Fluidodinamica Delle Macchine Introduzione Agli Efflussi Nelle Turbomacchine e Alla Teoria Della Similitudine (1)

AA 2013-2014 Fluidodinamica celle macchine Prof. Mauro Villarini

1

Fluidodinamica delle macchine

Prof. Mauro Villarini

Introduzione alle turbomacchine e

alla teoria della similitudine

Effetti della viscosità del fluido

A parità di condizioni, la viscosità del fluido regolarizza

l’efflusso:

• Pensare ad una vena d’olio (molto viscoso) contro una

vena d’acqua

All’aumentare della velocità (con qualsiasi fluido) si osserva

che aumenta la turbolenza della vena:

• Con l’aumentare della velocità del fluido aumenta

l’effetto dovuto all’inerzia che prevale sull’effetto

regolarizzante della viscosità


Un parametro che permette di valutare quanto gli effetti

inerziali prevalgano su quelli viscosi è il numero di Reynolds:

La Forza di Inerzia è data dalla massa per un’accellerazione:

La Forza viscosa segue la formulazione di Newton:

Da cui:

Re2

3

cLLL

cL

LcL

F

F

v

i

cLF

i 3

L

cLF

v 2

Effetti della viscosità del fluido Il numero di Re esprime il rapporto tra le azioni di inerzia (perturbanti) e quelle viscose (regolarizzanti):

Per bassi Re prevalgono le azioni viscose e il profilo di velocità è facilmente calcolabile e risulta parabolico

La velocità media aritmetica si realizza a

detto regime di moto è detto laminare

Tale regime si ha per Re<2000 che difficilmente si realizza

2/* Rr

Effetti della viscosità del fluido Si prenda ad esempio un diametro interno di 100 mm

Si consideri aria a T ambiente visc cinematica=14e-6 m2/s

sme

e

dc /28,0

3100

2000614Re


Nella maggioranza di casi Re>2000 il regime si chiama

turbolento.

Il profilo di velocità non è più parabolico ma risulta

maggiormente uniforme all’aumentare di Re.

Il profilo è del tipo:

Molti autori suggeriscono:

n=1/7 per Re<100.000,

n=1/8 per 100.000<Re<400.000

Effetti dell’elasticità del fluido

Tutti i fluidi sono comprimibili, essi riducono il loro volume

quando assoggettati ad un aumento di pressione.

Questo avviene (anche se in maniera modesta) anche per

quei liquidi definiti incomprimibili.

La comprimibilità fa sì che una qualsiasi pertubazione (una

varizione di pressione istantanea ad esempio) si propaghi

nel dominio del fluido con una velocità finita


La comprimibilità del fluido può essere definita, similmente

ai solidi elastici, da un modulo elastico:

La derivata dp/dρ ha le dimensioni di una velocità al

quadrato:

c* è proprio la velocità di propagazione di una pertubazione

dp nel fluido


Minore è la variazione di volume del fluido per un dp e più

elevata è la c*, se il fuido fosse incomprimibile c*=∞

Nell’acqua in condizioni ambiente, una p=105 Pa (1 bar)

produce una variazione di 0,1 kg/m3

Tale valore è talmente elevato da potersi considerare

infinito


Per un gas in condizioni adiabatiche:

Il valore di c* così calcolato è in realtà il valore minimo della

velocità di propagazione, corrispondente ad una

perturbazione infinitesima.

Binder ha dimostrato che se p è la pressione del fluido e p’

quella di innesco della perturbazione:

Regimi di moto subsonico,

transonico e supersonico I problemi connessi con la velocità di propagazione delle pertubazioni nel fluido meritano attenzione quando la velocità c del fluido è comparabile con c*.

Nell’aria in condizioni ambiente (k=1.4, p=100 kPa, ρ=1,2 kg/m3)c*=410 m/s.

La velocità del fluido può raggiungere valori ben maggiori di questo.

Risulta significativo il rapporto c/c* che prende il nome di numero di Mach (Ma)

Numero di Mach (Ma)

Il numero di Mach rappresenta la radice quadrata del

rapporto tra le forze di inerzia Fi =ma e le forze elastiche

Fe=EL2:

Numero di Mach (Ma)

• Quando Ma<1 il regime si chiama subsonico, i fenomeni

elastici meritano attenzione a partire da Ma=0,3-0,4

• Per Ma=1 il regime si chiama transonico

• Per Ma>1 il regime si chiama supersonico

• Quando Ma>5 il regime si chiama ipersonico

Una perturbazione si muove all’interno di un fluido, nel

riferimento assoluto con velocità=c*-c

Numero di Mach (Ma)

a) Se c=0 si ha un’onda stazionaria di propagazione

b) Se c>0 ma c<c* la pertubazione viaggia più velocemente nel verso del moto (c*+c) e più lentamente nel verso opposto (c*-c).

c) Per Ma=1, c=c* non vi è avanzamento della pertubazione nel verso contrario al moto(si crea una zona del silenzio)

d) Nel moto supersonico, le linee di Mach creano un cono inclinate di un angolo α, tale che senα=c/c* e quindi

Numero di Mach (Ma) In un condotto le perturbazioni ha sempre origine che può

considerarsi puntiforme (un’asperità…), l’onda di Mach è

sempre obliqua nel moto supersonico come visto

precedentemente.

C’è da dire che le perturbazioni nei condotti non sono di

tipo sonoro (lieve intensità e perciò reversibili) ma sono

sempre di carattere dissipativo, l’onda che propaga le

perturbazioni prende il nome di onda d’urto

Efflussi del Fanno Si consideri un condotto fisso in cui si sviluppi un efflusso

adiabatico, l’entalpia totale è necessariamente

costante.

Se non ci sono attriti la velocità del fluido c è costante se la

sezione del condotto è costante, di conseguenza anche H

(entalpia termodinamica)

Efflussi del Fanno Se vi sono attriti, questi dissipano energia in calore

dilatando il fluido, riducendone la densità:

•Perché la portata rimanga costante (continuità) quindi

deve aumentare la velocità c del fluido.

L’entalpia termodinamica si riduce nel corso dell’efflusso:

Efflussi del Fanno e del Reylegh I diagrammi dell’entalpia H in funzione di ν=1/ρ, in un

efflusso con attriti a sezione costante prendono il nome di

curve del Fanno:

Tanto più decrescente all’aumentare del numero di Ma

iniziale

Schiere Palettate Si definiscono schiere palettate insiemi regolari di pale

disposte a simmetria centrale con centro di simmetria posto

di norma sull’asse geometrico della macchina.

Tra le pale contigue è definito un condotto, tali condotti

sono tutti uguali e tanti quanto le pale:

Schiere Palettate

Schiere Palettate

Schiere Palettate Una turbomacchina elementare è costituita da due schiere

affacciate di pale, i cui condotti sono percorsi dal fluido in

successione:

1. Una fissa alla cassa chiamata statorica

2. L’altra calettata sull’albero e detta rotorica

Solo la rotorica è in grado di scambiare lavoro con l’esterno

(tramite l’albero)

Quella statorica ha il compito di produrre trasformazioni

energetiche nel fluido necessarie al corretto funzionamento

della macchina.

Schiere Palettate Una turbomacchina elementare è costituita da due schiere

affacciate di pale, i cui condotti sono percorsi dal fluido in

successione:

1. Una fissa alla cassa chiamata statorica

2. L’altra calettata sull’albero e detta rotorica

Solo la rotorica è in grado di scambiare lavoro con l’esterno

(tramite l’albero)

Quella statorica ha il compito di produrre trasformazioni

energetiche nel fluido necessarie al corretto funzionamento

della macchina.

Schiere Palettate Quando è possibile ottenere una trasformazione completa

in un singolo passaggio (statore-rotore) la macchina si

chiama monostadio.

Molto spesso si ha bisogno di porre in cascata più gruppi

statore-rotore, in questo caso la macchina è polistadio.

Schiere Statoriche Le schiere palettate statoriche possono essere:

1. Accelleranti in questo caso vengono utilizzate nelle

macchine motrici per trasformare la caduta entalpica del

fluido in energia cinetica

2. Diffondenti, quest’ultime utilizzate a valle delle giranti

delle macchine operatrici al fine di trasformare l’energia

cinetica del fluido in energia di pressione (compressori)

Ugelli Quando la portata è modesta, invece di più condotti che il

fluido deve percorrere parallelamente, si possono utilizzare

uno o più condotti detti ugelli.

Nell’equazione dell’energia:

dQ=0 (adiabaticità),

dL=0 (fermo)

dLp=0 (trascuriamo al momento

gli attriti)

Ugelli

Ipotizzando che c0 =0

p

p

p

k

kpp

k

k

pA

k

kA

k

kdAk

dAkc

dAkdpAp

dpc

p

p

p

p

k

p

p

kp

p

k

kk

p

p

0

0

0

0

0

0

00

1

0

2

0

12

1

0

2

111

112

2

Sapendo che kk

p

p

p

p/1

0000

k

p

p

p

pp

k

k/1

000

0 11

Ugelli

Ipotizzando che c0 =0

(all’ingresso dell’ugello) la

seconda integrata porta alla

nota equazione di De Saint

Venant

Ugelli

Durante l’efflusso per la continuità della portata la sezione dovrà variare inversamente a ρc

Ipotizzando che ps=0 (allo scarico sia bassa, quindi ρs

bassa-> ρsc≈0

Sapendo che c0=0-> ρc=0

Sia avrà una porzione del condotto dove ρc è massima e quindi la sezione Ω minima

In essa la p sarà chiamata p critica (pc)

Per determinare il rapporto pc/p0 che rende massimo ρc (anche il

suo quadrato) basterà derivare ρ2c2 e porlo uguale a 0

Ugelli

Si ottiene quindi

Ugelli

1

0

1

0

1

0

2

0

1

0

2

0

1

2

1

2

1212

k

k

c

k

k

kk

k

kk

k

kppp

p

p

k

p

p

k

k

p

p

kp

p

k

k

p

p

k

Ugelli

I valori della velocità e della densità corrispondenti vengono detti critici

Ricordando che:

cc è quindi uguale alla velocità del suono nelle condizioni esistenti in Ωc

Ugelli

Nota la portata, lo stato del fluido a monte, la pressione a

valle e la trasformazione politropica(as esempio adiabatica):

a)Se la p1>pc per la p0 a monte, la sezione Ω1 è data da

dove ρ e c sono forniti da:

Condotto solo convergente

Ugelli



Se la p1=pc per la p0 a monte, la sezione sarà quella Ωc

Condotto solo convergente

Ugelli



Se la p1<pc per la p0 a monte, il condotto sarà convergente-

divergente. Angolo di apertura divergente 10-12° massimi per

evitare scollamenti della vena fluida

Equazioni di Hugoniot

Prendiamo l’eq. dell’energia

Per l’adiabaticità:

da cui:

Prendiamo Eq. Di continuità nella forma:

0

dd

c

dc


Tale prima espressione di Hugoniot (per flussi adiabatici

isoentropici di fluidi comprimibili):

A monte della Ωc dΩ<0 e dc>0 quindi Ma<1

A valle dΩ>0 e dc>0 quindi Ma>1

Quindi nella Ωc dΩ=0 e Ma=1

Con sviluppi analoghi otteniamo la 2° espressione di Hugoniot:


La terza equazione di Hugoniot valida per gas per efflussi

adiabatici reali (non isoentropici)

Eq Energia in forma termica

sapendo che

Dividendo e moltiplicando per T il 2°termine

Infine dividendo per c2


La terza equazione di Hugoniot valida per gas per efflussi

adiabatici reali (non isoentropici)

Eq Energia in forma termica

sapendo che

Dividendo e moltiplicando per T il 2°termine

Infine dividendo per c2

Comportamento Ugelli Fuori

Progetto

Si consideri un condotto convergente-divergente progettato per

un p0 e una p1 il diagramma delle p è quello contrassegnato con

0


Progetto

Si consideri una ps = poco inferiore a p0 tale che lasci il

moto con Ma<1

1- Il fluido nel tratto convergente accellera espandendo, la p cala

2- Nella Ωc dΩ=0->dc=0 si raggiunge la cmax e la pmin

3-nel tratto divergente l’opposto di 1


Progetto

Ad una ps = si crea pc

1- Nella Ωc si raggiunge Ma=1, il diagramma delle p e delle c mostra una discontinuità nella sezione critica (punto C)

Rimandendo i due rami subsonici non c’è rilevante differente rispetto al caso precedente


Progetto

Ad una ps > fino a quella di progetto

Si crea un’onda d’urto, la p procede come 0 (di progetto), fino ad una certa sezione Y

Dove la p cresce bruscamente fino ad Y’ per poi crescere gradatamente in regime subsonico Ma<1

La discontinuità riporta il flusso da Ma>1 a Ma<1


Progetto

A misura che si riduce la pressione allo scarico dell’ugello, la

sezione del tratto divergente dove si genera l’onda d’urto si

ssposta sempre più a valle

È possibile costruire il luogo dei punti

come Y’ Z’ ecc., rappresentativi della

pressione a valle dell’urto.

Diagramma e Cono di stodola

Si effettui l’espansione di un fluido con trasfomazione di energia potenziale in energia cinetica, in un ugello con c0=0, in assenza di attriti.

La portata massica rapportata alla sezione sarà:

Considerando la trasformazione adiabatica:

Si ottiene


Questa formula mostra come si annulli la portata massica per

p1/p0=0 e p1/p0=1

Costruendo un diagramma avente in ascisse la p1 e in ordinate

la portata in massa, si ottiene un diagramma ellittico con

massimo nella pc


Il significato fisico della curva è solo a destra, per p1< pc si

verifica sperimentalente che la portata in massa non varia e

resta= a Mc, la portata in massa del tratto convergente deve

permanere anche in quello divergente, M dipende solo da p0 e

pc

La curva ha perciò andamento rettilineo.


Tale portata Mc

Con l’equazione di Poisson e

Se le condizioni di efflusso sono tali da instaurare una pressione

critica, la portata è funzione solo delle condizioni a monte


Il diagramma delle portate pur mantenendo la forma si

diversifica al variare di p0

In uno spazio a 3 variabili il grafico di prima diventa un cono,

cono di Stodola


Prendendo la sezione a p1=cost si ottiene

Costituito da due tratti

1-rettilineo(sezione della fascia piana)

2-tratto di iperbole

Tale diagramma mostra la M in funzione della p0

Comportamento reale degli

Ugelli

Eliminiamo l’ipotesi di:

1. c0=0

2. Lp=0

Iniziamo a considerare Lp=0 ma c0≠0

Integrando l’equazione dell’Energia in forma termica:

quindi

0110

2

0

2

1

2HHH

cc

01

2

012 Hcc


Ugelli

Riferiamoci però alla forma meccanica

Esprimendo c0 tramite la portata

Tramite l’equazione di Poisson

Si ottiene

111000 ccM

1

0

2

0

2

1

2

dpcc

k

k

p

pp

k

kcc

1

0

1

0

02

011

1

2

2

0

1

2

0

12

1

2

0

cc

k

p

pcc

/2

0

1

2

0

12

1

2

0

k

k

k p

pp

k

k

p

pc

1

0

1

0

0

/2

0

1

2

0

1

11

1

2

1

1


Ugelli

La velocità finale è sempre fornita da De Saint Venant ma

moltiplicata per un coefficiente correttivo:

Tale fattore è sempre > di 1 tranne che per c0=0


Ugelli

Se c≠0 si voglia determinare il rapporto pc/p0

Se si prolunga idealmente l’ugello a monte fino a raggingere

una velocità c0=0


Ugelli

Sapendo che:

Nel caso di c0>0 a parità di p0, pc aumenta rispetto a c0=0


Ugelli

Caso Lp>0

Nel piano entalpico un’espansione adiabatica è la retta 0-1l se

isoentropica e 0-1r se reale

A parità di p1 e p0 il ΔH sfruttato è minore


Ugelli

Per tener conto degli attriti si inserisce un coefficiente di velocità

Stodola propose (con l=lunghezza condotto e d=diametro)

Il Vavra propone la seguente formula

Configurazione dei condotti

statorici

Gli ugelli ad asse rettilineo sono scarsamente impiegati nelle

turbomacchine, poichè questi devono anche distribuire il fluido

sulla palettatura rotorica.

Esse sono ad asse curvo, disposte su una superficie cilindrica

e collocate in parallelo.


statorici

Nell’ ipotesi di pale prive di spessore, la sezione risulta

proporzionale a senα, l’ugello risulta convergente come

necessario per flussi subsonici

Per la continuità:


statorici

Nell’ ipotesi di pale prive di spessore, la sezione risulta

proporzionale a senα, l’ugello risulta convergente come

necessario per flussi subsonici

Per la continuità:

così ρc varia con senα

per compensare si sceglie h e D

in modo da compensare ρ


statorici

La velocità c del fluido aumenta come si riduce α per esempio

se c1/c0=3,86 per le energie cinetiche:

Normalmente le pale hanno uno spessore non trascurabile va

considerato quindi un coefficiente di ostruzione

Rendimento degli Ugelli

Oppure

Nel caso di c0=0 le due coincidono altrimenti:

Diffusori

Hanno scopo inverso agli ugelli, cioè servono a rallentare il

fluido, trasformando in energia di pressione parte della loro

energia cinetica.

Secondo le equazioni di Hugoniot se l’efflusso è subsonico la sezione deve aumentare, viceversa se l’efflusso è supersonico.

Sono posti a valle di pale rotoriche di compresori


72


73

Si prenda innanzi tutto in esame un condotto mobile di una macchina

radiale centrifuga

Sia O la traccia dell'asse geometrico dell'albero

TRIANGOLI DI VELOCITÀ. MOTO ASSOLUTO E RELATIVO DEL FLUIDO

La palettatura è animata dalla velocità angolare ω,

ogni punto della girante possiede una velocità di trascinamento u, con

u1<u2: u1= ω r1 u2= ω r2

Nelle macchine assiali u1=u2


75

Perché il fluido entri nella palettatura in condizioni di minime

resistenze, un osservatore solidale con il rotore dovrà vedere arrivare il

fluido con una velocità relativa w1 diretta secondo l'angolazione β1


La velocità assoluta c1 cioè rispetto ad un riferimento fisso sarà:

c=w+u

i noti triangoli di velocità


77

Si prenda un condotto piano la traiettoria relativa di una particella fluida

sia 1-2 mostrato in figura

Un osservatore fisso vedrà muoversi tale particella secondo 1-2’ (si

riformano i triangoli di velocità)

Facendo così per tutte le traiettorie infinitesime si ricavano i tubi di

flusso assoluto e relativo



78

Facendo così per tutte le traiettorie infinitesime si ricavano i tubi di

flusso assoluto e relativo

I due tubi di flusso hanno la sezione 1 in comune quindi dovrà essere

In cui Ωc è l’area normale a c e Ωc a w



80

Dalla figura si vede che c2 e w2 hanno la stessa proiezione sulla

normale:

c2m=w2m wsenβ=csenα

Dove m indica la componente meridiana

Che effettivamente smaltisce la portata



81

Si riprenda l’equazione dell’impulso al caso di macchina assiale,

trascurando il peso del fluido, Fs forza esercitata, M portata fluido

La potenza per unità di portata è:

Scambi di lavoro tra fluido e palettatura


82

Ovviamente tale equazione può essere scritta anche in riferimento al

condotto relativo:

Ovviamente P deve essere uguale quindi:



83

Si prenda in considerazione ora la macchina radiale con riferimento al

condotto assoluto,

chiamando il momento delle forze trasmesse dal fluido alla

palettatura:

Se u1=u2=u si torna all’espressione per la macchina assiale



85

Si può ottenere infine un espressione di P applicando il teorema di

Carnot:

E quindi diventa



86

In questa espressione ci sono tre termini distinti:

1. La variazione di energia cinetica assoluta del fluido

2. La variazione dovuta alle azioni di inerzia

3. Gli effetti indotti dalla variazione di velocità rotorica del fluido

La formula mostra che per favorire lo scambio di potenza tra fluido e

palettatura le macchine radiali :

1. Se motrici (centripete) u1>u2

2. Se operatrici (centrifughe) u1<u2



87

La formula mostra che per favorire lo scambio di potenza tra fluido e

palettatura le macchine radiali :

Se motrici (centripete) u1>u2 Se operatrici (centrifughe) u1<u2



88

Il grado di reazione è quell’indice che misura il rapporto tra variazione

entalpica termodinamica subita nella palettatura rotorica rispetto alla

totale

Nelle turbomacchine motrici la palettatura statorica produce una certa

caduta entalpica e perciò R<1

Spesso tutta la caduta entalpica si sviluppa nello statore R=0, la

macchina si dice ad azione, a reazione le altre

Nelle macchine operatrici alla palettatura rotorica è affidato il compito di

conferire energia al fluido, non esistono macchine ad azione

Grado di reazione


89

Sia la trasformazione reale indicata da 0-1-2

Il grado di reazione è:

Grado di reazione


90

È utile esprimere il grado di reazione R in funzione della velocità del

fluido:

Eq energia adiabatica:

Grado di reazione


91

Nella palettatura statorica dL=0 perciò l’integrale diventa:

Nella palettatura rotorica invece tenuto conto di:

Nelle macchine assiali:

Solo quest’ultime possono essere ad azione ponendo w1=w2

Grado di reazione


92

Nella palettatura statorica dL=0 perciò l’integrale diventa:

Forme delle palettature rotoriche

Nelle turbine ad azione R=0 deve

essere w1=w2

Senza attriti simmetria della schiera

rotorica

Se così fosse nella realtà si avrebbe

w2<w1 a causa delle perdite, perciò si

conferisce una leggera espansione


93

Percorso termodinamico di una macchina ad azione con leggera

espansione, (Figura a sinistra)

Dovendo l’espansione solo compensare le perdite può essere pensata

isoentalpica

Se la palettatura fosse simmetrica gli attriti provocherebbero una

riduzione di E. cinetica con conversione in entalpia, R risulterebbe<0

(Figura destra)



94

Nelle turbine assiali a reazione w2>w1 perché esiste un espansione con

conseguente caduta entalpica


In genere si usa R=0.5

Statore e Rotore simmetrici


95

Nei compressori assiali le coppie di palettature si presentano:



96

In una palettatura assiale la continuità è:

ε è il coefficiente di ingombro delle palette

In genere si pone ρh=cost, se il fluido è incomprimibile h=cost,

altrimenti l’h deve compensare la variazione di densità.

In una compressione l’altezza delle palette deve diminuire, in un

espansione deve aumentare

Se quindi Dm non varia:



97

In una palettatura assiale la continuità è:

ε è il coefficiente di ingombro delle palette

In genere si pone ρh=cost, se il fluido è incomprimibile h=cost,

altrimenti l’h deve compensare la variazione di densità.

In una compressione l’altezza delle palette deve diminuire, in un

espansione deve aumentare

Se quindi Dm non varia:

Se R=0



98

Definiamo rendimento rotorico:

Il rendimento totale sarà:

Risulta quindi la media pesata dei singoli rendimenti , aventi come pesi

le cadute entalpiche, moltiplicata per un fattore di recupero ϑ>1

Rendimento della schiera rotorica


99

Estendendo il concetto di rendimento delle schiere anche agli aspetti cinetici

si ottiene il rendimento di palettatura

Di norma formulato per le turbomacchine motrici:

Rapporto tra il lavoro captato dalla palettatura rotorica e l’energia disponibile

a monte dello stadio:

• La caduta disponibile è ΔHAC

• Si aggiunge l’E. cinetica posseduta c02/2

• La trasformazione termodinamica è AC’’

• All’uscita il fluido ha E.cinetica c22/2

Il punto rappresentativo finale è quindi D

Mentre O è quello iniziale

L= ΔHOD Etot= ΔHOC



100

Si può scrivere:

Il rendimento di una turbomacchina è quindi comprensivo di un rendimento

termodinamico (visto prima) e uno cinetico



101

INIETTORI ED EIETTORI


102

Sono definiti Iniettori ed Eiettori macchine fluidodinamiche statiche, che hanno

lo scopo di trasferire un fluido, comprimendolo a spese dell’energia cinetica di

un altro fluido “vettore”, detto traente o motore.

•Gli Iniettori hanno la funzione di comprimere una portata liquida traendo la

necessaria potenza dal contenuto entalpico di un’adeguata portata del suo

vapore.

•Gli Eiettori generalmente vengono utilizzati per estrarre fluidi indesiderati da

ambienti in depressione o di produrre condizioni anche spinte di vuoto.

Principio di funzionamento Iniettori ed Eiettori


103

CENNI SULLA TEORIA DELLA SIMILITUDINE


104

Provare sperimentalmente il comportamento di certe macchine è

impossibile (si pensi ad un impianto di 600 Mwe)

È necessario stabilire un criterio che permetta di trasferire i risultati degli

esperimenti da modelli di laboratorio (di piccola scala) a impianti di

grande scala

Per questa ragione bisogna impostare una corrispondenza biunivoca di

fenomeni, risultati, grandezze fisiche

Si prenda ad esempio una turbina a vapore, questa possiede una

geometria, si prende una lunghezza caratteristica l, tutte le restanti

lunghezze si rapportano a questa formando numeri adimensionali

Li=li/l

Una volta fissati l e tali Li sarà nota la geometria della macchina

Criteri della similitudine


105

Si potranno così realizzare infinite macchine omotetiche, cioè

geometricamente simili

Tutte avranno lo stesso insieme Li

Si può quindi considerare tutta una famiglia di macchine aventi tutte lo

stesso insieme distintivo di rapporti Li

Si è quindi stabilita una similitudine geometrica

La dimensione fondamentale di una qualsiasi macchina della famiglia

(avente gli stessi Li) può essere rapportata alla dimensione fondamentale

del prototipo l0 ottenendo

λ=l/l0

λ sarà uguale a 1 per il capostipite



106

Ogni macchina di questa famiglia ha varie possibilità di funzionamento,

ad esempio, può ruotare più lenta o più veloce

Ci si riferisca ad un fenomeno che si verifica nel funzionamento per

esempio il compiersi di un giro;

si misuri il tempo "t" necessario perché questo giro si compia e lo si

assuma come tempo fondamentale

Nel mentre avviene un giro nel tempo t avverrano tanti altri fenomeni.

Tutti questi fenomeni avverranno in tempi ti

Come per le lunghezze sarà possibile definire dei rapporti Ti=ti/t che

renderà omotetiche una famiglia di macchine.

Abbiamo instaursato una similitutide temporale

Come per la similitudine geometrica si definisce τ=t/t0



107

Risulta utile una rappresentazione 2D :

Ipotizzando che C sia la macchina capostipite, ogni altro punto

rappresenta una macchina cinematicamente simile (similitudine

geometrica e temporale)

Qulsiasi grandezza cinematica (velocità, accellerazione) sta in un

rapporto preciso con la stessa grandezza cinematica del capostipite:

c/c0=λ/τ



108

In conclusione tutti i triangoli di velocità di macchine cinematicamente

simili sono tra di loro simili.

Se tra una macchina P e C esiste un certo rapporto e lo stesso rapporto

si ha per una macchina P’, allora P e P’ non saranno solo simili ma eguali

cinematicamente



109

È chiaro che questo è valido solo per le velocità, perché le accelerazioni,

ad esempio, non risultano affatto uguali

I triangoli di velocità sono uguali quando λ/τ=cost che è una retta sul

piano di macchine simili

In particolare c'è una retta della stella (congiungente l'origine con il punto

C rappresentativo del prototipo) che rappresenta una famiglia di infinite

macchine cinematicamente uguali al prototipo capostipite

La similitudine cinematica nasce dunque dall'accoppiamento di due

similitudini indipendenti.

La similitudine cinematica è a due dimensioni, mentre le similitudini

geometrica e temporale sono ad una dimensione



110

Allo stesso modo si può individuare una massa fondamentale (la massa

di fluido elaborata dalla girante ad esempio)

Così nelle varie parti della macchina si possono individuare tante masse

le quali rapportate alla massa fondamentale danno una serie di numeri

adimensionali:

Mi=mi/m

Sono dinamicamente simili tutte le macchine che (indipendentemente

dalle dimensioni e dai regimi) ammettono lo stesso insieme Mi.

Fissato m0 la massa fondamentale di una particolare macchina

(prototipo) sarà possibile definire:

μ0=m/m0

Per la macchina fondamentale tale parametro vale 1



111


Si può così costruire il diagramma tridimensionale di figura ed è chiaro

che tutte le macchine appartenenti a questo spazio stanno in similitudine

geometrica, temporale e di massa

Il capostipite sarà individuato da:

λ=τ=μ=1

L'insieme di queste tre similitudini fra di loro indipendenti costituisce una

similitudine dinamica, anzi, per meglio dire, una similitudine meccanica.


112

Criteri della similitudine Tra un qualsiasi punto P dello spazio ed il punto C rappresentativo del

capostipite esiste un rapporto ben preciso tra tutte le grandezze

dinamiche (ad esempio le forze).

Se con F chiamiamo una forza qualsiasi che caratterizza la macchina P,

e con F0 la corrispondente forza del capostipite, allora il rapporto tra

queste forze sarà:

F/ F0=μλτ-2

i poligoni delle forze sono simili per tutti i punti dello spazio

È stata qui contemplata una triplice infinità di macchine, fra di loro

meccanicamente simili.


113

Criteri della similitudine Per interpretare dei fenomeni termodinamici c'è bisogno di una quarta

dimensione. Si stabilisce una similitudine termodinamica che si ottiene

dalla coesistenza della similitudine meccanica con una similitu-

dine di temperatura.

È possibile definire come prima un quarto parametro da aggiungere a μ,

λ, τ e cioè ϑ=1 per la macchina prototipo

Sembrerebbe che vi sia una grande molteplicità per la scelta del

modello di una macchina.

Le macchine funzionano di regola con fluidi facilmente reperibili in

natura, una prima limitazione è di operare con i medesimi fluidi, la qual

cosa comporta l'equaglianza densità:

μλ-3=1


114

Criteri della similitudine Se si vuole quindi che nei punti corrispondenti delle varie macchine

esistano le stesse densità, si deve bloccare la similitudine di massa, ma

anche quella di temperatura.

Restano così solo due possibilità di azione (λ e τ): due parametri liberi

per scegliere il modello.

Nello spazio indicato in figura ciò significa individuare la superficie μ=λ3,

che appartiene all'asse τ ed è l'unico ente geometrico di questo spazio

su cui è possibile agire.


115

Criteri della similitudine Si avrebbero in questo modo due gradi di libertà per scegliere il modello.

Molto spesso non bastano, si pensi ad una macchina che dovrà

generare vuoto o aspirare.

Il modello di laboratorio dovrà essere pensato per avere secondo quanto

detto prima pressioni molto più basse, ma in pratica molto spesso è

impossibile.

Si deve quindi vincolare la pressione di esercizio come:

Dovrà essere quindi

Basterà quindi per la scelta del modello scegliere λ

Se quindi si costruirà il modello con scala λ=1/5 dovrà essere τ=1/5

Nel modello di laboratorio dovrò avere ad esempio velocità di rotazione

5 volte più veloci (3000->15000 rpm) impossibile

12222322

0

p

p


116

Criteri della similitudine Un altro esempio è quello delle macchine idrauliche

In queste è l’acqua che opera quindi le azioni sono condizionate da g

Tutte le accelerazioni devono mantenere lo stesso rapporto:

Scelta la scala rimarrà fissato anche il rapporto fra i tempi con stessi

problemi di prima.

Si deve quindi cercare di mantenere almeno 2 gradi di libertà:

Si utilizza invece che il gh per le macchine idrauliche, il rapporto Δp/ρ ad

esempio con una pompa a monte che mi porta il Δp/ρ a valori desiderati.

Devono quindi essere inseriti artifizi per arrivare almeno a 2 gradi di

libertà, non bisogna mai eccedere con λ troppo diverso da 1 (sopra 10 si

hanno effetti scala)

12

0

a

a


117

Numero di giri specifico Sono state prese in considerazione quali grandezze fondamentali quelle

che forniscono le dimensioni della macchina: una qualsiasi grandezza

meccanica può essere scelta come fondamentale

Si può assumere la Potenza P e il termine energetico Δp/ρ

Nel S.I.

[P]=[MLT-2 ∙LT-1]

E siccome M va con L3 per aver imposto che μλ-3=1

[P]=[MLT-2 ∙LT-1]=[L3LT-2 ∙LT-1]=[L5T-3]

La potenza di un individuo della similitudine meccanica rispetto al

prototipo è:


118

Numero di giri specifico


119

Numero di giri specifico Ogni grandezza fisica può essere espressa in funzione di P e Δp/ρ

Invece che λ e τ poiché i rispettive esponenti non sono proporzionali.

Ad esempio il numero di giri può essere espresso:

Essendo K una costante adimensionale e due esponenti opportuni

Determinabili da considerazioni dimensionali:


120



121

Numero di giri specifico Tra le molte scelte quella di P e Δp/ρ è molto significativa in quanto

permette di affermare che per tutte le macchine meccanicamente simili è

costante un ragguppamento di grandezze espressive

• Potenza,

• numero di giri ed

• energia disponibile

Si può scegliere nella famiglia quella avente P=1 e Δp/ρ =1, il numero di

giri di questa macchina viene chiamato numero di giri specifico

ns è un parametro importante perché permette studiando il funzionamento

di una certa macchina, di accertare che nelle medesime condizioni,

funzionerà bene una macchina simile.


122

Numero di giri specifico Per fare un esempio dell’importanza di tale numero, il Camerer defini una

gamma di ns nel quale dovevano lavorare le diverse macchine idrauliche

per essere efficienti:

• La Pelton funziona bene con ns compreso tra 0-50 rpm

• La Francis funziona bene con ns compreso tra 50-400 rpm

• La Kaplan 400-1000 rpm

Il progettista trova quindi nel ns un preciso indirizzo per la scelta della

macchina adatta.


123



124

Numero di giri specifico Nel caso di macchine a fluido comprimibile:

Dove A e B sono costanti dimensionali per ottenere le unità di misura

desiderate, eventualmente anche adimensionali.


125

Raggruppamenti di variabili adimensionali Quando si devono graficare i risultati sperimentali, in mappe risulta

necessario raggruppare le variabili in gioco in modo da ottenere

diagrammi facilmente leggibili ed utilizzabili.

Un criterio è quello appunto di raggruppare le variabili in monomi, di

regola adimensionali per renderli indipendenti dalle unità di misura, scelti

e studiati in modo che siano significativi fenologicamente.

Si prenda una funzione dell G variabili del tipo:

f(G1,G2,G3….Gz)=0

Che potrà sempre essere espressa nella forma:

0........... 223

3

22

2

21

12

113

3

12

2

11

11 zn

z

nnnzn

z

nnn GGGGKGGGGK


126

Raggruppamenti di variabili adimensionali Ad esempio prendiamo la legge di Newton:

F=ma

Che può essere riscritta come F-ma=0

Si prendano le seguenti grandezze :

G1=F, G2=m,G3=a

K=1 n11=1 ottenendo F

K2=-1 n21=0 n22= n23=1

Tutti i termini della

Sono omogenei, sarà quindi possibile normalizzare rispetto al primo

ottenendo numeri adimensionali.

Una qualsiasi funzione di z grandezze può essere espressa nella forma

F(π1, π2 , π3 ,… πq)

Ove q è un numero< di z e π numeri adimensionali (Teorema del π)

0........... 223

3

22

2

21

12

113

3

12

2

11

11 zn

z

nnnzn

z

nnn GGGGKGGGGK


127

Raggruppamenti di variabili adimensionali

Tutte le grandezze G dell’espressione possono essere rappresentate

tramite grandezze fondamentali A, B, C (lunghezza, tempo, massa) :

[Gi]=[AαBβCγ]

Delle complessive z grandezze isoliamone le prime f=3

E assumiamole come grandezze chiave:

[G1]=[Aα1Bβ1Cγ1] [G2]=[Aα2Bβ2Cγ2] [G3]=[Aα3Bβ3Cγ3]

Moltiplichiamo G1, G2, G3 elevati ad esponenti generici x, y, z, ed anche

una quarta grandezza G4

Imponendo che le dimensioni siano nulle:

[G1 G2 G3 G4]=A0B0C0

f z-f


128

Raggruppamenti di variabili adimensionali Tutto ciò funziona se viene rispettato il seguente sistema:

α1x+ α2y+ α3z+ α4=0

β1x+ β2y+ β3z+ β4=0

γ1x+ γ2y+ γ3z+ γ4=0

Il numero q degli adimensionali è pari a z sottratto il numero delle

grandezze chiave

In meccanica q=z-3


129


Per fissare le idee si considerino 5 parametri adimensionali per le forze

che normalmente intervengono in questo campo di studio:

• Forze d’inerzia

• Forze gravitazionali

• Forze di pressione

• Forze elastiche

• Forze viscose

Ad esempio dal rapporto delle Forze di Inerzia e la Forza Gravitazionale

si ottiene il numero di Froude

Per alcuni autori:


130



131



132



133



134



135


Prendiamo un caso pratico ti utilizzo di tali numeri adimensionali

Si vuole determinare la perdita di carico in un condotto a sezione

costante.

Sperimentalmente si vede che questa dipende dalle seguenti variabili:

ε rugosità

Per il Teorema di Buckingham ne bastano 4 (sono 6 + Δp) quindi 7-3=4


136



137


Bisogna determinare x,y,z quindi basta imporre l’adimensionalità ai

secondi membri:

Si ottiene quindi un sistema di 3 equazioni in 3 incognite


138


Quindi:

In definitiva:

Che in forma esplicita:


139


In base a tale espressione si ricava il diagramma di Moody

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Fluidodinamica Delle Macchine Introduzione Agli Efflussi Nelle Turbomacchine e Alla Teoria Della Similitudine (1)