Fonaments d’Ones, Fluids i Termodinàmica curs 2015 P

CAT

Col·lecció de Problemes I (Fluids)

Significatde les etiquetes:

P a classe de problemesT a classe de tutoria

C a casaC∗ a casa nivell avançat (opcional)

1. Pressió hidrostàtica

1.1 P (a) Quina força deguda a la pressió atmosfèrica actua sobre el palmell de la mà (S ≈ 100 cm2)?Per què no la notem? (b) Calculeu ara la mateixa força però sobre el terra d’una habitació de20 m2.

1.2 P (a) A quina profunditat del mar la pressió manomètrica val 1 atm? (Utilitzar la densitat del’aigua de mar ρ = 1.03×103 kg/m3).(b) Quant val la pressió absoluta a la profunditat de 100 m?(c) Suposant que l’aigua és incompressible, calculeu la pressió en el fons de la Fossa de les Mariannes,que és on es troba el punt més profund de l’oceà (10924 m).

1.3 P Una piscina mesura 5 m de longitud, 4 m d’amplada, i 2 m de profunditat. Calculeu la forçaexercida per l’aigua (a) contra el fons; (b) contra la paret longitudinal (no incloeu la força degudaa la pressió de l’aire).(c) Calculeu la força exercida per l’aigua sobre la finestreta de 100 cm2 d’un batiscaf submergit enel fons de la Fossa de las Mariannes (utilizeu els resultats del prob.1.2). Comenteu si influeix en elcàlcul com està orientada la finestreta (horizontal o verticalment).

1.4 P Un avió amb passatgers a bord està accelerant horitzontalment a a = 1 m/s2 de manera constant.Els passatgers senten en les seves öıdes el canvi de pressió de l’aire. Si suposem que la densitat del’aire dins la cabina, de longitud l = 50 m, és ρ = 1.2× 10−3 g/cm3, i la pressió mitjana p0 = 1 atm,determineu com varia la pressió de l’aire a la cabina respecte el valor p0. Quina pressió senten elspassatgers que estan en la part anterior, en la part central, i en la part posterior de la cabina?

1.5 [T ] Tenim una peixera de forma cúbica de costat a = 60 cm. Fins a quina alçada l’hem d’omplird’aigua per tal que la força deguda a la pressió sobre una de les cares de les parets sigui 1/6 de laque actua sobre el fons? (No incloeu la força deguda a la pressió de l’aire).

1.6 [T ] L’experiment de Pascal.El 1646 Pascal va fer el famós experiment que es representa a la figura. Dinsuna bóta de vi plena d’aigua i hermèticament tancada s’introdueix, en sentitvertical, un tub llarg i estret de radi 3.1 mm. Abocant un got d’aigua dins eltub (≈ 350 g), Pascal aconsegúı reventar la tapa de la bóta. Expliqueu aquestfet després de calcular:(a) l’alçada h de la columna d’aigua en el tub;(b) la pressió manomètrica just a sota la tapa de la bóta;(c) la força neta exercida sobre la tapa (de superf́ıcie ≈ 0.12 m2). Compareu-laamb el pes de l’aigua continguda dins el tub.

1.7 P Un baròmetre de mercuri com el de l’experiment deTorricelli té una obertura A en la part lateral del tubque inicialment està tapada, com s’indica a la figura.Què passarà quan traguem el tap?

1.8 P Les branques d’un tub obert en forma d’U tenen radis r1 i r2. En primerlloc hi llencem mercuri i desprès un altre ĺıquid fins a quedar les branques aunes alçades h1 i h2 (ver la figura). Si la densitat del mercuri és ρ1, determineula densitat de l’altre ĺıquid ρ2.

1.9 P Un sistema de vasos comunicants està format per dos tubs ciĺındrics obertsde seccions uniformes S1=S i S2=2S units per la seva base. Inicialmentcontenen un ĺıquid incompressible de densitat ρ en equilibri com es mostraa la figura. Al tub més estret s’hi afegeix una massa m d’un altre ĺıquid dedensitat desconeguda ρ′ menor que ρ, de manera que ambdós ĺıquids no esbarregen. Quan s’arriba a la situació d’equilibri en els dos tubs, els nivells delĺıquid de densitat ρ a cada tub canvien.(a) Determineu els canvis de nivell h1 i h2 del ĺıquid de densitat ρ a cadascundels tubs respecte a la posició inicial en funció de S, ρ i m.(b) Calculeu numèricament h1 i h2 suposant S = 1 cm

2, m = 27.2 g iρ = 13.6 g/cm3.(c) Determineu la pressió manomètrica hidrostàtica a la interfase entre els dosĺıquids i calculeu-ne el valor numèric.

1.10 [T ] El tub en forma d’U de la figura té els extrems tapats. Conté un gas a A,un altre a B i mercuri a C. Les alçades del mercuri a les dues branques són lesindicades. Si la pressió a A val 1000 Pa, determineu la pressió al punt B. (Ladensitat del mercuri és ρ = 13.6×103 kg/m3).

1.11 [C] Calculeu la massa d’aire que conté una habitació del vostre pis.

1.12 [C] (a) Quant mesura un cub de plat́ı de 20 kg?(b) Quin diàmetre tindria una esfera d’acer de 20 kg?

1.13 [C] Un tub en forma d’U obert pels dos extrems conté mercuri. S’aboca una mica d’aigua en el braçesquerre fins que la seva altura és h1 = 80 cm. En el braç dret s’aboca oli fins que la seva altura ésh2 = 20 cm. Suposant que els ĺıquids no es barregen, calculeu el desnivell de mercuri entre els dosbraços. (La densitat de l’aigua és ρ1 = 10

3 kg/m3, la de l’oli ρ2 = 0.8×103 kg/m3, i la del mercuriρ3 = 13.6×103 kg/m3).

1.14 [C] Un tub en forma d’U de secció uniforme S té un extrem tapat i un altreobert a l’atmosfera. El tub conté mercuri (M) a la part central, un gas (G)al braç esquerre i una columna d’aigua (A) d’altura hA al braç dret. Quanel sistema està en equilibri, la pressió del gas a la part G és igual a p. (Lasituació de la figura). Després, s’aboca al braç dret una massa m d’un altreĺıquid de densitat desconeguda i quan s’arriba a la situació d’equilibri, el nivelldel mercuri al braç esquerre ha cambiat en ∆h, i la pressió del gas G ha passata ser p′. (a) Determineu l’augment de pressió p′ − p del gas G en funció dela densitat del mercuri ρ, ∆h, S i m. (b) Determineu la pressió manomètricahidrostàtica a la interfase entre el mercuri i l’aigua a l’estat final.

1.15 [C] Un astronauta està en el Pol Nord d’un planeta acabat de descobrir que té forma esfèrica (deradi R). L’astronauta disposa d’un recipient amb un ĺıquid de densitat ρ. A la superf́ıcie del ĺıquidla pressió és p0; a una profunditat d la pressió té un valor major p. Amb aquesta informació,determineu la massa del planeta.

1.16 [C] (a) Quina és la diferència de pressions entre Barcelona (nivell del mar) i la Vall de Núria (altura≈ 2000 m)? Considereu que l’atmosfera es isotèrmica a temperatura constant t = 5◦C i es comportacom un gas ideal. (b) Quina diferència de pressions obtindŕıem si consideréssim que l’aire té unadensitat homogènia igual a la que té a nivell del mar (1 atm)? (Suposeu que té 1.29 kg/m3). Estàjustificat prendre la densitat de l’aire constant entre el nivell del mar i la Vall de Núria?

1.17 [C∗] La paradoxa hidrostàtica.Tres recipients amb simetria ciĺındrica tenen la cara del fonsamb la mateixa àrea A. Tots contenen ĺıquid fins a la mateixaalçada h, com s’indica a la figura. Expliqueu en què consisteix laparadoxa hidrostàtica comparant, per a cadascun dels recipients,el pes del ĺıquid amb les forçes de pressió verticals sobre el fons(A) i sobre les bases anulars (A2).

1.18 [C∗] En els braços d’un tub en forma d’U que conté mercuri s’aboca aigua ioli. El mercuri té el mateix nivell en ambdós braços. A l’altura h0 = 24 cmels dos braços estan connectats per un tub prim horitzontal que té una clauque inicialment està tancada. L’altura de la columna d’aigua en el braçesquerre és h1 = 40 cm.(a) Determineu l’altura de la columna d’oli h2. (La densitat del mercuri13.6×103 kg/m3 i la de l’oli 0.8×103 kg/m3).(b) Quan obrim la clau, quin tipus de moviment farà el fluid? Considerantque l’aigua i l’oli no es barregen, i negligint els efectes de la capil·laritat,determineu les altures dels ĺıquids en l’estat final d’equilibri.

2. Flotació

2.1 P Una esfera buida de volum V , feta amb un material de densitat ρ, flota enun ĺıquid de densitat ρ0, quedant parcialment submergida. Quin volum té lacavitat dintre de l’esfera sabent que la part submergida és Vs = αV ?

2.2 P La densitat d’un ĺıquid en un recipient varia amb la profunditat h segons la fórmula:ρ(h) = ρ0 + αh. Hi submergim un objecte homogeni de densitat ρ. L’objecte s’enfonsa completa-ment, però no cau fins el fons, quedant en equilibri a una certa profunditat. A quina profunditath0 quedarà el seu centre de masses si la seva forma és cúbica i les seves dues cares resten paral·lelesa la superf́ıcie del ĺıquid?

2.3 P Mesura de la densitat d’un objecte.El principi d’Arquimedes es pot utilitzar per a medir la densitat d’un cos homogeni d’un materialdesconegut. Per a fer-ho, l’objecte es pesa en dos ĺıquids diferents de densitats conegudes. (Es potsubstituir el segon ĺıquid per aire).(a) Expliqueu en què consisteix el mètode, deduint la fórmula per a la densitat desconeguda ρ entermes dels pesos;(b) Si l’objecte pesa tres cops menys en l’aigua que en l’aire, quina és la seva densitat?

2.4 [T ] Un recipient conté dos ĺıquids no barrejats que tenen densitats diferents:ρ1 < ρ2. En la interfase entre els ĺıquids flota un bloc rectangular homogeni dealçada ` totalment submergit, de densitat ρ3 amb valor ρ1 < ρ3 < ρ2.(a) Determineu la pressió manomètrica p1 a la superf́ıcie superior i la pressiómanomètrica p2 a la superf́ıcie inferior del bloc.(b) Quina porció x del bloc es troba per sobre de la interfase?

2.5 [T ] Una esfera de coure buida pesa, en l’aire, P1 = 17.8 N, i en l’aigua, P2 = 14.2 N. Determineu elvolum de la cavitat interna de l’esfera. (La densitat del coure és ρ = 8.9×103 kg/m3).

2.6 [C] Quin percentatge del volum d’un iceberg està per sota del nivell del’aigua? (La densitat de l’aigua de mar és ρ0 = 1.03 g/cm

3, i la del gelés ρ1 = 0.917 g/cm

3).

2.7 [C] Quants pingüins d’aproximadament 10 kg pot soportar sense enfonsar-se una placa de gel desuperf́ıcie 2 m2 i espessor 50 cm? (Preneu la densitat de l’aigua de mar com 1.025 g/cm3, i la delgel 0.97 g/cm3; suposeu que la densitat dels pingüins és major que la de l’aigua).

2.8 [C] En un recipient que conté aigua ĺıquida en el punt de congelació flota un glaçó. Al fondre’s elgel, què li passa al nivell d’aigua en aquests dos casos?(a) El glaçó és homogeni, (b) El glaçó conté algunes bombolles.

2.9 [C] En un tub en forma de U de secció uniforme S tenim un ĺıquidincompressible de densitat ρ com es mostra a la figura. En el braç dretdel tub s’aboca una massa m1 d’un altre ĺıquid de menor densitat (queno es barreja amb el primer) i es posa una massa m2 de fusta que quedaflotant parcialment submergida. Quan el sistema arriba a l’equilibri, elnivell del ĺıquid en el braç esquerre ha canviat en ∆h respecte al seunivell inicial. Determineu ∆h en funció dels paràmetres: m1, m2, S i ρ.

3. Tensió superficial

3.1 P Una bombolla de sabó té un radi R = 2 cm.(a) Sabent que la tensió superficial del sabó és σ = 7 × 10−2 N/m, calculeu la diferència de pressióentre dins i fora de la bombolla;(b) Quanta energia està emmagatzemada en la superf́ıcie de la bombolla?

3.2 P Dos capil·lars de radis r1 = 0.5 mm i r2 = 1 mm formen un tub en U que contéaigua com s’indica a la figura. Quant val la diferència d’altures del ĺıquid ∆h alsdos capil·lars? Podem suposar que el coeficient de tensió superficial de l’aigua ésσ = 0.073 N/m, i l’angle de contacte entre l’aigua i la paret del tub és θ = 30◦.

3.3 P (exam.2013).Un sistema de vasos comunicants format per dos tubs verticals contémercuri (M) a la part central. El braç dret és un capil·lar del radi r queestà obert a l’atmosfera, mentre que el braç esquerre conté un gas (G)que desemboca a una bombolla de sabó. El gas pot passar lliuremententre la bombolla i el tub, i la clau (L) entre el tub i l’exterior estàtancada. El dispositiu permet mesurar el coeficient de tensió superficialdel sabó σs sabent altres paràmetres. Quan el sistema està en equilibri(situació de la figura), la bombolla té radi R i el desnivell del mercurientre els dos braços és h.

(a) Determineu la tensió superficial de la bombolla σs en funció dels parameters: h, R, r, ρ, θ, σ,i g, on ρ és la densitat del mercuri, θ i σ són l’angle de contacte i el coeficient de tensió superficialentre el mercuri i les parets del capil·lar, respectivament, i g és l’acceleració de la gravetat. Suposeuque 90◦ < θ < 180◦.(b) Calculeu el valor de σs sabent que R = 1 cm, h = 1.18 cm, r = 0.3 mm, ρ = 13.6 g/cm

3,θ = 120◦, σ = 0.48 N/m, i g = 9.8 m/s2.(c) Què passarà amb la bombolla en els primers instants, quan s’obre la clau L i el braç esquerrequeda obert a l’atmosfera?(d) Determineu el nou desnivell h′ entre els dos braços.

3.4 [T ] Des de quina altura mı́nima ha de caure una gota de radi R per a que es disgregui en N gotesidèntiques més petites? (La seva tensió superficial és σ i la seva densitat ρ). Considereu que lesgotes tenen forma esfèrica i que la temperatura no varia.

3.5 [T ] Tensiòmetre de Du Noüy.La tensió superficial es pot mesurar amb el mètode de l’anell de DuNoüy que consisteix en determinar la força necessària per tal de de-sprendre un anell lleuger metàl·lic que toca la superf́ıcie del ĺıquidsense submergir-se. La força es realitza contra la tensió superficialdel ĺıquid que actua al llarg de la circumferència de l’anell i es mesuraamb un dinamòmetre de torsió.(a) Calculeu la força necessària per treure un anell d’alumini de lasuperf́ıcie de l’aigua. (Dades anell: diàmetre interior, d1 = 50 mm,diàmetre exterior, d2 = 52 mm, altura h = 10 mm; densitat de l’alumini, ρ = 2.6×103 kg/m3, tensiósuperficial de l’aigua, σ = 0.073 N/m.)(b) Quin percentatge de la força calculada constitueix la força de tensió superficial?

3.6 [C] Entre els millors vins dels Cellers Jean Leon de l’Alt Penedès n’hi ha un que portael nom “11250”. A l’etiqueta llegim que 11250 és el nombre de gotes que hi caben enuna ampolla de vi i també “el nombre dels secrets que la composen”. Sense pretendredesvetllar tots els secrets que tanca una ampolla de Jean Leon, podem plantejar-nos lasegüent pregunta: Quina energia cal per a fraccionar el contingut d’una ampolla de vide 0.75 l en 11250 gotes? Suposem que l’energia superficial inicial del vi és menyspreablei el coeficient de tensió superficial del vi és σ = 0.045 N/m.

3.7 [C∗] Sobre la superf́ıcie de l’aigua s’han col·locat una agulla d’acer. Calculeu el diàmetre màximque pot tenir l’agulla per tal que romangui flotant a la superf́ıcie sense enfonsar-se?(Dades: densitat de l’acer ρ = 7.7 × 103 kg/m3, tensió superficial σ = 0.073 N/m.)

3.8 [C∗] Quin valor hauria de tenir la constant d’acceleració gravitatòria d’unplaneta per a què una persona pogués “caminar” sobre l’aigua? (Considereuque les soles de les sabates no es mullen). La tensió superficial de l’aigua ésσ = 0.073 N/m.

4. Dinàmica de fluids

4.1 P Un pantà desguassa en una planta de producció d’en-ergia elèctrica que està a 50 m per sota de la presa d’aigua,com indica la figura. El desguaç es fa a través d’una canon-ada que es va fent progressivament més estreta. L’aiguaentra en el tub a una velocitat v1 = 5 m/s. La secció dela canonada quan arriba a la planta de producció és 5 copsmenor que la que té al sortir del pantà.(a) Calculeu la diferència de pressions p2 − p1 entre els ex-trems;(b) És positiva o negativa? De què depèn el signe?

4.2 P Determineu la velocitat de sortida d’un ĺıquid (fluid ideal) en funció del temps a través d’unorifici en el fons d’un dipòsit ciĺındric obert a l’atmosfera, si sabem l’altura inicial del ĺıquid H, lasecció del dipòsit SD i la de l’orifici S (S � SD). Quant de temps trigarà a buidar-se el dipòsit, siH = 1.8 m, SD = 10 m

2, i S = 100 cm2?

4.3 P Calculeu en km/h la velocitat d’un avió provëıt d’un tubde Pitot. El ĺıquid manomètric del qual és mercuri, essentla diferència d’altures entre els nivells dels dos braços h =49 mm. Suposeu que la densitat de l’aire és ρ = 1.293 kg/m3

i la del mercuri ρm = 13.6 × 103 kg/m3.

4.4 P L’aire comprimit flueix de manera estacionària des d’un dipòsita través d’una mànega de diàmetre D = 3 cm, i surt a l’atmosfera apartir d’una obertura de diàmetre d = 1 cm, tal i com es mostra ala figura. La pressió manomètrica dins del dipòsit és p = 0.25 kPa,amb la densitat de l’aire corresponent ρ = 1.26 kg/m3. Suposem quela densitat de l’aire ρ es la mateixa en el dipòsit i la mànega.(a) Determineu la velocitat v de l’aire a la sortida.(b) Trobeu la pressió p′ i la velocitat v′ de l’aire a la mànega.

4.5 [T ] Un tanc cobert conté aigua fins a una alçada h = 11 m. L’aire està a una pressió p = 4 atm. Alfons del tanc hi ha un forat petit a través del qual l’aigua s’escapa. Calculeu a quina velocitat surtl’aigua en els primers instants.

4.6 [T ] Un dipòsit ciĺındric de grans dimensions obert a l’atmosfera conté aigua fins a una alçada h.Fem un orifici de forma rectangular d’amplada a i alçada h2 − h1, on h1 (h2) és la distància delcostat superior (inferior) fins al nivell de l’aigua (vegeu la figura).

(a) Determineu el cabal Q d’aigua que surt a l’instant inicial,integrant per tota la superf́ıcie de l’orifici.(b) Suposem ara que h2 = h1 + δ, amb δ molt petita, de maneraque podem menysprear la diferència de profunditats a les que estroben els costats superior i inferior del rectangle. Quin resultatpodem esperar en aquest cas? Utilitzant la fórmula obtinguda enl’apartat (a), determineu el cabal en aquest ĺımit.Ajut: (1 + x)α ≈ 1 + αx.

4.7 [C] Una mànega de jard́ı que té un diàmetre intern de 1.2 cm està connectada a un aspersor amb25 orificis, cadascun de 1.5 mm de diàmetre. Si l’aigua en la mànega té una velocitat de 1 m/s, aquina velocitat surt pels orificis de l’aspersor?

4.8 [C] El dispositiu de la figura serveix per a conèixer el cabal que circulaen tot moment per una canonada. Consisteix en un estrenyiment idos tubs verticals oberts. Trobeu la relació que hi ha entre el cabalQ, la secció S1 de la canonada, la secció S2 de l’estrenyiment, i ladiferència d’altures h en les dues columnes.

4.9 [C] Considereu un dipòsit obert de grans dimensions. A la part de sotahi ha aigua fins a una altura ha, i a la de sobre petroli fins a una alturaha+hp com es mostra a la figura. Suposeu que el petroli té una densitatinferior a la de l’aigua, i que els dos ĺıquids no es barregen. Fem un orificia una altura h del terra (h < ha).(a) Determineu la velocitat v a la que sortirà l’aigua en els primersinstants, en funció de ρa, ρp, ha, hp i h. Negligiu els efectes de laviscositat.(b) Calculeu el valor de v sabent que ρp = 0.9ρa, ha = 1 m, hp = 2 m ih = 0.3 m.

4.10 [C] L’aigua continguda en un dipòsit esdescarrega a través d’una canonada comes mostra a la figura. A quin punt la pres-sió és menor? Considereu que la secciótransversal en el punt 1 és igual a la delpunt 4, la secció transversal en el punt 2és igual a la del punt 3, i la viscositat del’aigua és negligible.