Embed Size (px)
Citation preview
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Transportna svojstva« Fizika čvrstog stanja »
Ivo Batistić
Fizički odsjek, PMFSveučilište u Zagrebu
predavanja 2014/2015 (zadnja inačica 21. srpnja 2016.)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pregled predavanja
Uvod
Dva povezana sustava u međusobnoj neravnoteži
Onsagerove relacije
Kvaziklasični pristup
Boltzmannova transportna jednadžba
Aproksimacija relaksacijskog vremena
Transportna svojstva poluvodiča
Dodatak - Raspršivanje na nečistoćama
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Neravnotežno stanje
Do transportnih pojava dolazi u prostorno nehomogenim sustavima:tamo gdje postoji temperaturni gradijent ili/i prostorno nehomogenagustoća čestica ili/i neko vanjsko polje.
Prostorno nehomogeni sustavi su u neravnotežnom stanju. Općenito neravnotežna termodinamika je vrlo složeni problem zakoji ne postoji recept kako što izračunati.(osim rješavanja Schrödingerove jednadžbe)
U mnogim slučajevima, međutim, poremećaji izazvani vanjskimpoljima su samo mala smetnja ravnotežnom stanju pa se mogutretirati računom smetnje (teorija linearnog odziva).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prostorno nehomogeni sustavi
Nehomogeni sustav se može promatrati kao niz malih povezanihtermodinamičkih sustava koji su svi u lokalnoj termodinamičkojravnoteži.
Točka prostora nije matematička - beskonačna mala, negodovoljno velikih dimenzija da se može smatrati malimtermodinamičkim sustavom.
Točke prostora su međusobno u globalnom neravnotežnomstanju jer imaju različite temperature ili/i kemijske potencijale ili/ikoncentracije čestica i sl.
S obzirom na neravnotežno stanje, između njih postoji prijenos iličestica ili energije ili neke druge fizikalne veličine.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dva povezana sustava u međusobnojneravnoteži
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prostorno nehomogeni sustavi - jednostavni slučaj
Promotrimo dva sustava (označena 1 i 2) koji su kontaktu pa mogu razmjenjivati energiju i čestice. ali se ne nalaze na istoj temperaturi, ni imaju isti kemijskipotencijal, a i potencijal električnog polja je različit.
Tϕµ
1
T+∆Tϕ+∆ϕµ+∆µ
2
Svaki sustav je lokalno u ravnoteži, ali međusobno su uneravnotežnom stanju. Između sustava doći će do razmjene energijei čestica.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prostorno nehomogeni sustavi - jednostavni slučaj
Tϕµ
1
T+∆Tϕ+∆ϕµ+∆µ
2
U jedinici vremena ∆t neka je: promjena energije 1. sustava: ∆U1 ≡ ∆U = −∆U2. te promjena broja čestica: ∆n1 ≡ ∆n = −∆n2. Čestice imaju naboj q.
Za svaki sustav posebno moguće je napisati osnovnu relacijutermodinamike:
Promjena entropije 1. sustava: ∆S1 =∆UT
−µ(T) + qϕ
T∆n
Promjena entropije 2. sustava: ∆S2 = −∆U
T+ ∆T+
µ(T+ ∆T) + q (ϕ + ∆ϕ)
T+ ∆T∆n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prostorno nehomogeni sustavi - jednostavni slučaj
Ukupna promjena entropije u jedinici vremena:
∆S∆t
≈ ∆U∆t
1
T
[∆TT
]+ q
∆n∆t
1
T
[∆ϕ+∆
µ
q
]J1 = ∆U
∆t Toplinska strujaW
J2 = q ∆n∆t Struja naboja I
Generalizirane sile:
X1 =[∆TT]
za toplinsku struju
X2 =[∆ϕ+∆µ
q
]za električnu struju
Općenito vrijedi da je porast entropije u jedinici vremena:
∆S∆t
=1
T∑i
JiXi
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Prostorno nehomogeni sustavi - jednostavni slučaj
Ako je X2 = 0, postoji samo struja topline. Prirast entropije ujedinici vremena:
∆S∆t
=W∆TT2
Ako je ∆T = 0, postoji samo električna struja koja stvaraJouleovu toplinu:
∆S∆t
=I∆ϕ
T(pretpostavlja se da je µ(T) funkcija temperature!)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Onsagerove relacije
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Onsagerove relacije
Za sustave u blagom neravnotežnom stanju može se pretpostavitilinearna veza između struja i generaliziranih sila koje su ih izazvale(teorija linearnog odgovora):
Ji =∑j
Lij Xj
pa je:
∆S∆t
=1
T∑i,j
LijXiXj (> 0) također
Matrica linearnog odgovora koja povezuje generalizirane sile i strujeje simetrična:
Lij = Lji L. Onsager, Phys. Rev. 37 (1931) 405L. Onsager, Phys. Rev. 38 (1931) 2265
i nije negativna. Entropija se u vremenu povećava.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Nobelova nagrada 1968.
Lars Onsager - Nobelova nagrada1968. za otkriće «Onsagerovih rela-cija» koje su od fundamentalne važ-nosti u termodinamici i fizici ireverzibil-nih procesa.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Poopćenje na nehomogeni sustav
Izvedene relacije mogu se poopćiti na nehomogene sustave izloženevanjskom polju ili/i u kojima postoji temperaturni gradijent.
Svaka točka prostora smatra se malim termodinamičkimsustavom koji je u lokalnoj ravnoteži.
Dimenzija ”točaka” treba biti puno veća od srednjeg slobodnogputa čestica, ℓ. To je uvjet postojanja lokalnog ravnotežnogstanja.
Različite (susjedne) prostorne točke su u međusobnojneravnoteži, jer u njima može biti različita koncentracija čestica,kemijski potencijali, temperature i sl.
Prostorne točke mogu razmjenjivati energiju i čestice.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Poopćenje na nehomogeni sustav
Za opis razmjene energije i čestica (naboja) između različitihsusjednih dijelova prostora uvodimo gustoće struje:
jn(r) = 2
∫dp
(2πℏ)3v · 1 · f(r, p) (∼ gustoća čestica× v)
j(r) = 2
∫dp
(2πℏ)3v · q · f(r, p) (∼ gustoća naboja× v)
jU(r) = 2
∫dp
(2πℏ)3v · e · f(r, p) (∼ gustoća energije× v)
gdje je f(r, p) jednočestična funkcija raspodjele.
Gustoće struje neke veličine su dane gustoćom te veličinepomnoženom s brzinom gibanja čestica u toj točci prostora.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Poopćenje na nehomogeni sustav
Ako u sustavu postoji električno polje tada je gustoća električne struje
j = σ E = −σ ∇ϕ
gdje je σ električna vodljivost (općenito je tenzor). Ako postojitemperaturni gradijent tada postoji i gustoća toplinske struje:
jQ = −κ ∇T
gdje je κ toplinska vodljivost. Ako postoji nehomogena raspodjelačestica, ona će dovesti do strujanja čestica, što se može opisatigustoćom struje:
jn = −D ∇n
gdje je D koeficijent difuzije.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Poopćenje na nehomogeni sustav
Između struje topline i struje entropije postoji veza koja dolazi iztermodinamike:
jQ = T jS
Također, postoji veza između struje čestica i električne struje. Akoelektričnu struju vode elektroni, tada je:
j = (−e)jn
Iz termodinamičke relacije:
TdS = dU− µdN
dobiva se i treća veza:T jS = jU − µ jn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Poopćenje na nehomogeni sustavZa gustoću entropije, čestica i unutrašnju energiju uvodimo oznake:
s =SV
n =NV
u =UV
Vremenske promjene entropije, broja čestica i unutrašnje energijetakođer su povezane termodinamičkom relacijom:
T∂s∂t
=∂u∂t
− µ∂n∂t
te vrijede relacije balansa:
∂n∂t
+ ∇ · jn = 0 (čestica)
∂u∂t
+ ∇ · jU = E · j (energije)
∂s∂t
+ ∇ · jS = s (entropije)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Poopćenje na nehomogeni sustav
Za produkciju entropije u jedinici volumena:
s =1
T
(∂u∂t
− µ∂n∂t
)+ ∇
(jQT
)= . . .
=1
T
(E− ∇µ
q
)· j− ∇T
T· jQ
(q = −e!)
=1
T
(Xe · j+ XQ · jQ
)gdje su poopćene sile:
Xe = E− ∇µ
q= −∇
(ϕ+
µ
q
)XQ = −∇T
T
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Onsagerove relacije - ponovoIzmeđu poopćenih sila i gustoća struja postoji linearna veza:
j =∑j
LijXj
Elementi tenzora Lij nisu nezavisni, nego postoji simetrija
Lij = Lji
Tako npr. za električnu i toplinsku struju:
j = L11
(E− ∇µ
q
)+ L12
(−∇T
T
)
jQ = L12
(E− ∇µ
q
)+ L22
(−∇T
T
)Napomena:Za slučaj aksijalnog vektora kao što je magnetsko polje, vrijedi:
Lij(B) = Lji(−B)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kvaziklasični pristup
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kvaziklasični pristup
Za izračunavanje Onsagerovih transportnih koeficijenata trebamoriješiti jednadžbe gibanja (Schrödingerovu jednadžbu) ili se poslužitiračunom smetnje (teorija linearnog odziva).
Mi ćemo se poslužiti kvaziklasičnom aproksimacijom u kojojkvantne čestice imaju i položaj i impuls.
U kvaziklasičnom opisu čestice su valni paketi.
Određeni uvjeti moraju biti zadovoljeni da bi aproksimacija bila dobra.Valne pakete konstruiramo iz kvantnih stanja koja su samo približnovlastita stanja hamiltonijana. Naime zbog raspršenja na nečistoćama,i međusobnog sudaranja (međudjelovanja) čestica, kvantna stanja odkojih polazimo imaju konačno vrijeme života.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Uvjeti kvaziklasičnog pristupa
Vremenska dinamika valnog paketa ograničena je nasumiceraspoređenim nepravilnostima rešetke i sudarima s drugimčesticama.
Postoji prosječni vremenski interval između dva sudara (vrijemeživota), τ , odnosno srednji slobodni put, ℓ, koji valni paket prođeprije nego što doživi sudar ili raspršenje.
Za kvaziklasični opis potrebno je da je neodređenost valnogpaketa:
∆r ≪ ℓ
Impuls valnog paketa je rada veličine recipročne konstanterešetke, pa je:
p ∼ ℏa≫ ∆p ∼ ℏ
∆r≫ ℏ
ℓ⇒ ℓ ≫ a
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Uvjeti kvaziklasičnog pristupa
Budući da transportu sudjeluju čestice (elektroni) u uskom pojasuoko Fermijeve razine, neodređenost u energiji je rada veličine:
∆e ∼ kBT
Vremensko gušenje zbog sudaranja i međudjelovanja treba bitipuno manje od neodređenosti u energiji:
kBT ∼ ∆e ≫ ℏτ
Na dovoljno niskim temperaturama ovi uvjeti neće bitizadovoljeni.
Uvjeti za kvaziklasični pristup:
ℓ ≫ a τ ≫ ℏkBT
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Boltzmannova transportna jednadžba
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Liouvilleova jednadžba
Općenito za statistički opis sustava služimo se konceptom ansamblai funkcijom raspodjele članova ansambla u konfiguracijskom(faznom) prostoru dimenzije 6N, gdje je N broj čestica sustava.Pomoću funkcije raspodjele moguće je izračunati srednje vrijednostifizikalnih veličina.
Funkcija raspodjele ansambla zadovoljava Liouvilleovu jednadžbakoja opisuje gibanje članova ansambla u konfiguracijskom prostoru.
Liouvilleovu jednadžba je jednadžba balansa (kontinuiteta) kojaodražava činjenicu da je broj članova ansambla konstantan uvremenu.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Liouvilleova jednadžba
Neka je:fA(r1, p1, r2, p2 . . . rN, pN, t)
funkcija raspodjele ansambla u konfiguracijskom prostoru.
Iz funkcije raspodjele ansambla može se izvesti jednočestičnafunkcija raspodjele f(r, p, t):
f(r, p, t) =⟨∑
i
δ(r− ri)δ(p− pi)⟩
= N∫ N∏
i=1
dridpi δ(r− r1) δ(p− p1) fA (r1, p1, r2, p2 . . . rN, pN, t)
a iz Liouvilleove jednadžbe izlazi jednadžba gibanja jednočestičnefunkcije raspodjele.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Boltzmannova transportna jednadžba (BTE)
Ako u sustavu nema sudara i međudjelovanja, dobivena jednadžbagibanja dana je gibanjem nemeđudjelujućih čestica:
dfdt
=
(∂f∂t
)+ ˙r · ∂f
∂r+ ˙p · ∂f
∂p
=
(∂f∂t
)+ v · ∂f
∂r+ F · ∂f
∂p= 0 (BTE)
gdje je F vanjska sila kojoj su čestice izložene. Jednadžba se možedobiti i direktno, pretpostavljajući da je:
f(t, r, p) = f(t+∆t, r+ v∆t, p+ F∆t)
jer se članovi ansambla u faznom prostoru premještaju premaHamiltonovim jednadžbama gibanja.Napomena: Pretpostavilo se je da unutar intervala ∆t se može zanemaritiprostorna-vremenska ovisnost sile.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Boltzmannova transportna jednadžba (BTE)
Raspršenja čestica na nečistoćama (nepravilnostima) i međusobnesudare čestica nije moguće jednostavno opisati Hamiltonovimjednadžbama gibanja za vremenske intervale unutar kojih se događaveliki broj sudara.
Statistički gledajući, sudari se događaju povremeno i nasumicemijenjajući putanje čestica (i putanje članova ansambla) odnosnomijenjajući funkciju raspodjele.
Ovakvi događaji nisu obuhvaćeni izvedenom jednadžbom gibanja zajednočestičnu funkciju raspodjele.
Točan izvod iz Liouvilleove jednadžbe vodi na sustav povezanihjednadžbi gibanja za jednočestične i višečestične funkcije raspodjele(Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon ili BBGKY hijerarhija).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Boltzmannova transportna jednadžba (BTE)
Pojednostavljeni pristup (molekularni kaos). Jednadžba gibanja jednočestične funkcije raspodjele ima dodatničlan koji opisuje sudare:(
∂f∂t
)+ v · ∂f
∂r+ F · ∂f
∂p=
(∂f∂t
)sudari
Među sudarima nema korelacija. Može ih se statistički tretirati. Sudari se događaju lokalno. Sudari se događaju na puno kraćim vremenskim skalama(trenutno!) od vremenskih intervala kao ja nas zanimaju.
Za proračun vjerojatnosti nekog sudara možemo rabiti kvantnumehaniku.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Boltzmannova transportna jednadžba
Promotrimo različite doprinose BTE: Eksplicitna vremenska ovisnost funkcije raspodjele postojisamo ako se sustav nije u stacionarnom stanju.Ako je stanje sustava stacionarno tada je:(
∂f∂t
)︸ ︷︷ ︸
=0
+v · ∂f∂r
+ F · ∂f∂p
=
(∂f∂t
)sudari
Postojanje vanjske sile dovodi do ubrzanja svih čestica:(∂f∂t
)+ v · ∂f
∂r+ F · ∂f
∂p︸ ︷︷ ︸=0
=
(∂f∂t
)sudari
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Boltzmannova transportna jednadžba
Vremenska evolucija funkcije raspodjele elektrona u impulsnomprostoru:
Funkcija raspodjele za elektrone jeFermijeva kugla. Pod djelovanjemkonstantnog električnog polja centarkugle se linearno translatira u vre-menu.
f(r, p− Ft) = θ(pF − |p− Ft|)
Ukoliko je sustav prostorno nehomogen, funkcija raspodjele jerazličita u različitim dijelovima prostora. Gibanje čestica, dovestće do promjene funkcije raspodjele što je opisano difuznimčlanom: (
∂f∂t
)+ v · ∂f
∂r︸ ︷︷ ︸=0
+F · ∂f∂p
=
(∂f∂t
)sudari
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Boltzmannova transportna jednadžba
U stacionarnom stanju, bez vanjskih polja, u sustavu u kojemnema struja funkcija raspodjele ne ovisi položaju niti o impulsu.Jedina ovisnost je ona o energiji. U tom je slučaju:(
∂f∂t
)+ v · ∂f
∂r+ F · ∂f
∂p=
(∂f∂t
)sudari︸ ︷︷ ︸
=0
Sudari/raspršenja ne mijenjaju funkciju raspodjele iako se onicijelo vrijeme događaju. Broj prijelaza iz nekog stanja |a⟩ u stanje|b⟩ kompenziran je s istim brojem prijelaza iz stanja |b⟩ u |a⟩.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Boltzmannova transportna jednadžba
Do neravnoteže u broju prijelaza dolazi samo ako se sustav izloživanjskom polju. Tada je pomicanje funkcije raspodjele u impulsnomprostoru kompenziranom prijelazima izazvanimsudarima/raspršenjima.
Funkcija raspodjele pomaknuta je iz rav-noteže, s centrom proporcionalnim sred-njoj brzini čestica. Daljnje pomicanje uimpulsnom prostoru je kompenzirano po-većanim raspršenjem čestica na drugustranu Fermijeve površine. Ova rasprše-nja potpuno poništavaju gibanje funkcijeraspodjele zbog prisustva vanjske sile.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Boltzmannova transportna jednadžba
Vjerojatnost sudara u jedinici vremena:
wi→f =2π
ℏ|⟨f|Hint|i⟩|2δ(ef − ei ± ℏω) (Fermijevo zlatno pravilo)
wi→f = wf→i (Vrijedi simetrija za vjerojatnost sudara)
Ako je čestica doživjela sudar:
|i⟩ = (r, p) −→ (r, p′) = |f⟩ funkcija raspodjele f(r, p) se smanjujea funkcija raspodjele f(r, p′) se povećava
Prirast funkcije raspodjele u stanju (r, p):(∂f∂t
)sudari
(r, p) =∑p′
wp↔p′f(r, p′)− f(r, p)
Sudari se događaju unutar točke prostora r koja je malitermodinamički sustav veći od srednjeg slobodnog puta ℓ.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Boltzmannova transportna jednadžba
Radi jednostavnosti označimo: f(r, p) = fp.
Prirast funkcije raspodjele ako su čestice fermioni:(∂f∂t
)sudari
=∑p′
wp↔p′fp′(1− fp)− fp(1− fp′)
uzima u obzir da čestica se ne može raspršiti u stanje ako je ono većpopunjeno drugom česticom.
Prirast funkcije raspodjele ako su čestice bozoni:(∂f∂t
)sudari
=∑p′
wp↔p′fp′(1 + fp)− fp(1 + fp′)
uzima u obzir da bozoni imaju tendenciju da budu u istom kvantnomstanju.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Boltzmannova transportna jednadžba
Moguće su različite vrste prijelaza i sudara. Sudar dvaju čestica. Proces emisije ili apsorpcije nekog bozonskog pobuđenja(fonona, fotona, …)
Elastični sudari na nepravilnostima rešetke Procesi koji ne čuvaju broj čestica (uhvat, ionizacija, …)
Struktura sudarnog člana u svim slučajevima ima sličnu (i složeniju)strukturu gore navedenim primjerima.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aproksimacija relaksacijskog vremena
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aproksimacija relaksacijskog vremena
U mnogim situacijama sudarni se član može aproksimirati:(∂f∂t
)sudari
= − f(r, p)− f0τ (r, p)
što je poznato kao aproksimacija relaksacijskog vremena.f0 je ravnotežna funkcija raspodjele.
Veličina τ se naziva relaksacijsko vrijeme, i ona može ovisiti oimpulsu (energiji) i/ili položaju. Međutim ta se ovisnost vrlo se čestozanemaruje.
Boltzmannova transportna jednadžba (BTE) zapisana u aproksimacijirelaksacijskog vremena:(
∂f∂t
)+ v · ∂f
∂r+ F · ∂f
∂p= − f− f0
τ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aproksimacija relaksacijskog vremena
Zanemarimo prostornu i k-ovisnost (energijsku) ovisnostrelaksacijskog vremena.
Neka u sustavu nema vanjskih sila Neka je funkcija raspodjele u trenutku t = 0 pomaknuta odravnotežne vrijednosti
Tada je rješenje BTE u aproksimaciji relaksacijskog vremena:
f(r, p, t) = f0 +[f(r, p, t = 0)− f0
]e−
tτ
Funkcija raspodjele pomaknuta iz ravnotežne vrijednosti se relaksirau ravnotežnu vrijednost s vremenom relaksacije τ . Relaksacija jedana sa sudarnim članom u BTE.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aproksimacija relaksacijskog vremena
Relaksacijsko je vrijeme povezano je s procesima raspršenja. Npr. uslučaju raspršenja na nečistoćama:
1
τ=
∫dΩ′
4πw(θ) (1− cos θ) (> 0)
gdje je:
w(θ) =π
ℏNi
V|v(θ)|2 g(e)
a g(e) je gustoća stanja, Ni je broj nečistoća u sustavu, te
vpp′ = v(∠(p, p′)) = v(θ)
je matrični element potencijala nečistoće koji ovisi o kutu θ izmeđupočetnog p i konačnog impulsa p′.
DETALJNI RAČUN ZA RASPRŠENJE NA NEČISTOĆAMA
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Aproksimacija relaksacijskog vremena
Ukoliko u sustavu postoji više različitih procesa koji raspršuju čestice,inverzi relaksacijskih vremena se zbrajaju:
1
τ=
1
τ1+
1
τ2+ . . . Matthiessenovo pravilo
raspršenje ne nečistoćama. Temperaturno neovisno, idominantno na niskim temperaturama.
raspršenje na fononima. Temperaturno ovisno, dominira navisokim temperaturama.
Kulonsko raspršenje. Samo Umklapp procesi, koji ne čuvajuukupni impuls čestica, doprinose.
Kondo raspršenje na nezasjenjenim magnetskim nečistoćama -važno na niskim temperaturama.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raspršenje na akustičkim fononskim titranjima
Za kvazielastično raspršenje na akustičkim fononskim titranjima:
ep = ep′ ± ℏωk ≈ ep′
u kojem elektron promijeni komponentu impulsa u smjeru električnogpolja ∆p:
∆p = p(1− cos θ) = ℏ2k2
2pvrijeme relaksacije:
1
τ ph∼∫
dk(2π)3
Nph(k)
∼(1−cos θ)︷︸︸︷k2 ∼
T5 za T ≪ ΘD/5T za T ≥ ΘD/5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivost
Sustav je prostorno homogen, ali je izložen električnom polju.Boltzmannova transportna jednadžba u stacionarnom stanju:
qE · ∂f∂p
= − f− f0τ
Pretpostavljamo da je deformacija funkcije raspodjele mala:
f = f0 + δf gdje je |δf| ≪ f0
Tada je:∂f∂p
≈ ∂f0∂p
=∂f0∂e
∂e∂p
= v∂f0∂e
Tako se dobiva da je:
δf ≈ q (E · v) τ(−∂f0∂e
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivost
Kako je gustoća električne struje:
j = 2q∫
dp(2πℏ)3
v f(p) = 2q∫
dp(2πℏ)3
v (f0 + δf)
= 2q2∫
dp(2πℏ)3
v (v · E) τ(−∂f0∂e
)= q2
∫de(−∂f0∂e
)︸ ︷︷ ︸∼δ(e−eF)
g(e)∫
dΩ4π
v(v · E) τ
U anizotropnom sustavu:
ji =∑j
σij Ej
gdje je tenzor električne vodljivosti:
σij = q2⟨vivj⟩F g(eF) τ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivostU izotropnom sustavu je:
σij ≈ δij ×1
3q2 v2F g(eF) τ
Za paraboličnu izotropnu elektronsku disperziju izraz se svodi napoznati Drudeov:
σ =q2Nel τ
mOpćenito može se pokazati da je (ako je τ konstantno!):
σij = −2q2∫
dp(2πℏ)3
vi τ∂f∂pj
= −2q2∫
dp(2πℏ)3
∂e∂pi
τ∂f∂pj
= 2q2∫
dp(2πℏ)3
( 1m )ij︷ ︸︸ ︷∂2e
∂pi∂pjτ f(r, k) = q2Nel τ
⟨( 1
m
)ij
⟩= −2q2
∫dp
(2πℏ)3∂2e
∂pi∂pjτ[1− f(r, k)
] [simetrija
elektron ↔ šupljina
]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Brzina zanošenja
U prisustvu električnog polja (i u stacionarnom stanju) funkcijaraspodjele (Fermijeva kugla) u konfiguracijskom prostoru jepomaknuta iz ishodišta.
Takva stanje se može promatrati kao da sve čestice imaju jednudodatnu brzinu koju nazivamo brzina zanošenja (drift velocity).Gustoća struje:
ji =∑j
σijEj = 2q2∫
dp(2πℏ)3
∑j
∂2e∂pi∂pj
Ej
τ f(r, k)
= viqNel ⇒
|vi| =
∑jσijEj
|q|Nel=
∣∣∣∣ izotropnislučaj
∣∣∣∣ = σ
eNelEi = µEi
gdje je µ =σ
eNel=
eτm
mobilnost čestica (ne miješati s kemijskim potencijalom!)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivost - neke procjene
Neka su električno polje E=1 V/m, koncentracija elektrona Nel= 5 1028m−3, te vodljivost σ ≈ 107 Ω−1 m−1.
Relaksacijsko vrijeme:
τ =mσ
Nel e2=
9.1 10−31 kg 107 Ω−1m−1
5.0 1028m−3 (1.6 10−19 C)2≈ 10−14 s
Brzina zanošenja:
v =σ
Nel eE =
107 Ω−1m−1 1V m−1
5.0 1028m−3 1.6 10−19 C= 10−3m/s ≪ vF ∼ 106 m/s
Srednji slobodni put:
λ ∼ vF τ ≈ 10−8m = 100Å ≫ konstante rešetke
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivost
Za tipične metale, srednji slobodni put je puno veći od konstanterešetke. Uvjet kvaziklasične aproksimacije je ispunjen.
Tipično električno polje stvara dodatnu brzinu koja je 10−9 putamanja od brzina elektrona na Fermijevoj razini.
Tipično relaksacijsko vrijeme je 10−14 s. U jednoj sekundielektron se 1014 puta sudari ili na nečistoćama ili s drugimčesticama.
Temperaturna ovisnost koja postoji u vodljivosti (ili otpornosti)metala dolazi od temperaturne ovisnosti relaksacijskog vremena.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivost
Niskotemperaturni otpor dvaju uzo-raka bakra različite čistoće. Posuđenood M. Khoshenevisan et al. Phys.Rev. B 19 (1979) 3873.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivost
Otpor različitih metala kao funkcijaT/ΘD. Posuđeno iz knjige F.J.Blatt,Physics of Electronic Conduction inSolids, McGraw-Hill Book Co., NewYork (1968).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivost
U području niskih temperatura (T ≪ ΘD/5) čestice se pretežnoraspršuju na nečistoćama. Raspršivanje na nečistoćama nematemperaturnu ovisnost.
Za T ≤ ΘD/5 očekivano ponašanje otpornosti je ∼ T5
(jednostavni metali s jednom vrpcom).U metalima s više vrpci opaža se ρ ∼ Tn ponašanje, gdje jen = 5.
U svim metalima u području temperatura T ≥ ΘD/5 temperaturnaovisnost otpornosti je ∼ T.
U metalima s magnetskim nečistoćama na niskim temperaturamaopaža se anomalno ponašanje otpornosti. Minimalna otpornostnije na temperaturi T = 0, nego na nekoj konačnoj temperaturi.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Transportna svojstva poluvodiča
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivost poluvodiča
Sasvim pune i sasvim prazne vrpce ne doprinose vodljivosti:
2q2∫
dp(2πℏ)3
∂2e∂pi∂pj
τ f(r, k)︸ ︷︷ ︸≡1
= 0
jer je energija periodična funkcija valnog broja. Poluvodiči su izolatori na T = 0. Na konačnoj temperaturi dio elektrona iz valentne vrpce jepobuđen u vodljivu vrpcu.
Nastale šupljine u valentnoj vrpci i pobuđeni elektroni u vodljivojvrpci daju konačnu vodljivost.
Temperaturna ovisnost vodljivosti u poluvodičima dolazi odtermalno pobuđenih elektrona i šupljina.
Mobilnost µ je veličina koja ne sadrži broj pobuđenih elektrona išupljina, pa tako bolje odražava transportna svojstva poluvodiča.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivost
Općenito vodljivost u izotropnom sustavu:
σ = q2∫
dp(2πℏ)3
(− ∂f0∂ek
)τ(ek)
1
3v2k
Promotrimo samo doprinos koji dolazi od elektrona u vodljivoj vrpci(q=-e):
σ =2e2
3me
∞∫ec
de gc(e) (e− ec) τ(e)(−∂f0∂e
)
gdje je gc(e) je gustoća stanja vodljive vrpce:
gc(e) =1
2π2
(2me
ℏ2
)3/2 √e− ec
ie− ec ≈
mcv2
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Broj pobuđenih elektrona
Budući da je kemijski potencijal u procijepu između vodljive i valentnevrpce
f0(e) =1
e(e−µ)/kBT + 1≈ e−(e−ec)/kBT e−(ec−µ)/kBT
broj pobuđenih elektrona je:
Nel(T) =
∞∫ec
de gc(e) f0(e)
≈ e−(ec−µ)/kBT 1
2π2
(2me
ℏ2
)3/2∞∫0
dx√x e−x/kBT
= 2(2πme kBT)3/2
h3︸ ︷︷ ︸↓
e−(ec−µ)/kBT
prefaktor koji dolazi iz parabolične gustoće stanja
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivost
Na isti način za vodljivost se dobiva da je:
σ =2e2
3me
∞∫ec
de gc(e) (e− ec) τ(e)(−∂f0∂e
)
=Nel(T)e2
me⟨τ⟩
gdje je:
⟨τ⟩ =2
3kBT
∞∫ec
degc(e) e−(e−ec)/kBT (e− ec) τ(e)
∞∫ec
degc(e) e−(e−ec)/kBT
usrednjeno relaksacijsko vrijeme.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Električna vodljivost
Električna vodljivost može se zapisati kao:
σel = eNel(T)µel
gdje je mobilnost:µel =
eme
⟨τ⟩
Ukupna vodljivost sadrži doprinose i od vodljive i od valentne vrpce:
σ = e [Nel(T)µel + Nh(T)µh]
gdje je koncentracija šupljina:
Nh(T) =
ev∫−∞
de gv(e) (1− f0(e)) = 2(2πmh kBT)3/2
h3e−(µ−ev)/kBT
U intrinzičnim poluvodičima broj pobuđenih šupljina i elektrona je isti.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Temperaturna ovisnost mobilnosti
Temperaturna ovisnost mobilnosti dana je s temperaturnomovisnošću usrednjenog relaksacijskog vremena ⟨τ⟩.
U području niskih temperatura dominira raspršenje na nabijenimnečistoćama za koje relaksacijsko vrijeme ima energijskuovisnost:
τ(e) ∼ e3/2 ⇒ µel(T) ∼ ⟨τ⟩ ∼ (kBT)3/2
Na višim temperatura postoji raspršenje na akustičkim fononimaza koje je:
τ(e) ∼ e−1/2
kBT⇒ µel(T) ∼ ⟨τ⟩ ∼ (kBT)−3/2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Temperaturna ovisnost mobilnosti
Temperaturna ovisnost mobil-nosti u siliciju na različitim ra-zinama dopiranja. Uočava seznačajno odstupanje od T−1.5
ponašanja koje se očekuje odraspršenja na akustičkim fo-nonskim titranjima.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dodatak - Raspršivanje na nečistoćama
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raspršivanje na nečistoćamaU 1. Bornovoj aproksimaciji vjerojatnost sudara na nečistoći je:
w =2π
ℏV∫
dp′
(2πℏ)3|Upp′ |2 δ(e(p)− e(p′))
gdje je Upp′ matrični element međudjelovanja elektrona snečistoćama. Međudjelovanje elektrona i nečistoća je kratkodosežno,a nečistoće su nasumično raspoređene. Potencijal od nečistoća:
U(r) =∑j
v(r− Rj)
gdje je Rj položaj j-te nečistoće a v(r) je potencijal koji stvara. Nekaje:
ϕp(r) =eıp·r/ℏ√
Vup(r)
Blochova valna funkcija elektrona. Tada je:
Upp′ =1
V∑j
e−ı(p−p′)·Rj/ℏvpp′
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raspršivanje na nečistoćama
U 1. Bornovoj aproksimaciji vjerojatnost sudara na nečistoći je:
w =2π
ℏ1
V
∫dp′
(2πℏ)3|vpp′ |2
∑j,k
e−ı(p−p′)·(Rj−Rk)/ℏ
δ(e(p)− e(p′))
Ako su nečistoće nasumično raspoređene i ako ih je malo, tadausrednjenje po položaju nečistoća:
⟨∑j,k
e−ı(p−p′)·(Rj−Rk)/ℏ⟩ = Ni
broj nečistoća. Dakle:
⟨w⟩ = 2π
ℏNi
V
∫dp′
(2πℏ)3|vpp′ |2 δ(e(p)− e(p′))
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raspršivanje na nečistoćama
Promjena funkcije raspodjele zbog raspršenja na nečistoćama:(∂f∂t
)sudari
=2π
ℏNi
V
∫dp′
(2πℏ)3|vpp′ |2 δ(e(p)− e(p′))
·
f(p′)[1− f(p)]︸ ︷︷ ︸povećanje zbog p′→p
− f(p)[1− f(p′)]︸ ︷︷ ︸smanjenje zbog p→p′
=2π
ℏNi
V
∫dp′
(2πℏ)3|vpp′ |2 δ(e(p)− e(p′))
f(p′)− f(p)
=
2π
ℏNi
V
∫dS′
|v(p′)|1
(2πℏ)3|vpp′ |2
f(p′)− f(p)
gdje je napravljena integracija po plohi konstantne energije.
Ako se uvrsti ravnotežna funkcija raspodjele dobiva da je integralnula. To je situacija koja postoji u ravnotežnom stanju.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raspršivanje na nečistoćama
Vanjsko polje deformirat će funkciju raspodjele. Može se pretpostavitida je promjena funkcije raspodjele mala:
f = f0 + δf, |δf| ≪ f0
uvedimo oznaku:w(θ) =
π
ℏNi
V|v(θ)|2 g(e)
gdje je g(e) gustoća stanja, a
vpp′ = v(∠(p, p′)) = v(θ)
je matrični element koji ovisi o kutu θ između p i p′. Tada je:(∂f∂t
)sudari
=
∫dΩ′
4πw(θ)
δf(p′)− δf(p)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raspršivanje na nečistoćama
Deformacija funkcije raspodjele treba biti skalarna veličinaproporcionalna električnom polju, dakle:
δf(p) = p · E η(e)
Tada je:(∂f∂t
)sudari
= |p||E| η(e)∫
dΩ′
4πw(θ)
cos(p′, E)− cos(p, E)
kako je:
cos(p′, E) = cos(p, E) cos(p′, p) + sin(p, E) sin(p′, p) cos(ϕp − ϕp′)
slijedi da je:
(∂f∂t
)sudari
=
δf︷ ︸︸ ︷p · E η(e)
∫dΩ′
4πw(θ) (cos θ − 1) ≡ −δf
τ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Raspršivanje na nečistoćama
gdje je uvedena oznaka:
1
τ=
∫dΩ′
4πw(θ) (1− cos θ) (> 0)
za relaksacijsko vrijeme. τ je proporcionalno prosječnom vremenuizmeđu dva sudara.
Boltzmannova transportna jednadžba:(∂f∂t
)+ v · ∂f
∂r+ F · ∂f
∂p= − f− f0
τ
zapisana pomoću relaksacijskog vremena.
Pri izvodu su korištene pretpostavke (izotropnosti elastičnostraspršenja) koje nisu uvijek ispunjene. Unatoč tome, dobivenajednadžba je dobra polazna točka za proračun transportnih svojstavamaterijala.
POVRATAK
