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8 Propagao de Incertezas Atravs de MdulosFundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial
www.labmetro.ufsc.br/livroFMCI
Motivao
Algumas vezes necessrio compor sistemas de medio reunido mdulos j existentes. O comportamento metrolgico de cada mdulo conhecido separadamente. Qual o comportamento metrolgico do sistema resultante da combinao dos vrios mdulos?Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 2/24)
Transdutores
UTS0.000 0.000 0.000 0.000
Dispositivos mostradores
0.000
6.414
Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 3/24)
Composio de sistemas de mediosistema de medio Mdulo 1 Mdulo 2 Mdulo n
...
ESM
SSM
Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 4/24)
8.2Modelo Matemtico
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Modelo matemtico para um mduloE(M1) Mdulo 1 S(M1) Idealmente: K(M1) : sensibilidade C(M1) : correo u(M1) : incerteza padro Em funo dos erros: u(M1) S(M1) = K(M1) . E(M1)
S(M1) = K(M1) . E(M1) C(M1)
Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 6/24)
Modelo para dois mdulosE(M1) Mdulo 1 S(M1) E(M2) S(M1) = K(M1) . E(M1) - C(M1) u(M1) S(M2) = K(M2) . E(M2) C(M2) u(M2) E(M2) = S(M1) S(M2) = K(M2) . [K(M1) . E(M1) C(M1) u(M1)] C(M2) u(M2) S(M2) = K(M1) . K(M2) . E(M1) - [C(M1). K(M2) + C(M2)] [u(M1). K(M2) + u(M2)]Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 7/24)
Mdulo 2
S(M2)
8.3Sensibilidade Equivalente
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Modelo matemtico para n mdulosMdulo 1 Mdulo 2 ... Mdulo n
E(SM)
S(SM)
K(M1), C(M1), u(M1) K(M2), C(M2), u(M2)
K(Mn), C(Mn), u(Mn)
sensibilidade S(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn) . E(SM) K(SM) = K(M1) . K(M2) . ... . K(Mn)
Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 9/24)
8.4Correo Relativa Equivalente
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Modelo matemtico para n mduloscorreo Cr(SM) = Cr(M1) + Cr(M2) + ... + Cr(Mn) sendo: Cr = correo relativa, calculada por:
C(M k ) para o mdulo k Cr(M k ) ! S(M k ) ES SS para o sistema de medio S ! ! ES SSCE(SM) = correo na entrada do SM CS(SM) = correo na sada do SMFundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 11/24)
8.5Incerteza Padro Relativa Equivalente
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Modelo matemtico para n mdulosincerteza ur(SM)2 = ur(M1)2 + ur(M2 )2 + ... + ur(Mn )2 sendo: ur = incerteza relativa, calculada por:
u( ur( k ) ! ( S S ! S
k
) para o mdulo k k) SS para o sistema de medio ! SSuE(SM) = incerteza na entrada do SM uS(SM) = incerteza na sada do SMFundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 13/24)
Modelo matemtico para n mdulosgraus de liberdade efetivos4 4 4 4
ur ( SM ) R ( SM )sendo:
ur ( M n ) ur ( M 1 ) ur ( M 2 ) ... R (M 1 ) R (M 2 ) R (M n )
R (SM ) ur (SM )
nmero de graus de liberdade efetivo do sistema de medio a incerteza padro relativa combinada do sistema de medio a incerteza padro relativa do i-simo mdulo nr de graus de liberdade da incerteza padro relativa do i-simo mduloFundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 14/24)
ur (M i ) R (M i )
Modelo matemtico para n mdulos
Se o nmero de graus de liberdade com que cada incerteza padro determinada o mesmo, a equao tambm pode ser escrita em termos da incerteza expandida como:Ur(SM)2 = Ur(M1)2 + Ur(M2 )2 + ... + Ur(Mn )2
U(M k ) para o mdulo k Ur(M k ) ! S(M k ) UE(SM) US(SM) para o sistema de medio Ur(SM) ! ! E(SM) S(SM)Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 15/24)
8.6Correo e Incerteza em Termos Absolutos
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Correo e IncertezaNa entrada do SM:
CE SM ! ESM .CrSM uE SM ! ESM .urSMNa sada do SM:
CS S ! S SM .CrSM uS S ! S SM .urSM
Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 17/24)
8.7Problema Resolvido
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Problema:
A indicao do voltmetro abaixo 2,500 V. Determine o resultado da medio do deslocamento, efetuado com o sistema de medio especificado abaixo, composto de:transd. indutivo amplificador voltmetro
ESM= ?
2,500 V
Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 19/24)
ESM= ?
transd. indutivo
amplificador
voltmetro
2,500 V
transd. indutivo de deslocamentos faixa de medio: 0 a 20 mm sensibilidade: 5 mV/mm correo: - 1 mV unidade de tratamento de sinais u = 2 mV faixa de medio: 200 mV (entrada) amplificao: 100 X disp. mostrador: voltmetro digital correo: 0,000 V faixa de medio: 20 V u = 0,2 % (VFE) correo: 0,02% do valor indicado u = 5 mVFundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 20/24)
5,00 mm
25,00 mV
2,500 V
ESM= ?
transd. indutivo
amplificador
voltmetro
2,500 V
KT = 5 mV/mm CT = - 1 mV uT = 2 mV CrT = - 1/25 = -0,04 urT = 2 /25 = 0,08
KUTS = 0,1 V/mV CUTS = 0,000 V uUTS = 0,2 % . 20 V CrUTS = 0,000 urUTS = 0,04/2,5 = 0,016
KDM = 1 V/V CDM = 0,02 % . 2,5V uDM = 5 mV CrDM = 0,0005/2,5 = 0,0002 urDM = 0,005/2,5 = 0,002
Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 21/24)
sensibilidade KSM = KT . KUTS . KDM = 5 mV/mm . 0,1 V/mV . 1 V/V KSM = 0,5 V/mm correo CrSM = CrT + CrUTS + CrDM = -0,0400 + 0,0000 +0,0002 CrSM = -0,0398 na entrada: CESM = CrSM . ESM = -0,0398 . 5,000 mm = -0,199 mm CESM = -0,199 mm
Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 22/24)
incerteza (urSM)2 = (urT)2 + (urUTS)2 + (urDM)2 (urSM)2 = (0,08)2 + (0,016)2 + (0,002)2 (urSM)2 = 0,0001 . [64 + 2,56 + 0,04] urSM = 0,0815 na entrada: uESM = urSM . ESM = 0,0815. 5,000 mm uESM = 0,4075 mm
Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 23/24)
graus de liberdade efetivos
ur R SM
4 SM
ur ur ur ... R1 R 2 Rn4 4
4 1
4 2
4 n
(0,0815 ) R SM
(0,080 ) (0,016 ) (0,002 ) 16 20 96
4
4
R SM ! 17 ,2UESM = t . uESM = 2,16 * 0,4075 = 0,88 mm
Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 24/24)
Resultado da medioRM = I + CESM UESM 0,88
RM = 5,000 + (-0,199) RM = (4,80 0,88) mm
Fundamentos da Metrologia Cientfica e Industrial - Captulo 8 - (slide 25/24)