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8/17/2019 Flexión _CAP 14 2da parte_.pdf
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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS HORMIGÓN ARMADO IFACULTAD DE INGENIERÍA CIV – 209INGENIERÍA CIVIL EJERCICIOS DE CATEDRA
ING. MIGUEL MUÑOZ B. - DANIEL SAAVEDRA M. CAPITULO 14 -8
EJEMPLO 13.Calcular la armadura de refuerzo de la sección anterior si sobre ella
actúa un momento flector de 0.75 MN-m
1. MATERIALES.- fcd=20 MPa fyd =347.82 MPa εy = 1,74 ⁄
2. SOLICITACIONES.-
Md=MdG=0.75 MN-m ( porque es flexión simple)3. DIMENSIONAMIENTO.-
µ= 0.7520*.25*0.652
=0.3550 Dominio 3(µ3lim=0.3905) µ2blim=0.1872 α=1.2021* 1- 1-2.055*0.3550 =0.5769
Sustituimos: NC=17
21*20*0.25*0.5769*0.65=1.5178 MN
Diagrama de deformación:
εS1=
1-0.5769
0.5769 *3.5 o oo =2.57 o oo →σS110 %0 =fyd=347.82MPa
Diagrama Tensión-deformación B400S
NS1=NC AS1*σS1=NC
AS1=1.5178347.82
*104=43.64 cm2
3.5 %
0.577
εS1
=1.74%εy%
[Mpa]
10%
f
σ
yd
ε2.57%
S
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ING. MIGUEL MUÑOZ B. - DANIEL SAAVEDRA M. CAPITULO 14 -9
Solo estamos utilizando
el 50% de la armadura
EJEMPLO 14. Diseñar la misma sección para un momento de 0.90 [MN-m]
Sea:MdG=0.90 MN-m1.MATERIALES.- fcd=20 MPa
fyd =347.82 MPa = 1,74 ⁄
2. SOLICITACIONES.-
Md=MdG=0.90 [MN-m 3.DIMENSIONAMIENTO.-
µ=
0.90
20*.25*0.652 =0.4260 (Dominio 4µ4a lim=0.4803)
α=1.2021* 1- 1-2.055*0.4260 =0.7779NC=
17
21*20*0.25*0.7779*0.65=2.0467 [MN
εS1=1-0.77790.7779
*3.5 o oo =1 o oo < εy
Según el diagrama de tensiones nos encontramos en la recta de Hooke:
σS1= 11000 *200000=200 MPa
NS1=NC AS1*σS1=NCAS1=2.0467
199.86*104=102.41 cm2 (Terrible)
Los Arquitectos:
AS1=2.0467347.82
*104=58.84 cm2
NOTA.- La fibra de tracción por la profundidad del eje neutro alcanza α=0.778 ,
desarrolla una deformación de 1 o oo que corresponde a una tensión de200 MPa en el diagrama de tensión deformación del acero (σ vs ε) y no a otratensión, por lo que colocar para σS1=fyd es ilusorio y errado
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Nota.- Si la fuerza Normal
seria de compresión
entonces > armadura
EJEMPLO 15. Calcular la armadura de refuerzo con Mdg = 0,75 [MN-m] y una
fuerza de tracción de Nd=0,30 [MN] (Flexión compuesta).
1. MATERIALES.-f cd=20 MPa f yd =347.82 MPa
= 1,74 ⁄ 2. SOLICITACIONES.-
Trasladamosla fuerza
d - h2 = 0.65 – 0.70
2=0.30 m
Md = 0.75 - 0.30 * 0.30
Md = 0.66 [MN-m]
3.DIMENSIONAMIENTO.-
µ=0.66
20*0.25*0.652 =0.3124 Dominio 3(µ3lim=0)
∝ =1.2021 1- 1*2.055*0.3124 =0.4829 Nc = 17
21*20*0.25*0.4829*0.65=1.2704 [MN]
εs1=
1-0.4829
0.4829 * 3.5o
oo =3.75 o
oo >3.5o
oo σs1=f yd=347.82 MPa
Sea la ecuación de equilibrio(Σ FH=0):
Nc+Nd+Ns1=0
NS1=As1 σs1 =1.2+0.3 As1 =
1.568
347.82 *104 = 45.08cm2
0.30 [MN]
0.75 [MN-m]
Nd N
Nc
S1
d - h2
Diagrama deTencionesParabolico
Rectangular
CorteTransversalde la pieza
5
7 0 . 0
25.0
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ING. MIGUEL MUÑOZ B. - DANIEL SAAVEDRA M. CAPITULO 14 -11
EJEMPLO 16.Calcular la armadura de refuerzo de la viga que se muestra en la
figura, la sobrecarga característica es qk = 30 KN m .Hormigón H-25
Acero B-400S
CCI.
Recubrimiento mecánico 5 [cm]
1.MATERIALES.- H- 25 → fcd = 251.5
= 16.67 MPa B – 400 S →fyd= 400
1.15=347.82 MPa
εy=347.82
200 = 1.74 o oo
2.CARGAS.-
2.1. Peso propio gk = 0.25 * 0.60 * 25 = 3.75 gd = 1.35 * 3.75 = 5.06
2.2. Sobrecarga qk = 30 qd = 1.5 * 30 = 45
3.SISTEMA ESTATICO.-
4. SOLICITACIONES.-
4.1. Flexión.-MmaxAB=MmaxBC
MB=50.06* 63+3.375*63
8.5 6+6
MB=113.16 KN-m
5
6 0 . 0
25.0
CBA
6.06.0
CBA
6.06.0
CBA
6.06.0
Pd=50.060.9*3.75=3.375 [KN/m]
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Vx=0131.32-50.06*x=0 xmax=2.62 m → xo=5.24 m Mmax=131.32*2.62-50.06*2.62
2
2
Mmax=172.24 KN-m
MBmax
MB=50.06*63*2
8.5*(6+6)=212.02
KN-m
Vx=0 →114.84-50.06*x=0 xmax-izq=2.29 m → xo=4.58 m Mmax=131.72 KNm
5. DIMENSIONAMIENTO.-
5.1.- Flexión.- TRAMO A B = B C Md = 172.24 KN m
BA
6.0
Pd=50.06
113.16
50.06*3=150.18150.18
113.166
113.166
169.04
CBA
6.06.0
Pd=50.06 [KN/m]
BA
Pd=50.06
212.02
6.0.18 150.18
06
14.84
212.066
185.52
113.16
212.02
100
200
100
200
(2.72 , 172.24)
A =14.14S2
A =11.11 = 10 12S1 φ
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ING. MIGUEL MUÑOZ B. - DANIEL SAAVEDRA M. CAPITULO 14 -13
µ =0.17224
16.67*0.25*0.552=0.1366 Dominio 2B (µ2blim=0.1872)
Para poder estar en el dominio 3, vamos a modificar la geometría del ejercicio dela forma como se ve en la siguiente figura:
TRAMO A B
gk=0.22*0.60*25=3.30 KN m µ =
0.17224
16.67*0.22* 0.502=0.1879Dominio3 (µ2blim=0.1872)
∝ =1.2021* 1- 1-2.055*0.1879 =0.2603Nc= 1721
*16.67*0.22* 0.2603* 0.50
εS1 =1-∝
∝ *εC2 =1-0.2603
0.2603*3.5 o oo =9.95 o oo
σs1 = fyd
N = Nc As1=
Ncσs1
=0.3864
347.82*104=11.11 cm2
APOYO B: Md = 212.02 KN-m µ =
0.21202
16.67*0.22* 0.502=0.2312 α=1.2021*
1-
1-2.055*0.2312
=0.3313
εS1=1-0.3313
0.3313* 3.5 o oo = 7.06 o oo
σs1 = fyd
Calculamos:β = 1 – 0.416 = 0.3313 = 0.8622
z= 0.8622 * 50 = 43.11 cm Ns1*z=Nc*z=Md
1 0
6 0 . 0
22
3.5 %
0.2603
εS1
3.5 %
0.3313
εS1
=1.74%εy%
[Mpa]
10%
f
σ
yd
ε7.06%
S
9.95%
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ING. MIGUEL MUÑOZ B. - DANIEL SAAVEDRA M. CAPITULO 14 -14
AS1 * σS1 * z = Md
→ A
=
0.21202* 104
347.82*0.4311
= 14.14
Para calcular la altura útil debo calcular el baricentro de la armadura.
YP=2 A *32+ 2 A*56+ 2 A*80+ 4 A*104
10 A → YP=75.2 [mm]
El recubrimiento mecánico es la distancia de la parte más inferior al
centroide de la armadura.
YP=2 A *32+ 2 A*56+ 2 A*80+ 2 A*104 + 2 A*128
10 A → YP=100.8 [mm]
E φ6
φ12
20 mm20 mm
Puente
φ12espacio
Entre fierro fierro 1.25 T.M.N.
E φ6
φ12
20 mm20 mm
φ12espacio
Entre fierro y fierro 1.25 T.M.N.
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Cuando volvemos redondos
esta diferencia desaparece
EJEMPLO17.Resolver la viga utilizando el diagrama rectangular de tensiones
1. MATERIALES.-H - 25 → f cd = 16.67 MPa B - 400 s → f yd = 347.82 MPa εy = 1.74 ⁄ 2. MOMENTO EN TRAMO.-
M A-B=172.24 KN-m µ =
0.17224
16.67*0.22* 0.502 =0.1879
α = 1.25 1- 1-2*0.1879 =0.2624 Nc = 16.67 * 0.22 * 0.80 * 0.2624 * 0.50 = 0.3849 MN NOTA.- Los µ de la tabla 14.17 no se cumplen en el diagramarectangular.
Dominio 3:
εS1=1-0.2624
0.2624* 3.5 o oo = 9.84 o oo →σs1=f yd
Ns1 = Nc
As1=0.3849
347.82 = 104
= 11.07 cm2 (11.11 cm2) Comparemos:%e = (11.11
-11.07)
11.11*100 = 0.36 %
NUDO B:
MdB = 212.02 KN-m µ =
0.21202
16.07*0.22* 0.502
=0.2312
α = 1.25
1-
1-2*0.2312
=0.3335 Dominio 3
Nc = 16.67 * 0.22 * 0.8 * 0.3335 * 0.50 = 0.4893 MN β =1-0.4*0.3335=0.8666
εs1 = 1-0.33350.3335 * 3.5 o oo = 7 o oo → σs1 = fyd Md = Ns1* Z
As1 =0.21202* 10
4
0.8666*0.50*347.82=14.07 cm2
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EJEMPLO 18.Diseñar la sección mostrada en la figura, solicitada por un momento
MdG=70 KN-m. Utilizar hormigón H-25, Acero B400S1. MATERIALES.-H – 25 → fcd = 16.67 MPa B – 400 s → fyd = 347.82 MPa
εy=1.74 o oo 2. SOLICITACIONES.-
Mdg=Md=70 KN-m
3.DIMENSIONAMIENTO.- µ=
0.070
16.67*0.22*0.502=0.0763Dominio 2A
El valor más cercano a en la tabla:µ=0.07607 α=0.14εc= 1.628 o oo
σc=0.9654
ψ=0.5931 β=0.9490
Sea: Σ FH = 0
Ns1 = Nc Nc = 0.5931*0.9654*16.67*0.22*0.14*0.50Nc = 0.1470MN → εs1 = 10 o oo → σs1 = fyd
As1 =0.1470347.82
* 104 = 4.23 cm2 Sea: Σ M = 0
Md = Ns1 *z → σs1= fyd
As1 =0.070
0.9490*0.50*347.82* 104 = 4.24cm2
1 0
6 0 . 0
22
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ING. MIGUEL MUÑOZ B. - DANIEL SAAVEDRA M. CAPITULO 14 -17
ARMADURA DE COMPRESIÓN
EJEMPLO 19.Calcular la armadura de refuerzo considerando laactuación de un
momento de Md=180 KN-m 1. MATERIALES.-H - 25fcd = 16.67 MPa
B - 400 Sfyd= 347.82 MPa
εy=1.74 o oo
fyd,c= fyd
2. SOLICITACIONES.-Mdg = Md =0.18 MN-m 3. DIMENSIONAMIENTO.-µ=
0.180
16.67*0.22*502=0.1963
En el Diagrama rectangular: α3limr=3.5
3.5+1.74=0.6679
b
h
d1
d
d2.
0.577
εS1N
Nc
S1
NS2
Nd
Md
Z Zs
εεy
σ
=347.8
10%
[Mpa]
%
S
ydf
D4 D3
3.5 % εy
D2
22
60.0
5
10
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β3limr=1-0.4*0.6679=0.7328
µ3limr= 0.8*0.6679*0.7328=0.3916
Realizamos modificaciones al ejercicio para que el momento sea más alto, porque
el momento inicial no es suficiente para tener armadura de compresión:
Mdg= Md=0.38 MN-m
µ=0.380
16.67*0.22*0.5
2 =0.4144
∆ = Md- M3lim> 0M3lim= 0.3916*16.67*0.22*0.50
2=0.3590 MN-m ∆M= 0.380-0.359=0.021 MN-m
εS2 =0.6679- 5 50
0.6679*3.5 o oo =2.98 o oo >εy entonces εy → σS2 = fyd, c
AS2' =
0.021347.82*0.45
* 104=1.34 cm2
AS1 =1
347.82 0.35900.7328*0.50
+0.0210.45
+ 0 * 104 = 29.51 cm2
60.0
22
[cm ]1.34
[cm ]29.51
2
2
30.84 [cm ]2
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Sin considerar armadura de compresión. (Mal diseñada)
µ = 0.4144
αr = 1.25 1- 1-2*0.4144 =0.7328Nc = 0.8*16.67*0.22* 0.50*0.7328= 1.075 MN
εS1=1-α
α*3.5=
1-0.7328
0.7328*3.5 = 1.28
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ING. MIGUEL MUÑOZ B. - DANIEL SAAVEDRA M. CAPITULO 14 -20
EJEMPLO20.Conociendo la armadura y la sección, calcular el momento
interno.HormigónH – 25
Acero B–400 S
CCI.
AS1= 30.9 [cm2]
CALCULO DE NS1 NS1 =30.90*10
-4*347.82=1.075 MN El valor de 347.82 como tensión del acero es una hipótesis.
CALCULO DE N Nc = NS1 = 1.075 = 0.8*16.67*0.22* x
x = 0.3664 m z = 0.50 – 0.4 * 0.3664 = 0.3534 m
CÁLCULO DE .-Mu= 1.075*0.3534 = 0.3799 MN-m
No está tomando en cuenta la deformación de los materiales.
εS1
0.50-0.3664 =
3.50.3664
εS1 = 1.28 o oo
σS1=200000*1.281000
=255.25
1 0
6 0 . 0
22
fcd
X0.4
Nc
NS1
Z
3.5 %
0.2688
εS1
0.5
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CALCULO DE NS1
NS1 = 30.90*10-4
*255.25 =0.789
CÁLCULO DE NcNc= NS1= 0.789=0.8*16.67*0.22*x
x = 0.2688 m Se debe ir iterando por que X cambia εS1, σS1 colocamos en función de α:
εS1=1-αα
*3.5 o oo
σS1= ES11-αα
*3.5 o oo
30.90 * 10-4*200(1-α)
α*3.5=0.8*16.67*0.22*α*0.50α = 0.6833
Nc= NS1
Nc = 0.8*16.67*0.22*0.6833*0.50= 1.0024 MN
NS1 = 30.90*10-4*200
(1-0.6833)0.6833
*3.5=1.0024 MN z = 0.50 – 0.40 * 0.6833 * 0.50 = 0.3633m
Mu = 1.0025*0.3633 = 0.3642 MN-m< 0.38MN-m Verdadero momento por que nos soporta 0.38MN-m
εS1 = 1-0.68330.6833*3.5 = 1.6222 o oo → σS1 = 324.44 MPa
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ING. MIGUEL MUÑOZ B. - DANIEL SAAVEDRA M. CAPITULO 14 -22
EJEMPLO 21.Calcular las armaduras de refuerzo en las secciones críticas para la
siguiente viga.Hormigón H – 25
Acero B – 400 S
C N C.
qK=32 KN/m
1.- MATERIALES.-H-25 → f cd = 251.5 = 16.67 MPa]B–400-S → f yd= 4001.15 = 343.78 MPa]
εy = 1.74o
oo 2.- CARGAS.-
gd = 0.20*0.50*25*1.5 = 3.75 KN/m
qd = 32*1.6 = 51.2 KN/m
Pd=55 [KN/m]
3.- SISTEMA ESTÁTICO.-
4.- SOLICITACIONES.-
4.1.- Flexión.-(-) MdA =1
8*55* 6.2
2= 264.28 KN-m
MdA-B =9
128 *55* 6.22 = 148.65 KN-m
50.0
20
5
5
148.65
2.33
264.3
1.54
6.2A B
A
55 [KN/m]
6.2
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5.- DIMENSIONAMIENTO.-
TRAMO AB DR MdAB = 148.65 KN-m µ =
148.65*100
1.667*20*452 = 0.2202 =
α = 1.25 1- 1-2*0.2202 = 0.3149 Nc = 0.8*1.667*20*0.3149*45=377.94 [KN]
AS1 =377.94
34.702 = 10.87 cm2
APOYO A
MdA = 264.28 KN-m µ =
26428
1.667*20* 452
= 0.3914
α = 1.25 1- 1-2*0.3914 = 0.6676Si α = 0.6676 >α3lim=0.6680 → Armadura doble
Pero como es falso, entonces armadura simple.
Para efectos académicos cambiamos el valor de 264.28 por Md=294.28[KN-m]
APOYO A.-
MdA = 294.28 KN-m µ =
29428
1.667*20* 452
= 0.4359
α = 1.25 1- 1-2*0.4359 = 0.8024 >α3lim=0.6680 Necesita armadura doble o armadura de compresión AS2
' .
α3lim = 0.6680
DR β3lim
= 1-0.4*0.6680 = 0.7328
µ3lim
= 0.8*0.6680*0.7328 = 0.3916
M3lim = µ3lim * f cd *b* d2
M3lim = 0.3916*1.667*0.20* 452→M3lim =264.39 KN-m
∆M = 294.28-264.39 = 29.89 KN-m
])10.80[cm12420(2 2=+ φ φ
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AS2' =
1σS2
∆MZs
→ ∆M = AS2' = σS2* zs
εS2=0.6680 -
5
45
0.6680*3.5 o oo =2.92 o oo >εyAS2' = 2.92*10034.783 * 40cm = 2.15 cm2
AS1 =1
34.782 264.390.7328 *0.45
+29.89
0.40 = 25.20 cm2
DEMOSTRACIÓN DEL EQUILIBRIO
APOYO A.
Sea:
3 . 0
3 . 0
AS2
AS1
20
20
NS1
NS2
=876.51
=74.78
fcd=1.667
Nc=801.7
O
24.05 2 5
3.5 %
α
0.5
ε =y 1.74%
3 lim
εS2
=1.74%εy%
[Mpa]
10%
f
σ
yd
ε
2.92%
S
148.65
2.33
264.3
1.54A
25.2
2.15
10.87
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NS1 = 25.20*34.782 = 876.51 KN
NS2 = 2.15*34.782 = 74.78 KN
Nc = 1.667*20*24.05 = 801.76 KN ∑FH = 0 → NS2 + Nc = NS1
Sustituimos y operamos:
74.78 + 801.76 = 876.51
876.54 = 876.51
∑M0 = 0 → 876.51 * 0.2 – 74.78*0.2 +0.12976*801.76 = 294.29
Mμ = 294.33 (Interno)
Mμ = Md
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EJEMPLO 22.Calcular la altura que debería tener la sección para tener armadura
simple.
Hormigón H – 25
Acero B – 400 S
CNC.
MdG =300 KN-m
1. MATERIALES
H - 25→ fcd = 16.67 MPa B - 400 S → fyd = 347.82 MPa εy = 1.74 o oo
2.- SOLICITACIONES
Md = 300 KN-m 3.- DIMENSIONAMIENTO
B 400 Sµ3lim
= 0.3905
µ3limr= 0.3916
dp = 1
0.3905 * 300
16667 * 0.2= 0.48 m h = 48+5 = 53 [cm]
Verificamos:µ =30000
1.667 *20 * 482 = 0.3905
∝ =1.2021 1-√ 1*2.055*0.3905 → α3limp = 0.6680Nc = 0.8095*1.667*20*48*0.6680 = 865.4
KN
AS1 =865.4
34.782 = 24.88 cm2
5
5 0
20
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50.0
20
5
5 A 'S2
AS1
300 [MN]
300 [MN-m]
ARMADURA SIMÉTRICA
EJEMPLO 23.Diseñar con armadura simétrica la viga mostrada en la figura,
sometida a las siguientes solicitaciones.
α =300
17
21 * 1.0* 1.667*20*45
= 0.2470
Entonces:
= 300
*1.667*20*45
⇒ ∝ 0.24996
¿Cómo demuestro que nos da armadura simétrica?
DEMOSTRACIÓN
Nc =16-1/0.24996
15 *1.6667*20*0.24996*45 = 299.94
z= 0.45- 342*α-44+2/α40*(16 α-1)
* α*0.45 =0.4036 m M(α) = 299.94* 0.4036 = 121.06 KN-m Md = 300+300* 0.45 - = 360 KN-m (T. Ehlers)
M= Md - M(α) = 360-121.06= 238.94 KN-m εc2 =
10 *0.24996
(1-0.24996) = 3.3326 o oo
No es concordante porque el valor de
00 pertenece al dominio 2B,
donde este dominio el factor de forma
es diferente.
0.24996
εS1
εS2
εC2
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εS2 =0.24996 – 5
45
0.24996 * 3.3326 = 1.8512 o
oo> 1.74/ AS2
' =1
34.782 238.94
0.40 =
17.17
cm2
AS1' =
134.782
121.0560.4035
+238.940.40
-300 = 17.17 cm2 VIGAS T
EJEMPLO 24.Calcular la armadura de refuerzo para la siguiente sección.
H -30
B -500 S
C C I
MKG = 80 KN-m MKQ = 70 KN-m
1.- MATERIALES.- H – 30 → fcd =30
1.5 = 20
B - 500 S → fyd =500
1.15 = 434.78 MPa
εy = 2.17 o oo 2.- SOLICITACIONES.- Md = 1.35*80+1.5*70= 213 KN-m 3.- DIMENSIONAMIENTO.- En principio suponemos que la viga trabaja como
sección rectangular: Diagrama Rectangular: µ = 0.21320*0.70* 0.652
= 0.036
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AS1 =0.3338434.78
* 104 = 7.68 cm2 EJEMPLO 25.Calcular la sobrecarga de servicio que pondrá el eje neutro de la
sección anterior: a) En el borde inferior de la mesa de compresión.
b) 1.25 hf del borde superior (el límite de la sección rectangular)c) a una profundidad dada del eje neutro, tal que la sección no
necesite armadura de compresión
a) Si x = 10 cm
Nc = 20*0.7*0.08 = 1.12 MN Mu = 1.12*0.61 = 0.6832 MN-m (Momento interno)Mu = Md 0.6832 = 1.35*0.080+1.5* MKQ MKQ = 0.3835 MN-m = 383.5 KN-m
b) Si x = 12.5 cm
70
25
fcd=20
z=65-8/2 =61
0 . 8
X
Ncf
10
5
8
SECCIÓNTRANSVERSAL
DIAGRAMADE TENSIONESDE LAS ALAS
70
255
10
Ncffcd=20
z=65-5
12.5
SECCIÓNTRANSVERSAL
DIAGRAMADE TENSIONESDE LAS ALAS
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M
max
C = 672.48*3.46-194.22*
3.462
2
M maxC =1164.22 KN-m
4. DIMENSIONAMIENTO.-Cálculo de be :
be =6.92
5 + 0.25 = 1.63 m
µ =1.6422
13.33*1.63* 0.752
= 0.0953
∝ = 1.251- 1-2*0.0953 = 0.1254 X= 0.1254*0.75 = 0.094 m = 9.4 cm 1.25 hf = 1.25*15 = 18.75 cm 1.25 hf > x ∴ Sección rectangular ONc = 13.33*1.63*0.8*0.094 = 1.6343 MN
AS1 =1.6343
347.82 * 10 04 = 46.99 cm2
AS1 = 46.99 cm2 = 8 ∅ 25 + 3 ∅ 20
Verificación de la altura útil:
bdisp = 250-30-16= 204 mm
204=4*25+
→e=34.76 mm → d
1=
4*4.91*35.5+4*4.91*85.5+3*3.14*133
8*4.91+3*3.14d
1=74.52 mm ≈ 75 m
Al aumentar d1 estaremos del lado de la seguridad
Asumimos d1=5 mm CORREGIMOS –RECALCULO
MdBC = 1164.22 KN-m d = 800-85 = 715 mm = 71.5 cm
6.92 =2*3.46
A3.46
4φ25
20 mm20 mm
Puente
Entre fierro y fierro 1.25 T.M.N.
4φ25
3φ10
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Sustituimos: µ =1164.22
1.333*163* 71.52 = 0.1048
Entonces: = 1.25 1 − √ 1 − 2 ∗ 0.1048 = 0.1387 Donde: x = 0.1387*71.5 = 9.92cm
1.25 hf = 1.25*15 = 18.75 ≫ x ∴ Sección rectangular O Nc = 1.333*1.63*0.8*9.92 = 1723.93KN
AS1 =1723.93
34.782 = 49.6 cm2=10 ∅ 25 (49.1cm2) error de 1 %
VERIFICAMOS EL CENTROIDE.
d1=4*4.91*(23+12.5)+4*4.91*(50+35.5)+2*4.91*(12.5+12.5+25+85.5)
10*4.91
d1=75.5 mm< 85 mm 3er RECALCULO
d = 800-76 = 724 mm = 72.4 cm Sustituimos: µ =
1164.22
1.333*163* 72.42 = 0.1022
Entonces: = 1.25 1 − √ 1 − 2 ∗ 0.1022 = 0.1351 Donde: x = 0.1351*72.4 = 9.78cm Nc = 1.333*1.63*0.8*9.78 = 1700.37KN
AS1 =1700.3734.782
= 48.9 cm2=10 ∅ 25 (49 cm2)
4φ25
20 mm20 mm
Puente
Entre fierro y fierro 1.25 T.M.N.
4φ25
3φ10
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REDUCCIÓN DEL MOMENTO POR ANCHO DE APOYO:
-∆M=- Vder * bo2 + ∗bo2
8 .
Dato: bo = 30[cm]
MB =194.22*(7
3+ 8
3)
8.5 7+8 = 1302.42 KN-m
M'B=MB-∆M=1302.42- 860* 0.32 -194.22* 0.32
8
M'B=1179. [KN-m] (90.54 %)µ =
1179.1*100
1.333*25* 752 = 0.629
α = 1.25 1- 1-2*0.629 = i (complejo)Quiere decir que la sección es muy pequeña para el momento solicitante
Calculamos con armadura de compresión:
.∆Μ
bo
Ancho de columna
MB
M'B
Columna
Vder
Viz
CBA
8.07.0
194.22 [KN/m]
BA
194.22 [KN/m]
679.77
186.06
493.71 865.83
1302.42
7.0 679.77
186.06
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α3lim=0.6680
β3lim=1-0.4*0.6680=0.7328µ3lim=0.8*0.6680*0.7328=0.3916
∆M=1179.1-734.25=444.85KN-m (37.7 %)Pero no debe ser mayor al 30 % (1179.1*0.3=353.73 [KNm])
¿Qué hacemos cuando tenemos este problema?
• Aumentar el ancho de la viga
• Mejorar el hormigón• Aumentar la altura de la viga
εS2=0.6680-
5
750.6680
*3.5=3.15 o oo > ε
A'S2=44485
34.7782*(80 -7.6 - 5) =18.98
AS1= 134.782* 734250.7328*75 + 4448567.4 =57.4(cm2) =12∅ 25 (58.90)
0.6680
εY
εS2
εC2 3.5 %
2φ25
4φ25
2φ16
4φ25
2φ25
2φ25
2φ25
2φ252φ25
2φ25
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EJEMPLO 27.Una viga de sección circular tiene un diámetro exterior de 40 cm. Y
está construida de hormigón H-25, Acero B-400 S, en CNC. La sección de éstaviga de 6 mts. de longitud pertenece al sistema estático que se muestra en la
figura, como una viga simplemente apoyada.Calcular la sobrecarga que puede
soportar sin necesidad de armadura de compresión y el área de la armadura de
refuerzo y proponer su distribución. El recubrimiento mecánico 4 . 1. MATERIALES.-
H-25 f cd=25
1.5=16.67 MPa
B-400 S f yd= 4001.15 =347.82 MPa εy=
347.82
200=1.74 o oo
2. CARGAS.-
gk= π*r 2*25= π*(0.20)2*25=3.14 [KN/m]
gd=3.14*1.5=4.71 [KN/m]
qd=1.6*k
pd=4.71+1.6*qk
3. SISTEMA ESTÁTICO.-
Md=1
8*Pd*l
2=
1
8*4.71+1.6*q
k*62
5.MOMENTO INTERIOR.-6
A B
P d
θ
3.5%O
1.74%O
SECCIÓNTRANSVERSAL
DIAGRAMADE TENSIONES
DIAGRAMADE DEFORMACIONES
4
20
x3 lim y
fcd
b
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ING. MIGUEL MUÑOZ B. - DANIEL SAAVEDRA M. CAPITULO 14 -37
x3lim=0.6680*0.36=24.048 [cm]
=0.8*24.048=19.24 20-y=20-19.24=0.76 cos θ
2 = 20-19.24
20→θ=87.822236o=1.532787 rad
b=2*r*senθ=2*20*sen87.822236=39.97 Ac=
12
*θ*r2=12
*2*1.532787*202=613.08 [cm2
Acc=Area sector circular-Area triangular
Acc=613.08-12
*0.76*39.97=597.89 cm2
zo=r-b3
12*Acc=20-
39.9712*597.89
=11.1 cm z=36-11.1=24.9 Mu=Nc*z=0.8*1.667*597.89*24.9=19850.59 KN-cm
Mu=Md
198.51=18
*4.717+1.6*qk*36qk=24.67 [KN-m]
Nc=NS1=AS1*σS1 εS1=εyσS1=fyd
AS1=NcσS1
=0.8*1.667*597.89
34.783=22.92 cm2 3φ32=24.13; 12φ16=24.12;
4φ25+2φ16=23.65 cm2