Flujo Reactor Burbujas

34 El Hombre y la Máquina No. 22 • Enero - Junio de 2004

1. Grupo de Investigación en Mecánica de Fluidos, Departamento de Energética y Electrónica, Universidad Autónoma de Occidente, Cali, Colombia, [email protected]

2. Institut für Verfahrenstechnik, FB IW, Martin-Luther University, Halle (Saale), Alemania, [email protected]. Profesor invitado UAO 17-30 de abril de 2004.

SANTIAGO LAÍN1, MARTIN SOMMERFELD2

Simulación del flujo en unreactor de columna de burbujas

gaseosa (burbujas). La ecua-ción del movimiento para lasburbujas tiene en cuenta todaslas fuerzas relevantes, es decir,flotabilidad, presión, resisten-cia, masa añadida y empujetransversal. De acuerdo con lassimulaciones, el empuje trans-versal es el único mecanismocapaz de dispersar las burbujasa través de la sección transver-sal de la columna de burbujas.Diferentes expresiones para lafuerza de resistencia de las bur-bujas (esfera rígida o fluida)han sido investigadas. Igual-mente se han considerado dis-tribuciones de tamaño mono-dispersa o polidispersa. Losperfiles de velocidades tantopara el gas como para el líqui-do se comparan con los datosexperimentales y resultadosobtenidos previamente con elmodelo k-ε en Laín et al.(2001). Como resultado, la es-tructura dinámica del flujo dellíquido se reproduce cualitati-vamente bien pero más trabajose requiere en los aspectoscuantitativos.

Abstract

In this paper the transientflow developing in a cylindri-cal laboratory bubble column

Resumen

Este artículo investiga des-de un punto de vista numéricoel flujo transitorio que se desa-rrolla en el interior de una co-lumna de burbujas de labora-torio. El esquema de simula-ción combina el método de Si-mulación de Grandes Escalaspara el líquido y una aproxima-ción Lagrangiana para la fase

Sim

ulac

ión

num

éric

a di

rect

a de

una

nub

e de

bur

buja

s bi

disp

ersa

Visualización simultánea del campo de flujo

líquido y las burbujas

35El Hombre y la Máquina No. 22 • Enero - Junio de 2004

ducidos en la vecindad de las burbu-jas, fundamentalmente debido a sumovimiento de oscilación. Sin em-bargo, mientras que el flujo prome-dio en una columna de burbujas esmuy regular y simétrico, el flujo tran-sitorio suele ser muy irregular y asi-métrico. Como las burbujas reaccio-nan a las estructuras locales e ins-tantáneas del flujo, las interaccionesdinámicas entre burbujas y entre bur-bujas y líquido afectan el rendimien-to de la columna.

Desde el punto de vista de in-geniería se utilizan dos aproxima-ciones fundamentales para simularel flujo en flujo multifásico (parauna revisión extensa el lector pue-de acudir a Jakobsen et al., 1997).El modelo de dos fluidos, o Euler-Euler, trata el líquido y el gas comosi fuesen dos medios entremezcla-dos, por lo que considera cada fasecomo un fluido con términos de in-teracción entre las fases; su princi-pal ventaja es el bajo costo compu-tacional pero presenta dificultadesa la hora de cerrar los términos pro-venientes de las interacciones entreburbujas y requiere ecuaciones adi-cionales cuando se considera unadistribución de tamaños de burbu-ja. El procedimiento Euler-Lagran-ge, por otro lado, resuelve la segun-da ley de Newton para el movimien-to de cada burbuja, siempre y cuan-do se conozcan las fuerzas que ac-túan sobre ella; su costo computa-cional es más elevado que en elmodelo de dos fluidos pero presen-ta la ventaja que las interaccionesentre burbujas y distribución de ta-maños de burbuja son fácilmenteconsideradas. En ambas estrategiasla fase líquida se describe como unmedio continuo, por lo que las fluc-tuaciones de velocidad inducidaspor las burbujas deben ser modela-das de alguna manera.

Durante los últimos años elmodelo k-ε ha sido aplicado porvarios autores [e.g., Sanyal et al.

is addressed from a numericalpoint of view. The simulationscheme combines a Large EddySimulation (LES) for descri-bing the liquid phase and a La-grangian approach for the gas(discrete) phase. The bubbleequation of motion consider allthe relevant forces, i.e., buo-yancy, pressure, drag, addedmass and transverse lift. Fromthe calculations the transverselift is identified as the only me-chanism allowing the bubblesto spread along the columncross-section. Different draglaws (for rigid or fluid bubble)and monodispersed or polydis-persed bubble size distributio-ns have been considered. Theliquid and gas velocity profilesobtained are compared with theexperimental data and k-ε re-sults presented in Laín et al.(2001). As a matter of fact, thedynamic structure of the liquidflow induced by the rising bu-bbles is qualitatively well re-produced but further workshould be performed regardingthe quantitative aspects.

1. Introducción

Las columnas de burbujas seencuentran en una amplia gama deindustrias, por ejemplo, química,petroquímica y biotecnológica. Sinembargo, si se desea optimizar sudiseño para emplearlas en ingenie-ría de procesos se hace necesarioentender los fundamentos de su com-portamiento hidrodinámico, el cualviene determinado por el ascenso delas burbujas, interacciones entre bur-bujas y burbujas-líquido, tamaño deburbuja, su distribución de tamañosy su mecanismo de inyección. Ade-más, el movimiento de tales burbu-jas en el seno fluido induce fluctua-ciones de velocidad en el líquido de-bido a los esfuerzos cortantes pro-

Simulación del flujo en un reactor de columna de burbujasSantiago Laín • Martin Sommerfeld

Las columnas de burbujas se

encuentran en una amplia

gama de industrias, por

ejemplo, química,

petroquímica y

biotecnológica. Sin embargo,

si se desea optimizar su

diseño para emplearlas en

ingeniería de procesos se

hace necesario entender los

fundamentos de su

comportamiento

hidrodinámico, el cual viene

determinado por el ascenso

de las burbujas, interacciones

entre burbujas y burbujas-

líquido, tamaño de burbuja,

su distribución de tamaños y

su mecanismo de inyección.


(1999), Laín et al. (2002), Bourtlo-utski y Sommerfeld (2002)] paradescribir la estructura fluctuante delcampo de velocidades del líquido,obteniéndose acuerdos cualitativosy cuantitativos muy prometedorescon datos experimentales obtenidoscon técnicas de PDA, PIV-PTV oCARPT. No obstante, debido al bajonúmero de Reynolds implicado enel flujo del líquido, una descripciónmediante el modelo de Simulaciónde Grandes Escalas (LES) de la faselíquida es mucho más natural quelos tradicionales modelos de turbu-lencia basados en RANS, los cua-les fueron desarrollados para flujosturbulentos con altos números deReynolds.

De hecho, el uso de LES paraflujos gobernados por el movimien-to de burbujas ha sido sugerido des-de hace unos años (Jakobsen et al.(1997). Sin embargo, tan solo muyrecientemente han aparecido simu-laciones de columnas de burbujasque utilizan LES tanto con el esque-ma Euler-Euler (Deen et al., 2001;Milelli et al., 2001) como con elEuler-Lagrange (Van den Hengel etal., 2003). No obstante, los experi-mentos de validación empleados enesos trabajos fueron penachos deburbujas confinados en los cualesla fase gaseosa no se encuentra pre-sente en todo el seno líquido. Deenet al. y Van den Hengel et al. consi-deran una columna de burbujas desección cuadrada mientras que Mi-lelli et al. una sección circular. Susconclusiones más importantes fue-ron en primer lugar que se podíanutilizar mallas computacionales re-lativamente groseras sin perder nin-guna característica fundamental delflujo y, en segundo lugar, que la dis-persión transversal de las burbujasse debía a la fuerza de empuje trans-versal.

Este trabajo presenta los resul-tados obtenidos en la primera eta-pa de un proyecto de investigaciónque se desarrolla en la Universidad

Autónoma de Occidente con unaduración de tres años. El artículose centra en la simulación del flujotransitorio inducido por el movi-miento ascendente de burbujas enuna columna de burbujas de labo-ratorio. El flujo del líquido se des-cribe mediante la técnica de Simu-lación de Grandes Escalas (LES),mientras que una aproximación La-grangiana se utiliza para el cálculode la fase gaseosa. Los resultadosnuméricos se comparan con lasmedidas experimentales obtenidascon técnicas de imagen PIV-PTVy los cálculos realizados con el mo-delo de turbulencia k-ε presenta-dos en Laín et al. (2001). Como re-sultado el patrón de flujo transito-rio es muy similar al observadopero la investigación debe conti-nuar buscando mejores acuerdoscuantitativos.

2. Configuración del flujo

Los experimentos considera-dos fueron realizados en la cátedrade Ingeniería de Procesos Mecáni-cos de la Universidad Martin-Lute-ro Halle-Wittenberg (Alemania). Lainstalación experimental consiste enuna columna de burbujas cilíndricade laboratorio con un diámetro de140 mm y una altura de 650 mm (esdecir, nivel del agua en la colum-na). El suministro de aire se realizamediante una membrana porosa conun diámetro de 100 mm y tamañode poro de 0.7 µm, pretendiendo es-tablecer una inyección de gas uni-forme a través de la sección de lamembrana. El flujo másico de gasse controla a través de la presión deabastecimiento.

Con el objeto de analizar elcomportamiento de la nube de bur-bujas y evaluar simultáneamente laestructura del flujo y la turbulenciainducida en él se aplicó la técnicade Velocimetría de Imagen de Par-tículas (PIV). Para ello se desarro-lló un PIV bifásico capaz de eva-



luar campos de flujo instantáneos deambos, fluido y burbujas (Figura 1).La medida de las velocidadesdel líquido se realizó añadiendopartículas fluorescentes al flujo (tra-zadores). Las imágenes de las bur-bujas y partículas fluorescentes fue-ron adquiridas por dos cámarasCCD (Charge Couple Device). Lasseñales provenientes de las burbu-jas y trazadores se separaron por fil-tros ópticos de interferencia conbandas de absorción correspondien-tes a la longitud de onda de emisiónde las partículas fluorescentes y lalongitud de onda del láser pulsantede Nd-YAG utilizado, respectiva-mente. Para mejorar el sistema deseparación de ambas fases, las cá-maras CCD se colocaron no perpen-dicularmente al plano de ilumina-ción. Detalles más específicos so-bre el montaje experimental puedenencontrarse en Bröder y Sommer-feld (2002).

3. Modelización yaproximación numérica

La simulación numérica diná-mica y tridimensional del flujo quetiene lugar en el interior de una co-lumna de burbujas se ha realizadopor medio del esquema Euler-La-grange utilizando el código de vo-lúmenes finitos FASTEST y el mó-dulo LAG3D (Decker, 2004). Parahallar el flujo del líquido se resuel-ven las ecuaciones de evolución deNavier-Stokes filtradas, es decir,utilizando la Simulación de Gran-des Escalas. Por consiguiente, lasecuaciones de continuidad y las trescomponentes del momento linealhan sido extendidas para incorpo-rar los efectos de la fase gaseosa.Dichas ecuaciones se pueden escri-bir en notación tensorial (donde lacoma seguida de un subíndice sig-nifica derivada parcial y se sobre-entiende suma sobre los índices re-petidos) en la siguiente forma:

ρ,t +(ρu

i),

i = 0 (1)ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

Figura 1: Sistema PIV para flujos bifásicos.

donde el angulito (ˆ) indica variablesfiltradas, ρ indica la densidad del lí-quido, u

j su velocidad, la cual se des-

compone en una parte resuelta ûj y

la parte de subescala (SGS) ujSGS, p

es la presión del líquido y gj es la

componente respectiva de la acele-ración de la gravedad. En la ecua-ción (2), µ

eff es la viscosidad efecti-

va la cual posee dos contribuciones:la viscosidad molecular µ

l y la vis-

cosidad turbulenta µt:

µeff

= µl + µ

t(3)

La viscosidad turbulenta simu-la los efectos de subescala modela-dos y, en este trabajo, se describemediante el modelo de Smagorins-ky (Smagorinsky, 1963), que esesencialmente un modelo de visco-sidad de torbellinos. Por tanto, di-cha viscosidad de subescala se ex-presa como:

(ρuj),

t +(ρu

iu

j),

i = - p,

j + µ

eff (û

i,j + û

j,i) - µ

eff û

k,k δ

ij ,

i + ρg

j + F

jB(2)


donde Sij es la parte simétrica del

tensor de esfuerzos de las escalasresueltas. Éste se escribe como:

ˆ

Sij = (û

i,j + û

j,i) (5)ˆ

ˆ

µt = ρ (C

s ∆)2 2 S

ij S

ij(4)ˆ ˆ ˆ

12

23


→ →

En la ecuación (4) Cs es la cons-

tante de Smagorinsky cuyo valorvaría según los autores entre 0.065y 0.2, y ∆ es la anchura del filtro. Elúltimo término en la ecuación (2)F

iB, término de interacción de mo-

mento, representa la acción de lasburbujas sobre el líquido debido alas fuerzas interfaciales y será dis-cutido posteriormente. Como enprincipio solo se consideran fraccio-nes volumétricas inferiores al 2% ladensidad del líquido se supondráconstante y se obviarán los efectosde las burbujas sobre ella. Por tan-to, se escribirá ρ ≡ ρ.

La simulación de la fase discretamediante el método Lagrangianorequiere la solución de la ecuacióndel movimiento para cada burbujacomputacional (representando unconjunto estadístico de burbujasreales con propiedades idénticas). Elmovimiento de la burbuja despuésde su inyección se calcula resolvien-do el siguiente sistema de ecuacio-nes diferenciales:

velocidad, DB su diámetro y ρ

B la

densidad del gas que se suponeconstante. El símbolo D • /Dt es laderivada siguiendo al elemento flui-do y ε

ijk son las componentes del

pseudo-tensor de Levi-Civita (iguala 1 cuando ijk es una permutaciónpar de 123, -1 cuando la permuta-ción es impar y cero cuando coinci-den dos o más índices), las cualesse usan para expresar el rotacionalo el producto vectorial de dos vec-tores.

El coeficiente de resistencia CD

se calcula utilizando las correlacio-nes empíricas bien para una esferarígida:

= uBi

(6)dx

Bi

dt

duBi

3 ρ ρ dt 4 ρ

B D

B ρ

B

mB = m

B C

D (u

i - u

Bi) u - u

B + m

B g

i 1- +

ρ Dui du

Bi

ρB Dt dt

CVM

mB – +

+ CTL

εijk

εklm

(uj - u

Bj) + m

B (7)

ρ ∂ul ρ Du

i

ρB ∂x

m ρ

B Dt

incluyendo, de izquierda a derecha,las fuerzas de inercia, resistencia,peso-flotabilidad, masa virtual, em-puje transverso y gradiente de pre-siones.

Otras fuerzas como los térmi-nos de historia de Basset se supon-drán despreciables frente a las con-tribuciones anteriores. Aquí, x

Bi son

las coordenadas de la posición dela burbuja, u

Bi sus componentes de

24ReB -1 (1+ 0.15 Re

B 0.687) Re

B < 500

9.5 x 10-5 ReB 1.397 500 ≤ Re

B <1500

2.61 1500 ≤ ReB

(8)

CD =

bien para una esfera fluida:

donde ReB = ρD

B u - u

B µ

1 es el

número de Reynolds de la burbuja.

El coeficiente de empuje trans-verso C

TL que aparece en la ecua-

ción del movimiento (7) se adoptasegún Tomiyama (1998):

16 ReB

-1 ReB < 1.5

14.9 ReB

-0.78 1.5≤ReB <80

48 ReB

-1 (1-2.21 ReB

-0.5) + 1.86 x 10-15 ReB

4.756 80≤ReB <1500

2.61 1500≤ReB

(9)

CD =

CTL

=

min {0.288 tanh (0.121 ReB),

0.00105Eo3 - 0.0159 Eo2 - 0.0204Eo + 0.474} Eo < 4

0.00105Eo3 - 0.0159Eo2 - 0.0204Eo + 0.474 4 ≤ Eo < 10

-0.29 Eo ≥ 10

(10)

donde Eo es el número de Eötvösdefinido como:

Eo = g(ρ - ρ

B)D2

B

σ

ˆ

→ →



Σk

donde σ es el coeficiente de tensiónsuperficial del líquido. La ecuaciónanterior (10) proporciona valorespara C

TL entre 0 y 0.288 para bur-

bujas pequeñas que migran hacia lapared y valores negativos para bur-bujas grandes distorsionadas. Porotro lado, C

VM es el coeficiente de

masa vitual cuyo valor se toma iguala 0.5 en este artículo.

La ecuación del movimiento dela burbuja (7) se integra analítica-mente sobre pequeños intervalostemporales suponiendo que las fuer-zas permanecen constantes durantecada paso temporal. La soluciónnumérica requiere que dicho pasotemporal (es decir, el intervalo La-grangiano ∆t

L) sea suficientemente

menor que todas las escalas de tiem-po relevantes para el movimiento dela burbuja. En este tipo de movi-mientos inducidos por burbujas, lamenor escala temporal viene dadapor el tiempo de relajación de laburbuja:

men de control en el que las bur-bujas se hallan presentes.

El intervalo temporal Euleriano,∆t

E, determina la resolución tempo-

ral de las fluctuaciones del flujo yviene limitado por la condición deque el máximo número de Courant-Friedrichs-Levy (CFL) sea menorque la unidad. Además, para conse-guir un promedio temporal apropia-do de los términos fuente, el pasotemporal Lagrangiano ∆t

L utilizado

en la construcción de las trayecto-rias de las burbujas debe ser muchomenor que el Euleriano (es decir,∆t

E/∆t

L > 100).

El cálculo de los términos deinteracción se realiza siguiento laestrategia conocida como Particle-Source-in-cell (PSI-cell) (Crowe etal., 1977). En el esquema LES es-tudiado, este modelo considera lafase dispersa como una fuente lo-cal de momento. En este contextola expresión para el término fuentedebido a las burbujas en la ecuaciónde momento se calcula como el pro-medio temporal y estadístico en laforma (Gouesbet and Berlemont,1999):

4 (ρB + 0.5ρ)D2

B

3µl Re

B C

D (Re

B)

τB (C

D) = (11)

Con el objeto de evitar inesta-bilidades numéricas, el paso tempo-ral se limita al 25% de τ

B (Laín and

Göz, 2001). Para optimizar la efi-ciencia numérica, el paso temporalLagrangiano puede variar a lo lar-go de la trayectoria de la burbuja.

4. Efectos de las burbujassobre el flujo del líquido

Como el flujo del líquido vie-ne gobernado por el movimiento deascenso de las burbujas, los térmi-nos fuente que representan la ac-ción de las burbujas son esencia-les para capturar el patrón de flu-jo. El cálculo de ambas fases esdinámico por lo que la evaluaciónde los términos fuente y el acoploentre las fases requiere un trata-miento especial para obtener pro-medios razonables en cada volu-

FiB

= - mk N

k ([u

Bi]n+1 -[u

Bi]n)- g

i 1 - ∆t

L(12)Σ1

Vcv

∆tE

ρρ

B

donde la suma sobre n indica pro-medio de las contribuciones de mo-mento instantáneas a lo largo de latrayectoria de la burbuja (es decir,promedio temporal) y la suma so-bre k se relaciona con el número deburbujas computacionales que cru-zan la celda considerada de tamañoV

cv. La masa de cada burbuja indi-

vidual es mk y N

k es el número de

burbujas reales contenidas en unaburbuja computacional. En (12) tansolo las fuerzas de contacto debenconsiderarse, por lo que las fuerzasexternas deben sustraerse.

nk


k


5. Simulación numéricay procedimientocomputacional

Este es el momento de resumiralgunos resultados y conclusionesobtenidos por otros autores en con-figuraciones similares utilizando elprocedimiento de LES para simu-lar la fase líquida.

En lo que respecta al tamaño dela malla Deen et al. (2001) y Van denHengel et al. (2003) concluyen quepara flujos verticales inducidos por elmovimiento de las burbujas puedenemplearse mallas relativamente gro-seras sin perder ninguna característi-ca fundamental del flujo. Por ejem-plo, Deen et al. (2001) reportan cál-culos en una columna de burbujas desección cuadrada de 0.15x0.15x1 m3

utilizando mallas con 15x15x100 y32x32x100 celdas sin que se desta-quen diferencias significativas entreellas. El estudio de Milelli et al. (2001)sobre un penacho de burbujas confi-nado en un cilindro circular presentaconclusiones similares.

En el caso del trazado de las bur-bujas, en general, la velocidad ins-tantánea del líquido vista por lasburbujas que aparece en la ecuación(7) viene determinada por la velo-cidad del líquido resuelta û

j inter-

polada linealmente de la existenteen los puntos vecinos de la malla yuna contribución de subescala u

jSGS.

Sin embargo, Van den Hengel et al.(2003) muestra que para el caso deun penacho de burbujas monodis-perso desarrollándose en una co-lumna de burbujas de sección cua-drada, el efecto de considerar u

jSGS

en la ecuación de movimiento de lasburbujas es despreciable. Este he-cho se debe al bajo número de Rey-nolds efectivo del líquido, por lo quecasi toda la energía está contenidaen las escalas resueltas por LES. Uncomportamiento similar ha sidoobservado por Deen et al. (2001) yMilelli et al. (2001) utilizando mo-delos de dos fluidos.

Por tanto, como el movimientodel líquido en la columna de burbu-jas cilíndrica se debe exclusivamen-te al momento transferido por lasburbujas, el efecto de las velocida-des de subescala se obviará en lasolución de la ecuación de movi-miento de la burbuja (7), y por tan-to se tomará u

j = û

j.

Una conclusión adicional deesos trabajos es que los valores deC

TL influyen significativamente en

los resultados obtenidos con LES.Si el empuje transverso se despre-cia, las burbujas no experimentanninguna dispersión tranversal. Estehecho podría haberse esperado yaque en ausencia de transporte porfluctuaciones de velocidad, la úni-ca forma de tener una dispersión delas burbujas es a través de la fuerzade empuje transversal. La depen-dencia de la dispersión de las bur-bujas con el valor de C

TL también se

ha observado en este trabajo y fi-nalmente la correlación propuestapor Tomiyama ha sido adoptada.

La columna de burbujas cilín-drica con un diámetro de 140 mm yaltura de 650 mm se ha dicretizadoempleando dos mallas: una groseracon 29x29x50 celdas y una fina con29x29x150 celdas, utilizándose estaúltima para comprobar la influen-cia del tamaño de la malla sobre losresultados. Las condiciones de fron-tera usadas para el cálculo de la faselíquida han sido:

• Condición de no deslizamientoen las paredes.

• La superficie libre se especifi-có como una pared, implicandotambién una condición de nodeslizamiento.

La inyección de las burbujas serealiza en el fondo de la columnasobre una sección de diámetro 100mm de acuerdo con los experimen-tos. El flujo másico de aire se man-tuvo constante sobre toda la super-ficie de la membrana de inyección.



El tamaño de burbuja se determinapor un proceso estocástico gaussia-no con la distribución de tamañosmedida. La velocidad inicial de lasburbujas también se determina apartir de una distribución gaussia-na con media y varianza conocidade la distribución experimental. Enla superficie libre las burbujas aban-donan el dominio computacional.

El proceso de cálculo se resu-me brevemente en las siguientes lí-neas. Primero las burbujas se inyec-tan aleatoriamente en la zona corres-pondiente y se trazan en el líquidoen reposo durante el lapso corres-pondiente a un paso temporal Eule-riano para evaluar los términos deinteracción descritos anteriormen-te. Durante este primer paso del pe-riodo inicial las burbujas no alcan-zan la superficie libre. Los térmi-nos fuente se introducen en las ecua-ciones de evolución del líquido y secalcula el flujo resultante. En estepunto la inyección de nuevas bur-bujas y su trazado a través del do-minio fluido continúa en cada pasotemporal. Con los nuevos términosfuente el flujo del líquido en el nue-vo instante de tiempo es calculadoy así sucesivamente. Es necesarioseñalar que en este proceso no esta-cionario no se introduce sobrerre-lajación de los términos fuente.

El caso experimental conside-rado es el número 1 presentado enLaín et al. (2001). La velocidad su-perficial del gas es 0.272 cm/s, elflujo volumétrico 151 l/h, la frac-ción volumétrica de aire 1.46% y elrango de diámetros de burbuja me-didos [0.2,2.6] mm con un diáme-tro medio de 0.92 mm (Figura 2).

Este caso se seleccionó porquela extensión del modelo k-ε presen-tado en Laín et al. (2002) no pro-porcionó un buen acuerdo simultá-neo para la velocidad media y ener-gía cinética turbulenta del líquido,a pesar de que el modelo proporcio-na resultados correctos para condi-

Figura 2: Distribución de tamaños de burbuja

considerada en las simulaciones.ciones de operación que implicanburbujas más pequeñas. La ideaprincipal subyacente en el uso deLES para este tipo de flujos conburbujas es la esperanza que losmovimientos que tienen lugar en lasescalas grandes (los cuales transpor-tan la mayoría de la energía) seanlos principales responsables de lainfluencia macroscópica de las fluc-tuaciones de velocidad sobre elmovimiento de las burbujas, inclu-yendo la dispersión, mientras quelas fluctuaciones de pequeña escalapierden importancia ya que estánmás relacionadas con las oscilacio-nes localizadas de las burbujas. Porconsiguiente, existe una esperanzade que la estadística de las fluctua-ciones de velocidad inducidas en ellíquido por el movimiento de lasburbujas pueda ser razonablementereproducido. En lo siguiente se eva-lúa el procedimiento LES–trazadoLagrangiano para el flujo descrito.

La elección del paso temporalEuleriano, ∆t

E, viene determinado

por la ligadura de que el máximonúmero de Courant-Friedrichs-Levy (CFL) debe ser menor que launidad si se quiere que el error delesquema numérico decrezca con eltiempo. Debido a las bajas veloci-dades inducidas en el líquido el va-lor ∆t

E = 0.05 s es suficiente para

satisfacer el requerimiento CFL < 1.Adicionalmente un valor de 0.025s para ∆t

E fue considerado para

comprobar la influencia del pasotemporal sobre los resultados fina-



les. La integración temporal de lasecuaciones Eulerianas que descri-ben el líquido se realiza con un mé-todo totalmente implícito de segun-do orden con el objeto de disminuirel error de truncado en el tiempo,mientras que para la discretizaciónespacial de dichas ecuaciones seutilizan diferencias centradas desegundo orden.

La evolución del flujo cuasi-es-tacionario en la columna de burbu-jas comienza cuando las primerasburbujas abandonan el dominio flui-do. Normalmente esta situación sepresenta en unos 10 s. Después deello, los datos se promedian en eltiempo hasta el final de la simula-ción. En este momento en la colum-na se encuentran unas 60.000 bur-bujas computacionales. El flujo sesimula durante 250 segundos; sinembargo, algunas simulaciones sehan alargado hasta 500 s para asegu-rar que el estado estadísticamenteestacionario se ha alcanzado. En esteúltimo caso se necesitaron 336 h detiempo de CPU en un PC Pentium 4a 1.8 GHz con un procesador.

El efecto del paso temporalEuleriano y el tamaño de la mallasobre el promedio de la velocidadvertical del líquido se ilustra en laFigura 3. El perfil de velocidad co-rresponde a la sección 495 mm so-bre la membrana de inyección y hasido promediado temporal y acimu-talmente. El promedio temporal (de-notado por la barra) se realiza encada paso temporal como:

Figura 3: Influencia del paso temporal

Euleriano ∆tE y tamaño de la malla sobre el

promedio de la velocidad vertical del líquido en

una sección situada 495 mm sobre la membra-

na de inyección.

uni = u

in-1+ un

i (13)

n - n0 -1 1

n - n0 n - n

0

donde el promedio comienza en elpaso temporal n

0. En una segunda

etapa las velocidades en cada sec-ción transversal vertical se prome-dian en la coordenada angular, pro-porcionando finalmente un perfil develocidad frente a la coordenadaradial.

Para ∆tE = 0.05 s, la Figura 3

muestra que los resultados para lavelocidad del líquido son muyaproximadamente independientesdel tamaño de la malla. Por otrolado, los cambios en el perfil develocidades cuando se modifica elpaso temporal Euleriano, en la ma-lla grosera, son suficientemente pe-queños. En todos los casos se satis-face la condición CFL < 1. En con-secuencia el resto de las simulacio-nes se ha realizado con la malla gro-sera y un paso temporal Euleriano∆t

E = 0.05 s. En todos estos casos

se adoptó el valor de la constantede Smagorinsky C

s = 0.1 y el coefi-

ciente de resistencia para esferasfluidas (9).

6. Resultados

La evolución típica del patrónde flujo en la columna de burbujasse muestra en la Figura 4, donde loscontornos de la velocidad vertical(resuelta) del líquido se presentanen tres tiempos diferentes equidis-tantes. El color rojo indica veloci-dades ascendentes y el azul veloci-



Figura 4: Contornos de velocidad vertical instantánea del líquido para tres tiempos distintos: 125 s

(izquierda), 150 s (centro) y 175 s (derecha).

dades descendentes. En general, elpatrón de flujo consiste en un granbucle de recirculación donde el flu-jo asciende en el centro de la co-lumna y desciende en las cercaníasde las paredes. No obstante, es po-sible encontrar áreas, las cuales evo-lucionan en el tiempo, donde el lí-quido asciende cerca de la pared,particularmente en la región cercade la inyección. Finalmente, el pro-medio sobre todas las configuracio-nes proporciona la estructura espe-rada del flujo, donde el líquido subeen el centro y baja en la proximi-dad de las paredes (Figura 5).

En lo subsiguiente, los perfilesde velocidad promediados en eltiempo y en la coordenada angularse presentan frente al radio paraambas fases en la sección 495 mmsobre la superficie de inyección delgas.

Figura 5: Contornos del promedio de velocidad vertical del líquido (izquierda) y su correspondiente

energía fluctuante (derecha).


En general, el patrón de flujo

consiste en un gran bucle de

recirculación donde el flujo

asciende en el centro de la

columna y desciende en las

cercanías de las paredes.

Finalmente, el promedio

sobre todas las

configuraciones proporciona

la estructura esperada del

flujo, donde el líquido sube en

el centro y baja en la

proximidad de las paredes


La Figura 6 muestra los resul-tados de la simulación de LES uti-lizando el coeficiente de resistenciapara una esfera rígida (8) y paravarios coeficientes C

TL. Se muestran

tres casos: CTL

= 0, la expresión deTomiyama (10) y los valores obte-nidos multiplicando (10) por un fac-tor de 5 buscando un valor más altode C

TL. Las velocidades medias para

el líquido se sitúan en la parte iz-quierda de la figura y para las bur-bujas en la derecha.

Las velocidades medias de lasburbujas muestran claramente elefecto de la variación de C

TL. Si no

se considera empuje transverso, lasburbujas ascienden sin experimen-tar apenas dispersión, algo reporta-do previamente (Deen et al., 2001).Por tanto, el perfil mantiene un va-lor constante hasta un radio de 0.05m y a partir de ahí decrece rápidohasta cero. Algo similar sucede conlos valores de la velocidad fluctuan-te de las burbujas (en verde). Lasvelocidades inducidas en el líquidomuestran un perfil casi plano en lazona central que decrece suavemen-te hasta alcanzar valores negativosen la zona de flujo descendente al-canzando el valor cero en la pared.

Si CTL

es distinto de cero, lasburbujas experimentan una disper-sión transversal hacia la pared, lacual se incrementa conforme au-menta el valor de C

TL. Sin embar-

go, dado que las componentes de lafuerza de empuje transversal depen-den de la velocidad relativa entre lasfases en la dirección vertical y quela correlación (10) proporcionamayores valores para C

TL para las

burbujas mayores, se encuentra quelas burbujas más grandes tienden amigrar hacia la pared más eficien-temente que las pequeñas. Comoconsecuencia, ya que la flotabilidady por tanto la velocidad terminaldepende del diámetro de burbuja,aparece un pico de velocidad parala fase gaseosa en las cercanías dela pared. Conforme C

TL aumenta el

pico se va acercando más a la paredimplicando menor transferencia demomento de las burbujas al líquidocerca del eje de simetría con lo quelos valores de velocidad para el lí-quido decrecen.

Este comportamiento se debe aque el único mecanismo de disper-sión de las burbujas es el empujetransversal. Si, por ejemplo, se uti-liza un modelo de turbulencia k-ε,

Figura 6: Influencia del valor del coeficiente

de empuje transversal CTL

para el coeficiente de

resistencia de burbuja rígida (8). Promedios de

velocidad vertical del líquido (izquierda) y

velocidades verticales de las burbujas

(derecha). Las líneas negras representan

velocidades medias y las grises velocidades

fluctuantes. Sección 495 mm sobre la zona de

inyección.



Figura 7: Influencia de la distribución de

tamaños de burbuja para el coeficiente de

resistencia de burbuja fluida (9). Promedios de

velocidad vertical del líquido (izquierda) y

velocidades verticales de las burbujas

(derecha). Las líneas negras representan

velocidades medias y las grises velocidades

fluctuantes. Sección 495 mm sobre la zona de

inyección.

el proceso de dispersión es gober-nado por el transporte por fluctua-ciones de velocidad que es más efi-ciente que el basado en la fuerza deempuje transversal.

Una opción para mejorar los re-sultados evitando la aparición del picoen las velocidades de las burbujas esutilizar un único tamaño igual al diá-metro medio D

B = 0.92 mm.

La Figura 7 presenta, para elcoeficiente de resistencia para unaesfera fluida (9) y la correlación deTomiyama (10) para C

TL, el efecto

Figura 8: Comparación de resultados obtenidos con el modelo k-ε y LES frente a los datos experimentales en la sección 495 mm sobre el área de

inyección. Promedios de velocidad vertical del líquido (izquierda) y velocidades verticales de las burbujas (derecha). Las líneas negras representan

velocidades medias y las grises velocidades fluctuantes. Sección 495 mm sobre la zona de inyección.

de considerar un único diámetro deburbuja. Como resultado, el picoen las velocidades de las burbujasdesaparece (Figura 7 derecha) perola componente fluctuante es extre-madamente baja. Precisamente fueeste hecho el que motivó la intro-ducción de la distribución de tama-ños de burbuja en la simulación,como fue discutido en Laín et al.(2002). Por otro lado, el cálculocon la distribución mostrada en laFigura 2 sigue presentando el picoen el perfil de velocidades de lasburbujas. Consistentemente, los



mayores valores de velocidad me-dia de burbuja en el caso monodis-perso inducen mayores valores enla velocidad del líquido en las cer-canías del centro de la columnadebido al incremento de transferen-cia de momento de la fase dispersaa la continua.

Finalmente, la Figura 8 presen-ta la comparación cuantitativa en-tre las simulaciones bajo LES, me-didas experimentales y los resulta-dos obtenidos con el modelo k-εreportados en Laín et al. (2001). Enla parte izquierda de esta figura secomprueba cómo las velocidadesverticales del líquido se sitúanpor encima de los experimentos ycálculos con el modelo k-ε. Por otrolado, la velocidad vertical de lasburbujas se sitúa por debajo de losvalores obtenidos con el modelo k-εexcepto en la zona del pico de velo-cidades. Este hecho se debe al co-mentado efecto de dispersión nohomogénea de las burbujas en lasdirecciones transversales. Por tan-to, en las simulaciones bajo LES,las burbujas más pequeñas tiendena quedarse en las cercanías del ejedel cilindro mientras que las mayo-res tienden a migrar hacia la pared.En lo concerniente a las velocida-des fluctuantes de las burbujas, elcaso con coeficiente de resistenciapara esferas fluidas proporcionavalores sobre los puntos experimen-tales y el caso con C

D para esferas

rígidas arroja valores por debajo deellos.

Una posibilidad para mejorarlos resultados del esquema comple-to es estimar la energía cinética desubescala, kSGS, y utilizarla paraconstruir un mecanismo de disper-sión para las burbujas que se com-bine con la fuerza de empuje trans-versal. Una tal estimación podríaobtenerse resolviendo una ecuaciónde evolución para kSGS, por ejemploutilizando la formulación de Yoshi-zawa (1982). Esto será objeto de untrabajo futuro.

7. Conclusiones y trabajo futuro

En este artículo se presentan losresultados obtenidos en la primeraetapa de desarrollo de un proyectode investigación centrado en la si-mulación numérica del flujo transi-torio que tiene lugar en el interiorde una columna de burbujas cilín-drica. El esquema de cálculo com-bina una Simulación de GrandesEscalas (LES) para la fase líquidacon un módulo de trazado Lagran-giano para las burbujas de gas. Engeneral, la estructura dinámica delpatrón del flujo del líquido y el es-tado estadísticamente estacionario,mostrando un bucle de recirculaciónmuy aproximadamente simétrico,son reproducidos observándose unbuen acuerdo cualitativo con lasobservaciones. Sin embargo, el tra-bajo debe continuar buscando me-jor acuerdo cuantitativo.

Como en trabajos anteriores, ladispersión de las burbujas depen-de fuertemente del valor del coefi-ciente de empuje transversal, C

TL,

ya que en ausencia de transportepor fluctuaciones de velocidad, lafuerza de empuje transversal es elúnico mecanismo capaz de disper-sar las burbujas transversalmente.Además, la consideración de unadistribución de tamaño de las bur-bujas junto con la correlación (10)propuesta por Tomiyama para C

TL,

induce una zona de altas velocida-des de burbujas cerca de las pare-des de la columna. Tal pico se debea la dispersión no homogénea delas burbujas la cual implica que lasmayores alcancen posiciones máscercanas a la pared que las máspequeñas.

Un procedimiento para mejorareste comportamiento sería la intro-ducción de una ecuación de evolu-ción para la energía cinética fluc-tuante de subescala utilizando, porejemplo, la formulación de Yoshi-zawa (1982). Esta idea será desa-rrollada en el futuro cercano.



Agradecimientos

Este proyecto de investigaciónes financiado por la UniversidadAutónoma de Occidente con refe-rencia 03-PIM-9. El primer autoragradece especialmente dicho apo-yo financiero.

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