

valve.

Kap. 5. Optika klasike (4 or)

Hyrje. Optika gjeometrike dhe Optika valore, evolucioni i pikpamjeve mbi dritn. Optika gjeometrike:

Pasqyrimi, thyerja dhe primi i drits. Optika valore: Interferenca e drits, shembuj. Difraksioni i drits,

shembuj.

2

Tematika e seminareve (36 or)

1. Mekanika klasike (6 or) 2. Valt dhe akustika (3 or) 3. Termodinamika klasike (2 or) 4. Elektrostatika (3 or) 5. Magnetostatika (2 or) 6. Induksioni elektromagnetik dhe Ekuacionet e Maksuellit (2 or) 7. Valt elektromagnetike boshllk (1 or) 8. Fusha elektromagnetike n mjedis (2 or) 9. Optika Klasike (3 or) 10. Prezantime t detyrave t kursit (12 or)

Literatur:

B. Duka,Fizika Klasike, Leksione te shkruara, Tiran 2013

F. Vila, R. Meidani, Elektromagnetizmi, SHBLU , Tiran 2005

B. Duka. Nj kurs i shkurtr i Mekaniks Klasike, SHBLU, Tiran 2003

M. Ifti, Bazat e Mekaniks Statistike, Tiran 2008

H. Sykja, Elektrodinamika Klasike, SHBLU Tiran 2007

Holliday & Resnick, Fundamenetals of Physics 2011, John Wiley & Sons

A. A. Kamal, 1000 Solved Problems in Classical Physics Springer 2011 I. E. Irodov, Problems in General Physics, MIR Publisher, Moscow, 1988

A. K. Singh, Solutions to I.E. Irodovs Problems in General Physics Volume I, CBS Publisher (India), 2005

3

Pjesa I MEKANIKA DHE TERMODINAMIKA KLASIKE

Kap. 1 MEKANIKA NJUTONIANE (KLASIKE)

1.1 RELATIVITETI I GALILEUT

Shembulli klasik

Nj person sht brenda nj anijeje q lundron me shpejtsi konstante mbi nj liqen me uj krejtsisht t qet.

Ky pasagjer duke qen n hambarin pa dritare kryen eksperimente mekanike (psh studion sjelljen e lavjersit

dhe trajektoret e trupave q bien lirisht). Pyetja m e thjesht q mund ti bhet ktij pasagjeri: a mund t

prcaktoj ai nse anija lviz (ndaj bregut t liqenit) pa dal n kuvert ose pa shikuar dot jasht hambarit?

Prderisa anija lviz me shpejtsi konstante n madhsi e drejtim, ai nuk do ta ndjej lvizjen e anijes, njsoj

sikundr ju jeni n nj avion q fluturon me shpejtsi konstante (n madhsi dhe drejtim) pasi ka arritur nja

lartsi t caktuar fluturimi dhe ju nuk shikoni dot jasht dritareve.

Ndokush mund t mendoj se mos ka ndonj eksperiment q kryhet n hambarin e anijes q t jap ndonj

indikacion mbi lvizjen e anijes. Duke u bazuar n eksperimentet e tij, Galileo konkludoi q kjo sht e

pamundur: t gjith eksperimentet mekanik q kryhen brenda nj anijeje q lviz me shpejtsi konstante n nj

drejtim konstant do t jap ekzaktsisht t njjtat rezultate sikurse ekspermentet q kryhen n breg (tok). Pra,

nj vrojtues n nj shtpi n breg dhe nj tjetr n anije, me an t eksperimenteve brenda shtpis dhe brenda

anijes, nuk mund t prcaktojn nse anija lviz. Q ta prcaktojn lvizjen ata duhet t shohin njeri tjetrin.

sht e rndsishme t theksohet q kjo sht e vrtet vetm nse anija lundron me shpejtsi konstante n

madhsi e drejtim, nse anija prshpejtohet, ngadalsohet, apo merr kthesa, vrojtuesi brenda saj mund t tregoj

q anija lviz. Psh, nse anija merr nj kthes, ai shikon q sendet e varura n tavan (psh nj llamp)

mnjanohet ndaj dyshemes.

Duke i prgjithsuar kto vrojtime, Galileo postuloi hypotezn (parimin) e tij t relativitet:

do dy vrojtues q lvizin ndaj njeri tjetrit me shpejtsi

konstante e drejtim konstant do t marrin t njjtat rezutate

pr t gjith eksperimentet mekanik.

(sht nnkuptuar q aparatet q ata prdorin pr kto eksperimente prehen ndaj vrojtuesit).

N vijim t ktyre ideve Galileo prdori metodn shkencore: pra nxorri rrjedhime/parashikime t ksaj

hypoteze dhe i verifikoi ato nse prputheshin me vzhgimet apo eksperimentet.

Nj rjedhim i rndsishm sht: shpejtsia nuk sht absolute. Kjo dmth q shpejtsia mund t matet vetm

n lidhje (n referenc) me ndonj objekt, kshtu q rezultati i ksaj matjeje ndryshon n se shpejtsin e matim

n referenc me nj objekt tjetr. Imagjinoni nj vrojtues q udhton brenda nj anijeje kozmike pa dritare q

udhton larg ndaj Diellit me shpejtsi (vektorjale) konstante. Galileo pohonte se asnj eksperiment mekanik i

kryer brenda anijes, nuk mund tu tregoj kozmonautve q anija po lviz.. Pyetja a po lvizim?'' nuk ka

kuptim prderisa ne nuk specifikojm nj sistem referimi (ka kuptim psh thnia ``ne po lvizim ndaj ktij ylli'').

Ky parim i formuluar n vitet 1600' mbetet i vrtet edhe sot dhe sht nj nga gurt e themeleve t teoris s

relativitetit t Ajnshtajnit.

Hapsir Koha, Sisteme inerciale referimi

far sht lvizja? Fraza ndryshim i pozicionit me kohn shpreh thelbin e konceptit t lvizjes n

mekanik. Ne themi se nj objekt po lviz nse ze pozicione t ndryshme hapsinore me kalimin e kohs. N t

kundrt, nse objekti nuk e ndryshon pozicionin e vet hapsinor n koh t ndryshme, ne themi se objekti sht

4

n prehje. I pandashm me kt prshkrim t prehjes dhe lvizjes sht vzhguesi/Observuesi. (dmth ne) dhe

konceptet e hapsirs dhe kohs vemazi.

Perceptimet tona na tregojn se hapsira ekziston si nj sfond stacionar, permanent dhe absolut n t cilin

mund t vendosen objektet ose npr t ciln nj objekt mund t lviz pa bashkvepruar me t. Njutoni e

formulonte kt ide n pohimin: Hapsira absolute, pr nga vet natyra e saj, pa lidhje me do gj t jashtme,

mbetet gjuthmon e ngjashme dhe e palvizshme. Edhe koha, sipas Njutonit, sht gjithashtu absolute dhe

rrjedh njlloj pa lidhje me prezencn e do objekti fizik apo ngjarjeje. Sipas fjalve t tij: Koha e Matematike,

e vrtet dhe absolute, nga vetvetja dhe prej vet natyrs s saj, rrjedh n mnyr t barabart pa lidhje me do

gj t jashtme... . N kt hapsir dhe koh absolute Njutoniane, lvizja e nj objekti karakterizohet nga

ndryshimi i pozicionit t tij n hapsir me kalimin e kohs. Por, kur kjo hapsir absolute nuk mund t shihet

dhe asnj pjes e saj nuk mund t dallohet nga t tjerat, si mund ta fiksojm pozicionin e nj objekti n kt

hapsir?

Njutoni i konsideronte yjet e largt n qiell, n prehje dhe prcaktonte pozicionet e objekteve t tjer n lidhje

me kt yje. Por, astronomt na tregojn tashm q asnj nga objektet n Univers nuk sht n prehje. Nuk ka

objekte n prehje n kt hapsir absolute n lidhje m t cilin t prcaktojm pozicionin e nj objekti tjetr.

Kshtu q, n do ast kohe, pozicioni i nj objekti sht prcaktuar nga vzhguesi n lidhje me vet

vzhguesin.

Sisteme referimi dhe sisteme kordinative

Shpesh Parimi i Relativitetit i Galileit shprehet n formn: Ligjet e Mekaniks jan t njjt n t t gjith

sistemet inercial t referimit. Por, far sht sistemi i referimit dhe far sht sistemi inercial i referimit n

veanti?

Nj sistem referimi sht zakonisht nj trup ose koleksion trupash s bashku me nj vzhgues q jan n

prehje ndaj njeri tjetrit. Kshtu, psh ne n prehje relative ndaj Toks s bashku me Tokn dhe objektet e

ndrtuara mbi t, formojn nj sistem referimi.. N lidhje me sistemin e referimit - Tok ne vzhgojm dhe

masim ndryshimet e pozicioneve t trupave t tjer. Sisteme referimi t ngjashm t lidhur me vzhgues (ose

trupa) t tjer mund t mos jen n prehje ndaj nesh.

Brenda sistemit t referimit, ne ndrtojm nj sistem koordinativ, q prdoret pr t matur pozicionin e

trupave n do ast kohe t . Koha matet nga nj mekanizm (sahat) q prehet n kt sistem referimi, ndonse

n mekanikn Njutoniane konsiderohet se koha rrjedh njlloj n do sistem referimi, ajo sht absolute.

Matjet tregojn se hapsira ku ne jetojm sht tredimensionale, pra duhen 3 kordinata q specifikojn

pozicionin e do trupi (pike materjale). Zakonisht, prdoren kordinatat karteziane (x, y, z), kordinatat sferike (r,

, ), dhe cilindrike (, , z). Sistemi kordinativ mund ngrihet kudo n sistemin e referimit, pra zgjedhja e

origjins sht krejt e lir. Pasi sht zgjedhur origjina e kordinatave, ngrihen boshtet resiprokisht pingule X, Y,

dhe Z. Ka dy zgjedhje t mundshme t treshes s boshteve reciprokisht pingule: i majt dhe i djatht, t

cilt nuk mund t prputhen me njeri tjetrin me an t translacionit ose rrotullimit. Zakonisht, sistemi kartezian

merret i djatht, si sht treguar n figurn I.1. Pozicioni i nj grimce (pike materjale) P n lidhje me origjinn

O jepet nga rreze-vektori r, q karakterizhet nga gjatsia dhe drejtimi i saj:

r = x i + y j+z k ... (1.1)

ku i, j, k shnohen vektort njsi konstant n dejtimet e boshteve X, Y, Z.

Eksperiencat tona tregojn se hapsira Njutoniane i bindet gjeometris Eukidiane. Kjo sht e vrtet, pr

derisa trupat nuk kan mas tejet t madhe dhe nuk lvizin me shpejtsi shum t larta t rendit t shpejtsis s

drits.

Sistem inercial referimi sht ai sistem refereimi n t cilin sht i vrtet ligji i I i Njutonit (igji i inercis i

Galileit): do trup ruan gjendjen e tij t prehjes apo t lvizjes drejtvizore t njtrajtshme (lvizjen pr inerci),

prderisa mbi t nuk vepron asnj forc (trup i lir).

5

Ndonse ligji I i Njutonit duket si rrjedhim i ligjit t II t tij: pra kur F = 0 athere nxitimi sht zero a = 0 dhe

shpehtsia sht konstante, ky ligj formuohet si ligj i veant pr arsye se me t lidhet prcaktimi i sistemit

inercial t referimit, n t cilin kan vend ligjet e Njutonit.

Koncepti i Sistemit inercial t referimit sht nj idealizim. Sikundr veprohet shpesh n Fizik, nprmjet

idealizimeve (si psh koncepti i piks materjale, koncepti i trupit absolutisht t ngurt, etj) prafrojm situatat

reale. N rastin ton, sistem inercial referimi ideal do t ishte sistemi i lidhur me nj trup t lir, ndaj t cilit

lvizja e nj trupi tjetr t lir do t rezultonte drejtvizore e njtrajtshme (prehja n rastin e veant). Por

sado larg trupave t tjer n univers t jet trupi ai nuk sht absoliutisht i lir. Ose sipas konceptimit Njutonian

t hapsirs absolute, do t ishte sistemi i lidhur me kt hapsir absolute q nuk qndron sipas

vzhgimeve t sotme mbi Universin.

N praktik, ne mund t zgjedhim sistemin e referimit prafrsisht si inercial, duke e lidhur me nj trup t

caktuar, nse neglizhojm efektet q do t shkaktonte lvizja jo e njtrajtshme e ktij trupi ndaj trupave t tjer

q konsiderohen m afr prehjes. Konkretish, kur studiojm lvizjet e trupave pran siprfaqes se Toks, mund

ta konsiderojm afrsisht si inercial sistemin e referimit t lidhur me Tokn, nse neglizhojm efektet q do t

shkaktonte n kto lvizje, rrotullimi i Toks rreth vehtes, rrotullimi i saj rreth Diellit, apo lvizja e sistemit

Diellor ndaj yjeve t tjer, etj. Apo kur studiojm lvizjen e planetve rreth Diellit, sistemin e referimit t lidhur

me Diellin mund ta konsderojm si afrsisht inercial, etj.

Nse kemi zgjedhur nj sistem referimi inercial S, athere edhe do sistem referimi S q kryen lvizje

drejtviziore t njtrajtshme ndaj sistemit S sht prsri nj sistem inercial referimi, pasi edhe n sistemin e

referimit S lvizja pr inerci rezulton drejtvizore e njtrajtshme (ka vend ligji i I i Njutonit). Pra ka nj klas

sistemesh inercial referimi q mund t lvizin ndaj njeri tjetrit me shpejtsi konstante n madhsi dhe drejtim .

I.2 MEKANIKA NJUTONIANE

Mekanika Njtoniane ose Mekanika Klasike mbshtet n ligjet e Njutonit. Ajo kufizohet n studimin e lvizjes

s objekteve makroskopik (q prbhn nga shum atome/molekula) , dhe t objekteve q kan shpejtsi

shm m t vogla se shpejtsia e drits. Lvizja e objekteve mikroskopik (atom, molekul apo thrmj

elementare) studiohet nga Mekanika e Kuanteve, ndrsa lvizja e objekteve me shpejtsi t mdha i bindet

ligjeve t Mekaniks Relativiste

Kufizimet e mekaniks njutoniane

Kur grimcat kan shpejtsi afr shpejtsis s drits c = 3 108 ms

1, koncepti njutonian i kohs absolute bie

posht dhe ligjet e Njutonit duhen modifikuar sipas teoris speciale t relativitetit. Megjithse, n kt teori,

relacioni hapsir koh ndryshon rrnjsisht, shum pjes nga skeleti i mekaniks njutoniane mbijeton ende.

N shkall shum t vogla, jan t nevojshme ndryshime radikale. Ktu, i gjith skeleti i mekaniks klasike bie,

madje edhe koncepte baz si trajektorja e nj grimce, bhn t keq-prcaktuara. Skelet i ri i vlefshm n kto

shkall t vogla quhet mekanika kuantike. Megjithat, ka madhsi q mbarten nga bota klasike n at kuantike,

n veanti energjia dhe impulsi.

Kur prpiqemi t prshkruajm forcat q veprojn midis grimcave, kemi nevoj t futim nj koncept t ri:

fusha. Fusha sht nj funksion i hapsirs dhe kohs. Shembuj shum familjar pr to jan fushat elektrike

dhe magnetike t elektromagnetizmit. Ne mund t themi se ekuacionet e dinamiks s fushave jan gjithmon

ekuacione diferenciale t rendit t dyt, t ngjashme me ekuacionet e Njutonit. Pr shkak t ksaj ngjashmrie,

teorit e fushave emrtohen si klasike

Por eventualisht, idet e relativitetit special, t mekaniks kuantike dhe t teorive t fushave jan kombinuar n

t ashtuquajturn teori kuantike t fushave, q sht baza e teorive t sotme n Fizik.

6

Transformimet e Galileit

Sipas parimit t relativitetit t Galileit, dukurit mekanike rrjedhin njelloj n t gjith sistemet inerciale t

referimit. M von kjo u provua eksperimentalisht edhe pr dukurit elektromagnetike. Pra, t gjitha dukurit

n natyr duken njlloj nga do sistem inercial referimi ose e thn ndryshe: ligjet e natyrs nuk ndyshojn

(jan invariante) kur kalojm nga nj sistem inercial referimi n nj tjetr.

Matjet mbi lvizjen e nj grimce P (dmth, pozicioni, shpejtsia, nxitimi n do ast) n dy sisteme t

ndryshme inerciale referimi S dhe S japin dy bashksi vlerash n prgjithsi t ndryshme. Relacioni midis

bashksive vlerash njihen si transformimet e Galileit/

Ta zem se sistemi i referimit S lviz ndaj sistemit S me shpejtsi konstante V ose S lviz ndaj S me shpejtsi

V. T dy sistemet e referimit (vzhguesit) prdorin sisteme karteziane kordinatash dhe l t jen kordinatat e

pozicionit t piks materiale P n sistemin S n nj ast kohe t: r (x, y, z) dhe prkatsisht kordinatat e po

ksaj pike n sistemi S n castin t: r (x, y, z); t dhe t jan koht e lexuara n sahatt prkatsisht n S dhe

S kur pozicioni i piks P sht respektivisht n r dhe r. Ne konsiderojm q origjinat e t dy sistemeve O dhe

O prputhen n t = t = 0 . M von koha rrjedh njlloj n t dy sistemet e referimit (koha absolute sipas

mekaniks klasike), pra t = t. Dhe origjina O e sistemit S do t jet n pozicionin Vt ndaj sistemit S. Kshu

q rreze-vektoret e pozicionit t piks P : r dhe r lidhen me relacionet: (shih figurn):

. (2.1)

Kto relacione njihen si transformimet e Galileit

N rastin kur sistemet e referimit lvizin paralelisht prgjat boshtit X (si n fig.i.1.b), athere transformimet

sillen n fomn:

(2.2)

Kujdes Kto jan relacione q lidhin kordinatat n sisteme referimi t ndryshme dhe jo kordinatat brenda t

njjtit sistem referimi, si jan lidhjet midis kordinatave karteziane dhe sferike t t njjts pik

Fig. I.1.

a). b).

7

Vlerat numerike t madhsive t ndryshme fizike n prgjithsi ndryshojn gjat shndrimit (transformimit) t

kordinatave. Psh, vlerat e kordinatve t nj grimce P : (x, y, z) bhen (x, y, z) Ato paraqesin thjesht

pozicionin relativ t grimcs ndaj nj sistemi kordinativ.

Madhsit fizike, vlerat e t ciave nuk ndryshojn gjat nj transformimi, quhen invarint t ktij

transformimi. Madhsi t tilla shprehin veti themelore t nj objekti apo fenomeni

a. Invarianca e nxitimit

Duke derivuar barazimin 1.2), gjejm:

(2.3)

Ky njihet edhe si ligji i mbledhjes s shpejtsive: Shpejtsia reative v e nj trupi ndaj nj sistemi referimi S

sht e barabart me shumn vektorjale t shpejtsis relative t ktij trupi v ndaj sistemit t referimit S plus

shpejtsin q ka ky sistem S ndaj sistemit S.

Duke derivuar edhe njher kt barazim 2.3), meqnse V sht konstante, gjejm:

(2.4)

Kjo do t thot q nxitimi i trupit sht i njjt n t dy sistemet e referimit. Pra, a mbetet invariant ndaj

transformimeve t Galileit.

b. Invariaca e intervaleve kohore dhe hapsinor

Supozojm se dy pika P1 dhe P2 kan pozicionet (r1, r2) n sistemin e referimit S dhe (r1, r2) n sistemin

e referimit S n nj cast t dhn kohe t = t. Athere, sipas transformimeve t Galileit, kemi:

Meq shpejtsi V sht konstante , q ktej gjejm:

Ose n trajt eksplicite, gjejm

Ku l dhe l jan shnuar distancat midis dy pikave n sistemet respektive S dhe S

Ky barazim tregon se distanca hapsinore midis pikave sht invariant ndaj trannsformimit t Galileit.Njlloj del

pr intervalim kohor midis dy ngarjeve q ndodhin n t1 = t1 dhe t2 = t2. Intervali kohor midis ngjarjeve:

t2 - t1 = t2 - t1

sht invariant ndaj transformimit t Galileit.

8

c. Invariaca e ligjit t II t Njutonit

Supozojm se grimca me mas m lviz nn veprimin e forcs F me nxitim a n lidhje me sistemin inercial t

referimit S.

F = ma

Nse ligji i II i Njutonit sht invariant ndaj transformimit t Galileit, duhet t kemi edhe:

F = ma

Ku F dhe a jan forca dhe nxitimi t vzhguar n sistemin e referimit inercia S. sht supozuar se masa

inerciale sht e njjt, duke qen nj skalar ajo nuk varet nga sistemi referemit (n mekanik kasike ajo nuk

varet as nga shpejtsia e trupit)

Ne e dim se nxitimet jan t njjta a = a , kshtu q invariaca e ligjit t dyt t Njutonit krkon q:

F = F

Ky kusht imponon kushte mbi natyrn e forcave; q forcat q shfaqen n natyr t jen invariant ndaj

transformimit t Galileit. Si duhet t jen forcat n natyr q ta knaqin kt kusht? Rezulton q t gjitha forcat

q ndeshim n mekanik njutoniane mund t varen vetm ose nga pozicionet relative ose nga shpejtsit

relative midis trupave q bashkveprojn (ato nuk duhet t varen nga pozicionet absoute apo shpejtsit absoute

t trupave). Kjo dmth q si vrojtohet n sistemin S , nj forc e ushtruar nga nj grimc 2 mbi nj grimc 1

duhet t kt kt varsi:

edhe n sistemin S varsin:

N mnyr q nga transformimet e Galileit t kemi:

Nga ana tjetr nse n sistem e referimit S forcat i binden ligjit t tret t Njutonit: F12 = - F21:

12 1 2 1 2 2 1 2 1 21( , ) ( , )F f r r v v f r r v v F , athere nga relacioni F12 = F21

, del se edhe n

sistemin e referimit S, kemi:

'( , ) ( , )' ' ' ' ' ' ' ' '12 1 2 1 2 2 1 2 1 21F f r r v v f r r v v F

Pra t tri ligjet e Njutonit jan invariant ndaj transformimit t Galileit.

Forcat (bashkveprimet) themelore n Natyr

Forca sht madhsia fizike q shpreh bashkveprimin midis trupave t ndryshm. Ne jemi t familjarizuar me

lloje t shumta forcash si forca gravtacionale, forca elektrike e magnetike, forcat e bashkveprimit ndr-

molekular prej t cilave lindin frkimi i that, viskoziteti, tensioni siprfaqsor, tensioni i fijeve, forca elastike

n susta, etj. Ne kemi msuar edhe mbi forcat brthamore q jan prgjegjse pr lidhjen e protoneve dhe

neutroneve n nj brtham, ose pr ndarjen e nj neutroni n nj proton, elektron dhe anti-neutrino gjat beta-

zbrthimit.

Nga kjo larmi forcash, rezulton q ka vetm 4 tipe forcash themelore n natyr, t njohura deri tashm:

1. Forca gravitacionale

Bashkveprimi gravitacional sht universal, pra vepron ndrmjet t gjitha formave t materies dhe energjis. N

mnyr sasiore, jepet nga ligji i Njutonit pr forcn e trheqjes trheqjes midis dy pikave materiale me masa m1

e m2 q ndodhen n largsin r12 nga njera tjetra:

9

1 2 1212 2

12 12

m m rF G

r r (2.5)

Ku G = 6.710-11

Nm2/kg

2 sht konstantja gravitacionale (e trheqjes s gjithsishtme).

Pyetje: Si gjendet forca e trheqjes midis dy trupave cfardo?

Duke qen radiale, kjo forc sht konservative. Kjo sht nj forc m rreze t madhe veprimi, q mund t

shtrihet deri n infinit. Presupozohet q realizohet nga gravitonet grimca elementare ende t pazbuluara.

Bashkveprimi gravitacional luan rol t rndsishm kur trupat kan mas t madhe. Ai sht bashkveprim

deciziv kur studihet lvizja e planeteve, yjeve apo trupave qiellor. Pr trupa t vegjl pran siprfaqes s toks,

kjo forc merret mg , ku g nxitimi i rnies s lir. Kur studiohet lvizja e mikro grimcave si elektronet etj., kjo

forc sht e paprfillshme pr shkak t mass shum t vogl t ktyre grimcave.

2. Forca elektromagnetike

Pr do dy ngarkesa elektrike q1 e q2 n prehje n largsin r12 nga njera tjera, forca e bashkveprimit elektrik

jepet sipas ligjit t Kulonit:

1 2 1212 20 12 12

1

4

q q rF

r r, (2.6)

ku konstantja 9

0

19 10

4Nm

2/C

2 dhe forca quhet elektrostatike. Kjo sht e ngjashme me ligjin e gravitetit.

Por forca elektrike mund t jet shtytse apo trheqse n varsi nse ngarkesat jan t nj lloji apo t llojeve t

kundrta.

Kur ngarkesat jan n lvizje, ato krijojn fush magnetike e cila vepron mbi ngarkesa t tjera n lvizje ndaj

ksaj fushe dhe forca n kt rast quhet ektromagnetike:

01 2 12 1 212 2 1 12 122 20 12 12 12

1/

4 4

q q r q qF v v r r

r r r, (2.7)

Ku 0 = 410-7

N s2/C

2 = 410

-7 N/A

2 (N mekanikn kasike konsiderohet se bashkveprimi prhapet me

shpejtsi t pafundme)

Forca elektromagnetike ka vetit :

1. Mund t ket natyr trheqse ose shtytse.

2. Sipas teorive t sotme, ky bashkveprim realizohet nprmjet shkmbimit t fotoneve (kuanteve t fushs

eektromagnetike.

3. Ka rreze t gjat veprimi.

4. sht 1011

her m i fuqishm se bashkveprimi i dobt dhe 1036

her m i fort se bashkveprimi

gravitacional. (raporti sht br duke krahasuar forcn elektrike me at gravitacionale mbi dy protone, ose me

bashkveprimin e fort mdiis tyre sipas potencialit t Yukavs n nj largsi t rendit 10-14

m)

3. Forca e bashkveprimit t fort (Forca brthamore) sht bashkveprimi m i fuqishm, por ka rreze shum t shkurtr veprimi (e rendit 10

-15 m), sht forca q

vepron midis kuarkeve, prbrsit e t gjitha grimcave subatomike, duke prfshir protonet dhe neutronet. Efekt

i ktyre forcave sht lidhja e neutroneve dhe protoneve n brthamat atomike. Ka natyr kryesisht trheqse

dhe sipas modelt standard reaizohet nprmjet gluoneve

4. Forca e bashkveprimit t dobt Kjo sht forca q manifestohet n disa forma t zberthimit radioaktiv, si psh

Dhe n reaksione brthamore si ato Diell apo n Yje. Eektronet jan

midis atyre grimcave eementare q q psojn bashkveprim t dobt

10

por jo bashkveprim t fort brtamor. Edhe grupi leptoneve bashkverojn midis tyre, me barionet ose mezonet

me an t ktyre forcave.

Duke i krahasuar kto 4 lloj bashkveprimesh sipas fortsis s tyre (duke konsideruar bashkveprimn

gravitacional t rendit njsi, kemi:

Megjith fortsin e saj, bashkveprimi i fort nuk ndihet n universin makroskopik, pr shkak t rrezes s

shkurtr t bashkveprimit (10-15

m afrsisht sa diametri i protonit), ndrsa rrezja e bashkveprimit t dobt

sht akoma m e vogl (10-17

m)

Pr vite, fizikant i kan par kto 4 bashkveprime si shfaqje t ndryshme t nj force themelore. Por, tentativa

m e suksesshme sht ajo e uifikimit t forcs elektrike me at t dobt: teoria electroweak, q inkorporon

elektrodinamikn kuantike (teoria kuantike e fushs e elektromagnetike), i trajton bashkveprimet

elektromagnetike dhe t dobta si aspekte t nj lloj bashkveprimi, q transmetohet me an 4 grimcave bozone,

nj nga t cilat sht fotoni (pr bashkveprimin elektromagnetik) dhe tre t tjerat: W+

, W- dhe grimcat neutrale

Z0, jan lidhur me bashkveprimin e dobt. M 1970 u formulua edhe nj teori e ngjashme pr bashkveprimin e

fort e njohur si quantum chromodynamics, sipas t cils ky bashkveprim transmetohet me bosonet e

quajtur gluone

1.3. DINAMIKA E SISTEMIT T PIKAVE MATERIALE

Dinamika e piks materiale

Shpesh me trup ne do kuptojm nj pik materjale. Por rezutatet e dinamiks se piks materjale vlejn edhe pr

lvizjen translative t trupit t ngurt, kur pikat e ndryshme t trupit kryejn t njjtn zhvendosje, kan t

njjtn shpejtsi, t njjtin nxitim.

Lvizja e trupit pr inerci, ose lvizja e trupit t lir (kur mbi t nuk veprojn forca) sht me shpejtsi

konstante n sisteme inerciale referimi. Kjo do t thot q veprimi i nj force mbi trup shkakton ndryshimin e

shpejtsis, pra shkakton nxitim. Sa m gjat t veproj forca aq m i madh sht ndryshimi i shpejtsis. Sa

m inert t jet trupi (sa m e madhe masa inerciale1 q karakterizon inertsin e trupit) aq m i vogl sht

ndryshimi i shpejtsis pr t njjtin veprim force. Kto prfundime Njutoni i shprehu me barazimin vektorial:

F t = m v ose Ft = (m v) = p (3.1)

Ku ana e majt jep impulsin e forcs dhe ana e djatht jep ndryshimin e impulsit t trupit gjat intervalit t

kohs t . N kt barazim, forca sht nj madhsi mesatare q karakterizon veprimin mesatarisht gjat kohs

t . Limiti i barazimit t msiprm jep ligjin e II t Njutoni pr vlerat e astit t Forcs, shpjtsin e ndryshimit

t impusit, nxitimit:

dp dv

F m m adt dt

(3.2)

N kt barazim vektorial duket se nxitimi ka kahen dhe drejtimin e forcs

q shkakton kt nxitim. Po kur veprojn disa forca, athere nxitimi ka

drejtimin dhe kahen e forcs rezuatnte , q sht shuma vektorjae e forcave

q veprojn mbi trup:

i

i

F m a (3.3)

1 Masa inerciale konsiderohet konstante e njjt n cdo sistem referimi sipas mekaniks klasike

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/486191/quantum-chromodynamics-QCDhttp://www.britannica.com/EBchecked/topic/235922/gluon

11

Zakonisht, gjat zbatimit t ktij ligji, duhet patur kujdes q t shqyrtohen forcat q ushtrorjn trupat e tjer mbi

trupin n shqyrtim dhe jo forcat q ky trup ushtron mbi t tjert. Duke qen nj barazim vektorjal, merren

prbrset e tij n boshtet kordinative t nj sistemi inercial referimi.

Psh, pr nj sistem kartezian kordinatash:

; ; x y zi x i y i z

i i i

F m a F m a F m a (3.4)

Duke ditur se n kordinata karteziane r == xi + yj + zk

Nse pozicioni i piks P ndryshon, athere ndryshimet diferenciale, jepen:

d r = dx i +dy j +dz k

Prkatsisht, shpejtsia dhe nxitimi i piks n kto kordinata do jepej:

x y zdr dx dy dz

v i j k v i v j v kdt dt dt dt

(3.5)

2 2 2

2 2 2

yx zx y z

dvdvdv dv d x d y d za i j k i j k a i a j a k

dt dt dt dt dt dt dt (3.6)

Prandaj ekuacionet (3.4) paraqesin, n parim) nj sistem 3 ekuacionesh diferenciale t rendit t dyt:

2 2 2

2 2 2; ;

x y zi i i

i i i

d x d y d zF m F m F m

dt dt dt (3.7)

Nga integrimi i t cilave gjendet pozicioni [x(t, a1, a2), x(t, b1, b2), x(t, c1, c2)] i trupit kur dihet varsia e forcave

nga pozicioni, koha dhe shpejtsia (ka edhe forca q varen nga shpejtsia) n prgjithsi. Konstantet e

integrimit gjenden nga vlerat e 3 prbrseve t kordinatave n t = 0 dhe tre prbrset e shpejtsis n t = 0

[ (0), (0), (0), (0), (0), (0)x y z x y z ]. Zgjidhjet analitike gjenden pr rastet klasike t forcave (si psh lvizja n

fush qendrore), ndrkoh q zgjidhjet numerike jan t vlefshme n do rast.

N shumicn e ushtrimeve praktike ne do t shqyrtojm kryesisht raste kur forcat nuk varen nga koha dhe

nga shpejtsia. Shpesh ekuacioni vektorial i ligjit t dyt t Njutonit, projektohet edhe n kordinata sferike ose

cilindrike

Kordinatat sferike (kujtes):

r, , , ku x = r sin cos ; y = r sin sin; z =

r cos

dr = dr er + rde + rsinde

sinr r rv v v r r rv e e e e e e

r ra a aa e e e ;

; ;ri r i i

i i i

F ma F ma F ma , ku:

2 2 2 2 2 2 21 1sin sin sin cos

sinr

d dr r a r a r r

r dt r dta , ,

Kordinatat cilindrike (kujtes)

x = r cos , y= r sin , z = z .

z z zv v v zv e e e e e e ; z z za a aa e e e

; ;zi i i z

i i i

F ma F ma F ma ku

2 21 , , zd

a a a zdt

12

Rast i veabnt jan kordinatat polare n plan (z = 0)

N varsi t problemit, na leverdis q t zgjedhim ato lloj kordinatash q na e lehtsojn integrimin e

ekuacioneve. Psh, n rastin kur fusha sht qendror, forca varet vetm nga largsia e trupit nga qendra e

fushs, zgjedhim kordinatat polare, pasi e dim se lvizja sht n plan dhe forca ka vetm prbrse radiale.

Shpesh, n lvizjen n pan t piks materjale, ligjin e dyt t Njutonit e

projektojm sipas dy drejtimeve: nj tangent me trajektoren dhe nj pingul

me trajektoren, madhsia e tyre, jepet (shih figurn).

t

dva

dt , (nxitimi tangencial i cili karakterizon ndryshimin e madhsis

s shpejtsis), dhe 2

n

va

R , (nxitimi normal ose qendrsysnues, q

karakterizon ndryshimin e drejtimit t shpejtsis. N rastin e lvizjes rrethore, nxitimi tangencial prputhet me

nxitimin a dhe nxitimi norma prputhet me nxitimin radial.

Lloje Forcash

a) Fusha e forcave konservative

Forca q vepron mbi trupin varet vetm nga pozicioni i trupit F = F(r). Nqse fusha e forcave sht konsevative:

0

C

dF r

Pra puna e forcave nuk varet nga forna e rrugs, at here futet kuptimi i energjis potenciale ose potencialit t fushs, i

cili lidhet me forcn me relacionin:

F = - U = - grad U ose U2 - U1 = -

2

1

dF r

- Kujtoj rastin e lvizjes njdimensionale psh n potencialin U = kx2/2

- Kujtoj rastin e lvizjes n fush qendrore, psh kuloniane U = /r - Kujtoj fushn homogjene t rndess: G = mg

b) Forca q varen nga shpejtsia

- Forca e Lorencit: F = q [E(r) + (dr/dt) B(r)]

(kujtoj lvizjen n helik t nj grimce t ngarkuar)

- Rezistenca e ajrit: proporcional me shpejtsin ose me katrorin e shpejtsis.

c) Si lindin forcat e reaksionit ose forcat siprfaqsore? - Pesha ose reaksioni i mbshtets N dhe Tensioni i fijeve T.

- Frkimi i that, ndarja n frkim statik dhe frkim dinamik

c) Forcat e inercis

Nse krkojm t zbatojm ligjn e II t Njutonin n sisteme referimi jo-inercie, athere duhet q ve forcave

reale q veprojn mbi trupin t shtojm edhe forca fiktive paburim material, q quhen forca inecie.

N rastin kur sistemi i referimit kryen thjesht lvizje me nxitim W translativ ndaj nj sistemi inerceial, forca e

vetme inerciae sht: - m W dhe ligji i II i Njutonin n kt sistem referimi shkruhet:

md2r/dt

2 = F mW, (3.8)

fundku d2r/dt

2 sht nxitimi i trupit n sistemin jo inercial dhe F rezultantja e forcave reale q veprojn mbi

trup.

Nse sistemi i referimit S kryen lvizje rrotulluese me shpejtsi kndore , athere ligji II i Njutonit n kto

sisteme shkruhet:

(3.9)

o a

at an

ar

r

P

a

13

Ku (dr/dt)S = vS sht shpejtsia e trupit n sistemin S dhe 2m vS quhet forca e inercis e Koriolisit, dhe

m(r) quhet forca e inercis centrifugale e cila sht pingul me boshtin e rrotuimit t S me kahen q i

agohet ktij boshti (n madhsi sht 2d, ku d sht largsia e piks nga oshti i rrotullimit.

Zbatime

- Rndesa e dukshme n Tok n varsi t gjersis gjeografike - Ena me uj q vrtitet rreth nj boshti vertikal - Formimi i uraganeve - Labjersi Fuko

Dinamika e sistemit t pikave materiale

Shqyrtojm nj sistem pre N grimash (pika materiale) q bashkveprojn. Grimca e i t , ku i =1, 2, 3, ...N, ka

pozicionin ri dhe implsin pi = mi ir . Duke zbatuar ligjin e II t Njutonit pr secin grimc, kemi:

(3.10)

ku Fi sht forca rezultante q vepron mbi grimcn e i-t, e cila sht shum e foracave t jashtme ( nga a na e

trupave jasht sistemit n shqyrtim) q veprojn mbi kt grimc dhe shuma e forcave t brendshme (nga ana

e grimcave t tjera t sistemit) mbi kt grimc:

(3.11)

N baz t ligjit t III t Njutonit: Fij = - Fji .

Duke futur kuptimin e qendrs s mass (qendra e inercis): RQ =

i

i

i

m

mi

ir

, shpejtsia e t cils sht: VQ =

i

i

i

m

m

i

i

r

= im

M

i

i

v

, (i

M m - masa e sistemit t grimcave) del se inpullsi i gjith sistemit sht:

P = i i Qi

m M v V (3.12)

Dhe derivati i tij kohor sht:

Duke qense shuma e dyt t ktij barazimi, n baz t ligjut t III Njutonit, bhet zero, kemi:

(3.13)

Ky sht nj rezultat shum u rndsishm. Ai tregon se lvizjen e qendrs

s mass ndikojn vetm forcat e jashtme. Sidoq t lvizin grimcat e sistemit

ndaj njera tjetrs, pra sido q t ndryshojn bashkveprimet midis grimcave,

asgj nuk ndryshon n lvizjen e qendrs s mass. Lvizja e saj prcaktohet

vepm nga rezultantja e forcave t jashtme. (Nse e hidhni nj mace q

prdridhet dhe angullin, forcat e brendshme n t do t ndryshojn madhsi e

drejtime, por qendra e mass s saj do t lviz npr trajektoren e prcaktuar

nga forca e jashtme rndesa. Natyrisht, macja do ta ndryshoj formn e saj

pr t ndryshuar rezistencn e jashtme).

Shpesh barazimi (5.4) njihet edhe si ligji i II I Njutonit pr sistemin e

mi

mN

m5 m2 ri

Z

Y O

X

Pi

14

trupave. Ai sht njlloj si pr nj pik materjale me mas sa masa e gjith sistemit dhe sikur n kt pik t

zbatohej rezultantja e forcave t jashtme q veprojn mbi sistemin e trupave.

N fakt, asnj trup nuk mund t jet realisht grimc piksore (koncepti pik materjale sht idealizim), qoft

ky nj planet, nj mace, madje edhe nj elektron ( i cili ka nj spin).

Ekuacioni (3.4) prcakton ligjin e lvizjes s sistemit si nj i tr ose lvizjes tejbartse. Pr t shkruar ligjin

prkats pr lvizjen rrotulluese, nisemi nga prcakitimi i momentit t impulsit:

i

ii prL (3.14)

Duke e derivuar n lidhje me kohn dhe duke zevendsuar ligjin e dyt t Njutonit (h 16), gjejm:

i

d

dt

(e) (b) (e)

i i i i i i i i i i

i i i

Lr p r p r F r F r F (3.15)

ku, shuma e momenteve t forcave t brendshme sht br zero, pasi forcat e brendshme jan dy e nga dy t

barabarta e n kahe t kundrta dhe jan drejtuar sipas vijs q bashkon pikat materiale. Psh pr dy pika

materiale mi dhe mj , shuma e momenteve t forcave me t cilat ato bashkveprojn Fij = - Fji , sht:

ri Fij + rj Fji = (ri rj) Fij = rij Fij = 0

sepse vektori rij q bashkon dy pikat sht paralel me vektorin Fij . Kshtu del se derivati kohor i momentit t

impulsit t sistemit, sht sa momenti rezultant i forcave t jashtme. Duhet t kemi parasysh se momenti i

impulsit t sistemit dhe momenti i forcave t jashtme llogariten n lidhje me t njjtn origjin (origjina e rreze

vektorve ri ) Barazimi i msiprm shkruhet n formn:

K(ext)

= d

dt

L (3,6)

Dhe ngjason me ligjin e dyt t Njutonit, por tashm pr lvizjen rrotuuese, ku n vend t impusit sht

momenti i impulsit dhe n vend t forcs t jashtme sht momenti rezultant i forcave t jashme.

Zbatim Problemi i dy trupave

T zgjidhsh problemin e N grimcave q bashkveprojn mdis tyre sht e vshtir. Megjithat n rastin e

sistemit t dy grimcave problemi sillet n lvizjen e nj grimce n nj fush t dhn forcash

Duke shprehur rrezevektoret x1 dhe x2 t trupave nprmjet rrezeve vektrove t

tyre ndaj qendrs s mass, kemi:

dhe ku r sht rrezevektori q bashkon trupin e II

me trupin e I

Duke konssideruar se forca e jashtme sht zero, qendra e mass lviz me shpejtsi

kontante 0R Ndrkoh lvizja relative i bindet ligjit:

, i cili shkruhet: ,

ku sht masa e reduktuar .

Kshtu q, duke njohur lvizjen e qendrs s mass (shpejtsia e saj sht konstante ose zero n sistemin e

referimit ku qendra e mass prehet), nga ekuacioni i msiprm gjendet lvizja relative dhe madej pozicionet e

secils grimc. N rastet e bashkveprimeve gravitacionale dhe elektrike, forca sht Fi2 = - gard U(r).

N rastin limit kur m2 >> m1, athere m1 dhe trupi i rnd mbetet praktikisht I fiksuar ndrsa trupi I

leht vrtitet rreth tij (sistemi Dielor, ku qendra e mass sht afr qendrs s Diellit) apo Hna rreth Toks, ku

qendra e mass sht rreth 1200 km nn siprfaqen e Toks

15

1.4. DINAMIKA E TRUPIT T NGURT

Trupi i ngurt sht nj rast i veant i sistemit t N grimcave, t cilat kan kufizime n lvizjen e tyre, q

shprehin faktin se distancat midis pikave nuk ndryshojne me kohn:

tani j kons tr r (4.1)

Trupi i mgurt mund t kryej vetm dy lloj lvizjesh: lvizje tejbartse (translative) q zakonisht merret me

shpejtsin e qendrs s mass dhe lvizje rrotulluese rreth ndonj boshti q kalon nga qendra e mass. Lvizja

tejbartse shqyrtohet ashtu si pr sistemin e pikave materjale ku ligji bazs sht (3.4) , prandaj ktu po ndalemi

n lvizjen rrotulluese.

Le ta zem se trupi i gurt rrotullohet rreth nj boshti t palvizdhm, psh Z (fig....) dhe le t konsiderojm

nj pik t trupit t ngurt e cila kryen lvizje rrethore (n lvizje rrotulluese rreth nj boshti, t gjitha pikat e

trupit lvizin npr rrath n plane paralel dhe pingul me boshtin e rrotullimit, ku rratht kan rreze t

ndryshme por qendrat e tyre ndodhen n boshtin e rrotullimit). Kordinatat dhe shpejtsia e ksaj pike jan (n

kordinata cilindrike):

r = (d cos , d sin , z) dhe ( sin , cos , 0) d dq q q qr (4.2) ku d sht largsia e piks nga boshti i rrotullimit (rrezja e rrethit q

prshkon pika e dhn).

Duke futur kuptimin e vektorit t shpejtsis kndore nw q , e cila n madhsi sht sa w q dhe drejtim sipas boshtit t rrotullimit (kahja e vektorit njsi n zgjidhet sipas rregullit t tryels s djatht), shprehim

shpejtsin e piks n trajtn:

r rw (4.3) E cila sht pingul me boshtin e rrotullimit (me vektorin ) dhe me rreze-

vektorin e pik r dhe n madhsi sht

v = r sin = d (4.4)

ku d = r sin - sht rrezja e rrethit q prshkon pika n shqyrtim

Po t llogaritim energjin kinetike t ksaj grimce, ajo del:

2

2 2( ) 1

2 2 2

m mT md w

rr r

Ndrsa, po t llogaritim energjin kinetike t t gjith trupit t ngurt, do t kishim: 2

2 2 2( ) 1 1

2 2 2 2

i i ii i i i

i i i

m mT m d Iw w

rr r , (4.5)

ku 2

i i

i

I m d (4.6)

- sht momenti i inerxis s trupit rreth boshtit t dhn t rrotullimit. Vini re ngjashmrin e shprehjes s

energjis kinetike (4.5) me shprehjen mv2/2.

N mnyr analogje mund t llogaritim momentin e impulsitt trupit t ngurt q rrotullohet rreth nj boshti:

2 2 2 2

2

cosi i i i i i i i i i i i i ii i i i

i i

i

m m m m

m d I

jL r r r r r r r r r

L =

(4.7)

Momente inercie t disa trupave simetrik

16

Shuma (4.6) pr momentet e inercis s trupave t ngurt rreth nj boshti kthehet n integral n limitin e saj:

2 2 2( ) ( ) sin

V V

I r dV r dVr r fr r (4.8)

Ku r = r sin = d sht largsia e piks nga boshti i rrotullimit dhe sht densiteti i materialit n pikn r.

N prgjithsi, zgjidhja e integralit, pr trupa fardo nuk del analitikisht, por llogaritet numerikisht. N diisa

trupa me simetri, momentet e inercis t t cilve llogariten analikisht, jepen m posht:

- Unaza homogjene me mas m dhe rreze a, n lidhje me boshtin pingul me t, q kalon nga qendra e inercis (qendra e unazs), e ka momentin e inercis: I = ma

2/2

- Shufra... - Disku... - Sfera

- Teorema e Shteinerit: Tenzori i Inercis

N rastin r prgjithshm kur trupi i ngurt mund t kryej rrotullim t fardoshm (jo reth nj boshti t

fiksuar), momenti i impulsit i trupit t ngurt jepet:

L = (4.9)

Ku sht tenzori i inercis:

=

2 2

2 2

2 2

( )( ) - ( ) - (r)

( ) ( )( ) - ( )

( ) - ( ) ( )( )

V V V

V V V

V V V

y z dV xydV xzdV

xydV x z dV yzdV

xzdV yzdV r x y dV

r r r

r r r

r r r

r r

r r r

r r

N rast se zgjidhet nj sistem boshtesh (i lidhur me trupin) t drejtuar sipas boshteve kryesor t inercis, ku

vlerat kryesore t inercis (momentet e inercis n lidhje me boshtet kryesore t inercis ) jan I1 , I2 , I3,

energjia kinetike e rrotullimit merret:

2 2 2

1 1 2 2 3 3

2 2 2rr

I I IT

w w w (4.10)

ku 1, 2, 3 jan prbrset e shpejtsis kndore n boshtet e inercis. Zakonisht, energji kinetike e lvizjes

s trupit t ngurt merret si shum e energjis kinetike t translacionit me shpejtsin e qendrs s mass plus

energjin kinetike t rrotullimit rreth nj boshti q kalon nga qendra e

mass:

2 2

2 2

QM QMmv IT

w (4.11)

Shembull 1. Rrokullisja pa rrshqitje

(Rrethi, Disku, cilindri, sfera) n rrokullisjen pa rrshqithe do t thot q

pika A sht n kt ast n prehje, por nuk rri pr asnj interval kohe n

kontakt me rrafshin. Po t shnojm q shpejtsin kndore t diskut, nga ky kusht nxjerrim q shpejtsia e qendrs s mass (qendra e diskut) sht:

17

v a q 2) Meq n astin e dhn disku rrotullohet rreth boshtit q kalon nga pika A, shpejtsia e nj pika cfardo n

periferi t diskut (rrethit apo cilindrit) sht:

2 cos( / 2)v a q q Vini re qe kjo shpejtsi sht pingul me drejtimin AP (lvizja plan-paralelel) dhe jo tangent me rrethin, n

prgjithsi (me prjashtim t pik s siprme ku = 0.

Qoft duke zbatura (6.10), qoft kur zbatohet thjesht energjia kinetike rrotullimit rreth boshtit q kalon nga A,

rezultati sht i njjjt.

Shembuj t tjer (trajtohen n ushtrime)

- Shufra q varet n skaj - Disku q rrokulliset n planin e pjerrt.

1. 5 LIGJET E RUAJTJES

N mekanik ka nj teorem, q njihet si teorema e Neterit, sipas t cils do simetri e sistemit mekanik, pra

do invarianc e gjendjes s sistemit mekanik, ndaj nj transformimi t caktuar, sht e lidhur me ligjin e

ruajtjes s nj madhsie. Ne na interesojn ligje t rrujtjes s madhsive t tilla si impulsi, energjia dhe momenti

i impuslit. Ligjet e ruajtjes s ktyre madhsive dalin nga vetit e simetris s hapsirs dhe kohs si jan

homogjeniteti dhe izotropia e tyre.

- Homogjeniteti i hapsirs

Kjo nnkupton q pjes (ose pik) e hapsirs sht identike ose ekuvalente me do pjes (ose pik) tjetr t

hapsirs. Pra, do proces fizik do t ndodh njlloj kudo (n do pjes t hapsirs) kur sht n kushte t

njjta. I njjti eksperiment i kryer ktu apo n Amerik, do t jap t njjtat rezulatate.

Nse e zbatojm kt veti t hapsirs pr nj sistem t mbyllur, pr thjeshtsi e marrim me dy grimca q

bashkveprojn vetm midis tyre, nxjerrim ligjin e ruajtjes s impusit. Nse t dy trupat kyejn t njjtn zhvendosje hapsione r , athere gjendja e sistemit nuk ndryshon. Prandaj,

puna e plot e kryer nga forcat e brendshme sht zero:

F12 r + F21 r = 0

Q ktej del ligji i III t Njutonit: F12 = - F21 . Por nga ana tjetr kjo sjell n ruajtejen e impulsit t sistemit:

1 2 1 2 21 12( )

0dP d p p dp dp

F Fdt dt dt dt

Pra, ligji i rulatjes s impulsit del nga homogjeniteti i hapsirs

Ky rezultat mund t prgjithsohet leht pr sistem t mbyllur prej N trupash: Nse kryehet nj zhvendosje e

njjt r pr t gjitha pikat e sistemit, gjendja e sistemt nuk ndryshon, athere puna e forcave t brendshme

duhet t jet zero:

r (F12 + F21) + r (F13 + F31) +... = 0

Ku jan ifte forcash t bashkveprimeve midis trupave. Kjo mund t shkruhet:

r ( ) 0ij jii j j

F F , i, j = 1,2, ...N

Meq r sht e fardoshme, del se: ( ) 0ij jii j j

F F , e cila on n ruajtjen e impulsit t gjith sistemit

2 Kemi provuar q n lvizjen e trupi t ngurt, shpejtsia e translacionit varet nga zgjedhja e origjins, ndrsa shpejtsia kndore e

rrotullimit nuk varet nga kjo zgjedhje

18

(duke konsideruar q bashkveprimi prhapet n ast): 1 2 ... 0N ij ji

i j j

dp p p F F

dt

p1+ p2+ p3+ ... pN = Konstante

Kshtu, origjina e sistemit t referimit mund t zhvendoset kudo n hapsir, dhe kjo nuk ndikon n gjendjen e

sistemit mekanik

Homogjeniteti i kohs

Kjo do t thot se nj ast (ose interval) kohe sht identik me do ast tjetr (ose interval) kohe. i njjti

eksperiment i kryer sot apo nesr apo nj vit m von jep t njjtat rezultate n kushte t njjta.

Homogjeniteti i kohs sjell si rezultat q forcat n natyr nuk duhet t varen n mnyr eksplicite nga koha.

Sigurisht ato mund t ndryshojn me koh, por ky ndryshim vjen si pasoj e ndryshimit t pozicionit reciprok

apo shpejtsis relative t trupave. Pra, nse forca, t themi trheqse, midis trupave q ndodhen n nj largsi

r t pa ndryshuar nga njeri tjetri matet sot (n astin t) apo nesr (n astin t), rezultati del i njjt.

Matematikisht kjo shprehet me faktin q derivati e pjesshm kohor i forcs sht zero:

0t

F

Nse forca sht konservative, athere ne prcaktojm nj energji potenciale t bashkveprimit U, gradienti i t

cils sht forca. Fakti q forca nuk varet n mnyr eksplicite nga koha do t thot q edhe energjia potenciale

nuk varet n mnyr eksplicite nga koha. Ajo varet vetm nga pozicioni i piks (trupit):

U(x, y, z)

Kjo on n ligjin e ruajtjes s energjis mekanike:

2

( , , )2

mvE U x y z

+ ( ) 0x x y y z zdE d dU dU dx dU dy dU dz

m F v F v F vdt dt dt dx dt dy dt dz dt

vv v F v F

Pra, E mbetet konstant me kohn. Kshtu, ligji i ruajtjes s energjis mekanike, n mekanikn Njutoniane, del

direkt is rrjedhim i homogjenitetit t kohs. Homogjeniteti i kohs, tregon se ne mund ta zgjedhim astin e

kohs zero n do moment t vzhgimit t nj procesi fizik.

Izotropia e hapsirs

Hapsira sht izotrope do t thot q nj drejtim n hapsir sht identik ose ekuivalent me do drejtim tjetr.

Nj eksperimet (dmth nj proces fizik) jep t njjtin rezultat pavarsisht nse laboratori sht i orientuar pr nga

Veriu, Perndimi, apo ndonj drejtim tjetr. Kjo dmth q do zhvendosje kndore (rrotullim n hapsir) i nj

sistemi t mbyllur si nj i tr, nuk e ndryshon gjendjen e brendshme t sistemit apo lvizjen e brendshme t tij.

Pr rastin e thjesht t nj sistemi t mbyllur prej dy grimaceve q bashkveprojn, izotropia krkon q puna

totale e kryer nga forcat e brendshme gjat nj rrotullimi t sistemit me nj knd d, sht zero:

dr1F21 + dr2F12 = 0

ku dr1 dhe dr2 jan vektort e zhvendosjeve t grimacave 1 dhe 2 prkatsisht.

Nga relacioni v r , gjejm se: 1 1dr d r dhe 2 2dr d r , ku r1 dhe r2 jan konstante.

1 21 2 12 0d r F d r F os 1 21 2 12 0d r F d r F

Q nga gjejm (meq d sht e fardoshme):

1 21 2 12 0r F r F

Dmth q momenti rezulatant i forcave t brendshme sht zero, pra momenti i impulsit i sistemit ruhet (kujto

ligjin e dinamiks s rrotullimit (K = dL/dt = 0, L - konstant).

19

Kshtu, ruajtja e momentit kndor (momentit t impulsit) t nj sistemi t izoluar del si rjedhim i vetis

themelore t hapsirs, izotropia e saj. Izotropia e hapsirs ne lejon zgjedhjen e boshteve kordinative m

orientim cfardo.

Izotropia e kohs

Izotropia e kohs do t thot ekuivalenc t drejtimeve t rrjedhjes s kohs. Zakonisht, ne jemi msuar me nj

drejtim t rrjedhjes s kohs nga e kaluara n t ardhmen. Megjithat ne mund t imagjinojm edhe drejtimin e

kundrt t rjedhjes s kohs, nga e tanishmja n t kaluarn. Pra pyetja nse koha sht izotrope, do t thot a

sht koha e kthyeshme (reversibl) apo jo? Matematikisht kjo do t thot si sillen ekuacioent e lvizjes nse

ndryshojm t n t.?

Ligji i II i Njutonit nuk ndryshon gjat ktij ndryshimi (zvendsimi):

2 2

2 2( )

d dm m

d t dt

r rF

Meqnse Forca nuk varet shtjellazi nga koha , ajo nuk ndryshon gjat ktij ndryshimi. Pra, levizja e

prshkruar nga ligjet e Njutonit mbetet i njjt gjat zvndsimit t t me t. Kjo do t thot q: konsiderojm

nj proces q prshkruhet nga ligjet e Njutonit, si psh lvizja e nj trupi q hidhet vertikaisht lart. Ai ngrihet

deri n lartsin maksimale dhe bie mbrapsht nn veprimin e gravitetit. Ta zem se e filmojm procesin e

ngritjes s trupit lart. Nse e shohim filmimin me xhirim t kundrt, ne shohim t njjtin proces si ai rnies

posht t trupit.

Por kur filmojm nj proces t till si rnia e nj gote nga tavolina n Tok ku thyhet n copa dhe e xhirojm

filmin n t kundrt, do t shohim q copat q dalin nga thyerja e gots mblidhen duke formuar gotn dhe gota

hypn mbrapsht mbi tavolin. Ky proces i mbrapsht n raport me thyerjen e gots, nuk ndodh n natyr.

Kshtu, ndrsa do cop e gots i bindet ligjeve t Njutonit t cilat jan t kthyeshme n koh, sistemi kolektiv

(i prbr nga shum copa) nuk i bindet reversibilitetit n koh. Kjo shpjegohet nga parimi i II i TD, i cili e

ndalon kalimin e sistemit nga gjendja m pak rregullt n gjendje m t rregullt.

Izotropia e kohs nuk sjell n ndonj ligj specifik t ruajtjes n mekanikn klasike.

Shembuj

I Provoni se ligji i ruatjes s impusit n sistemin e izoluar t dy trupave q goditen del nga parimi i invariancs

s Galileit dhe nga ligji i ruajtjes s energjis totale

Zgjidhje: Supozojm se goditja e dy grimcave 1 dhe 2 vzhgohet n sistemin inercial t referimit S .

Shpejtsit e grimcave 1 dhe 2 jan u1 dhe u2, para goditjes dhe ato nuk kan energji potenciale t

bashkveprimit. Energji totale sht thjesht energji kinetike:

Pas goditjes dhe ndarjes s grimcave, shpejtsit e tyre bhen v1 dhe v2. Sipas ligjit t ruajtjes s energjis n

sistemin e referimit S, ne marrim:

(1)

here E sht ndryshimi i energjis kinetike q shndrohet n energji t brendshme t grimcave gjat gjat

goditjes. Nse E = 0, goditja sht elastike, prndryshe sht joelastike.

Le ta shohim tani procesin nga nj sistem tjetr inercial referimi S q lviz me shpejtsi V

Ndaj S. Sipas transformimeve t Galileit, shpejtsit e grimcave t vrojtura nga S jan:

u1= u1 V, u2= u2 V (para) (2a)

dhe

v1= v1 V, v2= v2 V (pas) (2b)

20

Tani fusim iden q parimi i ruajtjes s energjis nuk varet nga sistemi i referimit. N fakt ruajtja e energjs

mekanike sht rrjedhim i homogjenitetit t kohs. Si tregojn eksperimentet, ne supozojm se ndryshimi i

energjis E mbetet gjithashtu invariant ndaj transformimeve t Galileit. Kshtu q ruajtja e energjis n

procesin e goditjes t vrojtuar nga S, jep

(3)

Nga barazimet (2), gjejm:

2 2 2

1 1 1' 2u u V u V (4a)

2 2 2

2 2 2' 2u u V u V (4b)

2 2 2

1 1 1' 2v u V v V (4c)

2 2 2

2 2 2' 2v v V v V (4d)

Duke zevendsuar n (3) nga (4) , gjejm:

(5)

Dhe duke e krahasuar kt barazim me (1), gjejm:

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

i cili sht n fakt ligji i ruajtjes s impusit gjat procesit goditjes s dy trupave. Kshtu, parimi i ruajtjes s

energjis dhe invarianca Galileane, tregojn q impusi ruhet n goditjet qofshin ato elastike apo joelestike.

Natyrisht ruajtja e impulsit sht edhe rrjedhim direkt i ligjit t III t Njutonit. Pr m tepr ai del edhe nga

homogjeniteti i hapsirs dhe duhet t jet invariant ndaj transformimit t Galieit, pra edhe n sistemin e

referimit S, kemi

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

II. Koeficienti i rivendosjes (rikthimit) n Goditjet

Shqyrtojm goditjet midis dy trupave, q lvizin me respektivisht shpejtsi u1 e u2 (para goditjes) dhe v1 e v2

(pas goditjes). Nga ligji ruajtjes s inpulsit:

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

gjejm:

m1(v1 u1) = - m2 (v2 - u2)

Nse shnojm me E ndryshimin e energjis kinetike gjat nj goditje athere:

2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 21/ 2[( ) ( )] 1/ 2[ ( ) ( )]E m v m v m u m u m v u m v u

ose E = [ m1(v1 u1)(v1 + u1) + m2 (v2 - u2)(v2 + u2)] = m1(v1 u1)[ (v1 - v2) - (u2 u1)]

ku (v1 - v2) shpejtsia relative (ndaj njeri tjetrit) pas goditjes dhe (u2 u1) shpejtsia relative para goditjes.

Nse jan t barabarta del E = 0 (goditje absolutisht elestike). Nse v1 = v2 (trupat pas goditjes lvizin s

bashku), goditja sht absolutisht jo elastikel

Goditje pjesrisht elastike, jan midis goitjeve absolutisht elastike dhe gotitjet absolutisht joelastike.

Koeficienti i rivendosjes e q prcakton shkalln e joelasticitetit prcaktohet:

1 2

2 1

pas goditjes

para goditjes

shpejtesia relative v ve

shpejtesia relative u u

Pr goditjet absolutisht elastike e = 1 , pr goditjest absoutisht joelastike e = 0 dhe pr goditjet pjesrisht

elastike 0 < e < 1.

21

III) Shqyrtojm goditjet elastike midis dy trupave identik, kur njeri nga trupat lviz me shpejtsi v para

goditjes dhe tjetri sht n prehje. Nga ligii ruajtjes s energjis kinetike (energjia potenciale konsiderohet

konstante, gjat goditjes) dhe ligji i ruajtjes s impulsi,t kemi:

Duke ngritur n katror barazimin e dyt dhe duke e krahasuar me barazimin e par, gjejm:

v1v2 = 0, Pra shpejtsit e trupave pas goditjes jan

pingul me njera tjetrn.

IV) Dy vagona treni lvizin pa motor mbi shinat horizontale pa

frkim. Vagoni B, q ka mas MB dhe shpejtsi VB ndaj toks,

mbart nj predh me mas m. Pas qitjes neglizhohet lvizja

vertikale e predhs

Fillimisht, vagoni A ka mas MA dhe shpejtsi VA ndaj Toks

(VA > VB ).

Predha del nga vagoni B dhe lviz drejt vagonit A me shpejtsi

horizontale u ndaj vagonit B, pas t cils vagoni B vazhdon t

lviz n t njjtin drejtim me shpejtsi VF ndaj toks (figura n

mes).

S fundi, predha pasi godet vagonin A, ndalon menjher n

lidhje me kt vagon (fig. n fund) i cili vazhdon t lviz me t

njtn shpejtsi n madhsi e drejtim me vagonin B, VF ndaj

toks.

a) Shprehni shpejtsin finale VF , t vagonit B me an t VB , u ,

dhe masave , MA , MB , m.

b) Sa duhet t jet shpejtsia u e predhs ndaj vagonit B n

mnyr q shpejtsia finale e vagonit A t jet gjithashtu VF .

Prgjigja t shprehet me an t VA , VB , dhe masve MA , MB,m. Zgjidhje

a) Nga ligji ruajtjes s impulsit gjat qitjes, kemi:

(MB + m) VB = - m (u VF) + MB VF F BB

m V V u

m+M (1)

b) Nga ligji ruajtjes s impulsit gjate goditjes s predhs me vagonin A, kemi:

MAVA m(u VF) = (MA + m)VF A A

A FM M

u V Vm m

(2)

Duke zvendsuar (1) te (2), gjejm:

A A AA B

B

M M M u V V u ose

m m M +m

A A B B B

A B

M V M V M mu

m M M m

V) Problem i rakets me mas variabl

Ligji i II i Njutonit n formn F = dp/dt prputhet me formn: F = m a = m d2r/dt

2,

kur masa e trupit sht e pandryshuar. N situata kur masa ndryshon, si sht rasti i

rakets q emeton produktet e djegjes s karburantit, duhet t kemi kujdes.

Raketa lviz n vij t drejt me shpejtsi v(t). Masa e rakets, m(t), ndryshon me

kohn sepse lnda e djegur del nga pas, supozojm me shpejtsi u n lidhje me

raketn. T gjejm si ndryshon shpejtsia e rakets me kohn.

Ju mund t mendoni q mjafton t zbatojm formn origjinale t ligjit t II t

22

Njutonit. Por n kt ligj impulsi sht i gjith sistemit (raketa plus karburanti q del). Prandaj zbatojm ligjin e

ruajtjes s impulsit.

N astin e kohs t, impulsi i rakets sht p(t) = m(t)v(t) dhe pas nj intervali kohe t, ky impuls sht ndar

n impuls t rakets dhe impuls t karburantit q del, p(t + t) = praketa(t + t) + pgazrat(t + t)

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )raketdm dv dm dv

p t t m t t v t t m t dt v t t m t v t v m t O tdt dt dt dt

d d d d d d N

mnyr t ngjashme impulsi i gazrave q dalin, sht: Pgazra(t + t) = [m(t) m(t + t)] [v(t) u] (dm/dt) [v(t) u] t+ O( t

2)

Vini re q shpjtsia e gazrave sht v u, pasi gazrat kan shpejtsi u n lidhje me raketn. N fakt ktu ka nj

dyshim, nse do merret v(t) u apo v(t + t) u apo e mesmja midis tyre? N fakt kjo nuk ka rndsi, sepse

diferencat jan t rendit t2 dhe nuk ndikojn n rezultat. Duke i mbledhur t dy impulset m lart, gjejm:

2( ) ( ) ( ) ( )dv dm

p t t p t m t u t O tdt dt

d d d

Dhe nga ligji i II i Njutonit: ( ) ( )p t t p t

Ft

dd

, gjejm ekuacinoin e Tsielkofskit t raket (shkruar m 1903)

( )dv dm

m t u Fdt dt

Nse forca e jashtme sht zero, nxjerrim: ( ) 0dv dm

m t udt dt

ose: dv u dm

dt m dt. Integrimi i saj jep:

00( ) log

( )

mv t v u

m t, ku m0 sht masa e rakets kur shpejtsia e saj sht v0. Ktu duket se shpejtsia e

rakets rritet n mnyr logaritmike dhe nse shnojm:

dm

dta , e cila sht negative, gjejm: 0

0

( ) log 1t

v t v um

a. Vini re q zgjidhja vlen pr koh t < m0/,

sepse pas ksaj kohe karburanti ka mbaruar dhe modeli i prshkruar nuk vlen m

1.6 FUSHA GRAVITACIONALE

Bashkveprimet themelore n natyr, realizohen nprmjet fushave (bashkveprimi n afrsi) si sht edhe

fusha gravitacionale. Fushat karakterizohen nga madhsia dhe drejtimi n do pik, t cilat prcaktohen nga

madhsia dhe drejtimi i forcs q fusha ushtron mbi trupat e futur n kt fush. Psh, vektori i intensitetit t

fushs gravitacionale n do pik t saj prcaktohet nga forca q vepron mbi masn piksore njsi t vendosur

n at pik:

F

gm

(6.1)

Nse fusha krijohet nga nj mas piksore M, athere nga ligji i trheqjes universale, rezulton q intensiteti i

fushs gravitacionale n nj pik n largsin r prej saj, sht:

2 2

1 Mm r M rg G G

m r r r r (6.2)

Ku G 6.67 1011

m3 Kg

1s

2 .

m

M

r

g

23

Ashtu si forca gravitacionale, si forc konservative q derivon nga energja potenciale:

2

r r; g =

r r

Mm dU MmU G m U G

r dr r (6.3)

ashtu edhe intensiteti i fushs gravitacionale derivon nga potenciali i fushs (energjia potenciale pr njsi

mase):

2

r r; =

r r

M d MG g G

r dr r

Si duhet potenciali i fushs n nj pik t saj prcaktohet si minus puna e forcave t fushs pr t larguar

njsin e mass nga kjo pik n infinit , ose puna e forcs s jashtme pr ta sjell njsin e mass nga infinitui

deri n pikn e dhn (konsiderojm se potenciali i fushs n largsi infinit prej mass q e krijon kt fush

merret zero).

Duke qen nj madhsi skalare, potenciali i fushs n nj pik t saj llogaritet sis shum algjebrike e

potencialeve t fushave q krijojn pikat materjale q krijojn kt fush (parimi i mbivendosjes s fushs).

Kjo shum, n limit kur ndarja e masave t trupave q krijojn fusn n elemente piksor bhet shum e imt

jep integralin sipas vllimit t trupave q krijojn fushn. (masat piksore Mi zvendsohen m me masat

eementare dM = dV = (s)d3s

3

( )( ); g

V V

G dV G dVs r ss

r s r s

Duke kryer divergjencn e vektorit g, dhe duke ditur faktin q :

ku (s) sht Delta funksioni i Dirakut, gjejm:

N baz t vetive t funksionit t Dirakut, te ekuacioni diferencial i fuahs gravitacionale, n cdo pik r t saj

Ose pr potencialin e fushs, del ekuacioni: - = 4G(r) ose = - 4G(r)

Kto rezultate dalin edhe duke zbatuar teoremn e Gausit (shiko m posht.

Kshtu, potenciai i fsuhs gravitacionale e nj planeti, llogaritet nga integrali

Fusha e nj planeti

Integrali kryhet m leht n kordinata sferike, ku boshti polar merret sipas = 0 dhe r x = r x cos ; |r x|2 = r2+x22 r x cos .

V V dM r s

r-s

24

Ky integral mund t llogaritet pr do pik r qoft brenda apo jasht sfers. N rastin e nj pike jasht sfers, (r > x), |r x| = r - x) , kur densiteti i shprndarjes s mass nbrenda sfers merret konstante ( = M/ (4/3 R

3) ,

ky rezultat del:

= M

Gr

sht njlloj si potenciali i fushs q krijon nj mas piksore me mas sa masa e sfers e prqndruar n

qendr t sfers.

Pyetje Po fusha n nj pik brenda (r < x, |r x| = x - r ) sa do dilte,

po fusha brenda nj zgavre sferike sa do ishte?

Fusha paraqitet me an t vijave t saj, drejtimi i t cilave sht sipas

fushs, dhe dendsia e tyre jep madhsin e fushs, aty ku vijat jan m t dendura, fusha sh m e fuqishme

dhe ku jan m t rralla, fusha sht m e dobt, si psh n rsatin e nj sfer homogjene me mas M (psh Toka,

me mas MT) Figura,

Intensiteti i fushs jasht Toks, n baz t ligjit t gravitacionit, del: g = - |grad | = - d /dr = GMT/ r2 ku

r sht largsia nga qendra e Toks , n lartsi t vogla nga siprfaqja e Toks , merret fusha homogjene, me

intensitet g = GMT/RT2 = 9.8 m/s

2, por Toka nuk sht sfer, dhe nuk sht homogjene, prandaj nuk sht e

njjt g kudo dhe ve ksaj ajo varet nga gjersia gjeografike, pr shkak se ajo q matet sht rezultante e

rndess dhe forcs s inersis q vjen nga rrotullimi i Toks (shih shnimet e zbatimeve)

Fusha gravitacionale sht konservative, pra intensitati i saj del si gradient i potencialit g = - grad U, ku

potebnciali gravitacional i fushs q krijon nj mas piksore sht Gm/r, ku merret 0 potenciali i fushs n

infinit.

Detyr: Gjej potencialin e fushs brenda Toks dhe bj grafikun e varsis nga r.

Trego n figur vijat e fushs pr Diellin, Tokn e Hnn (1/6 m t rralla vijat se n Tok)

Teorema e Gausit e zbatuar pr fushn gravitacionale

Fluksi i fushs gravitacionale n nj sirfaqe fardo t mbyllur, sipas

teorems s Gausit, sht: S

x-r

x

x

r

2 2

33

0

2( ) 2

4

3

rG M M

x dx G rr R

R

r

25

4 ( ) 4V V

g dS divgdV G r dV GM , ku M sht masa q prfshihet brenda vlimit V. Pra

fluksi i fushs gravitacionalle npr nj siprfaqe t mbyllur sht e barabart me - 4G shumzuar me masn

q prfshihet n vllimin q kufizon kjo siprfaqe..

Masa dhe Pesha

Masa q hyn te ligji i dyt i Njutonit sht madhsia q mat inertsin e trupave, prandaj quhet mas inerciale.

Ndrsa masa q hyn n ligjin e trheqjes s gjithssihme, e cila karakterizon aftsin q ka trupi pr t trhequr

trupat e tjer n fushn e tij, quhet mas gravitacionale. A jan sht e njjt masa gravitacionale mg e nj trupi

me masn inerciale t tij mi. Kjo pyetje e turbullonte edhe vet Njutonin, ndonse n praktik masa

konsiderohej si mas e sasis s lnds q prmbante trupi. Por sipas ligjit t dyt t tij, nxitimi a i trupit q bie

lirisht (nn veprimin e forcs trheqse t Toks) jepet nga F = mi a ndrsa sipas ligjit t gravitacionit F =

mg g . Pra raporti i tyre duhet t jet i

g

m a

m g. Nga eksperimentet e Galileit

ne e dim q t gjith trupat bien me t njjtin nxitim, pra raporti i

msipm sht i njjt pr t gjith trupat. Po ta marrim kt raport 1, pra

mi = mg , ne mund t prcaktojm vlern e konstantes gravitacionale G sic

bnte Njutoni Njutoni nuk e mati kanstanten universale, por n

eksperimentet e shklqyera t Henry Cavendish (1798) me sferat e lidhura

n skajet e nj shufr t lidhur me fijen e torsionit (shih fig), u konfirmua

vlera e gjetur nga Njutoni me supozimin mi = mg. M von, me formulimin

e teoris s prgjithshme t reativitetit, u konfirmua ekuivalenca e mass

inersiale me at gravitacionale.

Le t sqarojm edhe konceptin e peshs q prdoret rndom n jetn e

prditshme. Shpesh ajo konfondohet me masn e trupave q prcaktohet me an t peshimit n balanc. Por,

me pesh ne do kuptojm forcn me t ciln mshojn trupat mbi nj mbshtetse ku qndrojn n prehje mbi

t P. Kunderveprimi i mbshtetses sht i barabart n madhsi dhe i kundrt mepeshn N = - P. N kt

kuptim trupat mund t ndodhen n kushtet e mungess s peshs, kujtoj ktu trupat n nj peshore n ashensor i

cili bie me nxitimin e rnies s lir, apo astronautt n nj nj satelit, i cili ka nxitimin e rnies s lir (edhe kur

vrtitet n orbit ky sht nxitimi radial i satelitit) g n vendin ku ndodhet. Prvec ktij fakti pesha e dukshme

n nj planet tjetr do t ishte e ndryshme nga pesha e po atij objekti n

Tok, sepse n prehje n peshore, forca e trheqjes s planetit q

ekulibron raksionin e peshores jan t barabarta dhe kjo trheqje sht e

ndryshme n planet t ndryshm

Pyetje A mungon graviteti te astronautt q ndodhen n kushtet e

mungess s peshs?

Parimi i Ekuivalencs

Eksperimenti Etvs u krye pr t verifikuar lidhjen midis mass

inerciale dhe mass gravitacionale. Eksperimenti prdorte balancn e

torsionit (shih figurn), dy masa t skajet e nj shufre q varej n nj fibr

t holl. Nj pasqyr e fiksuar n shufr pasqyronte dritn drejt nj

teleskopi. do ndryshim sado i vogl n rrotullimin e shufrs do t

Nse raporti F1 / F2 (forcat e inercise

nga rrotulimi i Tokes) do t ndryshonte

nga raporti G1 / G2, shufra do t

rrotullohej. Pasqyra monitoron kt

rrotullim

26

shkaktonte devijimin e tufs s drits, q vzhgohej n teleskop. Eksperimentet u kryen nga ekipi i Etveshit nga

1906 m 1909. me tipe t ndryshme materejalesh, n vendet t ndryshme n Tok dhe t gjitha vertetuan

ekuvalencn e mass gravitacionale me masn inerciale. (Mjaftonte q t ishin proporcional mas

gravitacionale dhe mas inerciale q merrej ky rezultat). Ky prfundim u prgjithsua nga Ajnshtajni n

nj parim ekulivalence n teorin e prgjithshme t relativitetit

I par nga nj sistem referimi i lidhur me Tokn (sistemi i referimit laboratorik, "lab frame", i cili nuk sht nj

sistem inercial referimi), forcat q veprojn mbi masat e balancuara jan tensioni i shufrave, graviteti, dhe

forcat centrifugale q shkakton rrtullimi i Toks. Graviteti llogaritet sipas ligjit t Njutonit mbi gravitatetin, q

varen nga masa gravitacionale. Forca centrifugale llogaritet nga Ligji II i Njutonit q varet nga masa inerciale.

Eksperimenti u krye me dy masa t ndryshme, t dy forcat nuk do t vepronin njsoj mbi t dy trupat dhe me

kalimin e kohs shufra do t rrotulluhej. N nj sistem referimi q rrotullohet "lab frame", tensioni i shufrs

plus forcn centrifugale (shum e vogl) do t ekulibronte rndesn, ndrsa n nj sistem inercial shuma e

rndess dhe tensionit t shufrs do ta rrotulloj trupin s bashku me Tokn.

Pr shufrn, q t jet n prehje n lab frame, reaksionet e tensioneve (q vepronin mbi trupat) mbi shufr,

duhet t japin moment zero (vetm grada e liris s rrotullimit n

planin horizontal). Duke supozuar q sistemi ishte vazhdimisht n

prehje ekulibr mekanik (dmth. Forca rezultante dhe momenti

rezultant zero) me dy trupat q varen n prehje n t, por kur forcat

centrifugale jan t ndryshme, forcat mbi trupat dhe rjedhimisht

momentet e tyre mbi shufrn jan t ndryshme, shufra do t

rrotullohej n cast, n t kundrt me kt supozim sistemi qndron

n prehje. do ndryshim midis forcave centrifugale mbi dy trupat do

ta vinte shufrn n rrotullim.

Parimi i ekuivalencs s dobt i Ajnshtajnit

Ajnshtajni, jo vetm e pranoi ekuivalencn e mass inerciale dhe mass gravitacionale, por ai e shtriu m tej

kt ekuivalenc m teroin e tj t prgjithshme t relativitetit

Sipas teoris s tij t relativitetit t prgjithshm, trupat n fush gravitacionale sillen njlloj si objektet

brenda nj kabine t mbyllur q lviz me nxitim. Psh, nj vzhgues brenda ksaj kabine do t shoh q trupi

bie njlloj n nj raket (shih fig. majtas) q lviz me nxitim sikurse bie n nj kabin q sht n prehje n

tok (fig, djathtas), nse nxitimi i rakets do t krijonte forc inerciale t njjt me rndesn e trupit n tok, pra

nse raketa do t lvizte n hapsirn e lir me nxitim sa nxitimi i rnies s lir n tok.

Sipas parimit t ekuivalencs s Ajnshtajnit, me asnj eksperment brenda nj sistemi referimi, nuk mund t

dallohet nse ndohemi n nj fush gravitacionale apo ky sistem referimi lviz me nxitim.

Lvizjet pr inerci lidhen me gjeometrin e hapsirs dhe koh. N mekanikn klasike, lvizja pr inerci sht

vij-drejt me shpejtsi konstante n sisteme referimi inercial. Si thuhet n TPR, trajektoret e lvizjes pr

inerci gjeodezikat, jan vijat botrore t drejta n hapsir-kohn e kurbuar

Sipas ligjit t Njutonit mbi gravitetin (t provuar edhe n eksperimentet e Etvesh), ka ekuivalenc universale t

rnies s lir: lvizjes pr inerci n fush gravitacionale dhe lvizjes pr inerci n sistemin e nxituar (e njohur

edhe parimi i dobt i ekuivalencs, ose ekuivalenca universale e mass ineciale dhe mass-pasive

gravitacionale): trajektorja e trupit q bie lirish varet vetm nga pozicioni fillestar dhe shpejtsia fillestare, por

jo nga ndonj vetit materiale t tij. Nj version i thjeshtzuar i ksaj sht eksperimenti n kabinn e mbyllur

t ashensorit sipas Ajnshtajnit (figura djathtas): pr nj vzhgues nj nj dhom t vogl t mbyllur, sht e

pamundur t dallosh nga trajektoret e trupave nse sht n prehje n nj fush gravitacionale apo sht n nj

raket q sht duke lvizur me nxitim n hapsirn e lir (pa gravitet)

Ky prfundimm sugjeron prcaktimin e nj klase t re lvizjesh pr inerci, t themi lvizje pr inerci nn

influencn e fushs gravitacionale. Kjo klas lvizjesh prcakton njkohsisht edhe gjeometrin e hapsir-

kohs n terma matematik: vijat gjeodezike t hapsir-kohs q lidhen me kto lvizje, varen nga gradienti i

fushs gravitacionale. Hapsira, n kt ndrtim sht ende me gjeoetrin e zakonshme Euklidiane. Por,

http://en.wikipedia.org/wiki/Centrifugal_forcehttp://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_law_of_universal_gravitation

27

hapsir-koha si nj e tr (hapsira 4 dimensionale) sht m e komplikuar, Nga eksperimentet me trupat q

bien, duke ndjekur trajektoret e trupave t ndryshm, rezultati i vektrorve t zhvendosjes n hapsir-koh

(vektor 4 dimensional) q do t tregonin shpejtsin e trupave do t ishin t ndryshm pr trajektore t

ndryshme: matematikisht q hapsir-koha sht e kurbuar.

1.7 LVIZJA N FUSH GRAVITACIONALE Fusha gravitacionale e sfers homogjene Intensitetit i fushs gravitacionale, I sfers homogjene sht drejtura pr nga qendra e saj. N pikat jasht sfers, intensiteti prcaktohet nga masa e sfers dhe largsia e pikave nga qendra e sferqs. Psh n rastin kur Toka konsiderohet si sfer hompgjen, intenstiteti I fushs s sasj n lartsin h mbi siprfaqen e saj, sht::

2

T

T

Mg G

R h

ku MT sht masa e Toks (5.981024 kg), RT sht rrezja e saj (6.3710

6 m). Pra, intensiteti I fushqs q shtr dhe nxitimi I rnies s lir, zvoglohet me lartsin mbi siprfaqen e Toks Fusha gravitacionale homogjene Nse lartsia mbi siprfaqen e Toks sht shum e vogl n krahasim me rrezen e Toks (h

28

4. Hedhje me nj knd me horizontin Rnie e ir

Hedhje e trupave vertikallisht lart

Koha kur trupi arrin artsin maksimale T, dhe lartsia maksimale H, gjenden nga barazimet

Hedhja Horizontale

Hedhja horizontale sht e prbr nga rnie e lir verikale dhe nj lvizje e njtrajtshme horizontale Trajektorja sht nj pjes parabole. Hedhja me nj knd (lvizja e predhave)

Hedhja me knd prbhet nga hedhja vertikale dhe lvizja horizontale e njtrajtshme:

Laghedhja varet nga shpjtsia fillestare v0 dhe nga kndi hedhjes . Parabola e siguris Parabola e siguris sht kurba, q prcakton siprfaqen , do pik brenda s cils , mund t goditet

nga nj shpejtsi e dhn v0 (ka rndsi pr artilerin) Nj vler tjetr e rndsishme n artileri sht larghedhja. Q gjendet nga barazimet e mposhtme. Duket se larghedhja m e madhe pr nj shpejtsi t dhn arrihet kur kndi I hedhjes sht 45. Trajektorja shj parabol, n vakum. N ajr trajktorja baistike sht m e shkurtr se parabola, pr shkak t rezistenc s ajrit

29

4. Lvizjet e trupave n fushn qendrore t Toks Hedhjet e trupave jan lvizje n fush homogjene graviteti. Por n rastin e lvizjeve t raketave, satelitve apo anijeve kozmike, fusha e gravitetit nuk sht homogjene.Trajektoret e satelitve varen nga shpejtsia: a) trajektore rrethore (trajektorja 3 n figur) kur n nj lartsi t caktuar h , shpejtsia vk ( 7.9 km/s) knaq barazimin e mposhtm :

b) Pr shpejtsi m t vogl se kjo shpejtsi, trupi lviz n nj elips (trajektorja 1 n figur) derisa t godas siprfaqen e Toks c) Pr shpejtsi fillestare m t mdha, por prsri m t vogla se shpejtsia e lvizjes rrethore vk, trupi prshkuan nj elips t plot (trajektorja 2 n figur) pa rn n Tok. Shpejtsia e shkputjes (shpejtsia e I kozmike) Trajektorja bhet bhet elips edhe m I shtrir me rritjen e shpejtsis fillestare prtej vk Plani

i elipsit kalon nga qendra e Toks,ku sht edhe njera nga vatrat. Pika P, ku distance nga Toka sht m e vogla,quhet perihel, dhe pika A , ku distance nga qendra e Toks sht me madhja quhet afel.. Trajektorja ndryshon prsri n parabol kur trupi ka shpejtsi filestar t mjaftushme pr tu shkputur nga Toka Kjo quhet shpejtsi e shkputjes parabolike , e cila gjendet nga barazimi kur energjia e plot e trupit sht zero:

2

2 20 2 11.2

( ) 2 ( )

T Tp

T T

M m mv M kmE G v G

R h R h s

Pr lartsi t vogla h. Para se trupi t arrij shpejtsin e trajektore hyperbolike, ai lviz n fushn gravitacionale t Dielit. Kur arrin kt shpejtsi (shpejtsia e dyt kozmike) ai shkputet edhe nga sistemi diellor Lvizjet e trupave n fushn qendrore t Diellit Lvizjet e planetve i binden ligjeve t Keplerit, t cilt nxirren teorikisht nga lvizja e trupave n fush qendrore. N rastin e sistemit diellor, ku masa e Diellit sht shum m e madhe se masa e secilit planet (asteroid etj.), qendra e fushs bie afr qendrs s Diellit. Ligji I i Keplerit Planett vrtiten rreth Diellit n orbita eliptike n nj nga

vatrat e t cilave ndodhet Dielli. Elipsat ndryshojn pak nga rretht. Ligji II i Keplerit Planett, vrtiten n orbit me shpejtsi t till, q shpejtsia sektoriale t jet konstante, pra siprfaqja q prshkruan rrezja

30

vektore e planetit ndaj diellit, n njsin e kohs t jet konstante. Si pasoj, planett lvizin m shpejt n perihel dhe m ngadal n afel. Ligji III i Keplerit Raporti i katrorve t periodave t planetve sht i barabart me raportin e gjysm-boshteve t mdhenj t elipsave. Ligjet e Keplerit veprojn jo vetm pr sistemin Diellor, por edhe pr trupat q vrtiteten rreth Toks (Hna, satelitt, etj).

1.9 HYRJE N DINAMIKN JOLINEARE

Termi dinamika sot ka kuptimin e nj ndrdispline, q merret me studimin e sjelljes s sistemeve t

shumllojshme q evolojn n koh, me gjendjet e ekuilibrit dhe stabilitetin e sistemeve pran ktyre gjendjeve.

Kto studime sillen n zgjidhjen e nj sistemi ekuacionesh diferencial zakonisht jo linear. Pavarsisht shembuj

sistemesh t til nga mekanika, elektronika, kima, biologjia etj, kjo disipin e ka origjinn te dinamika e Njutonit, i

cili zgjidhi n mnyr analitike problemin e dy trupave. Shkenctart pas tij u munduan t zgjidhnin analitikisht

problemeni e 3 trupave (Dielli, Toka, Hna). Rezultoi q problemi ishte i vshtir dhe nuk kishte zgjidhje

analitike. Nga fundi i viteve 1800, Puankare futi nj kndvshtrim t ri n dinamik, q theksonte shtje cilsore

m shum se ato sasiore, si psh A sht sistemi diellor stabl prgjithmon, apo eventualisht ka planet q do t

largohen n infinit me kohn?. Ai zhvilloi nj qasje gjeomterike pr t analizuar kto pyetje. Kjo qasje bri q t

lulzonte subjekti modern i dinamiks, me aplikime q shkojn shum larg mekaniks qiellore (n biologji, kimi,

gjeofizik, etj). Ishte Puankare q dha shkndiat e para mbi t ashtuquajturin Kaos . Ky sht nj sistem

deterministik (q prshkruhet nga nj sistem ekuacionesh diferencial) i cili ka nj sjellje joperiodike q varet

shum nga kushtet fillestare, kshtu q e bhet i pamundur parashikimin afatgjat i gjendjes s sistemit.

Por kaosi mbeti n sfond deri n gjysmn e par t shek XX, sepse dinamika u prqndrua n oshilatort

jolinear dhe aplikimet e tyre t shumta n fizik e inxhinjeri (n teknogjit radio, radar, e lazer). Nga ana tjetr,

studimi i oshilatorve jolinear u stimulua nga zbulimi i nj teknike t re matematike (q filloi me Van der Pol,

Andronov, Littlewood, etj) . Ndrkoh q metoda gjeometrike e Puankares u zgjerua pr t sjell nj kuptim m

t thell t mekaniks klasike (Birkhoff, Kolmogorov, etj).

Me prodhimin e kompjuterave t shpejt n vitet 1970, u mundsuan eksperimente numerike me ekuacionet q

m par ishte e pamundur zgjidhja e tyre pr sistemet jolineare. Kto eksperimente e uan Lorencin m 1963 n

zbulimin e lvizjes kaotike dhe gjendjen e ashtuquajtur strange attractor. Ai studioi nj model t thjeshtuar t

shtjellave t konveksionit n atmosfer, q sjell n sistemin e ekuacioneve diferenciale jo lineare:

x y x

y rx y xz

z xy bz

.

ku , r, b >0 jan parametra.

Ai gjeti q zgjidhja e sistemit t ekuacioneve

diferencial nuk shkon asnjher n nj gjendje

t vendosur ekulibri apo lkundje t

qndrueshme, por lkundet n nj mnyr

aperiodike. Madje, pr dy kushte fillestare q

ndryshonin shum pak, sjelljet ishin krejtsisht

t ndryshme. Sistemi ishte i paparashikueshm-

psh nj gabim i vogl n matjen e gjendjes

fillestare n atmosfer (ose n nj sistem tjetr

kaotik) do t amplifikohej shpejt dhe

eventualisht parashikimi i motit do pengohej.

Lorenci tregoi se ka struktura n kaos q kur

ploton zgjidhjen n tre dimensione jep pamjen e

treguar n figur me formn e krahve t

fluturs. Ai argumentonte q ky sistem

ekuacionesh 3D duhet t jet pambarimisht

kompleks kur projektohet n plan sot ai

shikohet si shembull i fraktal-eve.

Lavjerrsi i thjesht (kujtes)

Ekuacioni diferencial q del nga ligji i II i Njutonit n rastin ideal (kur mungon frkimi), sht:

i cili pr knde t vegjl (

zgjidhja e t cilit sht lkundja harmonike:

ose period ku 0 dhe me frekuenc kndore

prcaktohen nga kushtet filestare.

N planin , , gjendja e lavjersit t thjesht harmonik do t paraqitej nga

trajektorja e mbyllur si n fig. 9.3

far kahu ka lvizja (rrjedha) n kt kurb? far forme ka kjo kurb?

Pr t gjetur formn e kurbs nisemi nga fakti q energjia

e lavjersit sht konstante, pra ne presim q trajektoret e lavjersit t t dalin nga:

, .E konst

Duke llogaritur energjin, gjejm:

barazojm me zero derivatin e saj:

Duke e marr 0 si pikn m t lart t lavjersit, pra :

Gjejm ekuacionin:

i cili pr 2mgl).

Pr oshilatorin pashuarje, jolinear ne mund t ndrtojm kt portret fazor

Fig. 9.2

fig. 9.3

fig. 9.3

Portreti sht periodik.

Pikat jan pika t ekulibrit stabl (t qndrueshm) ose pika t fiksuara,

ndrsa pikat jan pikat e fiksuara jostabl

Trajektoret duket sikur kryqzohen, por jo, ato jan trajektore deterministike. Nse trajektoret mbrijn n kto

pika, lvizja ndalon, duke dhn jostabilitet. Po ne do t shohim se duhet nj koh infinit pr t mbritur n kto

pika.

Ekuacionet diferenciale t dinamiks jo-lineare

Duke u nisur nga shembuli i lavjersit jolinear, ne vijm n sistemin e ekuacioneve diferenciale:

ku

Pikat e ekulibrit, pikat fikse, jan pikat e trajektoreve n hapsirn fazore ku lvizja ndalon, pra:

Pr lavjersin, kjo do t thot:

Meq x1 (pra ) sht periodik, ka vetm dy pika t dallueshme :

dhe

Intuitivisht ne kuptojm se e para sht pika fikse stabl e dy pika fikse jostabl

ODE lineare

Nj sistem ekuacionesh diferenciale t zakonshm (ODE) do t ishte linear kur ka formn:

ose ne trajte matricore:

Ku dhe

N kt sistem linear duket se pik fiske 0u sht vetm 0u dhe zgjidhja e prgjithshme sht:

ku 1 e 2 jan vlerat vehtiake t matrics A ndrsa 1 2 e c c jan vektort vehtiak t A.

1 dhe 2 jan konstante q prcaktohen nga kushtet fillestare.

Cilat jan mundsit e stabilitetit?

1. Kur 1 e 2 jan reale:

a) Kur 1 < 0 dhe 2 < 0, athere u(t) 0 kur t

(stabl)

b) Kur 1 > 0 dhe 2 > 0, athere u(t) kur t

(jo stabl)

c) Kur 1 < 0 < 2

Kur 1(0) eshte shumfish i u c athere u(t) 0 kur t

Kur 2(0) eshte shumfish i u c athere u(t) kur t

(pika saddle unstable)

2. Kur 1 e 2 jan t dyja komplekse: = p i q.

Duke supozuar se ( )u t sht reale, athere:

( 1 1 e jan formuar si kombinim linear i vektorve vehtiak t A dhe kushteve filestare)

Ka tre mundsi:

a) Re() = p > 0, jostabl (fig.)

b) p

Vllimi n hapsirn fazore Nprmjet shembullit t lavjerrsit, ne tregojm q pr sistemet pa frkim, vllimi (ose siprfaqja) n hapsirn

fazore ruhet. Ndrsa pr sistemet disipative ky vllim nuk ruhet.

N rastin 3D, sistemi dinamik prshkruhet nga ekuacionet:

Ose

Kto ekuacione prshkruajn nj rrjedh me shpejtsi dx

dt.

Le ta zem se kemi nj bashksi rrjedhash me kushte fillestare t ndryshme, q prfshihen brenda nj vllimi V n

hapsirn fazore, e pas nj kohe, ato zen vllimin V

Shnojm:

S siprfaq