Fonctions spéciales

8/9/2019 Fonctions spciales

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250

Chapitre XIIFonctions spciales

Chapitre XII

Fonctions spciales

XII.1 Dtermination de la fonction Gamma

La fonction Gamma est trs simple dduire partir de l'intgrale d'Euler:

0

1px .dxxe

ette intgrale est une fonction de paramtre p ! elle est reprsente par le s"m#ole

$p% et s'appelle lafonction Gamma.

L'intgrale d'Euler est une intgrale non propre& car la #orne suprieure est infinie&

l'intgrale est gale 1px pour 0x= et par consuent toutes les expressions sous intgrale

tendent (ers )ro pour p*1.

onsidrons pour uelles (aleurs de p l'intgrale peut exister. +our cela& di(isonsl'inter(alle d'intgration en trois parties: de )ro a1,0& de a1 a2et de a2 l'infini. -n aura:

1 2

1 2

1 1 1 1

0 0

.

a a

x p x p x p x p

a a

e x dx e x dx e x dx e x dx

= + +

ontrons ue la dernire intgrale existe pour n'importe uelle (aleur de p.

=a2

#

a2

1px/

#

1px dxxelimdxxe

%i la limite existe$. -n utilise pour montrer l'existence de la limite:

0e

xlim

x

1p

x=

+

%uon peut facilement monter en appliuant plusieurs fois la rgle de

lospital$ et par consuent& pour les grandes (aleurs de x& par exemple& si 0xx> & la

(aria#lex

1p

e

x +

sera infrieure ! si on pose 1= & ainsi pour 0xx> on a:

1e

xx

1p

1

>

1.

>

1

>

?

=

=

+=

=

+=

4monstration : reprsentons ( )1+ p par lintgrale dEuler et intgrons par parties :

( )

+==+0

1px

0

xpp

0

x &dxxepexdxxe1p

o@

.e(&dxed(

!dxpxdu&xu

xx

1pp

==

==

-r

0e

x

limexlim x

p

x

xp

x ==

+ar consuent :

( ) ( ).ppdxxep1p 1p

0

x ==+

Corollaire 1.

i p est nom#re entier& on a ( ) ( ).A1pp = 9insi& on a :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )A.1p11.2...2p1p....

2p2p1p1p1pp

=======

4onc& de ce corollaire& on peut remaruer comment la fonction gamma croit rapidement :


5/57

25C2BB010120A5C12

20ABD2&1&2.0&1 & peut tre

dtermine par la formule %788.>$. La fonction gamma nexiste pas pour les p ngatifs entiers.

Exemple :

.>

2

1

>

2

>

1

>

2

est trou(e partir de la ta#le.Proprit 2


6/57

255


( )( ) ( ) ( )np...2p1pp

nAnlim+

p

n +++=

.

ette formule est utilise pour le calcul approximatif de la fonction gamma.

+our la dmonstration& considrons la fonction :

( ) .dxxn

x1p&nf 1p

n

0

n

=

-n peut facilement (oir ue :

( ) ( )pp&nflimn

= . E(idemment :

( )

( ).pdxxedxxn

x1lim

dxxn

x1limp&nflim

1p

0

x1p

n

0

xxn

n

1p

n

0

n

nn

==

+=

=

=

4une autre part& en intgrant par parties& on o#tient pour f %n& p$ une expression sous la

forme :

( )

.&

!1

11

&$1%1

11&

1

1

0

1

01

0

p

xvdxxdv

dxnn

xndu

n

xu

o

dxxn

x

p

px

nxdxx

nxpnf

pp

nn

p

n

n

n

pn

p

n n

==

=

=

+

+

=

=

-n o#tient lexpression :

( ) dxxn

x1

p

1p&nf

n

0

p

1n

=

En lintgrant par parties encore une fois en posant :

1

1 & ( .

n

pxu d x dxn

= =

do@ du 1px(!dx

nx1

n1n

1p2n

+=

=

+

-n o#tient :


7/57

25C


f( n , p )= 1p[(1xn)

n1x

p+1

p+1|n0+ n1n (p+1 )0n

(1xn)n2

xp+1

dx ]= n (n1 )n2p (p+1 )0n

x (1xn )n2

xp+1

dx

-u encore aprs intgration par parties n fois& on o#tient :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

0

0

1 2 ... 1& 11 2 .... 1

A.

1 2 ... 1

A A

1 ... 1 ...

n nn

n p

n

n pn

n

n p p

n

n n n n n xf n p x dxnn p p p p n

n x

n p p p p n n p

n n n n

n p p p n p p p n

+

+

+

= = + + +

= =+ + + +

= =+ + + +

+ar consuent :

( ) ( ) ( ) .np....1pp

Ann

limp

p

n ++=

Proprit !. 4ri(e du logaritme de la fonction gamma.

Hrou(ons la formule pour :

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

1ln 1 :

1

A1 lim !

1 ...

1 lim ln ln A ln 1 .... ln !

1 1 1lim ln ... .

1 1

p

n

n

n

pp

p

n np p p p

p p p n

In p p n n p p n

pn

p p p n

+ + = +

+ = =+ +

+ = + + +

+ = + + +

En posant p ; 0&

.n

1

...2

1

1nlnlim$1%

$1%

n

+++=

La partie gauce de cette galit est gale approximati(ement /0&5??21I

La grandeur 0&5??21... sappelle la constante dEuler.

+ar consuent :

1 1lim ln 1 ... .

2nn C

n

+ + + =

4onc& on peut crire :


8/57

25?


[

[

1 1

% 1$ 1 1 1 1lim ln 1 ... ...

% 1$ 2 >

1 1 1 11 ... J lim ln

2 >

1 1 1 1 11 ... .

2 >

n

n

p p

m m

pn

p p p n

np n p

Cn p m m

= =

+= + + + + + + +

+ + + + + + = +

+ + + + + = + +

XII.! Dtermination de la fonction de "essel de la premi#re esp#ce

Luation diffrentielle de Kessel est :

.011

2

2

=

++ y

xy

xy

%788.


9/57

25B


Lidentit peut tre crite sous forme :

[ ] .xax$pi%a pi0i

i

2pi22

0i

i

+

=

+

= +

-n peut dduire ue :

$2%

2

ipi

aa ii +

=

En tenant compte ue :

&0a...&&0a&0a&0a 1M25>1 ==== + cest//dire ue les coefficients a"ant des indices impairs

sont nuls. ur la #ase de la formule de rcurrence& on peut crire :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

...................................................................................

!>p2p1p>.2.2

a$1%

Cp2C

aa

!2p1p2.2

a$1%

1

2

11

C


14/57

2C>


est donc luation de Kessel. es solutions seront

( ) ( ) ( ) .J " e" J ou J x e" J x

onsidrons luation.

.0"=x=1"

x1" =

++

%788.C$

i lon introduit le signe %/$ sous la parentse et lon pose 1i2 = & luation %788.C$

de(ient :0"

=x

=i"

x

1" 2 =

++

& ui est un cas particulier de luation %788.5$& uand

i= . La solution de luation %788.5$ sera : ( ) ( )xiNetxiN

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )!

1M1M

2

x

i

1M1M

i

2

x

$1%xiN

!1M1M

2

x

i

1M1M

i2

x

$1%xiN

0M

M2

M2

M2

0M

M

0M

M2

M2

M2

0M

M

=

=

=

+

++

=

++

=

=++

=

+++

=

=+++

=

[ on a utilis ] .1$1%et&$1%i M2MM2 ==

Etant donn ue luation diffrentielle est omogne& donc uelue soit 1et uelue

soit 2 les fonctions $xi%N1 et $xi%N2 seront ses solutions.

En posant == iet&i 21 & on o#tient la solution sous forme :

( )( )

( )( )

&1MAM

2

x

xiNi

!$1M%AM

2

x

1MAM

2

x

iixiNi

0M

M2

0M 0M

M2M2

=

=

=

++

+

=

++

=++

=


15/57

2C&2&1M&Net&Q M0t=Ma=

MM ==

ui est une solution de %788.1>$. M sont les nom#res caractristiues du pro#lme. ( ) M0N

sont les fonctions caractristiues ou propres du pro#lme.

9ucune fonction

( )t&Q M =ne satisfait les conditions aux limites& tant donn ue pour t ;0 :

( ) &NQ M0MM = et non f% $.

9fin de trou(er la solution& prenons :

( )=

=

M

1M

0

t=a=

M NMe$t&%Q

pour t;0& Q; f% $ et par consuent :

=

= 1M M0M .[Nc$%f

La dernire srie est la dcomposition de $%f par la fonction de Kessel dordre 0 :

[ ]

=1

0

M02

M0

M[

d[

N$%f[$%'N

2c

donc :

[ ]

=

1

0

M022

M0

M d$%N$%f

[

1.

$%'N

2c

.La fonction :

2 2

0

1

% & $ % $ka "

k k

k

' " ! e J

=

=

est la solution du pro#lme pos.

Pro/l#me 2. +ro#lme de 4iriclet pour un c"lindre

oit un c"lindre ) ; 0& ) ;& [;1. Hrou(er la fonction armoniue lintrieure du c"lindre&

si lon connat ses (aleurs sur la surface.

8l faut rsoudre le pro#lme 0=' & a(ec les conditions aux limites :


29/57

2?B


$.%fQ

&0Q

&0Q

0)

1

)

=

=

=

=

=

=

+uisue Q ne dpend pas de0Q&

2

2

=

et luation de(ient :

01

2

2

2

2

=

+

+

z

'''

+osons $)%\$%$)&%Q = . 4o@ :

$.)%\$%)

Q$!)%\$%

Q$!)%\$%

Q2

2

2

2

=

=

=

En les remplaant dans luation& on o#tient :

.0$)%\$%$)%\$J%1

$%S =+

+

4composons les (aria#les :

2

$)%\$)%\

$%

$%1

$%

==

+

+our trou(er $% et \%)$& o#tenons les uations :

0$)%\$)%\ 2 = %788.1C$

0$%$%1

$% 2 =+

+ %788.1?$

Luation %788.1C$ est une uation linaire et omogne du deuxime ordre. +our sa

rsolution& ta#lissons luation caractristiue :

.M&0M 22 ==

a solution gnrale sera :

.ee$)%\ )2)

1

+=

Luation %788.1?$ est une uation de Kessel dont la solution est$.%4N 0

La fonction :


30/57

2?D


$%N$ee%4$&)%Q 0)

2

)

1 +=

sera la solution de luation de Laplace.

9fin ue pour ) ;& on a Q;0& il faut ue :0ee 2

1 =+

Lgalit sera satisfaite si :

.2

e&

2

e

2

1

==

4o@ :

$&)%s2

eeee

$)%$)%)

2

)

1 =+

=+

et la fonction $%N$)%4sG$&)%Q 0 = satisfera la premire condition aux limites. 9fin

de satisfaire la deuxime condition aux limites& il faut ue :

&0$%N&1 0 ==

'est//dire : .0$%N 0 =

i ...&...&&& M21 sont les racines de $&%N0 donc &...&2&1M= on a :

$%N$)%sG4Q M0MMM =

ui satisfera les deux premires conditions aux limites.

En ualit dune nou(elle solution& prenons la fonction :

=

=1M

M0MM $.%N$)%s4$)&%Q

oisissons les coefficients de faon ue pour ) ;0& on a :

==

1M

M0MM $.%N$%s4$%f

Les conditions de la srie sont dtermines par la formule %788.12$. +ar consuent :

=1

0

M02

M0

MM .d$%N$%f.$J%]NS

2$%sG4

La fonction :

=

1M

M0MM $&%N$)%s4

sera la solution du pro#lme pos.

Pro/l#me !.onsidrons le pro#lme de 4iriclet a(ec les conditions sui(antes :


31/57

2B0


$.%$&%&0$&%

&0$&%

1

0

zfz'z'

z'

(z

)

==

=

==

=

+osons :$&)%\$%$)&%Q =

-n trou(e :

$)%\

$)%\

$%

$%1

$%

=

+

ou encore :

0$%$%1

$% 2 =

+

et

0$)%\$)%\

2

=+La premire uation est une uation diffrentielle pour la fonction de Kessel du

troisime espce dordre 0 et dargument . a solution sera la fonction :

$.%8$% 0 =La deuxime uation est linaire coefficients constants. Les racines de luation

caractristiue 0M 22 =+ sont i .

La solution gnrale de cette uation sera :

)sin4)cos + .

La fonction :

$%$sincos%$&% 0 Iz*zCz' +=

sera la solution de luation de Laplace.

+our ue );0& on Q;0& il faut ue :

&00sin40cos =+

cose possi#le ue pour ;0.

+our ue pour );& on a Q;0& il faut ue 0sin4 = & cose possi#le ue pour :

.M =

+ar consuent&

MM

=

o@ M;1&2&>&I

La fonction :

M)sin

84$)&%Q

M

0MM

=


32/57

2B1


atisfait les deux conditions aux limites. 9fin de trou(er la fonction satisfaisant la

troisime condition aux limites& prenons :

)

Msin

M84

1M

0M

=

et considrons ue :

=

=

1M

0M $.)%f

)Msin

M84

ette srie est la srie de Uourier pour la fonction $)%f .

+ar les formules de Uourier& on trou(e :

=

0

0M .d)

M)sin$)%f

2

M84

La fonction :

=

M)sin

M84$)&%Q 0M

sera la solution du pro#lme pos.

MM

=

sont les (aleurs propres et

M)sin

sont les

fonctions propres.

Exercices.

1. acant=

2

1

& trou(er

+

2

>M&

2

>&

2

1

o@ M est entier.

2. ontrer ue :

!xcosx

2$x%N&xsin

x

2$x%N

2

1

2

1 =

=

Ecrire luation diffrentielle pour$x%N

2

1

et$x%N

2

1

.

>. Trifier ue xxsin

et xxcos

satisfont luation diffrentielle :

0"xsin$x%N2sin$x%N2%i

...$1


34/57

2B>


=

=0n

n

n .r$%cos+[

1

%788.1B$

+our r ;1 et ;0& &0cosr2r1 2 =+ et par consuent la fonction 16[ a un point

critiue. La srie con(erge seulement pour r *1.

+our o#tenir la formule pour $&%cos+n on pose .xcos = 4onc:

=

=+

=0n

n

n2

.r$x%+rrx21

1

[

1

%788.1D$

Les coefficients de la srie %788.1D$ peu(ent tre dtermins par la formule de c Laurin.

4onc:

0r

n

n

n

0r

0dr

[

1d

.An

1$x%+!1[1$x%+

=

=

===

+our trou(er $&x%+1 calculons d'a#ord:

>2

2

1

2

$rrx21%

rx$rrx21%

dr

d

[

1

dr

d

+

=+=

=

acant ue

&1

$%0

1

=

=

&d

dxP

on o#tient: .x$x%+1 =

9nalogiuement par la dri(e du second ordre par rapport [

1

& on peut o#tenir $x%+2

etc.

La diffrentielle de %788.1D$ donne:

=

=

0n

1n

n nr$x%+dr

[

1d

ou

=

=+

0n

1n

n2

.nr$x%+$rrx21%

rx

En multipliant les deux parties de la dernire galit par $&rrx21% 2+ et remplaant

2rrx21

1

+ par la srie %788.1D$& on o#tient:

=

=

+=0n 0n

1n

n

2n

n .r$x%n+$rrx21%r$x%+$rx%

Egalisons les coefficients pour rn :


35/57

2B$x%+2 012 =+ ou.

2

1x

2

>$x%+ 22 =

2. En posant n;2& on o#tient:0$x%+2$x%x+5$x%+> 12> =+

ou

.x2

>x

2

5$x%+ >> =

>. i n;>& on aura:0$x%+>$x%x+?$x%+< 2>< =+

ou

.B

>x

5$x%+ 2$

XII.1% Application des pol7n8mes de egendre ( la rsolution des pro/l#mes limites

Problme 1. Poblme de *ii!/le" pou une ,p/e

8l faut trou(er une fonction armoniue l'intrieur d'une spre si l'on connat ses

(aleurs sur la surface. upposons ue la fonction cerce Q ne dpend pas de la cordonne

spriue . Le centre de la spre est confondu a(ec l'origine des coordonnes. Le ra"on de

la spre est [. 9insi la condition aux limites est:

$.%f$&r%Q[r

==

La fonction $&r%Q doit satisfaire l'uation de Laplace .0Q= -n a &06Q 22 = et

par consuent:


40/57

2BD


ou

.0$Q

%sin

sin

1

r

Qr2

r

Qr

0$Q

%sinsin

1$

r

Qr%

r

2

22

2

=

+

+

=

+

-n (a cercer la solution par la mtode Uourier. Ecri(ons la fonction sous forme

$.%H$r%$&r%Q = Hrou(ons la dri(e et remplaant la dans l'uation :

.0$J%HSsind

d

$r%sin

1

$%H$Jr%r2$r%rS

!$%H$r%r

Q

!$%H$r%r

Q!$%H$r%

r

Q

2

2

2

=++

=

=

=

9fin ue $%H$r%$&r%Q = soit la solution de l'uation de Laplace& il faut ue la

dernire galit soit une identit.

parons les (aria#les:

.$%H

$J%HSsind

d

sin

1

$r%

$r%r2$r%r2

=

+

Etant donn ue r et sont indpendants& l'galit sera possi#le ue si les parties gauce

et de droite sont gales une constante . -n o#tient:

0$%$%2$%2 =+

et

.0$%H$J%HSsind

d

sin

1=+

4onc pour $&1n%n += on dduit ue:

$.%cos+c$%H nn =

La premire uation prend la forme:

.0$r%$1n%n$r%r2$r%r2 =++

a solution sera cerce sous forme de .r$r% M= 4'o@:

.r$1M%M$r%&Mr$r% 2M1M ==

En la remplaant dans l'uation& on o#tient:


41/57

2D0


ou .r$r%&nM&0$J1n%n$1M%MSr

0r$1n%nMr2Mr$1M%

nM

MMM

===++

=++

+our caue nom#re n& la solution de l'uation de Laplace s'crit sous la forme:

&r$%cos+c$&r%Q nnn =

ependant cette fonction ne satisfait pas la condition aux limites du pro#lme.

L'uation de Laplace est une uation omogne. +renons la fonction $&% ' sousforme :

=

=0n

n

nn r$%cos+c$&r%Q

oisissons les coefficients cnpour ue r ;[& la srie sera gale $&%f

c'est//dire:

$.%$%cos0

f&P n

n

nn! =

=

En posant &cos=x on trou(e ue& sin (ar ie 0 & ' :dx d e" de 0 d o =

.dsin$%cos+$%f2

1n2

[

1c

0

nnn

+

=

+ar consuent:

=

+

= 0n 0n

n

n $.%cos+[

r

.dsin$%cos+$%f2

1n2

$&r%Q%788.2


42/57

2D1


o@ Q est la temprature.

4ans le cas d'une rpartition stationnaire& on a .0Q= La condition aux limites est:

$.%fQ [r ==

4onc& le pro#lme 2 est un cas particulier du pro#lme 1 et sa solution est donne par la

srie %788.2


43/57

2D2


=

=

=

=

0n

n

0n

n

1n

n .r$x%+x

[

1

&r$x%n+r

[

1

En remplaant les expressions trou(es dans luation %788.2C$& on o#tient :

n

0n 0n

n

1n

n r$x%p$rx%r$x%npr =

=

=

En galisant les coefficients pour r:

$x%++x$x%n+ 1nnn = %788.2?$

La diffrentielle de la formule %788.20$& donne:

.0$x%+n$x%+x$1n2%$x%+$1n2%$x%+$1n% 1nnn1n =+++=+ +

En remplaant nPx par la formule %788.2?$& on o#tient:

$.x%n+$Jx%+$x%n+$S1n2%$x%+$1n2%$x%+$1n% 1n1nnn1n + ++++=+

En simplifiant par nF1& on o#tient la formule %788.25$.

XII.1* Fonctions successi9es de egendre

Les fonctions successi(es de Legendre sont dsignes par $x%+ m

n et sont dterminespar:

m

n

m

2

m

2m

ndx

$x%+d$x1%$x%+

=

n/ est la puissance suprieure des fonctions et m/ caractrise la succession.

Les fonctions +m1%x$& +m2%x$& ...& +mn%x$& ...& sont ortogonales sur l'inter(alle %/1&1$& c'est//dire:

=1

1

m

n

m

M &nM&0dx$x%+$x%+

et

++

=1

1

2m

n$Amn%

$Amn%

1n2

2dx$Jx%+S

La fonction +mn%x$ satisfait l'uation diffrentielle:

.01

$1%2$1%2

22 =

++ yx

mnnyxyx

+our +mn%cos $& l'uation prend la forme:

.0sin

$1%sinsin

12

2

=

++

ym

nnd

dy

d

d

XII.1+ Fonctions spriues 9olumiues superficielles


44/57

2D>


La fonction spriue (olumiue satisfait l'uation de Laplace:

.0)

Q

"

Q

x

Q2

2

2

2

2

2

=

+

+

Le pol"nVme omogne de degr n peut s'crire sous forme:

&)"xaQnpm

pm

mpn =++

=

o@ mpa

est un coefficient.

Le pol"nVme omogne de degr 2 peut s'crire sous forme:

.")ax)ax"a)a"axaQ 0111011102

002

2

020

2

2002 +++++=

a dri(e partielle d'ordre 2 est:

.a2)

Q&a2

"

Q&a2

x

Q0022

2

2

0202

2

2

2002

2

2

=

=

=

Q2satisfait l'uation de Laplace si:

.0aaa00 2020200

=++

Le s"stme de coordonnes spriues est reprsent par la figure $788.?%.

Fig XII.+

Luation de Laplace en coordonnes spriues scrit sous forme:

.0Q

sin

1$

Q%sin

sin

1

r

Qr%

r 2

2

2

2 =

+

+

9(ec:

.cosr)&sinsin)"

&cossinrx

= =

=

Le pol"nVme omogne prend la forme:


45/57

2D

&0a=sin

=m$1n%n

d

dasin

d

d

sin

1$2

0a$1n%n$d

da%sin

d

d

sin

1$1

nmnm

nmnm

0n0n

=

++

=

++

=++

La premire uation est un pol"nVme de Legendre& d'o@:

$.%cos+a$%a 00n =

+our a nm% $ et #nm% $& on a:&$%cos+#$%#&$%cos+a$%a nmnm

m

nmnm ==

o@ a nm% $ et #nm% $ sont des constantes.

-n peut crire alors la fonction spriue sous forme:

$.%cos+Jmsin#mcosaS$%cos+a$&%P m

n

n

1m

mmn0n ++= =

XII.24 5rtogonalit des fonctions spriues

+our montrer l'ortogonalit& on utilise la formule de Green:

.d($QTTQ%dsdn

dQT

dn

dTQ

T

=

oit une spre de ra"on r %fig.788.B$. -n a:

$.&%PrT&$&%PrQ mm

n

n ==

et.0T!0Q ==


48/57

2D?


Fig XII. ,

La partie droite de la formule de Green sera nulle et par consuent:

&0dsdn

$Pr%dPr

dn

$Pr%dPrS

n

n

m

mm

m

n

n =

La normale est dirige sui(ant le ra"on de la spre& d'o@:

$.&%Pmr$Pr%dr

d$Pr%

dn

dm

1m

m

m

m

m ==

9nalogiuement& on a:

$.&%Pnr$Pr%dn

dn

1n

n

n =

+our une spre .dsin=rds =

9prs remplacement& on o#tient:

.0ddsinPP$nm%r

mn

1mn = ++

En faisant sortir rnFmF1%m/n$ en deors de l'intgrale et en simplifiant& on o#tient:

=

mn .mnpour&0ddsin$&%P$&%P

ce ui exprime l'ortogonalit des fonctions spriues.

La fonction $&%f peut tre dcompose en srie par les fonctions spriues:

...$&%P...$&%P$&%P$&%f n10 ++++=

Exercices

1. Hrou(er $x%+5 et $x%+C par la formule de rcurrence.


49/57

2DB


2. Hrou(er par la formule de rcurrence $.0%+n

&+pon,e :

n...C..1

$1%$0%+ 2

n

n

=pour n/ pair.

et

$0%+n pour n impair.

>. 4composer en srie par les pol"nVmes de Legendre:

=!10&1

01&0$%

x

xxf

&+pon,e :

...x+A2A>2

A

2

1$x%f >C2


50/57

2DD


En comparant les expressions pour $t&x% et&

t

on trou(e:

.0$t&x%$x2t2%t

=+

En remplaant dans cette uation la srie correspondante& on trou(e:

=

=

=

+ =+0n 0n 0n

nn1nn1nn .0tAn

$x%x2t

An

$x%2nt

An

$x%

Les coefficients puissance t sont nuls. 9insi:

0An

$x%x2

$A1n%

$x%2$1n%

$A1n%

$x% n1n1n =

+++

+

ou

!0$x%n2$x%x2$x% 1nn1n =+ + %788.>0$

c'est la formule de rcurrence du pol"nVme d'ermite.

En posant n;1& on trou(e:

.2=x ==

XII.22 &uation diffrentielle pour les pol7n8mes d);ermite

onsidrons l'uation %788.>0$ et calculons sa diffrentielle:

0$x%n2$x%x2$x%2$x% 1nnn1n =+ + %788.>1$-n a aussi :

.A

$%22 1

0

2= +

=

+ == n

n

n"x" "n

x("e

x

et

.A

$%

0

=

=

n

nn "n

x(

x

Egalisons les coefficients pour tnF1. -n o#tient :

.A

$%2

$A1%

$%1

n

x(

n

x( nn =+

+

o@


51/57

>00


$.x%$1n%2$x% n1n += +4o@

$x%n2$x% 1nn =et

1% $ 2 % $n n( x n( x =

En remplaant $x% 1n+ et $x% 1n dans %788.>1$& on o#tient :

0$x%$x%x2$x%2$x%$1n%2 nnnn =++

ou

!0$x%n2$x%x2$x% nnn =+

9insi& les pol"nVmes dermite satisfont luation diffrentielle :0n"2"x2" =+

XII.2! 5rtogonalit des pol7n8mes d);ermite

ontrons ue :

0dx$x%$x%e mnx

2

=

+osons .)$x%et)$x% 2m1n == 4onc :

&111 0n)2)x2) =+

.0m)2)x2) 222 =+

ultipliant la premire uation par2

2% $

xe z et la seconde par2

1% $.x

e z

4onc :

[ ] .0))e$mn%2$))))%edxd

!0))e$mn%2

$))))%xe2$))))%e

21

x

1221

x

21

x

1221

x

1221

x

22

2

22

=+

=+

+

8ntgrons par rapport x de :

=+ .0dx))e$mn%2J$))))%eS 21=x

1221

x2

4o@ :

=0dx))e 21=x

ou

.0dx$x%$x%=xe mn2x =

-n peut crire ue :


52/57

>01


.An2dx$x%e n=n=x =

Les fonctions...$&x%$&x% 1 peu(ent tre utilises pour dcomposer les fonctions

$%xf

en srie.

XII.2$ 6paration des 9aria/les en coordonnes cartsiennes dans la rsolution de

l)uation de aplace

8l faut trou(er lintgrale de :

0=)

Q

="

Q

=x

QQ

222

=

+

+

=%788.>>$

Ecri(ons $)&"&x%Q sous forme :

&$)%\$"%P$x%7$)&"&x%Q = %788.>>$& et di(is par $)&"&x%Q & on trou(e :

0\

\

P

P

7

7=

+

+

%788.>5$+osons :

= ! = ! = =1 Y )

1 Y )

= = = + .4onc %788.>>$ de(ient :

= 0 ! = 0 ! = &1 1 Y Y ) ) + = + = =

o@=.== += %788.>C$

Lintgrale sera :

.!! zyizi e)eYe1

===

4onc& lintgrale partielle %788.>


53/57

>02


plan spectral ( , ) . +ar consuent& luation prend la forme dune transforme

in(erse de Uourier :

~U( , )ez=

ei+i

U( , , z )d d %788.>D$

La fonction spectrale $&%Q doit tre dtermine partir des conditions aux limites.

En posant ) ; 0 dans luation %788.>D$& on o#tient :

( ) ( ) .dd)&&Qee&Q` ii) =

+

%788.B$ et %788.


54/57

>0>


Lintgrale %788.

222 ++

=

%788.


55/57

>0222 $"%$x%

ddd$&&%$"&x%g

%788.5>$

onsidrons ue la source est dans le (olume dont la section ori)ontale trans(ersale

est m %fig.788.D$.

Fig.XII.-

Le prolongement du corps (ers le #as peut tre infini& cependant les masses doi(ent tre

localises une profondeur suprieure ; .

La densit est nulle $0% = lextrieur du (olume dsign et est gale m lintrieur.

4onc de lexpression %788.5>$& on a :

.2

3(

m ddd

#

4o@ :

g mm

%788.5


57/57


ontrons maintenant comment lexpression %788.52$ diminue pour (/ . 4ans notre cas :

2 2

>

2 2

% & $ % & & $ & % $

% $

i i y d d dy# e dxdy x

y

+= = +

+ +

%

En cangeant x et " respecti(ement par +x et +" & on o#tient :

.$%

$&&%$&%`26>222

++= ++ yx

dxdyeddde# yixiii

Le module sera :

.2

2$&%`

(mm

(

mm e3

de3#

==

%788.55$

4onc& la fonction spectrale diminue en exponentielle et surtout uand est important.

Luation %788.52$ scrit donc :

&dd$&%ge

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