Flujo y Separacin de Partculas Slidas por Medio de la Mecnica de Fluidos

Considere una partcula que se mueve en un fluido en una sola dimensin, bajo la influencia de una fuerza externa. Esta fuerza externa puede deberse a la gravedad o a un campo de fuerza centrfuga. La teora bsica del flujo de slidos a travs de fluidos se basa en el concepto de cuerpos con movimiento libre,

Donde F es la fuerza resultante que acta sobre cualquier cuerpo, dv/d9 es la aceleracin del cuerpo y m es. La masa del mismo. En la Fig. 22-2, las fuerzas que actan sobre el cuerpo que est cayendo, son la fuerza externa (FE), una fuerza de flotacin (FB) y la fuerza de arrastre (FD) debida a la friccin del fluido en su direccin de velocidad con respecto a la partcula. Por tanto,' por medio de la Ec. 22-1, La fuerza externa (FE) puede expresarse con la ley de Newton como

Donde BE es la aceleracin de la partcula, resultante de la fuerza externa. La fuerza de arrastre se obtiene mediante la Ec. 22-11

Donde es la viscosidad del fluido y V. es la velocidad terminal de la partcula (ver ms adelante el significado). La fuerza de flotacin se obtiene del principio de Arqumedes. La masa del fluido desplazado por el slido es (m/Ps) P, donde Ps y P son las densidades del slido y fluido, respectivamente. Por tanto,

Sustituyendo las Ecs. 22-3, 22-11 y 22-4 en la Ec.22-2, se obtiene

Nota: Consideramos que la fuerza externa es la gravedad, por lo que aE es igual a la aceleracin de la gravedad g y esto reemplazo tambin en la ecuacin 22-2

Dado que para esferas m = (*(Dp 3)/6)ps

A la velocidad terminal, dv/dO = O y

La Ec. 22-15 es un enunciado de la ley de Stokes, que es aplicable a la carda de partculas esfricas con fluiD laminar. Se utiliza, por ejemplo, para calcular la viscosidad usando un viscosmetro de carda de una esfera. Una esfera de dimetro conocido cae a travs de un fluido de viscosidad desconocida en un tubo. Se mide el tiempo de carda entre los dos puntos indicados y mediante la Ec. 22-15, es posible determinar la viscosidad.

Velocidad terminal. Considere la partcula de la Fig. 22-2 cayendo en un campo gravitacional, de tal manera que otras partculas que puedan estar presentes no alteren su carda. A medida que la partcula cae, su velocidad aumenta y continuar incrementndose hasta qu~ las fuerzas de aceleracin y resistencia sean iguales. Cuando se alcanza este punto, la velocidad de la partcula permanece constante durante el resto de su carda, a menos que se rompa el equilibrio de fuerzas.Esta ltima velocidad constante, se conoce como velocidad terminal.

Ahora a la ecuacin 22-15 le aadiremos un factor de Correccin R teniendo:

Donde VH es la velocidad terminal para la sedimentacin obstaculizada.

Sedimentacin

El mecanismo de sedimentacin puede describirse observando lo que ocurre durante una prueba de sedimentacin intermitente en una probeta de vidrio, a medida que los slidos se sedimentan a partir de una suspensin. La Fig. 22- 18a muestra una suspensin preparada recientemente con una concentracin uniforme de partculas slidas uniformes en toda la probeta. En cuanto se inicia el proceso, todas las partculas empiezan a sedimentarse y se supone que alcanzan con rapidez las velocidades terminales bajo condiciones de sedimentacin obstaculizada. Se establecern varias zonas de concentracin (Fig.22-18b). La zona D de slidos sedimentados incluir de manera predominante las partculas ms pesadas, que se sedimentan ms rpido. En una zona de transicin poco definida situada por encima del material sedimentado, existen canales a travs de los cuales debe subir el fluido. Este fluido es forzado desde la zona D al comprimirse. La zona C es una regin de distribucin de tamao variable y concentracin no uniforme. La zona B es una zona de concentracin uniforme, de casi la misma concentracin y distribucin que haba al inicio. En la parte superior de la regin B existe un lmite por encima del cual est el lquido transparente de la regin A. Si la suspensin original tiene un tamao cercano a las partculas ms pequeas, la lnea entre A y B es definida. A medida que contina la sedimentacin, las zonas varan como se ilustra en la Fig. 22-18b, c, d. Ntese que A y D crecen a expensas de B. Por ltimo alcanza un punto en donde B y C desaparecen y todos los slidos aparecen en D; esto se conoce como punto crtico de sedimentacin (Fig. 22-18e) -es decir, el punto en el cual se forma una sola interfase discernible entre el lquido clarificado y el sedimento.

Las velocidades de sedimentacin son muy lentas en esta suspensin densa. La fase final es un caso extremo de sedimentacin obstaculizada. Se puede usar la Ec. 22-22 para estimar velocidades de sedimentacin. Esta expresin toma en cuenta la densidad y viscosidad efectivas del fluido, pero no considera la aglomeracin de partculas, de manera que la velocidad de sedimentacin calculada puede tener un error considerable.

En la operacin ilustrada de sedimentacin intermitente, las alturas de las diferentes zonas varan con el tiempo, las mismas zonas estarn presentes en un equipo operando con rgimen continuo. Sin embargo, una vez que se ha alcanzado un estado estable (cuando a alimentacin al espesador de la suspensin por unidad de tiempo es igual a la velocidad de eliminacin de Iodos y lquido clarificado), las alturas de todas las zonas sern constantes. En la Fig. 22-19 se muestran las zonas para una sedimentacin continua.

El equipo es slo un tanque cilndrico con aberturas para la alimentacin de la suspensin y la eliminacin del producto. El tanque se llena con una suspensin diluida y se permite que sedimente. Despus de un cierto periodo se decanta un lquido clarificado hasta que aparece el lodo en el drenaje. El lodo se extrae del tanque por una abertura del fondo, como se indica en la Fig. 20-20.

Los espesadores continuos (Fig. 22-21) son tanques de gran dimetro y baja profundidad con rastrillos giratorios de baja velocidad para eliminar el lodo. La suspensin se alimenta por el centro del tanque. Alrededor de la parte superior del tanque est un derrame de lquido clarificado. El rastrillo sirve para raspar el lodo hacia el centro de la parte inferior para su descarga. El movimiento del rastrillo tambin "agita" tan slo la capa de lodo. Esta agitacin moderada ayuda a la separacin del agua de los Iodos.

Clculo de un espesador contino.El diseo de un espesador requiere de las especificaciones del rea de seccin transversal y la profundidad. Es posible disear una unidad para obtener un producto especfico de manera continua usando informacin de sedimentacin intermitente.Las mediciones de laboratorio del tipo antes analizado en relacin con la Fig. 22-18, son las pruebas ms satisfactorias para determinar las caractersticas de sedimentacin de una cierta suspensin o lodos. Aunque estas pruebas son intermitentes, su anlisis es til para el diseo de espesado res continuos. La Fig. 22-22 muestra los resultados de esta prueba cuando se obtiene la altura de la interfase lquido-slido en funcin del tiempo. Las pendientes de esta curva en cualquier momento representan velocidades de sedimentacin de la suspensin en ese instante y son caractersticas de una concentracin especfica de slidos.

La primera porcin de la curva tiende a ser lineal, correspondiendo a una velocidad 'constante de sedimentacin de los lodos a la concentracin inicial. En el espesamiento, esta regin inicial representa una parte insignificante del tiempo total de espesamiento. A medida que transcurre el tiempo, la velocidad de sedimentacin disminuye. Cae y Clevenger (14) en 1916 y Kynch (30) en 1952, propusieron un modelo para explicar esto, suponiendo que la velocidad de sedimentacin es proporcional a la concentracin de slidos suspendidos. Una vez que se pasa la regin de velocidad constante de sedimentacin de la Fig. 22-22, cada punto de la curva corresponde a una concentracin diferente de slidos.

Clculos de diseoTeniendo en consideracin lo mencionado anteriormente.Los resultados de pruebas intermitentes muestran con claridad que la velocidad de sedimentacin disminuye al aumentar la concentracin. Sin embargo, la disminucin es menos rpida que el incremento de concentracinAunque este balance de velocidad lineal decreciente y flujo de masa creciente como consecuencia de la mayor densidad de slidos en la capa que se compacta, es impredecible, tiene importancia en el procedimiento de diseo.Una condicin necesaria para la operacin de un espesador continuo, es que la velocidad de sedimentacin de los slidos en cada zona debe ser, por lo menos, lo suficientemente rpida para acomodar al slido que est llegando a ese nivel. En la parte superior del espesador, la suspensin est muy diluida y la sedimentacin es muy rpida. En el fondo, la densidad y concentracin de slidos son en extremo altas y la velocidad de sedimentacin es lenta.En un espesador que opere de manera continua, los slidos pasan a travs de capas de todas las concentraciones entre la de alimentacin y la del flujo inferior, como se indica en la Fig. 22-19. Si los slidos que entran a cualquier capa no pasan a travs de ella a una velocidad igual a la de llegada de slidos a la capa, se incrementar el espesor de sta y crecer hacia arriba hasta que, por ltimo, aparecen slidos en el derrame. El diseo del espesador se basa en la identificacin de la concentracin de la capa que tiene la menor capacidad para el paso de slidos a travs de ella en las condiciones de operacin. Esta capa particular se conoce como capa limitante de la velocidad. Se debe contar con un rea suficiente para asegurar que el flujo de slido especificado no exceda la capacidad del rea limitante de la velocidadLa Fig. 22-23 describe una capa de concentracin C en una prueba intermitente. Se supone que esta capa Es la limitante de la velocidad, de manera que puede considerase que asciende a una velocidad VL' Los slidos se sedimentan en esta capa provenientes de la inmediatamente superior, que tiene una concentracin (e - de) y una velocidad (v + dv) con respecto a la columna y (v + dv + VL) con respecto a la capa. Los slidos se sedimentan de esta capa a una velocidad v con respecto a las paredes y v + vL con respecto a la capa. Si se supone que la capa tiene una concentracin constante de slidos, entonces por medio de un balance de materiales,

Donde S es el rea perpendicular al flujo de slidos.

Resolviendo la Ec. 22-48 para VL se obtiene

Y sin tomar en cuenta dv,

Se ha supuesto (14,30) que la velocidad de sedimentacin es una funcin de la concentracin [es decir, v =f(c)] de manera que dv/ dc = f' (c). Por tanto, la Ec. 22-50 resulta en

Dado que c es constante para esta capa, f'(c) y f(c) tampoco varan, de manera que ~ tambin es constante. El hecho de que ~ sea constante en la zona limitante de la velocidad, puede usarse para determinar la concentracin de slidos en el lmite superior de la capa, a partir de una sola prueba de sedimentacin intermitente.Sean co y Zo la concentracin y altura iniciales de los slidos suspendidos en una prueba de sedimentacin intermitente. El peso total de slidos en la suspensin es CLZoS, donde S es el rea de seccin transversal de la probeta en la cual se lleva a cabo la prueba. Si existe una capa limitante, debe formarse primero en el fondo y moverse hacia arriba en direccin a la interfase del lquido clarificado.Si la concentracin de la capa limitante es CL Y el tiempo para alcanzar la interfase en (teta)L, la cantidad de slidos que pasa a travs de esta capa es CL- S*(teta)L (vL + vL(con sombrerito) ). Esta cantidad debe ser igual al total de slidos presentes, dado que la capa que tiene esta concentracin lmite comenz a formarse en el fondo y ascendi a la interfase. Por tanto

Si ZL es la altura de la interfase en (teta)L con VL(con sombrerito) constante, de acuerdo con la Ec. 22-51, entonces

Sustituyendo el valor de vL(con sombrerito) de la Ec. 22-53 en la Ec.22-52 y simplificando se obtiene

Los datos de prueba del laboratorio pueden manejarse graficando la altura de la interfase en funcin del tiempo, como en la Fig. 22-24. En esta grfica, el valor de vL(con sombrerito) es la pendiente de la curva en teta = (teta)L, como lo muestra la Ec . 22-25. La tangente a la curva en (teta)L intersecta a la ordenada en Z . La pendiente de esta lnea es

Combinando las Ecs. 22-56 y 22-54 resulta en

Por consiguiente, Z es la altura que la suspensin ocupara si todos los slidos presentes tuvieran una concentracinCL. En trminos del modelo antes postulado CL es la concentracin mnima para la que las capas limite producen interferencia.La velocidad de sedimentacin es una funcin de la concentracin, determinada con una sola prueba de sedimentacin como sigue. Para diversos valores arbitrarios de teta' s, la pendiente de la tangente y su interseccin en teta = o se determinan con una grfica de z en funcin de teta. El valor de esta interseccin se utiliza en la Ec. 22-57, para obtener la concentracin correspondiente. A partir de esto, se obtiene VL en funcin de c.

EjemploSe hizo una sola prueba de sedimentacin intermitente con una suspensin de piedra caliza. Se observ interfase entre el lquido transparente y los slidos suspendidos en funcin del tiempo, y los resultados se encuentran tabulados ms adelante. La prueba se hizo con 236 g de piedra caliza por litro de suspensin. Prepare una curva mostrando la relacin entre la velocidad de sedimentacin y la concentracin de slidos. Solucin Usando los datos de prueba, se grafica la altura de la interfase (z) en funcin del tiempo (teta) (Fig.22-25). Con la concentracin de slidos de la suspensin inicial,Co*Zo = 236 x 36 = 8500 g cm/IDe la Ec. 22-57,

Se determina que la tangente de la curva en teta = 2 h tiene una interseccin en Z = 20 cm. La velocidad de sedimentacin en ese tiempo es la pendiente de la curva dz/d(teta) = v = 2.78 cmlh y c = 425 gil. Los otros puntos se obtienen de la misma manera y se encuentran tabulados en la Tabla 22-2 y graficados en la Fig. 22-26.

rea del espesadorEl rea del espesador requerida est fijada por la capa que necesita el rea mxima para el paso de una cantidad unitaria de slidos. Por consiguiente, es necesario determinar la concentracin de dicha capa.Considere la prueba de sedimentacin intermitente en la que el flujo total de slidos es la suma del flujo de las partculas que se sedimentan y el flujo especfico para suministrar un flujo global a la salida inferior. Este flujo total es

El primer trmino del lado derecho de la Ec. 22-58 es el flujo de sedimentacin de las partculas que se conoce como flujo intermitente y se obtiene a partir de datos de prueba por lotes. El segundo trmino es el flujo asociado con la eliminacin de slidos por medio del flujo inferior. En la Fig. 22-27 se presenta una grfica de la Ec. 22-58 mostrando las contribuciones relativas de los dos flujos.En la Fig. 22-27, el flujo de slidos FL con una concentracin CL, es menor que el flujo de slidos a otras concentraciones entre la alimentacin y el flujo inferior. Por consiguiente, FL es la capacidad limitante de flujo de slidos y debe suministrarse un rea de tal manera que el flujo no exceda de FL Por consiguiente, el rea requerida por el espesador es

El rea calculada mediante la Ec. 22-59 es la mnima que debe suministrarse para un espesador continuo operando a estado estable.