Notas del

Curso de Física Nuclear y de

Radiaciones

Dr. Edy Ayala A.

Departamento de Física Escuela Politécnica Nacional

Quito- Marzo - 2008

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CONTENIDO GENERAL I. FUNDAMENTOS Reseña Histórica…………………………………………………………………….…………......1 Propiedades de los núcleos……………………………….……….……………………....……….3 Energías de enlace nuclear……………………………………………………………….…......…9 Reacciones nucleares…………………………………………………………………………..…11 Decaimientos radiactivos…………………………………………………………………….….. 13 Ley del decaimiento radiactivo…………………………………………………….…….….…....20 Activación neutrónica…………………………………………………………….……...…...…..24 II. RADIACIONES Campo de radiación……………………………………………………………………….……...27 Secciones eficaces y coeficientes de interacción…………………………………..……….…….29 Interacción de los fotones con la materia……………………………………………..……….….35 Interacción de los neutrones con la materia……………………………………………....………45 Interacción de las partículas cargadas con la materia…………………………………....……….49 Rangos y Straggling de partículas cargadas……………………………………………...………56 Radiación de frenado (Bremsstrahlung)……………………………………………..…….……..60 Efecto Čerenkov……………………………………………………..……….…………………..64 III. MODELOS NUCLEARES Modelo de la gota líquida y formula semi-empírica de masa……………….………….....……..68 Modelo de Gas de Fermi……………………………………………………….……..….…...….73 Modelo de capas……………………………………………………………….……..…………..79 Modelo colectivo………………………………………………………………...……………….97 IV. INTERACCION NUCLEAR El deuterón……………………………………………………………………………………...106 Dispersión nucleón-nucleón……………………………………………………….……..……..113 Propiedades de las fuerzas nucleares…………………………………………………..……….124 Fuerzas de intercambio………………………………………………………………..………..130 V. MODELOS DE RADIACION NUCLEAR Teoría del decaimiento alfa………………………………………….….……….……………...136 Teoría del decaimiento beta……………………………………………..……………………...143 Teoría del decaimiento gamma…………………………………………..……………………..157 Absorción resonante y efecto Mössbauer……………………………..………………………..169 VI. REACCIONES NUCLEARES Características fundamentales de las reacciones nucleares………………..…….……………...180 Reacciones resonantes………………………………………………..……….………………...190 VII. APLICACIONES DE LA FISICA NUCLEAR Fisión nuclear………………………………………………………..………….………………194 Teoría de reactores de fisión…………………………………………..………….………….....198 Fusión nuclear…………………………………………………………..………….………...…207

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Prefacio

Este folleto de Física Nuclear aparece como resultado de los apuntes de clase del curso

general de Física Nuclear dictado en la carrera de Física de la Escuela Politécnica

Nacional.

La mayoría del material utilizado en este folleto ha sido obtenido de innumerables fuentes,

en particular, varios libros de textos que son citados a continuación del prefacio.

El folleto presenta la materia de igual manera como se desarrolla en clase y esta dividida

en dos grandes secciones: a) interacción de la radiación con la materia y b) modelos

nucleares y propiedades de la interacción nuclear. La primera parte del curso, además de

dar una noción clara de radiactividad y los correspondientes decaimientos radiactivos, se

enfoca en los procesos de interacción de la radiación con la materia. Esta parte del curso

esta complementada con las prácticas de laboratorio desarrolladas en el Folleto de

Prácticas de Física Nuclear. La segunda parte de la materia da un enfoque general de los

correspondientes modelos del núcleo atómico y las propiedades de la interacción fuerte. En

todo el texto se trabaja en unidades Gaussianas, sin embargo pueden aparecer expresiones

escritas en el sistema internacional. Los alumnos a este nivel de su carrera sabrán

claramente cuando una expresión esta en uno u otro sistema de unidades.

Quisiera pedir disculpas por el sin número de errores que debe presentar el trabajo, y

muchas partes no muy bien explicadas o redactadas que pueda contener este trabajo.

Espero que ustedes, mediante vía electrónica, puedan hacerme llegar las observaciones y

correcciones que puedan encontrar y que ustedes crean convenientes, así como cualquier

comentario sobre el trabajo.

Es requisito para esta materia el curso de Física Moderna.

Atentamente

Dr. Edy Ayala A.

Departamento de Física

Escuela Politécnica Nacional

Quito- Ecuador

eayala@server.epn.edu.ec

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. P. Marmier E. Sheldon, Physics of nuclei and particles. Vol.1. Academic Press 1969.

2. K. Krane, Introductory Nuclear Physics, John Wiley&Sons, 1988.

3. W.E. Burcham, Física Nuclear, Ed. Reverté, 1974

4. B.L. Cohen, Concepts of Nuclear Physics, Ed. Tata-McGraw Hill 1973.

5. H.A. Enge, Introduction to Nuclear Physics, Adisson-Wesley 1966.

6. H. Frauenfelder M. Henley, Subatomic Physics, Prentice-Hall Inc. 1974.

7. E. Fermi, Nuclear Physics, University of Chicago Press 1949.

8. J.M. Blatt V.F. Weisskopf, Theoretical Nuclear Physics, John Wiley& Sons 1952

9. W.R. Leo, Techniques for nuclear and particle physics experiments, Springer-Verlag 1993.

10. G.F. Knoll, Radiation Detection and Measurements, John Wiley&Sons, 1979.

11. Radioisótopos en investigación básica. Átomos en Acción.

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Constantes

Carga del electrón e = 1.6 10-19 C Masa del electrón me = 9.11 10-31 kg = 511 keV/c2 Masa del protón mp = 1.673 10-27 kg = 938.272 MeV/c2 Masa del neutrón mn = 1.675 10-27 kg = 939.566 MeV/c2 Constante de Planck h = 6.626 10-34 J s = 4.136 10-15 eV s Constante de Boltzmann k = 1.38 10-23 J K-1 = 8.617 10-5 eV K-1 Velocidad de la luz (vacío) c = 3.00 108 m s-1 Permitividad eléctrica (vacío) 0 = 8.85 10-12 F m-1 Permeabilidad magnética (vacío) µ0 = 4 10-7 H m-1 Número de Avogadro NA = 6.02 1026 kg-mol-1 Constante de Rydberg R = 1.10 107 m-1 Magnetón de Bohr µB = 9.27 10-24 J T-1 Magnetón Nuclear µN = 5.0508 10-27 J T-1 = 3.1525 10-14 MeV T-1 Constante de Estructura Fina = 1/137 Radio clásico del electrón re= 2.818 fm Radio de Bohr a0= 0.529 Å Momento magnético electrón µe= 1.001159652 µB Momento magnético protón µp= 2.792847337 µN

Momento magnético neutrón µn= -1.91304272 µN Constante Gravitacional G = 6.67 10-11 m3kg-1s-2 Constante de acoplamiento de Fermi GF = 1.166 10-11 (hc)3MeV-2

Datos Útiles

Unidad atómica de masa 1u = 1.66 10-27 kg = 931.502 MeV/c2 Factor de conversión de Energía 1 eV = 1.6 10-19 J Años en segundos 1 yr = 3.16 107 s Presión atmosférica 1 atmosphere = 1.01 105 N m-2 Aceleración de la gravedad en la Superficie de la Tierra g = 9.81 m s-2 1 gramo molécula a STP ocupa 22.4 litros Primeros Polinomios Asociados de Legendre:

mm PP −= ll

( )

( )θ

θ

θ

θθ

2cos123

223

12cos341sincos1

22

21

20

11

10

00

−=

=

+=

===

P

senP

P

PPP

( )

( )

( )

( )θθ

θθ

θθ

θθ

334

15

3coscos4

15

3583

cos33cos581

33

32

31

30

sensenP

P

sensenP

P

−=

−=

+=

+=

1

CURSO GENERAL DE FÍSICA NUCLEAR Y DE RADIACIONES Introducción La física nuclear trata sobre el estudio del núcleo atómico, su estructura y sus propiedades. El desarrollo de un modelo físico para el núcleo atómico se ha basado principalmente en la vasta evidencia experimental. Los resultados experimentales no han permitido que se elabore una única teoría sino más bien diferentes modelos (o aproximaciones), cada uno de los cuales describen varios conjuntos de datos experimentales por separado. El desarrollo de nuevas técnicas experimentales en las dos últimas décadas ha dado un nuevo impulso a la física nuclear, no solo mejorando el conocimiento sobre el núcleo atómico; sino llevando a cambios en la concepción de este sistema fundamental. Reseña histórica Desde el comienzo de la civilización, la humanidad se ha preocupado en tratar de contestar preguntas sobre su origen ó el origen del universo; una muy frecuente es, por ejemplo: ¿Cómo está constituido el universo y cuales son las leyes que lo rigen? Empédocles 500 AC propuso que todo se encontraba compuesto de cuatro elementos básicos: Aire, Agua, Tierra, Fuego. Tal vez lo más importante de este modelo fue el intento de explicar el por qué esas substancias se combinan como lo hacen (es decir su interacción). Empédocles propuso dos clases de fuerzas: repulsivas y atractivas. Esta idea fue aceptada por Aristóteles lo que le hizo perdurar por mucho tiempo (hasta el siglo XIX DC). Los atomistas griegos en esa época planteaban la división de la materia hasta llegar a un trozo indivisible (llamado átomo). Dalton recogió esta idea y en 1808 propuso la existencia de átomos para explicar las proporciones en que intervienen los elementos componentes en una reacción química. Se llegó a conocer las leyes del enlace químico cambiando el esquema anterior en: 92 elementos naturales (clasificados por Mendelejev) y las interacciones: eléctrica, magnética, gravitatoria y de cohesión y enlace. J. C. Maxwell llevó a cabo la primera unificación, demostró que tanto las fuerzas eléctricas y magnéticas son manifestaciones de un mismo tipo de interacción. Por otra parte, se llegó a demostrar que la fuerza de cohesión no era más que residuos de la fuerza electromagnética. El nacimiento de la física nuclear parece remontarse a finales del siglo XIX cuando aparecieron los primeros trabajos sobre radiactividad de Bequerel (1896) y los Curie, conjuntamente con el descubrimiento del electrón por J. J. Thomson (1897); pero fue precisamente el descubrimiento de los electrones lo que motivó al desarrollo de modelos de la materia (modelo de Thomson 1904) y no fue sino hasta 1911 cuando Rutherford, en base con sus experimentos de dispersión de partículas alfa sobre láminas delgadas de oro, propuso un modelo atómico formado por un núcleo masivo (donde además se concentra la carga positiva) rodeado de una nube electrónica (con igual carga pero del signo opuesto). Sin embargo, pese a sus contradicciones con la teoría electromagnética clásica, este modelo se mantuvo con la ayuda de las hipótesis o postulados adicionales introducidos por Bohr (vieja teoría cuántica), que eliminaban las contradicciones antes mencionada mediante una proposición. Por otra parte, Rutherford, mediante el estudio de las reacciones N14(α,p)O17, observó la emisión de protones por lo que propuso que los protones deben ser componentes nucleares, introduciendo una nueva interacción que a distancias nucleares superaba en intensidad a la repulsión coulómbica entre los protones (interacción fuerte). En 1913 J.J. Thomson (Aston 1919) descubrió que la masa del núcleo no estaba determinada únicamente por su carga. Había varias masas correspondiendo a la misma carga (descubrimiento de isótopos). Los métodos químicos mostraron que la masa de los átomos se aproximaba a un número entero veces la masa del hidrógeno, es decir,

HMenteroM ⋅≈ a este número entero se lo denominó número másico A, y era mayor a las unidades de carga eléctrica Z del elemento. En realidad, esto hizo plausible la primera hipótesis sobre la estructura nuclear. Se propuso un núcleo formado por: A protones (para justificar la masa) y (A-Z) electrones (para justificar la carga eléctrica)

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Sin embargo, la estabilidad de este modelo no se justificaba por la excesiva energía que debían tener los electrones dentro del volumen nuclear, energía estimada, mediante el principio de incertidumbre de Heisenberg, en aproximadamente 20 MeV. En este modelo, el deuterio debía estar formado por dos protones y un electrón, es decir, por tres partículas de spin ½, lo que indicaría que el spin compuesto de dicho núcleo debería ser semi-entero. Experimentalmente se encuentra que dicho núcleo tiene un spin entero e igual a 1. Por otra parte, la presencia de un número de electrones dentro del núcleo implicaría momentos magnéticos nucleares del orden de los magnetones de Bohr, sin embargo experimentalmente se miden momentos magnéticos nucleares 2000 veces más pequeños. No fue sino hasta 1932 cuando Chadwick, mediante colisiones de partículas alfa con Berilo, descubrió el neutrón, partícula con masa muy próxima a la del átomo de Hidrógeno y sin carga eléctrica (el neutrón en estado libre decae mediante emisión beta negativa con un tiempo de vida media de aproximadamente 870 segundos). Este descubrimiento llevó a postular el modelo de núcleo atómico que se maneja hasta la fecha, es decir, el formado por: Z protones y (A – Z) = N neutrones Estos protones y neutrones están enlazados formando el núcleo atómico mediante la interacción fuerte, que a distancias nucleares (10-13-10-12cm) prevalece a la repulsión electrostática entre protones, y a distancias mayores a las nucleares (distancias atómicas) se desvanece completamente. Como se mencionó, la masa tanto de los protones como de los neutrones son aproximadamente 1840 veces mayores que la masa del electrón. Cuando los protones y los neutrones forman el núcleo atómico toman el nombre de nucleones. Aunque inicialmente se pensó que los protones y neutrones eran partículas elementales, es decir, bloques elementales de la materia sin estructura interna. Sus propiedades anómalas y datos experimentales iban evidenciando que se trataban de sistemas compuestos. En la década de los 50, cuando se empezó a construir los aceleradores de partículas y en base a los resultados obtenidos en experimentos de dispersión, fue notoria una estructura interna para los nucleones. Estos elementos constitutivos fueron inicialmente llamados “partones” y posteriormente serían conocidos como quarks. La interacción que liga a los quarks y les mantiene confinados formando los nucleones (en general los hadrones) es la interacción fuerte. Esta interacción fuerte entre quarks, de acuerdo con teoría cuántica de campos, es mediada por partículas virtuales llamadas gluones y la teoría que describe esta interacción se le conoce como “Cromo-dinámica Cuántica”. El siguiente esquema muestra los componentes fundamentales de la materia:

En este curso se estudia el modelo de núcleo atómico constituido por nucleones (protones y neutrones) interaccionando entre ellos. Esta es una buena aproximación puesto que las energías cinética y potencial de los nucleones dentro del núcleo son un orden de magnitud menor a aquella energía que se requiere para excitar los quarks que conforman un nucleón individual (300 MeV). Un modelo del núcleo atómico basado en la teoría estándar de partículas elementales, es decir núcleos como sistemas de quarks y gluones es demasiado complicado hasta para describir las propiedades básicas del núcleo atómico. Situación actual La física de partículas, hoy en día, esta descrita por el “Modelo Estándar”. Este modelo clasifica a las partículas elementales en dos grandes familias: los leptones y los quarks. Cada familia esta formada por tres pares (generaciones) de partículas.

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Tanto los leptones como los quarks son partículas de spin ½, es decir, son fermiones1 Tabla 1. Familia de leptones y quarks. LEPTONES QUARKS

Tipo o Sabor Masa GeV/c2 Carga eléctrica Tipo o Sabor 2Masa GeV/c2 Carga eléctrica Electrón e 0.000511 -1 Up u 0.005 2/3 Neutrino νe <7 10-9 0 Down d 0.01 -1/3 Muón µ 0.106 -1 Charm c 1.5 2/3 Neutrino νµ <0.0003 0 Strange s 0.2 -1/3 Tao τ 1.7771 -1 Top t 170 2/3 Neutrino ντ <0.03 0 Bottom b 4.7 -1/3

Tanto los leptones como los quarks interaccionan a través de las cuatro interacciones fundamentales (conocidas hasta ahora) las cuales se tabulan a continuación. Los leptones son inmunes a la interacción fuerte (no poseen carga de color). De acuerdo con la teoría cuántica de campos, las interacciones están mediadas por el intercambio de partículas virtuales las cuales tienen spin 1. Las intensidades relativas de las interacciones referidas a la interacción fuerte entre dos protones se muestran en la siguiente tabla. Tabla 2. Interacciones Fundamentales.

Interacción Actúa sobre: Intensidad relativa Partículas que median la interacción

Gravitacional Masa-Energía 10-38 3gravitón??? Electromagnética Eléctricamente-cargadas 1/137 Fotones γ

Sin carga, sin masa Débil Sabor 10-5 W+, W- (80.22 GeV/c2)

Z0 (91.187 GeV/c2) Fuerte Carga de color 1-10 Gluones g (sin masa)

Adicionalmente debemos mencionar que el modelo propone la existencia de un campo escalar llamado de Higgs, que es el encargado de asignar masa a las diferentes partículas. Este campo escalar tiene asociada una partícula, boson de Higgs, que aún no se ha encontrado. Se espera que el acelerador LHC (Large Collider Hadrons), que empezará a funcionar a mediados del 2008, nos dará una respuesta definitiva sobre dicha partícula y el modelo estándar. A altas energías, el modelo estándar no unifica las interacciones: electro-débil y fuerte, sin embargo se trabaja en modificaciones que sí lo hagan, mediante, por ejemplo, la introducción de una nueva simetría: teoría super-simétrica (SUSY)4, que en su mínima extensión al modelo estándar, plantea una compañera super-simétrica para cada partícula, las llamadas “sparticulas”. Además se necesitan dos campos de Higgs complejos y se involucra a la gravedad. En la antigua teoría de las partículas elementales se clasificaban a las partículas como: Leptones y Hadrones. Siendo los hadrones las partículas que responden a la interacción fuerte (hoy decimos que los hadrones están formadas por quarks). Los hadrones a su vez se clasifican, de acuerdo con su spin, en bariones (partículas con spin semi-entero) y mesones (partículas con spin entero). Actualmente, el modelo estándar considera a los bariones como sistemas formados por tres quarks y los mesones como formados por quarks y antiquarks. Tanto los bariones como los mesones deben tener una carga de color total blanca, y carga eléctrica entera.

1 Los fermiones son partículas de spin semi-entero (cumplen con el principio de exclusión de Pauli). Los bosones son partículas de spin entero (no satisfacen el principio de exclusión de Pauli). 2 Note que las masas del los quarks u y d son pequeñas en comparación a la del nucleón resultante 3 La teoría que lo plantea es no renormalizable. 4 La teoría de cuerdas que se ha desarrollado durante más de 20 años busca una unificación total que incluya la gravedad.

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Tabla3. Algunos Bariones Partícula Masa (MeV/c2) Vida media (seg) Composición en quarks Carga eléctrica

p 938.24 ---------- uud 1 n 939.57 887 udd 0 Λ0 1115.7 2.6 10-10 uds 0 Σ+ 1189.4 0.8 10-10 uus 1 Σ0 1192.5 7.4 10-10 uds 0 Σ- 1197.4 1.5 10-10 dds -1 Ξ0 1314.9 2.9 10-10 uss 0 Ξ- 1321.3 1.6 10-10 dss -1

5Ω- 1672.4 0.8 10-10 sss -1 Λc

+ 2284.9 0.2 10-12 udc 1 El barión ∆++ esta formado por tres quarks u con momento orbital relativo l = 0 y j =3/2 su componente jz corresponde a los tres quarks (up), siendo su función de onda simétrica dando lugar a una estadística equivocada (de bosones). Fue por tanto necesario introducir un nuevo número cuántico, el “color”. Cada sabor de quark tiene tres posibles colores (rojo, verde, azul). Note que diferentes cargas de color en estado jz = 3/2 impiden la violación del principio de exclusión de Pauli. Las mezclas de los tres colores dan un color blanco (que describe la carga de todos los hadrones existentes ya que la separación de los quarks o aislamiento de quarks esta prohibido, a este hecho se le conoce como confinamiento). Adicionalmente, los quarks que forman un hadrón se comportan como partículas cuasi-libres (libertad asintótica). No existe contradicción entre esta propiedad y la anterior, puesto que el confinamiento solo se activa a largas distancias (del orden del radio del hadrón). La demostración experimental de la existencia física de la carga de color se basa en la producción electromagnética de hadrones, mediante la colisión: qqee →γ→−+ y contando el número de estados finales producidos. Tabla 4. Algunos Mesones

Partícula 6(antipartícula)

Masa (MeV/c2)

Composición En quarks

Vida media (segundos)

Carga eléctrica

π+ (π-) 139.57 ( )duud 2.6 10-8 1 (-1)

π0 134.97 dd/uu 0.8 10-16 0 Κ- (Κ+) 439.6 ( )susu 1.2 10-8 -1 (1)

0Κ (Κ0) 497.6 ( )sdsd 0.9 10-10 (KS) 5.2 10-8 (KL)

0

η 547.4 ss/dd/uu 0.5 10-18 0 Simetrías y Leyes de conservación Las leyes de conservación de la física clásica son una consecuencia directa de que las interacciones son invariantes respecto de sus cantidades canónicas conjugadas, es decir, las leyes físicas son independientes del tiempo, de la localización y de la orientación (homogeneidad e isotropía del espacio tiempo). Si una ley es invariante bajo cierta operación de simetría, existe un principio de conservación correspondiente. En mecánica cuántica relativista las interacciones satisfacen una serie de leyes de conservación (se les da el nombre de relativas porque unas interacciones las satisfacen y otras no). Ejemplos: la conservación del número bariónico, número leptónico, extrañeza, paridad P etc. La conservación de la paridad, en física atómica, juega un papel 5 Ω- tiene spin 3/2, el resto tiene spin ½. El número bariónico de todas ellas es 1 (sus antipartículas tienen número bariónico –1). La paridad intrínseca de todas ellas es positiva (sus antipartículas tienen negativas). 6 Las partículas π0 y η coinciden con sus anti-partículas (partículas de Majorana). Los mesones tienen número bariónico cero y su paridad intrínseca negativa.

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importante en las transiciones electromagnéticas y define las reglas de selección conjuntamente con la conservación del momento angular. Los bosones y anti-bosones tienen la misma paridad intrínseca; mientras que los fermiones y anti-fermiones tienen paridades opuestas. Simetrías adicionales de importancia son la conjugación de carga C, que relaciona las partículas con las anti-partículas, la inversión temporal T (no tiene asociada ninguna cantidad conservada). Hay también simetrías combinadas como la CP y la TCP. Al parecer todas las interacciones satisfacen la simetría TCP; sin embargo la interacción débil muestra una violación de extrañeza, P, C y CP. Otra simetría se deriva del hecho de que ciertos grupos (multipletes) de partículas tienen un comportamiento prácticamente idéntico con respecto a las interacciones fuertes. Se le conoce con el nombre de simetría de isospin (o spin isotópico), y solo se conserva en procesos debido a la interacción fuerte. Para terminar con esta introducción, es necesario mencionar que nuestra cosmovisión es muy limitada, pues la materia que hemos descrito con el modelo estándar no representa sino el 1% de la materia y energía que pensamos existe en el universo, el resto lo conforman tanto la materia oscura como la energía oscura, que se les da tal denominación, por el hecho de desconocer completamente su naturaleza.

EL NUCLEO ATOMICO Propiedades de los núcleos Los núcleos atómicos de diferentes tipos se distinguen unos de otros por la cantidad de protones y neutrones que lo conforman. En los núcleos estables ligeros hay aproximadamente el mismo número de protones y neutrones mientras que en los núcleos pesados estables hay aproximadamente 40% de protones y 60% de neutrones, esto se muestra en la figura.

Figura. Curva de estabilidad de los elementos estables presentes en la naturaleza

Dependiendo de la conformación de los núcleos. Se ha visto que en la naturaleza los elementos estables los podemos clasificar de acuerdo con que si su número de protones o neutrones en par o impar. La naturaleza muestra una gran estabilidad para el caso en que el número de protones y neutrones es par y poca para el caso impar impar, resultado que se muestra en la siguiente tabla,

A Z N Tipo (Z-N) Nucleidos estables + nucleidos τ grande

par par par p-p 166 +11 impar par impar p-i 55 + 3 impar impar par i-p 51 + 3

par impar impar i-i 6 + 4 total 278 + 21

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Familia de Núcleos (Nomenclatura A

NZ E ) aunque algunas veces se utiliza también7 ( )AZE

Isótopos (Z1 = Z2)

31

21

11 ;; HHH

23892

23592

23492 ;; UUU Isotonos (N1 = N2)

422

321 ; HeH

17

891688

1587

1486 ;;; FONC

Isóbaros (A1 = A2)

312

321 ; HeH

401921

402020

402119

402218

402317 ;;;; ScCaKArCl

Isodiáferos (N1 – Z1) = (N2 – Z2)

.......;;; 1055

633

422

211 BLiHeH

214

1328221813484

22613686

22613686

23014090

23414292 ;;;;; PbPcRaRaThU

Isómeros (núcleos excitados)

ANZ

ANZ EE ,*

Núcleos Espejo Z1 = N2 N1 = Z2 Tamaño nuclear El radio nuclear no es una cantidad bien definida, es decir, ni los núcleos ni los átomos son cuerpos con frontera bien definida. Sin embargo, se utiliza una definición operacional del radio nuclear (radio medio) con un ancho de piel correspondiente. Se debe diferenciar entre la distribución de carga y la de materia nuclear. La distribución de la carga nuclear La determinación de la distribución de carga nuclear se realiza mediante experimentos de dispersión de electrones (para evitar la interacción nuclear). Para poder observar un objeto de 10 fm es necesario utilizar un haz de partículas con longitud de onda de De-Broglie menor al tamaño del

7 Las nomenclaturas son redundantes, pues para determinar el elemento unívocamente solo se necesita su número másico y nombre.

7

objeto. Es decir, con cantidad de movimiento p > 100 MeV/c (electrones con energía de 100 MeV a 1 GeV). Se define, el factor de forma como:

factor de forma: puntuald

dqF

σσ exp)( =

r

Este factor de forma de la colisión se lo puede expresar en término de los elementos de la matriz de interacción

∫= dVrVqF if ψψ )(*)( r

fi kkqrrr

−= donde los ki, kf son los números de onda incidente y dispersado respectivamente, y V(r) es el potencial de Coulomb en este caso, (el cual es a su vez depende de la densidad de carga dentro del núcleo). Entonces,

∫ ⋅= ´´)()( ´ dVreqF érqi ρrrr

La densidad de carga nuclear es, por tanto, la transformada inversa de Fourier del factor de forma. Varios ejemplos se muestran en la siguiente figura, en la cual: la primera columna corresponde a la función ρ(r), la segunda columna al factor de forma correspondiente y la tercera a un ejemplo de sistema con dicha distribución.

Figura. Distribuciones de densidad de carga y factores de forma. De los datos experimentales de dispersión obtenidos, se encuentra que la densidad de carga nuclear toma la forma:

barer /)(

0

1)( −+=

ρρ

donde ρ0 es un valor constante asignado a la densidad nuclear de carga: 0.165 nucleones/fm3.

a = 1.07 A1/3 fm. Algunas veces 2ra= es el radio cuadrático medio nuclear

b = 0.55 fm. (Es el ancho de piel) Esta función se muestra en la siguiente figura

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Figura 2. Distribución de carga nuclear de varios núcleos atómicos.

Ejercicio: Hallar 2r para una esfera de densidad uniforme y compacta de radio R.

Respuesta: Rr532/12 =

Como conclusión general se puede decir que: “la densidad de carga nuclear es la misma para todos los núcleos” (a esta propiedad se le conoce con el nombre de saturación nuclear). Por tanto, el número de nucleones por unidad de volumen es constante.

cteR

A≈

3

34π

R = radio medio nuclear

Así se puede escribir que: R = R0 A1/3 donde R0 es un valor constante que puede ser encontrado experimentalmente (valor típico: R0 = 1.2 fm). Note que esta relación es válida para núcleos estables más no para núcleos excitados. La densidad de carga nuclear se puede estudiar cuidadosamente examinando también las transiciones atómicas (es decir, mediante la medición de la energía de rayos X fluorescentes que reflejen los diferentes desplazamientos isoméricos de los niveles energéticos electrónicos, de los electrones tipo s, para dos isótopos determinados). Puesto que la dimensión del núcleo atómico es finita, no se puede considerar su potencial como aquel de una partícula puntual para puntos interiores a la distribución, sino que tendrá la forma:

−−=

22

21

23)(´

Rr

ReZrV

La densidad de probabilidad de los electrones tipo s es distinta de cero dentro de la distribución de carga nuclear, este hecho produce pequeños cambios en el valor de los niveles energéticos de dichos electrones (desplazamiento isomérico).

3

224

52

oaReZE≈∆ (Usando las funciones de onda electrónicas del átomo H)

donde ao es el radio de Bohr.

)´(52)(´)( 3/23/22

3

24

AARa

eZAEAE oo

−−=∆−∆

9

Si se grafica esta diferencia para una referencia dada A´, en función de A2/3, se obtiene una línea recta. El valor de la pendiente falla un poco con el valor numérico puesto que la aproximación para la onda 1s es una aproximación grotesca. Las energías de los RX de la transición sp 12 → de dos isótopos A y A´ dan también información del valor R0. Las transiciones ópticas son también medibles y pueden ser utilizadas. El problema tanto con RX o transiciones ópticas radica en el hecho de que el efecto es pequeño. Para mejorar esto, lo que se hace es utilizar RX provenientes de átomos muónicos (átomos en los cuales los electrones orbitales son reemplazados por muones) para amplificar este efecto, pues sus orbitas estarán mucho más próximas al núcleo atómico. La distribución de la materia nuclear La distribución de materia nuclear requiere un estudio experimental más elaborado. Una manera de hacerlo es mediante el estudio de dispersión de partículas α con núcleos blanco de Oro (Au197). Esta dispersión, para el caso de energías bajas, esta determinada por la interacción coulómbica de las partículas α con los núcleos atómicos. Si la energía de las partículas α es incrementada, la interacción con el núcleo blanco tendrá también su componente de interacción fuerte. Por otra parte, el mismo decaimiento α implica, de acuerdo con el modelo mecánico cuántico, la penetración a través de una barrera de potencial. Los valores calculados dependen del radio de la materia nuclear. Otra forma de estudiar esta distribución es mediante átomos piónicos (átomos en los que se ha reemplazado piones negativos por los electrones orbitales). En este caso la interacción de los núcleos con los piones no es solamente de naturaleza electromagnética sino que también interviene la interacción fuerte o nuclear. El resultado fundamental es que la distribución de materia nuclear es casi la misma de la distribución de carga (dentro de 0.1 fm). Energías de enlace Nuclear La energía de enlace nuclear se define como aquella que mantiene unido tanto los protones como los neutrones en el núcleo. O en otras palabras, la cantidad de energía que requeriríamos dar al núcleo para separar cada una de sus componentes. La masa de un núcleo desnudo esta dada por:

),()(),( 222 AZBEcmZAcZmcAZm npnuc −−+= 222 ),()(),( cAZmcmZAcZmAZBE nucnp −−+=

añadiendo y sustrayendo Z masas de electrones en el lado derecho de la ecuación,

)()(),()(),( 222 ZBeHBeZcAZMcmZAcZMAZBE atnH −⋅+−−+= donde Be(H) representa la energía de enlace del electrón en el átomo de Hidrógeno y Be(Z) la energía de enlace de los Z electrones en el átomo. El término entre corchetes es pequeño en comparación con los otros y puede ser eliminado, de manera que:

222 ),()(),( cAZMcmZAcZMAZBE atnH −−+= MH = 1.007825 uma mn = 1.008665 uma 1 uma c2 = 931.48 MeV Si conocemos las masas atómicas conoceremos la energía de enlace, ejemplo:

10

BE(H2) = (1.007825 + 1.008665 – 2.014103) uma.c2 = 2.22 MeV

Si se define el “defecto de masa” por la cantidad:

AAZMM at −=∆ ),( (en unidades de masa atómica)

( ) ( )( ) 2222 ),(11),( cAZMAccmZAcMZAZBE nH ∆+−∆−−+∆+= [ ]),()(),( AZMmZAMZAZBE nH ∆−∆−+∆=

Si consideramos la energía de enlace por nucleón

( ) 2),(),( cA

AZMmmMAZ

AAZBE

nnH

∆

−∆+∆−∆=

2),(008665.0000840.0),( cAZP

AZ

AAZBE

−+−=

donde

AAZMAZP ),(),( ∆

=

se le conoce con el nombre de “fracción de empaque” Nótese que el segundo término es constante, aproximadamente 8 MeV/nucleón, y está asociado al defecto de masa del neutrón. La razón Z/A tiene valores alrededor de ½ para núcleos ligeros, y menor para núcleos pesados. El primer término reduce la energía de enlace. La fracción de empaque es positiva para núcleos ligeros hasta A=15 y A>190, y negativa para núcleos intermedios 15<A<190. Como aparece con signo negativo en la expresión de la energía de enlace, para núcleos ligeros y pesados se traducirá en una reducción adicional, o un aumento para el caso de núcleos intermedios.

Figura. Energía de enlace por nucleón en función del número másico.

Se define también la energía de separación de un protón (o más) ó un neutrón (o más) de acuerdo con la masa de núcleo padre y de productos.

[ ][ ] 2

2

),()1,1(

),()1,(

cAZMmAZMS

cAZMmAZMS

Hp

nn

−+−−=

−+−=

11

Inestabilidad nuclear La condición para que el núcleo (Z, A) sea estable contra su rompimiento en otros núcleos (Z1, A1) y (Z2, A2) se puede expresar como:

( ) ( )2211 ,,),( AZMAZMAZM +< Ejemplo:

Li7 → He4 + H3

7,016004 → 4,002603 + 3,016050

7,016004 < 7,018653 (en unidades de masa atómica) En la naturaleza se pueden encontrar (o se pueden fabricar) núcleos atómicos propensos a descomponerse (o decaer) espontáneamente. A este fenómeno lo llamamos radiactividad y se lo trata como un caso especial de una reacción nuclear. Reacciones nucleares Cinemática Se habla de una reacción nuclear cuando un núcleo X colisiona con otro (o una partícula) x, y sufren una transmutación a un núcleo W, y a otro núcleo (o partícula) w. Se representa como:

wWxX +→+ X(x, w)W

En reacciones de este tipo, además de la conservación de la energía y cantidad de movimiento, se conserva la carga es decir Z y también el número de nucleones A (para procesos de bajas energías en los cuales no hay formación de mesones ni reacomodación de quarks). A bajas energías se conservan el número de protones y neutrones por separado. Si las masas de las partículas x, X, w y W son m1, m2, m3, m4 respectivamente, la ley de conservación de la energía es:

4321 EEEE +=+ siendo Ei la energía total de las partícula i-ésima, es decir la energía en reposo más la energía cinética. Esta ecuación la podemos escribir como:

430403210201 KKKK EEEEEEEE +++=+++ Se define “el Q” de la reacción como:

)()( 214304030201 KKKK EEEEEEEEQ +−+=+−+= Si Q < 0 la reacción se llama reacción endoérgica. Si Q > 0 la reacción se llama reacción exoérgica.

12

Para el caso de reacciones endoérgicas, la reacción no se produce espontáneamente, puesto que la masa en reposo de las partículas finales es mayor a las de las iniciales. Sin embargo, esta reacción se podría producir si la energía cinética de las partículas iniciales es lo suficiente mente grande para generar este aumento de masa en reposo necesario. La energía umbral de la reacción se define entonces como aquella mínima que debería tener la partícula incidente para producir dicha reacción. Esta energía umbral se la encuentra suponiendo que se produce la reacción y los núcleos producto tienen una energía cinética cero en el sistema centro de masa. De tal manera que,

21 ´´ KK EEQ −−= pero, en primera aproximación

+

=+21

2121 ´´

mmm

EEE umbKKK

quedando así,

+⋅−=

2

211 m

mmQE umb

K

una consideración exacta de la energía umbral nos lleva a

−+

+⋅−=

143

431 mmm

mmQE umb

K

Solamente si m1, m3 << m2, m4 entonces la energía umbral será aproximadamente –Q. Ejemplo de reacciones nucleares:

nCBe +→+ 129α α+→+ 710 LiBn

nPAl +→+ 3027α 47 HeLip +→+ α

nHeHeBe ++→+ 449γ nCfUC 624423812 +→+

nNbSbUn 499133235 ++→+ ν++→+ +eHHp 21

γ+→+ 32 HeHp nHeHH +→+ 432

γ+→+ 1312 NCp γ+→+ 1413 NCp

++→+ enH 1ν Tareas adicionales 1. Consulta: Aceleradores de partículas: Aceleradores lineales, synchrotrones. 2. Consulta: Escribir la energía de las partículas en el sistema Centro de Masas como función de

la energía de las partículas en el Sistema de Laboratorio. Usar relaciones no relativistas y relativistas.

3. Consulta: Detectores de centelleo, semiconductores, cámaras de burbuja, cámaras de chispa.

13

Problemas 1. En la escala en la cual una gota de agua (r = 0,1 cm) es ampliada al tamaño de la Tierra (R = 6,38 x 108 cm), ¿Cuál es el radio de: a) un átomo típico, b) un núcleo típico? 2. ¿Cuál es su longitud de onda de De Broglie cuando Ud. se mueve con una velocidad v = 1 m/s? 3. ¿A qué ángulo θ neutrones de 0,01 eV experimentan reflexión de Bragg de primer orden sobre un cristal de NaCl? (Separación de la red en NaCl, es d = 2,8 Å). ¿Cuál es la energía de los rayos X que experimentan reflexión en el mismo ángulo? 4. Si un haz de 500 µA de protones de 20 MeV choca sobre un blanco en el cual es completamente absorbido, a) ¿cuántos protones son absorbidos por segundo? b) ¿cuánto calor es generado si hay conversión perfecta de energía cinética en calor? ¿Qué fuerza ejerce el haz de protones? d) ¿En qué porcentaje la masa relativista de los protones excede a su masa en reposo? 5. Se deja que los protones rápidos que emergen desde un acelerador choquen sobre un blanco adecuado, produciéndose un haz de mesones π de 170 MeV. Asumiendo que estas partículas tienen un tiempo de vida media de decaimiento τ = 2,6 x 10-8 seg. Calcular la longitud de la trayectoria S desde el blanco correspondiente a una disminución del 50% en intensidad para un haz de piones paralelos. 6. Chadwick descubrió los neutrones al bombardear con partículas α, provenientes de una fuente natural de polonio, un blanco de Berilio. Observó que se producía radiación altamente penetrante y sin carga, además de iones en retroceso cuya energía máxima en el caso del hidrógeno fue medida como EH = 5,7 MeV; y en el caso del nitrógeno como EN = 1,5 MeV. Asumiendo que la colisión es elástica, calcular la masa de las partículas neutras y compararlas con el valor actual de la masa del neutrón. 7. Si el número cuántico del momento angular total de un núcleo con A = 100 es J = 1 y si se debe a la rotación del núcleo como un cuerpo rígido, aproximadamente cuántas rotaciones por segundo efectuaría y cuánta energía estaría involucrada en esta rotación según la mecánica clásica? 8. Un electrón está aprisionado dentro de un núcleo, cuyo diámetro es 10-14m, calcular su mínima energía cinética. 9. Calcúlese: a) la energía de enlace por nucleón, expresada en MeV del núcleo de Ca40; b) la cantidad de energía expresada en MeV necesaria para disociar completamente 1 g de Ca40 en sus partículas constituyentes. 10. Calcúlese la energía de los rayos γ emitidos en reacción Sn115 (n,γ) Sn116 con neutrones térmicos, sabiendo que las masas atómicas del Sn115 y Sn116 son respectivamente: 115,9385 uma y 116,9421 uma. 11. a) Determine el valor Q de la reacción N14(α,p)O17. b) Si la energía cinética de la partícula α es de 7 MeV, calcule la energía cinética aproximada del protón. 12. Al ser bombardeados los núclidos de S32 con partículas α emiten protones. Calcule (a) el valor Q de esta reacción; (b) la energía umbral; (c) la energía cinética transportada por el CM y (d) la velocidad del CM antes de que la reacción tenga lugar. 13. ¿Cuál será la energía liberada, sí dos núcleos de deuterio se fusionan en una partícula α? DECAIMIENTOS RADIACTIVOS Describamos de una manera general los decaimientos radiactivos que se presentan en la naturaleza debido a la inestabilidad nuclear de algunos núcleos (Q > 0) que lleva directamente a la emisión espontánea de radiaciones por parte de estos núcleos. Los principios de conservación de energía cantidad de movimiento carga eléctrica, número másico son válidos. Desintegración alfa. La radiación α no es más que núcleos de He4 (núcleos formados por 2 protones y dos neutrones), los cuales son emitidos por núcleos pesados inestables.

14

Si consideramos un núcleo padre (Z, A) que decae mediante desintegración α, a un núcleo hijo (Z-2,A-4) como se muestra en la figura.

La conservación de la energía indica

mnuc(Z,A)c2 = mnuc(Z-2,A-4)c2 + EKN + mαc2 +EKα entonces,

Qα = mnuc(Z,A)c2 - mnuc(Z-2,A-4)c2 - mαc2 = EKN +EKα Poniendo las masas nucleares en términos de masas atómicas mediante la suma y resta de Z masas de electrones y sus correspondientes energías de enlace,

Qα = Mat(Z,A)c2 - Mat(Z-2,A-4)c2 - Mat(2,4)c2 = EKN +EKα De la conservación de la cantidad de movimiento,

ααυυrr mm Nnuc +=0

αα

Knuc

KN Emm

E =

entonces,

αα KEA

AQ4−

=

Para un mismo decaimiento el valor de Q será igual y por tanto la energía de la partícula α emitida, es decir, el espectro de energía de la partícula alfa es discreto. Ejemplos.

)72.6(23490

23892 MeVEThU k =+→ αα

)282.6(

)55,7(216

84220

86

21988

22390

MeVEPoR

MeVERaTh

kn

k

=+→

=+→

α

α

α

α

Diagrama de decaimiento

15

Decaimiento beta 1.- Beta negativo El núcleo radiactivo emite un electrón y un anti-neutrino tipo electrón.

La emisión del anti-neutrino fue propuesta por Pauli para salvar la dificultad que aparecía en el decaimiento beta como consecuencia del espectro energético continuo de los electrones emitidos. Veinte años más tarde se los pudo detectar. La ecuación de conservación de la energía indica.

mnuc(Z,A)c2 = mnuc(Z+1,A)c2 + EKN + mec2 +EKe + mνc2 + EKν si consideramos la masa en reposo del neutrino como cero (aunque recientemente las mediciones de oscilaciones de neutrinos muestran que en realidad si poseen masa) y adicionalmente que la energía de retroceso nuclear es despreciable. Entonces,

Qβ- = mnuc(Z,A)c2 - mnuc(Z+1,A)c2 - mec2 = EKe + EKν Poniendo las masas nucleares en términos de masas atómicas mediante la suma y resta de Z masas de electrones y sus correspondientes energías de enlace electrónicas,

Qβ- = Mat(Z,A)c2 - Mat(Z+1,A)c2 = EKe + EKν La energía de la transición es repartida entre el electrón y el neutrino, razón por la cual se observa el espectro energético continuo de los electrones emitidos. Ejemplos:

eepn ν++→ −+ EKmax = 0.78 MeV

eeZnCu ν++→ −6464 EKmax = 0.573 MeV

eeSP ν++→ −3232 EKmax = 1.718 MeV diagrama de desintegración

2.- Beta positivo. El núcleo radiactivo, en este caso emite positrones y neutrinos tipo electrón. El espectro de energía de los positrones y neutrinos es continuo.

16

Ejemplos:

eeNeNa ν++→ +2222 Eβmax = 1.8 MeV

eeNiCu ν++→ +6464 Eβmax = 0.656 MeV El balance de masa-energía será:

mnuc(Z,A)c2 = mnuc(Z-1,A)c2 + EKN + mec2 +EKe + mνc2 + EKν si consideramos la masa en reposo del neutrino como cero igual que la energía cinética del núcleo en retroceso. El factor Q de la reacción es:

Qβ+ = mnuc(Z,A)c2 - mnuc(Z-1,A)c2 - mec2 = EKe + EKν Ubicando las masas atómicas en lugar de la nucleares,

Q´β+ = Mat(Z,A)c2 - Mat(Z-1,A)c2 = 2mec2 + EKe + EKν Diagrama de desintegración

Para que la desintegración beta positiva se produzca, es necesario que la diferencia entre las masas atómicas de los núcleos padre e hijo sea mayor a dos veces la energía en reposo del electrón (2mec2 = 1.022 MeV) 3.- Captura Electrónica (CE) Este modo o canal de desintegración beta compite con la desintegración beta positiva y consiste en el hecho de que electrones orbitales tipo s tienen una probabilidad finita de encontrarse en el volumen nuclear, por lo que el núcleo excitado opta por capturar al electrón intruso, llevando a una transmutación de un protón nuclear en un neutrón y la correspondiente emisión de un neutrino.

enep ν+→+ −+ 0

Ejemplos

eAreK ν+→+ − 4040

eNieCu ν+→+ − 6464 El balance de energía, en este caso, es:

mnuc(Z,A)c2 + mec2 - Be = mnuc(Z-1,A)c2 + EKN + mνc2 + EKν donde Be representa la energía de enlace del electrón atómico a capturarse. Considerando que la masa del neutrino es despreciable, lo mismo que la energía cinética de retroceso de núcleo hijo.

QCE = mnuc(Z,A)c2 + mec2 - mnuc(Z-1,A)c2 = EKν +Be

QCE = Mat(Z,A)c2 - Mat(Z-1,A)c2 = EKν +Be

17

(El término Be debe ser discutido cuidadosamente) La energía de desintegración es la misma que la del decaimiento beta positivo y toda ella escapa como energía cinética del neutrino generado (mono-energético). La diferencia con el decaimiento beta positivo es que no requiere un mínimo de energía para producirse. Diagrama de desintegración

El siguiente diagrama de desintegración para el Cu64 muestra todos los decaimientos beta en un mismo elemento.

Decaimiento gamma Son transiciones isoméricas de un núcleo que pasa de un estado excitado a otro menos excitado o al estado base. 1. Emisión gamma

La transición isobárica lleva a la emisión de un fotón de alta energía. Ejemplo

γ+→ 137137 * BaBa El balance de energía es:

mnuc(Z,A)*c2 = mnuc(Z,A)c2 + EKN + Eγ El factor Q de la desintegración

Qγ = [Mat(Z,A)* - Mat(Z,A)]c2 = EKN + Eγ

El valor de la energía de retroceso del núcleo es pequeño de modo que la energía de transición es muy próxima a la energía del gamma emitido. Sin embargo para el estudio de absorción resonante es muy importante el papel que juega esta energía de retroceso, la cual la podemos calcular de la conservación de la cantidad de movimiento.

0=+ γppNrr

18

γγγ E

cmE

cmcp

mp

Enucnucnuc

NKN 22

222

222===

que como se puede ver es muy pequeña puesto que la energía gamma es de unos pocos MeV mientras que la energía en reposo del núcleo es de algunos GeV.

2.- Conversión Interna El núcleo en estado excitado transfiere su energía de excitación a un electrón orbital tipo s que se ha aventurado en el volumen nuclear (es decir, la probabilidad de encontrar a electrones tipo s en el volumen nuclear es finita). El electrón es emitido entonces del átomo con una energía cinética igual a la energía transferida por el núcleo excitado menos la energía de enlace del electrón en su orbita.

El balance energético conduce a:

mnuc(Z,A)*c2 + mec2 - Be = mnuc(Z,A)c2 + mec2 + EKN +EKe de manera que

QCI = [Mat(Z,A)* - Mat(Z,A)]c2 = EKN + EKe + Be

Una de las fuentes más utilizadas es la de Cobalto 60, su diagrama de decaimiento se presenta a continuación.

Figura. Esquema de decaimiento del Co-60

19

Series radiactivas naturales Los elementos pesados naturales son generados en las estrellas (explosiones supernovas) algunos de estos materiales son radiactivos. Estos materiales radiactivos naturales empiezan desde Z = 84 a Z = 92 y están clasificados en familias. Las familias agrupan elementos radiactivos que difieren en cuatro nucleones y provienen un núcleo radiactivo padre natural. SERIE ELEMENTO TIEMPO DE VIDA MEDIA (4n) Serie del Torio Th232 1.39 109 años (4n+1) (Np237) 2.2 106 años (4n+2) Serie del Uranio U238 4.5 109 años (4n+3) Serie del Actino-Uranio U235 7.13 108 años

Figura. Series radiactivas

20

La serie 4n+1 (o serie del neptunio 237) ya desapareció. Se esquematiza a continuación:

Consulta. Investigue sobre los diferentes métodos que se utilizan para la datación de muestras geológicas, que son las que dan información, por ejemplo, sobre la edad de la tierra. Adicionalmente a los elementos radiactivos naturales que pertenecen a las series, hay otros elementos radiactivos naturales debido a su tiempo de vida media grandes. Ejemplos. (Consulte sus respectivos tiempos de vida media)

Elemento T1/2 (años) K40 Rb87 Sm147 Lu176 Re187

Ley del decaimiento radiactivo. Un sistema aislado inestable permanecerá en su estado de elevada energía un cierto tiempo antes de decaer. La probabilidad de que cualquier núcleo decaiga dentro de un intervalo de tiempo pequeño es independiente de cualquier influencia externa, incluyendo el decaimiento de otro núcleo. Sea P(dt) la probabilidad de que un núcleo decaiga en un tiempo dt.

dtdtP ∝)( dtdtP λ=)(

Siendo λ la constante de decaimiento radiactivo del radioisótopo en cuestión. Si al tiempo t se tienen N núcleos radiactivos, el número de núcleos que decaen en un intervalo dt será la probabilidad de decaimiento multiplicado por N. Así,

NdtPdN )(=− NdtdN λ=−

ANdtdN

≡=− λ

21

Se define la “Actividad A” de la muestra radiactiva como el número de desintegraciones (o decaimientos) que ocurren por unidad de tiempo. La unidad más comúnmente usada para medir la actividad es el “Curie”, el cual se define como la actividad de una muestra en la que ocurren 3.7 1010 desintegraciones/ segundo (basada originalmente en la actividad de 1 gramo de Ra226) El sistema internacional de medidas define al Bequerel como la unidad de actividad y 1 Bequerel = 1 desintegración/ segundo. Nota: KiloBequerel (kBq) 103 Bq MegaBequerel (MBq) 106 Bq GigaBequerel (GBq) 109 Bq Tetra (tera)bequerel (TBq) 1012 Bq PetaBequerel (PBq) 1015 Bq ExaBequerel (EBq) 1018 Bq Se define también la actividad específica de una muestra radiactiva como su actividad por unidad de masa. Ley exponencial. Si resolvemos la ecuación diferencial anterior tendremos que el número de núcleos radiactivos N(t) decrece en el tiempo:

teNtN ⋅−= λ0)(

Siendo N0 el número de átomos en tiempo inicial. Si multiplicamos por λ los dos lados de la ecuación, se tiene:

teAtA ⋅−= λ0)(

Siendo A0 la actividad de la muestra en un tiempo inicial. Se define el tiempo de vida media τ del elemento radiactivo, como aquel tiempo en el cual la actividad de la muestra se reduce en la mitad. Así,

τλτ ⋅−== eAA

A 00

2)( de donde

λτ 2ln=

Figura. Ley exponencial del decaimiento radiactivo Este tiempo no hay que confundirlo con el tiempo medio de decaimiento de un núcleo radiactivo que esta definido como:

22

∫∫∫ ∞

− =⋅=⋅

=0

00

11λ

λλ dteNtNdN

dNtt t

Note que la actividad en muchos casos no coincide con el número de partículas emitidas por unidad de tiempo. Esto se debe a que algunos decaimientos emiten más de una partícula, y por otra parte, por que se habla de decaimiento como la transición de su estado inicial a su estado final estable (pasando por varios estados excitados intermedios). Filiación radiactiva. Se denomina así al proceso de decaimiento de un núcleo radiactivo (padre) a otro que también es radiactivo (hijo) el cual a su vez decae en un núcleo (nieto) que puede ser estable o radiactivo.

Si en t = 0 solo hay N01 núcleos radiactivos del padre pero sin núcleos hijos ni nietos, se desea determinar la cantidad de núcleos hijo que tendremos al transcurrir el tiempo. Para el padre:

111 N

dtdN

λ=−

teNtN ⋅−= 1011 )( λ

teAtA ⋅−= 1

011 )( λ Para el hijo:

22112 NN

dtdN

λλ −=

teNNdt

dN1

011222 λλλ −=+

la solución de esta ecuación diferencial es:

( ) ( )[ ]ttNtN 2112

1012 expexp)( λλ

λλλ

−−−−

=

multiplicando ambos lados de la ecuación por λ2,

( ) ( )[ ]ttAtA 2112

2012 expexp)( λλ

λλλ

−−−−

=

Podríamos calcular el tiempo donde la actividad del hijo es máxima, esta es:

( )21

21 /lnλλλλ

−=mt

23

Equilibrio secular. Se presenta cuando λ2 >> λ1 En este caso el exponencial de λ2 es muy pequeño y

teAtA 1012 )( λ−=

A2 = A1

Equilibrio transitorio. Se presenta cuando λ2 > λ1 En este caso, el exponencial de λ2 también es pequeño y

teAtA 1

12

2012 )( λ

λλλ −

−=

112

22 )( AtA

λλλ−

=

Caso de no equilibrio. Si λ1 > λ2

tt 21 ee λ−λ− <<

( )tNtN 212

1012 exp)( λ

λλλ

−−

=

24

Ramas de decaimiento.

Si un núcleo radiactivo tiene diferentes formas de decaer, como se muestra en la figura, se tiene: -dN = -dNa + (-dNb) -dN = λaNdt + λbNdt -dN = (λa + λb)Ndt integrando,

( )tNtN tot ⋅−= λexp)( 0 donde

λtot = λa + λb Note que la actividad del decaimiento vía la rama a es:

Ndt

dNa

a λ=−

( )tNdt

dNtota

a ⋅−=− λλ exp0

)()( tAtA tottot

aa λ

λ=

donde la razón: tot

a

λλ

se le conoce como la razón del decaimiento tipo a.

Activación neutrónica Cuando un núcleo estable es irradiado con un haz de neutrones, este núcleo tiene la capacidad de capturar dicho neutrón y como consecuencia se transforma en un núcleo excitado, (es decir radiactivo) el cual en un tiempo posterior se transformará mediante algún proceso de decaimiento radiactivo. Sea N el número de núcleos activados. Note que N(t=0) = 0. El número de núcleos activados por unidad de tiempo seguirán una ecuación de balance,

NQdtdN λ−=

donde Q es la taza de producción de los núcleos activados (es una función del tiempo cuando el número de átomos blanco son del mismo orden del número de átomos activados). Para el caso en estudio el número de átomos activados es muy pequeño en comparación con el número de núcleos blanco, por tanto Q se lo considera constante.

Q = ΦNbσ Donde Φ es el flujo del haz de neutrones, Nb es el número de los núcleos blanco que se están activando, y σ es la sección eficaz de captura neutrónica.

25

dtNQ

dN=

− λ

dtNQNQd λ

λλ

−=−− )(

[ ] tNQ t λλ −=− 0)ln(

)exp()()( 0 tNQNQ t λλλ −⋅−=−

( )teQtN λ

λ−−= 1)(

Recuerde que la actividad no es más que: )()( tNtA λ= , por tanto,

( )tb eNtA λσφ −−= 1)(

Note que la actividad del radio-nuclído generado crece hasta un valor de saturación dado por Q para tiempo de irradiación bastante largos (muchas veces el tiempo de vida media del radio-nuclído activado). De hecho la taza de crecimiento del radio-nuclído depende de su tiempo de vida media. Una vez que se desconecta la irradiación, la cantidad de material irradiado comenzará a decaer mediante la ley del decaimiento radiactivo. Fuentes de neutrones Las principales fuentes de neutrones que podemos mencionar son: i) Reactores de fisión. El proceso de fisión, anteriormente discutido, genera neutrones. Por lo tanto, en el núcleo del reactor tenemos altos flujos de neutrones. ii) Fuentes isotópicas. Están constituidas por una fuente alfa rodeada de Berilo de manera que se produzca la reacción: Be9(α,n)C12 La siguiente tabla muestra algunas fuentes isotópicas de neutrones y sus principales características. Tabla.

Núclido Vida media (años)

Energía α (MeV)

Rendimiento (n0/s.Ci)

Energía n0 (MeV)

γ-dose a 1m por 106n/s (mGy/h)

Pu239 24360 5.14 1.6 106 4.59 <0.01 Am241 458 5.48 2.2 106 4.54 0.01 Ra226 1620 7.69-4.77 1.1 107 3.94 0.5 Cm244 18.1 5.79 3 106 4.31 <0.01

El escogimiento de la fuente debe considerar: precio, tiempo de vida, rendimiento de neutrones, blindaje de gammas, toxicidad etc. Así, la fuente de Plutonio, además de tener un tiempo de vida muy largo, es altamente tóxica. La fuente de radio tiene un alto nivel de radiación gamma. La de Cm244 no esta disponible todavía. Entonces la de Am241 es altamente recomendada.

26

iii) Generador de Neutrones. Se basa en la reacción H3(H2,n0)He4 donde el neutrón de salida tiene una energía de aproximadamente 14 MeV. La sección eficaz de la reacción deuterio-tritio muestra un máximo de 5 barn para una energía de deuterón de 107 keV y es hasta dos ordenes superior de aquella de la reacción deuterio-deuterio que también podría usarse para producir neutrones (en este caso de 2.5 MeV). El blanco consiste de un porta-muestra de Titanio con la muestra de Tritio en forma de hidruro. Un haz de un miliamperio (mA) de deuterones acelerados a unos 200 keV produce 1.4 1011 n/s (4π) Adicionalmente, la técnica experimental de activación neutrónica requiere del conocimiento de la espectroscopia gamma. Problemas 1. Un reactor provee un haz externo de neutrones lentos (En = 0,025 eV) cuyo flujo es Φ = 5 x l06 neutrones/ cm2 s. Tomando el tiempo de vida media de los neutrones libres como τ = 1,01 x 103 seg. Calcular el número de neutrones que decaen por cm3 en 1 minuto a medida que emergen desde el reactor. Rta.1,36 neutrones /cm3 min. 2. Determínese la cantidad de Po210 necesaria para dotar a una fuente de partículas alfa de una actividad de 5 mCi. El período de semi-desintegración del Polonio-210 es 138 días. Rta. 1.1 µg. 3. ¿Cuál es la masa de 1 µCi de Co60, si su tiempo de vida media es de 5.27 años? 4. Experimentalmente se encuentra que el potasio natural emite 31 partículas beta por segundo por gramo y 3.4 rayos gamma por segundo por gramo. Con estos datos determinar el período de semi-desintegración del K40 (la concentración isotópica del K40 es 0.0118%) (el esquema de decaimiento muestra un beta negativo del 89%, beta positivo del 11% seguida por una emisión gamma de 1.46 MeV) Rta. 3.66 1016 s 5. Una muestra de Bismuto 210 (t1/2=5 días) pesa 2x10-10 g en un cierto instante t=0. El Bi210 se desintegra emitiendo una partícula beta, dando lugar a un elemento radiactivo cuyo período es de 183 días. ¿En qué momento a partir de t=0, el número de átomos del elemento transformado es máximo? ¿Cuál es su número? 6. Un elemento A (t1/2= 2.1 h) decae en un elemento B (t1/2= 4.6 h) el cual a su vez decae en otro elemento C. Si la cantidad inicial del elemento B es cero, ¿cuál es el valor de la razón NB/N0A al cabo de 2 horas? Rta. 0.41 7. La actividad de una muestra de Cr55 en un cierto instante es de 19.2 mCi. Después de 15 min. La actividad de la muestra es de 0.99 mCi. ¿de qué cantidad de Cr55 disponemos 20 min. antes de la primera medida? 8. Se bombardea un bloque de hierro de 1000 kg con un flujo de 1014 neutrinos/cm2.s procedentes de un reactor nuclear. Si la sección eficaz para la formación del Mn56 por desintegración beta inversa es de 10-44 cm2 ¿Cuál será la actividad total inducida en el hierro al cabo de un día? El t1/2 del Mn56 es 2.6 horas. Rta. 0.0107 Bq. 9. El radio que es un elemento de la serie del Uranio se halla en los yacimientos de Uranio. Si los períodos del radio y del Uranio son: 1620 años y 4.5 109 años. Calcúlese las proporciones relativas de dichos elementos en un mineral de Uranio que ha alcanzado el equilibrio y del cual no se ha desprendido ningún material radiactivo. 10. Una fuente radiactiva consistente de Na24 (t1/2= 15 horas) se desea preparar. Para eso se bombardea 500g de NaF con neutrones térmicos. La rapidez de producción del Na24 es de 50 Ci/h. ¿Cuál es la máxima actividad posible y que fracción del número total de átomos de sodio es entonces radiactiva? Qué valor alcanza la actividad después de la irradiación por un tiempo nt1/2.

Rta. 1.082 kCi; 4.36 10-5 % 11. Sea la reacción de decaimiento RaGRaFRaE →→ (estable) Una muestra recién purificada de RaE pesa 2 10-10 g en el instante t=0. Si la muestra no se perturba, calcúlese en qué instante será máximo el numeró de átomos RaF y hállese este número (t1/2 del RaE = 5 días) y (t1/2 del RaF = 138 días) Rta. 24.85 días, 5.07 1011 átomos 12. ¿Qué cantidad de Torio-234 cabe esperar actualmente en el mineral de Uranio? ¿Cómo varía en el tiempo la razón entre los átomos producto y padre cuando sus vidas son aproximadamente iguales? (t1/2 del U238 = 42 109 días) (t1/2 del Th234 = 24 días)

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RADIACIONES IONIZANTES CAMPO DE RADIACIÓN Una fuente de radiación (material radiactivo, aceleradores, reactores, etc.) define un campo de radiaciones sobre todo el espacio a su alrededor, es decir, asigna una magnitud a cada punto del espacio que señala alguna característica de la radiación emitida por la fuente. La mayoría de medidas cuantitativas de las magnitudes de los campos de radiación ionizante y no ionizantes se introducen para establecer o usar relaciones numéricas entre ellas y los efectos físicos, químicos y/o biológicos que producen sobre la materia viva o inerte. Estos efectos ocurren solamente como consecuencia de la transferencia de energía de la radiación al material irradiado. En este curso se está interesado principalmente en la interacción de la radiación ionizante con la materia, es decir, aquella radiación que es capaz de ionizar y/o excitar átomos y moléculas. Una fuente de radiación ionizante, tal como un tubo de rayos X, acelerador de electrones ó un material radiactivo, puede ser caracterizada por: su tasa de emisión de partículas ionizantes, su tasa de emisión de energía o sus correspondientes distribuciones. Una buena caracterización de la fuente será aquella que de mayor información de la radiación que se está emitiendo (tipo de partícula emitida, la energía que poseen, su tasa en el tiempo y su distribución espacial). Las partículas ionizantes se clasifican como: - directamente ionizantes: partículas cargadas, e-, p+, π-, π+, µ-, α++

- indirectamente ionizantes: partículas no cargadas, γ, n0, π0 Estas últimas liberan electrones o producen núcleos en retroceso los cuales causan ionización secundaria. Magnitudes de Campo Una fuente de radiación da lugar a un campo de radiación. A cada punto del espacio alrededor de la fuente se le asigna una magnitud (escalar o vectorial) de campo que da la información relativa a la radiación en ese punto. Así, dentro de este campo, se define una fluencia Φ de partículas, que de acuerdo con el (ICRU 1980) como:

dadN

=Φ

donde “dN” es el número de partículas incidentes que atraviesan una esfera de área mayor circular “da” (Esto remueve cualquier restricción que puede aparecer debido a la dirección del haz incidente).

Figura. Definición de fluencia para el caso multi-direccional.

La tasa de fluencia es:

dtdΦ

=Φ'

La fluencia energética se define como:

dadR

=Ψ

donde dR es la energía radiante entrando a una esfera de sección transversal circular “da”. La energía radiante R es la energía, excluyendo la de reposo, de las partículas concernientes. La tasa de fluencia energética es:

dtd= Ψ

Ψ′

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NOTA: Una definición única de Φ solo es posible si da y dt son tan grandes que las desviaciones estadísticas de dN son despreciables. Por otro lado, los diferenciales da y dt deben ser lo suficientemente pequeños, como para que en cada punto de la región considerada y para cualquier tiempo (dentro del intervalo de tiempo en consideración) se obtenga un valor determinado de Φ. Distribuciones de las cantidades de campo La especificación de un campo de radiación es más completa si las distribuciones de fluencia o fluencia energética en dirección y en energía se conocen. Para describir un campo de radiación de mejor manera se tiene que indicar en cada punto del espacio: el tipo, la energía, la dirección del movimiento y el número de partículas. Así:

dEdtrEd iEi ΩΩΦ=Φ Ω ),,,(´´ ,,2 rr

representa el número de partículas del tipo i, con energía en el intervalo entre E, y E+dE, con dirección Ωr

dentro un elemento de ángulo sólido dΩ, que en el intervalo de tiempo dt atraviesan una esfera cuya superficie del círculo mayor es “da” en el punto rr y en el tiempo t , por unidad de área y por unidad de tiempo. Mediante la magnitud i,,E´ ΩΦ (que representa la distribución en energía y espacial de la tasa de fluencia) se describe unívocamente un campo de radiación. La integración de la ecuación anterior según el ángulo sólido da el espectro energético de la tasa de fluencia.

ΩΩΦ∫Φ Ω d t),r,(E, = t),r(E, E,40E

rrr´´ π

que representa el número de partículas con energía entre E y E + dE que atraviesan, en un intervalo de tiempo dt , una esfera de círculo mayor “da” en el punto rr y tiempo t . Por unidad de área y tiempo.

dE t),r(E, = t),r( EE

rr´ΦΦ′ ∫

dt t),r( = )r( rrΦ′∫Φ

Figura. Una distribución diferencial en energía de la fluencia de partículas β

Magnitudes similares que hacen referencia a la fluencia energética se pueden obtener de la anterior. Así, el espectro en energía de la fluencia energética se la obtiene mediante la relación, ΩΩΦΨ Ω∫ d )r,(E, E = )r(E, E

4E

rrr

π

y la fluencia energética: dE )r(E, = )r( EE

rrΨ∫Ψ

de igual manera se procede para la tasa de fluencia. Otra magnitud importante que se define es la fluencia energética vectorial

29

ΩΦΩ∫∫≡Ψ Ω d dE E = )r(G E

rrrr

Energía media o "efectiva" Es posible calcular la energía media E de las partículas por la relación

∫

∫Φ

Φ=

EE

EE

dE

dEEE

sin embargo, también podemos calcular un E pesándola con la distribución en energía de la fluencia energética, ΨE , es decir:

dE dE E

= EEE

EE

Ψ∫Ψ∫

Pero en general Ψ≠Φ EE por tanto se obtendrá distintos valores de E . Así al expresar la energía media de cualquier radiación es necesario establecer la cantidad cuya distribución diferencial de energía ha sido usada para calcular la media. Se debe tener precaución en atribuir a un haz de radiación una energía media o efectiva. La naturaleza de la media depende de qué efectividad se está buscando o con respecto a qué esto se establece. Si E es pesada por la fluencia, entonces: )r( = E )r( rr

ΨΦ SECCIONES EFICACES Y COEFICIENTES DE INTERACCIÓN En el contexto de radiaciones directa e indirectamente ionizantes, la palabra interacción se aplica tanto a procesos en los cuales la energía y/o la dirección de la radiación es alterada o en procesos donde la radiación incidente es absorbida. Tales procesos son aleatorios y por lo tanto solo es posible hablar de la probabilidad de que ellos se produzcan. Esta probabilidad puede ser expresada en términos de la sección eficaz o de varios coeficientes de interacción. La sección eficaz puede entenderse como el área aparente que presenta un centro de interacción a la radiación incidente. Solo si la radiación atraviesa dicha área tiene lugar una interacción. Este concepto puede generalizarse a procesos de interacción entre partículas atómicas y sub-atómicas (esta área aparente no tiene ninguna relación con el área geométrica). La sección eficaz no es más que la probabilidad de interacción (o la probabilidad de ocurrencia de cierto proceso) y están relacionadas mediante la expresión:

Φ ,partículas de fluencia

P eracción, de adprobabilid =eficaz Sección int

Es usualmente representada por σ y tiene dimensiones de superficie y su unidad especial es:

1 barn = 10-24 cm2

Si se considera un haz colimado de partículas mono-energéticas indirectamente ionizantes que inciden sobre un blanco rectangular de área A y ancho d. Si el blanco contiene N átomos (núcleos), el número de átomos por unidad de volumen será:

AdNn =

Si a cada átomo se le asocia una sección eficaz σ, entonces, para un blanco delgado (no hay solapamiento en la línea de choque de los núcleos blanco). El área total de colisión que presenta la

30

muestra es N⋅σ y la probabilidad para que una partícula incidente de lugar a una reacción (ó interacción) es:

dnAd

dNA

NP σσσ===

Si el número de partículas incidentes por unidad de tiempo es ϕ0, la taza de reacción (es decir, el número de reacciones por segundo) es:

dnPR σϕϕ 00 == Para el caso de una muestra ancha, se supone que n es el número de centros de interacción por unidad de volumen y la fluencia Φ de partículas mono-energéticas es mono-direccional. Entonces, habrá nσΦ interacciones por unidad de camino recorrido o nσΦdx en el camino dx.

El cambio fraccional de fluencia ΦΦd

en el camino dx es entonces n σ dx. Al producto n σ se le

conoce con el nombre de “coeficiente de atenuación lineal”, el cual es función de la energía de la radiación incidente y composición del material irradiado, y es generalmente representado por µ..

Así,

e = dx - = d x-0x

µµ ΦΦ→ΦΦ

= 0Φ fluencia sin atenuador = xΦ fluencia después de atravesar un espesor x del atenuador.

El número de átomos por unidad de volumen de una sustancia de densidad ρ y masa atómica Ā es

A N A ρ , donde N A es el número de Avogadro.

A

N = A σρµ∴ , σ es la sección eficaz total atómica.

El coeficiente de atenuación másico se define como: A N = Aσ

ρµ

Sección eficaz total Si hay varios procesos de interacción entre las partículas incidentes y las blanco, entonces se define la sección eficaz total como la suma de las secciones eficaces parciales:

∑=j

jσσ

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Distribuciones La probabilidad de que algún tipo de interacción se produzca va a ser función de los parámetros de las partículas incidentes como también de las propiedades de los absorbedores. Se habla entonces de las distribuciones de las secciones eficaces. Por ejemplo,

dEdE σσ =)(

es la probabilidad de interacción por intervalo de energía, de modo que σ(E)⋅dE describe la probabilidad de que una partícula con energía entre E y E + dE sufra una colisión en un proceso de interacción determinado. De igual manera se puede hablar de una distribución angular, si esta interesado en la dirección de salida de las partículas incidentes después de la interacción. Así, Ω⋅= dd )(θσσ representa la probabilidad de que la partícula incidente sufra una colisión y salga con una dirección dentro del ángulo sólido dΩ. La sección eficaz por intervalo de energía y por unidad de ángulo sólido dará mayor información sobre la colisión. Así,

d2σ = σ(E,θ)⋅dE⋅dΩ representa la probabilidad de que una partícula incidente con energía entre E y E + dE sufra una colisión y salga después de ella con un ángulo contenido en dΩ. Sección eficaz absoluta Este concepto se introduce para colisiones no frontales. El parámetro de impacto D, en este caso es diferente de cero. La partícula incidente de masa m y velocidad υ posee un momento angular orbital “mυD” con respecto al núcleo blanco. Puesto que el momento angular esta cuantizado,

lh=Dmυ donde l es un número entero.

lDlh

==υm

D

D es la longitud de onda de De Broglie racionalizada. Para el caso: (Onda s) l = 0, en este caso D = 0 (Onda p) l = 1, en este caso D=D (Onda d) l = 2, en este caso D2=D etc. El haz incidente se puede concebir como un arreglo de cilindros, teniendo cada uno un valor discreto de momento angular orbital. Así, partículas representando una onda d (es decir, l = 2) sería visualizado a proseguir a lo largo de la zona con D2=D y si ellos interaccionan con el blanco, la sección eficaz tendría que ser igual al área del disco correspondiente del anillo entre D2 y D3 . Generalizando para cualquier l se tiene:

( ) ( ) 22222 121 DlDlDll πππσ +=−+=

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Probabilidad de transición por unidad de tiempo (segunda regla de oro de Fermi)8 El comportamiento de un sistema mecánico-cuántico se describe mediante su función de onda que es la solución de la ecuación de Schrödinger.

ψψ Ht

i =∂∂

h

donde H es el Hamiltoniano del sistema. Si H es dependiente del tiempo se lo puede separar en una parte dependiente y en otra que no sea dependiente

)(10 tHHH += Conociendo las soluciones para H0 buscamos las de H, utilizando la teoría de perturbaciones. Esta teoría considera que H1 << H0 (a H1 lo llamamos el Hamiltoniano de perturbación o de interacción). La función de onda del sistema no perturbado (solución de la ecuación con H0) tiene la forma

h/)(),( iEtequtq −=ψ Si se asume que en t = 0 el sistema se encuentra en un estado inicial i no perturbado, se tiene que:

iii uEuH =0 Donde ui y Ei son las funciones propias y valores propios de la energía del Hamiltoniano H0 y cumplen:

ifif dquu δ=∫ *

tan pronto como la perturbación comienza (la cual induce la transición). La función de onda se puede expresar como la superposición de las funciones de onda del sistema no perturbado,

∑ −⋅=i

tiEii

ieuta h/)(ψ

donde la ui son independientes del tiempo, más no las ai, como se muestra explícitamente. Además la condición inicial señala que para toda f

iffa δ=)0( Cuando la perturbación ha actuado por un tiempo t, la probabilidad de que el sistema ha efectuado una transición al estado f no es cero, el índice f caracteriza cualquier estado final de un espectro discreto o continuo. Para evaluar la probabilidad de transición se tiene que encontrar los coeficientes af(t). Reemplazando la forma general de ψ en la ecuación de Schrödinger para el Hamiltoniano total, se tiene:

ψψ )( 01 HHt

i +=∂∂

h

∑∑ −− =∂∂

i

tiEii

tiEi

i

i ii euaHeut

ai hhh /

1/

multiplicando por la conjugada de la función de onda propias e integrando en todo el volumen, la relación de orto-normalidad conduce a

∑=∂

∂ tifii

f fieHait

a ω11h

donde se ha definido

∫= dquHuH iffi 1*1

8 Esta deducción puede ser omitida en el estudio, sin embargo la expresión de la segunda regla de Fermi debe ser muy bien explicada.

33

y representan los elementos de la matriz de transición dadas por el Hamiltoniano de perturbación H1., y

h

iffi

EE −=ω

La aproximación de perturbación se usa para realizar la integración de la derivada de los coeficientes, y consiste en reemplazar H1 por εH1 y expresar las ai en serie de potencias de ε.

...)2(2)1()0( +++= ssss aaaa εε hay que notar que:

1)0()0( == ii aa reemplazando en la correspondiente ecuación se tiene:

[ ]∑ ++=+∂

∂+

∂

∂ tifiii

ff fieHaait

at

a ωεεε 1)1(2)0()1()0(

....1....h

a) orden cero

0)0(

=∂

∂

ta f

ctea fif == δ)0( b) orden uno (primera aproximación)

tifi

ti

ifii

f fifi eHi

eHait

a ωω 11)0()1( 11

hh==

∂

∂∑

la cual se puede integrar para obtener:

( )∫ −==t

tifi

fi

tifii

fifi eHdteHi

a0

1´1)1( 11´1 ωω

ωhh

Si se desprecian las aproximaciones de mayor orden. Obtenemos que la probabilidad de transición del estado inicial al final es:

( )

= − tsenHa fififif ωω

214 22212)1( h

Si se tiene un grupo de estados finales cuya energía es casi la misma, los podemos tratar como un continuo y expresar el número de estados por intervalo de energía alrededor de la energía final en forma de una densidad de niveles ρ(Ef). Si se asume que los elementos de matriz del Hamiltoniano de interacción varía suavemente con f dentro del grupo de estados finales en la región alrededor de Ef al cuadrado de estos elementos de matriz se lo puede considerar independiente de Ef y tratarlo como un valor constante. La probabilidad de transición por unidad de tiempo (en primer orden de perturbación) desde el estado inicial a todos los estados accesibles finales está dada por:

fff

fffi dEEat

at

W )(112

2ρ∑ ∫

∞

∞−

==

note que fif ddE ωh= Si se consideran los estados finales dentro de una banda de energía de ancho ∆E<<Ef Podemos escribir,

( )∫∞

∞−

= fifi

fiffifi d

tsent

EHW ω

ωωρ

2

221 2/)(4

h

obteniéndose,

34

( ) 212fiffi HEW ρπ

h=

que se le conoce con el nombre de la segunda regla de oro de Fermi. Como se ha mencionado anteriormente existe una relación directa entre la probabilidad de transición y la sección eficaz. Para encontrar dicha relación se considera una colisión elástica. En tiempos muy antes y muy después de la colisión la partícula incidente y dispersada pueden ser consideradas libres. Si se considera las funciones propias del operador cantidad de movimiento, normalizadas con las condiciones de borde periódicas,

)()( qpuqui pp =∇− h

qkip e

Lqu

rr⋅= 2/3

1)(

Al considerar la colisión elástica, habrá una transición en el estado (de cantidad de movimiento) del proyectil. La probabilidad de tal hecho, evaluado por la aproximación de perturbación, esta dado por Wfi y no es otra que la razón entre el volumen de interacción efectivo, barrido por la partícula, y el volumen total L3. Una partícula moviéndose a velocidad υi en el sistema centro de masa, barre un volumen de interacción efectivo, por unidad de tiempo συ di De manera que:

συ

dL

W ifi 3=

en colisiones elásticas no hay transferencia de energía en el CM sino solo de cantidad de movimiento. Esto sugiere que se utilice las funciones propias del operador cantidad de movimiento en lugar de las energéticas para determinar la probabilidad de transición. Si se introduce el vector de onda inicial como

hrr

/ii pk = y un análogo para el vector de onda final. Si además,

kkk fi

rrr=−

con kkk fi ==

rr (colisión elástica)

asumiendo que la perturbación se produce por una fuerza de dispersión esférica-mente simétrica,

∫∫ ⋅== dqeHL

dquHuH qkiiffi

rr

131*1 1

en coordenadas polares,

∫∫∫ ⋅= φθθθ ddrdsenrerHL

H ikrfi

2cos13

1 )(1

∫∞

=0

213

1 )(4 drkr

senkrrrHL

H fiπ

Por otro lado, la densidad de estados finales esta dada como:

35

ff

ff dEh

kdkddEdN

E 3

2 )()()( hhΩ==ρ

( ) Ω

= dkmLE ff 2

3

2 hπρ

de la relación anterior,

Ω=

Ω dW

vL

dd fi

i

3σ

de manera que, 2

0

212 )(2

∫∞

=Ω

drkr

senkrrrHmdd

h

σ

relación que se le conoce con el nombre de fórmula de colisión de Born. Tareas 1. Resolver los ejercicios del capítulo 3 de Marmier y Sheldon 2. Determinar mediante la fórmula de colisión de Born la sección eficaz de Rutherford. 3. Revisar: “Teoría de Perturbaciones Dependiente del Tiempo” Fundamentos de Física Moderna,

R. Eisberg, Ed. Limusa

INTERACCIÓN DE LA RADIACIÓN IONIZANTE CON LA MATERIA Interacciones de los fotones con la materia Los fotones dependiendo de su energía pueden, en principio, interactuar con moléculas, átomos, electrones atómicos, núcleos atómicos o campos eléctricos alrededor de estos electrones o núcleos. En hacer esto, ellos pueden perder toda, parte o nada de su energía. En la región en la que al haz de fotones le llamamos ionizante, dos procesos son de gran importancia en aplicaciones médicas, un tercero viene a ser importante en energía de fotones de varios MeV, y otros dos necesitan ser tomados en cuenta en circunstancias limitadas. En lo que sigue no se profundiza la teoría de los procesos de interacción sino tan solo resaltamos la terminología y los resultados principales de la teoría y el experimento. Dispersión de Rayleigh (coherente) Se discuten dos procesos de interacción de menor importancia, en el rango de energías antes mencionado. El primero de estos es la dispersión de Rayleigh, en la cual los fotones incidentes colisionan con los electrones que están fuertemente ligados al átomo, y es éste el que absorbe el retroceso. La energía transferida al átomo es entonces despreciable y el fotón es dispersado sin pérdida de energía. Las contribuciones de dispersión de cada uno de los electrones en un átomo dado tendrán unas relaciones de fase definidas. En la dirección de incidencia, las contribuciones interferirán constructivamente, así que la amplitud será Z veces y la tasa de fluencia energética Z2 veces que la debida a un solo electrón. Cuando el ángulo de dispersión crece, la interferencia viene a ser destructiva y la tasa de fluencia energética dispersada cae muy rápidamente (este efecto es notorio para longitudes de onda corta). Resumiendo, para longitudes de onda corta la radiación dispersada es muy fuerte en la dirección de incidencia. La sección eficaz de la dispersión de Rayleigh, varía aproximadamente como:

Z ) (h 2,5-2atm ννσ ∝)(

La contribución de esta dispersión al coeficiente de atenuación es algo difícil de encontrar. Ejemplo: Carbón 15% a 20 keV.

36

Efecto Fotoeléctrico En este proceso el fotón sede toda su energía νh a un electrón atómico el cual es eyectado del átomo con cierta energía cinética Ek. La ley de conservación de la energía indica:

bk EE h +=ν donde Eb es la energía de enlace del electrón eyectado en el átomo. La cantidad de movimiento se conserva por el retroceso del átomo residual. Para que este proceso ocurra con un electrón particular, la energía del fotón no debe ser menor que la energía de enlace Eb . Para energías fotónicas E > h bν la probabilidad de interacción decrece cuando νh crece, es decir, la probabilidad de interacción es mayor cuando la energía del fotón tiende a la energía de enlace. Sobre el 80% de las interacciones primarias son con electrones en el nivel K. Cuando E < h bKν , ningún electrón del nivel K puede interaccionar mediante este proceso. Hay por tanto una repentina caída en la probabilidad de interacción lo que forma el llamado “pico de absorción”. A baja energía de fotones, el efecto fotoeléctrico predomina sobre todos los otros procesos de absorción. La sección eficaz para este efecto es:

2/72

054 24

=

νσασ

hcm

Z eph por átomo.

Donde, 3

8 2

0erπσ = y

1371

=α

(Para energías de fotón próximas al pico K, debemos multiplicarla por un factor de corrección). Esta sección eficaz, varía en forma aproximada como Z5. Así los materiales con alto Z son fuertes absorbedores de fotones y son ampliamente usados para propósitos de protección de fotones de baja energía (energía entre los varios keV a cientos de keV).

Figura. Sección eficaz del efecto fotoeléctrico como función de la energía.

La dirección de emisión de fotoelectrones varía con la energía del fotón incidente. De acuerdo con la figura. Para muy bajas energías la emisión es predominante a ángulos rectos de la dirección del

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fotón incidente, pero a medida que la energía del fotón crece los fotoelectrones son eyectados en la dirección del haz incidente.

Figura. Distribución angular de los fotoelectrones

Radiación característica La eyección de un fotoelectrón de un átomo deja una vacancia en uno de los orbitales electrónicos. Éste es llenado por un electrón que cae de un orbital más exterior. La energía potencial liberada por este electrón algunas veces aparece como un fotón de rayos X. Las energías de los fotones son características del átomo del cual ellos provienen, y los fotones son por tanto llamados "radiación característica" (o fotones fluorescentes). Los fotones resultantes de transiciones del electrón al nivel K son llamados radiación K con nombres correspondientes para el nivel L y otros. A las cuales se las identifica. Así por ejemplo: K 1α transición desde LIII a K K 2α transición desde LII a K K 1β

(el cual es un doblete) transición de MII y MIII a K

K 2β (doblete) transición de NII y NIII a K

Estas radiaciones también pueden aparecer cuando las vacancias del nivel K son causadas por partículas cargadas, tal como electrones en la formación de rayos X. Efecto Auger Todas las transiciones electrónicas a vacancias en las capas interiores no son siempre acompañadas por radiación característica. Transiciones no radiativas también ocurren cuando la energía aprovechable se usa para eyectar un electrón de una capa más exterior. Este proceso se llama el efecto Auger. El átomo tiene ahora dos vacancias, las cuales pueden ser llenadas por la emisión de otros electrones Auger (cascada Auger) produciendo una múltiple ionización del átomo. Las posibles transiciones son a menudo numerosas y los espectros de electrones Auger pueden ser muy complejos. Transiciones no radiantes también pueden tener lugar entre sub-niveles de los niveles L y M. A estas se les llama "transiciones Coster-Kroning". Rendimiento fluorescente El rendimiento fluorescente de un nivel o sub-nivel atómico es definido como: la probabilidad de que una vacancia en ese nivel sea llenado a través de una transición radiativa (es decir, con la emisión de una radiación característica). La probabilidad de tales transiciones es aproximadamente proporcional a Z4 mientras que las transiciones no radiativas son casi independientes de Z. Así el rendimiento de fluorescencia del nivel K, ωK es dado aproximadamente como:

38

10 . 1,12 a ; Z + a

Z = 6K4

K

4

K ≈ω

La tabla muestra algunos ejemplos de rendimientos fluorescentes

Z ELEMENTO W(K) Epico K (keV) 6 C ------- 0.28 13 Al 0.04 1.56 29 Cu 0.44 8.98 50 Sn 0.86 29.19 82 Pb 0.97 88.01

Para materiales de bajo número atómico la producción de radiación característica es muy pequeña. En cualquier caso ésta es de muy baja energía (aproximadamente 0,5 KeV para oxígeno) y es reabsorbida localmente. La fluorescencia de RX es actualmente una herramienta analítica muy importante que permite la determinación de un material desconocido (Z>20) mediante la lectura de sus picos característicos pues estos son las huellas digitales de los elementos. Detectores de alta resolución tales como: detectores semiconductores de Germanio de alta pureza (HP-Ge), Germanio Litio Ge(Li) o de Silicio Litio Si(Li) son utilizados en la determinación de los espectros fluorescentes, aunque últimamente se están desarrollando semiconductores de alta temperatura (no requieren enfriamiento con nitrógeno líquido). La figura muestra un espectro de RX fluorescentes de una muestra de multi-elementos,

Figura. Espectro de fluorescencia de rayos X de varios elementos

Las aplicaciones de esta técnica son innumerables y van desde la determinación de las componentes de cemento y cerámicas, minerales y materiales geológicos fertilizantes y productos agrícolas, aleaciones, polución (especialmente en la determinación de metales pesados en alimentos, ríos, etc.) y otros campos. Efecto Thompson La radiación electromagnética interacciona con los electrones libres, induciendo en ellos una oscilación debida al campo eléctrico oscilante de la onda electromagnética. El movimiento oscilatorio del electrón genera una emisión de una radiación de la misma frecuencia de la del movimiento.

Figura. Se representa el proceso que puede considerarse como una dispersión elástica de un fotón con un

electrón.

39

La sección eficaz del proceso se la puede calcular a partir de la evaluación de los vectores de Pointying de las ondas electromagnéticas emitidas e incidentes. La sección eficaz diferencial esta dada por:

( )θσ 22 cos121

+=Ω erd

d

siendo re el radio clásico del electrón La sección eficaz total del proceso es:

2

38

eTh rπσ =

Efecto Compton En este proceso un fotón de energía νh choca con un electrón el cual es considerado libre (es decir, la cantidad de movimiento transferida al electrón excede en gran manera a su momento inicial dentro del átomo). El fotón transfiere algo de su energía al electrón, el cual retrocede y la energía restante aparece como la energía de un fotón dispersado de mayor longitud de onda λ Aplicando las leyes de la conservación de energía y cantidad de movimiento se obtiene:

) - (1 = - c0 θλλλ cos ; donde θ es el ángulo entre la dirección del fotón incidente y el dispersado y

c mh = o

cλ es la longitud de onda de Compton. Así, λ∆ a un ángulo particular θ es independiente

de la energía del fotón inicial. Este no es el caso para el cambio de energía donde νν ′∆ h - h = E crece muy fuertemente cuando νh crece.

La ley de conservación de la energía indica:

E+h=h νν ′ donde hν es la energía del fotón incidente, hν' es la energía del fotón dispersado y E es la energía cinética del electrón dispersado.

Si c m

h = 2

e

νε entonces,

) - (1 + 11 =

h h

θενν

cos′

) - (1 + 1

) - (1 h = Eθε

θενcos

cos

La sección eficaz total de Compton se la separa en dos, una que esta relacionada a la transferencia de energía a los fotones dispersados σ cs

(scattering) y otra a la transferencia de energía a los electrones en retroceso σ ca

(absorption). Las secciones diferenciales están dadas por:

40

Nishina. - Klein d sen - + 2r = )d( 2

32e

csΩ

′

′

′

θνν

νν

νν

σ

dEE

E) - (h2 - h

E - h + 1E - h

E + 2 c m

r = )d(2

2

2e

2

2e

ca

ν

ενν

ενεπ

σ

re es radio clásico del electrón c m

e = r 2e

2

e

Las energías promedio del fotón dispersado y del electrón en retroceso están dadas por:

σσνν

c

cs h = > h< = E ′′ σσν

c

ca h = E

donde: cscca σσσ −= La sección eficaz por electrón, σ e , es independiente de Z. La sección eficaz por átomo, σ atm , está dada por el producto de la sección eficaz electrónica y el número de electrones por átomo

Z = eatm σσ , obviamente es proporcional a Z.

Figura. Sección eficaz del efecto Compton como función de la energía

Figura. Distribución angular de los fotones dispersados

41

Figura. Distribución angular de los electrones en retroceso

Figura. Distribución energética de los electrones secundarios

Producción de pares En este proceso un fotón interactúa con el campo alrededor del núcleo de un átomo, la energía completa del fotón se convierte en masa y energía cinética de un electrón y un positrón. El núcleo es necesario para que la energía y cantidad de movimiento se conserven. El proceso no es posible si la energía del fotón es menor a 2mec2. Una vez que esta energía umbral es excedida, la probabilidad de la interacción crece. La sección eficaz de la producción de pares por átomo, ppσ , varía aproximadamente como Z2. El

coeficiente de atenuación de masa por producción de pares ρσ /pp es aproximadamente proporcional a Z.

Figura. Sección eficaz para la producción triple y de pares

42

La dirección media del par positrón electrón es cercana a la del fotón. A altas energías el ángulo promedio entre la dirección del electrón (o positrón) y el fotón incidente esta dado por:

Ec m =

2eθ ,

donde E es la energía del electrón. Todo compartimiento de energía cinética entre el electrón y positrón es posible, aquellos que dan del 20 al 80 % al electrón (o positrón) son igualmente probables, para compartimientos disparejos la probabilidad decrece rápidamente. El apantallamiento de los electrones atómicos juegan un papel importante en la producción de pares y la sección eficaz del proceso depende de éste. Definiendo el parámetro de apantallamiento como:

3/1

2100ZEE

hcme

−+

=ν

ξ

Con E+ y E- las energías totales del positrón y electrón. Para el caso ultrarelativista y apantallamiento arbitrario, la sección eficaz diferencial esta dada como:

( )

−−+

−−+= −+

−++ )(

3ln

4)(

32

)(3

ln4

)()(4 2122

322 ZfZEE

ZfZEEhdE

rZd eppξφξφ

νασ

Donde φ1 y φ2 son funciones de apantallamiento (iguales a las de Bremsstrahlung) y f(Z) una corrección de Coulomb. ξ → 0 apantallamiento completo ξ >> 1 no apantallamiento Para el caso de no apantallamiento y mec2 << hν <<137mec2Z-1/3 la sección eficaz total es:

−

−⋅=

54109)(2ln

974 2

22 Zfmc

hrZ eppνασ

La producción de pares en el campo de un electrón es posible (se le conoce como la producción triple) y tiene una energía umbral de 4mec2. La sección eficaz en este caso es igual pero tan solo proporcional a Z. De tal manera que la total tiene la dependencia Z(Z+1) Cuando el positrón ha frenado (cerca al reposo) este se aniquila con un electrón dando lugar a dos fotones, cada uno con energía 0,51 MeV, los cuales viajan en direcciones opuestas. Algunas aniquilaciones en vuelo ocurren dando fotones de energía mayores a moc2. Así, aunque la energía del fotón incidente es solo hν, una energía hν-2mec2 es transferida como energía cinética de partículas cargadas y la energía 2mec2 escapa del medio al aniquilarse el positrón. Foto efecto Nuclear El segundo menor proceso, es cuando el fotón interacciona con el núcleo atómico el cual emite a su vez la energía del fotón absorbido en forma de neutrones o protones. La energía umbral de los procesos (γ,p) es generalmente menor a aquella de los procesos (γ,n) debido a la repulsión coulombiana dentro del núcleo. De igual forma podemos decir que las secciones eficaces de los dos procesos son similares para elementos livianos (Z bajo) mientras que la de para materiales de alto Z la sección eficaz de los procesos (γ,n) son 3 ordenes de magnitud menores a aquellas de (γ,p). El efecto que tiene la forma de una resonancia gigante, tiene una energía umbral de unos pocos MeV y crece a

43

un máximo entre 12 - 24 MeV cayendo rápidamente a energías mayores. Contribuye en un 5% al coeficiente de atenuación total en el rango de 15 a 20 MeV. Foto-fisión Un proceso adicional que puede presentarse es el efecto de foto-fisión, donde la absorción de un fotón por parte de un núcleo pesado puede inducir la fisión del mismo. La energía umbral de fotón para varios elementos tales como Uranio, Torio y Plutonio, esta en el rango de 5 y 5.5 MeV. Así para el U-238 un pico de resonancia aparece en los 14 MeV con un ancho de 8.8 MeV con un valor de 125 mbarn. Las diferentes secciones eficaces y sus dependencias tanto en la energía de la radiación incidente como en el número atómico del material llevan a que en diferentes rangos de energía y Z del material uno de los efectos sea el dominante.

Figura. Importancia relativa de los efectos foto-eléctrico, Compton y producción de pares. Coeficientes de interacción para fotones La probabilidad de interacción de los procesos discutidos hasta ahora son independientes unos de otros y en consecuencia la probabilidad de interacción total es la suma de las probabilidades de interacción individuales. El coeficiente másico de atenuación es la suma de los coeficientes de atenuación de las interacciones individuales:

ρτ

ρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρµ nuclcohppcf + + + + =

de los cuales los dos últimos no se los considera. Coeficientes de interacción restringidos Es importante (en especial en dosimetría) distinguir entre procesos de interacción los cuales meramente dispersan fotones y aquellos que realmente transfieren energía del fotón a la energía cinética de partículas cargadas. Coeficiente másico de transferencia de energía. Se define como:

pppp

ff

CK fff ⋅

+⋅

+⋅

=

ρσ

ρσ

ρσ

ρµ

44

donde f i representa la fracción de la energía del fotón incidente que se considera transferida a las partículas cargadas del medio en el proceso de interacción. Para el efecto Compton:

ρσ

ρσ

ρσ

ρσσσ

νc

cc

c

c

cc

aaa = f / /

= = hE = f ⋅

Para el efecto fotoeléctrico:

; hE - 1 =

hE - h =

hE =f bb

f νω

νων

ν

ω es el rendimiento fluorescente. Para la producción de pares:

c m h = ; 2 - 1 =

hc m 2 - 1 =

hc m 2 - h = f 2

0

20

20

ppνα

αννν

En resumen:

−+

−+=

νρσ

νω

ρσ

ρσ

ρµ

hcm

hE ppbfcaK

202

11

Coeficiente másico de absorción de energía Toda la energía transferida a energía cinética de partículas cargadas no es necesariamente absorbida por el material irradiado. Una parte g de ella puede ser reconvertida en energía fotónica mediante el proceso de bremsstrahlung (proceso que se estudiará más adelante). Los dos coeficientes están relacionados entonces por:

E)g(Z, = g g) - (1 = Ken

ρµ

ρµ

Figura. Coeficiente de atenuación másico del Aluminio.

45

El coeficiente de interacción de una mezcla o compuesto es: = i i

ii∑ ρµ

ωρµ

donde ρµ

i

i es el

coeficiente de atenuación del i-ésimo elemento y ω es su fracción en peso. Interacción de neutrones con la materia La probabilidad de interacción de los neutrones con la materia no muestra suaves variaciones con la energía del neutrón incidente y el número atómico del material irradiado, como caracteriza a la mayoría de interacciones de los fotones con la materia. Las generalizaciones vienen a ser más difíciles y en la sección siguiente, las posibles interacciones de los neutrones con la materia se indican en términos amplios, haciendo énfasis en interacciones importantes en dosimetría de neutrones, radio-terapia y protección radiológica. Además, mientras todas las interacciones con fotones (excepto foto-efecto nuclear) generan electrones con alta velocidad, las interacciones neutrónicas producen un ancho rango de núcleos en retroceso y partículas subatómicas, también generan fotones los cuales sufren las interacciones ya estudiadas. La variedad de partículas cargadas, las cuales son generadas por neutrones, da lugar a la deposición de su energía en diferentes formas y esto tiene consecuencias biológicas importantes. Los neutrones interaccionan con los núcleos atómicos del material mediante eventos de dispersión y absorción, caracterizados por sus respectivas secciones eficaces. Aunque en principio podemos considerar dos clases de interacciones, dependiendo de la energía del neutrón incidente (neutrones térmicos E < 0.2 eV; neutrones epitérmicos con energía entre 0.2 eV y 0.5 MeV; neutrones rápidos con E > 0.5 MeV) Para energías mayores a 100 eV el principal proceso de interacción de los neutrones es la dispersión elástica; mientras que para energías menores al rango entre 1 eV y 10 eV, los procesos de absorción son los dominantes.

Figura. Típica sección eficaz de absorción de neutrones

Colisiones Elásticas Es el proceso más simple, el neutrón colisiona con un núcleo atómico, el neutrón es deflectado con alguna pérdida de energía la cual es transferida al núcleo en retroceso.

La energía transferida al núcleo de masa M a por el n0 de masa m y energía En es:

46

θcos22

a

antr

)m + M(m M 4 E = E

donde θ es el ángulo de retroceso en coordenadas de laboratorio. La energía transferida es mayor si la masa del núcleo blanco es menor y la máxima transferencia de energía ocurre para cuando el n0 choca con un átomo de hidrógeno )m m( np ≈ . Para este núcleo, la sección eficaz cae muy rápidamente para el primer y segundo MeV, y más lentamente para mayores energías. Esta reacción se representa como:

Hn)(n,H 11 Es por tal motivo que la parafina es utilizada como blindaje de neutrones rápidos. Unos 20 cm de parafina serían suficientes para termalizar neutrones, es decir llevar a los neutrones a energías de ≈ 0.025 eV. La sección eficaz para otros materiales biológicamente importantes O, C, N se muestra con igual tendencia pero tienen muchos picos resonantes superpuestos en la curva suave. Los neutrones rápidos sufren una serie de este tipo de colisiones, este proceso de pérdida de energía de los neutrones se le conoce con el nombre de moderación de neutrones. Como ejemplo se puede mencionar que toman unas 20 colisiones y 10-3 segundos disminuir la energía de un neutrón de pocos MeV a energías térmicas. Colisiones inelásticas Un neutrón puede ser momentáneamente capturado por un núcleo y entonces ser emitido con su energía disminuida abandonando el núcleo en un estado excitado. El núcleo puede regresar a su estado base por la emisión de un rayo gamma. Ejemplo

*16O )n(n, O16 ′ Subsecuentemente:

γ (6,1MeV)16 + O O →*16

La palabra inelástica se reserva a reacciones en las cuales el n0 es tanto partícula producto como incidente. Colisiones no elásticas Si la partícula resultante de la interacción no es un neutrón, el término descriptivo es "no elástica". Ejemplo.

C )(n, O 1316 α En materiales biológicos importantes C, N y O, los procesos de colisiones inelásticos y no elásticos tienen usualmente energías umbrales en el rango 4 - 12 MeV, la sección eficaz crece puntiagudamente cuando la energía umbral es excedida y alcanza un valor constante entre energías de 10 - 15 MeV. Procesos de captura Los neutrones térmicos o lentos, que son aquellos en equilibrio térmico con la materia (Eterm = 0.025 eV), son capturados por núcleos. Su sección eficaz de absorción es inversamente proporcional a la velocidad del neutrón, debido al hecho de que el tiempo que permanece el neutrón en la cercanía del núcleo será proporcional al inverso de la velocidad del neutrón. Sin embargo este comportamiento está camuflado por los picos de absorción que se observan en los materiales. Aún estando cerca en la tabla periódica, dos elementos como el Cadmio y el Indio muestran diferentes secciones eficaces, no sólo por su diferente estructura nuclear sino también por la de sus productos. Para núcleos pesados, el número de estados excitados es más grande que para los livianos y por tanto la sección eficaz muestra un incremento en el número de picos resonantes.

47

Ejemplo MeV.2,2 = E : H)(n, H 21

γγ

MeV.0,6 = E : C p)(n, N p1414

Espalación (spallation) En este proceso el neutrón causa fragmentación del núcleo, consecuentemente varias partículas y fragmentos nucleares son eyectados. El proceso solo viene a ser significante sobre energías mayores de 20 MeV. Coeficientes de interacción Para el caso de fotones la definición de coeficientes de interacción es más útil que la de las secciones eficaces. Para neutrones sucede lo mismo, sino que en este caso, al producto de la densidad de núcleos blanco por la sección eficaz lo llamamos sección eficaz macroscópica y la notamos como Σ.

σµ n=Σ= De igual forma podemos definir ΣS y ΣA refiriéndose a eventos de dispersión o absorción. Sin embargo la cantidad más útil de interacción en dosimetría de neutrones es el coeficiente másico de

transferencia de energíaρµ tr . Hay dos razones para esto. Primera, multiplicando este coeficiente con la

fluencia energética de neutrones, obtenemos una cantidad llamada Kerma9, la cual da una medida de la energía depositada por el campo de radiaciones de neutrones. Segundo, en irradiaciones con neutrones los rangos de las partículas cargadas son a menudo pequeños con relación al volumen de interés. En tales casos el Kerma es igual a la dosis absorbida la cual es el objetivo primario de la dosimetría de radiación. Si σ es la sección eficaz para una interacción particular de neutrones con átomos de número másico

A, el coeficiente de atenuación es ρΣ

y estará dado por:

A N = Aσ

ρΣ

El coeficiente de transferencia de energía, ρµ tr para una interacción particular está entonces dado por:

EE

A N =

n

trAtr σρΣ

donde Etr es la energía media transferida a energía cinética de partículas cargadas por un neutrón de energía En . El coeficiente total de transferencia de energía es la suma de todas las secciones eficaces y

de los términos EE

n

tr .

No solo la sección transversal σ es requerida sino también EE

n

tr para cada interacción.

En el caso de dispersión elástica, por ejemplo, se tiene:

9 Ver folleto de dosimetría de la radiación del mismo autor.

48

)m + M(m M 2 =

EE

2a

a

n

tr

Problemas 1. La sección eficaz para la reacción Cd113(n,γ)Cd114 a la energía de 0.178 eV es de 63600 b. Una muestra natural de cadmio (la cual contiene 12.26% de Cd113) de 0.1 mm de espesor es irradiada con un haz paralelo mono energético de 0.178 eV de neutrones cuya intensidad es 108 neutrones por segundo. Asumiendo que la radiación gamma emitida es isotrópica. ¿cúal es la tasa de contaje registrada por un detector gamma que tiene un área efectiva de 5 cm2 y una eficiencia de 0.25, situado a 1 metro de la muestra? (densidad del cadmio 8.65 g/cm3). 2. La sección eficaz de fisión para neutrones térmicos para uranio natural (0.72% U235; 99.27% U238; < 0.01% otros) es de 4.22 b. Calcular la sección eficaz de fisión del U235 para neutrones térmicos tomando en cuenta el hecho que el U238 no produce procesos de fisión con neutrones térmicos. Si un flujo de neutrones térmicos de 1010 (neutrones /cm2.seg.) incide sobre un blanco de uranio natural. ¿Cuántos eventos de fisión ocurren por segundo, cuando la muestra es de 0.01 cm. de ancho? (la densidad del uranio es 18.68 g/cm3)

3. La sección eficaz diferencial para un proceso de dispersión es: )(cos2 θσ badd

+=Ω

Donde: a = 4.2 barn /sterad y b = 2.4 barn /sterad. a) Calcular: la sección eficaz total. b) Un contador montado a 10 cm de la muestra a un ángulo de 60º tiene una área efectiva de 0.1 cm2. El ancho de la muestra es de 10-4 cm y el número de átomos por cm3 en la muestra es 1022. Encontrar las cuentas por segundo que registrará el detector cuando el haz de protones incidente es de 1 µA. 4. Un haz de protones de 1 micro-amperio altamente energético de 400 MeV incide sobre una placa de Au197 al igual que un haz electrónico de 6 MeV. ¿Cúal de los dos haces producirá mayor radiación de frenado y en que orden de magnitud estará la relación de producción? 5. La sección eficaz no relativista de la aniquilación positrónica en dos fotones se puede escribir como: σ = πre

2c/v (cm2/ electrón). Calcular el tiempo medio de vida de positrones en Aluminio (2.7 g/cm3). 6. En la atenuación de fotones I = Ioe-µx. Explique lo que para Ud. indicaría el uso de µ = µat; µ = µtr. Si se fija el ancho del absorbedor. ¿Con cuál coeficiente se obtendrá una menor atenuación? ¿Con cuál coeficiente se obtendrá una mejor concordancia con el experimento? Explique su respuesta. 7. Un haz de neutrones con energía 0.025 eV golpea una lámina de Cadmio de 0.01 mm de ancho. Debido a esta la intensidad del haz se reduce en un 32%. Calcular: la sección eficaz de absorción del cadmio para neutrones con esta energía. 8. Un fotón de 1 MeV es dispersado 55º en una colisión con un electrón libre en reposo. Calcule la energía del fotón y del electrón después de la colisión. 9. En un reactor la velocidad de los neutrones térmicos tiene una distribución de Maxwell con temperatura 27ºC. Calcule la energía más probable de los neutrones, su energía media y la energía correspondiente a la velocidad más probable. 10. Si se irradia un blanco grueso de aluminio (densidad = 2.69 g/cm3) con partículas alfa de 7.8 MeV, que tiene un rango medio R= 2.5 mg/cm2. Se encuentra que se producen 8 protones en procesos (α,p) por cada millón de partículas alfa incidentes. ¿Cuál es la sección eficaz media de este proceso? 11. En un experimento para medir rayos γ de 10 keV con un detector el cual tiene una ventana de berilio puro de ancho 0.05 cm (densidad = 1.85 g/cm3), y un coeficiente de atenuación másico de 0.554 cm2/g. Cuando una segunda lámina de idéntico ancho y material se interpone entre la fuente y el detector se observa una atenuación del 18%. Mostrar que este resultado no es compatible con la suposición hecha de que el Berilio es puro. ¿Qué porcentaje de impurezas en peso esta presente en la ventana si tomamos como contaminante el Fe56 ( densidad de hierro = 7.86 g/cm3 y el coeficiente de atenuación = 169 cm2/g)

49

Interacción de las partículas cargadas con la materia La influencia de la radiación en todas las substancias vivas o inertes, es a través de esta interacción. De igual manera las medidas de la radiación son posibles solo a causa de esta interacción. Las partículas cargadas se clasifican como: 1.- Pesadas: etc., , ,p , ++++- παµ _ 2.- Ligeras: e-, e+ Los electrones pierden una considerable energía en interacciones simples y pueden ser dispersados por grandes ángulos, en cambio las partículas pesadas pierden poca energía y son deflectadas en ángulos pequeños. Tanto las partículas cargadas pesadas como las livianas interactúan tanto con los electrones orbitales, como con los núcleos o átomos como un todo; en este último caso la energía de los electrones es menor a la energía de excitación, de igual manera para partículas cargadas pesadas de bajas velocidades. La ineficacia de describir la interacción de partículas cargadas con la materia por medio de coeficientes de atenuación o absorción, lleva a definir el “poder de frenado lineal S” como la pérdida media de energía por unidad de camino recorrido de la partícula cargada. Partículas cargadas pesadas A causa de que varios procesos contribuyen al frenado de partículas cargadas, es conveniente discutir el poder de frenado en tres diferentes intervalos de energía. 1.- Baja energía. (La velocidad de la partícula cargada pesada es mucho menor a la velocidad de los electrones orbitales de los núcleos blanco, la velocidad característica de los electrones orbitales es la velocidad de Bohr, υB = 0.22 cm/ns)

a) Para energías por debajo de MeV][unidades z21 2 → para partículas cargadas pesadas (éstas

pueden adquirir electrones orbitales). b) Para energías menores a 10-4 Mc2 (Se tienen colisiones elásticas entre las partículas y los átomos enteros, o con los núcleos apantallados). En este caso, al poder de frenado se lo conoce con el nombre de poder de frenado nuclear. 2.- Energía intermedia.- Las partículas cargadas pesadas tienen una velocidad mucho más grande que la velocidad de los electrones orbitales. En este intervalo, la principal interacción es entre la partícula y los electrones del medio produciendo excitación e ionización. Este proceso es bien entendido y S (poder de frenado lineal) puede ser calculado teóricamente. En la práctica ninguna evaluación de S es completa y por tanto se introducen parámetros experimentales. Interacciones con los núcleos ocurren con una frecuencia de aproximadamente 1en 109 interacciones y sus efectos son importantes solo en la región más elevada de energías intermedias. 3.- Para altas energías.- 2 Mc E >> el bremsstrahlung será el proceso de mayor importancia, el efecto densidad influirá notablemente decreciendo el valor de S. Un proceso de colisión de mayor energía puede producir reacciones nucleares. Estos procesos no se los considera en este estudio. El poder de frenado lineal lo podemos escribir como formado por dos contribuciones: 1) vía procesos de colisión y 2) vía procesos de radiación:

radcoltot SSS += Para el caso de partículas cargadas pesadas el poder de frenado de colisión es el principal en el rango de energía de hasta unos cientos de MeV, éste a su vez tiene dos contribuciones principales: las pérdidas de energía por procesos de colisión con los núcleos apantallados (poder de frenado nuclear) y por procesos de colisión con los electrones atómicos (poder de frenado electrónico).

50

oelectroniccolnuclearcolcol SSS ,, += Para el caso de partículas cargadas livianas los procesos principales de interacción en el rango de energía de unos pocos keV a decenas de MeV son: las colisiones con los electrones atómicos y aquellos procesos con núcleos atómicos que producen radiación (bremsstrahlung). Poder de frenado electrónico para partículas cargadas pesadas. Tratamiento clásico: Consideremos una partícula de carga z, masa M y velocidad v en interacción con un electrón con un parámetro de impacto b.

Si M >> me, la deflección de M del eje x será mínima y puede ser despreciada. Adicionalmente el electrón será considerado inmóvil durante la colisión.

b ez =

rez = F

2

22

2

2 θcos

Mediante la interacción electromagnética la partícula transferirá un momento qr al electrón

dt F = qrr

∫ Suponiendo que solo la componente “y” contribuirá a esta transferencia de momento:

dt bez = dt F = q 32

2

y θcos∫∫

De acuerdo con la figura, tenemos:

bx

dtd =

dt)d( ,

bx = θθ tantan

.d b = dt ; dtdx

b1 =

dtd 1 2

2θθ

υθ

θsec

cos

Por tanto:

θθυ

θ d b bez = q 232

2

seccos∫

. bez 2 = d

bez = q

22

2-

2

υθθ

υ

π

π

cos∫

La energía transferida al electrón es (aproximación clásica no relativista):

51

.m be z 2 =

b m 2e z 4 =

m 2q = E

22

42

22

422

υυ∆

Vemos que z),(E = E υ∆∆ es función de la velocidad y de la carga, pero ¡NO! de la masa de la partícula incidente M. Para b pequeños, la ecuación anterior no es válida. Existe un bmin tal que b b min≤ , la energía transferida es máxima Emax . Suponiendo que hay n átomos de número atómico Z por unidad de volumen en el absorbedor, el número de electrones por unidad de volumen será: nZ. Así en viajar una distancia dx el ión incidente encontrará Zn dx db b 2π electrones y perderá una energía:

Z.n dx db b 2 E = dE - π∆ Por lo tanto la energía perdida por unidad de trayectoria será:

.bdb

me n Zz 4 = db

m be z 2 Zn b 2 =

dxdE -

b

b2

42

22

42b

b∫∫max

min

max

minυ

πυ

π

.bb Zn

me z 4 =

dxdE -

2

42

min

maxlnυ

π

El máximo momento transferido a un electrón en una colisión clásica es: υ

υ bez 2 = m 2

2

min

υυ 2

2

2

2

mez =

m 2ez 2 = bmin

La energía de enlace, por otra parte, no acepta arbitrariamente cantidades pequeñas de energía, sino que debe absorber suficiente energía para ser elevado a un estado de energía no ocupado. Se introduce una energía media de excitación I (promediada para todos los electrones en el átomo del absorbedor). No habrá transferencia de energía a menos que: ; I E ≥∆

≥

I m2 ez = b ; I

b me z 2 1/22

22

42

υυmax

sustituyendo

≈

I m 2 Zn

me z 4

dxdE -

2 1/2

2

42 υυ

π ln

El desarrollo cuántico para partículas pesadas produce:

I m 2 Zn

me z 4 =

dxdE -

2

2

42 υυ

π ln

Cuando efectos relativistas y otras correcciones son considerados tenemos que:

52

−

Z

C - - ) - (1 - I m 2 Zn

me z 4 =

dxdE - K22

2

2

42

δββυυ

π lnln

donde Z)(E,C = Cy /c = KKυβ es la corrección de capa, que toma en cuenta los efectos que aparecen cuando la velocidad de la partícula incidente es comparable o más pequeña que la velocidad de los electrones orbitales. Adicionalmente, se considera la corrección por efecto densidad δ que se produce debido al hecho de que el campo eléctrico de la partícula incidente tiende a polarizar los átomos alrededor de su trayectoria. A causa de esta polarización la interacción con los electrones lejanos será menor. Poder de frenado nuclear para partículas cargadas pesadas El poder de frenado de colisión nuclear, es decir, aquel debido a colisiones con los núcleos apantallados, se lo estima considerando un potencial efectivo de interacción dado por el potencial de Coulomb y una función de apantallamiento:

( )r

zZearrV2

/)( χ=

donde a es el radio de apantallamiento de Thomas-Fermi de las colisiones

( ) 3/22/12/1

0885.0

Zz

aa

+

⋅=

a0 es el radio de Bohr. La función de apantallamiento se asume de la forma,

raar2

)/( =χ

considerando los argumentos utilizados en las colisiones ion-electrón, se encuentra que la cantidad de movimiento transferida en la colisión es:

2

2

2 bazZeq

υπ

=

υπ

2

422

b mae Zz =

m 2q = E

4

222

8∆

53

siendo m en este caso, la masa del núcleo apantallado (núcleo blanco). Considerando además que en la colisión hay una transferencia de energía de cero a un valor máximo dado por:

( )E

MmmME 2max

4+

=∆

siendo E la energía cinética de la partícula incidente. Así, el poder de frenado de colisión nuclear es:

)(2

22

MmaMzZen

dxdESn +

=−=π

Este resultado es independiente de la energía, sin embargo una aproximación mejor se encuentra usando el potencial de Thomas Fermi (este tratamiento no se desarrolla aquí) Poder de frenado de electrones. En el intervalo energético entre unos pocos keV y 50 MeV, los electrones pierden energía principalmente a través de interacciones coulombianas con los electrones atómicos del medio irradiado denominadas convencionalmente "colisiones inelásticas". Las interacciones coulombianas con los núcleos no producen en general pérdidas energéticas, sino tan solo desviaciones de la trayectoria original del electrón incidente y se denominan "colisiones elásticas".

Conocida la sección eficaz dWdσ

, para las colisiones inelásticas e - e -- , que suponen una transferencia

de energía W a los electrones atómicos, la pérdida media de energía por unidad de longitud viene dada por:

dW dWd W Zn =

dxdE -

W

Wcol

σ∫

max

min

denominado poder de frenado lineal de colisión )S( col . nZ = representa el número de electrones por unidad de volumen. El poder másico de frenado de colisión es:

dW. dWd W

A ZN = S W

W

A

col

σρ ∫

max

min

La teoría de Bethe, divide las transferencias de energía W, en dos clases dependiendo de su comparación con una cierta transferencia energética dadaW c . Por un lado W c debe ser grande comparada con la energía de ligadura de los electrones atómicos en el medio, y por otro lado, el parámetro de impacto asociado con transferencias menores a W c , debe ser grande comparado con las dimensiones atómicas.

)W > (W S + )W < (W S = Sc

colc

colcol

ρρρ

que equivale clasificar las colisiones en distantes y próximas. En las primeras donde la transferencia energética es pequeña y el correspondiente parámetro de impacto grande, el electrón incidente interacciona con el átomo como un todo. En el segundo grupo

54

hay una gran transferencia de energía y el parámetro de impacto es del orden de las dimensiones atómicas, por lo que la interacción sucederá con cada electrón individual, que puede considerarse libre. La teoría clásica de Bethe resuelve el primer sumando (válida para cualquier tipo de partícula cargada).

dW dWd W

A ZN = )W < (W S W

W

Ac

col

c σρ ∫

min

β

ββ

βπ 2

22c

222

2

22eA -

I ) - (1W c m 2 z A

Z c m r N 2 = ln

donde re es el radio clásico del electrón, c

= υβ , z es la carga de la partícula incidente, Z es el

número atómico del medio e I es la energía media (potencial medio) de excitación. En el caso de electrones, el segundo sumando se calcula utilizando la sección eficaz relativista de Möller, válida para grandes transferencias de energía a los electrones atómicos, considerados libres. Debido a la imposibilidad de distinguir a los electrones tras la colisión, la máxima transferencia de energía posible,W max , es E/2 siendo E la energía cinética del electrón incidente. Por convenio se considera que el poder de frenado corresponde al electrón que, después de la colisión, posee mayor energía.

dW dWd W

A ZN = )W > (W S

Moller

WW

Ac

colc

∫

σρ

max

Combinando los dos sumandos, se obtiene la fórmula para el poder másico de colisión.

- )F( + 2

+ 1 + IE

AZ c m r N 2 = S 2

2

22eA

col

δττβ

πρ

lnln

donde: ] 2 1) + (2 - 8

+ 1 [ ) - (1 = )F(2

2 lnττβτ

siendo c m

E = 2

τ y δ es factor de corrección por efecto densidad.

El factor mol cm MeV0,153536 = c m r N 2 -1222eAπ .

Es preciso mencionar que la utilización de esta ecuación para E < 10 keV es cuestionable. Sin embargo para materiales de bajo Z el error es de % 3 ≈ a 5 keV; y de 10 → 15 % a 1 keV. La siguiente figura muestra el poder de frenado para electrones en muchos medios y su dependencia en energía.

Figura. Poder de frenado de electrones

55

Energía media de excitación (I) De forma aproximada se han utilizado expresiones del tipo I = k Z donde ] eV 15 - 9 [ =k . La proporcionalidad entre I y Z está demostrada teóricamente, pero no es fácil encontrar una parametrización simple. Efecto densidad Una suposición, inherente en el desarrollo de la expresión para el poder de frenado de colisión, es considerar que los átomos del material están lo suficientemente separados unos de otros como para considerar que el electrón incidente interacciona con un solo átomo cada vez. Esta suposición es válida tan solo para gases a baja presión, pero no en otros materiales. Cuando el electrón incide sobre un medio denso, los átomos pueden considerarse aislados en el caso de interacciones a corta distancia, pero no cuando el parámetro de impacto es mayor que las distancias atómicas. En este caso es preciso considerar el apantallamiento del campo eléctrico por los átomos del medio, lo que reduce la probabilidad de interacción y, decrece por tanto, la pérdida energética. Como las colisiones a gran distancia son cada vez más importantes, conforme aumenta la energía del electrón incidente, la corrección necesaria será, por tanto, una función creciente de la energía. En particular, el apantallamiento del campo eléctrico es debido a la polarización de los átomos cercanos a la trayectoria del electrón, y en un principio el fenómeno se denominó efecto polarización. Fermi dio un tratamiento teórico simplificado del fenómeno tomando como base un modelo de dispersión de frecuencia única donde demostró que los efectos de polarización dependen fundamentalmente de la densidad de los electrones en el material. Sternheimer calculó la corrección por efecto densidad en un gran número de materiales utilizando un modelo de dispersión de frecuencia múltiple del medio. Poder de frenado restringido Esta magnitud es de especial interés en Dosimetría y Radiología y da la energía media perdida por unidad de trayecto recorrido, debido a colisiones con transferencia energética W menor que un determinado valor de corte ∆ . Esta magnitud proporciona la energía absorbida localmente en el medio, en las proximidades de la trayectoria del electrón. Es equivalente numéricamente al LET (transferencia lineal de energía). Para la obtención de una expresión del poder de frenado restringido es preciso sustituir Wmax por ∆ en:

dW dWd W = )W > (W S

c

ccol

σρ ω

∫∆

El resultado obtenido es:

∆

δηττ

βπ

ρ - ),G( +

2 + 1 +

IE

AZ c m r N 2 = )(E,L 2

2

22eA lnln

donde:

)-(11)+(2+

2)-(1+ )-(1+])-[4(1+-1- = ),G(

2221-2 ητητβηηηβητ lnln

E = ∆η .

En esta expresión se supone implícitamente que las pérdidas energéticas afectadas por el efecto densidad son siempre menores a ∆ . Note que cuando )F( = ),G( 1/2 = τητη → y por tanto, (E)S = E/2)L(E, col

56

Los poderes de frenado de colisión no restringido y restringido para los compuestos, si no vienen tabulados, se los calcula por medio de:

ω

ρω

ρ i

ii

S = S

∑

∑

siendo iω → la fracción en peso del componente i. Rangos de partículas cargadas. Una completa descripción de penetración y disipación de la energía por parte de las partículas cargadas debe incluir: - la distribución espacial de la pérdida de energía, - la dispersión lateral, - el rango de la partícula. El rango máximo es definido como el ancho del material el cual reduce el haz transmitido (mono-energético y perpendicular al absorbedor) a cero. El rango en aproximación de frenado continuo CSDA se define como:

S(E)dE = R

E

0

0

∫

en realidad se lo calcula como:

)E(R + S(E)dE = R 11

E

E

0

0

1

∫

donde el último término es estimado experimentalmente. Se usa E1 como límite inferior puesto que la fórmula de Bethe no trabaja bien para bajas energías.

Figura Rangos de algunas partículas cargadas pesadas

57

Cuando se observa un gran número de partículas, es útil considerar su comportamiento promedio. El rango se define como el promedio de las trayectorias (sin incluir aquellas trayectorias de electrones que han sufrido procesos de bremsstrahlung o reacciones nucleares). La medición de la trayectoria de las partículas no se lleva a cabo, pero la de su proyección en cierta dirección sí. Sea N(z) el número de partículas que se transmiten al incidir sobre una lámina de ancho z. El rango proyectado se define como:

dzdN(z) = (z)N dz (z)Nz

N1 = >z <

00

′′∫∞

N0 es el número de partículas incidentes (menos aquellas cuentas catastróficas). Otras definiciones de rango:

* Rango proyectado medio, mz , es el valor de z para el cual 2

N = N(z) o .

Figura. Transmisión de partículas cargadas en un material

El rango extrapolado, en este caso es más útil y se le encuentra extrapolando la región de atenuación de la curva de transmisión hasta cortar con el eje que representa la profundidad del material. El rango práctico requiere el conocimiento de la distribución, de la deposición de energía (dosis absorbida) en profundidad en el medio irradiado y está definido por la proyección sobre la profundidad del punto de corte entre las extrapolaciones de la región de caída de la dosis y la de generación de radiación bremsstrahlung. La siguiente figura muestra varias distribuciones en profundidad de la dosis absorbida como función de la energía de los electrones incidentes.

Figura. Distribuciones de dosis en profundidad

58

Se define también R100 como la profundidad dentro del medio donde la distribución de la dosis absorbida alcanza el valor máximo. De igual manera se puede define un R50, como aquella profundidad donde la distribución de dosis toma la mitad del valor máximo. Straggling de rango La naturaleza aleatoria de las interacciones entre las partículas cargadas incidentes y aquellas que conforman la materia (electrones y núcleos atómicos) hace que cada partícula cargada tenga su propia historia de interacciones, lo que conlleva a diferentes penetraciones de las partículas en el medio, así ellas tengan inicialmente igual energía y dirección. Estas diferentes penetraciones forman una distribución estadística (normal para partículas cargadas pesadas) alrededor de un valor de penetración medio.

Figura. Penetración de partículas cargadas en un medio

Figura. Esquema del straggling de Rango

La distribución Gaussiana del straggling de rango toma la forma:

dRa

RRaN

dRRN

−−= 2

2)(exp1)(π

+⋅=

Im

mInZxeza e

e

2

20222 2

ln)3/4(14υ

υπ

59

Siendo x0 el ancho del absorbedor y “a” el parámetro de straggling. Straggling de energía. Si un haz de partículas cargadas mono-energéticas y paralelas interactúa con un medio, los procesos de interacción aleatorios producen diferentes pérdidas de energía para cada partícula, distribuidas alrededor de valor medio. De manera que al pasar el haz por un cierto medio de espesor menor a su rango se puede observar que el espectro en energía de las partículas incidentes sufre, además de un corrimiento hacia valores menores de energía, un ensanchamiento.

Figura. Esquema del straggling de Energía

El straggling en energía puede ser descrito en términos de una distribución Gaussiana de la forma:

dEa

EEaN

dEEN

−−= 2

2)(exp1)(π

Straggling angular Si un haz de partículas cargadas mono energéticas y paralelas interactúan con un medio, los procesos de interacción aleatorios producen, al pasar por el medio de dimensiones menores al rango de dichas partículas, diferentes desviaciones respecto de su dirección incidente. Puesto que en este caso, el valor medio de la desviación será cero, es necesario calcular el valor cuadrático medio el cual esta dado por:

= 23/4

00

22

422 ln2

ezZaE

xnZE

ezπθ

siendo x0 el ancho del absorbedor y a0 el radio de Bohr.

Figura. Straggling angular

60

Radiación de frenado (bremsstrahlung) La emisión de radiación electromagnética siempre acompaña a la aceleración o desaceleración de partículas cargadas. La radiación emitida representa una disipación de energía por unidad de tiempo y esta dada, de acuerdo con la teoría clásica, por:

2

3

2

32 xce

dtdE

&&=

y se extiende sobre un rango continuo de frecuencias.

Puesto que la tasa de disipación de energía debido al bremsstrahlung es proporcional a

2x&&r , donde

la aceleración para el caso de partículas que radian con masa m y carga ze y pasan a través de un

medio de número atómico Z es m

Zzex2

∝&& se sigue que

2

422

mezZ

dtdE

∝

así, la energía disipada no depende solo de los cuadrados de z y Z sino del inverso del cuadrado de la masa de la partícula cargada incidente. La partícula cargada incidente puede radiar una cantidad de energía la cual varía desde cero a la energía cinética de la partícula.

kEh =max)( ν con un decrecimiento marcado para pequeñas longitudes de onda. Es interesante notar que la sección eficaz de emisión de Bremsstrahlung toma la misma forma tanto en teoría clásica como cuántica, aunque hay una diferencia cualitativa entre la descripción microscópica detallada.

222

2

22 Zr

cmeZ ee

b αασ =

≈ cm2/ núcleo

re es el radio clásico del electrón. La teoría clásica provee una visualización de los procesos de emisión errónea y dice que todo cambio en el movimiento de la partícula cargada es acompañado de una gran probabilidad (en realidad certidumbre) de emisión de fotones de baja energía, mientras que la correspondiente predicción desde el punto de vista cuántico es una baja probabilidad para fotones de alta energía. Para el caso simplificado de procesos de bremsstrahlung de una muestra delgada en el cual cada electrón (de un haz paralelo y mono-energético) que incide sobre la muestra delgada solo experimenta un encuentro radiativo, tal que solo un fotón es emitido por electrón. La sección eficaz diferencial de bremsstrahlung esta dada por:

fii

B WLdυ

σ3

=

61

siendo υi la velocidad inicial del electrón y Wfi la probabilidad de transición por unidad de tiempo, dada por la segunda regla de oro de Fermi

( ) 2*2fiffi HEW ρπ

h=

La densidad de estados finales es simplemente el producto de las densidades de estados finales del fotón y del electrón

Ω

Ω== 3

23

3

23 .....)(

hddppL

dEhddppL

dEdNdN

Ef

eff

f

ef

γγγγρ

con Ef y pf, la energía total del electrón y su cantidad de movimiento y considerando

i

ii E

cp 2

=υ

γνπ

σ ΩΩ= ddhdHpp

cEEL

d efii

ffiB .).(

)()2(2*

75

92

h

No se puede realizar una evaluación exacta del elemento de la matriz de transición (la cual es proporcional a L-9) para electrones relativistas, puesto que no se pueden obtener las funciones de onda exactas final e inicial de la ecuación de Dirac. Sin embargo se han desarrollado varias aproximaciones que muestran que para energías bajas del electrón la intensidad de la radiación es máxima en la dirección perpendicular al haz incidente; pero mientras la energía se incrementa, la intensidad de la radiación tiende a la dirección de incidencia. En el límite de altas energías, la emisión tiene lugar como un haz delgado a un ángulo aproximado

i

e

Ecm 2

=γθ

Figura. Distribución angular de los fotones emitidos por bremsstrahlung

La distribución en energía de bremsstrahlung está dada por:

γγ

σν

σΩΩ

ΩΩ= ∫

Ω

dddd

dhd

de

e

rad

)(

llamada sección eficaz diferencial radiativa. Para bajas y altas energía de los electrones incidentes, el espectro de rayox X generados se muestran a continuación:

62

Figura. Espectro de RX para bajas y altas energías de los electrones incidentes.

Note que el espectro generado a bajas energías superpone los picos de RX fluorescentes. La sección diferencial en energía se evalúa en la aproximación de Born, considerando el apantallamiento del campo de Coulomb nuclear. Definiendo el parámetro de apantallamiento como:

3/12

−

⋅

= Z

Eh

Emc

if

νξ

donde Ei, Ef son las energías totales iniciales y finales del electrón y hν, la del fotón emitido ξ → 0 apantallamiento completo ξ >> 1 no apantallamiento Para energías relativistas de unos pocos MeV, la sección eficaz está dada por:

( )

−−−

−−+= )(ln

31

4)(

32)(ln

31

4)(

14 21222 ZfZZfZdrZd eradξφ

εξφ

εννασ

con α, la constante de la estructura fina y ε = Ef / Ei f(Z) es una corrección de Coulomb y φ1 y φ2 funciones de apantallamiento que de penden de ξ. Que para los casos límite de apantallamiento completo y no apantallamiento, se pueden expresar en formas más simples. apantallamiento completo

[ ]

+−

−+= −

9)()183ln(.

3214 3/1222 εεε

ννασ ZfZdrZd erad

no apantallamiento

−−

−+= )(

212

ln.3

214 2222 Zf

hcmEEdrZd

e

fierad ν

εεννασ

La sección eficaz total radiativa esta definida como:

)(.max

0

νν

σνσν

hddh

dEhh

rad

irad ∫=

obteniéndose las siguientes expresiones para los siguientes casos:

63

no relativista (mec2 >> Eki) 22

316

erad rZασ =

relativista alta (mec2 << Eki <<137mec2Z-1/3)

−=

61ln8 2

22

cmE

rZe

ierad ασ

ultra relativista (Eki >>137mec2Z-1/3)

+= −

181)183ln(4 3/122 ZrZ erad ασ

El incremento de la sección eficaz radiativa, al incrementarse la energía cinética inicial, causa que la energía perdida por bremsstrahlung predomine sobre otro tipo de disipación de energía. La energía perdida por la partícula cargada debida a la radiación (o el poder de frenado por radiación) se lo calcula de la siguiente forma:

)(.max

0

νν

σν

ν

hddh

dhn

dxdE h

rad

rad∫=

−

la que podemos rescribir como:

radirad

nEdxdE σ=

−

con

)(.1 max

0

νν

σνσ

ν

hddh

dh

E

hrad

irad ∫=

la sección diferencial en energía del fotón es inversamente proporcional a la frecuencia, lo que conlleva a que σrad es prácticamente solo función del material. Mientras las pérdidas de energía por colisión varían logarítmicamente con la energía y linealmente con Z; las pérdidas por radiación se incrementan casi linealmente con la energía y cuadráticamente en Z. Note que en el límite de alta energía σrad no depende de la energía por lo que podemos escribir:

dxnE

dErad ⋅−= σ

Resolviendo, xn

iradeEE σ−=

La longitud de radiación x0 de un material se define como la distancia sobre la cual la energía del electrón se reduce en un factor e-1, debido a pérdidas de radiación solamente.

radnx

σ1

0 =

Una relación aproximada para su cálculo es:

64

( )ZZZcmgAx/287ln)1(

/4.716 2

0+

⋅⋅=

siendo A el número másico del material. Landau y Rumer mostraron que la emisión bremsstrahlung puede también ocurrir en el campo de Coulomb de los electrones atómicos. Los efectos de apantallamiento vienen a ser considerablemente más importantes. En el caso de un apantallamiento completo se obtiene la siguiente relación:

+

−+=

i

fe

erad E

EZ

dZrd911440ln

3214 3/2

22 εεννασ

donde la dependencia en Z especialmente se recalca. Se puede aproximar para muestras de alto Z el bremsstrahlung total como aquel formado por las dos contribuciones (nuclear + electrón) y solo se requerirá el cambio de Z2 por Z(Z+1). De acuerdo con el cálculo clásico no relativista se puede considerar el bremsstrahlung de una muestra ancha como la superposición de contribuciones de muestras delgadas.

Figura. Poder de frenado de colisión y radiación para de un haz de electrones en Cu. También se muestra el

poder de frenado de protones en la misma escala. Para un haz de electrones interaccionando con la materia, se define la energía crítica como aquella a la cual el poder de frenado de colisión es igual al poder de frenado de radiación (Por ejemplo: para el agua es 92 MeV y para el plomo es 9,51 MeV) Efecto Čerenkov Cuando una partícula cargada pasa a través de la materia se induce una polarización en el medio a lo largo de su trayectoria, esta polarización variará en el tiempo y producirá radiación. Si la partícula se mueve lentamente, los osciladores a lo largo de la trayectoria estarán fuera de fase y la radiación emitida será no coherente, es decir, se interferirán destructivamente. Pero si la partícula se mueve a una velocidad mayor a la de la luz en el medio, un frente de onda coherente se forma, es decir, hay interferencia constructiva, esta onda llamada radiación de čerenkov (análoga a las ondas de choque producidas por cuerpos supersónicos) se propaga en el medio y es emitida en un cono de luz.

65

Figura. Esquema de la producción de dipolos al paso de una partícula cargada para los caso de velocidad

de partícula menor y mayor a la de la luz en el medio. La velocidad de la luz en el medio está dada por:

nccn =

donde c, es la velocidad de la luz en el vacío y n es el índice de refracción del medio.

De acuerdo con la figura, el frente de onda BC cubre una distancia AC en el tiempo t, requerido por la partícula para cubrir la distancia AB. Este tiempo es entonces:

ncAC

cABt ==β

la radiación de čerenkov se observa por tanto a un ángulo dado por:

nABAC

βθ 1cos ==

Algunas características se pueden deducir de esta relación: Hay un βmin = 1/n bajo el cual la radiación de čerenkov no se emite y la dirección de emisión coincide con la de la partícula. Para el caso ultra relativista, β→1, se alcanza el ángulo máximo de emisión el cual esta dado por la relación n/1cos max =θ

66

Las frecuencias de la radiación de čerenkov yacen en el intervalo azul y cercano al visible (se extendería a los rayos X si n<1. Consulte sobre esto) La masa de la partícula en movimiento no influye en el ángulo de emisión El ángulo θ depende de la longitud de onda de la radiación de čerenkov puesto que n(λ) El ángulo de emisión crece cuando la velocidad de la partícula crece, lo que hace que la distribución de esta radiación sea distinta de la de bremstrahlung. Si los frentes de onda están en fase, se debe satisfacer dos condiciones más: la longitud del camino recorrido por la partícula debe ser mayor comparada con la longitud de onda de la radiación de čerenkov la velocidad de las partículas debe permanecer cuasi-constante Las teorías clásicas y cuánticas dan la misma expresión para la pérdida de energía de la partícula al atravesar un elemento de longitud dl, como resultado de pequeñas transferencias de energías a átomos distantes.

∫

−⋅= ννβ

π dnc

ezddE ..114

222

22

l

donde ze es la carga de la partícula en movimiento que da lugar a la radiación de čerenkov de frecuencia ν, donde se integra para todo el rango de frecuencias para los cuales βn>1. Esta pérdida de energía cinética (igual a la magnitud de la energía total radiada por unidad de camino recorrido) es pequeña (aproximadamente 103 eV/cm para una partícula rápida moviéndose en agua o lucita), pero puede ser detectada por ser comparativamente muchos cuántos de baja energía, los emitidos. El número medio de tales cuántos se lo puede encontrar llevando a cabo la integración anterior sobre el intervalo de frecuencias ν1 y ν2 alrededor de un valor medio de frecuencias ½(ν1 + ν2) de manera que:

( )12222

222

.1141 ννβ

πν

−

−=

=

nhcez

dldE

hN cuantos/ cm

donde el índice de refracción n está promediado sobre el intervalo de frecuencias bajo consideración. En función del ángulo de čerenkov

θνπ 22

.1372 sen

czN ∆= cuantos/ cm

El número de cuantos por unidad de intervalo de longitud de onda es proporcional entonces al inverso del cuadrado de la longitud de onda, lo que explica por qué las longitudes de onda corta (en el azul) predominan en el espectro de emisión de čerenkov. La relación anterior muestra que también la intensidad emitida es independiente de la masa de la partícula y solo depende de su carga y velocidad. Este efecto es muy utilizado como principio fundamental de una clase de detectores de partículas. Una ventaja de éstos es que el tiempo muerto es pequeño, del orden de 10-10 segundos. Sputtering Se llama sputtering al proceso por el cual la partícula incidente (cargada o no cargada) causa la remoción de material (a escala atómica), es decir, la erosión de las primeras capas superficiales del material bombardeado. La tasa de erosión se describe por un rendimiento de sputtering Y, y se define como el número medio de átomos o moléculas emitidas por partícula incidente, éste rendimiento depende de la estructura y propiedades del material que esta sometido a la irradiación y de parámetros experimentales del haz incidente.

67

Figura. Se muestra el rendimiento de sputtering de una superficie de silicio bombardeada a diferentes energías con átomos de Argón.

El rendimiento de sputtering es proporcional al número de átomos desplazados o retrocesos. En el así llamado régimen lineal el número de retrocesos es proporcional a la energía depositada, de manera que:

)(EFDΛ=Υ donde Λ contiene información de las propiedades del material, y FD es la densidad de la energía depositada en la superficie

)()( ENSEF nD α= en esta ecuación α es un factor de corrección que toma en cuenta los efectos del ángulo de incidencia del haz en la superficie. Sn es el poder de frenado nuclear (expresada en eV/Å) N es la densidad atómica en Å-3. El proceso de sputtering es muy importante para aplicaciones técnicas en ciencias e industria. Se lo usa para limpiar superficies (sputter cleaning) y para la producción de películas delgadas (sputter deposition). Además, los iones eyectados mediante esta sputtering han permitido el desarrollo de técnicas analíticas de espectrometría de masas tales como: SIMS (Secondary Ion Mass Spectrometry) y FAB (Fast Atom Bombarment) Para mayores velocidades (υ>υB) la energía depositada principalmente por colisiones ion-electrón, para elementos buenos conductores como los metales no se observa erosión alguna. Para materiales no conductores si se ha visto un rendimiento de sputtering alto, muchas veces con la eyección de moléculas intactas bastante grandes. Adicionalmente, se utilizan haces de partículas para modificar no solo para cambiar las propiedades superficiales de materiales sino las del bloque en general. En tecnología de semiconductores, las propiedades eléctricas del material se modifican mediante lo que se conoce como implantación de iones. Channeling Este efecto ocurre cuando el haz de partículas incide sobre cristales (estructuras atómicas con simetrías espaciales) en ángulos menores a un crítico respecto del eje de simetría del cristal. Al pasar a través de los planos cristalinos, las partículas sufren una serie de dispersiones correlacionadas de ángulo pequeño que la guían a través de un canal siguiendo una trayectoria lentamente oscilante. Cuando las partículas sufren channeling, la taza de pérdida de energía se reduce mucho (la aproximación del poder de frenado deja de ser válida). Una expresión para el ángulo crítico es:

γβθ

16700 AdzZa

c ≈

donde d es el espacio interatómico, A el número másico, γ el factor de Lorentz, y a0 el radio de Bohr.10 10 Los capítulos desarrollados hasta este momento forman parte también de un curso introductorio de Dosimetría de la Radiación Ionizante del mismo autor.

68

Problemas 1. Una partícula de masa m1 y velocidad v colisiona elásticamente con una partícula estacionaria de masa m2. Derive una expresión para la velocidad de las dos partículas después de la colisión como función del ángulo de dispersión. Calcule el ángulo más grande a la que la partícula incidente puede dispersarse. Considere el caso específico de que la partícula en reposo sea un electrón y calcule la velocidad máxima que puede obtener en una colisión. Asuma velocidades no relativistas. 2. En base al primero, calcule la energía máxima que se puede transferir en una colisión entre: a) Una partícula alfa de 3 MeV y un electrón en reposo b) un núcleo de I127 de 100 MeV y un electrón en reposo c) un núcleo de I127 de 100 MeV y otro de I127 en reposo d) un electrón de 1 MeV y un núcleo de I127 en reposo. 3. Calcule la energía perdida por el ión O16 de 8 MeV pasando a través de 5000 Ǻ de Si y SiO2 respectivamente. 4. Calcule el rango en agua para: a) partícula alfa de 3 MeV b) iones de I127 de 100 MeV. Considere que los iones están en estado de equilibrio de carga cuando entran al agua (Zeff = Z(1-exp(-125βZ-2/3)) 5. Deduzca expresiones analíticas del poder de frenado como función de la energía, para partículas alfa y deuterones en un material donde estas cantidades han sido determinadas para el caso de protones. 6. En un experimento usando un contador de Čerenkov, se mide la energía cinética de una clase de partículas dadas y está es de 420 MeV; se observa que el ángulo de Cherenkov del vidrio (n=1.88) es θ = arccos(0.55). ¿Qué partículas son las detectadas? Calcular su masa en unidades de masa en reposo del electrón.

MODELOS NUCLEARES El comportamiento de los núcleos y sus propiedades nos lleva a considerar diferentes modelos nucleares que describen de buena manera el comportamiento de los mismos en diferentes situaciones experimentales. Una primera visión clásica del núcleo atómico, basada en la evidencia experimental de la constancia de la densidad de materia nuclear, así como de la constancia de la energía de enlace por nucleón, lleva a homologar al núcleo atómico como una gota de un líquido incompresible con energía de condensación constante. Modelo de la gota líquida y fórmula semi-empírica de masas Como se ha discutido anteriormente la masa del núcleo atómico la podemos representar como la suma de las masas de sus componentes menos la energía de enlace entre ellos.

Mat(Z,A) = ZmH + (A-Z)mn – BE(Z,A)/c2 Si se pudiese evaluar BE de una fórmula general, todas las masas nucleares serían encontradas teóricamente. En el modelo nuclear de la gota líquida, la energía de enlace BE hace el papel de la energía de condensación, considerando las propiedades básicas de la interacción fuerte se puede proponer una fórmula semi-empírica para BE, hechas de varias contribuciones cuyas magnitudes relativas se determinan empíricamente por ajuste de parámetros. Energía de volumen. La mayor contribución a BE proviene de la interacción mutua de los nucleones bajo la influencia de la interacción fuerte. Algunas características importantes de las fuerzas internucleónicas pueden deducirse de la evidencia ya presentada. Por ejemplo, la constancia de esas fuerzas se indica por la constancia de la energía de enlace por nucleón casi sobre todo el rango de A (la variación para Z bajos y altos se debe a que este efecto es superado por otros). Además la constancia de la densidad nuclear indica que las fuerzas nucleares son de rango corto, así que las interacciones entre nucleones son esencialmente confinadas a vecinos más próximos. Si

69

el enlace fuese influenciado por vecinos no próximos, la fuerza se incrementaría al crecer el número de nucleones y sería proporcional a A2 en lugar de a A, y la densidad también se incrementaría con A en vez de permanecer constante. Entonces: BE/A = constante BE1 = aVA donde aV es la constante a determinarse empíricamente. Energía superficial. La estricta proporcionalidad entre BE y A asume implícitamente la constancia entre las fuerzas de interacción de cada nucleón y su inmediata vecindad. Sin embargo los nucleones que se encuentran ubicados en la región superficial están más débilmente ligados que los vecinos interiores debido a que tienen menos vecinos inmediatos. El número de tales nucleones es proporcional al área de superficie del núcleo, y puesto que R ≈ A1/3, entonces:

BE2 = -aS A2/3

El signo negativo se debe a que este efecto es opuesto al de ligadura. Siguiendo con la analogía de la gota líquida, vemos que ésta es menor (mayor estabilidad) cuando la gota es esférica, puesto que en este caso el área superficial es mínima. Esperamos que los núcleos esféricamente simétricos son más estables, este argumento no se aplica para A<30 y a algunos núcleos pesados pero estables. Energía de Coulomb. La repulsión electrostática entre cargas de un mismo signo disminuirá la energía de enlace entre nucleones, ésta será proporcional a Z2 y dependerá de la distribución de carga. Suponiendo una distribución de carga esférica y uniforme se tiene un potencial de interacción electrostático

ReZV

22

53

=

Para una distribución superficial de carga, solamente el coeficiente es el que cambia a un valor ½. Puesto que esta repulsión se opone al enlace entre nucleones, tendrá signo menos, entonces:

3/1

2

3 AZaBE C−=

Este término contiene una fracción de auto-energía para cada protón, sustrayendo este término para cada protón, en lugar de Z2 tendremos Z(Z-1) Energía de asimetría. ¿Por qué la naturaleza no presenta materia neutrónica en condiciones normales? Podemos decir que la naturaleza busca la estabilidad de la materia y ella esta contenida en la condición de que el número de protones y neutrones en el núcleo atómico deben ser iguales (la desviación de esta condición es por la presencia de otros efectos, así para núcleos pesados hay más neutrones debido a la gran repulsión coulómbica entre protones). Mientras los efectos anteriores son de tipo clásico, el origen del decremento en BE debido a la asimetría N, Z yace en un efecto puramente cuántico (vea el modelo de gas de Fermi). Para tener una idea de la forma de este término, se nota que para un líquido de composición dada, la energía es proporcional a la cantidad de líquido, esperaríamos por analogía que el término sea proporcional a A. Se quiere también que sea dependiente sobre N y Z, de tal forma que sea mínima para N=Z, y que además sea simétrica en N y Z. Eso lleva a proponer un término con un numerador de la forma (N-Z)2, el cual se anula en N=Z lo mismo que su primera derivada respecto a Z lo que indica un valor máximo de energía de enlace en ausencia de interacción de coulomb. Este término se lo normaliza por un factor (N+Z)2, entonces:

70

( )( )

( ) ( )A

ZAaA

ZNaZNZNAaBE aaa

22

2

2

42−

−=−

−=+−

−=

El signo menos se debe a que esta contribución implica un debilitamiento al enlace por la asimetría entre el número de protones y neutrones. Energía de paridad. Al hacer un estudio sobre los elementos estables naturales, se encuentra que los núcleos con Z par y N par (p-p) son muy estables; los núcleos Z par N impar (p-i) y Z impar N par (i-p) son algo menos estables; mientras que aquellos con Z impar y N impar (i-i) son principalmente inestables, excepto por algunos que salen fuera del modelo. Para tomar en cuenta este efecto de paridad se introduce un término adicional dado por:

BE5 = δ para núcleos (p-p) BE5 = 0 para núcleos (i-p) y (p-i)

BE5 = -δ para núcleos (i-i) donde δ puede ser empíricamente establecida o, mediante un análisis más detallado.

δ= aPA-1/2

Diferentes aproximaciones y procedimientos se han seguido para determinar el valor de las constantes empíricas. Así por ejemplo un conjunto de estos valores es tabulado a continuación: aV = 15.835 MeV aS = 18.33 MeV aC = 0.714 MeV aa = 23.2 MeV aP = 11.2 MeV

Figura. Se muestra el papel de cada uno de los términos de corrección en la formula semi-empírica de masa La fórmula semi-empírica de masa no solo evalúa las masas atómicas de los núcleos y las energías de enlace nuclear sino que predice teóricamente un número de características del núcleo y su comportamiento, que se discuten a continuación. Constante del radio desde el coeficiente de Coulomb. Si se considera conocida la distribución de carga del núcleo atómico, se conocerá entonces un valor para r0 puesto que éste esta contenido en aC. Estableciendo entonces un valor de aC junto con sus límites de error con base en un análisis de mínimos cuadrados, se puede determinar el valor de r0 y su probable error. Un valor de aC = 0.71051 MeV genera un valor r0 = 1.216 fm. Más recientemente un valor aC = 0.6904 MeV lleva a un valor r0 = 1.251 fm que coincide con aquellos hallados por otros métodos.

71

Constante de radio desde la energía de enlace para núcleos espejo. Como se ha mencionado, los núcleos espejo son aquellos que tienen igual número másico pero intercambiado el número de protones y neutrones. Las respectivas masas atómicas para estos núcleos las podemos escribir como: Mat(Z,A) y Mat(A-Z,A) y la diferencia de estas masas lleva a:

∆M = Mat(Z,A) – Mat(A-Z,A) = (A-2Z)[(mn – mH) – aCA2/3] donde (A-2Z) no es más que el exceso de neutrones del núcleo (Z,A). La diferencia de energías de enlace entre los núcleos espejo es simplemente

∆(BE) = BE(Z,A) – BE(A-Z,A) = (A-2Z).(mn – mH) – ∆M = aCA2/3(A – 2Z) de allí, el valor ∆(BE) para núcleos espejo da un valor para aC y por ende un valor para r0. Fisión del Uranio. Cuando el núcleo de U235 captura un neutrón térmico se forma un isótopo inestable U236 el cual decae por fisión en dos elementos más livianos X y Y más un cierto número de neutrones. Este proceso libera una cantidad de energía de alrededor de 1 MeV/nucleón o 200 MeV por núcleo de Uranio.

U235 + n → U236 → X + Y + xn Si consideramos las masas de los fragmentos de fisión iguales para este análisis, podemos estimar el valor Q de la reacción como:

Q = Mat(Z,A) – 2Mat(Z/2,A/2) = aSA2/3(1-21/3) + aCZ2A-1/3(1-2-2/3)

Q = - 0.2599 aS A2/3 + 0.3700 aC z2A-1/3 que para el Uranio 235 da un valor aproximado de 173 MeV. Aún cuando este valor es meramente estimativo, la diferencia es grande para que sea ignorada. La explicación esta en el hecho que los 200 MeV se logra cuando los núcleos de fisión son estables, en general los productos de fisión son inestables y se desintegran por una serie de decaimientos los cuales llevan el resto de la energía. Es importante notar que los dos términos que contribuyen con Q son originados por la energía de Coulomb la cual es puesta libre y la energía superficial la cual tiene que ser suplida. El balance de energía en la fisión es una lucha entre las fuerzas electrostáticas y la tensión superficial en el modelo de la gota. Examinando la curva (BE)/A vs. A se puede ver que el proceso de fisión es exotérmico también para núcleos más livianos que el torio y el uranio, de hecho es exotérmico para núcleos hasta A = 150. Sin embargo no se presenta el decaimiento por fisión para estos elementos debido a la barrera de potencial que inhibe este el proceso de fragmentación. Comportamiento de isóbaros en el decaimiento beta. La estabilidad de los emisores beta puede predecirse por la fórmula semi empírica de masa. Un estudio profundo de los emisores beta muestra que el conjunto de isóbaros A par a menudo incluye dos o tres miembros estables; mientras que conjunto de isóbaros de A impar muestra tan solo un núcleo estable. La fórmula de masas tiene una dependencia de tipo Z2 con el número atómico, es decir representa una parábola. Así

Mat(Z,A) = k1A + k2Z + k3Z2 ± δ (Note que el Z estable se encuentra derivando esta función respecto a Z e igualando a cero).

72

3

2

2kk

Zestable−

=

Figura. Comportamiento de una familia de isóbaros (A impar) en el decaimiento beta

Para el caso de A par, al decaer mediante la emisión beta, los núcleos cambian de (p,p) a (i,i) cambiando de parábola a parábola, terminando en el valle de la parábola p-p con dos o más núcleos estables.

Figura. Comportamiento de una familia de isóbaros (A par) en el decaimiento beta

Problemas 1. Dedúzcase una expresión para el número atómico del isótopo más estable de una serie de isóbaros, y explíquese el posible proceso de desintegración de los isóbaros de A par. Por ejemplo, A =64. 2. Muestre que en el caso de isóbaros de A impar:

M(Z,A) – M(Z0,A) = γ(Z – Z0)2 donde: γ depende de A, y Z0 es la carga del isótopo más estable. Obténgase los valores de γ y Z0 para A=51 a partir de las siguientes reacciones: V51(p,n)Cr51 Q = -1.53 MeV H3(p,n)He3 Q = -0.76 MeV Ti51 decae por beta negativo a V51 + 2,44 MeV H3 decae por beta negativo a He3 + 0.02 MeV Rta.1.595MeV, 23.

3. Usando el modelo de la gota líquida, hallar el isóbaro más estable para un determinado A impar. Aplicar a A=25.

73

4. ¿Qué fracción de la parte repulsiva o negativa de la energía de amarre es atribuída a la repulsión de Coulomb para el He4, Ca40, Pb206? 5. Calcular el valor de la energía de transición β+ entre los núcleos espejos N13 y C13. De ese resultado, evalúe el parámetro r0 del radio nuclear. 6. Haciendo uso de la forma semi-empírica de masa calcular la energía de las partículas α emitidas por el U-235. Compárese el resultado de esta predicción con el valor experimental. 7. Hacer uso de la fórmula semi-empírica de masa para averiguar si los nuclidos: a) Xe138, b) Xe142, c) Hf181 son emisores beta positivo o negativo. 8. Las masas del Na23 y Mg23 son 22,989771 y 22,994125 uma respectivamente a partir de estos datos calcular el valor de la constante ac. 9. Empleando la fórmula semi-empirica de masa, calcular las masas atómicas del C12, Al27, Sr88, Re185 y U235, comparar con los valores medidos y juzgar la precisión de la fórmula. 10. Comprobar que la energía de repulsión de Coulomb en el Pu238 es el 70% de la energía total de enlace medida. ¿qué fracción de esta ultima corresponde a la energía de superficie? 11. El Si27 y el Al27 son núcleos espejo; el primero es un emisor de positrones con EKmax = 3.48 MeV ¿qué radio puede calcularse a partir de la relación de núcleos espejo? ¿qué valor de r0 resulta? 12. Usando la fórmula semi-empírica de masa, dibújese una parábola para A = 153. Su único elemento estable es Eu153. ¿Predice este resultado la fórmula semi-empírica de masas? 13. A partir de la fórmula semi-empírica de masa, dedúzcase una expresión para B/A (energía de enlace por nucleón) ¿Cuál es el valor previsto para núcleos de masa media? 14. Compárese las energías del efecto superficial para el He4 y el U238. 15. Usar la fórmula semi-empírica de masa para calcular la distribución porcentual a la energía de enlace promedio por nucleón de la energía volumétrica, superficial, de coulomb y asimétrica, para A = 60 y A = 240 16. De la masa medida para el Sn116 115.901745 uma. Calcular B y B/A en MeV. Calcular las energías de separación para un protón y para un neutrón. Calcular también los diferentes términos de la fórmula semi-empírica de masa para el Sn116 a partir de ellos determinar B, B/A, Sn y la masa. 17. A partir de la fórmula semi-empírica de masa, dedúzcase una expresión para la energía de desintegración Q liberada en el decaimiento alfa de un núcleo (A, Z). Fijando un valor Z (dígase 84) mostrar como varía Q al ir aumentando el número de neutrones en ese núcleo inicial. Aplicar al decaimiento del núcleo Po212. Usar el valor empírico de 28.3 MeV para la energía de enlace de la partícula alfa. Modelo Gas de Fermi (de nucleones) Este es uno de los más primitivos modelos nucleares de partícula independiente donde al núcleo atómico se lo trata como un gas de nucleones degenerado de Fermi. Este modelo asume que los nucleones pueden moverse libremente y cumplen el principio de exclusión de Pauli, en el volumen nuclear. Esta situación se puede representar por dos pozos de potencial, uno para neutrones y otro para protones. Los pozos tienen diferentes formas a causa de la repulsión coulombica de los protones. Si se considera el gas como completamente degenerado, de manera que los nucleones ocupan los niveles de más baja energía. El número de estados de neutrones llenos será:

3

2h

VVN p⋅⋅=

Para el caso de estados de protones Z llenos, se tiene una expresión similar.

3

2h

VVZ p⋅⋅=

74

Figura. Gas de Fermi de neutrones y protones en sus correspondientes pozos de potencial

El máximo momento de los neutrones será:

3/1

0 49

=

AN

RPN

πh

De igual manera para los protones: 3/1

0 49

=

AZ

RPZ

πh

El valor de la energía de Fermi se lo puede encontrar considerando N = Z y puesto que estamos en aproximación no relativista,

MeVm

PE FF ⋅≈= 40

2

2

La energía media por nucleón

MevEE F 2553

≈=

La energía media total esta dada,

( )22

103),( ZNZN ZPNPm

EZENNZE +=+=

( )

3/2

3/53/53/2

0

2

49

103),(

AZN

mRNZE +

=πh

donde se ha considerado iguales valores de masa para los protones y neutrones e iguales anchos de pozo para ambos casos. Para un valor dado A, ),( NZE tiene un mínimo para el caso Z = N

Para estudiar el comportamiento de ),( NZE alrededor de este mínimo definimos: Z – N = ε y puesto que Z + N = A, entonces,

+=

AAZ ε1

21

−=

AAN ε1

21

75

y considerando que ε/A <<1 ( )

+

−+

= ...

95

89

103),(

23/2

0

2

ANZA

mRNZE πh

el primer término es proporcional a A, y contribuye a la energía de volumen, el segundo es de la misma forma que aquel término de corrección por asimetría entre Z y N. El coeficiente de este término es apenas la mitad de aquel correspondiente a aa, esto se debe a que en esta deducción se ha considerado que la profundidad del pozo no depende del exceso de neutrones (Z – N). Esta consideración no es muy buena porque el promedio de interacciones entre nucleones similares es menor que aquel entre neutrones y protones principalmente por el principio de exclusión. El cambio en la profundidad del pozo por este hecho se estima como:

ANZMeVV )()1030()(0

−±=∆

lo que justifica la subestimación en el factor de asimetría. Problemas 1. Desde el punto de vista del gas de Fermi y suponiendo que la profundidad del correspondiente pozo de potencial es de 60 MeV, calcular la energía cinética que debería poseer una partícula alfa para que al bombardear un núcleo de Ni60 se produjera la reacción (α, 2n) de forma tal que, en el estado final, la partícula alfa quedara ligada periféricamente al correspondiente núcleo residual. 2. Demostrar que en el gas de Fermi de neutrones, el número de estados degenerados con energía menor ħ2k2/2m es (2π/9) (kR)3 donde R es la dimensión lineal del volumen en el que están contenidas dichas partículas. 3. Calcular la profundidad del potencial en el modelo de capas para los neutrones y para los protones en el Pb208 y en el Ca40. 4. Desde el punto de vista del modelo del gas de Fermi, y suponiendo que la profundidad del correspondiente pozo de potencial es de 60 MeV, calcular la energía cinética que debería poseer una partícula alfa para que al bombardear un núcleo de Ni60 se produzca la reacción (α,2n) de forma tal que, en el estado final la partícula alfa quede ligada periféricamente al núcleo residual. Considere que los neutrones salientes son a) cualquiera b) los del nivel de Fermi. (El radio de la partícula alfa 2.1 fm) El núcleo atómico como sistema cuántico De acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg la incertidumbre en velocidad de un nucleón debe ser del orden de los 107 m/s que es muy grande para ser compatible con una descripción clásica. También para nucleones de aproximadamente una energía de 10 MeV, la longitud de onda asociada de de Broglie es de aproximadamente 9 fm, lo que muestra que su naturaleza ondulatoria es relevante. Adicionalmente, se han observado efectos cuánticos a nivel nuclear tales como el efecto túnel en el decaimiento alfa y la fisión nuclear. Una de las características mas notorias es que los núcleos tienen momento angular intrínseco (spin nuclear), el cual es el resultado del acoplamiento de los spines intrínsecos y angulares de cada uno de los nucleones que lo forman. Estados excitados tiene spines nucleares diferentes al del estado base. El hecho de que en el estado base, los spines de los núcleos con A par (excepto los seis estables tipo (i,i)) son cero, sugiere que hay una tendencia al arreglo de spines intrínsecos y angulares a cancelarse unos con otros. Esto se corrobora con el hecho de que otros núcleos

76

alcanzan estados de spin bajos; mientras si no hubiese tal cancelación los valores de spin de los núcleos serían altos. El hecho de que los neutrones y protones son idénticos desde el punto de vista de la interacción fuerte, define una nueva simetría. El protón y el neutrón son asociados a un duplete de isospin ½, es decir, una sola partícula (nucleón) con dos posibles estados, (el protón: estado “componente z del isospin + ½ y el neutrón: estado – ½). Niveles nucleares de energía. Así como los electrones en los átomos ocupan solo ciertos estados energéticos, los nucleones poseen solo ciertos valores de energía que son los correspondientes a los valores propios del operador Hamiltoniano.

sss EH ϕϕ = El estado base es aquel de menor energía. La especificación de un nivel nuclear requiere conocer: Energía de excitación (respecto de un estado base), el spin nuclear, la paridad, el tiempo de vida media del estado y el isospin. Momento angular nuclear. El momento angular total de un estado nuclear dado, es la resultante de los momentos angulares individuales de los nucleones constituyentes. Éste esta descrito por su número cuántico j y su magnitud al cuadrado es j(j+1)h2. Los valores de j varían sobre un conjunto de valores enteros para núcleos con A par y semi-enteros para los núcleos con A impar. El momento angular total es:

∑= iJJrr

con iii SLJrrr

+= o alternativamente,

SLJrrr

+= donde

∑= iLLrr

y ∑= iSSrr

Aunque el resultado final debe ser el mismo en cualquier caso. El escogimiento de cualquiera de los dos esquemas de acoplamiento puede afectar el grado de complejidad de los cálculos. El acoplamiento spin-orbita (j-j) se lo escoge en problemas de interacción nuclear, teniendo un carácter no colectivo, es decir, el momento orbital y el spin de cada nucleón están fuertemente acoplados; mientras que los respectivos Ji se pueden considerar como cantidades esencialmente separadas, cuya suma vectorial construye J. Por otro lado, cuando hay una interacción colectiva de los momentos angulares orbitales y de spin (dentro del esquema de acoplamiento Russell-Saunders, esquema de acoplamiento (L-S)), uno puede tratar la interacción como suficientemente débil y el acoplamiento de los momentos orbitales separadamente del de los spines. Así, cada estado nuclear tiene un valor particular de L y S asociado con él y puede ser definido mediante la notación espectroscópica.

jS L12 +

Los dos esquemas de acoplamiento mencionados solamente representan dos casos extremos. Se pueden emplear esquemas de acoplamiento intermedios. La clasificación de los estados base de acuerdo con el spin nuclear se muestra en la siguiente tabla.

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Núcleos Estables + T1/2 grandes Spin (estado base) i-i 6+4 entero i-p 51+3 Semi entero p-i 55+3 Semi entero p-p 166+11 cero

Que todos los núcleos p-p tengan spin cero sugiere que los momentos angulares se compensan y anulan unos a otros. Podemos suponer que los protones y neutrones están apareados, por separado, con spines opuestos. Bajo este argumento los núcleos con A impar se pueden considerar núcleos p-p (de spin cero) más un protón o un neutrón extra, cuyo momento angular determinaría un spin nuclear semi-entero. De igual manera, los núcleos i-i se verían como núcleos p-p con la adición de un protón y un neutrón extras, cuyo momento combinado nos dará un spin nuclear entero. Así, para los núcleos i-i en sus estados base se tienen un momento angular j, el cual yace en el rango

pnpn jjjjj +≤≤−

donde jn y jp son los momentos angulares totales del neutrón y protón desapareados. Este modelo que acabamos de describir se lo conoce con el nombre de modelo de partícula simple o individual. Paridad (π) Cuando un sistema mecánico cuántico se describe por su función de onda, la cual define su estado en términos de su posición y spin (éste ultimo no cambia de signo en una inversión espacial). Ciertas de sus propiedades tales como decaimiento o probabilidades de interacción se ven afectadas por el carácter de la función de onda respecto a una inversión espacial. Es por tanto, apropiado distinguir entre funciones anti-simétricas y simétricas que definen el número cuántico paridad: positivo para las simétricas y negativo para las anti-simétricas. Esta propiedad de transformación de la función de onda afecta la fase de transición o los elementos de matriz de interacción. Para sistemas no relativistas.

( )[ ]∑−

= ∏ i

i

ii

l1ππ

Las paridades intrínsecas se asignan por convención. Así el protón y el neutrón tienen paridad intrínseca positiva. Los piones, mesones Κ y η tienen paridades intrínsecas negativas. La paridad esta entonces asociada al movimiento angular y se la puede elucidar como sigue: La inversión espacial implica una transformación de r por –r, lo que en representación de coordenadas polares equivale a:

φπφθπθ

+→−→

→ rr

Ahora, la función de onda del sistema esta descrita por el vector posición y su spin y si la podemos escribir como:

)()(),( srsr rrrr χϕψ = La parte de la función de onda correspondiente al spin es fundamentalmente de paridad positiva, el carácter de la paridad por tanto, permanece en la parte espacial. Si suponemos un potencial de interacción que solo depende del módulo de r entonces,

),()()( ϕθϕ Yrfr =r

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donde la función radial es simétrica y la angular, que corresponde a los esféricos armónicos, y son funciones de l y m.

φθπ

φθ imm

mm eP

mm

Y ).(cos)!()!(

4)12()1(),(

2/1

lll

ll

+

−+−=

[ ] )(cos)1()cos( θθπ m

mm PP l

ll

−−=−

φφπ immim ee )1()( −=+ Así,

),()1(),( srsr rrrr l −−= ψψ y la paridad depende solo del número cuántico l. Extendiendo este argumento a un sistema de N partículas no interactuantes, la paridad del conjunto es:

∑− i

il

)1( Si las partículas son relativistas, la paridad del estado no se determina simplemente por el número cuántico l. La paridad nuclear. En primera aproximación, la función de onda de un estado nuclear la podemos escribir como el producto de las funciones de onda de las partículas individuales

∏= iψψ cada una de las cuales tiene una paridad definida. La paridad nuclear π esta determinada unívocamente por el producto de las paridades individuales. Con base al modelo de partícula simple (mencionado anteriormente) se podría esperar que el núcleo p-p en su estado base tenga una paridad positiva, lo que ha sido comprobado experimentalmente. La paridad de un núcleo con A impar en el estado base está dada por (-1)l donde l es el momento angular del nucleón no apareado. De igual manera los núcleos i-i en sus estados base deberían tener una paridad dada por:

pn ll +−= )1(π Hay pocas excepciones a esta regla. El carácter de la paridad de los estados base y excitados juegan un papel importante en restricciones sobre las transiciones energéticamente posibles. Isospin (T) Como se mencionó anteriormente, es posible también asociar un isospin con cada estado nuclear. El isospin se incorpora como si fuese la relativa insensibilidad en los niveles energéticos de núcleos isóbaros en el intercambio de un protón y un neutrón. Para un núcleo dado, el valor de la componente z de isospin, Tz , es la misma para todos los niveles energéticos y está dada por:

)(21 ZNTz −−=

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En un conjunto de isóbaros, algún miembro tendrá Tzmax, el cual es el más grande del conjunto y por tanto T=Tzmax. Formando (2T+1) estados de un múltiplete isobárico. Note que T será entero para A par y semientero para A impar. Adicionalmente, las masas atómicas de los 2T+1 miembros del multiplete son diferentes debido a la interacción Coulombica y están dadas por:

2),,( zzz cTbTaTTAM ++= donde a, b y c son funciones de A y T Ejemplo.

Elemento C-14 N-14 O-14

Tz -1 0 1

Ciertos niveles energéticos de este triplete tienen similares características como son la paridad, el spin y hasta la energía (cuando no se considera la componente coulombiana), tales niveles similares se consideran miembros del multiplete isospínico del grupo isobárico. Así, de acuerdo con la figura, los estados base del C14 y O14 junto con el primer nivel excitado del N14 tienen un Jπ = 0+ y forman el triplete isospínico (T=1); mientras el estado base del N14 es tan solo un singlete.

Figura. Triplete isospínico

Las funciones de onda para un sistema de nucleones en un multiplete isospínico e isóbaro son muy semejantes entre ellas, excepto por la sustitución de un neutrón por un protón. Se supone que sus energías (energías de sus estados) deben ser similares desde el punto de vista de la interacción fuerte, es decir, sin considerar la repulsión electromagnética. Ejercicio. Estudie el multiplete isospinico A=11. Consulte el esquema de niveles de los dos núcleos y discuta sus diferencias. Modelo de capas Evidencia experimental. La teoría cuántica ha sido la base para el desarrollo de la teoría atómica, clarificando mucho los detalles complicados de la estructura atómica. Los físicos nucleares han ensayado, por tanto, su uso para atacar el problema nuclear. En los átomos, llenamos las capas con electrones en el orden ascendente con la energía y satisfaciendo el principio de exclusión de Pauli. Cuando se hace esto, se van llenando capas y dejando algunas a medio llenar, el modelo asume que las propiedades

80

atómicas están determinadas por los últimos electrones (llamados electrones de valencia). En particular, vemos variaciones regulares y finas en las propiedades atómicas, pero de repente se dan cambios dramáticos en estas propiedades cuando se llena una capa y se va a la siguiente. La figura representa las energías de ionización de los elementos como función del número de electrones.

Figura. Energía de ionización de los elementos

Cuando queremos llevar este modelo al dominio nuclear nos encontramos con varias objeciones. Así por ejemplo, en el caso atómico, el potencial es suministrado por el campo coulombiano del núcleo. Los orbitales se establecen por un agente externo. Se resuelve la ecuación de Schrödinger para este potencial y calculamos la energía de cada orbital donde ubicamos los electrones. En el núcleo no hay tal agente externo, los nucleones se mueven en un potencial que ellos mismos crean. De igual manera que el modelo atómico, el modelo nuclear llevaría a pensar que existen periodicidades en algunas propiedades nucleares. Efectivamente, estas periodicidades han sido encontradas en abundancias relativas, energías de decaimiento alfa y energías de enlace nuclear. Se notó que núcleos con número de nucleones (protones o neutrones) con valores 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126,... están asociados con una estabilidad particular. Puesto que los primeros números correspondían exactamente con aquellos de electrones atómicos, se sugirió que debería haber una estructura de capas nuclear. A estos números se los conoce con el número de números mágicos.

Figura. Evidencia de la estructura de capas y los números mágicos

Se observa que la energía de separación para los núcleos con masa mayor a un nucleón de aquellos marcados con los números mágicos. Los núcleos con números mágicos, siendo más fuertemente ligados, requieren mayor energía para ser excitados. El efecto de los números mágicos se extiende también a estados excitados más altos, i.e., el espacio entre niveles excitados es mayor para núcleos con números mágicos.

81

Una evidencia adicional a favor del modelo de capas es la sección eficaz de captura de neutrones de energía de 1 MeV. La figura muestra dicha sección eficaz.

Figura. Sección eficaz de absorción de neutrones. Se evidencia la estructura de capas.

Al parecer, para núcleos con números mágicos, el neutrón (a ser capturado) tiene mayor dificultad de encontrar un nivel nuclear vacío a la energía correcta. A pesar de esta evidencia experimental y debido al éxito relativo del modelo de la gota líquida, se insistió en que la interacción fuerte entre nucleones debería ser tan fuerte que inhibe cualquier estructura de capas. Esta proposición puede sostenerse mediante el siguiente argumento. A partir del principio de incertidumbre de Heisenberg, sabemos que:

h≥Γτ. suponiendo que los nucleones interactúan fuertemente dentro del núcleo y que el tiempo medio entre colisiones es τ. Si trataríamos de determinar la energía que tiene un nucleón en la colisión, ésta tendría una

incertidumbre dada por: τh

El mayor tiempo entre colisiones que sería razonable para un núcleo de radio R, será del orden del tiempo que demora un nucleón en atravesar el núcleo. Si v es la velocidad del nucleón dentro del núcleo, entonces,

λτ

// hmR

mpR

vR

===

Considerando adicionalmente que la longitud de onda de los nucleones es del orden de las dimensiones del núcleo atómico, por tanto,

2

2

mRh

=Γ

Que es del mismo orden de magnitud de los espaciamientos energéticos entre los niveles energéticos de los nucleones. Esto se puede verificar considerando al núcleo como un pozo de potencial infinito para los nucleones. Los niveles energéticos de los nucleones serán del orden

2

2

mRE h=

82

Así, los niveles energéticos no estarían claramente definidos puesto que sus anchos se solaparían, perdiéndose la estructura de capas. La falla en este argumento fue encontrada por Weisskopf. Él mostró que el principio de exclusión de Pauli restringe severamente la posibilidad de colisiones entre nucleones, así que los tiempos entre colisiones son mucho más grandes que los estimados, reduciendo por tanto los anchos de los niveles energéticos y permitiendo una estructura de capas.

Figura. Esquema de transiciones o colisiones permitidas y prohibidas por el principio de exclusión

El movimiento de un nucleón simple es gobernado por un potencial causado por todos los otros nucleones. Si los tratamos de esta manera podemos permitir a los nucleones a su turno ocupar los niveles energéticos como en el caso electrónico. Modelo de Capas de partícula simple. De acuerdo con lo discutido anteriormente, la consideración básica de cualquier modelo de capas es que a pesar de la fuerte atracción entre nucleones que provee la energía de enlace, el movimiento de cada nucleón es prácticamente independiente de cualquier otro nucleón. Si todos los acoplamientos inter-nucleónicos son ignorados, lo llamamos modelo de capas de partícula simple o individual. En términos de la ecuación de Schrödinger, cada nucleón se mueve en el mismo potencial. El potencial en el caso más simple es esféricamente simétrico, aunque hay evidencia de que el potencial tiene forma elíptica para núcleos con número de nucleones lejos de los números mágicos. En cualquier potencial esférico, la función de onda que resuelve la ecuación de Schrödinger puede separarse en su parte radial y angular:

),()(),,( φθφθψ YrRr = La componente angular son las funciones esféricas armónicas, las cuales están etiquetadas por dos números cuánticos l y m. La ecuación para la parte radial de la función de onda esta dada como:

02

)1()(212

2

22

2 =

+−−+

R

mrrVEm

drdRr

drd

rhll

h

o si cambiamos a la variable u(r) = rR(r) Esta ecuación la podemos escribir como:

EuurVmrdr

udm

=

+

++− )(

2)1(

2 2

2

2

22 hllh

La condición de no divergencia para u(r) cuando r tiende a infinito, lleva a la condición de que u(r) sea un polinomio finito, el cual generalmente depende de los números cuánticos (n, l) lo mismo que los valores propios de energía.

83

Entre los potenciales que se utilizan en la interacción nuclear y que describe el confinamiento de los nucleones están: 1. Potencial tipo oscilador armónico:

V(r) = ½ mw2r2 2. Potencial pozo infinito 3. Potencial pozo finito cuadrado 4. Potencial pozo redondeado (Wood-Saxon)

δ/)(0 11)( are

VrV −+−=

5. Potencial exponencial

areVrV /0)( −−=

6. Potencial de Yukawa

areVrV

ar

/)(

/

0

−

−=

7. Potencial con centro repulsivo impenetrable.

<<→−<→∞

=RrbV

brrV

0

)(

El uso de cualquiera de estos potenciales da una descripción similar del comportamiento cualitativo de los niveles energéticos nucleares. Estos potenciales se ilustran a continuación:

Si se desarrolla el problema con el potencial armónico, la estructura de los niveles energéticos que se obtiene es muy sencilla, así, se encuentra que los niveles energéticos están igualmente espaciados con valores dados por:

023 ωh

+= nEn

84

siendo n el número cuántico principal. Los valores permitidos de l para varios valores de n se tabulan a continuación n=0 l=0 n=1 l=1 n=2 l=0,2 n=3 l=1,3 y así sucesivamente. Para tener una visión mejor de este asunto, desarrollemos el caso especial de pozo de potencial infinito. En este caso, la ecuación radial a resolver es:

02

)1(212

2

22

2 =

+−+

R

mrEm

drdRr

drd

rhll

h

cuyas soluciones son las funciones esféricas de Bessel.

−=≡

krkrsen

drd

rkrkrJrR )(1)()(

ll

ll

donde h

mEk 2=

cada función esta etiquetada por el número cuántico l, y tiene un conjunto de ceros para dicho número. La condición de contorno para la función de onda define los números de onda permitidos, los cuales están dados por kR0 = ηl De tal manera que los niveles energéticos estarán dados por:

20

2,

2

, 2mRE j

il

l

h η=

Usando la notación espectroscópica vamos ordenando los niveles energéticos en orden ascendente de acuerdo con su aparecimiento. Así, se tiene:

1s, 1p, 1d, 2s, 1f, 2p, 1g, 2d, 1h, 3s, 2f, 1i, 3p, .... Note que por ejemplo, 2s indica el segundo cero de la función J0, 1f indica el primer cero de J3.

Figura. Funciones esféricas de Bessel

Cada nivel puede acomodar 2(2l+1) nucleones.

85

Si mejoramos la aproximación utilizando un potencial finito de profundidad V0. Los valores R0 y V0 se pueden encontrar ajustando de valores de energías de enlace y radios nucleares estimados. Para el caso de potencial finito, la función de onda radial en el rango r > R0 no se anula sino que toma la forma

)()()( 0 kriNkrJkrH += ll donde las funciones Hl(kr) y N0(kr) son las funciones de Hankel y Newman esféricas. La resolución con pozo finito y redondeado presenta número mágicos diferentes a los observados. Si continuamos cambiando el potencial para tratar de obtener los números mágicos deseados, nos llevaría a la pérdida del contenido físico del modelo. Por lo tanto, lo que se hace es añadir términos adicionales para mejorar la situación. En 1949 Mayer y sus colaboradores incluyeron un término de spin-orbita que produjo la separación deseada. Debe estar muy claro que ésta interacción spin-orbita no es de tipo electromagnético sino nuclear. El potencial que describe esta interacción esta dado por:

SLrVV s

rr⋅−= )(0

La forma de Vso no es importante. El factor SL

rr⋅ causa el reordenamiento de niveles. La presencia

de esta interacción hace que etiquetemos los niveles con los números cuánticos j y l (de momento angular total y momento angular orbital). Para una partícula de spin ½, j puede tomar dos valores j = l + ½ y j = l – ½ Si l = 0 j = ½ Se calcula el valor SL

rr⋅ de

SLSLJrr

⋅++= 2222

[ ])1()1()1(2

2

+−+−+=⋅ ssjjSL llhrr

Por ejemplo, para el caso del nivel 1f que tiene una degeneración de 14, los posibles valores de j son 5/2 y 7/2 teniendo entonces que este nivel se separa en un doblete 1f5/2 y 1f7/2 cada uno con una degeneración de (2j + 1). La interacción spin-orbita desdobla el nivel con 14 estados en un doblete de 6 y 8 estados respectivamente. La degeneración del f se conserva pero se reagrupan de diferente forma. La energía de separación entre los dobletes es mayor mientras mayor es el valor del número cuántico l. Esto se puede demostrar evaluando

( ) 2)2/1()2/1( 12

21

hlrrrrll +=⋅−⋅ −+ SLSL

Si escogemos Vso negativo el miembro del doblete con j mayor tiene menor energía.

86

Figura. Esquema de niveles de energía para diferentes potenciales Como ejemplo demostrativo del modelo de partícula simple, consideremos el llenado de los niveles para O15 y O17

Figura: Esquema de niveles y llenado de protones y neutrones según el modelo de capa. En los dos casos, los ocho protones llenan completamente el nivel y no contribuyen en propiedades nucleares. El modelo de partícula simple (modelo externo de capas) asegura que solo el nucleón no apareado determina las propiedades del núcleo. En el caso del O15 este neutrón está en el nivel P1/2 por tanto, se puede predecir que el estado base tiene spin ½ y paridad (-1)l; mientras que el estado base del O17 tendría spin 5/2 y paridad positiva. Estas predicciones están en exacto acuerdo con los

87

spines y paridades observadas experimentalmente. De hecho, acuerdos similares se encuentran a través de los intervalos de núcleos A impares (A < 150 y 190 <A< 220) Podríamos dar reglas de llenado para obtener el mejor acuerdo con el experimento. Así, a) núcleos con protones impares. 1S1/2 1P3/2 1P1/2 1d5/2 2S1/2 1d3/2 1f7/2 2P3/2 1f5/2 2P1/2 1g9/2 1g7/2 2d5/2 1h11/2 2d3/2 3S1/2 1h9/2 2f7/2 3P3/2 b) núcleos con neutrones impares 1S1/2 1P3/2 1P1/2 1d5/2 2S1/2 1d3/2 1f7/2 2P3/2 1f5/2 2P1/2 1g9/2 2d5/2 1g7/2 3S1/2 2d3/2 1h11/2 2f7/2 1h9/2 3P3/2 2f5/2 3P1/2 1i13/2 2g9/2 3d5/2 1i11/2 2g7/2 En la referencia “Introductory Nuclear Physics” of Krane, se da la siguiente distribución: 1S1/2 1P3/2 1P1/2 1d5/2 2S1/2 1d3/2 1f7/2 2P3/2 1f5/2 2P1/2 1g9/2 1g7/2 2d5/2 2d3/2 3S1/2 1h11/2 1h9/2 2f7/2 2f5/2 3P3/2 3P1/2 1i13/2 2g9/2 3d5/2 1i11/2 2g7/2 4S1/2 Momento dipolar magnético Las partículas elementales y los nucleones (formadores del núcleo atómico) tienen generalmente un momento angular intrínseco y además un orbital que depende de su movimiento relativo respecto al centro de masa del sistema. Estos momentos angulares tienen asociados momentos magnéticos. Los momentos dipolares magnéticos nucleares son del orden de magnitud del magnetón nuclear (el cual es definido en forma similar al magnetón de Bohr pero con la masa del protón en lugar de la masa del electrón), es decir:

PN m

e2h

=µ

La relación entre los módulos del momento dipolar magnético y el momento angular define lo que se conoce como razón giromagnética. Los momentos dipolares magnéticos angulares y de spin están dados por las siguientes expresiones:

Lg NLL

r

h

r µµ = y Sg N

SS

r

h

r µµ =

donde los factores g son los correspondientes factores de Landé orbital y de spin. Por convención, todos los momentos magnéticos son citados como valores máximos en la dirección de cuantización (ml = l) y (ms = s) y son paralelos a sus correspondientes momentos angulares para cargas positivas y anti-paralelos para cargas negativas. Los momentos magnéticos orbitales de los nucleones están definidos mediante los siguientes valores de factores g de Landé: gl = 1 (para el protón) y gl = 0 (para el neutrón por ser partícula sin carga eléctrica) Sin embargo las magnitudes de los momentos magnéticos de spin son anómalas. Éstos son: µs = 2.79276.µN para el protón, en lugar de µs = µN que se esperaría de acuerdo con Dirac. µs = -1.91315.µN para el neutrón, en lugar de cero de acuerdo con Dirac. De esta manera se asignan los factores g de Landé para el protón y el neutrón: gs = 2(2.79276) = 5.585691 (para el protón) gs = 2( -1.9131) = -3.826084 (para el neutrón)

88

Aún cuando los momentos dipolares magnéticos orbital y de spin son paralelos a sus correspondientes momentos angulares, el vector momento dipolar magnético total no es paralelo al momento angular total, sino que precesiona a lo largo de la dirección J, solamente la componente en esta dirección permanece constante, es precisamente esta componente la que se mide y viene dada como:

Jg NJJ

r

h

r µµ =

Figura. Suma de momentos angulares y momentos dipolares magnéticos.

JJ

JJJj r

rr

r

rrrr ⋅=

⋅=⋅=

µµµµµµµ ),cos(

JJ

Jj

rrr

r2

⋅=µµ

puesto que

sµµµ rrrl +=

JJ

Jsj

rrrr

r l

2

)( ⋅+=

µµµ

( ) JJ

JSgLg N

sj

r

h

rrrr

l 2

⋅+=

µµ

( ) JJ

JSgSJg N

sj

r

h

rrrrr

l 2)(⋅

+−=µ

µ

JJ

JSgJ

JSg Nsj

r

h

rrrrr

l

µµ

⋅+

⋅−= 221

de donde,

221J

JSgJ

JSgg sj

rrrr

l

⋅+

⋅−=

89

El valor ( ) ( ) ( ) SSJLJSLLJSLLJJLJJLJJS

rrrrrrrrrrrrrrr⋅−−−=⋅−−=+⋅−=⋅−=⋅−=⋅ 222222

SJSLJJSrrrr

⋅−+−=⋅ 222

( )222

21 SLJJS +−=⋅

rr

por tanto,

+

+−++++

+

+−+++=

)1(2)1()1()1(

)1(2)1()1()1(

jjssjjg

jjssjjgg sj

lllll

considerando los caso extremos de los valores que puede tomar j cuando l y s están definidos, a) j = l+s

sj gs

sgs

g+

++

=+

ll

ll

jgs

sgs

Nsj ⋅⋅

++

+=+

hll

ll

µµ

sj µ+µ=µ+l

b) j = l-s

sj gssg

sg

111

+−−

+−+

=−

ll

ll

sj jj

jj µµµ

1)1()1(

+−

++

=−l

l

l

Para el caso particular s = ½ que es de importancia en este estudio, por ser los nucleones partículas con ese valor de spin.

Ns

jgg

gj µµ ⋅

+−

±⋅=±

12ll

l

Momento dipolar magnético del núcleo El resultado anterior se puede utilizar para derivar los momentos magnéticos nucleares según el modelo de capas de partícula simple. En los núcleos par-par tanto los protones y los neutrones están apareados dando J = 0 y por tanto un momento magnético cero. En los núcleos de tipo impar–par y par-impar, el valor del momento magnético está determinado ya sea por el protón o neutrón desapareado respectivamente. Insertando los valores:

1=pgl 58.5=psg

0=ng l 82.3−=nsg

para núcleos Z impar y N par (contribución del protón)

Nj jJ µµ ⋅

+⋅=

29.21rr

para j = l + 1/2

Nj jJ µµ ⋅

+

−⋅=1

29.21rr

para j = l – 1/2

90

Para los núcleos Z par y N impar (contribución del neutrón)

Nj jJ µµ ⋅

−⋅=

91.1rr para j = l + 1/2

Nj jJ µµ ⋅

+

⋅=1

91.1rr para j = l – 1/2

a estas relaciones se las conoce con el nombre de fórmulas de Schmidt. Dibujando estas expresiones en función de j se tiene las llamadas líneas de “Schüler-Schmidt” A lo largo de las cuales uno espera que yazcan todos los momentos magnéticos medidos. Experimentalmente se ve que no es así, sino más bien yacen entre ellas con muy pocas excepciones

Figura. Graficas de Schuler-Schmidt (sólidas) para núcleo Z impar N par

Se nota que en la mayoría de ejemplos la medida del momento magnético puede ser usada para la discriminación entre j = l + ½ y j = l - ½ y de aquí, un valor conocido de j establece un valor para l, lo que lleva a determinar la paridad de estado en forma directa. Las formulas anteriores de los momentos magnéticos nucleares en sus estados base difieren de las expresiones derivadas de la consideración de todo el conjunto de constituyentes nucleares en movimiento colectivo (modelo colectivo). Hay evidencia también de que existen núcleos con momentos magnéticos de ordenes superiores. Momentos multipolares electromagnéticos. Muchos de los conocimientos que tenemos acerca de la estructura nuclear vienen del estudio de la interacción electromagnética con el núcleo mismo. Esto es, la interacción nuclear fuerte establece la distribución y movimiento de los nucleones dentro del núcleo y se prueban estas distribuciones con interacciones electromagnéticas. Podemos usar campos electromagnéticos que afectan poco el movimiento de los nucleones. Los diferentes momentos multipolares generados por la distribución de carga y corriente de los nucleones están restringidos por consideraciones de paridad. Cada multipolo electromagnético tiene asociada una paridad determinada. Así los eléctricos tienen (-1)l y los magnéticos (-1)l+1 donde 2l es el orden del multipolo. Así, cuando calculemos los valores esperados de sus correspondientes operadores

∫ ⋅Ο dVopψψ *

91

La paridad de la función de onda no es importante puesto que al multiplicarle por su conjugada se tiene paridad (+), entonces es la paridad del operador O la importante, y si dicho operador tiene paridad (-) la integral en todo el espacio se anula. De esta manera, para el núcleo atómico, los momentos electromagnéticos aparecen intercalados: E0, M1, E2, M3, E4, M5,...... Por ejemplo, El momento dipolar eléctrico

∫ ⋅= dVzDZ ρ 2ψρ = con

( )pA

pNA

nN

n rrrr ,...,,....1 −=ψψ

∑∫−=

⋅=A

NAkZ dVeD 2ψ

DZ = 0 Si consideramos una distribución de carga arbitraria como la que se muestra en la gráfica

El potencial será:

∫ −⋅

=21

2211

)(),(rrdVrrV rr

rρθ

función que la podemos considerar, por facilidad, con simetría esférica11 pudiéndola escribir en términos de los polinomios de Legendre, puestos éstos forman una base del espacio de funciones.

)(cos11),( 10 11

11 θθ L

L

LL P

ra

rrV ∑

∞

=

=

Si ),0,0(1 zr =

r entonces θ1 = 0 y

L

LLz z

az

V ∑∞

=

=

0 11

11

Por otro lado, la función generatriz de los polinomios de Legendre:

11 Si la simetría esférica no es considerada ésta función la podemos escribir en términos de las funciones esféricas armónicas y los momentos mutipolares estarían etiquetados por el par de índices (l, m).Así, ( ) dVrrYq mm ⋅⋅= ∫

rlll ρφθ ),(* y

*)1( mm

m qq ll −=−

92

)(cos110 1

2

121

Θ

=

− ∑∞

=L

L

LP

rr

rrr rr

siendo Θ el ángulo entre los vectores r1 y r2 Si ),0,0(1 zr =

r

rr =2r

θθ ==Θ 2 reemplazando en la expresión del potencial

dVPzr

zrV L

L

Lz ⋅

= ∫∑

∞

=

)(cos1)(10 1

θρ

Igualando las dos ecuaciones para Vz se obtienen los coeficientes aL

∫ ⋅⋅= dVPrra LL

L )(cos)( θρ

Escribiendo z = r⋅cosθ y considerando que: P0(cosθ) = 1 P1(cosθ) = cosθ P2(cosθ) = (3 cos2θ - 1)/2 Obtenemos: L=0 ∫ ⋅= dVa ρ0

L=1 ∫ ⋅= dVza ρ1

L=2 ( ) eQdVrza213

21 22

2 =⋅⋅−= ∫ ρ

Donde Q se define como el momento cuadrupolar eléctrico. Para una distribución esféricamente simétrica de carga,

2222

31 rzyx ===

por tanto Q = 0 Para núcleos con forma esferoide prolato, 223 rz >

Q > 0 22 rQ +≈

Para un núcleo de forma esferoide oblato, 223 rz <

Q < 0 2rQ −≈

93

Tanto los núcleos con spin: j = 0 y j = ½ son esféricamente simétricos, por lo cual Q = 0 Momento cuadrupolar eléctrico nuclear El calculo de los momentos cuadrupolares eléctricos en el modelo de capas se realiza evaluando el operador (3z2 – r2) en un estado en el cual el momento angular total de la partícula no apareada tiene su máxima proyección a lo largo del eje z (esto es mj = j). Asumamos por ahora que la partícula no apareada es un protón, si su momento angular está alineado (tan cerca como lo permite la mecánica cuántica) con el eje z. Entonces éste tiene que estar orbitando mayoritariamente en el plano xy. Este daría un momento cuadrupolar negativo 2rQ −≈

≈2r 0.03 b (A=7)

≈2r 0.3 b (A=209)

Un cálculo mecánico cuántico más fino da el momento cuadrupolar para el modelo de partícula simple, en el caso del protón en el estado j

2

)1(212 r

jjQsp +−

−=

para una esfera uniformemente cargada

3/220

22

53

53 ARRr ==

Otra manera de tratar cuantitativamente los valores de Q es mediante la siguiente relación:

jQjjQ

)1(212

+−

=

Donde

( )

∆≈−=

RRZRbaZQ j

222

56

52

Siendo a y b los semiejes del elipsoide de rotación. Además

bRRbaR=∆+

= 23

94

Los valores calculados tienen el signo correcto pero son de 2 a 3 veces más pequeños. Mayores dificultades se presentan para el caso de los núcleos con neutrón no apareado. Un neutrón (no cargado) fuera de una sub-capa llena no debería tener momento cuadrupolar en absoluto. Sin embargo se observa que existen aunque son menores al caso del protón no apareado. Q medido Modelo Capas

Q calculado

Partícula Simple 2j en el subnivel

Estado (protón) P n P N 1p3/2 -0.013 -0.0366 (Li7) ------------- 0.0407 (B11) 0.053 (Be9) 1d5/2 -0.036 -0.12 (F19) -0.026 (O17) 0.140 (Al27) 0.201 (Mg25) 1d3/2 -0.037 -0.0825 (Cl35) -0.064 (S33) 0.056 (K39) 0.45 (S35) 1f7/2 -0.071 -0.26 (Sc43) -0.080 (Ca41) 0.4 (Co59) 0.24 (Ti49) 2p3/2 -0.055 -0.209 (Cu63) -0.0285 (Cr53) 0.195 (Ga67) 0.2 (Fe57) 1f5/2 -0.086 ----------- -0.20 (Ni61) 0.274 (Rb85) 0.15 (Zn67) Cuando un sub-nivel contiene más de una partícula, todas las partículas en el sub-nivel pueden contribuir al momento cuadrupolar. Puesto que la capacidad de cualquier sub-nivel es (2j+1), el número de nucleones en la capa no llena variará de 1 a 2j. El correspondiente momento cuadrupolar es:

−−

−=12

121j

nQQ sp

donde n es el número de nucleones en la sub-capa (1 ≤ n ≤ 2j) y Qsp es el momento cuadrupolar de partícula simple. En el caso n =1 Q = Qsp En el caso n = 2j Q = -Qsp En la tabla anterior se muestra una evidencia para el cambio de signo de Q predicho por la ecuación anterior. El modelo falla en predecir momentos cuadrupolares grandes, observados para ciertos núcleos pesados. Esto nos lleva a observar en el núcleo atómico otros aspectos de su estructura que no pueden ser explicados por el modelo de capas. Nucleones de valencia. A pesar de la simplicidad del modelo de capas de partícula simple, se puede decir que describe muy bien casi todos los spines y paridades de los estados base de los núcleos A impar, aunque es poco menos exitoso en la descripción de los momentos dipolares magnéticos nucleares así como de los momentos cuadrupolares eléctricos. Como se ha mencionado, la consideración básica de este modelo es que todos los nucleones menos uno son apareados y las propiedades nucleares aparecen del movimiento de éste. Esto obviamente, es una simplificación y como una mejor aproximación, se puede considerar que todas las partículas en el suborbital son las que definen las propiedades nucleares. Así, en el caso del núcleo Ca43 se tiene 3 neutrones por encima del sub-nivel lleno que corresponde a N=20. La versión del modelo de partícula simple solo toma en cuenta el último no apareado, en este caso deberíamos considerar los tres neutrones del último nivel, a los que llamaríamos de valencia. Para el Ti45 deberíamos considerar cinco partículas, pues tendremos 2 protones de valencia y 3 neutrones que están por encima de los niveles con Z=20 y N=20 respectivamente. Si el modelo de partícula simple fuese sólido, estaríamos en la capacidad de reproducir diagramas de orbitales nucleónicos, estudiando los niveles excitados nucleares.

95

Consideremos el O17 y F17 (núcleos espejo) cada uno de los cuales tiene solo un nucleón arriba del doblete mágico (Z=8, N=8) El estado base tiene 5/2+. De la estructura de capas esperaríamos encontrar estados excitados con Jπ de ½+ y 3/2+ correspondientes a los niveles 2S1/2 y 1d3/2. De acuerdo con esta consideración si añadimos más energía al núcleo, su centro, o niveles inferiores, permanece inerte y la partícula no apareada absorbe dicha energía y se muda a niveles más altos. El valor ½+ aparece como el primer estado excitado. El 3/2+ es más alto, pero ¿cómo se pueden explicar los estados ½-, 3/2-, 5/2- ? Los estados de paridad negativa, 2p1/2, 2p3/2, 1f5/2, están muy por encima del nivel 1d3/2. La formación del estado ½- puede explicarse de la siguiente manera, en lugar de excitar y enviar a otro estado el nucleón desapareado, un nucleón del par del nivel 1p1/2 es desacoplado y enviado a 1d5/2 apareándose con el que yace allí, y dejando desapareado el restante en el nivel 1p1/2, dando lugar al estado ½-. A causa de que la energía de emparejamiento crece con l, es energéticamente favorable romper un par del nivel con l=1 y formar otro con l=2. La verificación de esta hipótesis requiere que determinemos experimentalmente si las propiedades del estado ½- coinciden con aquellas esperadas para el estado 1p1/2 del modelo de capas. Una consideración similar se podría hacer para el estado 3/2- (rompiendo un par de 1p3/2); pero aún no existe explicación para el estado 5/2-.

La siguiente figura muestra los estados base y excitados del Ca41 y Ca43. Si el modelo de partícula simple fuese cierto, las estructuras de niveles serían iguales.

Figura. Niveles excitados del Ca41 y Ca43

96

Note que las estructuras son muy diferentes. Hay más estados de menor energía para Ca43 debido al acoplamiento de las tres partículas en el nivel 1f7/2 e ilustra la diferencia entre un modelo completo de capas y el de partícula simple. Problemas 1. Usando el esquema de niveles del modelo de capas. Hallar la configuración nucleónica, spin y

paridad de los siguientes nuclídos: H2, H3, He3, He4, Li7, C12, C13, Cl35, Cl38, N14, Ca43, Co60, Bi206 i) Hallar los spines y paridades de O15, Mg23, Li6, ii) Que transiciones son posibles en spin y paridad para un neutrón tipo F desde los estados Jπ = 2+,(3/2)-, iii) ¿Qué valores de l debe tomar un protón al ser emitido por un núcleo desde un estado (5/2)-, al estado (3/2)+.

2. ¿Cuáles son los valores posibles del momento angular total del estado fundamental del P32? El valor experimental del estado fundamental es J=1 y el del primer estado excitado J=2.

3. Mostrar por qué los estados 3S, 1P, 3P y 3D del sistema neutrón-protón son los únicos estados compatibles con el spin nuclear 1.

4. El estado fundamental del Be9 tiene un Jπ =3/2- y el del Na23 es 3/2+. Calcúlese en magnetones nucleares, el momento magnético de estos núcleos, suponiendo el modelo de partícula simple.

5. Cuando un Haz de moléculas de fluoruro de sodio atraviesa un campo uniforme de 4000 Gauss, se observa que puede inducirse una reorientación del núcleo de Fluor mediante un campo de radiofrecuencia de 17.36 MHz. Calcúlese en magnetones nucleares la razón giro-magnética para el núcleo de flúor. Rta. 5,69

6. De acuerdo con el modelo de capas y suponiendo que el núcleo puede ser descrito por un pozo de potencial rectangular de profundidad 30 MeV y ancho 6 fm. Deducir el esquema de niveles energéticos de los estados S (l=0)

7. De acuerdo con el modelo de capas de una partícula simple predecir el momento dipolar magnético de los núcleos B11 y C13 y compararlos con los valores experimentales.

8. Estimar δR/R0 para el Lutecio 176 que es uno de los núcleos más deformados. 9. ¿Cuál es momento cuadrupolar del Pb207 y Sn117 ? 10. ¿Qué signo se espera y por qué, para el momento cuadrupolar del K36, In117, Sb125, Co57, Cu61? 11. Estimar el momento cuadrupolar del Ca39 (J=3/2)

Si δR0 / R0 es 2,99% para el Gd155 y si Ro = 1,4 fm, hallar el momento cuadrupolar de este núcleo. Rta. Q = 130 Fm2

12. Demostrar que el momento cuadrupolar eléctrico para un elipsoide de revolución uniformemente cargado, definido por la ecuación:

1bz

ayx

2

2

2

22

=++ está dado por: ( )

δ=−=

0

020

22

RRR

5z6ab

5Z2Q

siendo Ze la carga total del núcleo, y el radio nuclear promedio se considera como Ro3

= a2b, con Ro+ δRo = b, y el volumen del elipsoide es ba34 2π

97

Modelo Colectivo Núcleos Z par – N par. Para el análisis, consideramos el caso de Sn130. El modelo de capas predice que estos núcleos en su estado base tienen 0+. De acuerdo con el modelo de capas, los 50 protones llenan el nivel g9/2 y los 80 neutrones fallan en dos para alcanzar el número mágico 82, en el nivel h11/2. Un esquema de los primeros niveles excitados se muestra en la figura

Figura. Últimos niveles del Sn130

¿Cómo se explica el primer estado excitado 2+? Para formar un estado excitado podemos romper un acoplamiento de un par de nucleones de los niveles inferiores y llevar a uno de ellos al último nivel, el acoplamiento entre los dos neutrones desapareados (que ahora se tiene) determinará el momento y la paridad del núcleo. El movimiento de un protón o de un neutrón de los niveles g9/2 o h11/2 a un nivel vacío mayor, requiere gran energía, por que en este caso se está saltando a una capa superior. Por tanto esperamos que las funciones de onda de los estados excitados correspondan a excitaciones neutrónicas dentro del último nivel mayor ocupado. Por ejemplo, si consideramos que la configuración del estado base corresponde a niveles 2d3/2 lleno, 3S1/2 lleno y 10 neutrones en el nivel 1h11/2 de la última capa, se podría formar un estado excitado rompiendo el par 3S1/2 y llevando a uno de esos neutrones al nivel 1h11/2. Las propiedades del sistema estarían entonces dadas por aquellas que resulten del acoplamiento de estos dos neutrones.

Figura. Últimos niveles del Sn130

En este caso se tiene Jπ = 5-, 6- Otra posibilidad sería cuando un neutrón del nivel 2d3/2 se desacopla y va para el 1h11/2. En este caso se tiene Jπ = 4-, 5-, 6-, 7- Varios estados aparecen en el diagrama de energía del Sn130 a 2 MeV de energía, que es un valor de energía característica para romper un par y excitarle a otro nivel dentro de la capa. Otra posibilidad sería la de romper un par en el nivel h11/2 y que se mantengan allí y se re-acoplen. En este caso,

98

Jπ = 0+, 1+,2+, 3+,4+,5+, 6+,7+, 8+, 9+, 10+, 11+. Pero los dos neutrones son partículas idénticas en el mismo nivel l = 5 que restringe los momentos angulares a valores pares solamente, es decir, los valores permitidos son: Jπ = 0+, 2+,4+, 6+, 8+, 10+ Restringiendo nuestro análisis a la justificación del primer nivel excitado 2+ de alrededor de 1.2 MeV de energía. Se observa que el acoplamiento anteriormente mencionado describe dicho nivel. Así mismo, se podría considerar una doble transición de neutrones del nivel 2d3/2 a 1h11/2, generando una configuración algo estable, y desacoplando y re acoplando los dos restantes niveles del 2d3/2. De igual forma, se puede proponer que un neutrón del nivel 2d3/2 y otro del 3S1/2 completen el nivel 1h11/2, y los desapareados en cada nivel se acoplen. Todos estos casos describen un nivel 2+, sin embargo se esperaría una energía de entre los 2 MeV por lo expuesto anteriormente. Por supuesto, el modelo de capas es solo una aproximación y no es tan probable que solo existan estados puros, sino que se presente mezcla entre ellos. Una mejor aproximación es reconocer que si se desea usar el modelo de capas para interpretar la estructura, entonces los estados físicos se deben describir como superposiciones de los estados puros. Así para el caso del estado 2+, se plantearía una función de onda:

( ) ( ) ( ) ....322211)2( 2/12/32/32/32/112/11 +⊕+⊕+⊕=+ Sdcddbhha ψψψψ donde los términos entre paréntesis hacen referencia a los correspondientes acoplamientos tales que dan el nivel 2+. Pero cada estado puro constituyente tiene una energía de aproximadamente 2 MeV, entonces se debe buscar la mezcla correcta para que la energía media baje a 1.2 MeV. ¿existirá dicha mezcla? A primera vista y observando la estructura de niveles energéticos del Sn130, uno se inclinaría a pensar que ésta estructura es el resultado de la configuración de los últimos niveles ocupados y las posibles transiciones con sus posteriores acoples de los nucleones de valencia. Sin embargo, cuando se examinan otros núcleos par-par, se encuentra que de los cientos de dichos núcleos, en la región del modelo de capas, cada uno presenta un estado anómalo 2+ a una energía alrededor de la mitad de la energía que se necesita para romper un par y llevarlo a otro nivel de la misma capa. En casi todos los núcleos este estado es el de más baja energía. La presencia de este estado no es entonces accidental que resulta de la estructura del modelo de capas del núcleo Sn130, sino que es un estado que aparece debido a una propiedad colectiva del núcleo, puesto que está presente en un gran número de núcleos par-par en un gran rango de masas, y es independiente de su configuración de llenado de nucleones de acuerdo con el modelo de capas. Se puede ver que hay otras propiedades generales que son comunes en todo núcleo, y es razonable relacionar estas propiedades no al movimiento de los nucleones de valencia sino más bien al movimiento colectivo del núcleo. Las propiedades colectivas varían suave y gradualmente con el número másico y en su mayor parte independiente del número de nucleones de valencia (aunque estos nucleones de valencia contribuyen a la estructura de capas que se acopla con la estructura colectiva). En las siguientes figuras se puede observar dos regiones claramente marcadas que nos lleva a considerar dos tipos de estructuras colectivas: la región A< 150 y la región 150<A<190. Los núcleos con A<150 son generalmente tratados en términos de un modelo basado en vibraciones alrededor de una forma esférica; mientras que los núcleos con 150<A<190, muestran estructuras más características de la rotación de sistemas no esféricos. Tanto las vibraciones como las rotaciones son los principales tipos de movimientos nucleares colectivos. El modelo nuclear colectivo cae dentro del modelo de la gota líquida.

99

Las siguientes figuras muestran las evidencias experimentales de la presencia de las propiedades colectivas de los núcleos atómicos.

E(2+)

E(4+)/E(2+)

Q(2+)

µ(2+)

Figura. Evidencia experimental de las propiedades colectivas nucleares

100

El modelo se basa en la idea de que el movimiento conjunto de la materia nuclear produzca una deformación permanente del núcleo, esto, debido a movimiento de los nucleones fuera de las capas llenas.La energía potencial del núcleo se puede presentar en función de la deformación β (parámetro a introducirse), como se muestra en la figura:

Figura. Energía potencial del núcleo en función de la deformación.

Los núcleos situados en la proximidades de las capas llenas favorecen el agrupamiento de pares de nucleones (con momento angular nulo) produciendo una forma de equilibrio esféricamente simétrica y un movimiento colectivo de vibración. A medida que aumenta el número de nucleones de valencia la forma esférica se hace inestable y el núcleo adquiere una deformación colectiva y una rotación que la mantiene deformada. Vibraciones Nucleares. Imaginemos un núcleo vibrando a alta frecuencia, aunque la forma promedio es la esférica, la forma instantánea no lo es. En este caso es conveniente dar la coordenada instantánea R(t) de un punto en la superficie nuclear en coordenadas (θ, φ).

En términos de los esféricos armónicos Yλµ(θ, φ), cada componente esférica armónica tendrá una amplitud αλµ(t). Así

∑∑−

+=λ

µ

µλµλµ φθα ),()()( YtRtR av

donde, αλµ no son completamente arbitrarios. La simetría de reflexión requiere que αλµ = αλ(-µ). Si se asume al líquido nuclear incompresible, aparecen otras restricciones. El valor λ=0 en el desarrollo no se considera explícitamente puesto que es constante y está contenido en Rav, el cual lo podemos aproximar como R0A1/3 Una vibración tipo λ=1 se la conoce como dipolar. Para λ=2 es cuadrupolar.

101

Figura. Modos normales de oscilación Note que λ=1 implica un desplazamiento del centro de masa nuclear y por tanto no puede ser el resultado de la acción de las fuerzas nucleares internas. La primera vibración debida a la interacción fuerte sería entonces la cuadrupolar λ=2, y como la energía vibracional viene en paquetes de energía (fonones) Una unidad simple de λ=2 se lo llama fonón cuadrupolar. Consideremos el efecto de añadir una unidad de energía de vibración de este tipo al estado base 0+ de un núcleo par-par. El fonón de este tipo lleva un momento angular de dos unidades (esto añade una dependencia Y2µ a la función de onda nuclear) y una paridad (-1)2 Así se obtiene un estado excitado con Jπ=2+ (la energía del fonón cuadrupolar no se predice por la teoría y se la considera un parámetro ajustable). Supongamos que excitamos un segundo fonón cuadrupolar. Tendríamos que sumar dos fonones (bosones) de spin 2 dando los siguientes momentos angulares l = 0, 1, 2, 3, 4, que por consideraciones de simetría de su función de onda nos quedarían los valores l = 0, 2, 4. Así se esperaría ver un triplete de estados 0+, 2+, 4+, a dos veces la energía del primer estado excitado 2+ (puesto que los dos fonones idénticos tendrán el mismo valor de energía). Este triplete de estados es una característica común en un núcleo vibracional y es un fuerte soporte al modelo. Estos estados no están exactamente a la misma energía debido a efectos adicionales que no se han considerado. Un cálculo similar considerando la excitación de tres fonones cuadrupolares dan los siguientes estados: 0+, 2+, 3+, 4+, 6+. El próximo modo excitado de vibración más alto corresponde a λ=3 (octopolar) el cual lleva tres unidades de momento angular y paridad negativa. Añadiendo un fonón octopolar al estado base 0+ da un estado 3-. Estos estados son encontrados en los núcleos vibracionales, generalmente a energías algo más arriba del triple debido a la excitación de los dos fonones cuadrupolares. Al ir a mayores energías, la estructura vibracional da camino a la excitación de partículas por ruptura de pares del estado base. El modelo vibracional hace varias predicciones que se pueden probar en el laboratorio. Si la forma de equilibrio es esférica, los momentos cuadrupolares eléctricos del estado 2+ deberían anularse, esto se muestra en la figura correspondiente anterior para A<150. El momento dipolar magnético se predice que debe ser 2(Z/A) que esta en el rango 0.8-1.0 que también esta de acuerdo con el experimento. La figura muestra un ejemplo de la estructura de los niveles de baja energía de un típico núcleo vibracional y muchas de las características predichas son realmente aparentes.

102

Figura. Estructura de niveles vibracionales

Rotaciones Nucleares. El movimiento rotacional puede observarse solo en núcleos con forma no esférica en equilibrio. Estos núcleos pueden tener distorsiones sustanciales de la forma esférica y se los llama núcleos deformados. Estos se encuentran en el rango 150<A<190 y A>220 (tierras raras y actinidos) una representación común de la forma de estos núcleos es los elipsoides de revolución.

La superficie de estos núcleos esta descrita por:

[ ]),(1),( 20 φθβφθ YRR av += la cual es independiente de φ dando al núcleo simetría cilíndrica. El parámetro de deformación β está relacionado a la excentricidad de la elipse:

avRR∆

=53

4 πβ

donde ∆R es la diferencia entre el semieje mayor y menor de la elipse. Es costumbre tomar Rav = R0A1/3 la descripción no es exacta debido a que el volumen descrito por la primera ecuación no es

3

34

avRπ El eje de simetría de la ecuación, es el eje de referencia sobre el cual θ es definido.

Cuando β>0 se tiene un elipsoide prolato y si β<0 se tiene un elipsoide oblato Un indicador de la deformación estable del núcleo es su valor Q grande. La relación entre el parámetro de deformación y el momento cuadrupolar es:

103

( )ββπ

16.0153 2

0 += ZRQ av

donde, Q0 es el momento cuadrupolar intrínseco, que sería aquel observado en el sistema de referencia en el cual el núcleo esta en reposo. Si el sistema esta rotando Q es muy diferente a Q0. Para Q0 > 0 se observa un Q < 0. La relación entre ellos depende del momento angular. Así, para

un estado 2+, 072 QQ −=

De las figuras experimentales, se ve que Q = -2 b para la región 150<A<190 de tal forma que Q0= 7 b, y de la ecuación anterior se halla β = 0.29. Este valor corresponde a una desviación sustancial del núcleo esférico. La diferencia en longitud entre los semiejes es 0.3 del radio nuclear. Sabemos ahora que la energía cinética de rotación es

2

21 ωIE =

donde I es el momento de inercia del núcleo y ω su velocidad angular. Además el momento angular J = Iω, entonces la energía es:

Ijj

IJE

2)1(

2

22 +==h

Un incremento del número cuántico j corresponde a añadir energía al núcleo y los estados excitados nucleares forma una secuencia, conocida como bandas rotacionales. El estado base de núcleos par-par es siempre 0+ y la simetría de espejo restringe la secuencia de estados rotacionales solo a valores pares de j. Por tanto, esperamos la siguiente secuencia de estados:

Si γ≡I2

2h

E(0+)=0 E(2+)=6γ E(4+)=20γ E(6+)=42γ E(8+)=72γ De la energía del primer estado podemos calcular γ = 15.2 keV. Aplicando este factor a los siguientes estados tenemos: E(4+)=300 (medido 300) E(6+)=640 (medido 614) E(8+)=1097 (medido 1025) No son exactos, quizá porque el núcleo no se comporte como un sólido rígido con momento de inercia constante. Sin embargo la coincidencia es muy buena que nos da la idea de su origen. En particular, la razón E(4+)/E(2+) es de 3.33 en gran coincidencia con lo observado para 150<A<190 y A>230. La figura muestra los estados excitados de un típico núcleo en rotación.

104

Figura. Estructura de niveles rotacionales

Se puede sacar alguna información sobre la estructura del núcleo deformado considerando el momento de inercia en dos casos extremos: Un elipsoide sólido de revolución de masa M tiene un momento de inercia,

( )β31.0152 2 −= avrigido MRI

Para un núcleo típico deformado en la región (A=170) Esto da una constante de energía rotacional γ = 6 keV, el cual es del orden de magnitud correcto pero demasiado pequeño al observado (γ = 15 keV). Esto indica que el momento de inercia es sobre estimado en un factor de 2 a 3 veces. Se considera el núcleo como un contenedor con fluido en su interior. Esta aproximación da:

βπ

2

89

avfluido MRI =

para el cual se puede determinar un valor γ = 90 keV. En este caso el momento de inercia es subestimado en una factor de 6. Concluyendo entonces que:

Ifluido < I < Irigido Los movimientos colectivos de vibración y rotación producen un momento magnético en el núcleo. Si no consideramos los momentos anómalos de los protones y neutrones (pues suponemos que estos se anulan por estar completamente aparejados en un núcleo Z par N par), podemos decir que los movimientos orbitales de los protones y neutrones generan un momento angular orbital, pero tan solo los protones (por ser eléctricamente cargados) contribuyen al momento dipolar magnético nuclear que tiene la forma:

NAZ µµ ⋅

⋅= 2

El resultado general en el modelo colectivo, tanto para vibraciones como rotaciones nucleares, es:

NAZjj µµ ⋅

⋅=)(

105

donde j representa el spin nuclear del estado excitado. Esto se debe a que tanto el movimiento orbital del protón como los intrínsecos del protón y neutrón contribuyen colectivamente. Es claro que los núcleos poseen no solo una estructura de niveles y/o propiedades colectivas por separado, sino las dos a la vez. Por lo que hay que buscar un modelo unificado. Es claro que los núcleos poseen no solo una estructura de niveles y/o propiedades colectivas por separado, sino las dos a la vez. Por lo que hay que buscar un modelo unificado. Problemas 1. Encontrar la energía de interacción entre un cuadripolo eléctrico y el gradiente de campo

eléctrico. 2. Consulte como se puede determinar los momentos cuadrupolares eléctricos mediante

espectroscopia Mössbauer. 3. ¿Cómo se puede observar la deformación nuclear en experimentos de dispersión con haces de

electrones? 4. Demostrar que el valor medio del operador cuadripolo eléctrico se anula para estados con spin

0 y ½ 5. Considere el núcleo de Hf170 un cuerpo rígido, calcular muy aproximadamente, la fuerza

centrífuga para el estado con J=20. Que le sucedería al núcleo si sus propiedades mecánicas fueran similares a las del acero? Apoye sus conclusiones con cálculos crudos.

6. Asuma que el momento de inercia I es función de la energía de rotación E. Calcule I(E) en unidades convenientes para los niveles rotacionales en Hf170, Pt184 y U238. Grafique I(E) vs E y muestre que una regresión lineal reproduce los datos empiricos.

7. Considere un núcleo par-par con deformación de equilibrio δ0 y spin J=0 en su estado base. La energía en un estado excitado con deformación δ y spin J es la suma de términos cinéticos y

potenciales )1(2

)(2

20 ++−= jj

IaE hδδ Considerando un movimiento irrotacional I=bδ2, y

usando la condición (dE/dδ=0) encontrar la ecuación para la deformación de equilibrio en el estado con spin J. Mostrar que para pequeñas desviaciones de la deformación desde la deformación de su estado base que el núcleo se alarga y que la energía de los estados rotacionales puede ser escrita como: E = Aj(j+1)+B(j(j+1))2.

106

FUERZA ENTRE NUCLEONES La interacción fuerte entre nucleones es la responsable de mantener a éstos unidos en un volumen bien reducido como es el del núcleo atómico. Algunas propiedades de la fuerza nuclear se pueden inferir directamente, así: A distancias cortas es más fuerte que la electromagnética (¡de allí su nombre!). A distancias del orden atómico, es despreciable, la interacción entre núcleos de moléculas es solo de naturaleza electromagnética. Algunas partículas son inmunes a esta interacción. Estas partículas se denominan leptones. Si se empieza a explorar experimentalmente se pueden encontrar otras propiedades de la interacción fuerte, así: La fuerza entre nucleones parece ser independiente de si los nucleones son protones o neutrones (independencia de carga) La fuerza nucleón-nucleón depende de las orientaciones relativas de los spines de los nucleones, es decir si éstos son paralelos o anti-paralelos. La fuerza nucleón-nucleón incluye un término repulsivo, la cual mantiene a los nucleones a una separación promedio. La fuerza nucleón-nucleón tiene una componente no central o tensorial, el momento angular no es entonces una constante del movimiento. Sistema de dos nucleones Los tres posibles sistemas formados por dos nucleones son (n,n) (p,p) y (n,p). Los dos primeros no tienen estados ligados. El sistema de nucleones más simple que presenta un estado ligado estable el Deuterón. Deuterón.

Consiste de un protón y un neutrón unidos por la interacción fuerte. El estado base del deuterón es el único ligado, es decir, no tiene niveles excitados ligados. La energía de enlace de los nucleones en el deuterón puede ser estimada de diferentes maneras. Por ejemplo midiendo con gran precisión la diferencia de masas de los siguientes compuestos:

...10).000024.0289710.9()()( 366126 amuDCMHCM atat

−±=−

...10).000090.0610626.84()()( 366125 amuDCMDCM atat

−±=− de la primera, considerando que la masa de Hidrógeno es 1.007825037 u.m.a. se encuentra que:

...000000021.0014101789.2)(2 amuHM at ±= y de la segunda

...000000015.0014101771.2)(2 amuHM at ±= utilizando cualquiera de las ecuaciones encontramos que la energía de enlace será:

[ ] MeVHMmHMBE atnat 00004.022463.2)()( 21 ±=−+=

107

Se puede también determinar la energía de enlace mediante la reacción

γ+→+ HnH 21 y midiendo la energía del rayo gamma emitido

MeVBE 0000002.02245893.2 ±= Otro método es mediante el proceso inverso al anterior, es decir, la foto disociación:

nHH +→+ 12γ

La energía mínima del rayo gamma que produce tal proceso será igual a la energía de enlace. El valor encontrado es:

MeVBE 002.0224.2 ±= Modelo La energía de enlace media por nucleón, en la mayoría de núcleos, es de aproximadamente 8 MeV/nucleón. El Deuterón esta débilmente ligado. Describamos el sistema deuterón como una partícula de masa reducida ubicada en un pozo de potencial finito de profundidad –V0.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo será:

Ψ=Ψ+Ψ∇− EV

m2

2

2h

cuya solución general, para el caso de potenciales que solo dependen del módulo de r, es de la forma

),()(),,( φθφθ YrRr =Ψ siendo Y(θ,φ) las funciones esféricas armónicas, etiquetadas por dos números cuánticos (l, m). La función de onda radial R(r) satisface la siguiente ecuación diferencial:

02

)1(12

22

2 =

+−−+

R

mrVE

drdRr

drd

rhll

Considerando entonces V(r) = -V0 para r < R0, y cero para r > R0. Potencial que define el espacio en dos regiones.

108

Región I (r < R0) )(.)( 11 rkJNrR ll =

donde Jl son las funciones esféricas de Bessel y

20

1)(2

h

EVmk

+=

las primeras funciones de Bessel son:

rkrksen

rkJ1

110

)()( =

rkrk

rkrksen

rkJ1

12

1

111

)cos()(

)()( −=

)cos()(

3)(1)(

3)( 121

11

31

12 rkrk

rksenrkrk

rkJ −

−=

Región II (r > R0)

R2(r) = N2.exp(iπ(l+2)/2).hl(1)(ik2r)

Donde las funciones hl(1) son las esféricas de Hankel de primera clase y 222h

mEk −= ,

las primeras funciones de Hankel tienen la forma:

)exp(1)( 22

2)1(

0 rkrk

rikh −−

=

)exp(111)( 222

2)1(

1 rkrkrik

rikh −

+

−=

)exp()(

3311)( 22222

2)1(

2 rkrkrkrik

rikh −

++=

para grandes separaciones entre neutrón y protón (r >> R0) se obtiene una forma común para la solución, válida para todos los valores de l.

rkrk

NrR2

222

)exp()( −→

Una forma simple de resolver el problema es mediante el cambio de variable

u(r) = r.R(r) la ecuación de Schrödinger queda

)()(2

)1(2 2

2

2

22

rEurumr

Vdr

udm

=

+++−

hllh

109

para el caso más simple (l = 0), fácil de resolver

)()(2 2

22

rEurVudr

udm

=+−h

Para la Región I (r < R0)

u1(r) = Asen(k1r) + Bcos(k1r)

donde 20

1)(2

h

EVmk

+=

Para la región II (r > R0)

u2(r) = C.exp(-k2 r) + D.exp(k2 r)

donde 222h

mEk −=

La condición de no divergencia de la función de onda para los casos límite, r tendiendo a infinito y r tendiendo a cero, eliminan necesariamente las constantes D y B respectivamente. Aplicando las condiciones de continuidad para la función de onda y su primera derivada se encuentra la ecuación trascendental:

2011 )cot( kRkk −= Esta ecuación que relaciona E, V0 y R0. De acuerdo con los datos de experimentos de dispersión, se conoce que el radio nuclear es R0 = 2.1 fm. Puesto que se conoce la energía de enlace del deuterón E = -2.2 MeV, entonces de la ecuación podemos hallar la profundidad del pozo, y ésta es: V0 = 35 MeV. La energía del primer estado excitado se la puede evaluar tomando la segunda solución de la ecuación trascendental que es próximo al valor: k1R0 ≈ 3π/2. Un valor positivo de esta energía indica que el estado es no ligado. Se debería demostrar también que no existen estados ligados en el deuterón para casos de l ≠ 0. Note que en este caso, se tiene un potencial efectivo que incluye al potencial centrífugo (repulsivo), el cual se incrementa al aumentar el valor de l. Sería por tanto suficiente mostrar que no existe estado ligado para l=1.

La gráfica de u(r) nos indica que si la interacción fuerte entre los nucleones fuese un poco más débil, no existiría el estado ligado del deuterón y posiblemente ni la fusión nuclear.

110

Ejercicios 1. Encuentre la ecuación trascendental para el caso l = 1. 2. Normalice la función de onda del Deuterón y halle el tiempo medio que los nucleones

permanecen fuera del rango de la interacción fuerte. 3. A partir de la ecuación trascendental demuestre que el deuterón no puede hallarse en un estado

excitado. Spin y Paridad del Deuterón Los valores medidos de estas propiedades para el deuterón son Jπ = 1+ El momento angular total del deuterón esta formado por la suma de los spines del protón y neutrón y el momento angular orbital relativo entre los dos nucleones.

LSSJ pn

rrrr++=

sea

pn SSSrrr

+= el acople entre los dos spines nos da un estado singlete S=0 y uno triplete S=1, éstos a su vez acoplados con L, dando los posibles estados para obtener J = 1, que es el valor experimental.

S=0 ; l=1 S=1 ; l=0 S=1 ; l=1 S=1 ; l=2

Debido a que la paridad del deuterón es positiva, los estados con l=1 se eliminan, quedando tan solo el estado triplete con l=0 y el triplete con l=2. Momento dipolar magnético del deuterón

El deuterón muestra un momento dipolar magnético experimental

µ = (0.8574376 +/- 0.0000004) µN

Si consideramos solo el estado S (l=0) podemos decir que:

pNsp

nNsn

pn Sg

Sg r

h

r

h

rrr µµµµµ +=+=

donde los factores g de Landé son: gsn = -3.826084 gsp = 5.585691

El momento dipolar magnético observado es la componente z de µ cuando el spin tiene el valor máximo de su componente z.

szs ψµψµ =

NspsnN gg µµµ 879804.0)(21

=+=

Que es un valor cercano al experimental, pero no coincide. Esta discrepancia puede atribuirse a varios factores, tales como: la contribución de los mesones de intercambio en la interacción n-p en

111

el deuterón. Asumimos que esta discrepancia se presenta porque el estado base del deuterón puede tener una contribución del estado D (l=2) de modo que su función de onda esta dado como:

DDSS aa ψψψ +=

de modo que

DzDDSzSS aa ψµψψµψµ 22 +=

donde el operador

pppnnz l++= σµσµµ las σ son los operadores unitarios de spin del neutrón y del protón y

ppp pxr rrlr

=

lp = ½ L utilizando la identidad

))((21))((

21

pnpnpnpnppnn σσµµσσµµσµσµ −−+++=+

y notando que en el estado triplete los spines son paralelos. Tal que (σn - σp) se anula. Además,

J = L+S

S = ½(σn + σz)

( ) zpnzpnz LJ )2/1( −+−+= µµµµµ Haciendo uso del hecho de que el momento magnético medido experimentalmente es aquel que corresponde al estado mz = j

zzz JJ

SLJJJ

JLL 2

222

2 2).( −−

==rr

para el Deuterón J2 = j(j+1) = 2 L2 = l (l+1) = 0 (para el estado S) = 6 (para el estado D) S2 = s(s+1) = 2 Jz = 1

0=ψψ zL , para el estado S

2/3=ψψ zL , para el estado D

−+−+++=

21

32)()( 22

pnpndpns aa µµµµµµµ

112

Si se considera el valor experimental de µ y considerando adicionalmente que la suma de los cuadrados de las amplitudes de probabilidad de los estados S y D debe ser uno, se obtiene que:

04.0

96.02

2

=

=

d

s

a

a

Esto indica que el estado base del deuterón esta formado por una mezcla de estados S y D (96% estado S y 4% estado D) La consideración de un estado puro S (l=0) es buena pero no exacta. Momento cuadrupolar eléctrico. Tanto el neutrón libre como el protón libre no tienen momento cuadrupolar eléctrico intrínseco, así que cualquier cuadrupolo distinto de cero medido en el Deuterón debe ser debido al movimiento orbital. Así la contribución de estado puro S (l=0) al momento cuadrupolar es nulo. Sin embargo, el Deuterón tiene un momento cuadrupolar distinto de cero. De hecho su valor experimental es:

Q = 0.00288 +/- 0.00002 b El cual es pequeño pero no cero, de esta forma se plantea que el estado base del deuterón debe ser una mezcla. Si consideramos una contribución del estado D entonces,

dddsdds raraaQ 222

201

102

−=

donde

∫= drrrRrRrr dssd

2*22 ).()(

y

∫= drrrRrRrr dddd

2*22 ).()(

Para calcular Q debemos conocer la función de onda del estado D. Usando los potenciales fenomenológicos realistas nos da una mezcla de 4% del estado D para producir el valor de Q experimental. Esta concordancia en la mezcla de estados deducida tanto del análisis del momento dipolar magnético como del momento cuadrupolar eléctrico debe ser considerada una feliz coincidencia más no debe ser tomada seriamente puesto que las indeterminaciones en el calculo teórico de estos observables son muy grandes. Así, en el caso de µ no hay justificación para suponer que debemos usar los momentos dipolares magnéticos de los nucleones libres (de hecho se verá posteriormente que hay una evidencia fuerte de lo contrario). Desafortunadamente un nucleón en el deuterón yace entre su estado libre y fuertemente ligado (es intermedio) y no podemos ver claros indicios sobre qué valor tomar para los momentos magnéticos. La interacción spin-orbita, los efectos relativistas, los intercambios mesónicos pueden tener grandes efectos en el valor de µ más que la mezcla del estado D (pero también pueden cancelarse unos con otros). Para el caso del momento cuadrupolar eléctrico, el poco conocimiento de la función de onda del estado D produce una gran incertidumbre. Sin embargo, otros experimentos, especialmente de dispersión usando deuterones como blancos dan mezclas del estado D de un 4% (confirmando la existencia de la mezcla) Es importante que tengamos un conocimiento exacto de la función de onda del estado D porque la mezcla de valores L del deuterón es la mejor evidencia que tenemos para el carácter no central (tensorial) de la fuerza nuclear.

113

Dispersión Nucleón- Nucleón. Aunque el estudio del deuterón da un número de indicios sobre las propiedades de la interacción nucleón-nucleón (fuerte), la cantidad de información disponible es limitada. Para estudiar más profundamente la interacción entre nucleones en diferentes configuraciones se realizan experimentos de dispersión. En primera aproximación podemos resolver este problema considerándolo como el de una partícula con E > 0 en interacción con un pozo de potencial cuadrado semejante al del problema del deuterón. Si la partícula tiene velocidad v, su momento angular será mυR (R es del orden de los fermis) y su cuantización esta dada como:

lh=Rmυ Si h<<Rmυ entonces solo interacciones l=0 son posibles. Así para este caso,

mRh

<<υ y si se esta considerando nucleones la energía

MeVmR

E 202 2

2

=<<h

Las soluciones de la función de onda son: i) Para la región r < R0

u1(r) = Asen(k1r) + Bcos(k1r)

B = 0 (necesario cuando r tiende a cero)

con 20

1)(2

h

EVmk

+=

ii) Para la región r > R0

u2(r) = C´sen(k2r) + D´cos(k2r)

con 222h

mEk =

Sin embargo la solución en la región 2, la podemos rescribir como:

u2(r) = C sen(k2r + δ0) Las condiciones de continuidad exigen:

u1(R0) = u2(R0) u1´(R0) = u2´(R0)

lo que resulta en la ecuación trascendental:

)cot()cot( 0110022 RkkRkk =+δ Si la partícula incidente tiene un k = k2, y δ0 describe la dispersión de dicha onda y si se conocen los valores de E, V0 y R0 podemos encontrar δ0.

114

Note que puesto que V0 no puede medirse directamente, se usa la aproximación de longitud de dispersión que se desarrolla más adelante. Si V0 es igual a cero no hay dispersión y k1 = k2 y δ0 se anula. El efecto de V en la función de onda es muy claro, en este caso. Si V es negativo los ceros de la función se corren hacia el centro dispersor; mientras que ocurre lo contrario si V es positivo.

Figura. Efecto del signo del potencial en el desfase de la función de onda. Teoría general de dispersión. La dispersión de una partícula sobre un centro dispersor desde un punto de vista cuántico considera una onda plana incidente sobre el centro dispersor del cual se emiten ondas esféricas de salida y entrada.

La onda plana incidente se expresa como una superposición de ondas esféricas entrantes y salientes. Después de la dispersión, las ondas esféricas salientes se modifican por dicho proceso. La función de onda incidente (plana) se la expresa entonces en base de las funciones esféricas de Bessel y las funciones de Legendre.

∑∞

=

+==0

)(cos)()12(l

lll l θψ PkrjiAAeikz

inc

Cuando las ondas están lejos del centro dispersor, los esféricos de Bessel se pueden aproximar como:

115

kreei

krkrsenkrj

krikri

2)2/()(

)2/()2/( πππ ll

l

l −−− −=

−=

Así,

[ ]∑∞

=

−−−+ −+=0

)2/()2/(1 )(cos)12(2 l

llll l θψ ππ Peei

krA krikri

inc

Después de la colisión la función de onda estará dada por12:

[ ]∑∞

=

−−−+ −+=0

)2/()2/(1 )(cos)12(2 l

llll l θηψ ππ Peei

krA kri

lkri

Puesto que

scinc ψψψ += entonces

( )∑∞

=

−+ −+=0

)2/(1 )(cos1)12(2 l

ll

ll l θηψ π Pei

krA kri

sc

( )∑∞

=

−+=0

)(cos.1.).12(2 l

lll θηψ Pir

ek

A ikr

sc

La componente r de la densidad de corriente de probabilidad dispersada es:

∂∂

−∂∂

= scscsc

scsc rrimj ψ

ψψψ

**

2h

2

022

2 )(cos)1.().12(4 ∑

∞

=

−+=l

lllh θη Pi

rmkAjsc

La densidad de corriente de probabilidad incidente es tan solo:

2Amkjinch

=

La sección eficaz diferencial del proceso de dispersión esta definida como:

inc

sc

jdrj

d)( 2 Ω

=σ

Así, 2

02 )(cos)1.().12(

41 ∑

∞

=

−+=Ω l

lll θησ Pikd

d

Integrando esta expresión en el ángulo sólido

12 También se le suele escribir como:

refAe

ikrikz )(θψ += y

2)(θσ fdd

=Ω

116

∑∞

=

−+=0

22 1)12(l

llD ηπσ sc

Si la dispersión es elástica entonces: 1=lη . Se considera por conveniencia un factor l

lδη ie2=

donde δl es el corrimiento de fase de la onda parcial l-ésima13 Se puede demostrar fácilmente que ll δη 22 41 sen=− De manera que para el caso de colisiones elásticas la sección de dispersión toma la forma:

∑∞

=

+=0

22 )12(4l

llD δπσ sensc

Para la dispersión de onda S, en particular se tiene:

022

0 4 δπσ senD= Regresando al análisis anterior de partícula en el pozo de potencial y considerando un valor de energía menor a 10 keV, con una profundidad de pozo de V0 = 35 MeV encontramos los siguientes valores numéricos:

12

01 92.0

)(2 −=+

= fmEVm

kh

122 016.02 −≤= fmmEk

h

Escribiendo la ecuación trascendental como:

αδ −=+ )( 0022 Rkctgk donde

)( 011 Rkctgk−=α con un poco de manipulaciones trigonométricas se puede demostrar que:

22

2

202202

02

/1))/((cos

kRsenkkRk

senαα

δ++

=

y así, 2

022

02222

cos4

+

+= Rsenk

kRk

kα

απσ

Si consideramos R0 = 2.1 fm, vemos que k2

2 << α2 y k2 << 1 De modo que:

bR 6.4)21(402 =+≈ α

απσ

que sugiere que la sección eficaz es constante a bajas energías. La figura muestra datos experimentales con relación a este resultado. 13 Para el caso de colisiones con absorciones, remitirse a la página 167.

117

Figura. Sección eficaz de colisión n-p a bajas energías Para valores bajos de energía la sección eficaz toma un valor constante de 20.4b que numéricamente esta lejos del valor que acabamos de calcular. Esta discrepancia puede ser debida a que la interacción fuerte es dependiente de la orientación relativa de los spines de los nucleones involucrados en la colisión. Puesto que éstos son un neutrón y protón y que son partículas de spin ½, al acoplar estos spines, tendremos un estado de spin singlete (S=0) y otro triplete (S=1) para el sistema. Entonces habrá cuatro orientaciones de spin relativo, tres asociados al estado triplete y una al singlete. Cuando el nucleón incidente se aproxima al blanco, la probabilidad de estar en un estado triplete es ¾ y el singlete ¼. Si la sección eficaz es diferente para los estados singletes y tripletes, entonces:

st σσσ41

43

+=

Para determinar el valor 4.6 b en el desarrollo anterior, se tomaron los valores usados en el modelo del deuterón que es solamente para el caso S=1 (acople triplete), por lo que ese valor le asignamos a la correspondiente sección eficaz triplete. Reemplazando el valor experimental encontramos que: σs = 67.8 b. Esta interpretación es correcta la fuerza nuclear depende de la orientación relativa de los spines de las partículas interactuantes. Directamente de la observación de las propiedades del deuterón hubiéramos podido deducir esta dependencia de la fuerza nuclear en el spin, Si no fuese dependiente en la orientación relativa de spines, esperaríamos encontrar estados ligados con S=0 y S=1, esencialmente a la misma energía; pero como se ha visto, no existe estado ligado S=0 y por tanto se concluiría que la fuerza nuclear depende del spin. La verificación experimental de esta dependencia se realiza mediante la determinación de secciones eficaces de la dispersión de neutrones con moléculas Orto-hidrógeno (los spines de los núcleos de la molécula son paralelos) y Para-hidrógeno (los spines de los núcleos de la molécula son anti-paralelos).

La diferencia entre las secciones eficaces de dispersión del neutrón con el orto-H y el para-H es una evidencia de la dependencia de la fuerza nuclear en el spin. Para realizar este experimento se requiere que la longitud de onda del neutrón incidente sea tal que solape la función de onda de los núcleos protónicos de las moléculas. Adicionalmente la energía

118

del neutrón debe ser pequeña también para que se evite estados de excitación rotacionales de las moléculas (0.015 eV). Así se utilizan neutrones con energía cinética de 0.01 eV. Note que el desfase δ0 de la onda S se determina por la forma de la función de onda real y por ende de la forma del potencial de interacción. Sin embargo, se encuentra que la sección eficaz como función de su energía no se altera por el escogimiento del potencial y por tanto nos induce a formular un análisis de dispersión independientemente de la forma del potencial que no muestra influencia sobre el resultado. Para este fin se ha desarrollado un formalismo que describe la dispersión a baja energía en términos de uno o dos parámetros: la longitud de dispersión y el rango efectivo. La longitud de dispersión a, se define como:

2

04lim a

kπσ =

→

Para el caso analizado en esa aproximación se tiene dispersión de la onda S.

ksen

a 0limδ

±= , cuando k tiende a cero.

Hay una ambigüedad en la definición debida al signo, pero por convención se escoge negativo. Aunque la longitud de dispersión tiene dimensiones de longitud, este parámetro representa la fuerza de la dispersión y no su rango. Para ver esto, notemos que δ0 tiende a cero, cuando k tiende a cero de modo que “a” permanece finita. Si consideramos δ0 pequeño, entonces, considerando tan solo el término l = 0 en el desarrollo de la teoría de dispersión:

reAa

re

kA

ikrikr

sc −== 0δψ

Así, “a” da un efecto de amplitud a la función de onda dispersada. El signo de la longitud de dispersión lleva también información, la figura muestra las funciones de onda dispersadas del singlete y triplete.

Figura. El signo de la longitud de dispersión señala si hay o no estado ligado en el sistema

A bajas energías podemos escribir:

ka 0δ−≈

119

y la función de onda dispersada viene a ser:

)()( 2 arsenkCru −= El valor de a está dado para el punto en el cual u(r) se hace cero. La función de onda del triplete para r < R se parece a la del estado ligado del deuterón. Entonces “a” puede visualizarse como la intersección con el eje r de la función de onda de la región del pozo de potencial extrapolada linealmente. El valor de at es positivo. A causa de que no hay estado ligado singlete u(r) no se curva para r<R, así que la pendiente de la función de onda es positiva hasta alcanzar la frontera r = R. Al extrapolar la función de onda de la región r>R vemos que el cero se alcanza en la región negativa de modo que as es negativo. El operador de spin

),,(21

21),,( zyxopzyxop SSSS σσσσ ==≡rr

donde las σ son las matrices de Pauli

41. =pn ss rr

(para el acople triplete)

43. −=pn ss rr

(para el acople singlete)

La longitud de dispersión triplete y singlete pueden expresarse mediante la siguiente identidad:

( ) ( ) pnststst ssaaaaa rr ..341

, −++=

si consideramos que el neutrón interactúa con una molécula de hidrógeno, su longitud de dispersión estará dada por:

( ) ( ) ).(.321

21 ppnstst sssaaaaa rrr+−++=

y puesto que por definición la sección eficaz es:

24 aπσ =

( ) ( )( ) ( ) ( )2222 ...3341

HnstHnststst ssaassaaaaaaa rrrr−+−+++=

donde hemos usado 21 ppH sss rrr

+= el valor medio 0. =Hn ss rr

adicionalmente, )1(41

41)( 22 +==⋅ HHHHn sssss rrr

entonces,

( ) ( ) )1(413

41 222 +−++= HHstst ssaaaaa

ahora,

120

sH = 1 en el orto-hidrógeno, y ( ) ( )222

213

41

stst aaaaa −++=

sH = 0 en el para-hidrógeno, y ( )22 341

st aaa +=

Las secciones eficaces (considerando la dependencia en la velocidad del neutrón incidente, en este caso, velocidad de 770 m/s) las podemos escribir como:

2)3(7.5 stpara aa +=σ 2)(9.12 stparaorto aa −+= σσ

Los valores de las secciones eficaces de dispersión experimentales (una vez corregidos para eliminar procesos de absorción a la velocidad especificada del neutrón) son:

σpara = 3.2 ± 0.2 b σorto = 108 ± 1 b

Si la fuerza fuerte fuese independiente del spin las secciones eficaces y las longitudes de dispersión para el acople triplete y singlete serían iguales, de manera que las secciones eficaces del para-H y orto-H serían también iguales. Los valores experimentales muestran una gran diferencia entre las longitudes de dispersión triplete y singlete, y también sugiere que deben tener signos diferentes, así por ejemplo si se quiere hacer σpara pequeño entonces –3at ≈ as Calculando los valores de las longitudes de dispersión desde los valores experimentales de las secciones eficaces se tiene:

as = -23.55 ± 0.12 fm at = 5.35 ± 0.06 fm

Hay otros experimentos que también son sensibles a diferenciar las longitudes de dispersión triplete y singlete, estos incluyen: 1. la difracción de neutrones en cristales que contienen hidrógeno (hidruros); 2. reflexión total de neutrones a ángulos pequeños en materiales ricos en hidrógeno (hidro-

carbonos). Sus resultados concuerdan con los obtenidos en el experimento previamente explicado. La longitud de dispersión es independiente de la forma del potencial nuclear y depende solo del valor experimental σ0. La teoría que se ha desarrollado hasta ahora, es válida solo para l=0, es decir, partículas incidentes de baja energía mucho menor a 20 MeV. Al incrementar el valor de la energía algunas de las ecuaciones utilizadas dejan de ser válidas, así nos mantengamos dentro de la aproximación l=0. Es necesario por tanto utilizar otra aproximación. Para energías del orden de los MeV se trata la aproximación del rango efectivo, en la cual tomamos solo los dos primeros términos del desarrollo en potencias de k:

...211 2

00 ++−= kra

kctgδ

la cantidad a es la longitud de dispersión (a energía casi cero) ya definida, y r0 es un nuevo parámetro llamado “rango efectivo”, que es aproximadamente el radio al cual el potencial se anula. Una de las ventajas de esta representación es que “a” y “r0” caracterizan el potencial nuclear

121

independientemente de su forma, es decir, repetiríamos todos los cálculos con otro potencial (distinto al pozo cuadrado) y deduciríamos los mismos valores de a y r0 analizando las secciones eficaces experimentales. Similarmente a las longitudes de dispersión, el rango efectivo es diferente para los estados singlete y triplete. Para una serie de experimentos, se puede deducir el mejor conjunto l=0 de parámetros para la interacción protón-neutrón:

as = -23.715 ± 0.015 fm r0s = 2.73 ± 0.03 fm at = 5.423 ± 0.005 fm r0t = 1.748 ± 0.006 fm

Se puede estimar la energía del estado singlete del sistema n-p, la cual es +77 keV, que es ligeramente no ligado. Se sabe que la sección eficaz para el caso l=0 es:

20

2

0.4ksen δπ

σ = o también, 0

220 114

δπσ

ctgk +⋅=

En función de los parámetros a y r0

22

022

2

0

211

.4

−+

=

akrak

aπσ

Los errores involucrados en la aproximación de r0 son más pequeños que las indeterminaciones experimentales para la sección eficaz p-n en el rango hasta 15 MeV. Interacción Protón – Protón Este tipo de interacción, lo mismo que la interacción neutrón-neutrón tiene la particularidad que son interacciones entre partículas idénticas. El proyectil y el blanco viene descritas por una función de onda común, y a causa de que los nucleones son partículas de spin ½ (es decir, fermiones) esta función de onda debe necesariamente ser anti-simétrica con respecto al intercambio de nucleones (principio de exclusión de Pauli). Si consideramos dispersiones de baja energía, es decir l=0, el intercambio de las coordenadas espaciales de las dos partículas no cambia de signo. Así, la función de onda es simétrica con respecto al intercambio de coordenadas espaciales y debe necesariamente ser anti-simétrica con respecto al intercambio de coordenadas de spin de manera que la función de onda total sea anti-simétrica. La función de onda de spin anti-simétrica, corresponde a un spin combinado total cero (acople singlete de los spines de los nucleones incidente y blanco) que se la puede representar por la función de onda:

[ ])()()()(2

11221 ↓↑−↓↑= φφφφχ s

donde las funciones de onda son las de spin para las partículas. Podemos decir, en este caso, que solo el acople singlete contribuye con la dispersión de la onda S. A energías más altas, dispersiones tipo P (estados espaciales anti-simétricos con l=1) ocurren acompañados solo por estados simétricos de spin, es decir acople triplete. Las dos colisiones entre partículas idénticas en el sistema centro de masa que se muestra en la figura son equivalentes. No hay forma de distinguir entre estas dos situaciones.

122

Figura. Colisisón entre partículas idénticas

La función de onda dispersada, o amplitud de probabilidad de dispersión, debe por tanto incluir contribuciones para la dispersión por un ángulo θ y por un ángulo π - θ. Puesto que la sección eficaz es proporcional al cuadrado esta amplitud de probabilidad, habrá un término proporcional a la dispersión por θ, otro a la dispersión por π - θ y otro de interferencia (puramente cuántico). Al considerar la dispersión protón-protón, la función de onda debe describir tanto la dispersión de Coulomb como la nuclear y por tanto habrá un término adicional de interferencia Coulomb-nuclear en la sección eficaz, además de los términos de Coulomb y nuclear que se eliminan en el límite cuando e (carga eléctrica) tiende a cero y δ0 tiende a cero, respectivamente. La sección eficaz diferencial de la dispersión protón-protón es:

nuclearnucleaerRuthRuthRuth dd

dd

dd

dd

dd

dd

Ω

+

Ω

+

Ω

+

Ω

+

Ω

=

Ω −−−

σσσσσσ

θπθθπθ )()(

donde :

2

14

14 4

2

2

0

2

θπεσ

θ senEe

dd

Ruth

=

Ω

2cos

14

14 4

2

2

0

2

)( θπεσ

θπ Ee

dd

Ruth

=

Ω −

2cos

2

2tanln.cos

41

4 22

2

2

2

0

2

)( θθ

θη

πεσ

θπθ senEe

dd

−=

Ω −

+

+

+

−=

Ω −

2cos

2cosln.cos

2

2ln.cos

41

42

2

20

2

20

2

2

0

2

0 θ

θηδ

θ

θηδ

πεδ

ησ

sen

sen

Eesen

dd

nuclearRuth

02

2

2

0

2

2 41

44 δ

πεησ sen

Ee

dd

nuclear

=

Ω

siendo, E la energía cinética (en el laboratorio) del protón incidente (protón blanco en reposo).

123

θ : el ángulo de dispersión en el sistema centro de masa.

βαη = con α la constante de estructura fina:

ceh0

2

4πεα = y β = υ / c

Los términos pueden identificarse fácilmente: 1. Rutherford θ 2. Rutherford (π-θ) 3. Rutherford Interferencia θ y (π-θ) 4. Interferencia Coulomb-nuclear 5. Nuclear puro

Figura. Sección eficaz diferencial p-p

Cuando la carga eléctrica tiende a cero, solamente el término nuclear puro sobrevive y la sección eficaz coincide con la obtenida anteriormente. Aunque parece ser complicado en la práctica, el procedimiento para estudiar la interacción protón–protón es conceptualmente simple; puesto que δ0 es el único parámetro desconocido en la sección eficaz diferencial. Se puede medir con relativa facilidad la sección eficaz como función del ángulo de dispersión para un valor determinado de energía incidente de las partículas. De esta forma se extraería el valor de δ0 de un ajuste de los datos experimentales con la expresión teórica escrita anteriormente. Así para E = 3.037 MeV δ0 = 50.966º. Valores menores a la curva de nuclear pura en la figura, corresponden al término de interferencia Coulomb-Nuclear. La dependencia de δ0 con la energía E se muestra en la figura:

Figura. Dependencia del ángulo δ0 como función de la energía.

124

El próximo paso en la interpretación de estos datos es la representación de la dispersión en términos de cantidades independientes de energía, tales como longitud de dispersión y rango efectivo. Desafortunadamente esto no es sencillo puesto que la interacción de Coulomb es de rango infinito y aún en el caso de que k tiende a cero no podemos eliminar términos superiores en el desarrollo de la aproximación de rango efectivo. Sin embargo con ciertas modificaciones y un análisis experimental mucho más elaborado se obtienen los siguientes valores:

a = -17.1 ± 0.2 fm r0 = 2.84 ± 0.03 fm

Interacción neutrón-neutrón. El estudio de la dispersión neutrón-neutrón estaría libre de efectos coulombicos y su análisis sería más sencillo, sin embargo desde el punto de vista experimental el problema es bien complejo por lo que se realiza mediante medidas indirectas donde una tercera partícula esta involucrada. Experimentos delicados y considerando una serie de correcciones pueden dar los valores de la longitud de dispersión y rango efectivo en este caso. Así, algunas reacciones involucradas son:

pnHnnH

oo

o

+→+

+→+−

.2.2

2

2 γπ

Es posible deducir los parámetros de la dispersión n-n de la comparación de las reacciones espejo:

nHeHHpHHHe

22

323

323

+→+

+→+

El análisis mostró:

a = -16.6 ± 0.5 fm r0 = 2.66 ± 0.15 fm

donde el a negativo indica la no formación de estados ligados. Propiedades de la Fuerza Nuclear. De lo estudiado anteriormente en la interacción entre dos nucleones proponemos plantear un potencial que considere todas las propiedades deducidas. Adicionalmente consideramos el hecho de que la interacción fuerte satisface las simetrías de paridad e inversión temporal, es decir: Paridad (inversión espacial) rr rr

−→ Inversión espacial tt −→ Potencial Central. La interacción entre dos nucleones, consiste de un pozo de potencial atractivo Vc(r) como primera aproximación a la interacción fuerte, que depende de la distancia inter-nucleónica. Dependencia en el spin. ¿Cuál es la forma del término adicional que debemos añadir al potencial nuclear para tomar en cuenta esta dependencia en el spin? Este término debe depender de los spines de ambos nucleones pero no todas las combinaciones son posibles. La fuerza nuclear debe satisfacer las simetrías anteriormente mencionadas, que restringen la forma del potencial que se busca.

125

En una inversión espacial, el momento angular no varía (seudo vector) mientras que si lo hace en una inversión temporal. De modo que términos s1, s2 o combinaciones lineales de estos son prohibidos. Se debe entonces plantear términos cuadráticos s1

2 s22 y s1.s2. Todos estos son

invariantes respecto a la paridad. El término más simple que involucra los dos spines de los nucleones es el más apropiado. Consideremos este valor para los estados singlete y triplete.

)).((. 21212 ssssSSS rsrsrr

++==

( ) [ ] 22211

22

21

221 )1()1()1(

21

21. h

rs+−+−+=−−= ssssSSssSss

Para nuestro caso s1 y s2 valen ½. Entonces, para el estado singlete y el triplete se tiene:

221

221

41.

43.

hrs

hrs

=

−=

ss

ss

Así, el la expresión que se debe incluir en el potencial por la dependencia del spin será:

).).(( 21 ssrVSrs

que dará diferentes secciones eficaces calculadas para los estados singlete y triplete. La magnitud VS puede ajustarse para dar las diferencias correctas entre dichas secciones eficaces. La dependencia radial se puede ajustar para dar la apropiada dependencia en energía. Podríamos también escribir este potencial en función de más parámetros:

)(43.)(

41.)( 32

2112

21 rVssrVssrV

++

−−=

h

rr

h

rr

donde V1 y V3 son potenciales que separadamente dan los apropiados comportamientos de los estados singlete y triplete. Contribución no central (o tensorial) La evidencia experimental de una fuerza tipo tensorial esta dado por el valor Q distinto de cero del momento cuadrupolar eléctrico del Deuterón en el estado base. Un estado S puro (l=0) tiene una función de onda esféricamente simétrica y en este caso Q debería anularse. Es por tanto necesario que sea una mezcla de estado S y estado D (l=2). Las funciones de onda con mezclas de l deben ser el resultado de potenciales no centrales. Esta fuerza tensorial se la puede representar por un potencial que depende del vector posición antes que de su modulo. Para un nucleón simple el escogimiento de una cierta dirección espacial es arbitrario, su única dirección de referencia es la de su spin y por tanto solo términos de la forma ).( rs rr o )( rxs rr

, los cuales relacionan r a la dirección de s, son los que contribuirían al potencial. Para satisfacer los requerimientos de invariancia de paridad debe haber un número par de factores de r, y así para dos nucleones el potencial debe depender de termínanos tales como:

)).(().).(.(

21

21

rxsrxsrsrsrrrr

rrrr

126

se puede demostrar que estos dos términos pueden escribirse uno como función del otro. Sin pérdida de generalidad, la contribución tensorial al potencial inter-nucleónico puede ser de la forma:

−= ).().).(.(3)( 2122124 ssrsrsr

rVVTrrrrrr

el cual da a la fuerza fuerte su carácter tensorial y cuyo promedio en todas las direcciones se anula. Simetría e Independencia de carga. La simetría de carga (nuclear) se puede expresar, para la interacción de dos nucleones, diciendo que la interacción entre dos protones es idéntica a la interacción entre dos neutrones:

Fpp = Fnn De acuerdo con lo anteriormente discutido, los parámetros de las dispersiones (p,p) y (n,n) son:

(p,p) (n.n) a = -17.1 ± 0.2 fm a = -16.6 ± 0.5 fm r0 = 2.84 ± 0.03 fm r0 = 2.66 ± 0.15 fm

La independencia de carga, en forma similar, la podemos representar mediante la ecuación:

Fpp = Fnn = Fpn Que es un criterio más fuerte que el de simetría de carga. En efecto los parámetros de dispersión para (n,p) son de aproximadamente (a = -23.7 fm) para el estado de acople singlete, que a primera vista, parece diferir de los valores de la longitud de dispersión para (p,p) y (n,n) que están alrededor de los valores (a = -17 fm).

Figura. Una pequeña variación de la función de onda produce una diferencia razonable en el valor de la longitud de dispersión

Sin embargo, como se puede en la figura, las longitudes de dispersión son extremadamente sensibles a las funciones de onda nuclear cerca de r=R. Una pequeña variación de la función de onda puede producir una gran variación de la longitud de dispersión. Así, la gran diferencia en este parámetro para (n.n), (p,p) y (n,p) corresponden a diferencias menores del orden del 1% entre los potenciales. Si se considera entonces la independencia de carga, se podría introducir un potencial de la forma:

).)(( 21 TTrVVI

rr=

Si se quisiera tomar en cuenta la diferencia Fpp = Fnn y Fpn, se podría introducir un potencial nuclear de la forma:

127

21)( zzI TTrVV ⋅= Un término con el operador 21 zz TT + nos permitiría distinguir entre las fuerzas Fpp, Fnn, y Fpn. Ejercicio 1. Encuentre los valores propios de los siguientes tres operadores:

a) )( 21 TTrr

⋅ b) 21 zz TT c) 21 zz TT + Repulsión a distancias cortas. La interacción nucleón-nucleón viene a ser repulsiva a distancias cortas, esta conclusión proviene de consideraciones cualitativas de la densidad nuclear: mientras más nucleones añadimos al núcleo, el núcleo crece de tal forma que su densidad central permanece siempre constante y así “algo” impide a los nucleones amontonarse entre ellos. Cuantitativamente se puede estudiar la dispersión nucleón-nucleón a altas energías. La figura muestra los desplazamientos de fase para la onda S hasta los 500 MeV. A estas energías los desfases de las ondas P y D contribuyen también a la sección eficaz.

Figura. Cambio de signo de δ0 al incrementarse la energía

El desfase de la onda S se puede extraer muy fácilmente de la sección eficaz diferencial, pues éste será el término independiente de θ. Alrededor de los 300 MeV, este desfase cambia de signo (se vuelve negativo) lo que corresponde a un cambio de una fuerza atractiva a una repulsiva. Para considerar esta fuerza repulsiva debemos modificar los potenciales antes usados introduciéndoles un término repulsivo a distancias cortas. Así por ejemplo:

><<−

<∞=

RrRrRV

RrrV core

core

..........0....

.........)( 0

y podemos ajustar Rcore hasta tener un ajuste satisfactorio con el desfase observado para la onda S (el valor Rcore = 0.5 fm se ajusta bien). La interacción fuerte depende de la velocidad relativa entre nucleones. Esta dependencia se la puede representar por un potencial que contenga la cantidad de movimiento. Bajo la operación de paridad, pr cambia de signo y también bajo la inversión temporal. Así

128

cualquier término que incluya pr viola ambas inversiones. El término pxr rr satisface paridad pero

viola inversión temporal. Sin embargo, se puede construir un término menor que satisface ambas operaciones de simetría, y éste es:

SLrVSpxrrVV soso

rrrrr⋅⋅== )().).((

donde S es el spin total del sistema de nucleones. Aunque pueden existir términos de orden superior, éste es el de primer orden en pr que satisface ambas simetrías. La evidencia experimental que soporta la interacción spin-orbita viene de la observación de la polarización de los nucleones dispersados. La polarización de un haz de nucleones (o de nucleones blanco) se define como:

)()()()(

↓+↑↓−↑

=NNNNP

donde )(↑N y )(↓N se refieren al número de nucleones con componentes de spin para arriba y abajo respectivamente. Este parámetro varía de –1 a 1, un haz no polarizado tiene P=0, es decir, igual número de nucleones con spin para arriba y para abajo. Consideremos el siguiente experimento de dispersión:

Un haz no polarizado se dispersa con un nucleón blanco con spin para arriba. Supongamos que la interacción causa que los nucleones con spin para arriba se dispersen un ángulo θ y los que tienen spin para abajo un ángulo -θ. Este mismo experimento lo podemos interpretar como la dispersión de un haz no polarizado por un nucleón blanco con spin para abajo. Y una vez más vemos que los nucleones incidentes con spin para arriba se dispersan un ángulo θ y aquellos con spin para abajo un ángulo -θ. Aunque esta situación parecería violar la simetría de reflexión, uno podría convencerse que no es así mirando la imagen espejo del primer experimento. La paridad se conserva si en el ángulo θ se observa una polarización P y el ángulo -θ una polarización –P.

Veamos como la interacción spin-órbita puede dar lugar a este tipo de dispersión con polarización. La siguiente figura muestra dos nucleones cada uno con spin para arriba sobre un blanco con spin también para arriba, considerando las dispersiones de cada partícula individualmente con la partícula blanco, se tiene que, en este caso S=1 (las dispersiones que incluyen solamente ondas S deben ser esféricamente simétricas y por tanto no habrá polarización, es decir, l=0 en el término spin-orbita. Las ondas P (l=1) que se dispersan con nucleones idénticos tienen una función de onda espacial anti-simétrica y por tanto la de spin simétrica). Asumimos Vso negativo. Para el nucleón incidente 1, L = rxp está dirigido hacia adentro de la página y por tanto L.S es negativo ya que L y

129

S apuntan en direcciones opuestas. La combinación total es positiva y hay una fuerza repulsiva entre el nucleón blanco y el incidente 1, el cual sale hacia la izquierda en la figura. Para el nucleón 2, L apunta hacia arriba y L.S es positivo, lo que hace que este potencial sea negativo, es decir hay una fuerza atractiva entre el nucleón blanco y el incidente 2, saliendo este ultimo también hacia la izquierda.

Los nucleones con spin para arriba son por lo tanto potencialmente dispersados a la izquierda. Siguiendo el mismo argumento, los nucleones con spin para abajo serán dispersados potencialmente a la derecha. Así, la fuerza spin-orbita puede producir haces dispersados polarizados cuando un haz no polarizado incide sobre un blanco. A bajas energías donde la dispersión de onda S domina, no esperaríamos observar polarización, pero mientras la energía se incrementa, la contribución de dispersión de la onda P se incrementa y observaríamos un incremento en la polarización. La siguiente figura muestra datos de un experimento que corrobora este argumento. De la variación de P con el ángulo θ y con la energía E, se podría deducir algo de información sobre Vso(r). El tópico general de polarización en reacciones nucleares es mucho más complicado que el analizado aquí.

Figura. Resultados experimentales de polarización De esta cantidad enorme de información experimental (secciones eficaces diferenciales, dependencias de spin, polarización) es posible proponer un conjunto de potenciales fenomenológicos que se ajustan razonablemente con los datos experimentales. Los cuales pueden usarse en cálculos de núcleos más complicados. Añadiendo términos al potencial nuclear siempre lograremos un ajuste con los datos experimentales, pero no incrementamos nuestro conocimiento acerca del mecanismo de la interacción nucleón-nucleón.

130

Modelo de fuerza de intercambio. Existen dos argumentos principales que sugieren la presencia de fuerzas de intercambio dentro del núcleo:

• Saturación de la fuerza nuclear (densidad nuclear constante). • Dispersión (n, p) a altas energías. La sección eficaz diferencial muestra un pico fuerte a un

ángulo cercano a cero y 180º

Figura. Sección eficaz diferencial n,p a energías intermedias

La justificación para pequeños ángulos de deflexión,

ppsen ∆

≈θ≈θ

Si F es la fuerza promedio que actúa sobre el tiempo de colisión ∆t, entonces ∆p=F∆t, la fuerza es:

drdVF −= , entonces la fuerza promedio debería ser del orden de V0/R, donde V0 es la profundidad

del pozo y R su rango (aún si el potencial no fuese cuadrado, se tendría la misma aproximación). El tiempo de colisión sería del orden de R/υ, siendo υ la velocidad del proyectil. Así,

EV

pvV

pRvRV

ptF

pp

2000 ===

∆=

∆=θ

siendo E la energía cinética del proyectil. Esto para ángulos del orden de 10º y pequeños. Puesto que la interacción nuclear actuará a distancias nucleares, esperaríamos que las colisiones con pequeño θ son las más probables que aquellas con grandes ángulos de desviación. Ciertamente no esperaríamos ver picos a 180º, aunque es tentador considerar que este pico de reversa en el centro de masa es el resultado de colisiones directas, la indicación arriba argumentada nos dice que tal explicación es poco probable. Una explicación más exitosa se basa en el intercambio, es decir, si durante la colisión el neutrón y el protón intercambian lugares. Así en lugar de considerar dispersiones a grandes ángulos, estas también vienen a ser dispersiones a ángulos chicos.

131

En este caso se dice que:

xNN +→ 11

22 NNx →+ Cómo es posible que un nucleón emita partículas con energía en reposo mxc2 y permanezca como el mismo nucleón sin violar la ley de conservación de la energía. Esto no es posible a menos que la emisión y la absorción de dicha partícula tenga lugar en un tiempo ∆t en el cual no hay manera de saber si el principio de conservación ha sido violentado. Este tiempo de cuerdo con la relación de Heisenberg es:

2cmt

x

h<∆

El rango de la fuerza se define como la distancia que estas partículas creadas pueden viajar en el tiempo ∆t.

2cmctcR

x

h=∆=

Para las fuerzas nucleares de rango de 1 fm, se tiene que las partículas de intercambio (virtuales) son del orden de los 200 MeV. Observamos la fuerza que resulta del intercambio de partículas pero no a las partículas en sí. Las partículas que median la interacción fuerte son los piones (inicialmente llamados mesones). Para satisfacer toda la variedad de intercambios debe al menos haber 3 piones con cargas eléctricas ±1, 0. Los piones tienen spin cero y masa en reposo (139.6 MeV los cargados y 135 MeV el no cargado). Estos son responsables de la interacción a rango largo (1.0 a 1.5 fm) A rangos menores (0.25 fm) el mesón ω (783 MeV) puede contribuir al centro repulsivo. El intercambio del mesón ρ (769 MeV) puede proveer de la parte de interacción spin-orbita.

Figura. Diagramas de Feynman para la dispersión n-p

El intercambio de un pión puede ser equivalente, por tanto, a un intercambio de carga, y si la emisión o absorción del pión por un nucleón esta ligada al spin del nucleón, el intercambio del pión puede dar también un intercambio de spin. Se puede pensar entonces que los nucleones intercambian sus coordenadas espaciales y de spin.

132

Mucho antes de considerar a las interacciones como un intercambio de partículas virtuales, el análisis de las fuerzas de intercambio se hacía de la siguiente manera. Para un sistema de dos nucleones, la función de onda se la puede escribir como una función de onda que depende de la posición relativa de las dos partículas y otra dependiente del spin, es decir,

122121 )(),,,( χψ rssrr rrr=Ψ

De acuerdo con el formalismo mecánico-cuántico, se pueden entonces escribir cuatro tipos de interacciones, una de no intercambio y las restantes de intercambio, entre dos cuerpos y estas son: a) No intercambio (Wigner)

V12 = V(r).W12 Donde el operador W12 es el operador unidad. Las fuerzas son siempre atractivas. b) Intercambio de spin (Bartlett)

V12 = V(r).B12 El operador B12 intercambia los spines, es decir,

B12.χ12 = χ21 Para el estado triplete (S=1) χ12 es simétrica, y para el estado singlete χ12 es antisimétrica, de manera que las fuerzas de Bartlett son atractivas para estados tripletes y repulsivas para los singletes. c) Intercambio espacial (Majorana)

V12 = V(r).M12 El operador M12 es el operador paridad en este caso. De modo que las fuerzas de Majorana son atractivas para estados de paridad par (estados S, D,...) y repulsivas para estados de paridad impar (estados P, F,...) d) Intercambio espacial y de spin (Heisenberg)

V12 = V(r).H12 donde el operador H12 intercambia las coordenadas espaciales y de spin. Evidentemente,

H12 = M12 B12 El potencial es atractivo para estados triplete pares y estados singletes impares, es decir, para estados donde la función de onda ( )21,21 ,, ssrr rr

Ψ es simétrica; y repulsiva para estados triplete impares o singletes pares, es decir, estados donde ψ es antisimétrica. Puesto que la función de onda completa es:

ψespacial ψspin ψcarga

y debe ser anti-simétrica, la función de onda de carga (o isospínica) debe ser anti-simétrica para el caso de potencial atractivo y simétrica para el caso de potencial repulsivo. Los diferentes operadores pueden representarse matemáticamente de la siguiente forma:

133

W12 =1

( )2112 121 σσ rr

⋅+=B

( )( )212112 1141 ττσσ rrrr

⋅+⋅+−=M

( )2112 121 ττ rr

⋅+=H

Una representación grafica de los potenciales de intercambio se muestra a continuación:

Figura. Interacción de intercambio entre nucleones Esto prueba que los potenciales de intercambio o una combinación lineal cualquiera de ellos estaban presentes al describirse la interacción fuerte por medio del potencial total planteado anteriormente. El modo en que las fuerzas de intercambio producirían la saturación nuclear es evidente. Cuantos más nucleones entren en el núcleo, las fuerzas repulsivas tienden a compensar las atractivas e impiden el colapso nuclear. Puesto que en un núcleo atómico habrá aproximadamente tantos nucleones en estados de momento angular impar como par, un gran predominio de las fuerzas de Majorana sobre las de Wigner conduciría a la saturación (pero esto no se observa). Las fuerzas de Bartlett y Heisenberg no pueden ser dominantes ya que conducen a repulsión en el estado singlete S del deuterón y sabemos que este estado, aunque no tanto como el triplete es también atractivo. La teoría de intercambio de mesones fue desarrollada por Yukawa. El intercambio nucleónico puede ser representado por un potencial de la forma:

rerV

Rr /

)(−

=

donde R representa el rango de la fuerza cm

Rπ

h≈ aproximadamente 1.5 fm.

Un potencial más detallado es el potencial de intercambio de un pión (OPEP) el cual esta dado por la ecuación:

( )( ) Rr

erR

rRsss

Mccmg

rVRr

/331.

3)(

/

2

2

122122

322 −

+++=

rr

h

ππ

donde la constante gπ es la constante de acoplamiento de la interacción fuerte.

134

La ecuación de onda para mesones de spin cero y masa m esta dada por:

012

2

22

222 =Φ

∂∂

−+∇tc

cmh

la ecuación independiente del tiempo:

( ) 022 =Φ−∇ µ

donde h

mc=µ

Una solución con simetría esférica es:

reg

rµ−

=Φ

la energía de interacción sería:

reggV

rµ−

=Φ= 2

La teoría de Yukawa es solo una aproximación (no fundamental); como se mencionó anteriormente la interacción fuerte esta descrita actualmente por la Cromo-dinámica Cuántica. Hubieron varios intentos por describir la interacción fuerte, se destacan: la bootstrap o democracia nuclear y los polos de Regge. Sistemas de tres nucleones. Los sistemas de tres nucleones que podemos formar son: (n,n,n) no existe (p,p,p) no existe (p,n,n) H3 núcleo del Tritio es núcleo beta radiactivo. (p,p,n) He3 Helio 3 núcleo estable Tanto H3 como He3 no tienen estados excitados y forman un duplete isospínico. Las principales propiedades de estos elementos se muestran en la siguiente tabla. Propiedades H3 He3

Jπ (estado base) ½+ ½+ µ (en unidades µN) 2.9786 -2.1274 Energía de enlace (MeV) 8.482 7.718 Energía de enlace por nucleón (MeV) 2.827 2.573 Masa (uma) 3.016050 3.016030 Los valores de la energía de enlace y momentos dipolares magnéticos excluyen la posibilidad de un estado S puro. Ejercicios 1. Indique las propiedades de la fuerza nuclear que pueden ser deducidas del estudio experimental

del deuterón.

135

2. Calcule la fracción de tiempo durante la cual los dos nucleones que constituyen el Deuterón se encuentran dentro y fuera del alcance de la correspondiente interacción.

3. ¿Por qué el estado base del deuterón debe tener una componente además de la S y por qué ésta debe ser tipo D y no tipo P?

4. Considerando que el estado del deuterón es una superposición de estados puros s y d, deduzca por qué hay un término cruzado en el valor medio del momento cuadrupolar eléctrico y no en el dipolar magnético.

5. Evalúe la energía de interacción entre los dipolos magnéticos intrínsecos del deuterón y compárelos con la energía de enlace. Use como separación media de los nucleones 2 fm.

6. Calcule la energía mínima de un fotón para disociar un Deuterón, si la energía de enlace del deuterón es 2.224589 MeV.

7. Cómo probaría que el estado isotópico del deuterón corresponde a un estado iso-spínico T= 0. (Utilice la simetría de la función de onda).

8. Resuelva el problema del deuterón, considerando un potencial con centro repulsivo finito, es decir:

≥≤≤≤≤

=00

0)( 00

rRrbV

brCrV

Encuentre la función de onda para una partícula con E<0.

9. A partir de la sección eficaz de dispersión singlete y (l = 0) para p-n (67.8 barn) encontrar la energía del estado del deuterón para este caso. Mostrar que es no ligado.

10. A energías del orden de 1 MeV, no es suficiente describir la interacción nucleón-nucleón en términos de la longitud de dispersión. ¿Qué nuevo parámetro se introduce adicionalmente. El signo de la longitud de dispersión lleva información física acerca del sistema. ¿Cuál?

11. El momento cuadrupolar eléctrico del deuterón se lo puede escribir como:

∫

−= drrrwrwruQ 22 )(

21)()(2

101

en términos de las funciones de onda u(r) y w(r) de los estados 3S1 y 3D1. Estas funciones están dadas como:

krenkru −

+=

212)( ; kre

nknrw −

+=

212)( con 2

bmE2kh

−=

donde: Eb es la energía de enlace del deuterón (2.2246 MeV), m es la masa reducida del sistema. Considere: mp = 938.28 MeV/c2 y mn = 939.57 MeV/c2. Use la información experimental del momento cuadrupolar del deuterón, i.e., Q = 0.00288 b, para determinar la cantidad de estado D en el deuterón en este modelo.

12. Calcular la sección eficaz diferencial y la total para la dispersión elástica n-p cuando neutrones de 7 MeV en el CM colisionan con protones. Considere la profundidad del potencial nuclear 35 MeV.

13. La sección eficaz diferencial medida en la dispersión p-p es 0.111 barn/sterad a 30º en el sistema de laboratorio y a una energía incidente de 4.2 MeV. ¿cuánto vale δ0?

14. Si la energía de enlace del deuterón fuese 10 MeV. ¿Cuál sería aproximadamente la profundidad del pozo que modela la fuerza?

15. Del hecho de que el estado singlete del deuteron es apenas no enlazado (E∼0) obtener una relación entre V0 y R para la aproximación del pozo cuadrado y l par y compárelo con el correspondiente a S=1 y potencial l par.

136

MODELOS TEÓRICOS DE LOS DECAIMIENTOS RADIACTIVOS DECAIMIENTO ALFA En el decaimiento radiactivo alfa, un núcleo excitado (o radiactivo) decae a un núcleo más estable mediante la emisión de un núcleo de Helio doble ionizado (partícula α). La cinemática de este decaimiento ya fue analizada en un capitulo anterior. Un análisis experimental de emisores alfa muestra una correlación entre el tiempo de vida media y la energía de la partícula alfa emitida. Esto se muestra en la siguiente tabla.

Emisor alfa E [MeV] Tiempo de vida media Polonio 212 8.8 3 10-7 sec Polonio 214 7.7 1.6 10-4 sec Polonio 210 5.3 1.38 102 días Radio 226 4.7 1.62 103 años Uranio 238 4.1 4.5 109 años

Las investigaciones pioneras de Geiger y Nuttal, quienes midieron las constantes de decaimiento y los rangos de las partículas alfa en aire, llevaron a proponer la siguiente relación:

αλ Rba log.log += donde a y b son constantes empíricas. El rango Rα es una medida directa de la energía Eα Además lograron relacionar el Rango de las partículas alfa en aire con su velocidad mediante una ecuación empírica:

3.υα cR ≅ (regla de Geiger) donde c es otra constante empírica. Una relación de Geiger-Nuttal mucho más conocida es:

αλ EDC /log += donde C y D varían lentamente con Z y son independientes de N. (Para Z=90, C=52 y D=140) y Eα es la energía de la partícula alfa expresada en MeV. Otra relación empírica fue propuesta por Swinne la cual es:

fed υλ +=log donde d, e y f son constantes empíricas con f en el intervalo [1,2] Solo con el advenimiento de la mecánica cuántica se tuvo una explicación satisfactoria de la fuerte relación que existe entre la constante de decaimiento y la energía de la partícula en el decaimiento alfa. Barrera de Potencial. El campo de fuerza ejercido sobre una partícula se lo puede representar por el potencial nuclear. Una partícula cargada positiva estará sujeta a la combinación entre la fuerza nuclear y la repulsiva electromagnética.

137

Figura. Pozo de potencial donde se encuentran confinadas las partículas α

Clásicamente, una partícula α con energía R

zZeE2

≤ no será capaz de atravesar la barrera de

potencial. Sin embargo la mecánica cuántica indica que existe una probabilidad finita de que la partícula atraviese la barrera (tunneling) por efecto túnel. Este efecto es consecuencia directa del principio de incertidumbre de Heisenberg.

Dh

h

=≥∆

≈∆≈∆∆

px

ppxp

Si D excede el tamaño de la barrera habrá efecto túnel. Barrera de potencial cuadrada. La figura muestra un caso particular de barrera donde es fácil el cálculo del coeficiente de transmisión a través de la barrera.

El coeficiente de transmisión se define como el flujo de probabilidad que atraviesa la barrera sobre el flujo de probabilidad incidente, y en este caso se encuentra que es:

( )1

22

0

20

21

41

)(41 22

−

−

−+

−+= bkbk ee

EVEV

T

para el caso de barreras anchas donde bk2 >> 1

[ ] 22/10 /)(22 hEVmbeT −−≈

la cual se conoce como la fórmula de Gamow.

138

Se generaliza este resultado para barreras de potencial en forma arbitraria. La transparencia puede ser aproximada crudamente de la fórmula de Gamow donde la barrera se reemplaza por una suma de barreras infinitesimales rectangulares. Así,

( )[ ]

−−≈ ∫b

a

dxExVmExpT 2/1)(22h

(esto se muestra en la figura superior). Para el caso nuclear, la resolución de la ecuación de Schrödinger lleva a una ecuación radial de la forma14:

Euumr

Vdr

udm

=

+++− 2

2

2

22

2)1(

2hllh

para la función u(r) = r.R(r), donde aparece una contribución centrífuga al potencial, de modo que hay una contribución repulsiva adicional, la cual está representada en la figura general de pozo de potencial. Para el caso del decaimiento α el efecto de un alto valor de l, por ejemplo l = 5, es producir un incremento en la vida media en un factor de 10. El cálculo de T considerando este potencial es complicado y se realiza numéricamente.

Considerando el caso l = 0, el alto de la barrera es R

zZe2

que depende de la carga z de la partícula

incidente. Así para un protón sería de 13.02 MeV y para una partícula α es 23.97 MeV. La transparencia depende del ancho de la barrera a la altura de la energía de la partícula, antes que de la altura de la barrera y es determinada por b y R. Si se supone que se conoce la transparencia T, entonces, se busca una relación de ésta con la constante de decaimiento. Si se asume que en t = 0, las partículas α tienen una intensidad I0 e inciden sobre la barrera, se transmitirá una cantidad TI0 y se reflejará otra igual a (1-T)I0. Después de n intentos de atravesar la barrera, se tendrá una intensidad dentro del núcleo igual a:

)1ln(00)1( Tnn

n eIITI −=−= Si se considera el valor de T muy pequeño, debido a que los tiempos de decaimiento son largos para los emisores α, tenemos:

TT −≈− )1ln( y por tanto,

nTn eII −= 0

Ahora, el tiempo promedio que una partícula α toma para atravesar el núcleo atómico, es igual al intervalo de tiempo entre dos intentos sucesivos de escape, y será:

14 La energía del sistema es E=Eα(1+4/A), l y m son: el momento angular relativo y la masa reducida de la partícula alfa y el núcleo hijo.

139

υRt 2

0 =

donde υv es la velocidad de la partícula. Entonces si hay n de tales intentos en un tiempo t, se tiene:

tRt

tn20

υ==

TtR

n eII )2/(0

υ−= puesto que la tasa de repetición de escape es muy alta,

.102

1 21

0

HzRtdt

dn≈==

υ

se justifica el tratamiento continuo en lugar de discreto. Por tanto,

tn eItII λ−=→ 0)(

donde la constante de decaimiento

TTR 02

λυλ ==

con

.102

210 Hz

Rdtdn

===υλ

Así, TteII 0

0λ−=

Si analizamos el Uranio U238, por ejemplo, con τ = 6.5 109 años, el número de intentos de penetrar la barrera es n ≈ 1038 Ahora,

[ ]

−−= ∫b

R

drErVmExpT 2/1))((22h

y si, Ge−= 0λλ

con

( )[ ]∫ ∫

−

=−=

b

R

b

R

drEr

zZemdrErVmG2/122/1

22/1 8)(22

hh

G es conocido con el nombre del factor de Gamow.

−−

=

2/1

2

22/12/1

2

2

arccos8bR

bR

bRmbzZeG

h

140

donde E

zZeb2

=

considerando el caso de barreras gruesas, 0→R , en una primera aproximación cuando E<<Ec (alto de la barrera) entonces b>>R y la expresión se aproxima a:

−

=

2/12/1

2

2

28

bRmbzZeG π

h

de modo que G se puede escribir como:

2/1BRAG −≈ donde las constantes A y B son independientes del radio nuclear y son:

2/1

2

222

=

h

mbzZeA π

2/1

2

28

=

h

mzZeB

Por otra parte podemos ignorar totalmente la dependencia en R, el término entre corchetes tiende a uno. Obteniéndose una expresión muy simplificada de G, correcta dentro de un intervalo de confianza de 30%. En este caso,

2/1

2

28

=

h

mbzZeG

La constante de decaimiento λ la podemos escribir entonces como una relación de Geiger-Nuttal

( ) 2/122/1

10 303.2821log −

−= ZEzem

h

Por tanto, la teoría cuántica explica bien el decaimiento α mediante el modelo de penetración de barrera. Muchas de las propiedades del decaimiento α pueden explicarse tratando al núcleo como una gota líquida, aunque algunas veces efectos del modelo de capas muestran la necesidad de usar la aproximación de partícula simple. De acuerdo con la teoría de Gamow, la probabilidad de emisión α crece rápidamente al crecer la energía. Por tanto, en el decaimiento α, se esperaría que las líneas más energéticas sean más intensas. Este es el caso general, pero hay excepciones. Ejemplo:

α+→ 235239 UPu

141

Transición E (MeV) Intensidad (%) α1 5.147 72.5 α2 5.134 16.8 α3 5.096 10.7 Uno de los puntos débiles de la teoría de Gamow es la pre-formación de las partículas α dentro del núcleo atómico en un 100%. Esta debilidad es fortificada con el hecho de que la intensidad de algunas líneas α no disminuye al disminuir su energía conforme predice la teoría.

Figura. Bi-212 con sus decaimientos α

Línea E(MeV) I(%) α0 6.090 27.2 α1 6.050 70.0 α2 5.764 1.7 α3 5.621 0.1 α4 5.601 1.0 α5 5.480 0.01 α6 5.341 0.001 α7 5.298 0.0001

Por otra parte, en general se define a la radiación α de rango corto y largo de la siguiente manera: Corta: Grupo de α que hacen la transición a estados excitados del hijo. Largos: Grupo de α que se emiten desde estados excitados del padre. Note que de la expresión de Gamow para la constante de decaimiento se puede determinar el valor de 3/1

0−= RAr si λ se determina experimentalmente (esta fue la primera manera de determinar

experimentalmente el valor de r0) La desintegración espontánea de un núcleo, por decaimiento α, es inhibida por el alto valor del factor G. Los grandes valores de Z y b para núcleos pesados tienden a hacer grande el valor de G de tal forma que aunque energéticamente posible, el decaimiento es prohibido. Así por ejemplo, para un núcleo A=200, específicamente:

MeVHgPb 3.3196200 ++→ α

Suponiendo la energía de la partícula α igual a la energía de la reacción, se obtiene un b = 69.81 fm comparado con R = 8.13 fm. La transparencia llega a ser muy baja, G=111, dando τ = 3 1019 años.

142

Leyes de conservación. Las leyes de conservación imponen ciertas restricciones a las transiciones α. Así de la conservación del spin isotópico, se sigue que el núcleo padre (Z,A) y el hijo (Z-2,A-4) deben tener el mismo spin isotópico, puesto que la partícula α no lo tiene. De la conservación de la paridad y momento angular se sigue que la paridad y el momento del estado inicial y final deben estar conectados con la paridad y momento angular de la partícula α mediante las relaciones:

( )fifi JJJJ +≤≤− αl

α

ππ l)1(−=

f

i

puesto que el momento angular y paridad intrínseca de la partícula α es Jπ = 0+. Note que el momento angular de la partícula alfa incidirá directamente en la probabilidad de emisión de la línea (intensidad) puesto que un momento angular mayor implicará una barrera de potencial neto mayor. Ejercicios 1. Usando el principio de indeterminación estime la velocidad y energía cinética mínima de un

nucleón confinado en el interior de un núcleo pesado. 2. Encontrar el coeficiente de transmisión de una partícula de energía <10 MeV que incide sobre

una barrera de potencial en forma de triangulo recto de altura 10 MeV y base 10 fm. 3. Estimar el ancho de la línea α del Rn222 a temperatura ambiente, si T1/2= 3.823 días y E=5.49

MeV. 4. Utilizando la fórmula semi-empirica de masa, demostrar que la emisión de la partícula α por un

núcleo es posible para A>180; pero que la emisión de un neutrón o un protón no es posible ni aún para los nuclidos más pesados conocidos. (No utilizar la fórmula para la partícula α, adicionalmente Z ≈ 0.4A para A>120)

5. Las partículas α emitidas en la desintegración del Ra226 y Th226 tienen energías de 4.9 y 6.5 MeV, respectivamente. Si se supone que el radio nuclear es el mismo para ambos nuclidos, demostrar que la razón de las vidas medias es aproximadamente 2.5 10-7.

6. ¿Cuál es la probabilidad que un neutrón térmico tipo P penetre dentro de un núcleo de plomo? 7. El núcleo de Po212 en su estado base tiene un tiempo de vida media de 3.10-7 seg. en la emisión

de las partículas α de 7.78 MeV. ¿Cuál es la probabilidad de que las partículas penetren en el Pb208 bajo una colisión central?

8. ¿Cuál es el momento angular orbital de un neutrón emitido en el decaimiento del núcleo de Ni58 cuya barrera de potencial tiene exactamente la misma altura que aquella de onda S para el protón?

9. El estado base del Po212 (T1/2=3.10-7 seg. Eα= 7.78 MeV) decae por emisión alfa. Adicionalmente, este núcleo tiene un estado isomérico excitado a 2.93 MeV el cual tiene un tiempo de vida media de 46 seg y emite una partícula alfa de 11.65 MeV. La explicación de este hecho (que el estado isomérico tiene un tiempo de vida media mucho más grande que el estado base a pesar de mayor valor de energía de la partícula alfa) es el más alto momento angular con el cual la partícula alfa es emitida en este caso. Estime el valor de l. Integral estándar:

∫+−

=+ bx

cxbxcxbxx

dx 2/12

2/12

)(2)(

143

DECAIMIENTO BETA La teoría de Fermi (1933-34) provee una descripción dinámica del decaimiento β. Esta teoría describe tanto la forma observada del espectro β (en energía o en cantidad de movimiento) como el tiempo de vida media de los emisores β. Adicionalmente, la teoría da una clasificación para las transiciones β y sus correspondientes reglas de selección. Fermi desarrolló su teoría en términos de transición de probabilidad por unidad de tiempo, similar a la teoría que describe la fluorescencia de luz en átomos15. La figura muestra tanto la descripción del modelo para fluorescencia como para el decaimiento β.

Figura. Analogía entre fluorescencia y emisión beta.

La transición del estado inicial al estado final se efectúa a través de un proceso de interacción de campo (expresado por un Hamiltoniano). Para la fluorescencia de átomos el campo de radiación es el electromagnético mientras que para la teoría del decaimiento β se tiene un campo de radiación leptónico. El Hamiltoniano de interacción transforma al sistema nuclear de su estado inicial a uno de varios posibles estados finales a través de la creación de un campo leptónico por medio de la interacción débil. La fuerza de la interacción débil esta expresado por el elemento de matriz

∫ Ψ= dVHH iffi*ψ

La segunda regla de oro de Fermi da la probabilidad de transición por unidad de tiempo

( ) 22fiffi HEW ρπ

h=

donde ρ(Ef) representa la densidad de estados finales y esta dada por:

( )0dE

dnE f =ρ

Si las cantidades de movimiento de los electrones emitidos, correspondientes al intervalo de energía dE0 en la vecindad de Ef, varían de p a p+dp, se sigue que la probabilidad de transición por unidad de tiempo permite calcular el numero medio de partículas beta emitidas con ese rango de momentos. Así,

2

0

2)( fifi HdEdnWdppN

h

π==

15 Esta teoría tiene el problema de ser no-renormalizable. Posteriormente se desarrolló la teoría conocida como V-A para la interacción débil, y por último, la teoría electro-débil.

144

puesto que el núcleo hijo es abandonado con una energía de retroceso y excitación bien determinadas, la energía restante de la transición es compartida entre los leptones de muchas maneras diferentes. La energía leptónica no está bien definida sino que tiene una indeterminación dE0, que numéricamente es igual a la indeterminación de la energía del sistema original, es decir, el

núcleo padre. Así i

iEτh

=∆

donde τi es el tiempo de vida media del núcleo padre. Debido a que se asume que el hijo tiene una energía bien marcada, entonces el ensanchamiento o expansión de energía se encuentra en la energía leptónica. La densidad de estados accesibles finales del núcleo hijo sobre el intervalo dE0 se le llama factor estadístico y significa la media de la densidad de posibles estados finales del campo electrón-neutrino, es decir, el número de celdillas en el espacio de fase. En el espacio de fase, un estado de la partícula está representado por una celdilla de volumen

3hzyxppp zyx ≈∆∆∆∆∆∆ Si suponemos que el electrón está localizado dentro del volumen V y en el intervalo de momentos entre p y p+dp, se tiene16:

3

24h

dppVdneπ

=

que representa el número de electrones dentro del volumen V con cantidad de movimiento entre p y p+dp. De igual forma para el neutrino, se tiene:

3

24h

dppVdn νν

νπ

=

La probabilidad de encontrar a ambas partículas simultáneamente emitidas será:

νdndndn e= y por tanto,

dpdEdp

pph

VdEdn

0

226

22

0

16 νν

π=

eliminando las variables correspondientes al neutrino, que lo consideramos como una partícula de masa en reposo nula.

cE

p νν =

E0 = E + Eν

( )203

0

2 1 EEcdE

dpp −=

νν

de manera que,

( ) dpEEpchV

dEdn 2

02

36

22

0

16−=

π

16 No se considera las multipolaridades del electrón y el neutrino porque al promediar sobre sus spines se elimina dicho factor.

145

Si los elementos de matriz de interacción 2

fiH son independientes de la energía y cantidad de

movimiento, la forma del espectro β estaría dado como: ( ) dpEEpCdppN 2

02.)( −=

Sin embargo, 2

fiH no es independiente de E y p.

Consideremos los elementos de la matriz de interacción,

∫ Ψ= dVHH iffi*ψ

si ϕi es la función de onda del núcleo padre y ϕf la del núcleo hijo, y si φe y φν representan las funciones de onda del electrón y del neutrino, se tiene ψi = ϕi ψf = ϕf φe φν

∫= dVMgH iefFfi ϕφφϕ ν*)(

donde gF es una constante empírica fundamental y M el operador Hamiltoniano de interacción adimensional.

gF =1.41x10-49 erg.cm3 Esta constante llamada “de acoplamiento de Fermi”, expresa la fuerza de la interacción beta. A causa de que la interacción entre el núcleo y los leptones es débil, las funciones de onda leptónicas son poco distorsionadas por el potencial nuclear y se las puede considerar como ondas planas, Así,

rkiee

eeNrrr

=)(φ y rkieeNr

rrν

νφ =)( normalizando las funciones se encuentra que

2/1

1V

NNe == ν

Las funciones de onda ϕi y ϕf son diferentes de cero dentro de las dimensiones nucleares. Puesto que la extensión del núcleo es muy pequeña comparado con el volumen en el cual los leptones son localizados, podemos desarrollar las funciones de onda del electrón y el neutrino en serie de potencias alrededor de (r = 0) (lugar del núcleo atómico)

( )....).(11)( 2/1 ++= rkiV

r eerrrφ

( )....).(11)( 2/1 ++= rkiV

r rrrννφ

Si tan solo consideramos el primer término de la serie

2/1

1)0()0(Ve == νφφ

Por tanto, se podría escribir:

146

∫= dVMgH ifeFfi ϕϕφφ ν*** )0()0(

fiF

fi MVg

H =

donde

∫= dVMM iffi ϕϕ *

con un conocimiento poco preciso de ϕi , ϕf y M. Los elementos de matriz Mfi es la integral del solapamiento de las funciones de onda del núcleo padre e hijo. En el caso de las transiciones permitidas es independiente de E y su magnitud es del orden de la unidad; mientras que para las así llamadas transiciones prohibidas tiende a cero. Su valor se lo puede calcular cuando la estructura del núcleo padre e hijo se conocen. El espectro beta queda entonces como:

( ) dpEEpMc

gdppN fi

F 20

22

733

2

2)( −=

hπ

Factor de corrección de Coulomb A través de la interacción de coulomb con la carga nuclear, la velocidad y por tanto la energía de los electrones emitidos decrece (o delos positrones crece) afectando la forma del espectro y la probabilidad de decaimiento. El cambio de la cantidad de movimiento debido al campo de coulomb es mejor cuando el movimiento de las partículas beta es lento. En consecuencia la influencia es mayor en la parte baja del espectro. Se puede considerar que la perturbación causa una distorsión en la función de onda del electrón y la forma del espectro es deformado. Si

Ze )0(φ representa la función de onda del electrón en el origen modificada por la presencia de la carga nuclear. Se introduce la función de Fermi,

2

2

)0(

)0(),(

e

ZeZEFφ

φ=

De manera que si considera la corrección de Coulomb se tiene que:

22222)0()0(),( fieFfi MZEFgH νφφ=

F ≥ 1 para emisión β negativa F = 1 caso de no corrección de Coulomb F ≤ 1 para la emisión β positiva Para una aproximación no relativista, la función F toma la forma:

1)1(),( −−−= xexZEF donde

υπ

1372 Zcx ±= para partículas β positivas o negativas con velocidad υ.

En la región baja del espectro x>>1 F ≈ x para el decaimiento β negativo

147

xexF −≈ para el decaimiento β positivo

Figura. Efecto del factor de Coulomb en el decaimiento beta

Un efecto que no se ha tomado en cuenta en el factor F es el apantallamiento que sufre la carga nuclear por presencia de la nube electrónica. El espectro beta lo podemos como:

( ) dpEEpZEFMc

gdppN fi

F 20

22

733

2

),(2

)( −=hπ

Grafico de Curie. Es el procedimiento estándar para comparar la teoría con el experimento. Note que de la ecuación anterior se puede escribir:

( )2/1

20 ),()(.

=−

ZEFppNEEC

Figura. Representación de la Gráfica de Curie

La masa del neutrino tiene una incidencia directa en la forma de la parte final del espectro beta, la pendiente en la energía de transición se hace infinita, como se puede observar en la figura.

Figura. Efecto de la masa del neutrino en el espectro beta

148

Tiempo de vida media. La constante de decaimiento λ es justamente la probabilidad de tiempo por unidad de tiempo para la emisión de partículas β con una energía arbitraria entre 0 y E0.

( )∫∫ −==00

0

220

2

7330

),(2

)(p

fiF

p

dppEEZEFMc

gdppN

hπλ

re-escribiendo en términos de una nueva variable ω

21cm

E

e

+=ω

( ) ( )∫ −−

=

0

1

20

2/122

73

452

1),(2

ω

ωωωωωωπ

λ dZFMc

cmgfi

eF

h

( )ZfM fi ,0

0

2

ωτ

λ =

donde

.sec70002452

73

0 ≈=cmg eF

hπτ

La función integral de Fermi f(ω0,Z) se determina por el factor estadístico y los efectos de Coulomb. Los valores de f(ω0,Z) se extienden sobre un gran rango de valores. A altas energías f(ω0,Z) es aproximadamente proporcional a ω0

5 mientras a más bajas energías, ésta crece aún más rápidamente con ω0. Esta fuerte dependencia de f con ω0 lleva a que λ sea muy dependiente del valor de energía E0. El tiempo de vida media es:

( )ZfM fi,

12ln2ln

02

02/1 ω

τλ

τ ==

Muchas veces lo que se hace es compara el producto f(ω0,Z).τ1/2 con los datos experimentales. A este producto se lo conoce con el nombre de “tiempo de vida comparativo”

( ) 20

2/102ln

,fiM

Zftfτ

τω =≡⋅

Los valores de tf ⋅ , por tanto proveen el inverso de la medida de los elementos de la matriz de transición. Se le expresa en segundos y cubre un amplio rango de valores que van desde los 103 a 1023 sec. Con un agrupamiento alrededor de los 104 y 1023 sec. Clasificaciones de las transiciones beta. En un principio hubo razón de pensar que los tiempos de vida media del decaimiento β caen en dos categorías: Permitidas y Prohibidas, siendo las últimas aproximadamente 100 veces más inactivas que las permitidas. Gamow propuso, basado en la teoría de Fermi, que esto podría explicarse a través de cambios en el momento angular y paridad de los estados del padre y el hijo, e hizo la siguiente ligera clasificación: Permitidas. No involucran cambios en el spin nuclear o paridad (∆J = 0; ∆π = no)

149

Prohibidas. Involucran cambios en el spin nuclear o paridad (∆J = ±1; ∆π = si) Sin embargo, estas conclusiones, basadas en escasos datos experimentales aprovechables en esos tiempos, fueron halladas muy ingenuas para representar una situación real de muchos datos experimentales reunidos últimamente, con emisores beta artificialmente activados, debiéndose reemplazar por una clasificación más elaborada basada sobre evaluaciones más complicadas y varios criterios de diagnóstico. Uno de estos criterios, pero no el único, es el del tiempo de vida comparativo f.t, cantidad que es más conveniente para describir el grado de prohibición que f y τ1/2 separadamente y debe ser suplementada por otras consideraciones teóricas y espectrales. El histograma ft se presenta en la siguiente figura y muestra un agrupamiento de transiciones alrededor del valor log.ft = 3.5, las cuales se realizan aún más prontamente que las transiciones permitidas, y por tanto son llamadas super-permitidas.

Transiciones Log ft Super permitidas 2.9-3.7 Permitidas 4.4-6.0 Prohibidas 1 (no únicas) 6-9 Prohibidas 1 (únicas) 8-10 Prohibidas 2 10-13 Prohibidas 3 >15

Figura. Transiciones beta

El bloque de las transiciones permitidas esta alrededor de valores log.ft = 5-6, y después de éstas las prohibidas. Grados de prohibición El producto de las funciones de onda planas del electrón y neutrino es:

( )rkkeerrr

.exp**ννφφ +≈

si consideramos los vectores de onda muy parecidos y correspondientes a energías de 1 MeV. Entonces,

11110 −≅≈ cmkk e ν

( ) ( )10110.10 1211 ≤≈+≈+ −Rkkrkk ee νν

150

Puesto que la probabilidad de transición es proporcional a 2νφφe se sigue que los términos

consecutivos de la serie o expansión de la función de onda difieren por casi dos ordenes de magnitud. El primer término de la expansión genera los elementos de matriz de las transiciones permitidas y los términos sucesivos (desarrollo multipolar) se refieren a las transiciones prohibidas de orden superior. Los últimos tienen probabilidades bajas pero no nulas. Una influencia adicional es la del movimiento intrínseco de los nucleones con velocidad media υN dentro del núcleo. Esto da lugar a una corrección extra relativista al elemento de matriz, de magnitud υN/c más pequeño que el término no corregido. Puesto que υN /c y kR son del mismo orden de magnitud, el término relativista adicional puede ejercer una influencia apreciable. En adición a estos parámetros un tercer parámetro entra en juego cuando el efecto coulombiano del núcleo es tomado en cuenta. Las transiciones super permitidas se presentan cuando las funciones de onda del padre y del hijo son muy parecidas. Un solapamiento entre las dos resulta en un valor mayor de los elementos de matriz Mfi. Estas transiciones generalmente se presentan en el decaimiento de núcleos espejo. Si se asume que las fuerzas nucleares son las mismas para neutrones y protones, se concluye que las funciones de onda y las energías de los neutrones y protones dentro del núcleo son iguales. Entonces el decaimiento beta en este caso no es más que el intercambio del nucleón en un mismo estado cuántico y se espera un solapamiento grande de las funciones de onda. Los decaimientos permitidos se caracterizan por la ausencia de factores de inhibición y por ausencia de cambios de paridad en la transición (∆J = 0,±1; ∆π = no). Las transiciones prohibidas 1 se asocian con el cambio de paridad y spin nuclear (∆J = 0, ±1, ±2; ∆π = si) y contienen uno de los dos factores υN /c ó kR. Las transiciones prohibidas 2 deben distinguirse entre dos grupos. El primero, que representa correcciones a transiciones permitidas puesto que ellas obedecen las mismas reglas de selección de las permitidas (∆J = 0, ±1; ∆π = no) y están siempre acompañadas de los factores υN/c o kR; y el segundo, un grupo con (∆J = ±2, ±3; ∆π = no) las cuales constituyen las verdaderas transiciones prohibidas 2. Una clasificación rápida basada en el acople de spines del campo leptónico, con fines de resolución de problemas, se muestra en la siguiente tabla.

Tipo de transición l ∆J (Seν=0) ∆π (Seν=0) ∆J (Seν=1) ∆π (Seν=1) Permitida 0 0 No (0), 1 No

Prohibida 1 1 (0), 1 Yes 0,1,2 Yes Prohibida 2 2 (1), 2 No 2, 3 No Prohibida 3 3 (2), 3 Yes 3, 4 Yes Prohibida 4 4 (3), 4 No 4, 5 No

Transiciones Fermi y Gamow-Teller Las transiciones permitidas (especialmente las super-permitidas) ofrecen el medio de derivar información cuantitativa sobre las fuerzas de acoplamiento y el valor de gF. Se acostumbra a dividir las transiciones permitidas, para las cuales los momentos angulares orbitales del par electrón-neutrino es cero, 0=νeL

r en dos categorías cuyas tasas de transición son aproximadamente las

mismas: Transiciones Fermi, en las cuales el electrón y el neutrino son emitidos con spines mutuamente anti-paralelos, en un estado relativo singlete, ( )0=νeS

r así que: 0=+= ννν eee SLJ

rrr

Transiciones Gamow Teller, en las cuales el electrón y neutrino son emitidos con spines paralelos, en un estado de spin relativo triplete ( )1=νeS

r

151

1=+= ννν eee SLJrrr

El correspondiente momento angular total del par electrón-neutrino está relacionado a los correspondientes valores de los estados iniciales y finales de la transición.

νefi JJJrrr

+=

νefi JJJJrrr

=−=∆

que toma valores: 0 para las transiciones Fermi y 0, ±1 para las transiciones Gamow-Teller. Al mismo tiempo, la regla de selección de paridad, para ambos casos es:

+=−= ν

νπ ee

l)1( por tanto,

+=fi ππ . o, ∆π = no. Captura electrónica. Aunque este proceso en donde un electrón orbital del átomo se aventura al núcleo y es capturado por un protón puede verse similar al inverso del decaimiento beta positivo, ν+→+ −+ onep , las energías de las dos partículas producto no tienen una distribución espectral continua, sino más bien discreta. Los neutrinos emitidos son mono-energéticos y se emiten con una energía

Be EcmEE −+= 20 2ν

donde E0 es la energía de la transición y EB la energía de enlace del electrón orbital capturado. Esto da lugar a la línea espectral del neutrino. Si la captura tiene lugar simultáneamente de más de un nivel atómico, varias líneas discretas aparecen en el espectro energético del neutrino a las apropiadas energías, como se muestra en la figura.

Figura. Espectro de neutrinos del decaimiento beta positivo y los de captura electrónica.

Aunque la teoría del decaimiento β (desarrollada previamente) no se puede aplicar a la captura electrónica. Esta tiene relevancia para la evaluación del tiempo de vida media de captura y el valor del tiempo comparativo ft. Tiempo de vida media y comparativo de la captura electrónica. La constante de decaimiento λ y el tiempo de vida media, para la captura electrónica se la puede encontrar de la probabilidad de transición por unidad de tiempo de que un núcleo pase de un estado inicial a otro final, dada por la segunda regla de oro de Fermi,

152

ν

πτ

λdEdnH fi

221h

==

puesto que el neutrino de salida es mono-energético. El factor estadístico se lo determina a partir de los estados accesibles del neutrino solamente,

3

24h

dppVdndn νν

νπ

=→

suponiendo nuevamente que la masa en reposo del neutrino es cero, es decir,

cE

p νν =

y

33

24ch

dEEVdn νν

νπ

=

Los elementos de la matriz de interacción son parecidos al del decaimiento beta. Así para transiciones permitidas toma la forma:

22222

)0()0( fiefi MgH νφφ=

expandiendo la función de onda del neutrino y tomando tan solo el primer término,

22 1)0(

Ve =φ

Sin embargo la función de onda del electrón antes de la captura tiene que ser aquella del nivel apropiado. Así, para electrones tipo K,

raZKe e

aZr )/(

2/3

0

01)( −

=

πφ r

donde a0 es que el radio de Bohr y esta definido como:

2

2

0 ema

e

h=

de manera que,

23

2

222 1

fie

FKfi MeZm

VgH

=

hπ

insertando un factor 2 para tomar en cuenta la presencia de los 2 electrones en el nivel K, se tiene que:

2232

102

22νπ

λ EMc

eZmgfi

eFK

=

h

153

que expresándola en unidades de energía en reposo del electrón:

Be

Be

e cmEcmE

cmE

εωω νν −=

−+== 02

20

2

donde: 2

20

0 cmcmE

e

e+=ω y 2cm

E

e

BB =ε

Así,

( )20

32

0

2

4 Bfi

K cZeM

εωπτ

λ −

=

h

siendo τ0 la misma constante definida en el decaimiento beta. Se puede notar que la captura electrónica tiene lugar con mayor facilidad en núcleos pesados, puesto que al aumentar Z el radio orbital decrece y el radio nuclear aumenta. Si introducimos una función integral de Fermi para la captura electrónica definida como:

( )20

32

4 BCE

K cZef εωπ −

=

h

de tal manera que:

CMK

fiK f

M

0

2

τλ =

Esta forma de la integral de Fermi se la puede escribir en términos de la constante de la estructura

fina c

eh

2

=α puesto que la energía de enlace del nivel K en unidades de masa en reposo se la

puede aproximar por: ( )2

21 ZK αε ≈ de manera que:

( ) ( )2

20

3

214

−= ZZf CE

K αωαπ

Sin embargo, esta expresión debe ser modificada por la inclusión de dos correcciones, las cuales son muy importantes para el caso de núcleos pesados: por efectos relativistas y por apantallamiento de la carga nuclear por los electrones orbitales. Los efectos de apantallamiento de la función de onda del electrón distorsionada por Coulomb, en el caso de los electrones K y L, puede tomarse en cuenta sustituyendo una carga nuclear efectiva:

15.4

35.0*

*

−=

−=

ZZ

ZZ

L

K

Los valores del tiempo comparativo están dados por:

20

2/12ln

fi

CE

Mfft

ττ ==

154

y coinciden de buena manera con aquellos correspondientes a la transición beta positiva. La buena concordancia entre los valores ft para la captura electrónica y el decaimiento beta en el caso de las transiciones super-permitidas ( )77 LiBe → indican que la intensidad de la interacción debe ser la misma (aproximadamente) para ambos procesos. Los varios grados de prohibición también se aplican a las transiciones de captura electrónica de acuerdo con los elementos de la matriz de interacción, pero en la práctica casi exclusivamente las transiciones CE super-permitidas y permitidas han sido observadas con valores de log.ft de entre 4.5 y 6.5 Puesto que el decaimiento beta positivo es un proceso competitivo con la captura electrónica, en muchos casos. Se puede ver que la razón entre las constantes de decaimiento de estos dos procesos es independiente de los elementos de la matriz de interacción. Así,

( ) ( ) ( )20

3

0 ,4

KK Z

Zfεωα

ωπ

λλ

β

−=+

La adquisición de los datos experimentales para la CE es muy difícil puesto que los neutrinos son casi indetectables. En la práctica se realiza ya sea mediante el estudio de los núcleos excitados hijos (decaimiento γ posterior) u observando procesos de des-excitación del átomo hijo (radiación X característica o electrones Auger). La no conservación de la paridad en el decaimiento beta. En principio un test decisivo requiere que las medidas de un arreglo experimental, usado para observar el decaimiento beta, sea comparado directamente con medidas similares realizadas sobre un sistema el cual, excepto que su geometría es una imagen espejo del arreglo experimental, correspondan exactamente con este.

Figura. Operación de Paridad

La inversión de paridad es equivalente a una inversión de espejo, puesto que ellas difieren solo a través de una invariante física que es la rotación de 180º respecto al eje. El siguiente experimento se realizó para observar la no conservación de la paridad en el decaimiento β. Wu y col. estudiaron la probabilidad de emisión de electrones de núcleos polarizados de Co60, los cuales decaen por transiciones Gamow-Teller (∆J = 1, ∆π = no) a núcleos Ni60, junto con su imagen espejo. Ellos encontraron que la emisión ocurría en la dirección opuesta a aquella del spin nuclear.

155

Figura. Violación de la paridad del decaimiento beta

Como se puede advertir, el espejo cambia la dirección del spin pero deja igual la dirección de emisión. La conservación de la paridad requiere que las probabilidades de decaimiento deben ser las mismas en los dos casos. Las medidas mostraron una clara asimetría, incompatible con la conservación de la paridad.

Figura. Resultados experimentales del experimento de Wu y col.

Decaimiento β doble17. Considerando que el decaimiento beta se debe a la interacción débil y ésta no satisface algunas leyes de conservación, se estaría tentado en estudiar el decaimiento doble beta para ver si en algún grado, también la conservación en el número leptónico no es absoluta. La observación del decaimiento beta doble sin emisión de neutrinos mostraría directamente dicha violación, y la emisión de los electrones emitidos, en coincidencia, mostrarían un pico claro en el espectro continuo beta. Consideremos el decaimiento de Ca48 a Sc48. El valor de Q de este decaimiento es 0.281 MeV, pero los únicos estados accesibles en este caso serían 4+, 5+, 6+ los cuales requerirán decaimientos prohibidos de cuarto, quinto y sexto orden (ft = 23, τ1/2 = 108 años), concluimos por tanto que Ca48 es estable. Sin embargo habría un modo alternativo de decaimiento que sería el doble beta (decaimiento ββ) que lo representaríamos: 17 Una revisión básica sobre la busqueda de decaimientos beta doble se puede encontrar en Review of Modern Physics, Vol.50, Nº 1, pp 11-21. 1978

156

eeTiCa ν224848 ++→ −

Figura. Posible decaimiento doble beta.

Que es un proceso directo que no requiere pasar por Sc48 pero ahora la transición es ++ → 00 que entra dentro de las super-permitidas. Para un decaimiento ββ se tiene:

2

63

2242

2

2.

⋅

=

hh πλββ

fieF

eMcm

gfcm

el cual da un valor de 1017 años para valores típicos de los parámetros. Otra forma por la que se puede presentar el decaimiento ββ es si el núcleo intermedio tiene un nivel base de mayor energía que el del padre.

Figura. Forma alternativa de producción de decaimiento doble beta

Aunque los métodos experimentales para determinar este decaimiento ββ son muy dificultosos y sujetos a muchas indeterminaciones sistemáticas, el propósito de estos es de un valor incalculable a causa de que puede responder a tales como la conservación del número leptónico y masa del neutrino. Ejercicios 1. Calcule el espectro de electrones emitido en el decaimiento beta del neutrón. Haga la gráfica. 2. Si un estado 5/2+ decae por una transición prohibida de primera especie, cuales son sus posibles

Jπ del estado final 3. El Zn63 decae principalmente al estado base del Cu63 con una energía máxima del positrón de

2.35 MeV. El tiempo de vida media es de 38 min. Calcular el ft y determinar si la transición es prohibida o permitida. ¿Cuál es la probabilidad para la captura electrónica?

157

4. Hay una relación numérica simple entre la energía media del espectro beta y la energía de transición E0. Deducir: esta expresión para los casos no relativista y ultra relativista. Considerando la forma del espectro beta como:

dppEECdppN 220 ).()( −= ; C = constante

5. Los siguientes pares muestran las medidas del espectro beta medido en el decaimiento del In114: (Energía en MeV; taza de contaje u.a.); (0.4; 386), (0.8; 425), (1.2; 323), (1.6; 116). Dibuje un diagrama de Curie y de el determine la energía de transición. También calcule la energía media de los de los electrones. Por facilidad tome la función de Fermi F (de corrección de Coulomb) constante y use la aproximación ultra relativista.

6. En el proceso de captura electrónica del Be7 al Li7, la diferencia de mas entre los dos átomos es equivalente a 0.864±0.003 MeV. Usando un espectrómetro electrostático se midió la energía del retroceso nuclear en 55.9±1.0 eV. La fuente en este experimento fue un mono-capa de Be en un sustrato de tugsteno. ¿Qué conclusiones puede sacar de esta medida con relación a la masa en reposo del neutrino? ¿con qué exactitud sería necesario medir la energía de retroceso para estar en posición de establecer si el neutrino tiene o no masa mayor a 10% de la del electrón)

7. Calcule el espectro electrónico en un hipotético decaimiento beta donde junto con el electrón se emiten dos neutrinos sin masa. (considere solo el cambio en el factor estadístico)

DECAIMIENTO GAMMA Como se mencionó anteriormente, el decaimiento γ no es más que la des-excitación de un núcleo radiactivo mediante la emisión de un fotón de luz de alta frecuencia o un electrón orbital tipo s, llamado electrón de conversión. Si el emisor γ se forma de un decaimiento α, la energía del gamma emitido es menor a medio MeV, a causa de la extrema dependencia en energía de la probabilidad de penetración de la barrera de Gamow. Si el emisor γ se forma de un decaimiento β, la energía del gamma emitido puede ser del orden de los 2 MeV a causa de que λ tiene una dependencia en energía de potencia 5, más baja que la del decaimiento α. El modelo que se desarrolla para el decaimiento gamma es un modelo semi-clásico (descripción clásica modificada con conceptos cuánticos) de un sistema de corrientes (núcleo atómico) que emite radiación electromagnética al pasar de un estado inicial a otro final. El promedio del flujo de energía se desarrolla en una serie de términos multipolares, de los cuales se encuentra tanto su constante de decaimiento como sus momentos angulares y paridades. Emisión espontánea. Una partícula de carga e y sin momento magnético intrínseco radia energía:

∫ = 23

2

32. r

ceAdS &&r

rr para (υ << c)

donde S

r representa el vector de Poynting.

En general, a causa de la interferencia no se puede usar una simple suma para encontrar la potencia radiada por dos partículas que se mueven una con relación a otra. Sin embargo, si las partículas se describen por movimiento periódico, cada una con diferente frecuencia, no hay un promedio en el tiempo de la interferencia. El primer paso en resolver el problema de radiación es analizar la distribución de corrientes en sus componentes de frecuencia, a cada una de las cuales se las puede considerar separadamente. Definimos las componentes de Fourier de las densidades de corriente como:

158

∑=ω

ω ),(),( trJtrJ rrrr

ccerJtrJ ti .)(),( += − ωωωrrrr

(c.c indica la compleja conjugada) De aquí en adelante, solo se trata con una sola componente de Fourier y se omite el sub-índice ω. En la zona de onda (r´<<r; r´2 <<rλ)

HxEcSrrr

π4=

ExnHrrr

=

Ac

Err 1

−=

∫ −=

´´´)(

rrdVrJA rr

rrr

de manera que,

2´

2 ´)´(2

dVerJcrkkS ikr−

⊥∫=rr

rr

π

donde k es el modulo del vector de onda

ruc

k rr ω= y

IIJJJrrr

+= ⊥ que se refieren a las componentes perpendicular y paralelas con relación a la dirección de k.

Figura. Esquema de la distribución de carga y punto de observación.

Para un tratamiento mecánico-cuántico podemos considerar la densidad de corriente no como continua, sino debida al movimiento de partículas de carga e, masa m y cantidad de movimiento p,

)´,(.)´,( trnpmetrJ rrrr

=

donde n(r´,t) es la densidad volumétrica de las partículas con similares expresiones para las componentes de Fourier. La cantidad de movimiento tiene un operador asociado, de manera que:

´´)( ∇−=⊥ hrr irp

La mecánica cuántica atribuye la radiación a la transición desde un estado inicial a uno final más no a la densidad de partículas en estado estacionario. Así

159

2´.*

2 ´2 ∫ ⊥

−= dVpmee

crkkS i

rkif ψψ

πr

rr rr

la frecuencia de la radiación

kcEE if =

−=

hω

generalizando para el caso que la función de onda describe un sistema de N partículas:

2

1

´.*2 ´)(

2 ∑∫=

⊥−=

N

irki

f dVpme

ecrkkS

αα

α

α ψψπ

αr

rr rr

Sea ),( φθQ& es el número de fotones emitidos por segundo por unidad de ángulo sólido, de frecuencia ω/2π, entonces:

ωφθ

h

r

&Sr

Q2

),( =

Note que la integración de esta expresión en todo el ángulo sólido da el número de fotones emitidos por unidad de tiempo, es decir, la constante de decaimiento,

∫ Ω=π

φθλ4

).,( dQ&

2

1

´.*3 ´)(

2),( ∑∫

=⊥

−=N

irki

f dVpme

ec

Qα

αα

α ψψπωφθ α

r

h&

rr

Para problemas de radiación atómicos y nucleares, las dimensiones del radiador son pequeñas comparadas con la longitud de onda de la radiación emitida, de manera que el exponencial en la integral se lo puede expandir:

( ) .....21.1

2. ++−=− rkirkie rki rrrrrr

Así, se obtiene un desarrollo multipolar con términos:

2

1

1*

3 ´)()!1(´).(

2),( ∑∫

=⊥

−

−−

=N

if dVpmerki

cQ

αα

α

αα ψψπωφθ r

l

rr

h&

l

l

Si el tamaño de la distribución de corriente se la denota por R, entonces la contribución de los términos sucesivos del desarrollo multipolar decrecen como:

2

1

−lkR

Ejemplo. Para un gamma de E = 0.5 MeV. R = 7x10-13 cm (A=100)

160

KR = 1/60

2

42

)1(103

1 −≈

−

−

ll

xkR

El término con l=1 corresponde a la contribución de la radiación dipolar eléctrica, el término con l=2 representa la contribución cuadrupolar eléctrica y dipolar magnética a la vez, y así sucesivamente los términos superiores. Es decir que el término l contiene las contribuciones 2l polar eléctrica y 2l-1 polar magnética. Esto se puede ver para el caso de l=2 para ello consideremos el término clásico

( ) 21´).´(´.),( dVrJrkQ ∫

−=

rrrr& l

l φθ

El término con l=2 es proporcional a:

( ) ( ) prkmeJrk rrrrrr

⋅⋅=⋅⋅

usando pxrL rrr

= podemos obtener la identidad vectorial

( ) ( ) ( ) prkrpkpxrxkLxk rrrrrrrrrrr⋅⋅−⋅⋅==

( ) ( ) prkrprrpkLxk rrrrrrrrrrr⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅= 2

( ) ( ) ( )υυrrrrrrrrrrrrr

..22

rrkeLxkmeprk

meJrk ++−=⋅⋅=⋅⋅

( ) ( )rrdtdkeLxk

meJrk rrrrrrrr

⋅+−=⋅⋅ .22

El término primero del lado derecho de la ecuación representa un momento dipolar magnético asociado con un lazo de corriente y el segundo término, un momento cuadrupolar eléctrico. Así, el factor (k.r).J es proporcional a un dipolo magnético más la derivada temporal de un cuadrupolo eléctrico. Aunque el término l=2 incluye tanto la radiación dipolar magnética como la cuadrupolar eléctrica, estas radiaciones son muy diferentes. Los campos de un cuadrupolo varían como senθ.cosθ, mientras que los del dipolo como senθ. La dependencia en frecuencia de las dos clases de amplitudes de campo también es diferente. Si solo se estuviese interesado en expresiones en orden de magnitud solamente,

22*

32 ´´´),( ∫

+≈ dVrr

ce

cQ iNUCf ψωωµψωφθ

h&

al quitar el sumatorio se ha asumido que un nucleón, o a lo más, varios nucleones han cambiado durante la transición (supuesto que cae dentro del espíritu del modelo de capas). Si asumimos que la integración en la densidad de probabilidad produce un valor del orden de la unidad para las dimensiones nucleares.

45

252

3

3

2 Rce

cQ NUC

hh& ωµω

+≈

161

La radiación originada por los momentos dipolares magnéticos intrínsecos de las partículas no está tomada en cuenta en la expresión anterior y se tendrá que incorporar el operador de spin apropiado. Resta entonces, arreglar el término multipolar para tener en cuenta transiciones magnéticas intrínsecas. Para ello notamos que la derivada del momento dipolar eléctrico es proporcional a la densidad de corriente. Así,

red rr=

Jpmered

rr&r&r ===

Por lo tanto, el operador completo que se debería usar en nuestra expresión debería ser:

µ&r&r +d , donde el primer término el operador densidad de corriente y el segundo la derivada del

momento dipolar magnético intrínseco. Si escribimos, σωµµ r&r = en función de los operadores de Pauli. Tenemos la expresión completa,

2

1

´.*3 ´)()(

2),( ∑∫

=⊥⊥

−

+=

N

irki

f dVpme

ec

Qα

ααα

α ψσωµψπωφθ α

rr

h&

rr

Emisión espontánea de un dipolo eléctrico y de dipolo magnético intrínseco Si integramos Q& sobre todo el ángulo sólido, se obtiene la probabilidad de transición por unidad de tiempo del sistema. Por simplicidad, consideremos el caso dipolar (l=1) para el caso de una partícula. Note que para el término dipolar, el exponencial es aproximado a la unidad. Entonces la integral se reduce al elemento de matriz,

ipmef ⊥r

Desde el punto de vista clásico, es claro escribir,

´´´ ⊥⊥⊥⊥ === riereepme r&rrr ωυ

Así, para una partícula 2

3

23

1 ´2

),( irfc

eQ ⊥=r

h&

πωφθ

puesto que k no aparece en la aproximación dipolar, el cuadrado del elemento de matriz varía como sen2θ. De manera que si integramos sobre todo el ángulo sólido,

2

3

3

41 ´

341).,( irf

cdQ ⊥==Ω∫

r

h& ω

τφθ

π

Si se procede de idéntica forma con el término dipolar magnético intrínseco, se tiene:

2

3

3

341 if

c ⊥= σµωτ

r

h

Las dos expresiones anteriores pueden escribirse en un solo formato.

2

3

3

341

fiMc

r

h

ωτ=

162

donde los elementos de matriz están definidos como:

fifi reM rr= para el caso del dipolo eléctrico.

fifiM σµ rr

= para el caso de dipolo magnético intrínseco. Note que la tasa de transición resultante del momento magnético intrínseco y del dipolo magnético orbital son del mismo orden de magnitud

23

3

NUCcµω

h

valor que es pequeño comparado con aquel del momento dipolar eléctrico por un factor

3/232

105 −−⋅≈

A

eRNUCµ

donde R = 1.5 10-13 A-2/3 que para A = 100, la razón toma el valor 2.4 10-4, próximo al valor entre la relación del cuadripolo y dipolo eléctrico, para una energía de 0.5 MeV. Por tanto, es conveniente pensar en que las transiciones cuadrupolar eléctrica y dipolar magnética, tuviesen un tiempo de vida media 103 a 104 veces mayor que la dipolar eléctrica. Generalizando el resultado obtenido para las radiaciones dipolares a otras multipolares de orden superior y considerando que las los elementos de matriz son del orden de la unidad, se puede escribir:

[ ]2222

)!1(1

−

=

lh

ll Rcc

e

elec

ωωτ

para 2l polo eléctrico

3/2310511 −− ⋅⋅⋅= A

elecmag ττ para 2l polo magnético.

Reglas de Selección. Se ha visto que se puede predecir la rapidez de la transición de un proceso de radiación, por medio de la expansión en serie de potencias de k.r´, considerar los términos componentes del desarrollo multipolar. Ahora mostraremos que frecuentemente puede ser necesario pasar algunos términos de la serie antes de encontrar uno no nulo. La razón es que más de la mitad de todos los procesos de radiación posibles son prohibidos debido a las leyes de conservación de momento angular y paridad. Estas reglas de selección se aplican tanto a la radiación nuclear como a la atómica. Además hay una limitación adicional sobre la radiación dipolar eléctrica nuclear a causa de la distribución homogénea de la carga nuclear, este proceso es 1000 veces del que sería de esperar. Heitle mostró que un fotón resultante de una transición 2l polar eléctrica o magnética lleva un momento lh=L con respecto al origen al cual el multipolo es referido. La conservación del momento angular requiere que:

LJJ fi

rrr+=

( )fifi jjjj +≤≤− γl

La conservación de la paridad exige que,

γπππ fi =

163

Experimentalmente se ha encontrado que en los decaimientos electromagnéticos esta regla de selección se obedece con un alto grado de precisión. La radiación multipolar de orden l (ó 2l polar) eléctrica tiene una paridad

l)1(−=elecπ y la multipolar magnética de orden l (ó 2l polar) magnética tiene una paridad,

1)1()1( −−=−−= llmagπ

La radiación multipolar eléctrica de orden l tiene paridad opuesta a la radiación multipolar magnética de orden l. El efecto de operación de paridad para los campos eléctricos y magnéticos de dipolos eléctricos y magnéticos se ilustra en la figura.

Figura. Paridad de los momentos dipolares eléctrico y magnético.

Las radiaciones El o Ml de paridad par son: M1, E2, M3, E4,....... Las radiaciones El o Ml de paridad impar son: E1, M2, E3, M4,... Se puede notar que los multipolos eléctricos con l par tienen paridad par. Una demostración cualitativa de esto, puede obtenerse de los coeficientes de expansión multipolar de una distribución de carga:

∫ θρ= dV).(cosPr).r(a ll

l

∫= dVa .0 ρ

∫= dVza ..1 ρ

( )∫ −= dVrza .321 22

2 ρ

de donde se puede observar que al es par o impar dependiendo de que si l es par o impar. En el caso más simple de un dipolo magnético, la componente z del momento magnético producida por una corriente eléctrica es proporcional a la componente z del momento angular orbital

164

xyz ypxpL −= como tanto las coordenadas como los momentos cambian de signo en una operación de paridad, Lz es invariante bajo esta operación y por tanto tiene paridad par para una transición M1. Si analizamos la paridad de los estados iniciales y finales en una transición isomérica podemos decir que: ∆π = no para ordenes impar Ml y ordenes par El. ∆π = si para ordenes par Ml y ordenes impar El. Tres reglas adicionales se deben considerar si el isospin T es un buen número cuántico: 1. Todas las transiciones γ son prohibidas cuando 1>∆T 2. La transición γ E1 es prohibida entre dos estados en un mismo núcleo conjugado (N=Z)

cuando ∆T = 0. 3. Hay un efecto de inhibición en otros multipolos (sobre M2) cuando ∆T = 0. El carácter multipolar de la radiación γ se puede determinar solo indirectamente, comparando datos experimentales con predicciones teóricas de distribuciones angulares, polarizaciones, coeficientes de conversión, tiempos de vida media. Ejemplos.

En el primer esquema la transición implica un l = 1 para el fotón asociado y un cambio de paridad lo que indica que la transición es de tipo dipolar eléctrica pura E1. En el segundo esquema también l = 1 pero no hay cambio de paridad entre los estados de la transición, lo que indica que la transición es de tipo dipolar magnética pura M1. Si consideramos al núcleo como una esfera cargada uniformemente quisiéramos saber qué movimientos del núcleo dan las diferentes radiaciones multipolares eléctricas o magnéticas. Así, la radiación E1 podría ser causada por una oscilación traslacional del núcleo entero (como un todo), el centro de masa del núcleo tendría que oscilar a la frecuencia de la radiación emitida. Un núcleo no se comporta de esta forma. En otras palabras, no esperaríamos ninguna radiación dipolar eléctrica en absoluto. Experimentalmente se observa que hay algo de radiación dipolar eléctrica, pero ésta es miles de veces menos probable de la que se esperaría. Las radiaciones E2 aparecerían de las oscilaciones elipsoidales del cuerpo. La radiación El corresponde a movimientos ondulatorios más complicados en la superficie del núcleo. La radiación Ml se podría explicar si los diferentes constituyentes del núcleo tienen diferentes razones giro-magnéticas, tal que el momento total magnético no yace en la dirección del momento angular total. Las reglas de selección se pueden resumir en función de los tiempos de vida media para transiciones con energía aproximada de 1 MeV.

165

τ1/2 (Eγ ≈ 1MeV) 10-12 sec 10-7 sec 10-3 sec Radiación El Dipolar-cuadrupolar Octopolar Hexadecapolar |∆j| ≤ lγ ≤ Σj 1 2 3 4 ∆π si no si no Radiación Ml Bipolar Cuadrupolar Octopolar |∆j| ≤ lγ ≤ Σj 1 2 3 ∆π No si no La espectroscopia gamma es el estudio de las transiciones isoméricas nucleares. La espectroscopia óptica es el estudio de las transiciones atómicas. Contrario al caso nuclear, las transiciones permitidas atómicas están confinadas al tipo E1 (l =1, π = negativa) por las reglas de selección de las transiciones electrónicas en los átomos: ∆j = 0,±1 (pero no 00 → ) ∆mj = 0,±1 y ∆π = si. Todas las otras polaridades corresponden a transiciones prohibidas y son muy rara vez observadas. Sin embargo, los núcleos no pueden ser desexcitados por procesos no radiativos como colisiones de agitación térmica, mecanismos que sirven para disipar la energía de excitación de los átomos, por tanto, los núcleos incluyen las otras radiaciones multipolares que de otra forma serían prohibidas en sus esquemas de decaimiento (especialmente E2). Isomerismo Nuclear. Cuando la emisión gamma es inhibida en gran parte por las reglas de selección, tal que el tiempo de vida media excitado excede el límite arbitrario de 0.1 segundo. Este estado (de vida media larga) se llama estado isomérico y se asume que se encuentra en un estado meta estable Así de los emisores gamma con tiempo de vida media entre 10-16 y 108 segundos; aquellos con tiempo de vida media mayor a 0.1 segundos son asociados con decaimientos fuertemente inhibidos de orden multipolar alto. Se espera tales estados isoméricos para evidenciar diferencias grandes de spin y pequeñas diferencias de energía. Situaciones de este tipo involucran transiciones E3, M3, E4, M4,...las cuales tienen lugar principalmente por conversión interna. Se encuentra solo en núcleos de masa media y pesados (A>39). Mezclas multipolares. En el decaimiento gamma, de acuerdo con los spines de los estados inicial y final, se puede tener la emisión de varias radiaciones multipolares. En la práctica hay una marcada diferencia en los tiempos de vida media de cada una de ellas por sus diferentes ordenes de l y por el carácter eléctrico y magnético de las mismas, lo que reduce las posibilidades de mezcla a dos componentes principales: Ml ⊕ E(l+1) Ejemplos: M1, E2 M2, E3 La relación de mezcla, cuyo cuadrado da la razón de las intensidades de las dos relaciones multipolares, esta definido como la razón de los elementos de matriz reducida, promediados sobre los estados magnéticos:

if

if

jj

jj

l

l 1+=δ

el valor de δ <1 indica que la radiación l polar está presente predominantemente; mientras que si δ >1, hay un exceso de radiación l+1 polar. Los porcentajes de mezcla son por tanto,

( ) 121 −+ δ para Ml

166

( ) 122 1 −+ δδ para E(l+1)

La distribución angular de la radiación gamma emitida y técnicas angulares de coincidencia pueden dar información de la mezcla multipolar spines de los niveles nucleares. Conversión Interna. Es un proceso competitivo de la emisión de radiación gamma. La conversión interna y la formación interna de pares18 (energía de excitación nuclear mayor a 2mec2) se producen para des-excitar la energía de un núcleo el cual es prohibido de decaer por emisión de partículas, ya sea por la ley de conservación de la energía o las reglas de selección. La interacción es directa con los electrones orbitales (tipo S) que se aventuran al volumen nuclear, produciendo la transferencia de energía a dicho electrón, el cual tiene ahora suficiente energía para librarse del átomo y la restante la utiliza como energía cinética. La vacancia dejada por el electrón producirá una des-excitación del átomo mediante la emisión de rayos X fluorescente o la emisión de electrones Auger. Las mismas reglas de selección de la emisión gamma son aplicables para la conversión interna, excepto que las transiciones: ++ → 00 , en este caso son permitidas. Transiciones de la forma

−+ → 00 , no se producen por ningun proceso de conversión. Se plantea una posibilidad para que ocurra a través de un proceso doble (involucrando un estado virtual intermedio). Un espectro de electrones de conversión se muestra en la figura, aunque el espectro real de este tipo superpone al espectro beta, puesto que un decaimiento beta generalmente antecede a un gamma. Por otra parte, la probabilidad de formación de pares internos es apreciablemente menor 10-4 con relación al decaimiento gamma o conversión interna.

Figura. Espectro de electrones de conversión

Coeficientes de conversión La razón de probabilidad entre los procesos de conversión y la emisión gamma dan una medida de la probabilidad relativa en una transición dada. Por tanto se define el coeficiente de conversión como:

γγλλ

γα

NN

emisiónobabilidadconversiondeobabilidad CICI ==

⋅⋅⋅⋅

=Pr

Pr

18 La probabilidad de este proceso aumenta al aumentar la energía de transición, es mayor para multipolaridades pequeñas y es casi independiente de Z.

167

En términos de la constante de decaimiento o el número de electrones de conversión y el número de fotones emitidos por unidad de tiempo. Estos coeficientes pueden definirse de acuerdo con el tipo de electrón que ha sido eyectado. Así,

γ

αNN K

K = γ

αNN L

L = γ

αNN M

M =

y su suma da el coeficiente total,

αααα =++ MLK La constante de decaimiento total para una transición dada será:

)1( αλλλλ γγ +=+= CI Los tratamientos iniciales han dado lugar a expresiones simples aunque inexactas. Sin embargo, han servido para ver de una manera general la tendencia de dichas expresiones. Para el caso 2

0 cmEB eK ≤≤ para una transición eléctrica de multi-polaridad l, el coeficiente parcial K toma la forma,

2/5

0

2423 2

1

+

+

=l

hl

l

Ecm

ceZ eele

Kα

y para magnética de multi-polaridad l,

2/3

0

2423 2

+

=

l

h Ecm

ceZ eele

Kα

donde α crece con Z y l , y decrece cuando E0 crece. Para el caso especial de la transición mono polar ++ → 00 la tasa de transición, de acuerdo con Blatt y Weisskopf, está dada por:

2/1

20

2

20

2

2

23)00(

9232

−

⋅

=→

cmBE

aRcme

ZWe

Kefi

h

donde R2 corresponde al radio cuadrático medio nuclear (realmente es un elemento de matriz el cual se anula para niveles con paridad diferente). Si consideramos,

23/10

2 )(53 ArR =

entonces, 2/1

0

2

3/4300 37.0

−

≈→

K

eK BE

cmAZ

τ

que para valores de Z = 60; A = 150; E0 =1 MeV da: τK ≈ 2 10-9 segundos.

168

Reglas de selección Aunque en esencia las reglas de selección para la conversión interna son las mismas que para la emisión gamma, algunas características especiales merecen atención. Una ya mencionada es la ocurrencia de la transición ++ → 00 prohibida para la radiación gamma (la cual no puede tener una componente l=0). Es sin embargo posible para electrones tipo S cuya función de onda penetra dentro del volumen nuclear y toman la energía del núcleo excitado en un proceso de conversión directa. Si esto ocurre, la transición debe ser E0 y no M0 puesto que no existe campo de interacción mono-polar magnética. Entonces transiciones con ∆π = si, se excluyen para transiciones de conversión. Ejercicios 1. Estimar la tasa de transición para el decaimiento gamma desde un estado s1/2 (excitación 0.9

MeV) al estado d5/2 de O17. Justifique el método usado. 2. El primer estado excitado (estado vibracional 2+) del Cd114 tiene una energía de excitación de

0.56 MeV. Estimar la tasa de transición entre este estado y el estado base. 3. La irradiación de Co59 con neutrones produce una mezcla de dos isómeros del Co60, uno con

vida media de 10.4 min. y otro con vida media de 5.27 años. El último de estos tiene un Jπ = 5+ y decae mediante una transición permitida beta negativa de energía máxima igual a 0.31 MeV, seguida de la emisión de dos gammas de 1.17 y 1.33 MeV. El estado de 10.4 min. produce un decaimiento beta negativo con energía máxima de 1.56 MeV, seguido de una emisión gamma de 1.33 MeV. Cada gamma corresponde a una transición cuadru-polar eléctrica. Construir el esquema de decaimiento del Co60. Indicar el spin y la paridad de los niveles en el núcleo hijo. ¿Cuál es la diferencia en energía entre los dos estados del Co60?

4. Los tres niveles energéticos más bajos del S34 tienen las siguientes energías de excitación y Jπ. El estado base (0 MeV y 0+). El primer estado excitado: (2.13 MeV y 2+). El segundo estado excitado: (3.3 MeV y 2+). Cuando el nuclido es producido en su nivel de 3.3 MeV se observan tres rayos gamma en su proceso de desexcitación. Dibuje el diagrama de decaimiento y escriba las multi-polaridades de cada fotón. Prediga cualitativamente las intensidades relativas de cada fotón.

5. Para las siguientes transiciones gamma, dar todos los multi-polos permitidos e indicar cual multi-polo sería el más intenso en la radiación emitida.

a) (9/2)-→(7/2)+

b) (½)-→(7/2)-

c) 1-→2+

d) 4+→2+

e) (11/2)-→(3/2)+

6. El primer estado 3+ excitado del Li6 a 2.184 MeV decae ya sea por emisión gamma a su estado base 1+, o mediante la emisión de un deuteron a He4. Relativo al estado base del Li6 la energía para la combinación (He4 +d) es 1.471 MeV. Si el ancho total del primer estado es 21 keV, ¿cuál es la razón de probabilidades para las dos transiciones?

7. Siguiendo el decaimiento beta del Hf181 a Ta181, las siguientes líneas gamma se midieron en un espectrómetro de cristal (las correspondientes multi-polaridades se dan entre paréntesis): 3.9 ± 0.10 keV (M1) 133.02 ± 0.02 keV (E2) 136.02 ± 0.02 (M1) 136.86 ± 0.04 (M1) 345.85 ± 0.2 (E2) 482.0 ± 0.2 (M1) 615.5 ± 0.5 (M3)

169

Construya el esquema de niveles del Ta181 (el cual tiene un estado base 7/2+) designando valores apropiados de spin y paridad. El estado base del Hf181 es Jπ=1/2-

8. De las medidas en un espectrómetro beta de radio de curvatura de 20 cm., empleando una fuente de Co60 se observa que la máxima detección de electrones de conversión tipo K del Ni60 se dan con las intensidades de campo magnético 265.5 y 293.5 Gauss. ¿Cuál es el valor de las dos correspondientes transiciones gamma, si la energía de enlace de los electrones K es 8.5 keV?

Absorción Resonante La resonancia atómica fue predicha por Rayleigh a fin del siglo XIX y descubierta por Wood en 1904. La resonancia nuclear empezó en 1929. El proceso de resonancia se puede describir fácilmente, suponiendo un sistema cuántico de dos niveles energéticos. El nivel de menor energía llamado base y el de mayor energía llamado excitado. Si suponemos en un inicio el sistema en el estado excitado y sufre un proceso radiativo de des-excitación a su nivel base, se emitirá un fotón de luz. Si este fotón interacciona con un sistema idéntico al primero que se encuentra en el estado base, y si este sistema es capaz de absorber dicho fotón y llevar al sistema a su estado excitado, se dice que se ha producido una absorción resonante.

Figura. Esquema de la absorción resonante

Los niveles energéticos tienen en realidad un ancho natural que esta dado por el principio de indeterminación de Heisenberg,

h≈τ⋅Γ

donde τ es el tiempo de vida media del estado en consideración. Por ejemplo, si τ ∼ 10-8 entonces:

Γ ∼ 6.5 10-8 eV. Consecuentemente, cualquier pequeña perturbación es capaz de desplazar el delicado solapamiento de las líneas de emisión y absorción, y por tanto, destruir la absorción resonante. Proceso de retroceso nuclear. Si consideramos el núcleo excitado en reposo, la emisión del fotón producirá un retroceso en el núcleo, de acuerdo con las leyes de conservación de la energía y cantidad de movimiento.

0=+ Npp rrγ

2

222

222 McE

Mp

Mp

E NR

γγ ===r

La diferencia entre los niveles de energía E0 será:

REEEEE +==− γ012

170

Por ejemplo, E0 ∼ Eγ ≈104 eV (10 keV) M ≈ 100 uma Entonces ER ≈ 5 10-4 eV Vemos que la energía de retroceso del núcleo es mucho más grande que los anchos naturales de línea, por lo que un solapamiento entre las líneas de emisión y absorción es poco probable, inhibiendo la absorción resonante a nivel nuclear. Para el caso atómico, la energía de los fotones emitidos es del orden de los eV por lo que la energía de retroceso es del mismo orden de los anchos naturales de las líneas de emisión y absorción, lo que permite el solapamiento de ambas líneas y por tanto la absorción resonante se produce con mayor facilidad.

Figura. Líneas de emisión y absorción con sus correspondientes anchos naturales y de Doppler.

Ensanchamiento Doppler. Tanto en estado gaseoso como sólido, el núcleo no se encuentra en reposo, sino que se mueve a una cierta velocidad. Para un núcleo en movimiento con υ

rr Mp =

MpE

MpE

2´

2

22

0

rr

+=+ γ

Note que se considera la masa del núcleo en el estado base y en el excitado de igual valor.

γppp rrr+= ´

( )Mpp

MpEE

22

22

0γ

γ

rr−

−+=

Mpp

Mp

EE2

22

2

0γγ

γ

rr⋅

+−=

αγγγ cos

2

2

0 Mpp

Mp

EE⋅

+−=

171

αυγ

γγ cos

2

2

0 EcM

pEE +−=

donde el último término es una medida del ensanchamiento de las líneas de emisión y absorción por efecto Doppler.

0Ec

D υ≈

la altura de la línea se reduce en un factor Γ /D, esto se debe a que Γγ se mantiene igual, mientras Γtot se ha incrementado. Si ER < D, las líneas de emisión y absorción se solapan y se obtiene absorción resonante. Por ejemplo, A nivel atómico, M = 100 uma Γ = 10-7 eV E0 = 1 eV D ≈ 10-6 eV ER = 10-11 eV A nivel nuclear, dos casos. M = 100 uma E0 = 1 keV E0 = 300 keV D ≈ 10-3 eV D ≈ 10-2 eV ER = 10-5 eV ER = 10-3 eV El solapamiento es pequeño en el caso nuclear y grande en el caso atómico. El ensanchamiento de la línea se puede lograr calentando el emisor y/o el absorbedor. Efecto Mössbauer. Mössbauer estaba interesado en reducir la absorción resonante del Ir191 para el cual, Eγ = 129 keV ER = 0.047 eV D ∼ 0.1 eV (a temperatura ambiente) mediante un enfriamiento del emisor y del absorbedor (con aire líquido). Sin embargo, observó que en lugar de reducirse la absorción resonante aumentaba.

Figura. Aumento de la absorción resonante cuando se disminuye la temperatura de la fuente

172

La explicación yace en el hecho de que el núcleo emisor se encuentra fuertemente ligado dentro del cristal. Como ente cuántico el cristal tiene niveles discretos de energía, entre ellos sus niveles de vibración y rotación. Para el caso de vibraciones en cristales. Si la energía mínima que acepta un sólido para excitarse (o excitar un fonón) es Em y si la energía de retroceso nuclear es menor a ese valor, es decir, ER < Em, el sólido no aceptará dicha energía y el gamma que emite el núcleo tiene una energía E0 (sin retroceso) y ancho natural, puesto que el ensanchamiento Doppler proviene de la excitación térmica (siempre existe una probabilidad finita de que la emisión del fotón excite la red, sin tener energía para ello, por efecto túnel). De acuerdo con el modelo de Debye, los cristales pueden considerarse un sistema de osciladores acoplados con sus correspondientes modos normales de vibración, que son oscilaciones independientes cuyos niveles de energía están cuantizados y cuya energía media esta condicionada por el número de modos normales. Si consideramos el sistema de dos niveles,

La des-excitación isomérica se puede realizar ya sea por la emisión de rayos gamma o vía electrones de conversión. El coeficiente de conversión interna esta dado como la razón de las probabilidades de emisión por unidad de tiempo para la conversión interna y la emisión gamma.

MLKCI

WW

ααααγ

++==

Si E0 aumenta, α disminuye La probabilidad de emisión será:

te eW Γ−≈≈ 2ψ

el número de núcleos que decaen es:

dtndn ⋅⋅Γ=− con )1( αγγ +Γ=Γ+Γ=Γ CI Si consideramos el campo eléctrico de la radiación emitida:

egttE ψψρ *)()( ≈∝

tiEtiEi ge eetE )2/()( Γ−−≈

tiEietE )2/(. 0)( Γ−≈ su transformada de Fourier es:

∫∞

∞−

= dtetEF tiωω )()(

173

∫∞

∞−

Γ−−= dteeF titiei ωω )2/( 0)(

considerando E0 = hω0

( ) 2/)(

0 Γ+−−

≈i

iFωω

ω

La intensidad de emisión será:

( ) ( )220

2

2/1)()(

Γ+−≈=

ωωωω FI

la cual representa una curva Lorentziana, que se representa en la siguiente figura.

Para el Co57 que es una fuente radiactiva beta tipo captura electrónica, con diagrama de decaimiento siguiente:

Γ ∼ 4.6 10-9 eV τ ∼ 10-7 seg. α = 9 Ee = 14.4 keV Γ = Γ /(1+α) = 4.6 10-10 eV la sección eficaz de absorción toma la forma:

( ) 220

2

0 44

Γ+−Γ

=EE

σσ

donde σ0, depende de cada núcleo y es la absorción máxima cuando E=E0

tg

e

JJ

απσ

+⋅

++

=1

11212

20 D

174

donde los Je y Jg representan los spines del núcleo en sus estados excitado y base respectivamente. Experimento (arreglo experimental)

Figura. TRS transductor. CP contador proporcional. PA pre-amplificador. AMP amplificador. HV fuente de

alto voltaje. MCA analizador multicanal. La intensidad de la emisión esta dada por:

( )[ ] ( )220 2//1

2/)(),(Γ+−−

Γ⋅=

cvEEtfvI πωh

Si definimos la fracción transmitida del haz incidente al atravesar un absorbedor de ancho d.

dEneED )()( σ−=

resabsE σσσ +=)( donde,

( )( ) ( )22

0

2

0 2/2/)(

Γ+−Γ

=EE

tfares σβσ

β es la abundancia isotópica. Ejemplo, Para el Fe57 σ0 = 2.36 10-18 cm2 f(t) = 0.8 (a 300ºK) σres = 3.6 10-20 cm2 σfoto = 0.9 10-20 cm2 (dominante a 14.4 keV) En el experimento se cuentan número de fotones en función de la velocidad.

( ) ( )∫ ⋅+−= − dEEDEIefN dn abs )(,1)( υυ σ

Cuando υ tiende a cero σ(E) = σabs y se tiene

dn abseN σ−=∞)( que representa la línea base del experimento.

( ) ( )∫ ⋅+−=∞

− dEeEIfNN dn resσυυ ,1

)()(

175

la integral se resuelve utilizando las funciones de Bessel. Para el caso de muestras delgadas, nσresd << 1 de manera que:

dne resdn res σσ −≈− 1

( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]∫∞

∞− Γ+−Γ++−Γ

=∞

− 220

220

3

0 2/2//18)()(1

EEcEEdEffnd

NN

a υπσβυ

( )

( ) ( )20

2

20

0 ///

)()(1

EcE

ffndNN

aΓ+

Γ=

∞−

υσβυ

Figura. Pico típico de absorción resonante. El ancho no es 2Γ sino que contendrá un ensanchamiento

Doppler. Interacciones Hiperfinas Desplazamiento isomérico. El tamaño finito del núcleo atómico y su interacción con los electrones orbitales, especialmente los tipo s, que tienen simetría esférica y una probabilidad finita de encontrarse en el volumen nuclear. Incluyen una corrección en la interacción electrostática entre los electrones y el núcleo. El estado base se desplazará, en la escala de energía, un valor entre 10-8 y 10-9 eV. Puesto que el núcleo excitado tiene una distribución de carga distinta (por que su tamaño es diferente) el estado excitado se desplazará un valor del mismo orden pero diferente al que lo hace el estado base.

La energía de la nube electrónica en el campo del núcleo atómico para r > R es:

∫−=r

dVrK

ZeE ´´)(2

0ρ

donde K es la constante dieléctrica, r es la distancia radial y -eρ la densidad de carga de los electrones. Para un núcleo esférico de radio R y para el caso r < R:

176

∫−= dVeE enφρ

donde ρn es la densidad de carga nuclear y φe el potencial electrostático de los electrones. El cambio en la energía electrostática causada por el tamaño finito nuclear se puede expresar como:

∫∫ −=RR

en rdV

KZedVeW

0

2

0

ρφρ

La densidad de probabilidad de un electrón s en la vecindad de una carga puntual esta dada, en la teoría de Dirac, por:

2222

02

22

)12()0()1(2 −

−

+Γ

+= ρ

ρ

ρψρ

ρ raZs

e

donde

221 Zαρ −= α es la constante de estructura fina. a0 es el radio de Bohr. ψs(0) la función de onda no relativista de Schrödinger, evaluada en r = 0. Γ(n) la función gamma definida como:

∫∞

−−=Γ0

1)( dxxen nx para n > 0

Si la carga nuclear se toma uniformemente distribuida, el cambio en la energía electrostática entre el modelo de la carga puntual y el radio finito esta dado por:

ρρ

ρρρψρπ 2

22

02

222

)12()32)(12()0()1(24

RaZ

KZe

W s−

+Γ++

+=

La diferencia en energía causada por el cambio en el radio nuclear será entonces:

RRR

aZ

KZe

W s δρρρ

ψρπ ρρ

222

02

222

)12()32)(12()0()1(24 −

+Γ++

+=∆

El desplazamiento isomérico medido en un experimento Mössbauer es la diferencia de estas diferencias de energía entre los dos ambientes químicos, de la fuente y del absorbedor.

RRR

aZ

KZe

FsAs δρρρ

ψψρπδ ρ

ρ2

22

02

2222

)12()32)(12()0()0()1(24 −

+Γ++

−+=

Muchas veces se considera ρ = 1, lo cual no es válido para Z altos (Z=26; ρ=0.98) (Z=80; ρ=0.8) Si tomamos K=1 y ρ=1

RRRZe

FsAsδψψπδ 222

2

)0()0(5

4−=

177

El núcleo generalmente no es esférico y por tanto el desplazamiento isomérico de pone en función de la raíz cuadrática media de los radios del estado excitado y base.

RRRRR geδ222

56

≡−

Así,

22222

)0()0(3

2geFsAs RRZe

−−= ψψπδ

En la práctica el término nuclear es dato para una transición dada, de manera que:

22 )0()0(FsAscte ψψδ −⋅=

La densidad de electrones s en el núcleo será afectada no solo por la población de electrones s sino por los efectos de apantallamiento de los electrones tipo p, d, f, y por la co-valencia y formación de enlace. Los métodos de medida de los radios nucleares son generalmente, el desplazamiento isotópico (Rayos X, datos ópticos), el desplazamiento isomérico, etc. Interacción cuadrupolar eléctrica. Existe solo para núcleos no esféricos puesto que son estos los que poseen un momento cuadrupolar eléctrico Q. Éste interactúa con el gradiente de campo eléctrico cristalino, perdiéndose la degeneración de los niveles energéticos. El campo eléctrico sobre el núcleo es muy débil pero sus derivadas pueden ser muy intensas, que resultan de la estructura electrónica del átomo y de los átomos vecinos. El gradiente solo existe para un campo in-homogéneo que tiene su origen en una distribución asimétrica (sin simetría cúbica o esférica) de todas las cargas que producen el campo. Los orbitales tipo s tienen simetría esférica y no intervienen en la interacción cuadrupolar. Los orbitales p, d, f,... tienen simetría no esférica y producen un campo in-homogéneo (excepto cuando están llenos o semi llenos: p6, d10, f14 y p3, d5, f7) En un gradiente de campo eléctrico con simetría axial queda solo la componente Vzz que se llama componente principal.

02

2

∂∂

−=zVVzz

y la energía de interacción

[ ])1(3)12(4

2 +−+

= jjmjj

eQVW zz

Q

178

Figura. Espectro Mössbauer coun interacción cuadrupolar eléctrica

zzAA eQVEE

21

12 =−= γγε

Para el caso en que el gradiente de campo eléctrico no es simétrico,

+=

31

2

2ηzzQ VeQW

donde

02 =++=∇ zzyyxx VVVV

xx

yyxx

VVV −

=η

Este último factor mide la asimetría del gradiente de campo eléctrico y depende de la estructura de las cargas alrededor del núcleo Mössbauer. Interacción Dipolar Magnética. Los núcleos atómicos con spin mayor o igual a ½ poseen momentos dipolares magnéticos, los cuales en presencia de un campo magnético toman varias orientaciones fijadas por la mecánica cuántica. El campo magnético puede ser externo o interno (debido a un orden magnético del compuesto), o el campo hiperfino producido por los electrones no apareados en el volumen nuclear.

HmgHW jNNµµµ =⋅−=rr

donde gN : es el factor de Landé del núcleo en cuestión, µN: el magnetón nuclear, mj: la componente z del momento angular nuclear. Para transiciones dipolares magnéticas. La regla de selección es: ∆mj = 0, ±1

179

Figura. Espectro Mössbauer con interacción dipolar magnética

Existe una dependencia angular entre el campo magnético H y la dirección del fotón de salida. Esto da la razón de la altura de picos en el espectro Mössbauer. Consideremos el campo magnético total sobre el núcleo, suponiendo la presencia de un campo externo.

H = [Hext – DM + (4/3)πM] + HS + HL + HD La parte entre corchetes es pequeña con relación a los otros términos, que corresponden a las contribuciones de los electrones tipo s, l, d. Efecto Doppler de segundo orden. Tiene un efecto directo en la posición del pico Mössbauer en el espectro. Es decir, compite con el desplazamiento isomérico, pero son efectos de distinta naturaleza y pueden ser discriminados. El Hamiltoniano de la red esta dado como:

( )∑

+= ,..,...

2 1

2

ii

i uuVmp

H

donde los ui son los desplazamientos relativos de los núcleos en el cristal. Los Hamiltonianos del núcleo antes y después de irradiar el fotón los podemos escribir como:

( ) Mp

cMp

HH despuesantes 2/2

20

20

20 −

+=−

ωh

−

+=− 1

/11

2 20

20

McMp

HH despuesantes ωh

20

20

2 McMp

HH despuesantesωh

−=−

202

0002

20 ˆ

2u

cMuuM

McHH despuesantes &

h&&h ωω−=

⋅−=−

22

0 vc

HH despuesantesωh

−=−

Note que

( ) LNLM

u ii∑ += ωh& 2/1120

)(120 TE

Mu red=&

el desplazamiento Doppler de segundo orden está relacionado a la temperatura de la red.

180

20

0 2)(

McNTE

L

redωωω

hhh −=

se puede medir por Mössbauer puesto que tiene una gran precisión relativa

12

0

10−≈ΓE

Ejercicios 1. La línea gamma de 14.4 keV del Fe57 se utiliza en un experimento de absorción resonante,

donde los átomos del absorbedor se encuentran en reposo y son libres. ¿Cuánto difiere la energía del gamma (de la de resonancia) y la velocidad a la que se debe mover la fuente (emisión sin retroceso) para alcanzar la máxima absorción. Calcular la velocidad de la fuente para el caso donde la fuente emite con retroceso.

CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES DE LAS REACCIONES NUCLEARES. Consideraciones generales (Repaso). Conservación de la energía y cantidad de movimiento. La mayoría de las reacciones que involucran la interacción entre dos cuerpos se representa:

de manera que,

)4()3()2()1(tottottottot EEEE +=+

( ) ( ) ( ) ( ))4(0

)4()3(0

)3()2(0

)2()1(0

)1( EEEEEEEE kkkk +++=+++ El valor Q de la reacción esta definido como:

finalinicial EEQ 00 −=

( ) ( ))4(0

)3(0

)2(0

)1(0 EEEEQ +−+=

( ) ( )[ ] 24321 cmmmmQ ⋅+−+=

note que de la definición de Q se tiene:

inicialk

finalk EEQ −=

La conservación de la cantidad de movimiento se expresa como:

181

finalinicial pp rr=

Para el caso no relativista el valor de Q toma la forma:

( )θcos

211

4

2/1)3()1(1

4

1)1(

4

3)3( 3

mEmEm

mmE

mm

EQ kkkk −

−−

+=

Para Dispersión elástica. m1 = m3 y m2 = m4 y Q = 0 Dispersión inelástica: Q > 0 exoérgicas Q < 0 endoérgicas. Si m1 = m3 = m m2 = m4 = M

Q = -E* Siendo E* la energía de excitación impartida al núcleo blanco M. En forma paramétrica, la solución general de la ecuación de Q que da la energía cinética de salida en términos de la energía incidente para un proceso de dos partículas se puede escribir como:

( ) ( ) 2/122/1)3( tssEk +±= donde

( ) ( ) θcos2/1)1(

43

2/131

kEmm

mms

+≡

43

14)1(

4 )(mm

mmEQmt k

+−+

≡

Umbral energético.(Repaso) La energía mínima para llevar a cabo una reacción se la llama energía umbral Ethr (expresado en el sistema de laboratorio) la energía umbral es suficiente para iniciar el proceso en el cual los productos de la reacción se forman con velocidad cero en el sistema centro de masa (CM) de lo que se sigue que la energía cinética neta en sistema CM es cero (pero no en el sistema de laboratorio). Note que Q es independiente del sistema de referencia. Así, la energía cinética total en el sistema laboratorio es )1(

kE y en el CM

21

2)1()2()1( ´´mm

mEEEE kkkCM +=+=

La energía cinética neta final en el sistema CM se obtiene simplemente añadiendo Q, lo que nos permite encontrar la energía umbral,

021

2)1( =

+

+

thr

k Qmm

mE

[ ]

+⋅−=

2

21)1(

mmmQE thrk Q<<m2c2

Esta relación contiene una aproximación en que se ha ignorado la influencia de Q sobre la razón de masas. La fórmula exacta para la energía umbral es:

[ ]

−+

+⋅−=

143

43)1(

mmmmm

QE thrk

182

solo en el límite (m1 m3) << (m2 m4)

[ ] QE thrk →)1(

Adicionalmente se tiene, La conservación del momento angular

µνµνµν SLJ += La conservación de la carga eléctrica La conservación del número bariónico y paridad (para las interacciones nucleares fuertes). Secciones eficaces de dispersión y reacción Para el análisis de los resultados experimentales de las dispersiones entre dos nucleones, se desarrollo la teoría general de la dispersión donde se encontró que el flujo de probabilidad dispersado estaba dado por la siguiente expresión:

2

022

2 )(cos)1.().12(4 ∑

∞

=

−+=l

lllh θη Pi

rmkAjsc

La densidad de corriente de probabilidad incidente es tan solo:

2Amkjinch

=

La sección eficaz diferencial del proceso de dispersión esta definida como:

inc

sc

jdrj

d)( 2 Ω

=σ

Así, 2

02 )(cos)1.().12(

41 ∑

∞

=

−+=Ω l

lll θησ Pikd

d

Integrando esta expresión en el ángulo sólido

∑∞

=

−+=0

22 1)12(l

llD ηπσ sc

Si la dispersión es elástica entonces: 1=lη . Se considera por conveniencia un factor l

lδη ie2=

donde δl es el corrimiento de fase de la onda parcial l-ésima. Se puede demostrar fácilmente que ll δη 22 41 sen=− De manera que para el caso de colisiones elásticas la sección de dispersión toma la forma:

∑∞

=

+=0

22 )12(4l

llD δπσ sensc

Si se considera otros procesos además de la dispersión elástica (dispersiones inelásticas y otras reacciones) se puede construir también la sección de reacción tomando en cuenta la pérdida de

183

partículas, entonces ηl< 1. Para encontrar esta sección eficaz se debe encontrar la tasa a la cual las partículas están desapareciendo del canal de reacción con número de onda k. Esto se lo encuentra de la diferencia entre el flujo de probabilidad incidente y el saliente, outinc jj − , es decir,

( ) Ω⋅−= ∫ drjj scincr2σ

de donde la sección eficaz de reacción viene a ser:

( )∑∞

=

−+=0

22 1)12(l

llD ηπσ r

y la sección eficaz total (teorema óptico)

rsct σσσ +=

( )∑∞

=

⋅−+=0

2 Re1)12(2l

llD ηπσ r

Note que para el caso de dispersión elástica la sección eficaz de reacción se anula y la total viene a ser la dada anteriormente. Adicionalmente, note que un valor de ηl para el cual la sección eficaz de reacción no se anula implica también un valor no nulo (siempre) para la de dispersión. El valor máximo de σr se alcanza para ηl = 0 y para un valor fijo de l tiene el mismo valor que la sección eficaz de dispersión σsc.

( )122,, +== lDll πσσ rsc

Como ejemplo, consideremos un núcleo negro de radio R, es decir completamente absorbente, ηl = 0 para todas las ondas parciales con l ≤ R/D ; y completamente transparente, ηl = 1 para todas las ondas parciales con l > R/D De aquí,

( ) 22 22 RRt ππσ ≈+= D la cual es dos veces la sección eficaz geométrica, esta duplicación es causada por la dispersión de la onda. Modelo Óptico Es un modelo simple del núcleo atómico que considera en forma general las dispersiones elásticas y los efectos de absorción del núcleo atómico. En este modelo se representa las dispersiones en términos de un potencial complejo de la forma:

)()()( riWrVrU += donde las funciones V y W se seleccionan para dar al potencial su apropiada dependencia radial. La parte real del potencial es la responsable de las dispersiones elásticas; mientras que la parte compleja de los procesos de reacción. Si se considera un potencial de la forma pozo cuadrado, es decir:

≥≤−−

=Rr

RriWVrU

0)( 00

184

Las ondas radiales dispersadas salientes son de la forma

reikr

donde ( )0021 iWVEmk ++=h

es decir, k es un número complejo

k = kr + i ki la función de onda entonces tiene una componente oscilatoria y otra atenuada.

ree rkrik ir −

y por tanto la densidad de probabilidad radial tendrá un factor de atenuación exp(-2kir), se dice entonces que la función de onda es atenuada exponencialmente al pasar a través del núcleo. Si se considera una absorción relativamente débil, es decir, E + V0 >> W0, entonces k se puede escribir como:

( )

+++=

0

00

22

21VE

miWVEmk

h

Note que la distancia a la cual el cuadrado de la función de onda se atenúa un factor e-1 esta dada por:

mVE

Wkd

i 221 0

0

+==h

si se considera que esta distancia es del orden del tamaño nuclear entonces se puede estimar que W0 es aproximadamente 10 MeV. En el modelo óptico por tanto se debe escoger un pozo de potencial (e.,g. Wood-Saxon) donde los parámetros del potencial deben ser ajustados con los datos de dispersión. El potencial W a bajas energías debe tener una forma muy diferente. A causa del principio de exclusión de Pauli los nucleones interiores del núcleo no jugarán ningún papel en los procesos de absorción sino solo los de valencia, se suele escoger W proporcional a la derivada de V respecto de r (dV/dr) del potencial de pozo redondeado. A mayores energías los nucleones interiores pueden participar en los procesos de absorción y la forma de W debe ser otra (es necesario también un término spin-orbita en el potencial, como se estudió anteriormente) Características generales de secciones eficaces de reacción. Consideremos la reacción A(a, b)B

185

Se supone que la reacción sigue las leyes estadísticas y no involucran resonancias. La probabilidad de transición por unidad de tiempo,

ffifi dE

dnHW22

h

π=

depende directamente sobre la densidad de estados finales, y esta relacionada a la sección eficaz por:

συ

dL

W ifi 3=

El número de estados accesibles para b con pb entre pb y pb + dpb en un volumen V es:

( )( )12124

3

2

++= Bbbb JjV

hdpp

dnπ

los últimos factores toman en cuenta la multiplicidad generada por los estados de spin. Usando la relación relativista entre la energía y la cantidad de movimiento.

bbf dpdE υ=

( )( )12124 2

++= Bbb

b

f

JjVp

dEdn

υπ

entonces,

( )( )12121 22

4 ++= Bbfib

bfi JjHV

pW

υπ h

Podemos derivar una ecuación para la sección eficaz19, en términos de na (densidad de partículas a incidentes) el flujo incidente es por tanto naυa, y si se asume que hay una partícula incidente por

volumen, V

na1

= , llegamos a

( )( )12121 22

4 ++= Bbfiba

b JjVHpυυπ

σh

Estrictamente esta relación se refiere al CM, pero si A y B son lo suficientemente masivos los sistemas de laboratorio y centro de masa casi coinciden.

Los términos 2

fiVH y ( ) ( )12,12 ++ Bb Jj pueden ser desconocidos, pero se puede asumir que

los elementos de matriz de interacción no varían apreciablemente para los diferentes estados accesibles dentro de un estrecho rango de energía de las partículas incidentes y por tanto los términos desconocidos se pueden tratar como constantes,

ba

bpυυ

σ2

≈

más explícitamente, 2

fiH contiene las penetrabilidades a la barrera nuclear de Coulomb, las

cuales pueden modificar σ. Los elementos de matriz involucran las funciones de onda inicial y 19 σ = Wfi/naυa

186

final. Si la partícula incidente lleva carga, cada una se reduce en amplitud en el núcleo por la

transparencia ( ) 2/1Gae− donde Ga es el factor de Gamow de la partícula a con una energía Ea. De aquí que, en el caso de absorción y emisión de partículas cargadas positivamente, se encuentra que:

)(2 GbGafi eH +−≈

Tendencias de las secciones eficaces para distintos tipos de reacciones nucleares Sección eficaz para dispersiones elásticas de neutrones. Puesto que la dispersión (n, n) es elástica se sigue que:

ba υυ ≈ si se considera que la energía de retroceso es despreciable,

constmpp

nn

n

ba

b ==→≈ 22

22

υυυσ

que se ha confirmado hasta energías de 5 eV.

Sección eficaz característica para reacciones exotérmicas inducidas por neutrones de baja energía. Las reacciones involucradas son del tipo (n, γ) (n, p) (n, α) (n, f) los cuales tienen valores grandes de Q. Así, para energías moderadas del neutrón incidente (∼eV), υb es sensiblemente constante y lo es pb, puesto que pequeñas variaciones en υa = υn no pueden afectar apreciablemente a υb. La

dependencia de G en 2

fiH también se anula, puesto que Ga es cero para una partícula neutra y

e-Gb es groseramente constante, cuando la partícula emergente casi no varía con su energía.

nb

n

nba

b constpp

υυυυυ1.1 22

=→

187

Sección eficaz característica para dispersión inelástica neutrónica. El proceso (n,n´) es un ejemplo de una reacción endotérmica en la cual υa excede a υb y el núcleo A es abandonado con una energía de excitación. E* = -Q ≈ 1 MeV. Esto implica una comparativamente alta reacción umbral. Por arriba de este umbral, un cambio pequeño directo en la energía incidente En se manifiesta como un cambio grande en En´. Por tanto, aún cuando υn pueda ser considerado como una constante en la vecindad inmediata de la umbral, la velocidad del neutrón dispersado obedece la relación:

nn m

umbralladearribaenergíadeexceso)2/1(

2´

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=υ

( ) 2/1*´ EEnn −≈υ

y por tanto,

( ) 2/1*´

´

2´

2 1 EEpp

nnn

n

nba

b −≈≈→ υυυυυ

y de aquí, cerca del umbral se tiene:

( ) 2/1*EEn −≈σ

Sección eficaz característica para reacciones endotérmicas inducidas por neutrones que llevan a la emisión de partículas cargadas. El hecho de que las partículas cargadas se emiten en tales reacciones (n,p) ó (n,α) necesitan una leve modificación de la sección eficaz anterior, un factor de transparencia e-Gb debe ser incluido. Así,

( ) 2/1*EEe nGb −⋅≈ −σ

donde

( )∫ →−

=

b

bBbb

bb

eZZdrEU

mG

υπhh

22/1

2/1

2

28

donde: Ub = (carga de b).(potencial de Coulomb del núcleo residual B) Esto causa que la curva de la sección eficaz se curve hacia el eje de la energía.

188

Sección eficaz para reacciones exotérmicas que involucran partículas incidentes cargadas y partículas salientes no cargadas. Estos procesos incluyen, entre otros, procesos del tipo (p, γ) (α, γ) Asumiendo que la energía Ea << Q Se sigue que,

aba

bpυυυ12

→

donde el factor exponencial tiene que ser incluido para tomar en cuenta la transparencia de la barrera de Coulomb a las partículas cargadas incidentes.

Ga

a

e−≈υ

σ 1

Esta sección eficaz evidencia la falta de umbral y es cualitativamente similar en forma a la sección eficaz previa. Sección eficaz característica para reacciones exotérmicas con partículas incidentes y salientes. Por ejemplo, (α,p) y no hay de nuevo umbral

aba

bpυυυ12

→

que se multiplica ahora a los factores de penetrabilidad. De manera que la sección eficaz la podemos escribir como:

)(1 GbGa

a

e +−≈υ

σ

y muestra una mayor dependencia en energía que la sección eficaz previa.

189

Reacciones inversas Una situación interesante en la naturaleza es la que se refiere a la razón entre las secciones eficaces de una reacción y su inversa, es decir, Sea la reacción:

BbAa +↔+ Para la reacción directa (estado inicial hacia el estado final) se tiene:

( )( )12121 22

4 ++= Bbfiba

bfi JjVH

pυυπ

σh

mientras que para la reacción inversa,

( )( )12121 22

4 ++= Aaifba

aif JjVH

pυυπ

σh

puesto que el Hamiltoniano de perturbación es Hermitiano (Hfi = Hif); y la razón,

)12)(12()12)(12(

2

2

++++

=Aa

Bb

a

b

if

fi

JjJj

pp

σσ

las secciones eficaces representan promedios sobre varios estados de spin y suma de secciones eficaces parciales para los varios estados accesibles finales. Esta fórmula puede considerarse como una forma restringida del principio de balance detallado. Este principio puede ser tomado tanto con las secciones eficaces totales o diferenciales, siempre que en la ultima instancia los ángulos CM son los mismos para la reacción directa y la inversa. Las energías también deben ser las mismas en CM, tomando en cuenta el valor de Q. Por supuesto, las secciones eficaces y momentos son referidos al sistema CM. El balance detallado requiere que las probabilidades de transición por unidad de tiempo del proceso directo e inverso, bajo condiciones comparables, sean iguales,

iffi WW = esto implica que deben estar multiplicados por sus factores de momento (pero no por sus factores de multiplicidad). Se plantea por tanto una condición más débil: “el principio de balance semi-detallado” que considera las probabilidades de transición promediados sobre todos los estados de spin.

iffi WW = El principio de balance detallado aplicado a las reacciones

MeVdpp ⋅−+↔+ + 137π cuando el haz incidente no polarizado choca con blancos no polarizados, produce:

)12)(12()12)(12(

2

2

),(

),(

++++

=pp

d

pp

p

JjJj

pp ππ

π

π

σσ

190

donde las secciones eficaces y momentos están referidas al CM. A causa de que en la reacción inversa las partículas salientes son idénticas se acostumbra a incorporar un factor de ½ a la sección eficaz medida. Si se considera conocido los spines de los protones y del deuterón, entonces:

2)12(3

2

2

),(

),( += ππ

π

π

σσ J

pp

pp

p

y si medimos las correspondientes secciones eficaces, el spin de la partícula π quedaría determinado. Reacciones Resonantes. Anomalías de resonancia en funciones de excitación. La ocurrencia de resonancias introduce discontinuidades en la suave curva de la sección eficaz. Tales irregularidades indican que los elementos de matriz en lugar de ser casi constantes, fluctúan con la energía, un fenómeno el cual puede ser observado en todas las reacciones que proceden vía un estado nuclear intermedio; especialmente pronunciado en procesos tales como la captura radiactiva de neutrones lentos. Así, la reacción In(n,γ)In muestra un pico resonante a energía de 1.457 MeV.

Figura. Pico de resonancia en la sección eficaz del Indio natural (In115 95.8%)

Esta resonancia puede atribuirse a la captura de la onda S del neutrón por el isótopo In115 (concentración isotópica 95.8%; spin del estado base J0= 9/2) para formar un estado excitado del In116 (J=5). Los datos se ajustan a una curva simétrica cerca de la energía de resonancia y tiene la forma,

( )20

1EER

−≈σ

siendo E0 la energía de resonancia. Una explicación de estas características se propone postulando que un núcleo compuesto C se forma en un estado excitado, como un paso intermedio de la transición total, volviéndose un proceso de segundo orden, es decir,

bBCAa +→→+

191

Aplicando la teoría de perturbación de segundo orden se encuentra la probabilidad de transición por unidad de tiempo. Para reacciones que proceden de un estado inicial i, vía un estado intermedio C, a un estado final f, dicha probabilidad de transición por unidad de tiempo esta dada por la primera regla de oro de Fermi:

fCi

fCCifi dE

dnEE

HHW

22

−= →→

h

π

Suponiendo que la densidad de partículas incidentes es de una partícula por volumen V. La sección eficaz esta dada por:

( )( )1212122

4 ++−

= →→→→ Bb

Ci

fCCi

ba

bfCi Jj

EEHHp

υυπσ

h

Esta relación da claramente una forma de resonancia para cuando Ei tiende a EC. En realidad, en lugar de tender al infinito para ese valor de energía solo crece abruptamente y toma un valor alto. Fórmula de Breit - Wigner. (B-W) La forma del pico resonante puede ser descrita por una función Lorentziana.

( ) ( )220 2/

)(Γ+−

=EE

kEf donde k es una constante.

E es la energía incidente cercana a E0 (la energía de resonancia) y Γ es el ancho total (FWHM) del estado compuesto (resultante de la suma de los anchos parciales, Γ = ΣΓi). La inclusión de este término, el cual corresponde a un tiempo de vida media del estado compuesto, hace que la amplitud del pico no se haga infinita para cuando la energía tiende a la de resonancia. En la resonancia, la sección eficaz alcanza su valor máximo (máximo dado por la expresión de la sección eficaz absoluta) teniendo un simple pico de energía E0 y momento angular orbital l.

( )122 += lDl πσ entonces en la vecindad de la resonancia, la sección eficaz para la formación de un núcleo compuesto (NC), está dada por la expresión:

)(ETfNC lσσ = donde, T es la transparencia que se ha insertado en la expresión para tomar en cuenta la barrera de penetración del NC a la energía E incidente. Esta transparencia puede en principio variar de 0 a 1, y puesto que σNC ≤ σl , se tiene que f(E) ≤1. La función f se la puede normalizar a través de la introducción de “nivel medio de separación” D, en el sistema compuesto:

∫∞

∞−

=1)(1 dEEfD

lo que corresponde a poner el valor medio de f igual a la unidad, después de promediar sobre varias resonancias cuyo espaciamiento de energía se toma como un valor constante D. De esta manera se puede encontrar el valor de k en la fórmula para f(E).

π2Γ

=Dk

De igual manera se puede utilizar la teoría del efecto túnel para encontrar una expresión de la transparencia T, en términos del ancho parcial Γa para la formación (o decaimiento) del estado compuesto NC a través del canal correspondiente a la partícula a. Esto establece que

192

( )repeticióndetasaTa

aa ⋅=

Γ=≡hτ

λ 1

para encontrar la tasa de repetición procedemos desde la función de onda neta Ψ del estado del NC, la cual puede ser expresada como la superposición de las funciones de onda que describen estados vecinos de energía cercana a la de resonancia.

∑ −=Ψ h/tiEnn

nea ψ

En = ε0 + nD

∑ −− ⋅=Ψn

itnDnn

ti eae hh //0 ψε

en el cual, el segundo término exponencial es periódico y tiene un período

Dh

Dt ==∆

hπ2

en otras palabras, que a tiempos t, t + (h/D), t + 2(h/D), ...etc. la configuración del estado se reproduce. La tasa de repetición es entonces D/h, y por tanto,

hDTa =

Γh

DT aΓ=

π2

De las relaciones anteriores se encuentra la sección eficaz de formación de un núcleo compuesto cerca de la resonancia:

( ) ( )220

2

2/)12(

Γ+−ΓΓ

+=EE

aNC lDπσ

después de la formación del núcleo compuesto, éste decaerá mediante varios canales de salida a todos los posibles estados finales accesibles f (compuestos de los productos de reacción, b y B). Proceso que ocurrirá con una probabilidad dada por la razón Γb/ Γ, por tanto,

( ) ( )220

2),( 2/

)12(Γ+−

ΓΓ+=

ΓΓ

=EE

babNCba lDπσσ

para la sección eficaz de reacción (a,b) cerca de la resonancia. A través de considerables simplificaciones se ha obtenido la fórmula de Breit-Wigner de un solo nivel. El nombre “un solo nivel” viene de la consideración inherente que solo un nivel de resonancia del núcleo compuesto esta involucrado en la reacción neta (a,b). Se debe notar que la expresión anterior no incluye contribuciones no resonantes. La fórmula se aplica exclusivamente a procesos resonantes y por ejemplo, pueden usarse para describir dispersiones inelásticas de resonancia (a,a´) Sin embargo, no se puede usar para el caso de dispersiones resonantes elásticas (a,a), sino que se tendrá que introducir una modificación.

193

La sección eficaz que se encuentra considerando una entrada particular (canal) y sumada sobre todos los canales de salida (excepto la elástica) se llama sección eficaz de reacción y es:

ΓΓ

−=ΓΓ

== ∑∑ aNC

b

bNC

bbar 1),( σσσσ

Introduciendo la sección eficaz elástica:

elasticartot σσσ += Es importante notar que la sección eficaz total permite una comparación no ambigua con el experimento. Por otra parte, la sección eficaz elástica contiene dos términos: el término compuesto también llamado dispersión de resonancia (vía un estado excitado compuesto); y el término de forma, también llamado dispersión potencial en la cual no hay una penetración apreciable al blanco o la formación de un complejo intermedio.

formacompelastica σσσ += mientras σform se la puede calcular directamente de un potencial de dispersión dado, σcomp no se lo puede hacer. Sin embargo, estas dos se las puede calcular de una teoría modificada de B-W. Si las dispersiones elásticas de forma fuesen completamente eliminadas y más aún, si las restantes dispersiones compuestas provinieran en resonancia de un estado intermedio, la fórmula de B-W se podría aplicar en este caso:

( ) ( )220

22

),( 2/Γ+−

Γ==

EEa

resaaelas Dπσσ

Ejercicios 1. Cuando se utilizan neutrones térmicos para inducir la reacción exotérmica B10(n, α)Li7 las partículas alfa emitidas tienen 1.83 MeV. Dado que las masas de B10 neutrón y partícula alfa son: 10.0167 uma, 1.00894 uma y 4.00836 uma. ¿Cuál es la masa del Li7? 2. Defina el concepto de la sección eficaz. Describa cualitativamente la dependencia respecto a la energía de la sección eficaz de una reacción típica (n, γ) en el caso de neutrones lentos. 3. Neutrones con energía cinética de 30 MeV inciden sobre un blanco de núcleos (A≈150). Las partes reales e imaginarias del potencial óptico son 40 MeV y -8 MeV respectivamente. Use estos valores para estimar la probabilidad que el neutrón pase diametralmente a través del núcleo. 4. Calcule la sección eficaz absoluta para la captura de un neutrón de 5 MeV (tratado como partícula puntual), el cual incide sobre un núcleo de Kr82 con un momento orbital tal que la colisión puede ser considerada como rasante. 5. Un blanco de C12 es bombardeado por neutrones, formando un núcleo compuesto de spin- paridad ½+ y una energía de excitación de 10.76 MeV. Si el estado base del núcleo C13 yace 4.947 MeV más debajo de aquel del sistema (C12 + n) calcule las secciones eficaces absoluta y geométrica de captura del neutrón. 6. Un núcleo tiene una resonancia de neutrón a 80 eV y no otras resonancias cercanas. Para esta resonancia: Γn 0 5 eV; Γγ = 1 eV; Γα = 3 eV. ¿Cuales son las secciones eficaces para (n,γ) y (n,α) a 85 eV?

194

7. La sección eficaz de la reacción D-D H2(d,p)H3 con deuterones (onda S) de energía 100 keV (lab) es 28 mb y el valor Q = +4.0329 MeV. Calcular la sección eficaz de la reacción inversa con protones (onda S) los cuales tiene una energía tal que se alcanza la misma energía de excitación del estado intermedio. 8. La sección eficaz total para la foto-desintegración del deuterón H2(γ,n)H1 (Q = -2.23 MeV) es 1.4 mb para un γ incidente de 10 MeV. Qué energía deben tener los neutrones para dar lugar a un γ de la misma energía cuando ellos participan en la colisión inversa H1(n,γ)H2. ¿Cuál es la magnitud de la sección eficaz de la reacción inversa bajo estas condiciones? Fisión nuclear Después del descubrimiento del neutrón en 1932 por medio de Chadwick, se comenzaron a irradiar materiales con neutrones y se produjo lo que hoy se llama la activación neutrónica (Nobel 1938 Fermi). Se dirigió luego la investigación hacia la formación de elementos transuránicos, donde por separación química se encontró un elemento con propiedades del bario y se pensó que era el radio, sin embargo la producción del radio a partir del Uranio es muy poco probable. Hahn y Strassmann en 1939 probaron que efectivamente era Bario. Otros trabajos mostraron la presencia de núcleos con masas intermedias formadas al bombardear Uranio con Neutrones. Adicionalmente experimentos con cámaras de ionización mostraron que estos procesos liberaban una gran cantidad de energía, 100 MeV (mucho más grandes que la energía liberada, por ejemplo en el decaimiento alfa) Meitner y Frish en 1939 propusieron que el núcleo de Uranio, después de la captura neutrónica, era altamente inestable y se fraccionaba o dividía (proceso que lo llamaron fisión) La fisión no es más que la competición entre la fuerza nuclear y la coulómbica de núcleos pesados. Se sabe que la energía de enlace nuclear crece al aumentar A, mientras que la repulsión coulómbica crece con Z2 Si se plantea un modelo parecido al del decaimiento alfa para la fisión, diríamos que la emisión se produciría si los fragmentos están cerca del tope de la barrera (donde la pared es muy fina y fácil de tunelizar). La fisión puede ocurrir espontáneamente como un decaimiento natural o puede inducirse por la absorción de alguna partícula como neutrón o fotón, llevando al núcleo a un estado excitado de mayor energía con mayor probabilidad de escape. El proceso de fisión es solo importante para núcleos pesados (más allá del Th)

Figura. Esquema del núcleo como un pozo y una barrera.

Como se mencionó el proceso de fisión tiene dos características muy importantes: Hay una alta energía liberada, adicionalmente, además de los fragmentos de fisión se liberan varios neutrones lo que permite reacciones en cadena.

195

Un análisis sencillo de la energía de enlace por nucleón permite ver que si un núcleo pesado se divide en dos fragmentos lleva a un sistema más ligado con liberación de energía: 238x 7.6 =1809 MeV 2 (119x8.5) = 2033 MeV Se liberan 214 MeV (en forma de n0 y gammas de los fragmentos) Pero el 80% se libera como energía de retroceso de los fragmentos por la alta repulsión coulómbica de los fragmentos en el proceso. En el cálculo de la probabilidad de decaimiento hay un término que depende de la energía liberada (mientras mas energía es liberada hay mayor forma de compartir la energía entre los productos y por tanto, mayor cantidad de estados finales, es decir mayor probabilidad) El decaimiento por fisión para el Uranio 238 existe pero es poco probable: T1/2 (alfa) 4.5 109 años; T1/2 (fisión espontánea) 1016 años. Este último proceso aparece con mayor probabilidad para núcleos con A>250. Ejemplo Cf252 4% (fisión) 96% (alfa). Lo que inhibe el proceso de fisión espontánea es la barrera de Coulomb (como inhibe al decaimiento alfa discutido anteriormente). La barrera de los fragmentos podemos estimar como:

R = R1 + R2

RezzV

221=

que es igual a 250 MeV e impide la separación de los fragmentos lo que hace que el decaimiento sea poco probable. Aunque se ha puesto cifras en estos estimados, no se pueden tomar muy en serio a estos números.

Lo que si es cierto es que el alto de la barrera es aproximadamente igual a la energía liberada en la fisión de los núcleos pesados y hay ciertos núcleos para los cuales la energía liberada pone apenas a los fragmentos abajo del tope de la barrera dándoles buena posibilidad para penetrar la barrera (fisión espontánea). Los núcleos que ponen a los fragmentos arriba de la barrera son A>300 y no existen. Otros núcleos pueden estar abajo del tope, pero al absorber un neutrón o un fotón pueden formar un estado intermedio que esté arriba de la barrera (fisión inducida). Si el estado intermedio esta abajo de la barrera, la fisión es inhibida y ocurre otro tipo de decaimiento. La habilidad de que un núcleo sufra una fisión inducida depende críticamente de la energía del sistema intermedio. Para algunos núcleos la captura de un neutrón térmico es suficiente.

196

Un cálculo detallado de la energía necesaria para inducir la fisión se esquematiza en la siguiente gráfica:

Una aproximación instructiva para el entendimiento de la fisión espontánea es a partir de la fórmula semi-empírica de masa. Si se parte de un núcleo esférico que se deforma en un elipsoide de revolución de igual volumen

2

34 abV π

=

donde a y b son el semi-eje mayor y menor respectivamente.

ε

ε

+=

+=

1

)1(Rb

Ra

siendo ε la excentricidad de la elipse

πβε

45

=

y β el parámetro de deformación. Note que, R3 = ab2, puesto que V permanece constante. Mientras la esfera se deforma, la superficie crece como:

197

++= .....

5214 22 επRS

y el término de la energía de superficie crece. El término de la energía de coulomb se modifica por un factor

+− ......

511 2ε

la diferencia de energía entre el estado deformado y no deformado,

)0()( =−=∆ εε BEBEE esta dada como:

3/123/223/1223/2 ...511.....

521 −− ++

+−−

++−=∆ AZaAaAZaAaE cscs εε

23/123/2

51

52 ε

+−≈∆ −AZaAaE cs

Si el segundo término es más grande que el primero, la diferencia en energía es positiva. Entonces se gana energía por la deformación y el núcleo se deformará más hasta fisionarse (el núcleo es inestable por la deformación y sufrirá una fisión). Para la fisión espontánea se cumple:

3/23/12

52

51 AaAZa sc >−

472

>A

Z

Este estimado se debería modificar para considerar la barrera de penetración la cual permite la fisión espontánea aún cuando la energía de deformación es negativa. Además para núcleos en la región del Uranio su forma es deformada hasta en el estado base.

198

En la figura el eje x señala el valor Z2/A. Mientras más grande es el valor de este parámetro más pequeño es el tiempo de vida media de la fisión espontánea. Si este parámetro es mayor o igual a 47, la fisión ocurre instantáneamente. La distribución de masa de fragmentos de la fisión del Uranio 235

0141930235 2nCsRbnU ++→+ no es única sino que hay una distribución como la que se muestra en la figura.

Figura. Distribución de masa de los fragmentos de la fisión del U236

La distribución muestra dos picos a los que se les conoce con el nombre de rama de fragmentos livianos y pesados respectivamente. Para distintos materiales fisionables los fragmentos de fisión pesados son casi los mismos mientras que los livianos se incrementan linealmente al crecer A del elemento fisionable, es decir, el pico de los fragmentos livianos se corre hacia el de pesados al incrementarse la masa del núcleo fisionable. Aunque la fisión se lo trata como un fenómeno colectivo y de hecho se utiliza el modelo de la gota líquida para la descripción de sus parámetros, la forma de la distribución de masa de los fragmentos se puede justificar mediante los números mágicos y nucleones de valencia del modelo de capas. Teoría de reactores nucleares. La física de los reactores de fisión se ocupa de proveer de métodos y modelos que permitan calcular y medir las propiedades de un reactor nuclear. Entre éstas se encuentran: dimensiones críticas, forma geométrica del núcleo, distribución de potencia, comportamiento cinético y análisis de seguridad, cambios de reactividad a consecuencia del quemado de combustible y blindaje requerido por el sistema. A continuación se presentan los principios físicos fundamentales que se aplican en el análisis de un reactor nuclear. En general, se puede decir, que un reactor nuclear esta compuesto por: • Núcleo. Región que contiene al combustible, al moderador (reactor térmico) y refrigerante. • Cobertor. Aquí se dan los procesos de conversión y cría de isótopos físiles a partir de

materiales fértiles.

233233233232 ),( UPaThnTh →→γ

199

• Reflector. Materiales cuyas propiedades físicas le hacen un excelente moderador y usualmente envuelve el núcleo del reactor o a su cobertor, disminuyendo la fuga de neutrones del núcleo.

• Barras de control. Materiales que se caracterizan por ser fuertes absorbedores de neutrones y cuya movilidad dentro del núcleo permite modificar la población de neutrones en el núcleo.

• Blindaje térmico. Material que se usa para frenar la radiación emitida del núcleo del reactor para evitar esfuerzos térmicos en la vasija del reactor.

• Vasija del reactor. Recipiente que da cabida a cada una de las componentes del reactor. • Blindaje contra radiaciones. Barrera física que protege al personal de operación de

sobreexponerse a la radiación. • Estructura de contención. Construcción que aloja al reactor y protege a la población en caso de

accidente con emisión de productos de fisión. •

Figura. Esquema del un reactor nuclear

El ciclo del neutrón. El funcionamiento de un reactor se basa en la capacidad de mantener la reacción de fisión en cadena auto-sostenida y estable. Para esto es primordial establecer condiciones que permitan que la velocidad de reacción de absorción de neutrones y de fuga de los mismos este compensada por la velocidad de producción de neutrones resultante de las reacciones de fisión. Si se considera un neutrón que aparece en el sistema como resultado de la fisión con energía aproximada a 2 MeV. En el proceso de frenado hacia energías térmicas, el neutrón debe salvar las energías umbrales de fisión rápida de isótopos fértiles y fisionables que están presentes en el combustible (ejemplo: el combustible puede ser U238 enriquecido del 5% al 20% con U235. La energía umbral de fisión de U238 es de aproximadamente 1.2 MeV). En el proceso de moderación el neutrón va perdiendo su energía hasta alcanzar la región de resonancias de absorción en donde puede perderse o atravesarla para pasar a la región térmica. En este punto el neutrón puede ser absorbido por el combustible u otro material. Si ocurre lo segundo, entonces el neutrón se pierde del sistema. De otra manera existe mayor probabilidad de que pueda dar lugar a otra fisión. Prolongando la reacción en cadena. Este ciclo del neutrón lo podemos esquematizar en la siguiente figura.

200

Esquema del ciclo del neutrón

La medida de la capacidad del sistema para auto-sostener la reacción en cadena esta dada por la relación entre el número de neutrones en una generación con respecto al número de neutrones en la generación previa. A esta relación se le denomina factor de multiplicación del sistema y se denota por k. Siguiendo el esquema anterior, si se considera que un neutrón aparece como resultado de la fisión y si se define un factor de fisión rápida, ε, como la razón de entre el número total de neutrones de fisión (rápidas y térmicas) y el número de neutrones de fisión térmica. Entonces antes de alcanzar la región de resonancias tendremos εlf neutrones, donde se ha definido (1-lf) como la probabilidad de fuga de un neutrón rápido del sistema físico. Definiendo también p como la probabilidad de escape a la región de resonancias (es decir la fracción de neutrones que se arreglan para salvar la región de resonancia. Ver figura a continuación). Entonces el número de neutrones que llegan a energías térmicas es εplf. Si (1-lt) representa la probabilidad de fuga del neutrón térmico del sistema físico, entonces el número de neutrones térmicos disponibles para las reacciones de fisión será εplflt. Ahora bien, no todos los neutrones son absorbidos en el combustible y aquellos que lo hacen no necesariamente conllevan a reacciones de fisión. El número de neutrones térmicos absorbidos por el combustible serán εpflflt donde f es el factor de utilización térmica y esta dado por:

a

caf

ΣΣ

=

es decir, la razón de las secciones macroscópicas de absorción del combustible y total. De los neutrones que son absorbidos en el combustible, la fracción que produce fisión se denota por η y es llamada la eficiencia del combustible y es dada por:

ca

cf

σσ

νη =

con ν, el número promedio de neutrones emitidos en la fisión y las σ son las secciones eficaces de fisión y absorción del combustible. Así, el número de neutrones en la nueva generación es simplemente k = ηεpflflt Es importante notar que se inició el ciclo con un solo neutrón y al finalizar se tienen ηεpflflt neutrones. Si el sistema físico considerado tuviera dimensiones infinitas, las fugas del sistema se hacen cero y en este caso, lf = lt=1, y se define k∞ = ηεpf que se le conoce como el factor de multiplicación infinito.

201

De la definición del factor de multiplicación se desprende que: • Si k = 1 entonces en promedio el número de neutrones en una generación respecto de la

anterior es conservado y se tiene una reacción en cadena auto-sostenida (reactor crítico). • Si k > 1 la población neutrónica aumenta de generación a generación (reactor super-crítico) y • Si k < 1 la población de generación a generación decrece y el resultado final puede ser el

paro total de la reacción en cadena (reactor sub-crítico).

Dependencia en energía de la sección eficaz de fisión de uranio

El factor de multiplicación se lo puede definir también en términos de las relaciones de balance de neutrones, es decir como la razón entre la velocidad de producción de neutrones en el reactor y la velocidad de pérdida de neutrones (absorción y captura) en el reactor.

)()(

tLtPk =

Donde P(t) es la tasa de producción de neutrones y L(t) la tasa de pérdida de neutrones Si se introduce el concepto de tiempo de vida del neutrón (tiempo promedio de permanencia del neutrón desde que aparece como resultado de la fisión hasta que es absorbido o capturado en algún núcleo de los materiales que componen el reactor o se fuga del mismo) como:

)()(

tLtN

=l

siendo N(t) el número de neutrones en el reactor al tiempo t. Una ecuación de balance para la población neutrónica se puede entonces escribir como:

)()()( tLtPdt

tdN−=

)(1)( tNkdt

tdNl

−=

Suponiendo a k y l independientes del tiempo y la condición inicial N(0)=N0

τ/0)( teNtN =

con

1−=

klτ

al cual se lo llama “período del reactor” y se lo puede entender como tiempo de relajación del sistema, es decir, el tiempo requerido para modificar la población de neutrones por un factor e (2.7118..) Si k>1, τ toma valores positivos y la densidad de neutrones crece exponencialmente en el tiempo. Si por el contrario, k<1 entonces τ toma valores negativos y la densidad neutrónica decrece exponencialmente en el tiempo. Si el sistema es crítico, la población permanece igual a la inicial.

202

Figura. Dependencia de la población de neutrones en el factor k

Transporte de neutrones La distribución de neutrones en el dispositivo permite determinar la velocidad a la que ocurren las diferentes reacciones nucleares que se dan en el reactor. Del comportamiento de la población neutrónica en el reactor podemos inferir acerca de la estabilidad de la reacción de fisión en cadena. Para determinar la distribución de los neutrones en el reactor es preciso considerar el movimiento de ellos dentro del núcleo del reactor, sus colisiones (dispersiones y absorciones) y sus fugas. En otras palabras hay que plantear su ecuación de transporte de Boltzmann. Dado que el conocimiento de la función de distribución es de poco interés, ya que es difícil asociarla a cantidades físicas observables experimentalmente, se prefiere trabajar con sistemas promediados, es decir, densidad media, velocidad media, etc. Utilizando este procedimiento es posible obtener la ecuación de Boltzmann para la función de distribución reducida para una partícula. Por facilidad, se obtiene la ecuación de transporte de neutrones como una ecuación de balance. Sea rdtrN rr 3),( el número promedio de neutrones en un elemento de volumen d3r alrededor de r en el tiempo t (no es la función más general que se puede definir). Si υ es la velocidad de los neutrones y Σ la sección eficaz macroscópica de un proceso determinado, entonces la densidad de velocidad de reacción esta dada por: υΣ N(r,t) d3r Ahora,

),(),( trNtr rr⋅= υψ

se lo conoce como el flujo neutrónico Se introduce la distribución de densidad neutrónica angular tal que:

Ω⋅⋅Ωrrrr ddErdtErn 3),,,(

representa el número promedio de neutrones en el elemento de volumen rddV r3≡ alrededor de rr con energías entre E y E+dE y moviéndose en una dirección Ω

r. De igual manera se define una

distribución de flujo neutrónico angular como: ),,,(),,,( tErntEr Ω⋅=Ω

rrrr υφ la densidad de corriente angular se define como:

),,,(),,,( tErntErj Ω⋅Ω⋅=Ωrrrrrr υ

Note que,

∫ ∫ ΩΩ=rrrr dtErndEtrN ),,,(),(

∫ ∫ ΩΩ=rrrr dtErdEtr ),,,(),( φψ

y

∫ ∫ ΩΩ=rrrrrr dtErjdEtrJ ),,,(),(

La rapidez de cambio de la densidad neutrónica angular en d3r⋅dE⋅dΩ esta dada por:

203

[ ] Ω⋅⋅−=Ω⋅⋅Ω∂∂ rrrrrr ddErdPerdidasGananciasddErdtErnt

33),,,(

En el término de ganancias contribuyen las fuentes de neutrones, los neutrones que son dispersados dentro del elemento Ω⋅⋅

rr ddErd 3 como resultado de colisiones en otros elementos. Las fuentes de neutrones se las describe mediante la función ),,,( tErS Ω

rr tal que al multiplicarla

por Ω⋅⋅rr ddErd 3 da el número de neutrones que aparecen por unidad de tiempo en Ω⋅⋅

rr ddErd 3 al tiempo t. Los neutrones que son dispersados dentro de Ω⋅⋅

rr ddErd 3 por colisiones dentro de otros elementos es:

∫ ∫∞

ΩΩ→Ω→ΣΩΩπ

φ4 0

3 )´,´,,()´,´,(´´ tErEErdEddEdrdrrrrrr

En donde se ha definido:

)´,´,(´),()´,´,( Ω→Ω→⋅Σ=Ω→Ω→Σrrrrrr EErPErEEr S

note que )´,´,,(´),( tErErS Ω⋅Σ

rr φ es el número de dispersiones por unidad de tiempo en ´´3 Ω⋅⋅rr ddErd al

tiempo t, y Ω⋅Ω→Ω→rrr

ddEEErP ´)´,,( la probabilidad de que una dispersión en el punto r

de un neutrón con energía E´ y dirección ´Ωr

lleve a que el neutrón termine con energía entre E y E + dE y dirección Ω

r dentro del ángulo sólido dΩ.

A las pérdidas contribuyen: Las dispersiones que arrojan a os neutrones fuera del intervalo de energía y ángulo sólido considerado. Estas dispersiones por unidad de tiempo serán:

Ω⋅⋅⋅Ω⋅Σrrrr ddErdtErErS

3),,,(),( φ Las absorciones, es decir, el número de neutrones que son absorbidos por unidad de tiempo en el rango de energía y ángulo sólido considerado, y que son simplemente:

Ω⋅⋅⋅Ω⋅Σrrrr ddErdtErEra

3),,,(),( φ Los neutrones que se fugan por unidad de tiempo del elemento en consideración como resultado del transporte de los mismos, dado por:

∫ ⋅ΩΩ AdtErjdEdrrrrr

),,,(

expresión, que utilizando el teorema de la divergencia de Gauss, viene a ser:

),,,(3 tErrddEd Ω∇⋅ΩΩ∫rrrr φ

La ecuación de balance toma la forma:

),,,()´,´,,()´,´,(´´),,,(),(1

4 0

tErStErEErdEdtErErtv t Ω+ΩΩ→Ω→ΣΩ=Ω

Σ+∇⋅Ω+

∂∂

∫ ∫∞ rrrrrrrrrrr

π

φφ

donde Σt = Σa + ΣS es la sección eficaz total macroscópica. La ecuación de balance de neutrones es limitada en el análisis de reactores por su complejidad intrínseca, sin embargo es el punto de partida para la obtención de la ecuación de difusión de neutrones.

204

Una simplificación inicial consiste en suponer que no hay intercambio de energía cuando un neutrón sufre una colisión con los núcleos del medio, lo que implica trabajar con los neutrones a una única energía (ecuación de transporte mono-energética) Si se selecciona las secciones eficaces apropiadas esta aproximación provee una buena descripción de un reactor nuclear. Bajo esta aproximación se tiene que:

)´()´,()´,´,( EErEEr −Ω→ΩΣ=Ω→Ω→Σ δrrrrrr

siendo δ(E´-E) la función delta de Dirac. La ecuación de balance queda:

),,()´,,()´,(´),,()(1

4

trStrrdtrrt t Ω+ΩΩ→ΩΣΩ=Ω

Σ+∇⋅Ω+

∂∂

∫rrrrrrrrrrr

π

φφυ

que se la puede re-escribir como:

),(),()(),()(),(),(1 trStrrtrrtrJtrt St

rrrrrrrr+Σ=Σ+⋅∇+

∂∂ ψψψ

υ

Para encontrar una relación entre ψ y J

r se consideran los dos primeros términos del desarrollo en

serie siguiente:

[ ].....),(3),(41),,( +Ω⋅+=Ω

rrrrrr trBtrAtrπ

φ

lo que implica que se está suponiendo que la distribución de neutrones tiene una pequeña dependencia angular, es decir, es “casi isótropa”. Note que si esta última ecuación se la integra en el ángulo sólido, ψ = A. Si se multiplica por Ω

r y

luego se integra en el ángulo sólido, ),(),( trJtrB rrrr=

Sustituyendo el desarrollo en la ecuación de balance se tiene:

),(),()(),(31),(1 trFtrJrtrtrJ

tv trrrrrrrr

=Σ+∇+∂∂ ψ

donde Σtr es la sección eficaz macroscópica de transporte, definida como: Σtr = Σt -µΣS siendo µ el coseno promedio del ángulo de dispersión y

∫ ΩΩ⋅Ω= ),,(),( trSdtrFrrvr

La ecuación de balance escrita en las dos formas previas se le conoce como ecuaciones P1 y es equivalente a desarrollar el flujo angular en serie de polinomios de Legendre y retener solamente los dos primeros términos. Se introducen dos aproximaciones adicionales para simplificar estas ecuaciones. La primera es considerar la fuente de neutrones isótropa, es decir,

π4/),(),,( trStrS rrr=Ω

mientras que la segunda establece que el término

),(1 trJtv

rr

∂∂

en la ecuación es despreciable en comparación a los restantes.

Si inicialmente se considera el caso de ausencia de fuente, se tiene que:

205

),()(),( trrDtrJ rrrr ψ∇−= que se la conoce como ecuación de Fick y

tr

rDΣ

=3

1)(r

La otra forma de la ecuación de balance, con estas aproximaciones, queda:

[ ] ),(),()(),()(),(1 trStrrtrrDtrt a

rrrrrr=Σ+∇⋅∇−

∂∂ ψψψ

υ

esta ecuación se la conoce como las ecuación de difusión de neutrones y es fundamental en el análisis de reactores nucleares. Las soluciones de esta ecuación dependen de sus respectivas condiciones iniciales y de frontera. La primera toma la forma sencilla:

( ) ( )rr rr00, ψψ =

mientras que las segundas pueden considerarse como: Valores de frontera en el infinito. El flujo de neutrones debe permanecer finito y positivo en cualquier lugar del medio difusor excepto en la vecindad inmediata de una fuente de neutrones. Valores de frontera en interfases. El flujo y la densidad de corriente deben ser continuos en cualquier lugar en el interior del medio dispersor, excepto en una fuente de neutrones en donde la corriente es discontinua. Valores de frontera entre un medio material y el vacío. Ningún neutrón retorna al medio dispersor desde el vacío. Esta condición no puede ser satisfecha exactamente en la aproximación de difusión, así que se la sustituye por una condición más débil la cual consiste en establecer que el número neto de neutrones que retorna al medio dispersor del vacío es cero. Para una geometría plana

∫>Ω

=ΩΩ⋅Ω0

0),,(x

txd xsxφr

donde xs representa cualquier punto de la interfase. Esta condición se reduce a:

Dx 211

−=∂∂ψ

ψ

si en la vecindad de la frontera se reemplaza ψ con una función lineal

).1)(,0(),( xattx +=ψψ inmediatamente se desprende que

23

21 tr

Da

Σ−=−=

expresión que nos dice que el flujo no se anula, sino que por el contrario se extrapola linealmente a cero en el punto

trtr

z λ32

32

0 =Σ

=

fuera de la frontera. A la cantidad z0 se le denomina el punto final de extrapolación lineal o distancia de extrapolación. En general, el flujo cerca de la frontera no es lineal, si la forma real del

206

flujo se extrapola a cero se obtendría un punto final diferente. Entonces en la interfase medio dispersor-vacío, el flujo se debe calcular como si se anulara a la distancia z0 más allá de la frontera. Es importante recalcar que esto es solo un artificio matemático para el calculo de la distribución de neutrones dentro del reactor y de ninguna manera quiere decir que el flujo de neutrones se hace cero en ese punto. La validez de aplicación de la teoría de difusión. Como el flujo fue desarrollado en serie en Ω

r y

solo se incluyeron los términos de orden cero y uno, entonces si el flujo es altamente anisótropo, la aproximación de difusión no es válida. Esto ocurre en medios caracterizados por secciones eficaces de absorción altas o cualquier medio suficientemente cercano a una frontera (algunas trayectorias libres medias). La teoría de la difusión no es adecuada para describir el sistema si también las secciones eficaces son funciones que varían rápidamente con la posición. Modelo mono-energético de un reactor nuclear Debido a que este modelo es mono-energético, la presencia del moderador no es necesaria, sin embargo, para hacer de este modelo algo significativo, el moderador, refrigerante y materiales estructurales se encontrarán mezclados con el material fisionable. En este modelo se considera que ν neutrones son emitidos por fisión. De estos neutrones algunos son absorbidos en materiales diferentes al combustible, otros absorbidos por el combustible sin dar lugar a fisiones, y otros se fugan del sistema. Como se quiere que la reacción se auto-sostenga con los neutrones producidos por fisión, el término fuente en la ecuación de difusión estará dado por:

),()( trrfrr ψν Σ⋅

Así que la ecuación que describe el modelo de reactor propuesto será:

[ ] ),(),()(),()(),(1 trtrrtrrDtrt fa

rrrrrr ψνψψψυ

Σ⋅=Σ+∇⋅∇−∂∂

Si se considera que el reactor es homogéneo, entonces las secciones eficaces y el coeficiente de difusión no dependen de la posición. Más aún si se supone que la dependencia temporal del flujo está dada por: )exp()(),( trtr Λ−=

rr ψψ se tiene,

( ) )()(2 rrDfarr ψ

υψν Λ

=∇−Σ⋅−Σ

De la dependencia en tiempo supuesta para el flujo podemos concluir que para Λ=0 se tiene un estado estacionario. Para Λ > 0 la densidad neutrónica decae exponencialmente y si Λ < 0 el flujo se incrementa exponencialmente (lo que hace intuir una conexión con entre Λ y k). La solución de esta ecuación se la puede considerar como una superposición de las soluciones de la ecuación de valores propios:

0)()( 22 =+∇ rBr nnnrr ψψ

con los mismos valores de frontera. Es decir,

∑=n

nn rAr )()( rr ψψ

con An constantes a determinar de acuerdo con las condiciones del problema. Sistemas de generación nuclear de potencia. Las centrales nucleares que operan hoy en día se pueden clasificar de acuerdo con la clase de reactores que poseen y a la forma como su energía es empleada. Así, Los reactores enfriados con agua ligera de ciclo indirecto (reactores de agua presurizada PWR) y directo (reactores con agua en ebullición BWR) También los reactores pueden ser enfriados con

207

agua pesada del tipo CANDU, o enfriados por gas HGTR, o enfriados por metal líquido como el sodio LMFBR. La mayor parte de las centrales nucleares operan en un ciclo de vapor por el cual el vapor presurizado hace mover una turbina que convierte parte del calor de entrada en energía mecánica y eléctrica. En las centrales nucleares la energía que se produce por fisión se utiliza para producir vapor, el cual puede ser producido directamente (BWR) o en intercambiadores de calor normalmente llamados generadores de de vapor (PWR, HTGR, LMFBR, etc). Después de que el vapor ha pasado a través de la turbina, el calor no aprovechado es generalmente desechado a través de condensadores de vapor localizados después de la salida de vapor de la turbina. El agua condensada es entonces comprimida y bombeada de regreso al generador de vapor. Esto completa el ciclo de vapor. La eficiencia total de una central nuclear se expresa como:

RQW

=η

siendo W la energía eléctrica de salida del generador (Megawatts eléctricos) y QR la energía térmica de salida del reactor. La diferencia entre QR y W es la suma del calor en el sistema y el calor cedido al enfriador del condensador. Los reactores de agua liviana requieren que el combustible sea enriquecido al menos en un 2.5% ya que la absorción de neutrones por el agua impiden alcanzar la criticidad del reactor con Uranio natural. Sin embargo los reactores que utilizan agua pesada o grafito como moderadores pueden alcanzar la criticidad usando como combustible uranio natural (en realidad son pastillas o cápsulas de óxido de uranio UO2 de 1 cm. de diámetro y 1.5 cm. de altura de densidad 10 g/cm3, encapsuladas en varillas de aleación de zirconio, que forman la barra de combustible). Fusión Nuclear El proceso que combina dos núcleos ligeros dando lugar a uno más pesado es lo que se conoce con el nombre de fusión nuclear. Este proceso libera una cierta cantidad de energía. El control de esta energía llevaría al desarrollo de lo que se conoce como reactor de fusión nuclear. Que sería una fuente casi ilimitada de energía para el planeta. La energía obtenida por fusión tiene varias ventajas con aquella producida por fisión, especialmente con el hecho de que los productos de la fusión son núcleos livianos y no radiactivos. Sin embargo hay una gran desventaja que ha impedido hasta el momento el desarrollo de los reactores de fusión y esta es que puesto que dos núcleos livianos deben fusionarse deben sobrepasar sus respectivas repulsiones coulombicas. Este problema puede ser sobrepasado calentando el contenedor de los núcleos a fusionarse a temperaturas tales que se venza dicha repulsión (1011ºK), proceso llamado fusión termo-nuclear. Reacciones básicas. Aunque en principio la reacción de fusión más eficiente sería

γ+→+ 422 HeHH puesto que el Q de la reacción es 23.8 MeV. Sin embargo, no se observa experimentalmente, puesto que el Helio no puede acomodar este valor de energía internamente (no tiene estados excitados) y además esta energía es mayor a la energía de separación de los nucleones en el Helio. Las reacciones que ocurren son:

nHeHH +→+ 322 (Q = 3.3 MeV) pHHH +→+ 322 (Q = 4.0 MeV)

208

las cuales son llamadas reacciones D-D (Deuterio-Deuterio). Una reacción importante también es la DT (Deuterio-Tritio).

nHeHH +→+ 432 (Q = 17.6 MeV) A causa de que la energía liberada en esta reacción es mayor, ésta es la escogida para el estudio de reacciones de fusión controladas. Una desventaja de esta reacción es que la mayoría de energía es cedida al neutrón (14.1 MeV) La fusión de cuatro protones lleva en últimas a la formación de He4 proceso presente en las estrellas y en particular en el sol. Características de la fusión. Si consideramos que la reacción de fusión es

A(a,b)B La energía liberada en la fusión es compartida por las partículas producto. Es decir, considerando que las energías cinéticas de las partículas incidentes son pequeñas con relación al valor de Q,

22

21

21

BBbb vmvmQ +=

La barrera de Coulomb para las partículas incidentes toma la forma,

Aa

Aac RR

eZZV+

=2

siendo los R´s los radios de las partículas iniciales. La barrera de potencial depende exponencialmente de ZaZA por tanto, la probabilidad de fusión decrece rápidamente con ZaZA. Para la reacción DT Vc =0.4 MeV La sección eficaz de fusión se la puede adaptar de la consideración general hecha en reacciones nucleares

Ge 22

1 −∝υ

σ

siendo G el factor de Gamow definido anteriormente.

Figura. Secciones eficaces de fusión.

209

La taza de reacción de una reacción nuclear depende del producto “σ.υ”. Para fusiones termonucleares las partículas tendrán una función de distribución de velocidades de Maxwell de manera que

∫∞

−−∝0

22/2 21 dvee kTmG υυ

υσ υ

los valores correspondientes a este producto se muestran a continuación,

Figura. Valores medios de σv para la fusión termonuclear

La energía liberada por unidad de volumen de las reacciones de fusión en el plasma es:

τυσ QnE fusión2

41

=

siendo n la densidad de los reactantes, Q la energía liberada por reacción y τ es el tiempo de confinamiento de plasma de modo que las reacciones ocurran. Reactores de fusión. El control de las reacciones de fusión y la extracción de la energía utilizable de éstas se basa en el calentamiento de del combustible termonuclear hasta temperaturas del orden de 108 ºK (10 keV de energía cinética media de las partículas) y simultáneamente el mantener una densidad alta un tiempo suficiente para que la taza de reacciones de fusión sea lo suficientemente grande para generar la potencia deseada. A estas temperaturas los átomos se ionizan y, por tanto, el combustible es un plasma. El problema de confinamiento de plasma es un gran problema puesto que cualquier intercambio de calor con el contenedor enfriaría el combustible y derretiría el contenedor mismo. Son dos los tipos de confinamiento que se encuentran bajo estudio: El confinamiento magnético y el confinamiento inercial. El primero confina el plasma por medio de campos magnéticos diseñados cuidadosamente; el segundo, una bola sólida es repentinamente calentada y confinada por bombardeo de haces de partículas o fotones en múltiples direcciones. Aún si el plasma esta confinado hay muchas formas de que éste pierda su energía, un mecanismo de perdida de energía importante en este caso es el bremsstrahlung. Cuando dos partículas se dispersan su aceleración producirá la emisión de radiación y la consecuente pérdida de energía. La

210

emisión de radiación es proporcional al inverso de la masa de la partícula, por tanto son los electrones los que perderán gran cantidad de energía, y como ellos se encuentran en equilibrio térmico con los iones, todo el plasma perderá energía. La perdida de energía de los iones hace más difícil la penetración de la barrera de potencial para producir el proceso de fusión. La siguiente figura muestra la comparación las pérdidas por bremsstrahlung con la potencia de salida de las reacciones DD y DT

Figura. Potencia de pérdida por bremsstrahlung y potencia de salida de las reacciones de fusión (densidad de iones 1021 por m3.

Problemas (consulte) 1. En un plasma de fusión, una mezcla de 50-50 de deuterio y tritio debería tener una

densidad de 1021 iones/m3 y un equivalente de temperatura de de 10 keV. ¿Cuál es la densidad en (kg/m3) de dicha mezcla? ¿Cuál es la presión?

2. En un reactor de fusión, la reacción 3H(d,n) procede con una rapidez tal que proporciona una densidad de potencia de 100 W/cm3. Póngase atención en un centímetro cúbico de este reactor. ¿Cuál es la dosis equivalente debida a los neutrones a una distancia de 10 metros? Suponga que no hay blindaje.