Fizika Pred.1m

8/18/2019 Fizika Pred.1m

1/20

PREDAVANJA – FIZIKA, Doc.Dr.Sc. Suada BIKIĆ

1.

Fizikalne veličine

1.1

Skalarne i vektorske veličine

Skalarne veličine su potpuno određene svojom brojčanom vrijednošću i odgovarajućom jedinicom (dužina, zapremina, specifična gustoća, temperatura, masa, frekvencija, rad, snaga, vrijeme itd. )Za potpuno određivanje vektorskih veličina moramo poznavati pravac, smjer i intenzitet. Brojčanavrijednost fizikalne veličine izražena je u određenim jedinicama i zove se iznos, modul, intenzitet iliapsolutna vrijednost.Mnoge su fizikalne veličine vektori kao što su: brzina, ubrzanje, količina kretanja (impuls), momentkoličine kretanja ( moment impulsa), sila, ugaona brzina itd.Vektor predstavljamo usmjerenom dužinom, u odgovarajućem mjerilu, koja daje iznos vektora, doksmjer strelice predstavlja smjer vektora ( Slika 1.1 )

Oznaka vektorske veličine ili v.v→

Oznaka modula v ili .v→

A B AB

Slika 1.1 Grafičko predstavljanje vektora i način pisanja

Definicija kolinearnosti: Vektori su kolinearni ako su im pravci paralelni pri čemu mogu imati istismjer ili suprotan smjer. Kolinearne vektore istog smjera i intenziteta smatramo jednakim. Takvevektore možemo pomjerati po pravcu i paralelno translatirati, te im se tada ne mijenja ni pravac nismjer.- Sabiranje vektora:

a b c→ → →

+ = .Grafički vektore sabiremo tako da početak drugog vektora paralelnom translacijom dovedemo na kraj

prvog vektora: rezultujući vektor ide od početka prvog vektora do kraja drugog vektora( Slika 1.2 )

d →

a b c→ → →

+ = b→

R a b c d → → → → →

= + + + c→

b→

a→

a→

a b c+ ≠ R a b c d ≠ + + +

Slika 1.2 Grafičko sabiranje vektora

Modul rezultujućeg vektora jednaka je zbiru modula pojedinih vektora koji se sabiraju samo u slučajukada su oni kolinearni i istog smjera. Drugi način sabiranja vektora je metod paralelograma prikazan na Slici 1.3.

b→

ϕ ϑ c→

c a b→ → →

= +

a→

Slika 1.3 Metod paralelograma

- Oduzimanje vektora se svodi na sabiranje vektora što je predstavljeno na Slici 1.4.

1


2/20


b→

a b→ →

− b→

a b→ →

−

a→

a→

a b→ →

+ −( −→

b)

Slika 1.4 Oduzimanje vektora

- Množenje vektora skalarom: Vektor množi se pozitivnim skalaroma→ α tako da mu se intenzitet

pomnoži sa tim skalarom, a smjer i pravac rezultujućeg vektora ostaje isti kao i u vektora . Pri

množenju sa negativnim skalarom (

a→

< 0 ) smjer vektora α a→

je suprotan smjeru vektora , a pravac ostaje nepromijenjen.

a→

- Množenje vektora vektorom može kao rezultat dati skalar pa se to množenje vektora definira kaoskalarni proizvod dva vektora koji je dat relacijom

.c a b ab a b= ⋅ = ∠→ → → →

cos( , )

-

Množenje vektora vektorom kao rezultat daje vektor ( Slika 1.5). Taj proizvod se definira kaovektorski proizvod dva vektora.

c→

c a b→ → →

= × , vektor je normalanc→

na ravan u kojoj leže vektori i .a→

b→

b→

c ab a b= ∠→ →

sin( , )

a→

Slika 1.5 Vektorski proizvod dva vektora

Sa Slike 1.3 vidi se da je

c a b

→ → →

= + .Sada se ova relacija kvadrira pa se dobija

c c a a b b a b

c a b ab

c a b ab

→ → → → → → → →⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒

= + + ⇒

= + +

2

2

2

2 2 2

2 2

cos

cos .

ϕ

ϕ

Dalje se može računati

c a b

c a ac b

c a bac

→ → →− =

+ − = ⇒

⇒ = + −

2 2 2

2 2 2

2

2

cos

cos .

ϑ

ϑ

1.2 Komponente vektora . Koordinatni sistem

Svaki vektor možemo predstaviti kao zbir dvaju ili više vektora koje nazivamo njegovim vektorskimkomponentama. Da bi rastavljanje na komponente bilo jednoznačno određeno, potrebno je znati

pravce komponenata i broj komponenata koji je jednak dimenziji prostora u kojem se vektor nalazinpr. Slika 1.6.

2


3/20


v2

→

v→

u2→

u1

→

v1

→

Slika 1.6 Rastavljanje vektora na komponenteSmjer u prostoru obično definiramo jediničnim vektorom-ortom, čiji je intenzitet jednak jedinici. Tako

je jedinični vektor u smjeru i pravcu vektora definiran relacijoma0→

a→

a a

a0

→ →

= .

Sa , i u je definiran koordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru. Onda je vektoru1→

u2

→

3

→

.v v u v u v u→ → →

= + +1 1 2 2 3 3→

Kartezijev-Dekartov koordinatni sistem predstavljen je na Slici 1.7. U fizikalnim razmatranjima

često se javlja tz. vektor položaja ( radijus-vektor ) koji opisuje položaj tačke u prostoru ( Slika 1.8).r →

z z

k →

v z→

→

→

j i x v→

v x

→ x

v y

→

y y

v v v v v i v j v k

v v v v

x y z x y z

x y z

→ → → → → → →= + + = + +

= + +2 2 2

Slika 1.7 Kartezijev-Dekartov koordinatni sistem. Vektor brzine razložen na komponente u tomsistemu.

z

z→

T x y z( , , )

→

r

k

→

x→

j→

i→

x

y→

y r x y z x i y j z k

r x y z

→ → → → → → →= + + = + +

= + +2 2 2

Slika 1.8 Radijus-vektor položaja tačke T u Kartezij-Dekartovom pravouglom koordinatnomsistemu

2. Međudjelovanje

3


4/20


Izgled sistema u kome se nalazimo je zasnovan na četiri osnovna međudjelovanja. Sila je jedan odvektora pomoću kojih se opisuje međudjelovanje. Ova dva vektora

imaju isti pravac, intenzitet ali suprotan smjer. Navedena četiri tipa međudjelovanja su :

- gravitaciono- elekromagnetsko- jako nuklearno- slabo nuklearno.

• Karakteristika gravitacionog međudjelovanja je da ono ima isključivo privlačni karakter, konstantavezivanja je reda veličine 10 , dakle veoma je mala, a doseg međudjelovanja je beskonačan.39−

• Elektromagnetsko međudjelovanje može biti privlačnog i odbojnog karaktera, a konstantavezivanja ( odbijanja ) je reda 10 , što je znatno veće od gravitacionog i doseg je beskonačan.2−

• Jako nuklearno međudjelovanje je unutar jezgra ( nukleusa ) atoma koje vlada između protona ineutrona, konstanta vezivanja je reda veličine 10 , doseg je 10 ( dimenzija atoma je reda od

).

1+ 15−m

10 10− m• Slabo nuklearno međudjelovanje je locirano duboko unutar elementarnih čestica, doseg mu je

nepoznat ali je daleko manji od 10 , a konstanta vezivanja je reda od 10 .15− m 12−

Pod dosegom međudjelovanja se podrazumijeva ono mjesto u prostoru u kome je međudjelovanjezanemarivo malo.-

ZAKLJUČAK: Osnovni fenomen u prirodi je međudjelovanje koje se opisuje pomoću dva vektorakoji se nazivaju silama, a koji su istog pravca, istog intenziteta, a suprotnog smjera. Postojanjemeđudjelovanja, odnosno njegovo opisivanje dvjema silama opisuje III Njutnov zakon koji glasi :svaka sila vezana je uz postojanje još jedne sile istog intenziteta, istog pravca, a suprotnog smjera( zakon akcije i reakcije ).

- DEFINICIJA POLJA: Posmatramo cijeli beskonačan prostor, međutim nas interesira samo dio prostora u kome se osjeća međudjelovanje- onda se taj dio prostora naziva POLJE. Ako se nekotijelo kreće u tom polju, onda ono međudjeluje sa tim poljem, dakle pod utjecajem te silemeđudjelovanja (interakcije ) tijelo se kreće na određeni način. Kada se tijelo nađe u slobodnom

prostoro ( dio prostora u kome se ne osjeća međudjelovanje ) ono se tada kreće brzinom stalnog

intenziteta, po istom pravcu i u istom smjeru (jednoliko pravolinijski ) ili pak miruje. To je I Njutnov zakon, zakon inercije.

POLJETijelo se ne kreće

jednoliko

Slobodan dio prostora-Tijelo se kreće jednoliko pravolinijskiTijelo se kreće jednoliko pravolinijski kada se nalazi u takvom položaju u kojem jemeđudjelovanje zanemarivo malo ili kada je suma svih vektora sila koje su rezultat međudjelovanja

jednaka nuli.

ZAKLJUČAK: Ako nema međudjelovanja tijelo će se kretati jednoliko pravolinijski ili mirovati i

nastojati to stanje da zadrži ( inertnost tijela). Veličina koja opisuje inertnost tijela naziva se MASAtijela. Sistemi koji se kreću jednoliko pravolinijski ili miruju nemaju međudjelovanja pa kao posljedica

jeste da u takvim sistemima svi fizikalni zakoni imaju isti oblik, a takvi sistemi senazivaju INERCIJALNI SISTEMI. Posmatrač koji se nalazi u inercijalnom sistemu nije u stanju da

4


5/20


ocijeni da li se kreće ili miruje ( nema međudjelovanja ), a posmatrač koji se nalazi u neinercijalnomsistemu u stanju je da da dokaz o tome da se kreće jer osjeti silu tj. međudjelovanje.

2.1

Galilejeve transformacije

Posmatramo dva inercijalna sistema iS S , . Sistem miruje, a sistemS S , se jednoliko pravolinijskikreće brzinom u smjeru osev0 x ( Slika 2.1 ). U početnom momentu sistemi se poklapaju.

S S , z

, z

v 0→

m

r →

r ,→

O,

x,

r 0→

O x y

,

Slika 2.1 Sistemi i y S S , za dobijanje Galilejevih transformacija

Vektori položaja tačke m u odnosu na sisteme iS S , su povezani slijedećom relacijom

. (2.1)r r r → → →

= +0,

Promatrači u oba sistema sinhroniziraju svoje satove u početnom momentu tako da oni pokazuju isto

vrijeme, te je t t =,

.Derviranjem relacije (1) po vremenu dobijamo vezu između brzina tačke u ovim sistemima, tj.

d r

dt

d r

dt

d r

dt v v v

→ → →→ → →

= + ⇒ = +0 0,

, . (2.2)

Dalje jed v

dt

d v

dt v t

d v

dt a a

→ →→

→→ →

= = = + ⇒ =0 00( cos .),

, . (2.3)

Relacije (2.1), (2.2) i (2.3) su opće transformacije između ova dva sistema koje povezuju položaj tijelau jednom sistemu sa položajem tijela u drugom sistemu, brzinu tijela u jednom sistemu sa brzinomtijela u drugom sistemu i relacija koja kaže da su ubrzanja tijela u tim inercijalnim sistemima ista, a

prema tome i formula za silu je ista ( kasnije ćemo vidjeti da je trenutno ubrzanje tijela konstantne

mase u direktnoj vezi sa trenutnom silom koja djeluje na tijelo).U specijalnom slučaju, kada se sistem S , kreće jednoliko u odnosu na sistem duž oseS x i akose u početnom momento t t = =, 0 sistemi poklapaju, onda je

(2.4)

x v t x

y y

z z

t t

= +

=

=

=

0,

,

,

,

v v v

v v

v v

x x

y y

z z

= +

=

=

0,

,

,

a a

a a

a a

x x

y

z z

=

=

=

,

,

,

y

Relacije (2.1), (2.2) i (2.3), a i relacije (2.4) su poznate kao Galilejeve transformacije.

Zemlju možemo smatrati inercijalnim sistemom jer su njena ubrzanja malena.

5


6/20


2.2 Lorencove transformacije

Rezultat Majkelsonovog eksperimenta je postulirao Albert Ajnštajn, tj. brzina svjetlosti u vakuumu

( c m

s≈ ⋅3 108 ) jednaka je u svim inercijalnim sistemima i ne zavisi od kretanja izvora, a niti kretanja

detektora svjetlosti. Ova eksperimentalna činjenica je prvi postulat specijalne teorije relativnosti.Drugi postulat specijalne teorije relativnosti glasi: svi prirodni zakoni imaju isti oblik u svim

inercijalnim sistemima koji se jedan u odnosu na drugog kreću jednoliko po pravcu.Posmatramo dva inercijalna sistema iS S , . Sistem miruje, a sistemS S , se jednoliko pravolinijski

kreće brzinom v u smjeru ose x ( Slika 2.2 ). U početnom momentu sistemi se poklapaju. Galilejevetransformacije nisu u saglasnosti sa osnovnim postulatima specijalne teorije relativnosti. Naime, ako je

brzina svjetlosti u sistemu S , , onda je ona prema Galilejevim transformacijama u sistemu jednaka , a to je u suprotnosti sa Majkelsonovim eksperimentom i postulatom o konstantnosti brzine svjetlosti. Radi toga Galilejeve transformacije treba zamjeniti drugim transformacijama tako da budu zadovoljeni osnovni postulati specijalne teorije relativnosti. To su Lorencove transformacije kojese izvode poštujući ova dva postulata.

c S

c v+

Neka u početnom momentu ( t t = =, 0 ) kada se sistemi poklapaju, posmatrač koji se nalazi u sistemu pošalje svjetlosni signal iz koordinatnog početka sistema. Nakon vremenaS t neka taj signal stigne u

tačku T. Onda je OT r ct = = . Posmatrač u sistemu S , će primjetiti da je svjetlost u tačku T stiglanakon vremena t , . Pošto je

S S ,

v→

T

r →

r ,

→

O,

x,

x,

O x

vt y

,

y

Slika 2.2 Sistemi iS S , za dobijanje Lorencovih transformacija brzina svjetlosti jednaka u oba sistema onda je

(2.5) x y z c t

x y z c t

2 2 2 2 2

22 2 2 2

+ + =

+ + =, , , , .

Treba odrediti transformacije koje će koordinate sistema S , povezati sa koordinatama sistema a da budu zadovoljene relacije (2.5). Veze između koordinata sistema

S

S , i moraju biti linearne radi

homogenosti prostora i moraju zadovoljavati početne uvjete, tj. , tada sete relacije mogu napisati u slijedećem obliku

S

x x vt t x t , ,, ; , ,= = = = =0 0 0 0

x

(2.6)

x x vt

y y

z z

t t a

,

,

,

, ,

( )

( )

= −

=

=

= −

γ

γ

Zamjenom relacija (2.6) u drugu jednačinu sistema jednačina (2.5) dobija se

6


7/20


[ ]

( ) ( )

x y z c t

x vxt v t y z c t atx a x

y z c t

x a c y z c t vc

xt v ac

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

22 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2

+ + =

− + + + = − +

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

+ + =

− + + = −⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟ + −

− − − − − − − − − − − − − − −

γ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ γ γ

, , ,

, , ,

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

Komparacijom ovih jednačina slijede relacije

(*)γ γ 2 2 22

1− =, a c

γ γ ,2 2

2

21−

v

c= (**) i γ γ

γ

γ

2 22

2 2

2

0v ac a v

c− = ⇒ =,

,(***).

Relacija (***) se uvrštava u (*) te dobijamo

γ γ γ

γ

γ γ

γ

2 24 2

4

24 2

2

2

41− = ⇒ −

21,

, ,c

v

c

v

c

= (*) , . Nakon izjednačavanja (**)=(*) , , dobija se

γ γ ,2 2

2

2− =

v

cγ

γ

γ

24 2

22−

v

c,

. Ova jednakost je zadovoljena samo ako je .γ γ = ,

Sada je a v

c=

2 (2.7), a nakon zamjene u relaciju (*) ili (**) slijedia

γ γ = , =

−

1

12

2

v

c

. (2.8)

Zamjenom formula (2.7), (2.8) u relacije (2.6) dobijaju se Lorencove transformacije za koordinate ivrijeme kako slijedi

x v vt

v

c

y y z z t

t x vc

v

c

, , , ,, , ;= −

−

= = =−

−1 12

2

2

2

2

.

Lahko se pokazuje da za , Lorencove transformacije prelaze u Galilejeve transformacije.Galilejeve transformacije vrijede za brzine kretanja tijela koje su malene u poređenju sa brzinom

prostiranja svjetlosti.

v


8/20


3. Osnovni pojmovi iz mehanike

Mehaničko kretanje sastoji se iz vremenske ovisnosti položaja tijela.

A ( ) B ( ) x y z0 0 0, , x y z1 1 1, ,

Početni položaj tijela Vrijeme: t 1 u trenutku : C (t 0 x y z, , ), vrijeme : t

Geometrijsko mjesto tačaka u kojima se tijelo nalazilo naziva se trajektorija. Kretanje je definiranokau uzastopni niz položaja tijela. Položaj tijela se mijenja sa vremenom, te je

x x t y y t z z t = = =( ); ( ), ( ) .

Matematički se trajektorija može implicitno predstaviti funkcijomF x y z( , , ) = 0 .

Trajektorija, putanja se sastoji od veoma malih, elementarnih dijelova koje nazivamo elementom putanje ili elementom puta, a možemo ih opisati na dva načina :

-

preko malih vektora d s→

. Ovi vektori su infinitenzimalni ( beskonačno mali), dok im se smjer i pravac poklapa sa smjerom i pravcem kretanja kojeg opisuje putanja.

-

preko beskonačno malih lukova, tj. beskonačno malih dijelova tz.konsekutivne kružnice, kružnicekoja na tom mjestu dodiruje putanju ( Slika 3.1 ).

Posljedica koja direktno slijedi iz ovoga je da u principu postoje dva osnovna kretanja, a to su pravolinijsko kretanje ( translacija, kretanje duž pravca) i kružno kretanje ( kretanje pokonsekutivnoj kružnici ). Znači, svako kretanje, po bilo kakvoj trajektoriji, može se shvatiti kao skup

pravolinijskih kretanja, odnosno skup rotacija po konsekutivnim kružnicama. Možemo paralelno posmatrati translatorno i rotaciono kretanje. Ova dva posmatranja dovode do analognih veličina –

pojmova. Jedni se odnose na translaciju ( kao pomak d s→

), a drugi na rotaciju ( kao analogna veličina

d s→

-u je okret za elementarni ugao radijus-vektora položaja tijela, d ).ϕ →

ABr

d s→

→

ϕ d r

r

Slika 3.1 Putanja, elemementarno pomjeranje d s→

, konsekutivna kružnica, radijus-

vektor položaja tijela, elementarni luk AB, elementarni ugao d ϕ →

3.1 Elementi diferencijalnog računa B y

∆ y

α , α

A

∆ x x

Slika 3.2 Uz definiciju prvog izvoda

Sa slike 3.2 vidi se da jetg

y

xα =

∆

∆, a lim ,

.

∆

∆

∆ x

def y

xtg

dy

dx→= =

0α .

8


9/20


dy

dx y= , je koeficijent smjera tangente povučene u tački A.

Navest će se prvi izvodi nekih funkcija.

FUNKCIJA PRVI IZVOD

xn nx n−1

e x e x a x a a x ln

ln x 1 x

sin x cos x cos x − sin x tgx

12cos x

ctg x −

12sin x

f x f x f x( ) ( ) ( )= +1 2

df x

dx c

dg x

dx

( ) ( )

= ⋅

3.2 Brzina

s B

s1

∆s α , α

As2

∆t t 1 t 2 t

Slika 3.3 Uz definiciju srednje brzine i trenutne brzine

v srednja linearna brzina prevaljeni put

proteklo vrijeme

s s

t t

s

t tg( )− − =

−

− =

−

− = =2 1

2 1

∆∆

α .

v trenutna linearna brzina s

t

ds

dt tg

t ( ) lim ,− − = = =

→∆

∆∆0

α .

v d s

dt

m

sms

→→

−= =⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥1 .

v→

t 2

t 1

ϕ 1

r →

ϕ2 ϕ1

ω

Slika 3.4 Uz definiciju srednje ugaone brzine i trenutne ugaone brzine

ω ϕ ϕ ϕ

( )srednja ugaona brzinat t t

− − = −

− =2 1

2 1

∆

∆.

9


10/20


ω ϕ ϕ

( ) limtrenutna ugaona brzinat

d

dt

rad

srads

t − − = = =⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥→−

∆

∆

∆01 .

ω ϕ →

→

= d

dt .

Definicija ugla u ravni

ϕ = ⇒ =l

ϕ r l r

2l π rad = 3600

1rad =180

57 30

0

π = ,

rϕ

r

Iz definicije ugla dobija se

l r dl

dt r

d

dt v r = ⇒ = ⇒ =ϕ

ϕ ω .

Obzirom da su ugaona brzina, radijus-vektor položaja tijela i trenutna brzina vektorske veličine, onda je trenutna brzina, obzirom na definiciju vektorskog proizvoda dva vektora, jednaka vektorskom proizvodu radijus-vektora položaja i vektora ugaone brzine.

v r → → →

= ×ω

ω →

v→

r →

3.2.1 Klasifikacija kretanja na osnovu vektora trenutne brzine

Vektor trenutne brzine prikažimo kao umnožak intenziteta brzine i jediničnog vektora brzine

.v v v→ →

= ⋅ 0

1 Neka je . Iznos brzine tijela se ne mijenja, kao

ni pravac, a ni smjer . U tom slučaju se radi o jednoliko pravolinijskom kretanju.

0v const v t v const v t v const v t → → →

= ≠ ⇒ = ≠ = ≠. ( ) . ( ); . ( )0→

0

0 )

2 U slučaju kada je i , dakle iznos brzine je konstantan, a pravac i smjer kretanja

se mijenja, tada se radi o jednoliko krivolinijskom kretanju. Specijalan slučaj takvog kretanja je jednoliko kružno kretanje (kretanje u polju sila).

0v const = . v v t 0 0

→ →= ( )

3 Kada je i , radi se o promjenljivom pravolinijskom kretanju. Specijalan

slučaj je jednakoubrzano pravolinijsko kretanje, a kao primjer se može navesti slobodan pad (kretanjeu polju sila).

0v v t = ( ) v const v t 0

→ →= ≠. (

4 Opći slučaj je kada je v v i v v , tada se i iznos brzine i pravac kretanja tijela mijenja, pa

se radi o promjenljivom krivolinijskom kretanju (kretanje u polju sila).

0t = ( ) t 0 0

→ →= ( )

3.3 Ubrzanje ( akceleracija )

Ubrzanje je veličina koja se definira ka promjena linearne ( linijske ) brzine u jedinici vremena,odnosno ugaono ubrzanje se definira kao promjena ugaone brzine u jedinici. Onda je srednje ubrzanje

a v

t =

∆∆

;

i trenutno ubrzanje

a

v

t

d v

dt

d

dt

d s

dt

d s

dt

m

s mst

→

→

→ → → →

−

= = =

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥ = =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥lim∆∆

∆0

2

2 2

2

,

10


11/20


a srednje ugaono ubrzanje α ω

= ∆

∆t ;

i trenutno ugaono ubrzanje

α ω ω ϕ ϕ →

→

→ → → →

−= = =⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= =⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥lim

∆

∆∆t t

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

rad

srads

0

2

2 22 .

Općenito se može pisati da je

a d

dt v v

dv

dt v v

d v

dt

→ → →→

= ⋅⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ = ⋅ + ⋅0 0

0 .

Iz ove relacije vidimo da se trenutno ubrzanje sastoji od dvije komponente, jedne koja je u pravcu jediničnog vektora trenutne brzine ( u pravcu tangente na putanju) pa se naziva tangencijalnakomponenta trenutnog ubrzanja ili kratko tangencijalno ubrzanje, a vidjet ćemo, druga je u pravcuokomice na tangentu, tj. normale na tangentu ili u pravcu poluprečnika zakrivljenosti putanje(konsekutivne kružnice) te se naziva normalna ( radijalna ) komponenta trenutnog ubrzanja ili kratkonormalno ( radijalno ) ubrzanje, Slika 3.5.

Cv0→

d s→ B d dv0→

v0→

dϕ r rO

Slika 3.5 Uz izvođenje komponenata trenutnog ubrzanja

Sa slike 3.5 vidi se da je u pravcuv0→

d s→

, a kada se tijelo pomjeri za d s→

, v poraste za , tako da

ne mijenja iznos koji je jednak jedinici nego samo pravac. je okomito na d

0

→dv0

→

v0

→

dv0

→

s

→

. Odatle slijedi dasu trouglovi( O B) i (B C), slični.Sada možemo pisati relaciju

→→

=⇒=⇒=⇒==⇒= 000

000

000

1111;:: n

r

v

dt

vd

dt

ds

r dt

dv

dt ds

r dvvds

r

vdvdvvdsr ,

gdje je jedinični vektor u pravcu normale nan0→

d s→

, tj. tangentu povučenu na konsekutivnu kružnicu,

odnosno u pravcu poluprečnika ( radijusa ) konsekutivne kružnice. Odatle je trenutno ubrzanje

općenito jednako a dv

dt v

→ →= ⋅ 0 +

→v

r n

2

0 = +→ →a at n ,tj.

at

→=

dv

dt

v⋅→

0 - tangencijalno ubrzanje

an

→=

v

r n

2

0

→ - normalno ubrzanje.

Iz definicije trenutnog ubrzanja a d v

dt

→ →

= , slijedi

a d v v const v const v const → → → →

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =0 0 0. . , .

st . tij

, tijelo se kreće jednoliko pravolinijski.

a d v v con→ → →

≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠0 0 , elo se kreće promjenljivo, dakle u nekom polju, tj. izloženo jemeđudjelovanju. U običnom žargonu kaže se, na tijelo djeluje neka sila.Specijalan slučaj je kada se tijelo kreće po kružnoj putanji.

11


12/20


A r =AO

a Sjetimo se relacijat →

a dv

dt v

→ →= ⋅ 0 +

→v

r n

2

0 = +→ →a at n

a

→

at

→

= dvdt v⋅→

0 - tangencijalno ubrzanje, se

ϑ

javlja kao posljedica promjene intenzitetaan→

brzine .

an

→=

v

r n

2

0

→- normalno ubrzanje nastaje kao posljedica promjene pravca vektora brzine ( kretanje po

luku konsekutivne kružnice ). Obzirom da je

v r a d r

dt r

d

dt r t = ⇒ = = =ω

ω ω α

( ) i a

v

r

r

r r n = = =

2 2 22ω ω , slijedi

a a a r r r t n= + = + = +2 2 2 2 2 4 2 4α ω α ω i tg

a

a

r

r

t

n

ϑ α

ω

α

ω

= = =2 2

.

PRIMJER 1.

Odrediti o kakvom se kretanju radi ako je a→

= 0 . Odrediti zakon puta .( Kako put kojeg tijelo prelaziovisi o vremenu?)RJEŠENJE :

a d v v const v const v const → → → →

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = =0 0 0. . , . Obzirom na definiciju trenutne brzine slijedi

v d s

dt const c

→ →

= = =. 1 . Relacija se može pisati u skalarnom obliku jer se pravac kretanja ne mijenja.

Onda je

vt scst ct cdt cdsdt cvdt ds =⇒=⇒==+==⇒== ∫∫∫ 00,0 22111 Radi se o jednoliko pravolinijskom kretanju.PRIMJER 2.

Odrediti zakon puta i zakon promjene brzine sa vremenom za tijelo kod koga je

v const 0

→= . i

dv

dt const a= =. .

RJEŠENJE :

a a v→ →

= 0 , pravac konstantan pa se relacija može pisati u skalarnom obliku.

200,0

2

,0

2

2

2

2

11

t at vscst

ct

at vstdt adt vdsatdt dt vdsvdt dsdt

dsv

at vvvcvvt cat vdt advadt dvdt

dva

o

ooo

ooo

+=⇒=⇒==

++=⇒+=⇒+=⇒=⇒=

+=⇒=⇒==+=⇒=⇒=⇒=

∫∫∫∫

∫ ∫∫

Općenito je za jednolikopromjenljivo kretanje at vvat

t vsoo

±=±= ;2

2

.

Znak “+” se odnosi na jednakoubrzano pravolinijsko kretanje, a znak” – ”na jednakousporeno pravolinijsko kretanje.3.4 Materijalna tačka i sistem materijalnih tačaka

Materijalna tačka je idealiziranje materijalnog objekta. To je objekat veoma malih dimenzija ili bolje

rečeno, objekat čije se dimenzije mogu zanemariti u određenoj situaciji kada je putanja objekta mnogoveća od njegovih dimenzija.

12


13/20


]

Materijalna tačka je definirana masom ukoliko se ona nalazi u gravitacionom polju, a definirana jeelektričnim nabojem ukoliko se nalazi u elektromagnetskom polju i ako se gravitacionomeđudjelovanje može zanemariti. Objekat kojeg smo do sada posmatrali je bila materijalna tačka. Pritoj aproksimaciji nismo davali značaja geometrijskoj formi objekta. Međutim, veliki broj primjera tozahtijeva. Uvođenje forme objekta zahtijeva posmatranje skupa tačaka koje mogu biti mase, električninaboji, magnetski momenti itd. Skup materijalnih tačaka kratko nazivamo SISTEMOM. Posmatranjesistema komplicira fizikalnu sliku, jer se pored međudjelovanja sistema sa nekim vanjskim tijelom (okolinom ) moraju razmatrati i međudjelovanja unutar sistema. Tako pri proučavanju sistema imamo

a)

vanjske ( spoljne) sile F s→

b) unutrašnje sile F u→

v1

→

dm

Sistemom se često definira skup tačaka kod koga kretanje svake tačke

ovisi o ostalima . Uvest ćemo dm sistem zvan KRUTO

v2

→

TIJELO. To je sistem koji ne mijenja vanjsku formu, tj.unutrašnje sile su konstantne.

U prvom koraku posmatrat ćemo sistem kod koga smo svakoj tački dodijelilielementarnu masu dm te ćemo uvesti jednu veoma važnu fizikalnu veličinu: KOLIČINU KRETANJA(IMPULS TIJELA) koja se definira kao proizvod mase tijela i njegove brzine, tj.

dm vi

→

SI-jedinica.K m v→ →

= [kgms− −1

Slijedi da će svaka materijalna tačka sistema, tj. elementarna masa imati elementarnu količinu kretanja

.v dm→

Ako su vanjske sile jednake nuli , F s→

= 0 , tada za sistem kažemo da je zatvoren, odnosno

konzervativan ili izoliran sistem. Ako posmatramo unutrašnje sile koje vladaju unutar jednog sistematada će on biti u:

a) GASOVITOM STANJU – ako su jako maleF u→

b) TEČ NOM STANJU – ako su primjetneF u→

c) ČVRSTOM STANJU – ako su veoma jake.F u

→

Imamo dvije krajnosti kao aproksimacije, a to su:

a)

Kada su , tada je sistem IDEALAN GASF u→

= 0

b)

Kada , tada je sistem KRUTO TIJELO.F u→

→ ∞

3.4.1 SILA

Kao što je rečeno- sila je jedan od vektora kojima se opisuje međudjelovanje (interakcija). Ako nemameđudjelovanja tijelo se kreće jednoliko pravolinijski ili mirije. Postojanje sile ukazuje na postojanjemeđudjelovanja i za posljedicu ima da se tijelo ( sistem ) kreće nejednoliko. Drugim riječima, kada

postoji sila tada tijelo ima ubrzanje. Do kvantitativne veze između sile, mase tijela i ubrzanja, odnosnosile i promjene količine kretanja tijela u jedinici vremena je, eksperimentalnim putem, došao Njutn ikonstatovao je slijedeće:1) da je sila proporcionalna ubrzanju ( promjeni intenziteta brzine, odnosno promjeni pravca kretanja

)2) da je sila proporcionalna masi tijela, to znači da je potrebna veća sila da bi se na isti način

promjenila brzina tijela ukoliko je masa tijela veća kao u slučaju kod tijela manje mase.Ovo iskustvo je Njutn formulirao u obliku II Njutnovog zakona.

II Njutnov zakon glasi: Sila je jednaka prvoj derivaciji količine kretanja po vremenu, tj.

13


14/20


F d

dt m v

F dm

dt v m

d v

dt

→ →

→ → →

= ⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

= ⋅ + ⋅ .

U principu se mogu obje ove veličine, masa i brzina tijela , mijenjati . U slučaju kada je

m const = . , tada je

F m d v

dt

→ →

= , odnosno

F m a→ →

= [ ]kgms N Njutn− =2 ( ) SI-jedinica.

Izraz F m a→

= →

je samo specijalan sluč aj, tj. to je zakon kretanja za tijelo č ija je masa konstantna.

Drugi Njutnov zako je osnovni zakon mehanike i predstavlja jednač inu kretanja, jer sa

poznavanjem sile, odnosno poznavanjem međ udjelovanja mošemo odrediti trajektoriju tijela. Drugi

Njutnov zakon je potreban za direktno rješavanje svih problema u mehanici. Potreban i dovoljan

uvjet za rješavanje trajektorije nekog tijela je

1.

zakon kretanja ( II Njutnov zakon )2.

položaj tijela u početnom trenutku3. brzina tijela u početnom trenutku.2. i 3. su tz. početni uvjeti.Zakon kretanja možemo napisati u slijedećem obliku

m d

dt

d s

dt F

→→⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

= , ili m d s

dt F

2

2

→→

= .

PRIMJER:Tijelo pada sa visine .Odrediti zavisnost brzine i puta od vremena. U početnom trenutku brzina je

iznosila v .

h

0 yRJEŠENJE: s

y

m const

m a F

F m g a g const g dv

dt dv gdt

v gt c t v v c v v v gt

v ds

dt ds vdt ds v dt gtdt s v t

gt c

t s s v t gt

y h s h v t gt

=

=

= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒

= + = = ⇒ = ⇒ = +

= ⇒ = ⇒ = + ⇒ = + +

= = ⇒ = + ⇒ = − = − +

→ →

→ → → →

∫

∫

.

.

; , ,

,

0

2

0 0

2 2

0 0 0

0 0

2

1

0

2

0

2

h y

m d s

dt F

2

2

→→

= , je jednačina kretanja, odnosno II Njutnov zakon. Ona predstavlja diferencijalnu

jednačinu drugog reda i pri dobijanju njenog općeg rješenja nužno se moraju javiti dvije proizvoljnekonstante integriranja, u tome je odgovor zašto su potrebna dva početna uvjeta.

3.5

Zakon o očuvanju količine kretanja

Pretpostavljamo da posmatramo izoliran ( konzervativan) sistem. Sistem ne međudjeluje sa drugimtijelima, odnosno ne nalazi se u polju . Obzirom na III Njutnov zakon, imamo ( slika )

F 3

→F 1

→

14


15/20


F

F F F F F F

d

dt m v

d

dt m v

d

dt m v

d

dt m v

s

u i

i

n

n

n n

→

→ →

=

→ → → →

→ → → →

=

= ⇒ = ⇒ + + + ⋅⋅⋅ + =

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ +

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ +

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ + ⋅ ⋅ ⋅+

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ =

∑ ∑

0

0 0 0

0

1

1 2 3

1 1 2 2 3 3

−→F 3 −

→F 1

F 2→

−→F 2

d

dt m v m v m v m v m v m v m v m v const n n n n1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 30

→ → → → → → → →+ + + ⋅⋅⋅ +

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ = ⇒ + + + ⋅⋅⋅ + = .

m v const ii

n

i

=

→ →

∑ =1

.

Za zatvoren sistem vrijedi zakon o očuvanju količine kretanja.

3.6

Centar inercije sistema

Kretanje sistema se može opisati kretanjem jedne tačke koja se ponaša kao da je u njoj skoncentrisana

sva masa sistema. Uzmimo sistem od n čestica

čije su mase , am m m mn1 2 3, , , .. . ,

koordinate respektivno jednake ( ); ( );( ), odnosno čiji je

položaj određen radijus vektorima položaja ( ). Posmatramo tačku sa

koordinatama koje su definirane na slijedeći način

x x x xn1 2 3, , , .. . , y y y yn1 2 3, , , ... , z z z zn1 2 3, , , . .. ,

r r r r n1 2 3

→ → → →, , , .. . , C x y z( , , )

z

xm x m x m x m x

m m m m

ym y m y m y m y

m m m m

zm z m z m z m z

m m m m

n n

n

n n

n

n n

n

= + + + ⋅⋅⋅ +

+ + + ⋅⋅⋅ +

= + + + ⋅⋅⋅ +

+ + + ⋅⋅⋅ +

= + + + ⋅⋅⋅ +

+ + + ⋅⋅⋅ +

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 31 1 2 2 3 3

1 2 3

C x R→

y z( , , )

y

x ili jednom vektorskom relacijom

Rm r m r m r m r

m m m m

n n

n

→→ → →

= + + + ⋅⋅⋅ +

+ + + ⋅⋅⋅ +1 1 2 2 3 3

1 2 3

→

.

Deriviranjem ove relacije po vremenu dobijamo slijedeće

d

dt R

m d

dt r m

d

dt r m

d

dt r m

d

dt r

m m m m

n n

n

→

→ → → →

=

+ + + ⋅⋅⋅ +

+ + + ⋅⋅⋅ + ⇒

1 1 2 2 3 3

1 2 3v

m v m v m v m v

m m m m

n n

n

→→ → →

=

+ + + ⋅⋅⋅ +

+ + + ⋅⋅⋅ +1 1 2 2 3 3

1 2 3

→

→

, gdje je

brzina tačke , ( ) je suma količina kretanja svih materijalnih

tačaka sistema, tj. ukupna količina kretanja sistema

v

→

C R( )→

m v m v m v m vn n1 1 2 2 3 3

→ → →+ + + ⋅⋅⋅ +

K →

i ( m m m mn1 2 3+ + + ⋅⋅⋅ + ) ukupna masa sistema

M . Tada slijedi relacija v→

=

→K

M .

Dakle tačka se ponaša kao da je sva masa sistema skoncentrisana u njoj, a količina kretanja te

tačke jednaka je ukupnoj količini kretanja sistema.

C R( )→

v→

PRIMJER : REAKTIVNO KRETANJE

Neka je u trenutku t masa rakete sa gorivom M , brzina rakete M v . Za vrijeme dt se smanji masa rakete za uslijed sagorijevanjadM goriva. Pri tome se poveća brzina sistema za dv . Brzina gasova

15


16/20


nastalih sagorijevanjem goriva je Na osnovu toga može se pisati da jeu const →

= . u const →

= . Mv − količina kretanja sistema u trenutku: t ( )( ) ( M dM v dv dM u v− + − )− − količina kretanja sistema u trenutku: t dt + Prema zakonu o očuvanju količine kretanja može se pisati jednakost

Mv M dM v dv dM u v

Mv Mv vdM Mdv dMdv udM vdM

dMdv vdM udM Mdv udM dM

M udv

= − + − − ⇒

= − + − − + ⇒


17/20


A2 A A A A1 2 3 4 0= = = =

A1

Potencijal neke tačke u polju se definira

A3

kao rad kojeg je potrebno izvršiti da bi se

jedinično tijelo ( masa, ako je gravitaciono A4 polje ili naboj, ako je elekrično polje...) iz

posmatrane tačke prebacilo u beskonačnost( područ je gdje nema polja). Obzirom na definiciju

potencijalnog polja slijede njegova svojstva. Naime,B

(1) (2) (1 ) A1 A2

A A A Fd s Fd s

A Fd s Fd s

Fd s Fd s Fd s Fd s

A

B

B

A

A

B

B

A

A

B

B

A

A

B

B

A

1 2 1

1 1

2

1 2

1 1 1 2

0= = ⇒ = +

= + ⇒

+ = +

→ → → →

→ → → →

→ → → → → → → →

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,

⇒

A iliFd s F d s B

A

B

A→ → → →

∫ ∫=( ) ( )1 2 Fd s F d s

A

B

A

B→ → → →

∫ ∫=( ) ( )1 2

iz ovih relacija vidi se da je rad u potencijalnom polju po bilo kojoj putanji koja spaja tačke A i BJEDNAK.Svaka tačka u potencijalnom polju određuje rad koji je potrebno izvršiti da bi se došlo u tu tačku izneke referentne tačke. Ako je ta referentna tačka u beskonačnosti onda je uloženi rad jednak

potencijalu te tačke. Razlika potencijala tačke A i tačke C jednaka je radu kojeg je potrebno izvršiti dase prebaci jedinično tijelo iz tačke A u tačku B. Ako tijelo nije jedinično onda ono u nekoj tački polja

posjeduje energiju koja je vezana za položaj pa se ona naziva POTENCIJALNOM ENERGIJOM toga

tijela jer je bilo potrebno izvršiti rad da se ono prebaci iz beskonačnosti u tu tačku.Dalje za potencijalno polje ćemo dobiti fundamentalnu relaciju koja vrijedi za sva potencijalna poljaako posmatramo slijedeću sliku

M A A MA A AB A BM B

Vidi se da je A A A MA AB BM + + = 0 . (*)

Ako probno tijelo iz tačke A prebacimo u beskonačnost pa ga onda vratimo iz beskonačnosti u tačkuB možemo onda pisati da je

A V V A MA A B BM + − + = 0 , (**)

17


18/20


ako smo sa V označili potencijal neke tačke potencijalnog polja. Obzirom da je (*)=(**) dobijamo A A A A V V A A V V MA AB BM MA A B BM AB B A+ + = + − + ⇒ = − − ⇒( )

u diferencijalnoj formi ova relacija glasi

Fd s dU F d s dU

A

B

A

B→ → → →

∫ ∫= − ⇒ = −

F d s dU → →

= − .Razlika potencijala V naziva se naponom između tačaka A i B i označava se sa U . Dobijena

relacija je jedna od , već smo naglasili, fundamentalnih relacija kojom se opisuje potencijalno polje.

V A − B AB

3.9 Zakon o očuvanju mehaničke energije, kinetička energija

Vidjeli smo da za potencijalno polje vrijedi

F d s dU → →

= − .

Ovu relaciju možemo transformirati u slijedeći oblik

d

dt m v d s dU m const m

d v

dt d s dU md v

d s

dt dU m v d v dU

v IId v mvdv dU m vdv dU m v

U CONST mv

U CONST

ili

d s

dt v

→ → →

→ → → =

→ →

→ →

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ = − = ⇒ = − ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = − ⇒

= − ⇒ = − ⇒ = − + ⇒ + =

→→

∫∫∫

.

. .2 2

2 2

Obzirom da je U potencijalna energija tijela onda se ona može sabirati samo sa istom fizikalnom

veličinom, tj. energijom. Dakle imv

2

2 je energija koja je vezana za kretanje tijela pa se naziva

kinetičkom energijom. Tijelo koje miruje nema kinetičku energiju. Dobijena relacija

mv2

2 + =U CONST .

kaže da je zbir kinetičke i potencijalne energije ( mogućnost da tijelo vrši rad) konstantan, tj. jednaraste na uštrb druge. SI- jedinica za energiju je J (Džul) ista jedinica kao i jedinica za rad.

3.10 Kinetička energija tijela koje rotira, moment inercije

Neka tijelo ima ugaonu brzinu ω . Elementarna masa dm ( slika ) ima linearnu (tangencijalnu) brzinučiji je intenzitet

v r = ⋅ω .Obzirom na definiciju, kinetička energija elementarne mase jednaka je

dE v

dmk =2

2

Ukupna energija tijela će biti jednaka sumi elementarnih kinetičkih Renergija. Suma elementarnih veličina je

integral tih veličina, te je

E v

dm r

dmk = = ∫∫2 2 2

2 2

ω .

Pošto je ω isto za sve tačke posmatranog tijelamožemo pisati da je

E r k = ∫ω 2 2

2 dm . ω

dm rv→

Umnožak r dm2 definira se kao moment inercije elementarne mase dm koja rotira po kružnici poluprečnika r ugaonom brzinom ω . Pošto se radi o elementarnoj masi, onda je to elementarnimoment inercije našeg tijela. Ukupni moment inercije tijela biti će

. I r d = ∫2 m

Kinetička energija tijela koje rotira će onda biti

18


19/20


E I

k = ω 2

2 .

Ako dobijeni izraz uporedimo sa izrazom za kinetičku energiju kod translacije vidimo da oni imajuanalognu formu.PRIMJER:

Izračunati moment inercije homogenog diska poluprečnika , mase m i debljine b . R

R

b

b

R

dmr

dr

Na osnovu definicije moment inercije elementarne mase dm koja je na rastojanju r od ose obrtanja jednak je

r dm2 , a moment inercije prstena će biti jednak

( )[ ][ ]

r dV r r dr r b

br r rdr dr r br rdr br dr

2 2 2 2

2 2 2 2 2 32 2

ρ ρ π

ρπ ρπ ρπ

= + − =

= + + − = = .2

Odavdje slijedi da je moment inercije diska jednak

I b r dr b R m

R bb

R R= = =∫2 2 4 2 4

3

0

4

2

4 ρπ ρπ

π π ⇒

I mR=

2

2.

Na analogan način se za kuglu dobija relacija ,

I mR=2

52 , a za štap ( slika ) I m=

1

122

l

l

m R

Analogija izraza kod rotacije i translacije

E I

k = ω 2

2 E

mvk =

2

2

I je analogno m

ω je analogno .v

19


20/20


Prema tome, moment inercije kod rotacije je analogan masi kod translacije, a ugaona brzina kodrotacije analogna je trenutnoj brzini kod translacije. Moment inercije tijela ovisi o masi tijela kao i oosi oko koje se tijelo obr će.

Documents

Fizika Pred.1m