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7/25/2019 Flexin de Una Viga en Voladizo
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Flexin de una viga en voladizo
En esta pgina, simularemos una experiencia de laboratorio de fcil diseo que nos
permite determinar elmdulo de Youngde un determinado material.
Se usar una barra empotrada de un determinado material, de longitudL, de
anchura ay de espesor b. Se fijar uno de sus extremos y se aplicar una fuerza en su
extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo librey(L) o flecha en funcin
de la fuerza aplicadaF, comprobando su relacin de proporcionalidad, mientras que la
flexin de la barra sea pequea.
A continuacin, examinaremos la teora de la flexin de una viga en voladizo en
detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza
en dicho extremo que produce una flexin considerable.
Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numricos aplicados al
Clculo de la raz de una ecuacin.
Integral definida.
Una viga o una barra delgada son
slidos homogneos e istropos cuya
longitud es grande comparada con las
dimensiones de su seccin trasversal.
Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen
algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una
lnea, denominada neutra, que no se acorta ni se alarga. Esta lnea se encuentra en el
centro de gravedad de la seccin trasversal y es la que representaremos en las
simulaciones que vienen en esta pgina y en la siguiente.
Pequeas flexiones
Consideremos una barra delgada de longitud Len posicin horizontal, empotrada por un
extremo y sometida a una fuera vertical Fen el extremo libre. Determinaremos la forma de la
barra y las coordenadas (xf, yf) del extremo libre para pequeas flexiones de la barra.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/alargamiento/alargamiento.htm#Fundamentos%20f%C3%ADsicoshttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/alargamiento/alargamiento.htm#Fundamentos%20f%C3%ADsicoshttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/alargamiento/alargamiento.htm#Fundamentos%20f%C3%ADsicoshttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/alargamiento/alargamiento.htm#Fundamentos%20f%C3%ADsicos7/25/2019 Flexin de Una Viga en Voladizo
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Supondremos que
La barra tiene una longitud Lmucho mayor que las dimensiones de su seccin
trasversal, y que la deformacin debida a su propio peso es despreciable.
Que la seccin de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra
es pequeo comparado con el radio de curvatura, la seccin trasversal cambia muy
poco.
Que en estas condiciones es aplicable la ecuacin de Euler-Bernoulli que relaciona el
momento flector Mde la fuerza aplicada y el radio de curvatura de la barra deformada
Elradio de curvaturade una funcin y(x) es
Para pequeas pendientes (dy/dx)20
Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza Faplicada en el extremo
libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)F(L-x)
Que integramos dos veces con las siguientes condiciones inicialesx=0, y=0, dy/dx=0.
El desplazamiento yfdel extremo librex=L es proporcional a la fuerza Faplicada
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvatura7/25/2019 Flexin de Una Viga en Voladizo
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Yes el mdulo de Young del material
I se denomina momento de inercia de la seccin trasversal respecto de la fibra neutra
Se considera que la aproximacin de pequeas flexiones: el desplazamientoydel
extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerzaFaplicada, produce resultados
aceptables hasta un cierto valor delparmetro adimensional
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7. Cuando se ha recolectado suficientemente nmero de datos se pulsa en el
botn Grfica. El programa representa los datos "experimentales" y la recta que
describe el comportamiento del extremo libre de la barra cuando se aplica una
fuerza F en dicho extremo. En la parte superior del applet, se muestra el valor de la
pendiente de dicha recta.
Cuando la fuerzaFaplicada, es mayor que la fuerza mximaFm=2YI0.375/L2 el
programa interactivo no permite colgar del extremo libre pesas adicionales, ya que se
supone que la aproximacin de pequeas flexiones deja de ser aplicable.
Ejemplo:
Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra
Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra
La anchura a=0.03 m est fijada por el programa interactivo y no se puede cambiar
Elegimos como material, el Acero
Despus de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la desviacin
del extremo librey(L) con la fuerza aplicadaFen dicho extremo es
m=3.683 cm/N=0.03683 m/N
El momento de inerciaIvale
Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad deF) calculamos el mdulo de
Young Y
Podemos comparar nuestros clculos de Ycon los proporcionados por el programa
interactivo pulsando en el botn titulado Respuesta.
Arrastrar con el ratn la pesa hasta que cuelgue del extremo libre de la
barra
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Estudio de la flexin de una viga en voladizo
Consideremos una barra delgada de
longitud Len posicin horizontal,
empotrada por un extremo y sometida a
una fuera vertical Fen el extremo libre.
Determinaremos la forma de la barra y las
coordenadas (xf, yf) del extremo libre para
grandes flexiones de la barra.
Supondremos que
La barra tiene una longitud Lmucho mayor que las dimensiones de su seccin
trasversal, y que la deformacin debida a su propio peso es despreciable.
Que la seccin de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la
barra es pequeo comparado con el radio de curvatura, la seccin trasversal
cambia muy poco.
Que en estas condiciones es aplicable la ecuacin de Euler-Bernoulli que relaciona el
momento flector Mde la fuerza aplicada y el radio de curvatura de la barra deformada
donde Yes el mdulo de Young del material e Ies el momento de inercia de la seccin
trasversal respecto del eje neutro.
Elradio de curvatura =ds/d
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvaturahttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvatura7/25/2019 Flexin de Una Viga en Voladizo
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El momento flector Mde la fuerza Faplicada en el extremo libre de la barra respecto del
punto P (x, y) es M=F(xf-x)
Derivando con respecto a s, y teniendo en cuanta que cos=dx/ds
Para determinar (s) se resuelve la ecuacin diferencial con las siguientes condiciones
iniciales:
Para obtener una solucin de la ecuacin diferencial, multiplicamos por d/dsla ecuacin
diferencial
La constante de integracin la determinamos a partir de las condiciones iniciales
especificadas anteriormente
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La LongitudLde la barra y las coordenadasxeyde cada uno de los puntos de la
misma se obtienen
Dada la fuerzaFaplicada en el extremo libre de la barra y conocida la longitudLde
la barra, se resuelve la primera ecuacin para calcular el ngulo 0, que forma la
recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal
X
Una vez que se conoce este ngulo 0, se calcula la abscisaxdando valores al
ngulo en el intervalo (0, 0)
El clculo de la ordenadayes ms complicado, ya que para cada valor del
ngulo hay que hallar una integral definida en el intervalo (0, ) empleando
procedimientos numricos.
Clculo numrico
Las ecuaciones anteriores las podemos expresar
Donde es un parmetro adimensional que engloba las caractersticas geomtricas
de la barra, del material del que est hecha, y de la fuerza aplicada en su extremo
libre
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Clculo de 0.
Empezamos con la primera ecuacin que nos determina el ngulo 0que forma la
recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal
X, tal como se ve en la figura
Requiere dos pasos:
1. Hallar la integral
2. Calcular la raz de la ecuacin
f(0)=0
La integral se puede expresar en trminos de la suma de dos integrales elpticas de
primera especie, haciendo cambios de variable. El primer cambio es =+/2
El segundo cambio de variable es
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Finalmente, calculamos la raz de la ecuacin
El programa interactivo al final de esta pgina, calcula las integrales elpticas de
primera especieE(k, /2) yE(k, ) mediante el procedimiento de
Carlson. VaseNumerical Recipes in C,Special functions. Captulo 6. La raz de la
ecuacin se obtiene por el procedimiento del punto medio.
Clculo de las coordenadas (x/L , y/L ) de cada punto de la barra deformada
El clculo dex/Lno reviste dificultad alguna. Conocido 0, se calculax/Lpara cada
ngulo en el intervalo (0, 0). La posicinxfdel extremo libre es
El clculo dey/Les ms problemtico. Conocido 0, se determina laordenaday/Lpara cada ngulo en el intervalo (0, 0) calculando la integral
definida,
por el procedimiento numrico de Simpson
Cuando 0el denominador de la integral tiende a cero. El ordenador no calcula
correctamente la ordenadayf/Ldel extremo libre de la barra cuando =0. Parasolucionar este inconveniente, empleamos el procedimiento de interpolacin que se
muestra en la figura.
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Calculamos las coordenadas (x/L, y/L) para el ngulo =0-,siendo un
ngulo pequeo
Calculamos la abscisaxf/Lpara el ngulo 0
La ordenadayf/Lse obtiene resolviendo el tringulo rectngulo de la figura
Aproximacin de pequeas flexiones
Para pequeas flexiones cuando el ngulo 0es pequeo. Sustituimos seny
escribimos la ecuacin que calcula 0.
El resultado es0=
Las coordenadas (x, y) de cada punto de la barra se aproximan a
Para el extremos libre de la barra, cuando =0=,xf=L, lo que implica que en la
aproximacin de pequeas flexiones, no hay desplazamiento horizontal del extremo
libre de la barra.
La ordenadayla podemos aproximar
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Integrando por partes y despus de hacer algunas simplificaciones obtenemos la
siguiente expresin
Las coordenadasxey, las hemos expresado en funcin del parmetro , eliminando
el parmetro obtenemos la funciny=f(x) que describe la flexin de la barra cuando
se aplica una fuerzaFen su extremo libre.
Para el extremos libre de la barra, cuando =0=,x=L,
Lmite de la aproximacin de pequeas flexiones
En la figura, se muestra la desviaciny/Ldel extremo libre de la barra en funcin
del parmetro adimensional .
En color rojo, los resultados del clculo, empleando procedimientos numricos,
descrito en el apartado anterior
En color azul, la recta y/L=2/3, aproximacin de pequeas flexiones
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Podemos considerar, que la aproximacin lineal produce resultados aceptables hasta
un cierto valor lmite del parmetro mo bien, hasta un cierto valor mximo de la
fuerza aplicadaFmen el extremos libre de la barra
Actividades
Se introduce
El parmetro adimensional , proporcional a la fuerza Fsobre el extremo libre,
actuando en la barra de desplazamiento titulada Fuerza
Se pulsa el botn titulado Calcular
Se representa una barra de longitud L=1 m deformada por la fuerza Faplicada en su
extremo libre. Se proporcionan los datos de las coordenadas (xf, yf) de dicho punto y el
ngulo 0, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con el eje horizontal
X.
Ejemplo:
Sea una regla de acero de longitud L=30 cm, seccin rectangular a=3.04 cm, y b=0.078 cm.
El mdulo de Young es Y=2.061011N/m2
El momento de inercia Ivale
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Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que =0.25, es decir
observamos en el programa interactivo que se encuentra enxf/L=0.98 e yf/L=0.16, es decir,
axf=29 cm, e yf=4.8 cm del extremo fijo.
Aplicando la aproximacin de pequeas flexiones
En la aproximacin de pequeas flexionesxfL, no hay desviacin apreciable en sentido
horizontal y la desviacin en sentido vertical yfes proporcional a la fuerza Faplicada en el
extremo libre.
Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que =1.25, es decir
observamos en el programa interactivo que se encuentra enxf/L=0.79 e yf/L=0.56, es decir,
axf=24 cm, e yf=17 cm del extremo fijo.
Aplicando la aproximacin de pequeas flexiones
En la aproximacin de pequeas flexiones deja de ser vlida ya que hay una desviacin
apreciable en sentido horizontal y la desviacin en sentido vertical yfya no es proporcional
al a la fuerza Faplicada en el extremo libre.
Se sugiere al lector, representar tres grficas: en el eje X, del parmetro adimensional ,
en eje Y:
1. El ngulo 0, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con el eje
horizontal
2.
La desviacin del extremo libre a lo largo del eje X, x=1.0-xf
3.
La desviacin del extremo libre a lo largo del eje Y, y=yf