Embed Size (px)
Citation preview
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Eksperimentalna mjerenja kristalne strukture« Fizika čvrstog stanja »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu
predavanja 2014/2015 (zadnja inačica 21. listopada 2014.)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pregled predavanja
Direktna mjerenja
Difrakcija
Kvantno-mehanički opis raspršenja
Ostale vrste mjerenja
Foto galerija
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Eksperimentalno određivanje kristalne strukture
Direktna mjerenja• Elektronski mikroskop• Ostale vrste mikroskopa• STM (Scanning tunneling microscope)
Difrakcija• Rendgenska difrakcija• Elektronska difrakcija• Neutronska difrakcija
Ostale tehnike (EXAFS,…)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Direktna mjerenja
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Direktna mjerenja
Elektronskimikroskop
Atom silicija nagrafenskoj površini.
Skenirajući tunelirajući mikroskop
Površina bakra, rekonstruirana površina zlata (100) i površina nikla
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Skenirajući tunelirajući mikroskop (STM)
Između igle (Tip) i uzorka postojipad napona te teče struja tume-liranja. Iznos struje ovisi o polo-žaju igle: igla iznad atoma ili upodručju između atoma.
Igla prelazi preko cijele povr-šine (”skenira površinu”) te izzabilježenih podataka (položajigle naspram struje/napona) ra-čunalno rekonstruira strukturapovršine.
Pomoću ovog instrumenta semjeri lokalna gustoća stanjauzorka na Fermijevom novou.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Difrakcija
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Slike difrakcije
Rendgenska difrakcija
na Nd2CuO4 kristalu.
Elektronska difrakcijana kvazikristalud-Al-Co-Ni
Neutronska difrakcijana supravodiču s
magnetskim virovima.T=4.1K (gore), 4.8K (dolje)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kvantno-mehanički opisraspršenja
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Elastično raspršenje u QM - ukratko
Diferencijalni udarni presjek:
dσdΩ
=Broj čestica koje se raspršuju u prostorni kut dΩ u jedinici vremena
Broj ulaznih čestica po jediničnoj površini u jedinici vremena
=r2 |Jrasp||Julaz|
= |f(k′, k)|2
gdje je (1. Bornova aproksimacija):
f(k′, k) = − 1
4π
2mℏ2
∫dr eır·(k−k′) V(r)
Fourijerovtransformatpotencijala!
a V(r) potencijal međudjelovanja.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Međudjelovanje EM valova i tvari
Energija međudjelovanja elektromagnetskih valova i tvari:
Hint = −q∫
dr Jp · A︸ ︷︷ ︸doprinosi tek u 2. redu r.s.
+q2
2m
∫dr ρ(r) A2
gdje je električno polje:
E = −∂A∂t
Diferencijalni udarni presjek u 1. redu računa smetnje:
dσdΩ
= r20 P(q) |f(EM)(q)|2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Difrakcija EM valova na gustoći naboja
gdje su:
r0 =1
4πϵ0
e2
mec2= 2.81 10−15 m (klasični radijus elektrona)
P(q) =1
2
(1 + cos2 2θ
)(za nepolarizirani EM val)
f(EM)(q) =
∫dr eır·q ρ(r)
(Fourijerovtransformatgustoće čestica!)
|q| = |k′ − k| = 2|k| sin θ
Mjerenje udarnog presijeka je mjerenje Fourijerovog transformata gustoće čestica: f(EM) (q).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raspršenje na rešetci
U slučaju raspršenja čestica i raspršenja EM valova međudjelovanjeje periodična funkcija prostora:
raspršenje čestica
V(r) =∑Rn
∑baza
Vb (r− Rn − rb)
Fourierov transformat:
f(k′, k) = S(q) A(q)
gdje je:
A(q) ∼∫
dr eır·q∑baza
Vb (r− rb)
raspršenje EM valova
ρ(r) =∑Rn
∑baza
ρb (r− Rn − rb)
Fourierov transformat:
f(EM)(q) = S(q) A(EM)
(q)
gdje je:
A(EM)(q) =
∫dr eır·q
∑baza
ρb (r− rb)
U Fourijerovom transforarmatu postoje dva faktora: jednan koji dolazi od raspršenja na jednom jedinom centru, atomski faktor A(q), te drugi koji dolazi od periodičnosti rešetke, strukturni faktor S(q).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raspršenje na rešetci - strukturni faktor
S(q) =∑Rn
eıRn ·q =
N ako je q = Gm0 ostalo
= N∑Gm
δqGm=
(2π)3
Vc
∑Gm
δ(q− Gm)
je multiplikacijski faktor koji za obje vrste raspršenja isti.
q = k− k′ = Gm (Laueov uvjet difrakcije)
Napomena: |k| = |k′| (elastično raspršenje)
S(q) je karakteristika Bravaisove rešetke. Iz S(q) može se rekonstruirati Bravaisova rešetka. Iz A(q) ili A(EM)(q) mogu se rekonstruirati vektori baze.
U kristalima atomski faktor nije raspršenje na jednom atomu nego raspršenje na primitivnoj ćeliji,općenito, grupi atoma.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Braggov uvjet difrakcije
Vektor okomit na ravnine zadane s Millerovim indeksima (hkl):
Ghkl = n (hb1 + kb2 + lb3)
Udaljenost između ravnina je:
dhkl = n2π
|Ghkl|
Uvjet difrakcije postaje:
2dhkl sin θ = mλ (Braggov uvjet difrakcije)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Braggov uvjet difrakcije
Razlika putova dvaju zraka, δ, mora biti jednaka višekratniku valneduljine:
δ = 2 d sin θ = mλ gdje je m=1,2,3,…
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Atomski (ćelijski) faktor
A(Gm) ∼∫
dr eır·Gm∑baza
Vb(r− rb)
=∑baza
Ab(Gm)eırb·Gm
gdje je:Ab(Gm) =
∫dr eır·GmVb(r)
amplituda raspršenja na pojedinačnom atomu za valne vektore Gm.Ako je rešetka građena od istih atoma:
A(Gm) ∼ Ab(Gm)︸ ︷︷ ︸atomski f.
·
(∑baza
eırb·Gm
)︸ ︷︷ ︸strukturni faktor
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Atomski (ćelijski) faktor
A(Gm) ∼∑baza
eırb·Gm ⇒
Rešetka dopušteno zabranjenoSC svi h, k, l nemaBCC h+k+l=paran h+k+l=neparanFCC svi h,k,l parni ili neparni h,k,l miješano parni neparni
dijamant svi h,k,l parni ili neparni te h+k+l=4n ostaloheksagonalna l paran, h+2k = 3n h+2k=3n za l neparan
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Skica eksperimenta difrakcije
Rotiranjem monokristala postiže sezadovoljenje Braggovog uvjeta
ili se koristi polikristalinični uzorak(veliki broj malih kristalića zarotiranih usvim smjerovima)
NdNiO3:ortorombska kristalnastruktura, prostornagrupa Pbnm.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Što je bolje: fotoni, elektroni ili neutroni?
Valna dužina valova λ ∼ 1 ÅFotoni
Efot = ℏω = ℏck =hcλ
∼ 104eV
⇒ Pogodni za elastično raspršenje.Elektroni
Eel =ℏ2k2
2me=
h2
2meλ2∼ 100eV
⇒ Pogodni za elastično raspršenje.Neutroni
En =ℏ2k2
2mn=
h2
2meλ2∼ 0.1eV ∼ 400 K
⇒ Pogodni i za elastično i neelastično raspršenje.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Što je bolje: fotoni, elektroni ili neutroni?
Dubina prodiranja: Elektroni: 10−8 m Rendgenske zrake: 10−5 m Neutroni: 10−4 m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raspršenje na realnim kristalima
U realnim kristalima atomi titraju oko čvorišta rešetke. ⇒Udarni presjek treba usrednjiti preko pomaknutih atoma (statističkogansambla).
dσdΩ
= ⟨|f(k′, k)|2⟩
∼ ⟨|∑n
eıqRn |2⟩ =∑n
∑m
⟨eıq(Rn−Rm)⟩
=∑n,m
eıq(R(0)n −R(0)m )⟨eıq(un−um)⟩
=∑n,m
eıq(R(0)n −R(0)m )
1 + ıq · ⟨(un − um)⟩︸ ︷︷ ︸=0
−1
2
∑i,j
qiqj⟨(u(i)n − u(i)m )(u(j)n − u(j)m )⟩ + . . .
=
∑n,m
eıq(R(0)n −R(0)m )e−q2 Wnm (q,T)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raspršenje na realnim kristalima (materijalima)
KakoWnm(q,T) ovisi o udaljenosti |Rn − Rm|? Ako
Wnm (q, T) → konst.(< ∞) za |Rn − Rm| → ∞
U sustavu postoji dugodosežno uređenje.Intenzitet linija (Braggovih vrhova) reduciran i ovisan otemperaturi.
AkoWnm (q, T) → ∞ za |Rn − Rm| → ∞
Dugodosežno je uređenje razbijeno velikim fluktuacijamapoložaja atoma. To je situacija koja postoji u tekućini ilineuređenom sustavu.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća čestica i korelacijska funkcija
Udarni presjek proporcionalan je
dσdΩ
= ⟨|f(k′, k)|2⟩ ∼ ⟨|∑neıqRn |2⟩ =
∑n
∑m
⟨eıq(Rn−Rm)⟩
=
∫drdr′ eıq(r−r′) ⟨ρ(r)ρ(r′)⟩
gdje je:ρ(r) =
∑n
δ(r− Rn)
gustoća čestica (u kristalu gustoća Bravaisovih čvorišta).Kada je udaljenost među točkama r i r′ jako velika i ako nemakorelacija među gustoćama:
⟨ρ(r)ρ(r′)⟩ −→ ⟨ρ(r)⟩ ⟨ρ(r′)⟩ za |r− r′| → ∞
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća čestica i korelacijska funkcija
Općenito, moguće je zapisati:
⟨ρ(r)ρ(r′)⟩ = ρ20 + g(r− r′,T)
gdje su:
ρ0 = ⟨ρ(r)⟩g(r− r′,T) = ⟨ρ(r)ρ(r′)⟩ − ρ20
Funkcija g(r− r′,T) je korelacijska funkcija gustoća-gustoća koja usebi sadrži informacije o dugodosežnom/kratkodosežnom uređenjučestica.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća čestica i korelacijska funkcija
Udarni presjek
dσdΩ
∼ (2π)3V ρ20 δ(q) + V∫
dR eıqR g(R,T)
Prostorno neovisni dio korelacijske funkcije daje doprinos samo q=0 članu (prolaznoj zraci). Sva prostorna struktura materijala sadržana je u korelacijskoj funkciji.
Radijalna korelacijska funkcija i njen Fourierov transformat za tekući Ar na 85K.(posuđeno iz rada Yarnell i ostali, Phys.Rev. A7 (1973) 2130.)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Gustoća čestica i korelacijska funkcija
Ispod temperature uređivanja u kristal, široki vrhovi prerastaju u oštreBraggove vrhove, tj. δ-funkcije. Ista stvar se događa i u korelacijskojfunkciji koja postaje niz δ-funkcija koje odražavaju međusobnepoložaje čvorišta rešetke.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Ostale vrste mjerenja
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Apsorpcija rendgenskih zraka
EXAFS ≡ Extended X-ray absorption fine structure
Iz dubokih atomskih orbitala 1s (K-linija) i2s/2p (L-linija) izbijaju se elektronipomoću rendgenskih zraka.
Izlazni elektron kao sferni val interferira svalovima koji su se raspršili na susjednimatomima.
Mjeri se koeficijent apsorpcije:
µ(E) = log(I0I
) Apsorpcija/amplituda procesa ovisi o
energiji elektrona: interferencija može bitikonstruktivna ili destruktivna ovisno oudaljenosti atoma.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Apsorpcija rendgenskih zraka
Oscilacije u koeficijentuapsorpcije (plava linija)oko koeficijenta apsorp-cije slobodnog atoma(crvena linija) pripisujuse interferenciji izlaznog iraspršenog vala.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Foto galerija
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Foto galerija
Ernst Ruska (1906-88)Njemački fizičar,
NN iz fizike 1986. za dizajnprvog elektronskog
mikroskopa.
Gerd Binnig (1947-)Njemački fizičar
Heinrich Rohrer (1933-2013)Švicarski fizičar
NN iz fizike 1986. za dizajn prvog skanirajućeg tunelirajućegmikroskopa.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Foto galerija
Max von Laue (1879-1960)Njemački fizičar,
NN iz fizike 1914.za otkriće difrakcijerendgenskih zraka na
kristalima.
Sir William Henry Bragg(1862-1942)
Britanski fizičar
William Lawrence Bragg(1890-1971)
Australsko-britanski fizičar
NN iz fizike 1915. za analizu kristalne strukture pomoćurendgenskih zraka.
