Fizika Pred.6m

8/17/2019 Fizika Pred.6m

1/20

PREDAVANJA – FIZIKA , Doc.Dr.Sc. Suada BIKIĆ

elektron podesno je uzeti za prvu radijus vektor položaja r OA→ →

= , kao drugu ugao između vertikalne ose

i radijus vektora položaja elektrona , ugao z r →

θ i kao tre ću ugao ψ , ugao između pravaca OC i OB.

Orbita elektrona je nagnuta prema horizontalnoj ravni pod uglom α . Na slici su označeni odgovarajući

momenti impulsa elektrona, tj. angularni ( azimutni ) momenti i . je komponenta angularnog

momenta u pravcu - ose. Onda je

pϕ →

pψ →

pψ →

pϕ →

z p pψ ϕ α = cos .

Prema kvantnim uvjetima moraju biti zadovoljene slijedeće relacije

,;; hnd phnd phndr p r r ψ ψ θ θ ψ θ === ∫∫∫ a već znamo iz prethodne kvantizacije ( elipti čki model ) da je

p n nϕ ϕ ϕ = =h; , , , ..1 2 3 . .

Kinetička energija elektrona u sfernim koordinatama jednaka je

E m

r r r k = + +⎛

⎝ ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟2

22

22 2

2. . .sinθ θ ψ ,

a generalisani impulsi

p E

r

m r r p

m

p E

mr p

mr

p E

mr p

mr

r k r

k

k

= = ⇒ =

= = ⇒ =

= = ⇒ =

∂

∂

∂

∂ θ

θ θ

∂

∂ ψ

θ ψ ψ θ

θ θ

ψ

ψ

.

. .

.

. .

.

. .sin

sin.

22

2 22 2

Onda je E E E m

p p

r

p

r

Ze

r k p r = + = + +

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

−1

2 42

2

2

2

2 2

2

0

θ ψ

θ πε sin.

Vidjeli smo da je moment Kulonove sile jednak nuli što uzrokuje p const ϕ = . , a prema tome i p const ψ = . , jer je p pψ ϕ α = cos i α = const . Onda je

p d p d p n h p nψ ψ

π

ψ ψ ψ ψ ψ π ∫ ∫= = = ⇒ =0

2

2 hψ .

U slučaju definiranja položaja orbite elektrona u polarnom koordinatnom sistemu ( r ,ϕ ), a onda u sfernom

koordinatnom sistemu( r , ,θ ) ukupni moment impulsa elektrona u oba slučaja je jednak te se može pisatiekvivalentnost

p dr p d p d p dr p d r r ∫ ∫ ∫ ∫ ∫+ + = +θ ψ ϕ θ ψ ϕ . p d p d p d n h n h n hθ ψ ϕ θ ψ ϕ θ ψ ϕ ∫ ∫ ∫+ = ⇒ + = ⇒

ψ

n n nϕ θ = + .

Dobili smo da je azimutni kvantni broj jednak sumi magnetskog kvantnog broja ( vezan za

komponentu angularnog momenta u pravcu

nϕ nψ

z − ose u kojem je usmjereno vanjsko magnetsko polje ) i tz.širinskog kvantnog broja n .θ Iz relacije p pψ ϕ α = cos ,

slijedi da je cosα ψ

ϕ

ψ

ϕ

= = p

p

n

n.

91


2/20


Obzirom da je

− ≤ ≤ +1 1cosα , onda je − ≤ ≤ +1 1n

n

ψ

ϕ

.

Moguće vrijednosti azimutnog kvantnog broja su pozitivni cijeli brojevi od 1 pa nadalje, tj. nϕ = 1 2 3, , , ...

te dobijenu relaciju ako pomnožimo sa dobijamo da jenϕ

− ≤ ≤ +n n n

ϕ ψ ϕ ,te moguće vrijednosti kvantnog broja n suψ nψ = ± ± ±0 1 2, , , ... , nϕ .

Moguće projekcije ugaonog momenta na pϕ z − osu su

p nψ ψ = h .

Kvantni broj n , kojeg ovdje nazivamo magnetski kvantni broj ( u kvantno-mehaničkom modelu atoma

označavat ćemo sa m ), u potpunosti određuje moguće položaje orbite elektrona u prostoru.ψ

Neka je , tada su moguće vrijednosti brojanϕ = 1 nψ = + −0 1 1, , , a to znači tri različita položaja iste

eliptičke orbite u prostoru ( slika ), tj. za

n n

n

n

n nn

n

n nn

n

ϕ ψ

ψ

ϕ

ϕ ψ

ψ

ϕ

ϕ ψ

ψ

ϕ

α α

α α π

α α

= = + ⇒ = = ⇒ =

= = ⇒ = = ⇒ =

= = − ⇒ = = − ⇒ =

1 1 1 0

1 0 02

1 1 1

1 1

2 2

3 3

; cos

; cos

; cos π .

z z z

pϕ

, pψ = h pϕ pψ = 0

nψ = +1 nψ = 0 pϕ nψ = −1

pψ = −h

Prema tome zaključujemo da prostorno kvantovanje kao rezultat daje tri kvantna broja : radijalninr , azimutni i magnetski n . Mogući su samo položaji elektronske orbite u prostoru za koje su

projekcije vektora momenta količine kretanja ( angularnog momenta ) na vertikalnu, magnetsku osu

jednake cjelobrojnom umnošku konstante , tj.

nϕ ψ

pϕ →

z

h

p nψ ψ = h .

Kvantno-mehanički model atoma će djelimično promijeniti ovaj uvjet o čemu ćemo kasnije govoriti.10. Kvantno-mehanički model atoma Njutnova i kvantna mehanika se prije svega razlikuju po tome šta opisuju, tj. za koje svjetove i za kojefizikalne fenomene vrijede njihovi zakoni. Kvantna mehanika opisuje zakonitosti mikrosvijeta, tj.fenomene vezane za svijet atoma, dok Njutnova mehanika opisuje fenomene makrosvijeta, tj. fenomene

92


3/20


vezane za djelovanje sila u svijetu kojeg opažamo sve do djelovanja sile gravitacije između nebeskihtijela. Njutnova mehanika je skoncentrisana na opisivanje kretanja tijela pod djelovanjem sila tako da kaorezultat tog pristupa se izračunavaju ili mjeri položaj tijela, njegova masa, brzina i ubrzanje. Na principima Njutnove mehanike su zasnovani radni ciklusi mašina u industriji, kretanje automobila, brodova ili aviona, izgrađene zgrade visoke stotinama metara, brane hidrocentrala itd.,idt...Sa druge strane računari, laseri, televizija, mikroelektronika, tečni kristali, supraprovodljivost su

posljedice drugačijeg razmišljanja u fizici; ulaženje u svijet atoma, odnosno u strukturu materije i njeno prilagođavanje potrebama ljudi. Njutnova mehanika može da proračuna putanje planeta hiljadama godinaunaprijed i unazad, ali je nemoćna pred jednostavnim pitanjem kako i zašto vodu stvaraju jedan atomkisika i dva atoma vodika. Odgovore na ta pitanja daje kvantnamehanika. Ona kao i Njutnova mehanika povezuje određene veličine, ali princip neodređenosti značajnomijenja značenje pojma ″ posmatrana veličina″. Kako se po ovom principu ( o kojem će se govoritidetaljno kasnije ) ne mogu istovremeno tačno odrediti položaj i količina kretanja ( impuls ) čestice to seveličine u kvantnoj mehanici, bez obzira kako ih složeni i precizni zakoni povezivali, uvijek pojavljujukao vjerovatnoće. Na primjer, po klasičnoj, Njutnovoj fizici poluprečnik prve, Borove orbite u atomuvodika bi bio određen kao tačno , dok kvantna mehanika uzima da je to najvjerovatniji poluprečnik. Ako bi mogli izvesti takav eksperiment, u kojem bismo mjerili poluprečnik orbite elektrona uatomu vodika, većina mjerenja bi pokazivala različite vrijednosti izmjerene veličine, bilo veće ili manje odveličine za koju bi statistčki najvjerovatnija vrijednost iznosila .

0 053, nm

0 053, nm Njutnova mehanika je u stvari aproksimacija kvantne mehanike za makroskopski svijet. Izvjesnost kojudaje Njutnova mehanika je samo iluzija, jer saglasnost sa eksperimentom je posljedica toga da se svakomakroskopsko tijelo sastoji od mnoštva atoma i da su odstupanja od prosječnih vrijednosti fizičkihveličina vezanih za sistem, neuočljiva. Nećemo moći ući u potpuno i matematski rigorozno izvođenje kvantne mehanike primjenjene na atomvodika, kao ni na bilo koji složeniji sistem kao što su ili na primjer. Morat ćemo se zadovoljitianalogijama. Borovi stavovi o postojanju stacionarnih stanja ( orbita ), kvantizacije energije i kvantizacijeugaonog momenta ostaju kao principi sačuvani i u kvantnoj mehanici, ali uključeni u matematski aparat temehanike oni iz tog aparata izlaze neprepoznatljivi, nepodobni za vizuelnu predstavu, ali tačni sa čvrstimteoretskim i eksperimentalnim dokazima. U kvantnoj mehanici elektron koji pripada nekom atomu

predstavljen je kao trodimenzionalni talas koji okružuje jezgro. Rješenje koje se dobije, tj. talasna funkcijaili bolje rečeno vjerovatnoća da je elektron na nekoj lokaciji je nespojiva sa vizuelno prihvatljivim, tačnodefiniranim mogućim elektronskim orbitama Borove teorije.

H 2 H O2

10.1 Talasna priroda česticeZa objašnjenje zračenja crnog tijela, fotoelektričnog efekta i Komptonovog efekta bilo je potrebno pretpostaviti da je elektromagnetsko zračenje korpuskularne prirode, a elektromagnetski talas, prematome, zamisliti kao snop fotona energije E h= =ν ω h . Fotoni se kre ću brzinom svjetlosti što zahtijeva primjenu relativističke mehanike. Obzirom da je energija fotona E h= =ν ω h kona čna, masa mirovanja

fotona jednaka je nuli mm

vc

=

−

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

0

2

21

, a masa mu je E h mc mh

c= = ⇒ =ν

ν 22

.

Količina kretanja fotona ( impuls fotona ) jednak je umnošku njegove mase i brzine kretanja, tj.

p mch

cc

h

c

c= = = ⇒

ν

λ 2 p

h=

λ .

Elektromagnetski talasi su pojava koja se ne može prikazati poznatim pojavama talasa i čestice izmakroskopskog svijeta, nego su nešto drugo- o čemu nemamo iskustva i što ne možemo vizuelno predstaviti. To ″nešto drugo″ uspješno opisujemo čas talasima, čas česticama: kada proučavamo širenje

93


4/20


zračenja kroz prostor, interferenciju ili difrakciju, zračenje shvatamo kao talas određene frekvencije,odnosno talasne dužine; pri objašnjenju emisije i apsorpcije zračenja, te interakcije zračenja sa atomima –

računamo sa fotonima energije E h= ν i impulsa ph

=λ

.

Obzirom da su elektromagnetski talasi dualne prirode, s pravom se možemo upitati: da li se čestice, pogotovo čestice u svijetu atoma kao što su elektron, proton i neutron, u nekim okolnostima ponašajumožda kao talasi? Na tu ideju je došao Luj De Brolji; on je 1924. godine postavio smjelu hipotezu po

kojoj svaka čestica koja se kreće ima uz čestična i talasna svojstva. Ta njegova pretpostavka je kasnije potvr đena brojnim eksperimentima.De Brolji je pretpostavio da za materijalne čestice vrijede slične relacije kao i za fotone. Analogno relacijiza impuls fotona, talasna dužina čestice mase m koja se kreće brzinom jednaka jev

λ = =h

mv

h

p.

To je De Broljeva hipotetička relacija, talasi pridruženi čestici zovu se De Broljevi talasi, λ se zove DeBroljeva talasna dužina.Tri godine iza De Broljeve hipoteze Dejvison i Đermer (SAD) i Tomson ( Engleska) opazili suinterferenciju i difrakciju elektrona u kristalima metala i, na taj način, eksperimentalno pokazali daelektroni u kretanju imaju talasna svojstva. Talasna dužina određena u tim eksperimentima tačno seslagala sa onom koja se dobija računom iz De Broljeve relacije. Tako je De Broljeva relacijaeksperimentalno potvr đena.Primjer:Proračunati talasnu dužinu za slijedeće ″čestice″:

a) automobil mase , koji se kreće brzinomm = 1000kg vm

s

km

h=

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟100 360 ;

b) česticu dima mase m , koja se kreće brzinomkg = −10 9 vm

s= −10 2 ;

c) elektron kinetičke energije od 1 .eV Rješenje:

a) λ = = ⋅

⋅

= ⋅−

−h

mv

Js

kg m

s

m6 626 10

1000 1006 6 10

3439, , . b) λ = =

⋅

⋅

= ⋅−

− −

−h

mv

Js

kg m

s

m6 626 10

10 106 6 10

34

9 2

23, , .

c) Energija mirovanja elektrona je 5 1 što je mnogo više od njegove kineti čke energije

te se može koristiti u računu nerelativistički prilaz, te je

105 02, (⋅ eV m c )

p mE kg m

s

h

p

Js

kg m

s

mk = = ⋅ ⇒ = = ⋅

⋅

= ⋅− −

−

−2 5 4 106 626 10

5 4 101 2 1025

34

25

9,,

,,λ .

Eksperimentalno možemo provjeriti samo rezultat pod c) jer su samo u tom slučaju De Broljeve talasnedužine reda rastojanja atoma u kristalnoj rešetci na kojoj se može izvršiti eksperiment difrakcije. Pod a) i b) rezultate ne možemo eksperimentalno provjeriti jer ne možemo mjeriti tako male dužine, dakle talasnasvojstva makroskopskih objekata nisu mjerljiva .Interferencija talasa elektrona na dvije pukotine ( C. JÖNSON,1961.) lijepo ilustrira talasnu prirodu

elektrona; taj ćemo eksperiment detaljnije opisati. Elektronski snop, ubrzan do potrebne brzine, upada nazastor sa dvije pukotine široke 0 3, µ m ( slika ).

Iza pukotina nalazi se fotografska ploča P na kojoj se registriraju elektroni koji su prošli kroz pukotine.Tok eksperimenta je slijedeći. Prvo se, recimo, pri otvorenoj lijevoj pukotini dobiju raspodjele elektrona (slika a ) , zatim se pri otvorenoj desnoj pukotini dobije raspodjela elektrona nafotografskoj ploči ( slika b). Pri prolazu elektrona kroz obje pukotine slika nije zbir raspodjela a i b, kaošto bismo očekivali za makroskopske čestice, nego su interferencione pruge ( slika c).

94


5/20


Interferencione pruge su slične kao u slučaju interferencije svjetlosti na dvije pukotine. Interferencija je pojava vezana isključivo za talase, te iz rezultata ovog eksperimenta možemo zaključiti da snop elektronaima i talasna svojstva, slično kao što i snop fotona ima talasna svojstva.

dD

P P P ρ ρ ρ

x x x

a) b) c)U slučaju interferencije talasa sabiru se amplitude talasa ukoliko su talasi u fazi. Polje snopačestica ne poznajemo i ne možemo ga direktno mjeriti kao npr. električno polje kod elektromagnetskogtalasa. Gustoća energije elektromagnetskog talasa ovisi o kvadratu amplitude, recimo za električno polje je

w E =1

2 0 02

ε .

Gustoća fotona energije hω povezana je sa gusto ćom energije talasa relacijom

ρ ω

ε

ω = =

w

E h h

1

20

0

2

,te je proporcionalna kvadratu amplitude električnog polja. Analogno tome: gustoća elektrona u snopu proporcionalna je kvadratu amplitude njegovog talasa. U slučaju samo jedne čestice, govorimo o gustoćivjerovatnosti da česticu nađemo na pojedinom mjestu u prostoru. Tada je

, ρ = Ψ2

gdje je ρ − gusto ća vjerovatnosti, a amplituda talasa i zove se talasnom funkcijom .Ψ −Talasna funkcija , koja je promjenljiva u prostoru i vremenuΨ Ψ Ψ= ( , )r t , je potpuno analogna

električnom vektoru kod elektromagnetskih talasa, samo s tom razlikom što samo nema fizikalnoznačenje i ne može biti ni na koji način eksperimentom određena. Za razliku od veličina

E →

Ψ

Ψ Ψ2 imafizikalno značenje.

Ψ2

je vjerovatno ća nalaženja čestice u jedinici zapremine u određenoj tački u prostoru i može bitieksperimentalno mjerena.Ukupna vjerovatnost za nalaženje čestice bilo gdje u prostoru jednaka je jedan,te mora vrijediti

. ρ dV dV V V

=∫ ∫ Ψ 2 1=

Ovim smo uvjetom normirali talasnu funkciju Ψ .Opisivanjem snopa čestica talasima možemo, dakle, objasniti interferenciju čestica. Do veze izmeđuenergije čestice i frekvencije pridruženog talasa, odnosno impulsa čestice i talasne dužine pridruženog

95


6/20


talasa, tj. De Broljeve relacije možemo doći ako pretpostavimo da je sa česticom mase mirovanja

povezano osciliranje kružne frekvencije

m0ω 0 , te je

. E m0 0 02= =hω c

Taj talas možemo opisati eksponencijalnom funkcijomΨ = −e i t ω 0 0 .

Ukoliko se čestica kreće brzinom u odnosu na referentni sistem u smjeru osev x , tada se vlastito vrijeme

transformira prema Lorencovim transformacijama

t t

v

c x

v

c

t v

c x0

2

2

2

2

1

=

−

−

= −⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟γ ,

i osciliranje čestice u tom referentnom sistemu izgleda kao talas. Ako zamjenimo vlastito vrijeme u jednačinu osciliranja dobit ćemo relaciju

Ψ = = ⇒− −

−e ei t

v

c x

i kx t ω γ

ω 0 2( )

( )

ω = ω γ γ

ω 00

2 2

= ⋅

= = ⇒ =m c mc E

E h h h

h .

Iz navedenog računanja vidi se da je kružna frekvencija ω pri brzini ve ća od frekvencije mirovanja i povezana sa ukupnom energijom

v E = hω .

Dalje mora biti zadovoljena jednakost

k v

c

v

c

m c v

c

mc v

c

mv mv

h=

⋅=

⋅=

⋅= = ⇒ =

⋅⇒

ω γ ω γ γ π

λ

π 02

02

02

2

2

2

2 2h

h h h h

λ =h

mv − de Broljeva relacija.

Korisno je poznavati i vezu koja se vidi iz ovog izvođenja, a to je p k = h .

Talasna svojstva elektrona našla su praktičnu primjenu u elektroskom mikroskopu. Poznato je da granicarezolucije ( moć razlu čivanja ) optičkih sistema ovisi o talasnoj dužini: ako je udaljenost između dvije

tačke koje posmatramo mikroskopom manja od oko pola talasne dužine svjetlosti kojom se služimo,nikakvim povećanjem nećemo uspjeti razlučiti te dvije tačke. Moć razlu čivanja mikroskopa možemo povećati smanjenjem talasne dužine. Pomoću elektronskih sočiva ( električnih i magnetskih polja ) snop brzih elektrona usmjerava se u elektronskom mikroskopu kao svjetlosne zrake u običnom mikroskopu.Obzirom da je talasna dužina elektrona manja od ( npr. pri 150 ), to će moć razlu čivanjaelektronskog mikroskopa biti znatno veća nego običnog mikroskopa.

0 1, nm 0 01, nm 00V

10.2 Talasni paketi. Hajzenbergov princip neodređenostiPogodna superpozicija sinusnih talasa različitih frekvencija i talasnih dužina može dati rezultujući talaslokaliziran u prostoru. Jednostavan primjer je suma beskonačnog broja putujućih talasa istih

amplituda, s Aei kx t = −( ω ) , čiji se talasni broj kreće u intervalu od k k

0 2−

∆ do k

k 0 2

+ ∆

. Rezultujući talas bi

imao beskonačnu amplitudu. Međutim, čestica je lokalizirana u elementu prostora pa prema tome i talasni paket kojim se ona predstavlja, tj. rezultujući talas tog talasnog paketa. Uvodi se pojamdA

dk C = ,

gdje je C − konstanta. Sada možemo pisati da je rezultujući talas jednak

s Ae C e Ri kx t

k k

k k

i kx t

k k

k k

= =−

−

+

−

−

+

∑ ∫( ) ( )ω ω 0

0

0

0

2

2

2

2

∆

∆

∆

∆

dk .

96


7/20


Obzirom na definiciju talasnog broja i kružne frekvencije, tj. ω π ν π λ

= ⋅ = ⋅ = ⋅2 2v

k v , vidi se da je ω

funkcija od k , tj. ω ( )k . Pošto je ∆k mala veli čina onda se ω ( )k može razviti u Tejlorov red, tj.

ω ω ω ω

= + − + − + ⋅⋅= =0 0

2

2 02

0 0

d

dk k k

d

dk k k

k k k k ( ) ( ) ⋅ .

Pri aproksimaciji prvog reda imamo da je

ω ω ω = + −=0 00d dk k k k k ( ) .

Veličina, g vdk

d = definira se kao grupna brzina, te je

ω ω = + −0 0v k k g ( ) .

Sada je

⇒−−−+−=

=+−−+−=+−−=−

)()( 0000

000000

k k t vk k xt xk

t k vkt v xk kxt xk t k vkt vt kxt kx

g

g g g g

ω

).)(( 000 k k t v xt xk t kx g −−+−=− ω ω

Granice integrala , uvođenjem nove promjenljive će se takođe promjeniti, te je

k k u dk du

k k k

uk

k k k

uk

− = ⇒ =

= − ⇒ = − = + ⇒ = +

0

0 02 2 2 2

∆ ∆ ∆; ,

∆

Onda je

,

)(

2)(sin2

)(

)(

1

)(2

)(2

)(

)(

2

2

)()(2

2

)()(

0000

0000

t v xi

k t v xi

Ce

t v xi

eeCe

et v xi

CedueCe s

g

g t xk i

g

k t v xi

k t v xi

t xk i

k

k

ut v xi

g

t xk i

k

k

ut v xit xk i R

g g

g g

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∆−

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−==

−

∆−−

∆−

−

∆+

∆−

−−

∆+

∆−

−−

∫

ω ω

ω ω

te je s C ke x v t

k

x v t k R

i k x t g

g

=

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

−∆

∆

∆( )

sin ( )

( )

0 02

2

ω . Faktor { } za t = 0 je

sin xk

xk

∆

∆

2

2

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

.

Nacrtat ćemo funkcijusin x

k

xk

∆

∆

2

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

koja je obvojnica talasa C kei k x t ∆ ( 0 0−ω ) . Očito je lim x→0

sin xk

xk

∆

∆

2

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= 1 , a

sin ; , , , ... x k x nk

n∆∆2

0 2 1 2 3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = ⇒ = =

π , te slijedi kvalitativan grafički prikaz te obvojnice .

Za , ova obvojnica putuje u pozitivnom smjeru pravcat ≠ 0 x grupnom brzinom . Brzina rezultuju ćeg

talasa naziva se faznom brzinom i jednaka je

v g

vk f

= ω 0

0

. Širina ∆∆

xk

=2π

se definira kao širina talasnog

paketa, odakle je

∆∆

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ xk

x k x p

x ph

= ⇒ ⋅ ≈ ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ≈ ⋅ ⇒2

2 22

2π

π π π

π h

∆ ∆ x p h⋅ ≈ .

97


8/20


Pošto su ω i t po svojoj ulozi sli čni k i x , cio problem bismo mogli izraziti preko superpozicije talasa sakontinuiranim intervalom veličine ω , za koji se može definirati interval vremena za koji se možesmatrati da u njemu talasni paket egzistira na datom mjestu, tako da je

∆t

∆ ∆ω π ⋅ ≈t 2 ,

sin xk

xk

∆

∆ 2

2

⎡

⎣

⎢⎤

⎦

⎥

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

1 t = 0

x

−6π

∆k −

4π

∆k −

2π

∆k 0

2π

∆k

4π

∆k

6π

∆k

odnosno∆ ∆ E t h⋅ ≈ .

Dobijene relacije se mogu interpretirati na slijedeći način: nemoguće je istovremeno tačno odrediti ,odnosno znati položaj i impuls čestice ( ili energiju i trenutak u kome čestica ima tu energiju ); umnožakneodređenosti ta dva mjerenja mora biti bar reda veličine Plankove konstante. Ovaj princip neodređenosti je formulirao Hajzenberg.Ovaj se princip može ilustrirati na slijedeći način: Posmatramo li elektron tako da ga ″osvijetlimo″ elektromagnetskim talasima talasne dužine λ , njegov položaj ne možemo odrediti preciznije od talasnedužine upotrijebljene svjetlosti, te je ∆ x ≈ λ . Elektron ćemo vidjeti ako se foton svjetlosti sa njim sudari,rasprši na njemu i dođe u ″objektiv″, a pri tome mu se promjeni impuls i njegova neodređenost je jednaka

impulsu upotrijebljenog fotona , tj. ∆ p

h

≈ λ . Proizvod neodređ

enosti položaja i neodređ

enosti impulsa jednaka je , tj. reda veličine Plankove konstante što je dobijeno i prethodnim proračunom.∆ ∆ x p h⋅ ≈

10.3 Šredingerova jednačina ( Talasna – valna jednačina )Austrijski fizičar Ervin Šredinger je pronašao 1926. godine talasnu jednačinu za materiju u talasnoj slici.Ta jednačina koju danas nazivamo Šredingerovom jednačinom je osnovna jednačina kvantne mehanike iima istu ulogu kao i II Njutnov zakon u klasičnoj fizici. Ona je postulat koji se ne izvodi već se iz njeizgrađuje cijela nerelativistička kvantna mehanika.Pokazat ćemo kako se može doći do te jednačine,naravno to nije izvođenje nego ″ pogađanje″ njenog oblika s obzirom na analogiju sa elektromagnetskimtalasima. Jednačina za elektromagnetski talas ima oblika

, E E e i kx t = −0( )ω

koji je jedan od mogućih rješenja talasne jednačine. Neka znamo relaciju između frekvencije i talasnog brojaω π ν

π

λ = ⋅ =

⋅=2

2 ckc .

Sada jednačinu elektromagnetskog talasa parcijalno deriviramo dva puta po vremenu, te je∂

∂ ω ω

E

t i E e i kx t = − ⋅ −0

( ) ,

∂

∂ ω ω ω

2

22

02 2 E

t E e E k c E i kx t = − ⋅ = − = −−( ) 2 . (*)

Onda to isto radimo ali po promjenljivoj x , te je

98


9/20


∂

∂

ω E

xik E ei kx t = ⋅ −0

( ) ,

∂

∂

ω 2

22

02 E

xk E e k E i kx t = − ⋅ = −−( ) . (**)

Komparacijom izraza (*) i (**) dobijamo∂

∂

∂

∂

2

2 2

2

2

10

E

x c

E

t − = ,

dakle, talasnu jednačinu elektromagnetskog talasa.Slično ćemo pogoditi talasnu jednačinu za česticu. Jedan od mogućih oblika talasne funkcije koja pripadanekoj čestici je

Ψ = −ei kx t ( )ω ,gdje su energija čestice i njen impuls dati relacijama, respektivno E = hω i p k = h .

Veza između energije i impulsa ( količine kretanja ) nerelativističke čestice je

E p

m E p= +

2

2,

gdje je , potencijalna energija čestice. E pPolazimo od talasne funkcije

Ψ = −ei kx t ( )ω i primjenjujemo na nju matematičke operacije kako slijedi.

∂

∂ ω

∂

∂ ω

ΨΨ

ΨΨ Ψ

t i i

it

E

= − ⋅

= =

( )

.(*)

h

h h

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

ΨΨ

ΨΨ

ΨΨ Ψ

ΨΨ Ψ

xik

xk

m

m x

k

m

p

m E E

m x E E

p

p

=

= − ⋅ −⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

− = = = −

− = −

2

22

2

2 2

2

2 2 2

2 2

2

2

2 2 2

2

h

h h

h

( )

.(**)

Ψ

Komparacijom izraza i dobijamo slijedeću relaciju(*) (**)

− + =h

h

2 2

22m x E i

t p∂

∂

∂

∂

ΨΨ

Ψ,

ili u trodimenzionalnom obliku

− + +⎛

⎝ ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ + =

hh

2 2

2

2

2

2

22m x y z E i

t p∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

Ψ Ψ ΨΨ

Ψ .

Ovo je vremenski zavisna Šredingerova jednačina čija su rješenja talasne funkcije . Po obliku

se razlikuje od talasne jednačine za elektromagnetski talas, umjesto druge derivacije po vremenu u njoj je prva derivacija po vremenu sa imaginarnim koeficijentom. Zbog toga rješenje Šredingerove jednačine nemže biti realna funkcija i radi toga nije slučajno talasna funkcija pisana u eksponencionalnom obliku, a nesinusnom.

Ψ( , , , ) x y z t

U klasičnoj fizici kretanje čestice pod djejstvom sile opisano je II Njutnovim zakonom. Zadavši početni položaj i brzinu čestice mogli smo odrediti položaj i brzinu čestice u bilo kojem trenutku i odrediti putanju tijela. U kvantnoj mehanici, poznajući potencijalnu energiju možemo iz Šredingerove jednačineodrediti talasnu funkciju koja nam može dati vjerovtnostΨ( , , , ) x y z t dw , tj. vjerovatnost da se u

određenom trenutku čestica nađe u elementu zapremine . Ta vjerovatnost je data izrazomdV

99


10/20


dw x y z t dV = Ψ( , , , )2 .

Obzirom da je kompleksna funkcija , onda jeΨ( , , , ) x y z t

Ψ ΨΨ2 = * .

Gustoća vjerovatnosti je

ρ = = =dw

dV Ψ ΨΨ

2 * ,

gdje je konjugovano kompleksna vrijednost talasne funkcijeΨ* Ψ .Talasna funkcija opisuje česticu i sadrži sve informacije koje o čestici možemo saznati;

putanja i položaj ovdje gube smisao u klasičnom viđenju. Svakoj čestici brzine v i energije

Ψ( , , , ) x y z t

E pridruženo

je materijalno polje frekvencije ν = E

h i talasne dužine λ =

h

p koje je opisano talasnom funkcijom

. Poznajući potencijalnu energiju čestice i talasnu funkcijuΨ( , , , ) x y z t E x y z t p ( , , , ) Ψ( , , , ) x y z t = 0

možemo iz Šredingerove jednačine odrediti talasnu funkciju u svakom kasnijem trenutku.Glavna svojstva talasne funkcije su:a) funkcija je normirana,b) konačna,c)

jednoznačna,d)

neprekidna,e) prvi izvodi te funkcije su neprekidni,f) svojstvo superpozicije .

10.3.1Stacionarna stanjaAko potencijalna energija čestice koja ulazi u Šredingerovu jednačinu ne zavisi od vremena, postoje stanjau kojima se energija čestice ne mijenja sa vremenom, tj. stacionarna stanja. Talasnu funkciju stacionarnogstanja energije E možemo pisati u obliku, ako je problem linearan

Ψ( , ) ( ) x t x ei E

t = ⋅

−ψ h .

Izračunajmo gustoću vjerovatnosti :

ρ ψ ψ ψ = = =−

ΨΨ* ( ) ( ) ( ) x e x e xi E

t i E

t h h 2 .

Vidimo da u ovom slučaju gustoća vjerovatnosti ne zavisi od vremena. Uvrstimo gornju relaciju uŠredingerovu jednačinu, te slijedi

− ⋅ + ⋅ = −⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⋅

− −hh

h

h h

2 2

22m

d x

dxe E x e i i

E x e

i E

t

p

i E

t i E

t ψ ψ ψ

( )( ) ( )

−h ,

− + =h

2 2

22m

d x

dx E x E x p

ψ ψ ψ

( )( ) ( ) .

Ovo je vremenski neovisna Šredingerova jednačina čija rješenja ( ) x op ćenito postoje samo za određene,kvantizirane vrijednosti energije, što nije slučaj u klasičnoj mehanici, gdje je čestica mogla imati proizvoljnu vrijednost energije. Rješenja ove jednačine često se zovu svojstvene

funkcije ( ) x , dok su energije E odgovarajuće svojstvene vrijednosti. Iz oblika Šredingerove jednačine jasno je da ju je moguće riješiti samo za jednostavnije oblike potencijalne energije.

10.3.1.1 Primjer : Slobodna čestica u potencijalnoj jamiPotencijalna energija slobodne čestice jednaka je nuli, te je ukupna energija jednaka kinetičkoj energiji

E p

m=

2

2 i zbog stacionarnih stanja ne zavisi od vremena, konstantna je. Sada Šredingerova stacionarna

jednačina poprima slijedeći oblik

100


11/20


.0)()(

)(2

)(

2 2

2

2

22

2

22

=+⇒=− x p

dx

xd x

m

p

dx

xd

m ψ

ψ ψ

ψ

h

h

Ova jednačina ima dva nezavisna rješenja:

ψ + =( ) x ei p

xh (*) i ψ −

−=( ) x e

i p

xh , (**)

a zajedno sa vremenskim faktorom rješenja glase

Ψ+− −

=( , )(

x t ei Et pxh

) , (***)

Ψ−− +

=( , )(

x t ei

Et pxh

). (****)

Ovo su jednačine ravnog talasa koji se širi u pozitivnom smjeru ose x , talas (*), i onaj koji se širi unegativnom smjeru ose x , talas (**). Ovdje ne postoji ograničenje na vrijednost energije, ona predstavljaspektar energije koji je kontinuiran u slučaju kada je čestica slobodna.Gustoća vjerovatnosti nalaženja slobodne čestice , ΨΨ* = 1, za oba rješenja u cijelom prostoru, te je jednako vjerovatno da ćemo česticu naći na svakom mjestu, nema preferiranog položaja u prostoru gdjećemo naći česticu.Ako zatvorimo česticu između dva zida ( slika ) koja su na međusobnom rastojanju , dobijamo tz. potencijalnu jamu. Unutar jame čestica je slobodna te joj je potencijalna energija jednaka nuli. Čestica ne

može izići iz jame jer je

a

E x E x a p p( ) ( )≤ = ≥ = +∞0 . Ovakva potencijalna jama ne postoji u prirodi, ali seneki problemi u nuklearnoj fizici mogu aproksimirati potencijalnom jamom.+∞ Čestica ( talas materije ) je unutar jame, tj. u područ ju E x p ( ) +∞

0 <


12/20


[ ]

ψ ψ π

π

π

π

π

n

a

n

a a aa

a

x x dx An

a x dx A

n

a x

dx A dxn

a x dx

A an

a x

a

n A a A a A

a

0

2 2

0

2

0

2

00

20

2 2

4 4

1 2

22 2

2 22

2 0 2 11

2

2

∫ ∫ ∫ ∫∫= ⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ =

− ⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

= − ⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=

= − ⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = − = = ⇒ = ⇒

( ) ( ) sin

cos

cos

sin

*

ψ π n x ana

x( ) sin= ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠⎟2 ; n = 1 2 3, , , . .. .

Ovo je oblik svojstvene funkcije slobodne čestice unutar jame, dok je van jame jednaka nuli, a

E p

m mann

n= =2 2 2

22

2 2

h π ,su svojstvene vrijednosti.

Sada ćemo izračunati i grafički predstaviti nekoliko svojstvenih funkcija te čestice u jami i svojstvenihvrijednosti.

Za n ;= 1 E m a1

21

2=

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟

hπ ; ψ

π ψ

π π 1 1

2 2

2 2( ) sin ( ) ; x

a

x

a x

a

x

a x

a=

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⇒ = = ⇒ = ,

za n = 2 E m a E 2

2

1

1

2 4 4=

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ ⋅ =

hπ

;

ψ π

ψ π π

ψ π π

2 2

2

22

22

2

22

3

2

3

4

( ) sin ( ) ; ,

( ) ;

xa

x

a x

a

x

a x

a

xa

x

a x

a

= ⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⇒ = = ⇒ =

= − = ⇒ =

4

za n = 3 E m a

E 3

2

11

29 9=

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⋅ =

hπ ;

ψ π

ψ π π

ψ π π

ψ ψ π π

3 3

3

3 3

23

23

2 6

23

3

2

3

6

2 23

5

2

5

6

( ) sin ( ) ; ,

( ) ; ;

( ) ( ) ;

xa

x

a x

a

x

a x

a

xa

x

a x

a

xa

xa

x

a x

a

= ⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ ⇒ = = ⇒ =

= − = ⇒ =

= ⇒ = = ⇒ =

ψ n n E , E 3

E 2

E 1

0 a x

102


13/20


10.3.1.2 Primjena Šredingerove jednačine na atom vodika.Porijeklo kvantnih brojeva

Stacionarna Šredingerova jednač ina za elektron u atomu vodika glasi

h2 2

2

2

2

2

220

m x y z E V

∂ ψ

∂

∂ ψ

∂

∂ ψ

∂ ψ + +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ − =( ) .

Potencijalna energija elektrona u atomu vodika jednaka je

E V e

r p = = −

2

04

1

πε .

Obzirom da potencijalna energija elektrona ovisi o radijus vektoru položaja elektrona u odnosu na jezgro pogodnije je riješiti Šredingerovu jednač inu prelaskom na sferne koordinate. Veza izmeđ u sfernihkoordinata i Dekartovih koordinata se vidi sa slike.Talasna funkcija je

),,(),,( φ θ ψ ψ r z y x =⇒Φ=Φ . Prelaskom na sferne koordinate Šredingerova jednač ina će izgledati ovako

[ ]h

2

22

2 2 2

2

22

1 1 10

m r r r

r r r E V r

∂

∂

∂

∂ θ

∂

∂θ θ

∂

∂θ θ

∂

∂φ ψ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ +

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ − =sin

sinsin

( ) ψ .

z

r cosθ r sinθ dV x r

y r

z r

=

=

=

sin cos

sin sin

cos

θ φ

θ φ

θ

r

θ

φ r sinθ r sin cosθ φ y

r sin sinθ φ

x Pokazuje se da ovakav oblik diferencijalne jednač ine dozvoljava razdvajanje funkcije po promjenljivim, tj.

θ φ = ⋅ f r Y ( ) ( , ) .

Zamjenom u Šredingerovu jednač inu dobija se

[ ]1 2 1 1 12

22

2

2

2 f

d

dr r

df

dr

m E V r r

Y

Y Y ⎛ ⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ + −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= − ⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥h

( )sin

sinsinθ

∂

∂θ θ

∂

∂θ θ

∂

∂φ .

Pošto lijeva strana ove jednač ine ovisi samo o , a desna strana samo or θ i φ , obje strane moraju biti

jednake nekoj konstanti koju ćemo označ iti sa λ . Na taj nač in iz posljednje jednač ine dobijamo radijalnu jednač inu

[ ]1 22

22

f

d

dr r

df

dr

m E V r r

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ + −

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭

=h

( ) λ , (*)

i uglovnu jednačinu

1 1 12

2

2Y

Y Y

sinsin

sinθ

∂

∂θ θ

∂

∂θ θ

∂

∂φ λ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= − . (**)

Razdvajanje talasne jednač ine u sfernim koordinatama daje talasne funkcije koje su svojstvene funkcijekako ukupne količ ine kretanja, tako i njegove projekcije na z − osu, tz. polarnu osu. Kvantni broj koji se javlja pri rješavanju jednač ine (**), naziva se azimutni ili orbitalni kvantni broj . Pri rješavanju te jednač ine javlja se i kvantni broj m koji se naziva magnetski kvantni broj , jer vidjet ćemo igra važnu

l

103


14/20


ulogu u teoriji Zemanovog efekta kod kojeg se posmatra komponenta momenta količ ine kretanja u pravcu

vanjskog magnetskog polja( z − osa). Ovo vrijedisamo za sluč aj ako je potencijalna energija V r sferno

simetrič na funkcija. Po kvantnoj teoriji je moguće istovremeno odrediti

→⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

L2 i , jer je Y L z l m, ( , )θ φ njihova

svojstvena funkcija, a po klasič nojteoriji se sve tri komponente L→

− a mogu istovremeno odrediti.Pokazuje

se da se magnetski kvantni broj m može kretati u granicama− ≤ ≤ +

l m l , tj.m l = ± ± ±0 1 2, , , .. . , .

Rješenje radijalne diferencijalne jednač ine (*) ima oblik, za potencijal V r Ze

r ( ) = −

1

4 0

2

πε , za elektron

koji se kreće oko jezgra naboja + Ze , slijedeći

( )[ ] f r

Z

na

n l

n n l e Ln l

l n l l

, ( )( )!

!( )= −

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

− −

+

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪⋅

−

++2 1

20

3

32 2 1

ρ

ρ ρ ,

gdje su

ae

0

2

2=

⋅ −

h

µ je polupreč nik prve ( kružne ) Borove putanje za vodik ( Z = 1) , ρ =

2

0

Z

nar , Lagerovi

polinomi, a

Ln l l ++ −2 1( ) ρ

µ − redukovana masa koja je jednaka µ =+

m m

m m J e

J e

; gdje je m J − masa jezgre atoma , a

masa elektrona. Lagerovi polinomi glaseme −

( )[ ]

( ) ( ) L

n l

n l k l k k n l l k l

k

n l k

++ + +

=

− −

= − +

− − − + +∑2 1 2 1

0

1 2

11 2 1

( ) ( )!

! ! ρ

ρ

!.

Na taj nač in normirane svojstvene funkcije atoma vodika glaseψ θ φ θ φ n l m n l l mr f r Y , , , .( , , ) ( ) ( , )= ⋅ =

= −

( )[ ]

2 1

20

3

32 2 1 Z

na

n l

n n l e Ll n l

l ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

− −

+

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪

⋅ −

++( )!

!( )

ρ

ρ ρ 2 1

4

l l m

l m P el

m i+ −

+π θ

φ ( )!

( )!(cos ) m .

Prve tri radijalne funkcije glase

f r Z

ae f r

Z

a

Zr

ae f r

Z

a

Zr

ae

Zr

a

Zr

a

Zr

a1 0

0

3

2

2 00

3

2

0

22 1

0

3

2

0

222

22 3

0 0, , ,( ) ....... , ( ) ......... , ( )=

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝ ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

− −0

−

.

Vidjeli smo da kvantni broj ima ogranič enu vrijednost koju nameće koordinatam φ . Taj kvantni broj

određ uje vrijednosti koje može imati z − komponenta momenta količ ine kretanja . z − osa je bitna jer se uodnosu na nju određ uje koordinata sfernog sistema,θ . Kvantni broj vezan za koordinatu θ zove se i

kao što smo vidjeli on određ uje iznos momenta količ ine kretanja .

l

L→

Rješenje Šredingerove jednač ine vezano za koordinate θ i φ dovode do kvantizacije intenziteta momenta

količ ine kretanja ( ugaonog momenta ) i kvantizacije z − komponente ugaonog momenta. Iz dobijenih

rezultata vidi se da L ne može nikada biti cijeli broj pomnožen sa i dah L i ne mogu imati iste

vrijednosti. ne može biti usmjereno u pravcu

L z

L→

z − ose što dopušta klasič na fizika. Rješavanje radijalneŠredingerove jednač ine ogranič ava vrijednosti orbitalnog kvantnog broja l na

l = n −0 1 2 1, , , . .. , . Nivoi energije se mogu napisati u obliku

E Z e

nn = −

⋅µ

π ε

2 4

202 2 232

1

h

; n = 1 2 3, , , . ..

104


15/20


Kvantni broj , naziva se glavni kvantni broj .n

Dakle, kvantna mehanika određ uje broj mogućih vrijednosti intenziteta vektora i njegove L→

z − komponente. Relacije neodređ enosti unose dodatni problem; uobič ajeno je da se vektor označ avakao da precesira oko

L→

z − ose sa konstantnim uglom, tj. kao da opisuje konus za svaku od dozvoljenihvrijednosti kvantnog broja .Recimo neka jem , tada jel = 2

2,1,0 ±±=≡ l mm , a L l l = + =( )1 6h h

cos( ) ( )

, ,ϕ = =+

=+

= ± ± ⇒ L

L

m

l l

m

l l

z h

h1 10

1

6

2

3

ϕ π = ± ±

265 9 35 260; , ; , 0 .

Kada je - tada se orbita nazival = 0 s − orbita, zal - tada se orbita naziva= 1 p − orbita, za

l - tada se orbita naziva d = 2 − orbita, zal - tada se orbita naziva= 3 e − orbita, zal - tada se orbita naziva= 4 f − orbita, itd.

m L z z z 2 2 h

1 1 h L→

L→

L→

0 ϕ L z

−1

−2 −2h

−1h . .

Na slici je dat pretpostavljeni vizuelni prikaz navedenog primjera.

Dijagram energetskih nivoa za atom vodika pokazuje da su stanja, sa istim glavnim kvantnim brojem n ali različ itim , razdvojena. Ta stanja su nazvana termovima. Razdvojena stanja su ona kod kojih serazlikuje za cijeli broj. Prijelazi kod kojih se l mijenja za jedinicu, dakle, prijelazi kod kojih je

l l ∆l = ±1 se

zovu dozvoljeni prijelazi. Promjena kvantnog broja za jedinicu je u vezi sa zakonom o oč uvanjumomenta količ ine kretanja koji kaže da ukupni moment količ ine kretanja atoma prije emisije mora biti jednak sumi ukupnog momenta količ ine kretanja atoma poslije emisije i momenta količ ine kretanjaemitiranog fotona. Ovo ukazuje na to da foton kao č estica bez mase nosi sa sobom energiju, impuls(količ inu kretanja ) i moment količ ine kretanja. Sada treba istaći da postoji pravilo izbora i za magnetskikvantni broj m , dato relacijom

l

∆m = ±0 1, .Obzirom da je magnetski kvantni broj vezan sa orbitalnim kvantnim brojem l , uobič ajeno je da se onoznač ava sa .

m

l m

105


16/20


Da bi ovo bilo jasnije uspostavit ćemo vezu izmeđ u ugaonog momenta elektrona i orbitalnog

magnetskog momenta za elektron koji kruži oko jezgra.

L→

µ →

Vidjeli smo da je iznos vektora definiran orbitalnim kvantnim brojem , L→

l L l l = +( )1 h , a pravac i

smjer pravilom za vektorski proizvod. Naime, znamo da je

slika). L m r ve

→ →

= ×

→

( Za zatvorenu konturu po kojoj se kreće električ ni L

→

naboj, u ovom sluč aju elektron, po definiciji je za

tu konturu magnetski moment jednakv→

µ = iS ,

gdje je i jač ina električ ne struje kroz konturu, a− S − površina koju obuhvata kontura. Onda je

ie

T r vT T

r

v= − = ⇒ =;2

2π

π ,

te je magnetski moment jednak

µ π π = − ⋅ ⋅ = − = − ⇒

e

v

r r

e

m m vr

e

m Le e e2 2 2

2

µ → →

= −e

m L

e2 .

Velič inae

me2 naziva se žiromagnetski odnos. Znak ″−″ ukazuje na to da su magnetski moment i

moment količ ine kretanja ( angularni moment ) suprotni.

µ →

L→

Sada ćemo odrediti z − komponentu za . Vidjeli smo da jeµ →

hl z m L = , a obzirom na formulu

µ → →

= −e

m L

e2 ,

dobijamo da je ⇒−=−=−= l e

l e

ze

z mmem

me L

me

222hhµ

l B z m−= ,

gdje je µ Be

e

m

J

T = = ⋅ −

h

29 274 10 24, −

ϕ

Borov magneton.

Prema zakonima klasič ne fizike moment sile vanjskog magnetskog polja indukcije→

na magnetski dipol

magnetskog momenta jednak je

B

µ →

. M B M B B B→ → → → →

= × ⇒ = ⋅ ∠⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ = ⋅µ µ µ µ sin , sin

Moment sile je maksimalan kada je , minimalan kada jeµ → →

⊥ B µ → →

B . Potencijalna energija

magnetskog dipola u magnetskom polju je, po definiciji, jednaka radu koji mora biti izvršen da B→

bi se dipol zarotirao od do nekog uglaϕ = 900 ϕ koji karakterizira njegovu novu orijentaciju u

magnetskom polju, tj.

E B d B p m, sin cos= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⇒

=

∫ µ ϕ ϕ µ ϕ ϕ

ϕ

ϕ

90

900

0 E B p m, cos= − ⋅µ ϕ .

r →

106


17/20


Kada je µ → →

B ; E p m, = − ⋅ Bµ , tj. ima minimalnu vrijednost.

Potencijalna energija za atom koji se nalazi u magnetskom polju jednaka je

E Be

m LB E f L p m

e p m, ,cos cos ; ( , ).= − ⋅ = =µ ϕ ϕ 2

ϕ

Dalje je ⇒=

+

+== l e

l

ee

m p Bm

m

e

l l

ml l B

m

e LB

m

e E

2)1(

)1(

2

cos

2,

h

h

hhϕ

l Bm p Bm E µ =, .

Ova relacija pokazuje da u magnetskom polju energija odgovarajućeg magnetskog stanja zavisi kako od glavnog kvantnog broja tako i od magnetskog kvantnog broja . Ta č injenica je ključ za

razumijevanje fine strukture spektra.

n, l m

Kada atom unesemo u magnetsko polje stanje definirano glavnim kvantnim brojem prelazi u nekoliko podstanja č ija energija se neznatno razlikuje od energije tog stanja , ali je ipak mjerljiva, i to je ve ća ilimanja od energije koju atom ima u stanju kada se nalazi van magnetskog polja. Taj fenomen je uzrokrazdvajanja spektralnih linija . Sam fenomen razdvajanja spektralnih linija atoma u magnetskom polju senaziva Zemanov efekat . Iz izraza l Bm p Bm E µ =, slijedi da za određ eno , energetski nivoi atoma pri unošenju u magnetsko polje

će se razložiti na stanje, jer toliko vrijednosti može imati kvantni broj . Zahvaljujući pravilu

, spektralne linije koje su posljedica prelaska elektrona izmeđ u dva stanja sa različ itim

mogu se razložiti na samo tri komponente, to su tz. tripleti , a pripadaju tz. normalnom Zemanovomefektu koji je primjećen kod mnogih elemenata.

l

2 1l + l m

1,0 ±=∆ l m l

Mnogo č eš ći rezultat je da se pojave udvojene linije u spektrima, tz. dubleti , bez vanjskog magnetskog polja , a što je nazvano anomalnim Zemanovim efektom. Iz iznesenog se vidi da se pomoću tri kvantnabroja, , ne može u potpunosti opisati pravo stanje atoma, tj. stanje elektrona u atomu.l ml n ,, 10.3.1.2.1 SPIN-č etvrti kvantni broj

Borova teorija predviđ a za prijelaz elektrona sa n = 3 na n = 2 talasnu dužinu u spektru koja iznosi

, dok se eksperimentalno dobijaju dvije jasne linije sa razlikom od prorač unate za . To jevelika greška za teoriju. Kada se spektralne linije posmatraju sa uređ ajima sa velikim razluč ivanjem primjećuje se njihova fina struktura. 1925. godine Gudšmit i Ulenbek predlažu č etvrti kvantni broj dabude

656 3, nm ±0 14, nm

z − komponenta sopstvenog ugaonog momenta elektrona koji je nazvan spin ( potječ e od vrtnjeelektrona oko sopstvene ose). Oni su rezonovali da elektron koji je negativno naelektrisana č estica,

obr č ući se i oko svoje ose mora imati sopstveni ugaoni moment uslijed rotacije, a kao naelektrisan

mora imati automatski i sopstveni magnetski moment koji je suprotno orijentiran u. Ovaj

problem se prebacuje na područ je kvantne teorije. Dirak je pokazao na bazi prorač una relativistič kekvantne mehanike da č estica koja ima masu i električ ni naboj mora posjedovati i sopstveni ugaonimoment, a prema tome i sopstveni magnetski moment. Spin elektrona je

sopstveni ugaoni moment , koji nastaje uslijed rotacije naelektrisanja oko ose fiksirane za samelektron sa kojim je istovremeno vezan i sopstveni magnetski moment . Ako bi elektron sa svojim

stalnim sopstvenim magnetskim momentom bio unešen u magnetsko polje, to bi znač ilo da će doći do prostorne kvantizacije spina. Osa spinskog magnetskog momenta i spinski ugaoni moment bi biliogranič eni na određ ene, kvantizirane orijentacije. Kvantni broj

LS →

µ S

→

LS →

−

LS

→

µ S

→

s vezan za opisivanje sopstvenogugaonog momenta elektrona se prema Dirakovoj teoriji treba odrediti empirijski, iz podataka o spektrimaatoma. Istražujući spektre jednovalentnih elemenata bez prisustva vanjskog magnetskog polja pokazuje se da je svaki energetski nivo ( izuzev s − stanja, l = 0 )razložen u dvije komponente, dubleti , dok s − stanja ostaju pojedinač na, tz. singleti . To je razlog što se

107


18/20


s3 3 p → kod natrija sastoji od dvije bliske linije. Stanje 3 s je singlet, a stanje je dublet. Postavlja se

pitanje, kako su udvojena sva stanja izuzev

3 p

s − stanja . Odgovor je u postojanju unutrašnjeg magnetskog polja u atomu koje izaziva prostornu kvantizaciju sopstvenog ugaonog momenta elektrona, tz. spinskogugaonog momenta. Još uvijek stoji pitanje, kako se to kvantovanje odvija?U normalnom Zemanovom efektu svako stanje definirano kvantnim brojem l se pod djejstvom vanjskogmagnetskog polja razlaže na no podstanje. Koristeći analogiju onda se svako stanje određ eno spinskim brojem

2 1l + − s takođ e razlaže na 2 1 s + − no podstanje pod djejstvom unutrašnjeg magnetskog polja.

Kako je broj komponenata svih stanja fine strukture bez prisustva vanjskog magnetskog polja sa nenultimorbitalnim ugaonim momentom uvije jednak ( dubleti ) onda je2

2 1 21

2 s s+ = ⇒ = .

Obzirom da je spin sopstvena karakteristika elektrona, svaki elektron ima spinski kvantni broj sa istom

vrijednoš ću od1

2. Spin ili sopstveni ugaoni moment elektrona je njegovo fundamentalno svojstvo , kao

što su njegovo naelektrisanje i masa. Intenzitet sopstvenog ugaonog momenta zbog spina elektrona je dat izrazom L s

L s s s = + = +⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠⎟ =( )1

1

2

1

21

3

2h h h .

Uoč avamo formalnu slič nost izmeđ u koji je funkcija od L s s i L koji je funkcija od .l Za s − stanje ( l ) imamo singlete jer je unutrašnje magnetsko polje zbog orbitalnog kretanja nula pa sudva spinska stanja stopljena u jedno. To se može lahko narušiti vanjskim magnetskim poljem.U prisustvuvanjskog magnetskog polja spin elektrona je prostorno kvantiziran tako da je komponenta spinskog

ugaonog momenta u pravcu magnetskog polja po analogiji određ ena spinskim magnetskim brojem , tj.

= 0

L sm s

L m s s z = h .

Ponovo, formalno, m može poprimiti s 2 1 s + − nu vrijednost ( po analogiji sa koje može poprimiti

nu vrijednost ), ali kako je

l m

2 1l + − s =1

2 to postoje samo dvije moguće vrijednosti za , tj.m s ±

1

2 , ili

L s z = ±1

2

h .

Kao i kod orbitalnog kretanja i kod spina magnetski moment leži u istom pravcu sa spinskim ugaonimmomentom, ali je orijentiran u suprotnom smjeru. I kvantna i klasič na teorija kao i eksperimentalni podaci iz Zemanovih spektara pokazuju da je žiromagnetski odnos vezan za spin dat izrazom

µ s

s e L

e

m= ⋅2 1001159615

2( , ) ,

gdje su e i električ ni naboj i masa elektrona, respektivno.meSpin elektrona ima žiromagnetski odnos koji je približno dva puta veći nego za elektron u orbiti, što znač ida je za dati ugaoni moment spinski efekat elektrona dvostruko efikasniji u proizvodnji magnetskih efekataod nazovimo ga orbitalnog efekta.

Ako odnosµ s

s

L zaokružimo na dva tada je spinski magnetski moment elektrona povezan sa spinskim

ugaonim momentom relacijom µ se

se

m L

→ →= ,a moguće komponente od µ s duž bilo koje ose, recimo

z − ose, su ogranič ene na

µ µ se

B z

e

m= ± = ±

h

2 ,

što je ustvari vrijednost Borovog magnetona. Na slici ćemo pretpostaviti izgled orbitalnog ugaonog momenta i magnetskog orbitalnog momenta kao i spinskog ugaonog momenta i spinskog magnetskog momenta elektrona.

108


19/20


z

B→

L→

L s→

lectron

µ s

→

proton

µ l

→

B→

B→

L s s s = + =( )13

2h h

L s z =1

2

h

µ se

se

m L

→ →

= µ µ s B z = +

µ se

se

m L

→ →

=

µ µ s z = − B

L s z = −1

2 h

L s s s = + =( )13

2h h

Uvođ enjem spina s I spinskog magnetskog kvantnog broja m predstavit ćemo tabelarno kvantne brojeve.

s

ime kvantnogbroja

simbol konstantakretanja

dozvoljenevrijednosti

broj stanja

glavni n energija ,...4,3,2,1 ∞ orbitalni l

intenzitet ugaonogmomenta ( )1,...,3,2,1,0 −n n

magnetskil mm ≡ − z komponenta

ugaonogmomenta

( )( ) l l l l

,1,...,1,0

,1,...,1,

−

−−− 12 +l

spin s intenzitet ugaonogmomenta spina

21 1

spinski magnetski sm − z komponenta

ugaonogmomentaspina 2

1,

2

1+−

2


109


20/20


Spin* , kako ima samo jednu vrijednost, i nije pravi kvantni broj u stvari postoje samo č etiri kvantna broja( , , i ), a ne pet kako bi tabela vizuelno mogla da zavara.n l l m m sUvođ enje spinskog kvantnog broja ( ) omogućava precizno predviđ anje pojavljivanja udvojenih

spektralnih linija. To znač i da za svaku kombinaciju , i imamo dva stanja koja odgovaraju

mogućim vrijednostima m .

m s

n l l m

s

10.3.2 Paulijev princip isključ enja

Paulijev princip isključ enja glasi : dva elektrona u atomu ne mogu imati ista sva č etiri kvantna broja .Na osnovu toga slijedi :- broj elektrona sa ista sva č etiri kvantna broja n , l , i m je ; jedan elektron,l m s

- broj elektrona sa ista , l i kvantna broja je ; dva elektrona ( n l m m s = + −1

2

1

2, ),

- broj elektrona sa istim i kvantnim brojevima je ;n l 2 2 1( )l + ( l ml ±±±= ,...,2,1,0 i za svamo jel m

m s = + −1

2

1

2, ) i

- broj elektrona sa kvantnim brojem je ;n

[ ]2 2 1 2 1 3 5 2 1 21 2 1

2

20

12( ) ... ( )

( )l n

n nn

l

n

+ = + + + + − = + −

==

−

∑ .

Ovaj princip omogućava da se tač no odredi broj elektrona u atomu na raznim nivoima i u raznim stanjima, tj. da se odredi konfiguracija elektrona u atomu

10.3.3 Princip rada laseraKada se atom pobudi u stanje energije , on, većinom spontano, prelazi u stanje niže energije uz

emisiju fotona frekvencije

E m E n

ν = − E E

hm n .

To je spontana emisija fotona na slici pod b). svjetlost koja ovako nastaje nije koherentna, to zna či daelektromagnetski talasi pojedinih emisija nemaju istu fazu.Osim spontano, emisija svjetlosti može se desiti i uz pomoć vanjskog zra čenja iste frekvencije : podutjecajem vanjskog fotona dolazi do stimulirane ( prisilne ) emisije, na slici pod c). Takonastali elektromagnetski talasi imaju istu fazu, polarizaciju i isti smjer prostiranja, kažemo da sukoherentni s upadnim talasima.Laser radi na principu stimulirane emisije. To kaže i sama riječ laser koja je skra čenica za ″LightAmplification by Stimulated Emision of R adiation″ (poja čavanje svjetlosti stimuliranom emisijomzračenja ).

E 2 E 2 E 2 h E E ν = −2 1 hν

h E E ν = −2 1 hν

h E E ν = −2 1

E 1 E 1 E 1 a) apsorpcija b) spontana emisija c) stimulirana emisija Pri apsolutnoj nuli svi se atomi nalaze u osnovnom stanju ( elektroni u atomu u najnižem energetskomstanju ). Kada je temperatura supstance različita od nule, neki od atoma nalaze se u pobuđenim stanjima,to više što je tempertura veća. Broj atoma u višim energetskim stanjima manji je nego u nižim, tj. gustoćanaseljenosti viših energetskih nivoa je manja. Radi toga će većina upadnih fotona biti apsorbirana od

Documents

Fizika Pred.6m