732G70

Statistik A

FL5

Normalfördelningsapproximation av binomialfördelningen

2

ExempelBaserat på marknadsandelar vet vi att 20% av konsumenterna föredrar vårt företags produkt. Vad är sannolikheten att av 70 slumpmässigt utvalda konsumenter högst 20 väljer vår produkt?

Låt X = antalet kunder som föredrar vårt företags produkt

De fyra antagandena är uppfyllda (se föreläsning 4) varför det gäller att

Eftersom

kan vi approximera med normalfördelningen enligt

2.0;70~ nBiX

52.112.012.0701 n

35.32.012.070;142.070~ NfX

Normalfördelningsapproximation av binomialfördelningen

Vi söker

3

)20Pr( X

4

Population och stickprovSampling = konsten att dra stickprov

Population (även målpopulation) = den (på logisk väg definierade) grupp av enheter (ofta individer) som vi vill undersöka

Urvalsram = förteckning över populationen, ofta ett register

Stickprov (sample) = de av enheterna i populationen som vi faktiskt undersöker

Urvalsenheter = de enheter som blivit utvalda i stickprovet

Population

Stickprov

Konsten att dra slutsatser om en population baserat på ett stickprov (statistisk slutledning) är en av grundpelarna inom statistiken!

Obundet slumpmässigt urval (OSU)(engelska Simple Random Sample)

Stickprovsdragning på ett sådant sätt att alla enheter i populationen har samma sannolikhet

att bli utvalda.

Exempel:Vår population är alla studenter i ett klassrum, och vi vill undersöka genomsnittsvikten i klassen. Att väga alla skulle ta lång tid, och man vill därför dra ett stickprov om 20 personer.

Det enklaste sättet att göra ett OSU skulle då vara att skriva ned allas namn på lappar, lägga dem i en låda och dra 20 lappar ur lådan. Då har slumpen valt ut 20 personer åt oss och alla har lika stor chans att bli utvalda.

N

n

Stratifierat urval(engelska Stratified Random Sample)

När vi vill dra slutsatser om en heterogen population (en population som kan delas in i undergrupper med avseende på det som vi vill undersöka).

Varje sådan grupp kallas för ett stratum, och vi drar ett OSU ur varje stratum och väger ihop resultaten.

Stratifierat urval ger, om populationen är heterogen, lägre standardavvikelse än ett OSU och därmed säkrare slutsatser om populationen.

Exempel (forts):Vi delar upp populationen i kvinnor och män, och lägger sedan lapparna med namn i en låda för kvinnor och en för män. Sedan drar vi 10 lappar ur varje låda.

7

Problem vid stickprovsdragning

Övertäckning = när det finns enheter i urvalsramen som egentligen inte tillhör målpopulationen

Exempel: Vid studie av vikter bland studenter i ett klassrum används klasslistan som urvalsram. Men vissa studenter har hoppat av utbildningen sedan klasslistan trycktes – de tillhör inte längre målpopulationen utan utgör övertäckning.

Undertäckning = när det finns enheter i målpopulationen som saknas i urvalsramen

Exempel: Vissa studenter har påbörjat sin utbildning sedan klasslistan trycktes. De tillhör därför målpopulationen men har ingen chans att bli utvalda och utgör därför undertäckning.

Problem vid stickprovsdragningBortfall = när enheter inte vill (eller kan) mätas. Skilj på

Partiellt bortfall: när enheten har nåtts, men vi inte fått all information (exempelvis att inte alla frågor på en enkät besvarats)

Totalbortfall: när ingen information erhållits alls från enheten

8

Populationsparametrar och skattningsfunktioner

9

Populationsparameter(okänd sanning)

Skattningsfunktion(uppskattning baserat

på stickprov)

Medelvärde

Varians

Proportionstal

X2 2S

P

Tabell över väntvärdesriktiga skattningsfunktioner.

Väntevärdesriktig = vi gör inget systematiskt fel när vi

använder skattningsfunktionen som en uppskattning av

populationsparametern.

Punktskattning = att använda en skattningsfunktion som en uppskattning av motsvarande populationsparameter

Dock: skattningsfunktioner är slumpvariabler och antar olika värden för varje stickprov. Hur ska vi hantera den osäkerheten?

Vi börjar med att göra tre antaganden:

1. stickprovet är draget som ett OSU

2. populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad

3. populationsstandardavvikelsen σ är känd

Är dessa antaganden rimliga?

10

Konfidensintervall för medelvärde när är känd

Konfidensintervall = ett osäkerhetsintervall utlagt kring som tillåter oss att med en viss säkerhet säga att µ ingår i intervallet

Formel för konfidensintervall:

1. Beräkna

2. Beräkna

3. Hämta värdet på z ur normalfördelningstabell

11

x

nzx

x

n

Exempel

Glödlampor som tillverkas i en viss fabrik har en lystid som kan betraktas som normalfördelad med medelvärde 1600 timmar och standardavvikelse 100 timmar. Nu har man bytt en maskin i fabriken, och har dragit ett stickprov om 150 lampor och konstaterat att bland dem var den genomsnittliga lystiden = 1618 timmar, medan standardavvikelsen förefaller oförändrad.

Bestäm ett 95% konfidensintervall för lystiderna för lampor tillverkade med den nya maskinen!

12

Hur kan vi påverka bredden på ett konfidensintervall?

1. Öka n

2. Välj en annan konfidensnivå:

Lägre konfidensnivå ger ett mindre tabellvärde och därmed ett smalare intervall, men samtidigt minskar säkerheten. Exempelvis 90% konfidensnivå innebär att vi bara med 90% säkerhet inkluderar det sanna populationsmedelvärdet (µ) i konfidensintervallet.

13

Den metod för att bilda konfidensintervall vi diskuterat hittills baseras alltså på de tre kraven

1. stickprovet måste vara draget som ett OSU

2. populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad

3. populationsstandardavvikelsen σ är känd

Är det rimligt att dessa krav uppfylls i praktiken?

=> Nej, åtminstone inte att σ är känd

14

Konfidensintervall för medelvärde när σ är okänd

15

Baserat på antagandena att

1. stickprovet måste vara draget som ett OSU

2. populationen som vi drog stickprovet ur är normalfördelad

kan vi skatta σ med

och beräkna konfidensintervallet som

där t hämtas ur t-fördelningen (tabellsamlingen sidan 8-9) med

n – 1 frihetsgrader.

2

1

1xx

ns i

n

stx

Exempel

En viss sorts påsar med kryddor påstås innehålla 4 gram. Vi kontrollmäter fyra slumpmässigt utvalda påsar och erhåller

Bestäm ett 95% konfidensintervall för genomsnittsvikten i påsarna!

16

4.0 3.6 3.9 4.1

Normalfördelning (z) och t-fördelning (t) t-värdet är större än z för att ta hänsyn till den ökade

osäkerheten som följer av att konfidensintervallet baseras på två skattningar (både och s)

t-värdet konvergerar (går mot) z när n ökar (titta i t-tabellen!)

17

x

Exempel

En butiksägare funderar på om det är ekonomiskt försvarbart att fortsätta hålla butiken öppen på söndagar. Hon samlar därför ihop kvitton från alla försäljningar de 10 senaste söndagarna och beräknar medelvärde och standardavvikelse.

Totalt samlar hon ihop 980 kvitton, och beräknar

och

s = 250

Bestäm ett 95% konfidensintervall för den genomsnittliga försäljningen på söndagar!

18

125x