Fluidodinamica - Home - people.unica.itFluidodinamica Fisica x Biologi 2018 Fabio Bernardin i La Fluidodinamica è quella branca della Meccanica che si occupa della descrizione del

Fluidodinamica

Fisica x Biologi 2018 Fabio Bernardini

La Fluidodinamica è quella branca della Meccanica che si occupa della descrizione del moto dei fluidi ed in particolare dei liquidi. !

Gli stati della materia sono tre:!

•  Solido conserva forma e volume !

•  Liquido conserva il volume ma non la forma !

•  Gassoso non conserva ne volume ne forma !

In realtà i liquidi reali sono leggermente compressibili ma in questa trattazione assumeremo che essi siano incompressibili.!

1

Grandezze intensive e grandezze estensive


Nello studio dei liquidi e poi ancora di più dei gas, inconteremo due tipi di grandezze: intensive ed estensive.!

Sono estensive le grandezze fisiche di un materiale o di una sostanza che dipendono dalla dimensione del campione: la massa, il peso, la lunghezza, il volume, l'energia. Sono intensive le proprietà fisiche di un materiale che non dipendono dalla dimensione del campione: la densità, la temperatura, la pressione, il colore. !

Le grandezze intensive sono definibili punto per punto allʼinterno del corpo, indipendentemente dalla sua forma e volume.!

2

Densità


Nello studio dei liquidi hanno un ruolo importante le grandezze intensive, fra di esse abbiamo la densità e la pressione.!

La densità di un liquido in un punto non è altro che il rapporto fra il volume di una sferetta piccolissima centrata nel punto e la massa in esso contenuta: !

La densità si misura in kg / m3. Se essa è costante in ogni punto la densità è uniforme.!Il più importante liquido è lʼacqua che ha una densità di 1000 kg/m3.!

3

€

d =mV

Pressione


La pressione è unʼaltra grandezza intensiva importante.!La pressione in un punto è definita considerando una piccolissima superficie circolare centrata nel punto e la forza che il liquido da una parte della superficie esercita sullʼaltra parte in direzione perpendicolare alla superficie stessa. !

4

€

p =FnΔS

=F⋅ nΔS

La pressione è una grandezza scalare la cui unità di misura è una forza diviso unʼarea: N/m2. Questa grandezza è così importante che al N/m2 viene dato il nome di Pascal [Pa].!

Principio di Pascal


Se immaginiamo un liquido immobile abbiamo che le componenti delle forze agenti sulle superfici ad esse tangenti sono nulle, altrimenti il fluido accelererebbe. Quindi sulla superficie di un liquido le forze sono perpendicolari.!

5

Abbiamo inoltre che la pressione non ha una direzione: isotropia della pressione. Infatti in un liquido immobile gli atomi che circondano un punto esercitano forze che si equilibrano. Quindi la forza che agisce su una superficie deve essere indipendente dal suo orientamento. !

Lʼisotropia della pressione porta poi al Principio di Pascal. La pressione che si esercita sulle pareti di un recipiente riempito da un fluido è la stessa in tutti i punti ed è uguale alla pressione alla superficie nel caso il fluido sia un liquido.!

Quindi un palloncino riempito di aria ha la stessa pressione in qualunque punto della membrana.!

Legge di Stevino


Il Principio di Pascal si applica rigorosamente solo ad un fluido privo di massa. !I gas sono spesso una buona approssimazione di fluido senza massa. !

6

Nel caso dei liquidi appare chiaro che ad una certa profondità oltre alla pressione superficiale abbiamo la pressione esercitata dal liquido stesso che sovrasta il punto di misura, essa è detta pressione idrostatica. !

Se la densità è uniforme vale la Legge di Stevino. La pressione idrostatica esercitata dal liquido stesso in un punto a profondità h dipende dalla densità del fluido e dalla accelerazione di gravità:!

€

pI =FnΔS

=mgΔS

=mghhΔS

= dgh

Combinando il P. di Pascal con la legge di Stevino possiamo dire che tutti i punti alla stessa profondità hanno la stessa pressione se il fuido è fermo.!

Unità di misura della pressione


Attualmente sono utilizzate varie unità di misura per la pressione che non appartengono al SI. !

7

La pressione del sangue è misurata in mmHg ed è la pressione idrostatica ad 1 mm di profondità nel mercurio. Sapendo che la densità del mercurio è 13600 Kg/m3, abbiamo: 1 mmHg = 133 Pa. !Questa conversione dipende dallʼaccerazione g e quindi non è costante in tutti i punti per cui il mmHg è stata scartata nellʼuso scientifico. !

Analogo discorso per il cmH2O = 98.1 Pa.!La pressione media dellʼatmosfera al livello del mare a 0 ˚C è convenzionalmente data da 760 mmHg = 101000 Pa.!

Lʼunità di misura della pressione utilizzata in meteorologia è il bar che è ben definita: 1 bar = 105 Pa.!

Principio di Archimede


A causa della pressione che cresce con la profondità, un corpo immerso in un liquido/gas riceve una spinta verso lʼalto. !

8

Il Principio di Archimede stabilisce che la spinta verso lʼalto è pari al peso del volume del liquido/gas spostato. !

Il Principio di Archimede permette di conoscere il volume di un corpo che è immerso in un liquido mentre sta galleggiando. !

Questa formula porta alla conclusione che un corpo può galleggiare solo se la sua densità media è inferiore a quella del liquido/gas in cui è immerso.!€

F = mg =Vdg

V =md

Principio dei vasi comunicanti


La legge di Stevino ci dice che la pressione è la stessa ad uguale profondità. Sappiamo inoltre che sulla superficie di un liquido la pressioone è quella atmosferica. Una conseguenza di questa legge è che siccome la pressione atmosferica in una località è costante, se due vasi sono in comunicazione alla loro superficie la pressione è la stessa quindi lʼ altezza del liquido nei vasi comunicanti è la stessa.!

9

Fluidi in movimento: moto stazionario


Un fluido è composto da moltissime particelle (molecole) che si muovono. Lo studio di tutti questi movimenti è proibitivo. Esiste però un caso molto frequente in cui il problema di un fluido diviene semplice. Si tratta del moto stazionario. !

10

In un moto stazionario, la velocità delle particelle del fluido dipende solo ed esclusivamente dalla loro posizione allʼinterno del fluido. !

Osservando che la velocità è sempre tangente alla traiettoria se ne deduce che la traiettoria di tutte le particelle che passano in un punto è la stessa e non dipende dal tempo. !

Le linee che descrivono le traiettorie delle particelle del fluido di chiamano linee di corrente o di flusso. Le linee di corrente non si intersecano mai. !

Flusso ed equazione di continuità


Definiamo portata o flusso il volume di fluido che attraversa una sezione di un tubo nellʼunità di tempo. La portata è una grandezza scalare che si misura in m3/s. !

11

Se un fluido è incompressibile (liquido) allora la portata di un tubo sarà costante, se non ci sono perdite. !

Se la velocità della particelle è la stessa in tutti i punti il calcolo della portata Q è semplice:!

€

Q =VΔt

=SΔlΔt

= Sv

Se la sezione del tubo cambia la portata si conserva e si modifica la velocità:!

€

Q = S1v1 = S2v2 ⇒S1S2

=v2v1

Questʼultima è lʼequazione di continuità di un liquido.!

Teorema di Bernoulli


Se un liquido scorre senza attrito ed è incomprimibile è detto liquido perfetto. !

12

Nei liquidi perfetti si conserva lʼenergia meccanica. !

Ora noi sappiamo che quando una particella si muove in un campo conservativo da un punto A ad un punto B soggetta ad una forza esterna possiamo calcolarne la velocità finale attraverso la conservazione dellʼenergia:!

€

L + EA = EB

F⋅ sAB +12mvA

2 +UA =12mvB

2 +UB

Il lavoro compiuto si aggiunge allʼenergia meccanica e va in parte nella variazione dellʼenergia potenziale U ed in parte nella variazione dellʼenergia cinetica.!



Per applicare la formula ad un liquido bisogna adattarla. Bisogna infatti notare che su un liquido in un tubo agiscono due forze, una a ciascun estremo del tubo dovute alla pressione e di segno opposto. !

13

I tre addendi ottenuti si chiamano: altezza geometrica, altezza piezometrica ed altezza cinetica. La somma delle tre è sempre la stessa in tutto il tubo. Questo è il Teorema di Bernoulli.!

€

F⋅ sAB +12mvA

2 +UA =12mvB

2 +UB

€

pAV − pBV +12mvA

2 +mghA =12mvB

2 +mghB

pA +12dvA

2 + dghA =12dvB

2 + dghB + pB

hA +pAdg

+vA2

2g= hB +

pBdg

+vB2

2g


Fisica x Biologi 2018 Fabio Bernardini 14

Le tre altezze definite nel teorema di Bernoulli hanno un significato fisico immediato. La prima h è la profondità cambiata di segno. Lʼaltezza piezometrica è lʼaltezza alla quale una certa pressione è in grado di spingere il liquido nel caso di velocità nulla. !Per capire lʼaltezza cinetica dobbiamo immaginare di sparare il liquido come in una fontana con velocità v in verticale. Lʼaltezza raggiunta dallo zampillo sarà esattamente lʼaltezza cinetica.!

Teorema di Torricelli


Un caso particolare del teorema di Bernoulli è dato dal liquido che fuoriesce da un contenitore ad una profondità h attraverso un forellino.!I due punti di riferimento da utilizzare sono la superficie del liquido e il forellino. Sulla superficie, che è ferma (v=0), la pressione è quella atmosferica e lʼaltezza dal forellino è h. Nel forellino la pressione è sempre quella atmosferica ma lʼaltezza geometrica è zero. Quindi tutta lʼaltezza geometrica si trasforma in altezza cinetica. !

€

h +pAdg

=pBdg

+vB2

2g

h =vB2

2gvB = 2ghASi può notare che la velocità di fuoriuscita del liquido è pari a quella di una particella che cade da una altezza h. !

Fluidi viscosi


Nella realtà i fluidi sono soggetti ad attriti interni e anche con le pareti. Gli attriti trasformano irreversibilmente lʼenergia cinetica in calore. !Si ha quindi una perdita di energia meccanica dovuta allʼattrito.!Per mantenere costante la portata di un tubo occorre esercitare su uno degli estremi una differenza di pressione Δp.!Il rapporto fra Δp e portata Q è la resistenza R del tubo. !

€

R =ΔpQ

Flusso laminare e turbolento


A seconda della velocità con cui un fluido si muove in un tubo il moto può essere laminare o turbolento. !

Nel moto laminare la velocità è parallela alle pareti. Nel moto turbolento il fluido forma dei vortici. Il moto turbolento non è un moto stazionario mentre quello laminare può essere stazionario. Lo è in genere se la pressione è costante nel tempo. !

Flusso laminare e viscosità


Una delle caratteristiche del moto laminare è che la velocità si annulla alle pareti. Vicino alle pareti infatti la velocità è proporzionale alla distanza dalla parete stessa. Questo è lʼeffetto della viscosità. !

Per capire la viscosità è utile fare un paragone con lʼelasticità.!Per tenere piegata una barra elastica debbo esercitare una forza costante per ottenere una deformazione che cresce linearmente con la distanza dallʼestremo della barra (figura a sinistra).!Nel liquido invece la forza non serve per deformare la posizione ma per “deformare” il campo di velocità (figura a destra). !

Flusso laminare e viscosità


Se lʼacqua scorre liberamente su un piano inclinato tutte le sue molecole riceverranno la stessa spinta, ma la velocità delle molecole sarà proporzionale alla distanza dalla superficie del piano inclinato, come nella figura sotto. !

Quindi il rapporto v/δ è costante e anche proporzionale alla forza applicata al fluido ed inversamente proporzionale allʼarea di attrito: !

€

FA = −ηA vδ

La costante η (eta) è la viscosità del fluido. Essa è un grandezza scalare che ha le dimensioni di una forza diviso unʼarea per un tempo. La sua unità di misura è il Pa s. !

Formula di Poiseuille


Il movimento di un fluido viscoso è molto complesso. Un caso semplice è dato dal flusso laminare in un tubo cilidrico. In questo caso la resistenza è data da: !

€

ΔpQ

= R =8πηlr4

Dove r e il raggio del cilindro e L la sua lunghezza.!

La portata di una condotta può quindi essere facilmente scritta in termini di differenza di pressione e viscosità (formula di Poiseuille): !

€

Q =πr4

8ηlΔp

Se ne deduce che per avere una portata costante bisogna mantenere una differenza di pressione costante nellʼunità di lunghezza del tubo. !

Velocità in una condotta


Nel caso di flusso laminare abbiamo anche unʼaltro aspetto interessante. Lʼesperienza ci insegna che in un fiume la corrente scorre più veloce al centro e più lenta a bordi. !

In un tubo cilindrico lʼandamento della velocità è esattamente parabolico con un massimo al centro e un valore nullo al bordo. Esso è esprimibile in termini della distanza r dal centro del tubo di raggio R:!

€

v(r) =Δp4ηl

R2 − r2( )

Moto turbolento e numero di Reynolds


Superata una certa velocità il moto del fluido diviene turbolento. La velocità media alla quale inizia il moto turbolento è detta velocità critica ed è espressa dalla formula:!

Dove il R è il raggio del cilindro d la densità del fluido ed Rey è il numero di Reynolds. Se Rey è maggiore di 1200 il flusso è turbolento.!

€

vc = Rey ηRd

Nel passaggio dal moto laminare al moto turbolento si ha un aumento della resistenza e una generazione di rumore che invece è assente nel moto laminare.!

Tensione superficiale e formazione di gocce


Fa parte della nostra esperienza quotidiana il fatto che piccole quantità di liquido su un piano formano delle gocce. Questo contraddice in apparenza le leggi della meccanica che suggerirebbero che il liquido debba diventare uno strato sottilissimo.!

Le gocce si formano perchè gli atomi che sono sulla superficie di un liquido sono soggetti a forze perpendicolari alla superficie dette forze di coesione. !

Le forze di coesione hanno come effetto quello di ridurre al minimo la superficie di un liquido. Infatti le gocce se sono molto piccole hanno forma sferica. !

Energia potenziale e tensione superficiale


Se gonfio una bolla di sapone debbo effettuare un sia pur piccolo lavoro. Si trova sperimentalmente che il lavoro necessario per allargare la superficie di un tale sistema è pari alla differenza fra area iniziale ed area finale: !

La grandezza tau ha le dimensioni di una forza diviso una lunghezza (N/m) ed è chiamata tensione superficiale. !Il nome è giustificato dal fatto che se si trasforma la bolla di sapone in una membrana di forma quadrata su ogni lato agisce una forza data da:!

Dato che il campo di forza è conservativo si può definire una energia potenziale superficiale: !

€

L = τ S f − Si( )

€

F = τl

€

U = −τS

Contatto fluido-fluido


La tensione superficiale giustifica il fatto che in alcuni casi si formino delle goccioline di liquido sulla superficie di unʼaltro liquido. !

Se ho due liquidi immiscibili quello più leggero formerà delle gocce a forma di lente sulla superficie dellʼaltro. Al bordo della lente agiranno tre forze tangenti alle superfici dei liquidi e che tendono a diminuire lʼarea della superficie. !

€

FτA +FτB +FτAB = 0

Una forza orizzontale dovuta alla tensione di B che tende a ridurre lʼarea di B ed allargare quindi la goccia. Un forza inclinata verso lʼalto dovuta alla tensione di A che tende a restringere la goccia. Un forza inclinata verso il basso dovuta alla tensione specifica della superficie fra i due liquidi. La forma della goccia deve soddisfare la condizione: !

Se tau di B è maggiore della somma degli altri due tau non si può avere soluzione e il liquidi a forma una strato sottile su B senza formare gocce.!

Capillarità


Nella nostra esperienza quotidiana osserviamo che, se immergiamo parzialmente nellʼacqua un solido poroso, lʼacqua sale anche al di sopra del suo livello superficiale. Questo fenomeno si chiama capillarità. !

Lo si può osservare bene confrontando il livello di tubicini aperti immersi in una vasca. Il livello del liquido non è lo stesso e la deviazione è più grande nei tubicini piccoli (capillari).!

Menisco


Si osserva inoltre che quando il livello del capillare è più alto la superficie del liquido è concava. Quando il livello del capillare è più basso la superficie del liquido è convessa. La superfice curva e detta menisco. !

La ragione è che gli atomi posti sul bordo della superficie percepiscono tre forze:!•  Gravità!•  Forza di coesione del liquido, parallela alla superficie e diretta al centro del tubo!•  Forza di adesione alla parete solida diretta perpendicolarmente alla parete !

Menisco


La superficie del menisco sarà diretta perpendicolarmente al vettore forza totale R. !

Si intuisce che se la forza di adesione (F2) è più grande della forza di coesione (F1) il menisco è concavo (figura a sinistra). !Se invece la forza di coesione è più grande il menisco è convesso. !


Fine capitolo

30

Documents

Fluidodinamica - Home - people.unica.itFluidodinamica Fisica x Biologi 2018 Fabio Bernardin i La Fluidodinamica è quella branca della Meccanica che si occupa della descrizione del