Folleto Fisica General II -20140209

Manual para el curso de Física General II

Electromagnetismo, ondas y óptica

Por

Juan Carlos Lobo Zamora, profesor Escuela de Física

Instituto Tecnológico de Costa Rica

2

Tabla de Contenidos Tabla de Contenidos .......................................................................................................................................... 2

1 Presentación .............................................................................................................................................. 4

2 Contenidos del curso y cronograma de trabajo ........................................................................................ 5

3 Lista de ejercicios recomendados del libro de texto ................................................................................. 6

4 Listas de ecuaciones (formularios) ............................................................................................................ 8

4.1 Formulario para el primer examen parcial ........................................................................................ 8

4.2 Formulario para el segundo examen parcial ..................................................................................... 8

4.3 Formulario para el tercer examen parcial ......................................................................................... 9

5 Prácticas para trabajar en clases ............................................................................................................. 10

5.1 Practica 1: Electrostática de cargas puntuales. ............................................................................... 10

5.2 Práctica 2: Distribuciones continúas de carga ................................................................................. 12

5.3 Práctica 3: Ley de Gauss ................................................................................................................... 15

5.4 Práctica 4: Potencial eléctrico .......................................................................................................... 17

5.5 Práctica 5: Capacitancia y dieléctricos ............................................................................................. 18

5.6 Práctica 6: Corriente, resistencia y fem ........................................................................................... 20

5.7 Práctica 7: Circuitos de corriente continua...................................................................................... 22

5.8 Campo y fuerza magnética .............................................................................................................. 24

5.9 Práctica 9: Fuentes de campo magnético ........................................................................................ 26

5.10 Práctica 10: Ley de Ampère ............................................................................................................. 27

5.11 Práctica 11: Ley de inducción de Faraday ........................................................................................ 29

5.12 Práctica 12: Ondas electromagnéticas ............................................................................................ 32

5.13 Práctica 13: Óptica geométrica ........................................................................................................ 33

6 Tareas ....................................................................................................................................................... 36

6.1 Tarea 1: Electrostática de cargas puntuales .................................................................................... 36

6.2 Tarea 2: Electrostática de distribuciones continúas de carga ......................................................... 36

6.3 Tarea 3: Flujo eléctrico .................................................................................................................... 37

6.4 Tarea 4: Ley de Gauss ...................................................................................................................... 37

6.5 Tarea 5: Potencial eléctrico ............................................................................................................. 38

6.6 Tarea 6: Capacitancia ....................................................................................................................... 39

3

6.7 Tarea 7: Resistencia eléctrica .......................................................................................................... 40

6.8 Tarea 8. Circuitos ............................................................................................................................. 40

6.9 Tarea 9: Fuerza magnética ............................................................................................................... 41

6.10 Tarea 10: Ley de Biot-Savart ............................................................................................................ 42

6.11 Tarea 11: Ley de Ampère ................................................................................................................. 42

6.12 Tarea 12: Inducción de Faraday ....................................................................................................... 43

6.13 Tarea 13: Inductores ........................................................................................................................ 43

6.14 Tarea 14: Ondas Electromagnéticas ................................................................................................ 43

6.15 Tarea 15: Reflexión y refracción ...................................................................................................... 44

6.16 Tarea 16: Óptica geométrica ........................................................................................................... 44

7 Respuestas de las prácticas ..................................................................................................................... 45

7.1 Respuestas de la práctica 1 .............................................................................................................. 45





7.6 Respuestas de la práctica 6. ............................................................................................................. 48




7.10 Respuestas de la práctica 10 ............................................................................................................ 49




8 Bibliografía recomendada ........................................................................................................................ 52

4

1 Presentación

El presente manual pone a disposición de los estudiantes una recopilación de ejercicios, prácticas

y otros materiales de interés para complementar el trabajo del curso de Física General II que

imparte la Escuela de Física del Instituto Tecnológico de Costa Rica. Nuestros cursos están

enfocados en la resolución de problemas y este material pretende servir de apoyo a los

estudiantes a fin de perfeccionar mediante la práctica las técnicas y los conceptos.

Para poder resolver problemas adecuadamente se debe tener un buen manejo de los conceptos

teóricos, de allí la importancia de la asistencia a lecciones y de la lectura, análisis y discusión del

libro de texto.

Se recomienda al estudiante resolver los problemas de la forma más ordenada posible, pensando

en los requerimientos de las evaluaciones escritas, y conservar este material de forma ordenada

para poder repasarlo. Debe evitarse caer en una resolución mecánica de problemas, en cambio

debe tomarse una actitud reflexiva y creativa sobre el proceso y el desarrollo de los conceptos

aplicados.

Es fundamental darle importancia al uso apropiado de las herramientas matemáticas, tales como

el cálculo diferencial e integral, la geometría, trigonometría, funciones, algebra, entre otros; lo

cual requerirá en algunos casos el repaso o estudio de las mismas.

No olvide que un buen ingeniero es aquel que tiene sólidas bases en física y matemáticas, estas

serán las que le permiten “pensar como ingeniero” siendo este el principal legado de los cursos

básicos de física y matemáticas, el desarrollo de destrezas y habilidades cognitivas de

pensamiento abstracto avanzado que luego usará el estudiante en las situaciones más

insospechadas y aparentemente no relacionadas con estas materias.

5

2 Contenidos del curso y cronograma de trabajo SEMANA TEMAS CONTENIDOS

1

2

Carga Eléctrica y Campo

Eléctrico 21 (1-7)

Carga eléctrica, conductores, aisladores y cargas inducidas, Ley de

Coulomb, campo eléctrico y fuerzas eléctricas, líneas de campo, dipolos

eléctricos.

3

4 Ley de Gauss 22 (1-5)

Carga y flujo eléctrico, Ley de Gauss, aplicaciones de la ley de Gauss,

cargas en conductores.

5 Potencial Eléctrico 23 (1-4) Energía potencial eléctrica, potencial eléctrico, superficies equipotenciales.

6 Capacitancia y Dieléctricos 24

(1-4,6)

Capacitores y capacitancia, capacitores en serie y en paralelo,

almacenamiento de energía en capacitores y energía de campo eléctrico,

dieléctricos, ley de Gauss en los dieléctricos.

7 Corriente, Resistencia y

Fuerza Electromotriz 25 (1-5)

Corriente eléctrica, resistividad, resistencia, fuerza electromotriz y

circuitos, energía y potencia en circuitos eléctricos.

8 Circuitos de Corriente

Continua 26 (1-3)

Resistores en serie y paralelo, reglas de Kirchhoff, instrumentos de

medición.

9 Campo Magnético y Fuerzas

Magnéticas 27 (1-7)

Magnetismo, campo magnético, líneas de campo magnético y flujo

magnético, movimiento de partículas en un campo magnético, fuerza

magnética sobre un conductor que transporta corriente, fuerza y

momento de torsión en una espira de corriente.

10 Fuentes de Campo Magnético

28 (1-7)

Campo magnético de una carga en movimiento, campo magnético de un

elemento de corriente, campo magnético de un conductor recto, fuerza

entre conductores paralelos, campo magnético de espiras de corriente, ley

de Ampere y aplicaciones.

11 Inducción Electromagnética

29 (1-5, 7)

Concepto de inducción, Ley de Faraday, Ley de Lenz, fuerza electromotriz

de movimiento, campos eléctricos inducidos, corriente de desplazamiento

y ecuaciones de Maxwell.

12 Inductancia 30 (1-3) Inductancia mutua, autoinductancia e inductores, energía magnética.

13

14

Ondas Electromagnéticas

32 (1-4,6)

Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas, ondas

electromagnéticas planas y rapidez de la luz, ondas electromagnéticas

sinusoidales, energía y cantidad de movimiento de las ondas

electromagnéticas, vector de Poynting, el espectro electromagnético.

15 Naturaleza y propagación de

la luz 33 (1-3,7)

Naturaleza de la luz, reflexión y refracción, reflexión interna total, principio

de Huygens.

16 Óptica Geométrica 34 (1-4)

Reflexión y refracción en una superficie plana, reflexión en una superficie

esférica, refracción en superficies esféricas, lentes delgadas e

instrumentos ópticos.

6

3 Lista de ejercicios recomendados del libro de texto La utilización de un libro de texto es fundamental en un curso universitario de física. En la

modalidad regular, el tiempo asignado a las lecciones presenciales representa menos de la mitad

del tiempo total que se debe dedicar al curso, por lo cual los temas no son agotados en clases. El

estudio individual será el complemento que permitirá el desarrollo completo de cada contenido.

Los libros de texto profundizan en detalles del desarrollo teórico y práctico que es imposible ver

en lecciones, pero que es indispensable para el curso.

Un curso dentro de un plan de estudios aporta al estudiante conocimientos, destrezas y

habilidades, sin embargo en muchas ocasiones se suele pensar que un curso solo nos aporta

conocimientos, cuando el principal aporte que hace es el desarrollo de destrezas y habilidades.

Los cursos de matemática y física general tienen como principal aporte a los estudiantes de

ingeniería el desarrollo de destrezas y habilidades cognitivas fundamentales (pensar y ver el

mundo matemáticamente). Una de las habilidades que se pretende desarrollar en el futuro

ingeniero es su capacidad para leer y entender documentos técnicos y científicos, una tarea nada

fácil, pero fundamental. Muchos estudiantes cuando leen por primera vez un libro de física

general acaban por desistir rápidamente, pues les cuesta entender la argumentación del autor, sin

embargo, el estudiante debe insistir, pues de otro modo creará un vacío en su formación. La

lectura de material técnico requiere de técnicas especiales de lectura y estudio que el estudiante

debe desarrollar.

El curso utiliza un libro de texto particular, no porque este sea el único o el mejor libro para todos,

la escogencia del libro de texto obedece a una serie de consideraciones, entre las cuales podemos

citar la disponibilidad del mismo (facilidad para conseguirlo en librerías y bibliotecas), su precio,

la cantidad de contenidos del curso que desarrolla, el nivel de profundidad de las explicaciones y

de los ejercicios, etc. Eso quiere decir que el libro de texto no es la única opción, ni la mejor para

cada caso particular (cada persona es diferente), lo importante es que el estudiante escoja un

libro, que tenga el nivel académico del curso y con el que se sienta cómodo para poder leer y

profundizar, en esta tarea le puede ayudar su profesor del curso.

El libro de texto que utilizamos actualmente para Física General II es la decimotercera edición de

la obra: Física Universitaria (Young & Freedman, 2013). Las ediciones novenas (Sears F. W.,

Zemansky, Young, & Freedman, 1999), undécima (Sears F. W., Zemansky, Young, & Freedman,

1999) y decimosegunda (Sears F. W., Zemansky, Young, Freedman, & Ford, 2004) varían muy poco

entre ellas, los contenidos y los ejercicios son básicamente iguales. A continuación se da una lista

detallada por capítulo de los ejercicios que como mínimo recomiendo que un estudiante resuelva

de los que aparecen en el libro de texto.

7

Decimotercera edición Capítulo 21 1, 4, 6, 14, 15, 19, 22, 30, 31, 33, 47, 61, 68, 69, 73, 89, 90, 95, 97, 98, 99, 104 y 105. Capítulo 22 2, 6, 8, 32, 34, 35, 44, 46, 47, 49, 57 y 58. Capítulo 23 5, 16, 19, 29, 46, 47, 59, 63, 74, 78 y 79 Capítulo 24 9, 16, 17, 20, 22, 30, 57, 60, 63, 66, 70, 72, 75 y 78 Capítulo 25 4, 7, 17, 28, 32, 36, 65, 66, 75, 76, 78 y 81. Capítulo 26 6, 7, 13, 14, 15, 16, 24, 26, 28, 61, 63, 64, 66, 68 y 70. Capítulo 27 1, 4, 7, 14, 15, 22, 39, 41, 47, 63, 68, 70, 78, 80, 85 y 86 Capítulo 28 4, 8, 14, 15, 23, 25, 27, 28, 31, 36, 37, 45, 67, 68, 72, 74, 75, 77, 78, 80 y 81. Capítulo 29 6, 7, 8, 15, 21, 23, 27, 29, 52, 53, 54, 64, 65 y 69. Capítulo 30 1, 6, 11, 18, 44, 48, 53, 59, 73, y 78. Capítulo 32 2, 6, 8, 10, 11, 12, 26, 27, 43, 44, 46, 48 y 51. Capítulo 33 1, 4, 5, 11, 44, 48, 49, 52, 59 y 60. Capítulo 34 11, 12, 19, 21, 35, 39, 84, 85, 93, 94 y 112.

Decimosegunda edición Capítulo 21 4, 6, 13, 17, 24, 31, 32, 33, 40, 43,47, 53, 62,74, 75, 80, 84, 89, 90, 94, 96, 99, 104 y 105. Capítulo 22 2, 4, 8, 30, 33, 44, 45, 48, 51, 57 y 58. Capítulo 23 1, 5, 14, 21, 22, 33, 35, 49, 57, 61, 63, 66, 78, 79, y 86. Capítulo 24 1, 14, 15, 19, 22, 35, 37, 57, 60, 63, 66, 68, 70, 71 y 72. Capítulo 25 3, 7, 11, 33, 41, 43, 47, 57, 63, 64, 73 y 76 Capítulo 26 5, 7, 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 29, 59,61, 64, 65, 66 y 68. Capítulo 27 1, 7, 15, 22, 24, 27, 35, 44, 46, 62, 64, 72, 75, 76, 78 y 81. Capítulo 28 1, 10, 13, 19, 21, 25, 30, 31, 36, 37, 59, 61, 64, 66, 69, 70, 76 y 77. Capítulo 29 6, 7, 8, 16, 20, 25, 45, 49, 50, 60, 61 y 65. Capítulo 30 43, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 73 y 78 Capítulo 32 6, 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20, 22, 26, 39, 43 y 48. Capítulo 33 1, 2, 21, 22, 46, 47, 52 y 61 Capítulo 34 1, 4, 5, 9, 11, 15, 18, 25, 27, 34, 81, 90, 93 y 94.

Undécima Edición Capítulo 21 1, 5, 8, 11, 17, 21, 25, 27, 31, 41, 45, 57, 58, 69, 71, 74, 76, 80, 83, 86, 87, 92, 94, 98, 102, 103 y 105. Capítulo 22 3, 4, 6, 23, 28, 30, 32, 38, 39, 42, 43, 44, 45, 46, 49, 52, 57. Capítulo 23 1, 3, 5, 13, 21, 22, 34, 44, 56, 57, 59, 76, 79 y 84 . Capítulo 24 1, 14, 15, 23, 27, 41, 59, 60, 63, 66, 68, 69, 70, 71 y 72. Capítulo 25 3, 5, 9, 39, 55, 59, 60, 62, 65, 67, 69 y 83. Capítulo 26 8, 9, 12, 17, 19, 20, 21, 23, 24, 55, 57, 59, 61, 62, 64, 65, 69, 77 y 92 Capítulo 27 1, 13, 15, 16, 20, 44, 58, 61, 64, 65, 72, 74, 76 y 81. Capítulo 28 1, 12, 16, 18, 22, 24, 25, 31, 32, 54, 55, 57, 62, 64, 67, 68, 69, 72, 74 y 75. Capítulo 29 6, 7, 8, 20, 24, 25, 49, 50, 54, 60, 61 y 65. Capítulo 30 1, 7, 45, 49, 50, 52 y 76. Capítulo 32 3, 4, 7, 24, 25, 41 y 42. Capítulo 33 1, 11, 18, 35, 40, 41, 46, 48 y 55. Capítulo 34 5, 9, 16, 19, 23, 27, 61, 66, 93 y 94.

8

4 Listas de ecuaciones (formularios) A continuación se presentan una lista de ecuaciones o formularios que contienen las principales

ecuaciones, agrupadas según la materia que típicamente se evalúa en cada examen parcial, un

formulario muy similar a este se adjuntara al examen.

4.1 Formulario para el primer examen parcial

| |

∫

∫

∮

∫

∫

4.2 Formulario para el segundo examen parcial

∫

∫

∑ ∑ 0

∫

∫

∮

9

4.3 Formulario para el tercer examen parcial

∫

1 2

1 1 1 1 1n n

s s f n R R

a b b an n n n

s s R

a

b

n sym

y n s

10

5 Prácticas para trabajar en clases A continuación se presentan un conjunto de prácticas, por temas. Al final de este manual se presentan respuestas a los ejercicios.

5.1 Practica 1: Electrostática de cargas puntuales.

1. Considere dos esferas metálicas idénticas, una de ellas se carga con una carga total +Q, la otra está descargada. Se ponen en contacto ambas esferas y luego se separan. ¿Cuál es la Carga neta de cada esfera? Explique brevemente.

2. Dos esferas conductoras idénticas, con cargas de signo opuesto, se atraen entre sí con una fuerza de 0,108 N cuando las separa una distancia de 50,0 cm. De repente las conecta un alambre conductor delgado, que después se quita; después de eso las esferas se repelen con una fuerza de 0,0360N. ¿Cuál era su carga inicial?

3. Dos cargas puntuales +q y +4q están separadas por una distancia L. Una tercera carga se coloca de modo que el sistema entero se encuentre en equilibrio. Encuentre el signo, la magnitud y la ubicación de esta carga.

4. Calcule en coulomb la carga total de 75,0 kg de electrones.

5. Calcule el número de coulomb de carga positiva en un vaso de agua. Suponga que el volumen del agua es de 250 cm3

6. Una partícula alfa, el núcleo de un átomo de helio, tiene una masa de 6,64 x 10-27 kg y una carga de +2e, ¿Cuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico que balancea su peso?

7. Calcule el campo eléctrico total en el centro del cuadrado de lado a, de la figura mostrada:

8. En el eje x dos cargas puntuales están fijas y separadas por una distancia d (ver figura).

Grafique ( )xE x suponiendo x = 0 en la carga de la izquierda. Incluya valores positivos y negativos

de x. Grafique ( )xE x como positivo si E apunta hacia la derecha y como negativo si apunta hacia

la izquierda. Suponga que q1 = +1,0μC, q2 = +3,0μC, y d = 10 cm

9. Para la configuración de cargas de la figura calcule:

a) El campo eléctrico en el punto p (pE ).

+2q

-2q +q

-q

P x

+q2 +q1 x

d

11

b) La fuerza que experimentaría una carga 2q si se localizara en el punto p.

10. La magnitud de la fuerza electrostática entre dos iones idénticos que se hallan a una distancia

de 105,0 10 m es 93,7 10 N.

a) ¿Es posible determinar el signo de la carga de los iones?, explique brevemente. b) Determine la magnitud de la carga de cada ion c) ¿cuántos electrones faltan o hay en exceso por cada ion?

11. En la figura siguiente, determine el punto (distinto al infinito) en el cual el campo eléctrico es igual a cero

12. Un campo eléctrico uniforme existe en una región entre dos placas. Se libera del reposo un electrón en la superficie de una placa cargada negativa y 14,2 ns más tarde golpea la superficie de la placa contraria, a 1,95 cm de distancia. El electrón se mueve en línea recta.

a) ¿Qué velocidad lleva el electrón al chocar contra la segunda placa? b) Que aceleración experimenta el electrón c) ¿Qué magnitud y dirección tiene el campo eléctrico?

13. A una moneda de cobre de 2,5 g se le da una carga de -0,50 μC.

a) ¿A cuántos electrones en exceso corresponde esta carga? b) ¿Cuál es el porcentaje de la masa de esos electrones en exceso a la masa de la moneda? c) ¿Cuántos protones en total tiene la moneda de cobre? d) ¿Cuántos electrones en total tiene la moneda de cobre?

14. Dos cargas puntuales están colocadas en dos vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. Calcule el vector campo eléctrico E en el vértice restante del triángulo.

1,00 m

-2,50 μC 6,00 μC

12

15. Considere la siguiente distribución de cargas puntuales en un plano x-y:

Para el sistema mostrado, determine: a) Campo eléctrico en el origen de coordenadas b) La fuerza neta sobre la carga q3

5.2 Práctica 2: Distribuciones continúas de carga

Algunas sugerencias para la resolución de los ejercicios de esta práctica.

1. Hacer un dibujo de la distribución de carga, representar claramente el sistema de coordenadas utilizado. Si la distribución de carga es uniforme el sistema de coordenadas puede redefinirse sin problema, sin embargo, si la distribución de carga no es uniforme un cambio en el sistema de coordenadas implica un cambio en la forma matemática de la distribución de carga.

2. Advertir cualquier argumento de simetría que se pueda utilizar para descartar el cálculo de alguna componente del campo o simplificar el calculo

3. Ubicar el “elemento de carga” en el dibujo (señalarlo claramente), utilizar una variable para ubicarlo de modo tal cuando la variable toma diferentes valores se pueda representar cualquier punto de la distribución, determinar el rango de variación de la variable utilizada (estos son los límites de la integral)

4. Escribir la forma del diferencial de carga, según sea el caso: a) Distribución lineal de carga: dldq

b) Distribución superficial de carga: dAdq

5. Representar el vector r

, recordar que siempre va del diferencial de carga hasta el punto donde se desea calcular el campo.

6. Plantear la integral, simplificarla

1 m

1 m 1 m

-4 μC +2 μC

P

q1 = - 3,0 nC

y (cm)

q3 = - 2,0 nC

x (cm) 3,00

q2 = + 2,0 nC

4,00

-5,00

13

2 3ˆ

kdq kdqE r r

r r

7. Resolver la(s) integral(es), de ser aplicable pueden utilizarse los argumentos de simetría planteados y explicados anteriormente.

8. Interpretar el resultado

1. Dos alambres están dispuestos en los ejes “x” y “y” como se muestra en la figura. Considere que: λ1 = 1,05 x 10-2 C/m3; λ2 = -3,87 x 10-5 C/m; L = 6,20 cm y a = 1,52 cm.

a) Calcular el campo eléctrico (magnitud y dirección) en el origen.

b) Calcular la carga total para cada alambre.

2. Una barra delgada de longitud L se coloca sobre el eje x como se muestra en la figura. La

barra tiene una densidad lineal de carga uniforme o . A partir de esta información:

a) Determine o , si la carga total en la barra es Q.

b) Calcule el campo eléctrico en el punto P con coordenadas hL ,2 como se

muestra en la figura.

L a

1,5L

a

L x

P

y

14

3. Dos varillas de espesor despreciable, y de longitud L, con distribución de carga homogénea, se colocan sobre el eje x, como se muestra en la figura.

a) Determine la densidad lineal de carga de cada varilla. b) Obtenga el campo eléctrico para un punto a una distancia “y” sobre el eje y. (expréselo en

términos de magnitud y dirección (ángulo a partir de una referencia)). c) Si se coloca una carga puntual q en el origen. Calcule la fuerza neta que experimentará.

4. Un alambre delgado, cargado no uniformemente, se dobla en forma de semicírculo tal

que su carga por unidad de longitud puede expresarse como (ver figura).

Determine:

a) El vector campo eléctrico debido al alambre en un punto localizado en el origen del sistema de coordenadas xy.

b) El valor de o , si la carga total es Q

c) La magnitud de la fuerza eléctrica que

experimentaría una carga puntual de 1000 C que se coloque en el origen del sistema de coordenadas si el semicírculo es de 1 cm de

radio y .

Figura: Semicírculo de densidad de

carga

5. Un alambre que tiene una carga total Q se dobla en la forma

que se muestra, esto es, un arco de radio R de 300. Calcular el campo eléctrico en el centro del arco circular.

60 R

d d

y

x

+Q -Q

15

6. Dos alambres están dispuestos en el eje “x” como se muestra en la figura. Calcular el campo eléctrico en el origen.

7. Un alambre delgado está doblado en forma de arco circular con centro en el origen del sistema de coordenadas y radio “a” como se muestra en la figura. La densidad de carga no

es uniforme y está dada por: θλλ o cos= , θ se mide respecto a x+ en sentido antihorario.

a) Calcule el campo eléctrico en el origen del sistema de coordenadas. b) Calcule la carga total del alambre sí βα = .

5.3 Práctica 3: Ley de Gauss 1. Considere la región triangular de la figura 1, en dicha región el campo eléctrico está dado

por , donde “a” y “b” son constantes positivas. Determine: a. Las unidades de las constantes “a” y “b” en el Sistema Internacional de Unidades. b. el flujo eléctrico a través de esta región triangular.

2. Considere un cubo de arista a = 3,00 m, colocado de modo tal que uno de sus vértices está en el origen del sistema de coordenadas y tres de sus aristas coinciden con los semi-ejes x+, y+ y z+. Dicho cubo está ubicado en una región en la cual el campo eléctrico es

. Con base en esta información:

a. Calcule el flujo eléctrico total. b. La carga neta encerrada dentro de dicho cubo.

L a a

y

1,5L x

2 2

1x

h

y

x w

16

3. Un cilindro dieléctrico muy largo (Radio R y Longitud L) que tiene una carga total +q,

distribuida según:

(0 es una constante positiva), está rodeado por un cascarón

cilíndrico conductor muy largo (Radio interior 2R, radio exterior 4R y longitud L), con una carga total como se muestra en la figura.

Determine, en términos de q, L, R y r:

a. El valor de 0. b. El campo eléctrico para:

i. 0 r R ii. 4r R .

c. La densidad superficial de carga para r = 2R y r = 4R.

4. Una esfera conductora sólida de radio R tiene una carga positiva total Q. La esfera está

rodeada por un casquete aislante de radio interior R, radio exterior 2R y densidad de

carga volumétrica uniforme , como lo indica la figura.

a. Encontrar el valor de de manera que la carga neta del sistema entero sea cero. b. A partir del valor encontrado anteriormente, encontrar la magnitud del campo eléctrico

en las regiones I, II y III.

5. Un cascarón esférico conductor cargado de radios a y b como se muestra en la figura con una carga +2Q encierra una carga puntual -Q colocada en el origen de coordenadas. Para la situación mostrada encuentre:

a) El campo eléctrico para: i. ( a < r < b )

ii. ( r > b ) b) La densidad superficial de carga para r = a y r = b

17

5.4 Práctica 4: Potencial eléctrico

1. Un electrón, después de haber sido acelerado por una diferencia de potencial de 600 V, entra en un campo eléctrico uniforme de magnitud 3500 V/m y que forma un ángulo de 60,0° con la dirección trayectoria del electrón antes de entrar en este campo. Después de . ¿Cuáles son:

a. Las componentes de la velocidad paralela y perpendicular al campo? b. Sus coordenadas respecto al punto de entrada? c. La energía cinética total del electrón, en joules y en electro-voltios?

2. Considere siete cargas puntuales positivas de magnitud Q colocadas en siete de los vértices de un cubo de lado L (ver figura). Calcule:

a. El potencial eléctrico en el vértice restante (P). b. La energía potencial eléctrica de esta configuración.

3. Para la configuración de cargas de la figura calcule:

a. El potencial eléctrico en el punto p (Vp). b. La energía potencial eléctrica de esta configuración de cargas.

P

q1 q2

q3 q4

q5

q6

q7

x

y

z

18

4. Determine la diferencia de potencial Vab debido a una línea de carga como la mostrada a continuación, si , donde Z es una constante.

5. Un disco de radio R (Ver figura) tiene una densidad de carga superficial no uniforme σ = C/r, donde C es una constante y r se mide a partir del centro del disco. Determine (por integración directa) el potencial en P.

6. Una carga eléctrica positiva Q está uniformemente distribuida a lo largo de una línea de longitud , que yace sobre el eje “y” entre los puntos y .

a. Calcule el potencial eléctrico en un punto P situado sobre el eje de las x a una distancia x

b. A partir del resultado obtenido en la parte a. y por derivación obtenga la componente “x” del campo eléctrico en un punto P.

7. Una esfera metálica de radio “a” está sostenida sobre un soporte aislante en el centro de una coraza metálica esférica hueca de radio “b”. La esfera interior tiene una carga +q y la coraza esférica exterior tiene una carga –q. Calcule el potencial la diferencia de potencial Vab de la esfera interior con respecto a la exterior.

Sugerencia: Calcule primero el campo eléctrico para estás regiones usando ley de Gauss y luego

por integración del campo eléctrico calcule la diferencia de potencial.

5.5 Práctica 5: Capacitancia y dieléctricos

1. Dos corazas conductoras esféricas y concéntricas están separadas por vacío. La coraza interior tiene una carga total +Q y su radio exterior es r1, y la coraza exterior, tiene una carga total -Q y su radio exterior es r2. Halle la capacitancia de este capacitor esférico.

b a

x L

d

y

19

2. Un Capacitor está constituido por dos cascarones cilíndricos conductores concéntricos de radios “a” y “c” y con espesor despreciable, tal que c > a, cada uno tiene una carga total +Q y –Q respectivamente. Entre los dos conductores se colocan dos materiales dieléctricos con constante dieléctrica K1 y K2 los cuales forman cascarones cilíndricos, tal que el primero va de r = a hasta r = b y el segundo desde r = b hasta r = c, como se

muestra en la figura. Determine el valor de la capacitancia.

3. Considere un capacitor de placas paralelas, cada placa es de área A y tienen cargas Q y –Q respectivamente. En el espacio de separación entre las placas se colocan un par de materiales dieléctricos con constantes dieléctricas K1 y K2 respectivamente (ver figura). Calcule la capacitancia para este capacitor.

4. En el circuito que se muestra, calcule:

a. La capacidad equivalente

b. El voltaje en el capacitor de 15 F

c. La carga en el capacitor de 12 F

K1

K2

L1

L2

10 V

C 1 =12 F

C 2 =15 F

C 3 =2 F

C 3 =5 F

a

b c

K1 K2

20

5. Considerando que 1 4,00 μFC , 2 7,00 μFC , 3 5,00 μFC y 4 6,00 μFC ,

a. Calcule la capacitancia equivalente entre los puntos a y b.

b. Si la diferencia de potencial entre a y b es 5, 00 Vab

V , determine la carga y el

voltaje en cada capacitor.

6. En el diagrama mostrado la fuente suministra 12V , mientras que los capacitores tienen

capacitancias de 1 2 3 4

1,00 μF, 2,00 μF, 3,00 μF 4,00 μFC C C y C . Determine la

carga en cada capacitor si el interruptor S se cierra. Determine la energía total almacenada en el circuito cuando está totalmente cargado.

5.6 Práctica 6: Corriente, resistencia y fem

1. Para la resistencia tubular de largo L y base cuadrada de lado a de la figura, determine el valor de la resistencia eléctrica, considerando que la corriente fluye en la dirección del eje "y" y que la resistividad varía en función de y de la siguiente manera:

L

yO 1

C2 C4

S

C3 C1

21

2. Se construyó una resistencia cilíndrica hecha de dos materiales especiales, los cuales se ubicaron uno en la parte superior y el otro en la parte inferior. El largo de la resistencia es H y su radio es a. La resistividad de los materiales empleados está dada por:

02

2

Hz

Hz H

a

z a

z a

a

Determine la resistencia total del dispositivo si la corriente va paralela al eje del cilindro.

3. Un conductor de resistividad tiene la forma indicada en la figura. El radio de la circunferencia exterior es b, el de la interior es a y la altura es d. Entre ambas circunferencias se aplica una diferencia de potencial V. Calcular la resistencia eléctrica que presenta el conductor, de forma que el borde interior sea positivo respecto del exterior.

4. Un bloque rectangular de metal, cuya resistividad es o , tiene dimensiones 2 3d d d . Se

quiere aplicar una diferencia de potencial V entre dos caras opuestas del bloque. a. ¿A cuáles dos caras se deberá aplicar la diferencia de potencial para que se tenga la máxima densidad de corriente?¿Cuál es la máxima densidad de corriente? b. ¿A cuáles dos caras del bloque se debe aplicar la diferencia de potencial con el fin de tener la corriente máxima? ¿Cuál es esta corriente máxima?

5. La diferencia de potencial entre las terminales de una batería (fuente no ideal de fem) es de 8,60 V cuando circula una corriente de 3,00 A en ésta desde la terminal negativa hasta la positiva. Cuando la corriente es de 2,00 A en la dirección contraria, la diferencia de potencial es de 10,1 V

a. ¿Cuál es la resistencia interna de la batería? b. ¿Cuál es la fem de la batería?

z

22

5.7 Práctica 7: Circuitos de corriente continua 1. En el circuito mostrado 2,00 R , determine:

a. Las corrientes que circulan por cada malla del circuito (i1 e i2) b. La diferencia de potencial entre los puntos a y b.

2. Considere el circuito indicado en la figura: a. Mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff, encuentre el sistema de ecuaciones lineales que permite calcular las corrientes I1, I2 e I3. b. Resuelva el sistema de ecuaciones y obtenga las corrientes I1, I2 e I3, indique el sentido correcto de la corriente en un nuevo diagrama del circuito. c. Calcule la diferencia de potencial entre los puntos a y b

3. En la figura mostrada: R1 = 14,0 Ω, R2 = 40,0 Ω, R3 = 60,0 Ω, R4 = 12,0 Ω y ε = 220 V a. Halle la resistencia equivalente de la red mostrada. b. Calcule la intensidad de corriente en cada resistor

R1 R1

R2 R3

R4 ε

𝑖 𝑖

23

4. Para el circuito de corriente continua mostrado en la figura, determine: a. El sistema simultáneo de tres ecuaciones que permite calcular las intensidades de corriente i1, i2 e i3. b. Las intensidades de corriente i1, i2, i3, i4, i5 e i6. c.

5. Para el circuito mostrado en la figura, la batería suministra un voltaje de 80,0 V; determine: a. La resistencia total o equivalente del sistema. b. La corriente total que fluye por la batería.

El valor de las resistencias son las siguientes:

R1 = R2 = 1,00 Ω R3 = 2,00 Ω R4 = 3,00 Ω R5 = 4,00 Ω R6 = 5,00 Ω R7 = 6,00 Ω R8 = 7,00 Ω

R9 = 8,00 Ω R10 = 9,00Ω R11 = 10,0 Ω

R8

R9

R1

R2

R3 R4

R5

R6

R7

R10

R11

V

24

6. Para el circuito mostrado en la figura calcule: a. La intensidad de la corriente eléctrica que pasa por cada fuente b. La diferencia de potencial c. El tiempo que toma producir 60,0 J de energía térmica en el resistor de 2,30 Ω

5.8 Campo y fuerza magnética

1. La espira triangular de alambre que se muestra en la figura, conduce una corriente I en el sentido indicado. La espira se encuentra dentro de un campo magnético uniforme B, orientado verticalmente hacia abajo.

a. Encontrar una expresión para la fuerza magnética sobre la hipotenusa de espira. b. Encontrar una expresión para el momento de torsión total, si la espira gira con respecto a

un eje que pasa por el lado horizontal. c. Evaluar los resultados anteriores si: a = 0.800 m, b = 0.600 m, B = 5.00 T, I = 6.50 A.

2. El conductor mostrado transporta una corriente constante I y está inmerso en un

campo magnético B

externo constante como se muestra en la figura. Calcule la fuerza magnética total:

a. La sección semicircular. b. La sección recta ubicada en el III

cuadrante c. La sección recta ubicada en el IV

cuadrante d. La fuerza magnética total.

𝐼 𝐼 𝐼

25

3. El cubo de la figura tiene aristas de 40,0 cm. Cuatro segmentos rectos de alambre ab, bc, cd, y da forman un lazo cerrado que conduce una corriente I= 5,00 A en la dirección que se indica. Existe un campo magnético uniforme de magnitud B = 0,0200 T en la dirección positiva del eje y. Calcule la fuerza magnética sobre cada segmento del lazo.

4. Una bobina triangular de alambre con 200 vueltas y de lados a = 20,0 cm y b = 30,0 cm, transporta una corriente de 10,0 A y está pivoteada alrededor del eje z. La bobina se monta de tal forma que su plano forma un ángulo de θ = 30,00 respecto al eje x+. La bobina está en una región con un campo magnético uniforme de 50,0 T. Calcule la magnitud y la dirección de:

a. El momento dipolar magnético de la bobina b. El momento de torsión que actúa en la bobina

5. Un espira de forma triangular, por la que circula una corriente I = 2,00 A, se encuentra expuesta a la acción de un campo magnético cuya magnitud depende de la posición, con

respecto a un marco de referencia, según la relación ˆ( )B x y k . Encuentre:

a) La fuerza magnética sobre el segmento 1. b) La fuerza magnética sobre el segmento 3. c) La dirección de la fuerza magnética sobre el segmento 2.

b

θ

a I = 10,0 A

x

z

y

ˆ50,0 TB j

26

R

R

R

O

5.9 Práctica 9: Fuentes de campo magnético

1. Un alambre muy largo se dobla como se muestra en la figura. Calcule el campo magnético

en el punto P, si por el cable circula una corriente I .

a) Calcule el campo magnético en el punto P.

b) Calcule el campo magnético para un punto cualquiera sobre el eje z

2. Encuentre el campo magnético B en el punto P, debido a la distribución de corriente I mostrada en la figura. Observe que los alambres son finitos de longitud a.

3. El segmento de alambre en la figura lleva una corriente de I= 10,0 A, donde el radio del arco circular es de R= 3,00 cm. Determine la magnitud y la dirección del campo magnético en el origen (O).

P x

y

P

a

a

I

I

V R2 R3

27

4. Considere una espira que conduce una intensidad de corriente I= 5 A, formada de líneas radiales y segmentos de círculos cuyos centros están en el punto P (ver figura). Encuentre la magnitud y dirección

de B en P.

5.10 Práctica 10: Ley de Ampère

1. Cuatro conductores largos y paralelos transportan corrientes iguales de I= 5A. La figura muestra un corte transversal de los conductores. La dirección de la corriente es hacia dentro del papel en los puntos A y B, y hacia fuera en C y D. Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el punto P, localizado en el centro del cuadrado de 0,2 m de lado.

2. Un cable coaxial muy largo y recto consta de dos conductores concéntricos con las dimensiones mostradas. El conductor interno es sólido y transporta una corriente I. El cascarón cilíndrico transporta una corriente 4I en dirección contraria Calcule la magnitud del campo magnético para las siguientes regiones:

a) r < a b) a < r < b c) b < r < c d) r > c

A

B

C

D

P

28

3. Tres alambres conductores muy largos, rectos y paralelos, transportan corrientes constantes como se muestra. Calcular el vector campo magnético producido por los tres alambres en el origen de coordenadas.

4. Cuatro alambres conductores muy largos, rectos y paralelos se colocan como se muestra. Cada alambre transporta una corriente constante.

Calcular el campo magnético producido por los alambres conductores en el origen de

coordenadas.

I 2

1I

3

a

a a

y

xI

29

5.11 Práctica 11: Ley de inducción de Faraday

1. Una espira rectangular y un alambre infinito están en el mismo plano, la corriente en el

alambre varía de acuerdo con =o

I I sen(ωt ) . Ver figura. Considere a y como constantes

positivas.

Calcule: a) El campo magnético producido por el

alambre a una distancia r del alambre.

b) El flujo magnético en la espira c) La fem inducida en la espira.

2. Una espira rectangular y un alambre infinito están en el mismo plano, por el alambre circula

una corriente constante I , la espira rectangular se aleja con una rapidez constante v. Ver figura

Calcule la magnitud de la fem inducida en la espira.

3. Un solenoide largo de radio R tiene un devanado de n vueltas por unidad de longitud que

transportan una corriente ( ) at

oi t I e . Calcule:

a) El flujo magnético a través de un lazo conductor circular, coaxial con el solenoide, y de radio b mayor que R

b) Si el lazo tiene una resistencia r, determine la magnitud y la dirección de la corriente en el lazo.

30

4. Considere un alambre doblado en forma de U, como se muestra en el diagrama. Este alambre está inmerso en un campo magnético no uniforme que varía con la dirección x de

la forma , el circuito se cierra mediante una barra móvil. Se tira de la barra a velocidad constante v de manera que la posición de dicha barra es descrita por x vt , y al resistencia total del circuito es aproximadamente constante en R . Determine:

a. La intensidad de la corriente que circula en el circuito en función del tiempo.

b. Señalar mediante un dibujo el sentido de la corriente inducida

r

v

B

D

z

y

x

31

B0 (T)

0,5

2 4 t (s)

5. Una espira circular (radio a = 0,500m) de una vuelta esta orientada como se muestra en la

figura 2.1, en una región donde existe un campo magnético kBB o=

donde Bo varia con

el tiempo como se muestra en la figura 2.2

En los intervalos de t = 0s a t = 2s y de t = 2s a t = 4s Calcule:

a) El flujo magnético sobre la espira b) La fem inducida en la espira y su polaridad c) Si la resistencia R = 2,00 Ω, cual es el sentido y la magnitud de la corriente inducida.

6. Dos bobinas están muy cercanas una de la otra. La primera bobina conduce una corriente variable en el tiempo dada por: ( ) (5, 0 ) (377 )I t A sen t . En t = 0,80 s, el voltaje medido en

la segunda bobina es -3,2 V. ¿Cuál es la inductancia mutua de las bobinas?

7. Considerar dos espiras, de radios a y b (Ver Figura), dispuestas de manera que sus centros están en el mismo eje (eje z), sus planos son perpendiculares al eje z, y sus centros están a una distancia c. Si una de las espiras es muy pequeña, b>>a y c>>a, de tal forma que el campo magnético en dicha espira es prácticamente constante, calcular el coeficiente de inducción mutua M en términos de los valores a, b, y c.

R

a

x

y

Fig. 2.1 Espira circular.

Fig. 2.2 Variación del campo

magnético con el tiempo.

32

8. Dos cilindros conductores de radio a, de gran longitud, rectos y paralelos, cuyos centros están separados una distancia d transportan corrientes iguales I en sentidos contrarios. Despreciando el flujo magnético interno en los cilindros mismos, determine: a. El flujo magnético entre los alambres. b. La inductancia L para un tramo ℓ de longitud de cada alambre.

5.12 Práctica 12: Ondas electromagnéticas

1. El campo eléctrico de una onda electromagnética plana que viaja en la dirección del eje

“z” está dado por : 8V

= 50 0 800 - 2 400 10my

E cos[π( , z , x t )] . Halle:

a) El campo magnético B

b) El vector de Poynting S

2. El transmisor de una estación terrena de radio AM irradia una onda sinusoidal isótropa con una potencia media de 50 kW. Determine a una distancia de 5 km del transmisor:

a) La intensidad de la radiación b) La amplitud del campo eléctrico c) La amplitud del campo magnético

Si c = 3x108 m/s y μ0 = 4π x 10-7 Tm/A.

3. Cierta estación de radio situada en la superficie terrestre irradia una onda sinusoidal con una potencia total promedio de 60 kW. Suponiendo que el transmisor irradia por igual en todas las direcciones arriba del suelo, calcule para un satélite a una distancia de 90 km de la antena:

a) El valor promedio de la magnitud del vector de Poynting b) El valor de la magnitud del campo eléctrico máximo c) El valor de la magnitud del campo magnético máximo

4. Una onda electromagnética plana tiene un campo magnético dado por: 9 4ˆ( , ) (8, 25 10 T) sen[(1,32 10 rad/m) ]B x t j x t , determine:

a) La dirección en que viaja la onda b) La frecuencia, en hertz, de la onda. c) La ecuación vectorial del campo eléctrico. d) El vector de Poynting.

d ℓ

2a I

2a

ℓ

I

33

5.13 Práctica 13: Óptica geométrica

1. Un vaso tiene 4,00 cm de ancho en el fondo, cuando se le mira como se muestra en la figura, el observador observa el fondo del vaso. Cuando el vaso se llena con agua, el observador ve el centro del fondo del vaso. Encuentre la altura h.

2. El prisma que se muestra en la figura 2, tiene un índice de refracción de n = 1,55.

Considere un rayo de luz que incide con un ángulo de 20o Determine el ángulo, θ, al cual emerge el rayo de luz del prisma.

Figura 2. Prisma triangular.

3. Un rayo de luz incide sobre una de las caras de un cubo de vidrio con índice de refracción 1,50; formando un ángulo θ1 ver figura. Determine el valor máximo para el ángulo θ1, de tal modo que la luz tenga una reflexión total interna en el punto A, de una cara adyacente. Suponga además que el cubo está completamente sumergido en agua, de índice de refracción 1,33.

34

4. El rayo de luz mostrado en la figura forma un ángulo de 20,0° con la línea normal en la interfase aceite-agua.

a) Determine y (El índice de refracción del aceite es de 1.48, del agua 1.33 y el del aire 1.00)

b) Encuentre el ángulo crítico para la frontera aceite-agua

5. Un rayo de luz incide normalmente sobre el prisma de la figura, el cual tiene un índice de refracción de 1,50. ¿Cuál es el máximo valor del ángulo ϕ para que exista reflexión interna total sobre la superficie inclinada?

6. Un recipiente cúbico, con paredes opacas, fue colocado de tal modo, que el ojo de un observador no ve su fondo, pero ve toda la pared CD (ver figura adjunta). ¿Qué cantidad de agua necesita verterse en el recipiente para que el observador pueda ver un

objeto F que se encuentra a una distancia b = 10 cm del vértice D? La arista del cubo es a = 40 cm.

Aceite

Agua

Aire

20,0o

ϕ

ϕ

D

C

A

B

F

b

33,1AGUAn

00,1AIREn

35

7. Se coloca un objeto de 0,600 cm de altura a 16,5 cm a la izquierda del vértice de un espejo esférico cóncavo, cuyo radio de curvatura es de 22,0 cm.

a) Dibuje un diagrama de rayos principales para mostrar la formación y características de la

imagen.

b) Calcule la posición, tamaño, orientación y naturaleza (real o virtual) de la imagen.

8. Se sumerge en agua (n=1,33) una varilla de vidrio cilíndrica que tiene un índice de refracción 1,52. Se pulió un extremo para formar una superficie semiesférica con radio R = 2,00 cm.

a) Calcule la distancia de imagen de un pequeño objeto situado sobre el eje óptico a 8,00 cm

a la izquierda del vértice.

b) Obtenga el aumento lateral.

9. Considere el sistema de la figura compuesto por una lente convergente y un espejo cóncavo. La lente convergente puede ser considerada una lente delgada con radios de curvatura R1 = 9,00 cm y R2 = 11,0 cm. El radio de curvatura del espejo es de 8,00 cm.

a) Si los puntos focales F1 y F2 están a 5,00 cm del vértice de la lente, determine el índice de

refracción.

b) Si la lente y el espejo están separados 20,0 cm y el objeto se coloca a 8,00 cm a la

izquierda de la lente, determine la posición de la imagen final y su aumento lateral visto

por el ojo de la figura.

c) La imagen final es derecha o invertida

Ojo F1

F2 C

36

6 Tareas

6.1 Tarea 1: Electrostática de cargas puntuales Considere el conjunto de tres cargas puntuales mostrado en la figura, donde: Determine las componentes de la fuerza eléctrica neta sobre la carga

6.2 Tarea 2: Electrostática de distribuciones continúas de carga Considere un alambre delgado en forma de arco de circunferencia, de radio a, tal como el mostrado en la figura 1. El alambre contiene una carga total Q, distribuida de acuerdo con la expresión: , donde λo es una constante positiva y ϕ es un ángulo variable medido a partir de x+ y es considerado positivo en sentido anti horario.

a) Determine el valor de λo en términos de “a” y “Q”.

b) Calcule las componentes “x” y “y” del campo eléctrico en el origen del sistema de coordenadas.

c) Calcule el campo eléctrico para un punto cualquiera sobre el eje z.

𝑞

𝑦 𝑎

x

x = a

y

z

𝑧 a

𝑞 𝑞

θ

θ x

y

37

6.3 Tarea 3: Flujo eléctrico 1. La figura muestra una región rectangular en el plano x-y de lados “h” y “L” respectivamente y

una región cuadrada sobre el plano z-x de lado “h”. El campo eléctrico está dado por la siguiente

expresión: , donde “a” y “b” son constantes positivas. Con base en esta

información calcule el flujo magnético a través de cada región.

6.4 Tarea 4: Ley de Gauss 1. Un cilindro dieléctrico muy grande (Radio R y Longitud L) que tiene una carga total +q, distribuida

según: (0 es constante y positiva), está rodeado por un cascarón cilíndrico conductor muy grande (Radio interior 2R, radio exterior 4R y longitud L), con una carga total como se muestra en la figura.

Determine:

a. Las unidades y el valor de 0, en términos de q, L y R.

b. El campo eléctrico para 0 r R , en términos de q, L y R.

c. El campo eléctrico para 4r R , en términos de q, L y R.

La densidad superficial de caga para los radios r = 2R y r = 4R.

x

y

z

h

L

h

38

q

q q P

6.5 Tarea 5: Potencial eléctrico 1. Una carga total Q se encentra uniformemente distribuida a lo largo de una semicircunferencia en el plano yz centrada en el origen del sistema de coordenadas, según se muestra en la figura. La semicircunferencia tiene radio “a”. Una carga –Q, se encuentra distribuida a lo largo del eje x desde x = a hasta x = 2a (ver figura), sin embargo en este caso la distribución de carga no es uniforme sino que va de acuerdo con la siguiente función λ λ

.

Con base en esta información determina:

a) Las unidades de en el Sistema Internacional de Unidades.

b) El valor de en términos de Q y a, además de constantes.

c) El potencial eléctrico en el origen del sistema de coordenadas, en términos de “Q” y “a”

2. Tres cargas iguales q se colocan en los vértices de un triángulo equilátero de lado L, como se muestra en la figura 1, determine el potencial eléctrico en el punto P. Se reordenan las cargas a lo largo de una línea horizontal, como se muestra en la figura 2, calcule el cambio de energía potencial eléctrica entre las dos configuraciones.

Figura 1 Figura 2

z

y

x

q q q

L L

39

6.6 Tarea 6: Capacitancia 1. El espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas está ocupado por dos placas de dieléctrico, uno con constante K1 y el otro con constante K2 (ver figura) El espesor de cada placa es

de / 2d , donde d es la separación entre las placas. Obtenga la capacitancia

2. Los capacitares de la figura están inicialmente sin carga y conectados, como indica el diagrama,

con el interruptor S abierto. La diferencia de potencial aplicada es 210 Vab

V

a) ¿Cuál es la diferencia de potencial cd

V ?

b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los bornes de cada capacitor y la carga de cada capacitor? Tabule apropiadamente su respuesta.

Suponga ahora que se cierra el interruptor S:

c) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los bornes de cada capacitor y la carga de cada capacitor después de cerrar el interruptor S? Tabule apropiadamente su respuesta.

K2

K1

b a S

3,00 μF 6,00 μF

6,00 μF 3,00 μF c

d

40

6.7 Tarea 7: Resistencia eléctrica 1. Una esfera de radio R, hecha de un material con resistividad constante ρo, tiene dos cortes planos simétricos a una distancia L de su centro. Calcule la resistencia eléctrica de esta configuración medida entre los puntos a y b.

6.8 Tarea 8. Circuitos 1. Para el circuito de la figura siguiente, determine:

a) La intensidad de corriente a través de todos los elementos del circuito.

b) La diferencia de potencial entre los puntos a y b.

L

L

R

x

y

a

b

41

2. En el circuito mostrado circula una corriente I1 por la fuente ε1, una corriente I2 por la fuente ε2

y una corriente I3 por la resistencia R. Si el valor de cada elemento es ε1 = 50,0 V; ε2 = 40,0 V y R =

10,0 Ω:

a) Halle el valor de las intensidades de corriente I1 , I2 e I3 b) Compruebe que la potencia total entregada es igual a la potencia total disipada.

Sugerencia: simplifique el circuito antes de resolver para las corrientes requeridas.

6.9 Tarea 9: Fuerza magnética 1. Un campo magnético uniforme de magnitud 0,150 T apunta en la dirección x+. Un positrón

(partícula con la misma masa que el electrón, pero con carga positiva) que se mueve a 65,00 10 m/s entra al campo a lo largo de una dirección que forma un ángulo de 85,0o con el eje

x (ver figura). El movimiento de la partícula se espera que sea una hélice, como lo muestra la

figura. Calcule:

a) Las distancia p señalada en la figura b) El radio r de la trayectoria.

42

2. Una partícula con una carga de se mueve en una región donde hay un campo

magnético uniforme de 0,450 T en la dirección +x. En un instante determinado las componentes

de la velocidad de la partícula son: , y

. Calcule las componentes de la fuerza magnética que actúa sobre la

partícula en este momento.

6.10 Tarea 10: Ley de Biot-Savart 1. Considere un alambre delgado al cual se le da forma de un alambra vertical seguido

de un arco de círculo de radio R, colocado como se muestra en la figura. El alambre

transporta una corriente I en sentido anti-horario. Determine el campo magnético para un

punto situado en (0, 0, z).

6.11 Tarea 11: Ley de Ampère 1. Por un conductor cilíndrico muy largo de radio R, pasa una corriente Imax, tal que la densidad

de corriente es Determine:

a. en términos de Imax y R. b. El campo magnético para un punto situado dentro del conductor. c. El campo magnético para un punto externo al conductor

2. Considere un solenoide toroidal de sección rectangular como el mostrado en la figura, por el

cual circula una corriente I. El solenoide consta de N vueltas de alambre aislado. Con ayuda de la

ley de Ampère determine el campo magnético para puntos internos.

y

R

I

x θ

θ

43

6.12 Tarea 12: Inducción de Faraday En la situación mostrada, la corriente en el alambre largo y recto está dada por la ecuación:

sen(3 )oI I t , donde I se mide en amperios y t en segundos. 25 mAoI . Con base en esta

información: a) Calcule la fem inducida en la espira cuadrada en función del tiempo.

b) Si la resistencia total de la espira cuadrada es de 10 , calcule para el instante t = 0,50 s la magnitud y el sentido de la corriente inducida en dicha espira.

6.13 Tarea 13: Inductores Un cable coaxial consiste de un conductor solido cilíndrico de radio a, sostenido por discos aislantes no magnéticos sobre el eje de un tubo de paredes delgadas de radio interno b. Los conductores interior y exterior conducen corrientes iguales pero opuestas.

a) Con ayuda de la ley de ampère determine el campo magnético en cualquier punto del volumen comprendido por los conductores.

b) Escriba la expresión para el diferencial de flujo magnético a través de una banda angosta de longitud l paralela al eje, de ancho dr, a una distancia r del eje del cable, y que se encuentra en el plano que contiene al eje.

c) Integra la expresión anterior para obtener el flujo magnético total producido por la corriente i.

d) Calcule la autoinductancia de un tramo de cable de longitud l.

6.14 Tarea 14: Ondas Electromagnéticas Además de la onda plana estudiada existen otras ondas electromagnéticas, una de estas posibilidades es la onda electromagnética estacionaria, que se pueden describir a través de las siguientes ecuaciones:

a) Calcule el vector de Poynting b) Calcule el valor promedio de la magnitud del vector de Poynting

a

b

I

44

6.15 Tarea 15: Reflexión y refracción Un rayo de luz llega a una placa cuadrada de cristal, de lado d, tal como se muestra en la figura. Calcule:

a. Si el índice de refracción para este cristal es de 1,41, cuánto vale x.

b. ¿Cuál debe ser el índice de refracción del cristal para que ocurra reflexión total interna en la cara horizontal inferior.

6.16 Tarea 16: Óptica geométrica Llene la tabla, cada columna se refiere a un espejo plano o esférico y a un objeto real. Las

distancias están en centímetros, si un número no tiene delante un signo más o menos, escriba el

signo correcto.

a b c d e f g h

Tipo cóncavo convexo

f (cm) 20 +20 20

R (cm) -40 40

s (cm) + 10 +10 +30 +60 +24

s(cm) -10 4,0

m +1 -0,50 +0,10 0,50

¿Es la imagen real?

No

¿Es la imagen derecha

?

No

x

60°

Θ2

45

7 Respuestas de las prácticas

7.1 Respuestas de la práctica 1

1) La carga final debe ser igual a la inicial por

el principio de conservación de la carga, al

ser las esferas idénticas la carga se reparte

equitativamente, por lo que la carga neta

de cada esfera es Q/2

2) La carga inicial de las esferas puede ser

alguna de estas dos posibilidades

3) Signo: negativo

Magnitud:

Ubicación: Entre las dos cargas a L/3 de la

carga +q

4)

5)

6) Magnitud: E =

Dirección: Opuesto al peso.

7)

8)

9)

A)

B)

10)

A) No es posible determinar el signo de las

cargas, pues solo se cuenta con

información de la magnitud de la fuerza, y

la magnitud de la fuerza no toma en

cuenta el signo de las cargas sino solo el

valor absoluto.

B)

C)

11) 1,82 m a la izquierda de la carga con valor

12)

A)

B)

C) Magnitud:

Dirección: opuesta a la dirección de

movimiento del electrón

13)

A)

B)

C)

D)

14)

15)

A)

B)

46

7.2 Respuestas de la práctica 2 1)

a)

Magnitud:

Dirección: con respecto a x- en sentido

horario.

b) Alambre horizontal

Alambre vertical:

2)

a)

b)

√

3)

a)

y

b) Magnitud:

(

√

√ )

Dirección: 180o con respecto a x+ en sentido

antihorario

c)

4)

a)

b)

c)

5)

6) [

]

7)

a)

[

]

b) Q = 0.


1)a) N

m Ca b

b) 21

3E hbw

2) a) 2N m

81,0 C

n

b) 107,17 10 CencQ

3) a) 2

o

q

RL

b)

i) 1

( )2 o

qE r

RL

ii)

c) ( 2 )4

qr R

RL

( 4 )8

qr R

RL

4) a) 3

3

28

Q

R

b)

I) ( ) 0E r

II) 3 3

2 3( )

28 o

Q r RE r

r R

III) ( ) 0E r

5) a) i) ( ) 0E r

ii) 2

( )4 o

QE r

r

b)

2( )

4

Qr a

a

2( )

4

Qr b

b

47


1)

a)

b)

c)

2)

a)

(

)

b)

(

)

3)

a)

b)

(

)

4) ( )

(

)

5) (

)

6)

a)

(

)

(

)

b)

7)


1)

2)

(

)

(

)

3)

4)

a)

b)

c)

5)

a)

b)

# C ( ) Q ( ) V (V)

1 4,00 20 5,00

2 7,00 14,58 2,08

3 5,00 14,58 2,92

4 6,00 30 5,00

6)

a)

# C ( ) Q ( ) V (V)

1 1,00 9,00 9,00

2 2,00 16,0 8,00

3 3,00 9,00 3,00

4 4,00 16,0 4,00

b)

# C ( ) Q ( ) V (V)

1 1,00 8,33 8,33

2 2,00 16,67 8,33

3 3,00 10,71 3,57

4 4,00 14,29 3,57

48

7.6 Respuestas de la práctica 6.

1)

2)

(

)

(

)

3)

(

)

4)

a) Entre las caras de dimensiones 2dx3d.

b) Entre las caras de dimensiones 2dx3d.

5)

a) 0,30 Ω

b) 9,5 V


1)

c)

d)

2)

a)

b)

c)

3)

a)

b)

4)

a)

b)

c)

5)

a)

b)

6)

a)

b)

c)

49


a)

b)

c)

2)

a)

b)

c)

d)

3)

4)

a)

b)

5)

a)

b)

c) 45,0o con respecto a +x en sentido

horario.


a)

b)

2)

3) Magnitud: 52,4 µT. Dirección: saliendo perpendicular al plano

4) Magnitud: 1,31 µT. Dirección: saliendo perpendicular al plano

7.10 Respuestas de la práctica 10 1) Magnitud: 20,0 µT. Dirección: vertical hacia abajo

2)

a)

b)

c)

[

]

d)

3)

4)


a)

(

)

b)

(

)

c) Antihorario

2)

3)

a)

b)

50

4)

a)

b)

5)

a)

b)

c)

6)

7)

8)

a)

(

)

b)

(

)


a) [ ]

b)

[ ] ( )

2)

a)

b)

c)

3)

a)

b)

c)

4)

a)

b)

c)

(

) ( )

d)

(

)

i

51


2) θ = 45,2o

3)

4)

a)

b)

5)

6)

7)

a)

b) Posición: 33,0 cm a la izquierda del vértice del espejo. Tamaño: 1,20 cm. Orientación: invertida.

Naturaleza: real.

8)

a)

b)

9)

a) 1,99

b) 10,0 cm a la izquierda de la lente, M = -2,50

c) Invertida

C

F v

52

8 Bibliografía recomendada

Gettys, W. E., Keller, F. J., & Skove, M. J. (1991). Física clásica y moderna. España: Mc GRAW-HILL

/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.

Halliday, D., Resnick, R., & Krane, K. S. (1995). Física. México: Compañia editorial continental, S.A.

de C.V.

Reitz, J. R., Milford, F. J., & Christy, R. W. (1993). Foundations of Electromagnetic Theory. USA:

Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

Sears, F. W., Zemansky, M. W., Young, H. D., & Freedman, R. A. (1999). Física Universitaria.

Mexico: Pearson Educación.

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Universitaria. México: Pearson Educación.

Serway, R. A. (1997). Física. México: McGraw-Hill.

Spiegel, M. R., Liu, J., & Abellanas, L. (2000). Fórmulas y tablas de matemática aplicada. España:

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Young, H. D., & Freedman, R. A. (2009). Física Universitaria. México: Addison-Wesley.

Young, H. D., & Freedman, R. A. (2013). Física Universitaria. México: Pearson.

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Folleto Fisica General II -20140209