Michał Wilczyński

e-mail: wilczyns@if.pw.edu.pl

Informacje związane z wykładem będą umieszczane na stronie:

http://www.if.pw.edu.pl/~wilczyns

Fizyka I I semestr studiów stacjonarnych I stopnia na kierunku

Biogospodarka

Konsultacje

piątki 14:30-15:30 sala 103 Gmach Fizyki

środy 15-16 sala 103 Gmach Fizyki

W razie zmian terminu konsultacji aktualne terminy konsultacji

będą umieszczone na stronie internetowej

Program ramowy0) Wielkości wektorowe i skalarne w fizyce, układ jednostek SI. Podstawowe działania na

wektorach.

1) Kinematyka: wprowadzenie wielkości służących do opisu ruchu: wektor wodzący, droga,

prędkość, szybkość średnia i chwilowa, przyspieszenie, związki ogólne między tymi

wielkościami. Ruch jednostajny i jednostajnie zmienny po linii prostej. Składanie

ruchów. Wielkości służące do opisu ruchu po okręgu: prędkość i przyspieszenie kątowe.

Ruch jednostajny i jednostajnie zmienny po okręgu.

2) Dynamika: Układy inercjalne. Zasady dynamiki Newtona. Przykłady sił (np. siła reakcji

podłoża, siła tarcia, siła naciągu nici, siła sprężystości, siła dośrodkowa).

3) Pęd pojedynczego ciała i układu ciał. Zasada zachowania pędu. Energia kinetyczna.

Zderzenia ciał sprężyste i niesprężyste.

4) Praca i jej związek z energią, siły zachowawcze i energia potencjalna. Zagadnienie

zachowania energii.

5) Moment pędu i moment siły. Zasada zachowania momentu pędu. Dynamika ruchu

obrotowego bryły sztywnej. Moment bezwładności. Energia kinetyczna bryły w

ruchu obrotowym. Równanie ruchu obrotowego bryły.

6) Ruch harmoniczny prosty i wielkości go opisujące. Energia ruchu harmonicznego.

Wahadła. Fale: Klasyfikacja fal, podstawowe wielkości charakteryzujące ruch falowy.

Zasada superpozycji. Fale akustyczne.

7) Elementy termodynamiki. Parametry charakteryzujące stan równowagowy układu

gazowego. Ciepło, praca i energia wewnętrzna, I zasada termodynamiki. Równanie

stanu gazu doskonałego. Podstawowe przemiany termodynamiczne.

8) Elektrostatyka: Ładunek elektryczny. Prawo Coulomba. Natężenie pola

elektrostatycznego. Prawo Gaussa. Potencjał pola elektrostatycznego .

Kondensatory –pojemność i energia pola elektrycznego kondensatora, szeregowe i

równoległe łączenie kondensatorów.

9) Prąd elektryczny: Natężenie i gęstość natężenia prądu elektrycznego. Prawo Ohma,

opór, przewodność właściwa i opór właściwy, Obwody prądu stałego- przemiany

energii, Prawa Kirchhoffa. Szeregowe i równolegle łączenie oporników.

10) Pole magnetyczne: Indukcja pola magnetycznego, Siła Lorentza-

działanie pola na poruszające się ładunki i przewodnik z prądem.

Wyznaczanie indukcji pola wytworzonego przez przewodniki z prądem przy

pomocy prawa Ampera. Oddziaływanie przewodników z prądem. Podział

materiałów ze względu na ich własności magnetyczne.

11) Indukcja elektromagnetyczna: Prawo Faradaya, reguła Lenza, cewka indukcyjna i

energia pola magnetycznego w cewce. Samoindukcja i indukcja wzajemna.

Drgania w obwodach elektrycznych w skład których wchodzą kondensator i

cewka.

12) Wirowe pola elektryczne i magnetyczne. Równania Maxwella. Fale

elektromagnetyczne i mechanizm ich rozchodzenia się. Światło jako fala

elektromagnetyczna; prędkość światła, polaryzacja światła. Interferencja i

dyfrakcja fal świetlnych, spójność światła . Elementy optyki geometrycznej:

zjawisko odbicia i załamania światła, całkowite wewnętrzne odbicie.

Literatura1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, tom 1-4, PWN

Warszawa 2003.

2. R. Resnick, D. Halliday, Fizyka, tom 1-2, PWN, Warszawa 1983.

3. J. Orear – Fizyka, tom 1 i 2, WNT, Warszawa, 1990.

4. C. Bobrowski, Fizyka –krótki kurs, WNT, Warszawa 2003.

5. W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok, Podstawy fizyki, OWPW Warszawa 2010.

6. K. Sierański, K. Jezierski, B. Kołodka, Fizyka Wzory i prawa objaśnieniami,

część I i II, skrypt do zajęć z fizyki dla studentów I roku, Oficyna Wydawnicza

Scripta Wrocław 2005.7. K. Sierański, K. Jezierski, B. Kołodka, Fizyka Wzory i prawa objaśnieniami

(kurs powtórkowy) , Oficyna Wydawnicza Scripta Wrocław 2002.

8. K. Jezierski, K. Sierański, I. Szlufarska, Repetytorium zadania z

rozwiązaniami, kurs powtórkowy dla studentów 1 roku i uczniów szkół

średnich, Oficyna Wydawnicza Scripta, Wrocław 2003.

9. K. Jezierski, B. Kołodka, K. Sierański, Zadania z rozwiązaniami, Skrypt do

ćwiczeń z fizyki dla studentów 1 roku wyższych uczelni cześć 1, Oficyna

Wydawnicza Scripta, Wrocław 2000.

10. K. Jezierski, B. Kołodka, K. Sierański, Zadania z rozwiązaniami, Skrypt do

ćwiczeń z fizyki dla studentów 1 roku wyższych uczelni cześć 2, Oficyna

Wydawnicza Scripta, Wrocław 1999.

Zasady zaliczenia przedmiotu fizyka I1) W trakcie semestru odbędą się dwa kolokwia złożone z części teoretycznej i zadaniowej.

2) Część teoretyczna każdego z kolokwiów będzie obejmować pytania dotyczące zagadnieńbędących przedmiotem wykładu i zajęć wyrównawczych. Za część teoretyczną każdego z

kolokwiów będzie można otrzymać do 15 punktów .

3) Część zadaniowa obejmować będzie zadania rachunkowe. Zadania o podobnej tematyce

będą rozważane na ćwiczeniach i zajęciach wyrównawczych. Za część zadaniowąkażdego z kolokwiów będzie można otrzymać do 15 punktów.

4) Zaliczenie ćwiczeń i wykładu odbywać się będzie na oddzielne oceny określone w oparciu

o uzyskaną liczbę punktów z kolokwiów oraz punktów za aktywność na ćwiczeniach i

zajęciach wyrównawczych. Za aktywność można będzie otrzymać do 10 punktów

wliczanych do oceny ćwiczeń i 4 punktów wliczanych do oceny wykładu

5) Do zaliczenia ćwiczeń wymagane jest uzyskanie co najmniej 15 punktów branych pod

uwagę przy zaliczeniu ćwiczeń6) Do zaliczenia wykładu wymagane jest uzyskanie co najmniej 15 punktów branych pod

uwagę przy zaliczeniu wykładu

7) Do zaliczenia przedmiotu wymagane jest zaliczenie zarówno wykładu jak i ćwiczeń na

ocenę przynajmniej dostateczną. Ocena końcowa z przedmiotu jest zależna od ilości

wszystkich uzyskanych punktów .

8) W przypadku braku zaliczenia wykładu będzie możliwość napisania dodatkowego

kolokwium obejmującego pytania dotyczące materiału całego wykładu we wspólnym dla

całej grupy terminie, który może być wyznaczony poza terminem regularnych zajęć. Analogiczna możliwość dotyczyć będzie ćwiczeń, przy czym kolokwium będzie

obejmować zadania rachunkowe.

• Mechanika zajmuje się badaniem ruchu ciał materialnych a także

określeniem warunków przy których ciała pozostają w spoczynku .

• Mechanika klasyczna: Teoria, która przewiduje jakościowo i ilościowo

rezultaty eksperymentów na obiektach, które nie są:– Zbyt małe: atomy i cząstki subatomowe – Mechanika Kwantowa

– Zbyt szybkie: obiekty bliskie prędkości światła – Szczególna Teoria Względności

– Zbyt gęste: czarne dziury, wczesne stadium wszechświata – Ogólna Teoria

Względności

• Mechanika klasyczna zajmuje się obiektami znanymi w życiu codziennym!

Mechanika

Kinematyka

Kinematyka-dział mechaniki zajmujący sięopisem ruchu ciała bez analizowania przyczyn

go powodujących

Ruch na płaszczyźnie i przestrzeni-Wektor wodzący, przemieszczenie, droga

wektor określający przemieszczenie ciała w trakcie jego ruchu od punktu

początkowego (w którym znajdował się w chwili czasu t1 ) do końcowego (w

którym znajdował się w chwili czasu t2=t1+∆t ) równy zmianie (przyrostowi)

wektora wodzącego.

określa położenie ciała (traktowanego jako punkt materialny) względem

początku układu współrzędnych (w pewnej ustalonej chwili czasu t). Długośćtego wektora jak i jego składowe wyrażamy w układzie SI w metrach

( ) ( ) ( )11212 , trtttrttrrrrrr

−∆+==∆=∆

)(trrrr

=1)

2)

3) S- droga-wielkość skalarna

określająca długość toru po którym

poruszało się ciało w takcie ruchu

x

y

( )1trr

rr

∆

A

B( )2trr

O

S

Droga S =długość toru

tor ruchu

Długość wektora nie jest w

ogólności równa drodze pokonanej

przez ciało. Jednak długość tego

wektora jest równa drodze wtedy, gdy

ciało porusza się po linii prostej w tym

samym kierunku (nie zawracając) lub teżczas trwania ruchu jest nieskończenie

krótki

rr

∆

-wektor wodzący (promień wodzący) -

(można go wówczas przybliżyć przez odcinek prostej).

Przedstawiony tutaj sposób opisu ruchu punktu materialnego można tez

wykorzystać do opisu ruchu (postępowego) translacyjnego bryły sztywnej,

złożonej z wielu punktów poruszających się z jednakową prędkością ( w tym

samym kierunku z tą samą wartością prędkości) . Wektor wodzący

charakteryzuje wówczas położenie wybranego punktu bryły (zwykle środka

masy). Przy opisie ruchu obrotowego bryły będziemy stosować wielkości

wprowadzone przy opisie ruchu punktu materialnego po okręgu

rr

Prędkość (chwilowa) jest równa stosunkowi -wektora przemieszczenia

ciała (przyrostu jego wektora wodzącego) do ∆t -czasu w którym to

przemieszczenie nastąpiło, gdy długość tego czasu dąży do zera .

Prędkość

Gdy to kierunek wektora

jest styczny do toru ruchu, jego długośćrówna zaś przyrostowi drogi przebytej

przez ciało

Kierunek wektora jest taki jak

i styczny do toru ruchu .

rr

∆

0→∆t

Vr

rr

∆

0→∆t

Sr ∆=∆r

rr

∆ ( )tVr

tor ruchu

O( początek układu

współrzędnych)

( )trr

( )ttr ∆+r

0→∆t

rr

∆

( )t

trttr

t

rtV

tt ∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆

)(limlim)(

00

rrrr

Prędkość jest w ogólności funkcją czasu.

W układzie SI mierzymy ją w m/s

Szybkość (wartość prędkości) chwilowa i średnia

Wartości prędkości, szybkość (chwilowa) jest równa długości

wektora prędkości (chwilowej). Opisuje jak szybko ciało sięprzemieszcza nie precyzując kierunku w jakim się porusza.

( )t

tSttS

t

StV

tt ∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆

)()(limlim

00

r

Wyraża się ona przez stosunek przebytej drogi ∆S w czasie

do tego czasu , gdy długość tego czasu dąży do zera 0→∆t

t∆

Średnią szybkość ciała w przedziale czasu (t1,t2) dla dowolnego

skończonego przedziału tego czasu można określić jako

gdzie - droga pokonana od chwili czasu

t=t1 do chwili czasu t=t2.

Jest ona równa szybkości (chwilowej) wtedy gdy szybkość nie zależy

od czasu.

t

SVsr

∆

∆=

12 ttt −=∆

)()( 112 tStttSS −∆+==∆

W dowolnym ruchu droga

pokonana przez ciało w czasie

od t=t1 do t=t2 jest równa polu

pod wykresem zależności

wartości prędkości (szybkości)

od czasu zakreskowanemu na

czerwono. Pole to jest równe

polu prostokąta ograniczonego

od góry przez prostą V=Vsr

zakreskowanego na niebiesko

Droga jako pole pod wykresem szybkości od czasu

tt2t1

S

)(tVr

)(tVr

srV

Ruch ze stałą szybkością

tVtSr

=)(

Związek drogi pokonanej od chwili t=0 z wartością prędkości

i czasem trwania ruchu t w przypadku gdy określa wzór

ttk

)(tVr

Vr

kk tVttSr

== )(

Vr

S(t)

t

Wykresem zależności S(t) jest

prosta o współczynniku

kierunkowym równym

tVSr

=

Vr

Droga S(t=tk) pokonana od chwili t=0 do chwili

t=tk jest równa polu odpowiedniego prostokąta

pod wykresem zależności szybkości od czasu

constV =r

Ruch prostoliniowy punktu materialnego

Określenie położenia ciała w ruchu prostoliniowym

xO

Do scharakteryzowania położenia ciała wystarczające jest określenie

jego położenia względem ustalonego punktu O na osi Ox. Wielkość x,

której moduł jest odległością ciała od tego punktu, może przyjmowaćwartości zarówno dodatnie jak i ujemne i stanowi jedyną niezerowąskładową jego wektora wodzącego

Wprowadzamy oś Ox jednowymiarowego układu współrzędnych

wzdłuż prostej po której porusza się ciało.

x wzrasta w trakcie ruchux maleje w trakcie ruchu

ixrrr

=

Jeżeli w trakcie ruchu ciało nie zawraca to droga przebyta przez ciało

od chwili t=tp do t=tk wyraża się wzorem ( ) ( )pk ttxttxS =−==

ir

-wersor będący wektorem o długości równej 1 oraz kierunku i

zwrocie osi Oxir

rr

Prędkość w ruchu prostoliniowym

xO ir

Vr

Vr

V>0V<0

VV =r

iVVrr

=

1=ir

Wielkość jest równa szybkości (wartości) prędkości.

t

txttxV

t ∆

−∆+=

→∆

)()(lim

0

Prędkość jest równa stosunkowi zmiany współrzędnej x przyjętej do

określenia położenia ciała do czasu w którym ta zmiana

nastąpiła , przy założeniu iż czas ten dąży do zera

t∆

0→∆t

Przyspieszenie w ruchu prostoliniowym

xO ir

Vr

Vr 1=i

r

V>0

a>0

V<0

a<0

iaarr

=

W trakcie ruchu wielkości a i V mogą zmieniać znak.

Mogą one przyjmować wartości dodatnie jak i ujemne. Gdy są one takiego

samego znaku ( wektory i maja ten sam zwrot) to szybkość (wartośćprędkości) ciała rośnie, gdy przeciwnego ( wektory i maja przeciwny

zwrot) to szybkość ciała maleje.

aa =r

ar

Vr

ara

r

V>0

a<0

Vr

ar

ar

Vr

t

tVttVa

t ∆

−∆+=

→∆

)()(lim

0

Przyspieszenie jest równa stosunkowi zmiany prędkości do czasu

w którym ta zmiana nastąpiła , przy założeniu iż czas ten dąży do zera .

t∆

0→∆t Przyspieszenie w układzie SI mierzymy w m/s2.

Vtxtx += 0)(VconsttV ==)(

t

txttxtV

t ∆

−∆+=

→∆

)()(lim)(

0

t

txttxtV

t ∆

=−∆===

→∆

)0()(lim)0(

0

ttVtxttx ∆=+==∆= )0()0()(

to dowolnyt∆

W przypadku ruchu ze stała prędkością wzdłuż osi Ox zależność

położenia ciała od czasu określa wzór

Vtxtx += 0)( gdzie )0(0 == txx constV =

Wzór powyższy obowiązuje niezależnie od znaku V

Dowód:

tVtSr

=)(Zależność drogi od czasu

Ruch prostoliniowy jednostajny constV =r

0=ar

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny

atVtV += 0)(

Gdy a i V są tego

samego znaku to

szybkość ciała rośnie

V(t)

V0

t

a>0

a<0

a(t)

a

t

a>0

a<0

a

Gdy a i V mająprzeciwne znaki to

szybkość ciała maleje

Załóżmy iż V>0 ( ciało porusza się w kierunku dodatnim osi Ox,

wektor prędkości ma ten sam zwrot co wersor ). Wówczas szybkość

Gdy a=const i a>0 to ruch jest jednostajnie przyspieszony, zaś gdy a=const i a<0 to ruch

jest jednostajnie opóźniony. W ruchu w którym szybkość maleje wielkośćokreślamy mianem opóźnienia.

ir

constta =)(

)0(0 == tVV

t

tVttVta

t ∆

−∆+=

→∆

)()(lim)(

0 t

tVttVta

t ∆

=−∆===

→∆

)0()(lim)0(

0

ttatVttV ∆=+==∆= )0()0()(

t∆ dowolny

( nie zależy od czasu)

VV =r

aaaop

r=−=

constta =)(

Droga w ruchu prostoliniowym

jednostajnie zmiennym

Załóżmy iż V>0 (ciało porusza się w kierunku dodatnim osi Ox,

wektor prędkości ma ten sam zwrot co wersor )ir

2

2

kko

tatV +

S(t)

tk tO

V(t)

V0

t

V(t)=V0+at

tk

Vk=V0+atk

2

2)(

2

00

kko

kk

k

attV

tatVV

ttS

+=

=⋅++

==

0

2)0()()(

2

0k

kkk

attVtxttxttS +==−===

Droga pokonana przez ciało od chwili t=0 do t=tk jest równa

zakreskowanemu polu trapezu .

VV =r

Rysunki dla a>o

Zakładając iż ruch analizujemy od

chwili t=0 zależność drogi od czasu

wyraża wzór

2)(

2

0

attVtS +=

VV =r

2)(

2

00

attVxtx ++=

)0(0 == tVV

)0(0 == txx

Wzór obowiązuje zawsze w ruchu w którym niezależnie od

znaku wielkości x0 , V0 i a . W szczególności w takim ruchu prędkośćmoże zmienić znak (co odpowiada zmianie zwrotu

wektora prędkości ).

Gdy V<0 w pewnym zakresie czasu to

Uwaga

Gdy w trakcie całego ruchu V>0, a a=const<0 (czyli mamy do czynienia z ruchem

jednostajnie opóźnionym ) to niekiedy wprowadza się wielkość zwaną opóźnieniem

aop=-a i zapisać wzory na zależność szybkości i drogi pokonanej od czasu w postaci

consta =

)0()()( =−≠ txtxtS

2)0()()(

2

0

attVtxtxtS +==−=

atVtV += 0)(

iVVr

=

W przypadku ruchu ze stałym przyspieszeniem wzdłuż osi Ox

zależność położenia ciała od czasu określa wzór

gdzie

taVtV op−= 0)(2

)(

2

0

tatVtS

op−=

Związki ogólne między wielkościami służącymi do opisu

dowolnego ruchu ciała -sformułowane przy wykorzystaniu

pochodnych

S(t2)

S(t1)

t1 t2 t

∆t

Jest równa

współczynnikowi

kierunkowemu a

(nachyleniu)

prostej

przechodzącej

przez punkty 1 i 2

S(t)

1

2

Szybkość średnia w trakcie ruchu od chwili do chwili 1t ttt ∆+= 12

t

tSttS

tt

tStS

t

SttttVsr

∆

−∆+=

−

−=

∆

∆=∆+=

)()()()(),( 11

12

12121

Można ją określić jako stosunek drogi przebytej przez ciało ∆S w

czasie ∆t do czasu ∆t

∆S

S=at+b

S(t)

Szybkość średnia zależy zarówno od czasu rozpoczęcia analizowanego odcinka

ruchu t1, jak i czasu jego trwania ∆t .

S(t2)

S(t1)

t1 t2t

Jej współczynnik kierunkowy określa (chwilową) szybkość ciała w chwili t=t1 . Jest

ona równa wartości pierwszej pochodnej funkcji S(t) po czasie określonej dla t=t1.

S(t)

0→∆tto prosta przechodząca przez punkty 1 i 2 staje się stycznądo krzywej obrazującej zależność drogi pokonanej przez

ciało od czasu S(t) w punkcie o t=t1

)()()(

limlim)( 111

001 tt

dt

dS

t

tSttS

t

SttV

tt==

∆

−∆+=

∆

∆==

→∆→∆

r

12 tt →Gdy

1

2

Szybkość (chwilowa)

Szybkość i prędkość chwilowa w ogólności może być funkcją czasu t, ale nie jest

funkcją . t∆

Pierwsza pochodna S po t

Definicja pierwszej pochodnej funkcji y=f(t) zmiennej t

( ) ( )t

tfttf

dt

df

t ∆

−∆+=

→∆ 0lim

dt

dfott =

( )tf ott =

Pochodna jest również funkcją zmiennej t. Jej wartość dla

jest równa współczynnikowi kierunkowemu a stycznej

dla

.

do wykresu funkcji

t

y=at+b

t0

f(t)

y

t∆

y∆ t

ya

∆

∆=

( ) attdt

df== 0

Wartość pochodnej funkcji malejącej jest ujemna bo dla

dodatniego przyrostu argumentu funkcji ∆t>0, przyrost

wartości funkcji ∆y<0 jest ujemny

t

y=at+b

t0

f(t)y

t∆

0<∆y

0)( 0 <∆

∆===

t

yatt

dt

df

Pochodne wybranych funkcji:

a) ( ) pttf =

1−= ppt

dt

df p-stała,

(argumenty funkcji )(tf muszą należeć do jej dziedziny)

b) ( ) )sin(ttf = )cos(tdt

df=

( ) )sin(bttf = )cos(btbdt

df= b-stała

c) ( ) )cos(ttf = )sin(tdt

df−=

( ) )cos(bttf = )sin(btbdt

df−= b-stała

Wybrane własności pochodnej:

( )thhtggtff === ),(),( - funkcje zmiennej t; c-stała

1) dt

dh

dt

dg

dt

hgd+=

+ )( 2) dt

dfc

dt

cfd=

)(

3) dt

dhgh

dt

dg

dt

ghd+=

)( 4) 2

h

dt

dhgh

dt

dg

dt

h

gd

−

=

5) Jeśli ( )( )tuftf =)( to mamy dt

du

du

df

dt

df=

Przykład. )sin(

)cos(btb

dt

btd−=

(ponieważ oznaczając ( ) uuf cos= , bttu =)(

mamy u

du

dfsin−=

, b

dt

du=

)

10 =t

1)( −= pp

ptdt

td

t

f(t)=by

b

0)( btbtf == 0=dt

df

Wartość pochodnej funkcji stałej jest równa zeru

Informacje dodatkowe ( dla zainteresowanych))

Prędkość (chwilowa) jest równa stosunkowi -wektora przemieszczenia

ciała (przyrostu jego wektora wodzącego) do ∆t -czasu w którym to

przemieszczenie nastąpiło, gdy długość tego czasu dąży do zera .

Może być ona wyrażona jako pierwsza pochodna wektora wodzącego

po czasie. Prędkość jest w ogólności funkcją czasu.

Prędkość

Gdy to kierunek wektora

jest styczny do toru ruchu, jego długośćrówna zaś przyrostowi drogi przebytej

przez ciało

Kierunek wektora jest taki jak

i styczny do toru ruchu .

rr

∆0→∆t

Vr

rr

∆

0→∆t

Sr ∆=∆r

rr

rr

∆

( )tVr

tor ruchu

O( początek układu

współrzędnych)

( )trr

( )ttr ∆+r

0→∆t

rr

∆

Pierwsza pochodna po t

rr

( )( ) ( )

dt

rd

t

trttr

t

rtV

tt

rrrrr

=∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆ 00limlim

W układzie kartezjańskim

wektor wodzący punktu

materialnego poruszającego sięw przestrzeni ma w ogólności

trzy niezerowe składowe x, y, z

które zmieniają się w czasie

( )dt

kdzk

dt

dz

dt

jdyj

dt

dy

dt

idxi

dt

dxkzjyix

dt

d

dt

rdV

rr

rr

rrrrr

rr

+++++=++==

kzjyixrrrrr

++=

Przy uwzględnieniu tego iż wersory nie zależą od czasu kjirrr

,,

0===dt

kd

dt

jd

dt

idrrr

otrzymujemy

( ) kVjViVkdt

dzj

dt

dyi

dt

dxkzjyix

dt

d

dt

rdV zyx

rrrrrrrrrr

r++=++=++==

Prędkość jako pochodna wektora wodzącego po czasie rr

x

y

rr

A

O

x

y

ir

jr

1=== kjirrr

)(

)(

)(

tzz

tyy

txx

=

=

=

kr

z

z

)(),(),( tzztyytxx ===

( )( ) ( )

dt

rd

t

trttr

t

rtV

tt

rrrrr

=∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆ 00limlim

( )( ) ( )

dt

dx

t

txttx

t

xtV

ttx =

∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆ 00limlim

Składowe Vx,Vy,Vz wektora prędkości

można określić jako pierwsze pochodne po czasie

odpowiednich składowych x=x(t),y=y(t),z=z(t)

wektora wodzącego będących funkcjami czasu

kVjViVV zyx

rrrr++=

( )( ) ( )

dt

dy

t

tytty

t

ytV

tty =

∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆ 00limlim

Pierwsza

pochodna

po trr

Składowe prędkości w układzie kartezjańskim

( )( ) ( )

dt

dz

t

tzttz

t

ztV

ttz =

∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆ 00limlim

Pierwsza

pochodna

x po t

kzjyixrrrrr

++=

222

zyx VVVV ++=r

Wiadomo iż xx VV αcosr

= , yy VV αcosr

= , zz VV αcosr

=

gdzie: zyx ααα ,, oznaczają kąty jakie wektor Vr

tworzy odpowiednio z wersorami kjirrr

,, , zaś

222

zyx VVVV ++=r

x

y

Vr

O iVx

r

jVz

r

kjirrr

==

kVz

r

z

x

y

Vr

ir

jr

kr

z

xαyα

zα

y’

x=x’

ur

−

O’

Vr'V

r

A

y

O

ur

Prędkość ciała zależy od przyjętego do

opisu ruchu ciała układu odniesienia.Jeżeli układ odniesienia O’ porusza sięwzględem układu odniesienia O z

prędkością a ciało A porusza sięwzględem układu O z prędkością , to

prędkość ciała A określona w układzie O’

można określić ze wzoru

ur

Vr

uVVrrr

−='

Względność prędkości

Przyspieszenie jest równe stosunkowi przyrostu wektora prędkości do czasu w

którym ten przyrost nastąpił, gdy długość tego czasu dąży do zera .

Można go określić jako pierwszą pochodną wektora prędkości po czasie

( )( ) ( )

dt

Vd

t

tVttV

t

Vta

tt

rrrrr

=∆

−∆+=

∆

∆=

→∆→∆ 00limlim

Przyspieszenie

Istnienie niezerowego przyspieszenia może

być związane ze zmianą wartości prędkości

(szybkości) ciała oraz (lub) zmianą kierunku

wektora prędkości (kierunku ruchu ciała)

Można dokonać rozkładu przyspieszenia ar

na przyspieszenie styczne do

toru ciała sar

oraz przyspieszenie normalne prostopadłe do toru nar

.

W ruchu w którym szybkość ciała constV =r

mamy 0rr

=s

a .

W ruchu po linii prostej mamy 0=nar

.

sar

nav

ar

ns aaarrr

+=

Przyspieszenie w układzie SI mierzymy w m/s2.

Przyspieszenie dt

Vda

rr

= będące pochodną wektora prędkości po

czasie jest wektorem. W układzie kartezjańskim

trójwymiarowym można go rozłożyć na składowe

kajaiaa zyx

rrrr++=

Składowe wektora przyspieszenia można przedstawić jako pochodne składowych wektora prędkości

kVjViVV zyx

rrrr++= po czasie a więc

dt

dV

t

Va xx

tx =

∆

∆=

→∆ 0lim ,

dt

dV

t

Va

yy

ty =

∆

∆=

→∆ 0lim ,

dt

dV

t

Va zz

tz

=∆

∆=

→∆ 0lim

Wiadomo iż xx aa αcosr

= , yy aa αcosr

= , zz aa αcosr

=

gdzie: zyx ααα ,, oznaczają kąty jakie wektor ar

tworzy odpowiednio z wersorami kjirrr

,, , zaś 222

zyx aaaa ++=r

Składowe wektora przyspieszenia w układzie kartezjańskim

( )dt

Vdta

rr

=

Przyspieszenie jest pierwszą pochodną prędkości po czasie

Prędkość jest pierwszą pochodną wektora wodzącego

po czasie

( )dt

rdtV

rr

=

Przyspieszenie jest drugą pochodną wektora wodzącego

po czasie

( )2

2

dt

rdta

rr

=

Podstawowe relacje kinematyki

Prędkość i przyspieszenie jako odpowiednie

pochodne w ruchu prostoliniowym

xO

Wprowadzamy oś Ox jednowymiarowego układu współrzędnych

wzdłuż prostej po której porusza się ciało.

ixrrr

=

ir

Wektor wodzący

Wektor prędkości dt

dxV =iVV

rr=

iaarr

=2

2

dt

xd

dt

dVa ==

Wektor przyspieszenia

Wykorzystując operacje różniczkowania (liczenia pochodnych)

można sprawdzić w szczególności iż w ruchach prostoliniowych

jednostajnym i jednostajnie zmiennym zachodzą ogólne relacje

wiążące położenie, prędkość i przyspieszenie ciała.

Np. w ruchu jednostajnym wzdłuż osi Ox mamy

W ruchu jednostajnie zmiennym wzdłuż osi Ox mamy

( ) Vtxtx += 0

( ) ( )VVt

dt

tdV

dt

tdV

dt

dx

dt

Vtxd

dt

dxVx =+=+=+=

+== 0

1

00 00)(

( ) constVtVx ==

constatax ==)( atVtVx += 0)( 2

002

)( ta

tVxtx ++=

( )atVt

aV

dt

tda

dt

tdV

dt

dx

dt

ta

tVxd

dt

dxVx +=+=++=

++

== 00

2

00

2

00

22

)(

2

2

adt

dta

dt

dV

dt

atVd

dt

dVa x

x =+=+

== 00 )(

1)( −= pp

ptdt

td

dt

fdc

dt

cfd )()(=

dt

gd

dt

fd

dt

gfd )()()(+=

+

f,g-funkcje

c,p-stałe

)0(

)0(

0

0

==

==

txx

tVV

V[m/s]

a[m/s2]

x[m] sm /40sm /7

2/30 sm2/30 sm−

sm /5

t(s)

t(s)

t(s)

dt

dxV =

dt

dVa =

R. Świrkowicz

Ruch prostoliniowy- przykład

ixrrr

=

iVVrr

=

iaarr

=

W dowolnym ruchu droga

pokonana przez ciało w

czasie od t=t1 do t=t2 jest

równa polu pod wykresem

zależności wartości

prędkości (szybkości) od

czasu.

Jest ona równa calce

oznaczonej ∫=2

1

)(

t

t

dttVS

Droga jako całka oznaczona

tt2t1

S

)(tVr

)(tVr

Całka oznaczona:

( ) ( )∫ =−===

b

a

b

aatHbtHtHdtth )()(

,

przy czym dt

tdHth

)()( =

Liczby a i b oznaczają dolną i górną granicę całkowania.

W celu obliczenia całki oznaczonej trzeba znaleźć dowolną

funkcję H(t) zwana całką nieoznaczoną , której pochodna jest

równa funkcji podcałkowej czyli zachodzi dt

tdHth

)()( =

a następnie określić wartość tej funkcji dla górnej granicy

całkowania H(t=b) i odjąć wartość tej funkcji dla dolnej

granicy całkowania H(t=a).

Gdy składowe wektora przyspieszenia

nie zależą od czasu to każdy z

ruchów składowych jest ruchem jednostajnie zmiennym.

Zależność od czasu składowych wektorów wodzącego

i prędkości można określić ze wzorów

kzjyixrrrrr

++=

kVjViVV zyx

rrrr++=

kajaiaa zyx

rrrr++=

constax = constay = constaz =

2

002

1)( tatVxtx xx ++= taVtV xxx += 0)(

2

002

1)( tatVyty yy ++=

2

002

1)( tatVztz zz ++=

taVtV yyy += 0)(

taVtV zzz += 0)(

)0(0 == tVV xx

)0(0 == tVV yy

)0(0 == tVV zz

W przypadku ruchu płaskiego zachodzącego w płaszczyźnie z=0 i

obraniu osi układu Ox i Oy w płaszczyźnie ruchu ruch można opisaćjako złożenie dwóch ruchów zachodzących wzdłuż osi Ox i Oy.

Gdy ax=0 to ruch wzdłuż osi Ox jest ruchem jednostajnym.

Składanie ruchówDowolny ruch w przestrzeni trójwymiarowej można traktować jako

złożenie ruchów w trzech prostopadłych kierunkach określonych

przez osie układu współrzędnych.

)0(0 == txx

)0(0 == tyy

)0(0 == tzz

Ruch w polu siły ciężkości

Ciało poruszające się w pobliżu powierzchni Ziemi

przy zaniedbaniu wpływu na ruch ciała innych sił

niż siła ciężkości porusza się z przyspieszeniem

constga ==rr

)0( =tVr

Gdy prędkość ciała w chwili początkowej ruchu

jest skierowana w kierunku równoległym do pionu

to ciało porusza się ruchem jednostajnie zmiennym po

linii prostej (rzut pionowy)

)0(0 == tVVrr

równym przyspieszeniu ziemskiemu

skierowanym w kierunku środka Ziemi.

Gdy prędkość ciała w chwili początkowej ruchu

tworzy pewien kąt z kierunkiem pionowym to ciało

porusza się w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory

)0(0 == tVVrr

oraz

constga ==rr

jggavrr

−== .

Ruch ciała jest złożeniem ruchu jednostajnego w

kierunku równoległym do powierzchni Ziemi (wzdłużosi Ox) i ruchu jednostajnie zmiennego w kierunku

prostopadłym ( wzdłuż osi Oy) (rzut ukośny)

281,9

s

mgg ==

r

0Vr

O x

y

0Vr

0=Vr

gaa yx −== 0

gr

gr

jr

1=jr

Tor w ruchu płaskim

W przypadku ruchu odbywającego się w płaszczyźnie xOy

określonego poprzez zależności składowych wektora wodzącego od

czasu

można wyznaczyć równanie toru eliminując czas z powyższych

równań i zapisując wynik końcowy w postaci np. funkcji typu

lub lub

)(

)(

tgy

tfx

=

=

)(xhy = 0),(~~

=yxh

(**)

(*)

Bty

Atx

=

=Np. gdy zależność od czasu opisują funkcje

to równanie przyjmuje np. postać lub lubxA

By = 0=− x

A

By

)(~

yhx =

yB

Ax =

Ruch po okręgu

Do opisu położenia (punktu materialnego) poruszającego się po okręgu może służyć zamiast wektora wodzącego np. kąt ϕ

między wektorem wodzącym a osią OX układu o początku w środku okręgu pokazany na rysunku, będący w ogólności

funkcją czasu ( )tϕϕ = . Zakładamy przy tym iż może się on

zmieniać w zakresie ( )∞∞− , i mierzymy go w radianach.

Jednemu pełnemu obiegowi okręgu odpowiada zmiana kąta

ϕ o π2 radianów.

Prędkość kątowa (chwilowa)

t

ttt

tdt

d

tt ∆

−∆+=

∆

∆==

→∆→∆

)()(limlim

00

ϕϕϕϕω

Przyspieszenie kątowe

t

ttt

tdt

d

tt ∆

−∆+=

∆

∆==

→∆→∆

)()(limlim

00

ωωωωε

Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe dowolnego punktu

spoczywającego na obracającej się tarczy jest jednakowe.

Wielkości te mogą służyć do opisu ruchu obrotowego bryły,

w którym wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach

o środkach leżących na osi obrotu.

]/[ sradω

]/[ 2sradε

Ruch po okręgu-prędkość i przyspieszenie kątowe

x

y

( )trr

( )tϕ

r

0

1 0=ϕ

0

2 90=ϕ

x

y

( )trr

( )tϕ

r

S(t)

• Drogi liniowej S (przebytej od chwili t=0)

od czasu t z drogą kątową mierzymy w radianach)

R-promień okręgu

• Szybkości z prędkością kątową ω

= dS/dt = R|dϕ/dt|

)0()()( =−= ttRtS ϕϕ

ϕ

Vr

ωRV =r

Ruch po okręgu-związki ogólne

ϕ

R

Ruch jednostajny po okręgu

Prędkość kątowa i szybkość ciała jest stała

Zależność kąta od czasu

( ) tt ωϕϕ += 0

( )00 == tϕϕ

constRVconst === ωωr

,

gdzie

Dobierając odpowiednio osie układu współrzędnych można

przyjąć iż 00 =ϕ

ttttt ∆=+==∆= )0()0()( ωϕϕ

const=ω t∆ dowolny

Przyspieszenie kątowe jest równe zeru 0=ε

t

tttt

t ∆

=−∆===

→∆

)0()(lim)0(

0

ϕϕω

t

tttt

t ∆

−∆+=

→∆

)()(lim)(

0

ϕϕω

x

y

( )trr

( )tϕ

rR

Ruch jednostajny po okręgu

Droga przebyta w tym czasie

Tf 1=

T-okres ruchu, czas potrzebny do wykonania 1 obiegu okręgu [s]

TRRS

RS

ωϕ

π

=∆=

= 2

ω

π2=T

Częstotliwość (liczba obiegów okręgu w jednostce czasu) [Hz=1/s]

π

ω

2=f

Szybkość ciała jest stała

Ale kierunek wektora

prędkości zmienia się stale.

Zatem prędkość zmienia sięstale, czyli mamy

niezerowe przyspieszenie

Z podobieństwa trójkątów

BCD i ABO

R

r

V

Vr

r

r

∆=

∆

Rozpatrzmy ruch w

trakcie ∆t→0

R

tV

V

V ∆=

∆r

r

r

R

V

t

V2rr

=∆

∆ RR

V

t

V

t

Vaa

ttd

22

00limlim ω==

∆

∆=

∆

∆==

→∆→∆

rrrr

Przyspieszenie dośrodkowe w ruchu jednostajnym po okręgu

OA

AB

BD

BC=

r

( )tVr

( )ttV ∆+r

( ) ( )tVttVVrrr

−∆+=∆

O

A

B

C

D

( )tVr

−

rr

∆

( )trr

( )ttr ∆+r

VttVtVozn rrr .

)()( =∆+=

Wektor przyspieszenia dośrodkowego jest skierowany w kierunku

środka okręgu po którym porusza się ciało

R

tVSr ∆==∆rr

constV =r

Ruch jednostajny po okręgu –opis w układzie kartezjańskim

x

y

rr

)(tθ

R

daarr

=

Vr

rrV

r

daarr

=

Szybkość ciała jest stała

Ale kierunek wektora prędkości zmienia

się stale. Zatem prędkość zmienia się stale

czyli mamy niezerowe przyspieszenie

( )tRdt

dxVx ωω sin−==

( ) ( )tRRy ωϕ sinsin ==( ) ( )tRRx ωϕ coscos ==

( )tRdt

dyVy ωω cos==

( ) ytRdt

dVa

y

y

22 sin ωωω −=−==

( )r

jyixjaiaa yx

r

rrrrr

2

2

ω

ω

−=

=+−=+=

R

VRraa d

2

22

r

rrr==== ωω

Przyspieszenie dośrodkowe

constRVVV yx ==+= ω22r

szybkość

)cos())(sin(

btbdt

btd=

)sin())(cos(

btbdt

btd−=

( ) xtRdt

dVa x

x

22 cos ωωω −=−==

ϕ

00 =ϕ

Przyspieszenie jest sumą przyspieszenia normalnego (dośrodkowego) i stycznego

sd aaarrr

+=

dt

dVat =tts eaa

rr= gdzie

sar

dar

Vr

0,,.

≠=≠≠=dt

dconstconstVV

ozn ωεω

r

Ruch po okręgu ze zmienną szybkością (wartością prędkości)

Gdy at>0 ( szybkość rośnie)

to zwrot zgodny ze zwrotem

Gdy at<0 (szybkość maleje)

to ma zwrot przeciwny niż

sar

sar

Vr

Vr

ar

ar

sar

0>dt

dV

0<dt

dV

dn aarr

= sar

V

Vet r

rr

=

222aaa sd

rrr=+

Ras ε=r

R

VRad

22 == ω

r

dt

dωε = =const

( ) tt εωω += 0

( )2

2

00

ttt εωϕϕ ++=

gdzie ( )00 == tωω , ( )00 == tϕϕ ,

Ruch jednostajnie zmienny po okręgu

Ruch po Ruch prostoliniowy

okręgu wzdłuż osi OX

tεωω += 0

2

002

1tt εωϕϕ ++=

atVV += 0

2

002

1attVxx ++=

Charles Gammie

Porównanie ruchu jednostajnie zmiennego prostoliniowego z

ruchem jednostajnie zmiennym po okręgu

xVV =

constaa x ==const=ε

Vr

. ωrO

x

y

, oś OZ,

ϕ

kr

Vr

ωr

O x

y

ϕ

Prędkość kątowa jako wektor

Wektor prędkości kątowej ma kierunek zgodny z kierunkiem osi

obrotu (prostopadłym do płaszczyzny rysunku). Zwrot wektora

prędkości kątowej można ustalić przy pomocy reguły prawej

ręki. Gdy palce prawej ręki wskazują kierunek obiegu ciała po

okręgu, to prawy kciuk wskazuje zwrot wektora prędkości

kątowej.

0>ω],0,0[ ωωω == k

rr

0<ω

ωω =r

Vr

. εrO

x

y

, oś OZ,

ϕ

kr

Przyspieszenie kątowe jako wektor

Zakładamy iż płaszczyzna okręgu nie ulega zmianie w czasie.

Wektor przyspieszenia kątowego ma kierunek zgodny z kierunkiem osi

obrotu. Zwrot wektora przyspieszenia kątowego jest taki sam jak

prędkości kątowej gdy szybkość ciała rośnie i przeciwny gdy szybkośćciała maleje.

0>dt

dω ],0,0[dt

dk

dt

d

dt

d ωωωε ===

rr

r

Vr

εrO

x

y

ϕ

0<dt

dω