FIZYKA dr Danuta Piwowarska BUDOWNICTWO INŻYNIER ...dana.zut.edu.pl/fileadmin/zadania/2018/w1.pdf · dr Danuta Piwowarska FIZYKA 2 Literatura : 1. D. Halliday, R. Resnick, J.Walker:

1 dr Danuta Piwowarska FIZYKA

Prowadząca wykłady: dr Danuta Piwowarska

Kierunki : BUDOWNICTWO , INŻYNIER EUROPEJSKI

Forma zaliczenia: Kolokwium zaliczeniowe z wykładów

Kierunek : INŻYNIERIA ŚRODOWISKA

Forma zaliczenia: Egzamin

Liczba godzin wykładów: 30

Konsultacje:

wtorek, godz. 10:00-11:00;

środa, godz. 9:00-10:00, s.722 (I.F.)

WARUNKI ZALICZENIA PRZEDMIOTU:

• zaliczenie na ocenę pozytywną laboratorium (warunki podaje prowadzący na zajęciach);

• zaliczenie na ocenę pozytywną egzaminu/ kolokwium zaliczeniowego z wykładów z Fizyki.

FIZYKA


Literatura :

1. D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: Podstawy Fizyki, tomy 1- 4, Wydawnictwo Naukowe

PWN, Warszawa 2006.

2. D. Halliday, R. Resnick, Fizyka, t.omy 1 i 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1994.

3. J. Masalski, M. Masalska, Fizyka dla inżynierów, cz. I i II, Wydawnictwa Naukowo-

Techniczne, Warszawa 1980.

4. Cz. Bobrowski – Fizyka - krótki kurs, WNT, Warszawa 2003.

5. I.W. Sawieliew, Wykłady z Fizyki tom1 i 2 , Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2003.

6. K.Jezierski, B.Kołodka, K.Sierański, Zadania z rozwiązaniami, Oficyna Wydawnicza Scripta,

Wrocław 2000.

FIZYKA - główne części

Część I – MECHANIKA

Część II – ELEMENTY TERMODYNAMIKI

Część III – RELATYWISTYCZNY OPIS ZJAWISK FIZYCZNYCH

Część IV – ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM


CZYM JEST FIZYKA ?

Źródłem informacji w fizyce są obserwacje i pomiary. Na ich podstawie

fizycy formułują prawa i zasady opisujące przebieg zjawisk i związki

pomiędzy mierzonymi wielkościami.

Wprowadzenie do przedmiotu

Galileusz zrzucający kule

z krzywej wieży w Pizie

Przykład:

Arystoteles (384-322 pne.), filozof grecki, twierdził, że ciało spada na ziemię

tym szybciej im jest cięższe. Było to bardzo popularne mniemanie aż do

późnych lat XVI wieku. Może nam to uzmysłowić jak długo opierano się na

błędnej w tym wypadku wiedzy starożytnych Greków.

Dopiero Galileusz -włoski astronom, astrolog, fizyk i filozof, twórca podstaw

nowożytnej mechaniki i astrofizyki, przeciwstawił się temu twierdzeniu.

Zrobił to w dość spektakularny sposób: zrzucał mianowicie kule o różnych

masach z Krzywej Wieży w Pizie i mierzył czas ich spadania. W tym samym

czasie upuścił z wieży 2 kule: ciężką kulę armatnią o wadze 80 kg i znacząco

lżejszą kulkę muszkietową o wadze 200 g.

Oba ciała (które miały podobną formę) dosięgły ziemi w tym samym

momencie. Udowodnił, więc, że czas ich opadania jest dokładnie taki sam

(przy zaniedbaniu nieznacznego w tym przypadku efektu wynikłego z tarcia

powietrza). Dowód ten stanowi jedną z podwalin mechaniki klasycznej, a historia

ta stanowi jeden z elementów folkloru naukowego. Pokazuje też, że w nauce

wyniki eksperymentu są zawsze ważniejsze niż autorytet nawet najbardziej

uznawanego i poważanego człowieka.

Galileo Galilei (1564-1642)

WYKŁAD 1.


Relacje w przyrodzie

Prawom ruchu drogowego podlegają wszyscy kierowcy.

Bywa jednak, że któryś z kierowców praw tych nie przestrzega.

Prawu karnemu podlegają wszyscy przestępcy.

Niekiedy jednak przestępcy udaje się uniknąć wymiaru sprawiedliwości.

Prawom fizyki podlegamy wszyscy - zarówno my sami, jak i cała przyroda.

Praw tych nie da się nie przestrzegać, ani uniknąć. Zmiany systemów ekonomicznych

i społecznych nie mają na nie żadnego wpływu.

Wiemy, że prawa i zasady formułują też organizacje międzynarodowe i rządowe, prawnicy,

politycy, ekonomiści...


NIEPRZESTRZEGANIE LUB IGNOROWANIE PRAW FIZYKI- PRZYKŁADY

Wypadek drogowy - nie uwzględnienie:

siły odśrodkowej na zakręcie,

zmiany współczynnika tarcia na mokrej nawierzchni,

zależności energii kinetycznej od kwadratu prędkości,

związku przebytej drogi z prędkością i czasem reakcji,

dodawania się prędkości przy zbliżaniu się pojazdów,

itd..

Mikser - ignorowanie:

Konstruktor zapomniał, że moment siły, to iloczyn siły razy

ramię i kiedy ramię jest małe, to siła może być - ogromna.

Plastykowa rączka nie miała szans obracać cienkiej osi

z mocną sprężyną i po kilkakrotnym użyciu przestała działać.

Wiele innych

Za najważniejsze można uznać te prawa:

których zasięg w świecie jest największy,

które muszą być najściślej przestrzegane.


FIZYKA A ZJAWISKA W PRZYRODZIE – WYJAŚNIJ DLACZEGO…

Dlaczego rower nie przewraca się kiedy

jedzie, a przewraca się - kiedy stoi?

Dlaczego niebo jest niebieskie? Dlaczego woda wrze?

Co sprawia, że samolot wznosi się? Co jest powodem „tęczy"

na płycie kompaktowej?

Czy reaktor jądrowy może wybuchnąć

na podobieństwo „bomby atomowej"?


FIZYKA – nauka eksperymentalna

Czym jest fizyka ?

Według Nowej encyklopedii powszechnej PWN fizyka to nauka przyrodnicza zajmująca się

badaniem ogólnych własności materii i zachodzących zjawisk, a także wykrywaniem ogólnych

praw, którym te zjawiska podlegają.

Fizyka jest podstawową nauką przyrodniczą, której zadaniem jest badanie obiektywnych

własności otaczającego nas świata materialnego i zachodzących w nim zjawisk, gromadzenie

faktów, a przede wszystkim odnajdywanie ich wzajemnej zależności.

Czym zatem jest nauka ?

Czy starożytni Egipcjanie, twórcy piramid byli naukowcami?

Egipskie piramidy Chefrena, Cheopsa i Mykerionosa (patrząc od lewej)

.


Czym zatem jest nauka …?

Czym zatem jest nauka c.d/?

Czym zatem jest nauka? Kiedy można mówić o nauce? Według Henriego Poincarego (francuski

matematyka i fizyka 1854-1912), naukę tworzy się z faktów, tak jak dom buduje się z kamieni, ale

zbiór faktów nie jest nauką, tak jak stos kamieni nie jest domem. To znaczy, że należy jeszcze

znaleźć powiązania (związki) między faktami. Dawni mędrcy, obserwując rzeczywistość,

formułowali prawa, które nie zawsze pokrywały się z tą rzeczywistością, ich twierdzenia byty

powtarzane za autorytetami.

Dzisiaj mianem nauki określa się gromadzoną przez pokolenia wiedzę o rzeczywistości, spełniającą

warunki prawdziwości, czyli na przykład w naukach przyrodniczych, potwierdzoną doświadczalnie

lub obserwacyjnie. Nauka jest więc efektem zbiorowego wysiłku ludzkości.

Tym między innymi różni się ona od sztuki.

•Gdyby Ludwig van Beethoven nie skomponował swojej

V symfonii, to nie powstałaby ona nigdy.

•Gdyby Albert Einstein nie sformułował teorii

względności, z pewnością uczyniłby to jakiś inny

naukowiec (wzory transformacyjne opracował

Lorentz; H. Poincare był bliski sformułowania STW).


FIZYKA – wokół nas

Już w XVI wieku Galileusz i Francis Bacon stworzyli model postępowania dający podstawę

metodzie naukowej. Obrazuje go schemat przedstawiony na rys.


Fizyka a rozwój nauki i techniki

Badania fizyczne

Metoda indukcyjna polega na tym, że wyniki badań poszczególnych zjawisk uogólnia się

stopniowo, przechodząc do sformułowania praw fizycznych. Metodę tę stosuje się głównie w fizyce

doświadczalnej.

Metoda dedukcyjna stosowana jest głównie w fizyce teoretycznej. Punktem wyjścia są pewne

ogólne prawa i zasady. Analiza tych zasad umożliwia przewidywanie nowych zdarzeń i faktów,

pozwala stworzyć nową teorię.

Żadna teoria fizyczna nie może być uznana za ostateczną, dlatego że każda z nich została

potwierdzona tylko w skończonej liczbie doświadczeń. ,

Isaak Newton przewidywał, na podstawie znanych sobie

praw fizyki, że możliwy jest ruch satelitów wokół Ziemi.

Hipotezę tę potwierdzono w XX wieku, gdy w roku 1957

wystrzelono pierwszego sztucznego satelitę Ziemi (rys.).

Teoretycy przewidują możliwość istnienia nowych,

nieznanych dotychczas zjawisk, wskazując

eksperymentatorom kierunki badań. Eksperymentatorzy

zaś dostarczają teoretykom materiału doświadczalnego

do opracowania. Pierwszy sztuczny satelita Ziemi: Sputnik 1



Zakres stosowalności teorii fizycznych

Zgodnie bowiem z zasadą korespondencji (sformułowaną przez Nielsa Bohra) prawa fizyki

kwantowej, w określonych warunkach doświadczalnych, przechodzą w prawa fizyki klasycznej

(newtonowskiej).

Zgodnie z zasadą korespondencji prawa fizyki relatywistycznej przechodzą w prawa fizyki

klasycznej dla zjawisk ruchu przebiegających z prędkościami dużo mniejszymi od prędkości

światła.

Nieuwzględnienie wpływu powietrza na lot piłki

kopniętej przez piłkarza uniemożliwia wyjaśnienie

zjawiska zakrzywienia toru lotu tej piłki.

Wnioski:

Z zasady korespondencji wynika więc, że

fizyka klasyczna jest teorią przybliżoną.

Z jednej strony ograniczoną mechaniką

kwantową a z drugiej - mechaniką

relatywistyczną.

Każda teoria fizyczna stanowi bowiem tylko

uogólnienie skończonej liczby doświadczeń i

obserwacji. Można stworzyć teorię

fenomenologiczną, która będzie prawdziwa

tylko w określonych warunkach.



Czym fizycy mogą się pochwalić?

Teoria względności

Teorię względności tworzą: szczególna teoria względności,

ogłoszona w 1905 roku, oraz ogólna teoria względności,

ogłoszona w 1916 roku.

Szczególna teoria względności wiąże wyniki pomiarów

położenia i czasu przeprowadzonych w różnych

(inercjalnych) układach odniesienia.

Ogólna teoria względności to relatywistyczna teoria oddziaływań

grawitacyjnych, według której grawitacyjne przyspieszenie ciał jest

spowodowane zakrzywieniem czasoprzestrzeni.

Zgodnie z ogólną teorią względności masa powoduje odkształcenie

czasoprzestrzeni, a odkształcona czasoprzestrzeń wyznacza ruch

poruszających się w niej mas. W konsekwencji w pobliżu masywnych

obiektów przestrzeń się zakrzywia a czas płynie wolniej.

Czy teoria względności ma jakieś praktyczne zastosowanie? System GPS pozwalający na określenie z dokładnością do kilku metrów

Położenia odbiornika na powierzchni Ziemi uwzględnia poprawkę

relatywistyczną związaną z tym, że czas odmierzany przez zegary na

satelitach tego systemu jest inny niż czas odmierzany przez zegary na

Ziemi.

Ugięcie promieni świetlnych

w pobliżu ciała o dużej masie

zakrzywiającego czasoprzestrzeń



Fizyka kwantowa

Laser - nazywany światłem XX wieku – został również odkryty dzięki

pracom w dziedzinie fizyki kwantowej. Podstawą działania każdego

lasera jest zjawisko wymuszonej emisji promieniowania. Teoretyczne

podstawy zjawiska emisji wymuszonej promieniowania

sformułował w latach dwudziestych Einstein. Ale dopiero w roku

1960 udało się te przewidywania zastosować w praktyce i uruchomić

pierwszy laser - rubinowy . Niedługo potem uruchomiono lasery

gazowe (np. helowo-neonowe), a potem półprzewodnikowe (bardzo

ważne w telekomunikacji).

W mechanice kwantowej cząstkę

lokalizujemy z określonym

prawdopodobieństwem

Laser ekscimerowy (UV) umożliwia usunięcie

tkanki z dokładnością do 0,25 mikrometra

(dla porównania - włos ludzki ma grubość

około 50 mikrometrów).

Jaki jest wpływ odkrycia lasera na rozwój techniki?

Spróbujmy wyobrazić sobie świat bez lasera, czyli bez

płyt kompaktowych i DVD, świat bez światłowodów

telekomunikacyjnych, czyli bez Internetu.

W świecie tym nie można byłoby wykonywać niektórych

operacji medycznych ratujących życie lub zdrowie.



Odkrycie jądra atomowego i jego własności

Ernest Rutherford, odkrywa w 1911 roku jądro

atomowe.

Podczas reakcji rozszczepienia jąder masa

produktów rozpadu jest mniejsza niż masa

składników przed rozpadem. Różnica mas Δm

może być wyzwolona w postaci energii o wartości:

E = Δmc2

1939 roku Enrico Fermi rozpoczął konstrukcję

pierwszego reaktora jądrowego.

Pierwszą kontrolowaną reakcję rozszczepienia jąder

atomowych przeprowadzono w tym reaktorze

2 grudnia 1942 roku.

W bombie atomowej, zachodzi niekontrolowana

łańcuchowa reakcja rozszczepiania jąder uranu 235U

(lub plutonu).

Korzystając z energii zamkniętej w jądrze atomowym

budujemy elektrownie jądrowe, w których reaktorach

występują kontrolowane reakcje łańcuchowe.

Technika jądrowa to również zastosowanie izotopów

promieniotwórczych w technice (np. wykrywacze dymu) i

medycynie (do diagnostyki i terapii; rezonans

magnetyczny, tomograf komputerowy). Próbny wybuch jądrowy


Laboratoria i narzędzia fizyki współczesnej - CERN

CERN - Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire, czyli Europejski Ośrodek Badań Jądrowych


FIZYKA, a rozwój nauki i techniki

World Wide Web (WWW), z którego korzysta cały świat - „narodził się" w CERN

Dlaczego WWW nie powstał w wielkich korporacjach przemysłowych, czy komercyjnych?

Dlaczego nie narodził się w środowisku usług bankowych?

Przecież jest to źródło potężnych korzyści finansowych ?!

... ale (jak widać) to nie wystarcza.

Rozwój fizyki - to ustawiczne poszukiwania niekonwencjonalnych rozwiązań, to pokonywanie

wciąż nowych barier technologicznych: w elektronice, informatyce, mechanice, technice wysokiej

próżni, niskich temperatur, wysokich ciśnień itd...


Pomiary i wielkości fizyczne

Rozwiązywanie problemów fizycznych – metodologia.

1.Zidentyfikowanie problemu – znalezienie zasad fizycznych, które mają

miejsce

2.Opisanie problemu – szkice, równania

3.Rozwiązanie – matematyczne

4.Sprawdzenie wyniku pod kątem fizycznym


Eksperyment fizyczny wymaga pomiarów, których wynik opisujemy zwykle

liczbami – wielkości fizyczne (np. waga, wzrost).

Niektóre wielkości fizyczne są tak podstawowe, że możemy tylko opisać jak je

mierzyć, np. pomiar :

- długości

-czasu

Inne wielkości zależą od wielkości podstawowych, np. prędkość.

Aby pomiar był wiarygodny, niezbędne jest aby był powtarzalny niezależnie od

miejsca pomiaru.

Od 1960 roku obowiązuje Międzynarodowy System Miar i Wag (SI – z j. francuskiego).

Pomiary i wielkości fizyczne


JEDNOSTKI PODSTAWOWE I UZUPEŁNIAJĄCE

JEDNOSTKI MIĘDZYNARODOWEGO UKŁADU SI

(ᶩ )

(m )

(t)

( I)

(termodynamiczna)

(T)

(I)

(oznaczenie )

kąt płaski ( α, β, ϫ)

kąt bryłowy ( Ω,ω)

radian rad

steradian sr


DEFINICJE WYBRANYCH JEDNOSTEK FIZYCZNYCH

JEDNOSTKA DŁUGOŚCI – METR

Tabela, źródło: D.Halliday, R.Resnick, J.Walker,

Podstawy fizyki (PWN)

Zdj. Porównanie rozmiarów Ziemi i Jowisza,

Żr. https://pl.wikipedia.org

Jest to długość drogi, którą światło

przebywa w próżni w czasie równym

1/299792458 sekundy.

w 1791 była to 1/10 000 000 poniższej długości

https://pl.wikipedia.org/wiki/Jowisz


DEFINICJE WYBRANYCH JEDNOSTEK FIZYCZNYCH

JEDNOSTKA MASY - KILOGRAM

JEDNOSTKA CZASU – SEKUNDA (od 1967r.) National prototype kilogram K20

Jest to masa wzorca wykonanego ze stopu

platyny i irydu. W przybliżeniu jest to masa

jednego litra czystej wody w temperaturze 4°C

Między 1889 a 1967 była to część tzw. dnia

słonecznego, czyli czasu gdy Słońce osiąga najwyższy

punkt na niebie.

Od 1967 roku 1 sekunda jest to przedział czasu

równy 9 192 631 770 okresom promieniowania

cykli promieniowania mikrofalowego

atomu cezu 133Cs – tzw. zegar atomowy


MATEMATYCZNY ELEMENTARZ FIZYKA

1. MATEMATYCZNY ELEMENTARZ FIZYKA

1.1. Wektory

1.2. Funkcje

1.3. Rachunek różniczkowy

1.4. Całki


Wielkości fizyczne ze względu na ich własności matematyczne dzielimy na:

Rys.Masa młotka jest skalarem, ale jego

prędkość jest wektorem

Rys. Wektory w przestrzeni dwu- i trójwymiarowej

1) Skalar ma jedynie wartość, nie zależy od wyboru układu

współrzędnych. Przykłady: masa, objętość, czas, ładunek,

temperatura, praca.

2) Wielkości wektorowe posiadają wartość, kierunek,

zwrot i punkt przyłożenia. Przykłady: prędkość,

przyspieszenie, siła, pęd, natężenie pola, .

Rozważymy wektory jako wszelkie strzałki (takie oto: →) możliwe do wyobrażenia w świecie

trójwymiarowym.

Cechy wektora:

1) punkt przyłożenia,

2) wyróżnia pewien kierunek w przestrzeni, (kierunek

prostej, do której wektor jest równoległy),

3) zwrot,

4) wartość bezwzględną (długość wektora, jego wartość

liczbowa, moduł).

Spośród kilku używanych sposobów sygnalizowania, że dany symbol jest wektorem, wybierzemy

jeden - rysowanie strzałki nad symbolem, na przykład p, v, F. Wartość bezwzględną (moduł)

wektora F oznaczamy symbolem |F| albo F .

skalar, wektor i tensor.


Rachunek wektorowy

3) Tensor , to wielkość do opisania której podajemy macierz współczynników, tak

jak w przypadku momentu bezwładności. W przestrzennym układzie

współrzędnych (3–wym.) tensor to 9 liczb nazywanych współczynnikami

(wektor – 3 liczby, skalar – 1 liczba).

Rys. źródło: www.slideshare.net/panisson/exploring-temporal-graph-data-with-python-a-study-on-

tensor-decomposition-of-wearable-sensor-data


Rys. Wektor r i jego składowe rx, ry, rz w

trójwymiarowym prostokątnym układzie

współrzędnych

1.1.1. Składowe i współrzędne wektora

W przestrzeni fizycznej, położenie punktu w zadanym układzie odniesienia wyznaczają trzy

współrzędne. Te trzy liczby, oznaczane zazwyczaj x, y i z nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi.

=(x, y, z)

i

j k

W podobny sposób możemy określić dowolny wektor r.

zyx rrrr

Wektory składowe możemy przedstawić w postaci liczb

rx, ry, rz i wektorów jednostkowych ( ). 1 kjizyx rrr

,,

kji

,,

krrjrrirr zzyyxx

,,

(1.1)

(1.2)

Podstawiając te związki do wzoru (1.1) otrzymujemy:

krjrirr zyx

(1.3)

Znając współrzędne wektora r ,w układzie prostokątnym, jego długość (moduł) obliczymy

ze wzoru: zyx rrr ,,

222

zyx rrrr

(1.4)

Rachunek wektorowy (2)


1.1.2. Mnożenie wektora przez skalar

Składowe wektora wyznaczamy umieszczając początek wektora w początku układu współrzędnych

i rzutując koniec wektora na poszczególne osie wybranego układu współrzędnych:

W wybranym układzie współrzędnych wektor jest definiowany przez podanie jego współrzędnych, np.:

Zwróćmy w tym miejscu uwagę na przyjętą konwencję. Wszystkie wektory wyróżnione są w

tekście czcionką wytłuszczoną. Iloczynem wektora a przez liczbę k R nazywamy

wektor c o długości |c|·= |a|·|k| o kierunku zgodnym z

kierunkiem wektora dla k > 0 lub zgodnym z wektorem

a lecz o zwrocie przeciwnym do zwrotu a dla k < 0

(rys).

Rys. Mnożenie wektora przez skalar

Przykład: a = [3; 6; 8], k =2 a⋅k = [3⋅2; 6⋅2; 8⋅2]= [6; 12; 16].

Zwróćmy uwagę, że gdy k = 0, to c = a⋅k = 0 (wektor zerowy)

a nie c = a⋅k = 0 (liczba zero).

Wektory (3)


Sumą dwóch wektorów a+b jest nowy wektor c

o współrzędnych:

a+b = c; c = [cx ,cy, cz] = [ax+bx, ay+by, az+bz].

Przykład: a = [3, 6, 8]; b = [1, 4, 5] c = [4, 10, 13].

Rys. Geometryczna suma i różnica wektorów

Różnicą dwóch wektorów a-b jest nowy wektor c

o współrzędnych:

a-b = c; c = [cx, cy, cz] = [ax-bx, ay-by, az-bz].

Przykład: a = [3, 6, 8]; b = [1, 4, 5] c = [2, 2, 3].

1.1.3. Dodawanie i odejmowanie wektorów

Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych wektorach.

Różnicę dwóch wektorów przedstawia druga przekątna (rys. prawy).

Reguła równoległoboku

Wektory (4)


ba

Cbabababa

baba

zzyyxx

cos

(1.6)

WŁASNOŚCI ILOCZYNU SKALARNEGO:

a) (jest przemienny),

b) =0 , wtedy a b ,

c) .

abba

ba

2aaa

Przykład 1 ( tablica)

Iloczyn skalarny jest często stosowany do opisu wielkości fizycznych.

Przykładem wielkości fizycznej, którą można przedstawić jako iloczyn skalarny dwóch wielkości

wektorowych jest praca :

Wektory (5)

1.1.4. ILOCZYN SKALARNY DWÓCH WEKTORÓW

Niech dane są dwa wektory niezerowe: i ,

iloczyn skalarny wektorów ( ), to liczba. Można ją otrzymać :

]1[]1[ mNJ

rFW


1.1.5. Jeżeli i , to iloczyn wektorowy ( ) tych wektorów jest

wektorem takim, że:

(1.7)

Długość (wartość bezwzględna) wektora jest równa iloczynowi długości tych wektorów i sinusa

kąta pomiędzy nimi:

(1.8)

Rys. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem

Wektor jest prostopadły do płaszczyzny

wyznaczonej przez wektory i .

Zwrot jego jest określony regułą śruby

prawoskrętnej lub regułą prawej ręki (rys).

Przykład (tablica).

Własności iloczynu wektorowego:

a) (nie jest przemienny),

b) jeżeli i różne od zera, a

)( abba

bIIaba

0

ILOCZYN WEKTOROWY


1.2. Funkcje

Rys. Wykres funkcji jednej zmiennej y = f(x)

Zmienna y nazywa się zmienną zależną albo funkcją zmiennej x, gdy dla każdej konkretnej

wartości x (x X) istnieje jednoznacznie określona wartość y (y Y ), co zapisujemy jako:

y = f(x) lub y = y(x)

x nazywamy zmienną niezależną albo argumentem, a y - zmienną zależną.

Funkcje mogą być wyrażone:

1) analitycznie, np. y = ax; y=lnx,

2) graficznie, w postaci wykresu,

3) numerycznie, w postaci tablic.

(1.9)

FUNKCJE

Taka krzywa (rys.), może przedstawiać dane

obserwacyjne lub zależność algebraiczną (równanie).

Przykładem pierwszej sytuacji (dane obserwacyjne)

byłby wykres temperatury w pewnym miejscu i czasie

jako funkcja wysokości. Wtedy x oznacza wysokość

ponad powierzchnią Ziemi, powiedzmy w metrach,

a y temperaturę, na przykład w stopniach Celsjusza.

Jeśli dwie zmienne niezależne oznaczymy x i y,

a zmienną zależną - z, zależność funkcyjną zapiszemy

jako z = f(x,y).

Np. temperatura powietrza w danym miejscu zależy nie tylko od

wysokości, ale także od czasu; w czerwcu temperatura będzie

inna niż w styczniu, a w południe inna niż o północy.


RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

Podstawowy cel rachunku różniczkowego to opis zmian wartości funkcji pod wpływem ciągłej zmiany

jej argumentu.

1.3.1. Pochodna funkcji

Niech dwóm wartościom zmiennej niezależnej odpowiadają dwie wartości funkcji .

Oznaczmy i .

Niech będzie przedziałem otwartym i funkcja ; .

Jeśli dla pewnego istnieje skończona granica ilorazu różnicowego ( )

dx

dy

xx

xfxfxf

xx

0

00

0

lim'

0xix0yiy

xxx 0 yyy 0

x

y

)lim'(lub0 x

yy

x

(1.10)

xfy

to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie . . Wartość powyższej granicy

nazywamy pochodną funkcji f(x) w punkcie i oznaczamy symbolem .

xfy 0x

Wyrażenie , nazywa się różniczką funkcji , zaś dx różniczką argumentu x.

Obliczanie pochodnej nazywamy różniczkowaniem.

dxxfdy 0'

0x

xfy


1.3.2. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji , (rys.).

(1.11)

Pochodna – granica ilorazu różnicowego. Tangens konta pomiędzy styczną do wykresu funkcji

w punkcie , f(x0) z osią OX. 0x

Pochodne funkcji (1)

xfy

tgdx

dy

x

y

x

0lim

dy

y

dx

styczna

dy

dx = tg

f(x0)

x0+dx x0 x

y

f(x0+dx)

A

B

Sieczna

AB


1.3.3. PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO

1.3.4. POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH



Zastosowanie w fizyce

Jeśli funkcja wyraża położenie w zależności od czasu, to jej pochodna jest prędkością chwilową.

Druga pochodna położenia (pierwsza pochodna prędkości) jest przyspieszeniem, trzecia

natomiast to zryw.

Przypuśćmy teraz, że mamy daną funkcję f(x) i jej pochodną f'(x). Możemy powtórzyć opisaną

procedurę i obliczyć pochodną funkcji f'(x). Tę nową funkcję nazywamy drugą pochodną i

oznaczamy f"(x). Podobnie określa się trzecią pochodną oraz kolejne. Ze względu na czytelność

zapisu apostrofami oznacza się jedynie pochodne do trzeciej włącznie (czasem tylko do drugiej).

Dalsze pochodne oznacza się liczbami rzymskimi:

Druga i dalsze pochodne



Pomiar – porównanie wielkości fizycznej z wielkością tego

samego rodzaju przyjętą za jednostkę. Liczba otrzymana jako

wynik pomiaru zależy od wyboru jednostki.

Wynik pomiaru musi składać się

z wartości liczbowej

(a także niepewności pomiarowej)

oraz jednostki .

Pomiar bezpośredni – porównanie danej wielkości fizycznej z

odpowiednią miarą wzorcową.

Pomiar pośredni – wartość badanej wielkości wyznaczana jest na

podstawie pomiarów bezpośrednich innych wielkości fizycznych, które

są z nią związane znanym prawem fizycznym.

Pomiary wielkości fizycznych


Błąd pomiaru – różnica pomiędzy wynikiem pomiaru, a rzeczywistą

wartością mierzonej wielkości. Błędy pomiarów tradycyjnie

dzielimy na grube (omyłki), przypadkowe oraz systematyczne.

błąd pomiaru = wartość zmierzona – wartość rzeczywista

Posługiwanie się w praktyce pojęciem błędu pomiaru nie jest

wygodne, ponieważ nigdy nie znamy rzeczywistej wartości

mierzonej wielkości.

Obecnie przy opracowywaniu wyników pomiarów należy stosować się

do zaleceń Międzynarodowej Normy Oceny Niepewności Pomiaru

uzgodnionej w 1995 r. i przyjętej ustawowo w Polsce w 1999 r.

Błąd pomiaru


Wybór najważniejszych elementów Międzynarodowej Normy

Oceny Niepewności Pomiarowej

(źródło: http://labor.zut.edu.pl/fileadmin/niepewnosci_new.pdf)

37

Wielkość Symbol i sposób obliczania

Niepewność

standardowa:

ocena typu A

(pomiary bezpośrednie)

Podstawa: statystyczna analiza serii pomiarów.

Dla serii n równoważnych pomiarów:

, gdzie

Niepewność

standardowa:

ocena typu B

(pomiary bezpośrednie)

Podstawa: naukowy osąd eksperymentatora

(gdy znana jest niepewność maksymalna X)

Niepewność złożona

(pomiary pośrednie)

Dla wielkości

(gdy wszystkie wielkości Xi są nieskorelowane)

Niepewność

rozszerzona

lub

gdzie współczynnik rozszerzenia

)1()( 1

2

nn

XX

Xu

n

i

i

A

n

i

iXn

XX1

1

3)(

XXuB

),...,,( 21 kXXXfY

k

j

jk

j

c XuXXXX

fYu

1

2

2

21 ,...,,)(

)()( XkuXU )()( XkuXU cc

2k


Zlecany zapis wyników pomiaru

Niepewność standardowa:

• g = 9.781 m/s2, uc(g) = 0.076 m/s2

• g = 9.781 (0.076) m/s2

Niepewność rozszerzona:

• g = 9.78 m/s2, Uc(g) = 0.15 m/s2

• g = (9.78 ± 0.15) m/s2

Obowiązuje zasada podawania dwu cyfr

znaczących w niepewności.


Cyfry znaczące i zaokrąglanie

I. Odczytywanie i zapisywanie wyników pomiarów

Cyframi znaczącymi (pewnymi) nazywamy wszystkie cyfry przybliżonej liczby,

z wyjątkiem zer położonych na lewo od pierwszej różnej od zera cyfry. Cyfry

znaczące określają stopień przybliżenia.

Zapis wyników pomiarów odbywa się za pomocą tzw. liczb przybliżonych.

Wynik pomiaru zapisujemy z dokładnością do określonej liczby cyfr znaczących

(stosujemy przybliżenie liczby). Do cyfr znaczących należą: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i w

niektórych przypadkach 0.

Zero nie jest cyfrą znaczącą w sytuacji, gdy stosujemy je dla określenia rzędu

wielkości danej liczby (czyli 0 nie jest cyfrą znaczącą w liczbie 0,194 natomiast jest nią

w liczbach 1,03 i 1,30).

Wyniki pomiarów należy zapisywać zawsze używając odpowiedniej liczby cyfr

znaczących. Dzięki temu uzyskujemy informację o niepewności pomiaru, co rzutuje na

wyniki obliczeń opartych na danych pomiarowych (czyli niepewność wyniku

końcowego). Podczas zapisywania wyników należy kierować się zasadą, że tylko

ostatnia cyfra podana w liczbie może być niepewna.



Przykład 1. Określanie liczby cyfr znaczących

Aby określić liczbę cyfr znaczących należy zacząć odczytywać liczbę od lewej strony

do momentu, aż natrafimy na pierwszą cyfrę różną od zera. Ta cyfra i każda następna

są cyframi znaczącymi.

W tabeli, w każdej liczbie wyróżniono cyfry znaczące pogrubioną czcionką:







II. Ogólne zasady zaokrąglania i zapisywania liczb:


• m =100,0214 g nieprawidłowo

• m = 100,021(0,0035) g nieprawidłowo

• m = 100,021 kg 3 g nieprawidłowo

• m = 100,02147(0,00352) g prawidłowo

44

Liczbowa wartość wielkości i jej odchyłki powinny być

wyrażone w jednakowych jednostkach


Przykład 1

Zmierzono suwmiarką (d = 0.1 mm) średnicę pręta.

Pomiar powtórzono 3 razy uzyskując wyniki:

d1 = 10.1 mm, d2 = 10.2 mm, d3 = 9.9 mm

45

d1 10.1

d2 10.2

d3 9.9

średnia 10.0667

uA(d) 0.08819

uB(d) 0.05774

u(d) 0.10541

U(d) 0.21

Wynik pomiaru (bezpośredniego):

d = 10.07 (0.11) mm


46

Przykład 2

Wyznaczono masę i średnicę metalowej tarczy otrzymując następujące

wyniki: m = 80.55 g (m = 0.1 g) i d = 90.1 mm (d = 0.1 mm).

Oblicz moment bezwładności tarczy i jego niepewność.

Wynik pomiaru (pośredniego):

I = 9.143(11)∙10-5 kg∙m2

g kg

m 80.55 0.08055

uB(m) 0.057735 5.7735E-05

mm m

d 90.1 0.0901

uB(d) 0.057735 5.7735E-05

R 45.05 0.04505

uB(R) 0.028868 2.8868E-05

uB(m)/m 0.00071676

uB(R)/R 0.00064079

kg m2

I 9.1429E-05

uc(I) 1.0564E-07

Moment bezwładności tarcz ze wzoru

teoretycznego:


• Wykres wykonuje się ręcznie na papierze milimetrowym, lub

przy pomocy odpowiedniego programu graficznego.

• Na każdej z osi wybieramy taki zakres wartości mierzonej

wielkości, w którym zostały wykonane pomiary. Nie musimy

umieszczać na osiach punktów zerowych.

• Skalę na każdej z osi wybiera się niezależnie a więc nie

muszą być jednakowe. Dążymy do tego, aby wszystkie

uzyskane przez nas punkty pomiarowe zostały

umieszczone na rysunku i były rozmieszczone na całej

powierzchni rysunku. Skalę na osiach układu nanosimy

w postaci równo oddalonych liczb.

• Osie wykresu muszą być opisane (wielkość fizyczna i

jednostka). Rysunek powinien być podpisany.

47

Zasady sporządzania wykresów (I)


• Punkty na wykresie muszą być wyraźnie widoczne (nie

kropki !) Gdy na jednym wykresie musi być kilka krzywych,

punkty na każdej z nich zaznacza się innym symbolem lub

kolorem. Punkty pomiarowe lub krzywe powinny być

podpisane (legenda).

• Na wykres należy nanieść niepewności pomiarowe w postaci

prostokątów lub odcinków.

• Jeśli punkty układają się na linii prostej należy obliczyć jej

parametry metodą regresji liniowej, a następnie ją narysować.

Jeśli punkty nie układają się na linii prostej wykreślamy ciągłą

krzywą, bez nagłych załamań (nie musi ona przebiegać

dokładnie przez wszystkie punkty pomiarowe, bo są one

obarczone niepewnościami). Nie należy łączyć punktów

pomiarowych linią łamaną!

48

Zasady sporządzania wykresów (II)


Przykłady wykresów

Dobrze Źle o

pó

r e

lektr

yczn

y


Dziękuję za uwagę !


Całkę nieoznaczoną zapisujemy symbolicznie:

Całką nieoznaczoną lub funkcją pierwotną funkcji nazywamy taką

funkcję F(x), której pochodna jest równa danej funkcji , czyli:

xfy

xf

)()(')(

xfxFdx

xdF (1.12)

(1.13)

PODSTAWOWE WZORY:

Całka (ang. integral) to termin wieloznaczny i wymagający bliższego określenia, takiego jak całka

nieoznaczona, całka oznaczona, całka niewłaściwa czy całka równania różniczkowego.

Jeśli mówimy po prostu "całka", to zazwyczaj mamy na myśli całkę nieoznaczoną.

1.4.1. Funkcja pierwotna

RACHUNEK CAŁKOWY (1)


1.4.2. PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU CAŁKOWEGO

1.4.2. CAŁKA OZNACZONA

Rachunek całkowy (2)

Documents

FIZYKA dr Danuta Piwowarska BUDOWNICTWO INŻYNIER ...dana.zut.edu.pl/fileadmin/zadania/2018/w1.pdf · dr Danuta Piwowarska FIZYKA 2 Literatura : 1. D. Halliday, R. Resnick, J.Walker: