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Fonctions trigonométriques. Martin Roy Juin 2011. Fonction périodique. Une fonction est dite périodique lorsque sa représentation graphique est constituée d’un motif qui se répète. L’écart entre les abscisses situées aux extrémités de ce motif correspond à la période de la fonction. - PowerPoint PPT Presentation
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Martin RoyJuin 2011
Une fonction est dite périodique lorsque sa représentation graphique est constituée
d’un motif qui se répète.
L’écart entre les abscisses situées aux extrémités de ce motif correspond à la
période de la fonction.
Les fonctions sinus, cosinus et tangente sont des fonctions périodiques.
Le comportement d’une masse
suspendue à un ressort qui oscille
verticalement sans friction peut être modélisé par une
fonction périodique.
D’après ce graphique, on déduit que la masse revient à sa position initiale toutes les 2 s. La période de la fonction est donc de 2 s.
La fonction sinus est une fonction périodique de période 2π.
sin( 2 ) sinx x
sin x
L’amplitude de la fonction sinus de base est de 1.
Point de départ : (0,0)
( ) sinf x x
La fonction cosinus est une fonction périodique de période 2π.
cos( 2 ) cosx x
cos x
L’amplitude de la fonction cosinus de base est de 1.
Point de départ : (0,1)
( ) cosf x x
La fonction tangente est une fonction périodique de période π.
tan( ) tanx x
tan x
La fonction tangente admet une infinité d’asymptotes verticales d’équations:
Point de départ : (0,0)
2 où x n n
sin( ) tan
cos
xf x x
x
sin ( )y a b x h k
Amplitude = a
2Période =
b
, = point de départ d'un cycleh k
, = point d'inflexion de la courbeh k
1( ) 2sin 1
2f x x
2 situations possibles selon les signes de a et b
0
cycle croissant au départ
ab
0
cycle décroissant au départ
ab
ou
sin ( )y a b x h k
cos ( )y a b x h k
Amplitude = a
2Période =
b
, = point de départ d'un cycleh k a , = point extremum de la fonctionh k a
3cos ( 1) 32
y x
2 situations possibles selon le signe de a
0
( , )
cycle décroissant au départ
Point de départ :
a
h k A
ou
cos ( )y a b x h k
0
( , )
cycle croissant au départ
Point de départ :
a
h k A
tan ( )y a b x h k
Période = b
,( , )
= point milieu d'un cycle
est situé à égale distance de 2 asymptotes consécutives
h k
h k
2 situations possibles selon les signes de a et b
0
Fonction croissante
ab ou
tan ( )y a b x h k
0
Fonction décroissante
ab
On identifie un cycle à l'aide d'un rectangle dont
la base correspond à la période p et la hauteur au
double de l'amplitude A. On part d'un point de départ (h,k).
( , ) (-2,5)
10
1,5
Pour cet exemple, prenons .
La période est de (longueur du rectangle)
et l'amplitude est de .
h k
La fonction réciproque de la fonction sinus est une fonctions appelée arcsinus
arcsiny x
arcsin 1,1dom
arcsin ,2 2
ima
La fonction réciproque de la fonction cosinus est une fonctions appelée arccosinus
arccosy x
arccos 1,1dom
arccos 0,ima
La fonction réciproque de la fonction tangente est une fonctions appelée arctangente
arctany x
arctandom arctan ,2 2
ima
La fonction arctan admet 2 asymptotes horizontales:
2 2 et y y
