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UNIVERSIDAD POLITCNICA
SALESIANA
Matemticas Avanzada
Grupo #4
Tema:
Flujo de calor en una barra infinita
Realizado por:
Mateo Quizhpi
Pal Dutn
Juan Maldonado
Pal Barros
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Flujo de calor en una barra infinita
Podemos encontrar soluciones de la ecuacin de calor de una barra
que se
extiende hasta el infinito por ambos lados. Particularmente se
encontraran
soluciones de la ecuacin del calor:
de una barra que se extiende hasta el infinito por ambos lados y
est asilada
lateralmente.
En este caso no se tienen condiciones de frontera, sino
nicamente la
condicin inicial:
En donde es la temperatura inicial dada en la barra.
Podemos resolver este problema sustituimos en la
ecuacin de calor. Entonces obtenemos las dos ecuaciones
diferenciales
ordinarias:
Las soluciones son:
Donde A y B son constantes cualquiera.
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Entonces una solucin de la ecuacin de calor seria:
2 2
, ; A (px) ( ) c p tu x t p FG cos Bsen px e
Considerando que A y B son arbitrarios, pueden considerarse como
funciones
de p obteniendo ( )A A p y ( )B B p .
Considerando que la ecuacin de calor es lineal y homognea,
entonces una
solucin de la ecuacin de calor sera:
Siempre que esta integral exista y pueda derivarse dos veces con
respecto a x
y una con respecto a t.
Determinacin de A(p) y B(p) a partir de la condicin
inicial.
De:
Obtenemos:
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De esta expresin A(p) y B(p) se obtienen en trminos de f(x):
La integral de Fourier con A(p) y B(p) sera:
A partir de se obtiene escribiendo la funcin exponencial
dentro
de la integral:
Suponiendo que puede invertirse el orden de integracin se
obtiene:
Entonces la integral interior puede evaluarse por la frmula:
Esta expresin asume la forma de la integral interior si se
elige
como nueva variable de integracin y se hace:
Entonces:
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ds c tdp
Por lo tanto quedara de la siguiente manera:
Al introducir este resultado en se obtiene la representacin:
2
2
1 (x v)( , ) ( )exp
42U x t f v dv
c tc t
Tomando / 2z v x c t como variable de integracin, se obtiene la
forma alternativa:
21
( , ) 2 zU x t f x cz t e dz
Ejemplo:
Encontrar la temperatura de la barra infinita si la temperatura
es la mostrada
en la grfica con sus respectivos lmites.
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0 1( )
0 1
U const si xf x
si x
Solucin:
De la ecuacin:
2
2
1 (x v)( , ) ( )exp
42U x t f v dv
c tc t
tenemos:
21
0
21
(x v)( , ) exp
42
UU x t dv
c tc t
Tomando / 2z v x c t como variable de integracin, entonces la
integracin respecto a v de -1 a 1 correspondera a la integracin
respecto a z
de 1 / 2x c t a 1 / 2x c t obteniendo:
21 /20
1 /2( , ) 0
x c tz
x c t
UU x t e dz t
Grfica en Matlab:
